第4章-关系

例 设 X={x1, x2, x3 , x4}, Y={y1, y2, y3},
R={<x1, y1>, <x1, y3>, <x2, y2>, <x2, y3>, <x3, y1>,
<x4, y1>, <x4, y3>}，写出关系矩阵并画出关系图。
x1
1 0 MR 1 1
0 1 0 0
运算“”，得到了一个新的从A到C的关系，
记为RS，也称RS为关系R和S的复合（或合
成）关系；或称RS为R和S的复合运算。形式 地表为： RS={<a, c>|(b)(bBaRbbSc)}
定理4.2.1 设RAA，则RIA=IAR=R 定理4.2.2 若RAB，S,TBC，WCD，

1 aiRbj 0 否则
则称矩阵MR=(rij)mn为R的关系矩阵。
当给定关系R时，可求出关系矩阵MR；反之， 若给出关系矩阵MR，也能求出关系R。 集合 A 上的二元关系 R 也可用有向图表示。 具体方法是：用小圆圈“”表示A中的元素，小 圆圈称为图的结点。把对应于元素ai和aj的结点， 分别标记 ai和aj，若<ai, aj>R，则用弧线段或直 线段把ai和aj连接起来，并在弧线或直线上设置一 箭头，使之由ai指向aj；若<ai, ai>R，则在结点 ai 上画一条带箭示的自封闭曲线或有向环，称这 样的弧线或封闭曲线为弧或有向环。这样得到的 有向图 <A, R>叫做关系 R的图示，简称关系图， 记为GR。
特别A1=A2=· · · =An时，称S为A上的n元关系 。
定义4.1.2 令RAB，且 D(R)={x|(y)(xRy)}
R(R)={y|(x)(xRy)}
F(R)=D(R)+R(R) 则称D(R)、R(R)和F(R)分别是二元关系R 的定义域(前域)、值域和域。 显然D(R)A，R(R)B。 (课本表示：dom=D, ran=R, FLD=F)
复合运算是可结合的，但不是可交换的。
例 设R1 和R2是集合X={0, 1, 2, 3}上的关系，
其中R1 ={<i, j> | j=i+1 or j=i/2}; R2 ={<i, j> | i=j+2}. 求 R1R2 ，R2R1， R1R2 R1 ，R1R1 解 R1={<0, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <0, 0>, <2, 1>}; R2={<2, 0>, <3, 1>}. R1R2 ={<1, 0>, <2, 1>}; R2R1 ={<2, 1>, <2, 0>, <3, 2>}≠ R1R2; R1R2 R1 ={<1, 1>, <1, 0>, <2, 2>}; R1R1 ={<0, 2>, <1, 3>, <1, 1> , <0, 1> , <0, 0> , <2, 2>}
该定义表明了，在表示反对称关系R的有
序对集合中，若存在有序对<x, y>和<y, x>，则 必定是x=y。或者说，在R中若有有序对<x, y>， 则除非x=y，否则必定不会出现<y, x>。
在全集 U 的所有子集的集合中，相等关系 = ， 包含关系 和真包含关系 都是反对称的。在整 数集合Z中，=，≤和<也都是反对称的。
注：有些关系既是对称的又是反对称的，
如相等关系；
有些关系是对称的但不是反对称的，如Z
中的“绝对值相等”；
有些关系是反对称的，但不是对称的，如
Z中的≤和<。
还有的关系既不是对称的又不是反对称的，
例如，A={a, b, c},中R={<a, b>,<a, c>,<c, a>}。
定义4.1.8 令RAA，对于A中每个x, y, z，
定义4.1.6 令RAA，对于A中每个x和y， 若xRy，则yRx，称R是对称的，即
A上关系R是对称的
(x)(y)(x,yAxRy→yRx)
该定义表明了，在表示对称的关系R的有
序对集合中，若有有序对<x, y>，则必定还会有
有序对<y, x>。
在全集 U 的所有子集的集合中，相等关系 是对称的，包含关系和真包含关系都不是对
3 4 1 5 2
3．关系的性质
关系的性质是指集合中二元关系的性质， 这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性 质，并给出它的关系矩阵和关系图的特点。 定义4.1.4 设R是A上的一个二元关系，也 即RAA，若对A中每个x，都有xRx，则称R是 自反的，即 A上关系R是自反的<x)(xAxRx)
