1.3.1函数的单调性与导数
函数的单调性与导数[二]
![函数的单调性与导数[二]](https://img.taocdn.com/s3/m/62688709453610661ed9f477.png)
2°用“导数法” 求单调区间的步骤
注：单调区间不可以并起来。
一．应用导数求函数的单调区间
1．确定下列函数的单调区间：
1( fx ) 2 x 3 x 1 21 x )
3 2
(2) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
x 3) f (x) sinx 2
尝试高考
函 数 y x c o s x s i n x 在 下 面 哪 个 区 间 内 是 增 函 数 ( B) p 3 p 3 p 5 p A .( , ) B . (, pp 2 )C .( , ) D .( 2 pp , 3 ) 22 22
b x 6 . 讨 论 函 数 f() x2 (1 x1 ， b 0 ) 的 单 x 1 调 性 ；
(B)–1<a<1 (D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1 是( B ) (A)单调递增函数 （B）单调递减函数 (B)(C)部份单调增，部分单调减 (C)(D) 单调性不能确定
3 2 4 .函 数 f(x )x a x b xc ,其 中 abc ,,为 常 数 ，
当 a 3 b0 时 ， f(x ) 在上 R ( A)
2
(A ) 增 函 数 (B ) 减 函 数 (C ) 常 数 (D ) 既 不 是 增 函 数 也 不 是 减 函 数
1 3 2 5 . 求 fx a x x 1 a 0 的 ) ) 3 单 调 区 间 和 单 调 性 ；
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 解： f ( x ) 的大致形状如右图：
变化,切线平行x轴
y f ( x)
新湘教版高中数学选择性必修第二册1.3.1函数的单调性与导数
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
要点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0❶
单调递_增___
f′(x)<0❷
单调递__减__
批注❶ f′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲 线呈上升趋势．
方法归纳
利用导数求参数取值范围的两个策略
巩固训练3 已知函数f(x)＝x3－ax－1为增函数，求实数a的取值范围．
解析： 由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，即f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.
题型探究·课堂解透
题型1 单调性与导数的关系 例1 设函数f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的 图象可能是( ) 答案：B
解析：由函数f(x)的图象，知当x<0时， f(x)是单调递减的，所以f′(x)<0；当x>0时， f(x)先减，后增，最后减，所以f′(x)先负 后正，最后为负．
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1) 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 都 有 f′(x)<0 ， 则 函 数 f(x) 在 定 义 域 上 单 调 递 减．( × ) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( × ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值 越大．( √ )
1.3.1 函数的单调性与导数
2．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零 的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．
3．注意在某一区间内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数 f(x)在该 区间上为增(或减)函数的充分条件．如 f(x)＝x3 是 R 上的可导函 数，也是 R 上的单调递增函数，但当 x＝0 时，f′(x)＝0.
第10页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
(3)由 f(x)＝sinx－cosx＋x＋1，0<x<2π，
知 f′(x)＝cosx＋sinx＋1.
π 于是 f′(x)＝1＋ 2sin(x＋ 4 )．
令
f′(x)＝0，从而
π sin(x＋ 4 )＝－
22，
3π 得 x＝π，x＝ 2 .
第11页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
题型三 根据函数单调性求参数范围 互动 1 函数 f(x)在(a，b)内 f′(x)>0(或 f′(x)<0)是函数在 区间(a，b)内为增(或减)函数的充要条件吗？
第25页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
【解析】 函数 f(x)在区间(a，b)内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函 数 f(x)在此区间内为增(减)函数的充分条件，而不是必要条件．如 果出现个别点使 f′(x)＝0，不会影响函数 f(x)在包含该点的某个 区间内的单调性．例如函数 f(x)＝x3 在定义域(－∞，＋∞)上是增 函数，但由 f′(x)＝3x2 知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任 意一点处都满足 f′(x)>0.
1－x2
第9页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-2
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
1
自 测 自 评
1 2 4．函数 y＝ x －ln x 的单调递减区间为( 2 A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1] D．(0，＋∞)
)
栏 目 链 接
答案：B
栏 目 链 接
题型1
求函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)； (2)f(x)＝3x2－2ln x.
