2020年高考数学一轮复习专题二三角函数与平面向量课件理

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高考数学二轮复习专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质理-

专题二三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值．解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。

高考数学大一轮专题复习专题二三角函数与平面向量配套课件文

则cos∠MNP＝|NN→→MM|··N|→N→PP|＝
Hale Waihona Puke －6 5×25＝－35.
由∠MNP∈[0，π]，得sin∠MNP＝ 1－cos2∠MNP＝45.
2 值；最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x＋ π 的范围，把ωx＋φ看作一个整
6 体，再求得fx的值域.
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R图象的一部分如图2-1.
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题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合例2：(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R 其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M23π，－2. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈1π2，π2时，求f(x)的值域．
对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值．这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意：①三角函数与而放松对整章知识系统而全面地复习．平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
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题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1：(2012年广东)已知函数f(x)＝Acos4x＋π6

高考数学一轮总复习专题2 三角函数与平面向量课件理

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[解析]
(1)函数f(x)＝sin2x＋
3sin
xcos
x＝1－c2os
2x＋
3 2 sin
2x＝sin2x－π6＋12，
f(x)的最小正周期为T＝22π＝π.
(2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，
可得2x－π6∈－56π，2m－π6，
即有2m－π6≥π2，解得m≥π3，
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【例3】 (2018·湖南期末)已知a＝(5 3cos x，cos x)，b＝(sin x,2cos x)，设函数f(x) ＝a·b＋|b|2＋32. (1)求函数f(x)的最小正周期和对称中心； (2)当x∈π6，π2时，求函数f(x)的值域； (3)该函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？
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解析：(1)由题设知f(x)＝121＋cos2x＋π6. 因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以2x0＋π6＝kπ，k∈Z. 即2x0＝kπ－π6，k∈Z.
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所以g(x0)＝1＋12sin 2x0＝1＋12sinkπ－π6，k∈Z. 当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin－π6＝1－14＝34，当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝54.
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(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝121＋cos2x＋π6＋1＋12sin 2x＝12cos2x＋π6＋sin 2x＋32
＝12
3 2 cos
2x＋12sin

2020高考数学(文科)专题复习课标通用版(课件)：专题2 三角函数、解三角形和平面向量专题2 第1讲

)
函的象其换
数图及变
直观想象数学运算
2018·江苏卷，7 2017·全国卷Ⅰ，9 2016·全国卷Ⅰ，6 2016·全国卷Ⅱ，3
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线 C2 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移1π2个单位长
则 g(x)的最小正周期 T＝22π＝π，故 A 项错误；gπ6＝ cos2×6π＝cos π3＝12，故 B 项错误；g3π＝cos2×π3＝cos 23π＝－12≠±1，即 x＝π3不是 g(x)图象的一条对称轴，故 C 项错误；g(－x)＝cos(－2x)＝cos 2x＝g(x)，即 g(x)是偶函数，故 D 项正确．故选 D 项．
表所示.
x＋π6 －56π －π2
0
π 2
π
7π 6
x
－π
－23π
－π6
π 3
5π 6
π
y －1 －2 0 2 0 －1
所以函数 f(x) 在区间 x∈[ － π ， π] 上的图象如图所示．
题型二三角函数的性质
1．在三角函数性质有关问题中主要是整体思想的应用，在求解y＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、单调性、对称性及已知区间上的最值问题时，往往将 ωx ＋ φ 看作整体，利用y＝Asin x的图象与性质进行求解．
(1)试求 ω 的值； (2)先列表，再作出函数 f(x)在区间 x∈[－π，π]上的图象．
解析 (1)因为点－6π，0是函数 f(x)图象的一个对称中心，所以－ω3π＋π6＝kπ，k∈Z，所以 ω＝－3k＋12.

