指派问题1
第六章_指派问题资料
Solution:
1 当分配第 i 人完成第 j 项任务
设 xij 0 否则
i, j 1, 2, , n
§2 指派问题
显然，这是一个 0-1
任务 人员
E
J
G R ai
规划问题， 也是一个 A 2 15 13 4 1
特殊的运输问题 .
B 10 4 14 15 1
所以,分配问题可用
C 9 14 16 13 1
在第一节的人员工作安排问题中，分配工作时， 只考虑人员有工作做 . 但事实上，由于工作的性质和 个人的特长不同，在完成不同的任务时，其效益是不 同的（成本、时间、利润、费用 etc.）.
设有 n 个人员去完成 n 项任务，第 i 人完成第 j 项
任务的效益为 cij 0 ，要求每人完成且仅完成一项，
可用图和矩阵给出它的数学模型及求解方法 .
§1 最大基数匹配问题 Graph Vertex Edge
Definition 4.1 设图 G = ( V，E )
15、、如如果果 MM是一E匹，配且，对而对 ei ,eejj，GM,与M ee无i j 不e j是 G
公的共匹顶 配点 ，， 则则 称称M边是子G集的M一是个极G大的匹一配个匹. 配；
列在 Y-T 中，这与 N(S) T 矛盾. 显然 M C .
而 M B ， 所以 B 是最小覆盖 .
证毕
§2 指派问题
1 0 0 0
显然，Ex . 2 的可行解可 用一个 0-1 矩阵表示 .
(
xij
)
0 0
0 1
0 0
1
0
表示： A E, B R, C J, D G.
0
0
cij
运筹学__指派问题
•下面要证明M m. 如图假定覆盖所有0元素的m条直线 有r行、c列，m=r+c.
所有r行上不在j1，…，jc列上的0元 素个数≥ r，这些0元素至少有r个位
于不同列
同理：所有c列上不在i1，…，ir行上
j1 j2
的0元素个数≥c ，且这些0元素至
少有c个位于不同
i1 i2
ir jc
若上述两部分0个数总和为S，则S≥m；其中有m 个，又它们必无重复元素，彼此独立，则SM,故 有m≤M， 故可得M=m.
覆盖所有“0”元素的最少直线数 = 独立的“0”元素 的最多个数
推论1：覆盖所有“0”元素的直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的最多个数（m）
推论2：覆盖所有“0”元素的最少直线数≥ 不同行不同列的“0”元素的个数
定理2说明： 1. 只要表中含有不同行或不同列的“0”元素，
都可以通过直线覆盖的方式来找到它们 2. 当覆盖直线的最少条数达到m条时，
（二）算法的基本原理 匈牙利数学家狄·康尼格(D·Konig)证明的两个定理
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj，
一、指派问题的数学模型
（一）举例
例7： 有一份中文说明书， 要分别译成英、日、德、俄四种文字， 分别记作E 、 J 、 G 、 R ,交与甲、乙、丙、丁 四个人去完成. 因个人专长不同， 他们完成翻译不同语种的说明书所需的时间(h)如表所示. 应如何指派，使四个人分别完成这四项任务总时间为最小？
任务 人员
将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小值。 ❖ 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。
指派问题
2 15 13
(cij)= 10 4 14
4
15 13
2
4 9 7 0 13 11 6 0 0 5 1 10 7 4 4 2 11 4 2 2
9 14 16
7
8 11
9
0 13 6 0 0 5
7 6 3
0 9 2
0
0
1
0
0
第二步：进行试分配，以寻找最优解。
从只有一个0元素的行（或列）开始， 给这个0元素加圈，记，然后划去所 在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。 给只有一个0元素的列（或行）的0元素 加圈，记，然后划去所在的行（或列） 的其他0元素，记作Ø。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n) xij 0或1 (i=1,2…..m; j=1,2……n)
xij =1 (j=1,2……n)表示
第j 项任务只能由一人去完成。
xij =1 (i=1,2……n)
指派问题 (Assignment Problem)
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同的任 务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由于任务的性 质和各人的专长不同，因此各人去完成不同的任务的 效率（或花费的时间或费用）也就不同。于是产生了 一个问题，应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高? （一）、指派问题的数学模型 设n 个人被分配去做n 件工作，规定每个人只做一 件工作，每件工作只有一个人去做。已知第I 个人去 做第j 件工作的的效率（ 时间或费用）为 Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应如何分配才 能使总效率（ 时间或费用）最高？
CASE02-(指派问题案例答案1)
a)Assign one scientist to each of the five projects to maximize the total number of bid points.To maximize the scientists preferences you want to assign Dr. Tsai to lead project Up,Dr. Kvaal to lead project Stable, Dr. Zuner to lead project Choice, Dr. Mickey to leadproject Hope, and Dr. Rollins to lead project Release.b) Dr. Rollins is not available, so his “Supply” in cell I14 is reduced to zero. Since nowmust allow a project to not be done, the constraints in rows 15 to 17 becomeTotalAssigne d(B15:F15) ≤ Demand(B17:F17) rather than =.Project Up would not be done.c) Since Dr. Zooner or Dr. Mickey can lead two projects, their “Supply” in column I ischanged to 2 and the corresponding constraint changed to ≤ (in order to allow them to do either