投掷运动中手臂的数学建模

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完整的数学建模(铅球投掷)

承诺书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2012 年 05 月21 日编号专用页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表铅球投掷问题摘要本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远．运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。

即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用．关键词：铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳一、问题的提出铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

如图1：图1 铅球投掷场地根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。

铅球掷远问题的数学模型

铅球掷远问题的数学模型颜学友1，黄兰香1，黄旺林21．韶关学院2001级数学系数学与应用数学(1)班，广东韶关512005； 2．韶关学院2002级计算机系本科(2)班，广东韶关512005[摘要]：本文综合考虑铅球的受力情况，抓住出手角度、出手速度、出手高度与投掷距离的关系，从解析几何角度考虑铅球的运动方程，进而得出了反映铅球掷远距离与三者函数关系的模型Ⅰ．为了得到更为合理的数学模型，我们进一步观察整个投掷过程，将整个过程分为滑步用力阶段和展臂脱手两个阶段．再对两个阶段分别进行合理的分析，进一步考虑推力、初速度、加速度、出手速度等因素之间的相互关系，对以上模型进行了改进，得到了更为合理的模型Ⅱ．在以上模型的基础上固定出手高度，求出了最佳出手角度为πθk 2±]4/,0(π∈，N k ∈,其中))/(arccos(2/12v gh gh +=θ．另外，运用数值极差法和图象分析法，得出了速度的灵敏性高于出手角度．关键词：出手速度；出手角度；出手高度；灵敏性1 问题的提出铅球掷远比赛要求运动员在直径2.135m 的圆内将重7.257kg 的铅球投掷在 45的扇形区域内，如右图．综合分析铅球的运动过程建立分别符合以下要求的两个数学模型：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型； 2．考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，改进以上模型．3．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度4．比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性．2 模型的分析2．1 模型Ⅰ2．1.1 模型的假设与符号约定1 忽略空气阻力对铅球运动的影响．2 出手速度与出手角度是相互独立的．3 不考虑铅球脱手前的整个阶段的运动状态． 2．1.2 符号约定v 铅球的出手速度 θ 铅球的出手角度 h 铅球的出手高度 t 铅球的运动时间 L 铅球投掷的距离g 地球的重力加速度(2/8.9s m g =)2．1.3 问题的分析问题1要求我们以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型．我们只需求出掷远的距离关于三者的函数关系式．这样，我们合理地简化其他影响因素，从物理、数学上得出关系式即可． 2.1.4 模型的建立与求解铅球出手后，由于是在一个竖直平面上运动．我们，以铅球出手点的铅垂方向为y 轴，以y 轴与地面的交点到铅球落地点方向为x 轴构造平面直角坐标系．这样，铅球脱手后的运动路径可用平面直角坐标系表示，如图(1)．因为，铅球出手后，只受重力作用（假设中忽略空气阻力的影响），所以，在x 轴上的加速度0=，在y 轴上的加速度g a y -=．如此，从解析几何角度上，以时间 t 为参数，易求得铅球的运动方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-==h gt t v y t v x 221sin cos θθ 对方程组消去参数t ，得h x x v gy ++-=)(tan cos 2222θθ……………………………………………(1) 当铅球落地时，即是0=y ，代入方程(1)解出x 的值v ggh gh v g v x θθθθθ2222sin 22cos sin cos sin 2-++=对以上式子化简后得到铅球的掷远模型θθθ22222cos 22sin 222sin g v h g v g v L +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=………………………………(2) 2.1.5 模型的检验以下是我国两名优秀女运动员一次投掷的成绩：从以上数据，我们可以看出由模型Ⅰ计算的结果与实际投掷距离是比较吻合的．但也有一定的误差，这是由于我们忽略了过多的因素，下面我们尽量考虑所涉及到的因素建立模型Ⅱ．2.2 模型Ⅱ2.2.1 模型的假设1 忽略空气阻力对铅球运动的影响．2 手对铅球的推力是一个恒力．3 在铅球脱手前，铅球的运动方向与出手角度一致．4 铅球从静止到运动期间运动的路径是直线的．5 不考虑运动员的身体素质和心理素质对投掷铅球的影响．6 铅球出手瞬间肩部恰在场地边界． 2.2.2 符号约定v 铅球的出手速度 θ 铅球的出手角度 h 铅球的出手高度g 地球的重力加速度(2/8.9s m g =) F 手对铅球的推力m 铅球的质量(m=7.257kg)'h 铅球出手瞬间肩部的高度L 铅球出手后运动的距离1L 手臂的长度 2L 铅球加速的距离S 铅球投掷的总成绩 2.2.3 问题的分析在模型Ⅰ中，我们假设出手速度和出手角度是相互独立的．事实上，整个投掷过程包括滑步用力阶段和展臂脱手阶段，（如图(2)）．它们是相互联系的．所以，模型Ⅰ中假设出手速度和出手角度相互独立是不合理的．现在，我们观察以上两个阶段，铅球从A 点运动到B 点,其运动状态是匀加速直线运动的,加速距离是2L 段．且出手高度与手臂长及出手角度是有一定的联系，进而合理地细化各个因素对掷远成绩的约束，改进模型Ⅰ．２.2.4 模型的建立与求解在投掷角度为θ上进行受力分析，如图(3)由牛顿第二定律可得，ma mg F =-θsin 再由上式可得，θsin g mFa -=………………………………………(3) 又，22022aL v v =-，即22022aL v v += (4)将(3)代入(4)可得，θsin 2222202g L m FL v v -⎪⎭⎫⎝⎛+= ………………………(5) (5)式进一步说明了，出手速度v 与出手角度θ有关，随着θ的增加而减小．模型Ⅰ假设出手速度与出手角度相互独立是不合理的．又根据图(2),有θsin 1'L h h += (6)由模型Ⅰ,同理可以得到铅球脱手后运动的距离θθθ22222cos 22sin 222sin g v h g v g v L +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 将 (4)、(5)、(6)式代入上式整理，得到铅球运动的距离()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθθθ22220'2220sin sin 22sin 2112sin 2sin 22g L m FL v h g g g L m FL v L 对上式进行化简：将m=7.257kg,2/8.9s m g = 代入上式，再令m h 60.1'= (我国铅球运动员的平均肩高)，代入上式进一步化简得，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-++⨯θθθθθ2222232222sin sin 6.192756.06.19sin 6.19sin 2756.0sin 1L FL v L FL v ………………(7) 所以,运动员投掷的总成绩θcos 1L L S +=即为模型Ⅱ．