高考数学一轮复习 第九讲 指数与指数函数
幂函数、指数与指数函数课件-2025届高三数学一轮复习
A.
1
2
B. 2
A )
C. 2
D. 2 2
[解析] 因为 f ( x )为幂函数，所以 m 2＋ m －1＝1，解得 m ＝－2或 m ＝1，又 f ( x )的
图象与坐标轴无公共点，故 m ＜0，所以 m ＝－2，故 f ( x )＝ x －2，所以 f ( 2 )＝
＝
3
－
2
.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
命题点1
幂函数的图象与性质
例1 (1)[2023山西省运城市景胜中学模拟]如图所示的曲线是幂函数 y ＝ xn 在第一象限
1
2
内的图象.已知 n 分别取±2，± 四个值，与曲线 C 1， C 2， C 3， C 4对应的 n 依次为
(
A )
1
2
1
2
A. 2， ，－ ，－2
图象恒过定点 M ( m ， n )，则函数 g ( x )＝ m ＋ xn 的图象不经过(
A. 第第四象限
D )
[解析] ∵ a 0＝1，∴ f ( x )＝ ax －1－2的图象恒过定点(1，－1)，∴ m ＝1， n ＝－1，
1
∴ g ( x )＝1＋ ，其图象不经过第四象限，故选D.
5−1
5−1
≤ m ＜2，所以实数 m 的取值范围为[
，2).
2
2
命题点2 指数幂的运算
例2 计算：
2
−
3
3
(1)(－3 )
8
1
−2
＋(0.002 )
−
[解析] 原式＝(－1 )
4
9
2
3
高考数学考点回归总复习《第九讲 指数与指数函数》课件 新人教版
38
(2)由函数解析式可知定义域为R, ∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5, 令t=2x,则t>0,f(t)=t2-2t-5,
故f(t)=(t-1)2-6.
又∵t>0,∴当t=1时,ymin=-6, 故函数f(x)的值域是[-6,+∞). 由于t=2x是增函数, ∴要求f(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间,求f(x)的减区间 实际上是求f(t)的减区间.
x2
1 1 向左平移 2个单位 y x y 2 2 另一部分y 2 x 2 x 2 的图象. 由下列变换可得到 :
向左平移 2个单位 y 2 x y 2x 2 .
;
29
1 如图为函数y 2
0.9 1.8 0.48 1.44
1.5
所以y1 y3 y 2 , 选D.
答案:D
13
2x 3.函数y x x 0 的值域为( 2 1 1 . A. 2 B.(1, ) 1 C. ,1 2 1 D. , (1, ) 2
3.有理指数幂的运算性质 设a>0,b>0,则 aras=ar+s(r,s∈Q);
(ar)s=ars(r,s∈Q);
(ab)r=arbr(r∈Q). 4.指数函数的定义 形如y=ax(a>0且a≠1,x∈R)的函数叫做指数函数.
6
5.指数函数的图象与性质
y=ax 图象
a>1
0<a<1
定义域 (-∞,+∞)
质来运算.②结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既
有分母又含有负指数.
21
【典例1】化简下列各式 : (1)(0.027)
高三数学一轮复习：0917指数与指数函数
2
83
－－780＋ 4
1
3－π4＋[(2)6 ab 1 )3
1
(0.1)1 (a3 b3 )2
＝________.(a>0，b>0)
1
若 x2
1
x2
3 ，则
3
x2 x2
3
x 2 3 x2 2
＝________.
例 1 (1)(多选)已知实数 a，b 满足等式 2 021a＝2 022b，下列等式可以成立的是( )
1
m
an
＝ 1 (a>0，m，n∈N*，n>1)； n am
③ 0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂没有意义．
(2)有理指数幂的运算性质 ①asat＝as＋t(a>0，t，s∈Q)；②(as)t＝ast(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝atbt(a>0，b>0，t∈Q)．
3．指数函数及其性质
负数没有偶次方根
(2) 两个重要公式
an为奇数， ①n an＝ |a|＝a－aa≥a0<0， n为偶数；
②(n a)n＝a(注意 a 必须使n a有意义)．
2．有理指数幂
(1) 分数指数幂的表示
m
① 正数的正分数指数幂是 a n ＝n am(a>0，m，n∈N*，n>1)；
②
m
正数的负分数指数幂是 a n ＝
)
2
B.
1 3 2
4
23
3
2
D.
2 3
4
3 4
3
例 4 (1)已知函数 f(x)＝2|2x－m|(m 为常数)，若 f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增， 则 m 的取值范围是________．
2020高三数学(人教版)一轮复习指数与指数函数
[跟踪训练]
1．函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象可能是(
)
解析：D [法一：当 0<a<1 时，函数 y＝ax－1a是减函数，且其 图象可视为是由函数 y＝ax 的图象向下平移1a个单位长度得到的，结 合各选项知选 D.
法二：因为函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象必过点(－1,0)， 所以选 D.]
n am m，n∈N*，且 n>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂 没有意义 .
(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ ar＋s ；(ar)s＝ ars ；(ab)r ＝ arbr ，其中 a>0，b>0，r，s∈Q.
3．指数函数及其性质 (1)概念：函数 y＝ax(a>0 且 a≠1) 叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数．
答案：(0,1)
[互动探究 2] 若将本例(3)改为：函数 y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则 k 的取值范围是 ________ . 解析：因为函数 y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以 k≤0， 即 k 的取值范围为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
[互动探究 3] 若将本例(3)改为：直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a＞ 且 a≠1)的 图象有两个公共点，则 a 的取值范围是________________．
(3)曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得：如 果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－ 1,1]．
[答案] (1)A (2)D (3)[－1,1]
[互动探究 1] 若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线 y＝b 有两个公共点，则 b 的取值范围是 ________ . 解析：曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 的图象如图所示，由图象可得， 如果曲线 y＝|2x－1|与直线 y＝b 有两个公共点，则 b 的取值范围是 (0,1)．
高考数学总复习指数与指数函数PPT课件
1．设 a＝40.8，b＝80.46，c＝12－1.2，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
解析：选 A ∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c
＝12－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2. 即 a＞b＞c.
1．若函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第二、三、 四象限，则 a、b 的取值范围分别是________．
解析：因为函数 y＝ax＋b－1(a＞0 且 a≠1)的图象经过第 二、三、四象限，所以0b＜－a1＜＜1－，1， 即0b＜＜a0＜. 1，
答案：a∈(0,1) b∈(－∞，0)
解析：令 t＝ax(a＞0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t＞0)．
①当 0＜a＜1 时， x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a，此时 f(t)在a，1a上为增函数． 所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16， 即 a＝－15或 a＝13.
