3.6专题：带电粒子在有界磁场中的运动

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带电粒子在有界磁场磁场中的运动

d
αR O
过程模型：匀速圆周运动规律：牛顿第二定律 + 圆周运动公式条件：要求时间最短
t
s v
速度 v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s 有最小值，则要求弦最短。
题1 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为 d。在垂直B的平面
内的A点，有一个电量为－q、质量为 m、速
y B
如粒子带正电，则：如粒子带负电，则：
60º v
60º
O 120º
x
A. 2mv qB
B. 2mvcosθ qB
C. 2mv(1-sinθ) qB
2mv(1-cosθ)
D. qB
M
D
C
θ θ θθ
P
N
θθ
练、一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力）
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º的
束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，
其中入射角 α =30º，且不经碰撞而直接从出射孔射出的
离子的速度v大小是（
C）
αa
A．4×105 m/s B． 2×105 m/s
r
C． 4×106 m/s D． 2×106 m/s O′
O
解：作入射速度的垂线与ab的垂直平分线交于 r
P
B v0
O
AQ
例、如图，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为
d =1.0×10－2m，A板上有一电子源P，Q点在P点正上方B
板上，在纸面内从P点向Q点发射速度在0～3.2×107m/s范
围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度
B=9.1×10－3T，已知电子质量 m=9.1×10－31kg ，电子电

(完整版)高考物理带电粒子在磁场中的运动解析归纳

难点之九：带电粒子在磁场中的运动一、难点突破策略（一）明确带电粒子在磁场中的受力特点1. 产生洛伦兹力的条件：①电荷对磁场有相对运动．磁场对与其相对静止的电荷不会产生洛伦兹力作用．②电荷的运动速度方向与磁场方向不平行． 2. 洛伦兹力大小：当电荷运动方向与磁场方向平行时，洛伦兹力f=0；当电荷运动方向与磁场方向垂直时，洛伦兹力最大，f=qυB ；当电荷运动方向与磁场方向有夹角θ时，洛伦兹力f= qυB ·sin θ3. 洛伦兹力的方向：洛伦兹力方向用左手定则判断 4. 洛伦兹力不做功．（二）明确带电粒子在匀强磁场中的运动规律带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下：1. 若带电粒子沿磁场方向射入磁场，即粒子速度方向与磁场方向平行，θ＝0°或180°时，带电粒子粒子在磁场中以速度υ做匀速直线运动．2. 若带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，即θ＝90°时，带电粒子在匀强磁场中以入射速度υ做匀速圆周运动．①向心力由洛伦兹力提供：R v mqvB 2=②轨道半径公式：qBmvR =③周期：qB m 2v R 2T π=π=，可见T 只与q m有关，与v 、R 无关。

（三）充分运用数学知识（尤其是几何中的圆知识，切线、弦、相交、相切、磁场的圆、轨迹的圆）构建粒子运动的物理学模型，归纳带电粒子在磁场中的题目类型，总结得出求解此类问题的一般方法与规律。

1. “带电粒子在匀强磁场中的圆周运动”的基本型问题（1）定圆心、定半径、定转过的圆心角是解决这类问题的前提。

确定半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，有时需要建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系（T 2t T 360t πα=α=或）作为辅助。

