还学生错误思维自主反思的时空——一道函数最值题的案例分析

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还给学生自主反思的时空——一道函数最值题的案例分析

的有效性。
化，你们就措手不及? 高三做过的题目应怎样抓住错误思维的暴露过程进行反思，使同类题目做到触类旁通. 请大家自主反思，每个同学以这个题目为例
回去写一篇反思.
结果，学生们非常诚恳地从学习方法、学习态度、学习效果等方面剖析，反思…… 再过一周，我出了一个类似的题目:
+a ，。(0 ，， o R; x 1〕a
一祷贡十=” ’，
(1 若f x 在(0，上是数，的 ) ( ) ] 1 增函求a 取值范围;
(2)求f x 在(0 ，上的最大值. ( ) ] 1
结果这道题错误率并不比上次类似的题目低. 这引起我深人的思考:作为一名教师，我们对于学生
直接代人得 f x ( )
案例夕析卜
+ 1教， (2 “第高版 0 年 4期中 )
还给学生自主反思的时空
— 一道函数最值题的案例分析
2 4 3 580 温州市苍南县钱库第二高级中陈云赞学
气 : T
著名的数学教育家马明先生说过:“ 教学犹如抛
盘子节目，老师抛得快，学生丢得也越快. ” 在教学中
我有同感.
54派:因为函数的连续性
试卷发下后，我立马就分析了，没有给他们思考的时间和空间. 过半个月的周练中，非高三段的老师
。左亘 = 1， ‘ 汾粤江
5，因为f ‘ ) 二 : (二
得
l
X 二一下二二二，二二
压尤，。
命时了一题:设数二= 一石万+二题出另道函f ) 。不 (
一褚 ). 城旨
:错误. 必须判断函数的单调性.
: T

中学函数最值问题的学习情况与教学探析——以某县中学高三(1)班为例

为了改进函数最值问题的教学，首先必须了解教与学的现状，找问题所在，尤其是分析学生的学习情况，对知识点的学习反映。为此设计了一套函数最值问题专项训练试卷，选择了某县中学理科班高三（）作１班
为个案进行调查分析。
容的方方面面，并以一些基础题、小综合的中档题或一些难题的形式出现；期以来，长函数最值是历年高考重点知识点之一。但是，在应试教育下，努力得高分是中学师生的目标，略了真正学习的目的，师教的时候忽老往往花大力气去分析归纳、整理解法，学生学的时候大都去记忆模仿典型题的解法，以致都没有注重学习这部分知识的方法和过程，习效果不是很好，学慢慢失去学习以及研究的兴趣。这部分知识的综合性、关联性很强，且在新课改中已经重点突出了应用性，并所以研究高中函数最值问题就具有重要性和紧迫性。研究函数最值问题的目的在于对学生学习这部分知识出现的问题进行分析，对教学进行进一步的探索
题，提供更好的学习策略和教学策略，ｍ合理的教学提方式，让学生对函数最值问题的解法有一个系统的掌握。即是说解决如何让学生真正理解知识、应川知识特别是解决实际问题，提高学生解决问题的能力，体现知识的广泛应用性，同时，在学生学习和研究过程巾渗透
－
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正确率９．，３３‘ ６％０８．孽３６％。嚣
．％５。％３３３．，３．％ｌ％６７７３３９．％７４‘ ３３２．薯

擦亮数学思维的火花——“由函数的最值”教学引发的思考

基础敏育
翻巨．１２０１４年５月
擦亮数学思维的火花
“ 由函数的最值 ’ ’ 教学引发的思考
李菲菲姜宁
江苏南京２１００１９江苏省南京市金陵中学河西分校
摘要：运用多种教学手段，创设了丰富、生动的教学情境，设计了新颖、活泼的学生活动，成功地激发了学生的学习兴趣。李老师的课堂教学风格和教育教学理念，深深地震撼着我；听了这节课，让我受益匪浅。下面，谈谈笔者的几点看法。
性。因此，教师在创设教学情境时一定要考虑到情境创设的有效性。教师在设计教学情景时，一定要关注教材资源，关注学生的实际，关注学生的差异，创造性地使用教材，创设的教学情境要具有可操作性，有利于学生积极主动思考，达到调动学生学习主
语气，评价学生的语言都是多表扬、多鼓励，适时适度地对学生
案、提高课堂教学效益。实践表明，有效的课堂练习也是减轻学生课业负担的必要手段。在这节课中，王教师能根据教学的需
要，设计练习，巩固知识，形成技能和技巧，培养学生的思维能力，促进学生的和谐发展。在练习的设计上，老师们都表现出以下几点：首先，练习具有一定的针对性。这样的练习针对性强，可
《数学课程标准》指出： “ 数学教学，要紧紧联系学生的生活环境，从学生的经验和已有知识出发，创设有助于学生自主学习、合作
交流的情境。” 过去的“ 复习导人” 、 “ 直接导入 ” 等新课导入方法大多被 “ 创设情景 ” 导入法所代替，内容生动、学生熟悉、感兴趣的教学情境层出不穷，课堂所追求的“ 让学生真正成为主体，拥有学习主动权 ” ，在预设好的情境和师生的共同努力下得以落实。这节课都体现了这一特点。李老师的《最大值和最小值》这节课中，教师依据本课的内容和要求，贴近学生熟悉的生活经验和已有的知识基础，巧妙地创设情境：课前自主预习，引导学生探究新知，从而引出这节课要学习的内容。课中最值问题选择等一系列学生所熟悉的、直观的、蕴含数学内容的生活情境，让学生结合亲身经历，加深学生对所学数学知识的感悟，从而唤醒学生的生活经验，激发学生的学习兴趣，调动学生探索新知的积极

“函数的极值”的教学案例反思

“函数的极值”的教学案例反思作者：连超先来源：《中学课程辅导·教学研究》2017年第25期摘要：本文探究了“函数的极值”的教学案例反思，希望能给我们的数学教学带来帮助。

关键词：“函数的极值”；教学案例；反思中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）09-0123函数是高中数学的基础，也是其他知识的工具，函数贯穿于高中数学的始终，函数的极值是高考的热门考点之一。

案例描述及分析：课前准备：备课内容，教学素材，导学案或者课件等。

要求学生结合以下问题阅读课本完成预习：1. 极大（小）值是否为给定区间内的最大（小）值？2. 极值点是函数定义域内的点，函数定义域内的端点可否为极值点？3. 在定义域区间上的单调函数有极值点吗？4. 极大值一定大于极小值吗？5. 在给定的区间内是否一定有极值点？若有，它的分布有规律吗？唯一吗？6. “极值点一定使导数为0，导数为0点一定是极值点”，对吗？7. 可导函数y=f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是什么？课堂中：按照既定的教学流程或导学案讲解，解决预习时留给的问题问题的解答及反思：根据课本给出的概念，预习预留问题的答案，基本按照课本概念回答完成。

问题1：极大值是否为给定区间内的最大值？极小值是否为给定区间的最小值？学生回答：不一定是。

反思：大部分的学生都能给出正确答案，还有个别同学也提出了一些问题。

后期反思这个问题的设计，笔者认为这个问题的设计有两点不足：（1）问题设计的不够严谨，要说明给定的是闭区间还是开区间。

（2）这个问题出现的过早，更适合留在下一节函数的最值中提问，学生虽然初中有接触，但没有系统的学习过最值，所以介绍完最值的概念再回答这个问题可有对比性，学生更能区分两者，加深对极值概念的理解。