答案：(2,3)
考点一
指数幂的化简与求值
[例 1]
化简：(1)a14ba123b4a23－a13bb213(a＞0，b＞0)；
(2)－287－23＋(0.002)－12－10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0.
[自主解答]
(1)
原
式
＝
a3b2a13b2312 ab2a－13b13
1．化简[(－2)6]12－(－1)0 的结果为(
)
A．－9
B．－10
C．9
D．7
解析：选 D [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8
2023年高考数学热点复习专题09：指数与指数函数(教师版)
2023年高考数学热点复习专题09指数与指数函数【2023高考课标解读】1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。
【2023高考热点解读】一、根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
(2)性质：(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝，a ≥0，a ，a <0.二、分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义。
(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q 。
三、指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数。
(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x<0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【特别提醒】1.画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)12.在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大。
高考数学一轮复习指数与指数函数
0.1 −1 · a3 b−3 2
8
________．
5
解析： 2
1
4
1
−2
4ab−1
0.1
−1 ·
3
−2
1＝ 2
a3 b−3 2
1
1 3
−
1
−2 2a2 b 2
3
3
−2
2
10a b
＝2
3
3
−
3
2
2 a b 2
8
5
3＝ .
3
−
10a2 b 2
题后师说
巩固训练1
3
(1)式子
m· m4
6
m5
(m>0)的计算结果为(
，则a，b，c的大小顺序为(
9
7
8
B．a>b>c
D．a>c>b
)
角度二 解简单的指数不等式
例4
A．
C．
1 2x−1
3
已知函数f(x)＝
，则不等式f(x)≥
3
1
1
，+∞
B． −∞，
6
6
1
1
− ，+∞
D． −∞， −
4
4
9的解集为(
)
答案：B
解析：由题意可得
2
1
2x≥ ，解得x≤ .
3
6
故选B.
1 2x−1
例 3 [2023·黑龙江双鸭山模拟]已知a＝
a，b，c大小关系为(
)
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>b>a
2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》
2020年高考数学一轮复习《指数与指数函数》考纲解读1. 了解指数函数模型的实际背景.2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算及性质.3. 理解指数函数的概念和单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究指数函数是中学数学中基本初等函数之一，这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往往以基础知识为主，主要考查指数函数的性质及应用，一般以选择题和填空题的形式出现，例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等，但有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精讲一、指数的运算性质 当a >0，b >0时，有 (1)a m a n=am +n(m ,n ∈R)；(2)mm n n a a a -=( m ,n ∈R)(3)(a m )n =a mn (m ,n ∈R)；(4)(ab )m=a m b m (m ∈R)；(5)pp a a-=1(p ∈Q)(6)mn a m ,n ∈N +)二、指数函数(1)一般地，形如y =a x (a >0且a ≠1)的函数叫做指数函数； (2)指数函数yx题型归纳及思路提示题型23 指数运算及指数方程、指数不等式 思路提示利用指数的运算性质解题.对于形如()f x a b =，()f x a b >，()f x a b <的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如a 2x +B a x +C =0或a 2x +Ba x +C ≥0(≤0)的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算例2.48化简并求值.(1)若a =2，b =4的值；(2)若x x-+=11223，x x x x --+-+-33222232的值；(3)设nna --=11201420142(n ∈N +)，求)n a 的值.分析：利用指数运算性质解题.-=--1==.当a =2，b =4，原式===12. (2)先对所给条件作等价变形：()x x x x --+=+-=-=11122222327， ()()x xx x x x ---+=++-=⨯=33111222213618，x 2+x -2=(x +x -1)2-2=72-2=47. 故x x x x --+--==+--3322223183124723. (3)因为nna --=11201420142，所以()nna -++=11222014201412，nnnnna ---+-=-=111112014201420142014201422.所以)n a -=12014. 变式1 设2a =5b =m ，且a b+=112，则m =( ).A.B. 10C. 20D. 100解析 解法一： 2111111,55,22m m m m m m m m ba b a b b a a ==∙=⇒==⇒=+10),0(10522=>=⇒⨯=m m m 。
高考数学一轮总复习 第二章 函数 第9讲 指数与指数函数课件
12/13/2021
第二十五页，共四十七页。
指数函数的性质及应用 例 3 (1)已知 a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当 x ＞0 时，1＜bx＜ax，则( ) A．0＜b＜a＜1 B．0＜a＜b＜1 C．1＜b＜a D．1＜a＜b
[解析] ∵x＞0 时，1＜bx，∴b＞1. ∵x＞0 时，bx＜ax，∴x＞0 时，bax＞1. ∴ba＞1，∴a＞b，∴1＜b＜a，故选 C.
(3)指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a＞1 与 0＜a＜1 来研究．
12/13/2021
第十二页，共四十七页。
指数幂的运算
例 1 求值与化简：
2 1 1 1 1 5
(1)
2a
3b
2
6a
2
b
3
3a
6
b
6
；
(2)(1.5)
－
2
当 0<a<1 时，如图②所示，需满足12·12≤a1，即12
≤a<1；当 a＝1 时，y＝12x2 与 y＝1 在[1，2]上有交点
( 122/，13/[12答0)2，1案满] B足条件．综上第可十八页知，共四十，七页。a∈12，
2.
