2.2.2直接证明与间接证明-反证法(上课)
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人教a版数学【选修2-2】2.2.2《反证法》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
人教A版 · 选修2-2
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第二章
推理与证明
第二章 2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．
重点：反证法概念的理解以及反证法的证题步骤． 难点：反证法的应用．
已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2. [解析] 假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q ＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即 6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2. [点评] 本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p，q 的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法 ，但很难证，故考虑采用反证法.
[方法规律总结] 用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾 的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做 的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真 ．
典例探究学案
用反证法证明直接证明不易入手的问题
求证：若两条平行直线 a、b 中的一条与平面 α 相交，则另一条也与平面 α 相交．
[分析] 直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反 证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能 推出命题结论正确．
[解析] 不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b 也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情 况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题 设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与 题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交．
2.2.2__反证法
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k ∴n2 也是偶数， 这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
作业
1:若p1 p2 = 2(q1 + q 2 ),证明:关于x的方程 x + p1x + q1 = 0与x + p 2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根.
思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 甲:208个,乙:112个,丙:64个
假设方程ax b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2 且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b
∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax 2 = 0
∴a（x1 - x2） 0 =
∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立，结论成立。
若 a = b，则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
例4 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
2 2 2 2
反设——假设命题的结论不成立；
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
2.2.2反证法
所以假设不成立， 是有理数成立。 所以假设不成立，2是有理数成立。
应用反证法的情形： 应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (1)直接证明困难; 直接证明困难 (2)需分成很多类进行讨论； (2)需分成很多类进行讨论； 需分成很多类进行讨论 (3)结论为“至少” (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个 结论为 至多” 这一类的命题； 这一类的命题； (4)结论为 唯一”类的命题。 (4)结论为 “唯一”类的命题。
正难则反! 正难则反
推理 合情推理 （归纳、类比） 归纳、类比） 证明 直接证明 分析法、综合法） （分析法、综合法） 间接证明 反证法） （反证法） 演绎推理 三段论） （三段论）
数学—公理化思想 数学 公理化思想
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 分析:假设C没有撒谎, 那么A假且B - - 那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立, 那么假设C没有撒谎不成立, 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎.
引例2： 引例 ：
将9个球分别染成红色或白色。那么 个球分别染成红色或白色。 无论怎样染，至少有5个球是同色的。 无论怎样染，至少有5个球是同色的。你 能证明这个结论吗？ 能证明这个结论吗？ 间接证明： 间接证明： 不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法。 推得命题成立的证明方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。 是一种常用的间接证明的方法
经过正确 一般地，假设原命题不成立， 一般地，假设原命题不成立， 因此说明假设错 的推理，最后得出矛盾。 的推理，最后得出矛盾。 这样的证明 从而证明了原命题成立， 误，从而证明了原命题成立， 方法叫做反证法 归谬法）。 反证法（ 方法叫做反证法（归谬法）。 其过程包括： 其过程包括：
《2.2.2反证法》课件3-优质公开课-人教A版选修2-2精品
自 1.不成立 矛盾 原命题成立 我 校 2.已知条件、假设、定义、定理、事实 对
名师讲解 1. 反证法的理论基础 反证法的证明过程可概括为“否定结论，推出矛盾”，即 假设结论不成立，利用已知及假设经过正确推理，导致矛 盾．矛盾的出现，说明假设不成立，从而原命题成立，
例如要证明命题“若p，则q”，它的否定为“若p，则綈q”， 因为两个命题真假性相反，只要判定“若p，则綈q”为假，则 可肯定“若p，则q”为真．
2否定性的问题常用反证法，结论中以“至多”，“至 少”形式出现，也常用反证法.