一般情况下，129.1L L =．将2L 代入以上模型，得到S 关于F 和θ的函数关系式(手臂()θθ2sin sin 6.192756.051.0222L FL v L -+=长1L 是常数)．为了了解S 对F 和θ的关系，我们令m L 8.01=，分别用数学软件MAPLE 作出S 对F (令θ=37.6)和S 对θ的图象(令F=350N)供参考：2.3给定出手高度，对于不同的出手速度，要确定最佳的出手角度．显然，是求极值的问题，根据微积分的知识，我们要先求出驻点，首先，模型一中L 对θ求导得，g hv g v g hv v g v d dL θθθθθθθθ22224242cos 82sin sin cos 42cos 2sin 2cos +-+=令0=θd dL,化简后为， 0sin cos 42cos 2sin cos 82sin 2cos 2422242=-++θθθθθθθhgv v hgv v v根据倍角与半角的三角关系，将以上方程转化成关于θ2cos 的方程，然后得，hv g g vgh gh222cos +=+=θ (3)从(3)式可以看出，给定铅球的出手高度h ，出手速度v 变大，相应的最佳出手角度θ也随之变大．对(3)式进行分析，由于0,0>>θh ，所以02cos >θ，则40πθ≤<．所以，最佳出手角度为)arccos(212v gh gh +=θθ是以π2为周期变化的，当且仅当N k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛∈±,4,02ππθ时，πθk 2±为最佳出手角度．特别地，当h=0时（即出手点与落地点在同一高度），最佳出手角度︒=45α． 2.4 参数灵敏性分析 2.4.1 数值极差法模型Ⅰ、Ⅱ是铅球掷远的数学模型，运动员最为关心是怎样才能有效地提高掷远成绩，也就是怎样从出手高度、出手角度、出手速度三个自变量中抓住其中的主要因素，提高掷远成绩．由于出手高度是没有多大变化的，所以，我们应该从出手角度和出手速度着手找出其中对掷远成绩影响较大的变量．也就是比较出手速度和出手角度的灵敏性．这里，我们引入数值分析中的极差来比较两者的灵敏性．根据我国优秀铅球运动员三个因素的具体情况，我们令0.2=h 米，出手速度在10m/s ─15m/s 之间变化，出手角度在37─43变化．用数学软件MA TLAB 编程得到下表：从上表可以看出，出手角度在其可能范围内所引起的成绩的最大改变量在0.06─0.42m 之间；出手速度在其可能范围内所引起的成绩的最大改变量在12.48─12.88m ．这表明，出手速度是影响成绩的主要因素，即出手速度的灵敏性高于出手角度的灵敏性． 2.4.2 图象分析法极差法从数值上分析了出手角度和出手速度的灵敏性，图象法是从得到的模型出发，观察L 关于速度的图象(4)和L 关于角度的图象(5)．分析：图(4)和图(5)是根据我国优秀运动员正常情况下投掷时作出的, 图(4)是s m v m h /10,2==时，θ在一个周期内的图象；图(5)是 37,2==θm h 时，v 在s m s m /15/10-时的图象．图(4)的曲线明显比图(5)的曲线递增要快,几乎任意一点的斜率都要比图(5)中的任意点的斜率要大．也就是说，改变等量的L,θ的变化量比v 的变化量要更大．换言之，改变少量的v 则可以使得L 变化较大．所以，v 的灵敏性较高．3 模型的优缺点模型Ⅰ以出手速度、出手角度以及出手高度为参数建立的数学模型，通过假设出手速度和出手角度是相互独立的，较为简单地描述了掷远距离与三者的关系．缺点是忽略了过多的因素，该模型相对简单且与实际问题有一定距离，不适合精确的计算和要求较高的铅球运动员训练参考．模型Ⅱ综合考虑铅球从静止到脱手整个运动过程，将整个过程分成滑步用力阶段和展臂脱手阶段．合理地假设铅球脱手前作直线运动，利用出手速度与初速度和出手角度的关系，得出的结果更为合理和精确．给定出手高度，对于不同的出手速度，解出了最佳出手角度，这样铅球运动员可以根据不同的出手速度确定最佳出手角度，使投掷距离最远．在模型Ⅰ的基础上，对出手速度和出手角度的灵敏性进行了分析，确定了出手速度的灵敏性高于出手角度．所以,运动员要提高成绩，应该抓住出手速度这一主要矛盾．缺点是数值分析法只能从数值上进行比较，图象分析法是观察图象比较的，较为粗糙．参考文献：[1] 姜启源．数学模型(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2003.8 [2] 刘来福．数学模型与数学建模[M]．北京：北京师范大学出版社，1997.9 [3] 王庚．实用计算机数学建模[M]．安徽：安徽大学出版社，2000.7 [4] 郑永令．力学[M]．上海：复旦大学出版社，1989.10 [5] 程稼夫．力学[M]．北京：中国科学技术大学出版社，1996.3The mathematics model of the shot putYAN Xue-you 1, HUANG Lan-xiang 1, HUANG Wang-lin 2(1. Department of Mathematics, Shaoguan University, Shaoguan 512005 Guangdong China; 2. Department of Computer, Shaoguan University, Shaoguan 512005 Guangdong China)Abstract: This text synthesizes the consideration shot put suffers the dint circumstance, holding tight the handangle,out the hand speed and out the hand the high degree with the relation that throw the distance, consider the square distance in sport of the shot put from the analytic geometry angle, then have to out to reflect the shot put distance with three equation the model Ⅰ that function relation. For getting more reasonable mathematics model, we are further to observe whole foundation for throwing process,Whole process is divided into slipping a correlation for making an effort stage with exhibition arm selling two stages. Again to two stages distinguishing reasonable analysis in proceeding, further considering pushing dint, beginning speed, acceleration, outing hand speed etc. Bases the above model proceeding improvement, getting more reasonable model Ⅱ. In the above model is last fix out hand high degree, beg a the best out hand angle is N k k ∈∈±],4/,0(2ππθ,thereinto ))/(arccos(2/12v gh gh +=θ.In addition,the number ofapplication differs the method very to analyze the method with portrait, get flat-out and intelligent higher than out hand angle.Key wrods: Out the hand the speed;Out the hand angle;Out the hand the high degree; Intelligent。

