勾股定理与平方根
勾股定理与平方根的计算
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理用于确定直角三角形的边长关系 勾股定理在建筑设计中的应用 勾股定理在测量中的应用 勾股定理在解决实际问题中的应用
平方根在日常生活中的应用
建筑测量：在建筑行业中，平方根可以用于计算建筑物的面积和体积，以确保建筑物的 尺寸和比例符合要求。
科学实验：在科学实验中，平方根可以用于计算实验数据的平均值和标准差，以评估实 验结果的可靠性和准确性。
解析
勾股定理与平方根的练习题：提供了一些经典的练习题，帮助学生巩固所学知识。 解析过程：详细解释了每道练习题的解题思路和步骤，帮助学生理解解题方法。
题目难度：对每道练习题的难度进行了评估，方便学生根据自己的学习水平进行选择。 易错点分析：总结了解题过程中容易出现的错误，提醒学生注意避免类似错误的发生。
02 平方根的计算
平方根的定义
平方根是一个数的平方等 于给定值时的数
平方根有正负之分，因为 正负数的平方都是正数
平方根的表示方法是在数 前加根号，如√4=2
平方根的运算一个非负数a的平方根，记为√a，表示a的算术平方根。
性质：正数的平方根有两个值，互为相反数；0的平方根是0；负数没有实 数平方根。
平方根计算在勾股定理中的应用
勾股定理的证明需要用到平方根的概念。
平方根的计算可以帮助我们找到直角三角形斜边的长度，从而验证勾股定理。
在实际应用中，平方根的计算可以帮助我们解决一些与勾股定理相关的问题，例如建筑、航海 等领域的问题。
掌握平方根的计算方法对于理解和应用勾股定理至关重要。
04
勾股定理与平方根的实 际应用
勾股定理与平方根的 计算
XX,a click to unlimited possibilities
平方根的应用
平方根的应用平方根是数学中常见的一个概念，表示某个数的算术平方根。
它在实际生活中有着广泛的应用，本文将探讨平方根在几个具体领域的运用。
一、数学领域在数学领域，平方根是一个重要的基础概念。
我们知道，平方根是一种运算，它可以用来求解相应的数的平方根。
在方程求解中，平方根经常出现，例如在解二次方程时，通过求取方程的平方根可以得到方程的解。
此外，平方根还有其他一些有趣的性质。
比如，我们可以利用平方根来求解勾股定理中的未知边长。
对于一个直角三角形，已知两条边的长度，可以利用勾股定理得到第三条边的平方，再对其开平方，就可以求得该边的长度。
二、物理领域平方根在物理学中也有广泛的应用。
在运动学中，平方根可以用来求解物体的速度或加速度。
当已知物体的位移和时间时，可以通过求取位移的平方根除以时间的平方根，得到物体的平均速度。
在电学中，平方根的运用也十分常见。
例如，在交流电路的求解中，需要计算电流和电压的幅值，即电量随时间的变化情况。
这时就需要利用平方根来计算电压和电流的有效值。
三、工程领域在工程领域，平方根也有着重要的应用。
例如，在建筑设计中，需要计算房屋或建筑物的面积或体积。
在测量时，常常会遇到不规则形状的房间或构件，这时就需要利用平方根来求解面积或体积。
此外，平方根还可以用在统计学中。
在统计分析中，我们常常需要计算数据的标准差或方差，这就需要利用平方根来求解。
四、金融领域在金融领域，平方根是用来计算风险的重要工具。
例如，在股票投资中，我们常常需要计算股票的波动率来判断风险大小。
波动率可以通过平方根来计算，它表示了价格的波动情况，从而帮助投资者进行风险评估。
五、计算机科学领域在计算机科学领域，平方根也有着广泛的应用。
例如，在计算机图像处理中，我们经常需要对像素进行平滑处理。
这时，可以利用平方根来计算像素的平方和，从而实现平滑处理的效果。
此外，在密码学中，平方根也被用来生成加密算法中的随机数，从而增加密码的安全性。
勾股定理、方根专题知识点整理
勾股定理、平方根专题知识点整理第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
初中数学超纲定理
初中数学超纲定理在初中数学中，有一些定理和概念超出了课本的范围，但它们却是数学发展中重要的基石。
这些超纲定理在高中和大学数学中被广泛应用，为我们打下了坚实的数学基础。
本文将介绍几个初中数学超纲定理，帮助大家了解数学的更深层次。
一、勾股定理勾股定理是数学中的基本定理之一，也是初中数学超纲定理之一。