圆心的确定，通常有以下两种方法。

① 已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图9-1中P 为入射点，M 为出射点）。

带电粒子在有界磁场中的运动

带电粒子在有界磁场中的运动1．带电粒子在有界磁场中运动的三种常见情形(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图2所示)图2(2)平行边界(存在临界条件，如图3所示)图3(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图4所示)图42．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键(1)画出运动轨迹；(2)确定圆心和半径；(3)利用洛伦兹力提供向心力列方程．[深度思考] 1.当带电粒子射入磁场时速度v大小一定，但射入方向变化时，如何确定粒子的临界条件？2．当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度大小或磁场的磁感应强度变化时，又如何确定粒子的临界条件？答案 1.当带电粒子射入磁场时的速度v大小一定，但射入方向变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R是确定的．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件．2．当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v大小或磁场的磁感应强度B变化时，粒子做圆周运动的轨道半径R随之变化．可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．例题1．判断下列说法是否正确．(1)带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用．(×)(2)洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直．(×)(3)洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力．(×)(4)粒子在只受到洛伦兹力作用时运动的动能不变．(√)(5)带电粒子只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同．(×)2．(人教版选修3－1P98第1题改编)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是()答案B3．(人教版选修3－1P102第3题改编)如图5所示，一束质量、速度和电荷不全相等的离子，经过由正交的匀强电场和匀强磁场组成的速度选择器后，进入另一个匀强磁场中并分裂为A、B两束，下列说法中正确的是()图5A ．组成A 束和B 束的离子都带负电B ．组成A 束和B 束的离子质量一定不同C ．A 束离子的比荷大于B 束离子的比荷D ．速度选择器中的磁场方向垂直于纸面向外答案 C4．质量和电量都相等的带电粒子M 和N ，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹如图6中虚线所示，下列表述正确的是( )图6A ．M 带负电，N 带正电B ．M 的速率小于N 的速率C ．洛伦兹力对M 、N 做正功D ．M 的运行时间大于N 的运行时间答案 A解析由左手定则可知，N 粒子带正电，M 粒子带负电，A 正确．又r N <r M ，由r ＝m v qB可得v N <v M ，B 错误．洛伦兹力与速度时刻垂直，不做功，C 错误．粒子在磁场中的运行时间t ＝θ2πT ＝T 2，又T ＝2πm qB，所以t M ＝t N ，D 错误.。

专题63带电粒子在有界匀强磁场中的运动

专题63带电粒子在有界匀强磁场中的运动1．[2022·黑龙江齐齐哈尔二模]如图所示，虚线上方存在垂直纸面的匀强磁场(具体方向未知)，磁感应强度大小为B，一比荷为k的带负电粒子由虚线上的M点垂直磁场射入，经过一段时间该粒子经过N点(图中未画出)，速度方向与虚线平行向右，忽略粒子的重力．则下列说法正确的是()A．磁场的方向垂直纸面向外B．粒子由M运动到N的时间为π6kBC．如果N点到虚线的距离为L，则粒子在磁场中圆周运动半径为2LD．如果N点到虚线的距离为L，则粒子射入磁场的速度大小为kBL2．[2022·湖北省华大联考](多选)如图所示，在正方形区域ABCD内分布着方向垂直于纸面向里的匀强磁场，在A点有比荷相同的甲、乙两种粒子，甲粒子以速度v1沿AB方向垂直射入磁场，经时间t1从D点射出磁场；乙粒子以速度v2沿与AB成30°的方向垂直射入磁场，经时间t2垂直于CD射出磁场．不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，则()A．v1∶v2＝3∶2 B．v1∶v2＝3∶4C．t1∶t2＝3∶4 D．t1∶t2＝3∶13．(多选)如图所示，在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量m＝5.0×10－8 kg、电荷量q＝1.0×10－6 C的带正电粒子以20 m/s的速度从P点沿图示方向进入磁场，速度方向与y轴负方向之间的夹角为37°，已知OP＝40 cm，不计带电粒子的重力，sin 37°＝0.6，若粒子不能进入x轴上方，则磁感应强度B可能的取值为() A．2 T B．3 TC．4 T D．5 T4．(多选)如图所示，P 、Q 为一对平行板，板长与板间距离均为d ，板间区域内充满匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里．一质量为m 、电荷量为q 的粒子(重力不计)，以水平初速度v 0从P 、Q 两板间左侧中央沿垂直磁场方向射入，粒子打到板上，则初速度v 0大小可能为( )A ．qBd 8mB ．3qBd 4mC ．qBd mD ．3qBd 2m5．如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场．一质量为m ，电荷量为q 的粒子沿平行于直径AC 的方向射入磁场，射入点到直径AC 的距离为磁场区域半径的一半，粒子从D 点射出磁场时的速率为v ，不计粒子的重力．则( )A ．圆形磁场区域的半径为2m vqBB ．圆形磁场区域的半径为m vqBC ．粒子在磁场中运动的时间为πm4qBD ．粒子在磁场中运动的时间为πm6qB6．如图所示，在xOy 坐标系的第一象限内存在匀强磁场．一带电粒子在P 点以与x 轴正方向成60°的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y 轴射出磁场．已知带电粒子质量为m 、电荷量为q ，OP ＝a .不计重力．根据上述信息可以得出( )A ．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程B ．带电粒子在磁场中运动的速率C ．带电粒子在磁场中运动的时间D ．该匀强磁场的磁感应强度7．[2022·浙江省宁波市模拟]如图所示，半径为r 的半圆abc 内部没有磁场，半圆外部空间有垂直于半圆平面的匀强磁场(未画出)，比荷为p 的带电粒子(不计重力)从直径ac 上任意一点以同样的速率垂直于ac 射向圆弧边界，带电粒子进入磁场偏转一次后都能经过直径上的c 点并被吸收，下列说法正确的是( )A ．磁场方向一定垂直半圆平面向里B ．带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为2rC ．带电粒子在磁场中运动的最短时间为πpBD ．带电粒子在磁场中运动的最长时间为πpB8.(多选)如图所示，两方向相反，磁感应强度大小均为B 的匀强磁场被边长为L 的等边三角形ABC 边界分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A 处由一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C 点，质子比荷q m ＝1k，则质子的速度可能为( ) A ．BL k B ．BL 2k C ．2BL 3k D ．BL8k9．[2022·河北模拟预测]如图所示，竖直放置的PQ 板左侧为垂直纸面向里的匀强磁场，右侧为垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为B ＝0.332 T ，一质量m ＝6.64×10－27kg ，带电荷量q ＝3.2×10－19 C 的粒子(不计重力)从小孔1位置以垂直板方向，大小为v ＝3.2×106 m/s 的速度开始运动，依次通过小孔2、3、4，已知相邻两孔间的距离相等．则( )A ．粒子带负电B ．相邻两孔间的距离为0.2 mC ．带电粒子从小孔1运动到小孔4所需时间约为5.89×10－7 sD ．带电粒子在PQ 板右侧匀强磁场中运动的时间约为1.95×10－7 s10．[2022·哈尔滨市六中一模](多选)如图所示，在直角三角形ABC 内存在垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB 边长度为d ；∠C ＝π6 ，现垂直于AB 边射入一群质量均为m ，电荷量均为q ，速度相同的带正电粒子(不计重力)，已知垂直于AC 边射出的粒子在磁场中运动的时间为t 0，在磁场中运动时间最长的粒子经历的时间为53 t 0，下列判断正确的是( )A ．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t 0B ．该匀强磁场的磁感应强度大小为πm2qt 0C ．粒子在磁场中运动的轨道半径为237 dD ．粒子进入磁场时的速度大小为23πd7t 011．[2022·河南省名校大联考]如图所示，在半径为a 、圆心角为90°的扇形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，圆弧部分为绝缘弹性挡板．一带电量为＋q 、质量为m 的粒子以某一速度垂直OM 边界射入匀强磁场，进入磁场后仅与挡板碰撞(电荷不发生转移)一次后又垂直ON 边界射出，已知粒子与挡板碰撞后速度大小不变、方向反向．不计粒子重力，求：(1)粒子入射点到O 点距离； (2)粒子的入射速度．。

