2010届高考数学空间角与距离的计算与证明

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空间向量的应用求空间角与距离

空间向量的应用----求空间角与距离一、考点梳理1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考察常规解题方法的同时，更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。

坐标法〔法向量的应用〕，以其问题〔数量关系：空间角、空间距离〕处理的简单化，而成为高考热点问题。

可以预测到，今后的高考中，还会继续表达法向量的应用价值。

2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：1)求直线和直线所成的角假设直线AB 、CD 所成的角是α，cos α=|,cos |><CD AB ||||||CD AB CD AB •=2).利用法向量求线面角设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，那么有2πϕθ=-或2πϕθ=+。

特别地0ϕ=时， 2πθ=，l α⊥；2πϕ=时，0θ=，l α⊂或l α。

计算公式为：||sin cos ||||v n v n θϕ==或||sin sin()cos (0)2||||||||v n v n v n v n v n πθϕϕ=-=-=-=<3).利用法向量求二面角设1n 、2n 分别为平面α、β的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量1n 、2n 的夹角为ϕ，那么有θϕπ+=或θϕ=。

计算公式为：1212cos cos ||||n n n n θϕ=-=1212cos cos ||||n n n n θϕ==4).利用法向量求点面距离如图点P 为平面外一点，点A 为平面内的任一点，平面的法向量为n ,过点P 作平面α的垂线PO ，记∠OPA=θ，那么点P 到平面的距离θcos ||||PA PO d ==||||||||||||n PA PA n PA n PA n •=⊗•=5).法向量在距离方面除应用于点到平面的距离外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等。