高考数学一轮复习专题二三角函数与平面向量配套课件理

专题二三角函数与平面向量
题型 1 三角函数的图象与性质
注意对基本三角函数 y＝sin x，y＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再利用整体代换的方法求解.
【规律方法】(1)本题考查向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题.
(2)高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，其中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是 “变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.
55ac ac
＝－
5 5.
(2)由(1)，可得 sin A＝2 5 5，代入 asin A＝4bsin B，得 sin B
＝as4inb A＝
5 5.
由(1)知，A 为钝角，所以 cos B＝
1－sin2B＝2
5
5 .
于是 sin 2B＝2sin Bcos B＝45，
cos 2B＝1－2sin2B＝35.
(2)∵0≤x≤23π，∴π3≤x＋π3≤π.
当 x＋π3＝π，即 x＝23π时，f(x)取得最小值.
∴f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
【规律方法】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题.解题时要注意重要条件“0，23π”，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象，即 sin2x＝－12cos 2x ＋12，asin x＋bcos x ＝ a2＋b2sin(x＋φ)，函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的最小正周期是 Τ＝2ωπ.

2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)

人教A版数学（理科）一轮
2020版高考全册精品 PPT课件
第1章集合与常用逻辑用语第一节集合第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示第二节函数的单调性与最值第三节函数的奇偶性与周期性第四节二次函数与幂函数第五节指数与指数函数第六节对数与对数函数第七节函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教材改编 ) 若集合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第二节两条直线的位置关系第三节圆的方程第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第五节椭圆
第1课时椭圆的定义、标准方程及其性质第2课时直线与椭圆的位置关系
第六节双曲线第七节抛物线第八节曲线与方程第九节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章算法初步、统计与统计案例第一节算法与程序框图第二节随机抽样第三节用样本估计总体第四节变量间的相关关系与统计案例

版高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量课件理.pptx

2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
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3.平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|A→B|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
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4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点
－29a2－29b2＋59a·b＝－29(a2＋b2)＋59×4＝－1.
可得 a2＋b2＝229.又B→E＝B→A＋A→E＝－a＋16a＋16b＝－56a＋16b，
C→E＝C→A＋A→E＝－b＋16a＋16b＝16a－56b，
则B→E·C→E＝－56a＋16b·16a－56b
＝－356(a2＋b2)＋2366a·b＝－356×229＋2366×4＝78.
答案
7 8
9
4.(2017·江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)， x∈[0，π]. (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f (x)＝a·b，求 f (x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－ 3cos x， ∴3sin x＋ 3cos x＝0，即 sinx＋π6 ＝0. ∵0≤x≤π，∴π6 ≤x＋π6 ≤76π，∴x＋π6 ＝π，∴x＝5π6 .
2
真题感悟 1.(2015·江苏卷)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋

高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件

简等.
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跟踪演练 1 (1)在平面直角坐标系中，若角则 sin(π＋α)＝__－___12___.
α
的终边经过点
Psin
53π，cos
53π，
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第九页，共四十七页。
解析答案(dá
(2)已知 sin(3π＋α)＝2sin32π＋α，则5sisnin2ππ－＋αα－＋42scionsπ22＋π－α α＝__－__16____.
1.(2018·全国(quán ɡuó)Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是__－__3__2.3
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1234567 第三十三页，共四十七页。
解析答案(dá
2.(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y＝sin 2x的图象(túxiànɡ)与y＝cos x的图象的交点个数是___7_.
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解析( jiě 答案(dá
思维升华
(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用(cǎiyòng)待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象
解析在区间[0,3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点.
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1 23 456 7 第三十六页，共四十七页。
解析答案(dá
3.(2018·江苏)已知函数则 φ 的值为__－__π6____.
y＝sin(2x＋φ)－π2<φ<π2的图象关于直线

高三数学三角函数和平面向量复习(理科) 课件(共40张PPT) (共40张PPT)

学生的状况： 1、复习前：三角和向量内容面熟但不扎实； 2、复习中：进步快，但会有单调、乏味感，容易产生僵化、模式化的思考和解题过程； 3、复习后：鲜有主动回味的动力和愿望。
把我们好的做法发扬光大：学生考出的超高分数说明：老师们经验丰富，对内容把握准确训练到位。所以从第一轮复习开始仍然不遗余力地坚持落实基础，提高标准，是第一要务。抓基础、促能力是一个永恒的问题，也是高考中常考常新之所在。