问题2：极值点是函数定义域内的点，函数定义域内的端点可否为极值点？学生回答这个问题稍有些困难。

引导学生运用概念进行判断。

培养学生问题意识的一个案例——“一次函数”(第二课时)教学实录及评析

台，通过设置情境、引导探究、讨论对比、优化取证、抽象概
师：请同学们试着画出一次函数Ｙ＝２一１的图象．ｘ
（生画函数图象．学）
师：观察所画图象的形状，你有什么发现？
生，：一次函数的图象是直线．
（师板书．教）
教学重点与难点
重点：一次函数图象的画法及性质．难点：如何引导学生通过自己的实践和探索提出问题，发
现一次函数图象的性质和特点．
教学过程
师：既然是猜想，下一步需要 … …
生众：验证．
【点评】问题从情境中来．教师抓住学生以偏盖全的说法，
（教师板书课题：一次函数（第二课时）．）
收稿日期：２１ — ７２０００—９
师：怎么验证呢？
作者简介：孙长智（７一）１２，男，山东无棣人，中学一级教师，主要从事数学课堂教学及中考试题研究９
２５
（学生思考、讨论．）生：我有一个疑问，刚才画Ｙ＝２ｘ～１的图象时，很多同
教学目标
（）１知识与技能目标：了解～次函数图象的形状；能较熟练地画出一次函数的图象；理解ｋ、ｂ的意义和作用；初步学会用 “ 数形结合”的思想认识和处理简单的一次函数问题．
生：正比例函数的图象是直线，一次函数的词：问题意识；课堂教学；研究问题
教学内容
师：比较我与生．给出的结论，你想说些什么？生：你的意思是 “ Ｙ＝２ｘ一１的图象是直线 ”只能代表它

“错”中生智 “错”出精彩——关于函数图象对称性重要结论的案例分析

成轴对称图形．
Ｚ
师：请同学们考虑一下证明该结论的思路？生Ａ：从图象的平移与对称变换来推导．生Ｂ：在Ｙ（）＝上任取一点ｐｘＹ，Ｐ关于（，）
，－＿
ｋ
＝
的对称点仍在Ｙ＝ｆｘ上．（）生Ｃ：Ｙ＝上任取一点Ｍ（＋，（＋）在（）ａｘ厂口），
即 Ⅳ在Ｙ＝．上，原题得证．厂）（
评析Ａ同学思路可以，但比较抽象，不好理解，在表述时要注意文字说明；同学思路是对的，Ｂ但没有与已知条件中的自变量联系，显然证明会较繁杂；Ｃ同学思路清晰，已知与求证的内在联系理顺了，点关于垂直Ｘ轴直线的对称点也弄清了，因此，比较就顺利推出结论成立．
５弓导学生应用数学知识解决实际问题，发展Ｉ学生的应用意识、增强学生对数学的理解
课标课程注重发展学生的数学应用意识，那么如何才能真正做到发展学生的数学应用意识呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
“ ”中生智 “ ＂出精彩错错
— —
关于函数图象对称性重要结论的案例分析福建省莆田第五中学（５１０３１０）ｆｂＸ，ＸＲ恒成立，Ｙｆｘ的图象关于直线（— ） ∈ 则＝（）
点纵坐标相等；②这两点横坐标相加除以２在直线Ｘ＝ｍ上，两个条件缺一不可．本题产生错解主要原因在于大部分同学生搬硬套，没有关注结论成立必
须具备的条件，此题若要应用本节课的结论可以如此解：在Ｙ＝ｆｘ），（一１中令一＝ｔ得到（＋，（）．１，ｆ１厂ｆ）

一道学生的错解引发的思考

一道学生的错解引发的思考作者：郭继强来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第03期摘要：本文结合江苏省教育科学“十二五”规划2013年度重点资助课题《高中数学核心概念后续教学的实践研究》，借助探究等差数列最值问题一堂课，将本课题理念加以实践，运用函数中的核心概念“零点”加以分析，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识，以函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，并进一步加深学生对于高中数学核心概念的理解.关键词：数形结合；零点；最值；创新思维《高中数学核心概念后续教学的实践研究》这一课题是笔者参与的江苏省教育科学“十二五”规划2013年度重点资助课题. 近日笔者给学生复习等差数列的内容，探究等差数列的最值问题时，一位学生的解答引发了笔者的思考，觉得高中数学核心概念的后续教学显得尤为重要，并在此基础上加以深入探究.众所周知，数列可以看成是一类特殊的函数，函数中的诸多思想方法均可应用到数列中去，例如今年江苏卷第19题，就是应用了函数中的恒成立的思想. 特别值得关注的是，近几年江苏高考卷多次出现函数的零点问题，譬如2012年江苏卷第18题和2013年江苏卷第20题. 这两题都可以运用数形结合的思想对函数的零点加以分析，正如华罗庚老先生所言“数形结合百般好，割裂分家万事非”. 接下来笔者就结合函数中的核心概念——零点来谈一谈等差数列中的最值问题.首先来看笔者这堂课的一个片段：例1 在等差数列{an}中，a7>0，a7+a8（1）求使得Sn取得最大值时n的值；（2）求使得Sn>0时n的最大值.学生：因为a7>0，a7+a8教师：很好！你能否总结出一般性的方法？学生：如果一个等差数列，a1>0，d教师：你能够将这个结论完善一下吗？学生：如果一个等差数列，a10，那么当n取得最后一个负数时，Sn取得最小值.教师：太棒了！你能否告诉大家由等差数列的通项公式如何确定最后一个正数或者最后一个负数呢？比如an= -3n+20.学生：如果令an=-3n+20=0，则n=■，那么最后一个正数n=6.教师：不错. 这位同学，请问an=-3n+21呢？这时Sn取得最大值时n的值是多少？学生：an=-3n+21=0，则n=7，所以当n=7时，Sn取得最大值.教师：再想想.学生：噢！n=6与n=7，Sn相等，对了！应该是n=6或7！教师：太棒了！这位同学，换一个角度，从等差数列的Sn来观察，应该怎么思考？学生：等差数列的Sn形如无常数项的二次函数，要使Sn取得最大值，n应取其对称轴.教师：很好！那你能说出此题的对称轴吗？学生：因为S6=S7，所以对称轴是n=6.5.教师：非常好！再进一步思考，此二次函数的零点是多少呢？学生：因为对称轴是n=6.5，所以二次函数的零点是n=13.教师：（总结）太好了！同学们，a6= -3n+21=0，得到a6的零点是n=7. 由此零点我们能够得出此等差数列前n项和S6的对称轴与其零点. 这对我们深刻理解等差数列的概念非常有帮助，这正是将函数中的相关概念以及数形结合的思想应用到了数列问题中来. 不妨我们大家试着思考第2问.？摇？摇对于本题的第2问，学生处理起来有了一些困难，笔者还是请了这位学生回答.学生：因为a7>0，a7+a80时n的最大值为14，请看我画的图1，图1中阴影部分代表S■n.■图1■图2这位学生是经过深入思考的，但是没有注意到图1中的纵轴是an，起始点应当是n=1，而这位学生将起始点误认为是n=0，导致了对称点D的区间发生了错误，其实D点的区间应当是（13，14），所以使得Sn>0时n的最大值为13. 事实上，这位学生是想借助图1中线性函数的零点C来处理，想法很好，如果要想彻底弄清二者的关系，还须结合图2，即Sn的图象，其中点A为S■n的零点，n=B为抛物线的对称轴，然后结合图1中线性函数的零点C，当然这里的点D即为图2中的点A，接下来就来探究这里的三个点A，B，C之间存在着什么关系？一、首先来探究点C与点D（即图1中的点A）的关系. 这里要注意图1中的起始点是n=1，所以OC=CD=C-1，即D点处取得的n=C+C-1=2C-1. 这样就不难看出引例中使得an=0的零点n∈（7，7.5），那么使得Sn=0的零点n∈（13，14），从而得到使得Sn>0时n的最大值为13.我们再举一例.例2 （高考题）在等差数列{an}中，S20>0，S21由题意可得，使得S■n=0的零点n∈（20，21），则由图1可以知道，使得an=0的零点n∈（10.5，11），由图1可知，当n=10是最后一个正数，所以使得Sn取得最大值时n=10. 不但如此，还应知道a10+a11>0.二、其次来探究图1中的零点C与图2中的对称轴n=B的关系，回到课堂上问学生“对于数列an=-3n+21，Sn取得最大值时n的值是多少？”学生最终回答n=6或7，而此数列的零点为n=7，也就是S6=S7，不难知道对称轴为n=6.5. 那么对于图1中的零点C，我们不难理解SC=SC-1，也就得到对称轴为n=■=C-■.三、最后是图2中的对称轴n=B与零点A的关系，这是很显然的，A=2B. 不妨举一例.例3 等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm=Sn（m≠n），求Sm+n的值.这里的m+n即为Sn的零点，所以Sm+n=0. 再来看一道题.例4 等差数列{an}中，a1>0，a80的最大自然数n的值为多少？这是此题给出的答案：解：依题意得d即a1+7d所以？摇14a1d+49d2即2a1d+13d20，？圯2a1+13d>0，a1+7d？圯-7Sn=■n2+a1-■n的对称轴n=-■+■∈7，■，所以Sn与x轴的另一个交点x2∈（14，15），故使Sn>0的最大自然数n=14.实际上，此题中不难得到此数列单调递减，且a7>0，a90，显然此数列{an}的零点在（7.5，8），由图1进而知道Sn的零点在（14，15），故使Sn>0的最大自然数n=14.本堂课在探究等差数列的最值问题时，能够充分地从学生思维方式出发，顺水推舟，很好地培养了学生良好的思维习惯，促成学生沿着特殊到一般的思维方式，激发学生的创新意识. 从函数的观点看，数列可以看成是以正整数集（或其子集）为定义域的函数. 从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围，引导学生利用函数去研究数列问题，能使解数列的问题更有新意和综合性，更能有效地培养学生的思维品质和创新意识. 因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数的有关知识，以函数的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地解决数列问题，并进一步加深学生对于高中数学核心概念的理解.。