其一，这三类距离都可以转化为点面间的距离；其二，异面直线间的距离可用如下方法操作：在异面直线上各取一点A 、B ，AB 在n 上的射影长即为所求。

高三数学空间角与空间距离的计算通用版知识精讲

高三数学空间角与空间距离的计算通用版【本讲主要内容】空间角与空间距离的计算空间直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的大小，直线与直线、直线与平面、平面与平面间的距离的求解【知识掌握】【知识点精析】空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角主要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解这类问题的基本思路是把空间问题转化为平面问题去解决． 1. 空间的角的概念及计算方法（1）空间角概念——空间的角，是对由点、直线、平面所组成的空间图形中各种元素间的位置关系进行定量分析的一个重要概念，由它们的定义，可得其取值X 围，如①两异面直线所成的角θ∈（0，2π） ②直线与平面所成的角θ∈[0，2π] ③二面角的大小，可用它们的平面角来度量，其平面角θ∈（0，π）．说明：对于空间角的计算，总是通过一定的手段将其转化为一个平面内的角，并把它置于一个平面图形，而且是一个三角形的内角来解决，而这种转化就是利用直线与平面的平行与垂直来实现的，因此求这些角的过程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通过空间角的计算和应用进一步提高运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（2）空间的角的计算方法①求异面直线所成的角常用平移法（转化为相交直线）；②求直线与平面所成的角常利用射影转化为相交直线所成的角； ③求二面角α－l －β的平面角（记作θ）通常有以下几种方法：（ⅰ）根据定义；（ⅱ）过棱l 上任一点O 作棱l 的垂面γ，设γ∩α＝OA ，γ∩β＝OB ，则∠AOB ＝θ（图1）；（ⅲ）利用三垂线定理或逆定理，过一个半平面α内一点A ，分别作另一个平面β的垂线AB （垂足为B ），或棱l 的垂线AC （垂足为C ），连结AC ，则∠ACB ＝θ或∠ACB ＝π－θ（图2）；（ⅳ）设A 为平面α外任一点，AB ⊥α，垂足为B ，AC ⊥β，垂足为C ，则∠BAC ＝θ或∠BAC ＝π－θ（图3）；（ⅴ）利用面积射影定理，设平面α内的平面图形F 的面积为S ，F 在平面β内的射影图形的面积为S ‘，则cos θ＝SS '．2. 空间的距离问题（1）空间各种距离是对点、线、面组成的空间图形位置关系进行定量分析的重要概念．空间距离是指两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离以及面面距离等，距离都要转化为两点间距离即线段长来计算，在实际题型中，这六种距离的重点和难点是求点到平面的距离，因线线距离、线面距离和面面距离除用定义能直接计算出结果的外，都要转化为求点到平面的距离进行计算．（2）空间的距离问题主要是：求空间两点之间、点到直线、点到平面、两条异面直线之间（限于给出公垂线段的）、平面和它的平行直线、以及两个平行平面之间的距离．（3）求距离的一般方法和步骤是：一作——作出表示距离的线段；二证——证明它就是所要求的距离；三算——计算其值．此外，我们还常用体积法或向量法求点到平面的距离．【解题方法指导】例1. 三棱锥P-ABC 中，∠ABC ＝90，PA ＝1，AB ＝3，AC ＝2，PA ⊥平面ABC.（1）求直线AB 与直线PC 所成的角；（2）求PC 和面ABC 所成的角；（3）求二面角A-PC-B 的大小．PA BC解：（1）作矩形ABCD.∴AB 和PC 所成角即为CD 和PC 所成角，且CD ⊥PD ．CD ＝3，AD ＝1，PD ＝2，tanPCD ＝3632=.故AB 和PC 所成角为arctan 36（2）∵PA ⊥面ABC ，PC 和面ABC 所成角即为∠ACP ，求得tanACP ＝21， ∴∠ACP ＝arctan21 （3）∵PA ⊥面ABC ，∴面PAC ⊥面ABC ，过B 作BG ⊥AC 于G ，则BG ⊥面PAC.过G 作GH ⊥PC 于H ，连接BH ，则BH ⊥PC ． ∴∠BHG 为二面角A-PC-B 的平面角．在Rt △ABC 与Rt △PBC 中，PB ＝2，BC ＝1，AC ＝2，AB ＝3∴PC ＝5∴BH ＝52，BG ＝23． ∴sinBHG ＝4155223==BH BG ∴∠BHG ＝arcsin 45．故二面角A-PC-B 的大小为arcsin 45．例2. 在正三棱柱111C B A ABC -中，各棱长都等于a ，D 、E 分别是1AC 、1BB 的中点，（1）求证：DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，并求其长度；（2）求二面角C AC E --1的大小；（3）求点1C 到平面AEC 的距离．解：（1）取AC 中点F ，连接DF ．∵ D 是1AC 的中点，F∴DF ∥1CC ，且121CC DF =．又11//CC BB ，E 是1BB 的中点， ∴DF ∥BE ，DF ＝BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，DE ＝BF ．∵1BB ⊥面ABC ，⊂BF 面ABC ，∴1BB ⊥BF ．又∵F 是AC 的中点，△ABC 是正三角形，∴BF ⊥AC ，a BF 23=． ∵1BB ⊥BF ，1BB ∥1CC ，∴BF ⊥1CC ，∴BF ⊥面11A ACC ，又∵⊂1AC 面11A ACC ，∴BF ⊥1AC ， ∵DE ∥BF ，∴DE ⊥1AC ，DE ⊥1BB ，∴DE 是异面直线1AC 与1BB 的公垂线段，且a DE 23=．（2）∵11//CC BB ，DE ⊥1BB ， ∴DE ⊥1CC ，又∵为DE ⊥1AC ，∴DE ⊥面11A ACC ．又⊂DE 面1AEC ，∴面1AEC ⊥面1ACC ， ∴二面角C AC E --1的大小为90°．（3）连接CE ，则三棱锥1CEC A -的底面面积为221a S CEC =∆，高a h 23=．所以32123232311a a a V CEC A ==⋅⋅-．在三棱锥AEC C -1中，底面△AEC 中，a CE AE 25==，则其高为a ，所以22a S AEC =∆．设点1C 到平面AEC 的距离为d ，由AEC C CEC A V V --=11得32123231a a d =⋅，所以a d 23=，即点1C 到平面AEC 的距离为a 23【考点突破】【考点指要】空间角是立体几何中的一个重要概念．它是空间图形中的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中，可以在填空题或选择题中出现，更多的在解答题中出现．空间中各种距离都是高考中的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点，考查题型多以选择题、填空题为主，有时渗透于解答题中，所以复习时应引起重视．【典型例题分析】例1. （2003全国卷文）如图，已知正四棱柱2,1,11111==-AA AB D C B A ABCD ，点E 为1CC 中点，点F 为1BD 中点．（1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线；（2）求点1D 到平面BDE 的距离．解法1：（1）连结AC 交BD 于点O ，则点O 为BD 中点，连OF ，则可证OCEF 为矩形，故EF ⊥CC 1 ，EF ∥AC ．又可证AC ⊥平面BD 1 ∴AC ⊥BD 1，∴EF ⊥BD 1，故 EF 为BD 1与CC 1的公垂线．O（2）连结D 1E ，则有三棱锥D1-DBE 的高d 即为点1D 到平面BDE 的距离．由已知可证三角形DBE 为边长为2的正三角形，故2331311⋅⋅=⋅⋅=∆-d S d V DBE DBE D ；又31311111=⋅===∆---DBD DBD C DBD E DBE D S CO V V V∴3123=d ∴332=d ，即1D 到平面BDE 的距离为332解法2：解（1）以D 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则 )0,0,0(D ，)2,0,0(1D)0,1,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)1,1,0(E ，)1,21,21(F ，∴)0,21,21(-=EF ，)2,1,1(1--=BD ，)2,0,0(1=CC∴01=⋅BD EF ，01=⋅CC EF ；∴1BD EF ⊥，1BD EF ⊥ 又EF 与CC 1、BD 1分别交于E 、F ，故EF 为BD 1与CC 1的公垂线. （2）由（1）)0,1,1(--=BD ，)1,0,1(-=BE ，)2,1,1(1--BD ，设平面BDE 的法向量为 ),,(z y x n =，则BD n ⊥，BE n ⊥，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BD n ， ∴⎩⎨⎧=+-=--00z x y x ，即 ⎩⎨⎧=-=z x y x ，∴ 不妨设 )1,1,1(-=n ，则点1D 到平面BDE 的距离为33232||1===n n BD d ，即为所求．