《三角恒等变换》复习导引

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高三复习提纲——三角恒等变换word资料8页

高三复习提纲——《三角恒等变换》三角恒等变换是三角函数的重要内容，搞清公式间的关系是学习的关键．对于和、差角的三角函数公式，关键是弄清楚角的变化，从整体上把握公式，既要学会正向运用，也要学会逆向运用；对于倍、半角公式，可从α与α2之间的关系出发思考，通过这种关系的思考而建立函数式之间的联系．辅助角公式则是应用较为广泛的公式，讨论三角函数的最值、周期、单调性等性质时，常使用此公式变换．专题一三角函数式的化简1．三角函数式化简的基本原则：(1)“切”化“弦”；(2)异名化同名；(3)异角化同角；(4)高次降幂；(5)分式通分；(6)无理化有理；(7)常数的处理(特别注意“1”的代换)．2．三角函数式化简的基本技巧．(1)sinα，cosα→凑倍角公式．(2)1±cosα→升幂公式．(3)1±sinα化为1±cos(π2±α)，再升幂或化为(sinα2±cosα2)2.(4)a sinα＋b cosα→辅助角公式a sinα＋b cosα＝a2＋b2·sin(α＋φ)，其中tanφ＝b a或a sinα＋b cosα＝a2＋b2·cos(α－φ)，其中tanφ＝a b.[范例解析]1、在△ABC中，若sin A sin B＝cos2C2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形2、cos 2π7cos4π7cos8π7＝________.3、已知α∈R，sinα＋2cosα＝102，则tan2α＝()A.43 B.34C．－34D．－434、化简三角函数式：2cos8＋2－2sin8＋1.5、若3π2<α<2π，化简：12＋1212＋12cos2α.专题二三角函数的求值三角函数的求值有三种类型：(1)给角求值：一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论；(3)给值求角：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调性求得角．6、化简：(tan10°－)·sin40°= __________.7、000000sin6cos15sin9cos6sin15sin9+-的值为（）三角恒等变换A 、2+B 、22+ C 、2- D 、22- 8、已知α、β、γ∈(0，2π)，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则β－α的值为________． 9、如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值； (2)求|BC |2的值.10、若cos(π4＋x )＝35，1712π<x <74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．专题三三角恒等式的证明1．三角恒等式的证明问题主要有两种类型：不附加条件的恒等式证明和条件恒等式证明． (1)不附加条件的恒等式证明．就是通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异，这是三角变换的重要思想之一．证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡．(2)条件恒等式的证明．这类问题的解题思路是恰当、适时地使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法．2．证明三角恒等式常用的方法．(1)从复杂的一边入手，逐步化简，证得与另一边相等；在证明过程中，时刻“盯”住目标，分析其特征，时刻向着目标“奔”．(2)从两边入手，证得等式两边都等于同一个式子． (3)把要证的等式进行等价变形． (4)作差法，证明其差为0.11、求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝2(3＋cos4x )1－cos4x.12、求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ.专题四讨论三角函数的性质分析、研究三角函数的图像和性质是三角函数的重要内容，也是高考重点考查的内容之一。

三角恒等变换专题总结复习

三角恒等变换【知识分析】1、本章网络结构2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。

（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。

（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。

（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。

②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。

（6）合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。

，其中．（7）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。

（8）三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）① “变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β, 2α=(α+β)+ (α－β), 2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·,= (α－)－(－β)等.②“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦），③“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。

