3二倍角的三角函数

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三角函数关系公式大全

三角函数关系公式大全一、同角三角函数的基本关系。

1. 平方关系。

- sin^2α+cos^2α = 1- 1+tan^2α=sec^2α（其中secα=(1)/(cosα)）- 1 + cot^2α=csc^2α（其中cscα=(1)/(sinα)）2. 商数关系。

- tanα=(sinα)/(cosα)- cotα=(cosα)/(sinα)二、诱导公式。

1. 关于α与-α的诱导公式。

- sin(-α)=-sinα- cos(-α)=cosα- tan(-α)=-tanα2. 关于α与π±α的诱导公式。

- sin(π+α)=-sinα- sin(π - α)=sinα- cos(π+α)=-cosα- cos(π-α)=-cosα- tan(π+α)=tanα- tan(π-α)=-tanα3. 关于α与(π)/(2)±α的诱导公式。

- sin((π)/(2)+α)=cosα- sin((π)/(2)-α)=cosα- cos((π)/(2)+α)=-sinα- cos((π)/(2)-α)=sinα- tan((π)/(2)+α)=-cotα- tan((π)/(2)-α)=cotα三、两角和与差的三角函数公式。

1. 两角和的正弦公式。

- sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B2. 两角差的正弦公式。

- sin(A - B)=sin Acos B-cos Asin B3. 两角和的余弦公式。

- cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B4. 两角差的余弦公式。

- cos(A - B)=cos Acos B+sin Asin B5. 两角和的正切公式。

- tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1-tan Atan B)6. 两角差的正切公式。