例2. （2006全国卷Ⅲ文20）如图，12l l ，是互相垂直的异面直线，MN 是它们的公垂线段．点A B ，在1l 上，C 在2l 上，AM MB MN ==．（Ⅰ）证明AC NB ⊥；（Ⅱ）若60ACB ∠=，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值．Ｃ1l2解法一：（Ⅰ）由已知221l MN l l ⊥⊥，，1MNl M =，可得2l ⊥平面ABN ．由已知1MN l AM MB MN ⊥==，，可知AN NB =且AN NB ⊥．又AN 为AC 在平面ABN 内的射影， AC NB ∴⊥．（Ⅱ）Rt Rt CNA CNB △≌△，AC BC ∴=，又已知60ACB ∠=︒，因此ABC △为正三角形． Rt Rt ANB CNB △≌△，NC NA NB ∴==，因此N 在平面ABC 内的射影H 是正三角形ABC 的中心，连结BH ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．在Rt NHB △中，cos 3ABHB NBH NB ∠===．N1l l解法二：如图，建立空间直角坐标系M xyz -．1l令1MN =，则有(100)(100)(010)A B N -，，，，，，，，．（Ⅰ）MN 是12l l ，的公垂线，21l l ⊥， 2l ∴⊥平面ABN ．2l ∴平行于z 轴．故可设(01)C m ，，．于是(11)(110)AC m NB ==-，，，，，， ∵0011=+-=⋅NB AC AC NB ∴⊥．（Ⅱ）(11)AC m =，，，(11)BC m =-，，，AC BC ∴=．又已知60ACB ∠=︒，ABC ∴△为正三角形，2AC BC AB ===．在Rt CNB △中，NB =NC =(0C ．连结MC ，作NH MC ⊥于H ，设(0)(0)H λλ>，．(012)(01HN MC λλ∴=--=，，，，，．∵021=--=⋅λλMC HN ，∴31=λ1033H ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，，可得2033HN ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，连结BH ，则1133BH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，∵092920=-+=⋅BH HN ，HN BH ∴⊥，又MC BH H =， HN ∴⊥平面ABC ，NBH ∠为NB 与平面ABC 所成的角．又(110)BN =-，，， ∴3623234cos =⨯=⋅=∠BN BH BN BH NBH【综合测试】一、选择题1、已知AB 是异面直线a 、b 的公垂线段，AB ＝2，a 与b 成30°，在直线a 上取AP ＝4，则点P 到直线b 的距离是（）A 、22B 、25C 、142D 、5 2、将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（）A 、a 43B 、a 43C 、a 23 D 、64a 3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是DD 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，P 是棱AB 上的垂足，则直线A 1M 与OP 所成的角（）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 4、二面角α-AB-β大小为θ（0°≤θ≤90°），AC ⊂α，∠CAB ＝45o ，AC 与平面β所成角为30o ，则θ角等于（）．A 、30oB 、45oC 、60oD 、90o 5、（2005某某卷文4）如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（）A 、23 B 、22C 、21 D 、336、已知直线a 及平面α，a 与α间的距离为d ．a 在平面α内的射影为a '，l 为平面α内与a '相交的任一直线，则a 与l 间的距离的取值X 围为（）A 、[),d +∞B 、(),d +∞C 、(]0,dD 、{}d二、填空题 7、（2005某某卷理12）如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于____________．8、已知∠60o ，则以OC三、解答题：9. C 点到AB 1ABC DA 1E B 1C10.（2006理17）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：PB ∥平面AEC ；（Ⅲ）求二面角E AC B --的大小．B[参考答案]一、选择题1. 选A 提示：过P 做直线b 的垂线2. 选A 提示：用异面直线距离公式求解3. 选D 提示：过A 1做OP 的平行线4. 选B 提示：过C 做平面β的垂线5. 选B. 提示：转化为求B 1到平面AB C 1D 1的距离6. 选D 提示：转化为a 与α间的距离二、填空题7.2. 提示：将三角形ABC 补成正方形ACBD. 8. 33- 提示：利用直线与直线所成角的大小求出边长，再求二面角平面角的大小三、解答题：9. 解：由CD ⊥平面A 1B 1BA ∴CD ⊥DE ∵AB 1⊥平面CDE ∴DE ⊥AB 1，∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段∵CE ＝23，AC ＝1 ，∴CD ＝.22∴21)()(22=-=CD CE DEABC DA 1E B 1C 110. 解法一：（Ⅰ）（Ⅱ）（略解见第45讲【达标测试】第9题）（Ⅲ）过O 作FG AB ∥，交AD 于F ，交BC 于G ，则F 为AD 的中点．CDAB AC ⊥，OG AC ∴⊥．又由（Ⅰ），（Ⅱ）知，AC PB EO PB ，⊥∥，AC EO ∴⊥． EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．连接EF ，在EFO △中，1122EF PA FO AB ==，，word11 / 11 又PA AB EF FO =，⊥，45135EOF EOG ∴∠=∠=，，∴二面角E AC B --的大小为135．解法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系A xyz -，如图．y 设AC a PA b ==，，则有(000)(00)(00)(00)A B b C a P b ，，，，，，，，，，，，(00)(0)AC a PB b b ∴==-，，，，，，从而0=⋅PB AC ，AC PB ∴⊥．（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO ．由已知得(0)D a b -，，，002222ab b a E O ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 022b b EO ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，，，又(0)PB b b =-，，， 2PB EO ∴=，PB EO ∴∥，又PB ⊄平面AEC EO ，⊂平面AEC ， PB ∴∥平面AEC ．（Ⅲ）取BC 中点G ．连接OG ，则点G 的坐标为000222a b b OG ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，又0(00)22b b OE AC a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，，，，，，00=⋅=⋅∴AC OG AC OE ，．OE AC OG AC ∴，⊥⊥．EOG ∴∠是二面角E AC B --的平面角．22cos -=⋅<OGOE OG OE ．135EOG ∴∠=． ∴二面角E AC B --的大小为135．。