一道函数最值题的多视角求解及反思

一道函数最值题的多视角求解及反思题目：求函数 y = x^2 + 2x + 3 在区间 [-2,2] 上的最值。

解法一：二次函数配方法首先，我们将函数 y = x^2 + 2x + 3 进行配方，得到 y = (x + 1)^2 + 2。

由于配方后的二次函数形式，我们可以直接观察到函数的对称轴为 x = -1。

在区间 [-2,2] 上，由于对称轴 x = -1 不在区间内，函数图像是一个开口向上的抛物线，因此在区间端点取得最值。

当 x = -2 时，y = (-2 + 1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3。

当 x = 2 时，y = (2 + 1)^2 + 2 = 9 + 2 = 11。

所以，函数在区间 [-2,2] 上的最小值为 3，最大值为 11。

解法二：导数法首先，我们求出函数 y = x^2 + 2x + 3 的导数 y' = 2x + 2。

令 y' = 0，解得 x = -1。

由于导数表示函数的斜率，当 x = -1 时，函数的斜率为零，即函数在该点取得极值。

由于导数表达式为一次函数，且系数大于零，说明函数在区间 [-2,2] 上是单调的。

在区间[-2,-1) 上，由于导数小于零，函数是单调递减的；在区间(-1,2] 上，由于导数大于零，函数是单调递增的。

因此，在 x = -1 处取得最小值，最小值为 y = (-1 + 1)^2 + 2 = 2。

在区间端点 x = -2 或 x = 2 处取得最大值，最大值为 y = (2 + 1)^2 + 2 = 9 + 2 = 11。

所以，函数在区间 [-2,2] 上的最小值为 2，最大值为 11。

解法三：几何意义法函数 y = x^2 + 2x + 3 可以看作是平面直角坐标系中点 (x, y) 到点 (0,3) 的距离的平方。

利用几何意义，我们可以求出区间 [-2,2] 上距离的最小值和最大值。

距离的最大值发生在点 (0,3) 到直线 x = -1 的垂直距离处，此时距离的平方为 ^2 = 4^2 = 16，即最大值为 4sqrt(4) = 8sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4)= sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) =sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) = sqrt(4) 。

函数最值的一些求法及错解分析

函数最值的一些求法及错解分析一、教案描述教学课题：函数最值的一些求法及错误分析教学目标：1、复习函数最值的一些主要求法；2、剖析求解过程中产生错误的原因；3、进一步树立“实践是检验真理的唯一标准”的唯物论。

教学重点：最值求法教学难点：掌握解题中产生错误的原因导学：引导学生在自主解题和互相讨论的过程中抓住重点，突破难点，掌握主要的求解方法及正误鉴别方法，从而提高思维能力。

教学过程：亮题：这堂课拟通过大家对实例的研讨，进一步掌握求函数最值的一些主要方法及解题过程中产生错误的原因。

例1、已知函数)4(322≥-=x x x y ，请大家自己或与周围同学一起探讨出求这个函数最值的各种方法。

（学生举手回答）解法一：24]639)3(2[2]639)3[(2322=+-⨯-≥+-+-=-=x x x x x x y 当且仅当，即x=6时（舍去x=0）24min =y ,但无最大值。

（教师指出）这种方法叫配凑法，同时用到了基本不等式，很好！应注意什么？（答：等号是否能取到）。

（学生举手回答）解法二：令x-3=t ，则≧x ≥4，≨t ≥1。

24)692(2)69(2)3(22=+⨯≥++=+=tt t t t t y 。

余同解一。

（教师提问）此为何法？（答：换元法。

）解题时应注意什么？（答：1、注意新变量t 的变化范围；2、在利用基本不等式时什么时候取到等号。

）评：此法虽与解法一的实质是一样的，但它优于解法一。

问：还有其他解法吗？（学生举手回答）解法三：≧x ≥4，x-3≠0,≨转化为方程2x 2-yx+3y=0.利用判别式法得 Δ=y 2-24y ≥0，则y ≥24或y ≤0。

≧x ≥4，≨y>0,≨y ≥24，即24min =y ，但无最大值。

（教师提问）此解法对吗？Δ≥0能保证根x ≥4吗？部分同学认为不正确,如何改正？（学生举手回答）利用实根分布法得(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-=≥⨯--≥-=∆03432)4(4220242y y f yy y 3224≤≤⇒y 对吗？（教师指导）实践检验，取y=40代入，得060202=+-x x ，解得410210>+=x 或410210<-=x (舍)，可见存在10210+=x ，使y=40>32，可见上述解法还存在问题，怎样修正？（学生回答）上述不等式组仅仅给出在[)+∞,4上有两个实根的情形，还应补上在[)+∞,4上有一实根的情形:(2)、f(4)≤0，即y ≥32。