带电粒子在有界磁场中的运动轨迹

Q P B
S
P
Q
Q
v
S
v
圆心在过入射点跟边界垂直的直线上
圆心在磁场原边界上
v
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
S
①v较小时，作半圆从原边出； ①v较小时，作整圆过射入点； ②v为某临界值时，作部分圆 ②v为某临界值时，粒子作整圆轨迹与另一边界相切；轨迹与边界相切； ③v较大时，作部分圆从另一 ③v较大时，作部分圆从另一边边界出界出
(边界的切线圆)
带电粒子在圆形边界磁场中的运动带电粒子在圆形磁场中的运动从几何角度看，是轨迹圆与磁场圆的相交问题。
O'
径向 r 射 v 入
r
•
轨迹圆
v
O
B
磁场圆
结论1：径向射入必径向射出。结论２：径向射入，速度大圆心角小时间短。
带电粒子在圆形边界磁场中的运动带电粒子在圆形磁场中的运动从几何角度看，是轨迹圆与磁场圆的相交问题。
d
o B θ 圆心在磁场原边界上 v a b ①速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； ①速度较小时粒子作部分圆周 ②速度在某一范围内时运动后从原边界飞出；②速度从侧面边界飞出；③速在某一范围内从侧面边界飞；度较大时粒子作部分圆 ③速度较大时粒子作部分圆周周运动从对面边界飞出。运动从另一侧面边界飞出。
O1 +q
v
粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O1点，有 r L
1
O2
r2
r2
O1 +q
v2 qvB m r
4
v
qBr1 qBL v1 m 4穿出时，圆心在O2点，有
L 2 r L (r ) 2