怎样求空间角、空间距离

nPMdab2图npMdα1图MdP nβα4图MdP nα3图怎样求空间角、空间距离求空间角、空间距离高考的重点热点之一，属必考内容，同时也是最重要的得分点。

既是必考，就须反复操练，烂熟于心。

一、求空间距离方法方法一：用定义法做出相应的距离，转化为两点间的距离问题求解（通常转化为解三角形问题，有时也用等面积、等体积法求之）方法二：向量坐标法则d=||||n MP n ⋅（公式一）1、点P 到平面α的距离.如图1（M 为α内的点，n 为平面的法向量）2、异面直线a 与b 的距离如图2（P 为a 上一点，M 为b 上一点，n 为与两异面直线都垂直的向量）3、平行于平面α的直线l 到平面α的距离如图3（P 为线上一点，M 为面α内一点，n 为平面的法向量）4、平行平面α 、β间的距离如图4（P 为α内一点，M 为β内一点，n 为平面的法向量）二、求空间角的方法方法一：用定义法作角，转化为相交直线所成的角，然后求解. 1、异面直线a 与b 所成的角θ在一条直线上找一点作另一直线的平行线，构成三角形，或在具体图形中找另一点，过此点作两直线的平行线，构成三角形. 2、直线l 与平面α所成的角ϕ斜线上选点P ，过P 作PM ⊥α于M ，连 AM, ϕ=AMP ∠为所求;利用公式cos θb nam5图mαMPn6图=cos 1θ cos ϕ （θ为斜外角，1θ为面平角）3、二面角ϕ过二面角棱上一点分别在两个半平面内做垂线，从而得到所求的二面角（通常利用特殊图形法、两垂一连法既三垂线定理去做）也可用射影面积公式求之 S ′=S cos ϕ方法二：向量法利用公式cos θ =||||||n m n m ⋅（公式二）求出θ= arccos||||||n m n m ⋅1、异面直线a 与b 所成的角θ如图5分别求出两条直线a 与b 的方向向量m 、n，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅2、直线l 与平面α所成的角ϕ如图6求与l 的方向向量m ,再求平面α的法向量n , m 与n 所在直线所成的角为θ，利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅则ϕ＝2π－θ 3、求二面角ϕ如图7、8求两平面的法向量m 与n 或如图9、10找分别与两半平面平行且都垂直于棱的两向量m 与n .利用公式二求出θ= arccos||||||n m n m ⋅，当ϕ为锐角时如图7、9ϕ=θ，当ϕ为钝角时如图8、10 ϕ= π－θ三.、用向量求角，求距离典型例题分析（对我们而言，不能求出角和距离许多时候是因为我们不能找到或作出角和距离。

空间角与距离的计算与证明

AC PB 10 . | AC | | PB | 5
() 在上取一点(，，), 则存在使
NCMC,
NC (1x,1y,z),
MC (1 ,0 , 1 ), 2
x 1 , y 1, z 1 .
2
ANMC,只需 ANMC0
即x1z0,解得 4.
tan
OO 1 B

OB OO 1

3
ta nO1OCO O1CO 1
3 3
OO 1 B 60 ,
O 1 OC 30 ,
从而 OC BO 1 ,
由三垂线定理得
:
AC BO 1 .
(II )由 (I ) AC BO 1 , OC BO 1 知 : BO 1 平面 AOC .设 OC O 1 B E , 过点 E 作 EF AC 于 F , 连结 O 1 F (如图 ), 则 EF 是 O 1 F 在平面 AOC 内的射影 , 由三垂线定理得 :
则相关各点的坐标: A是 (3,0,0)、
B ( 0 ,3 ,0 )C , ( 0 ,1 ,3 )O 1 ,( 0 ,0 ,3 )
从而 AC ( 3 ,1 , 3 ) BO 1 ( 0 , 3 , 3 ) AC BO 1 3 3 3 0, 所以 AC BO 1 .
2
5
可知当 4 时 ,
5
N 点坐标为 ( 1 ,1, 2 ), 55
能使 AN MC 0 .
此,时 AN (1,1,2),BN (1,1,2),
55
55
有BN MC 0
由AN MC 0,
BN MC 0得 : AN MC, BN MC. 所以ANB为所求二面角的平面.角

浅谈立体几何中空间角和距离问题

yzNB CC 11B 11A A 11 Mx浅谈空间角、距离--向量解法随着高考对立体几何考查力度的加大，立体几何中空间向量的运用，已成为解答立体几何问题的通性、通法．利用空间向量来解答问题，能将空间抽象思维转化为坐标运算问题，从而降低了对空间想象能力的要求．以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是不少立体几何题的主要特征。

用空间向量解立体几何问题，较为程序化，思路自然且较少添加辅助线，更易于被学生接受。

1.空间中夹角的向量求法在立体几何中，空间的角有：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，平面和平面所成的角即二面角。

俗称线线角，线面角、面面角。

我们经常遇到求角的问题，这个问题一般都是转化为直线与直线的角来计算，总是先定位，后算其值。

但有时定位非常麻烦，难点在于不知道所求的角在哪儿?辅助线怎么作?灵活运用向量法，这些问题就迎刃而解，下面通过几个例子来说明向量在求角中的应用。

1.1. 异面直线夹角的向量求法异面直线之间夹角的计算可以转化为异面直线间方向向量的夹角的计算，设异面直线n m ,所成的角为θ，则θ等于n m ,的方向向量b a ,所成的角或其补角的大小，则||||||cos b a b a ∙∙=θ。