浅析高中数学教学中运用化归思想的案例

浅析高中数学教学中运用化归思想的案例高中数学教学中，化归思想是一种非常重要的数学思维方法，它能够帮助学生解决复杂的数学问题，提高他们的数学思维能力。

本文将通过具体的案例分析，浅析在高中数学教学中如何运用化归思想，帮助学生更好地理解和应用数学知识。

案例一：解决二次函数的不等式问题在高中数学教学中，学生通常会遇到如何解决二次函数的不等式问题。

在这个案例中，我们可以通过化归思想来帮助学生更好地理解和解决这类问题。

我们让学生思考一个简单的不等式问题：求解2x^2 - 5x + 3 > 0的解集。

在传统的教学中，老师会讲解通过因式分解或者判别式来解决这个问题。

但是在运用化归思想时，我们可以让学生思考以下步骤：1. 将不等式2x^2 - 5x + 3 > 0化归为关于二次函数的形式，即找出该二次函数的顶点以及开口方向。

2. 对于二次函数y = 2x^2 - 5x + 3，顶点的横坐标可以通过公式x = -b/2a求得，即x = 5/4。

代入x = 5/4可求得y的值为-7/8。

所以该二次函数的顶点为(5/4, -7/8)。

因为a = 2 > 0，所以二次函数的开口方向向上。

3. 根据顶点和开口方向，我们可以画出该二次函数的图像。

由于开口向上，所以该二次函数对应的曲线在顶点处是最小值点。

4. 根据题目中的不等式关系，我们可以将图像分为两个部分。

对于二次函数的图像而言，大于零的部分和小于零的部分是关于对称轴对称的，因此我们只需研究顶点的左右两侧。

5. 通过代入x = 0和x = 2，我们可以得到二次函数在x < 0和x > 2的区间的函数值。

结合图像，我们可以得知在x < 0和x > 2的区间内函数值大于零。

6. 综合以上步骤，我们可以得出2x^2 - 5x + 3 > 0的解集为x < 0或x > 2。

通过以上步骤，我们可以看到化归思想在解决二次函数的不等式问题中起到了关键作用。

让思维在问题之间飞翔——一堂数学复习课的案例分析

（注：将三个装球问题放在一起讨论，旨在使学
生弄清三者解法间的区别和联系．避免日后的相互混淆．）
Ｃ盆Ｃ种不同的装法；从ｍ个盒子中任选两个来装这ｎ个球共有Ｃｍ以＿１种不同的装法；（此时，老师插
话： “ 请把后面部分说细一点． ” ）从ｍ个盒子中任选
“ 我的方法是，在双曲线的上支上任取两点，它们的斜率只要和渐近线的斜率比较就可以了 …．．．＂Ｓ７： “ 我还有一种更简便的方法．设Ａ（０，１），Ｐ（ａ，０），
Ｑ（６，０），则了了丁子可看作线段ＡＰ的长度，曲线ｘ２一尹＝１（二＞ｏ）上任意两点所在直线必与洒丙子可看作ＡＱ的长度．若。４６３，显然由三角
起立回答：当。｝０时丫了孚子￣ＩａＩ，由于丫丁丁ｂ２＞ＩｂＩ，所以！了了丁ａ２一而万子Ｉ＜Ｉ。
一ｂ１．面对学生的奇怪想法，师生都很诧异．对于Ｓ３的解法马上有人反驳，Ｓ４：学生３的解法不严密，因
一个习题：已知ｆ（二）二抓丙手（。ｏｂ），求证
知道，他们已将问题ｕｌ的答案求出来了！该答案为：
Ｃ＇ｍＣｎ＋Ｃｍ以＿１＋Ｃｍ嘿＿，＋ …＋ＣｍＷＣｍｎ＿－１．①
（哟！这倒是老师备课时未考虑到的一个答案．） “ 该答案正确吗？请解释一下． ” 老师随即叫起了一名举手的学生．生：从ｍ个盒子中任选一个来装这ｎ个球共有
数学通报
２００７年第４６卷第３期