one or two projects).Dr. Kvaal leads project Stable, Dr. Zuner leads project Choice, Dr. Tsai leads project Release, and Dr. Mickey leads the projects Hope and Up.d) Under the new bids of Dr. Zuner the assignment does not change:e) Certainly Dr. Zuner could be disappointed that she is not assigned to project Stable,especially when she expressed a higher preference for that project than the scientist assigned. The optimal solution maximizes the preferences overall, but individual scientists may be disappointed. We should therefore make sure to communicate the reasoning behind the assignments to the scientists.f) Whenever a scientist cannot lead a particular project we constrain the correspondingchanging cell (E10, F10, C13, E13, and B14) to equal 0.Dr. Kvaal leads project Stable, Dr. Zuner leads project Choice, Dr. Tsai leads project Release, Dr. Mickey leads project Up, and Dr. Rollins leads project Hope.g) When we want to assign two assignees to the same task we need to duplicate that task.Project Up is led by Dr. Mickey, Stable by Dr. Kvaal, Choice by Dr. Zuner, Hope by Dr. Arriaga and Dr. Santos, and Release by Dr. Tsai and Dr. Rollins.h) No. Maximizing overall preferences does not maximize individual preferences.Scientists who do not get their first choice may become resentful and therefore lack the motivation to lead their assigned project. For example, in the optimal solution of part(g), Dr. Santos clearly elected project Release as his first choice, but he was assigned tolead project Hope.In addition, maximizing preferences ignores other considerations that should befactored into the assignment decision. For example, the scientist with the highestpreference for a project may not be the scientist most qualified to lead the project.。
第4章整数规划——指派问题
13 11 2 0 10 11 57 4 4 2 13 7 0 0 6 9 5 32 0 0
0 0 X 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
故可得到指派问题的最优解X，这样 安排能使总的维修时间最少，维修时间为 z=4＋4＋9＋11=28（小时）。
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
4 指派问题
0 , 不 指 派 第 i小 组 维 修 第 j台 机 床 x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ) 1, 指 派 第 i 小 组 维 修 第 j 台 机 床 机车 该问题的数学模型为： 1 2 3 4 4 小组 min z cij xij i 1 j 1 1 x11 x12 x13 2 x11 15 x12 2 x21 x22 x23 任务约束 4 x 1, j 1, 2 , 3 , 4 3 x31 x32 x33 ij i 1 4 x41 x42 x43 人员约束 4 x ij 1, i 1, 2 , 3, 4 j 1 x ij 0 或 1 i , j 1 , 2 , 3 , 4
指派问题(含非标准指派问题)
第五章整数规划§1整数规划的数学模型及特点要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。
其模型为：Max(或min)z=nj jj x c 1s.tnj nj i ijij x x x njx m i b x a ,,,2,10,2,1),(211若要求决策变量只能取值0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。
§5 指派问题一．指派问题的标准形式及数学模型在现实生活中，有各种性质的指派问题。
例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。
诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。
由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的标准形式。
指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有n 个人和n 件事，已知第i 个人作第j 件事的费用为),2,1,(n ji c ij ，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，是完成这n件事的总费用最少。
为了建立标准指派问题的数学模型，引入2n 个0-1变量：10ijx 这样，问题的数学模型可写成ni nj ijij x c z11min （5.1）s.tnji x n i x n j x ijnj ij ni ij,2,1,1,0,2,11,2,1111（5.3）其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做，（5.2）表示每个人必做且只做一件事。