例1（2000年高考新课程卷试题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面三角形ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点。

（1）求BN 的长；（2）求><11,cos CB BA 的值。

解：以C 为原点建立如图空间直角坐标系，（1）B （0，1，0），N （1，0，1）， ∴3)01()10()01(||222=-+-+-=BN （2）)2,1,0(),0,0,0(),2,0,1(11B C A∴5||,6||11==CB BA ，且3)2,1,0()2,0,1(11=⋅=⋅CB BA ， ∴1030||||111111,cos =>=<⋅⋅CB BA CB BA CB BA1.2. 直线与平面所成的角直线l 与平面α成角θ，a 是直线l 的方向向量，b 是平面α的一个法向量，则|||||||,cos |sin b a b a b a ∙∙=><=θ。

高考数学高频考点突破-空间角与距离课件

5 3.
立体几何中常涉及的距离 (1)点面距离；(2)线面距离；(3)面面距离．其中，点面距离是线面距离、面面距离的基础，求其他两种距离一般应化归为这一种距离，再通过解三角形而得到解决．
[例3] 已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是棱AB的中点，BC＝1，AA1＝ 3. (1)求C1到平面A1DC的距离； (2)求二面角D－A1C－A的大小．
13 13 .
利用空间向量解决探索性问题，它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理，只须通过坐标运算进行判断，在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，可以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法．
[例4] 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点． (1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值； (2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．
在 Rt△A1AN 中，A1N＝
AN2＋A1A中，
A1F＝ A1C21＋CF1F2＝ 14. 在△A1NF 中，cos∠A1NF＝A1N22＋·AF1NN·2F－NA1F2＝23.
所以
sin∠A1NF＝
5 3.
所以二面角
A1－ED－F
的正弦值为
|＝－35.
所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为35.
(2)证明：连接ED，易知 AF ＝(1,2,1)，
EA1
＝(－1，－
3 2
，4)，
ED＝(－1，12，0)，
于是 AF ·EA1 ＝0， AF ·ED ＝0. 因此，AF⊥EA1，AF⊥ED. 又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.

第二十七讲空间角与距离

第二十七讲空间中的角与距离※基础知识一．空间角的计算空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为(0°，90°]、[0°，90°]和[0°，180°]。

1.两条异面直线所成的角：求法：○1先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；○2通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角2.直线和平面所成的角：求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法” 3.二面角的证明与计算：解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。

通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝SS '，其中S 为斜面面积，S ′为射影面积，为斜面与射影面所成的二面角二．空间距离的计算1.点到平面的距离：平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：（1）“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。

（2）等体积法。

2.直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； 3.平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，即一个平面上任意一点到另一平面的距离叫做这两个平行平面的距离。

※典型例题题型一：空间角的计算例1.如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。

空间几何中的角和距离的计算

空间角和距离的计算(1)一线线角1. 直三棱柱A i B i C i-ABC , / BCA=90 0,点D〔，F i 分别是A i B i 和A i C i 的中点，若BC=CA=CC 1, 求BD i 与AF i所成角的余弦值.2. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，/ BAD=90 °, AD // BC, AB=BC=a , AD=2a , 且PAL 面ABCD , PD与底面成30°角.(1) 若AE ± PD , E为垂足，求证：BE ± PD;(2) 若AE ±PD,求异面直线AE与CD所成角的大小.D二.线面角i .正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F分别为BB i、CD的中点，且正方体的棱长为2.(1) 求直线DiF和AB和所成的角；(2) 求D i F与平面AED所成的角.B2. 在三棱柱A i B1C1-ABC中，四边形AA侣侣是菱形，四边形BCC i B i是矩形，C i Bi± AB , AB=4 , C i B i=3, ZABB i=600,求AC i与平面BCC i B i所成角的大小.三.二面角i .已知A i B i C i-ABC是正三棱柱，D是AC中点.(1) 证明AB i //平面DBC i;(2) 设AB i±BC i,求以BC i为棱，DBC i与CBC i为面的二面角的大小.2. ABCD 是直角梯形，Z ABC=90°, SAX面ABCD , SA=AB=BC=i , AD=0.5 .(1) 求面SCD与面SBA所成的二面角的大小；(2) 求SC与面ABCD所成的角.3. 已知A i B i C i-ABC是三棱柱，底面是正三角形, 一C的大小. ZA i AC=60°, / A i AB=45°,求二面角B— AA iB iC iB・A i空间角和距离的计算⑵四空间距离计算(点到点、异面直线间距离)1. 在棱长为a的正方体ABCD-A 1B1C1D1中，P是BC的中点,DP 交AC 于M, B1P 交BC1 于N.(1) 求证：MN上异面直线AC和BC1的公垂线；(2) 求异面直线AC和BC1间的距离.(点U线，点到面的距离)2. 点P为矩形ABCD所在平面外一点，PAL面ABCD , Q为线段AP的中点，AB=3 , CB=4 ,PA=2,求：(1) 点Q到直线BD的距离；(2) 点P到平面BDQ的距离.3. 边长为a的菱形ABCD中，/ ABC=60 0, PCX平面ABCD , E是PA的中点，求E到平面PBC 的距离.(线到面、面到面的距离)4, 已知斜三棱柱A i B1C1-ABC 的侧面A i ACC 1 与底面ABC 垂直，/ ABC=90 0, BC=2 , AC=2 J3 ,且AA i±A i C, AA i=A i C.(1) 求侧棱AA i与底面ABC所成角的大小；(2) 求侧面A i ABB 1与底面ABC所成二面角的大小;(3) 求侧棱B i B和侧面A i ACC i距离.5. 正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且平面ABCD、ABFE互相垂直，点M在AC 上移动，点N在BF上移动，若CM=NB=a ( 0 a ^2 ).(1) 求MN的长；(2) 当a为何值时，MN的长最小.。