反思解题方法,提升思维灵活性——以反思三角函数解题方法为例

2018年1月解法探究>教学--参谋反思解题方法，提升思维灵活性—以反思三角函数解题方法为例#江苏省常熟市梅李高级中学朱利锋我们在数学教学中常常会遇到这样的现象，学生课堂上表现还行，但是到了课后作业时问题重重，考试如果题目情境比较新学生解决问题的能力就变得很弱，错误连篇，为什么会出现这样的现象？笔者认为这是学生数学思维不灵活的表现，思维定式严重，因为学生不注重反思，在问题解决后思考问题仅仅停留在题干和自己解决问题的方法表面，缺乏对问题整体上的思考与把握，如果我们在学生问题解决后及时地引导学生反思，换一个视角对问题进行新的思考，不仅仅可以发展学生的全局意识，还能够引导学生多角度挖掘解决数学问题的方法，同时比较多种方法的优劣，与此同时学生的思维也在反思解题的过程中变得更为灵活.本文以三角函数中的求值与证明为例就该话题进行分析.一、课堂上“案例法”领引学生反思学生反思意识与反思能力是需要我们教师去引领与培养的，选择合适的例题并指引学生在解题后进行必要的反思有助于数学方法的沉淀和解决数学问题能力的有效提升.例 1已知 tan(!+")=)tan(!-")，且）$1，求证：sin2! _ 1sin2" )-1分析:从例i的证明目标分析，学生要sin!" )-1想解决问题，则要得到2!和28两角的正弦比值，不过已知条件给出的却是正切关系，而且是和！-"的正切例5已知三棱*!-#$%的侧棱相等，则顶点！在底5#$%上的射影是"#$%的（）.A.内心B.外心C.重心D.垂心这道题目本身没有什么难度，但在得出答案之后，老师需要就这道题进行深人探讨：“侧棱相等”这一条件能否去掉？如果能去掉，需要添加什么新条件？如果要使得2!在底5#C%上的射影是A#C%的内心或垂心，则分别需要添加什么条件？通过这一系列的拓展思考，学生的思维就不再简单地局限在一道题上了，不同的条件带来的不同结果会使学生对相类似的问题形成更为透彻的认知，对相互之间概念的差异也会理解得更加准确.最重要的是，通过这种“追问”的教学方式，会激起学生思考问题的热情，提升学生的自主学习、自主创新能力&四、结束语高考数学不仅仅是一场考试，它能较为真实地反映出考生的思维能力及问题处理能力.因此，近年来相当多的高校、教学科研机构及普通高中对高考数学命题进行了深人的研究，推动高考数学考题不断推陈出新，追求内容上的创新.高考不再局限地考查学生的应试能力，通过一张考卷，命题人要对考生的数学思想、数学方法等综合能力进行考核，而不是简单地考查学生的运算、书写等答题能力.高考试卷中出现的越来越多的开放性、探索性问题，表明了拘泥于传统的教学方式，培养学生的答题能力已经是不够的了，老师需要有针对性地指导学生开展创新思维训练，做到灵活变通，真正地提升学生的数学核心素养，为学生的后续发展打下坚实的基础.参考文献：1.李昊森.数学教学模式创新[J].北京：人民教育出版社，2012.2. 王弟成.数学教学应从学生已有的思维出发[J].中学数学月刊，2015(8)^高中版十炎，？47教学参谋解法探究2018年1月关系，如何从已知条件到证明目标呢？消除角的差异是解题的突破口，有了这一点认识学生只要将证明目标中的2!和28两角分别化为和的和与差，然后借助于三角公式展开，最后完成三角函数名称差异的转化即可.那么，这样一道题我们学生还有哪些可以反思的呢？笔者认为，在学生自主完成例1的证明后，我们还可以从如下方面引导学生进行解题后反思.反思:例1的题眼在哪里？你选择的方法是什么？有没有其他的方法可以证明？在上述几个方面的引导下，学生很自然地回顾自己的解题过程与方法，观察、比较已知条件与证明目标之间角度存在的差异，然后通过角度变换进行求解的，在这一方法清晰后，学生思维切向“有没有其他办法呢？” 的反思之中，通过反思和交流学生可以找到新的方法：另法1:“化弦法”，学生通过对比已知式与证明目标，从函数名出发，将已知式变形为tan ^+/^并带人tan C a -p )的右边，进一步整理即可获得sin 28 m -1m -1taC !+8)+taC !-8)，紧接着“切化弦”即可.tan ( a +" ) -tan ( a -")另法2:从运算结构出发，将已知式化为比例形式，taC !+8) %^，变形后再与证明目标进行对比，结合比 tanCa -") 1例的性质可得taC a +8)+taC a-8) %$*，接着再“切化tan ( a +" ) -tan ( a -" ) m -1弦”.实践经验表明，学生通过上述解题后反思过程，能够有效提升审题能力和信息加工能力.例2已知cos !+子卜吾，f #!<夸，求cos (2!+--".分析常规解法：例2对于学生而言，容易想到的方法:从待求式出发，将求解cos (2a +f j 的问题化为求解 sina ，cosa ，如何求sina ，cosa 呢？很自然地联系到借助于 “解方程组”这一最基本的方法将cos (+D 展开，得sina +cosa =l，再结合sin2a +cos2a %1 解得225sina ，cosa ，然后再借助于二倍角公式求出sin 2a ，cos 2a ，最后代人cos (2a +i)中求解.这个方法很常规，学生也很容易就能想到，不过对于计算能力较弱的学生而言，在求解二元二次方程组时可能会因为过程稍微烦琐而出错，因此，我们可以引导学生从是否有其他解法的视角进行解题后反思.另法1:从待求目标cos (2a +f j 出发，目标中的角为2a +I ，再观察已知条件中含有的却是a +I ，那么4 4它们两者之间存在着怎样的关系？借助于拼凑法可以得到：2a +I =2fa +i )-I ，找到问题的解决办法，借助4 \ 4 1 4于二倍角公式cos l2a +~2j =2cos 2 j -1可以求cos，然后再借助于sin 2j +cos 2 (2a +lj 1求sin !+;)，根据2a +I 与I 角的组合运用三角公式、 2 丨 2 4展开求解出cos p a +f j ，当然，如果在求解过程中，能够看到sin (2a +H，cos (2a +^可以借助于诱导公式进行简化得到sin 2a ，cos 2a ，那么cos !+子)展开带人即可求解.另法2:如果观察将cos (a +子卜|展开得到的展示式~$ sina +~$ cosa %特点，我们同学应该留意到2 2 5sina ，cosa 前的系数是相同的，则可以将展开式进一步简化为sina +cosa %，这时只要将思维迁移到其与sina -cosa 之间的整体性关系，即可完成问题的求解，思路由此理顺：只要先求出sina -cosa ，再与sina +cosa %联立方程组求解sina ，cosa ，看上去与常规方法是相似的都是求解方程组，不过该方法更为可取一些，因为我们同学只需要解二元一次方程组即可，计算量大大缩减.从这两个例题的处理来看，两个案例均在学生完成了问题解决后引导学生反思题目条件与待求目标之间的关系，寻求解题的其他途径与方法，这样的反思引导着学生思维发散出去，从题干中所给信息的各个不同角度去思考可利用的数学思想方法，尝试着运用不同的数学方法完成问题的解决，在运用方法解决问题的同时也48 十•？炎，？高中版2018年1月解法探究> =学--参谋存在着对解法优劣的比较，学生的解题思路得以有效拓展，促进了知识在大脑中的有益联系，让学生应用数学解决问题的思维变得更具灵活性.二、精心设计课后作业，促进知识内化学生的反思意识和能力在课堂例题的处理中已经形成并得到了一定的发展，但是不同的学生可能发展的程度不一样，为此我们为了检测学生的学习成果，同时也是为了帮助学生及时地调整学习的方向与节奏，我们课后的作业布置应该与课堂上所用的方法相匹配.例如，在和学生课堂上处理了上文中的两道例题后，笔者精心设计有针对性的作业，旨在及时地反馈学生的学习状况.")，然后再拼凑角"+!=(2«-!)+(28-")，求出 tan(a+!)，也有部分同学选择的是先拼凑角^先求tan""!^，然后再借助于二倍角公式求tan(a+!).不管是作业1，还是作业2,学生在方法的应用上都很成功和灵活，说明我们课堂上的反思环节起到了一定的效果，学生的思维发散开来，并成功的运用到了数学问题的解决中来.相对较难一点的作业3，错误率也相对高一些，有9个同学出错，对于这几个同学出错的原因在哪里呢？笔者选择追问的方式引导这部分学生从失败中走出来.作业1:已知sin!=#%in(2a++S)，a+/3^^~+%! (%"!)，"！^^(%"!)，#!1，求证：tan("+!)= l+?n tana;2 1-#作业2:已知tan#-香j=去，tan j=-^-，求tan("+!);作业 3:已知 sin(%-')=A，0<'<工，求 C〇s2'.又 4 /13 4 /! \sin%+7)设计意图:这三个作业的设置与课堂上的两道例题紧密联系，作业i与例i相联系，在例i的问题解决中学生已经观察并分析了角度差异、函数名称差异、已知式与目标式的结构差异，当时问题解决的方法与经验可以迁移并运用到作业1的问题解决中来;作业2与例2相联系，在例2的反思中学生已经意识到了“角的拼凑法”在问题解决中的重要性，通过作业2让学生进一步应用，反馈学生在相似问题的解决中是否能够做到触类旁通;作业3与例题2中解决问题的多种方法相联系，但是对学生信息加工能力的要求要比作业2要高一些，能够很好地反馈学生思维的灵活性.总体而言，这3个作业的难度依次增加，但只要学生能够很好地将课堂所学迁移过来，问题是可以解决的，那么学生的完成情况如何呢？结果反馈:作业1仅有一个同学粗心做错，其他同学在问题的解决中所用的方法不完全相同，有部分同学运用的是“弦化切”，有部分同学运用的是“切化弦”，不过均成果解题;作业2有2个同学做错，同样在做对的学生中方法也各异，有部分同学是先借助于二倍角公式和三、访谈式纠错，领引学生再反思错误并不可怕，如果我们教师处理得好，不仅可以领引学生从错误中走出来，还有利于学生反思能力和思维灵活性的进一步提升.例如，面对作业3，9个同学做错了的结果，为了帮助学生从失败中走出，有效衔接原有思维，笔者随机选择了一个作业3出错的学生进行访谈.师:在解决“作业3”时，你用到了哪些方法？你回忆一下困难出现在哪里？生:用了角的拼凑法、解方程组等等;这些方法都试过了，解方程组的方法我已知道原因了，是因为计算错误.但是角的拼凑不是很顺利，由I-'去凑'+1再去凑442'时出现了困难.师:说说你具体的拼凑过程吧.生:I-'去凑'+1，'+I"I- %-')，这个我做出4 4 4 2 \ 4 I来了，但是I-'如何去凑2'?我就不会了.(其实与学生 4交流到此，问题就暴露出来了，只要稍加点拨即可）师:我们凑角还可以采用分步去凑的方式，I-'与42'没直接的关系，但是我们观察系数，可以尝试着找二倍角，然后思考二倍角与之有没有关系.生(顿悟）:哦，我明白了.通过这样一个简单的对话式的访谈，引导学困生自己发现问题并解决问题，有助于增强他们的自信心，提升他们思维的灵活性.高中版十炎，？49。

《小学生数学作业常见错例分析研究》课题案例分析

《小学生数学作业常见错例分析研究》课题案例分析作业是老师检验课堂效果、巩固课堂知识的一种非常重要的有效途径。

学生每天都要写数学作业，而我们老师则每一天都会发现学生作业中常常出现一些不该犯的错误，比如看错运算符号、抄错数字、求圆锥体积忘乘1/3，求半圆周长不加直径甚至有些学生求圆柱体积时忘乘3.14等等。

面对学生作业中经常存在的这些错误，通过收集整理，查阅有关资料，我发现学生出错的原因可归纳为以下几点：1、学生对完成数学作业的动机不明。

数学作业的目的是为了检查学生对数学课堂知识的理解和掌握，但学生没有明白这一点。

经常听数学老师在一块议论说：学生遇到基础题，一看就会，一做就错，稍微变换一下题型，学生就手足无措，无处下手，然后就胡乱瞎猜乱碰。

这就是小学生的动机不明确，缺乏学习的自觉性。

小学生完成作业往往是由于外因的作用。

老师留的作业因为要上交，所以马马虎虎，赶快写完上交了事，因此，只追求作业的速度，不管作业的质量，因而错误率极高。

大多数学生在老师发下本子时，一看到老师用红笔圈的错误才恍然大悟，懊悔不已。

如五年级十册中的简便运算：85-（65+20），学生在去掉括号忘记了变号，结果错误得到：85-65+20=40。

2、数学概念、法则、计算公式理解不透彻。

数学概念、法则、计算公式是学生解题的基础。

有些错误是由于学生的知识掌握得不牢固，像一些概念、法则、以及计算公式理解地不够透彻引起的。

例如六年级十一册中的：6/7÷3=？，学生仅仅记住了关键词“颠倒”，但不知道把谁颠倒，于是就出现了两中错误：6/7÷3=7/6×3=7/2或6/7÷3=7/6×1/3=7/18。

