工科数学分析期末试卷-+答案
工科数学分析期末试卷部分参考答案
六（17）．（本题满分 8 分）解 dy (t) ， d2 y (1 t)(t) (t) 3 ，
dx 2(1 t) dx2
4(1 t)3
4(1 t)
(1 t)(t) (t) 3(1 t)2 ，解得(t) C1(1 t) 3t(1 t) ，由(1) 6 ，得
C1
0
，于是 (t )
3t (1
2
四（15）．（本题满分 8 分） 解 A
2
x(1
sin
x)dx
2
1，
0
8
V
2
(
x2
x2
sin
2
x)dxΒιβλιοθήκη 2x2 (1cos 2x)dx
4
2
0
20
48 8
五（16）．（本题满分 7 分）解 y C1ex C2e2x x(x 2)ex ，由 y(0) 0 ，
y(0) 0 ，得 C1 2 ， C2 2 ， y 2ex 2e2x x(x 2)ex .
一点 [a,b]，使得 F ( )
b
f (x)dx ，此即
b f (x)dx M ( a) m(b ) .
a
a
共2页
第2页
10-11-2 高数 AB 期末（ A）卷 参考答案及评分标准
一。填空题(本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分)
1． eab ；2． y x 1；3． y 2x ；4． 6 ；5． 2n (n 1)!；6． 1；7． 4 ； 8． 2 ；9． xy 1.
3
二．(本题共 4 小题，每小题 7 分,满分 28 分)
t)
， (t )
t3
3 2
t2
C2
学秋季学期工科数学分析答案
哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案）试卷卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择题（每题2分，共10分）1．下列叙述中不正确者为（D ）（A ）如果数列}{n x 收敛，那么数列}{n x 一定有界。
（B ）如果a unn lim =∞→，则一定有a u n n lim =∞→。
（C ）f(x)在点0x 处可导的充要条件是f(x)在点0x 处可微。
（D ）如果函数 f(x)=y 在点0x 处导数为0，则必在该点处取得极值。
2．设在[0，1]上0)x (f ''>则下列不等式正确者为（ B ）（A ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''->>（B ）)0(f )0(f )1(f )1(f ''>-> （C ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>>-（D ）)0(f )1(f )0(f )1(f ''>-> 3．若f(x)在[]b a,上可积，则下列叙述中错误者为（D ） （A ）dt )t (f xa⎰连续（B ）)x (f 在[]b a,上可积（C ）f(x)在[]b a,上由界（D ）f(x)在[]b a,上连续姓名: 班级： 学号：4．若sinF(x)=dy ])tdt sin sin[(xay03⎰⎰，则=)x (F '（D ）（A ）dy ])tdt sin sin[(cos xay 03⎰⎰（B ）cosx x 3sin )tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos 2y3xa y 03⋅⋅⋅⎰⎰⎰（C ）⎰⎰⎰⋅y3xa y 03)x dx sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos（D ）⎰⎰⎰⋅y3xay3)tdt sin sin(dy ])tdt sin sin[(cos5．=+∞→)x1e (x 1n lim （D ） （A ）e （B ）2e （C ）3e （D ）4e二．填空题（每题2分，共10分） 1．)0x (x11y n n lim ≥+=∞→的间断点为：1x =，其类型为：第一类间断点。
《工科数学分析》期末考试试题(A卷)参考评分标准
北京邮电大学2006——2007学年第二学期《工科数学分析》期末考试试题(A 卷)参考评分标准一、填空（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若∑∞=-1)1(n n n x a 在2-=x 处收敛，则此级数在1-=x 处 (填发散，条件收敛，绝对收敛或收敛性不确定)。
解答：绝对收敛2.级数=+++∑∞=1)1()1(1n n n n n 。
解答：13.设4||,3||==→→b a ，且→→⊥b a ，则=-⨯+→→→→|)()(|b a b a 。
解答：244.设曲线32,,t z t y t x =-==在某点P 处的切线与平面42=++z y x 平行，则点P 的坐标为 。
解答：)1,1,1(-或)271,91,31(-5.设),(y x f z =是由方程1cos cos cos 222=++z y x 所确定的隐函数，则全微分=z d 。
解答：y zyx z x d 2sin 2sin d 2sin 2sin --6.交换二次积分的次序=+⎰⎰⎰⎰-122102202d ),(d d ),(d y y x y x f y x y x f y。
解答：⎰⎰-22012d ),(x xy y x f dx7. 设L 为沿上半圆周0,222≥=+y a y x ，从点)0,(a 到点)0,(a -的一段曲线，则=+++++⎰y x a x y x x x a y Ld )]ln(2[2d 22222 。
解答：22a π8. 设 x xxyy F yb ya d sin )(⎰++=，则=)('y F 。
解答：)(sin 11)(sin 11y a y y a y yb y y b y+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++ 9.向量场z y x 333++=在点)1,0,1(P 处的散度=div 。