数学模型--投掷标枪

数学建模课程设计报告标枪投掷模型学院专业学号姓名指导教师成绩教师评语：指导教师签字：2014年7月16日1 绪论1.1 课题的背景标枪是田径运动的投掷项目之一，对核心力量与大腿手臂力量要求严格，但是实际上，标球运动并不是一项只靠身体素质就能取得好成绩的运动，除了与选手的比赛状态有关外，还与选手所采用的技术有关。

而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。

进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。

建立标枪掷远模型。

不考虑阻力，设标枪初速度为ν，出手高度为h，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与ν，h，α的关系式，计算在确定的ν，h下，计算最佳出手角度，进而研究出手速度与出手角度的关系。

1.2 预备知识上述问题是最优化问题，首先应该考虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的关系，这个需要用到一定的物理知识：抛体运动的水平位移和竖直位移的计算方法。

在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。

2 计算机工具简介MATLAB具有非常丰富的图像表达功能，它提供了丰富的作图命令，利用它们可以容易地画出各种函数的二维或三维曲线图形，可以方便地实现数学计算的结果可视化，从中掌握函数的性质和变化趋势，从而求出模型的最优解。

本模型将首先计算出虑投掷距离与初速度、出手高度和出手角度之间的函数关系式，接着在初速度、出手高度一定的情况下，找出投掷距离与出手角度之间的关系。

然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。

再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。

3 模型的假设3.1 模型假设(1)标枪运行的过程中没有任何阻力；(2)可以将标枪看作一个质点；(3)投射角度α与投射初速度ν是两个相互独立的量；(4)设当地的重力加速度为g，且取值为9.8m/s，并在投掷的任意点都相等；(5)标枪运动轨迹在同一平面内，且地面处处水平。

投掷铅球的数学模型

,
分析表中数据变化规律可以发现 ¹ 初速度 V 是影响投掷距离的最主
要因素初速度提高 1 米 / 秒
,
:
½ 表
测量
,
1
可为运动员寻找个人差距
。
、
改
进投掷技术提供参照均值
h
;
。
铅球出手高度易于
,
,
则投掷距离
.
或 4 o 0 则投掷距离均不高于 3 4’
, ,
若实际投距与表
。
6 2 米
2
厘米的差距离对于高水平的
,
中的距离有较大差距
,
,
则很可能是由于出
,
运动员来说是极其宝贵的
往往决定能否
球角度不佳所致运动员应调整出球角度
0
.
’
41 47
0
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0
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(1 3 9 4 ) (1 5 0 9 ) ( 1 6 3 1 ) (1 7
4 1 20
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1 75
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0
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5 6 ) (1 8 8 6 ) ( 2 0 2 3 ) ( 2 1 6 3 ) ( 2 3 0 9 ) ( 2 4 6 0 ) 0 0 , 0 , 0 ’ 0 , 0 , 0 ’ 4 1 59” 42 0 8 4 2 21 42 32 42 42 42 50 42 58

有关铅球出手角度的数学建模探究

有关铅球出手角度的数学建模探究储思哲高一（8）班【关键词】铅球出手角射程一、研究目的掷铅球是一项广为人知的体育运动，而铅球以何种角度出手才能掷得最远呢？对这一方面本人想进行一些探究。

二、研究方法数学建模分析三、分析与讨论1.简单分析抛出角度与射程的数学关系忽略次要条件，只考虑铅球从地面直接斜抛，没有空气阻力，设抛出速度为V 0，铅球质量为m ，抛起时与水平面角度为θ，落点距起点位移为S 。

则有202cos sin V S=g θθ⋅⋅，不妨设V 0=13 m ／s ，g 取9.8m/s 2，求得函数图像为，当且仅当θ=4π时取到最大值S=17.24 m ，而这个数据与男子铅球的最高纪录23.12m 相差较多，所以需要添加条件进一步运算。

2.更靠近现实的模型分析现实中，运动员的身高因素必须要进行考虑。

由于投掷时运动员将铅球放于肩膀和脖颈之间的位置，我国男子平均身高约为170㎝，所以不妨设铅球掷出时离地有155㎝。

此时0S=cos Vθ⋅，设V0=13 m／s，g取9.8m/s2，取得函数图像为在B点取到最大值S=23.55 m，此时θ=0.83≈47.56度，这一数值与世界纪录相当，但是掷铅球的最佳角度为40度左右，θ明显大于此角度，能否添加条件使得模型更加精确呢？3.能否进行更精确的模型建立开始，我们将空气阻力这一相对次要的条件略去了，而在精确的分析中它可能是必不可少的。

同时，运动员出手之时，在铅球还没有离开运动员手中的时候，球随着手的斜向上运动进行了一段加速，实际离开手的位置较肩部要高，约为1.7米。

根据流体力学知识，流体对物体的作用力可用20f A αρυ=来表达。

α为一系数，A 为物体的截面积，0ρ为流体的密度，υ为物体相对于流体的速度。

在地球表面处α=0.45，男子铅球的半径约为120㎜，则A =0.045㎡，空气的密度0ρ=1.25 kg/m 3，得2f 0.0253υ=。

根据V 0=13 m/s ，算出抛出时f=4.276 N ，则a 0 = f m =0.59 m/s 2，根据测量，铅球在空中飞行的时间平均约为1.5秒，空气阻力对于速度的总改变量的大小不足1 m/s ，而相对于g 对于速度的改变量，更是远远不到，所以，在这一研究中，不妨设V 0=12.7 m/s ，以抵消空气阻力的影响。

madymo操作实例

ExampleBasketball game目标：测试创建文件：Playing Basketball参考坐标系图1 投篮模型模型设置：模拟投篮过程，需要创建手臂模型、地面模型、篮球模型、篮球架模型。

其中，要求将篮板建成多面体。

第一部分：一般输入在CONTROL_ANALYSIS.TIME中，将仿真时间设为2.0秒。

第二部分：地面模型建立一个参考空间（SYSTEM.SPACE），然后在其中建立一个平面来代表地面（SURFACE.PLANE），平面定义在xy面内，其坐标如下：第三部分：手臂模型图2 手臂模型1．创建一个新的系统（SYSTEM.MODEL ）作为手臂，其中创建3个体（BODY .RIGID ），分别代表上臂，前臂和手。

2．使用旋转铰将体1和参考空间连接起来，用第二个旋转铰将体2和体1连接起来，用第三个旋转铰将体3和体2连接起来。

位置要求如图2所示。

使用ORIENTION.xxx 元素来转动坐标系，以保证铰的转动方向（在图2中，旋转轴应垂直于纸面，即y轴）。

旋转铰的初始旋转轴为x轴，需沿z轴转90°。

3．为上臂创建一个椭球，半轴分别为0.04m，0.04m，0.15m；为前臂创建一个椭球，半轴分别为0.035m，0.035m，0.13m；为手创建一个椭球，半轴为0.04m，0.02m，0.08m。

4．初始条件（1）使用INTIAL.JOINT_POS为旋转铰1定义初始角度为135°，使用INTIAL.JOINT_STATUS将旋转铰1的状态定义为LOCK。

（2）使用INTIAL.JOINT_POS和INTIAL.JOINT_VEL为旋转铰2定义初始角度为70°，初始角速度为-11rad/s。

（3）为旋转铰3定义初始角度为43°，初始角速度为-11rad/s。

设定初始条件前：设定初始条件后：5．铰的刚度为手臂上的铰加入如下刚度特性：ArmUp_ArmLow_jnt ArmLow_Hand_jntx f(x) x f(x)-0.01 -10.0 -1.57 -5.00.0 0.0 0.0 0.00.5 5.0 1.57 5.01.57 10.0使用迟滞模型1，迟滞斜率为1e5，阻尼系数为1第四部分：球体模型1．建立一个系统模型SYSTEM.MODEL，用来代表篮球。