这种现象说明学生没有充分理解分数除法的法则，甚至没有记住法则。

而熟记概念、法则、公式并加以灵活运用是数学学习必不可少的功课。

3、分析观察能力不强。

小学生缺乏对客观事物做综合的观察与分析，如果两个客观事物相似或差异细微，小学生就越容易出现错误。

错后反思——一最值题的四种基本解法

完成。
图１骑自行车上斜坡
ｆ１）如果该人骑自行车在最短的时间内恰能冲上斜坡顶端，则他应该从距斜坡底端何处无初速地启动自行车？ｆ２）从启动到冲上斜坡顶端的总时间至少是
多少？
上运动时间为ｔ：，因为是 “ 恰能 ” ，所以末速度为０。
我们仍沿用这位同学的配方法，只是调整方
程中字母的顺序：３ｔ一４ｔ１抖ｔ２＋２Ｌ＝０；
根据运动学规律有：
１，１
‘
，
１，＝— １Ｚ０＝１０ｔ
正解１：配方—— 败中取胜
Ｏ．１ｍｇ＋（ｍｇｓｉｎ０）一Ｆ－ｍａ２，其中ｓｉｎＯ＝＿ｈ，
Ｌ
解得ａ２＝ｌｍ／ｓ，方向水平沿斜面向下。设自行车在水平面上运动时间为ｔ，在斜面
错后反思
一
最值题的四种基本解法
金嵩洲，沈荣灿
１．上虞春晖中学，浙江上虞３１２３００２．上虞高级中学，浙江上虞３１２３００
摘要：本文对一题目的错误解答进行深入分析与反思．提出了求解最值问题的四种基本方法，即构建函数，运用配
Ｖｏ１．３１Ｎ０．４５９
物理教
学探讨
第３１卷总第４５９期