解答：610. 设)(C 是122=+y x 在第一象限内的一段，则⎰+)(d )1(C S y = 。
工科数学分析试卷+答案
工科数学分析试题卷及答案考试形式（闭卷）：闭 答题时间：150 （分钟） 本卷面成绩占课程成绩 80 %一、填空题（每题2分，共20分）1．---→xx x x sin 11lim 30 3-2．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,13sin )(2x a x xe x xf ax 在0=x 处连续，则a 3- 3．设01lim 23=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则 =a 1 ， =b 0 4．用《δε-》语言叙述函数极限R U ⊂∈=→)(,)(lim 0x x A x f x x 的定义： εδδε)()()(:000A x f x x ∈→∈∀>∍>∀U 5．若当)1(,023+++-→cx bx ax e x x是3x 的高阶无穷小，则=a61=b21=c 1 6．设N ∈=--→n x x x f x f nx x ,1)()()(lim2000，则在0x x =处函数)(x f 取得何种极值？ 答： 极小值姓名: 班级： 学号：遵守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范7．设x x y +=，则dydx x)211(+⋅8．设x x y sin =，则=dy dx xxx x xx)sin ln (cos sin +9．⎰=+dx x x 21arctan C x +2arctan 21 10．⎰=+dx ee xx12 C e e x x ++-)1l n ( 二、选择题：（每题2分，共20分）1．设0,2)1()1l n (2s i n2t a n li m 2222≠+=-+-+-→c a e d x c xb x a x x ，则必有（ D ）（A ）d b 4=；（B ）c a 4-=；（C ）d b 4-=；（D ）c a 2-= 2．设9320:0<<>k x ，则方程112=+x kx 的根的个数为（ B ）（A ）1 ；（B ） 2 ； （C ） 3 ； （D ）03．设)(x f 连续，且0)0(>'f ，则存在0>δ使得（ A ）（A ）)(x f 在),0(δ内单增； （B ）对),0(δ∈∀x 有)0()(f x f >； （C ）对)0,(δ-∈∀有)0()(f x f >； （D ）)(x f 在)0,(δ-内单减。
10-11-2《高等数学A(工科数学分析)》第二学期期末考试试卷(精简版)及参考答案
河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。
7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。
二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。
解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。
03-04秋季工数答案
哈尔滨工业大学2003 /2004 学年 秋季学期工科数学分析期末考试试卷 （答案） 试题卷（A ）考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择答案（每题2分，本题满分10分） 1． )(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(limx f x x →存在的（ B ）条件(A)充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 2．设)(x f 为连续函数，⎰=t s dx tx f tI 0)(，其中0,0>>s t ，则I 的值（ A ）(A)依赖于s 不依赖于t （B ）依赖于t 不依赖于s（C ）依赖于s 和t （D ）依赖于t s ,和x3．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0210cos 1)(2x x xxx f ，则)(x f 在点0=x 处（ A ）(A)连续且可导 （B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导 （D ）不可导且不连续4．=+⎰→du u xxu x 01)2sin 1(1lim（ C ） (A)e1（B ）e （C ）2e （D ）21e5．设)(x f 在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)(")('00==x f x f ，姓名: 班级： 学号：遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范而0)('"0≠x f ，则（ C ）（A)0x x =为)(x f 的极值点，但))(,(00x f x 不是拐点 （B ）0x x =为)(x f 的极值点且))(,(00x f x 是拐点 （C ）0x x =不是)(x f 的极值点，但))(,(00x f x 是拐点 （D ）0x x =不是)(x f 的极值点，))(,(00x f x 不是拐点 二．填空题（每题2分，本题满分10分）1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<=010112x xx xx x y 的一切间断点为（（-1，-1），（0，0）），其类型分别为（ 第一类间断点，第二类间断点 ）。
南京航空航天大学工科数学分析期末考试_2012_06_26(答案)A
.