数学模型投掷标枪

数学模型投掷标枪数学模型在投掷标枪中的应用投掷标枪是一项需要精确技术、力量和技巧的运动。

为了更好地理解这项运动，并改进运动员的表现，我们可以借助数学模型。

本文将介绍投掷标枪中的数学模型，包括投掷角度、投掷速度和空气阻力等方面，以期为运动员、教练员和相关研究人员提供有价值的参考。

在投掷标枪的过程中，投掷角度是一个非常重要的因素。

最佳的投掷角度可以使得标枪在飞行的过程中获得最大的水平速度和稳定性。

一般来说，投掷角度是指标枪与水平线的夹角，通常在30度到50度之间。

然而，具体的最佳投掷角度取决于运动员的身高、臂长和技巧等因素。

因此，每个运动员的最佳投掷角度需要进行个性化的测定和调整。

投掷速度是另一个影响标枪飞行的重要因素。

速度越快，标枪在空中的时间越短，受到空气阻力的影响就越小。

然而，投掷速度不能无限制地增加，它受到运动员的力量和能力等因素的限制。

一般来说，优秀的标枪运动员的投掷速度可以达到60米/秒左右。

空气阻力是投掷标枪中不可忽视的因素。

在理想情况下，标枪会在空气中以恒定的速度飞行，但实际上，空气阻力会导致标枪的速度逐渐降低。

为了减少空气阻力对标枪飞行的影响，运动员需要采用正确的握枪姿势和投掷动作。

此外，标枪的材料和形状也会对空气阻力产生影响。

为了定量地描述投掷标枪中的各种因素，我们可以建立数学模型。

例如，假设标枪为刚体，可以应用刚体动力学的知识，建立标枪运动方程。

在这个方程中，我们可以引入投掷角度、投掷速度、空气阻力等因素，从而对标枪的飞行过程进行数值模拟和预测。

通过数学模型，我们可以更好地理解投掷标枪中的物理原理，从而指导运动员的训练和比赛。

例如，通过模拟不同投掷角度下的标枪飞行轨迹，运动员可以找到自己的最佳投掷角度；通过模拟不同投掷速度下的标枪飞行轨迹，运动员可以了解自己的投掷能力和潜力。

此外，我们还可以通过改变标枪的材料和形状，优化标枪的空气动力学性能，从而提高运动员的表现。

总之，数学模型在投掷标枪中具有广泛的应用价值。

数学模型投掷标枪

而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。

进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。

建立标枪掷远模型。

在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。

然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。

再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。

篮球投射的数学模型

篮球投射的数学模型数学系20021112班苏之品指导教师铁勇摘要：数学模型是数学中的重要内容之一，建立数学模型有着很强的实用性。

该文从出手角度和出手速度等关系入手，对篮球投射问题深入分析，建立其数学模型，并给出详细的求解过程和结果。

意在对篮球投射问题做一点研究，体现数学模型的实用性。

关键词：篮球投射；出手角度；数学模型The Mathematical Model of Basketball ThrowingAbstract：Mathematical models are such an important part of the content of mathematics that establishing mathematical models is very practical. Starting with the relationship between throwing angle and throwing speed and so on, this paper thoroughly analyzes the issue of basketball throwing, establishes a mathematical model for it, and also gives its detailed solution procedure and its results. It aims at making a research into the problem of basketball throwing so as to illustrate the practicality of mathematical models.Key words：basketball throwing; throwing angle; mathematical model1 引言目前，国外研究篮球问题的角度主要从组合、技术、营养、技巧等方面入手，全方位、多侧面考虑多种因素对投篮效果的影响，建立数学模型进行研究，并打造出了类似NBA的国际知名球赛．国外研究考虑的因素虽比较全面,有利于球员的充分发挥,但由于中国球员的身高、体力等与国外球员相比有较大差别, 因此, 此类数学模型不能全部照搬．而国内著作在该方面的研究相对较少．郭鼎文在文献[2]中对篮球投射如何使命中率提高作了很好阐述,但没有针对这个问题给出实际有效的模型，以便更好地分析问题；文献[3]、[4]、[15]分别从球员的攻防能力、得分能力、若干技术指标与队员比赛能力方面运用统计学的方法建立模型，并且主要针对CBA等职业球赛的球员的身高、体能等方面的因素作分析，虽然具有一定的实用性，但是缺乏普遍应用性，还有待于更深入地研究．本文就是在这样的背景下,对篮球投射的问题作一点讨论．运用运动力学的知识，建立有效的篮球投射模型, 从篮球投射时球的出手角度、出手速度、出手高度和篮球球心与篮圈圈心的水平距离、篮球入射角之间的关系入手，分析各种因素对投篮命中率的影响，并作适当的假设，在合理估计出手点与篮圈圈心距离并保持出手速度稳定的情况下, 确定投篮的最佳出手角度和最佳出手速度，得出一个既能使投篮时不过多耗费体力又能提高投篮命中率的结论．2 问题提出篮球是一种跳跃运动，而投射是一种常见的投篮动作[1]，但是运动员如何在投篮的过程中把握好投射，并准确有效地投篮呢？下面针对问题进行详细的分析,并建立数学模型.3 问题分析投射的关键是向上举球和起跳动作协调一致，同时保持篮球在空中最高点被迅速稳定地投出[2]．投球的过程是一个抛物的过程，球飞行的弧线可看作是一条抛物线．过去的实验表明，投篮的抛物线过高，球飞行的时间过长，路程也大，受空气的阻力和风力的影响则大，不宜控制球的飞行方向，从而影响投篮的命中率[3]. 篮球飞行的抛物线太低，球的入射角较小，也难于将篮球投中．考虑合理的出手角度和出手速度是解决问题的最大关键[4]，此时,篮球在飞行过程中受空气阻力、风力的影响等许多次要因素，则可以忽略(不影响投篮的实际效果)．4 模型假设（1）据物理学知识，假设投篮时，篮球与球板的碰撞是完全弹性碰撞[5]，没有能量损失;（2）运动员掌握熟练的投篮技术，并能根据实际需要控制球的出手角度与相应出手速度，准确判断出手点与篮圈圈心的水平距离;（3）运动员有良好的心理素质[6],防守队员的防守不影响投篮的命中率;（4）投篮的运动曲线和篮圈圈心在同一平面内;（5）忽略空气阻力，篮球在空中的旋转不影响投篮效果;（6）篮球是一个质点，且这个质点的位置位于球的重心（球心）．5 符号说明s：出手点到篮圈圈心的水平距离；R：篮圈的半径（0.2m）；H：篮圈高度（3.05m）；h:出手高度；q：出手角度；q：最佳出手角度；A q：阴影部分面积；()v：球出手时线速度；t：球的飞行时间（以出手时为零时刻）；g：重力加速度；x ：水平方向上的横坐标（以篮球的出手点为坐标原点）； y ：竖直方向上的纵坐标（以篮球的出手点为坐标原点）；00(,)x y ：篮圈的圈心坐标（以篮球的出手点为坐标原点）； a ：球的入射角度；6 模型建立及求解6．1 投空心篮时的情况分析以篮球出手时篮球球心为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图1：由动力学知弧、 2op 的方程为一般性运动轨道方程，可用参数方程（1）描述t 时刻球的所在位置[7], 即:221sin cos gt vt y vt x -==θθ， (1)消去参数t 得到222cos 2tan x v gx y θθ-=， (2)若篮球球心恰好通过篮圈圈心，将),(00y x 代入（2）整理得到)tan (cos 2002202y x gx v -=θθ. (3)用mathematica 软件画出(3)式的图像为（程序如附录1），如下图2：图1图 2由抛物线的性质得知，出手角度q 增大，入射角度a 也增大，q 减小，a 也减小．当q 减小到30︒以下时, 篮球就会与篮圈相碰而很难进入圈中[8], 故若要考虑篮球投中的情况, 则只需考虑q 大于30°的情况即可．由图二可以分析出，当q 大于30︒时,q 大增大,v 增大，这就说明要使篮球运动时通过篮圈圈心，且当篮球的出手角度增大时,球的出手速度也相应增大，由数学知识，结合运动学知识分析（如图3）发现，当球垂直（a 为90︒时）进入圈中时，篮球可以通过的范围是整个篮圈,即直径为45cm 的圆圈. 如图3中的甲图所示，a 小于90︒时篮球可以通过篮圈的范围变成了一个椭圆（长轴等于篮圈的直径，如图3中的乙、丙），从上面可以看出，v 增大，q 增大，a 也增大，篮球可以通过的范围（椭圆面积）也增大，从一定程度上说提高了投篮命中率，反之，则使篮球可以通过的范围变小．但是否v 、q 越大越好呢？我们将作进一步讨论．为20米/秒，这个速度远远超过了任何运动员用任何投球方式所能达到的速度．说明、并不是可以无限地增大，那么考虑v 、q 为多大时，才能使投球效果最佳，而又切合实际呢？