巧用一题多解提升高中生数学核心素养——以一道典型的二元变量最值问题为例

㊀㊀㊀１０１㊀㊀巧用一题多解提升高中生数学核心素养巧用一题多解提升高中生数学核心素养㊀㊀㊀以一道典型的二元变量最值问题为例Һ郑米海㊀（浙江省临海市第六中学，浙江㊀台州㊀３１７０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在新课改推动下，高中数学教学越来越重视对学生数学核心素养的培养．在实际教学中，教师要立足课堂，聚焦素养，引导和鼓励学生多角度探究解决问题的方法，以此将培养学生数学核心素养落到实处．文章以一道典型的二元变量最值问题为例，从引导学生多角度㊁深层次挖掘题设信息，鼓励学生多视角思考问题，探寻多种解题方法等方面通过一题多解引导学生理解基础知识，掌握基本技能，积累基本活动经验㊁提炼基本思想方法，发展学生发现㊁提出㊁分析和解决问题的能力，促进学生数学核心素养的发展与提升．ʌ关键词ɔ一题多解；数学核心素养；解题技巧高中数学学习不仅要让学生掌握数学知识，而且要让学生获得进一步学习及未来发展所需的关键能力和必要品格．在新课改背景下，数学教育从关注双基走向四基，从关注提升两能走向四能，将培养学生关键能力和必要品格作为数学教学的重要课题．在实际教学中，教师应结合相应的教学内容设计有效的教学活动，引导学生多角度㊁多方位地探索知识，促进学生数学核心素养的形成和发展，促进四基与四能的培养与落实．一题多解不仅可以锻炼学生的数学思维能力，而且可以拓宽学生的视野，优化学生的解题策略，其有利于发展学生数学核心素养，充分发挥数学教学的育人功能．因此在高中数学教学中，教师要充分发挥一题多解的作用，切实提升学生学习品质，确保课堂教学目标的达成．在高三复习教学中，教师应认真研读课程标准㊁全面了解学生学情，立足核心素养，结合教学实际精心挑选一些典型例题，引导学生从不同角度分析和解决问题，通过一题多解优化学生的认知结构，促进其数学核心素养的形成和发展，提高学生解题能力．以下笔者以一道二元变量最值问题为例，引导学生从不同视角去审视和探究问题，以此强化学生问题意识，凸显数学本质，让学生的数学核心素养得到提升．㊀图１一㊁分析问题例题㊀如图１所示，在әＡＢＣ中，øＡ，øＢ，øＣ对应的边分别为ａ，ｂ，ｃ，øＡＢＣ＝１２０ʎ，øＡＢＣ的平分线交ＡＣ于点Ｄ，且ＢＤ＝１，求４ａ＋ｃ的最小值．该题是一道二元变量最值问题，看似简单，但是内涵丰富，解法多样，可以很好地考查学生的知识掌握情况，对备考有很好的导向作用．解题中，教师要引导学生多角度挖掘二元关系ａｃ＝ａ＋ｃ，通过方法联想，实现知识串联，促进四基的落实和四能的培养．解三角形问题是高考的重要考点，也是高中数学教学的重点内容之一．在研究解三角形的问题时，教师要打破就题论题的教学模式，关注数学知识间的内在联系，引导学生会一题通一类，有效提高学生数学知识应用能力．设计意图㊀在本课教学中，教师引导学生从不同角度分析和解决问题，从而将对解三角形问题的研究拓展至对整个平面几何图形的研究，通过多视角探究将多个知识点㊁不同的数学思想方法有效地串联起来，逐步完善学生的认知结构，培养学生观察分析㊁数学抽象㊁逻辑推理㊁数学运算等综合能力和核心素养．同时，这一二元变量最值问题的解决，可以帮助学生巩固和强化解三角形和基本不等式的基本知识㊁基本方法，帮助学生积累基本活动经验，感悟转化与化归这一重要数学思想方法在解题中的重要作用．二㊁解决问题给出例题后，教师让学生以小组为单位共同探究．活动中，教师鼓励学生尝试从不同角度分析和解决问题，几分钟后，有的小组已经找到了思路，教师让学生呈现自己的解题思路，并以学生为主体展开讨论．师：谁来说一说，你想如何求解呢？生１：因为已知中提到了角平分线，我们想到了角㊀㊀㊀㊀１０２㊀平分线的性质，所以得到了如下解题过程：因为ＢＤ是øＡＢＣ的平分线，所以ＢＡＢＣ＝ＡＤＤＣ，即ＡＤ＝ｃａＤＣ，所以有ＡＤң＝ｃａＤＣң．又Ａ，Ｄ，Ｃ三点共线，点Ｂ为线外一点，所以有ＢＤң＝ａａ＋ｃＢＡң＋ｃａ＋ｃＢＣң，两边平方，得１＝ａ２ｃ２（ａ＋ｃ）２，即ａｃ＝ａ＋ｃ，所以１ａ＋１ｃ＝１，则４ａ＋ｃ＝（４ａ＋ｃ）１ａ＋１ｃæèçöø÷＝５＋ｃａ＋４ａｃȡ５＋２ｃａ㊃４ａｃ＝９，当且仅当ｃａ＝４ａｃ，即ｃ＝２ａ时４ａ＋ｃ取最小值９．师：很好，根据角平分线性质和向量相关知识，应用转化与化归思想成功地解决了问题．教学思考㊀学习过程是一个发现和感悟的过程，教学中切勿急于将解题过程呈现给学生，应该提供机会让学生独立思考或合作探究，让学生的思维参与其中，以此确保问题的解决和能力的提升．教学中，教师要结合学生的知识储备和基本学情引入一些具有代表性的问题，并提供机会让学生研学讨论，让学生在互动交流中找到解决问题的突破口，积累基本活动经验，提升学生解题技能，有效培养学生的四能．师：在解三角形边角有关的问题时，很容易联想到正弦定理㊁余弦定理，在解本题时，若从这个角度思考，你能想到什么呢？（学生积极思考）生２：可以应用余弦定理来解决问题．ȵøＡＢＣ＝２π３，ＢＤ是øＡＢＣ的平分线，ʑøＡＢＤ＝øＣＢＤ＝π３．在әＡＢＤ中，由余弦定理得：ＡＤ２＝ＡＢ２＋ＢＤ２－２ＡＢ㊃ＢＤｃｏｓπ３＝ｃ２＋１－ｃ，在әＣＢＤ中，ＤＣ２＝ＢＣ２＋ＢＤ２－２ＢＣ㊃ＢＤｃｏｓπ３＝ａ２＋１－ａ，则ＡＤＤＣ＝ｃ２＋１－ｃａ２＋１－ａ，又ＢＤ是øＡＢＣ的平分线，所以ＢＡＢＣ＝ＡＤＤＣ＝ｃａ，所以ａｃ＝ａ＋ｃ．接下来的解题方法与生１的相同．师：很好，利用余弦定理得到ａｃ＝ａ＋ｃ这一关键的二元关系，顺利地解决了问题．还有其他解决方案吗？生３：我是应用正弦定理求解的．ȵøＡＢＣ＝２π３，ＢＤ是øＡＢＣ的平分线，ʑøＡＢＤ＝øＣＢＤ＝π３．在әＡＢＤ，әＣＢＤ，әＡＢＣ中，由正弦定理得：１ｓｉｎＡ＝ＡＤｓｉｎ６０ʎ，１ｓｉｎＣ＝ＤＣｓｉｎ６０ʎ，ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎøＡＢＣ＝ＡＤ＋ＤＣｓｉｎ１２０ʎ＝１ｓｉｎＡ＋１ｓｉｎＣ，即１＝１ａ＋１ｃ，由此应用基本不等式即可顺利解决问题．教学思考㊀教师作为课堂教学的组织者和引导者，要充分发挥自身的引导作用，在学生迷茫的时候进行有效的启发和引导，以此拓宽学生的视野，帮助学生领悟问题的本质，提高学生解题技能．当然，若想发挥自身的引导作用，教师要充分地理解知识㊁理解学生，知晓解决问题的关键和核心，这样才能通过有效的引导帮助学生找到解决问题的突破口，发散学生的数学思维．在本课教学中，学生给出第一种解题方法后，教师没有急于结束本题的探究，而是引导学生结合解决三角形边角问题的经验进一步探索．这样在教师的指导下，学生借助余弦定理和正弦定理找准边与角之间的等量关系，顺利解决问题，有效地提升了学生发现㊁提出㊁分析和解决问题的能力．师：以上主要是从数的角度分析，若从形的角度出发，你又能想到什么呢？（学生积极画图，结合图形寻找对应的等量关系）生４：根据已知可知：øＡＢＣ＝２π３，øＡＢＤ＝øＣＢＤ＝π３，ＳәＡＢＤ＝１２ＡＢ㊃ＢＤｓｉｎπ３＝３４ｃ，ＳәＣＢＤ＝１２ＢＣ㊃ＢＤｓｉｎπ３＝３４ａ，ＳәＡＢＣ＝１２ＡＢ㊃ＢＣｓｉｎ２π３＝３４ａｃ，又ＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＣＢＤ，所以有ａｃ＝ａ＋ｃ，接下来的解题方法与生１的相同．生４的方案给出后，其他学生都自发地鼓掌．师：非常好，利用面积法方便快捷地解决了问题．教学思考㊀观察可能导致发现，因此教学中教师要有意识地引导学生从形的角度出发，借助形引导观察，揭示某种规律㊁模式㊁定理．在以上教学活动中，学生运用代数方法解决问题后，教师又启发学生从形的角度出发，通过几何图形充分挖掘已知条件，探寻其中蕴含的隐性联系，从而运用几何知识解决问题．学生通过观察发现三角形中的边角关系，运用熟练的面积法解决了问题．在此过程中，学生充分利用㊀㊀㊀１０３㊀㊀面积的可分性，将一个图形分解成两个三角形，借助等面积建立相应的关系式，形成清晰的解题思路，高效地解决了问题．其实正弦公式的推导有面积法，所以认真分析生３和生４的解题方法不难发现，两种方法虽然处理工具不同，但是其本质相同，具有异曲同工之妙．不过面积法更易于理解和掌握，合理应用有利于对学生直观想象㊁逻辑推理等素养的培养，也有利于增强学生解题信心，提升解题效率．师：三角形是平面几何图形，若将这一几何问题代数化，可以以什么为载体来建构呢？生齐声答：平面直角坐标系．师：很好，该如何建系呢？（学生继续思考）㊀图２生５：如图２，以点Ｂ为原点，ＢＤ为ｘ轴正半轴，建立直角坐标系，则Ｄ（１，０），Ａｃ２，－３２ｃæèçöø÷，Ｃａ２，３２ａæèçöø÷，又Ａ，Ｄ，Ｃ三点共线，所以ＡＤ和ＡＣ的斜率相等，易得ａｃ＝ａ＋ｃ，接下来的解题方法与生１的相同．教学思考㊀引导学生运用代数法解决几何问题，可以让学生体会数形结合在解题中的优越性，培养学生的数形结合意识．在平时教学中，教师要有意识地引导学生应用代数方法研究几何问题，从而使问题变得更加具体，易于操作．对于本题，建系后，除了应用斜率相等建立等量关系外，也可以借助向量共线建立等量关系，还可以借助两点建立直线方程，然后另一点在直线上建立等量关系．教师可以启发学生尝试运用不同方法求解，以此夯实四基．三㊁教学思考（一）多角度审视问题，发展数学思维能力众所周知，对于一个事物，若想认识其本质，必须从不同角度㊁不同方位来审视它，数学问题亦是如此．在本课教学中，教师启发和指导学生从不同角度思考和解决问题，帮助学生认清问题的本质．同时，通过一题多解可以极大程度地激发学生的潜能，帮助学生积累丰富的活动经验，促进学生思维能力的发展和解题能力的提升．另外，通过多角度探究，将多个知识点有效地建立联系，可以促进学生认知体系的优化，为数学应用打下坚实的基础．在本课教学中，教师以典型问题为切入口，引导学生从平面几何视角㊁向量视角㊁正弦定理㊁余弦定理等多个视角审视问题，通过该题的解决让学生充分感知解题方法的多样性，有效培养学生的数学应用意识和创新意识，发展学生综合应用能力．（二）以学生为主体，以教学为主导课堂教学的主体是学生．教学中，教师应结合教学实际适度地放权给学生，鼓励学生独立思考和合作交流，让学生在思考与交流中形成自己的解题策略，以此有效提升学生解题技能，发展学生数学应用能力．在本课教学中，教师将解题的主动权交给学生，指导学生探寻不同的解题方法，以此增强学生的解题信心，让学生充分体会数学发现和数学探索的乐趣，引导学生主动学习．当然，在强调学生主体价值的同时，教师的主导作用也不容忽视．如在本课教学中，多种解决方法的获得离不开教师的启发和指导．教学中，教师既要充分预设，又要及时捕捉生成，还要为学生提供时间和空间去自主探究，以此让学生更好地认识数学㊁理解数学，提高学生的数学核心素养．结㊀语总之，在高中数学教学中，教师应关注学生四基的落实和四能的培养，关注学生数学核心素养的培育．在解题教学中，教师要聚焦核心素养，认真研究题目，充分挖掘典型例题的教学功能，引导学生将新知与旧知有效地联系起来，通过一题多解发展学生的数学思维，提升学生综合应用能力，促进学生认知结构的优化和课堂效率的提升．另外，教学中，教师要为学生搭建一个独立思考和合作交流的舞台，提供机会让学生表达自己的所思㊁所想㊁所惑，以此通过多角度探究使得学生的知识结构得以优化，使得学生的思维能力得以发展，最终促进学生数学核心素养的发展与提升．ʌ参考文献ɔ［１］李修刚．核心素养视域下高中生数学四能的生成与发展［Ｊ］．高考，２０２３（１３）：６４－６６．［２］周安勇．浅析高中数学一题多解教学模式对学生能力的促进探讨［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（２１）：１４３－１４４．［３］李建清．高三数学教学落实核心素养的若干问题分析［Ｊ］．高考，２０１９（３３）：１２０．［４］姜波．数学核心素养理念下高中数学教学的实践研究［Ｊ］．求知导刊，２０２０（５１）：３５－３６．。