注：○1指派问题是产量（i a ）、销量（j b ）相等，且i a =j b =1，i ，j=1,2,,n 的运输中部分或全部取整数若指派第i 人作第j 件事若不指派第i 人作第j 事i ，j=1,2,,n（5.2）（5.4）问题。
○2有时也称ij c 为第i 个人完成第j 件工作所需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）。
并称矩阵C=n n ij c )(=nnn n n n c c c c c c c c c 212222111211（5.5）为效率矩阵（或价值系数矩阵）。
管理优化之指派问题
9
5
15
7
用匈牙利法求解：
10 3 22 5
C
＝
0
8 17 0
13 12 16 5
9
5
15
7
7 0 19 2
C
＝
0
8 17
0
8 7 11 0
4
0 10
2
7 0 9 2
C
＝
0
8
7 ×0
8 7 1 0
4
×0
0
2
0 1 0 0
最优解：
X＝
1
0
0 0
0 0
0
1
0
0
1
0
88
数学模型如下：
m inZ85x1192x1273x1390x1495x2187x22
78x2395x2482x3183x3279x3390x34
86x4190x4280x4388x44
x11 x12 x13 x14 1
x21 x22 x23 x24 1
工作 A
B
C
D
x31 x32 x33 x34 1
位置
一
二
三
四
机器
A
13
10
12
11
B
15
--
13
20
C
5
7
10
6
解：1）在（B，二）处添上一个很大的数M，以排除机器B安 装在二号位置的可能。
2）在第四行虚设一行。
13 10 12 11
C ＝ 1 5
M
13
2
0
5 7 10 6
0
0
0
0
指派问题1
匈牙利指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这些 任务，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等情 况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎 样把 n 项任务指派给 n 个人，使得完成 n 项任务的 总的效率最高，这就是指派问题。也是一个简单的0—1 整数规划。即：
i 1 这个人做第 件事 xi 0 这个人不做第i件事
(1) 从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎ 。然 后划去◎ 所在列(行)的其它0元素，记作Ø ；这表示这列所代表的任务 已指派完，不必再考虑别人了。 (2) 给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ． (3) 反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为 止。
第三步：做最少直线覆盖所有0元素
2 1 ◎ 0 2 2
5
◎ 0
5 3 4 2 3 Ø 0 ◎ 0 3
√
加2
3 3 ◎ 0 0 Ø 6 2 5 2 0 Ø 3
√ 减2
第四步，变换矩阵(bij)
以增加0元素：没有被 直线覆盖的所有元素中
的最小元素为2，然后
√ 减2 打√各行都减去2；打 √各列都加上2，得如 下矩阵，并转第二步进 行试指派：
Global optimal solution found. Objective value: Extended solver steps: Total solver iterations: Variable X11 X12 X13 X14 X15 X21 X22 X23 X24 X25 X31 X32 X33 X34 X35 X41 X42 X43 X44 X45 X51 X52 X53 X54 X55 Row 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
指派问题详解
第一章绪论1、指派问题的背景及意义指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的一件事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作的效率（如熟练程度等），怎样安排会使总效率达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值.虽然指派问题可以用0-1规划问题来解，设X(I,J)是0-1变量, 用X(I,J)=1表示第I个人做第J件事, X(I,J)=0表示第I个人不做第J件事. 设非负矩阵C（I，J）表示第I个人做第J件事的费用，则问题可以写成LINGO程序SETS:PERSON/1..N/;WORK/1..N/;WEIGHT(PERSON, WORK): C, X ;ENDSETSDATA:W=…ENDDATAMIN=@ SUM(WEIGHT: C*X);@FOR(PERSON(I): @SUM(WORK(J):X(I,J))=1);@FOR(WORK(J): @SUM(PERSONM(I):X(I,J))=1);@FOR(WEIGHT: @BIN(X));其中2*N个约束条件是线性相关的, 可以去掉任意一个而得到线性无关条件.但是由于有N^2个0-1变量, 当N很大时，用完全枚举法解题几乎是不可能的. 而已有的0-1规划都是用隐枚举法做的，计算量较大. 对于指派问题这种特殊的0-1规划，有一个有效的方法——匈牙利算法，是1955年W. W. Kuhn利用匈牙利数学家D.König的二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小的定理提出的一种算法，这种算法是多项式算法，计算量为O(N3).匈牙利算法的基本原理是基于以下两个定理.定理1设C=(C ij)n×n是指派问题的效益矩阵，若将C中的任一行（或任一列）减去该行（或该列）中的最小元素，得到新的效率矩阵C’，则C’对应的新的指派问题与原指派问题有相同的最优解.证明：设X’是最优解, 即@SUM(WEIGHT: C*X’)<= @SUM(WEIGHT: C*X), 则当C中任一行或任一列减去该行或该列的最小数m时,得到的阵C’还是非负矩阵, 且@SUM(WEIGHT: C’*X’)<=@SUM(WEIGHT: C*X)-m=@SUM(WEIGHT: C’*X)定理2效率矩阵C中独立的0元素的最多个数等于覆盖所有0元素的最少直线数. 当独立零元素的个数等于矩阵的阶数时就得到最优解.3、理论基础定义:图G的一个匹配M是图G中不相交的边的集合. 属于匹配M中的边的所有端点称为被该匹配M饱和, 其他的顶点称为M-未饱和的. 如果一个匹配M 饱和了图G的所有顶点，则称该匹配M是一个完全匹配. 可见顶点数是奇数的图没有完全匹配. 一个匹配M称为是极大匹配, 如果它不能再扩张成更大的一个匹配. 一个匹配称为是最大匹配, 如果不存在比它更大的匹配.