1_高考专题空间角和距离的计算

高考专题：空间角和空间距离的求法一．直线和平面所成的角1.定义：直线和平面所成的角，应分三种情况（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指这条直线和它在平面上的射影所成的锐角；（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角为。

90（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角为。

由此可知，直线和平面所成角的范围是]2,0[π，斜线和平面所成的角的范围是]2,0π（ 2.求斜线和平面所成角的方法方法一：定义法或几何法：斜线和平面所成的角是一个直角三角形的锐角，它的三边分别是平面的垂线、斜线和斜线在平面上的射影，通过斜线上的某个点作出平面的垂线、垂足和斜足的连线是斜线在平面上的射影，这里引平面的垂线，确定垂足的位置是产生线面角的关键。

常借助以下两个方法确定垂足：A: 借助面面垂直的性质：若两个平面垂直，则在第一个平面内的一点在第二个平面内射影在两平面的交线上且垂直于交线。

B ：用二面角的平面角的性质：平面角的一边上任意一点到另一边的距离都垂直于第二边所在的平面；方法二：三弦公式法：如图，已知PA 与PB 分别是平面α的垂线和斜线，在平面α内过斜足B 任意引一直线BC ，设θθθ=∠=∠=∠PBC ABC PBA ,,21，有21cos cos cos θθθ⋅=。

方法三：虚拟高法：不需要做出所求线面角，而是先确定出斜线上的某点到斜足的距离L,再求出该点到已知平面的距离d （可用转化法或向量法求得）；设斜线与平面所成的角为θ，则Sin θ=Ld.一般的当线面角不易做出时常用该法。

方法四：空间向量法：建立恰当的空间直角坐标系，设直线的方向向量为，平面的法向量为，所求线面角为θ；则=θsin二．二面角1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，二面角的大小是通过其平面角来度量的，而二面角的平面角需要具有以下三个特点：（1）顶点在棱上；（2）两边分别在两个面内；（3）角的两边都与棱垂直。

2010年高考数学理科试题解析版(全国卷II)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷II ）（数学理）【教师简评】按照“保持整体稳定，推动改革创新，立足基础考查，突出能力立意”命题指导思想，本套试卷的总体印象是:题目以常规题为主，难度较前两年困难，得高分需要扎扎实实的数学功底.1.纵观试题，小题起步较低，难度缓缓上升，除了选择题11、12、16题有一定的难度之外，其他题目难度都比较平和.2.解答题中三角函数题较去年容易，立体几何难度和去年持平，数列题的难度较去年有所提升，由去年常见的递推数列题型转变为今年的数列求极限、数列不等式的证明，不易拿满分，概率题由去年背景是“人员调配”问题，转变为今年的与物理相关的电路问题，更体现了学科之间的联系.两道压轴题以解析几何和导数知识命制，和去年比较更有利于分步得分.3.要求考生有比较强的计算能力，例如立体几何问题，题目不难，但需要一定的计算技巧和能力.不管题目难度如何变化，“夯实双基(基础知识、基本方法)”，对大多数考生来说，是以不变应万变的硬道理.（1）复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭（A ）34i -- （B ）34i -+ （C ）34i - （D ）34i + 【答案】A【命题意图】本试题主要考查复数的运算.【解析】231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭22(3)(1)(12)342i i i i --⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦. （2）.函数1ln(1)(1)2x y x +-=>的反函数是（A ） 211(0)x y e x +=-> （B ）211(0)x y e x +=+>（C ）211(R )x y e x +=-∈ （D ）211(R )x y ex +=+∈【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。

【解析】由原函数解得，即，又；∴在反函数中，故选D.（3）.若变量,x y 满足约束条件1,,325x y x x y -⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤，则2z x y =+的最大值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】C【命题意图】本试题主要考查简单的线性规划问题.【解析】可行域是由A (1,1),B(1,4),C(1,1)---构成的三角形，可知目标函数过C 时最大，最大值为3，故选C.（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质. 【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++===（5）不等式2601x x x ---＞的解集为（A ）{}2,3x x x -＜或＞（B ）{}213x x x -＜，或＜＜（C ） {}213x x x -＜＜，或＞（D ）{}2113x x x -＜＜，或＜＜【答案】C【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.【解析】利用数轴穿根法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种【答案】B【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位（B ）向右平移4π个长度单位（C ）向左平移2π个长度单位（D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】s i n (2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将s i n (2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.（8）A B C V 中，点D 在A B 上，C D 平方A C B ∠．若CB a =u u r，C A b =uur ，1a =，2b =，则C D =uuu r（A ）1233a b +（B ）2133a b +（C ）3455a b +（D ）4355a b +【答案】B【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 【解析】因为C D 平分A C B ∠，由角平分线定理得A D C A 2=D BC B1=，所以D 为AB 的三等分点，且22A D A B (C B C A )33==- ，所以2121C D C A +A D C B C A a b 3333==+=+，故选B.（9）已知正四棱锥S A B C D -中，SA =，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A ）1 （B （C ）2 （D ）3【答案】C【命题意图】本试题主要考察椎体的体积，考察告辞函数的最值问题.【解析】设底面边长为a ，则高所以体积，设，则，当y 取最值时，，解得a=0或a=4时，体积最大，此时，故选C.（10）若曲线12y x -=在点12,a a -⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a = （A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）8 【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力.. 【解析】332211',22y xk a--=-∴=-，切线方程是13221()2y aax a ---=--，令0x =，1232y a-=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -=⋅⋅=，解得64a =.故选A.（11）与正方体1111ABC D A B C D -的三条棱A B 、1C C 、11A D 所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM ⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC 1、A 1D 1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（A ）1 （B （C （D ）2【答案】B【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.第Ⅱ卷注意事项：1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