;……….…(7分)
,……….…(9分)
所以 。……….…(10分)
六、解：……….…(3分)
……….…(6分)
……….…(8分)
……….…(10分)、
七、证明： ……….…(2分)
由格林公式有
……….…(4分)
……….…(5分)
切平面方程为 。……….…(9分)
四、解：求导得
。……….…(4分)
因为特征方程为 ，所以特征根为 。
齐次微分方程的通解为 。……….…(6分)
因为 不是特征根，非齐次方程特解的形式为 .
代入非齐次方程，则有 。
所以非齐次方程的通解为 。……….…(10分)
一、 填空题
1. ；2． -；3． ；
4． ；5． ；6．
二、1解： ，………………(2分)
……………(5分)
………(8分)
2解：曲线参数化 ……….…(2分)
将曲线的参数方程代入则有
….………….…(6分)
=
= …………………………(8分)
3解： 的球面坐标为 ，
其中 。….………….…(3分)
= ….………….…(6分)
….………….…(8分)
4 解：由于 ，则有 ，……….…(2分)
因此 ；……….…(4分)
所求锥面在xoy面上投影为 ，……….…(6分)
因此所求锥面的面积为 。………(8分)
三、解：设 处的法向量为 ，则 =（ ）.……….…(2分)
由条件对 求导可知 ，……….…(6分)
则有
。
因此有
。
则 =（ ），……….…(8分)
工科数学分析试题及答案
A一、 求解下面问题（每小题6分，满分48分）1.设),(y x f 为一连续函数，求极限.),(122220lim dxdy y x f rr y x r ⎰⎰≤+→+π解 (0,0)),(12222limf dxdy y x f r r y x r =⎰⎰≤+→+π建议：中间过程4分2. 改变累次积分的积分顺序：dy y x f dx x x ),(-21-426-2⎰⎰0820-1(,)(,)ydy f x y dx dy f x y dx---=+⎰⎰⎰⎰3. 计算二重积分dxdy y x D22sin +⎰⎰，其中积分区域为}.4|),{(2222ππ≤+≤=y x y x D解：D⎰⎰4. 计算三重积分dxdydz x y V⎰⎰⎰+)1(2012，其中V 由22--4y x z =与223y x z +=所成的立体.解：由于V 是关于yoz 平面对称的，且x y 2012是关于x 的奇函数，所以02012=⎰⎰⎰d x d y d z x yV，于是23220121()r VVyx dxdydz dxdydz d πθ+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰223)r d rdr πθ=⎰2223001)()2r d d r πθ=⎰22220012(4)()62r d r d r πθ⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰34222001219(4)6236r d r πθπ⎡=⋅---=⎢⎥⎣⎦⎰ （写出对称性给2分，计算过程适当给分）2204sin 6d r rdr πππθπ==-⎰⎰5. 计算积分2(2)I x z ds Γ=+⎰，其中曲线Γ为2222,0.x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩（利用对称性）解： 利用轮换对称性知2322222212()333a a x ds y ds z ds x y z ds ds πΓΓΓΓΓ===++==⎰⎰⎰⎰⎰1()03zds xds yds x y z ds ΓΓΓΓ===++=⎰⎰⎰⎰ 所以322(2)3a x z ds πΓ+=⎰（建议：两个对称性各3分，写出参数方程直接计算适当给分）6. 计算第一型曲面积分()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上z h ≥)0(a h <<的部分. （可利用对称性） 解： 利用对称性知0xdS ydS ∑∑==⎰⎰⎰⎰设xy D ={|),(y x 2222x y a h +≤-} 则()x y z dS ∑++⎰⎰=zdS ∑⎰⎰=⎰⎰=aDxydxdy ⎰⎰=22()a a h π-（建议：对称性0xdS ydS∑∑==⎰⎰⎰⎰2分 ，= 1分，zdS ∑⎰⎰计算过程3分）7. 证明向量场))2(),2(),2((z y x xy z y x xz z y x yz F ++++++= 是有势场，并求其势函数.解：先验证有势场0)2()2()2(=++++++=∂∂∂∂∂∂z y x xy z y x xz z y x yz F rot zyxk j故是有势场. ---------3分.)2()2()2(.),,222000000),,(),,(),,(),,(0000000C xyz z xy yz x dz z y x xy dy z y x xz dx z y x z y RdzQdy Pdx s d F z y x zzyy xx z y x z y x z y x z y x +++=++++++++=++==⎰⎰⎰⎰⎰（φ（另一种方法也可（这里略），请判卷的时候注意。