专题：带电粒子在有界磁场中的运动

专题：带电粒子在有界磁场中的运动三维目标：一、知识与技能（1）掌握求解带电粒子在有界磁场中的圆运动的基本方法：找圆心、求半径、求周期、确定圆心角，熟练运用草图描绘带电粒子运动的轨迹，应用几何知识求解问题；（2）培养学生的分析、解决问题的能力，应用数学知识求解物理问题的能力。

二、过程与方法讲解与学生练习相结合三、情感、态度与价值观进行思维方法教育训练，培养辩证唯物主义观点．【重难点】一．处理有界磁场问题的一般方法：①解答有关运动电荷在有界匀强磁场中的运动问题时，可以将有界磁场视为无界磁场让粒子能够做完整的圆周运动。

②根据边界条件确定粒子运动的路径，进而确定粒子圆周运动的圆心。

③作好辅助线，充分利用圆的有关特性和公式定理、圆的对称性等几何知识表达出粒子运动的半径与偏转角度。

④根据牛顿第二定律，列出动力学方程从而解出有关的物理量。

二．确定圆心常用的方法：①圆心必在洛仑兹力所在的直线上，两个位置洛仑兹力方向的交点即为圆心位置。

②速度方向的垂线一定经过圆心，则任意两条速度垂线的交点既为圆心。

③弦的垂直平分线与速度垂线的交点。

三．粒子在磁场中运动时间的确定：①利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于2π计算出圆心角α的大小，由公式2t T απ=可求出粒子在磁场中的运动时间． ②利用弧长与线速度的关系确定时间。

【典型例题】一、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例题1：如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy 平面并指向纸面里，磁场的磁感应强度为B ；一带正电的粒子以速度V0从O 点射入磁场中，入射方向在xy 平面内，与x 轴正方向的夹角为θ；若粒子射出磁场的位置与O 点的距离为L 。

求①该粒子的电荷量和质量比②粒子在磁场中的运动时间。

二、带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例题2：在以坐标原点 O 为圆心、半径为 r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为 B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示．一个不计重力的带电粒子从磁场边界与 x 轴的交点 A 处以速度 v 沿－x 方向射入磁场，恰好从磁场边界与 y 轴的交点 C 处沿+y 方向飞出．（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为 B ，该粒子仍从 A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了 60°角，求磁感应强度 B 多大？此次粒子在磁场中运动所用时间 t是多少？三、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例3. 如图所示，一带正电的质子从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场，已知两板之间距离为d ，板长为d ，O 点是板的正中间，为使粒子能射出两板间，试求磁感应强度B 的大小（质子的带电量为e ，质量为m ）。

带电粒子在有界磁场中运动(超经典)..

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题“临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。

一、解题方法画图T动态分析T找临界轨迹。

（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大半，余下的就只有计算了——这一般都不难。

）二、常见题型（B为磁场的磁感应强度，V。

为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例1如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF。

一电子从CD边界外侧以速率V。

垂直匀强磁场射入，入射方向与CD边界夹角为9。

已知电子的质量为m电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧EF射出，求电子的速率v o至少多大？分析：如图2，通过作图可以看到：随着V。

的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边界EF 相切，然后就不难解答了。

第二类问题：例2如图3所示，水平线MN下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，在MN线上某点0正下方与之相距L的质子源S,可在纸面内360°范围内发射质量为m电量为e、速度为v o=BeL/ m的质子，不计质子重力，打在MN上的质子在O点右侧最远距离OP，打在O点左侧最远距离OO ___ 。

分析：首先求出半径得r=L,然后作出临界轨迹如图4所示（所有从S发射出去的质子做圆周运动的轨道圆心是在以S为圆心、以r=L为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆——就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），【练习】如图5所示，在屏MN的上方有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。

P为屏上的一小孔，PC与MN垂直。

一群质量为m带电荷量为一q的粒子(不计重力)，以相同的速率v,从P处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。