- tan(A - B)=(tan A-tan B)/(1 + tan Atan B)四、二倍角的三角函数公式。

3.2 二倍角的三角函数

§3.2 二倍角的三角函数【情景切入】二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律．二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，α/2是α/4的二倍,3α是3α/2的二倍，α/3是α/6的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式.因此，要理解“二倍角”的含义，即当α＝2β时，α就是β的二倍角．凡是符合二倍角关系的均可以应用二倍角公式．二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式．从＂母公式＂出发，去理解和记忆＂子公式＂，就能快速形成知识的网络，不断提升自己的分析问题和解决问题的技能．【自主学习】1. 二倍角公式在公式C （α+β）、S （α+β）、T （α+β）中令β=α，就分别得到C 2α、S 2α、T 2α. sin2α=2sin αcos α.cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.tan2α=αα2tan 1tan 2-.2．半角公式sin2α= cos 2α=tan2α= tan 2α= 1cos sin αα- = sin 1cos αα+ .注意：要根据2α角终边所在的象限来讨论确定2α角的正弦、余弦、正切值，并且2α角的终边所在象限一经确定后，2α角的正弦、余弦、正切值都是唯一的.【教材透析】1.公式22,S C αα中, α可以是任意角;但公式2T α只有当2k παπ≠+及()42k k Z ππα≠+∈时才成立,否则不成立.2.倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况,它是相对而言的,还可以运用于将4α作为2α的2倍, 将α作为2α的2倍, 将3α作为32α的2倍等.3.余弦二倍角有三种形式,在应用时,要根据条件,灵活选用公式;另外,此公式的逆用在三角化简、求值和证明中也有非常重要的作用.注意C 2α的变形公式：1+cos2α=2cos 2α cos 2α=21(1+cos2α) （升幂公式）（降幂公式） 1-cos2α=2sin 2α sin 2α=21(1-cos2α) 由二倍角公式可进一步推导出三倍角公式： sin3α=3sin α-4sin 3α， cos3α=4cos 3α-3cos α. 4. 公式tanαααααcos 1sin sin cos 12+=-=,称为半角正切的有理表达式,其中tan 2α与sin α的符号是一致的,因为分母是单项式,所以在化简、证明中应优先考虑使用有理表达式.但如果只知道cos α去求sin α，这时也要开平方，也要选取正、负号，并不比公式tan2α=.应用半角公式时，关键是符号的选取，特别要注意角所在的象限及正切的半角公式的灵活应用.【典例分类剖析】题型1 二倍角公式的逆用例1求的值．思路分析逆用二倍角公式，或构造对偶式列方程求解．解答解法一，∴．解法二原式．解法三令，．则．∵，∴．从而有．点评对于本题，如若简单地从形式上看，为利用二倍角正弦公式而同乘同除式子；或原式后，简单地应用二倍角的余弦公式都将无益于问题的解决，反而会陷入思维的简单循环之中．因此，当我们面对一个较为陌生的问题时，应认真分析问题的特征，积极地进行联想化归，切实做到缜密稳妥地设计解题思路．（1）有些数学问题，可根据其本身特点，相应地构设与其相同“匹配”的另一整体，然后由其“相依而伴”的关系进行求解．如解法三，这种解题方法称为积式配对．（2）角度成等比（公比为2）的同名弦函数的乘积通常可按解法一、二来求解．[变式与拓展] 求值（1）；（2） .解答（1）原式.（2）.例2 求值（1）178cos 174cos 172cos 17cos ππππ⋅⋅⋅；（2）78sin 66sin 42sin 6sin ⋅⋅⋅.思路分析第（1）题各余弦的角中，后一个角依次是前一个角的两倍，联系到正弦的倍角公式，可以考虑用倍角公式求解.第（2）题中三角函数可以用诱导公式化为类似第（1）题的形式.解答（1）178cos174cos 172cos 17cos ππππ⋅⋅⋅=17sin2178cos 174cos 172cos17cos17sin244ππππππ⋅⋅⋅⋅=17sin16178cos 174cos 172cos 172sin23πππππ⋅⋅⋅=17sin16178cos 174cos 174sin22ππππ⋅⋅=17sin16178cos 178sin2πππ⋅=17sin 161716sin ππ=17sin1617sinππ=161. （2） 78sin 66sin 42sin 6sin ⋅⋅⋅=12cos 24cos 48cos 6sin ⋅⋅⋅=6cos 248cos 24cos 12cos 6cos 6sin 244⋅⋅⋅⋅=6cos 1648cos 24cos 12cos 12sin 23⋅⋅⋅=6cos 1648cos 24cos 24sin 22⋅⋅=6cos 1648cos 48sin 2⋅=6cos 1696sin 2=6cos 166cos =161.点评善于抓住问题的特征，根据特征寻找巧妙的解法，是提高解题速度的窍门.本题的特征是：若干个余弦的乘积，且后一个余弦的角均是前一个余弦的角的两倍.一般地，有).(sin 22sin 2cos 8cos 4cos 2cos cos 1N n n n n ∈=⋅⋅⋅-ααααααα .[变式与拓展] 计算 =___________．解答原式.题型2 二倍角公式的变形应用例3 已知，．求的值．思路分析若对结论“切化弦”后再化简不难发现，只需求出和的值即可，注意到，就可以发现求解的途径了．解答 ∵ ，∴ ．又∵ ，∴ ，∴ ，．又∵，∴原式．点评（1）本题也可以由得，再将要求解的三角式化为用表示的形式．（2）本题解法中巧妙地利用了“角的变换” ，使求解过程不致于繁杂．（3）若不注意的范围，就会导致由求出而不知取舍．[变式与拓展] 设，，求的值．解答两已知条件相乘，可得，化简为，∴．例4 化简sin sin cos cos cos cos 22221222αβαβαβ⋅+⋅-⋅. 思路分析对三角函数式化简的目标是：（1）次数尽可能低；（2）角尽可能少；（3）三角函数名称尽可能统一；（4）项数尽可能少.观察欲化简的式子发现：（1）次数为2（有降次的可能）；（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.解答解法一→（复角单角，从“角”入手）原式=⋅+⋅-⋅--sin sin cos cos (cos )(cos )222222122121αβαβαβ222222221sin sin cos cos (4cos cos 2cos 2cos 1)2αβαβαβαβ=⋅+⋅-⋅--+=⋅-⋅++-sin sin cos cos cos cos 22222212αβαβαβ222221sin sin cos sin cos 2αβαββ=⋅++- =+-2sin cos ββ212=-=11212.解法二（从“名”入手，异名化同名）22221sin sin (1sin )cos cos 2cos 22αβαβαβ=⋅+-⋅-⋅原式22221cos sin (cos sin )cos 2cos 22βαββαβ=---⋅221cos sin cos 2cos 2cos 22βαβαβ=-⋅-⋅221cos cos 2(sin cos 2)2ββαα=-⋅+221cos 21cos 2sin (12sin )22ββαα+⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ 1cos 211cos 2222ββ+=-=. 解法三（从“幂”入手，利用降幂公式先降次） 1cos 21cos 21cos 21cos 21cos 2cos 222222αβαβαβ--++=⋅+⋅-⋅原式 1(1cos 2cos 2cos 2cos 2)4αβαβ=+⋅--1(1cos 2cos 2cos 2cos 2)4αβαβ++⋅++1cos 2cos 22αβ-⋅⋅111442=+=.