《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修13.1.2(一)

－0.1
>0.750.1.
研一研•问题探究、课堂更高效
(3)考虑函数 y＝1.01x，∵1.01>1， ∴指数函数 y＝1.01x 在 R 上是增函数． ∵2.7<3.5，∴1.012.7<1.013.5.
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3.1.2（一）
(4)考虑函数 y＝0.99x，∵0<0.99<1， ∴指数函数 y＝0.99x 在 R 上是减函数． ∵3.3<4.5，∴0.993.3>0.994.5.
问题 2
3.1.2（一）
从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至
今大部分还能发芽开花．这些古莲子是多少年以前的遗物呢？ 要测定古生物的年代，可以用放射性碳法：在动植物体内都含 有微量的放射性 14C.动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再
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产生，且原有的 14C 会自动衰变，经过 5 730 年(14C 的半衰期)， 它的残余量只有原始量的一半．若 14C 的原始含量为 1，经过 x 年后的残留量为 y，则 y 与 x 的函数关系是什么？
x
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纳、抽象出 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质？
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问题 1
答
3.1.2（一）
图象分布在哪几个象限？这说明了什么？
图象分布在第一、二象限，说明值域为{y|y>0}．
问题 2
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图象有什么特征？猜想图象的上升、下降与底数
它们的图象都在 x 轴上方，向上无限伸展，向下无限
答
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定义域为 R， 值域为{y|y>0}， 过(0,1)点， 时为增函数， a>1 0<a<1
时为减函数，没有最值，既不是奇函数也不是偶函数．
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3.1.2（一）
小结
指数函数的图象与性质
a>1
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0<a<1
图象
研一研•问题探 y＝ 0.5
x 5 730
＝0.999 879x.
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问题 3 问题 1 和问题 2 有什么共同特征？
3.1.2（一）
答 这两个函数的共同特征为：底数是一个正数，自变量为 指数，即都可以用 y＝ax(a＞0 且 a≠1 来表示)．
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－1.2
<0.5
－1.5
.
(3)由指数函数的性质知 1.50.3>1.50＝1，而 0.81.2<0.80＝1，所以
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3.1.2（一）
小结
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比较两个数的大小时，一般是将其看作一个函数的两
个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、 (2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的 过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来 过渡的值有 0 或± 等，根据实际问题也可能是其它数值． 1
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3.1.2（一）
例 2 已知指数函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)的图象过点(3， 求 f(0)， π)， f(1)，f(－3)的值．
解
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将点(3，π)，代入 f(x)＝ax，得到 f(3)＝π，即 a3＝π，解得：
1 3 x 3
a＝ ，于是 f(x)＝ ，
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探究点一 指数函数的概念
3.1.2（一）
问题 1 某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，4 个分裂成 8 个„„一个细胞分裂 x 次后，得到细胞
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的个数为 y，则 y 与 x 的函数关系是什么？
答 y＝2x .
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3.1.2（一）
3.1.2 指数函数(一)
【学习要求】 1．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数
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函数的图象； 2．初步学会运用指数函数解决问题． 【学法指导】 通过了解指数函数的实际背景，认识数学与现实生活及其他学 科的联系；通过展示函数图象，用数形结合的方法从具体到一 般地探索，概括指数函数的性质.
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(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx； (5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a>1，且 a≠2)．
3.1.2（一）
例 1 在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？
解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.2（一）
y＝ax(a>0，a≠1) 1．指数函数的定义：一般地，函数____________________叫做
本 课 为R . 时 栏 (0,1) 2． 指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象过一定点 __________． 目 开 x 关 3． 指数函数 y＝a (a>0，a≠1)，当 a>1 时，在(－∞，＋∞)上是
跟踪训练 1 指出下列函数哪些是指数函数： (1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝(－4)x； 1 x x (4)y＝x ；(5)y＝(2a－1) a> ，且a≠1. 2
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3.1.2（一）
解
(1)、(5)为指数函数；
(2)自变量在底数上，所以不是； (3)底数－4<0，所以不是； (4)底数 x 不是常数，所以不是．
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跟踪训练 3 比较下列各组数中两个值的大小：
3.1.2（一）
(1)30.8，30.7；(2)0.75－0.1，0.750.1；(3)1.012.7，1.013.5； (4)0.993.3，0.994.5.
解
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(1)考虑函数 y＝3x，∵3>1，
∴指数函数 y＝3x 在 R 上是增函数． ∵0.8>0.7，∴30.8>30.7. (2)考虑函数 y＝0.75x，∵0<0.75<1， ∴指数函数 y＝0.75x 在 R 上是减函数． ∵－0.1<0.1，∴0.75
3.1.2（一）
跟踪训练 2 已知指数函数 y＝(2b－3)ax 经过点(1,2)，求 a，b 的值．
解 由于函数 y＝(2b－3)ax 是指数函数，
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所以 2b－3＝1，即 b＝2.
将点(1,2)代入 y＝ax，得 a＝2.
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3.1.2（一）
探究点二 指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质 1x 导引 分别在同一坐标系内画出 y＝2 与 y＝( ) 的图象及 y＝3x 2 1x 本 与 y＝( ) 的图象，如何通过观察具体的指数函数的图象，归 3 课
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例4 (1)已知 3x≥30.5，求实数 x 的取值范围；
3.1.2（一）
(2)已知 0.2x<25，求实数 x 的取值范围．
解
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(1)因为 3>1，所以指数函数 f(x)＝3x 在 R 上是单调增函数，
由 3x≥30.5，可得 x≥0.5，即 x 的取值范围为[0.5，＋∞)．
聪明的大臣说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格内，赏 给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四 粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍．直到摆满 棋盘上 64 格”， 国王说： “你的要求不高， 会如愿以偿的”． 于 是，下令把一袋麦子拿到宝座前，计算麦粒的工作开始了．还 没到第二十小格，袋子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国 王面前来，但是，麦粒数一格接一格地增长得那样迅速，很快 看出，即使拿出来全印度的粮食，国王也兑现不了他对象棋发 明人许下的诺言．想一想，共需要多少粒麦子？
－1.5
；(3)1.50.3，0.81.2.
解
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(1)考虑指数函数 f(x)＝1.5x.因为 1.5>1，
所以 f(x)＝1.5x 在 R 上是单调增函数． 因为 2.5<3.2，所以 1.52.5<1.53.2.
(2)考虑指数函数 f(x)＝0.5x.因为 0<0.5<1， 所以 f(x)＝0.5x 在 R 上是单调减函数． 因为－1.2>－1.5，所以 0.5 1.50.3>0.81.2.
指数函数 x _________________，其中________是自变量，函数的定义域
增 减 单调______函数； 0<a<1 时， 当 在(－∞， ＋∞)上是单调______
函数.
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3.1.2（一）
[问题情境]
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印度的舍罕国王打算重赏国际象棋的发明人．这位
a 有怎样的关系？对应的函数的单调性如何？
答 接近于 x 轴；当底数大于 1 时图象上升，为增函数；当底 数大于 0 小于 1 时图象下降，为减函数．
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3.1.2（一）
问题 3 图象过哪些特殊的点？这与底数的大小有关系吗？
答 不论底数 a>1 还是 0<a<1，图象都过定点(0,1)． 1 1 问题 4 函数 y＝2x 与 y＝( 2)x 或者 y＝3x 与 y＝( 3)x 图象有什么关系？ 1x 1x x x 可否利用 y＝2 或 y＝3 的图象画出 y＝ 或 y＝ 的图象？ 2 3 1 1 x x x 答 通过图象看出 y＝2 与 y＝2 的图象关于 y 轴对称，y＝3 与 y＝3x