带电粒子在有界磁场中运动

特点：优弧劣弧加起来，仍是一个整圆，圆越多，圆心角之和越大，所用的时间越长
如图所示，空间存在着两个匀强磁场，其分界线是半径为R的两个圆，两侧的磁场方向相反且都垂直于纸面，磁感应强度大小都是B，外面的磁场范围足够大。现有一质量为m，电荷量为q的带正电的离子（不计重力），从A点沿OA方向射出，离子后来在两个磁场间不断地飞进飞出，最后又能返回到A点，求其返回到A 点所需的最短时间及对应的发射速度v
常见的几类问题： 1、磁场边界是直线或圆，边界把轨迹圆分成几段，优弧劣弧所对应的圆心角的联系。 2、粒子进入有界磁场时，粒子的速度大小不确定，方向确定。 3、粒子进入有界磁场时，粒子的速度大小确定，方向不确定。
qB
磁场是直线边界的情形 1、（01全国），在y<0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B．一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ．若粒子射出磁场 y 的位置与O点的距离为L， q 2v0 sin 求该粒子的电量和质量之比q/m θ x m LB
O
v
第三类问题：粒子进入有界磁场时，粒子的速度大小确定，方向不确定。如图5所示，圆形区域的半径为r，和坐标原点相切，内有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B，坐标原点有一个粒子源，以一定大小的速度v0在纸面内向x＞0的各个方向发射质量m，电荷量 q的带负电粒子，不计粒子的重力。已知带电粒子作圆周运动的 y 轨道半径R＞r，求带电粒子在磁场中运动的最长时间。
y
带电微粒 A 发射装置
R
v
C
O' x
O
4、（09海南物理）如图，ABCD是边长为a的正方形。质量为 m、电荷量为e的电子以大小为v0的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；（2）此匀强磁场区域的最小面积。

带电粒子在有界磁场中的加速运动

带电粒子在有界磁场中的加速运动带电粒子在有界磁场中的运动是一个重要的物理现象，在理论物理和应用领域都有广泛的研究。

磁场对带电粒子施加力的作用下，使其在磁场方向上受到加速运动，并呈现出一系列特征和规律。

本文将对带电粒子在有界磁场中的加速运动进行探讨。

一、洛伦兹力和带电粒子加速运动洛伦兹力是描述带电粒子在磁场中运动的基本力学定律。

当一个带电粒子以速度v进入磁场时，它会受到磁场力的作用，该力的方向垂直于磁场方向和粒子的速度方向，符合右手定则。

这个力被称为洛伦兹力，用F表示。

洛伦兹力的数学表达式为F = qvBsinθ，其中q是带电粒子的电荷量，v是带电粒子的速度，B是磁场的磁感应强度，θ是速度方向和磁场方向之间的夹角。

根据洛伦兹力公式，可以看出带电粒子在磁场中的加速运动与速度的大小、粒子的电荷量和磁感应强度等因素有关。

速度的大小越大，洛伦兹力的大小也越大；电荷量越大，洛伦兹力也越大；磁感应强度越大，洛伦兹力也越大。

二、带电粒子的轨迹带电粒子在有界磁场中的加速运动会使其沿特定轨迹运动。

根据洛伦兹力的方向以及带电粒子的起始速度和初始位置，可以推导出带电粒子的轨迹。

对于带电粒子在有界磁场中的运动，有两种典型的轨迹，即圆形轨迹和螺旋线轨迹。

1. 圆形轨迹当带电粒子的速度与洛伦兹力垂直时，其轨迹为圆形。

这是因为洛伦兹力的作用方向垂直于速度方向，使得粒子受到一个向心力，使其维持圆形的轨迹。

2. 螺旋线轨迹当带电粒子的速度与洛伦兹力有一个非零的夹角时，其轨迹为螺旋线。

带电粒子在磁场力的作用下不仅会维持圆形运动，还会沿着磁场方向进行螺旋运动。

这是因为洛伦兹力的方向会随着带电粒子的运动而不断改变，使得粒子沿着螺旋线运动。

三、带电粒子加速运动的应用带电粒子在有界磁场中的加速运动不仅有理论上的重要性，还在实际应用中发挥着重要作用。

1. 粒子加速器带电粒子在磁场中的加速运动是粒子加速器工作的基本原理。

通过施加电场和磁场，可以对带电粒子进行加速和聚焦，使其能够达到较高的能量和较高的速度。

带电粒子在有界磁场中的运动

带电粒子在磁场中运动
简单回顾
一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1.带电粒子在匀强磁场中运动( v B),只受洛伦兹
F v
o
力作用,做匀速圆周运动 .
2.洛伦兹力提供向心力:
v2 m q v B R
半径:
2R T v
周期:
T
mv R qB 2m
qB
二、 r(1 cos ) cot
mv0 x1 b L a (1 cos ) cot eB eBL （其中 arcsin ） ⑤ mv0
④
P
v0
θ θ
0
图1
x
Q
②当 r<L 时，磁场区域及电子运动轨迹如图 2 所示，
（ 1 ）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。
（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
解析：（ 1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图所示。
2 2 2 r R ( R r ) 由图中知， 1 1 2 1
解得
r1 0.375m
v v
v v v
v
一．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
Q P B P Q
P
Q
v
S
垂直磁场边界射入
①速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出
v
S
①速度较小时，作圆周运动通过射入点； ②速度增加为某临界值时，粒子作圆周运动其轨迹与另一边界相切；③速度较大时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题

