正弦定理余弦定理的综合应用[上学期]--江苏教育版

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正弦定理、余弦定理的综合应用

解：(方法二：利用角的关系进行判断) 2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，所以 sin Acos B－cos Asin B＝0，所以 sin(A－B)＝0，因为－π<A－B<π，所以 A－B＝0，即 A＝B，所以△ABC 为等腰三角形．
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
解：在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以 AC＝100 2 m．在△AMC 中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°. 由正弦定理得，sinAC45°＝sinAM60°，所以 AM＝100 3 m. 在 Rt△MNA 中，AM＝100 3 m，∠MAN＝60°，由MAMN＝sin 60° 得 MN＝100 3× 23＝150 m. 答案：150
米，则 A、C 两点的距离为( )
200 A. 3
3米
200 B. 3
6米
C.1003 3米 D.1003 6米
解：如图，∠C＝60°，由正弦定理知si2n0600°＝sinAC45°，
所以 AC＝2030× 22＝2003
6 .
2
答案：B
3．在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°，则塔高为( )
又 AB＝600 m，故由正弦定理得sin60045°＝sinBC30°，解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 33＝100 6 m.
考点二·解三角形的综合应用
【例 2】(2016·福州市毕业班质量检查)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足(2b－c)cos A＝acos C.

第4章第7节正弦定理余弦定理的综合应用课件共60张PPT

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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之
间的位置关系．( )
(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
()
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
二、教材习题衍生
C [如图所示，依题意可知∠ADC＝
45°，∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，
∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知sin∠CDDAC＝sin∠ACCDA，
∴AC＝CDsi·ns∠in∠DACCDA＝25 2米． ∴在Rt△ABC中，
AB＝AC·sin∠ACB＝25 2× 23＝252 6≈31米． ∴旗杆的高度约为31米，故选C.]
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
第七节正弦定理、余弦定理的综合应用
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走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
(1)10 6 (2) 1241[(1)∵△ABC中，由题意可得：
∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×13＝
20， ∴由正弦定理sin∠BCCAB＝sin∠ABBCA，
∴BC＝ABsi·nsi∠n∠BCCAAB＝20×1

江苏省必修5教案 1.3正、余弦定理应用(2)

1．3 正弦定理、余弦定理的应用（2）教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.重点难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

教学过程一．问题情境1．复习引入总结解斜三角形的要求和常用方法.（1）．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.（2）应用余弦定理解以下两类三角形问题：①已知三边求三内角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.二．学生活动引导学生回忆上节课内容，总结利用两个定理解决实际问题的一般步骤.想一想可以用这两个定理来解决有关物理问题和几何问题吗？三．数学运用例1．作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）.解：3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反.如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得()22305023050cos12070F N =+-⨯⨯=再由正弦定理，得150sin12053sin 7014F OF ∠==，所以138.2F OF ∠≈，从而13141.8F OF ∠≈.答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8.（余弦定理和正弦定理的综合运用）例2．如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.解：设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.于是，四边形OACB 的面积为AOB ABC S S S ∆∆=+213sin 24OA OB AB α=⋅+ ()1321sin 54cos 24αα=⨯⨯⨯+- 5sin 3cos 34αα=-+ 52sin 334πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为0απ<<，所以当32ππα-=时，56απ=，即56AOB π∠=时，四边形OACB 的面积最大. （涉及到三角函数的最值问题）图1-3-4四、矫正反馈如图，AB BC⊥，33CD=，30ACB∠=，75BCD∠=45BDC∠=，求AB的长. （答案：112）五．回顾小结1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．由于有三角形面积公式，解题时要时刻与三角形面积与三角形外接圆直径联系在一起；3．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；4．在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解决. 课外作业课本21页3、4教学反思。

11.3正弦、余弦定理的综合应用⑵(苏教版)

11.3正弦、余弦定理的综合应用一、课题：正弦、余弦定理的综合应用二、教学目标：1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；3．通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如。

三、教学重、难点：能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如。

四、教学过程：（一）复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法。

1．正弦定理、三角形面积公式： R Cc B b Aa 2sin sin sin ===；B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．2．正弦定理的变形：（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）RcC R bB R aA 2sin ,2sin ,2sin ===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =．3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。

4．余弦定理：bcac b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：（1）已知三边求三内角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。