解法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）原式=⋅-⋅+⋅⋅⋅-⋅(sin sin cos cos )sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβ221222 βαβαβα2cos 2cos 212sin 2sin 21)(cos 2⋅-⋅++= 21c o s ()c o s (22)2αβαβ=+-⋅+[]1)(cos 221)(cos 22-+⋅-+=βαβα12=. 点评在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法．[变式与拓展] 化简 =___________．解答原式.例 5 设，，．求证．思路分析条件恒等式的证明，要注意观察条件和结论之间的差异．主要是看角，看函数的名称、次数．对于本题，从角的差异入手，将角变形为，，从已知条件变形入手，可证得结论．解答由，得，整理，得．为，，将上式两边同除以，得．点评证明条件恒等式，一般有两种方法，即推出法与代入法，无论使用哪一种思路都要盯住目标，据果变形．若用推出法，则应盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况（一般要看角、函数名称、次数），采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标．若用代入法，就要盯住作为目标的被证等式的一边，根据它对欲证等式的另一边及条件进行变形，先创造机会，然后代入条件，最终推出目标．[变式与拓展] 求证 .解答左边,右边，由左边＝右边，故等式成立．【分层演练】A.夯实基础1．等腰三角形的一个底角的正弦为53，则这个三角形的顶角的正切是 ( )A ．724-B ．247C ．724D ．724- 解析设底角为α，则顶角为π－2α，∵sin α=53，∴cos α=54(α必为锐角).∴tan α=43，724169123tan -1tan 22tan 2=-==ααα.∴tan(π－2α)= －tan2α=－724,所以选A.答案 A 2. 若cos2θ=135，则θθ44cos sin += ( ) A ．1213 B ．144169C ．25169D ．16997解析 sin 4θ+cos 4θ=(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1-21sin 22θ，∵cos2θ=135 ∴|sin2θ|=1312 ∴16997169144211cos sin 44=⋅-=+θθ，所以选D. 答案 D3．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（）A．B ．12-C ．12D．解析22cos 2cos )π2sin 4αααα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭1cos sin .2αα⇒+= 故选C. 答案 C4．已知sin α:sin 2α=8:5，则cos α的值为( ) A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-解析 sin α=22cos2sinαα, ∴582cos2=α. ∴542cos =α.∴25712516212cos 22cos 2=-⋅=-=αα,故选A. 答案 A5．若71- tan ,31- tan 0,- ,2==<<<<βαβππαπ,则tan(2α+β)= ( ) A ．-1 B ．-2 C ．2 D ．1解析31tan ,2-=<<απαπααα2tan 1tan 22tan -=∴=4398323113122-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛-⨯1)71(4317143tan 2tan 1tan 2tan )2tan(-=-⨯⎪⎭⎫⎝⎛----=-+=+∴βαβαβα，故选A.答案 A6.200sin 1200sin 1--+等于（）A ．2 10sinB ． 10sin 2-C ． 10cos 2D ．10cos 2- 解析 200sin 1+ 200sin 1--= 20sin 1- 20sin 1+-=22)10cos 10(sin )10cos 10(sin +-- = 10cos 10sin - 10cos 10sin +-= 10sin 2)10cos 10(sin 10sin 10cos -=+--,故选B. 答案 BB.能力提升1．函数22()cos 2cos 2x f x x =-的一个单调增区间是( )A ．2(,)33ππB ．(,)62ππC ．(0,)3π D ．(,)66ππ- 解析函数22()cos 2cos 2x f x x =-=2cos cos 1x x --，从复合函数的角度看，原函数看作2()1g t t t =--，cos t x =，对于2()1g t t t =--，当1[1,]2t ∈-时，()g t 为减函数，当1[,1]2t ∈时，()g t 为增函数，当2(,)33x ππ∈时，cos t x =减函数，且11(,)22t ∈-，∴ 原函数此时是单调增，故选A.答案 A2. 已知2)4tan(=+απ，则α2sin 等于（）A ．53B ．53-C ．54D ．54-解析 .31tan ,2tan 1tan 1,2)4tan(==-+=+ααααπ .53)31(1312tan 1tan 2sin cos cos sin 22sin 2222=+⋅=+=+⋅=ααααααα故选A.答案 A3．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ的值是．解析本题只需将已知式两边平方即可.∵1sin cos 5θθ+=, ∴两边平方得：221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即11sin 225θ+=， ∴24sin 225θ=-.cos2θ∴==725-.答案 725-4．若，则=________．解析 ∵, ∴.原式. 答案 cos 2α-5．已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π, (1)求α2tan 的值.（2）求β.解析（1）由1cos ,072παα=<<，得sin α==.∴sin 7tan cos 1ααα==22tan tan 21tan 1ααα===--.（2）由02παβ<<<，得02παβ<-<.又∵()13cos 14αβ-=，∴()sin αβ-==. 由()βααβ=--得()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142=⨯=.所以3πβ=.6. 已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，a (cos 2)α=，b ，且a b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．解析因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=．因为m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a b ··．故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭·．由于π04α<<，所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=-- 22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==-- 1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·.。