《三角恒等变换》复习课

Байду номын сангаас
小结：
（1）三角恒等变换解决三角函数性质问题的基本思路
（2）三角函数最值问题的常见形式及解决方法
谢谢！
7
14
解：，为锐角,0
又cos 1 ,cos( ) 11
7
14
sin 4 3 ,sin( ) 5 3 ,
7
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cos cos( )
cos( ) cos sin( )sin 1
2
变式 1.已知cos( ) 1 ，求sin 2 .
4
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变式 2.已知, 都是锐角，cos 1 ,sin( ) 5 3 , 求cos 的值.
7
14
【回归教材】(P147.9) 例 2.已知函数 y (sin x cos x)2 2 cos2 x .
（1)求它的递减区间； (2)求它的最大值和最小值.
变式 1：求函数 y (sin x cos x)2 4 cos2 x 的最大和最小值.
变式 2：求函数 y (sin x cos x)2 cos2 2x 的最大和最小值
例 1.已知, 都是锐角，cos 1 ,cos( ) 11 , 求cos 的值.
7
14
变式 1.已知cos( ) 1 ，求sin 2 .
4
7
变式 2.已知, 都是锐角，cos 1 ,sin( ) 5 3 , 求cos 的值
7
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回归教材：P137.4
例1：已知，为锐角，cos 1 ,cos( ) 11 ,求cos的值.
三角恒等变换复习课
1、熟练应用两角和与差的正弦、余弦正切公式解决恒等变换问题
2、了解各公式间的逻辑关系，能构建三角恒等变换的知识网络

三角恒等变换复习

2
cos cos 1 [cos( ) cos( )]
2
sin sin 1 [cos( ) cos( )]
2
(2)和差化积公式
sin sin 2sin cos
2
2
sin sin 2cos sin
2
2
cos cos 2cos cos
函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换
技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
[典例]
已知函数 f(x)＝2cos2x＋4
3sin
x 2cos
x 2·cos x.
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求函数 f(x)在区间－π6，π4上的值域．
[解]
(1)f(x)＝2cos2x＋4
用已知角表示．
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan( )
tan tan . 1 tan tan
tan( ) tan tan .
1 tan tan
2、辅助角公式
asin x bcosx
a
a2 b2 (
sin x a2 b2
这个公式
有什么作用？
b cos x)
a2 b2
a2 b2 (cos sin x sin cos x)
即
3 sin A cos A 1 ,