栏 目 链 接
题型2
证明函数的单调性
例2 求证：函数f(x)＝ex－x＋1在(0，＋∞)内是增函数，
在(－∞，0)内是减函数．
栏 目 链 接
分析：先求导数，再推证在该区间内导数恒大于零或 恒小于零，即可证明函数单调性问题．
证明：由f(x)＝ex－x＋1，得f′(x)＝ex－1. 当x∈(0，＋∞)时，ex－1＞0，即f′(x)＞0，
跟 踪 训 练
1．求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x4－2x2＋3； ex (2)f(x)＝ . x－2
栏 目 链 接
解析：(1)函数 f(x) 的定义域为 R. f′(x)＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)． 令 f′(x)＞0，则 4x(x＋1)(x－1)>0， 解得－1<x<0 或 x>1， 所以函数 f(x)的单调递增区间 为(－1,0)和(1，＋∞)．
栏 目 链 接
∴f(x)在(0，＋∞)内是增函数．
当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，0)内是减函数．
点评： 函数 f(x) 在某一区间上 f′(x) ＞ 0 是 f(x) 是增函
数的充分不必要条件，若在此区间内有有限个点使f′(x) ＝0，f(x)在该区间内为增函数，因此，在证明f(x)在给 定区间内是增函数时，证明f′(x)≥0(但f′(x)＝0不恒成立) 即可．
1.3.1 函数的单调性与导数 课件(人教A版选修2-2) (1)
A．[3，＋∞)
B．[－3，＋∞)
C．(－3，＋∞)
D．(－∞，－3)
解析：f′(x)＝3x2＋a，
令3x2＋a≥0，则a≥－3x2[x∈(1，＋∞)]．∴a≥－3.
答案：B
练习题：1．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k＞ 0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0) 与(4，＋∞)，求k的值．
x ( 1 ,1) 3
.
3．已知函数f(x)＝ x ＋ln x，则有( )
A．f(2)<f(e)<f(3)
B．f(e)<f(2)<f(3)
C．f(3)<f(e)<f(2)
D．f(e)<f(3)<f(2)
解析：在(0，＋∞)内，f′(x)＝
2
1
x＋1x
>0，
所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．
1
234Fra bibliotekhh
h
h
o A t o B t o C t o D t
分析 以容器2为例,由于容器
上细下粗,所以水以恒速注入时, 开始阶段高度增加得慢,以后高 度增加得越来越快.反映在图象
上,A 符合上述变化情况.同理
可知其他三种容器的情况.
解 1→B, 2→A, 3→D, 4→C.
2 h
o A t
思考 例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函 数的增与减 ,还可以看出其增减的快慢.结合图象, 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?
一般地,如果一个函
y
数在 某一范围内导 数 的绝对值较大,那 么函数 在 这个范围
初中数学：1.3.1函数的单调性与导数
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
可知 在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象
O1
4
的大致形状如右图所示.
x
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解: (1) 因为
, 所以
因此, 函数 (2) 因为
在
上单调递增.
, 所以
当
, 即 时, 函数
当
, 即 时, 函数
单调递增; 单调递减.
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：
本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题 求证：方程
只有一个根。
作业：
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
解:
在
内是减函数.
由 的递减区间是 函数.