它阐述了直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和的关系。
勾股定理的数学表达式为$a^2 + b^2 = c^2$，其中$a$、$b$为直角三角形的两条直角边，$c$为斜边。
勾股定理的应用非常广泛，可以解决很多与直角三角形有关的问题。
二、二次根式二次根式是一个超纲的概念，它是指形如$\sqrt{a}$的数，其中$a$为一个非负实数。
例如，$\sqrt{4}=2$，$\sqrt{9}=3$。
二次根式在初中数学中并没有详细讲解，但它在高中数学中却是非常重要的一部分。
二次根式的性质和运算规则需要在高中学习。
三、平方根和立方根平方根和立方根也是初中数学超纲定理的一部分。
平方根是指一个数的平方为该数的正实数，如$\sqrt{9}=3$。
立方根是指一个数的立方为该数的正实数，如$\sqrt[3]{8}=2$。
平方根和立方根的概念在初中数学中会简单涉及，但具体的计算和运算规则需要在高中学习。
四、函数的概念函数是一种数学关系，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在初中数学中，我们学习了一次函数和二次函数的概念，它们都是函数的一种特殊形式。
但函数的概念远不止于此，在高中和大学数学中，我们将学习更多类型的函数，如指数函数、对数函数、三角函数等。
函数的概念和性质是数学中的重要内容，对于理解数学和解决实际问题都有很大帮助。
五、排列组合排列组合是一种数学计数方法，它用于计算某个事件发生的可能性。
在初中数学中，我们学习了一些简单的排列组合方法，如阶乘和组合数。
但在高中和大学数学中，我们将学习更复杂的排列组合问题，如排列数、组合数的计算公式以及应用等。
勾股定理与平方根的数学知识点
勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
结论为：勾三股四弦五a2+b2=c21、如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。
2、满足a+b=c的3个正整数a、b、c称为勾股数。
(例如，3、4、5是一组勾股数)。
利用勾股数可以构造直角三角形。
二、平方根1、定义一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根。
也就是说，如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。
2、一个正数有2个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根。
3、求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
4、正数a有两个平方根，其中正的平方根，也叫做a的算术平方根。
例如：4的平方根是2，其中2叫做4的算术平方根，记作=2;2的平方根是其中2的算术平方根。
0只有一个平方根，0的平方根也叫做0的算术平方根，即三、立方根1、定义一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也称为三次方根。
也就是说，如果x=a，那么x就叫做a的立方根，数a的立方根记作，读作三次根号a。
2、求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
3、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
四、实数1、无限不循环小数称为无理数。
2、有理数和无理数统称为实数。
3、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点是一一对应的。
五、近似数与有效数字1、例如，本册数学课本约有100千字，这里100是一个近似似数。
2、对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。
初二数学勾股定理知识点勾股定理在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。
勾股定理与平方根的数学知识点
勾股定理与平方根的数学知识点一、勾股定理勾股定理是描述直角三角形边的关系的定理，它由公式a²+b²=c²表示，其中a、b、c分别代表直角三角形的两个直角边和斜边。