(3)( 多 选 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ |2x － 1| ， a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )
m
意义相仿，我们规定 a n ＝
1
m
an
(a>0，m，n∈N*，且
n>1).0 的正分数指数幂等于_0___；0 的负分数指数幂
__没__有__(m_é_i y_ǒ_u)_意_．义
年高考第一轮复习计划数学指数及指数函数
指数与指数函数●知识梳理 1.指数〔1〕n 次方根的定义假设x n=a ，那么称x 为a 的n 次方根，“n〞是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方 根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶 次方根.〔2〕方根的性质 ①当n 为奇数时，na n =a.②当n 为偶数时，na na (a 0),=|a|=(a 0).a〔3〕分数指数幂的意义m①a n =n a m〔a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1〕.m 11②a n=m = 〔a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1〕.a n n a m2.指数函数〔1〕指数函数的定义一般地，函数y=a x〔a ＞0且a≠1〕叫做指数函数.〔2〕指数函数的图象 〕y ( y=a xyx a>1y=a(0＜a ＜1)11OxOx底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称.3〕指数函数的性质①定义域：R.②值域：〔0，＋∞〕.③过点〔0，1〕，即x=0时，y=1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当 0＜a ＜1时，在R 上是减函数.●点击双基1.3a·6a等于A.－aB.－aC.aD. a111 11解析：3a ·6 a =a 3 ·〔－a 〕6 =－〔－a 〕3 6=－〔－a 〕2.答案：Ax2.〔2003年郑州市质量检测题〕函数y=23 的图象与直线 y=x 的位置关系是yyOxOxAByyO x O xxC D解析：y=23=〔 3 2 〕 x .∵32＞1，∴不可能选D.xx又∵当x=1时，23 ＞x ，而当x=3 时，23 ＜x ，∴不可能选 A 、B.答案：C3.〔2004年湖北，文5〕假设函数y=a x +b －1〔a ＞0且a ≠1〕的图象经过二、三、四象限，那么一定有＜a ＜1且b ＞0 B.a ＞1且b ＞0 ＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜0解析：作函数y=a x +b －1的图象.答案：C4.〔2004年全国Ⅱ，理A.与y=e x 的图象关于C.与y=e －x 的图象关于6〕函数y=－e x 的图象y 轴对称B.与y=e x 的图象关于坐标原点对称y 轴对称 D.与y=e －x 的图象关于坐标原点对称解析：图象法 .答案：D5.〔2004年湖南，文16〕假设直线y=2a 与函数y=|a x －1|〔a ＞0且a ≠1〕的图象有两个公共点，那么a 的取值范围是___________________.解析：数形结合 .由图象可知 0＜2a ＜1，0＜a ＜1. 2答案：0＜a ＜126.函数y=〔1〕x 22x2的递增区间是___________.2解析：∵y=〔1〕x在〔－∞，+∞〕上是减函数，而函数y=x2－2x+2=〔x－1〕2+1的2递减区间是〔－∞，1］，∴原函数的递增区间是〔－∞，1］.答案：〔－∞，1］●典例剖析【例1】以下图是指数函数〔1〕y=a x，〔2〕y=b x，〔3〕y=c x，〔4〕y=d x的图象，那么a、b、c、d与1的大小关系是y(1) (2)(3)(4)1OxA.a＜b＜1＜c＜dB.b＜a＜1＜d＜c＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c剖析：可先分两类，即〔3〕〔4〕的底数一定大于1，〔1〕〔2〕的底数小于 1，然后再从〔3〕〔4〕中比拟c、d的大小，从〔1〕〔2〕中比拟a、b的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x轴.得b＜a＜1＜d＜c.解法二：令x=1，由图知c1＞d1＞a1＞b1，b＜a＜1＜d＜c.答案：B【例2】2x2x≤〔1〕x－2，求函数y=2x－2－x的值域.42－〔－〕－解：∵2xx≤22x2，∴x2+x≤4－2x，即x2+3x－4≤0，得－4≤x≤1.又∵y=2x－2x是［－4，1］上的增函数，∴2－442－2－1255，3］.－2≤y≤.故所求函数y的值域是［－216【例3】要使函数y=1+2x+4x a在x∈〔－∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.解：由题意，得1+2x+4x a＞0在x∈〔－∞，1］上恒成立，即a＞－12x在x∈〔－4x∞，1］上恒成立.又∵－12x=－〔1〕2x－〔1〕x=－［〔1〕x+1］2+1，当x∈〔－∞，4x222241］时值域为〔－∞，－3］，∴a＞－3. 44评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.●闯关训练夯实根底x1.f〔x〕=a，g〔x〕=－log b x，且lga+lgb=0，a≠1，b≠1，那么y=f〔x〕与y=g〔x〕的图象A.关于直线x+y=0C.关于y轴对称对称 B.关于直线x－y=0对称D.关于原点对称解析：lga+lgb=0 ab=1.g 〔x 〕=－log b x=－log a －1x=log a x.f 〔x 〕与g 〔x 〕的图象关于y=x 对称.答案：B2.以下函数中值域为正实数的是A.y=－5xC.y= (1)x12B.y=〔1〕1－x3D.y= 12x解析：∵y=〔1〕x的值域是正实数，而1－x ∈R ，∴y=〔1〕1－x 的值域是正实数 .33答案：Ba 3b 23ab23.化简11〔a ＞0，b ＞0〕的结果是___________________.(a42 43 bb ) a31 131 1104 解析：原式 =a 2b[(ab 2)3]2a 2ba 6b3a 6b3a1=27=27=.ab 2(b )3a 3b 3a 3b 3ba答案：ab4.满足条件m m 2 ＞〔m m 〕2的正数m 的取值范围是___________________.解析：∵m ＞0，∴当m ＞1时，有m 2＞2m ，即m ＞2；当0＜m ＜1时，有m 2＜2m ，即0＜m ＜1.综上所述，m ＞2或0＜m ＜1.答案：m ＞2或0＜m ＜1 5.〔2004年湖北，理7〕函数f 〔x 〕=a x +log a 〔x+1〕在［0，1］上的最大值与最小值的和为a ，那么a 的值为A.1 14B.2解析：〔fx 〕在［0，1］上是单调函数，由〔f0〕+f 〔1〕=a1+log a 1+a+log a 2=alog a 2=－1a=1.2答案：B6.9x－10·3x+9≤0，求函数y=〔1〕x －1－4〔1〕x +2的最大值和最小值.42解：由9x－10·3x+9≤0得〔3x－1〕〔3x－9〕≤0，解得1≤3x≤9.∴0≤x ≤2.令〔1〕2x=t ，那么1≤t ≤1，y=4t 2－4t+2=4〔t －1〕2+1.当t=1即x=1时，y min =1；当t=1即x=0时，4 22y max =2.培养能力2x1x1≤0〔a＞02x x的值域.7.假设a+2·a－2且a≠1〕，求y=2a－3·a+4解：由a2x+1·a x－1≤0〔a＞0且a≠1〕知0＜a x≤1. 222令a x=t，那么0＜t≤1，y=2t2－3t+4.借助二次函数图象知y∈［3，4〕. 2x x8.〔2004年全国Ⅲ，18〕解方程4+|1－2|=11.原方程x x2x 1±412x=1－41＜0〔无解〕或2x=141＞4－2－10=0=222+2221知x＞0〔无解〕.当x＞0时，1－2x＜0.原方程4x+2x－12=02x=－1±72x=－4〔无解〕或2x=3x=log23〔为原方程22的解〕.探究创新－x－x9.假设关于x的方程25|+1|－4·5|+1|－m=0有实根，求m的取值范围.解法一：设y=5－xy2－4y－m=0在〔0，1］内有实根. |+1|，那么0＜y≤1，问题转化为方程设f〔y〕=y2－4y－m，其对称轴y=2，∴f〔0〕＞0且f〔1〕≤0，得－3≤m＜0.解法二：∵m=y2－4y，其中y=5－|x+1|∈〔0，1］，∴m=〔y－2〕2－4∈［－3，0〕.●思悟小结1.利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程.2.指数函数y=a x〔a＞0，a≠1〕的图象和性质受a的影响，要分a＞1与0＜a＜1来研究.13.指数函数的定义重在“形式〞，像y=2·3x，y=2x，y=3x2，y=3x+1等函数都不符合形式y=a x〔a＞0，a≠1〕，因此，它们都不是指数函数.●教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比拟大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时，必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论 .用好用活指数函数单调性，是解决这一类问题的关键.2.对可化为a2x+b·a x+c=0或a2x+b·a x+c≥0〔≤0〕的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应提醒学生注意换元后“新元〞的范围.拓展题例1ab【例1】假设60a＝3，60b＝5.求122(1b)的值.解：a=log603，b＝log605，1－b＝1－log605＝log6012，1－a－b＝1－log603－log605＝log604，1a b＝log604 1b ＝log124，log60121a b1log124＝12log122＝2.122(1b)＝122【例2】方程2x=2－x的解的个数为______________.解析：方程的解可看作函数y=2x和y=2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象〔如以下图〕. y21O 1 2 x由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解.答案：1评述：无法直接求解的方程问题，常用作图法来解，注意数形结合的思想.。
人教A版高考数学复习指数与指数函数ppt课件
(2)方程的解可看作函数 y＝2x 和 y＝2－x 的图象交点的横 坐标，分别作出这两个函数图象(如图所示)．
由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．
[规律方法] 指数函数图象由其底数确定，在底数不确定时 要根据其取值范围进行分类讨论．从甲函数图象通过变换 得到乙函数的图象，通过顺次的逆变换，即可把乙函数的 图象变换为甲函数的图象．
指数与指数函数
1．根式 (1)根式的概念 ①若___x_n＝__a____，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1 且
n∈N*．式子n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被 开方数． ②a 的 n 次方根的表示：
xn＝a⇒xx＝＝_n_±a_（n__a当__n__为_（奇当数n且为n偶∈数N*且时n）∈，N*时）.