（二）例题分析：例1 在任一A B C ∆中，求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a ．证明：由正弦定理得：2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===，从而左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-2[sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin ]R A B A C B C B A C A C B =-+-+-0==右边。

高中数学 1.3正弦定理、余弦定理的应用课件苏教版必修5

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知识点3 三角形中有关公式
P＝a＋b＋c(P 为三角形的周长)；S＝12aha(ha 表示 a 边上的高)；
S＝21absin C＝12acsin B＝21bcsin A；
栏目
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接
S＝a4bRc(可用正弦定理推得，R 为外接圆半径)；
S＝21r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
还需要熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角的正弦、余
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栏目链接
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名师点评：测量两个不可到达的点之间的
栏
距离问题．首先把求不可到达的两点A，B
目
之间的距离转化为应用余弦定理求三角形
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的边长问题，然后在相关三角形中利用正
接
弦定理计算其他边．
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►变式迁移
1．地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地
面上取一基线AB，测得AB＝20 m，在A处测得P点的
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课
标
点
击
栏目
链
接
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1．正确掌握利用正、余弦定理解斜三角形的基本方栏
法，并能判断解的情况．
目
2．合理建立数学模型，体会数形结合的思想方法．
链接
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要点导航
栏目
链
接
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知识点1 解斜三角形应用题的步骤
(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解
应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯
接
解得 h＝
20 4－
≈13.3(m)． 3
所以旗杆的高度约为 13.3 m.

新教材苏教版必修第二册113余弦定理正弦定理的应用课件2

南偏东 60°，则 A，B 之间距离为
()
A． 2a km C．a km
B． 3a km D．2a km
解析：△ABC 中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以 AB＝ 2a.故选 A．
答案：A
4．一船以每小时 15 km 的速度向东行驶，船在 A 处看到一灯塔 B 在北偏东 60°，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15°，这时船与灯塔的距离为 ________km.
[跟踪训练] 某海上养殖基地 A 接到气象部门预报，位于基地南偏东 60°相距 20( 3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10 2 海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且 3＋1 小时后开始持续影响基地 2 小时．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为 B，开始影响基地时台风中心为 C，基地刚好不受影响时台风中心为 D，则 B，C，D 在一直线上，且 AD＝20，AC＝20. 由题意 AB＝20( 3＋1)，DC＝20 2， BC＝( 3＋1)×10 2.在△ADC 中，因为 DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
[解] 设所需时间为 t 小时，则 AB＝10 3t，CB＝10t，在△ABC 中，根据余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°，
可得(10 3t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos 120°，
整理得 2t2－t－1＝0，解得 t＝1 或 t＝－12(舍去)．所以护航舰需要 1 小时靠近货船．
此时 AB＝10 3，BC＝10，
在△ABC 中，由正弦定理得sin∠BCCAB＝sinA12B0°，

高二数学解三角形：正弦、余弦定理苏教版知识精讲

高二数学解三角形：正弦、余弦定理苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：解三角形：正弦、余弦定理二. 教学目标：1. 能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2. 能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3. 能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式；4. 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法。

三. 知识要点：1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，其比值为外接圆的直径。

即R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 表示三角形的外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

（从而进一步求出其他的边和角）已知a ，b 和A ，用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a2. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

第一形式，2b ＝B ac c a cos 222-+，第二形式，cosB ＝ac b c a 2222-+ 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。

3. 两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4. 三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中sin(A+B)=sinC cos(A+B) -cosC tan(A+B) -tanC ==2cos 2sin C B A =+ 2sin 2cos C B A =+ tan cot 22A B C += tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

苏教版必修5 正弦、余弦定理的综合应用(1)教案

11.3正弦、余弦定理的综合应用（1）一、课题：正弦、余弦定理的综合应用（1）二、教学目标：1．能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；2．能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；3．通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如。

三、教学重、难点：能熟练应用正弦、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如。

四、教学过程：（一）复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法。

1．正弦定理、三角形面积公式：R C c B b A a 2sin sin sin ===； B ac C ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆． 2．正弦定理的变形：（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。

4．余弦定理：bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=． 5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：（1）已知三边求三内角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。