这一定理源自古希腊的数学家毕达哥拉斯提出的观察和实验结果。
应用：勾股定理在几何学中的应用非常广泛，可以用于求解直角三角形的边长、计算三角形的面积等。
同时，它还有重要的应用于导出三角函数的定义和性质。
例如，我们可以通过勾股定理计算一个直角三角形的斜边长度。
如果已知两个直角边的长度分别是a=3和b=4，那么根据勾股定理，可以计算出斜边c的长度：c²=a²+b²c²=3²+4²c²=9+16c²=25c=√25c=5所以，直角三角形的斜边长度为5二、平方根平方根是一种运算，表示一个数的平方根。
对于非负实数x，它的平方根是一个非负实数y，满足y²=x。
平方根的正号由计算的上下文决定。
平方根的运算方法可以通过求解方程x²=y来实现。
实质上，平方根是指数运算的逆运算。
应用：平方根在代数学中的应用广泛，可用于求解方程、计算数值等。
它还在几何学中有重要的应用，例如计算直角三角形的斜边长度、计算圆的半径等。
在实际应用中，平方根的计算可以通过手算、计算器、计算机等方式进行。
一些常见的平方根的近似值也被广泛使用，例如√2≈1.414，√3≈1.732三、勾股定理与平方根的关系勾股定理和平方根的关系可以通过勾股定理的应用来理解。
当我们需要求解直角三角形的斜边长度时，可以使用平方根运算。
在勾股定理中，由于a²+b²=c²，所以有c=√(a²+b²)。
这个式子告诉我们，当已知两个直角边的长度时，我们可以通过平方根运算来计算斜边的长度。
例如，当已知两个直角边的长度分别为a=3和b=4时，根据勾股定理，我们可以计算出斜边c的长度为c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5这个例子展示了勾股定理和平方根的关系，它们在求解直角三角形边长时密切相关。
勾股定理与平方根理论
勾股定理与平方根理论勾股定理应用在金融市场上，有两个直角三角形最为重要：第一，等腰直角三角形，直角两边皆为1，则其斜边比率将为开方2，即1.414. 第二，直角三角形的直角夹角一边为1，另一边为2，其斜边的长度为开方5即2.236. 转一个计法，开方2的倒数为0.707；开方5的倒数为0.447.就引出两组重要市场比率：1.414和2.236；0.707和0.447 在金融市场黄金比率发挥着极大的作用，我们可以利用勾股定理推演出黄金比率的关系。
黄金矩形的几何分析方法：四边形边长为2单位其对角线长度是5的平方根，将这条对角线变成X轴，超出原四边形边长的1.236个单位，超出长度是四边形边长的0.618.换言之，若四边形的横轴是表示时间，纵轴是价格，这条对角线实际上是江恩1X2线，应用在图表分析上，则市场调整的时间便有可能在升市时间的1.236倍后结束。
从另一个角度去考虑，若这种增长方式以两度空间的形成增长，则横向的增长的比率将为2、5、13、34的开方形式无限延伸。
而向上增长的比率为3、8、21、55开方的形式增长。
换言之，平方根比率的增长模式乃是以神奇数字系列排列的单双数的形式延伸开来。
这两度空间可以视为图表上时间与价格的两大角度。
总而言之，在金融市场的价格与时间分析方面，有两套重要比率影响着市场的发展。
第一套黄金比率及其衍生比率第一，黄金比率0.618及其衍生比率：0.618的开方----0.7860.618一次方----0.6180.618二次方----0.3820.618三次方----0.2360.618四次方----0.146第二，黄金比率的0.618的倒数1.618及其衍生比率：1.618的开方----1.2721.618一次方----1.6181.618二次方----2.6181.618三次方----4.2361.618四次方----6.854第二套比率以神奇数字本身的开方数为主。
最重要的是2、3、5的开方以及其衍生的比率。
平方根的应用
平方根的应用平方根是数学中常见的一个概念，它代表一个数的平方根，即将一个数乘以自己得到的结果。
平方根在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。
本文将探讨平方根在几何、物理、工程以及其他领域中的应用。
一、平方根在几何中的应用1.直角三角形中的勾股定理勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边的平方和。