方法思想——解决与指数函数型有关的值域问题(换元法)
函数 f(x)＝14x－12x＋1 在 x∈[－3，2]上的值域
是____34_，__5_7_____．
[解析] 因为 x∈[－3，2]，若t2－t＋1＝t－122＋34．
当 t＝12时，ymin＝34；当 t＝8 时，ymax＝57．
元”的范围．
2．指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键
点：(1，a)，(0，1)，－1，1a．
[做一做] 3．(2015·东北三校联考)函数 f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的图象
恒过点 A，下列函数中图象不经过点 A 的是( A )
A．y＝ 1－x
(2)根式的性质
①(n a)n＝a(n∈N*)．
②n
a，n为奇数， an＝___|_a_| _____＝a－，aa，≥a0<，0，
高考数学专题：指数与指数函数
高考数学专题:指数与指数函数最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.知 识 梳 理1.根式(1)概念:式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n＝a (a 使na 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，n a n＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a mn a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q . 3.指数函数及其性质(1)概念:函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数.(2)指数函数的图象与性质R1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错. (2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，故y ＝2x －1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴a x2＋1≥a .故y ＝a x2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.(必修1P52例5改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A.－9B.7C.－10D.9解析 原式＝(26)12－1＝8－1＝7. 答案 B3.函数y ＝a x －a －1(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析 函数y ＝a x －1a 是由函数y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得到，A 项显然错误；当a >1时，0<1a <1，平移距离小于1，所以B 项错误；当0<a <1时，1a >1，平移距离大于1，所以C 项错误，故选D.答案 D4.（·山东卷)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C5.指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________. 解析 由题意知0<2－a <1，解得1<a <2. 答案 (1，2)考点一 指数幂的运算【例1】 化简:(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 解 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－82723＋50012－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意:①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简求值:(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝1＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫4912－⎝ ⎛⎭⎪⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________. 解析 (1)f (x )＝1－e |x |是偶函数，图象关于y 轴对称， 又e |x |≥1，∴f (x )的值域为(－∞，0]， 因此排除B 、C 、D ，只有A 满足.(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知:如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1].答案 (1)A (2)[－1，1]规律方法 (1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【训练2】 (1)（·福建五校联考)定义运算a ⊕b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________.解析 (1)因为当x ≤0时，2x ≤1；当x >0时，2x >1. 则f (x )＝1⊕2x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x >0，图象A 满足.(2)方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图).由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解. 答案 (1)A (2)1考点三 指数函数的性质及应用(易错警示) 【例3】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1(2)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.①若a ＝－1，求f (x )的单调区间； ②若f (x )有最大值3，求a 的值； ③若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值. (1)解析 A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 B(2)解 ①当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13u在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2).②令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ），由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.③由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0.规律方法 (1)比较指数式的大小的方法是:①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 【训练3】 (1)（·天津卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.c <b <a(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 13，x ≥8，2e x －8，x <8，则使得f (x )≤3成立的x 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0， 所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c ，选B.(2)当x ≥8时，f (x )＝x 13≤3，∴x ≤27，即8≤x ≤27； 当x <8时，f (x )＝2e x －8≤3恒成立，故x <8. 综上，x ∈(－∞，27]. 答案 (1)B (2)(－∞，27][思想方法]1.根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较.3.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，当底数a 与1的大小关系不确定时应分0<a <1和a >1两种情况分类讨论. [易错防范]1.对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域.2.对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后“新元”的范围.基础巩固题组 (建议用时:40分钟)一、选择题1.（·衡水中学模拟)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.a <c <b解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .答案 A2.函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0D.0<a <1，b <0解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1. 函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D3.（·德州一模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在R 上为减函数，35>25，∴b <c .又∵y ＝x 25在(0，＋∞)上为增函数，35>25，∴a >c ，∴b <c <a . 答案 D4.（·安阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A.1 B.a C.2D.a 2解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上， ∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x ，∴f (x 1)·f (x 2)＝a x 1·a x 2＝a x 1＋x 2＝a 0＝1. 答案 A5.（·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋814×42－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝________. 解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313×1＋234×214－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝2.答案 27.（·江苏卷)不等式2x 2－x<4的解集为________. 