数值分析练习
数值分析作业(完整版)
的逆阵 A ，用左除命令 A \ E 检验你的结果。
clc clear close all A=[1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;1 3 6 10 15;1 4 10 20 35;1 5 15 35 70]; fprintf('对上述矩阵进行列主元素分解：\n') for i=1:1:r-1 [mx,ro]=max(abs(A(i:r,i))); % 寻找a阵第i列的最大值 [A(i,:),A(ro+i-1,:)]=exchange(A(i,:),A(ro+i-1,:)); % 进行行与行交换 for j=i+1:1:r A(j,:)=A(j,:)-A(j,i)/A(i,i)*A(i,:); end A End %--矩阵A的逆阵 A1=inv(A) %--左除验证 E=eye(5); A2=A\E % 5x5单位阵 % A阵的逆矩阵 % 输出每次交换后的A
第一章
1、计算积分 I n
Code： clc clear close all n=9; %--梯形积分法 x=0:0.01:1; y=(x.^n).*exp(x-1); In = trapz(x,y); In2=vpa(In,6) % 6位有效数字 %--高精度积分法 F = @(x1)(x1.^n).*exp(x1-1); s = quad(F,0,1); s1=vpa(s,6)
0
0, 0, 0, 0, 0 。
T
if abs(er(:,i-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后，满足精度要求，x向量的值如下：\n',i); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x(1,i),x(2,i),x(3,i),x(4,i),x(5,i)); break end end %--绘图 figure(1) plot(1:1:i,x(1,:),'b',1:1:i,x(2,:),'k',1:1:i,x(3,:),'g',1:1:i,x(4,:), 'r',1:1:i,x(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5') grid on title('Jacobi迭代法——x值随迭代次数变化曲线') figure(2) plot(1:1:i-1,er(1,:),'b',1:1:i-1,er(2,:),'k',1:1:i-1,er(3,:),'g',1:1: i-1,er(4,:),'r',1:1:i-1,er(5,:),'c') legend('△x1','△x2','△x3','△x4','△x5') grid on title('Jacobi迭代法——△x值随迭代次数变化曲线') %% fprintf('\n-------------Gauss-Seidel迭代法---------------------\n'); U=-(A1-D); L=-(A2-D); DL_1=inv(D-L); M1=DL_1*U; b2=DL_1*b; x1(:,1)=M1*x0+b2; for j=2:1:100 x1(:,j)=M1*x1(:,j-1)+b2; er1(:,j-1)=x1(:,j)-x1(:,j-1); if abs(er1(:,j-1))<=e fprintf('在迭代 %d 次之后，满足精度要求，x向量的值如下：\n',j); fprintf('x1=%.5f, x2=%.5f, x3=%.5f, x4=%.5f, x5=%.5f\n',x1(1,j),x1(2,j),x1(3,j),x1(4,j),x1(5,j)); break end end %--绘图 figure(3) plot(1:1:j,x1(1,:),'b',1:1:j,x1(2,:),'k',1:1:j,x1(3,:),'g',1:1:j,x1(4 ,:),'r',1:1:j,x1(5,:),'c') legend('x1','x2','x3','x4','x5')
数值分析典型习题
题型一:有效数字1,确定113 的首位数字x1,要使113的近似值x*的相对误差不超过0.5×10-5，至少要保留几位有效数字.(2010-2011)解答：x1 2设至少要保留n位有效数字，则有1 1|e|10100.510*1n1n5 r2x2 21解得， n 5.7取n6位有效数字.2，要使112的相对误差不超过0.5×10-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010) 3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)解答：1|e|10* 6211 1|e|101010*1n187 r2x22 414,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B)5,设有效数x=12.4567,确定x的绝对误差界.(2004-2005)题型二：插值多项式1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2,f(1)=1,f(2)=5,用反插值法求f(x)=0在[0，2]内的近似根x*.(2010-2011)Emp.11201解答：对y=f(x)的反函数x=f(y)进行二次插值1(y y)(y y)(y y)(y y)(y y)(y y)L(y)f(y )f(y )f(y )112102101 201 2(y y)(y y)(y y)(y y)(y y)(y y)010******** 1 (y 2)(y 5)(y 2)(y1)012(12)(15)(52)(51)299 1y422884y2故，x L(0)*229422,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1,f(0)=2,f’(0)=3,f(1)=7;(1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H3(x);(2),x [-1,1],确定用H3(x)代替f(x)的误差界（已知|f(4)(x)|≤M4，x[-1,1]).(2010-2011)解答：(1),满足插值条件H（x)（f x),(i 0,1,2)的二次插值多项式为：3i iN(x)f(x)f[x,x](x x)f[x,x,x](x x)(x x)200100120 11(x 1)2(x 1)(x 0)2x 3x22也可用拉格朗日插值法满足题设插值条件的插值多项式为：H(x)N(x)k(x 1)(x 0)(x 1)3 22x 3x 2k(x x)2 3H3'(x)4x 3k(3x1)2由H'(0)f'(0)3得：k=03故：H(x)2x 3x 223f ()(4)(2),误差R（x)=(x 1)(x 0)(x 1),(1,1)234!M1M则误差界|（x)|=R4 434!4963,已知f(x)的函数值：f(0)=2,f(1)=4,f(2)=9,写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010)4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1,f(2)=2,f’(1)=3,f(3)=9;(1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；Emp.21201(2)计算f(1.6)的近似值；若M4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f(4)(x)|≤M4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1,H(1)=0,H’(1)=1,H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)x i-102 3f(x i)-7-1177,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1,f(1)=3,f’(1)=1,f(2)=9,(1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；(2),计算f(1.8)的近似值：若M4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f(4)(x)|≤M4).(2007-2008)8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2,f(2)=4,f’(2)=5,f(3)=8,(1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2),计算f(2.5)的近似值：若M4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f(4)(x)|≤M4).(2006-2007）9,已知f(x)的如下函数值表x i0.10.20.30.4f(x i) 1.12 2.65 2.81 1.68选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx的如下函数值表x i 1.0 1.5 2.0Emp.31201sinx i0.84150.99750.9093 用插值多项式计算sin1.8,并估计误差界.(2004-2005){}n1{}n11,用f(x)的关于互异节点集i i1i i 2x和x的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集{}1xni i的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）解答：法一：设关于节点集{x}的插值多项式为q(x),则q(x)与g(x)有共同插值节点{x}，则n-n1i i1i i 1 设：q(x)=g(x)+Aw(x),w(x)(x x)(x x)(x x)n1n112n 1由q(x)=f(x)得，An n f(x)g(x)n nw(x)n1nw(x)故：q(x)=g(x)+[f(x)g(x)]n1 n nw(x)n1n法二：设q(x)=g(x)+Aw(x)n 1由于g(x)和h(x)有共同插值节点{x}，则存在常数B，使得n-1ii 2g(x)h(x)B(x x)(x x)(x x),B023n 11则，w(x)=(x x)[g(x)h(x)]n1 1BA故：q(x)=g(x)+(x x)[g(x)h(x)]1B由q(x)f(x)h(x)得n n nAh(x)g(x)(x x)[g(x)h(x)]n n n1n nB得AB=-1xxn 1(x x)则：q(x)=g(x)+[h(x)g(x)]1(x x)n 112,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L2(x);(2),若同时已知：f’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H3(x)；(3), 当1|f(x)|2及3|f(x)|4,x[0,3]时，x不取节点，x[0,3]，求(3)(4)f(x)H(x)||3的上界.