高三第一轮复习三角恒等变换

三角恒等变换【提纲挈领】主干知识归纳 1.常用的三角公式（1）同角公式. （2）诱导公式. （3）和差角公式. （4）二倍角公式. （5）降幂公式：21cos 2sin2αα-=，21cos 2cos2αα+=，21cos 2tan1cos 2ααα-=+.（6）万能公式：22tan2sin 1tan2ααα=+，221tan 2cos 1tan2ααα-=+，22tan 2sin 1tan2ααα=-.（7）辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+，cos ϕ=、sin ϕ=.方法规律总结1. 三角恒等变换的主题是求值、化简、证明.2.对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.3.三角变换包括变换的对象、目标、依据和方法；三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、分）；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的策略是：找“差异”，立足“化异为同”、消除差异找方法.【指点迷津】【类型一】求值【例1】：已知角α的终边与单位圆相交于点1cos ,2P α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos 2α=（）. A ．12-B ．12C．【解析】：因为角α的终边与单位圆相交于点⎛⎫ ⎪⎝⎭1P cos α,-2，所以1sin α=-2．故⎛⎫ ⎪⎝⎭2112cos2α=1-2sin α=1-2-=22.答案：B【例2】：已知3sin 5θ=-，θ为第四象限角，则tan2θ=()．A ．35-B ．34-C ．13-D ．43【解析】：因为3sin θ=-5，θ为第四象限角，所以4cos θ=5.故θsin θ2tan==θ2cos23θθ-2sincossin θ1522===-θ4cos θ+1322cos1+25. 答案：C【例3】：已知α、β为锐角，且4tan 7,tan 3αβ==，则αβ+=________．【解析】：因为()⋅47+tan α+tan β3tan α+β===-141-tan αtan β1-73，且0<α+β<π，所以3π4α+β=.答案：3π4【类型二】化简【例1】：化简：2222tan15cos15cos 751tan 15-+=-( )A．6-B．6 C．4- D．4【解析】：原式＝2o2ooo ocos 15-sin 15+tan30=cos30+tan30=236答案：B 【例2】：已知5,22ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭=( ) A ．sin cos 22θθ- B ．cos sin 22θθ- C ．sin cos θθ-D ．cos sin θθ-【解析】：θθsin -cos 22，且⎛⎫ ⎪⎝⎭π5πθ∈,22，所以⎛⎫ ⎪⎝⎭θ2π5π∈,44，且θθsin >cos 22，故θθsin -cos 22. 答案：A【例3】：()s i n 40t a n 103-=________．【解析】：原式＝⎛ ⎝o o o sin10sin10o o sin40=sin40o ocos10cos10 ()o o o 2sin40sin 10-60=ocos10o o o o o -2sin40sin502sin40cos40sin80==-=-=-1o o o cos10cos10cos10. 答案：-1 【类型三】证明【例1】：求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++.【证明】：左边＝()()221+2sin θcos θ-1-2sin θ2sin θcos θ+2sin θ=222sin θcos θ+2cos θ1+2sin θcos θ+2cos θ-1()()2sin θsin θ+cos θ==tan θ2cos θsin θ+cos θ＝右边，所以等式成立.【例2】：求证：()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦ . 【证明】：因为()sin α+β=sin αcos β+cos αsin β，()sin α-β=sin αcos β-cos αsin β，两式相减得()()-sin α+βsin α-β=2cos αsin β，即()()⎡⎤⎣⎦1cos αsin β=sin α+β-sin α-β2.【例3】：已知1tan 12tan θθ-=+，求证：tan 24tan 4πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【证明】：因为1-tan θ=12+tan θ，所以1tan θ=-2.故⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭12-2tan θ42tan2θ===-2231-tan θ11--2，⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭1π1+-tan +tan θπ424-4tan +θ=-4=-4=-π1431-tan tan θ1-1-42. 所以等式成立. 【类型四】综合应用【例1】：已知tan 2θ=-2,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求22cos sin 124θθπθ--⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【解析】：原式＝cos θ-sin θ1-tan θ=1+tan θsin θ+cos θ.因为⎛⎫⎪⎝⎭π2θ∈,π2，所以⎛⎫⎪⎝⎭ππθ∈,42.又2tan θtan2θ=21-tan θ，解得tan θ=2.1-2【例2】：已知12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且,02παπβπ<<<<，求cos2αβ+的值. 【解析】：因为π<α<π,0<β<π2，所以3ππ0-42βα<α-<π,-<β<22. 又⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭β1α2cos α-=-,sin -β=，所以⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ8022sin α-=1-cos α-=， ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα522cos -β=1-sin -β=229，故⎛⎫ ⎪⎝⎭βsin α-=29，⎛⎫ ⎪⎝⎭αcos -β=23于是，⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦α+ββαβαcos=cos α---β=cos α-cos -β22222 ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭βα+sin α-sin -β22⋅⋅12=-=933927. 【例3】：已知2sin cos 2sin ,sin cos sin θθαθθβ+==，求证：224cos 2cos 2αβ=.【证明】：因为sin θ+cos θ=2sin α，所以21+2sin θcos θ=4sin α.又2sin θcos θ=sin β，所以221+2sin β=4sin α，即()()221+21-cos β=41-cos α，整理得，224cos α=1+2cos β，降次得，2cos2α=cos2β，平方得，224cos 2α=cos 2β.【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题 1．已知cos18m =，则2sin 9= ()．A.12m - B. 12m + C．2D.2【解析】：o1-cos181-m 2o sin 9==22．答案：A 2．已知3sin ,5θθ=为第二象限角，则sin 2θ的值为 ( ) ．A ．1225-B ．1225C ．2425-D ．