解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}8.（·安徽江淮十校联考)已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________. 解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e. 答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立.解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1a x －1＋12(－x )3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况，当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0，即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1. 因此a >1时，f (x )>0.10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0. 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0， 即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1， 所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t ＞1或t ＜－13， 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫t |t >1或t <－13. 能力提升题组(建议用时:20分钟)11.若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞) 解析 因为2x >0，所以由2x (x －a )<1得a >x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以f (x )>f (0)＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝－1， 所以a >－1.答案 D12.（·宜宾诊断检测)已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )解析 ∵x ∈(0，4)，∴x ＋1>1，∴f (x )＝x ＋1＋9x ＋1－5≥29－5＝1，当且仅当x ＋1＝9x ＋1，即x ＝2时，取等号.∴a ＝2，b ＝1.因此g (x )＝2|x ＋1|，该函数图象由y ＝2|x |向左平移一个单位得到，结合图象知A 正确.答案 A13.（·北京丰台一模)已知奇函数y ＝⎩⎨⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________.解析 依题意，f (1)＝12，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.当x <0时，－x >0. ∴g (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x . 答案 －2x (x <0)14.（·天津期末)已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数).(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )＝e x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ， ∴f ′(x )>0对任意x ∈R 都成立，∴f (x )在R 上是增函数.又∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)存在.由(1)知f (x )在R 上是增函数和奇函数，则f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立， ⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 都成立，⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14对一切x ∈R 都成立，⇔t 2＋t ≤(x 2＋x )min ＝－14⇔t 2＋t ＋14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≥0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＝0，∴t ＝－12. ∴存在t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立.。
高考数学科学复习创新方案：指数与指数函数
指数与指数函数[课程标准]1.通过对有理数指数幂a mn (a >0，且a ≠1，m ，n 为整数，且n >0)、实数指数幂a x (a >0，且a ≠1，x ∈R )含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．1．根式的概念根式的概念符号表示备注如果01x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根—n >1且n ∈N *当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个02正数，负数的n 次方根是一个03负数na零的n 次方根是零当n 为偶数时，正数的n 次方根有04两个，它们互为05相反数±na (a ＞0)负数没有偶次方根2.分数指数幂(1)a mn＝06na m (a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(2)a －mn ＝071a m n＝081na m(a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝09a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )．(2)(a r )s ＝10a rs (a >0，r ，s ∈Q )．(3)(ab )r ＝11a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．4．指数函数的概念函数12y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R ，a 是底数．说明：形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数．5．指数函数的图象和性质底数a >10<a <1图象性质函数的定义域为R ，值域为13(0，＋∞)函数图象过定点14(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，恒有y >1;当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >115增函数16减函数1．(n a )n＝a (n ∈N *且n >1)．2.na n ，n 为奇数且n >1，|，a ≥0，a ，a ＜0，n 为偶数且n >1.3．底数对函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的函数值的影响如图(a 1>a 2>a 3>a 4)，不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．4．当a>0，且a≠1时，函数y＝a x与函数y的图象关于y轴对称．1．(人教A必修第一册习题4.1T1改编)化简416x8y4(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案D解析因为x<0，y<0，所以416x8y4＝424·（x2）4y4＝|2x2y|＝－2x2y.2．(人教A必修第一册习题4.1T7(1)改编)已知5m＝10，5n＝2，则53m-2n2＝()A．210B．310 C．20D．510答案D解析53m-2n2＝53m52n ＝（5m）3（5n）2＝10322＝52×10＝510.3．函数f(x)＝a x－2023＋2023(a＞0，且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________．答案(2023，2024)解析令x－2023＝0，得x＝2023，又f(2023)＝2024，故点A的坐标为(2023，2024)．4．(人教A必修第一册习题4.2T6改编)设a＝0.993.3，b＝0.994.5，c＝1.10.99，则a，b，c的大小关系为________．答案b<a<c解析因为函数y ＝0.99x 在R 上单调递减，所以0.993.3>0.994.5，即a >b ，又因为0.993.3<0.990＝1，1.10.99>1.10＝1，所以0.993.3<1.10.99，即a <c .综上可知，b <a <c .5．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为________．答案12或32解析当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2，∴a ＝12；当a ＞1时，a 2－a ＝a 2，∴a ＝32.综上所述，a ＝12或32.例1求值与化简：(1)823×100－12×3－34；(2)(a 23b －1)－12a －12b 136ab5(a >0，b >0)；(3)3a 92a －3÷3a－73a 13(a >0)；(4)已知a >0，a 12＋a －12＝3，求a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1的值．解(1)原式＝(23)23×(102)-12×(2－2)－34-34＝22×10－1×263＝4325.(2)原式＝a －13b 12a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16b 12＋13－56＝1a.(3)原式＝(a 92a －32)13÷(a －73a 133)12＝(a 3)13÷(a 2)12＝a ÷a ＝1.(4)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，所以a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方，得a 2＋a －2＋2＝49，所以a 2＋a －2＝47，所以a 2＋a －2＋1a ＋a －1＋1＝47＋17＋1＝6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．＝________．答案a 4解析原式＝[(a 96)13]4[(a 93)16]4＝a 2·a 2＝a 4.2．已知3a ＋2b ＝1，则9a ·3b3a＝________．