小正周期为____．
Hale Waihona Puke 2017 年第 12 题（9）在平面直角坐标系 xoy 中，角与角均以ox 为始边，它们的终边关于 y轴对称.若
1 sin ，则 cos( ) =_______． 3
2011（7）设不等式组
x y 11 0 3 x y 3 0 5 x 3 y 9 0
6. 设 m, ,n 为非零向量，则“存在负数，使得 m n ”是“ m n 0”的__条件 0.73/0.80 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，角α与角β均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y
1 轴对称.若sin 3，cos( ) =___.
0.75/0.83
表示的平面区
x
域为 D ，若指数函数 y a 的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是
2017 年理科第 6 题（6）设 m, n 为非零向量，则“存在负数，使得 m=λn” 是 “m · n<0” 的____条件 2015 年文科（6）设 a ，b 是非零向量， “ a b | a || b |”是“ a // b”的__条件
文科（12）已知点 P 在圆 x y 1 上，点 A 的坐标为(-2,0)， O 为原点，则 AO AP 的最大值为_________． 0.55/0.67

2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：第1讲平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度．考点一平面向量的线性运算核心提炼1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( )A ．－12B.12 C ．－14D.14答案 A解析由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →＋CA →＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC →，则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12.(2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n＝________. 答案－2解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2.(3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB →(0<k <1)，又A ，D ，B 三点共线，所以kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝1k>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．易错提醒在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化．跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ，交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB →(λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 12解析由题意可设CG →＝xCE →(0<x <1)，则CG →＝x (CB →＋BE →)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →＋12CD →＝x 2CD →＋xCB →.因为CG →＝λCD →＋μCB →，CD →与CB →不共线，所以λ＝x 2，μ＝x ，所以λμ＝12.(2)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋3y的取值范围是________．答案 [1,3]解析设扇形的半径为1，以OB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，则B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ，0≤θ≤π3.则OC →＝(cos θ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＝cos θ，32x ＝sin θ，解得x ＝23sin θ3，y ＝cos θ－3sin θ3，故x ＋3y ＝23sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，0≤θ≤π3. 令g (θ)＝3cos θ－33sin θ，易知g (θ)＝3cos θ－33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递减，故当θ＝0时，g (θ)取得最大值为3，当θ＝π3时，g (θ)取得最小值为1，故x ＋3y 的取值范围为[1,3]．考点二平面向量的数量积核心提炼1．若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. 2．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( )A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b|a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2，圆心角为2π3，点C 是弧AB 的中点，OD →＝－12OB →，则CD →·AB →的值为( )A ．3B ．4C ．－3D ．－4 答案 C解析如图，连接CO ，∵点C 是弧AB 的中点， ∴CO ⊥AB ，又∵OA ＝OB ＝2，OD →＝－12OB →，∠AOB ＝2π3，∴CD →·AB →＝(OD →－OC →)·AB →＝－12OB →·AB →＝－12OB →·(OB →－OA →)＝12OA →·OB →－12OB →2＝12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12×4＝－3. (3)已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22 解析以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，D (0,2)，设AM →＝λAC →(0≤λ≤1)，则M (λ，2λ)，故MD →＝(－λ，2－2λ)，MB →＝(2－λ，－2λ)，则MB →＋MD →＝(2－2λ，2－4λ)， ∴|MB →＋MD →|＝2－2λ2＋2－4λ2＝20⎝⎛⎭⎪⎫λ－352＋45，0≤λ≤1，当λ＝0时，|MB →＋MD →|取得最大值为22，当λ＝35时，|MB →＋MD →|取得最小值为255，∴|MB →＋MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255，22.易错提醒两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线．跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析方法一设a 与b 的夹角为θ，因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝0，又因为|a |＝2|b |，所以2|b |2cos θ－|b |2＝0，即cos θ＝12，又θ∈[0，π]，所以θ＝π3，故选B. 方法二如图，令OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝OA →－OB →＝a －b .因为(a －b )⊥b ，所以∠OBA ＝π2，又|a |＝2|b |，所以∠AOB ＝π3，即a 与b 的夹角为π3，故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6)答案 A解析如图，取A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，F (－1，3)．设P (x ，y )，则AP →＝(x ，y )，AB →＝(2,0)，且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ，y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．(3)设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析如图，作出OD →，使得OA →＋OB →＝OD →.则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB →＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC →，由图可知，当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时，OD →·OC →取得最小值，最小值为－2，此时(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值，最大值为1＋ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE →等于( )A ．－12AB →＋AD →B.12AB →－AD →C.AB →＋12AD →D.AB →－12AD →答案 A解析由题意可知，BE →＝BC →＋CE →＝－12AB →＋AD →.2．(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分，某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为π3，每只胳膊的拉力大小均为400 N ，则该学生的体重(单位：kg)约为(参考数据：取重力加速度大小为g ＝10 m/s 2，3≈1.732)( )A ．63B ．69C ．75D ．81 答案 B解析设该学生的体重为m ，重力为G ，两臂的合力为F ′，则|G |＝|F ′|，由余弦定理得|F ′|2＝4002＋4002－2×400×400×cos 2π3＝3×4002，∴|F ′|＝4003，∴|G |＝mg ＝4003，m ＝403≈69kg.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( ) A ．－2B ．－1C ．－12D.12答案 A解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4,2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，故选A.4．(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－2，1)B ．(－1，2)C ．(－3，1)D ．(－1，3) 答案 D解析由P (3，1)，得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6，2sin π6，∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝－sin π6＝－12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2＝cos π6＝32，∴Q (－1，3)．