根据(2)式设 1op 的方程为22201tan 2cos g y x x v q q=-, (4)由曲线 1op 过点1000(,)p s R H h --,有 000222010()tan ()2cos ()s R H h gv s R q q ---=-, (5) 故 1op 的方程为 200020()tan ()tan ()s R H h y x xs R q q ---=--， (6)同理， 2op 过点2000(,)p s R H h +-,且 2op 的方程为 200020()tan ()tan ()s R H h y x x s R q q +--=-+， (7)写出直线1op ，2op 的方程直线1op 的方程为000H h y x s R-=-， (8)直线2op 的方程为000H h y x s R-=+， (9)求阴影面积，()A q 有dx x R s h H x R s h H R s x A A Rs o op ])()(tan )(tan [0002200000101--------=≡⎰-∆θθ []200000000111()tan ()tan ()()()()232s R s R H h s R s R H h q q =---------，(10)dx x R s h H x R s h H R s x A A Rs o op ])()(tan )(tan [0002200000202+--+--+-=≡⎰+∆θθ[]200000000111()tan ()tan ()()()()232s R s R H h s R s R H h q q =+-+--+-+-， (11))()](2[210000321h H R h H R A A p op -=-=≡∆， (12) 故21300024()tan ()33A A A A s R R H h q q =--=--. (13) 由()A q 的表达式可以看出，tan q 越大（即q 越大，q ﹤90︒），()A q 越大，但事实上,投篮初速度只能在某一范围内变化[10]，由（3）式知，相应的出手角度也只能在某一范围内变化，所以tan q 只可能在某一范围变化．为求tan q 在所给定的范围内使()A q 达到最大时的值，我们把()A q 化为关于初速度v 的函数来求极大值[11]．回到运动方程222tan 2cos g y x x v q q=-， (14) 设它过点00(,)s H h -,00[,]s s R s R ?+,将此坐标代入(14)式有20022tan 2cos gH h s s v q q-=-， (15) 从而20022tan ()(1tan )2s H h g v sq q --+=， (16) 这是关于tan q 的一元二次方程，取其较小的根21tan (v gsq =-， (17)其中，2v 应满足0)(2220024≥---s g g h H v v ． (18) 解上述不等式，得到20(v g H h ?+． (19)又因为2tan 0()d d v q =<, (20)所以，θtan 是2v 的严格单调减函数[12]，当 2v 达到最小值时，θtan 达到最大值，由于)()((22200002s v s h H h H g v m =+-+-≥, (21)故有20001max tan ()tan ()m H h v s s gs s q q -==+, (22)(23)从（23）式可以看出，)(0s θ是关于s 的单调减函数，所以,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--≤1)(arctan )(20000000R s h H R s h H s q ， (24)另一方面⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--≥1)(arctan )(20000000R s h H R s h H s q , (25)综上所述，一般投射角应控制在以下范围内，即⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+--≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-++-1)(arctan 1)(arctan 20000002000000R s h H R s h H q R s h H R s h H ．(26)相应地，由（3）式，出手速度v 应控制在[][]20200002020000)()(2)()(2R s h H h H g v R s h H h H g ++-+-≤≤-+-+-． (27)范围之内．6．2 投碰板篮时的情况分析现在假设与篮球板背面的那边也有一个“篮圈”，这时根据假设（1），补出篮板背面的部分，篮球运动的曲线也构成一条抛物线，这种情况考虑为这条抛物线也通过篮板后面的那个篮圈[13]．但这时球员要正确估计球出手点到虚拟篮圈圈心的水平距离，这时投篮的情况转化为投空心篮的情况给予考虑，（原0s 变为0s +0.575，计算机程序如附录3），如图4:7 模型应用篮球运动员在投球的瞬间，需要大概估计出手点的所在高度和出手点与篮圈圈心的水平距离，这将影响投篮的效果[14],下面根据投空心篮和碰板篮的不同情况给出结论．h=2.9m为例,篮球运动员投空心篮时,利用公式(26),可以求得在不同的⑴以出手点高落球点的相应出手角度范围如下（用Mathematica程序求解，程序如附录2）:投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表h=2.5m,运动员投空心篮时,可以利用公式(26)在不同的落球点的相应出以出手点高为手角度范围如下:投空心篮时落球点与出手角度的情况统计表h=2.5m投碰板篮,运动员投碰板篮时,可以利用公式(26)在不同的落⑵当出手高度为球点的相应出手角度范围如下(程序如附录3):投碰板篮时落球点与出手角度范围的情况统计表h=2.5m，在罚线线投球的最佳出手角度是49︒，从表中可以看出，当投篮的出手点高在三分线投球的最佳出手角度是47.5︒．这与现实中的投篮结果差异很小[15]．8 总结本文对现实中的篮球投射问题作了一点点探讨.针对篮球运动员投空心篮与碰板篮的不同投篮情况，假设在保持合理有效的出手角度情况下,忽略空气阻力和风力对投篮效果的影响（这样的假设并不会影响投篮的实际效果,有利于问题解析的简化）, 根据各个运动员不同的身高、不同的位置和不同的出手点，建立数学模型,充分考虑影响投篮效果的出手速度和出手角度等主要因素，逐步分析导出投篮的出手点与所在位置的最佳出手角度（利用附录2、3，可以有效改变出手高度,进而影响出手角度和出手速度），并利用数学软件Mathematica的作图功能处理数据、绘出图形促进了问题的有效分析．此外，现实篮球运动中还有很多情况可以通过建立数学模型进行有效分析,数学模型的作用表现出越来越广泛的作用,建立模型需要的知识也越来越复杂.鉴于本人知识水平有限，还有很多不足的地方，有待于日后进一步学习和研究．附录1In[1]：x0=6.25;y0=0.55;g=9.8;Plot[（gx0^2/(2cos[θ]^2(x0tan[θ]- y0))）^(1/2)，{ θ，0，pi/2}]附录2运行Mathematica源程序In[1]：=s0=6.25;R=0.2;high1=3.05; high2=2.5;In[5]：=temp1=(high1-high2)/(S0+R);temp2=(high1-high2)/(S0-R);In[7]：=thetal=ArcTan[temp1+sqrt[temp1^2+1]ж180/N[pi] ]out[7]：=47.44In[8]：= theta2=ArcTan[temp2+sqrt[temp2^2+1]ж180/N[pi] ]out[8]：=47.60In[9]：=tempH=high1-high2;In[10]：v1=sqrt[2ж(tempH+sqrt[tempH^2+(S0-R)^2] ) ]out[10]：=3.4502In[11]：v2=sqrt[2ж(tempH+sqrt[tempH^2+(S0+R)^2] ) ]out[11]：=3.56421附录3只须将附录2中的S0分别加上0.575即可求出相应出手角度与出手速度．参考文献[1] 郭洪宝．篮球竞赛规则问答[M]．北京：北京体育大学出版社，2004：76~78．[2] 郭鼎文．投篮的技巧[M]．北京：北京体育大学出版社，2003：10~23．[3] 杨远波．第六届中国大学生篮球联赛男子８强攻防能力研究[J]．成都体育学院学报，2006，(1)：72~74．[4] 何惠民．对CUBA男篮得分能力的研究与分析[J]．杭州师范学院学报，2003，（10）：16~18．[5] 程守洙，江之永．普通物理学[M]．北京：高等教育出版社，2001：103~104．[6] 张新仪，寇振声．篮球运动理论与方法[M]．山东：石油大学出版社，2001：374~376．[7] 赵凯华，罗蔚茵．力学[M]．北京：高等教育出版社，2004：26~27．[8] 汤小康，张怀钊．街头篮球实战技巧[M]．北京：北京体育大学出版社，2004：90~92．[9] 张宏杰，陈钓．篮球运动[M]．北京：北京体育大学出版社，2004：11~15．[10] 李尚志，陈发来，吴耀华．数学实验[M]．北京：高等教育出版社，2003：8~10．[11] 孙薇荣，谢国瑞，郭镜明．高等数学[M]．北京：科学出版社，2004：189~190．[12] 欧阳光中，姚允龙，周渊．数学分析[M]．上海：复旦大学出版社，2004：145~147．[13] 胡运权，郭耀煌．运筹学教程[M]．北京：高等教育出版社，2003：449~451．[14] 斐博儒．篮球策应技术与训练[M]．北京：人民体育大学出版社，2003：133~136．[15] 翁荔．CUBA若干技术指标与队员比赛能力的分析和探究[J]．上海体育学院学报，2003，(1)：37~38．指导教师评语：苏之品同学的论文从数学模型的方面对篮球投射问题作了很好的理论探索。