二倍角公式三角函数

二倍角公式三角函数二倍角公式是三角函数中的一个重要公式，它可以将一个角的正弦、余弦、正切、余切的值转化为另一个角的正弦、余弦、正切、余切的值。

在数学中，二倍角公式是非常重要的，因为它可以帮助我们简化计算，提高计算效率。

我们来看正弦的二倍角公式。

正弦的二倍角公式是sin2θ=2sinθcosθ。

这个公式告诉我们，如果我们知道一个角的正弦值，那么我们可以通过这个公式计算出这个角的二倍角的正弦值。

例如，如果sinθ=0.5，那么sin2θ=2sinθcosθ=2×0.5×√(1-0.5²)=√3/2。

接下来，我们来看余弦的二倍角公式。

余弦的二倍角公式是cos2θ=cos²θ-sin²θ。

这个公式告诉我们，如果我们知道一个角的余弦值和正弦值，那么我们可以通过这个公式计算出这个角的二倍角的余弦值。

例如，如果cosθ=0.5，sinθ=√3/2，那么cos2θ=cos²θ-sin²θ=0.5²-（√3/2）²=-0.5。

接下来，我们来看正切的二倍角公式。

正切的二倍角公式是tan2θ=2tanθ/（1-tan²θ）。

这个公式告诉我们，如果我们知道一个角的正切值，那么我们可以通过这个公式计算出这个角的二倍角的正切值。

例如，如果tanθ=1，那么tan2θ=2tanθ/（1-tan²θ）=2×1/（1-1²）=无穷大。

我们来看余切的二倍角公式。

余切的二倍角公式是cot2θ=(cot²θ-1)/2cotθ。

这个公式告诉我们，如果我们知道一个角的余切值，那么我们可以通过这个公式计算出这个角的二倍角的余切值。

例如，如果cotθ=2，那么cot2θ=(cot²θ-1)/2cotθ=(2²-1)/2×2=1.5。

二倍角公式是三角函数中的一个重要公式，它可以帮助我们简化计算，提高计算效率。

三角函数二倍角公式

三角函数二倍角公式倍角公式，是三角函数中非常实用的一类公式。

就是把二倍角的三角函数用本角的三角函数表示出来。

在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

三角函数二倍角公式三角函数正弦二倍角公式sin2α=2cosαsinα推导：sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA拓展公式：sin2A=2sinAcosA=2tanAcosA^2=2tanA/[1+tanA^2] 1+sin 2A =(sinA+cosA)^2三角函数余弦二倍角公式余弦二倍角公式有三组表示形式，三组形式等价：1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]2.Cos2a=1-2Sina^23.Cos2a=2Cosa^2-1推导：cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA)^2=2(cosA) ^2-1 =1-2(sinA)^2三角函数正切二倍角公式tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]推导：tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-(tanA)^2]降幂公式：cosA^2=[1+cos2A]/2sinA^2=[1-cos2A]/2三角函数和差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ）。