2425【解析】：因为3sin θ=,θ5为第二象限角，所以4cos θ=-5，从而⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭3424sin2θ=2sin θcos θ=2-=-5525. 答案：C 3．已知()11tan ,tan 43ααβ=+=，则tan β= ( )．A ．17B.113 C. 16 D ．413【解析】：()()()⋅⎡⎤⎣⎦11-tan α+β-tan α134tan β=tan α+β-α===111+tan α+βtan α131+34. 答案：B4．已知[)0,2x π∈，则函数()cos 22x xf x =+的零点是( ) A.6π B. 3π C ．6π或3π D. π或3π 【解析】：因为()⎛⎫⎪⎝⎭x x x πf x +cos 2sin +2226，由()f x =0，得⎛⎫ ⎪⎝⎭2x πsin +=26.又[)x ∈0,2π，所以)⎡⎣x ππ7π+2666∈,，故x ππ+=263或x π2π+=263，解得πx =3或x =π. 答案：D 5= ( )．A ．sin 4- B. sin 42cos 4- C ．2cos 4sin 4- D ．2sin 4cos 4- 【解析】：原式＝sin4-cos4-cos4=-sin4+cos4+cos4=2cos4-sin4. 答案：C 二、填空题6．已知33cos ,52πθπθ=-<<，则2sin cos 22θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【解析】：因为33πcos θ=-,π<θ<52，所以4sin θ=-5.故原式＝⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2θθθθθθ4922sin -cos =sin-2sin cos +cos =1-sin θ=1--=22222255. 答案：957．已知34παβ+=，则()()1tan 1tan αβ--=________．【解析】：因为3πα+β=4，所以()3πtan α+β=tan4，即+tan αtan β=-11-tan αtan β，整理得，++tan αtan β=-1tan αtan β.于是()()()()+2-1tan αtan β1-tan α1-tan β=1-tan α+tan β+tan αtan β=1-+tan αtan β=.答案：2 8．化简：()sin 5013tan10+=________.【解析】：原式＝()⋅o o oo o 2sin50sin 30+10cos10osin50=o ocos10cos10o o o2cos40sin40sin80===1o o cos10cos10.答案：1 三、解答题 9．已知()()13cos,cos 55αβαβ+=-=，求tan tan αβ的值. 【解析】：因为()1cos α+β=5，1cos αcos β-sin αsin β=5 （1） ()3cos α-β=5，3cos αcos β+sin αsin β=5（2）（1）+（2）得，2cos αcos β=5 （3）（2）－（1）得，1sin αsin β=5（4）（4）÷（3）得，1tan αtan β=.10.已知函数()22cos sin 2cos sin f x x x x x =-+（1）函数()f x 的递增区间；（2）函数()f x 的零点.【解析】：（1）因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x =sin2x+cos2x 2x+4由()πππ-+2k π≤2x +≤+2k πk ∈Z 224得，()3ππ-+k π≤x ≤+k πk ∈Z 88，所以函数()f x 的递增区间为(),⎡⎤⎢⎥⎣⎦3ππ-+k π+k π88k ∈Z .（2）由()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x 2x+4得，⎛⎫ ⎪⎝⎭πsin 2x +=14，所以()ππ2x +=+2k πk ∈Z 24，解得()πx =+k πk ∈Z 8.所以函数()f x 的零点为()π+k πk ∈Z 8. 【二级目标】能力提升题组一、选择题 1．已知1cos 23θ=，则44cos sin θθ+的值为( )．A ．1 B.59 C ．1318 D ．1118【解析】：原式＝()()()212222cos θ+sin θ-2cos θsin θ=1-1+cos2θ1-cos2θ2()⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211152=1-1-cos 2θ=1-1-=2239.答案：B 2．已知24sin 225α=-，且3,4παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=( )．A ．45B.45-C ．35D ．35-【解析】：因为⎛⎫⎪⎝⎭3πα∈,π4，所以sin α>0，且⎛⎫ ⎪⎝⎭3π2α∈,2π2.又24sin2α=-25，所以⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222247cos 2α=1-sin 2α=1--=2525，7cos2α=25.故71-1-cos2α9225sin α===2225，于是3sin α=5.答案：C 二、填空题 3．cos 20cos 40cos60cos80= ________.【解析】：原式＝o o o o o2sin20cos20cos40cos60cos80o2sin20o o o o 2sin40cos40cos60cos80=o 4sin20o o o 2sin80cos60cos80=o 8sin20o osin160cos601==o168sin20. 答案：116三、解答题4.已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x x x+-的值.【解析】：因为⎛⎫⎪⎝⎭π317π7πcos +x =,<x <45124，所以,⎛⎫⎪⎝⎭5πππ4<+x <2πsin +x =-3445. 由⎛⎫⎪⎝⎭π3cos +x =45，得-ππcosxcos sinxsin =44-sinx =由⎛⎫⎪⎝⎭π4sin +x =-45，得ππsincosx +cossinx =44+sinx =由-cosx sinx()()⎛ 7×-22552sinxcosx cosx+sinx sin2x+2sin x 28=-1-tanxcosx -sinx 755.【高考链接】1.（2015年四川文13）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值为________.【解析】：因为sin α+2cos α=0，所以tan α=-2，故22sin αcos α-cos α22sin α+cos α()()⋅2-2-12tan α-1===-122tan α+1-2+1.答案：-12.（2013年全国新课标II 卷理15）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则s i n c o s θθ+=________.【解析】：因为⎛⎫ ⎪⎝⎭π1tan θ+=42，所以-πtan θ+tan14=π21tan θtan4，解得1tan θ=-3.又θ为第二象限角，由⎧⎪⎨⎪⎩1sin θtan θ=-=3cos θ22sin θ+cos θ=1，解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩sin θcos θ于是sin θ+cos θ=5答案：-53.（2014年全国新课标I 卷理8）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（）.A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【解析】：⎛⎫ ⎪⎝⎭2ββββsin +cos sin +cos 1+sin β2222tan α===ββββcos β22cos -sin cos -sin 2222⎛⎫ ⎪⎝⎭β1+tan πβ2==tan +β421-tan2.因为πβ∈(0,)2，所以β2πππ+∈(,)442.又πα∈(0,)2，所以πβα=+42，即π2α-β=2. 答案：B。

