(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书第51课空间几何体的三视图和直观图文

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高考数学一轮复习-81-空间几何体的三视图-直观图-表面积与体积课件-新人教A

设球的半径为 R，则 R2＝AO22＝AO2＋OO22＝13a2＋14a2
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中，应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝（4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC，故四边形 OABC 是菱形．答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.

高中数学知识点：空间几何体的三视图

高中数学知识点：空间几何体的三视图
1．三视图的概念
把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．
（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；
（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；
（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．
2．三视图的画法规则
画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．
正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：
（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；
（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；
（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．。

高中数学高考复习《空间几何体的三视图》经典例题解析附习题答案

3 32正视图侧视图俯视图图1空间几何体的三视图1..一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）48 (B)32+8(C) 48+8(D) 80【答案】 C【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，。

故S 表【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。

2.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.1229 B.1829 C. 429 D. 1836答案：B解析：由三视图可以还原为一个底面为边长是3的正方形，高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于233)23(3431829。

故选 B评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计算.3.如图l —3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）b5E2RGbCAPA.63 B.93 C.123 D.183【解析】 B.由题得三视图对应的直观图是如图所示的直四棱柱，.ABCD EA 平面3931232hS VABCD平行四边形。

所以选 B4.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A ）283（B ）83（C ）82（D ）23【答案】A【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为3212123283故选A5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是HGFEDCBA 3123A ．8B ．62C ．10 D ．82【答案】 C6.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是____________.p1EanqFDPw答案：2323234aa ，解得解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a ，则由a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是322232.DXDiTa9E3d7.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为__________ 3m 【答案】6【解析】由题意知,该几何体为一个组合体,其下面是一个长方体(长为3m,宽为2m,高为1m),上面有一个圆锥(底面半径为1,高为3),所以其体积为1321363V V 长方体圆锥.8. 下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】 A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.9.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是第一节10.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积．．．等于（）A.3 B.2 C.23 D.6【命题立意】本题考查三棱柱的三视图与直观图、表面积。

空间几何体的三视图和直观图课件

特点：中心投影的投影大小与物体和投影面之间的距离有关.
中心投影后，直线仍是直线，平行线变成了相交的直线．
中心投影立体感强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．绘画时经常使用，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．
观察下列投影图,并将它们进行比较
我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影按照投影方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种.
例2 画出下面几何体的三视图.
正视图俯视图
侧视图
【变式练习】画出下面正三棱锥的三视图.
俯
侧
正视图
侧视图
正三棱锥
俯视图
例3 画下面几何体的三视图.
正视图
侧视图
俯视图
绘制三视图时，要注意： 1. 正、俯视图长对正；正、侧视图高平齐；俯、侧视图宽相等，前后对应. 2. 在三视图中，需要画出所有的轮廓线，其中，看见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线.
3. 同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同. 4. 清楚简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置.
探究点4 由三视图还原空间几何体思考：我们由实物图可以画出它的三视图，实际生产中，工人要根据三视图加工零件，需要将三视图还原成实物，你能做到吗？
1. 位置正视图侧视图
俯视方向
俯视图
侧视方向
2.运用长对正、高平齐、宽
相等的原则画出其三视图.
正视图
侧视图
正视方向
俯视图
三视图表达的意义从前面正对着物体观察，画出正视图，正视图反映了物体的长和高及前后两个面的投影．从上向下正对着物体观察，画出俯视图，布置在正视图的正下方，俯视图反映了物体的长和宽及上下两个面的投影．从左向右正对着物体观察，画出侧视图，布置在正视图的正右方，侧视图反映了物体的宽和高及左右两个面的投影.

高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修（含五篇）

高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修（含五篇）第一篇：高中数学《1.2空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修高中数学《1.2 空间几何体的三视图和直观图》教案新人教A版必修2一、二、三、教学目标：1知识与技能：了解中心投影与平行投影；能画出简单几何体的三视图；能识别三视图所表示的空间几何体。

2过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图来完成“观察、思考”栏目中提出的问题。

3情感态度与价值观：培养学生空间想象能力和动手实践能力，激发学习兴趣。

二、教学重点：画出简单组合体的三视图三、教学难点：识别三视图所表示的空间几何体四、教学过程：(一)、新课导入：问题1：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。