, 解得 , 即函数
, 所以函数
在
内是减
一、求参数的取值范围
1.3.1函数的单调性与导数
∴f’(x)=3ax2+6x-1≤0在R上恒成立，
∴a<0且△=36+12a≤0，
∴a ≤-3
玉林市一中高二数学组
练习2 已知函数f (x )= 2ax - x 3，x (0, 1],a 0, 若f (x )在（0， 1]上是增函数，求a的取值范围。
'(x)>0(或<0) 但由f（xf ）在这个区间上单调递增（递减） 而仅仅得到 是不够的。还有可 能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，
本题用到一个重要的转化： 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
m≥f(x)恒成立 m f (x)max m f (x)恒成立 m f (x)min
玉林市一中高二数学组
2．用定义证明函数的单调性的一般步骤： 取值→作差→变形→定号→下结论 3. 判断函数单调性有哪些方法？ 定义法
图象法
玉林市一中高二数学组
思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然
分析：
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x )在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数
f ( x ) 图象的大致形状。
变化,切线平行x轴
y f ( x)
y A B
高三数学函数的单调性与导数教案
城东蜊市阳光实验学校§1.3.1函数的单调性与导数【教学目的】1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。
【教学重点】利用导数判断函数单调性。
【教学难点】利用导数判断函数单调性。
【内容分析】以前，我们用定义来判断函数的单调性．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I 上的增函数．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I 上的减函数。
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．假设利用导数来判断函数的单调性就比较简单。
【教学过程】 一、复习引入1．常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=．2．法那么1)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．法那么2[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+,[()]'()Cu x Cu x '=．法那么3'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭．3．复合函数的导数：设函数u=ϕ(x)在点x 处有导数u′x=ϕ′(x)，函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导数y′u=f′(u)，那么复合函数y=f(ϕ(x))在点x 处也有导数，且xu x u y y '''⋅=或者者f′x(ϕ(x))=f′(u)ϕ′(x)．4．复合函数求导的根本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数：x )'(ln =e xx a a log 1)'=． 6．指数函数的导数：x xe e =)'(；a a a x x ln )'(=．二、讲解新课1．函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间〔2，∞+〕内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x)在区间〔2，∞+〕内为增函数；在区间〔∞-，2〕内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x)在区间〔∞-，2〕内为减函数定义：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，假设在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；假设在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数2．用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x)．②令f′(x)＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间。
第一章 1.3 1.3.1 函数的单调性与导数
答案:(0,2)
-3-
目标导航
知知识识梳梳理理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】
下列区间中,函数
f(x)
=
1+ln ������
������
在其上是单调递增
的是 ( )
A.(0,1) C.(1,e)
B.(0,e)
的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥0;若 f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端 点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.
例如:求证:当x>0时,ex>x+1. 证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1. 因为x>0,所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以 f(x)>f(0)=0,故ex>x+1.
试画出函数y=f(x)的大致图象.
分析:根据函数y=f(x)在某个区间上导数f'(x)的符号,可以得到函
数y=f(x)的单调性,即函数y=f(x)图象的“上升下降”趋势,从而画出函
数y=f(x)的大致图象.
-12-
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
解:由①②③可知函数 y=f(x)在区间(-∞,-1)和
重难聚焦
典例透析
2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函 数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.
1.3.1函数的单调性与导数(一)
1.3.1函数的单调性与导数（一）【学习目标】1. 记住函数的单调性与导数之间的关系；2. 学会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．【重点难点】重点: 函数的单调性与导数之间的关系难点: 利用函数的导数判断单调性【学习过程】【预习案】预习教材P22～26，完成以下问题1.一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，f ′(x)＞0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的如果在这个区间内，f ′(x)＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系3.用导数求函数单调区间的步骤：①优先确定函数的定义域；②求函数f(x)的导数f ′(x)；③定义域内满足不等式f ′(x)＞0的x的区间就是递增区间；满足不等式f ′(x)＞0的x的区间就是递减区间．[预习诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．() 2．函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )3．函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( ) 【探究案】探究一函数余导函数图象间的关系例1：设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为()【变式训练】设f ′(x)是函数f(x)的导函数，f ′(x)的图象如图所示，则f(x)的递增区间是．探究二利用导数求函数的单调区间例2：求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－ln x.【变式训练】证明:函数xxxfsin)(=在区间),2(ππ上单调递减.注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示【检测案】1．函数f(x)＝x＋ln x在(0,6)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是增函数D．在⎝⎛⎭⎫0，1e上是增函数，在⎝⎛⎭⎫1e，6上是减函数2．函数y＝x2－4x＋a的增区间为________，减区间为________．是()4．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则在[－2,5]上函数f(x)的单调递增区间为________．5.函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)6.函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为()A．(－1,1] B．(0,1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)7.判断函数xxxfln)(=在区间(0,e)上的单调性。
高中数学1.3.1 函数的单调性与导数
1.函数的单调性与其导数的关系
在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单
调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减;如果恒
有f'(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数.
名师点拨“在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为
增(减)函数”的充分条件,而不是必要条件.如果出现个别点使f'(x)=0,
不会影响函数f(x)在包含该点的某个区间上的单调性.例如函数
f(x)=x3,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,但因为f'(x)=3x2,所以f'(0)=0,
即并不是在定义域内的任意一点处都满足f'(x)>0.