(2011-2012)f(x)L(x)2题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表：Emp.41201x-2-101 2y01210用二次多项式y=C0+C1X+C2X2按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）解答：(x)(x)(x)(x)(x)111110001020304法一：()()()()()21012 A x x x x xT101112131 4(x)(x)(x)(x)(x)4101 4 202122232 4yT01210线性拟合的法方程组为：A AC A y,即T T50100100 10034 cc1c24258 3 解得:c ,c 0,c01 235758 3则y x235758135 平方逼近误差：||||=(y,y)-Y C01210240202T*21 3 8 350 7法二：构造首项系数为1的正交多项式： （x)=1(x , )0, （x)=x-1( ,)0 0x1(x , ) 1 1 ( , ) 110 ( ,)2, ( ) ( )211x x（x) （x)=x22110 0( ,)0 02(y, )4 6 58 3则, (x)i (x)(x2)x*22i( , ) 514 357 i 0 i i2(y, )822平方逼近误差：|||| =(y,y)-i2( , )35 iii2,求f (x)1 1 x2在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去 Emp.5 1201权函数ρ(x)=x).(2009-2010)3,通过实验获得以下数据：x i012 3y i13610请用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式.(2008-2009)解析：A AC A yT T{g (x)}4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式,有下列公i i1式：g(x) 1g(x)x10g(x)(x )g(x)g(x),(k1,2,...)k1k k k1k 1(xg,g ),(k0,1,2...)k kk(g,g)k k其中：(g,g ),(k 1,2...)k kk 1(g,g)k1k 1(1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式（权函数ρ(x)=1),g0(x),g1(x),g2(x)(2),以上述正交多项式为基，求sinx在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)Emp.61201解答：(1),g(x) 11xdx(xg,g)1 1,g(x)x x0000110(,)2 2g g dx0011 2x(x)dx(,)2 1xg g1 111 1(g,g)(x)dx 221 12(g,g)1 1,g(x)(x)g(x)g(x)x x1 12021100(g,g)12 600(g,f)(g,f)(g,f)(2),(x)g g g*0 1201 2(g,g)(g,g)(g,g)00112 21 11 11 2(x)sin xdx(x x)sin xdx sin216 1 xdx0 201(x)(x x) 111211 6dx x dx x x dx()()22 2000260.00746 1.0913x0.23546x22f g(,)2*2平方逼近误差：||f||(f,f)0.000623.i2(g,g)i0i i5,以正交多项式为基，求函数f(x)11x2在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))Emp.71201解答： 法一：取(x)1, (x)x,(x)x ,解得21211 1 ( ，f ) In2, ( ，f ) 1 ,(，f ) In212242 2正规方程组为：H CF221 1 1 1 In22 342c1 1 1即：c 113 4 54c1 111 1 2In245622解得：c1.0656,c0.50302,c0.0742312 故二次最佳平方逼近多项式：p (x)1.0656 0.50302x0.07423x* 22平方逼近误差：2T *=(f,f)-F C 0.00002904n法二：构造首项系数为1的正交多项式： g (x)11 (xg , g )32 , ( ) 2 g x xx0 1 1(g , g ) 330 0 2 (xg , g ) 8 (g , g ) 1,11111(g , g )15(g , g )18 1182163g(x)(x)g(x)g(x)(x)(x)xx22110015318510(f,g)(f,g)(f,g)则：p(x)g(x)g(x)g(x) 1.06560.50302x 0.07423x *012 2201 2(g,g)(g,g)(g,g)00112 2平方逼近误差：2*=(f,f)-F T C0.00002904n6,通过实验获得以下数据：u i01916v i11/21/31/4请用最小二乘法求形如v1c cu0 1的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)1解答:转化c c u0 1vEmp.81201题型四：代数精确度1,确定参数α，使求积公式h h的代数精确度f(x)dx[f(0)f(h)]h[f'(0)f'(h)]22尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)解答：令f(x)1,x,f(x)显然成立1令f(x)x,得=212h 1h又f x x时：f x dx h h h()()(0)(03)332 2212 0h 1hf(x)x时：f(x)dx（0+h)h(04h)442 3212 0hh故具有三次代数精确度.f(x)dx[f(0)f(h)]h[f'(0)f'(h)]222,确定参数A1，A2，使求积公式hh的代数精确度尽f(x)dx A f(h)A f(0)f(h)1 2h 3可能高，并求其代数精确度.(2009-2010)1 23,建立高斯型求积公式.(2009-2010)x f(x)dx A f(x)A f(x)112 21Emp.91201解答：法一：已知求积公式有3次代数精确度，令f(x)=1,x,x , x 得2312A A xdx1212 313 A xA x x dx1 12 211A x A xx dx2 2 4 1 12 212 51A x A xxdx3 3 5 1 12 213 1 解上述方程组得：xx, AA121253法二：构造二次正交多项式 g (x)1(xg , g)0, g (x) xx1(g , g )0 01(xg , g ) (g , g ) 3 1 11 10,(g , g )(g , g )51 1g (x) (x )g (x)g (x)x22110 03 5令g (x) 0,得高斯点： xx212 3 5x x1 x x1 122121Axdx, A xdx11 21xx3x x3 122113 3 12故高斯型求积公式为：x f (x)dx [ f( ) f()] 1355方法三：设[-1,1]上权 (x)2g (x)x 2ax b.=x ,首项系数为1的二次正交多项式为22 2b3 1 2则有： ( ) 0,即 +0, x g x dxb215 352a 1 2xxg (x)dx0,即 0,a2153所以g (x)x .剩下步骤同法二.225 法四:A A12 23 A xA x 1 12 2A x A x 2 2 1 12 22 5A x A x3 3 1 12 2(x) (x x )(x x )xc x c ,显然(x )(x )0 2121212A(x ) A(x )A (xc xc ) A (xc xc )(A xA x ) c (A xA x ) c (AA )2 2 2 2 1122111 12221 221 12 211 12 22122 2c3 0,c225 35 A x(x ) A x(x )(A xA x ) c (A xA x ) c (A xA x )3 3 2 2 1 112 221 12 211 12 221 12 22cc10, 015 3 (x)x,剩下步骤同法二.25Emp.101201h4,确定求积公式()()(0)()中的参数A,B,C，使其代数精度尽f x dx Af h BfCf h h量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B)21112 315,确定求积公式的代数精确度.(2006-2007B)f(x)dx f()f()f() 034323 46,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代11 31数精确度.(2005-2006)f(x)dx A f()A f()A f()01 242 47,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代h数精确度.(2004-2005)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)10 1h8,已知h>0，建立高斯型求积公式：h.(2011-2012)x f(x)dx A f(x)A f(x)2112 2h题型五：求积公式的最少节点数1,设定积分x3，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差e dx2小于10-6，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)x x1解答：f(x)e,f(x) e2 2(4)16b a301h4复化辛普森公式截断误差：|R[f ]||h f ()|h10 4(4)46 S180********ba解得：h<0.176,n>h17.05故应取19个节点.2,设定积分x1e dx，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于103-6，所0需要的最少节点数为多少？（2009-2010）Emp.111201x x1解答：f(x)e,f(x) e3 3(2)9b a101h2复化梯形公式截断误差：|R[f ]||h f ()|h10 2(2)26 T12189162ba解得：h<0.357,n>h2.8故应取4个节点.3,给定积分 2，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公cos2xdx式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？b a b aR[f]h f (),R[f]h f (),[a,b]）(2008-2009B)2(2)4(4) （注：T S1228804,给定积分x1，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式e dx4进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008）5，给定积分 2，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式Inxdx1进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（已知：b a b aR[f]h f (),R[f]h f (),, (a,b)）（2006-2007）2(2)4(4)T1S21 2121806,用积分 18dx In计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化2 2x2辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（2005-2006）Emp.121201解答：复化辛普森公式截断误差公式： b aR [ f ] h f (),[2,8]4(4)S1801 1 12 8(4)In2 dx, f (x), f (x)22x 2xx53则| f (x) | , x [2,8](4)81使所得的近似值具有7位有效数字，即R [ f ]10-7S2b a63 h1 4令：|R [ f ]||h f () |h104(4)4-7S180180 8 80 28 2 h 0.04472,nh134.2 故至少需要取137个节点.7，用积分 16计算 In3，要使所得近似值具有 5位有效数字，问用复化dx In3x2梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005） 8,对于定积分1If (x)dx ，当 M2=1/8,M 4=1/32,用 11 点的复化辛普森(Simpson)求积公式求 I 的截断误差为 R s [f],用 n 个节点的复化梯形求积公式求 I 的截断 误差为 R T [f],要使 R T [f]≤R s [f]，n 至少是多少？ （M 2=max|f”(x)|,M 4=max|f (4)(x)|, x[0,1]).(2011-2012)题型六：Doolittle 分解及方程组求解2 1 21,求矩阵4 5 46 3 5的 Doolittle 分解.(2010-2011)2 121 0021 2解答：A= 4 5 4LU 2 1 0 0 3 06 3 5 3 2 1 0 0 11 1 42,求矩阵1 0 32 4 1的 Doolittle 分解.(2009-2010)Emp. 13 12011 0 1 3x511 1 4 1x 5 3,设线性方程组22 4 1 0x 136 2 1 1x 64(1),对方程组的系数矩阵 A 作 Doolittle 分解；(2),用所得的 Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)1 0 0 0 1 0 1 3 1 0 1 31 1 0 0 0 132 1 1 4 1解答：ALU2 4 1 0 0 013 22 4 1 011 1916 2 1 1 6 2 1 0 01313191 由LYb 得：(y , y , y , y )(5, 0,11,)TT123413由UX Y 得：(x ,x ,x ,x )(1,1,1,1) .TT12341 1 4 1x 5 11 0 1 3x 1 4,设线性方程组22 4 1 0x 736 2 1 1x84(1),对方程组的系数矩阵 A 作 Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle分解求该线性方程组的解.(2006-2007)x 2x 3x 112 35,设线性方程组：5x x 3x412 37x 8x 11x312 3(1),对方程组的系数矩阵A作Doolittle分解；(2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)x 2x 51 36,用高斯顺序消去法求解线性方程组：x x32 4x 2x 4x 3x17123 4x 3x 72 4.(2010-2011)Emp.1412011 02 0 51 02 0 51 02 0 50 1 0 1 3 0 1 0 1 3 0 1 0 1 3解答：增广矩阵=1 2 4 3170 2 2 3 120 02 1 60 1 0 3 7 0 1 0 3 70 0 0 24回代求解：x 2, x 2, x 1, x1.43213xx4x71237,用高斯顺序消去法求解线性方程组:.(2009-2010)x2x2x11232x3x2x123题型七：条件数及范数9x10x7121,求线性方程组 8x 9x8 1 215x103的系数矩阵 A 的条件数 cond 1(A),并说明其含义. （2010-2011）解答：系数矩阵A9 10 08 9 00 0 15A19 10 08 9 010 0 15cond (A) || A || || A || 1919 361111 1条件数远大于1，这说明当A和b有小扰动时会引起解的较大误差，即该方程组是病态的.2,设矩阵A15000910089，求cond∞(A).（2009-2010）3,设三阶对称矩阵A的特征值分别为：-2,1,3，求||A||2及cond2(A).(2007-2008)解答：||A||(A A)(A)(A) 3 T2 22max max max||A||((A)A)（(A）)=(A )=111T 1-122-12max max max则：cond(A)||A||||A|| 3.122 24,若n元线性方程组Ax=b为病态的，可以得到关于系数矩阵A的什么性Emp.151201质.(2006-2007) 5,若A1 1 11 2 31 2 4,求 cond 1(A).（2005-2006）求 cond ∞(A).(2004-2005) 6,设A 12 3 10 3 24 7 5,求|| A || 与|| A ||1 .(2007-2008) 7,若A1 23 4,求谱半径(A) .(2005-2006)解答：最大特征值：（A)= 5 332题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代7x3x2x121231，写出求解方程组4x 10x 2x151233x 4x 8x18123的雅可比迭代公式，并说明其收敛性.(2010-2011)解答：雅可比迭代公式为： 1 x(3x2x 12)(k 1) (k ) (k ) 1 237 1 x(4x 2x 15)(k 1) (k ) (k ) 2 1310 1 x(3x4x 18)(k 1) (k ) (k ) 3 1287 3 2 雅可比迭代法迭代矩阵：B严格对角占优，4 102J3 4 8故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛.(0)3x2x10132，设有方程组：2xx11 2 3，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法2x x2x12123解此方程组的收敛性.(2010-2011)Emp.1612013 020 00 3 00 02解答：A= 0 2 1L D U 0 0 0 0 2 0 0 0 12 1 2 2 1 0 0 0 2 0 0 0231雅可比迭代矩阵：BD (LU )0 01 J211 02| E B | 0,得 =0，=- =-J12311 12（ ）<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意 (0) B 初始向量x 都收敛.J231高斯-赛德尔迭代矩阵：B(D L) U0 01 S21112| E B | 0,得 =0，S12311 12（B）<1,故用高斯-赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x都收敛.(0)S5x 3x 2x 1212 33,写出求解方程组：的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛4x 7x 2x 1512 33x 5x 8x 1812 3性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以 A31313 232 3为系数矩阵的线性方程组时，确定其收敛性.(2009-2010)x 2x 2x 1112 35,设线性方程组x xx12 36 ，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭2x 2x x2212 3代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)Emp.171201x2x2x151236,设线性方程组：x xx123202x2x x25123(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯- 赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛； (2),取(0)(0, 0, 0)Tx，用雅可比迭代法进行求解，要求 || xkx k ||10.(2007-2008)( 1) ( )5解答：(1):BJ0 2 2D L U1()1 0 12 2 0|E B | 0,解得： = = =0，（B )1J123J0 2 2B(D L) U0 231 S0 02|E B | 0,解得：0,2,（B ) 1S123S所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛, 而用高斯-赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛. (2):雅可比迭代公式： x2x2x 15(k 1) (k ) (k ) 1 23xxx20(k 1)(k )(k )213x2x2x 25(k 1) (k ) (k ) 3 12当x(0, 0, 0) 时，计算得：(0) Tx (1)(15, 20,25)Tx (2)(105, 60,35) Tx (3)(205,160,65)Tx(4)(205,160,65)（精确解）.T8xx2x10 1237,设线性方程组:2x7x3x25 1234x3x11x11123(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭Emp.181201代公式，并确定其收敛性； (2),取(0)(0, 0, 0)T x，用高斯-赛德尔迭代法计算 x(3).(2006-2007)8,设线性方程组 Ax=b 的系数矩阵t 2 3At 2 1，其中 t<0，问 t 取何值时雅可3 1 t比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)解答：雅可比迭代矩阵BJ2 3 0tt2 1D (L U)1tt3 1t t4 2 2| E B |() 0得， =0， =- ,=2J1222t t t雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛，则（B J 2即：| |<1,得t<-2,or t>2 又t0,故t2.)1t4x3x241 29,1),设线性方程组：3x4x x301 2 3x4x242 3写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性；10x4x4x131 2 32),设线性方程组：4x10x8x111 2 34x8x10x251 2 3写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)x2x2x 51 2 310,给定方程组：x x x11 2 32x2x x 31 2 3Emp. 19 1201(1),用三角分解法解此方程组；(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量 x 0=(0,0,0)T ,|| x x ||102 时，求其解.(2011-2012) 当k 1k1 2k 5 3sin kkk3 k4k 2111,设( )Ak sincos kk 4kk21 34tan5k k，求 l im(k )Ak.(2007-2008)0 2 0解答：lim0 21A(K )k2 0 512,若1 kk k 1 , limA求 A .(2004-2005)(k )(k )1 sin kkk sin kk解答：limk( )0 1 KA10题型九：非线性迭代1,设计一个算法求125的值.(2008-2009B)1125解答：牛顿迭代公式：x(),0.x xk1k2xk2,给出用牛顿法求6170的近似值的迭代公式，并确定初值的取值范围.