定义:对于一个匹配M, 图G的一个M-交替路是图G中的边交替地在M中及不在M中的边组成. 从M-未饱和点出发到M-为饱和点结束的M-交替路称为一条M-增广路. 把M-增广路中不是M中的边改成新的匹配M’中的边, 把M-增广路中M中的边不作为M’中的边, 在M-增广路以外的M中的边仍作为M’中的边, 则M’的大小比M大1. 故名M-增广路. 因此最大匹配M不存在M-增广路.定义:若图G和图H有相同的顶点集V, 我们称G和H的对称差,记为G∆H,是一个以V为顶点集的图, 但其边集是G和H的边集的对称差: E(G∆H)=E(G) ∆E(H)=E(G)⋂E(H)-(E(G)⋃E(H))=(E(G)-E(H)) ⋂ (E(H)-E(G))定理: (Berge, 1957) 图G的一个匹配M是最大匹配,当且仅当G中没有M-增广路.证明: 我们只要证明, G中没有M-增广路时, M是最大匹配. 用反证法, 若有一个比M大的匹配M’. 令G的一个子图F, E(F)=M∆M’, 因M和M’都是匹配, F的顶点的最大度数至多是2, 从而F由不相交的路和环组成, 它们的边交替地来自M和M’, 于是F中的环的长度是偶数. 由于M’比M大, F中存在一个连通分支,其中M’中的边数大于M中的边数. 这个分支只能是起始和终止的边都在M’中. 而这就是一条G中的M-增广路. 与假设矛盾. 证毕.定理(Hall, 1935)设G是一个二部图, X和Y是其二分集, 则存在匹配M 饱和X当且仅当对于X中的任意子集S, Y 中与S中的点相邻的点组成的集合N(S)中元素的个数大于等于集合S中元素的个数.证明：必要性是显然的. 对于充分性, 假设 |N(S)|≥|S|, ∀S⊂X, 考虑G的一个最大匹配M, 我们用反证法，若M没有饱和X, 我们来找一个集合S不满足假设即可. 设u∈X是一个M-未饱和顶点, 令S⊂X和T⊂Y分别是从u出发的M-交替路上相应的点.我们来证明M中的一些边是T到S-u上的一个匹配. 因为不存在M-增广路，T中的每个点是M-饱和的. 这意味着T中的点通过M中的边到达S中的一个顶点. 另外, S-u中的每个顶点是从T中的一个顶点通过M中的一条边到达的. 因此M 中的这些边建立了T与S-u的一个双射, 即|T|=|S-u|. 这就证明了M中的这些边是T到S-u上的一个匹配，从而意味着T⊂N(S), 实际上, 我们可证明T=N(S). 这是因为连接S和Y-T中的点y的边是不属于M的, 因为不然的话, 就有一条到达y的M-增广路, 与y∉T矛盾. 故|N(S)|=|T|=|S-u|=|S|-1<|S|, 与假设矛盾.当X与Y的集合的大小相同时的Hall定理称为婚姻问题,是由Frobenius(1917)证明的.推论: k-正则的二部图（X的每一点和Y的每一点相关联的二部图）(k>0)存在完全匹配.证明: 设二分集是X,Y. 分别计算端点在X和端点在Y的边的个数, 得k|X|=k|Y|, 即|X|=|Y|.因此只要证明Hall的条件成立即可. 使X饱和的匹配就是完全匹配. 考虑∀S⊂X, 设连接S与N(S)有m条边, 由G的正则性, m=k|S|. 因这m条边是与N(S)相关联的, m≤k|N(S)|, 即k|S|≤ k|N(S)|, 即|N(S)|≥|S|. 这就是Hall的条件.用求M-增广路的方法来得到最大匹配是很费时的. 我们来给出一个对偶最优化问题.定义:图G的一个顶点覆盖是集合S⊂V(G), 使得G的每条边至少有一个端点在S中. 我们称S中的一个顶点覆盖一些边, 若这个顶点是这些边的公共端点.因为匹配的任意两条边不能被同一个顶点覆盖, 所以顶点覆盖的大小不小于匹配的大小: |S|≥|M|. 所以当|S|=|M| 时就同时得到了最大的匹配和最小的顶点覆盖.定理(König [1931],Egerváry[1931])二部图G的最大匹配的大小等于G的最小顶点覆盖的大小.证明: 设M是G的任一个匹配, 对应的二分集是X,Y. 设U是一个最小的顶点覆盖, 则|U|≥|M|, 我们只要由顶点覆盖U来构造一个大小等于|U|的匹配即完成证明. 令R=U⋃X, T=U⋃Y, 令H, H’分别是由顶点集R⋂(Y-T)及T⋂(X-R)诱导的G的子图. 我们应用Hall的定理来证明H有一个R到Y-T中的完全匹配，H’有一个从T到X-R中的完全匹配. 再因这两个子图是不相交的, 这两个匹配合起来就是G中的一个大小为|U|的匹配.因为R⋂T是G的一个覆盖, Y-T与X-R之间没有边相联接. 假设S⊂R, 考虑在H中S的邻接顶点集N(S), N(S) ⊂Y-T. 如果|N(S)|<|S|, 因为N(S)覆盖了不被T覆盖的与S相关联所有边, 我们可以把N(S) 代替S作为U中的顶点覆盖而得到一个更小的顶点覆盖. U的最小性意味着H中Hall条件成立. 对H'作类似的讨论得到余下的匹配. 证毕.最大匹配的增广路算法输入: 一个二分集为X，Y的二部图G，一个G中的匹配M， X中的M-未饱和顶点的集合U.思路: 从U出发探求M-交替路，令S⊂X，T⊂Y为这些路到达过的顶点集. 标记S中不能再扩张的顶点. 对于每个x∈(S⋂T)-U, 记录在M-增广路上位于x前的点.初始化: S=U,T=∅.叠代: 若S中没有未标记过的顶点, 结束并报告T⋂(X-S)是最小顶点覆盖而M是最大匹配.不然, 选取S中未标记的点x, 考虑每个y∈N(x)且xy∉M, 若y是M-未饱和的, 则得到一个更大的匹配，它是把xy加入原来的匹配M得到的,将x从S中去除. 不然, y是由M中的一条边wy相连接的, w∈X, 把y加入T(也有可能y本来就在T中), 把w加入S. w未标记, 记录w前的点是y. 对所有关联到x的边进行这样的探索后, 标记x. 再次叠代.定理: 增广路算法可以得到一个相同大小的匹配和顶点覆盖.证明: 考虑这个算法终止的情况, 即标记了S中所有的点. 我们要证明R=T⋂(X-S)是大小为|M|的一个顶点覆盖.从U出发的M-交替路只能通过M中的边进入X中的顶点, 所以S-U中的每个顶点通过M与T中的顶点匹配, 并且没有M中的边连接S和Y-T. 一旦一条M-交替路到达x∈S, 可以继续沿着任何未饱和的边进入T, 由于算法是对于x的所有邻域顶点进行探索才终止的,所以从S 到Y-T 没有未饱和边. 从而S 到Y-T 没有边, 证明了R 是一个顶点覆盖.因为算法是找不到M-增广路时终止, T 的每一个顶点是饱和的. 这意味着每个顶点y ∈T 是通过M 匹配与S 中的一个顶点. 由于U ⊂S, X-S 的每个顶点是饱和的, 故M 中与X-S 相关联的边不和T 中的点相连接. 即它们与是饱和T 的边不同的, 这样我们可见M 至少有|T|+|X-S|条边. 因不存在一个比顶点覆盖更大的匹配， 所以有|M|=|T|+|X-S|=|R|.设二部图G 的二分集X 和Y 都是n 个元素的点集, 在其边j i y x 上带有非负的权ij w , 对于G 的一个匹配M, M 上各边的权和记作w(M).定义: 一个n ×n 矩阵A 的一个横截(transversal)是A 中的n 个位置, 使得在每行每列中有且只有一个位置（有的文献中把横截化为独立零元素的位置来表示）.定义: 指派问题就是给定一个图G=n n K ,(完全二部图, 即每个X 中的顶点和Y 中的每个顶点有边相连接的二部图)的边的权矩阵A, 求A 的一个横截, 使得这个横截上位置的权和最大. 