随堂训练
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条
件使用( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、
定理、定义等 ④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
答案 C
2．如果两个实数之和为正数，那么这两个数( ) A．一个是正数，一个是负数 B．两个都是正数 C．两个都是非负数 D．至少有一个是正数
2. 反证法的一般步骤 (1)分清命题的条件和结论； (2)做出与命题结论相矛盾的假设； (3)由假设出发，应用正确的推理，推出矛盾的结果； (4)判定出现矛盾的原因是因为假设不成立，从而原命题 成立．
3. 宜用反证法的题型
(1) 要证的结论与条件之间的联系不明显，直接证明较困
难．
(2) 如果直接从正面证明，需要分多种情况讨论，而从反
面证明只有一种或很少几种情形．
(3)
直观判断显然成立的命题，否定性命题，含“至
多”，“至少”等字眼的存在性问题宜用反证法．
4．常用正面词语与其否定形式 用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式如下
表：
正面词语
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》730PPT课件
§2.2.2 反证法
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理， 最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证 明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证 法。
这种不是直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法。
探究反证法的证明过程
反证法
意溪中学
温故迎新
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法: 已知条件 结论 由因导果
分析法: 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路， 再由综合法书写过程.
道 旁 苦 李
王戎的结论：李子是苦的
反证法的思维方法：正难则反
例题：
c
已知：如图，直线a,b被直线c所截，
a
∠1 ≠ ∠2
1
b
求证：a∥
2
证明：（反设） 假设结论不成立，则a∥b
（归缪） ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立
（存真） ∴a∥b
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 否定必须要全面
∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵a ≠ 0
∴x 1
-x 2
0,即x1
=
x 2
与x 1
x 矛盾 2
故假设不成立，结论成立。
注:结论中的有且只有(有且仅有)形式出现,
是唯一性问题,常用反证法
总结回顾:
1、反证法的一般步骤:
与假设、已知、 定义、定理、 公理或者事实 矛盾等
或等于６０度.
高中数学选修2-2(从导数到微积分) 2.2.2直接证明与间接证明-反证法 理科班课件
立，这样的证明方法叫做反证法 （归谬法）
2.反证法步骤
(1) 假设命题不成立, (2) 经过正确推理导出矛盾（关键） 反设 归谬
(3) 假设错误、原命题成立
结论
3.何时用反证法
（1）结论条件联系不明显，直接推证较难
（2）正面分类多，反面分类少；
（3）含关键词：否定词，唯一，至多，至少…
4.矛盾的类型
2.2 直接证明与间接证明
——反证法
其一:法庭中的反证法 一公司经理在某酒店设筵，酒宴过半，突然 提出在一道叫做水煮基围虾的菜中有一只红头大苍 蝇，要求酒店方给予赔偿，双方为此争执不休，酒 店经理为了证实不是苍蝇，情急之下，把这个疑似 苍蝇的东西吃了下去。对方一看，更是不依不饶， 一纸诉状将酒店告上法庭。酒店经理对自己的冲动 很是后悔，深知庭审将对自己非常不利，于是聘请 了一位著名的律师为自己辩护。法庭上，双方围绕 着是不是红头苍蝇展开辩论，原告更是有恃无恐， 咄咄逼人，形式对被告很不利。 如果你是被告的律师，你会怎么办？
略证：假设方程至少有两个根x1 ，x2 且x1≠x2 ， 则有f(x1)=f(x2)=0 (x1≠x2 ) 这与函数单调性矛盾，故原命题成立
5.写出下列结论用反证法证明时的假设
1) 至少有一个S有性质P 错误假设：至少有两个或两个以上S有性质P 正确假设：没有一个S性质P 2) 最多有一个S有性质P
与题设矛盾, 与假设矛盾, 与已知定义、公理、定理矛盾， 自相矛盾 …
5.实例分析
1. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角, 则∠B一定是锐角. 2. 求证： 2, 3, 5 不可能成等差数列 3. 用反证法证明: 若方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有两个不相等的实数根,则b2-4ac>0. 4. 已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0最 多只有一个实数根。