【做一做】 若定义域为R的函数f(x)的导数f'(x)=2x(x-1),则f(x)在
反思感悟运用导数研究函数单调性的方法
利用导数判断或证明函数的单调性时,一般是先确定函数的定义 域,再求导数,最后判断导数在所给区间上的符号,从而确定函数的 单调性.
-6-
1.3.1 函数的单调性与导数
课前篇自主预习 课课堂堂篇篇探探究究学学习习
探究一
探究二
探究三
思想方法 当堂检测
变式训练1(1)在下列函数中,在区间(-1,1)内是减函数的是( ) A.y=2-3x2 B.y=ln x C.y=������1-2 D.y=sin x (2)求证:函数f(x)=sin x+cos x+3x在R上单调递增.
答案:C
(2) 证明:∵f'(x)=cos x-sin x+3=3- 2sin x-π4 ,而 2sin x-π4 ≤ 2, ∴3- 2sin x-π4 >0,即 f'(x)>0.故函数 f(x)=sin x+cos x+3x 在 R 上单
高中数学_函数的单调性与导数教学设计学情分析教材分析课后反思
1.3.1函数的单调性与导数【教学目标】1.知识与能力：会利用导数解决函数的单调性及单调区间。
2.过程与方法：通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。
3.情感态度与价值观：通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。
【教学重点和难点】对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【教学设计思路】现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。
整个教学过程突出了三个注重：1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。
2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。
3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。
根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图像。
【教法预设】1．教学方法的选择：为在课堂上，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用启发式、讲练结合的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
函数的单调性与导数教学设计
一．复习回顾复习1：导数的几何意义复习2：函数单调性的定义，判断单调性的方法，（图象法，定义法）二、创设问题情境新知探究、观察函数图象以及导函数的图象寻找其中的关系问题1:如图（1）表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数105.69.4)(2++-=ttth的图象，图(2）表示高台跳水运动员的速度5.68.9)(')(+-==tthtV h的图象.老师提问：这种情况是否具有一般性？问题2：观察图（1）～图（4），探讨函数与其导函数是否也存在问题（1）的关系呢？设计表格启发学生找到函数单调系。
三、新课探究：通过导函数的几何意义解释导函数的正负与原函数增减性的关系.导数()0'x f 表示函数()x f 在点()()00,x f x 处的切线的斜率，在0x x =处()00'>x f ，切线是“左下右上”式的，这时，函数()x f 在0x 附近单调递增；在1x x =处，()01'<x f ，切线是“左上右下”式的，这时，函数()x f 在1x 附近单调递减.结论：函数的单调性与导数的关系：在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减． 问题3：如果在某个区间内恒有()0'=x f 那么函数有什么特性？学生填写表格数四、知识应用平时我们遇到很多需要数形结合的题目，那么现在我们知道了导数的正负能帮助我们判断函数的单调性，那么我们能否利用导数信息画出函数的大致图象呢？例1:已知某函数的导函数的下列信息:当()041'><<x f x 时， 当14<>x x 或时，()0'<x f当.0)('1,4===x f x x 时，或 试画出函数()x f 图象的大致形状.跟踪练习1、设()y f x '=是函数()y f x =的 导函数, ()y f x '=图象如图所示, 则的()y f x =图象最有可能是( )导函数(答案选择：例2求函数的单调性;3)(3x x x f +=;32)(2--=x x x f ();,0,sin )(π∈-=x x x x f;12432)(23+-+=x x x x f 老师板书，规范答题步骤.板书“求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．。
1.3.1 函数的单调性与导数(2)
1．1．3函数的单调性与导数（二）一、教学目标：了解可导函数的单调性与其导数的关系.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 三、教学过程（一）复习1．确定下列函数的单调区间：⑴ y ＝x 3－9x 2＋24x ； ⑵ y ＝x －x 3．（4）f (x )＝2x 3－9x 2＋12x －32．讨论二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的单调区间．3．在区间(a , b )内f'(x )＞0是f (x )在(a , b )内单调递增的 ( A )A ．充分而不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（二）举例例1．求下列函数的单调区间(1) f (x )＝x －ln x (x ＞0)；(2) )253log()(2-+=x x x f(3) 32)1)(12(x x y --=. （4）)3ln()(b x x f -= （b>0）（5）判断)lg()(2x x x f -=的单调性。
分三种方法：（定义法）（复合函数）（导数）例2．（1）求函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间. （2）讨论函数2()(11,0)1bx f x x b x =-<<≠-的单调性. （3）设函数f (x ) = ax – (a + 1) ln (x + 1)，其中a ≥–1，求f (x )的单调区间.（1）解：y ′ = x 2 – (a + a 2) x + a 3 = (x – a ) (x – a 2)，令y ′＜0得(x – a ) (x – a 2)＜0.1）当a ＜0时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；2）当0＜a ＜1时，不等式解集为a 2＜x ＜a 此时函数的单调减区间为(a 2, a )；3）当a ＞1时，不等式解集为a ＜x ＜a 2此时函数的单调减区间为(a , a 2)；4）a = 0，a = 1时，y ′≥0此时，无减区间.综上所述：当a ＜0或a ＞1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a , a 2)； 当0＜a ＜1时的函数3223211()32y x a a x a x a =-+++的单调减区间为(a 2, a )； 当a = 0，a = 1时，无减区间.（2）解：∵22()()()11bx bx f x f x x x --==-=----， ∴f (x )在定义域上是奇函数. 在这里，只需讨论f (x )在(0, 1)上的单调性即可.当0＜x ＜1时，f ′ (x ) =2222222221(1)21()1(1)(1)x x x x x x b b b x x x '-----'==---=2221(1)x b x +--. 若b ＞0，则有f ′ (x )＜0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递减的； 若b ＜0，则有f ′ (x )＞0，∴函数f (x )在(0, 1)上是单调递增的.