这是最大带权匹配问题的矩阵形式.定义: 对于图G=n n K ,，设其二分集是X ，Y ，给定G 的边j i y x 的n ×n 权矩阵W={ij w }.考虑G 的子图v u G ,, 设其二分集是U ⊂X ，V ⊂Y, 边集是E(v u G ,)， 对于子图v u G ,的带权覆盖u,v 是一组非负实数{i u },{j v },使得ij j i w v u ≥+,)(,v u j i G E y x ∈∀, v u G ,的带权覆盖的费用是∑∑+j i v u 记为C(u,v), 最小带权覆盖问题就是求一个具有最小费用C(u,v)的带权覆盖u,v.引理: 若M ⊂E(v u G ,)是一个带权二部子图v u G ,的最大匹配, 且u, v 是v u G ,的带权覆盖, 则C(u,v)≥w(M). 而且, C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀. 这时M 是v u G ,最大带权匹配, u,v 是v u G ,的最小带权覆盖， 定义这时的v u G ,为G 的相等子图（equality subgraph ）.证明: 因为匹配M 中的边是不相交的, 由带权覆盖的定义就得C(u,v)≥w(M). 而且C(u,v)=w(M)当且仅当ij j i w v u =+，M y x j i ∈∀成立. 因一般地有C(u,v)≥w(M).所以当C(u,v)=w(M)时. 意味着没有一个匹配的权比C(u,v)大, 也没有一个覆盖的费用比w(M)小.Kuhn 得到一个指派问题的算法，命名为匈牙利算法, 为的是将荣耀归于匈牙利数学家König 和Egerv áry.指派问题的匈牙利算法(Kuhn[1955], Munkres[1957]):输入G=n n K ,的边的权矩阵A, 及G 的二分集X,Y.初始化: 任取一个可行的带权覆盖，例如)(max ij ji w u =，0=j v ，建立G 的相等子图v u G ,, 其二分集是X, Y ’⊂Y, 求v u G ,的一个最大匹配M. 这个匹配的权和w(M)=C(u,v), M 的带权覆盖是具有最小费用的.叠代: 如M 是G 的一个完全匹配, 停止叠代, 输出最大带权匹配M. 不然, 令U 是X 中的M-未饱和顶点. 令S ⊂X, T ⊂Y 是从U 中顶点出发的M-交替路到达的顶点的集合.令},:min{T Y y S x w v u j i ij j i -∈∈-+=ε.对于所有的S x i ∈, 将i u 减少ε, 对于所有的T y j ∈,将j v 增加ε,形成新的带权覆盖u ’,v ’及对应的新的相等子图v u G '',.如果这个新的相等子图含有M-增广路, 求它的最大匹配M ’, 不然不改变M 再进行叠代.定理: 匈牙利算法能找到一个最大权匹配和一个最小费用覆盖.证明: 算法由一个覆盖开始，算法的每个叠代产生一个覆盖，仅在相等子图有一个完全的匹配为止。
指派问题——精选推荐
指派问题设有n 项工作需分配给n 个人去做，每人做一项，由于各人的工作效率不同，因而完成同一工作所需时间也就不同，设人员i 完成工作j 所需时间为ij C （称为效率矩阵），问如何分配工作，使完成所有工作所用的总时间最少？这类问题称为指派问题（assignment problem ），也称最优匹配问题，它是一类重要的组合优化问题。
用10-变量ij x 表示分配情况，1=ij x 表示指派第i 个人完成第j 项任务，0=ij x 表示不分配。
则上述问题可以表示为如下10-线性规划：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======∑∑∑∑====10,,2,1,1,,2,1,1..min1111或ij nj ij ni ij n i nj ijij x n i x nj x t s x C z其中第一个约束条件表示每项工作只能指派给一个人做，第二个约束条件表示每个人只能做一项工作。
求解指派问题的常用方法是Kuhn 于1955年给出的算法，称为匈牙利算法。
由于指派问题的模型是比较典型的10-规划线性规划，可以用LINGO 很方便地求解。
例：分配甲、乙、丙、丁、戊去完成A、B、C、D、E五项任务，每人完成一项，每项任务只能由一个人去完成，五个人分别完成各项任务所需时间如下表所示，试作出任务分配使总时间最少。
解：MODEL:SETS:WORKER/W1..W5/;JOB/J1..J5/;LINKS(WORKER,JOB):C,X;ENDSETSDA TA:C=8,6,10,9,12,9,12,7,11,9,7,4,3,5,8,9,5,8,11,8,4,6,7,5,11;ENDDA TAMIN=@SUM(LINKS:C*X);@FOR(WORKER(I):@SUM(JOB(J):X(I,J))=1); @FOR(JOB(J):@SUM(WORKER(I):X(I,J))=1); @FOR(LINKS:@BIN(X));END。
指派问题
13 0 5 1
7 6 3 0
0 9 ( b ij ) 2 0
第二步： 进行试指派，以寻求最优解。为此，按以 下步骤进行。 经第一步变换后，系数矩阵中每行每 列都已有了0元素；但需找出n个独立的0 元素。若能找出，就以这些独立0元素对 应解矩阵(xij)中的元素为1，其余为0， 这就得到最优解。当n较小时，可用观察 法、试探法去找出n个独立0元素。若n较 大时，就必须按一定的步骤去找，常用 的步骤为：
•减数得零—求初始匹配 •圈零划线—查是否最大匹配 •找数调整—求新的最优匹配 运筹学
指派问题的解法
第一步： 使指派问题的系数矩阵经变换，在各行各列中 都出现0元素。 (1) 从系数矩阵每行元素减去该行的最小元素； (2) 再从所得系数矩阵的每列元素中减去该列 的最小元素。 若某行(列)已有0元素，那就不必再减了。
④
7 4 0 11 0
0 3 8 8 4
2 0 3 0 1
0 0 5 0 4
2 0 0 4 3
运筹学
已具有n个独立0元素。这 就得到了最优解，相应的解 矩阵为： 由解矩阵得最优指派方案 甲—B，乙—D，丙—E，丁—C，戊—A
0 0 0 0 1
想想看！
运筹学
指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及 一系列完成任务的被指派者（assignees）， 所需要解决的问题就是要确定出哪一个人 被指派进行哪一项任务，使总的效率最高？
运筹学
指派问题的假设
被指派者的数量和任务的数量是相同的 每一个被指派者只完成一项任务 每一项任务只能由一个被指派者来完成
表1
任 人员 甲 乙 丙 丁 务
《指派问题》课件
指派问题的扩展研究
多目标指派问题
应用场景：生产调度、资源 分配等
解决方法：线性规划、启发 式算法等
定义：指派问题在多个目标 下的扩展
挑战：如何在多个目标之间 找到最优解
动态指派问题
动态指派问题的定 义
动态指派问题的应 用场景
动态指派问题的求 解方法
动态指派问题的优 化策略
大规模指派问题
问题定义：大规模 指派问题是指在给 定一组任务和一组 资源，如何将任务 分配给资源，使得 总成本最小化或总 收益最大化。