③设轨道与 cd 相切的粒子，其轨道半径为 R1，由几何关系可得
R1sin30°＋2l ＝R1
解得 R1＝l，由公式 qvB＝mv2/R，得该轨道上粒子速度为 v01＝qmBl.
④对于从 ab 射出的、速度最小的粒子，其轨道应与 ab 相切，设切点为 N，圆心为 O2，半径为 R2，则 R2＋ R2cos60°＝12l，解得 R2＝13l，由 qvB＝mv2/R 可得 v02＝q3Bml.
由几何关系知
OA＝ AS2－OS2 AS＝2r′ OS＝r′ OC＝r′ 解得 OA＝ 3L，OC＝L 故被电子打中的区域长度为
AC＝OA＋OC＝(1＋ 3)L.
【答案】
BeL (1) 2m
(2)(1＋ 3)L
题后反思 (1)审题应首先抓住“速率相等”⇒即轨迹圆半径相等，其次“各个方向发射”⇒轨迹不同．然后作出一系列轨迹圆． (2)注意粒子在磁场中总沿顺时针方向做圆周运动，所以粒子打在左边和右边最远点的情形不同．
(1)轨迹圆的缩放：当粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的轨迹圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置(半径 R)不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹圆，从圆的动态变化中即可发现“临界点”．
(2)轨迹圆的旋转：当粒子的入射速度大小确定而方向不确定时，所有不同方向入射的粒子的轨迹圆是一样大的，只是位置绕入射点发生了旋转，从定圆的动态旋转(作图)中，也容易发现“临界点”．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
例 1 如图所示，S 为一个电子源，它可以在纸面内 360°范围内发射速率相同的质量为 m、电量为 e 的电子， MN 是一块足够大的挡板，与 S 的距离 OS＝L，挡板在靠近电子源一侧有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，问：

带电粒子在有界磁场中的运动全

带电粒子在有界磁场中的运动全
• 引言 • 带电粒子在磁场中的基本性质 • 有界磁场中的带电粒子运动 • 实际应用和案例分析 • 结论
01
引言
主题简介
01
带电粒子在有界磁场中的运动是一个经典问题，涉及到电磁学的基本原理和粒子动力学的应用。
02
该问题在理论物理、天体物理、核聚变等领域有广泛的应用，是理解许多自然现象的基础。
回旋加速器
回旋加速器是一种利用磁场和电场控制粒子运动的加速器，其原理是将粒子在磁场中回旋加速，通过逐渐增加电场强度来提高粒子的能量。回旋加速器常用于核物理、高能物理等领域的研究。
核磁共振成像
核磁共振成像
磁场强度
射频脉冲
核磁共振成像是一种基于磁场和射频脉冲的医学成像技术，其原理是利用磁场对氢原子核的共振效应，检测人体内氢原子核的信号，从而获得人体内部的图像。核磁共振成像具有无辐射、无创、高分辨率等优点，广泛应用于医学诊断和治疗。
其他形状轨迹
根据磁场的具体形状和粒子的运动状态，还可能出现其他形状的轨迹，如8字形、螺旋形等。
霍尔效应
霍尔电压
当带电粒子在垂直于电流方向的磁场中运动时，会在垂直于电流和磁场的方向上产生电压，即霍尔电压。
霍尔电流
在霍尔电压的作用下，带电粒子会在垂直于霍尔电压的方向上形成电流，即霍尔电流。
应用
THANKS
感谢观看
霍尔效应在测量磁场、研究半导体材料等方面有广泛应用。
04
实际应用和案例分析
粒子加速器
粒子加速器
带电粒子在有界磁场中运动时，可以利用磁场对粒子的洛伦兹力来控制粒子的运动轨迹，从而实现粒子的加速。粒子加速器是现代科学技术中非常重要的实验设备，广泛应用于物理、化学、生物学等领域。