由于奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，从而有如下结论： 当b ＞0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递减的；当b ＜0时，函数f (x )在(–1, 1)上是单调递增的.（3）解：由已知得函数f (x )的定义域为 (–1, +∞)，且1()1ax f x x -'=+(a ≥–1). （1）当–1≤a ≤0时，f ′ (x )＜0，函f (x )在(–1, +∞)上单调递减.（2）当a ＞0时，由f ′ (x ) = 0，解得1x a =. f ′ (x )、f (x )随x 的变化情况如下表：从上表可知，当x ∈1(1,)a -时，f ′ (x )＜0，函数f (x )在1(1,)a-上单调递减. 当x ∈1(,)a +∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )在1(,)a +∞上单调递增. 综上所述，当–1≤a ≤0时，函数f (x )在(–1, +∞)上单调递减；当a ＞0时，函数f (x )在1(1,)a -上单调递减，函数f (x )在1(,)a+∞上单调递增.作业：《习案》作业八。
1.3 1函数单调性与导数 导学案 (教师版)
§1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数内容要求 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间.知识点1函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0【预习评价】思考在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？提示必要不充分条件.知识点2利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.【预习评价】函数f(x)＝13－x2－3x＋2的单调增区间是________.3x解析 f ′(x )＝x 2－2x －3，令f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞3，故f (x )的单调增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞). 答案 (－∞，－1)，(3，＋∞)题型一 利用导数判断(或证明)函数的单调性【例1】 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，∴x cos x －sin x <0， ∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减.规律方法 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).【训练1】 证明：函数f (x )＝ln xx 在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln xx ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1. ∴f ′(x )＝1－ln xx 2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1； (2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)； (3)f (x )＝3x 2－2ln x ； (4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.由f ′(x )＞0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2； 由f ′(x )＜0解得－3<x <2.故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2). (2)f ′(x )＝cos x －1.因为0<x <π，所以cos x －1＜0恒成立， 故函数f (x )的单调递减区间为(0，π). (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x . 令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0， 解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0， 解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33.∴f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33).(4)f′(x)＝3x2－3t.令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t，∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)；当t>0时，由x2＞t解得x＞t或x＜－t；由f′(x)＜0解得－t＜x＜t，函数f(x)的增区间是(－∞，－t)和(t，＋∞)，减区间是(－t，t).综上，当t≤0时，f(x)的增区间是(－∞，＋∞)；当t＞0时，f(x)的增区间是(－∞，－t)，(t，＋∞)，减区间是(－t，t).规律方法求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f(x)的定义域；(2)计算导数f′(x)；(3)解f′(x)>0和f′(x)<0；(4)定义域内满足f′(x)>0的区间为增区间，定义域内满足f′(x)<0的区间为减区间.【训练2】求函数f(x)＝x3＋3x的单调区间.解方法一函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2－1x2.由f′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1.由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，且x≠0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－1，0)，(0，1).方法二函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).f′(x)＝3x2－3x2＝3(x2－1x2)；令f′(x)＝0，得x＝±1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1，0) (0，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋0 －－0 ＋ f (x ) 单调递增Z －4单调递减] 单调递减]4单调递增Z0)，(0，1).方向1 已知函数的单调性求参数的取值范围【例3－1】 已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R ).若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围.解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax 2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax 2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立. ∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立. ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x 2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围是(－∞，16].