(2010-2011)Emp.201201解答：x170转化为方程x1700的正根.6 6x17011706由牛顿迭代法得迭代公式：x x[5x]kk k k15 56x6xk kf(x)x170,f(x)6x0,f(x)30x06'5" 4当x170时，f(x)f(x)0,故此时收敛到x.6"*0001170当0<时，x6170x6170(5x)6170010 56x1170设g(x)(5x)6170,x(0,6170)6x51850g(x)(5)0,x(0,170),故g(x)g(170)0,'6 66x6故:x61700,x6170,回到前段.1 1所以当x(0,170),迭代公式也收敛到x.6*综上：x0 0.3,给出用牛顿法求5140近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2009-2010)解答：方法同上.4,设φ(x)=x+c(x2-5),当c为何值时，x k+1=φ(x k)，(k=0,1,2…)产生的序列{x k} 收敛于5；又c为何值时收敛最快？(2010-2011)解答：(x)=x+c(x5),(x)=1+2cx2'x(x)收敛，则有|(x)|<1,即|1+2cx|<1'**k1k11cx0,又x=5，则c0;**51当(x )=0,即c=-时，收敛最快. '*2 52(x) x c(x3)，应如何选取常数 c才能使迭代 5,设xx k 1 ( ),(0,1,2 )kk1具有局部收敛性？C 取何值时，这个迭代收敛最快？取 x 0=2,c 计算(x)2 3的不动点，要求当||10 时结束迭代.(2004-2005)xx6k 1kEmp. 21 1201解答：(1),令x(x )收敛于x ,则xxc(x3)****2k1k故x3,要(x) x c(x3)局部收敛，即| (x ) |1*2'*33|1 2cx |1,1cx1, 又x3, 得- c 0,or,0 c.***33(2),根据收敛阶定理，当 ( x ) 0时，迭代至少二阶收敛，即1+ 2cx 0, 得c=' **3故c= 时，迭代收敛最快.61(3),迭代公式为：x x (x 3)2k1kk2 33 6 又x 02x11.711324865 x 2 1.731926803 x31.732050804 x 41.732050808因为||10 ,故: 1.732050808.x x6 x *436,方程 x 3-3x-1=0 在 x=2 附近有一根，构造一个局部收敛的不动点迭代法，并 说明收敛的理由.(2009-2010) 解答：(x)= 313x取x 2的邻域[1.5,2.5](1.5) 1.765174168,(2.5) 2.040827551 当x[1.5, 2.5]时，(x)[1.5, 2.5] 11又因为|(x) ||| 0.33,'3x (1 3 )5.5232故迭代在[1.5,2.5]上整体收敛.7,已知方程 42f (x)x4x4 0 有一个两重根 x 0 2 ,请以初值 x=1.5,用 m重根的牛顿迭代法计算其近似值，要求.(2008-2009B)(P204例|x x|105k1k7.7）2x408,(1),已知方程e x在0.6附近有一根x，迭代法2xx e k14,0,1,2是否局部收敛？如果不收敛，试构造一个局部收敛的kk不动点迭代法，并说明收敛的理由.Emp.221201(2),取x0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程，迭代至x5.(3),给出牛顿法求120的近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2007-2008)解答：(1):(x)4e,(x)2e2x'2x|(x)|1,(x0),故该迭代公式不是局部收敛的.'**1构造：x In(4x)k1k2理由：取邻域[0,1]1 1(x)=In(4x),(x)'22(4x)1(0)In2,(1)In3故(x)[0,1]21又|(x)||(1)| 1''61故迭代式x In(4x)在[0,1]上整体收敛.k1k21(2),x In(4x),则k1k21x In(4x)0.6118877151021x In(4x)0.6101364592 121x In(4x)0.6103948333 221x In(4x)0.6103567224 321x In(4x)0.6103623445 421120(3),x(x),x0.k1k02xk2+x-2=0,x[0,2],采用迭代公式x9,给定方程x k+1=x k+c(x2+x k-2),(k=0,1,2…)k求其根，问当c为何值时，迭代法收敛？又当c为何值时，迭代法收敛最快?(2011-2012)Emp.231201解答：x 1,(x)x c(x x 2)* 2(x)1c(2x 1)'2当|(1)||1c(21)|1,即-c 0时，线性收敛.'31当(1)=0，即c=-时收敛最快.'33x e x 0，x[3,4]210,给定方程(1),构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因）；(2),构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因).(2011-2012)解答：(1),(x)In(3x),3.29(3)(x)(4) 3.872111 112(x),x[3,4] '12 3故不动点迭代公式:x In(3x),(k 0,1,2,)对于任意初值x [3,4]收敛.2k1k0(2),f(x)3x e,x[3,4]2xf(3)0,f(4)f(x)6x e 0,f(x)6e 0,x[3,4]'x"x取初值x 3时，牛顿迭代法：3x e2xkx xkk1k x6x ekk收敛，且二次收敛.11,方程x3-x2-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式，并证明其收敛性.(2004-2005)1解答：x 1k1 2xk取x 1.5的邻域[1.3,1.6](x) 11 x2(1.3) 1.591715976,(1.6) 1.390625故当x[1.3,1.6]时，(x)[1.3,1.6]22 2又(x),|(x)|||0.92''x x 1.333 31故迭代公式：x1在[1.3,1.5]上整体收敛.k1 2xkEmp.24120112,(1),已知方程e x 10x 20在0.09附近有一根x,迭代法x 1In(210x),(k 0,1,2)是否局部收敛？如果不收敛，请构造一个k k局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由；(2),取x0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x5；(3),用牛顿法求3234的近似值，并给出初值的取值.(2006-2007)解答：(1),(x)In(210x),(x)'|(x)|1,x[0,1],显然| (x)|>1''*5 15x故该迭代公式不是局部收敛的.1 1构造：x exkk 151011 1因为(x)e ,(x) ex'x51010取[0,0.12]邻域考察(0)0.1,(0.12)0.087250323 故当x[0,0.12]时，(x)[0,0.12]1 又|(x)||'(0.12)||e0.12|0.113 1'101 1故迭代公式：x e在[0,0.12]上整体收敛.xkk 15101 1(2),x exkk 15101 1x 0.09,x e 0.0905825780.090 15101 1x e0.09058257825100.0905188151 1 xe0.09051881535 10 0.0905257961 1 xe 0.09052579645 100.090525031 1 1 xe0.09052503155 100.0905251152 117(3),使用迭代公式：x(x )进行求解.kk123xk初值:x0.13,设方程 x 3-3x-1=0 在 x=2 附近有根;Emp.2512011),证明该方程在区间[1.5,2.5]内有唯一根 x *;2),确定迭代函数φ(x).当初始值 x 0 在何区间取值时，迭代公式 x k+1=φ (x k ),(k=0,1,2…)收敛到 x *,并说明理由.3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式，当初始值 x 0 在何区间取值时，牛顿 法迭代公式收敛到 x,并说明理由.取 x 0=1.8,用牛顿法迭代公式计算 x,要求|| xkx k ||10.( 1)( )44),写出求解该方程的弦截法迭代公式，当初始值在何区间取值时，弦截法迭代 公式收敛到 x,并说明理由.(2005-2006)解答： (1),证明：f (x) x3x 1, f (x)3x 33'2f (1.5)2.125, f (2.5) 7.125f (1.5) f (2.5) 0,故f (x) 0在[1.5,2.5]内有根. 又f (x) 0,x[1.5, 2.5]'故方程在区间[1.5, 2.5]内有唯一根. (2),x3x1 2x1 33(3), x x ,牛顿法迭代公式：k kkk1k223x3 3x3kkf (x) x3x 1, f (x) 3x3, f (x) 6x3'2"题型十:稳定算法1,对给定的 x ，下列两式能否直接计算，说明理由；如果不能，请给出变换算 式：（1）xx ，x 很大；（2） x，|x|很小.(2010-2011)21 3 1 1解答：不能直接计算，因为两个相近的数相减，会产生较大的误差：(1) : x 1 x21； x1 x 2x3x311= .x1+13。
数值分析期末考卷
数值分析期末考卷一、选择题（每题4分，共40分）A. 插值法B. 拟合法C. 微分法D. 积分法A. 高斯消元法B. 高斯赛德尔迭代法C. 共轭梯度法D.SOR方法3. 下列哪个算法不是求解非线性方程的方法？A. 二分法B. 牛顿法C. 割线法D. 高斯消元法A. 梯形法B. 辛普森法C. 高斯积分法D. 复化求积法A. 欧拉法B. 龙格库塔法C.亚当斯法D. 高斯消元法A. 幂法B. 反幂法C. 逆迭代法D. QR算法A. 梯度下降法B. 牛顿法C. 共轭梯度法D. 高斯消元法A. 拉格朗日插值法B. 牛顿插值法C. 埃尔米特插值法D. 分段插值法A. 前向差分法B. 后向差分法C. 中心差分法D. 拉格朗日插值法A. 牛顿法B. 割线法C. 雅可比迭代法D. 高斯消元法二、填空题（每题4分，共40分）1. 数值分析的主要任务包括数值逼近、数值微积分、数值线性代数和______。
2. 在求解线性方程组时，迭代法的收敛速度与______密切相关。
3. 牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} = x_k f(x_k)/______。
4. 在数值积分中，复化梯形公式的误差为______。
5. 求解常微分方程初值问题，龙格库塔法的阶数取决于______。
6. 矩阵特征值的雅可比方法是一种______方法。
7. 梯度下降法在求解无约束优化问题时，每次迭代的方向为______。
8. 拉格朗日插值多项式的基函数为______。
9. 数值微分中的中心差分公式具有______阶精度。
10. 在求解非线性方程组时，牛顿法的迭代公式为：x_{k+1} =x_k J(x_k)^{1}______。
三、计算题（每题10分，共60分）1. 给定数据点（1，2），（2，3），（3，5），（4，7），求经过这四个数据点的拉格朗日插值多项式。
2. 用牛顿迭代法求解方程x^3 2x 5 = 0，初始近似值为x0 = 2，计算前三次迭代结果。
数值分析-课后习题答案
证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A2=1. A-12=1/n.