即c² = a² + b²。
在解决直角三角形相关问题时，我们常常需要计算未知边长或角度。
此时，平方根的应用就非常明显了，只要已知两边的长度，就可以通过取平方根来求解斜边的长度。
2.几何图形的面积计算在计算几何图形的面积时，平方根也发挥着重要的作用。
以矩形为例，若已知长和宽，可以通过将长和宽相乘再取平方根的方式计算出矩形的面积。
同样地，平方根也可以用于计算其他几何图形，如正方形、圆形等。
二、平方根在物理学中的应用1.速度和加速度的计算在物理学中，我们经常需要计算物体的速度和加速度。
当一个物体以恒定加速度运动时，它的速度可以通过将加速度乘以时间再开平方根来求解。
同样地，加速度也可以通过将速度的平方除以时间再开平方根来计算。
2.力学中的牛顿定律根据牛顿第二定律，力等于质量乘以加速度，即F = m*a。
如果我们已知力和质量，那么可以通过将力除以质量再开平方根来求解加速度。
三、平方根在工程学中的应用1.结构力学中的弯曲刚度在工程学中，弯曲刚度是用来描述某个材料或结构在受力时的弯曲程度的一种性质。
它通常与材料的几何形状和材料的弯曲模量有关。
弯曲刚度可以通过对材料的几何形状进行计算公式的推导，其中包括平方根的运算。
2.电气工程中的电压和电流在电气工程中，电压和电流是两个重要的物理量。
根据欧姆定律，电压等于电流乘以电阻，即V = I*R。
通过将电阻除以电流再开平方根，我们可以得到电压的值。
四、平方根的其他应用1.金融计算中的利率计算在金融学中，利率是一个重要的指标。
在复利计算中，当我们已知年化利率和投资期限时，可以通过将年化利率除以投资期限再开平方根来计算每期的利率。
(完整版)勾股定理知识点+对应类型
第二章勾股定理、平方根专题第一节勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。
数学杂谈-(二次方根与勾股定理)
P80第二章二次方根与勾股定理数学杂谈一、教学设计理念2-1 二次方根的意义在实数系中，无理数是不可或缺的，为了使学生建立无理数的概念，本教材藉由「正方形面积反求边长」的方法，让学生先承认这个数的存在，再引进根号数的符号，接着安排学习根号数的相反数，目的是想使学生对根号数的正负数有所区别，以做为学习平方根意义的先备知识。
教材中也藉由电算器及乘方开方表，让学生更能尽量接近一个根号数的值，使根号数能成为一个确定的「数」，逐步让根号数的观念更趋于完善。
2-2 根式的运算教材中先处理根式的乘除，再做根式的加减，目的是便于判别同类根式，以利根式的化简，进而处理根式的四则运算。
教材中更利用已习的乘法公式做为根式运算的练习，藉此连结，使学生熟练分母根式的有理化。
2-3 勾股定理一般来说，勾股定理有三种表达方式（梁宗巨，民84）：1. 直角三角形斜边上的正方形等于直角边上两个正方形这里的「等于」意指「拼补相等」。
所谓的拼补相等，是将直角边上的两个正方形经过切割，再合并拼凑成斜边上的正方形。
此种作法，完全没有从数的观点出发，只考虑图形经由切割拼凑后的全等问题。
为了区别于别种不同思维下的「勾股定理」，有学者专家称此为「形的勾股定理」。
2. 直角三角形斜边长度的平方等于两个直角边长度平方之和这种「勾股定理」强调长度的平方，并未涉及长度平方所代表的几何意义，较强调数的运算，故有人称其为「数的勾股定理」。
中下程度的学生对此较难理解，然而透过数值的计算，便可让学生了解定理的合理性。
3. 直角三角形直角边上的两个正方形面积和等于斜边上正方形的面积我们常用数量相等来表示面积相等的概念，然而面积是几何概念，不一定要用数的计算才能判定面积是相等的，所以此种「勾股定理」的概念可说是数形关系的连结。
本教材是以数形关系的连结做为教材设计的理念，并在文中介绍有关勾股定理的数学史，以增加学生学习此单元的兴趣，接着再处理勾股定理的应用，最后将它连结到两点距离公式，使勾股定理成为学生了解两点距离公式的基本心像。
初二数学平方根与勾股定理的运用
初二数学平方根与勾股定理的运用数学作为一门基础学科，在我们学习过程中，掌握好基本的数学知识是非常重要的。
而平方根与勾股定理作为数学中的重要概念，在初中阶段更是需要我们深入掌握和灵活运用。
本文将从数学原理、实际应用和解题技巧三个方面展开，为大家详细介绍初二数学平方根与勾股定理的运用。
一、数学原理1. 平方根的概念平方根是数学中的一个概念，用来表示一个数的算术平方根。