方向2利用函数的单调性证明不等式【例3－2】已知a，b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底，求证：a b＞b a.证明当b＞a＞e时，要证a b＞b a，只要证b ln a＞a ln b，即只要证ln aa＞ln bb.构造函数y＝ln xx(x＞0)，则y′＝1－ln xx2.因为当x＞e时，y′＝1－ln xx2＜0，所以函数y＝ln xx在(e，＋∞)内是减函数.又因为b＞a＞e，所以ln aa ＞ln bb.故a b＞b a.规律方法(1)已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f(x)在区间I上单调递增(或减)，转化为不等式f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间I上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围.(2)“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.【训练3】若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，求实数m的取值范围.解f′(x)＝3x2＋2x＋m.因为f(x)是R上的单调函数，所以f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.因为二次项系数3＞0，所以只能有f′(x)≥0恒成立.因此Δ＝4－12m≤0，故m≥13.当m ＝13时，使f ′(x )＝0的点只有一个x ＝－13，也符合题意.故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.课堂达标1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，6)上是( ) A.增函数 B.减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数解析 ∵f ′(x )＝1＋1x >0， ∴函数在(0，6)上单调递增. 答案 A2.f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数.观察选项易知D 正确. 答案 D3.若函数f (x )＝x 3－ax 2－x ＋6在(0，1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.a ＝1C.(－∞，1]D.(0，1)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－2ax －1，又f (x )在(0，1)内单调递减，∴不等式3x 2－2ax －1≤0在(0，1)内恒成立，∴f ′(0)≤0，且f ′(1)≤0，∴a ≥1. 答案 A4.函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______. 解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2；令y ′<0，得x <2， 所以y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为(2，＋∞)，减区间为(－∞，2). 答案 (2，＋∞) (－∞，2)5.若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1x －ax －2＝－ax 2＋2x －1x.因为函数f (x )存在单调递减区间，所以f ′(x )≤0有解.又因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内有解. ①当a ＞0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向上的抛物线，ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解；②当a ＜0时，y ＝ax 2＋2x －1为开口向下的抛物线， 若ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)内恒有解，则⎩⎨⎧Δ＝4＋4a ≥0，x ＝－1a ＞0，解得－1≤a ＜0， 而当a ＝－1时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1x ＝（x －1）2x ≥0，不符合题意，故－1＜a ＜0；③当a ＝0时，显然符合题意.综上所述，a 的取值范围是(－1，＋∞). 答案 (－1，＋∞)课堂小结1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度.2.利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.基础过关1.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4)D.(2，＋∞)解析 f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )＞0，即(x －2)e x ＞0，解得x ＞2，故选D. 答案 D2.y ＝x ln x 在(0，5)内的单调性是( ) A.单调递增 B.单调递减C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递减解析 函数的定义域为(0，＋∞).y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e ；令y ′＜0，得0＜x ＜1e .所以函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5内单调递增.答案 C3.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A.增函数 B.减函数 C.常数D.既不是增函数也不是减函数解析 求函数的导函数f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，导函数对应方程f ′(x )＝0的Δ＝4(a 2－3b )<0，所以f ′(x )>0恒成立，故f (x )是增函数. 答案 A4.函数y ＝f (x )在其定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________.解析 函数y ＝f (x )为减函数的区间，反映在图象上图象是下降的. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1∪[2，3)5.当x >0时，f (x )＝x ＋2x 的单调递减区间是________.解析 f ′(x )＝1－2x 2＝x 2－2x 2＝（x －2）（x ＋2）x 2.由f ′(x )<0且x >0得0<x < 2. 答案 (0，2)6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0，2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0. (1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)求函数y ＝f (x )的单调区间.解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0，2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0，解得b ＝c ＝－3. 故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2).7.已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t ).