混合算法
混合算法的概念： 将多种算法进行 组合，以获得更 好的优化效果
混合算法的优点： 能够充分利用各 种算法的优点， 提高优化效果
混合算法的应用： 在指派问题中， 混合算法可以结 合多种算法，如 遗传算法、模拟 退火算法等，以 提高优化效果
混合算法的挑战： 如何合理选择和 组合各种算法， 以获得最佳的优 化效果
应用场景：大规 模指派问题广泛 应用于物流、供 应链、生产调度 等领域。
研究方法：大规 模指派问题的研 究方法包括启发 式算法、遗传算 法、神经网络等。
挑战与展望：大规 模指派问题的挑战 在于如何设计高效 的算法，以及如何 解决大规模问题中 的优化问题。未来 的研究方向包括分 布式计算、并行计 算等。
禁忌搜索法：在搜索过程中引入禁忌表，避免重复搜索已搜索过的解
元启发式方法
基本概念：元启发式 方法，也称为元启发 式算法，是一种基于 启发式策略的优化方 法。
特点：元启发式方 法具有自适应性、 鲁棒性和易于实现 等特点。
应用：元启发式方法 在指派问题、路径规 划、调度等问题中都 有广泛的应用。
实例：遗传算法、模 拟退火算法、蚁群算 法等都是元启发式方 法的典型代表。
5个人5件事的指派问题
5个人5件事的指派问题引言在许多组织和团队中，分配任务是确保工作高效完成的重要环节。
然而，当面对5个人和5件事的指派问题时，如何合理地分配任务，使每个人都能发挥自己的能力和价值，实现团队的最佳效果，成为一项具有挑战性的任务。
任务一：了解每个人的能力和兴趣在分配任务之前，首先要充分了解每个人的能力和兴趣，这样才能更好地匹配任务与人员。
以下是一个例子，展示了一个团队中的五个人的能力和兴趣：1.张三：擅长组织和协调工作，对项目管理有丰富经验。
2.李四：善于分析和解决问题，对数据分析和研究有浓厚的兴趣。
3.王五：具备良好的沟通能力和人际关系，适合与客户和团队成员进行交流。
4.赵六：技术过硬，精通软件开发和编程。
5.刘七：细致认真，有较强的文案撰写能力和创意思维。
通过了解每个人的能力和兴趣，我们可以更好地确定如何分配任务，充分发挥团队成员的优势。
任务二：确定任务的重要性和紧急性在对团队成员进行能力和兴趣分析的基础上，我们还需要确定每个任务的重要性和紧急性，以便更好地分配任务。
以下是五个任务的重要性和紧急性评估：1.任务A：策划和组织一个团队活动，重要性：高，紧急性：中。
2.任务B：进行市场调研和竞争分析，重要性：中，紧急性：高。
3.任务C：开发一个新的软件功能，重要性：高，紧急性：高。
4.任务D：与客户沟通并解决问题，重要性：中，紧急性：低。
5.任务E：撰写一份详细的项目报告，重要性：低，紧急性：低。
通过明确任务的重要性和紧急性，我们可以更准确地分配任务，确保重要和紧急的任务得到及时和适当地处理。
任务三：根据能力和兴趣分配任务基于每个人的能力和兴趣，我们可以开始着手分配任务。
以下是根据上述能力和兴趣分析进行的任务分配：1.张三被指派为任务A的负责人，因为他擅长组织和协调工作，能够有效地策划和组织活动。
2.李四被指派为任务B的负责人，他的数据分析和研究能力将有助于进行市场调研和竞争分析。
3.赵六被指派为任务C的负责人，他的技术专长将使他成为开发新软件功能的最佳人选。
指派问题
①从只有一个0元素的行（列）的0元素开始，给这 个0元素加圈，记作◎，这表示对这行所代表的人 ，只 有一种任务可分派。然后划去◎所在列（行）的其它0 元素 ，记作，这表示这列所代表的任务已分派完， 不必再考虑别人了。
②给只有一个0元素的列(行)的元素加圈，记作◎； 然后划去◎所在的行的其它0元素，即作。
工作 人员
A1 A2 A3 A4
B1
B2
B3
B4
10
9
8
7
3
4
5
6
2
1
1
2
4
3
5
6
例5人数与事数不等的指派问题
现有4个人，5件工作。每人做每件工作所耗时间如下表：问指派那 个人去完成哪项工作，可是总消耗最小？
工作 工人
A1 A2 A3 A4
B1
B2
B3
B4
B5
10
11
4
2
8
7
11
10
14
12
5
6
9
6 4
9 8 0 0
4
0 6 3 6 5
经行运算即可得每行每列都有 0 元素的系数矩阵，
再按上述步骤运算，得到：
5 0 2 0 2
2 3 0 0
0
0 10 5 7 2
9 8 0 0
4
0 6 3 6 5
所画 0元素少于n，未得到最优解。
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5
数学模型为：
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87x22
78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34
第五讲 指派问题
第五讲 整数线性规划应用之一----指派问题问题1五名游泳运动员的四种泳姿的百米最好成绩（单位：秒）如下表所示。
应从中选哪四个人组成一个4×100米混合接力队？传统指派问题（Ⅰ型指派问题）：ij c :效益（时间、利润、费用等）问题1：如何安排工作，使总效益最大（时间最少、费用最小、利润最大等）？决策变量的选取引入0-1变量⎩⎨⎧=项工作不做第员工，项工作做第员工j i j i x ij 0,1约束条件nj i or x nj xn i xij ni ijnj ij,,2,1,10,,2,1,1,,2,1,111 ======∑∑==目标函数∑∑===n i nj ijij xc z 11优化目标视具体问题而定（max 或 min ）模型⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======∑∑∑∑====n j i or x nj x n i x t s x c z ij n i ij nj ij n i nj ijij ,,2,1,10,,2,1,1,,2,1,1..min 1111问题1 的Excel 求解问题2在一次国际会议上，大会秘书组需要将一份以中文书写的文件尽快翻译成英、俄、日、德、法五种文字的文件，大会秘书组的五位翻译的翻译速度（每分钟将多少汉字译成相应文字）如下表，问应该如何分配翻译任务？如果这份文件包含3000个汉字，问完成这项工作最快需要多长时间？考虑一致完工时间的指派问题（Ⅱ型指派问题）ij c : 时间问题2：如何安排工作，以便在最短的时间内同时完成所有的工作？引入0-1变量⎩⎨⎧=项工作不做第员工，项工作做第员工j i j i x ij 0,1则每个人（或每项工作）的完工时间为∑=nj ij ijx c1，n i ,,2,1 =所以，Ⅱ型指派问题的数学模型为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===≤=====∑∑∑===n j i or x n i y x c n j x n i x t s yz ijnj ij ij ni ij nj ij ,,2,1,10,2,1,,,2,1,1,,2,1,1..min 111问题2的Excel 求解问题3 时间与费用的相互平衡某工程公司的六个施工队需要完成六项工程。
指派问题在高校班级管理中的运用
指派问题在高校班级管理中的运用