不识庐山真面目，只缘身在此山中。

” 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.用途：工程建设、机械制造、日常生活.(二)、讲授新课： 1.中心投影与平行投影：① 投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。

人们将这种自然现象加以的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

② 中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.③平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影.分正投影、斜投影.讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果.2.柱、锥、台、球的三视图：① 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上到下）② 讨论：几何体三视图在形状、大小方面的关系？→ 画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高的关系，得出结论：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高。

2014·新课标高考总复习·数学7-1空间几何体的结构及其三视图和直观图-37页精选文档

原图形，S
原图形＝2
2S 直观图．
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2014 · 新课标高考总复习 · 数学
抓主干双基知能优化
（B · 理）
研考向
要点知识探究
1．(课本习题改编)下列说法正确的是( )
悟真题
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
透析解
题策略
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
图一样，左视图放在主视图的右面，高度与主视图一样，宽度与俯
视图的宽度一样．为了便于记忆．通常说：“长对正、高平齐、宽相
等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”．
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2014 · 新课标高考总复习 · 数学
（B · 理）
抓主干双基知
四、空间几何体的直观图
能优化
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
研考向
①三角形的直观图一定是三角形；
要点知
识探究
②正方形的直观图一定是菱形；
悟真题
透析解
题策略
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
提素能高效题
④菱形的直观图一定是菱形．
组训练
以上结论正确的个数是________．
解析：由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．
2014 · 新课标高考总复习 · 数学（B · 理）
一、多面体的结构特征
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抓主干双基知能优化
研考向要点知识探究
悟真题透析解题策略
提素能高效题组训练
二、旋转体的形成

【名师伴你行系列】2014高考数学一轮复习空间几何体的结构、三视图和直观图学案课件

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学案1 简单几何体及其三视图和直观图
考点突破
考纲解读
真题再现
考向预测
误区警示
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考点二
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考点四
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2014高考数学第一轮复习_三视图