若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1，1)上是增函数，求t 的取值范围.解 由题意得f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，则f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上f ′(x )≥0恒成立.即t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立.令函数g (x )＝3x 2－2x ，由于g (x )的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故t ≥3x 2－2x 在区间(－1，1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.故t的取值范围是[5，＋∞).能力提升8.已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)＜0，则g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内的单调情况一定是()A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.先减后增解析因为函数f(x)在定义域R上为增函数，所以f′(x)≥0.又因为g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，g′(x)＞0恒成立，所以g(x)＝x2f(x)在(－∞，0)内单调递增.答案 B9.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，选项中的四个图象中能大致表示y＝f(x)的图象的是()解析由题图可知，当x＜－1时，xf′(x)＜0，所以f′(x)＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的；当－1＜x ＜0时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当0＜x ＜1时，xf ′(x )＜0，所以f ′(x )＜0，此时原函数为减函数，图象应是下降的；当x ＞1时，xf ′(x )＞0，所以f ′(x )＞0，此时原函数为增函数，图象应是上升的.由上述分析可知选C.答案 C10.若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是________.解析 由于f ′(x )＝k －1x，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，故f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立.由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，故k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞).答案 [1，＋∞)11. 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ＝3x 2≥0且f ′(x )不恒为0，所以f (x )为单调递增函数．又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－2x ＋e x －1e x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由f (a －1)＋f (2a 2)≤0得，f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 12.已知函数f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，试求f (x )的单调区间.解 由f (x )＝ln x －f ′(1)x ＋1－ln 2，x ∈(0，＋∞)，得f ′(x )＝1x －f ′(1).令x ＝1，则f ′(1)＝1－f ′(1)，∴f ′(1)＝12，f ′(x )＝1x －12.由f ′(x )＞0，即1x －12＞0，得0＜x ＜2；由f ′(x )＜0，即1x －12＜0，得x ＞2.故f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，＋∞).创新突破13.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋1，a ∈R .(1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－13内是减函数，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，Δ＝4(a 2－3).当Δ＞0，即a ＞3或a ＜－3时，令f ′(x )＞0，即3x 2＋2ax ＋1＞0，解得x ＞－a ＋a 2－33或x ＜－a －a 2－33；令f ′(x )＜0，即3x 2＋2ax ＋1＜0， 解得－a －a 2－33＜x ＜－a ＋a 2－33. 故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a －a 2－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋a 2－33，＋∞； 单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33. 当Δ＜0，即－3＜a ＜3时，对所有的x ∈R 都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.当Δ＝0，即a ＝±3时，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，且对所有的x ≠－a 3都有f ′(x )＞0，故f (x )在R 上单调递增.(2)由(1)，知只有当a ＞3或a ＜－3时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －a 2－33，－a ＋a 2－33内是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －a 2－33≤－23，－a ＋a 2－33≥－13.解得a ≥2.故a 的取值范围是[2，＋∞).。
1.3.1 单调性(导数)
问题: 的单调性. 问题 讨论函数 y = x2 - 4x＋3的单调性 ＋ 的单调性
1. 图像法 图像法: y
递增区间: 递增区间 (２,+∞) 递减区间:(-∞,２ 递减区间:(-∞,２) :(
0
2
x
回顾2. 用定义证明单调性的步骤： 回顾 用定义证明单调性的步骤： (1) 设值 设x1 ∈ I ,x2 ∈ I，且x1< x2 ; 设值: ， (2) 作差 f(x1)－f(x2)，并变形 ; 作差: － ， (3) 判断: 差的符号(与０比较) ; 判断 差的符号 与 比较 (4) 结论 函数的单调性 . 结论:
o
(A)
y
(B)
y
y = f ( x)
2 1 x o
y = f ( x)
1 2 x
o
(C)
(D)
练习: 当 > 0 ,试 x > ln(1 + x)成 . 练习: x 时 证 立
证 设f ( x ) = x − ln(1 + x ),
x . 则 f ′( x ) = 1+ x
x Q x > 0， ∴ > 0 , 即 f ′( x ) > 0 , 1+ x
问题: 问题 用定义讨论函数单调性虽然 可行，但比较麻烦.如果函数 可行，但比较麻烦 如果函数 图象也不方便作出来时. 图象也不方便作出来时 是否有更简捷的方法呢? 是否有更简捷的方法呢 问题2: 函数y=x2 - 4x+3的单调性与导数 问题 函数 的单调性与 有什么关系? 有什么关系
观察函数y=x2-4x+3的图象上的点的切线 的图象上的点的切线: 观察函数 的图象上的点的切线
O
1.3.1函数单调性与导数(第一课时)
0
. . . . . ..