例１如图１１３１，为了测量河对岸两点Ａ，Ｂ之间的距离，在河岸这边取点Ｃ，Ｄ，测得∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＡＣＤ＝４７°，∠ＢＣＤ＝７２°，ＣＤ＝１００ｍ．设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内，试求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到１ｍ）．解在△ＡＤＣ中，∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＡＣＤ＝４７°，则∠ＤＡＣ＝４８°．又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得sin 100sin85sin sin 48DC ADC AC DAC ∠︒==∠︒≈１３４．０５（ｍ）．在△ＢＤＣ中，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＢＣＤ＝７２°，则∠ＤＢＣ＝４８°．又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得sin 100sin 60sin sin 48DC BDC BC DBC ∠︒==∠︒≈１１６．５４（ｍ）．在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ＝134.05２＋116.54２－２×134.05×116.54ｃｏｓ２５°≈3233.95所以ＡＢ≈５７（ｍ）．答Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７ｍ．例２如图１１３２，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在Ａ处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０时间精确到１ｍｉｎ）．解设舰艇收到信号后ｘｈ在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝２１ｘ，ＢＣ＝９ｘ，又ＡＣ＝１０，∠ＡＣＢ＝４５°＋（１８０°－１０５°）＝１２０°．由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ，即（２１ｘ）２＝１０２＋（９ｘ）２－２×１０×９ｘｃｏｓ１２０°．化简，得３６ｘ２－９ｘ－１０＝０，解得ｘ＝２３（ｈ）＝４０（ｍｉｎ）（负值舍去）．由正弦定理，得sin 9sin120sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠︒∠=== 所以∠ＢＡＣ≈２１．８°，方位角为４５°＋２１．８°＝６６．８°答舰艇应沿着方位角６６．８°的方向航行，经过４０ｍｉｎ就可靠近渔轮．例３作用于同一点的三个力Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３平衡．已知Ｆ１＝３０Ｎ，Ｆ２＝５０Ｎ，Ｆ１与Ｆ２之间的夹角是６０°，求Ｆ３的大小与方向（精确到０解Ｆ３应和Ｆ1，Ｆ2的合力Ｆ平衡，所以Ｆ３和Ｆ在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图１１３３，在△ＯＦ1Ｆ中，由余弦定理，得70()F N ==．再由正弦定理，得150sin120sin 70F OF ︒∠==所以∠Ｆ１ＯＦ≈３８．２°，从而∠Ｆ１ＯＦ３≈１４１．８°．答Ｆ３为７０Ｎ，Ｆ３和Ｆ１间的夹角为１４１．８°．例４如图１１３４，半圆Ｏ的直径为２，Ａ为直径延长线上的一点，ＯＡ＝２，Ｂ为半圆上任意一点，以ＡＢ为一边作等边三角形ＡＢＣ．问：点Ｂ在什么位置时，四边形ＯＡＣＢ面积最大？分析四边形的面积由点Ｂ的位置惟一确定，而点Ｂ由∠ＡＯＢ惟一确定，因此可设∠ＡＯＢ＝α，再用α的三角函数来表示四边形ＯＡＣＢ的面积．解设∠ＡＯＢ＝α．在△ＡＯＢ中，由余弦定理，得ＡＢ２＝１２＋２２－２×１×２ｃｏｓα＝５－４ｃｏｓα．于是，四边形ＯＡＣＢ的面积为Ｓ＝121sin (54cos )2sin 2sin()3AOB ABCS S S ααααπα=+=⨯⨯⨯+-=+=-+ 因为０＜α＜π，所以当5,326ππααπ-==，即∠ＡＯＢ＝56π时，四边形ＯＡＣＢ面积最大．。