专题：带电粒子在有界磁场中的运动(103张PPT)

v s1 θ1
R1 R2 B O s2
2m T= Bq
r R tan
t = θ 2 T mv R= Bq

2
θ2
练、某离子速度选择器的原理图如图，在半径为R=10cm
的圆形筒内有B= 1×10－4 T 的匀强磁场，方向平行于轴线。在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b。现有一束比荷为q/m=2 ×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，其中入射角 α =30º ，且不经碰撞而直接从出射孔射出的 αa 离子的速度v大小是（） C
两类典型问题
1.带电粒子在有界匀强磁场中（只受洛伦兹力）做圆弧运动； 2.带电粒子在磁场中运动时的临界问题（或多解问题）的讨论
概述 • 1、本类问题对知识考查全面，涉及到力学、电学、磁学等高中物理的主干知识，对学生的空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识解决物理问题能力有较高的要求，是考查学生多项能力的极好的载体，因此成为历年高考的热点。 • 2、从试题的难度上看，多属于中等难度或较难的计算题。原因有二：一是题目较长，常以科学技术的具体问题为背景，从实际问题中获取、处理信息，把实际问题转化成物理问题。二是涉及数学知识较多（特别是几何知识）。
从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与x正方向成60º
的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。
解析：
r
v
y
B
2a
mv 3 Bq
O′ O a
3 mv 得 B 2aq 射出点坐标为（0， 3 a ）
v 60º
x
单边界磁场
练、如图，虚线上方存在磁感应强度为B的磁场，一带正电的粒子质量m、电量q，若它以速度v沿与虚线成300、900、1500、1800角分别射入， 1.请作出上述几种情况下粒子的轨迹 2.观察入射速度、出射速度与虚线夹角间的关系 3.求其在磁场中运动的时间。

带电粒子在有界磁场中的运动

带电粒子在有界磁场中的运动带电粒子在磁场中的运动一直是物理界研究的热门话题之一。

当带电粒子在磁场中运动时，它会受到洛伦兹力的影响，这个力的方向垂直于磁场的方向和粒子的速度方向，并且它的大小与粒子电荷的大小、粒子运动速度和磁场强度有关。

在有界磁场中，带电粒子的运动会受到限制，并且会形成某些特定的运动轨迹，这些轨迹的特征与磁场的形状和强度有关。

以下是对有界磁场中带电粒子运动的探讨。

一、磁场的基本概念磁场是指由带电粒子或磁化物质产生的物理现象。

磁场的大小与磁场中带电粒子的数量、粒子的电荷和速度、以及磁场的强度和形状有关。

磁场有两个重要的特征：方向和大小。

磁场的方向是指磁场力线的方向，如果一个带电粒子在磁场中运动，则它会沿着磁场力线运动。

磁场的大小用磁感应强度或磁场强度来描述，这些量的单位是特斯拉（T）或高斯（G）。

二、带电粒子在磁场中的运动当带电粒子进入磁场中时，它会受到洛伦兹力的作用，这个力的大小与带电粒子的电荷和速度有关，方向垂直于磁场的方向和粒子的速度方向。

由于这个力的方向与带电粒子的速度方向垂直，所以带电粒子会在垂直磁场方向上产生一定的偏移，这个偏移的大小与带电粒子的速度和磁场强度有关。

如果带电粒子的速度和磁场方向垂直，则它会产生一个圆周运动。

在圆周运动中，带电粒子的速度保持不变，而其运动方向会随着磁场方向的改变而改变。

圆周运动的半径与带电粒子的速度和磁场强度有关，可以用以下公式来计算：r =mv/qB，其中，m是带电粒子的质量，v是带电粒子的速度，q 是带电粒子的电荷，B是磁场强度。

当速度和磁场方向不垂直时，则带电粒子会既在垂直于磁场的方向上运动，也在磁场方向上运动。

在这种情况下，带电粒子的轨迹可以用螺旋线来描述。

三、有界磁场中带电粒子的运动在有界磁场中，带电粒子的运动会受到磁场的限制。

在一个有限大小的磁场中，带电粒子不可能一直进行圆周运动或螺旋线运动。

带电粒子的轨迹将会在磁场边界处进行反射，在某些情况下，带电粒子的哪些轨迹是允许的，哪些轨迹是禁止的，这与磁场的形状和强度有关。

带电粒子在有界磁场中运动的分析方法

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由求出；（θ、r和R见图标）b、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