高校班级管理中，指派问题是一个非常重要的环节。
指派问题是指将实际工作任务分配给相应的人员，以确保工作的高效进行。
在高校班级管理中，指派问题主要包括以下几个方面的运用。
指派问题在学生工作中的运用。
学生工作是高校班级管理的重要组成部分，通过指派适当的学生工作任务，可以让学生充分发挥自己的才能，培养其各方面的能力。
可以将班级的文艺活动指派给有艺术特长的学生，将班级的体育活动指派给有体育特长的学生，将班级的组织工作指派给有组织能力的学生，以此提高班级的整体素质。
指派问题在学习任务中的运用。
学习任务是高校班级管理的核心内容，通过合理的指派可以提高学生的学习成效。
可以将学习任务指派给不同的学生，让他们充分发挥自己的优势，相互学习和合作，提高学习的效果。
还可以根据学生的学习特点和能力水平，将学习任务分为不同的层次和难度，以促进学生的个性化发展。
指派问题在高校班级管理中具有重要的运用价值。
通过合理的指派可以充分发挥学生和教师的专业能力，提高班级管理和学习效果，促进学生的全面发展。
高校班级管理中应注重指派问题的运用，并结合实际情况合理安排各项工作任务，以达到最佳管理效果。
lingo 指派问题
Lingo 作业题1、指派问题设有n 个人, 计划作n 项工作, 其中ij c 表示第i 个人做第j 项工作的收益,求一种指派方式，使得每个人完成一项工作，使总收益最大.现6个人做6项工作的最优指派问题，其收益矩阵如表所示，请给出合理安排.一、问题分析根据第一题的题意我们可以知道，此题的最终目标是让我们建立一种数学模型来解决这个实际生活中的问题，此题意简而言之就是为了解决6个人做6项工作的指派最优问题，从而使题目中的ij C 收益等达到所需要的目的。
在题目中曾提到：每个人完成一项工作。
其意思就是每人只能做一项工作且每项工作只能做一人做。
二、符号说明此题属于最优指派问题，引入如下变量：题目中说：ij C 表示第i 个人做第j 项工作的收益。
例如56C 则表示第5个人做第6项工作。
即6611max ij ij i j z xy c ===∑∑s.t.：611ij i C==∑ ，j=1,2,3，···，6611ij j C==∑ ，i=1,2,3，···，6 01ij C =或 ，i,j=1,2,3，···，6此题需要求出最大值最优（最大值），即需要使用max ，表示最大。
在编程过程中“@bin （x ）”是“限制x 为0或1”。
三、建立模型此题属于最优指派问题，与常见的线性问题极为类似。
因此，使用Lingo软件。
由于“每人只能做一项工作且每项工作只能做一人做”故采用0-1规划求得优。
四、模型求解（一）常规程序求解Lingo输入框：max=20*c11+15*c12+16*c13+5*c14+4*c15+7*c16+17*c21+15*c22+33*c23+12*c24+8*c25+6*c26+9*c31+12*c32+18*c33+16*c34+30*c35+13*c36+12*c41+8*c42+11*c43+27*c44+19*c45+14*c46+0*c51+7*c52+10*c53+21*c54+10*c55+32*c56+0*c61+0*c62+0*c63+6*c64+11*c65+13*c66;c11+c12+c13+c14+c15+c16=1;c21+c22+c23+c24+c25+c26=1;c31+c32+c33+c34+c35+c36=1;c41+c42+c43+c44+c45+c46=1;c51+c52+c53+c54+c55+c56=1;c61+c62+c63+c64+c65+c66=1;c11+c21+c31+c41+c51+c61=1;c12+c22+c32+c42+c52+c62=1;c13+c23+c33+c43+c53+c63=1;c14+c24+c34+c44+c54+c64=1;c15+c25+c35+c45+c55+c65=1;c16+c26+c36+c46+c56+c66=1;@bin(c11);@bin(c12);@bin(c13);@bin(c14);@bin(c15);@bin(c16);@bin(c21);@bin(c22);@bin(c23);@bin(c24);@bin(c25);@bin(c26);@bin(c31);@bin(c32);@bin(c33);@bin(c34);@bin(c35);@bin(c36);@bin(c41);@bin(c42);@bin(c43);@bin(c44);@bin(c45);@bin(c46);@bin(c51);@bin(c52);@bin(c53);@bin(c54);@bin(c55);@bin(c56);@bin(c61);@bin(c62);@bin(c63);@bin(c64);@bin(c65);@bin(c66);Lingo输出（结果）框：Global optimal solution found.Objective value: 142.0000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostC11 1.000000 -20.00000C12 0.000000 -15.00000C13 0.000000 -16.00000C14 0.000000 -5.000000C15 0.000000 -4.000000C21 0.000000 -17.00000 C22 0.000000 -15.00000 C23 1.000000 -33.00000 C24 0.000000 -12.00000 C25 0.000000 -8.000000 C26 0.000000 -6.000000 C31 0.000000 -9.000000 C32 0.000000 -12.00000 C33 0.000000 -18.00000 C34 0.000000 -16.00000 C35 1.000000 -30.00000 C36 0.000000 -13.00000 C41 0.000000 -12.00000 C42 0.000000 -8.000000 C43 0.000000 -11.00000 C44 1.000000 -27.00000 C45 0.000000 -19.00000 C46 0.000000 -14.00000 C51 0.000000 0.000000 C52 0.000000 -7.000000 C53 0.000000 -10.00000 C54 0.000000 -21.00000 C55 0.000000 -10.00000 C56 1.000000 -32.00000 C61 0.000000 0.000000 C62 1.000000 0.000000 C63 0.000000 0.000000 C64 0.000000 -6.000000 C65 0.000000 -11.00000 C66 0.000000 -13.