答案3解析因为3a ＋2b ＝1，所以32a ＋b ＝12，所以原式＝（32）a ·3b （3a ）1232a ＋b －12a＝323a ＋b＝312＝3.3．化简：a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a >0，b >0)．解原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab －1＝a b.4．计算：0.027－13－2(2－1)0.解原式＝(0.33)－13－721＝103－49＋53－1＝－45.例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式2023a ＝2024b ，则下列关系式有可能成立的是()A ．0<b <aB ．a <b <0C ．0<a <bD ．a ＝b答案ABD解析在同一坐标系下画出y ＝2023x 与y ＝2024x 的图象，结合图象可知A ，B ，D 可能成立．故选ABD.(2)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．答案解析①当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图象如图1.因为y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，所以0<2a <1，所以0<a <12；②当a >1时，y ＝|a x －1|的图象如图2，而此时直线y ＝2a 不可能与y ＝|a x －1|的图象有两个交点．综上，a 的取值范围是处理指数图象问题的策略(1)抓住特殊点指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，与直线x＝1的交点坐标为(1，a)．(2)巧用图象变换常见的变换有：①函数y＝a x＋b(a>0，且a≠1)的图象可由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到；②函数y＝a x＋b的图象可由指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到；③函数y＝a|x|的图象关于y轴对称，当x≥0时，其图象与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当x<0时，其图象与x≥0时的图象关于y轴对称．1.(2023·天津滨海七校二模)函数f(x)x＋1|的图象大致为()答案B解析作出函数yx|，x≥0，x<0的图象，如图所示，将yx|的图象向左平移1个单位得到f(x)＝x＋1|的图象．故选B.2．定义区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为()A.12B．1C.32D．2答案B解析如图是函数y＝2|x|在值域为[1，2]上的图象．使函数y＝2|x|的值域为[1，2]的定义域区间中，长度最小的区间为[－1，0]或[0，1]，长度最大的区间为[－1，1]，从而由定义可知区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为2－1＝1.故选B.多角度探究突破角度比较指数幂的大小例3(1)(2023·淮南一模)设abca，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．b>c>a D．b>a>c答案A解析∵函数y＝x4７是(0，＋∞)上的增函数，37<47，∴b<c.∵函数y是R上的减函数，37<47，∴a >c .综上，a >c >b .故选A.(2)(2023·沈阳模拟)若p ：0<a <b ；q ：4a －4b <5－a －5－b ，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析设f (x )＝4x －5－x ，则函数f (x )为增函数，则由4a －4b <5－a －5－b ，即4a－5－a <4b －5－b 可得a <b ，所以0<a <b 是4a －4b <5－a －5－b 的充分不必要条件．故选A.比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指．(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小．(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小．(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较．1.下列各式比较大小正确的是()A ．1.72.5>1.73－43C ．1.70.3<0.93.1答案D解析∵y ＝1.7x 为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确；∵2－43＝y2－43，故B 不正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0，1)，∴1.70.3>0.93.1，故C 不正确；∵y y ＝x 23在(0，＋∞)D正确．2．(2024·宿迁模拟)设12<<1，那么()A．a a<a b<b a B．a a<b a<a bC．a b<a a<b a D．a b<b a<a a答案C解析∵12<<1且y在R上是减函数，∴0<a<b<1，∴指数函数y＝a x在R上是减函数，∴a b<a a，∴幂函数y＝x a在R上是增函数，∴a a<b a，∴a b<a a<b a.故选C.角度解简单的指数方程或不等式例4(1)已知实数a≠1，函数f(x)x，x≥0，a－x，x<0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．答案12解析①当a<1时，由f(1－a)＝f(a－1)得41－a＝2a－(a－1)，即22－2a＝2，所以2－2a＝1，解得a＝12；②当a>1时，由f(1－a)＝f(a－1)得2a－(1－a)＝4a－1，即22a－1＝22a－2，所以2a－1＝2a－2，无解．综上可知，a＝12.(2)(2023·邯郸一模)不等式10x－6x－3x≥1的解集为________．答案[1，＋∞)解析由10x－6x－3x≥1，≤1，令f(x)＋，因为y，y，y均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)．1．解指数方程的依据a f (x )＝a g (x )(a >0，且a ≠1)⇔f (x )＝g (x )．2．解指数不等式的思路方法对于形如a x >a b (a >0，且a ≠1)的不等式，需借助函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，则需分a >1与0<a <1两种情况讨论；而对于形如a x >b 的不等式，需先将b 转化为以a 为底的指数幂的形式，再借助函数y ＝a x 的单调性求解．1.若x 满足不等式2x 2＋1－2，则函数y ＝2x 的值域是()A.18，B.18，2∞，18D ．[2，＋∞)答案B解析将2x 2＋1－2化为x 2＋1≤－2(x －2)，即x 2＋2x －3≤0，解得x ∈[－3，1]，所以2－3≤2x ≤21，所以函数y ＝2x 的值域是18，2.2．方程4x ＋|1－2x |＝11的解为________．答案x ＝log 23解析当x ≥0时，原方程化为4x ＋2x －12＝0，即(2x )2＋2x －12＝0，∴(2x －3)(2x ＋4)＝0，∴2x ＝3，即x ＝log 23；当x <0时，原方程化为4x －2x －10＝0，令t ＝2x ，则t 2－t －10＝0(0<t <1)．由求根公式得t ＝1±412均不符合题意，故x <0时，方程无解．综上，原方程的解为x ＝log 23.角度指数函数性质的综合应用例5(1)(2023·大庆二模)已知函数f (x )＝4x2＋4x，则()A ．f (0.1)>f (0.2)B ．函数f (x )有一个零点C ．函数f (x )是偶函数D ．函数f (x )答案D解析函数f (x )＝4x 2＋4x 的定义域为R .对于A ，函数f (x )＝4x 2＋4x ＝1－22＋4x，函数y ＝4x 在R 上为增函数，易得f (x )在R 上为增函数，则有f (0.1)<f (0.2)，A 错误；对于B ，f (x )＝4x 2＋4x ，有4x>0，则有f (x )>0，所以f (x )没有零点，B 错误；对于C ，f (1)＝46＝23，f (－1)＝4－12＋4－1＝19，所以f (1)≠f (－1)，f (x )不是偶函数，C 错误；对于D ，因为f (x )＝4x 2＋4x ，所以f (1－x )＝41－x 2＋41－x ＝42·4x ＋4＝24x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝1，所以函数f (x )D 正确．故选D.(2)已知函数f (x )2－4x ＋3(a ∈R )．若a ＝－1，则函数f (x )的单调递增区间为________；若f (x )的值域是(0，＋∞)，则a ＝________．答案[－2，＋∞)解析当a ＝－1时，f (x )x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2]上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2]上单调递减，在[－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)．令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )（x ），由指数函数的性质知，要使f (x )（x ）的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R )，故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.指数函数综合问题的处理策略(1)涉及最值(或值域)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的最值．(2)涉及单调性的问题，一方面要注意底数对指数函数单调性的影响；另一方面要注意借助“同增异减”这一性质分析判断．1.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是()A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案B解析由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )x －4|，由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y 在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.2．(2023·银川校联考二模)已知函数f (x )＝4x －2x ＋2－1，x ∈[0，3]，则其值域为________．