工科数学分析第一学期期末试题
则 a ? ln 3
1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2．已知 y ? x 2
解： dy ? 1 dx 2
x2 ? 1 ? 1 ln( x ? x2 ? 1），则 dy ? ______。
2
dx
x2 ? 1 ? x 2
1? x ?1 x2 ? 1 2 x ?
x x2 ? 1 x2 ? 1
? 1 x2 ??1
a ? lim 2x2 ? x ? 2 , x?? x( x ? 1)
b?
2x2 ? x lim ( x? ? x ? 1
? 2x)
?
lim
x? ?
? 3 x ?? x?1
3
12
机动 目录 上页 下页 返回 结束
，
四、（6分）（1）证明：当 x ? 0时， x ? sin x ；
（2）设0 ? x1 ? ? ， xn?1 ? sin xn (n ? 1,2,L )，
代入原方程，得： du ? u 2 ? 1 dx
解得 ar ctan u ? x ? C , 即 ar ctan( x ? y) ? x ? C ,
通解为 y ? tan( x ? C) ? x
9
机动 目录 上页 下页 返回 结束
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交流
10
三、（6分）已知 lim( 2 x2 ? x ? ax ? b) ? 0，试确定常数 x?? x ? 1x? 解：y?e
?
?(
?
1 x
)dx
(
x
2e
?(
?
1 x
)dx
dxC?
)
? ? eln x ( x2e ? ln xdxC? )
大学工科数学分析测试试题及答案(数解几)
20XX年复习资料大学复习资料专业：班级：科目老师：日期：专题一：数项级数的敛散性 (测试题16分，每题8分)(1) 正项级数的敛散性判定; (2) 绝对收敛与条件收敛; (3) 数项级数敛散性证明.1. 讨论下列级数的敛散性，若为变号级数收敛请指出它是条件收敛还是绝对收敛：(1) 111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2) ()1111n nn n∞-=⎛⎫-- ⎝∑ 解: (1) 12lim lim10111n nnnnx x nnn n n +→∞→∞==≠⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 级数发散----------(4分)；(2) 设()1x f x e x =--, 则()'10x f x e =->，所以()f x 单调减则1nn a n=-单调减，且lim 0n n a →∞=，由莱布尼兹准则知级数收敛------(2分)而()22000111lim limlim 22x x x x x f x e x e x x x →→→---===，这说明1111 nn n n n与∞∞==⎛⎫- ⎝∑∑同敛散，则级数条件收敛------(4分)本题分数 30得 分2. 设级数1n n a ∞=∑收敛, 且lim 0n n na →∞=. 求证: 级数()11n n n n a a ∞+=-∑收敛,且()111n n n n n n a a a ∞∞+==-=∑∑.证：记12n n a a a σ=++, 由级数1n n a ∞=∑收敛知1lim n n n n a σ∞=→∞=∑存在------(3分)因为级数()11nn n n aa ∞+=-∑的部分和()()()12231121112 =1n n n n n n n n S a a a a n a a a a a na n a a σ++++=-+-+-=++--++-----(6分)于是由lim 0n n na →∞=知1lim lim n n n n n n a S σ→∞→∞∞===∑----(8分)专题二：幂级数及其应用 (测试题20XXXX 分，每题6分). (1) 阿贝尔(Abel)定理; (2) 幂级数的收敛域与和函数; (3) 幂级数展开.1. 已知幂级数()12nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，求幂级数()13nn n a x ∞=-∑的收敛域.本题分数 30得 分解: 记2t x =+，则由条件知1n n n a t ∞=∑在2t =处收敛，在2t =-处发散------(3分)从而得()13nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]------(6分)2. 