2.反证法步骤
(1) 假设命题不成立, (2) 经过正确推理导出矛盾（关键） 反设 归谬
(3) 假设错误、原命题成立
结论
3.何时用反证法
（1）结论条件联系不明显，直接推证较难
（2）正面分类多，反面分类少；
（3）含关键词：否定词，唯一，至多，至少…
4.矛盾的类型
2.2 直接证明与间接证明
——反证法
其一:法庭中的反证法 一公司经理在某酒店设筵，酒宴过半，突然 提出在一道叫做水煮基围虾的菜中有一只红头大苍 蝇，要求酒店方给予赔偿，双方为此争执不休，酒 店经理为了证实不是苍蝇，情急之下，把这个疑似 苍蝇的东西吃了下去。对方一看，更是不依不饶， 一纸诉状将酒店告上法庭。酒店经理对自己的冲动 很是后悔，深知庭审将对自己非常不利，于是聘请 了一位著名的律师为自己辩护。法庭上，双方围绕 着是不是红头苍蝇展开辩论，原告更是有恃无恐， 咄咄逼人，形式对被告很不利。 如果你是被告的律师，你会怎么办？
略证：假设方程至少有两个根x1 ，x2 且x1≠x2 ， 则有f(x1)=f(x2)=0 (x1≠x2 ) 这与函数单调性矛盾，故原命题成立
5.写出下列结论用反证法证明时的假设
1) 至少有一个S有性质P 错误假设：至少有两个或两个以上S有性质P 正确假设：没有一个S性质P 2) 最多有一个S有性质P
与题设矛盾, 与假设矛盾, 与已知定义、公理、定理矛盾， 自相矛盾 …
5.实例分析
1. 用反证法证明:在△ABC中,若∠C是直角, 则∠B一定是锐角. 2. 求证： 2, 3, 5 不可能成等差数列 3. 用反证法证明: 若方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 有两个不相等的实数根,则b2-4ac>0. 4. 已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0最 多只有一个实数根。
2.2.2 反证法(上课版)
3、诸葛亮是如何考虑的？
诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑， 解决了用正面方法（用少数老弱军士去拼杀）很难 或无法解决的问题。
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类 证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 反设 原结论成立 存真
归谬
1、反证法：
2.2.2 反证法
莒县四中 高二数学 孟凡玲
复习回顾：
直接从原命题的条件逐步推得结论成立, 直接证明：
这种证明方法叫直接证明。
(1)综合法——
由因导果 结论
已知条件 … …
特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”
(2)分析法—— 执果索因 结论
… … 已知条件
特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”
间接证明（例题1）
例1、证明 3，5, 7不能为等差数列
思路
先假设此三数成等差数列
经过推理，得出矛盾
证明 ：假设 3，5 , 7是等差数列的三项.
则，3 7 2 5 ( 3 பைடு நூலகம்7) 2 5
2
2
即： 10 2 21 20 2 21 10 21 5 21=25矛盾 假设不成立，故 3，5 , 7不是等差数列
小结
1、什么是反证法？ 2、反证法的步骤？ 3、反证法应用的范围是什么？ 4、反证法归谬的错误是？
2．若 x ， y 都是正实数，且 x ＋ y ＞2. 1＋ x 1＋ y 求证 ： y ＜ 2 和 x ＜ 2 中至少有一个成立． 1 ＋x 1 ＋y 【证明】 假设 y ＜2 和 x ＜2 都不成立， 1 ＋x 1 ＋y 则有 y ≥ 2 和 x ≥ 2 同时成立，
诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑， 解决了用正面方法（用少数老弱军士去拼杀）很难 或无法解决的问题。
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类 证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 反设 原结论成立 存真
归谬
1、反证法：
2.2.2 反证法
莒县四中 高二数学 孟凡玲
复习回顾：
直接从原命题的条件逐步推得结论成立, 直接证明：
这种证明方法叫直接证明。
(1)综合法——
由因导果 结论
已知条件 … …
特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”
(2)分析法—— 执果索因 结论
… … 已知条件
特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”
间接证明（例题1）
例1、证明 3，5, 7不能为等差数列
思路
先假设此三数成等差数列
经过推理，得出矛盾
证明 ：假设 3，5 , 7是等差数列的三项.