空间几何体的结构、三视图和直观图【2014年高考会这样考】1．几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点．2．三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势．【复习指导】1．备考中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．2．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．基础梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．一个规律三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．两个概念(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是()．A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D ．棱台各侧棱的延长线交于一点答案 D2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )． A ．圆柱 B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案 C3．(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )． A ．8－2π3 B ．8－π3 C ．8－2πD.2π3解析圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，即V ＝22×2－13×π×12×2＝8－23π，正确选项为A. 答案 A4．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．解析所给选项中，A 、C 选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符合，只有选项B 符合．答案 B5．(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m 3.解析由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×3＝6＋π(m 3)．答案 6＋π考向一空间几何体的结构特征【例1】►(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )． A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [审题视点] 可借助几何图形进行判断．解析如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．选B.答案 B三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．【训练1】以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()．A．0 B．1 C．2 D．3解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 B考向二空间几何体的三视图【例2】►(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()．[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．解析由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.答案 D(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．【训练2】(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()．解析A中正视图，俯视图不对，故A错．B中正视图，侧视图不对，故B错．C 中侧视图，俯视图不对，故C错，故选D.答案 D考向三空间几何体的直观图【例3】►已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()．A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2[审题视点] 画出正三角形△ABC的平面直观图△A′B′C′，求△A′B′C′的高即可．解析如图①②所示的实际图形和直观图．由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.答案 D直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．【训练3】如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()．A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形解析将直观图还原得▱OABC，则∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，OC＝CD2＋OD2＝22＋(42)2＝6 (cm)，OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，故原图形为菱形．答案 C阅卷报告9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错【问题诊断】空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】应从多角度细心观察.【示例】►一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．错因忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.实录①②⑤正解①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形．答案①②③⑤【试一试】(2011·山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是()．A． 3 B．2C．1 D．0[尝试解答]如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同，故选A.答案A同步解题训练：第1节三视图与直观图[基础训练]1．（2007山东高考）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）BAA ．①②B ．①③C ．①④D ．②④提示：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D ．2．如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是（）提示：答案为B 3．（2007宁夏、海南高考）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3 Ｃ．32000cmＤ．34000cm提示：此几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，故其体积180********.33V =⨯⨯⨯= 选B.4．一几何体的主视图、左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么①正方形②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥正视图侧视图俯视图俯视图这个几何体的全面积为．提示：这个几何体应该是一个圆柱，且底面直径为1，母线长为1，故其全面积为=⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛⋅12122122ππ32π． 5．如图是一个空间几何体的主视图（正视图）、侧视图、俯视图，如果直角三角形的直角边长均为1，那么这个几何体的体积为提示：此几何体是一个底面为正方形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其直观图如下：由已知，其高为1，底面积为1，故其体积为31．6．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AA A B C ⊥面，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的侧视图面积为（）. A. 4 B.32 C. 22D.3提示：由已知，这是一个正三棱柱，侧视图是一个矩形，长和宽分别是此三棱柱的高以及地面上的高，其面积为322322=⨯⨯，选B[典例剖析]例1：某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度: cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为（制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计）（）A. 240000cmB. 240800cmC. 21600(22cmD. 241600cm思路分析：C 1A 由已知数据可知，工作台是由一个棱长为80cm 的正方体和一个直三棱柱组成，其直观图如下：其中正方体1111D CB A ABCD -是正方体，F C D E B A 1111-是直三棱柱，11D A 为高，201=E A cm ．∴此工作台的全面积为:FEC B FED AE B A ABCD S S S S 11111125+++222080802080208021280805+⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯==1600(22（2cm ）选C点拨：三视图在机械制图中有着重要的作用，所以以应用题的形式出现的问题应该是考查的重点之一．解决此问题首先要分析清楚工作台的形状，作出其直观图；其次由所给数据分别确定各个面的形状，求出面积，再求和，即可解决．此问题可以延伸为求此工作台的体积，运用割补法即可解决．例2：（2009福建高考）如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12．则该几何体的俯视图可以是思路分析：此题有两种解法解法1 由题意可知当俯视图是A 时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是正方体，显然体积是1，注意到题目体积是12，知其是正方体的一半，选C.解法2 当俯视图是A 时，正方体的体积是1；当俯视图是B 时，该几何体是圆柱，底面积是21424S πππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，高为1，则体积是4π；当俯视是C 时，该几何是直三棱柱，故体积是1111122V =⨯⨯⨯=，当俯视图是D 时，该几何是圆柱切割而成，其体积是211144V ππ=⨯⨯=.故选C.点拨：每一个几何体，在固定其摆放位置后，只能画出唯一的一组三视图．反之，由一组三视图也只能画出唯一一个几何体的直观图．这就是三视图与直观图的关系．但是像本题这样，只给出一个几何体的正视图和侧视图，几何体的形状是无法确定的．所以必须根据其不同的俯视图，确定几何体的形状，计算其体积，与已知条件对照，才能确定正确答案．例3：（2009广东高考）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示,墩的上半部分是正四棱锥P - EFGH ，下部分是长方体ABCD - EFGH. 图2和图3分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图．（1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积；（3）证明: 直线BD ⊥平面PEG ．思路分析：,如下图所示.（2）该安全标识墩的体积为：P EFGH ABCD EFGH V V V --==221406040203200032000640003=⨯⨯+⨯=+=()2cm（3）如图，连结EG ，HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O ，连结PO.由正四棱锥的性质可知, PO ⊥平面EFGH , PO HF ∴⊥又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG 又//BD HF BD ∴⊥平面PEG ．侧视 m 图1m 图2 图3E CA E BDH PG Om俯视图侧视图正视图121121EDCBAP点拨：三视图中可以精确的刻画出几何体的长、宽、高等数据．所以利用长、宽、高来求传统的几何体的棱长、表面积、体积等，就成为立体几何中的重要问题．另外，将线面关系的证明与之相结合，也是此类问题的一个考察方面．本问题（1）考查的是侧视图的做法，在作图过程中务必注意标好长、宽、高这三个数值，“长对正，高平齐，宽相等”的原则要始终牢记．（2）可以将几何体拆成两部分来分别求体积．（3）则是很简单的一个线面垂直的证明问题．例4：已知四棱锥ABCD P -的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．学科网 (Ⅰ)求四棱锥ABCD P -的体积；学科网（Ⅱ）是否不论点E 在何位置，都有AE BD ⊥？证明你的结论．思路分析：（1）是三视图的常见问题．（2）由已知E 是侧棱PC 上的动点，若不论点E 在何位置，都有AE BD ⊥，则只需BD 垂直于AE 所在的平面即可，点E 在PC 上运动时，AE 的轨迹是平面APC ，则解决此问题的关键是判定直线BD 是否垂直于平面APC ．（1）由该四棱锥的三视图可知，其底面是边长为1的正方形，且侧棱⊥PC 底面ABCD ，2=PC . ∴32123131=⨯⨯=⋅=-ABCD ABCD P S PC V（2）不论点E 在何位置，都有AE BD ⊥．证明如下：连接AC ，∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥又∵⊥PC 底面ABCD 且⊂BD 平面ABCD , ∴PC BD ⊥又C PC AC = ∴⊥BD 平面APC , ∴不论点E 在何位置，都有AE BD ⊥[巩固提高]1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A ．23B ．32C ．12D ．6提示：这个几何体是一个高为3，底面边长为1的正六棱柱，所以选A2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V ，并且可以用n 个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V ，n 的值是（） A ．2,32==n VB ．3,364==n VC ．6,332==n V D ．4,16==n V提示：这是一个底面是边长为4的正方形，高为4的四棱锥，选B3．如图，一个空间几何体的主视图、侧视图是周长为4 一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为．提示：这是将两个底面半径为2，母线长为4的圆锥底面对气候组合成的几何体，所以其表面积为两个圆锥的侧面积之和π4. 两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（） A ．1个 B ．2个C．3个D．无穷多个提示：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，所以选D．。