铅球掷远模型

铅球掷远模型一、问题重述建立铅球掷远模型，不考虑阻力，建立投掷距离与铅球初速，出手高度，出手角度（与水平地面夹角）的关系式，并求出在铅球初速和出手高度一定的条件下的最佳出手角度。

二、模型假设1、不考虑铅球的旋转对铅球速度和运行轨迹的影响2、不考虑空气的阻力3、选取9.8为重力加速度的数值4、不考虑投掷铅球的过程中手对铅球运动状态的影响5、把铅球的看做一个质点三、符号说明V：铅球初速A：出手角度H：出手高度L：投掷距离G：重力加速度T：表示时间V x：水平方向分速度V y：竖直方向分速度四、问题分析针对这个模型，画出铅球的运行轨迹，并分解速度到水平和竖直两个方向，根据运动学规律建立方程组，联立可以得到L与V,H,A的关系式，第二个问题，可以让L对A求导，使倒数为零的点就是函数的极值点，可以得到最佳出手角度。

五、建立模型建立如图所示直角坐标系，画出铅球的运动轨迹对速度做如上分解：V x =VcosA;V y =VsinA;球抛出时，在第一段过程中，先是竖直方向做加速度为—G 的匀减速运动，减速到0后又做加速度为G 的匀加速运动，所以当铅球到达抛出点时，竖直方向速度仍为V y ,方向向下，所以在这段运动过程内，所花时间2)(1⨯÷=g V T y 。

在第二段过程中，球做加速度为G ，初速度为V y 的匀加速运动，所以可以列出路程与时间的关系式T T V G H y 22221⨯⨯+⨯=求解可以得到H G y V T ⨯+=222.因此，)(21T T V x L +⨯=代入T 1，T 2，V x ，V y 得到 )2sin sin 2(cos 22H GA G A V A V L V ++= 令0d =dA L 得到最佳出手角度)(2sin 21GH V A V +=- 令H=15m/s,V=10m/s,可以算出A= 4.41o L=11.4m.六、模型改进及推广对于这个模型，有很多因素没有考虑，简化成了最理想的情形，在建模过程中可以把球的旋转等对球的运动状态影响较大的因素考虑进来。

数学模型--投掷标枪之欧阳文创编

而本次我们就来研究一下在确定的力量与身高下求最佳的出手角度。

进而再研究通过一定的训练使力量增加，研究力量与出手角度和距离的关系。

建立标枪掷远模型。

在得到这个关系后，进而转化为初速度、出手高度一定的情况下，求解最佳出手角度。

然后给出一组具体的初速度和出手高度，利用MATLAB作图工具绘制出投掷距离和出手角度的关系图，从曲线中掌握函数的变化趋势，最终求出最优解。

再对出手角度与出手速度都未知求它们与最远距离的关系，以及出手角度与出手速度的对最远距离的影响关系。

铅球抛掷问题数学建模

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我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展
铅球抛掷问题
摘要
本文探究了铅球投掷远度的影响因素等一系列问题。运用了牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学物理模型探讨了出手速度v（m/s），出手高度 h（m）,出手角度 α（度），这三个影响铅球投掷水平位移s(m)的主要因素。然后运用数值法进行分析，计算各影响因素的主次关系。
问题一的分析：根据斜抛运动及牛顿运动定理求解铅球抛掷的水平距离s(m)以及求出水平距离s 与出手速度v（cm/s）出手高度h（m），出手角度α（度）的影响。用 Mathematica 软件求出理论抛掷距离s0，并用 Matlab 软件对题中数据进行筛选，最终得到实际抛掷距离s0与理论值 s 之间的误差百分比。再分析表1、表 2 中的数据，得出出手速度ｖ在１０ｍ/ｓ~１５ｍ/ｓ之间变化，出手角度 α 在３７°~４３°之间变化，并对这之间的速度、角度分别求出对应的投掷距离。再运用 Excel 做出角度与投掷距离的关系图。最后得出运动员投掷铅球存在最佳角度，角度是在 40°～42°间。
一、问题重述
众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住 7.264kg (16 磅)重的铅球在直径为 2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为 45 的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩（以国际男子铅球比赛为例）。如图：