求()()2011!nnn n x n ∞=-+∑的收敛域及和函数.解: 记()()211!nn n a n -=+，则1lim 0n n naa +→∞=，知收敛域为(),-∞+∞-----(2分)()()()()()()()()()()22000011111111!1!!1!nnnnn n n nn n n n n n n S x x x x x n n n n ∞∞∞∞====--+----===++++∑∑∑∑()()()()()1101111!!1!n nnnn n n n n x x x n n n ∞∞∞===---=-+-+∑∑∑()()()123S x S x S x =-+ -----(4分) 其中()()()()1231, 1, 1(0)x x x S x xe S x e S x x e x x---=-=-=--≠ 则()()()111, 00, 0x xx e e x S x xx --⎧-++-≠⎪=⎨⎪=⎩-----(6分)3. 将 ()2147f x x x =++ 展开成()2x +的幂级数.解: ()()22114723f x x x x ==++++------(3分) ()()210112,23233nnn n x x ∞+==-+-<<-+∑分)专题三：傅里叶级数展开及应用 (测试题14分，每题7分)(1) 狄里克雷(Dirichlet)定理; (2) 正弦级数和余弦级数; (3) 求数项级数的和.1. 设函数1, 201, 0 2x f xx在[]2, 2-上展开为傅里叶级数01(cossin)222n n n a n x n xa b ，求该傅里叶级数的和函数()S x .解: 根据狄里克雷(Dirichlet)定理得和函数()1,201,020,00,2x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪=⎨=⎪⎪=±⎩-- --------------------------(6分)2. 将(), [0,)f x x x ππ=-∈展开成余弦级数, 并求数项级数222111135+++ 的和.解: 将()f x 偶延拓：(),0,0x x F x x x ππππ-≤<⎧=⎨+-≤<⎩-------------(2分)则0, 1, 2,n b n ==()()022, 11, 1, 2,nn a a n n ππ==--=从而224cos3cos5()cos 235x xf x x ππ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭-------------(4分) 本题分数 30得 分当0x =时，()0f π=，从而22221111358π+++=.. 专题四：空间向量的知识 (测试题20分，每题5分)（1）向量的坐标; (2) 向量的运算; (3) 向量的夹角；(4) 向量法证明.1. 已知两点1(42,1)M 和2(3,0,2)M , 求向量12M M 的三个方向角以及与12M M 同方向的单位向量012M M .解: 三个方向角为23,,343πππ-----------(3分) 单位向量012121{,}22M M =-.--------(5分)2. 已知||5, ||1, ||4, a b a b a b 求. 解: 3a b -------(5分)3. 求直线1233x ty t z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩与平面2550x y z +-+=的夹角.解: 夹角为6π.--------(5分)4. 利用向量证明：三角形三中线长度的平方和等于三边长度平方和的本题分数 20XX得 分34.证: 三边向量为,,a b c ，则三中线向量为111,,,222l b c m c a n a b =+=+=+222222222111()()()2225()()4l m n b c c a a b a b c a b c a b c ++=+++++=+++⋅+⋅+⋅又0a b c ++=，则2()0a b c ++=，由此得2221()()2a b c a b c a b c ++=-⋅+⋅+⋅故2222223()4l m n a b c ++=++…--------(5分)专题五：点、直线与平面 (测试题20XX 分，每题5分)(1) 点到平面的距离公式；(2) 点到直线的距离公式；（3）求平面方程；（4）求直线方程.1. 求点(1,2,3)-到平面:5340x y z π-++=的距离.解: 距离0d =.-------(5分)2. 求点(2,3,1)-到直线1213114x y z ---==的距离. 本题分数 20XX得 分解: 距离6d =. ----(5分)3. 