空间几何体的三视图和直观图第一课时教学设计教学内容

1.2空间几何体的三视图和直观图（第一课时）教学设计一、教学内容分析（一）教材地位和作用三视图是立体几何的基础之一，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图，是建立空间观念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。

在近几年的高考考查中，利用三视图求直观图体积或表面积的题型屡见不鲜，这种题型的本质即为由三视图还原直观图，所以要求学生掌握由三视图还原直观图这部分内容显得尤其重要。

三视图对部分对学生的逻辑思维能力和空间想象能力提出了较高的要求，使学生谈“图”色变。

本节课是普通高中新课程人教版《必修2》第一章第二节第一课时的内容，是在学习空间几何体的结构特征之后，直观图之前，尚未学习点、直线、平面位置关系的情况下教学的。

学生在义务教育阶段，已经初步接触了正方体、长方体的几何特征以及简单几何体的表面积、体积的计算，会从不同的方向看物体得到不同的视图的方法。

与初中教学内容相比较，本节增加学习了台体的有关内容，简单组合体涉及柱体、锥体、台体以及球体，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多。

通过本节知识的学习，为下一章点、直线、平面之间的位置关系学习打下基础，同时有利于培养学生空间想象能力，几何直观能力的，有利于培养学生学习立体几何的兴趣，体会数学的实用价值。

（二）教学内容及结构本章的主要内容是认识空间图形，通过对空间几何体的整体把握，培养和发展空间想象能力。

从学生熟悉的物体入手，使学生对物体形状的认识由感性上升到理性；通过三视图和直观图的学习，进一步认识空间几何体的结构。

本节课教材从了解中心投影和平行投影出发介绍三视图是利用三个正投影来表示空间几何体的的方法，并给出三视图的概念及作图规则。

要求学生能画出简单空间图形的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型。

在此基础上，学习画出简单组合体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，并识别三视图所表示的简单组合体。