5．(2020·泰安模拟)如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析如图，连接AO ，由O 为BC 的中点可得，AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →， ∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1. ∴m ＋n ＝2.6．在同一平面中，AD →＝DC →，BE →＝2ED →.若AE →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，则m ＋n 等于( ) A.23B.34C.56D ．1 答案 A解析由题意得，AD →＝12AC →，DE →＝13DB →，故AE →＝AD →＋DE →＝12AC →＋13DB →＝12AC →＋13(AB →－AD →)＝12AC →＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－12AC →＝13AB →＋13AC →，所以m ＝13，n ＝13，故m ＋n ＝23.7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →－PB →|＝|PA →＋PB →－2PC →|，∴|BA →|＝|(PA →－PC →)＋(PB →－PC →)|＝|CA →＋CB →|，即|CA →－CB →|＝|CA →＋CB →|，两边平方整理得，CA →·CB →＝0，∴CA →⊥CB →，∴△ABC 为直角三角形．故选C. 8．已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||PA →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．5 3 答案 D解析设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3，OA →＋OB →＋OC →＝0，故PA →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →.又||4PO →＋OC→2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75，故||PA →＋PB →＋2PC →≤53，当PO →，OC →同向共线时取最大值．9．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A.2B.3C ．2D ．2 2 答案 C解析方法一如图，连接DA ，以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设内切圆的半径为r ，则圆心为坐标(0，r )，根据三角形面积公式，得12×l △ABC ×r ＝12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长)，解得r ＝1.易得B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)，D (0,0)，设M (cos θ，1＋sin θ)，θ∈[0,2π)，则BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)，BA →＝(3，3)，BD →＝(3，0)，故BM →＝(cos θ＋3，1＋sin θ)＝(3x ＋3y ,3x )，故⎩⎨⎧cos θ＝3x ＋3y －3，sin θ＝3x －1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ3，y ＝3cos θ3－sin θ3＋23，所以2x ＋y ＝3cos θ3＋sin θ3＋43＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋43≤2.当θ＝π6时等号成立．故2x ＋y 的最大值为2.方法二因为BM →＝xBA →＋yBD →，所以|BM →|2＝3(4x 2＋2xy ＋y 2)＝3[(2x ＋y )2－2xy ]．由题意知，x ≥0，y ≥0， |BM →|的最大值为232－32＝3，又2x ＋y 24≥2xy ，即－2x ＋y 24≤－2xy ，所以3×34(2x ＋y )2≤9，得2x ＋y ≤2，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号．二、多项选择题10．(2020·长沙模拟)已知a ，b 是单位向量，且a ＋b ＝(1，－1)，则( ) A ．|a ＋b |＝2 B ．a 与b 垂直C ．a 与a －b 的夹角为π4D ．|a －b |＝1 答案 BC解析 |a ＋b |＝12＋－12＝2，故A 错误；因为a ，b 是单位向量，所以|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋1＋2a ·b ＝2，得a ·b ＝0，a 与b 垂直，故B 正确；|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝2，|a －b |＝2，故D 错误；cos 〈a ，a －b 〉＝a ·a －b |a ||a －b |＝a 2－a ·b 1×2＝22，所以a 与a －b 的夹角为π4，故C 正确． 11．设向量a ＝(k,2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )A ．若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角B ．|a |的最小值为2C ．与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22 D ．若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2 答案 CD解析对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 选项正确；对于B 选项，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 选项正确；对于C 选项，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22，－22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，C 选项错误；对于D 选项，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 选项错误．12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →＝－1B.OE →＋OC →＝0C ．|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，选项A 错误；以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0,0)，A (1,0)，B (－1,0)，C (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以选项B 正确；|OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以选项C 正确；ED →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以选项D 正确．三、填空题13．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________. 答案 22解析由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0.因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22. 14．在△ABC 中，AB ＝1，∠ABC ＝60°，AC →·AB →＝－1，若O 是△ABC 的重心，则BO →·AC →＝________.答案 5解析如图所示，以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．∵AB ＝1，∠ABC ＝60°，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.设C (a,0)． ∵AC →·AB →＝－1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，－32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12＋34＝－1，解得a ＝4. ∵O 是△ABC 的重心，延长BO 交AC 于点D ，∴BO →＝23BD →＝23×12()BA →＋BC → ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋4，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36. ∴BO →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72，－32＝5. 15．(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，点O为△ABC 的外接圆的圆心，A ＝π3，且AO →＝λAB →＋μAC →，则λμ的最大值为________．答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形，∴O 在△ABC 的内部，∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →＝λ(OB →－OA →)＋μ(OC →－OA →)，得(1－λ－μ)AO →＝λOB →＋μOC →，两边平方后得，(1－λ－μ)2AO →2＝(λOB →＋μOC →)2＝λ2OB →2＋μ2OC →2＋2λμOB →·OC →，∵A ＝π3，∴∠BOC ＝2π3，又|AO →|＝|BO →|＝|CO →|. ∴(1－λ－μ)2＝λ2＋μ2－λμ，∴1＋3λμ＝2(λ＋μ)，∵0<λ<1,0<μ<1，∴1＋3λμ≥4λμ，设λμ＝t ，∴3t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥1(舍)或t ≤13，即λμ≤13⇒λμ≤19，∴λμ的最大值是19.16．(2020·浙江)已知平面单位向量e 1，e 2满足|2e 1－e 2|≤2，设a ＝e 1＋e 2，b ＝3e 1＋e 2，向量a ，b 的夹角为θ，则cos 2θ的最小值是________．答案 2829解析设e 1＝(1,0)，e 2＝(x ，y )，则a ＝(x ＋1，y )，b ＝(x ＋3，y )．由2e 1－e 2＝(2－x ，－y )，故|2e 1－e 2|＝2－x 2＋y 2≤2，得(x －2)2＋y 2≤2.又有x 2＋y 2＝1，得(x －2)2＋1－x 2≤2，化简，得4x ≥3，即x ≥34，因此34≤x ≤1.cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋1x ＋3＋y 2x ＋12＋y 2x ＋32＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋42x ＋26x ＋102＝4x ＋12x ＋13x ＋5＝4x ＋13x ＋5＝433x ＋5－833x ＋5＝43－833x ＋5，。