对于一个非负数a，如果有一个数b，使得b的平方等于a，那么b就被称为a的平方根，记作√a。
2. 勾股定理的定义勾股定理是一种表达直角三角形边长关系的定理，也被称为毕达哥拉斯定理。
定理表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方，即c^2 = a^2 + b^2。
二、实际应用1. 平方根的应用之开平方运算开平方运算是平方根的一种应用形式。
这在测量和计量中具有广泛的应用。
例如，在测量直角三角形的斜边时，我们可以通过求解斜边的平方根来得到其实际长度。
2. 勾股定理的应用之求解三角形的边长勾股定理可以帮助我们在已知两个边长的情况下，求解出直角三角形的第三个边长。
这在实际测量中有着广泛的应用。
例如，我们在测量建筑物高度时可以利用勾股定理来计算。
三、解题技巧1. 平方根的运算技巧在进行平方根运算时，我们可以利用一些技巧来简化计算。
例如，当求解√16时，可以发现16可以分解为4的平方，即16 = 4^2，因此√16 = √4^2 =4。
2. 勾股定理的解题方法在运用勾股定理解决问题时，我们需要注意找到直角形成的两条边，并利用定理进行计算。
同时，还需要注意边长的单位一致性，确保计算的准确性。
总结起来，初二数学中的平方根与勾股定理是我们学习中非常重要的内容。
通过深入理解数学原理、掌握实际应用和解题技巧，我们能够更好地运用这些知识，解决实际问题。
在今后的学习中，我们应该持续加强对平方根与勾股定理的研究和应用，提升自己的数学水平。
苏教版八年级上数学知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如…等； （4）某些三角函数值，如sin60o等三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
勾股定理与平方根理论
勾股定理与平方根理论(2008-10-13 17:13:36)勾股定理应用在金融市场上，有两个直角三角形最为重要：第一，等腰直角三角形，直角两边皆为1，则其斜边比率将为开方2，即1.414. 第二，直角三角形的直角夹角一边为1，另一边为2，其斜边的长度为开方5即2.236. 转一个计法，开方2的倒数为0.707；开方5的倒数为0.447.就引出两组重要市场比率：1.414和2.236；0.707和0.447 在金融市场黄金比率发挥着极大的作用，我们可以利用勾股定理推演出黄金比率的关系。
黄金矩形的几何分析方法：四边形边长为2单位其对角线长度是5的平方根，将这条对角线变成X轴，超出原四边形边长的1.236个单位，超出长度是四边形边长的0.618.换言之，若四边形的横轴是表示时间，纵轴是价格，这条对角线实际上是江恩1X2线，应用在图表分析上，则市场调整的时间便有可能在升市时间的1.236倍后结束。
从另一个角度去考虑，若这种增长方式以两度空间的形成增长，则横向的增长的比率将为2、5、13、34的开方形式无限延伸。
而向上增长的比率为3、8、21、55开方的形式增长。
换言之，平方根比率的增长模式乃是以神奇数字系列排列的单双数的形式延伸开来。
这两度空间可以视为图表上时间与价格的两大角度。
总而言之，在金融市场的价格与时间分析方面，有两套重要比率影响着市场的发展。
第一套黄金比率及其衍生比率第一，黄金比率0.618及其衍生比率：0.618的开方----0.7860.618一次方----0.6180.618二次方----0.3820.618三次方----0.2360.618四次方----0.146第二，黄金比率的0.618的倒数1.618及其衍生比率：1.618的开方----1.2721.618一次方----1.6181.618二次方----2.6181.618三次方----4.2361.618四次方----6.854第二套比率以神奇数字本身的开方数为主。
八年级数学第二章勾股定理与平方根知识梳理解读
初二年级数学学科第一单元知识点梳理第二章勾股定理与平方根江苏省数学特级教师张顺和二、典例分析例1 在△ABC 中，AB=17, AC=10,BC边上的高AD=8，则BC=_______. 分析已知三角形的两边与第三边上的高，这个三角形可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形，所以应分类考虑。