3.3二倍角的三角函数(1)

探究：当＝时
归纳：
二倍角公式：
sin 2 2 sin cos
S 2
2
cos 2 cos sin
2
C 2
2 tan tan 2 2 1 tan
k k Z ,且 k ， 2 2 4
T2
二倍角公式
sin 2 2 sin cos
复习回顾
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan
（2） 8 cos
tan

2 2 _______

32
cos
cos sin 16 8 32
2

（3）若
x 2 sin 1 8 2 f _______ f x 2 tan x ，则 x x 12 sin cos 2 2
3.若
x 1 2 sin cos x 2 f ( x ) 2 tan x 2 2 tan x 2 x x sin x 2 sin cos 2 2
cos2 cos2 sin 2 2 1 2sin 2 2cos 1
sin 4 2sin 2 cos２
sin ２sin cos 2 2 sin

２sin cos 2 4 4

三角函数的二倍角与三倍角关系式的推导

三角函数的二倍角与三倍角关系式的推导在三角学中，二倍角和三倍角是一些重要的概念，它们可以用来简化三角函数的计算和变换。

本文将根据三角函数的定义，推导出二倍角和三倍角的关系式。

一、二倍角的定义首先，我们需要了解二倍角的定义。

对于任意角θ，它的二倍角定义为2θ。

根据三角函数的定义，正弦、余弦和正切的二倍角关系式可以表示如下：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos^2θ - sin^2θtan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)其中，sin^2θ表示sinθ的平方，cos^2θ表示cosθ的平方，tan^2θ表示tanθ的平方。

二、二倍角关系式的推导接下来，我们将推导二倍角关系式的公式。

1. 推导sin(2θ) = 2sinθcosθ：首先，由三角函数的定义可知：sin(2θ) = sin(θ + θ)利用和差化积公式，我们可以将上式展开：sin(2θ) = sinθcosθ + cosθsinθ由于sinθcosθ和cosθsinθ相等，我们可以简化上式：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 推导cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ：同样地，由三角函数的定义可知：cos(2θ) = cos(θ + θ)利用和差化积公式，我们可以将上式展开：cos(2θ) = cosθcosθ - sinθsinθ= cos^2θ - sin^2θ3. 推导tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)：同样地，由三角函数的定义可知：tan(2θ) = tan(θ + θ)利用和差化积公式，我们可以将上式展开：tan(2θ) = (tanθ + tanθ) / (1 - tanθtanθ)= 2tanθ / (1 - tan^2θ)这样，我们就得到了二倍角关系式的公式。

三、三倍角的定义与关系式在了解二倍角后，我们继续推导三倍角的关系式。

首先，我们定义三倍角为3θ。

二倍角公式及其变形公式

2sin240°
10° ＝
2sin 40°＝ 2sin 40°
2.故填
2.
(2)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝24sin
6°cos
6°cos 12°cos 24cos 6°
24°cos
48°
＝23sin
12°cos 12°cos 24°cos 16cos 6°
48°
＝22sin
栏目导引
第三章三角恒等变形
(2)因为 sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α，则已知条件可化为 sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，即12sin2π4＋α＝16，所以 sinπ2＋2α＝13，所以 cos 2α＝13.因为 α∈π2，π，所以 2α∈(π，2π)，
从而 sin 2α＝－ 1－cos22α＝－232，所以 tan 2α＝csions 22αα＝－2 2，
栏目导引
第三章三角恒等变形
3.如图，在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ，由 B 点到 E 点的方向前进 30 m 至点 C 处，测得顶端 A 的仰角为 2θ，再沿刚才的方向继续前进 10 3 m 到 D 点，测得顶点 A 的仰角为 4θ，求 θ 的大小和建筑物 AE 的高．
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35.
答案：35
栏目导引
第三章三角恒等变形
1．对倍角公式的三点说明 (1)前提：所含各三角函数有意义． (2)联系：公式 S2α，C2α，T2α 是在公式 Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β 中，分别令 β＝α 时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例． (3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍．这就是说， “倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．