则，3 7 2 5 ( 3 பைடு நூலகம்7) 2 5
2
2
即： 10 2 21 20 2 21 10 21 5 21=25矛盾 假设不成立，故 3，5 , 7不是等差数列
小结
1、什么是反证法？ 2、反证法的步骤？ 3、反证法应用的范围是什么？ 4、反证法归谬的错误是？
2．若 x ， y 都是正实数，且 x ＋ y ＞2. 1＋ x 1＋ y 求证 ： y ＜ 2 和 x ＜ 2 中至少有一个成立． 1 ＋x 1 ＋y 【证明】 假设 y ＜2 和 x ＜2 都不成立， 1 ＋x 1 ＋y 则有 y ≥ 2 和 x ≥ 2 同时成立，
间接证明反证法(上课)
注意结论的正确性验证
结论应当是正确的， 能够符合已知事实和 推理规则。 结论的验证可以通过 实践检验或其他证明 方法来完成。 如果结论存在错误， 应当分析错误原因， 重新审视假设和推理 过程，并修正结论。
总 结 与 展 望
总结间接证明反证法的原理与方法
间接证明反证法的原理
间接证明反证法是一种通过否定假设来证明命题的方法。其基本原理是，如果一个命题的否定会导致 矛盾，那么该命题就是正确的。这种方法通常用于证明存在性或唯一性命题。
例如，在证明一个命题的逆否命题 时，可以使用排除法来证明原命题 的正确性。
反证法与排除法的结合使用
反证法是一种常用的间接证明方法，其基本思想是通过假设某 一结论不成立，然后推导出矛盾，从而证明结论的正确性。 在使用反证法时，常常需要结合排除法来排除一些不可能的情 况，以减少推导的复杂度。 例如，在证明一个命题的逆否命题时，可以先假设原命题不成 立，然后结合排除法来推导出矛盾，从而证明原命题的正确性。
推导
假设
在反证法中，假设是对原命题的否定，是 反证法的起点。假设应该尽可能明确、具 体，以便于后续的推理和计算。
间 接 证 明 巧的 方 法 与 技
排除法是一种常用的间接证明方法， 其基本思想是通过排除不可能的情 况，来证明某一结论的正确性。
排除法
在使用排除法时，需要全面考虑所 有可能的情况，并逐一排除，直到 只剩下一种可能，从而证明结论的 正确性。
间接证明中的逻辑推理
在间接证明中，逻辑推理是非常重要的。
逻辑推理包括演绎推理、归纳推理和类比推理等，这些推理方法在间接证明中都有 广泛的应用。
在使用逻辑推理时，需要注意推理的严密性和准确性，以避免出现逻辑错误或漏洞。
2.2.2直接证明与间接证明-反证法
反证法的思维方法： 反证法的思维方法：
正难则反
已知：如图，在平面中有直线 、 ， 已知：如图，在平面中有直线a、b， a∥b，c与a相交于点 . 相交于点P 相交于点 ∥ ， c 求证： 相交. 求证： 直线c与b相交. 证明： 证明：假设c∥b， 因为a∥b，所以c∥a, 因为 ∥ , 这与已知c与a相交于点P 相矛盾。 相交于点 相矛盾。 所以假设不成立， 相交。 所以假设不成立，从而c与b相交。
2.反证法主要适用于以下两种情形： 2.反证法主要适用于以下两种情形： 反证法主要适用于以下两种情形 （1）所证的结论与条件之间的联系不 明显，直接有条件推出结论线索不清晰； 明显，直接有条件推出结论线索不清晰； （2）从正面入手需要分成多种情形进 行讨论，而从反面证明， 行讨论，而从反面证明，只要研究一种 或很少的几种情形. 或很少的几种情形.
o
这与四边形内角和矛盾。 这与四边形内角和矛盾。
说明：常用的正面叙述词语及其否定： 说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语 否定 正面 词语 否定 等于 大于（ ） 大于（>） 小于 (<) 是 都是
不等于 至多有 一个 至少有 两个
小于或 大于或 等于（ ） 等于（ ） 等于（≤） 等于（≥） 不是 至少有 一个 一个也 没有 任意的 所有的
这与B假矛盾. 由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎. 必定是在撒谎.
反证法： 反证法： 假设命题结论的反面成立， 假设命题结论的反面成立，经过正确的 命题结论的反面成立 推理,引出矛盾 因此说明假设错误, 矛盾， 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立, 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。 反证法。
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修12
.
+
∵a,b 为有理数,且 + 为有理数,
∴
-
为有理数,即
+
− 为有理数.
∴( + )+( − )为有理数,即 2 为有理数.
从而 也应为有理数,这与已知 为无理数矛盾,
∴ + 一定为无理数.