新高考数学通用版总复习一轮课件专题二三角函数与平面向量

【互动探究】
1.(2020 年天津)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 a＝2 2，b＝5，c＝ 13.
(1)求角 C 的大小； (2)求 sin A 的值； (3)求 sin2A＋π4的值.
解：(1)在△ABC 中，由 a＝2 2，b＝5，c＝ 13及余弦定
理，
得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝28×＋225－2×135＝ 22，
∴－1≤cosx＋π6≤
3 2.
于是当 x＋π6＝π6，即 x＝0 时，f(x)取到最大值 3；
当 x＋π6＝π，即 x＝56π时，f(x)取到最小值－2 3.
【规律方法】三角函数和平面向量的结合主要体现在以下
两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、
垂直、求模或求数量积得到三角函数解析式.
又 A∈(0，π)，∴A＝23π.
(2)在△ABC 中，由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc·cos A，
又 a＝ 7，b＝1，A＝23π，∴c2＋cC 中，由正弦定理得 sin B＝ 1241，又 a>b，∴B 为锐角，∴cos B＝ 1－sin2B＝5147，在 Rt△ABD 中，BADB＝cos B，
解：(1)∵向量 a＝(cos x， sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
∴－ 3cos x＝3sin x. 若 cos x＝0，则 sin x＝0，与 sin2x＋cos2x＝1 矛盾，故 cos x≠0. 于是 tan x＝－ 33，又 x∈[0，π]，∴x＝56π. (2)f(x)＝a·b＝3cos x－ 3sin x＝2 3cosx＋π6. ∵x∈[0，π]，∴x＋π6∈π6，76π.
3 2 sin