高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数第1课时二倍角的三角函数课件苏教版必修

解析答案
π 5π (2)sin12sin 12 ；
π π 2sin12cos12 π 5π π π 解 sin 12sin 12＝sin 12cos 12＝ 2 π sin 6 1 ＝ 2 ＝4.
解析答案
1 3 (3)sin 50° ＋cos 50° .
解
1 3 ＋ 2 sin 50° cos 50° ＋ 3sin 50° 22cos 50° 原式＝ sin 50° ＝ cos 50° 1 × 2sin 50° cos 50° 2
π 2π (1)cos 5cos 5 ；
解 π π 2π 2sin 5cos5cos 5 π 2π cos5cos 5 ＝ π 2sin 5
2π 2π 2π 2π 4π sin 5 cos 5 2sin 5 cos 5 sin 5 1 ＝＝ π ＝ π π ＝4. 2sin 5 4sin 5 4sin5
解析答案
类型三化简问题
例3 1＋sin 4α－cos 4α 化简： . 1＋sin 4α＋cos 4α
1－cos 4α＋sin 4α 解原式＝ 1＋cos 4α＋sin 4α
2sin22α＋2sin 2αcos 2α ＝ 2cos22α＋2sin 2αcos 2α 2sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝＝tan 2α. 2cos 2αcos 2α＋sin 2α
解析 f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x
＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；
当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.
解析答案
1
2
3
4
5
解

二倍角的三角函数

复习旧知识
• 两角和与差的正弦
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
•两角和与差的余弦
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
例题讲解
例2 求函数y＝cos2x＋cosxsinx的值域．
课堂训练 1．已知sin22＋sin2· cos－cos2＝1，
∈(0， )，求sin，tan． 2
解：因为sin22＋sin2· cos－cos2＝1，所以4sin2· cos2＋2sincos2＝2cos2．所以cos2(2sin2＋sin－1)＝0．所以cos2(sin＋1)(2sin－1)＝0．因为∈(0， )，所以cos2＞0，sin＋1＞0．
2 2 3
5 ， 9

5－ 1 ，则 2
sin2(－

2
2
4
)＝_______．
2－ 5
3 ＜＜2，化简： 2．已知 2 3 ＜ 2
1 1 ＋ 2 2
以
1． 1 ＋ cos 2 2 2
＜．
解：因为
＜2，所
所以
3 ＜ 4 2
1 1 ＋ 2 2
1 1 ＋ cos 2 2 2
2 tan tan 2 1 tan 2
二倍角公式
sin 2 2 sin cos (S2 )
cos2 cos sin (C2 )
2 2
2 tan tan 2 1 tan 2
cos2 1 2 sin
2
(T2 )
公式左端的角是右端角的二倍

第三章 §3 第一课时二倍角的三角函数

解：(1)∵sin 38π＝sinπ2－π8＝cos π8，
∴sin
π 8sin
38π＝sin
π 8cos
π8＝12·2sin
π8cosπ8＝12sin 4π＝
2 4.
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝ 23.
∴cos 2x＝13. ∵x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)．
∴sin
2x＝－2 3
2 .
∴sin
4x＝2sin
2xcos
2x＝－4
9
2 .
∴cos 4x＝2cos22x－1＝2×19－1＝－79.
∴tan
4x＝csions
44xx＝4 7
2 .
法二：(变结构求值)
由 sinπ4＋xsinπ4－x＝16，
＝sin 22.5°·(－cos 22.5°)
＝－12sin
45°＝－
2 4.
答案：－
2 4
考点一给角求值
[典例] 求下列各式的值： (1)sin1π2cos1π2；(2)1－2sin2750°； (3)1－2tatann125105°0°；(4)sin110°－cos 310°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.
(2)
原
式
＝
1＋tan θ－1－tan θ 1－tan θ1＋tan θ
＝
tan θ＋tan θ 1－tan2θ
＝
1－2tatannθ2θ＝tan 2θ.
[类题通法] 三角函数式化简的四个方向
三角函数式的化简有四个方向，即分别从 “ 角 ”“ 函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．