2010高三数学高考第一轮复习向量复习教案：空间向量及其运算

第十三章空间向量与立体几何一、知识网络：二．考纲要求：（1）空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量；② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

三、命题走向本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

第一课时空间向量及其运算一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合四、教学过程（一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。

学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。

（二）、知识梳理，方法定位。

（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。

向量法证明：空间中角与距离的计算

→ (3)解 ∵平面 A1CC1 的一个法向量是BO＝(1,1,0)．设平面 A1B1C 的一个法向量是 → n＝(x，y，z)，A C＝(－2,2，－2)，A B ＝(－2,0,0)，
1 1 1
→ 则 n· A1C＝(x，y，z)· (－2,2，－2) ＝－2x＋2y－2z＝0，① n· A1B1＝(x，y，z)· (－2,0,0) ＝－2x＝0，∴x＝0.② 代入①并令 z＝1 得 y＝1，∴n＝(0,1,1)， → n · BO 1 1 → 〉＝ ∴cos〈n，BO ＝＝， →| 2× 2 2 |n|· |BO → ∴〈n，BO〉＝60° ，即二面角 B1—A1C—C1 的大二面角的大小，可以不作出平面角，如图所示，〈m，n〉即为所求二面角的平面角． ②对于易于建立空间直角坐标系的几何体，求二面角的大小时，可以利用这两个平面的法向量的夹角来求．如图所示，二面角 α－l－β，平面 α 的法向量为 n1，平面 β 的法向量为 n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角 α－l－β 的大小为 θ 或 π－θ.
(2011· 北京)如图，在四棱
锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB＝2，∠BAD＝60° . (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若 PA＝AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值； (3)当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长．
(1)证明因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC⊥BD. 又因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD. 所以 BD⊥平面 PAC. (2)解设 AC∩BD＝O，因为∠BAD＝60° ，PA＝AB＝2，所以 BO＝1，AO＝CO＝ 3.
向量法：空间中角的计算
思考:

高中数学专题复习空间角和距离的求法知识点例题精讲

空间角和距离的求法[高考能力要求]空间的角和距离，是定量刻划立体几何点线面位置关系的主要“指数”。

空间角和距离的计算，是立体几何学习的主要内容，也是高考必考的热点问题。

通常所说的“空间角和距离”主要是指1．三种角，包括两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角。

解决角的计算问题，必须分两步走，首先根据概念，通过定理转化为平面角表示，然后再借助于平面图形求解。

应当重视角度的范围：两条异面直线所成的角的范围是]90,0(0，直线和平面所成的角的范围是]90,0[00，二面角的范围是]180,0[00。

2．七种距离，包括两点间距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离及球面距离等。

求解距离问题也分两步走，第一步，根据概念，运用定理指出哪是所求的距离，第二步，转化为平面图形中的线段长。

其中线面距离，点面距离是高考考查的重点内容，并且距离求解常与体积计算联系在一起。

[例题精讲]【例1】在0120的二面角N l M --中，N B M A ∈∈,，已知点A ，Ｂ到棱l 的距离分别为２和４，且ＡＢ＝10。

求：（1）直线AB 与棱l 所成的角的正弦值；（2）直线AB 与平面N 所成的角。

分析：本题以二面角为载体设计问题，既考查钝二面角的画法，又考查线线角、线面角。

分析与解：如图，分别在平面M 、N 内，作AC l ⊥，BD l ⊥，垂足为C 、D ，再在N 内过C 作CE//DB且CE=DB ，连BE ，从BD l ⊥知CE l ⊥，则∠ACE 是二面角N l M --的平面角，即∠ACE=0120。

连AE ，则ABE ∠为AB 与棱l 所成的角。

在ACE ∆中，由余弦定理得AE=27。

在AEB Rt ∆中，571072sin ==∠ABE 对于（2）的解决中，首先要作出直线ＡB 在平面N 上的射影，从⊥l 平面ACE 知，平面ACE ⊥平面N 和M ，从点A 作到N 上的射影，其垂足必然在平面ACE 与N 的交线上，由于ACE ∆中，ACE ∠为0120是一个钝角，作AA ′CE ⊥，其射影A ′一定落在CE 的反向延长线上，所以AA ′=AC 360sin 0=。

高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法

高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法立体几何是数学中的一个分支，其重点研究的是三维空间中点、线、面和体之间的关系。