答案[－5，31]解析令t ＝2x ，∵x ∈[0，3]，∴1≤t ≤8，∴g (t )＝t 2－4t －1＝(t －2)2－5，t∈[1，8]，又y ＝g (t )的图象关于直线t ＝2对称，开口向上，∴g (t )在[1，2)上单调递减，在(2，8]上单调递增，且|8－2|>|2－1|，∴当t ＝2时，函数取得最小值，即g (t )min ＝－5，当t ＝8时，函数取得最大值，即g (t )max ＝31，∴f (x )的值域为[－5，31]．课时作业一、单项选择题1．化简2c 3a 481a 5b 216c 4(a >0，c <0)的结果为()A ．±4ab 2B ．－4ab 2C ．－ab 2D.ab 2答案B解析＝2c 3a ·3a （ab 2）14－2c＝－4ab 2.故选B.2．(a 2－a ＋2)－x －1<(a 2－a ＋2)2x ＋5的解集为()A ．(－∞，－4)B ．(－4，＋∞)C．(－∞，－2)D ．(－2，＋∞)答案D解析∵a 2－a ＋2＋74>1，∴－x －1<2x ＋5，∴x >－2.故选D.3．(2024·滁州模拟)函数f (x )＝x a －2与g (x )x在(0，＋∞)上均单调递减的一个充分不必要条件是()A ．a ∈(0，2)B ．a ∈[0，1)C ．a ∈[1，2)D ．a ∈(1，2]答案C解析函数f (x )＝x a －2在(0，＋∞)上单调递减，可得a －2<0，即a <2；函数g (x )x在(0，＋∞)上单调递减，可得0<a4<1，解得0<a <4，若函数f (x )＝x a －2与g (x )x均单调递减，可得0<a <2，由题意可得所求区间真包含于(0，2)，结合选项，函数f (x )＝x a －2与g (x )x均单调递减的一个充分不必要条件是a ∈[1，2)．故选C.4．(2023·南昌模拟)草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x (x ＝1，2，3，4)与其对应等级的市场销售单价y (单位：元/千克)近似满足函数关系式y ＝e ax ＋b .若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为24元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：32≈1.26，34≈1.59)()A ．30.24元/千克B ．33.84元/千克C ．38.16元/千克D ．42.64元/千克答案C解析由题意可知e 4a ＋b e a ＋b＝e 3a＝2，e a＝32，由e a ＋b ＝24，则e 3a ＋b ＝e a ＋b ·e 2a＝24e 2a ＝24×34≈38.16.故选C.5．(2023·唐山模拟)≤x 的解集是()A.0，12B.12，＋C.0，22 D.22，＋答案B解析在同一坐标系中作出y ，y ＝x 的图象，＝x 得x ＝12，结合图象知，不等式≤x 的解集是12，＋6．(2024·盐城模拟)设函数f (x )＝3x ＋b ，函数f (x )的图象经过第一、三、四象限，则g (b )＝f (b )－f (b －1)的取值范围为()∞∞答案A解析由函数f (x )＝3x ＋b 的图象经过第一、三、四象限，可得b <－1，所以g (b )＝f (b )－f (b －1)＝3b －3b －1＝3b ＝23·3b <23－1＝29，又因为23·3b >0，所以g (b )＝f (b )－f (b －1)故选A.7．若关于x x |＋a －2＝0有解，则a 的取值范围是()A ．[0，1)B ．[1，2)C ．[1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案B解析x |＋a －2＝0有解等价于2－a x |有解．因为函数y x |的值域为(0，1]，所以0<2－a ≤1，解得1≤a <2.8．(2023·全国甲卷)已知函数f (x )＝e －(x －1)2.记a ＝b ＝c ＝则()A ．b ＞c ＞a B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b答案A解析函数f (x )＝e －(x －1)2是由函数y ＝e u 和u ＝－(x －1)2复合而成的复合函数，y ＝e u 为R 上的增函数，u ＝－(x －1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以c ＝又22＜2－62＜32＜1，所以b ＞c ＞a .故选A.二、多项选择题9．(2024·福建师大附中高三月考)已知函数f (x )＝a |＋b 的图象过原点，且无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则下列说法正确的是()A ．a ＋b ＝0B ．若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＋y ＝0C ．若x ＜y ＜0，则f (x )＜f (y )D ．f (x )的值域为[0，2)答案ABD解析∵f (x )＝a |＋b 的图象过原点，∴a ＋b ＝0，∴a ＋b ＝0，故A正确；由f (x )的图象无限接近直线y ＝2，但又不与该直线相交，则b ＝2，又a ＋b＝0，则a ＝－2，则f (x )＝－|＋2，其定义域为R ，∵f (－x )＝－|＋2＝f (x )，则f (x )是偶函数，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数，∴若f (x )＝f (y )，且x ≠y ，则x ＝－y ，x ＋y ＝0，故B 正确；∵f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴当x ＜y ＜0时，f (x )＞f (y )，故C 错误；∵|≤1，∴－2≤－|<0，∴0≤－|＋2＜2，∴f (x )的值域为[0，2)，故D 正确．故选ABD.10．(2023·淄博模拟)关于函数f (x )＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形答案ACD 解析函数f (x )＝14x＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x 在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x＋2在定义域内单调递减，所以函数f (x )的值域为f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确；因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，所以f (x )对称，所以D 正确．故选ACD.11．(2024·武汉质量评估)若实数a ，b 满足2a ＋3a ＝3b ＋2b ，则下列关系式中可能成立的是()A．0<a<b<1B．b<a<0C．1<a<b D．a＝b答案ABD解析设f(x)＝2x＋3x，g(x)＝3x＋2x，f(x)和g(x)在(－∞，＋∞)上均为增函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)．当x∈(－∞，0)时，f(x)<g(x)；当x∈(0，1)时，f(x)>g(x)；当x∈(1，＋∞)时，f(x)<g(x)．由函数f(x)与g(x)的图象可知(图略)，若f(a)＝2a＋3a＝3b＋2b＝g(b)，则b<a<0或0<a<b<1或1＜b＜a或a＝b.故选ABD.三、填空题12．(2023·长沙一模)使得“2x>4x2”成立的一个充分条件是________．答案0<x<14(答案不唯一)解析由于4x2＝22x2，故2x>4x2等价于x>2x2，解得0<x<12，使得“2x>4x2”成|0<x|0<x 13．(2024·皖江名校模拟)已知函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围为________，f(－4)与f(1)的大小关系是________．答案(1，＋∞)f(－4)>f(1)解析因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.由于函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f(x)在(－∞，－1)上是减函数，故f(1)＝f(－3)，f(－4)>f(－3)＝f(1)．14．已知函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，则m的取值范围为________．答案(－∞，－18]解析设t＝3x，则y＝9x＋m·3x－3＝t2＋mt－3.因为x∈[－2，2]，所以t∈1 9，9.又函数y＝9x＋m·3x－3在区间[－2，2]上单调递减，即y＝t2＋mt－3在区间19，9上单调递减，故有－m2≥9，解得m≤－18.所以m的取值范围为(－∞，－18]．四、解答题15．已知函数f(x)3(a>0，且a≠1)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．解(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，得x≠0，∴函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，对于定义域内任意x，有f(－x)－x)3(－x)3＝1－1a x－1＋－x)3＝3＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．(2)由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况．当x>0时，要使f(x)>0，则3>0，即1 a x－1＋12>0，即a x＋12（a x－1）>0，则a x>1.又x>0，∴a>1.∴当a∈(1，＋∞)时，f(x)>0在定义域上恒成立．16．(2024·莆田模拟)已知函数f(x)＝3x＋b3x＋1是定义域为R的奇函数．(1)求实数b的值，并证明函数f(x)在R上单调递增；(2)已知a>0且a≠1，若对于任意的x1，x2∈[1，3]，都有f(x1)＋32≥ax2－2恒成立，求实数a 的取值范围．解(1)因为函数f (x )＝3x ＋b 3x＋1是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝1＋b 2＝0，解得b ＝－1，此时f (x )＝3x －13x ＋11－23x ＋1.对任意的x ∈R ，3x ＋1>0，即函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝3x （3－x －1）3x （3－x ＋1）＝1－3x1＋3x＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，符合题意．任取t 1，t 2∈R 且t 1<t 2，则0<3t 1<3t 2，所以f (t 1)－f (t 2)＝2（3t 1－3t 2）（3t 1＋1）（3t 2＋1）<0，则f (t 1)<f (t 2)，所以函数f (x )在R 上单调递增．(2)由(1)可知，函数f (x )在[1，3]上为增函数，对于任意的x 1，x 2∈[1，3]，都有f (x 1)＋32≥a x 2－2，则a x 2－2－32≤f (1)＝12，所以a x 2－2≤2，因为x 2∈[1，3]，所以x 2－2∈[－1，1]．当0<a <1时，则有a －1≤2，解得12≤a <1；当a >1时，则有a ≤2，此时1<a ≤2.综上所述，实数a 的取值范围是12，(1，2]．。