让精彩在师生的思维碰撞中不断生成——从一道三角函数最值问题说起

14十’7般．7(2008年第7期高中版)案例评析．让精彩在师生的思维碰撞中不断生成——从一道三角函数最值问题说起318000台州市第一中学陈勇1疑惑：在教学实践中逐步凸现——问题的思考和提出高三数学的学习过程，多半是在复习课中进行的．因此复习课教学的精彩与否将直接影响到复习效益的形成．这里的精彩包含两层意思：一方面必须是符合学生自然发展需要因而有效的，这是以学生相关能力的提高为主要衡量标准的，亦即可量化的结果显现．另一方面应该能够引发学生强烈的学习欲望，这是着眼于良好学习习惯和行为的养成，主要体现于学生在课上和课后均能保持一种旺盛的学习状态，伴有咄咄逼人的问题生成，并不惜暴露自己的思维缺陷以激发他人的学习热情最终达到共同进步的一种状态，这是一种能够实现优良学习品质形成的过程性描述，因而应该更加引起我们的关注．然反观现实，大多数复习课都有意无意地遵循着以下范式：“知识复习——基础训练——例题讲解”，或是偶尔从多角度讲解例题，希图用一题多解来强调复习工作的不同之处．而学生却往往很少能够获得参与的机会，因为老师生怕自己预设好的内容无法按时完成而影响复习进度．久而久之，学生在被迫接受的过程中逐步丧失自己的思想，厌倦心理的产生也就难免．因此如何真正提高数学复习的效益，使得学生能在不断的自我探究中品尝成功的喜悦和积极参与的乐趣，进而增加对数学学习的兴趣，这是笔者一直在思考的问题．最近笔者在复习三角函数时，曾对问题“当2co舛+3si似取最小值时，求t蹦的值”在课前作了自以为丰富的解法预设，预想在课堂上能够展示一番，以示老师对问题研究的深刻性(这其实便是常用的复习伎俩)．岂料上课伊始便引起学生的极大兴趣，通过他们不断的失误、反思、补充、发散，得出多种多样的新颖解法，而笔者——原先的预设者却几乎没有机会展示自己，在这个过程中，同学们发自内心的微笑、信心与乐趣都是前所未有的，充分显示了他们强劲的思维态势，这一切深深感染了我．于是，猛一击掌：既能如此丰富地生成，又何必挖空心思地预设．2精彩：在思维碰撞中不断生成——案例的展示和点评师出示问题“当2co眦+3si似取最小值时，求t黜的值”，师：请大家先思考一下，(让生1板演)生l(板书)：2c眦+3si似：丝竿粤2去+3．罴2+3t—C O S茹C O S X Z+j t an石一1+t ar t2菇一co麟(1+t肌2菇)=co蹦(2+3t a眦)=…co鼢’—下C O S茗(生1疑虑，停止不前)师(及时叫停)：很好，你先到这里吧．请同学们一起思考下面该怎样进行?(很多学生面面相觑，一会儿，有人开始笑了起来，有些学生还没看出来)生2：老师，他在原地画圈圈，又化回原式了．师：对，所以我及时叫停了，你能说出为什么会这样吗?生2：我想是因为他一开始将B i眦，co“化为眦，而后来又把t眦化回到c∞善，当然就会回到起点了．师：说得很好．那么请第一位同学说说为什么这样做呢?(有时候，说出“为什么这样做”远比仅仅关注“怎样做”有意义得多)生l：我看到已知中的si眦，co蚪以及所求中的眦，所以就想到了齐次式的处理．生3：不对，垫萼哮并不是齐次式，所以下案例评析◆。

引导学生自主学习,实现课堂有效教学---基于两堂初中《函数》课为例的分析和反思

引导学生自主学习，实现课堂有效教学------基于两堂初中《函数》课为例的分析和反思重庆市黔江区濯水中学-----黄洪滔摘要：自主学习是新课改的核心，是学生求知的内在动力。

本文以两堂初中《函数》课为例，就教师如何引导学生自主学习，实现课堂有效教学，进行对比分析和探讨,提出教师在课堂教学中，应给学生更多思考的时间和创造的空间等，真正让学生拥有学习的主动权。

关键词：以学生为主体自主学习有效教学引导一、课例背景新课标指出:“有效的数学学习活动不能单独地依靠模仿加记忆。

动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

”新的课程标准也指出：“学生的数学学习过程应当是一个生动活泼的、主动的、富有个性的过程。

”这些新理念的提出否定了，原来课程实施过程中学生被动接受知识的学习方式。

学生自主学习、参与教学是在教师主导作用下，充分发挥学生的主体作用，提高教学效率的好方法。

那么教师应该如何引导学生自主学习，实现课堂有效教学呢？在西南大学参加国培计划置换脱产培训理论研修时，张廷艳老师指出，教师引导学生自主学习，培养学生自主性时应遵循几个原则：给学生一个空间，让他们自己往前走；给学生一个条件，让他们自己去锻炼；学生一个时间，让他们自己去安排；给学生一个问题，让他们自己去找答案；给学生一个机遇，让他们自己去抓住；给学生一个冲突，让他们自己去讨论；给学生一个权利，让他们自己去选择；给学生一些指导，让他们自己去归纳总结；给学生一个自由，让他们自己去创造。

基于以上的思考，下面我以在XXX学校所听的两堂《函数》课为例，对如何培养学生自主学习，实现课堂有效教学进行分析探讨。

二、课例分析两堂课是由两个不同的老师上的，上的内容都为新人教版八年级上，第十四章中的14.1.2《函数》。

属于同课异构类上课，两位老师都讲了书上的例题，但教师甲差不多用了半节课的时间进行讲解，而教师乙只用了不到10分中时间，所用时间相差颇大，引起了我的思考，例题如下：例：一辆汽车的油箱中现有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。

一次函数最值实例分析

一次函数最值实例分析发布时间：2021-02-01T03:24:27.179Z 来源：《中小学教育》2021年第420期作者：向建[导读] 一次函数当自变量受到限制时，存在最大值或最小值(图象的端点是实心点)；根据图象求最值直观明了。

四川省德阳市第七中学校618000摘要：我们通过学习知道一次函数的图象是一条直线，由于直线上没有端点，一般情况下一次函数是没有最大值或最小值的。

但是，在以生活为背景的实际问题中，由于自变量有取值范围的限制，从而使得其图象并非是一条直线。

这些特殊的一次函数图象应该怎么画？是否有最大值或最小值？时常是初学一次函数的难点。

本文以教材中的题目及相关习题为例，进行分析。

关键词：函数图象最小值最大值一、一次函数的图象是射线，射线的端点的纵坐标就是函数的最大值或最小值例1.一个弹簧在不挂重物时长12cm,挂上重物后伸长的长度与所其挂的物体的质量成正比，如果挂上1kg的物体后，弹簧将伸长2cm，求弹货总长y(cm)与随所挂物体的质量x (kg)变化的函数关系式，井做图象。

解：由题意得：y=12+2x(x≥0)，取x=0的时候，y=12得点A (0. 12)，又可得点B (2,1物体6)，在函数y=12+2x (x≥0)的图象上，因此它的函数图象是以A (0,12)为端点。

过点B(2,16)的一条最射线。

如图所示。

由图象可知，函数y=12+2x (x≥0)的最小值是12。

注意:函数y=12+2x (x>0) 没有最小值。

二、一次函数的图象是线段，线段的两个端点的纵坐标分别是函数的最大值和最小值例2.一辆汽车油箱中现装有汽油50L，如果在行驶途中不加油的情况下，那么油箱中的剩油量y (L)随行驶路程x (km)的增加而减少。

汽车的平均耗油量为0.1L/km。

写出表示y与x的函数关系式，井做出图象。

解：由题意可得：y=50-0.1x(0≤x≤500)，取x=0时，y=50；x=500时，y=0,连接点A (0, 50)， B (500，0)。