(沪科版)【课时训练3】8.4因式分解--分组分解法Z

《用分组分解法进行因式分解》知识总结归纳：分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。

使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。

能预见到下一步能继续分解。

而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。

下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ）A a aB a aC a aD a a .().().().()222222221111+--+++--分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

解：原式=+++++211242a a a a a (()=++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 43243222222223212221211()()()()()故选择C例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+-分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。

解法1：原式=-+--+=--+=-++-+()()()()()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111解法2：原式=-+-+-=-+-+-=-++=-++-=-++-+()()()()()()()()()[()]()()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 54324242422221111111211112. 在几何学中的应用（删除）例：已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足a b a c b ac >+<+，2222 证明：以a 、b 、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：Θa c b ac 2222+<+∴+--<∴-+-<--<∴-+--<-+>--∴-+>--<∴+>-<-<<+∴a c b ac a ac c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a b c a b c a b c a ba b c 2222222220200000，即又，，即以、、为三边能构成三角形()()()Θ3. 在方程中的应用例：求方程x y xy -=的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x 与y ，故可考虑借助因式分解求解 解：Θx y xy -=∴-+=∴-+-=--+-=-∴-+=-∴+=-=-⎧⎨⎩+=--=⎧⎨⎩xy x y xy x y x y y y x x y x y x y 01111111111111111即是整数或()()()(),Θ∴==⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩x y x y 0022或中考点拨：例1.分解因式：1222--+=m n mn _____________。

解：1222--+m n mn=--+=--=+--+12111222()()()()m mn n m n m n m n说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：x y x y 22--+=____________ 解：x y x y 22--+=()()x y x y 22---=+---=-+-()()()()()x y x y x y x y x y 1说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3. （2001·北京昌平）分解因式：x x x 323412+--=____________ 解：x x x 323412+--=x x x 324312-+-=-+-=++-x x x x x x ()()()()()22434322说明：分组的目的是能够继续分解。

题型展示：例1. 分解因式：m n mn n 222141()-+-+ 解：m n mn n 222141()-+-+=-+-+=++---=+--=-+++-+m n m mn n m n mn m mn n mn m n mn m n mn m n 222222222241212111()()()()()()说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn 分成2mn 和2mn ，配成完全平方和平方差公式。

例2. 已知：a b c d ac bd 2222110+=+=+=，，且，求ab+cd 的值。

解：ab+cd=ab cd ⨯+⨯11=+++=+++=+++=+++=++ab c d cd a b abc abd cda cdb abc cdb abd cda bc ac bd ad bd ac ac bd bc ad ()()()()()()()()222222222222Θac bd +=∴=00原式说明：首先要充分利用已知条件a b c d 222211+=+=，中的1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结果。

例3. 分解因式：x x 323+-分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。

观察多项式发现当x=1时，它的值为0，这就意味着x x x -+-1233是的一个因式，因此变形的目的是凑x -1这个因式。

解一（拆项）：x x x x x 333233322+-=--+=-++--=-++3112113222()()()()()x x x x x x x x解二（添项）：x x x x x x x x x x x x x 332222232311313+-=-++-=-+-+=-++()()()()()说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？实战模拟： 1. 填空题：（）分解因式：（）分解因式：（）分解因式：13322444311222233a a b b x x xy y y mn mn m n --+=--++=---=()2. 已知：a b c a a c abc b c b ++=+-++03223，求的值。

3. 分解因式：15++a a4. 已知：x y z A x y z x y z x y x z A 2223330--=--=--，是一个关于的一次多项式，且,,()()，试求A 的表达式。

5. 证明：()()()()()a b ab a b ab a b +-+-+-=--22111222【试题答案】1. （1）解：原式=---()()a b a b 223=+---=-+-()()()()()a b a b a b a b a b 33（2）解：原式=-+--()()x xy y x y 224422=---=---()()()()x y x y x y x y 2222222（3）解：原式=-+-12233mn m n m n=-+-=-+()()()()11112222mn m n mn mn m n2. 解：原式=+-++-+()()()a b a ab b c a ab b 2222 ))((22c b a b ab a +++-=Θa b c ++=∴=00原式说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。

3. 解：a a 51++=-+++=-+++=-+++++=++-+a a a a a a a a a a a a a a a a a a 52223222223211111111()()()()()()()4. 解：Θx y z 2220--=∴=-=-∴--=--⋅=-++--=-++-+=--+-+-=--+++=--++y x z z x y x y z x y z z x y x xy y z x y x y x xy y z x y x y x x z y x z x z x y x z x y x z x y x z x y z 222222333332222222222，()()()()()[()]()[()()()]()()()()()()∴=++A x y z 25. 证明：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212=+-++---++-+=+----+++=+++++-+-+a ab a ab b b a b ab ab ab a b a b a b a b ab ab a b a ab b a b ab a b a b ab 22222222222222222222224122222412212222()()()()=+++-++=+-+=-+-()()()()[()()]()a b ab a b ab a b ab a ab b 222212111=--=--()()()()a b a b 11112222。