三角恒等变换(复习)

三角恒等变换（复习）【学习目标】1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的推导，并了解公式间的联系2.掌握三角恒等变换的方法；3.会利用三角恒等变换解决三角函数问题。

【重点、难点】灵活的运用三角公式进行三角恒等变换解决三角函数问题。

【知识梳理】1、sin() =sin()=__________________cos()cos()_________________tan()tan()__________________sin 2=cos2==__________2、公式变形：tan tan tan 1 tan tan 。

3、常值变换：如1sin 2 x cos2 x ； 1tan ； 1 sin cos 0等，42(sin x cos x) 2 1 2sin x cos x 1 2sin 2x4、巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()，2() () ， 2() () ，2，2 222等），5、辅助角公式： a sin x b cosx a2b(2 sin( x ) 其中φ角所在的象限a b 的符号确定，φ角的值由tan b确定)由,a6、三角函数次数的降升：降幂公式：cos21cos2， sin 2 1 cos 2；22升幂公式： 1 cos 22cos2， 1cos 22sin 2。

【课前自测】1、 cos150 cos30 0sin15 0 sin 300 _____sin83 0cos230cos830sin 230_____2、tan200 tan4003 tan 200 tan400 ____1 tan150____3、 1 tan154、下列各式中，值为1的是2A sin15 cos15B cos 2 sin 2Ctan 22.5 D 1 cos3012121 tan2 22.525、已知tan3，则2sin coscos2____4【例题讲解】例 1、已知 sin12,cos()4 , 和均为锐角，求 cos135变式、已知 0，且 cos( ) 1， sin(2)2，求2293cos( ) .例 2、 ( 1) ．函数 f ( x)sin x 3 cos x 的最大值，最小值。