R-S，RS 和~R也均为AB的子集。
它们可表示成：
x(R∪S)yxRyxSy x(R∩S)yxRyxSy x(R-S)yxRyx~Sy x(RS)yxRyxSy x~RyxABy-xRy
2．关系矩阵与关系图
从有限集合到有限集合的二元关系除了用 有序对集合表示外，还可用矩阵和有向图形来 表示。 定义4.1.3 给集合A={a1,a2,· · · ,am} B={b1,b2,· · · ,bn}，且RAB，若 rij=
第四章 关 系
4.1 二元关系 4.2 关系运算
4.3 关系类型
退出
4.1 二元关系
二元关系，这里是指集合中两个元素之间的 关系。
1．基本概念
定义4.1.1 给定任意集合A和B，若RAB， 则称R为从A到B的二元关系，特别在A=B时，称R
为A上的二元关系。
可见，R是有序对的集合。若<x,y>R，则
解 domR={1, 2，3， 4}, ranR={1, 3， 4，5}
由于关系是有序对的集合，对它可进行集
合运算，其结果也是有序对的集合，即也是某
一种二元关系。令R和S是两个二元关系，则
R∪S，R∩S，R-S，RS和~R都分别定义了某
一种二元关系。
这是因为：若R, S AB, 则R∪S，R∩S，
则
① R(S∪T)=RS∪RT
② R(S∩T) RS∩RT
③ (S∪T)W=SW∪TW
④ (S∩T)W SW∩TW
பைடு நூலகம்
注释： ② R(S∩T) RS∩RT
若<a,c>R(S∩T) , 则存在a A, b B, 使得<a,b>
R且 <b,c> S∩T, 因此 <a,c> RS∩RT。
定义4.1.5 设R是A上的一个二元关系，即
RAA，若对于A中每个x，有<x, x> R, 也即 x~Rx，则称R是反自反的，即A上关系R是反自 反的<x)(xAx~Rx)。 该定义表明了，一个反自反的关系R中， 不应包括有任何相同元素的有序对。 由定义4.1.4 说明中，可知真包含关系是
A
domR
ranR
B
例 设 X={x1, x2, x3 , x4}, Y={y1, y2, y3},
R={<x1, y1>, <x1, y3>, <x2, y2>, <x2, y3>, <x3, y1>, <x4, y1>, <x4, y1>}. 求 domR, ranR 和 FLDR
解 domR={x1, x2, x3 , x4}, ranR={y1, y2, y3} 和 FLDR={x1, x2, x3 , x4 , y1, y2, y3}。 例 设 A={1, 2，3， 4，5}, 在A上的关系 R={<1,5>, <1,4>, <2,3>, <3,1>, <3,4>, <4,4>}.
此外，还有： ①任何集合上的相等关系=是自反的、对称
的，反对称的和传递的，但不是反自反的。
②整数集合Z中，关系≤是自反的、反对称
的和传递的，但不是反自反的和对称的。关系<
是反自反的，反对称的和传递的，但不是自反
的和对称的。
③非空集合上的空关系是反自反的，对称的， 反对称的和传递的，但不是自反的。 空集合上的空关系则是自反的，反自反的，
递的，但垂直关系不是传递的。
通过上面几个实例，看出：
①若 A 上关系 R 是自反的，则 MR 中主对角
线上元素全为1，而GR中每个结点有有向环；反 之亦然。
②若A上关系R是反自反的，则MR中主对 角线上元素全为0，而GR中每个结点无有向环； 反之亦然。 ③若A上关系R是对称的，则MR是对称矩 阵，而GR中任何两结点若有弧必成对出现；反
称的；在整数集合 Z中，相等关系 = 是对称的，
而关系≤和<都不是对称的。
再如，平面上三角形的相似关系，全等关
系，同街道居住的邻里关系都是对称的。
定义4.1.7 令RAA，对于A中每个x和y， 若xRy且yRx，则x=y，称R是反对称的，即
A上关系R是反对称的
(x)(y)(x,yAxRyyRx→x=y)
2．幂运算
定义 4.2.2 设 R 是集合 A 上的二元关系， nN，R的n次幂记为Rn，定义为： (1) R0=IA (2) Rn+1=RnR 定理4.2.4 若RAA，且m, nN，则 (1) RmRn=Rm+n，
(2) (Rm)n=Rmn。
设R是从X 到Y 的关系，S是从Y 到Z 的关系。
也表为xRy，即<x,y>RxRy。
若R=，则称R为A到B上空关系；若