（三）教学重难点1、重点：（1）画出空间几何体及简单组合体的三视图，（2）给出三视图，还原或想象出原实际图的结构特征，体会三视图的作用。

空间几何体的概念、三视图

空间几何体的概念、三视图教学目标重点：熟练掌握空间几何体的三视图；难点：能够理解多面体和旋转体的概念，能区分各种多面体和旋转体的结构特征；能力点：能够由空间几何体的三视图得到它的直观图，也能够由直观图得到三视图，提升空间想象能力；教育点：能够结合实际，体会多面体和旋转体的结构特征；自主探究点：掌握直观图的概念，能运用斜二测画法画出空间几何体的直观图；考试点：将三视图还原为空间几何体的实际形状，能根据三视图中给出的数值计算几何体的表面积和体积；易错点：还原空间几何体形状时出错，不能准确判断出三视图所对应的几何体；易混点：空间几何体的可见轮廓在三视图中为实线，不可见轮廓为虚线；拓展点：空间几何体的截面问题．学法与教具1．学法：讲练结合，自主探究．2．教具：多媒体课件，直尺，三角板，空间几何体模型．一、【知识结构】二、【知识梳理】1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且____________，上底面和下底面是________的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个____________的三角形．(3)棱台可由________________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________． 2．旋转体的结构特征空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体的结构特征多面体的结构特征旋转体的结构特征棱柱棱锥棱台球圆柱圆锥圆台空间几何体的三视图空间几何体的表面积和体积(1)圆柱可以由矩形绕其________________旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其________________________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由 ______________________的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到． 3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱 =S 侧 _________________V ==圆锥 =S 侧 2221_________________3V r l r π===-圆台 =S 侧 22121211(+)()33V S S S S h r r r r h π=+=++下下上上直棱柱 =S 侧________V = 正棱锥 =S 侧 ________V =正棱台 =S 侧 1(+)3V S S S S h =+下下上上球=S 球面________V =4．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是________、________、__________；它们的表面积等于__________________________________________________．5．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用__________得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是____________的，三视图包括____________、__________、________．6．空间几何体的直观图表示空间几何体的平面图形叫做空间图形的直观图．画空间几何体的直观图常用________画法．答案：1．(1)平行平行长度相等全等 (2)公共顶点 (3)平行于棱锥底面相似 2．(1)一边所在直线 (2)一条直角边所在直线 (3)平行于圆锥底面 (4)直径 3．面积体积圆柱=S 侧2rh π 2V Sh r h π==圆锥=S 侧rl π 2222111333V Sh r h r l r ππ===-圆台 =S 侧12()r r l π+22121211(+)()33V S S S S h r r r r h π=+=++下下上上直棱柱=S 侧Ch V Sh =正棱锥=S 侧12Ch ' 13V Sh =图10.1-1正棱台=S 侧1()2C C h '+ 1(+)3V S S S S h =+下下上上球=S 球面24R π343V R π=4．(1)各面面积之和 (2)矩形扇形扇环形侧面积与底面面积之和 5．正投影完全相同正视图侧视图俯视图 6．斜二测三、【范例导航】例1 给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ⑤存在每个面都是直角三角形的四面体； ⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．【分析】解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．【解答】③④⑤⑥①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等； ②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台； ③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角； ④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图10.1-1所示，正方体1AC 中的四棱锥1C ABC -，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥．【点评】学会通过反例对概念进行辨析，要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．变式训练：如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是( )A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必同在一个球面上【解答】B ．如图10.1-2，等腰四棱锥S ABCD -，过顶点S 作底面ABCD 的垂线，垂足为H ，则SHA SHB SHC SHD 、、、都是直角三角形，又因为SA SB SC SD ===，所以SHA SHB SHC SHD ===，所以HA HB HC HD ===，且SAH SAB SAC SAD ∠=∠=∠=∠．图10.1-2图10.1-3图10.1-4图10.1-5图10.1-6例2 一个几何体的三视图(单位：cm)如图10.1-3所示，则该几何体的表面积是________cm 2．【分析】三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系．【解答】412π+．【点评】多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．变式训练：一个几何体的三视图如图10.1-4所示，这个几何体的体积是．【解答】16123π+．【点评】本题以三视图为载体考查几何体的体积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．同时注意在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”．例3 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图10.1-5所示，求图中三角形(正四面体的截面)的面积．【分析】解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，有机结合．【解答】如图10.1-6所示，ABE 为题中的三角形，由已知得2AB =，3232BE =⨯=，22333BF BE ==， 2248433AF AB BF =-=-=， ∴ABE 的面积为11832223S BE AF =⨯⨯=⨯⨯=． ∴所求的三角形的面积为2．【点评】找出几何体中的数量关系，为了增加图形的直观性，常常画一个截面圆作为衬托．图10.1-7图10.1-8图10.1-9 图10.1-10变式训练：在棱长为6的正四面体内有一个内切球(球与正四面体的四个面都相切)，经过四面体的一条棱及高作截面，如图10.1-7所示．求内切球的半径．【解答】如图10.1-8所示，在截面ABD 内，AB 为正四面体的一条棱，所以6AB =．BD 为正四面体的一个面的高，所以36332BD =⨯=，同理33AD =，又133HD BD =⨯=， ∴2226AH AD HD =-=，又AOE ∽ADH ，∴AO OE AD DH =，即26333OE OE-=， ∴62OE =，∴内切球的半径为62．四、【解法小结】1．棱柱主要是理解、掌握基本概念和性质，并能灵活应用．2．正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面正多边形内切圆半径或外接圆半径、底面边长的一半构成的直角三角形中解决．3．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．4．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的进行求解． 5．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图．五、【布置作业】必做题：1．(2011陕西)某几何体的三视图如图10.1-9所示，则它的体积是．2．(2011安徽)一个空间几何体的三视图如图10.1-10所示，则该几何体的表面积为．图10.1-11图10.1-12图10.1-13答案：1．由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以31222833V ππ=-⨯⨯=-． 2．由三视图知该几何体的直观图如图10.1-11所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为224117+=．所以21424(24)424172488172S =+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+表．选做题：1．如图10.1-12所示，已知E 、F 分别是棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA 、1CC 的中点，求四棱锥11C B EDF -的体积．2．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．答案：1．方法一：如图10.1-13，连接11A C ，11B D 交于点1O ，连接11B D ，过1O 作11O H B D ⊥于H ．∵11//EF A C ，且111A C B EDF ⊄平面，∴111//A C B EDF 平面． ∴1C 到平面1B EDF 的距离就是11A C 到平面1B EDF 的距离． ∵111B D D B EDF ⊥平面平面，∴11O H B EDF ⊥平面，即1O H 为棱锥的高． ∵1111B O H B DD ，∴1111166B O DD O H a B D ⋅==．∴11131111111161233323266C B EDF B EDF V S O H EF BD O H a a a a -=⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=四边形．方法二：连接EF ，1B D ．设1B 到平面1C EF 的距离为1h ，D 到平面1C EF 的距离为2h ，则12112h h B D a +==．由题意得，11111131211()36C B EDF B C EFD C EF C EF V V V S h h a ---=+=⋅⋅+=． 2．315r ．六、【教后反思】1．本教案主要是考虑到本节是立体几何复习的第一节内容而设计的，紧抓基础知识，从课本上出现的概念和定义入手，引导学生回顾内容，熟悉题型，掌握知识．在设计上，紧抓基础题型，选取典型的三种题型进行讲解：多面体和旋转体的结构特征；三视图；空间几何体的表面积和体积的计算，较为全面的抓住高考考点，为高考指路．2．本教案的设计也有许多不足之处．立体几何是高考的重点考查内容，而本教案由于篇幅限制以及课堂时间的局限，不能做到面面俱到，比如并未涉及直观图的斜二测画法问题．同时由于作为立体几何的第一节，概念较多，在知识点的纵向组合上做的还不到位，尚需改进．对于尚未设计到的题型及知识点的整合，可以放到后续的课程和章末总结时进行补充．。