例1．如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入横截面是一正方形的匀强磁场，下列判断正确的是（ B ）A．电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹越长B．电子在磁场中运动的时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线一定重合D．电子的速率不同，它们在磁场中运动的时间一定不相同例2．如图所示，在一矩形区域内，不加磁场时，不计重力的带电粒子以某一初速度垂直左边界射入，穿过此区域的时间为t.若加上磁感应强度为B水平向外的匀强磁场，带电粒子仍以原来的初速度入射，粒子飞出时偏离原方向60°，利用以上数据可求出下列物理量中的( )A．带电粒子的比荷B．带电粒子在磁场中运动的周期C．带电粒子的初速度D．带电粒子在磁场中运动的半径解析：由带电粒子在磁场中运动的偏向角，可知带电粒子运动轨迹所对的圆心角为60°，因此由几何关系得磁场宽度l ＝R sin 60°＝mv 0qB sin 60°，又未加磁场时有l ＝v 0t ，所以可求得比荷q m ＝sin 60°Bt，A 项对；周期T ＝2πm qB可求出，B 项对；但初速度未知，所以C 、D 项错．答案：AB例3．如右图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场．带电粒子(不计重力)第一次以速度v 1沿截面直径入射，粒子飞入磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v 2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角．则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的( )A ．半径之比为3∶1 B．速度之比为1∶ 3C ．时间之比为2∶3 D．时间之比为3∶2答案：AC1．如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个质量和电量均相同的正、负离子，从O 点以相同的速度射入磁场中，射入方向均与边界成角。

§3.6带电粒子在有界磁场中的运动解读

由几何关系知r=L/3 P L O’ O v A x Q 3mv 解得又由几何关系知磁场区域的半径为
小结 1.带电粒子进入有界磁场,运动轨迹为一段弧线. 2.当同源粒子垂直进入磁场的运动轨迹 3.注意圆周运动中的有关对称规律: (1 在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子,必沿径向射出. (2 粒子进入单边磁场时,入射速度与边界夹角等于出射速度与边界的夹角;
例7、如图，一匀强磁场磁感应强度为B，方向向里，其边界是半径为R的圆。

AB为圆的一直径。

在A点有一粒子源向圆平面内的各个方向发射质量m、电量－q的粒子，粒子重力不计。

（结果保留2位有效数字）（1）如果磁场的边界是弹性边界，粒子沿半径方向射入磁场，粒子的速度大小满足什么条件，可使粒子在磁场中绕行一周回到出发点,并求离子运动的时间。

（2）如果R=3cm、
B=0.2T,在A点的粒子源向圆平面内的各个方向发射速度均为106m/s，比荷为108c/kg的粒子.试画出在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹并求此粒子的运
动的时间。

(3在（2）中，如果粒子的初速度大 B 小均为3×105米/秒,求磁场中有粒子到 A 达的面积.
解（1）速度v与轨迹半径r垂直，所以出射速度与R同一直线。

设粒子经过了n个圆弧轨迹回到了A点，所以在右图中、（n－2）（n－2）（2）轨迹的半径r=mv/qB=5cm 要粒子的运动时间最长，轨迹如图β=740时间
t=74T/360=6.4×10-8s （3）粒子的轨迹半径 r= mv/qB=1.5cm o 有粒子到达的区域为如 A 图阴影部分。

专题：带电粒子在有界磁场中的运动

mm
qU 1 mv2 2
U 2qB2R2 m
600
r
O2
磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从磁场
的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：
Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ）Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ）Ｃ.v＞ eBd/msinθ Ｄ.v＜ eBd/mcosθ
d r(1 cos )
C
EB
． v θO
B
D
F
qvB m v2 r
思考：求电子在磁场中运动的最长时间是多长？
专题：带电粒子在有界磁场的运动
双边界磁场（一定宽度的无限长磁场）
例、一正离子,电量为q ,质量为m，垂直射入磁感应强度为B、宽度为d
的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与其原来入射方向的夹角是30°，
d
v
30°
v
（1）离子的运动半径是多少？
θ
（2）离子射入磁场时速度是多少？ O
（3）穿越磁场的时间又是多少？
2
O’
PB
qB
Bq
⑵ 2 vt vt Bq t
r mv m
S
qB
或 t 2 2m 2m 2 qB qB
qB t
2m
3．如图直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m,电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？
①速度较小时粒子作部分圆周运动
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从侧面边界飞；③速度较大时
粒子作部分圆周运动从另一侧面边
界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）