2021版高考数学苏教版一轮教师用书：4.7 正弦定理、余弦定理的综合应用

第七节正弦定理、余弦定理的综合应用[最新考纲]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．图①图②2．方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．3．方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．坡度(又称坡比)坡面的垂直高度与水平长度之比．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°. ()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为. ()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.() [答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为m.502[由正弦定理得ABsin∠ACB ＝AC sin B，又∵B＝30°，∴AB＝AC sin∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．]2.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a 米到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝米．22a[由题图可得∠P AQ＝α＝30°，∠BAQ＝β＝15°，△P AB中，∠P AB＝α－β＝15°，又∠PBC＝γ＝60°，∴∠BP A＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，∴asin 30°＝PBsin 15°，∴PB＝6－22a，∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋a sin β＝6－22a×sin 60°＋a sin 15°＝22a.]3.如图所示，D，C，B三点在地面的同一条直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB＝.32a[由已知得∠DAC＝30°，△ADC为等腰三角形，AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝32a.]考点1解三角形中的实际问题利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图．(2)建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解．(4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．(1)江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距m.(2)如图，高山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处，则索道AC的长为米．(1)103(2)40013[(1)如图，OM＝AO tan 45°＝30(m)，ON＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝900＋300－2×30×103×3 2＝300＝103(m)．(2)在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.因为∠ADC＝150°，所以∠ADB＝30°.所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以400sin 30°＝ADsin 120°，得AD＝4003(米)．在△ADC中，DC＝800米，∠ADC＝150°，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2·AD·CD·cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC＝40013(米)．故索道AC的长为40013米．](1)实际测量中的常见问题求AB 图形需要测量的元素解法求竖直高度底部可达∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝a tan α底部不可达∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解两个直角三角形AB＝a tan αtan βtan β－tan α求水平距离山两侧∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝a2＋b2－2ab cos α河两岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝a sin αsin(α＋β)河对岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝a sin αsin(α＋γ)；在△BDC中，BC＝a sin βsin(β＋δ)；在△ABC中，应用余弦定理求AB角、俯角、方向角等)．1.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上，行驶4 h后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°的方向上，这时船与灯塔的距离为km.302[如图，由题意知，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60，由正弦定理得BCsin 30°＝ACsin 45°，∴BC＝302(km)．]2.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为．2114[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，得BC＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.]考点2平面几何中的解三角形问题与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝3π4，AB⊥AD，AB＝1.(1)若AC ＝5，求△ABC 的面积； (2)若∠ADC ＝π6，CD ＝4，求sin ∠CAD .[解](1)在△ABC 中，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即5＝1＋BC 2＋2BC ，解得BC ＝2，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×1×2×22＝12. (2)设∠CAD ＝θ，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CD sin ∠CAD，即ACsin π6＝4sin θ，①在△ABC 中，∠BAC ＝π2－θ，∠BCA ＝π－3π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝θ－π4，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠BCA，即AC sin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，②①②两式相除，得sin 3π4sin π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin θ，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2sin θ，整理得sin θ＝2cos θ.又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝255，即sin∠CAD＝255.做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．(2019·湖南衡阳第三次联考)如图，在平面四边形ABCD中，0＜∠DAB＜π2，AD＝2，AB＝3，△ABD的面积为332，AB⊥BC.(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求BC 的长．[解](1)因为△ABD 的面积S ＝12AD ×AB sin ∠DAB ＝12×2×3sin ∠DAB ＝332，所以sin ∠DAB ＝32. 又0＜∠DAB ＜π2，所以∠DAB ＝π3，所以cos ∠DAB ＝cos π3＝12. 由余弦定理得BD ＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB cos ∠DAB ＝7，由正弦定理得sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝217. (2)因为AB ⊥BC ，所以∠ABC ＝π2，sin ∠DBC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－∠ABD ＝cos ∠ABD ＝1－sin 2∠ABD ＝277.在△BCD 中，由正弦定理CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠DCB 可得CD ＝BD sin ∠DBC sin ∠DCB＝433.由余弦定理DC 2＋BC 2－2DC ·BC cos ∠DCB ＝BD 2，可得3BC2＋43BC－5＝0，解得BC＝33或BC＝－533(舍去)．故BC的长为3 3.考点3与三角形有关的最值(范围)问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． [解](1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝ sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32.求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如本例中锐角三角形的条件，又如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．[教师备选例题]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围． [解](1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A .因为B 为钝角，所以A 为锐角，所以π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A＝sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是.1.在钝角△ABC 中，角A ，B ，C所对的边分别为a ，b ，c ，B 为钝角，若a cos A ＝b sin A ，则sin A ＋sin C 的最大值为( )A.2B.98 C ．1 D.78B [∵a cos A ＝b sin A ，由正弦定理可得，sin A cos A ＝sin B sin A ，∵sin A ≠0，∴cos A ＝sin B ，又B 为钝角，∴B ＝A ＋π2，sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋cos 2A ＝sin A ＋1－2sin 2A ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98，∴sin A ＋sin C 的最大值为98.]2．在△ABC 中，b ＝3，B ＝60°，(1)求△ABC 周长l 的范围； (2)求△ABC 面积最大值． [解](1)l ＝3＋a ＋c ，b 2＝3＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ， ∴(a ＋c )2－3ac ＝3，∵(a ＋c )2－3＝3ac ≤3×⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22， ∴a ＋c ≤23，当仅仅当a ＝c 时，取“＝”，又∵a ＋c ＞3，∴23＜l ≤3 3. (2)∵b 2＝3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，∴ac≤3，当且仅当a＝c时，取“＝”，S△ABC＝12ac sin B≤12×3×sin 60°＝334，∴△ABC面积最大值为334.。