2020届高三数学复习三角,平面向量一轮复习建议课件(共20张PPT)

在区间6‚
2
上具有单调性,
且
f
2
=
f
2 3
=
−
f
6
,
则 f (x)的最小正周期为________.
π 6
π 2π
x
23
T 2
=
2 3
−
2
+
2
−
6
,
即T2
=
2
平面向量
• 必考 • 分布:1道小题, 5分 • 考查点:向量的概念,运算,垂直平行,
三角,平面向量一轮复习建议
三角
• 必考 • 分布:1,2道小题 + 1道解答题,分值18-23
分;解答题常在理15、文16 • 考查点: 三角函数的定义,三角公式,三角
函数的图象和性质,解三角形 • 难度: 常规, 简单
三角
1. 解答题: 常见两类 (1)三角变换 + 三角函数的图象性质 (2)解三角形
B
∴ 3 cos B = sin B ①
(Ⅱ)
[法一]
c a
=
sin sin
C A
=
sin23
sin
− A
A
=
3 2
∙
1 tan
A
+
1 2
︵ [法二] 点 B 的运动范围为劣弧B1C (不含两端点).
当
BB1
时,
c a
2,
B1 B
当
BC
时,
c a
+∞
O C
A
三角
• 复习建议 1.构建知识线条和网络, 前后贯通, 广泛联系.
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高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量课件理

第3讲平面向量
高考定位平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档； (2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.
2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
3.平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
＝－356(a2＋b2)＋2366a·b＝－356×229＋2366×4＝78.
答案
7 8
4.(2017·江苏卷)已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)， x∈[0，π ]. (1)若 a∥b，求 x 的值； (2)记 f (x)＝a·b，求 f (x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值.
真题感悟
1.(2015·江苏卷)已知向量 a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若 ma＋ nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则 m－n 的值为________. 解析 ∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n， m－2n)＝(9，－8)，即2mm－＋2nn＝＝9－，8，解得mn＝＝52，，故 m －n＝2－5＝－3.
解 (1)∵a∥b，∴3sin x＝－ 3cos x， ∴3sin x＋ 3cos x＝0，即 sinx＋π6 ＝0. ∵0≤x≤π ，∴π6 ≤x＋π6 ≤76π ，∴x＋π6 ＝π ，∴x＝5π6 .

2020届高考数学大二轮复习专题二三角函数解三角形与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形课件文

易知
C＝π4，cosC＝
2 2.
2．(2019·辽宁抚顺高三一模)已知函数 f(x)＝sinx－cosx＋π6，若在区间
0，3π上 f(x)≥a 恒成立，则实数 a 的最大值是(
)
A．－
3 2
B．－12
1
3
C.2
D. 2
答案 A
解析函数 f(x)＝sinx－cosx＋π6＝32sinx－ 23cosx＝ 3sinx－π6，由于 0≤x≤π3，故－π6≤x－π6≤π6，－ 23≤ 3sinx－π6≤ 23.当 x＝0 时，函数的最小值为－ 23.由于在区间0，3π上 f(x)≥a 恒成立，故 a≤－ 23，所以 a 的最大值为－ 23.故选 A.
asinα＋bcosα＝
01
a2＋b2sin(α＋φ)tanφ＝ba
.
4．正弦定理
□01 sianA＝sibnB＝sincC＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)
．
变形：a＝ □02 2RsinA ，b＝ □03 2RsinB，c＝ □04 2RsinC .
sinA＝ □05 2aR ，sinB＝ □06 2bR ，sinC＝ □07 2cR .
，
□ cosC＝
06
a2＋b2－c2 2ab .
6．面积公式
□ S△ABC＝
01
1 2bcsinA
＝ □02 12acsinB ＝ □03 12absinC
.
7．常用结论
(1)三角形内角和 □01 A＋B＋C＝π ； (2)a>b>c⇔ □02 A>B>C ⇔ □03 sinA>sinB>sinC ； (3)□04 sin(A＋B)＝sinC ， □05 cos(A＋B)＝－cosC .