解如图1，当∠ACB 是锐角时，在Rt ⊿ABD 中，根据勾股定理，BD=AB 2-AD 2=2-82=15, 在 Rt⊿ACD 中, 根据勾股定理，CD=AC 2-AD 2=2-82=6 则BC=BD+CD=15+6=21如图2，当∠ACB 是钝角时， BC=BD-CD=15-6=9。
AA图1图2例2 已知｜x －1｜+（y+3）2+x +y +z =0.求x ，y ，z 的值.分析因为绝对值、平方数、算术平方根都是非负数，而几个非负数的和为0，则每一个加数都为0，从而可得方程组，进而求得x 、y 、z 的值.解∵｜x －1｜≥0，（y+3）2≥0，x +y +z ≥0，又｜x －1｜+（y+3）2+x +y +z =0，⎧|x -1|=0⎧x -1=0⎪⎪2(y +3 =0即⎨⎨y +3=0⎪⎪x +y +z =0x +y +z =0⎩∴⎩⎧x =1⎪⎨y =-3⎪z =2∴⎩说明（1）到目前为止，我们学习了三种非负数：①绝对值｜a ｜，②平方数a 2，③算术平方根a （a ≥0）；（2）非负数+非负数=非负数；若几个非负数之和等于0，则这几个非负数一定都为0.例3 说明近似数1. 6与1. 60的区别。
解（1）精确度不同，近似数1. 6精确到十分位，而1. 60精确到百分位；（2）有效数字不同，近似数1. 6含有2个有效数字，分别是1、6，而1. 60含有3个有效数字，分别是1、6，0；（3）数轴上表示的范围不同，若设x ≈1. 6, y ≈1. 60，则有1. 55≤x <1. 65 ，1. 595≤y <1. 605。
数学中勾股定理的公式是
数学中勾股定理的公式是
勾股定理，也被称为毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，两
个较短的直角边的平方和等于斜边的平方。
公式表达：
设直角三角形的两个直角边长度分别为a、b，斜边长度为c，则有：
c² = a² + b²
其中，²代表平方的意思。
解释：
这个定理的原理比较简单。
直角三角形的三个边互相关联，也就是说，如果确定了任意两条边的长度，就可以算出第三条边的长度。
根据勾股定理，斜边的长度等于两条直角边长度平方和的平方根。
这
个定理在数学中有许多的应用，尤其在几何学和物理学中。
利用勾股定理可以判断一个三角形是否为直角三角形，也可以计算出
直角三角形中未知边长的长度。
此外，勾股定理还被用于测量平面和
空间的距离、计算导线的长度等等。
有趣的是，勾股定理出现的历史可以追溯至公元前600年，当时的古希腊哲学家毕达哥拉斯就提出了这个定理。
他还发现，许多数学定理都和勾股定理有关，因此，他被称为古希腊的数学大师。
总之，勾股定理是世界上最古老和最广泛应用的定理之一。
在学习数学和物理学的过程中，勾股定理无疑是重要的基础。
八上第二章勾股定理与平方根复习
练一练 2 22 3 3 1．在 ， ，732，-27，，16， ，08 等 1 0 2 4 7 2
.
数中,无理数有
2 4 2．比较下列各组数的大小：
＞ (1) 4 _____
,
, 3 0.8
．
15
＜ (2) _____3.1416
练一练
3.绝对值小于 5的整数是____________.
３．实数的分类 整数 （有限小数） 有理数 分数 （有限小数或 （有限小数或无
实 数
无限循环小数） 限循环小数）
无理数 无限不循环小数
正有理数 有限小数或无 有理数 0 实 限循环小数 负有理数 数 正无理数 无限不循环小数 无理数 负无理数
实数 ４．________与数轴上的点是一一对应．
7.有一个三角形的两边长为3和5,要使 这个三角形为直角三角形,则第三边长 为__________.
8.如图,梯形ABCD中,AD∥BC, ∠A= 90°, ∠C=45°, BC=2AD,CD=10,求这个梯形的面 积.
A D
B
C
9．如图,在长方形ABCD中,AD=10cm， AB=8cm，E是CD上一点若以AE为折痕,将 △ADE翻折过来,顶点D恰与BC边上的点F重合，
３.任何数的平方都___0,所以_____没有平方 根.
练一练
４.21的平方根是 ５. 81的平方根是 根是 .
,34 的立方根是＿＿. ,3 27 的算术平方
６.如果一个数的平方根是a+2与3-2a,则这 个数是_______.
二、实数 １．无限不循环小数称为无理数.