【赢在高考】2014届高考数学第一轮复习配套课件：8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图

第八章立体几何
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第 1 讲空间几何体的结构、三视图和直观图
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考纲展示
1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型, 会用斜二测法画出它们的直观图. 3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图, 了解空间图形的不同表示形式.
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1.无论怎么放置, 其三视图完全相同的几何体是( A.正方体 B.长方体 C.圆锥 D.球【答案】 D 【解析】球的三视图完全相同.
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2.一个棱柱是正四棱柱的条件是( ) A.底面是正方形, 有两个侧面是矩形 B.底面是正方形, 有两个侧面垂直于底面 C.底面是正方形, 且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱【答案】 C 【解析】根据正四棱柱的结构特征加以判断.
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T 题型一几何体的结构、几何体的定义
例 1 下面是关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面, 则该四棱柱为直四棱柱; ②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面, 则该四棱柱为直四棱柱; ③若四个侧面两两全等, 则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等, 则该四棱柱为直四棱柱. 其中, 真命题的序号是 ( 写出所有真命题的序号) . 根据几何体的结构特征进行判断. 【答案】 ②④
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3.用任意一个平面截一个几何体, 各个截面都是圆, 则这个几何体一定是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球体 D.圆柱、圆锥、球体的组合体【答案】 C 【解析】当用过高线的平面截圆柱和圆锥时, 截面分别为矩形和三角形, 只有球满足任意截面都是圆面.