2019-2020年高考数学一轮复习第五篇平面向量专题二三角函数与平面向量命题动向教案理

2019-2020年高考数学一轮复习第五篇平面向量专题二三角函数与平面向量命题动向教案理纵观近年各省的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力•在新课标高考试卷中一般有2〜4题，分值约占全卷的14%- 20%因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义•现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示.高考命题特点新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：(1) 考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小)•有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识.(2) 考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加•大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合.(3) 考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受的青睐•主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等.(4) 考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用.咼考动向透视动向基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等.答案本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用. 三角函数的图象与性质主要包括：正弦（型）函数、余弦（型）函数、正切（型）函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下.【示例2】？（2011 •浙江）ini%已知函数f (x ) = A si n i 尹+$ , x €R , A > 0,0 v$v—, y = f (x )的部分图象如图所示， P,Q 分别为该图象的最高点和最低点，点 P 的坐标为（1 , A ）.⑴ 求f （x ）的最小正周期及 $的值;⑵ 若点R 的坐标为（1,0），/ PRQ= 2/，求A 的值.2 n解（1）由题意得，T == 6.n亍所以sin i 寸+ $ = 1.n又因为0v $ v —，【示例1】?（2011 •福建）若a € i 。

高考数学二轮复习专题一三角函数和平面向量第2讲三角函数的图象及性质课件

变),再将所得到的图象向右平移
3
个单位长度得到函数g(x)=cos
1 2
x
3
=
cos
1 2
x
6
的图象.
2.(2018江苏南京期中)已知函数f(x)=
2 sin
2
x
4
,x∈R,若f(x)在区间
8
,
3
4
上的最大值和最小值分别为a,b,则a+b的值为
.
答案 2 -1
解析
x∈ 8
,
3
4
,2x-
3 4
3
=
77 36
.
15 4
【方法归纳】正弦函数、余弦函数的图象与x轴的交点是函数图象的对称
中心,过最高点或最低点且与x轴垂直的直线是函数图象的对称轴,相邻的对
称中心与对称轴之间的距离等于 1 T(其中T为函数的最小称中心之间的距离等于1 T.
(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.
解析
(1)由图象可得A=2,
T 4
=
3
-
12
=
2
4ω
,则ω=2,所以f(x)=2sin
2x
3
.
(2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得-5 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
2
32
12
12
又x∈[0,π],所以函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间为
量的几何意义求解,如A是振幅,若函数的最大值是M,最小值是m,则A=M m ;
2
ω的求解一般利用周期公式,即对正弦函数或余弦函数都有|ω|=2 ;φ为初相,

2020年高考数学(抢分必备知识+高分必做题组)第二部分三角函数与向量课件理

答案：C
②a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
③sina
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C
.
• (5)三角形“四心”向量形式的充要条件
• 设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对边长分别为a，b，c则
1．a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，其中λ1， λ2∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为( )
B＝21，由△ ABC 为锐角三角形得 B＝π6.根据余弦定理，得 b2＝a2＋c2－
2accos B＝27＋25－45＝7.
∴b＝ 7.故选 B.
答案：B
3．已知 sin α－cos α＝13，则 tan α＋tan1 α＝( )
8
7
A.9
B.3
C.94
D.141
解析：本题考查应用三角函数的基本关系对式子进行化简或求
6．解三角形 (1)常用工具 ①内角和定理；
②诱导公式；
③面积公式：S＝12absin C＝12(a＋b＋c)r＝a4bRc； (其中 r，R 分别为三角形的内切圆与外接圆半径)
④在△ ABC 中， tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C. (2)正弦定理的变式
①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
值．由 sin α－cos α＝31可得(sin α－cos α)2＝19，即 1－2sin αcos α＝19，所
以 sin 2α＝89，则
tan
α＋tan1
α＝csions
αα＋csions
αα＝sin
1 αcos
α＝sin22α＝49.

2020年高考数学一轮复习专题二三角函数与平面向量课件理

高考数学二轮复习 专题2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 第一讲 三角函数的图象与性质 理-

高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文

高考数学一轮总复习 专题2 三角函数与平面向量课件 理

2020高考数学(文科)专题复习课标 通用版(课件)： 专题2 三角函数、解三角形和平面向量 专题2 第1讲

高考数学一轮复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 理