２．无理数可以分为正无理数和负无理数．
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课题 2.1勾股定理（1）备注学习目标1. 能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单的问题.2. 探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数型结合的思想.重点难点1. 了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题.2. 勾股定理的发现.教学流程预习导航创设情境：这是1955年希腊发行的一枚纪念邮票，观察图案小方格的个数，你有哪些发现？邮票上的图是根据一个著名的数学定理设计的？下面就来揭开这个秘密.合作探究一、新知探究：观察图形，我们分别以直角三角形ABC的三边为边向形外作三个正方形．若将图形①、②、③、④、⑤剪下，用它们可以拼一个与正方形ABDE大小一样的正方形吗？1、如图2-1，小方格的面积看作1，以BC为一边的正方形的面积是9，以AC为一边的正方形的面积是16，你能计算出以AB为一边的正方形的面积吗？2、实验：引导学生认真看课本44P实验，并在课本45P的格线图上，完成画图过程. 3、通过以上练习，你对直角三角形的三边之间的数量关系有什么联想？面积是边长的平方，面积间的等量关系转化为边长间的等量关系，即直角三角形三边的等量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．即222a b c+=.B CAED⑤②①③④①②④③⑤MN引导学生观察44P 的图，引导学生思考。
实际上，图中的四边形面积可表示为()2222a b a b ab +=++，还可以表示为2142ab c ⨯+，所以就可以得到式子2221242a b ab ab c ++=⨯+，化简可得222a b c +=。
第二个图中的内容可以让学生自己思考. 二、例题分析： 例1、（1）求下列直角三角形中未知边的长：（2）求下列图中未知数x 、y 、z 的值：三、展示交流：1、已知直角三角形的三边分别是2n -，n ，2n +，求n 的值2、已知在Rt ABC ∆中，4AB =，3AC =，求2BC 的值.例3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为3m ，梯子的顶端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于4m ，同时梯子的顶端B 下降至B '，求BB '的长.（梯子AB 的长为5m ）四、提炼总结：1. 能说出勾股定理，并能应用勾股定理解决简单的问题.2. 探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数型结合的思想.学习反思：z 576625y 144169x 1448116x20125x x817cc cc ababa bba课题 2.1勾股定理（2）备注学习目标1. 通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.2. 通过实例应用勾股定理,培养学生的知识应用技能.重点难点1. 用面积的方法说明勾股定理的正确.2. 勾股定理的应用.教学流程预习导航情境创设：阅读课本第46页到第47页，完成下列问题:我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦。
图（1）称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。
图（2）是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就. 你能用不同方法表示大正方形的面积吗?图（1）图（2）合作探究一、新知探究：剪出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①.⑴拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②③的形状，观察图②③可发现，图②中两个小正方形的面积之和与图③中小正方形的面积之间有什么关系？用关系式如何表示？⑵拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有几个正方形？它们的面积之间的关系是什么？用关系式如何表示？⑶拼图三：用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积之间的关系是什么？用关系式如何表示？二、例题分析：例1、如图，为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从点A穿过湖到点B有多远？acb①②③④⑤例2、如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为1AC km =，3BD km =，3CD km =，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F .三、展示交流：1．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒. ① 若6a =，10c =，则b =_ ___.② 若:3:4a b =，10c =，则a =_ ___，b =_ ___. ③ 若6a =，8b =，则斜边c 上的高h =_ ___.2. 在ABC ∆中，90B ∠=︒，两直角边7AB =，24BC =，三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离为多少？3. 如图，以ABC ∆的三边为直径的3个半圆的面积有什么关系?请你说明理由。