高中数学第3章三角恒等变换 3.3 几个三角恒等式课前导引苏教版必修4(2021年整理)

高中数学第3章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式课前导引苏教版必修4 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第3章三角恒等变换3.3 几个三角恒等式课前导引苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.3 几个三角恒等式课前导引问题导入如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为3π的扇形.C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形。

记∠COP=α,当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？最大面积是多少？思路分析：在Rt△OBC 中，OB=cos α,BC=sin α.在Rt△OA D 中，OA DA=tan 3π=3, 所以OA=33DA=33BC=33sin α.所以AB=OB —OA=cos α33-sin α.设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB·BC=（cosα33-sin α）·sinα=sin α·cosα33-sin 2α=21sin2α-63（1—cos2α）=21sin2α+63cos2α—63=31 (23sin2α+21cos2α）-63=31sin （2α+6π）-63. 由于0＜α＜3π, 所以当2α+6π=2π，即α=6π时，S max =636331=-。

因此,当α=6π时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为63. 知识预览1.万能代换设tan 2α=t ，则sinα=212t t +，cosα=2211t t +-,tanα=212t t -。

三角恒等变换的考点分析及复习建议

ｃＤ．一争
）
（２）是第四象限角，ｔａｎａ一斋，则ｓｉｎ＝（）Ａ，｝一ｃ．寺吾
答案：Ｄ．
解析：ｓｉｎ２１０。＝ｓｉｎ（１８０。＋３０。）＝一ｓｉｎ３０。一．
．
．
— —
分求解简单明了，本问也可以直接利用ｃｏｓ２ａ＝ｃｏｓｓｉｎ先
求出ｃｏｓ２ａ￣ｉ．．
（４）已知ａ为第二象限的角，ｓｉｎ０［＝３，则ｔａｎ２＝
答案：一２４
．
（２）ｃ。ｓ（２＋手）＝ｃｏｓ２ａｃｏｓ￣－ｎ２ｓｉｎ孑＝（ｃｏｓ２ —
ｓｉｎ２ａ），
・
’ ．
解析：因为为第二象限的角，又ｓｉｎ＝｝，所以
ｃ。：一，ｔａｎ一
３
，
所以啪（２）＝２ｔａｎａ一
答案：Ｃ．
解析：ｃ。一６０。）＝ｃｏｓ（一６０。）＝ＣＯ８６０。＝．
罕
答案：Ｂ．
ｃ・
解析：本题需要观察出８０。与１００。的互补关系，然后利用诱导公式求可以求解了．
、／１一（罟）一吾．
本题是选择题，也可以构造三边分别是５，１２，１３的直角三角形求值，但要注意ｓｉｎｃ￣的符号．

《三角恒等变换》归纳整合课件

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详细描述
在三角恒等变换中，角度的取值范围对计算结果有着重要的影响。如果角度的取值超出了特定范围，如90度到270度或0度到180度，那么就需要使用不同的公式或定理进行计算。忽视这一点，就会导致错误的结果。
不能灵活运用三角恒等变换的技巧
总结词
不能灵活运用三角恒等变换的技巧是学习中的一大难点。
详细描述
05
三角恒等变换的易错点分析
忽视公式条件的使用范围
总结词
不重视公式条件的使用范围是三角恒等变换中的常见错误。
详细描述
三角恒等变换的公式和定理都有一定的使用范围和条件，如角度的范围、函数的种类等。如果忽视这些条件，随意使用公式，会导致错误的结果。
忽视角度的范围对结果的影响
总结词
忽视角度的范围对三角恒等变换的结果有重要影响。
三角恒等变换的基本思路
通过引入已知的三角函数式，利用已知的三角恒等式将它们联系起来，从而找到需要解决的表达式与已知表达式之间的联系。
三角恒等变换的性质
三角恒等变换的性质
三角恒等变换的性质主要包括奇偶性、周期性、对称性以及三角函数的和差倍角公式等。
奇偶性
对于一个函数f(x)，如果f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；如果f(-x)=-f(x)，那么f(x)就叫做奇函数。
常数变易的技巧
总结词
灵活运用，随机应变
详细描述
常数变易是通过将常数项变为变量，从而改变等式中变量的系数，以达到简化计算的目的。在三角恒等变换中，常数变易是一种非常重要的技巧，可以广泛应用于各种不同类型的等式中。
04
三角恒等变换的常见题型
求值题