求经过点1(3,2,9)P -和2(6,0,4)P --, 且垂直于平面:2480x y z π-+-=的平面方程.解: {}{}129,2,13, 2,1,4PP n =--=- 所求平面法向量为{}125,10,5PP n ⨯=---------(3分) 得平面的方程为:220x y z --+=-------(5分)4．求过点(11,9,0)与直线1135:243x y z l -+-==和直线221:512x y z l -+==-都相交的直线方程和两交点12,P P 的坐标.解: 设所求直线l 与直线1l 的交点为1(12,34,53)P t t t +-++，与直线2l 的交点为2(5,2,12)P ρρρ--+，因0(11,9,0)M 与点1P ，2P 共线，所以有1002PM M P即111293453,5112912t t t λρρρ--+---===----+令① ……………(2分) 上式成为 210(511)()412(7)()35(21)()t i t ii t iii λρλρλρ-=-⎧⎪-=--⎨⎪+=-⎩将()2()i ii ⋅-得11158λρλ=- ②将()3()4ii iii ⋅-⋅得111756λρλ=-+ ③由②③有，2λ=，1ρ=代入( i )有，1t =- ……………(4分)从而得交点1(1,7,2)P --和2(5,1,1)P 两点间的直线方程为：182:681x y z l ++-==-…………(5分)专题六：求旋转曲面的方程 (测试题20XXXX 分，每题6分)(1) 坐标面内的曲线绕坐标轴旋转；(2) 一般空间曲线绕定直线旋转.1. ()22340x y z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩绕y 轴旋转所得旋转曲面方程.解: 旋转曲面方程为()222234x z y ±++=………(6分)2. 直线1:210x y z -Γ==绕直线:L x y z ==旋转所得旋转曲面方程. 解: 设1111(,,)M x y z 是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过1M 的纬圆方程是本题分数 20XXXX 得 分11 / 11 111222222111()()()0x x y y z z x y z x y z -+-+-=⎧⎨++=++⎩---------------(3分) 由于1111(,,)M x y z 在母线上得1111210x y z -------------(4分) 消去111,,x y z 得旋转曲面方程-----------(6分)222251(1)9x y z x y z ++-=++-。
大一工科数学分析试卷及答案
大一工科数学分析试卷及答案大一工科数学分析试卷考试形式闭卷答题时间：120 （分钟）本卷面成绩占课程成绩80 %一、填空题（每题3分，共30分）1．=+∞→nnnx n 42lim 22．=+-∞→xx x 1)21(lim3．设?>+≤=00)(22x x x x x x f ，则=-)(x f4．摆线??-=-=ty t t x cos 1sin 在2π=t 处的法线方称为5．函数x x f arctan )(=按马克老林公式展开到)(12+n x ο的表达式为： 6．若??x t dt t f dt e 11)(32，则=)(x f7．若?++=c x dx x f 2cos sin )(（其中c 时任意常数），则 =)(x f8．?-=-+112)1cos (dx x x x9．设)100()2)(1()(---=x x x x f ，则=')1(f姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范10．若-ba xb dxα)(收敛（其中0>α），则α的取值范围是二、试解答下列各题：（每题5分，共50分）1．求极限)2122321(lim 2nn n -+++∞2．已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a ,。
遵守考试纪律注意行为规范3．设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x m n e bax e x x f ，求b a ,使)(x f 可导。
4．求由等式0333=-+xy y x 确定的)(x f y =在0>x 范围内的极限点。
5．设ttte y e x ==-,，求22,dx y d dx dy 。
6．求曲线)1ln()(2++=x x x f 在1=x 时的曲率。
7．计算不定积分?-dx e x11。
8．计算定积分?20xdx x 。
9．设?<+≥+=011011)(x e x xx f x，求-2)1(dx x f 。
最新工科数学分析(下)考试题(带答案)
