[理学]高数课件数列的极限

1 1 任给 0, 要 x n 1 , 只要 , 或n , n 1 所以, 取N [ ], 则当n N时, n ( 1) n1 n ( 1) n 1 就有 1 , 即 lim 1. n n n
例2. 已知
证明
1 1 证: xn 0 2 (n 1) n 1 1 1 只要 (0 ,1) , 欲使 , 即 n 1. n 1 1 取 N [ 1] , 则当 n N 时, 就有 xn 0 ,
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
（2）截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭” 1 第一天截下的杖长为X 1 ; 2 1 1 第二天截下的杖长总和 为 X2 2 ; 2 2


1 1 1 第n天截下的杖长总和为X n 2 n ; 2 2 2 1 Xn 1 n 1 2
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
三、小结 习题
一、数列极限的定义
1 概念的引入
（1）割圆术 “割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣” ——刘徽
播放
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2


R
正 6 2 n 1 形的面积 An
(1) n 1 0 故 lim xn lim x 0 也可由 2 n n n ( n 1) ( n 1) 2 说明: N 与 有关, 但不唯一. 取 N 1 1 不一定取最小的 N . 1] 故也可取 N [
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4 设xn C (C为常数), 证明 lim xn C .
n
证 任给 0 , 对于一切自然数n ,
xn C C C 0 成立,
所以 lim xn C .
n
说明 常数列的极限等于同一常数. 小结 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定 0,寻找N,但不必要求最小的N.
二、收敛数列的性质
1 唯一性
定理1 每个收敛的数列只有一个极限. xn a, 又 lim xn b, 由定义, 证法一: 设 lim n n
0, N 1 , N 2 .使得 当n N 1时恒有 xn a ;
x3
x1
x 2 x4
xn
2 数列是整标函数 x n f ( n).
3 数列的极限
( 1) 观察数列{1 n
n 1
} 当 n 时的变化趋势.
播放
问题 当 n 无限增大时, x n是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
( 1)n1 当 n 无限增大时, xn 1 无限接近于1. n

例3. 设 q 1 , 证明等比数列 的极限为 0 . 证:
xn 0
欲使 只要 即
ln . 亦即 n 1 ln q ln 因此 , 取 N 1 , 则当 n > N 时, 就有 ln q
q n1 0
故
n
lim q n1 0
问题 “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它.
xn 1 ( 1)
n 1
1 1 n n
1 1 1 1 给定 , 由 , 只要 n 100时, 有 x n 1 , 100 n 100 100 1 1 给定 , 只要 n 1000时, 有 x n 1 , 1000 1000 1 1 给定 , 只要 n 10000 , 时, 有 x n 1 10000 10000 1 给定 0, 只要 n N ( [ ])时, 有 x n 1 成立.
定义
设 { x n } 为一数列 ，对 于任意给定的正数
( 不论它多么小 ), 总存在正数 N , 使得当 n N 时 , 不等式 x n a 都成立 , 那末就称常数a 是
数列 x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim x n a ,
n
或 x n a ( n ).n来自{2 n } 1 { n} 2
1,1,1, , ( 1) n 1 ,;
{(1) n 1 }
n ( 1) { n
n 1
1 4 n ( 1) n 1 2, , , , ,; 2 3 n
}
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
注意 1 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 ,, xn ,.
2
数列的定义
(1)
定义 按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x 2 , , x n ,
称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列
{ xn } . 的项, x n 称为通项(一般项).数列(1)记为
例如
2,4,8,,2 ,; 1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
几何解释
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
注意 数列极限的定义未给出求极限的方法.
n ( 1) n 1 1. 例1 证明 lim n n n ( 1) n 1 1 1 证 xn 1 n n
如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意 1 不等式 xn a 刻划了xn与a的无限接近;
2 N与任意给定的正数 有关.
xn a N定义 lim n 0, N 0, 使n N时, 恒有 x n a .
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的