3. 如图，正方形ABCD 的边长为6，F 是DC 边上的一点，且:1:2DF FC =，E 为BC 的中点，连结AE 、AF 、EF . （1）求AEF ∆的周长； （2）求AEF ∆的面积.EBCADF四、提炼总结：本节课我们进一步认识了勾股定理，并用两种方法证明了这个定理，在应用此定理解决问题时，应注意只有直角三角形的三边才有这样的关系，如果不是直角三角形应该构造直角三角形来解决.学习反思：B A C课题 2.2 神秘的数组备注学习目标1. 会阐述直角三角形的判定条件.（勾股定理的逆定理）2. 会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形.重点难点1.应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形.2.了解勾股数的由来，并能用直角三角形的判定条件解决一些简单的实际问题.教学流程预习导航情境创设：美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿“322”（plinmpton322）的古巴比伦泥板，上面密密麻麻的写着什么呢？泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，你知道这些数组揭示什么奥秘吗？合作探究一、新知探究：1、请你以3cm、4cm、5cm为三条边画三角形，再用量角器量出这个三角形各角的度数，与你的同桌交流一下，你发现了什么？再以6cm、8cm、10cm呢？这些三角形的三边之间有什么关系？猜想：三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？若三角形的三边长a、b、c满足222a b c+=，那么这个三角形是直角三角形.符号语言：∵222a b c+=∴ABC∆为Rt∆我们还把满足222a b c+=的三个正整数a、b、c称为勾股数，例如：① 3、4、5；② 6、8、10；③ 5、12、13这3组都是勾股数.古巴比伦泥板上的神秘数组都是勾股数，利用勾股数可以构造直角三角形.二、例题分析：例1. 下列各组数是勾股数吗?为什么?(1) 12，15，18. (2) 7，24，25. (3) 15，36，39. (4) 12，35，36.例2. 3、4、5 是一组勾股数，如果将这三个数分别扩大2倍，所得的3个数还是勾股数吗？扩大3倍，4倍，n倍呢？为什么？例3．一个零件的形状如图，按规定这个零件中A∠与BDC∠都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：4AD=，3AB=，5BD=，12DC=，13BC=，你能根据所给的数据说明这个零件是否符合要求吗？A BCD4531213三、展示交流：1．在ABC ∆中，13AB =，15AC =，高12AD =，则BC 的长为 ． 2. 已知1225x x y -++-与21025z z -+互为相反数，则以x 、y 、z 为三边的三角形是______三角形.3. 把三边分别3BC =，4AC =，5AB =的三角形沿最长边AB 翻折成ABC '∆，则CC '的长为 ．4. 若ABC ∆的三边a 、b 、c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判断ABC ∆的形状.5. 如图，在四边形ABCD 中，AC DC ⊥，ADC ∆的面积为230cm ，12DC cm =，3AB cm =，4BC cm =，求ABC ∆的面积.6. 如图，已知D 是ABC ∆边BC 上的一点，且222AC AD DC =+，小明说，由上面条件可以得到2222AB AC BD CD -=-，你说小明说的对吗？为什么？7. 如图，已知AD 是BC 边上的中线，如果10BC cm =，4AC cm =，3AD cm =，求ABC ∆的面积.四、提炼总结：1、这节课你学到了什么？2、在学习过程中你还存在哪些问题？学习反思：DC B ADC B ADCBA课题 2.3 平方根（1）备注学习目标1. 了解数的平方根的概念．会用根号表示一个数的平方根.2. 了解开平方与乘方是互逆的运算，会求非负数的平方根.重点难点一个数的平方根的概念理解及表示方法.教学流程预习导航情境创设：由勾股定理可知222125169AB=+=，则13AB=.那么22125A B''=+=，A B''=？想知道这个数的结果吗?合作探究一、新知探究：1．例如：224=，()224-=，2±叫做4的平方根.210100=，()210100-=，10±叫做100的平方根.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根.也就是说，如果2x a=，那么x叫做a的平方根.交流：⑴9的平方根是什么？25的平方根是什么？⑵0的平方根是什么？0的平方根有几个？⑶-4、-8、-36有平方根吗？为什么？结论：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
2．求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.表示方法：一个正数的平方根有2个，它们互为相反数.一个正数a的正的平方根，记作“a”；一个正数a的负的平方根记作“a-”，这两个平方根合起来记作“a±”，读作“正负根号a”.例如，2的平方根记作“2±”，读作“正负根号2”.3. 平方根的性质：一个正数a有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，它是0本身。
负数没有平方根。
二、例题分析：例1、求下列各数的平方根：（1）25（2）0.81（3）1（4）()22-例2、求下列各式中的x:(1) 216x= (2) 2481x=(3) ()24125x-= (4) ()29110x+=三、展示交流：1．一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根的和是（ ）A 、大于0B 、等于0C 、小于0D 、大于或等于0 2. 若41a +有意义，则a 能取的最小整数为（ ）A 、0B 、1C 、1-D 、4- 3. 若()210x x y ++-=，则x y +的值是（ ）A 、2-B 、3-C 、4-D 、无法确定 4. 一个数的平方等于它本身，这个数是 . 一个数的平方根等于它本身，这个数是 .5. 9-是数a 的一个平方根，那么数a 的另一个平方根是 ，数a 是 .6. 一个数x 的平方根等于1m +和3m -，则m = ，x = .7. 若120122012y x x x=-+-+，则y = . 8. 已知3x y -+与1x y +-互为相反数，求()22x y -的平方根.9. 已知21a -的平方根是3±，31a b +-的平方根为4±，求2a b +的平方根.10. 一个直角三角形的两边长分别是5cm 和12cm ，那么这个三角形的面积是多少？11. 某纸箱加工厂，有一批边长为40cm 的正方形硬纸板，现准备将此纸板折成没盖的纸盒。