反思结论(jiélùn)为否定形式的命题的证明常用反证法,通过反设首先将否定命
第十三页，共20页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 过平面α上一点(yī diǎn)A,作直线a⊥α,求证:a是唯
一的.
证明:假设过点A至少还有一条直线b满足b⊥α.
∵a,b是相交直线,
∴a,b可以确定一个平面β.
设α和β相交于过点A的直线c.
∵a⊥α,b⊥α,
∴a⊥c,b⊥c.
这样在平面β内,过点A就有两条直线垂直于c,
(1)反证法中的“反设”,是应用反证法的第一步,也是关键一步.“反设”的结
论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确(zhèngquè)、全面,直
接影响下一步的证明.做好“反设”应明确:①正确(zhèngquè)分清题设和结论;
②对结论实施正确(zhèngquè)的否定;③对结论否定时,找出其所有情况.
2 +-
也是有理数.
2
即 为有理数,这与已知 为无理数矛盾,
故假设不成立.
∴ + 一定是无理数.
第八页，共20页。
题型一
题型二
题型三
题型四
证法二:假设 + 为有理数,
则( + )( − )=a-b.
由 a>0,b>0,得 + > 0.
+
∵a,b 为有理数,且 + 为有理数,
∴
-
为有理数,即
+
− 为有理数.
∴( + )+( − )为有理数,即 2 为有理数.
从而 也应为有理数,这与已知 为无理数矛盾,
∴ + 一定为无理数.
反思结论(jiélùn)为否定形式的命题的证明常用反证法,通过反设首先将否定命
第十三页，共20页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 过平面α上一点(yī diǎn)A,作直线a⊥α,求证:a是唯
一的.
证明:假设过点A至少还有一条直线b满足b⊥α.
∵a,b是相交直线,
∴a,b可以确定一个平面β.
设α和β相交于过点A的直线c.
∵a⊥α,b⊥α,
∴a⊥c,b⊥c.
这样在平面β内,过点A就有两条直线垂直于c,
(1)反证法中的“反设”,是应用反证法的第一步,也是关键一步.“反设”的结
论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确(zhèngquè)、全面,直
接影响下一步的证明.做好“反设”应明确:①正确(zhèngquè)分清题设和结论;
②对结论实施正确(zhèngquè)的否定;③对结论否定时,找出其所有情况.
2 +-
也是有理数.
2
即 为有理数,这与已知 为无理数矛盾,
故假设不成立.
∴ + 一定是无理数.
第八页，共20页。
题型一
题型二
题型三
题型四
证法二:假设 + 为有理数,
则( + )( − )=a-b.
由 a>0,b>0,得 + > 0.
高中数学第二章推理与证明22直接证明与间接证明222反证法课件新人教版选修12
5．用反证法证明命题“如果 a＞b，则3 a＞3 b时，
假设的内容是________．”
3
3
3
33
3
解析： a与 b的关系有三种情况： a＞ b， a＝ b，
3
3
3
3
a＜ b.所以假设的内容应为 a≤ b.
3
3
答案： a≤ b
类型 1 用反证法证明否(肯)定性命题(自主研析) [典例 1] 设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b， c 均为整数，且 f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0 无整 数根． [自主解答]假设 f(x)＝0 有整数根 n，则 an2＋bn＋c ＝0 又 f(0)，f(1)均为奇数，
解得－2＜a＜－1，则要使两方程至少有一个方程有
实数，则 a 的取值范围应为 a≤－2 或 a≥－1.
答案：A
归纳升华
1．用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨
论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什
么，避免出现错误．
2．用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结
论词”与“反设词”如下：
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法．( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一 种演绎推理．( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ) 解析：(1)对，反证法是间接证明问题的方法． (2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理． (3)对，根据反证法的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
所以（1－2a）＋b≥ （1－a）b> 14＝12. 同理（1－2b）＋c>12，（1－2c）＋a>12. 三式相加得 （1－2a）＋b＋（1－2b）＋c＋（1－2c）＋a>32. 则32>32，矛盾，故假设不成立． 所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不能都大于14.
2020学年高中数学第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教A版选修2_2
∴b，c 为方程 x2＋ax＋1a＝0 的两根， ∴Δ＝a2－4a≥0，即 a3≥4. ∴a≥3 4> 3 287＝32，这与 a≤32矛盾， ∴a，b，c 中至少有一个大于32.