精选课件
12
三.习题3 (第75页)
3-2.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收
计算结果如下:
x x 1 2 ( (k k 1 1 ) ) 3 2 1 2 .x 5 2 (x k ) 1 (k 1 )
k
J法x1(k)
0
1.01
1
0.98
2
2.03
3
1.94
4
5.09
5
4.82
6
14.27
J法x2(k) 1.01 0.485 0.53 -1.045 -0.91 -5.635精选课件 -5.23
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
6
0.518889
3 4精1选 课件
1
1
5
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。
数值分析习题
习题11. 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 _________ 的 _______ 运算; (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 _________ 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 ______________ 分子的绝对值；(3) 误差有四大来源，数值分析主要处理其中的 __________ 和 ___________ ; (4) 有效数字越多•相对误差越_________ ;2. 用例1.4的算法计算価•迭代3次•计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式，并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数，指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.斗=0.3040, x 2 =5.1x10% 兀=400,些=°・°°3346, x 5 = 0.875x 1Q-55. 证明1.2.3之定理1. 1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积卩的相对误差将为多少。
(假定钢珠为 标准的球形)7. 若跑道长的测量有0.欣的误差，对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使J 亦的近似数相对误差小于0. 05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件•直径d 为10・25±0・25mm.高力为40. 00± 1.00mm •则它的体枳卩的近 似值、误差和相对误差为多少.10证明对一元函数运算有并求出/(x) = tanx,x = 1.57时的k 值，从而说明/(x) = tanx 在人任彳时是病态问题.11. 定义多元函数运算s =》g,其中工q =1，£(舌)“,r-l求出w(S)的表达式，并说明q 全为正数时，计算是稳定的，q 有正有负时，误差难以控制.12. 下列各式应如何改进•使计算更准确：其中"(4) y = ^p'+q 2 - P, (p>O,q>O,p»q)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 _______________ 主元素的绝对值太小会发生 ___________ ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ___________ .平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 __________ ;(3) 直接£〃分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 __________ ,追赶法解对角占优的三对角方程组肘的计算量以乘除法计为 _____________ ；⑷ ；)阀二——•114= ------- ・——；t 0(5) A =yt > 1 p{A) _________ , cond 2(A) = _________I"丿(6) A = b 9c > b > a > 0 p{A) _______________ , cond ?(A) = ________4. 用Gauss —Jordan 消元法求:(卜l 《l)f 1 1 -1)T(1)八1 2 -2 ,b =1一2 1 1 丿丄2 6、3(1)心10 -7 0 ,b = 7< 5 -1 5丿r4 3 2 r3 4 3 21(2) A =•—2 3 4 3 -1<1 2 3 4;r0 2 0 1、2 232-2 (2) A =b =4-3 01-76 1 -6-56 ,(i) y =⑵y =1l — x(心1)2・用Gauss 消元法求解下列方程组Ax = b3.用列主元消元法解下列方程组Ax = b.2 1 0 J -1 o>5. 用直接厶U 分解方法求1题中两个矩阵的厶（/分解，并求解此二方程组.6. 用平方根法解方程组Ax = b<3 2 1、‘4、2 2 1 ,b = 3J 1 1丿O7.用追赶法解三对角方程组Ax = b2 -1一1 2 0-I0 0 0T0 A = 0 一1 2 -1 0 ,b = 00 0 -1 2 -1<0 0 0 -1 2丿©8. 证明:（1） 单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵. （2） 两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵. 9. 由厶=却冴・・£［「（见（2. 18）式），证明：10 •证明向量范数有下列等价性质: （1）14^14^14⑶|HL<H 2<^Kii. 求下列矩阵的||州删2，lkt“（q ）.81 3、(2) A= 1 10 2、3 26,12. 求 cond 2 (A)1 A = 1-13)2丿'13. 证明:⑴若A 是正交矩阵，即A rA = /f 则cond 2(A) = l ； (2)若A 是对称正定阵，心是A 的最大特征值，人是最小特征值，则cond 2(A )=习题31. 填空题：(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 ____________ 时，线性方程组Ax=b 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法均收敛； (2) 当线性方程组的系数矩阵力对称正定时, ___________ 迭代法收敛. (3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 _________ 小于1; S0R 法收敛的必要条件是 ______________ ;(4) 用迭代法求解线性方程组，若⑷，q _______________ 时不收敛，g 接近 _______ 时收 敛较快，g 接近 _______ 时收敛较慢；(5)(1 \\A= ?，$= _________ : Bs = _______ ； Q(坊)= _______ ； °(块)= ___ ・2. 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法求解方程组V 1 0、'3 ''-81 1 丫和‘1、 (1)1 2 1= -5 ; (2)1-5 1 x 2 = 16W 1 2,宀< 1 1 -仏丿6各分量第三位稳定即可停止.3•庄SOR 法解方程组，取60 = 0.9 ,与取CO = 1 (即Gauss-Seidel 法)作比较.(32 1]/ \<-5> -5 7 3 £ = 13 2 \ -5 7 /<X 3>4・下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收 敛性"5 2 1(\ 2) 1 3 2 ; ⑵…13 21 1 2\ / (1)flOO 99、99 9J(2) COS0A --sin& COS0 y6•设‘1 a 宀A= a 1 a ,d 为实数;⑴a 1；(1) 若q 正定，a 的取值范围；(2) 若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围.习题41. 填空题：(1) 毎法主要用于求一般矩阵的 __________________ 特征值，Jacobi 旅转法用于求对称矩阵的 ______ 待征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择 ______________ 的一对 _____________ 元素将其消为零； (3) Q?方法用于求 ___________ 矩阵的全部特征值，庾黑法加上原点平移用于一个近似特征值的 _________ 和求出对应的 ______________ ■2. 用嫁法求矩阵•〔6 2 1'-4 14 0、⑴ 2 3 1, (2)-5 13 0,1 1 1、-1 0 2 丿按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位.-11 11 1 '3.已知： A= 11 9 -2< 1—2 13>"-2 1 0 0'21 2、1 -2 10 1 2 1 ;(4)1 -2 1-2 1 2\、01 -2；10 -1 I —1 -1 _i -r -1 -15 -1 -1 10；5.方程组a\\ 如、 / 、 丙=*<U2\ “22丿 1兀丿如证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是:5 -1取t =15,作原点平移的幕法，求按模最大特征值.‘4 1 4、4.A= I 10 1、4 1 10,用反無法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次.5.若A的特征值为人，易，…，九,r是一实数，证明：人―『是〃的特征值，且特征向量不变.6.已知x =(3,2,l)7求平面反射阵H使y = Hx=(0,*,0)‘，即使x的1, 3两个分量化零.5 3 2、7.A= 3 3 1<2 1 6丿试用Jacobi 转法求作一次症转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出〃角和结果./ r 0(3x2)、8.设已知2是人的特征值，相应的特征向量为(4卫2,6)丁，证明几也是丁的特征值，相应的特征向量为(坷,《2，偽,0,0『.9.证明定理4. 5.10.证明(4. 21)中的A,.和£+1相似.习题51.填空題(1)用二分法求方程x3+x-l = 0在［0,1］内的根，迭代一次后，根的存在区间为___________ ,迭代两次后根的存在区间为_____________ ；(2)设/(x)可微，则求方程x = /(%)根的Newton迭代格式为______________________ ;(3)(p(x) = x + C(x2-5),若要使迭代格式x k+} =(p(x k)局部收敛到a = >/5 ,则C取值范围为_____________ ;(4)用迭代格式x k+l=x k-AJ\x k )求解方程f(x) = x3-x2-x-\ = 0的根，要使迭代序列｛忑｝是二阶收敛，则心二;2 1(5)迭代格式兀+|=二忑+斗收敛于根a二_______________ ,此迭代格式是__________ 阶收3 x k敛的.2.证明Newton迭代格式(5. 10)满足3.方程/一9十+ 18尢一6 = 0, xe［0,+oo)的根全正实根，试用逐次扫描法(出1),找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01.4.用二分法求下列方程的根，精度£ = 0・001・仃)x-x+4=0(2) b+10x — 2 = 0 xe[0J]5.用迭代法求X3-2X-5= 0的正根，简略判断以下三种迭代格式:在x() = 2附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根.精度£ = 10_.6.方程= e~x(1)证明它在(0,1)区间有且只有一个实根；(2)证明x k+i = e~Xt,k = 0,1,---,在(0,1)区间内收敛;(3)用Newton迭代法求出此根,精确到5位有效数字.7.对方程X3-3X-1=0,分别用(1)Newton法(州=2)； (2)割线法(观=2,召=1.9)求其根.精度f = 10~4.8.用迭代法求下列方程的最小正根(1) x5 -4x-2 = 0: (2) 2tanx—x = 0 ；(3) x = 2sinx9.设有方程3x2-e x=0(1)以力=1,找出根的全部存在区间；(2)验证在区间［0,1］上Newton法的区间收敛定理条件不成立；⑶ 验证取x() = 0.21 ,用Newton法不收敛;(4)用Newton下山法，取x()=0.21求出根的近似值，精度£ = 10_・10.分别用Jacobi法,Gauss—Seidel法求解非线性方程组\+2y-3=0<2x2 + y2-5 = 0在(1.5,0. 7)附近的根,精确到IO-4.11.分别用Newton法,简化Newton法求解非线性方程组sin x + cos y = 0<x+y = l在(0,1)附近的根,精确到10*.习题61.填空題(1)设J\x) = x5+x3+x + \ ,则 /[0,1]______________ , /[0,1,2]= _________________ /[0,1,2,3,4,习= ___________ : /[0,1,2,3,4,5,6] = ________________ .(2)设?o(x)，/i(x),…,/”(%)是以节点0,1,2, •••,/?的Lagrange 插值基函数,则£儿(羽= _______________；£旳伙)= _______________ •;-() J-0(3)设/(0) = 0,/⑴=16,/(2) = 46,则/[0,1]= ____________ , /[0,1,2]= ____________ ,/(X)的二次Newton插值多项式为________________________ ・2.3-利用心在“畤能及壬处的值，求S哙的近似值，并估计误差.4.利用数据计算积分［千，当二时的兀的取值.5.试用Newton插值求经过点(一3,-1), (0,2), (3,-2), (6,10)的三次插值多项式.6.求满足Pg) = f(Xo),P(xJ = f(xJ及Pg = f(XQ)的次数不超过2次的插值多项式Pg,并给出其误差表达式.7.设比是互异节点,3 是Lagrange插值基函数(j =0,1,2,,证明(1)£<,(%)三1；(2)$>乂(力三十伙=0,1,2,…丿)；(3)£(◎一x)k/丿(x)三0 仏=0,1,2,•••/).8 •设有如下数据试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton向前，向后插值公式求出它的插值多项式. 9.试构造一个三次Hermite插值多项式使其满足/(0) = 1,广(0) = 0.5, /(1) = 2,广⑴=0.510・已知函数/(X)的数据表分别用Newton向前插值公式和向后插值公式求x=0. 