投掷运动中手臂的数学建模

将先进的优化和控制理论与简单的人体运动数学模型有机地结合起来将是一种弥补传统方法缺点的好方法对于铅球投掷运动文献4中建立了手臂投掷的一级倒立摆模型但为了更符合实际本文建立了手臂的二级倒立摆模型以更真实地模拟实际情况并通过牛顿运动定律建立手臂在投掷运动中的动力学系统为进一步研究铅球投掷提供数学模型
第 33 卷第 6 期 2013 年 12 3 ， x4 ）， F2 ， F3 ， F4 ），令状态变量为 x = （ x1 ，控制变量为 u （ t ） = （ F1 ，则式 13 和式 14 可由如下非线性系统表示：
{
（ t） = f（ x（ t）， x u（ t）） y （ t ） = J（ x （ t ）， u（ t））
2 s2 1 + r1 － 2s1 r1 cosα 槡
（ 1）（ 2）
， μ=
s2 r2 sinα
2 s2 2 + r2 + 2s2 r2 cosα 槡
， F11 、 F12 、 F21 、 F22 分别表示力 F1 、 F2 在 x 轴 y
图5
前臂受力示意图
图6
前臂肌肉作用力示意图
126
杭州电子科技大学学报前臂在 x 轴方向和 y 轴方向的受力分别为： ·2 ·2 ¨ ¨ 珘 F41 + F31 － F x2 = m2 L2 θ 1 cosθ 1 － m2 L2 θ 1 sinθ 1 + m2 l2 θ 2 cosθ 2 － m2 l2 θ 2 sinθ 2
3
结束语
本文把投掷运动中的手臂建立成二级倒立摆模型，此模型属于动力学系统，因此遵循动力学规律，
通过牛顿力学建立状态方程，则投掷模型的极值寻优问题转化为求解使得性能指标达到最值的最优控揭示投掷过程中投掷臂的最优控制规律，进而提高投掷成绩。此方法也可以制 y（ t）。解决此类问题，方便地解决其他工程系统中类似问题。

投篮问题的数学建模

摘要如今全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场比赛输赢的关键所在，能否投入篮筐与投球时运动员所处的位置、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点,排除了运动员因运动而造成的各种不利因素，讨论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。

把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动讨论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v,加速度为g做均减速运动讨论其运动规律。

综合求解出其运动轨迹，利用导数意义,求出所需高度,速度等变量的最值,得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均随着出手高度增加而减小,但当出手高度一定时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一定时，出手高度越大，出手角度应越大，但是随着速度的增加，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。

在出手高度为1.8～2.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。

入射角度一般需要大于33.1。

分析出手角度和出手速度的最大偏差，得出速度越大，出手角度的允许偏差越小,而出手速度的允许偏差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格；出手速度一定时,出手高度越大，出手角度的允许偏差越小，出手速度的允许偏差越大。

关键词：投篮，出手高度,出手速度，入射角度问题提出在激烈的篮球比赛中,提高投篮命中率对于获胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮能否命中的两个关键因素。

这里讨论比赛中最简单、但对于胜负也常常是很重要的一种投篮方式-—罚球.我们建立数学模型研究以下数学问题：1)先不考虑篮球和篮框的大小,把它们的中心看成质点,只是简单的讨论球心命中框心的条件.对不同的出手高度h和出手速度v，确定所对应的不同的出手角度α时所对应的不同篮框的入射角度β；2)考虑篮球和篮框的大小，讨论球心命中框心且球入框的条件。

检查上面得到的出手角度α和篮框的入射角度β是否符合这个条件；3)为了使球入框，球心不一定要命中框心，可以偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只要球能入框就成，讨论保证球入框的条件下，出手角度允许的最大偏差,和出手速度允许的最大偏差；4)考虑在空气阻力的影响条件下,讨论球心命中框心的条件；1问题的分析与模型的建立1.1模型假设①、假设球出手后不考虑自身的旋转；②、不考虑篮球碰篮板;③、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d 篮球直径D 篮框直径L 罚球点和篮框中心的水平距离H 篮框中心的高度h 篮球运动员的出手高度v 篮球运动员投篮出手速度按照标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24。

铅球掷远模型

45 ο 的扇形区域内，如下图：
2.135m
45 ο
综合分析铅球的运动过程，可以分为两种情况：
1、在不考虑铅球展臂的情况下，以出手速度、出手高度、出手角度为参数，建立第一种数学模型。
2、在考虑铅球展臂的情况下，以出手速度、出手高度、出手角度、展臂为参数，建立第二种数学模型。
3. 在铅球整个运动过程中，空气阻力虽然一直存在，但是其影响极其微小，因而忽略不计。
2.3 问题三的分析针对问题三我们运用以上所建立的模型一，求出水平投掷的距离，再借助
Matlab7.0 软件对水平距离求导，确定最优解，即铅球在不同出手速度下的最佳出手角度。
2.4 问题四的分析对于问题四我们同样运用模型二来解决掷远结果对速度和角度的灵敏度。
分别求 S (v,θ ) 对 v 和θ 的一阶导数，对二者比较大小，可以得出出手速度对掷远
我们运用 Matlab7.0 软件分别求出 ∂S （已求出）Leabharlann ∂S ，可以得出结果。∂θ
∂v
∂S 的求导过程如下： ∂v
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通过 Matlab7.0 我们可以比较 ∂S 和 ∂S 的大小，比较的结果为 ∂S > ∂S ,因而可
对于问题二：当考虑运动员臂展对投掷结果的影响的条件下，我们对模型
一进行了适当的改进，在引进臂展这一参数之后重新建立了以出手速度、出手角
度、出手高度以及臂展为参数的掷远模型二，应用模型一中相同的知识，我们建
立
的
模
型
二
为
：
S(F,θ ) = (2FL − 2mgL sinθ )sinθ cosθ + mg

铅球掷远数学建模matlab代码

铅球掷远数学建模matlab代码铅球掷远是一项流行的田径运动，同时也是一个经典的数学建模问题。

在本文中，我们将介绍如何使用 Matlab 对铅球掷远问题进行建模并求解。

1. 模型构建微元法是解析上问题的标准方法，在铅球掷远中，我们可以采用微元法将其转换为微分方程问题。

我们可以假设铅球是一个小球，它沿着一个轨道的方程运动，该轨道的方程如下：$$y = h +\frac {x^2}{4R}$$其中， $y$ 表示轨道上的高度， $x$ 表示沿轨道的位置， $h$ 表示轨道的高度（即铅球离地面的高度）， $R$ 表示轨道半径。