短板补救案·素养培优
规范解答(九) 反证法在证明问题中的应用
典题示例
【典例】 (12 分)已知 a，b，c∈（0，1） . 求证： （1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不能都大于14 .
∵a2n＝an－1·an＋1，b2n＝bn－1·bn＋1， ∴2anbn＝an－1bn＋1＋bn－1an＋1 ＝apn·bn·q＋bqn·an·p， ∴2＝qp＋pq. ∵当 p≠q 时，qp＋pq＞2 或qp＋pq≤－2 与qp＋pq＝2 矛盾． ∴假设不成立，即{cn}不是等比数列．
题型二 用反证法证明唯一性命题 【例2】 若函数f(x)在区间[a，b]上的图像连续，且 f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x) 在(a，b)内有且只有一个零点．
变式训练
1．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝ an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．
证明 假设{cn}是等比数列． 则当 n≥2 时，(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)·(an＋1＋bn＋1) ∴a2n＋2anbn＋b2n ＝an－1an＋1＋an－1bn＋1＋bn－1an＋1＋bn－1bn＋1. 设{an}，{bn}的公比分别为 p，q(p≠q)．
变式训练
2．求证：过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行．
解析 已知：点P在直线a外． 求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条． 证明：∵点P在直线a外， ∴点P和直线a确定一个平面， 设该平面为α，在平面α内，过点P作直线b， 使得b∥a，则过点P有一条直线与a平行．
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法课件新人教B版选修2_2
2.2.2 反证法
1.掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点. 2.学会写出命题的否定,并以此作条件推出矛盾结论,即学习用反 证法证明简单题目.
反证法 一般地,由证明p⇒q转向证明:¬ q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某 个真命题矛盾.从而判定¬ q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.
名师点拨1.反证法适宜证明“存在性,唯一性,带有„至少有一个‟或 „至多有一个‟等字样”的一些数学问题. 2.应用反证法证明数学命题的一般步骤: (1)分清命题的条件和结论; (2)做出与命题结论相矛盾的假设; (3)由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果; (4)断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原 结论成立,从而间接地证明命题为真. 常见的主要矛盾有:①与数学公理、定理、公式、定义或已证明 了的结论相矛盾; ②与临时假设矛盾; ③与公认的事实矛盾或自相矛盾等.
【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪 些作为条件使用( ) ①结论的相反判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定 义等;④原结论. A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③ 答案：C
【做一做2】 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝 角”时,假设正确的是( ) A.假设三角形的内角中至少有一个钝角 B.假设三角形的内角中至少有两个钝角 C.假设三角形的内角中没有一个钝角 D.假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角 解析：“至多有一个”的反面为“至少有两个”. 答案：B
0
������ -2
∴0<− ������ 0+1 < 1, 即 2 < ������0 < 2, 与假设x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0
0
������ -2
1.掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点. 2.学会写出命题的否定,并以此作条件推出矛盾结论,即学习用反 证法证明简单题目.
反证法 一般地,由证明p⇒q转向证明:¬ q⇒r⇒…⇒t,t与假设矛盾,或与某 个真命题矛盾.从而判定¬ q为假,推出q为真的方法,叫做反证法.
名师点拨1.反证法适宜证明“存在性,唯一性,带有„至少有一个‟或 „至多有一个‟等字样”的一些数学问题. 2.应用反证法证明数学命题的一般步骤: (1)分清命题的条件和结论; (2)做出与命题结论相矛盾的假设; (3)由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果; (4)断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原 结论成立,从而间接地证明命题为真. 常见的主要矛盾有:①与数学公理、定理、公式、定义或已证明 了的结论相矛盾; ②与临时假设矛盾; ③与公认的事实矛盾或自相矛盾等.