05, x二0. 42, X二0. 75的近似值.11.对函数f(x) = sinx进行分段线性插值，要求误差不超过0.5x10"，问步长力应如何选取.12.设有数据用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1)570.25) = 1.0000 , 570.53) = 0.6868(2)S"(0.25) = —2 , S"(0.53) = 0.647913.证明定理6.6.习题81 •填空題⑴ “+1个点的插值型数值积分公式f 的代数精度至少是_____ ,最高不超过__________ .(2)梯形公式有______ 次代数精度，Simpson公式有______ 次代数精度.(3)求积公式打⑴川細(0)+ /(/?)]+ 加[八0)_/伽中的参数& =时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为__________ •2.确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度.(1)『/(X)厶a A)/(0) + AJ(//) + A2f(2h)f(f(x)dx q+ 2/(“) + 3/(x2)]⑶£ f(x)dx = A/(-D + AJ (-# + A J(4) jj Mdx a AJ(x{) + A2/(0) + AJ(l)⑸[/⑴厶« f(xj + f(x2)3.分别利用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分(1)「一3 二8)Jo4 + x2(2)^yfxdx (n =10)(3)("=io)(4)(弘—抽讼・5二6)(5)P —Jx (/? =8)J() x4.用Romberg公式计算枳分(1) 丄(精度要求£ = 10一‘)⑵佃 + cos4xdx(精度要求£ = 10-5)5.分别取节点数为2, 3, 4利用Gauss—Legendre求积公式计算积分(1) 「一厶，(2) 「八心，(3) f-dxJ T I+ Q血Ji X6.利用Gauss型求积公式，分别取节点数2, 3, 4计算积分(1) £e~x yfxdx , (2) J e~x <1 + x2 dx7.用节点数为4的Gauss —Laguerre求积公式和Gauss—Hermite求积公式计算积分的近似值，并与准确值/=—作比较・28.分别用两点公式与三点公式求f(x)=一在x=l・0,x二1.2的导数值，并估计误差, (l + x)・其中/(x)的数据由下表给出习题91.填空題(1)解初值问题的Euler法是________ 阶方法，梯形方法是 _____ 阶方法，标准R-K方法是_____ 阶方法.(2)解初值问题#(x) = 20(x—y),y(O) = 1时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R-K方法，步长0V/Y ________ ・采用Euler方法，步长力的取值范围为______ ,若采用Euler 梯形方法，步长力的取值范围为_______ 若采用Adams外推法，步长力的范围为________ ,若采用Adams内插法，步长方的取值范围为__________ .(3) __________________________________________ 求解初值问题Euler方法的局部截断误差为_____________________________________________ Euler梯形方法的局部截断误差为_____________ , Adams外推法的局部截断误差为_______________ Adams内插法的局部截断误差为_____________ .2.对初值问题1 ?/ = ----- -2y~0<x<l1 + JC.y(o)= oX试用Euler法取步长〃二0. 1和“二0.2计算其近似解，并与准确解y =—匚进行比较.1 + JC3.利用Euler预测一校正法和四阶经典R-K方法，取步长h=Q. 1,求解方程y f = x+y 0<x<\y(O) = 1并与准确解y(x) = -x-\ + 2e x进行比较.4.用待定系数法推导二步法公式>\+1 = y> + ~ (5齐+1 + 一Z-i)并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差.5.用Adams预测一校正法求解y = -y20 < X < 1.y(o)= 1并与准确解y(x)=—进行比较.1 + x6.用Euler中点公式计算y f = -y O< x< 2.5y(O) = 1取步长/?=0. 25,与准确解>'=比较，并说明中点公式是不稳定的.7.写出用经典的R-K方法及Adams预测一校正法解初值问题)/ = _8y + 7z< z，=兀2 + yzy(O) = l,z(O) = O的计算公式.8.写出用Euler方法及Euler预测一校正法解二阶常微分方程初值问題),/r + siny = 0y(O) = 1, V(O) = 0的计算公式.9.证明用单步法y1+i = X+呵兀+£, x+,x)解方程= -2ax的初值问题，可以给出准确解.。
数值分析作业题(1)
第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。
0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字？00.24990.249910,0m =⨯=即，031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。
, 建立稳定的数值算法。
该算法是不稳定的。
因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-， 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。
x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应 的标准基函数 为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一 二 三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，， 写出插商表:xi f(xi) 一 二 三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。
(完整版)数值分析第一次作业
问题1：20.给定数据如下表：试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。
分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。
边界条件有两种，（1）是已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。
对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡432104321034322110d M M M M M 200020000020022d d d d λμμλμλμλ其中μj =j1-j 1-j h h h +，λi=j1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1对于第一种边界条件d 0=0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1-n h 6（f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得：由此得矩阵形式的线性方程组为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.00001204286.000004000.026000.0006429.023571.0001243210解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384-x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779-]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-33333333），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（Matlab 程序代码如下：function tgsanci(n,s,t) %n代表元素数，s,t代表端点的一阶导。
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
数值分析典型例题
第一章典型例例31n2=0.69314718...,精确到10彳的近似值是多少？解精确到10 3=0.001,即绝对误差限是8=0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
ln2~0.693例1用顺序消去法解线性方程组2兀 + x2 + 4X3 = -1< 3為 + 2X2 + ® = 4M + 2X2+4X3 = -1解顺序消元2 1 4 -1 r2+r r(-3/2)2 1 4 -I 2 1 4 一1lA；b] = 3 2 1 4 r3+n (-1/2)、0 0.5 一气 5.5 叶々(一3)0 0.5 一气 5.5J J1 2 4 -1 0 1.5 2 -0.5 0 0 17 -17于是有同解方程组92X| +x2 +4曲=一1<O.5X2一5只3 =5.517J3=-17回代得解X3=—1,也=1闪=1,原线性方程组的解为X=(l,l,— 1)丁例2取初始向量*。
)=(0,0,0)［用雅可比迭代法求解线性方程组兀1 + 2X2一2X3= 1<x{+x2+x3 =32x{ + 2X2 +x3 =5解建立迭代格式显z=_2堺+2哎)+1<护=W灯+ 3 (fc= 1,2,3,…)护=_2屮_2垮)+5第二章典型例丿第1次迭代*=o肥)=0,得到炉)=(1,3,5卩第2次迭代，kixj2) =-2x3 + 2x5 + l = 5<42)=-1-5 + 3 = -3x；2)=_2xl_2x3 + 5 = -3X⑵= (5, — 3, — 3卩第3次迭代，k=2屮=-2x(-3) + 2x(-3) + l = l炉)= (1,1,1)T第4次迭代，k=3x；2)=-2xl + 2xl + l = l' X；2> = —1 — 1 + 3 = 1x；2)=_2xl — 2xl + 5 = l0)=(1,1,1)7例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯一赛德尔迭代法发散。
数值分析期末大作业
一、问题提出设方程f(x)=x 3-3x-1=0有三个实根 x *1=1.8793 , x *2=-0.34727 ,x *3=-1.53209现采用下面六种不同计算格式，求 f(x)=0的根 x *1 或x *2 。
1、 x = 213xx + 2、x = 313-x3、 x = 313+x4、 x = 312-x 5、 x = x13+6、 x = x - ()1133123---x x x二、目的和意义1、通过实验进一步了解方程求根的算法；2、认识选择计算格式的重要性；3、掌握迭代算法和精度控制；4、明确迭代收敛性与初值选取的关系。
三、结构程序设计本程序实在matlab 软件上进行操作的。
首先建立一个空白的M-文件。
在编辑器中输入以下内容，并保存。
function [X1,m,n,q]=shizi1(p) x=zeros(100,1); x=double(x);x(1,1)=p;i=1;deltax=100;while (i<100 & deltax > 0.000001)x(i+1,1)=(3*x(i,1)+1)/x(i,1)^2deltax=abs(x(i+1,1)-x(i,1));i=i+1;endX1=x(1,1);m=i;n=x(i,1);q=deltax;以上是运行函数，下一步在建立一个执行M-文件，输入以下内容，并保存。
其中X1为初始值，m为迭代次数，n为最后得到的值，q为|x k+1-x k|。
clear all;clc;p=1.8;[X1,m,n,q]=shizi1(p)1、对第一个迭代公式，在执行文件中输入p=1.8；[X1,m,n,q]=shizi1(p)。
得到如下结果如下：初值为1.8，迭代100次，精度为10-6。
可见该迭代公式是发散的，将初值改为-1.5，其他均条件不变。
p=-1.5;[X1,m,n,q]=shizi1(p)改变初值后可以得到一个接近真值的结果x*3的结果ans=-1.5321。
数值分析详细答案(全)
第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ；二次插值：取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅=＝－0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f，故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ， 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意， ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以，.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值，作均差表：i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =，(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==，由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为()f x 的最大值和最小值处，故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。
数值分析版试题及答案
由于h2，f xx，xk12k k1,2,3，x12 2kk 0,1,2,3，所以，有
k一
2
例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。
解：先消元
再回代，得到x33，x22，1
所以，线性方程组的解为X11,X22,X33
例6、用直接三角分解法求下列线性方程组的解。
解:
则由A LU的对应元素相等，有
10、已知f⑴=2,f(2)=3,f(4)=5.9，则二次Newton插值多项式中x系数为
(0.15)；
度为(5 )
5、设f (x)可微，求方程x f(x)的牛顿迭代格式是()；
Xnf(Xn)
xn1xn~~~
答案1 f(xn)
6、 对f(x) x3x 1,差商f[0,1,2,3]( 1 ),f[0,1,2,3,4]( 0 )
7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；
8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,
截 断 误 差 = 舍入 误 差
(?)