工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y =⎰+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
工科数学分析期末试卷 （答案）答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70%一．选择答案（每题2分，本题满分10分） 1． )(x f 在0x 的某一去心邻域内有界是)(lim 0x f x x →存在的（ B ）条件(A)充分条件 （B ）必要条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件2．设)(x f 为连续函数，⎰=t s dx tx f tI 0)(，其中0,0>>s t ，则I 的值（ A ）(A)依赖于s 不依赖于t （B ）依赖于t 不依赖于s（C ）依赖于s 和t （D ）依赖于t s ,和x3．若⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0210cos 1)(2x x xxx f ，则)(x f 在点0=x 处（ A ）(A)连续且可导 （B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导 （D ）不可导且不连续姓名: 班级： 学号：遵守 考 试 纪 律 注4．=+⎰→du u xxu x 010)2sin 1(1lim （ C ）(A)e1（B ）e （C ）2e （D ）21e5．设)(x f 在0x x =的某邻域内具有三阶连续导数，如果0)(")('00==x f x f ， 而0)('"0≠x f ，则（ C ）（A)0x x =为)(x f 的极值点，但))(,(00x f x 不是拐点 （B ）0x x =为)(x f 的极值点且))(,(00x f x 是拐点 （C ）0x x =不是)(x f 的极值点，但))(,(00x f x 是拐点 （D ）0x x =不是)(x f 的极值点，))(,(00x f x 不是拐点 二．填空题（每题2分，本题满分10分）1．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<=010112x xx xx x y 的一切间断点为（（-1，-1），（0，0）），其类型分别为（ 第一类间断点，第二类间断点 ）。
2．=→21)(cos lim xx x ( 21-e )。
3．设1+=y xe y ，则0"|=x xx y =（ 22e ）。
4．曲线23)1(+=x x y 的全部渐近线为 ：（1=x （水平渐近线）2-=x y （斜渐近线） ）。
第 1 页（共7 页）5．设函数)(x f 在点0x 处导数存在，而且0)(0>x f ，则nx x f n x f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+∞→)()1(00lim =（)()('00x f x f e ）三．计算题：（每小题4分，本题满分34分） 1．设n n x x x +==+2,211 )0(≥n 求：n x x lim ∞→。
解：先证明.2<n x 21<x ，假设2<n x 则 22221=+<+=+n n x x∴由数学归纳法可知2<n x .0>n x ，∴0)1)(2()(22221>+--=-+=-+n n n n n n x x x x x x x ，∴,1n n x x >+∴数列}{n x 为单调递增数列，且2<n x . ∴数列}{n x 收敛，n n x lim ∞→存在.对n n x x +=+21两边同时取极限，再由n n n n x x lim lim 1∞→+∞→=可得2lim =∞→nn x2．求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→πππn n n n n n 2221211lim 。
第 2页（共 7页）解：πππππ+⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++≤+⋅222221211n n n n n n n n n n n n 又 1,12222lim lim =+=+∞→∞→ππn n n n n n n ， ∴由两边夹定理，可得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→πππn n n n n n 2221211lim =12→xx 解：由洛比答法则，原式=1cos 220lim =-+→xb x a x x 1,0,022=∴→+∴→b xa x x .∴原式=4,122cos 1202220220lim lim lim =∴=+=+=-+→→→a xa x x a x x x a x x x x 从而求得 1,4==b a .4．设)1ln(,arctan 2t y t t x +=-=，求22dyxd 。