【做一做1】 应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪 些作为条件使用( ) ①结论的相反判断,即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定 义等;④原结论. A.①② B.①②④ C.①②③ D.②③ 答案：C
【做一做2】 用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝 角”时,假设正确的是( ) A.假设三角形的内角中至少有一个钝角 B.假设三角形的内角中至少有两个钝角 C.假设三角形的内角中没有一个钝角 D.假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角 解析：“至多有一个”的反面为“至少有两个”. 答案：B
0
������ -2
∴0<− ������ 0+1 < 1, 即 2 < ������0 < 2, 与假设x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0
0
������ -2
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法...》718PPT课件
B. abc≠0(D) NhomakorabeaC. a≠0，b≠0，c≠0
D. a≠0或b≠0或c≠0
课堂练习
2. 在△ABC中，若∠C是直角，则 ∠B 一定是锐角.
3. 求证： 2 ， 3 ， 5 不可能成 等差数列.
课堂练习
4. 已知a，b，c均为实数，且
a x2 2 y ，b y2 2z ，
2
3
c z2 2x .
例题讲解
例1. 已知a 0，证明x的方程ax b 有且只有一个根.
例题讲解
例2. 已知直线a，b 和平面，如果 a ，b ，且a // b，求证a // .
a
b
新课讲授
注 意：
反证法的关键是在正确的推理下得 出矛盾. 这个矛盾可以是与已知条件矛 盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、 公理、事实矛盾等.
6
求证：a，b，c中至少有一个大于0.
课堂小结
1.“反证法”的解题步骤： (1)提出反设（否定结论）； (2)推出矛盾（与已知、假设、定义、 定理、公理、事实矛盾，这是关键 的一步）； (3)否定假设，肯定结论.
2.反证法一般应用于证明“结论含有否定词、 至多、至少、唯一性”的问题.
课后作业
《学案》与《习案》.
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，
则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设
(
)
A. a≠b≠c≠0
B. abc≠0
C. a≠0，b≠0，c≠0
D. a≠0或b≠0或c≠0
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0，
则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设
A. a≠b≠c≠0
2.2.2 反证法
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不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2 ∴ ax1 - ax2 = 0 ∴a（x1 - x2）= 0
∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0
与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立，结论成立。
应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
• 2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( )
• A．有两个内角是直角 • B．有三个内角是直角 • C．至少有两个内角是直角 • D．没有一个内角是直角 • [答案] C • [解析] “最多”与“至少”互为否定，
“一个”对应“两个”．
3 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一 个根。 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
• 练习： • 1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的
否定为( ) • A．自然数a，b，c都是奇数 • B．自然数a，b，c都是偶数 • C．自然数a，b，c中至少有两个偶数 • D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个
偶数
• [答案] D • [解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，
其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
A
O
D
证法二
证明：假设弦AB、Байду номын сангаасD被P平分， C P
由于P点一定不是圆心O，连结OP， B
根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
用反证法证题的一般步骤是什么？
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
• 则平面α内有直线b′，使b∥b′.
• 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥ 平面α，这也与题设矛盾．
• 综上所述，b与平面α只能相交．
• [点评] 直接证明直线与平面相交比较困 难，故可考虑用反证法，注意该命题的否 定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出 命题结论正确．
练习：
• 1.求证：一个三角形中，至少有一个内角 不小于60°.
这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。
反证法的思维方法：正难则反
其过程包括：
反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。 归缪矛盾（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
正难则反!
例2
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径. A
求证：弦AB、CD不被P平分.
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
连结 AD、BD、BC、AC,
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四B边形
分析:假设有某种染法使红色球和白 色球的个数都不超过4,
则球的总数应不超过4+4=8,
这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎 样染,至少有5个球是同色的.
定义
把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法，
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理，最 后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，
直接证明与间接证明
------ 反证法
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
思考？
将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎 样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个 结论吗?
如果a ，b ，且a // b，
求证：a //
a
bA
a
证明：用反证法证明a‖α。
bA
假设直线a与平面α不平行，
则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。 则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。
• 例3 求证：若两条平行直线a，b中的一 条与平面α相交，则另一条也与平面α相 交．
• [证明] 不妨设直线a与平面α相交，b与a 平行，从而要证b也与平面α相交．假设b 不与平面α相交，则必有下面两种情况： (1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥ 平面α，与题设矛盾．
• (2)b∥平面α.