数学目标导引简单的三角恒等变换

学必求其心得，业必贵于专精
3.2 简单的三角恒等变换
一览众山小
诱学导入
材料：判断三角形的形状，可以通过考察该三角形的角之间的关系，也可以通过考察三角形的边之间的关系来进行.
通常来说，该三角形一定会是特殊三角形，利用边角关系可以反映出特征，得到三角形的形状。

问题：现有△ABC，若A
B B A cos cos sin sin =，则△AB
C 是什么三角形? 导入：由题意得sinAcosA=sinBcosB ，即sin2A=sin2B,此时是否有2A=2B ，进而得到A=B.如果将sin2A=sin2B 再加以变形,你就会发现有趣的结论。

温故知新
和角、差角及倍角公式分别是什么?
答:(1)sin （α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
(2）cos （α±β)=cosαcosβ sinαsinβ；
（3）tan(α±β）=βαβ
αtan tan 1tan tan •± ；
（4)sin2θ=2sinθcosθ;
（5)cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=2cos 2θ-1=1-2sin 2θ； (6)tan2θ=
θθ2tan 1tan 2-.。

《三角恒等变换》知识点及常见题型总结

简单的三角恒等变换一、考点、热点回顾模块一、两角和与差的三角函数要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路①巧变角：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等②三角函数名互化：切割化弦③公式变形使用：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±， 1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinα·cosα=（sinα±cosα）2 ④三角函数次数的降升：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=；升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= ⑤常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等模块二、简单的三角恒等变换要点三、半角公式：sin α2＝cos 2α= tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 要点四、三角函数的积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。

高中数学-必修4-三角恒等变换--经典分类复习专题

三角恒等变换（学案）知识点复习1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos αβ-= ；⑵()cos αβ+= ； ⑶()sin αβ-= ；⑷()sin αβ+= ； ⑸()tan αβ-= ⇒ tan tan αβ-= ； ⑹()tan αβ+= ⇒tan tan αβ+= ．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 2α= 1sin 2α⇒±= 。

⑵cos 2α= = = 。

⇒降幂公式2cos α= ，2sin α= ，αα=sin cos ． ⑶tan 2α= ．3、辅助角公式：sin cos a b θθ±= （其中0,0,a b >> ）4、三角变换中对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515oo o o o o =-=-=；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=。

分类训练知识点1：两角和差的余弦、正弦1．cos 15 = ；sin 105 = 。

2．sin70cos25cos65sin 20- = ；cos82.5cos52.5cos7.5cos37.5+ = 。

3．cos()αβ+=13，cos()αβ-=15，则tan tan αβ⋅= 。

4．已知,αβ为锐角，sinαβ==，求（1）cos()αβ-（2）αβ-知识点2：拆角与凑角1．已知3cos(),0,,653ππαα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭求sin α.2．已知3123,cos(),sin()24135ππβααβαβ<<<-=+=-，求cos 2β.3．求值：（1）2cos 5sin 25cos 25-；（2）sin 9cos15sin 6cos9sin 15sin 6+-.知识点3：两角和差的正切1．tan 42tan 181tan 42tan 18+- = ；cos15sin 15cos15sin 15-+= 。