在立体几何中，空间角和空间距离是非常关键的概念。

本文将详细探讨高中数学中的立体几何空间角与空间距离计算方法。

一、空间角的概念与计算方法1. 空间角的概念空间角指的是由两个非共面向量所张成的角度，在立体几何中具有重要的意义。

空间角的大小是依据两个向量的夹角计算得来的。

2. 空间角的计算方法在计算空间角时，我们首先需要求出两个向量的点积。

设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则它们的点积为a*b=a1b1+a2b2+a3b3。

接下来，我们可以利用余弦定理来计算角度，即cosθ=(a*b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长，θ表示向量a和向量b之间的夹角。

二、空间距离的概念与计算方法1. 空间距离的概念空间距离指的是三维空间中两个点之间的距离，也是立体几何中经常涉及到的一个概念。

2. 空间距离的计算方法我们可以借助勾股定理来计算空间距离。

设点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)是三维空间中的两个点，它们之间的距离为d，则d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。

三、空间角和空间距离的应用空间角和空间距离在立体几何中的应用非常广泛，例如在计算棱台的侧面积、计算四面体内切圆半径、求解圆锥截面面积等问题中，我们都需要用到空间角和空间距离的知识。

比如，在计算棱台的侧面积时，我们需要首先求出两条棱所在的平面之间的空间角，然后根据棱长和计算出的角度，就可以快速计算出棱台的侧面积。

在计算四面体内切圆半径时，我们需要先计算出四面体各面的法线向量，然后根据法线向量计算面上的角度，最后用勾股定理求出四面体内切圆的半径。

在求解圆锥截面面积时，我们需要用到空间角和空间距离的知识，以找出圆锥截面的边界和计算截面的面积。

高考数学专题—立体几何(空间向量求空间角与空间距离)

高考数学专题——立体几何（空间向量求角与距离）一、空间向量常考形式与计算方法设直线l,m 的方向向量分别为l ⃗,m ⃗⃗⃗⃗，平面α,β的法向量分别为n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗. （1）线线角：（正负问题）：用向量算取绝对值（因为线线角只能是锐角）直线l,m 所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：cos θ=l⃗⋅m ⃗⃗⃗⃗|l⃗|⋅|m ⃗⃗⃗⃗|；（2）线面角：正常考你正弦值，因为算出来的是角的余角的余弦值非正常考你余弦值，需要再算一步。

直线l 与平面α所成的角为θ，则0≤θ≤π2，计算方法：sin θ=|l ⃗⋅n 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l⃗|⋅|n ⃗⃗|； (3)二面角：同进同出为补角；一进一出为原角。

注意：考试从图中观察，若为钝角就取负值，若为锐角就取正值。

平面α,β所成的二面角为θ，则0≤θ≤π，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝⟨AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⟩．如图②③，n ⃗⃗1,n 2⃗⃗⃗⃗⃗分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|n⃗⃗1⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n⃗⃗1|⋅|n2⃗⃗⃗⃗⃗⃗||，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． (4)空间距离额计算：通常包含点到平面距离，异面直线间距离。

二、空间向量基本步骤空间向量求余弦值或正弦值四步法（1）建系：三垂直，尽量多点在轴上；左右下建系，建成墙角系；锥体顶点在轴上；对称面建系。

一定要注明怎样建成的坐标系（2）写点坐标（3）写向量：向量最好在面上或者轴上（可简化计算量）（4）法向量的简化计算直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线l ⊥α，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.平面法向量的求法：设平面的法向量为α⃗=(x,y,z ).在平面内找出（或求出）两个不共线的向量a ⃗=(x 1,y 1,z 1)，b ⃗⃗=(x 2,y 2,z 2)，根据定义建立方程组，得到{α⃗×a ⃗=0α⃗×b ⃗⃗=0，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.三、空间向量求距离向量方法求异面直线距离：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

2010年高三数学试题精编-9.3空间角与距离

2010年高三数学试题精编-9.3空间角与距离D【答案】D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现. 【解析】因为BB1//DD1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D ACD D ACDVV --=,即111133ACD ACD S DO S DD ∆∆⋅=⋅.设DD1=a,则122111sin 60)2222ACD S AC AD a ∆==⨯⨯=,21122ACD S AD CD a ∆==.所以13133ACD ACD S DD DO a S ∆∆===,记DD1与平面AC 1D 所成角为θ,则1sin DO DD θ==,所以cos θ=.2.（全国Ⅰ卷文6）直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90° 【答案】C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111ABC A B C-的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得AD AC =，则11ADAC 为平行四边形，1DA B ∠就是异面直线1BA 与1AC 所成的角，又三角形1A DB为等边三角形，160DA B ∴∠=3.（全国Ⅱ卷理11文11）与正方体ABCD —A1B1C1D1的三条棱AB 、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点（A ）有且只有1个（B ）有且只有2个（C ）有且只有3个（D ）有无数个【答案】D【解析】直线上取一点，分别作垂直于于则分别作，垂足分别为M ，N ，Q ，连PM ，PN ，PQ ，由三垂线定理可得，PN ⊥PM⊥；PQ ⊥AB ，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ ，即P 到三条棱AB 、CC1、A1D1.所在直线的距离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.4.（全国Ⅱ卷文8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（A）4(B) 4(C)(D)34【答案】D：【命题意图】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。