正弦定理与余弦定理的使用

正弦定理与余弦定理的使用数学是一门需要掌握基本概念和公式的学科，而在初中数学中，正弦定理和余弦定理是非常重要的两个定理。

它们可以帮助我们解决各种与三角形相关的问题，比如求边长、角度等。

在本文中，我将详细介绍正弦定理和余弦定理的使用方法，希望能够帮助中学生及其家长更好地理解和应用这两个定理。

一、正弦定理的使用正弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。

具体公式如下：\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]利用正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两边和夹角，求第三边长度例如，已知三角形ABC中，边AB=5cm，边AC=7cm，夹角BAC为60度，求边BC的长度。

根据正弦定理，我们可以得到：\[\frac{BC}{\sin 60^\circ}=\frac{5}{\sin B}\]进一步化简，得到：\[BC=\frac{5\sin 60^\circ}{\sin B}\]由此，我们可以利用三角函数表或计算器求得角B的正弦值，然后代入上式计算得到BC的长度。

2. 已知两边长度和夹角，求第三边夹角例如，已知三角形ABC中，边AB=3cm，边BC=4cm，夹角ABC为45度，求角BAC的度数。

根据正弦定理，我们可以得到：\[\frac{3}{\sin B}=\frac{4}{\sin 45^\circ}\]进一步化简，得到：\[\sin B=\frac{3\sin 45^\circ}{4}\]通过求解这个方程，我们可以得到角B的正弦值，然后利用反正弦函数求得角B的度数。

二、余弦定理的使用余弦定理是指在任意三角形ABC中，边长a、b、c与其对应的角A、B、C之间的关系。

具体公式如下：\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\]利用余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三边长度，求夹角的余弦值例如，已知三角形ABC中，边AB=5cm，边BC=7cm，边AC=9cm，求角B 的余弦值。

数学苏教版必修5 正弦定理、余弦定理应用第2课时

正弦定理、余弦定理应用第二课时●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题。

过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。

采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。

作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间。

情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

●教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.●教学难点 :能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。

教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。

●教学过程:学生探究过程：课题导入: 现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.[范例讲解]例1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。

分析：求AB 长的关键是先求AE ，在∆ACE 中，如能求出C 点到建筑物顶部A 的距离CA ，再测出由C 点观察A 的仰角，就可以计算出AE 的长。

解：选择一条水平基线HG ，使H 、G 、B 三点在同一条直线上。

由在H 、G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α、β，CD = a ，测角仪器的高是h ，那么，在∆ACD 中，根据正弦定理可得 AC = )sin(sin βαβ-a AB = AE + h= AC αsin + h = )sin(sin sin βαβα-a + h 例2、如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5404'︒，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501'︒。

高中数学正弦定理、余弦定理的应用(1)教案苏教版必修5

正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题；（2）掌握求解实际问题的一般步骤．教学过程一．问题情境1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：R Cc B b A a 2sin sin sin ===； B ac C ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===； ②Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角.（2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了.（4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案.四．数学运用1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠. 在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=，则48DBC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠. 在ABC ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos 7247=+-⨯⨯- 3233.95≈，所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）.解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得 2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）. 由正弦定理，得sin 9sin1203sin 21BC ACB x BAC AB x ∠∠===，所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.图1-3-1图1-3-2解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-，AC ∴===. 在ACE ∆中，2252525cos1503υ⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度/h υ=.2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业：书上P21页习题1.3 第2，3，4题.普通高中课程标准实验教科书—数学必修五[苏教版]§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

正弦定理余弦定理的综合应用[上学期]--江苏教育版