第三章 3.3二倍角的三角函数

3.3 二倍角的三角函数(一)知识点1 二倍角公式 1． sin 2α＝2sin_αcos_α.2． cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. 3． tan 2α＝2tan α1－tan 2α.知识点2 二倍角公式的变形 1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos 2α－sin 2α＝cos_2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2，降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.题型一化简求值【例1】求下列各式的值． (1)sin π12cos π12； (2)1－2sin 2750°； (3)2tan150°1－tan 2150°； (4)1sin 10°－3cos 10°.【训练1】求下列各式的值． (1)cos 72°cos 36°；(2)1sin 50°＋3cos 50°.【例2】 (1)已知sin 2α＝－2425，α∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，则sin α＋cos α＝( )A.15 B ．－15 C ．－75D.75(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( ) A.1925 B.1625 C.1425 D.725【迁移1】若(1)中α∈⎝⎛⎭⎫－π2，－π4，求sin α＋cos α的值．【迁移2】在(1)中的条件下求tan α的值．题型三三角函数式的化简或证明【例3】化简：(1)cos 10°1＋3tan 10°cos 70°1＋cos 40°；(2)2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.【训练2】化简下列各式：(1)2sin 2α1＋cos 2α×cos 2αcos 2α； (2)1－cos 20°cos 80°1－cos 20°； (3)11－tan θ－11＋tan θ.课堂达标1．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12 B ．－32 C.12D.322．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C.29D.793．若tan α＝2，则tan 2α＝________. 4．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，则sin 2x ＝________.5．求值：sin 50°1＋3tan 10°－cos 20°cos 80°1－cos 20°.基础过关1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．12．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x 等于( ) A.724 B ．－724 C.247D ．－2473．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.16B.13C.12D.234．2sin 222.5°－1＝________.5．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝________.6．已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin 2α的值．7．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos 2α－π4sin α＋π2的值．能力提升8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( ) A.459 B.259 C ．－459D ．－2599．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝⎛⎭⎫π12的值为( ) A ．4 3 B.833 C ．4D ．810．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.11．函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______． 12．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.13．(选做题)设函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1(ω＞0)，且以2π为最小正周期．(1)求f (x )的解析式，并求当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3时，f (x )的取值范围； (2)若f⎝⎛⎭⎫x －π6＝65，求cos x 的值．。

三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式

三角公式总结正弦定理余弦定理诱导公式二倍角公式半角公式积化和差公式和差化积公式三角公式是解决三角形问题的基本工具，包括正弦定理、余弦定理、诱导公式、二倍角公式、半角公式、积化和差公式和和差化积公式等。

下面我们详细介绍这些公式。

1. 正弦定理（Sine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C满足如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC这个公式可以用于求解已知三角形任意两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。

2. 余弦定理（Cosine Rule）：在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与其对应的角A、B、C满足如下关系：a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cosAb^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cosBc^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC这个公式可以用于求解已知三角形两边及其夹角，求解三角形内外角和的问题。

3. 诱导公式（Tangent Addition Formula）：对于角A和角B，有如下关系：tan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA*tanB)tan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA*tanB)这个公式可以用于求解角的和与差的正切值。

4. 二倍角公式（Double Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(2A) = 2*sinA*cosAcos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2*tanA / (1 - tan^2(A))这个公式可以用于求解角的两倍角的正弦、余弦和正切值。

5. 半角公式（Half Angle Formula）：对于角A，有如下关系：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这个公式可以用于求解角的半角的正弦、余弦和正切值。

三角函数的二倍角公式与半角公式

三角函数的二倍角公式与半角公式在数学中，三角函数是研究角度的函数，有很多重要的性质和公式。

其中，二倍角公式和半角公式是三角函数中非常重要且常用的公式。

它们可以用来简化计算，解决问题，以及推导其他数学关系。

本文将详细介绍三角函数的二倍角公式与半角公式，并探讨其应用。

一、二倍角公式二倍角公式是指将角度加倍后的三角函数与原始角度的三角函数之间的关系。

在三角函数中，正弦函数、余弦函数和正切函数都有对应的二倍角公式。

1. 正弦函数的二倍角公式对于任意角θ，其正弦函数的二倍角公式可以表示为：sin(2θ)= 2sinθcosθ这个公式表明，一个角度的正弦函数的两倍等于这个角度的正弦函数与其余弦函数的乘积。