所以 ACB ADB,CAD CBD
因为 ABCD为圆内接四边形
所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180
因此 ACB 90, CAD 90
所以，对角线AB、CD均为直径，
这与已知条件矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
例2
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
等于 不等于
大于（>） 小于 (<) 是
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
都是 不都是
正面 至多有 至少有 任意的 所有的 至多有n 任意
词语 一个 一个
个 两个
至少有 一个也 否定 两个 没有
某个
某些 至少有n 某两个 ＋1个
例1用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
• [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都 小于60°，
• 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.
• 相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.
• 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、 ∠B、∠C都小于60°的假定不能成立，从而， 一个三角形中，至少有一个内角不小于 60°.
练习 已知直线a，b和平面，
∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0 ∴a = 0
与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立，结论成立。
应用反证法的情形： (1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
• 2．命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( )
• A．有两个内角是直角 • B．有三个内角是直角 • C．至少有两个内角是直角 • D．没有一个内角是直角 • [答案] C • [解析] “最多”与“至少”互为否定，
“一个”对应“两个”．
3 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一 个根。 证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根，
• 练习： • 1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的
否定为( ) • A．自然数a，b，c都是奇数 • B．自然数a，b，c都是偶数 • C．自然数a，b，c中至少有两个偶数 • D．自然数a，b，c都是奇数或至少有两个
偶数
• [答案] D • [解析] 恰有一个偶数的否定有两种情况，
其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径.
求证：弦AB、CD不被P平分.
A
O
D
证法二
证明：假设弦AB、Байду номын сангаасD被P平分， C P
由于P点一定不是圆心O，连结OP， B
根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直， 这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾, 故假设不成立，结论 a > b成立。
用反证法证题的一般步骤是什么？
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
• 则平面α内有直线b′，使b∥b′.
• 而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥ 平面α，这也与题设矛盾．
• 综上所述，b与平面α只能相交．
• [点评] 直接证明直线与平面相交比较困 难，故可考虑用反证法，注意该命题的否 定形式不止一种，需一一驳倒，才能推出 命题结论正确．
练习：
• 1.求证：一个三角形中，至少有一个内角 不小于60°.
这样的证明方法叫做反证法（归谬法）。
反证法的思维方法：正难则反
其过程包括：
反设——假设命题的结论不成立； 归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾；
存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。 归缪矛盾（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
正难则反!
例2
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径. A
求证：弦AB、CD不被P平分.
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
连结 AD、BD、BC、AC,
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四B边形
分析:假设有某种染法使红色球和白 色球的个数都不超过4,
则球的总数应不超过4+4=8,
这与球的总数是9矛盾.因此,无论怎 样染,至少有5个球是同色的.
定义
把这种不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法，
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），经过正确的推理，最 后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，
直接证明与间接证明
------ 反证法
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 结论 由因导果
分析法 结论 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
思考？
将9个球分别染成红色或白色.那么无论怎 样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个 结论吗?
如果a ，b ，且a // b，
求证：a //
a
bA
a
证明：用反证法证明a‖α。
bA
假设直线a与平面α不平行，
则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。 则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。
• 例3 求证：若两条平行直线a，b中的一 条与平面α相交，则另一条也与平面α相 交．
• [证明] 不妨设直线a与平面α相交，b与a 平行，从而要证b也与平面α相交．假设b 不与平面α相交，则必有下面两种情况： (1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥ 平面α，与题设矛盾．
• (2)b∥平面α.
所以 ACB ADB,CAD CBD
因为 ABCD为圆内接四边形
所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180
因此 ACB 90, CAD 90
所以，对角线AB、CD均为直径，
这与已知条件矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
例2
用反证法证明：圆的两条不是直径 的相交弦不能互相平分。
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语
否定
等于 不等于
大于（>） 小于 (<) 是
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
都是 不都是
正面 至多有 至少有 任意的 所有的 至多有n 任意
词语 一个 一个
个 两个
至少有 一个也 否定 两个 没有
某个
某些 至少有n 某两个 ＋1个
例1用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
• [证明] 假设△ABC的三个内角A、B、C都 小于60°，
• 即∠A<60°，∠B<60°，∠C<60°.
• 相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.
• 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、 ∠B、∠C都小于60°的假定不能成立，从而， 一个三角形中，至少有一个内角不小于 60°.
练习 已知直线a，b和平面，