高等数学同济版第8章：第1课 Newest

OA= OA OA = 6( 1 , 2
o
2 1 , ) 2 2 = (3, 3
2, 3)
故点 A 的坐标为 (3, 3 2, 3).
作业 P13：13, 18
平行向量对应坐标成比例:
四、利用坐标作向量的线性运算
r r 当a ≠ 0 时 ,
bx by bz = = ax ay az
bx = λ ax by = λ ay bz = λ az
r r r ② 3 x −2 y = b r r 其 a = 2，2 , b = −1，− 2 . 中 （ 1， ） （ 1， ）
及实数 λ ≠ −1,
AM = λ MB AM = OM − OA MB = OB − OM
OM − OA = λ (OB− OM )
得 即
A
M B
o
A
B M
1 ( OA + λ OB ) OM = 1+λ 1 (x + λx , y + λy , z + λz ) 2 1 2 1 2 1+λ 1
说明: 说明 由
r r的夹角. a,b
z
r γ r β o α x
y
x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 y y cos β = r = r x2 + y2 + z2 z z cos γ = r = r x2 + y2 + z2
方向余弦的性质:
z
r γ r β o α x
y
例7. 已知两点
2
2
2
解得 思考: 思考
故所求点为 M(0, 0, 14 ) .
9
(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?
(1) 设动点为 M(x, y , 0),利用 MA = MB , 得 且 (2) 设动点为 M(x, y , z), 利用 MA = MB , 得 例6. 已知两点
z
沿三个坐标轴方向的分向量 分向量. 分向量
r r 设 a = ( ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) , λ 为 数， 实 则 r r a ±b = (ax ± bx , ay ± by , az ± bz ) r (λ a , λ a , λ a ) λa = x y z
3. 向量与数的乘法
r λ 是一个数 , λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 λ a .
规定 :
r r 1a = a ; r r r r 总之: λa = λ a −1a = −a ; r r r 运算律 : 结合律 λ(µ a) = µ (λ a) = λ µ a
r r r r λ(a + b) = λ a + λ b 1 r ro r r r a. 因此 a = a ao 则 单 向 a = a 有 位 量 r
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则 定理 a∥b b＝0 a , b 同向 a , b 反向 (λ 为唯一实数)
a∥b
例1. 设 M 为 解:
ABCD 对角线的交点,
试 a 与b 表 MA, MB, MC, MD. 用 示
a +b = AC b −a = BD
MC = 1 ( a + b) 2
第八章 空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 坐标, 方程（ 基本方法 — 坐标法, 向量法 坐标法,
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、 五、向量的模、方向角、投影
o
和
求
AB = 1 (3 , 1, − 2) 解: AB = 14 AB 3 1 −2 ) =( , , 14 14 14
2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角α , β , γ 为其方向角 方向角. 方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 方向余弦. 方向余弦 x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 任取空间一点 O , 称 ϕ =∠AOB (0≤ ϕ≤ π ) 为向量
对两点 与 因
P x
= x2 + y2 + z2
得两点间的距离公式:
= (x2 − x1) + ( y2 − y1) + (z2 − z1)
2 2
2
例5. 在 z 轴上求与两点 离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M(0, 0, z) , 因 MA = MB , 为
(−4) +1 + (7 − z) = 32 + 52 + (−2 − z)2
= −2 MA = −2 MB
MD = 1 ( b − a) 2
D
b
C
∴ MA = − 1 ( a + b) MB = − 1 (b − a) A 2 2
M a B
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z z 轴(竖轴)
的坐标为 M(x, y , z), 则
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM = ON + NM = OA + OB + OC
r r r r r = x i + y j + z k = (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 坐标分解式
C r r r r M k j B ro y i A N x
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 . 解:
M1M2 = ( 1− 2, 3− 2 , 0− 2 )
= (−1, 1, − 2 )
(−1)2 +12 + (− 2)2 = 2
1 cos β = , 2 2π , 3
2 cosγ = − 2 3π 4
π
3
,
例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 π , π , 且 OA = 6, 求点 A 的坐标 . 3 4 解: 已知 α = π , β = π , 则 3 4 2 2 2 cos γ =1− cos α − cos β = 1 4 因点 A 在第一卦限 , 故 cosγ = 1 , 于是 2
1 (x + λx , y + λy , z + λz ) 2 1 2 1 2 1+λ 1 A 得定比分点公式 定比分点公式: 定比分点公式 M x1+λ x2 y1+λ y2 , , B 1+λ 1+λ z1+λ z2 o 1+λ A 当λ =1时 点 M 为 AB 的中点 ,于是得 ,
中点公式: 中点公式
ห้องสมุดไป่ตู้
( a + b) + c
c
b+ c b
b a+ b
三角形法则:
a + (b + c )
a
a+ b
b
a+ b
a
运算规律 : 交换律
a +b = b + a 结合律 ( a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c
a
2. 向量的减法
a
三角不等式 (同向等号成立) (反向等号成立)
解: 2×① －3×② , 得
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 r r r ① 5 x −3 y = a
r r r x = 2a − 3b = (7, −1,10)
代入②得 r 1 r r y = (3 x − b) = (11, − 2,16) 2
例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使 解: 设 M 的坐标为 如图所示
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2
1. 向量的加法 平行四边形法则:
坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
r
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0)
A(x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
2. 向量的坐标表示
r r r 以i , j , k 分 表 x, y , z 轴 的 位 量 , 设点 M 别 示 上 单 向
x1+ x2 , 2
y1+ y2 , 2
z1+ z2 2
B M
向量的模、方向角、 五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
R
o
z
M Q y
N
r r 设 r = (x, y , z ), 作OM = r , 则有 r r = OM = OP + OQ + OR
由勾股定理得
r r = OM
yoz面
• 坐标原点 • 坐标轴 • 坐标面