通过这个公式，我们可以简化计算，快速求得任意角度的正弦函数值。

2. 余弦函数的二倍角公式对于任意角θ，其余弦函数的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表明，一个角度的余弦函数的两倍等于该角度的余弦函数的平方减去该角度的正弦函数的平方。

同样地，这个公式也可以帮助我们简化计算，快速求得任意角度的余弦函数值。

3. 正切函数的二倍角公式对于任意角θ，其正切函数的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)这个公式表明，一个角度的正切函数的两倍等于该角度的正切函数的二倍除以1减去该角度的正切函数的平方。

同样地，这个公式也可以帮助我们简化计算，快速求得任意角度的正切函数值。

二、半角公式半角公式是指将角度减半后的三角函数与原始角度的三角函数之间的关系。

与二倍角公式相似，正弦函数、余弦函数和正切函数也有对应的半角公式。

1. 正弦函数的半角公式对于任意角θ，其正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]这个公式表明，一个角度的正弦函数的一半等于该角度的余弦函数的差值减去1除以2的平方根。

高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数(2)课件2北师大版必修4

第四页，共50页。
3.计算tan22.5°=________. 【解析(jiě xī)】tan22.5°= 答案: -1
第五页，共50页。
4.若
=________.
【解析】因为(yīn wèi)
所以
答案:
第六页，共50页。
5.化简:
=________.
【解析(jiě xī)】原式=
答案:
第七页，共50页。
答案:-cos 2
第二十四页，共50页。
2.(变换条件(tiáojiàn))典例1中若将条件(t3iáojiàn)“ <θ<2π”改为“π<θ< ” 3
结果如何?
2
2
第二十五页，共50页。
【解析( jiě xī)】原式= 因为故又故原式= 答案:2cos
2
第二十六页，共50页。
【方法技巧(jìqiǎo)】利用半角(倍角)公式化简三角函数的要求及方法 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求: ①能求出值的应求出值.②使三角函数种数尽量少.③使三角函数式中的项数尽量少.④尽量使分母不含有三角函数.⑤尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法: ①弦切互化,异名化同名,异角化同角.②降幂或升幂.
【延伸探究】典例2中f(x)在区间上的最大值和最小值是什么?
【解析】因为(yīn wèi)
所以
所以f(x)在区间
上的最大值为2,最小值为-1.
[0, ] 2
第三十七页，共50页。
【方法技巧】较复杂三角函数性质(xìngzhì)问题研究流程
第三十八页，共50页。
【变式训练】函数y=-acos2x- as3in2x+2a+b,x∈ 值域是[-5,1],求常数(chángshù)a,b的值. 【解析】y=-a( s3in2x+cos2x)+2a+b

4.3二倍角的三角函数公式(教学课件)-高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

2tan

sin
（3）注意多种方法的应用；（4）由式子结构，可运用 2＝1−tan2和tan 2 ＝1+cos 求解.
高中数学
必修第二册
北师大版
1−2cos2
解：（1）原式＝
2

8
−cos
＝
2

4
2
＝- 4 .
（2）原式＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝- 3.
π
< 4 + < 2π.
3
π
π
4
π
4
∵cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝ − 1 − cos 2 ( 4 + )＝-5，∴tan( 4 + )＝-3.
π
π
π
9
7
又-cos( 2 + 2)＝-cos2( 4 + )＝-[2cos 2 ( 4 + ) − 1]＝1-2 × 25＝25.
π
3
7π
5π
，∴
4
3
π
π
π
< 4 + < 2π，∴sin( 4 + ) < 0.
4
又cos( 4 + )＝5，∴sin( 4 + )＝− 5.
π
π
π
π
sin 2+2sin2 2sin cos +2sin2 2sin cos (cos +sin ) sin 2· 2(sin 4 cos +cos 4 sin ) −cos( 2 +2)sin( 4 +)
9
4