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差
(
1000彳
1.用计算机求 爲时，应按照n从小到大的顺序相加n1n
()
(对)
3.用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
()
4.用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变
11
u1ห้องสมุดไป่ตู้，u13
56
l21u11
l21
1
l31u11-
1312，
121u12
u22
数值分析练习题附答案
目录一、绪论------------------------------------------------------------------------------------- 2-2二、线性方程组直接解法列主元高斯LU LDL T GG T-------------------- 3-6二、线性方程组迭代法----------------------------------------------------------------- 7-10 三、四、非线性方程组数值解法二分法不动点迭代---------------------- 11-13五、非线性方程组数值解法牛顿迭代下山弦截法----------------- 14-15六、插值线性插值抛物线插值------------------------------------------------ 16-18七、插值Hermite插值分段线性插值-----------------------------------------19-22八、拟合------------------------------------------------------------------------------------ 23-24九、数值积分----------------------------------------------------------------------------- 25-29十、常微分方程数值解法梯形欧拉改进----------------------------------- 30-32 十一、常微分方程数值解法龙格库塔------------------------------------------ 33-35绪论1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数.X 1 =5.420, X 2 =0.5420, X 3 =0.00542, X 4 =6000, X 5 =0.6×105注：将近似值改写为标准形式X 1 =（5*10-1+4*10-2+2*10-3+0*10-4）*101 即n=4,m=1 绝对误差限｜△X 1｜=｜X *1-X 1｜≤ 12×10m-n ＝12×10-3 相对误差限｜△r X 1｜= ｜X∗1−X1｜｜X∗1｜≤｜X∗1−X1｜｜X1｜= 12×10-3/5.4201-2 为了使101/2 的相对误差小于0.01%, 试问应取几位有效数字?1-3 求方程x 2 -56x+1=0的两个根, 使它们至少具有4位有效数字( √783≈27.982)注：原方程可改写为(x-28)2=783线性方程组解法（直接法）2-1用列主元Gauss消元法解方程组解：回代得解：X1=0 X2=-1 X3=12-2对矩阵A进行LU分解，并求解方程组Ax=b,其中解：(注：详细分解请看课本P25)A=(211132122)→(211(1/2)5/23/2(1/2)3/23/2)→(2111/25/23/21/2(3/5)3/5)即A=L×U=(11/211/23/51)×(2115/23/23/5)先用前代法解L y＝P b 其中P为单位阵（原因是A矩阵未进行行变换）即L y＝P b 等价为(11/211/23/51)(y1y2y3)＝(111)(465)解得 y 1=4 y 2=4 y 3=35再用回代解Ux ＝y ，得到结果x即Ux ＝y 等价为(2115/23/23/5)(x 1x 2x 3)＝(y 1y 2y 3)＝(443/5) 解得 x 1=1 x 2=1 x 3=1即方程组Ax=b 的解为x ＝(111)2-3 对矩阵A 进行LDL T 分解和GG T 分解，求解方程组Ax=b,其中A=(164845−48−422) ， b ＝(123)解：（注：课本 P 26 P 27 根平方法）设L=(l i j )，D=diag(d i )，对k=1,2,…,n,其中d k =a kk －∑l kj 2k−1j=1d jl ik =(a ik −∑l ij l kj k−1j=1d j )/ d k 即d 1=a 11－∑l 1j 20j=1d j =16－0=16因为 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=a 21/ d 1=416=14 所以d 2=a 22－∑l 2j 21j=1d j =5－(14)2d 1=4同理可得d 3=9 即得 D=(1649)同理l 11=(a 11−∑l ij l 1j 0j=1d j )/ d 1=1616=1=l 22=l 33 l 21=(a 21−∑l 2j l 1j 0j=1d j )/ d 1=416=14 l 31=(a 31−∑l 3j l 1j 0j=1d j )/ d 1=816=12 l 32=(a 32−∑l 3j l 2j 1j=1d j )/ d 2=−4−12×14×164=−64=－32即L=(114112−321) L T=(114121−321) 即LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321)解解：A=(164845−48−422)→(41212−32−33)故得GG T分解：A=(4122−33)(4122−33) LDL T分解为A=(114112−321)(1649)(114121−321) 由(114112−321)(y 1y 2y 3)＝(123) ，得(y 1y 2y 3)＝(0.250.8751.7083)再由(4122−33)(x 1x 2x 3)＝(0.250.8751.7083) ，得(x 1x 2x 3)＝(−0.54511.29160.5694)2-4 用追赶法求解方程组：解：(4−1−14−1−14−1−14−1−14)→(4−14−1154−415−15615−1556−120956−56209−1780209)由(4−1154−15615−120956−1780209)(y1y2y3y4y5)＝(100200)，得(y1y2y3y4y5)＝(256.66671.785700.4784753.718)再由(1−141−4151−15561−562091)(x1x2x3x4x5)＝(256.66671.785700.4784753.718)，得(x1x2x3x4x5)＝(27.0518.20525.769314.87253.718)线性方程组解法（迭代法）2-1 设线性方程组{4x 1−x 2+2x 3=1−x 1−5x 2+x 3=22x 1+x 2+6x 3=3（1） 写出Jacobi 法和SOR 法的迭代格式（分量形式） （2） 讨论这两种迭代法的收敛性（3） 取初值x (0)=(0，0，0)T ，若用Jacobi 迭代法计算时，预估误差 ｜｜x*-x (10)｜｜∞ （取三位有效数字）解：（1）Jacobi 法和SOR 法的迭代格式分别为Jacobi 法迭代格式SOR（2）因为A 是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi 法收敛,SOR 法当0<ω≤1时收敛.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+--=-+-=+-=+++216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x xx x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++-=+-+-=+-+-+=++++++)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω（3）由(1)可见||B ||∞=3/4,且取x (0)=(0,0,0)T ,经计算可得x (1)=(1/4,-2/5,1/2)T ,于是||x (1)-x (0)||∞=1/2,所以有2-2 设方程组为{5x 1+2x 2+x 3=−12−x 1+4x 2+2x 3=202x 1−3x 2+10x 3=3试写出其Jacobi 分量迭代格式以及相应的迭代矩阵，并求解。
数值分析 练习题
已知函数2sin )(xx f π=，给出该函数在点0， 0.5， 1， 1.5， 2上的二次最小二乘拟合多项式.给出公式中的参数α，使其代数精度达到最高，并指明代数精度，用它计算积分⎰10110d log x x())(')('))()((2d )(b f a f b f a f ab x x f ba-++-=⎰α.写出下面线性代数方程组的Jacobi 迭代格式， 并说明它是否收敛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-321321*********x x x用Euler 公式求解下面的常微分方程初值问题，取步长2.0=h :⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-+=10 ,1)0(1d d x y y x x y利用Cholesky 分解计算方程组的解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----986210011152121321x x x用牛顿插值法计算满足下面条件的三次多项式3/97)4( ,2/31)3( ,3/17)2( ,6/5)1(====p p p p .下面题目为编程题，请勿手算，请只用Matlab 语言. 七、(10分) 已知切比雪夫函数)(x T k 定义如下：⎩⎨⎧-===-+)()(2)(,)( ,1)(1110x T x xT x T x x T x T n n n ，编程画出)(0x T 到)(5x T 在区间[-1，1]上的图像.已知有两个Matlab 函数文件定义如下： 文件1 function v = f(x) v = x – cos(x); 文件2function z = g(x) z = x*log(x)-1;请编写一个二分法求根的程序，给定初始区间，给出求解这两个函数根的恰当的调用方式. 解：一、给出一个收敛的迭代方法计算非线性方程2ln =x x 的根，要求得到的根的近似值至少有5位有效数字.二、利用LU 分解求解下面线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--610522222432321x x x .三、求函数211)(x x f +=在区间[-1，1]上的二次最佳平方逼近多项式.四、已知函数x y 2log =有函数值表如下21014212/1-i i y x利用三次插值方法近似计算3log 2.五、确定下面积分公式中的参数，使其代数精度达到最高，并指明代数精度：)1()0()1(d )(10122f f f x x f ωωω++-=--⎰下面题目为编程题，请勿手算，请只用Matlab 语言. 六、(16分) 已知微分方程初值问题如下：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=+=.31,2)1(,log cos d d x y x y xy, (1) 利用Matlab 中的函数求出该微分方程初值问题的数值解，并画出其函数图像； (2)利用上面小题的计算结果，求函数)(x y y =在区间[1，3]上的复合梯形积分的积分值.七、编写一个Gauss-Seidel 迭代方法求解下面线性代数方程组b Ax =的解， 矩阵的维数由命令行输入：⎪⎩⎪⎨⎧≠-+==j i j i j i i A ij ,11,2 ，j b j ln =，.,1n j i ≤≤ 要求程序设置有最大迭代步数以及控制精度.