2
x
分析: 该函数在区间 （－∞，2）上切线斜 率小于0,即其导数为 负,这时函数在（－∞， 2）上单调递减； 在区间（2，+∞） 上切线斜率大于0,即 其导数为正，这时函 数在（2，+∞）上单 调递增。 而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0.
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
f ( x)为增函数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0, 即 0 x1 x2 x f ( x)为减函数时，有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0单调性密 切相关
再观察函数y=x2－4x＋3的图象： y
江苏省靖江高级中学
祁海波
一、知识回顾：
1.单调性的定义 一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果 对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变 量 x 1 ， x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数． 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是减函数．
2
( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数
图象法
y x3 2 x2 x ?
2 y x 比如：判断函数 的单调性。 图象法 y 如图：
y x2
减 函数， 函数在 ( , 0) 上为____ 增 函数。 在 (0, ) 上为____
o
x
发现问题：用单调性定义讨论 函数单调性虽然可行，但十分麻 烦，尤其是在不知道函数图象时 . 例如 y=x 3 +2x 2 -x. 是否有更为简捷 的方法呢？下面我们考察单调性 与导数有什么关系?
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
授课
班级
高二
编写教师
卢栌
学科
数学
课型
新课
课题
函数的单调性与导数（第一课时）
授课
方法
启发和探究教学相结合
现代化教学辅助手段
多媒体课件
教学目的要求
1、知识与技能目标：
能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；
能由导数信息绘制函数大致图象。
2、过程与方法目标：
通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。
一、基础训练：
2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间。(1) f (x)＝x3＋3x(2)f (x)＝x2－2x－3
(3) f(x)＝sinx－x x∈(0，π)
(4)f(x)＝ex－x
归纳：
什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？
四、走近高考
1、已知对任意实数x，有f(－x)=－f(x)，g(－x)＝g(x)
且x＞0时，f/(x)＞0，g/(x)＞0则x＜0时（）
A、f/(x)＞0，g/(x)＞0B、f/(x)＞0，g/(x)＜0C、f/(x)＜0，g/(x)＞0D、f/(x)＜0，g/(x)＜0
(2007高考福建卷)
2、如果函数y＝f（x）的图像如右图，那么导函数y＝f/(x)的图像可能是（）（2008福建高考试题）
当1<x<4时，f/(x)>0;
当x>4,或x<1时，f/(x)<0;
当x=4,或x=1时，f/(x)=0.试画出函数f(x)图象的大致形状。
（让学生自己先作图，再总结）
例2：确定函数f(x)=2x3＋3x2－24x－1在哪个区间是减函数？
在哪个区间上是增函数？ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
总结：利用导数讨论函数单调的步骤：
练一练：
3、情感、态度与价值观目标：
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，
引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点难点
重点：
探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
难点：
利用导数信息绘制函数的大致图象。
学习过程
（一）复习引入
问题1：（让学生思考）求下列函数的单调区间？
(1)f (x) = x2－4x－5
(2)f (x) = 2x3+3x2－24x+1
问题2：某点处导数的几何意义？
（二）讨论研究
函数的单调性与其导函数的正负关系：
注意：
①应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个子区间。
②如果在某个区间内恒有f/(x)＝0,则f(x)为函数.
（三）演练反馈：
例1、已知导函数f/(x)的下列信息：
（四）总结反思――提高认识
1、通过这堂课的研究，你明确了?2、你的收获与感受是?
（五）布置作业――自主探究
习题1.3A组 第1大题（3）（4）第2大题（2）（4）