在铅球的运动过程中，它受到以下三个力的影响：重力、空气阻力和旋转力。

旋转力是由于铅球自身的自转引起的，在这里我们可以暂时忽略它的影响。

假设铅球的重量为$m$ ，则铅球受到的重力为$$F_g = mg$$其中 $g$ 表示重力加速度。

空气阻力是铅球受到的一个速度相反的力，它的大小可以使用以下公式计算：其中 $C_d$ 是阻力系数，$\rho$ 是空气密度，$A$ 是铅球的横截面积，$v$ 是铅球的速度。

由牛顿第二定律可以得到：假设铅球在 $x$ 轴上的速度为 $v_x$ ，在 $y$ 轴上的速度为 $v_y$ 则铅球在 $x$ 轴上和 $y$ 轴上的分量分别为：这样我们就得到了铅球掷远的微分方程组：$$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{1}{2m}\rho CAv^2\cos\theta$$其中，2. 数值求解使用 Matlab 对这个微分方程组进行求解，我们需要进行如下步骤：1. 定义模型参数：铅球重量 $m$，空气密度 $\rho$，铅球横截面积 $A$，阻力系数$C_d$，轨道高度 $h$，轨道半径 $R$，初始位置 $(x_0,y_0)$，初始速度$(v_{x0},v_{y0})$。

2. 定义微分方程：使用 Matlab 的 ode45 函数对微分方程组进行求解。

抛掷问题的物理建模

抛掷问题的物理建模一、引言抛掷问题是物理学中常见的问题之一，其研究对象是在重力作用下，物体在抛掷的过程中所受的力以及相关的运动规律。

通过对抛掷问题的物理建模，可以深入理解物体在抛掷过程中的运动轨迹、速度、加速度等物理量的变化规律，对于解决实际问题具有重要意义。

二、物体在抛掷过程中所受的力在抛掷问题中，物体所受的力主要包括重力和空气阻力。

重力是物体在地球表面上的质量所受的作用力，其大小与物体的质量成正比。

空气阻力是物体在空气中运动时受到的阻碍力，其大小与物体的速度成正比。

三、抛体运动的物理建模1. 水平抛体运动水平抛体运动是指物体在水平方向上以一定的速度抛出后的运动状态。

在水平抛体运动中，物体所受的重力始终垂直向下，而水平方向上没有其他力的作用，因此物体在水平方向上的速度保持不变。

垂直方向上，物体受到重力的作用，加速度为重力加速度，速度随时间逐渐增大。

2. 斜抛运动斜抛运动是指物体在一个斜面上以一定的速度和一定的角度抛出后的运动状态。

在斜抛运动中，物体所受的重力可分解为两个分力：一个沿斜面方向，另一个垂直于斜面方向。

沿斜面方向的分力使物体在该方向上具有匀速直线运动，而垂直斜面方向的分力使物体在该方向上具有自由落体运动。

因此，斜抛运动可以看作是水平抛体运动和竖直抛体运动的复合。

四、抛体运动的相关物理量1. 位移：位移是指物体在抛掷过程中从起点到终点的距离，可以分解为水平方向和垂直方向的位移。

2. 速度：速度是物体在某一时刻的位移变化率，可以分解为水平速度和垂直速度。

水平速度在水平抛体运动中保持不变，而垂直速度在竖直抛体运动中逐渐增大。

3. 加速度：加速度是物体在某一时刻的速度变化率，可以分解为水平加速度和垂直加速度。

水平加速度为零，而垂直加速度为重力加速度。

五、抛体运动的运动轨迹抛体运动的运动轨迹可以通过数学方法进行求解。

在水平抛体运动中，物体的运动轨迹为一条抛物线；在斜抛运动中，物体的运动轨迹为一个抛物线段。

对小学生上手投掷动作中肘关节的运动学分析

对小学生上手投掷动作中肘关节的运动学分析陈周业【摘要】本研究对1-5年级50名男生的上手投掷动作进行了三维高速录像拍摄和三维运动学解析,探讨了小学生上手投掷动作中肘关节的运动学特征,得出以下结论:在投掷距离方面,小学1-5年级男生随着年龄的增大投掷距离也增大,而且各年级之间的增长幅度较大,但是与日本小学.生相比我国小学生的上手投掷能力差距较大.在动作发展方面,随着年龄的增加,肘关节的运动范围,最大角速度和最大速度等指标均呈现出增大的趋势,表明小学阶段是上手投掷动作发展的重要阶段.从动作发展的进程来看,三年级是小学阶段上手投掷动作发展的分水岭,一至三年级是上手投掷动作的快速发展期,三至五年级动作发展速度相对缓慢.【期刊名称】《文体用品与科技》【年(卷),期】2016(000)018【总页数】2页(P171-172)【关键词】小学男生;上手投掷;肘关节;运动学【作者】陈周业【作者单位】上海体育学院上海200438【正文语种】中文【中图分类】G804动作发展是指人的动作行为发生连续、持续的与年龄相关的变化。

动作发展学是重要的体育学科研究领域之一，它不但可以应用在诊断异常或病态的动作发展，以达到预防及治疗效果，还能促进动作学习。

儿童期是动作形成和逐步发展的关键时期，此时期动作能力的发展对儿童身体发展和未来运动能力的发展以及运动人才的培养都具有重要意义。

本研究以小学一到五年级男生上手投掷为研究切入点，对小学儿童上手投掷动作发展状况进行探讨，分析儿童投掷过程中肘关节动作发展规律，从而使我们能更好的设置中小学投掷方面的体育课程，选择相应的教学方法，为更好地促进少年儿童的健康成长提供有益的参考。

2.1、研究对象以上手投掷动作肘关节的运动学特征为研究对象。

以1-5年级各10名，共50名小学男生为测试对象，他们的基本情况如表1。

2.2、研究方法（1）录像拍摄法。

测试对象要求：测试时身体状态良好，无重大病史，测试前24小时未从事剧烈运动。

铅球投掷模型

a=42.40，
s=20.95m
h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22
a=42.40
s=20.30m
出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，
但投掷的远度减小了。
出手的速度随着出手角度的增加减小了！
2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、出手角度和出手高度是不独立的。是运动员投掷铅球过程中用力过程的一个综合的结果。
2
3P2 h2* (s (h2*2 (s
xm ) xm )2 )5/ 2
0
P11/ 3 P21/ 3 ,
xm
s xm
xm
P11/ 3 P11/ 3 P21/ 3
s
路灯照明
对于P1=2000W，P2=3000W，s=20m 可算得 P11/3=12.60，P21/3=14.42，N=27.02 xm=20×12.60/27.02=20 ×
需要组建铅球投掷的模型。
假设：
1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初速度。
2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。
3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。
参量: v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。
11 14.01 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 0.11
12 16.31 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 0.17
13 18.80 18.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 0.25
二. 模型与分析：
1. 抛射体模型：铅球出手后的运动过程