解：.12,11112'222't t y t t t x tt+=+=+-=第3 页（共 7页）2''t y x dy dx t t ==∴t t tt dyx d 41)12(212222+=+=∴5．若x x y x+=，求y 在点（2，6）处的法线方程。
解：两边取对数得 x x x y ln )ln(⋅=- （先将x x y x+=变换为xx x y =-） 两边对x 求导得1ln 1ln 1'+=⋅+=--x xx x x y y ] 52ln 4'+=∴y ，∴其法线的斜率为 52ln 41+-∴法线方程为0)42ln 3(8)52ln 4(=+-⋅++y x6．dx ee xx ⎰+)1ln(。
解：⎰⎰⎰+-=+⋅++-=+-=+---)1ln(1)1ln()1ln()1ln(x x x x x x x x x x x e e dx e e e e e de e dx e e⎰++dx e x111e e ln C t 1t ln dt )t 11t 1(t 1)t (dln 11x xte 1x+=+-=--=-=+⎰⎰⎰=+令dx ex，第 4 页（共 7 页）∴原式=C ee xx++++⋅--1ln )e 1(ln exx7．⎰+∞+1)1(xx dx 。
解：⎰⎰=⎰∞+∞+=∞++=⋅+⋅+12121112)1(2)1(dt tdt t t t xx dx tx 令 2)42(2|arctan 21πππ=-=⋅=∞-t8．如果⎪⎪⎧<≥+=01011)(x x xx f ，求⎰-2|)1(|dx x f 。
解：⎰⎰⎰-+-=-1212)1()1(1(dx x f dx x f dx x fdx x dx x ⎰⎰-++-+=2110111111 2ln 2|ln |2ln 2110=+--=x x9．试确定所有函数)()(R C x f ∈，使其满足R x ∈∀使得⎰-=-xu x du u x f e 01cos )(。
解：令,v u x =-则dv du -=，⎰⎰-=⋅-=-⋅∴-xxv xu x dv v f e e du u x f e 01cos )()(xxv ex dv v f e cos )(0-=∴⎰-， 两边同时求导： )cos (sin )(x x e x f ex x+⋅=⋅--，R x x x x f ∈∀+=∴,cos sin )(第 5 页（共 7 页）四．证明题（1题4分，2，3题各5分，本题满分14分）1．当1>x 时，1)1(2ln +->x x x 证：令,214ln 1)1(2ln )(-++=+--=x x x x x x f又,0)1()1()1(412)1(41)('22222>+⋅-=+⋅-++=+-=x x x x x x x x x x x f )(x f ∴为递增函数，且,0)1(=f ∴当1>x 时，恒有0)(>x f ，即1)1(2ln +-⋅>x x x .2．设)(),(x g x f 在[a,b]上连续，在（a,b ）内可导。
证明在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得)(')()(')()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f -=。
证：设)()()()()(x f a g x g a f x F ⋅-⋅=，显然)(x F 满足拉格朗日中值定理条件，),(b a ∈∃∴ξ，使)(')()(ξF ab a F b F =--即)(')()(')()()()()(ξξf a g g a f ab b f a g b g a f -=-⋅-⋅)](')()(')()[()()()()(ξξf a g g a f a b b f a g b g a f ⋅-⋅-=⋅-⋅∴ 即在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得)(')()(')()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f -=3．若)(x f 在[0，1]上连续，在（0，1）可导，且)0()(3132f dx x f =⎰则在第 6页（共 7 页）（0，1）内至少存在一点ξ，使得0)('=ξf 。
证：由积分中值定理，],1,32[∈∃c 使得 )0()()321()(3f c f c f ==-⋅⋅，又),1,0(]1,32[⊂∴在],0[c 上存在两点满足罗尔中值定理条件.]1,0[],0[⊂c ， ∴在)1,0(内至少存在一点ξ使得：0)('=ξf .第 7 页（共 7 页）。