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 142.0000 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.00000013 0.000000 0.000000（二）循环语句求解Lingo输入框：model:sets:gz/A1..A6/:a;ry/B1..B6/:b;yw(gz,ry):xy,x;endsetsdata:a=1,1,1,1,1,1;b=1,1,1,1,1,1;xy=20 15 16 5 4 7,17 15 33 12 8 6,9 12 18 16 30 13,12 8 11 27 19 14,0 7 10 21 10 32,0 0 0 6 11 13;enddatamax=@sum(yw:xy*x);@for(gz(i):@sum(ry(j):x(i,j))=1);@for(ry(j):@sum(gz(i):x(i,j))=1);@for(yw(i,j):@bin(x(i,j)));EndLingo输出（结果）框Global optimal solution found.Objective value: 142.0000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost A( A1) 1.000000 0.000000 A( A2) 1.000000 0.000000 A( A3) 1.000000 0.000000 A( A4) 1.000000 0.000000 A( A5) 1.000000 0.000000 A( A6) 1.000000 0.000000 B( B1) 1.000000 0.000000 B( B2) 1.000000 0.000000B( B4) 1.000000 0.000000 B( B5) 1.000000 0.000000 B( B6) 1.000000 0.000000 XY( A1, B1) 20.00000 0.000000 XY( A1, B2) 15.00000 0.000000 XY( A1, B3) 16.00000 0.000000 XY( A1, B4) 5.000000 0.000000 XY( A1, B5) 4.000000 0.000000 XY( A1, B6) 7.000000 0.000000 XY( A2, B1) 17.00000 0.000000 XY( A2, B2) 15.00000 0.000000 XY( A2, B3) 33.00000 0.000000 XY( A2, B4) 12.00000 0.000000 XY( A2, B5) 8.000000 0.000000 XY( A2, B6) 6.000000 0.000000 XY( A3, B1) 9.000000 0.000000 XY( A3, B2) 12.00000 0.000000 XY( A3, B3) 18.00000 0.000000 XY( A3, B4) 16.00000 0.000000 XY( A3, B5) 30.00000 0.000000 XY( A3, B6) 13.00000 0.000000 XY( A4, B1) 12.00000 0.000000 XY( A4, B2) 8.000000 0.000000 XY( A4, B3) 11.00000 0.000000 XY( A4, B4) 27.00000 0.000000 XY( A4, B5) 19.00000 0.000000 XY( A4, B6) 14.00000 0.000000 XY( A5, B1) 0.000000 0.000000 XY( A5, B2) 7.000000 0.000000 XY( A5, B3) 10.00000 0.000000 XY( A5, B4) 21.00000 0.000000 XY( A5, B5) 10.00000 0.000000 XY( A5, B6) 32.00000 0.000000 XY( A6, B1) 0.000000 0.000000 XY( A6, B2) 0.000000 0.000000 XY( A6, B3) 0.000000 0.000000 XY( A6, B4) 6.000000 0.000000 XY( A6, B5) 11.00000 0.000000 XY( A6, B6) 13.00000 0.000000 X( A1, B1) 1.000000 -20.00000 X( A1, B2) 0.000000 -15.00000 X( A1, B3) 0.000000 -16.00000 X( A1, B4) 0.000000 -5.000000X( A1, B6) 0.000000 -7.000000 X( A2, B1) 0.000000 -17.00000 X( A2, B2) 0.000000 -15.00000 X( A2, B3) 1.000000 -33.00000 X( A2, B4) 0.000000 -12.00000 X( A2, B5) 0.000000 -8.000000 X( A2, B6) 0.000000 -6.000000 X( A3, B1) 0.000000 -9.000000 X( A3, B2) 0.000000 -12.00000 X( A3, B3) 0.000000 -18.00000 X( A3, B4) 0.000000 -16.00000 X( A3, B5) 1.000000 -30.00000 X( A3, B6) 0.000000 -13.00000 X( A4, B1) 0.000000 -12.00000 X( A4, B2) 0.000000 -8.000000 X( A4, B3) 0.000000 -11.00000 X( A4, B4) 1.000000 -27.00000 X( A4, B5) 0.000000 -19.00000 X( A4, B6) 0.000000 -14.00000 X( A5, B1) 0.000000 0.000000 X( A5, B2) 0.000000 -7.000000 X( A5, B3) 0.000000 -10.00000 X( A5, B4) 0.000000 -21.00000 X( A5, B5) 0.000000 -10.00000 X( A5, B6) 1.000000 -32.00000 X( A6, B1) 0.000000 0.000000 X( A6, B2) 1.000000 0.000000 X( A6, B3) 0.000000 0.000000 X( A6, B4) 0.000000 -6.000000 X( A6, B5) 0.000000 -11.00000 X( A6, B6) 0.000000 -13.00000Row Slack or Surplus Dual Price1 142.0000 1.0000002 0.000000 0.0000003 0.000000 0.0000004 0.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000012 0.000000 0.00000013 0.000000 0.000000五、模型结果通过以上的应用Lingo模型求解，得出结论：第1项工作由第1个人来完成。