计算如下矩阵的LU 分解.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21121001210012已知函数在节点,,上的函数值以及一阶导数值如下表：求一个5次多项式,满足已知勒让德递推公式⎪⎩⎪⎨⎧==+-++=-+x (x)P 1,(x)P (x)P 1n n (x)xP 1n 12n (x)P 101n n 1n 推导三点高斯勒让德求积公式⎰∑-=≈112)()(i iix f dx x f ω并用该公式计算.考虑线性方程组Ax=b ，其中（为实数）,.（1）写出该方程的高斯-赛德尔迭代格式. （2）证明：当时，高斯-赛德尔迭代发散.用欧拉公式计算如下微分方程在步长1.0=h 时的近似解.⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-=.5.00,1)0(),1(4d d x y xy x y以下三题为Matlab 编程题：六、(12分)已知函数的实测数据组如下表，试用最小二乘法求二次多项式曲线与此数据拟合.2836.47061.31334.35645.20003.24392.18826.03295.02209.000.175.050.025.000.025.050.075.000.1-----i iy x用牛顿法计算方程0123=--x x在附近的根，要求满足精度4110||-+≤-k k x x .用乘幂法和反幂法计算对称正定矩阵A 的条件数，其中和分别是矩阵A 的最大和最小特征值.用高斯消去法或三角分解法求解线性代数方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1317352162419343791213214321x x x x已知函数在节点处的函数值及一阶导数值如下：求四次插值多项式 求函数在上的线性最佳一致逼近.考虑线性方程组Ax=b ，其中,.试写出该方程的逐次超松弛迭代格式（松弛因子为0.9），并讨论该格式的敛散性.用改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=⋅+=++++)],(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x f h y y 计算常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤+=,1)0(10,)1(d d 2y x y x x y的数值解，取步长.已知数据试用最小二乘法求形如的拟合曲线.以下两题为Matlab 编程题： 七、(10分) 用牛顿法计算方程在在附近的根，要求满足精度.八、（12分） 用乘幂法计算矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----2162431343791251204的按模最大特征值与对应的特征向量.设321221111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，322b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，将A 进行Cholisky 分解T A LL =，其中L ：下三角矩阵，并由此求解线性方程组Ax b =．对线性方程组12413423412321564833x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨+-=⎪⎪-+-=⎩ 设法导出使Jacobi 迭代和 Gauss —Seidel 迭代收敛的格式，要求分别写出格式，并说明收敛的理由。
数值分析第三章作业
i 1
5
1
1
5
2
5
4
xi i
5 1
7277699
( 0 , 1) ( 0 , y ) (1 , y )
得
xi i
5
2
5327
i 1
5
yi
2 1
271 .4
xi i
y i 369321 .5
5a 5327b 271 .4 5327a 727699 b 369321 .5
1 2
18.在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间 t/s 浓度 y/(x10 -4 ) 0 0 5 10 15 20
1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求 y f(t )
b
解：将给定数据点画出草图，可见曲线近似指数函数，故设 y ae t ，两边取对 数得
1
2
0.06232136
i
( 0 ,1 ) ( 0 ,1 )
11
1
i
0.6039755
i t i
1 11
( 0 ,y )
i 1
y i 13.639649 ，(1 ,y )
y
0.5303303
i
从而解得法方程为
11A 0.60397556 b 13.639649 0.6039755 A 0.062321366 b 0.5303303
xi yi
19
25
31
38
44
19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式，并计算均方误差. 解：由题意 span 1, x 2 ,0(x ) 1,1(x ) x 2 ，
数值分析习题与答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知的相对误差满足，而，故即2.有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
1. 给定的数值表解：计（误差限，因误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知由式由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里8．使，显然，再令由9. 令称为第二类的表达式，并证明是［］上带权解：因10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数解得最小二乘拟合曲线为11.满足条件的插值多项式(2) ,).设为互异节点，＝( )，＝( ).(4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝( )，＝( )答：（1）（2）（3）（4）习题1.解 6.13）对）求出，按式（）求得2. 用由（6.8）式估计误差，因，故3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。
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模拟试卷(一)一、填空题(每小题3分，共30分)y f (X y)5.解初始值问题的改进的Euler 方法是 ________ 阶方法;y(X o ) y o5x-| 3X 2 0.1x 3 36 .求解线性代数方程组2x , 6X 2 0.7X 3 2的高斯一塞德尔迭代公式为X 1 2X 2 3.5x 3 1若取 X (0) (1. 1.1).则 X ⑴ ______________7.求方程Xf (X)根的牛顿迭代格式是 _______________ .&丨o (x). h(x).L . l n (X)是以整数点X o . X 1.L . X n .为节点的Lagrange 插值基函数，则nxj j (X k )= ----------------- .k 09.解方程组Ax b 的简单迭代格式X (k 1} Bx (k) g 收敛的充要条件是 ___________________ .10 .设f (-1)1. f (0)0. f (1) 1. f (2)5 ,则f (x)的三次牛顿插值多项式为 ___________________ ，其误差估计式为 _________________________ .二、综合题(每题10分，共60分)1. 求一次数不超过 4次的多项式p(x)满足：p(1) 15,p(1) 20 , p (1) 30p(2) 57 , p(2) 72.112.构造代数精度最高的形式为 °xf(x)dx A )f (3)Af(1)的求积公式，并求出1 5 232.设A2 1 0 , x 41422，贝V A =——.，X 广 ----------- 3.已知y=f(x)的均差14flX 0.X 1.X 2]— , flX 1.X 2.X 3]3^5 , flX 2.X 3.X 4]39115，8Hx o .X 2.X 3]- 3,那么均差 f [X 4,X 2, X 3]=4.已知n=4时Newton — Cotes 求积公式的系数分别是：C 04)-,C i (4)9016C (4) .C 2 451有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.(差商)其代数精度.x k x k 13.用Newt on 法求方程x In x 2在区间(2,)内的根,要求 --------------- ----- 10X k25.用矩阵的直接三角分解法解方程组1 02 0X15 0 1 0 1 X 2 3 1 2 4 3 X 317 . 0 1 03 X 476试用数值积分法建立求解初值问题y f (: x ,y)的如下数值求解公式y(0) y o1 32 1 ⑷10. -x x -x, f ()( )(x 1)x(x 1)(x 2)/24( 1,2)6 6二、综合题y n 1y n 1hi (fn1 4fnf n 1)，其中f i f (x, %), i n 1, n, n 1.三、证明题(10分) 设对任意的x ，函数f (x)的导数f (x)都存在且0f (x) M ,对于满足0 —的任意，迭代格式X k 1 X k f (xj 均收敛于f (x) 0的根x *.M参考答案一、填空题91, 16 1. 5 ； 2. 8, 9 ; 3.； 4.1545才1)(3 3x 2k) 0.1x 3k))/5 6. x 2k1)(2 2x (k1) 0.7x 3k))/6 , x 3k1)(1 才1) 2x 2k ")*2/75.(0.02 , 0.22, 0.1543)7. x k 1X kX k f(X k ) . 8 1 f (X k )'X j . 9.(B) 1.p(x) 1520( x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(x 2) 5 4x 3x 2 2x 3 x 4其他方法： 设 p(x) 15 20(x 1) 15(x 1)2 7(x 1)3 (x 1)3(ax b)令 p(2)57 , p (2)72，求出 a 和 b.2•取f(x) 1,x ，令公式准确成立，得:5•解设1 02 0 11 020 1 0 1 l 21 1u22u 23 u 24 1 2 4 3l31 l321u33u340 1 0 3l 41l42 l 43 1u 44由矩阵乘法可求出U jj 和l ij1 1A 。
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第1~4章课后练习
1. 叙述距离空间、赋范线性空间及内积空间的定义。
各举一个例子并验证之。
2．证明：当距离空间(,)X ρ满足下列两个条件时，也是赋范线性空间。
（1）X 是线性空间； （2）(,)(,0),(,)(,0)x y x y x y x ρρρααρ=-=.
3．（1）什么是有界线性泛函；
（2）若在空间C[a,b]上定义泛函f 为()[]()()x a x t C a ,b ,f x t x t dt ∀∈=
⎡⎤⎣⎦⎰,
证明泛函f 是一个有界线性算子，并求其范数f 。
4. 叙述内积空间的投影定理，并说明在最佳逼近中的作用。
5．什么是Hilbert 空间，并举例说明。
6. 写出内积空间U 中的Cauchy-Schwarz 不等式；
验证由内积导出的范数满足范数的三条公理。
7. 在2[,]L ππ-中，定义内积(,)()()x y x t y t dt π
π-=⎰ （1）验证三角函数系{1,cos ,sin ,,cos ,sin ,}t t nt nt 是2[,]L ππ-中的正交系； （2）求出上述三角函数系的一个规范正交系。
8.简述内积空间U 在有限维子空间上最佳逼近的思想和方法。