文科数学高考第一轮复习 指数与指数函数(课堂PPT)
[易错与防范] 1．指数函数的单调性取决于底数 a 的大 小，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应分 0 ＜a＜1 和 a＞1 两种情况分类讨论． 2．对与复合函数有关的问题，要弄清复 合函数由哪些基本初等函数复合而成，并且一 定要注意函数的定义域． 3．对可化为 a2x＋b·ax＋c＝0 或 a2x＋b·ax ＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元 法解决，但应注意换元后“新元”的范围．
13
例 2、(1)函数 f(x)＝1－e|x|的图象大致是( A )
A
B
C
D
(2)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图，其中 a，b 为常数，
则下列结论正确的是( D )
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
14
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则 下列关系式中一定成立的是( )
∵f(x)在[-1,1]上是增函数
1 f(x)minf(1)
a2a1(a1
a)
a g1 a2 a2 1 a
b1 ∴b的取值范围是（-∞，-1）
27
[思想与方法] 1．根式与分数指数幂的实质是相同的， 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指 数幂进行根式的化简运算． 2．判断指数函数图象上底数大小的问题， 可以先通过令 x＝1 得到底数的值再进行比较．
29
DC．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
讨论函数f(x)=|3x－1|的单调性.
o
x
18
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
文科数学高考第一轮复习 指数与指数函数(课堂PPT)
例 1、 化简求值：
(1)2350＋2－2·214－ －(0.01)0.5；
16 15
1 a
(3)(0.027) －17－2＋279 －( 2－1)0； -45
5 (4)6a
·b－2·(－3a－
b－1)÷(4a ·b－3)
.
5 ab 4ab2
【新坐标】
12
考点 2 指数函数的图象及应用 1、画指数函数 y＝ax 的图象，应抓住三个关键点: (1，a)，(0,1)，(－1，1a)， 2、熟记指数函数 y＝10x，y＝2x，y＝(110)x，y＝(12)x 在同一坐标系中 图象的相对位置，由此掌握指数函数图象的位置与底数大小的关系． 3、对于图像问题的选择题，可以考虑特殊值法； 4、对于指数型复合函数的图像问题，一般从最基本的指数函数的 图像入手，通过平移、伸缩、对称变化而得到； 5、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函 数图像数形结合求解. 6、需特别注底数 a>1 与 0<a<1 两种不同情况;
y
要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，
则有c<0且a>0.
o
x
16
例3 设 f(x)＝|3x－1|，c<b<a，f(c)>f(a)>f(b)，则
下列关系式中一定成立的是( D )
A．3c>3a
B．3c>3b
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2．
【解析】画出 f(x)＝|3x－1|的图象
关于y轴对称
8
问题2：如图是指数函数
(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底 数a，b，c，d与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？
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第九讲 指数与指数函数班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·番禺质检)下列结论中正确的个数是( )①当a <0时，(a 2)32＝a 3；②na n＝|a |；③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a ＝5,10b＝2，则2a ＋b ＝1.A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断．①中，当a <0时，(a 2)32>0，a 3<0，所以(a 2)32≠a 3；②中，当n 为奇数时，n a n ＝a ；③中，函数的定义域应为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞；④中，由已知可得2a ＋b ＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正确，选B.答案：B2．(36a 9)4·(63a 9)4(a ≥0)的化简结果是( )A ．a 16B ．a 8C ．a 4D ．a 2解析：原式＝(18a 9)4·(18a 9)4＝a 4，选C.答案：C3．若函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x是指数函数，则有( ) A ．a ＝1或a ＝4 B ．a ＝1 C ．a ＝4 D ．a >0，且a ≠1解析：因为“一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数”，所以函数y ＝(a 2－5a ＋5)·a x是指数函数的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋5＝1，a >0，且a ≠1，解得a ＝4，故选C.答案：C评析：解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征：(1)指数里面只有x ，且次数为1，不能为x 2，x 等；(2)指数式a x的系数为1，但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式，但可以经过运算转化为指数函数的标准形式．4．在平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称 解析：y ＝2x 左移一个单位得y ＝2x ＋1，y ＝2－x 右移一个单位得y ＝21－x，而y ＝2x与y ＝2－x关于y 轴对称．∴f (x )与g (x )关于y 轴对称． 答案：C5．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.答案：B6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )<0(0<a <b <c )，若实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A ．x 0<aB ．x 0>bC ．x 0<cD ．x 0>c解析：如图所示，方程f (x )＝0的解即为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，若x 0>c >b >a >0，则f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，与已知f (a )f (b )f (c )<0矛盾，所以，x 0>c 不可能成立，故选D. 答案：D二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．已知不论a 为何正实数，y ＝ax ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析：因为指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)．而函数y ＝ax ＋1－2的图象可由y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y ＝ax ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案：(－1，－1)8．函数y ＝(13)x －3x在区间[－1,1]上的最大值为________．答案：839．定义：区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1.已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.答案：110．(2010·湖南师大附中期中)设f (x )＝e x＋e －x2，g (x )＝e x －e－x2，计算f (1)g (3)＋g (1)f (3)－g (4)＝________，f (3)g (2)＋g (3)f (2)－g (5)＝________，并由此概括出关于函数f (x )和g (x )的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________．答案：0 0 f (x )g (y )＋g (x )f (y )－g (x ＋y )＝0三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6 ①b ·a 3＝24 ②②÷①得a 2＝4，又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56. 12．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围．分析：函数f (x )是由指数函数和二次函数复合而成的，因此可通过复合函数单调性法则求单调区间，研究函数的最值问题．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >012a －164a＝－1，解得a ＝1.即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R .故a 的取值范围是a ＝0.评析：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．13．已知函数f (x )＝2x－12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x <0时，f (x )＝0； 当x ≥0时，f (x )＝2x－12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x－1＝0，解得2x＝1± 2.∵2x>0，∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t－1)≥－(24t－1)． ∵22t－1>0，∴m ≥－(22t＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。