王勇二项式定理的教学设计及教学说明
36750_《二项式定理》教案1(人教A版选修2-3)
1.3二项式定理学习目标:1理解和掌握二项式系数的性质,并会简单的应用; 2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题;3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质,提高分析问题和解决问题的能力 学习重点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用 学习难点:二项式系数的性质及其对性质的理解和应用授课类型:新授课课时安排:1课时教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:1.二项式定理及其特例: (1)01()()nnnr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈,(2)1(1)1nr rn n n x C x C x x +=+++++.2.二项展开式的通项公式:1rn rr r n T C ab -+=3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课:1 二项式系数表(杨辉三角)()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,二项式系数表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2.二项式系数的性质:()n a b +展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,…,n n C .rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ,例当6n =时,其图象是7个孤立的点(如图)(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(∵mn mn n C C -=).直线2nr=是图象的对称轴. (2)增减性与最大值.∵1(1)(2)(1)1!kk nn n n n n k n k C C k k----+-+==⋅, ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定,1112n k n k k -++>⇔<, 当12n k +<时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值;当n 是偶数时,中间一项2n n C 取得最大值;当n 是奇数时,中间两项12n nC -,12n nC+取得最大值.(3)各二项式系数和: ∵1(1)1nr r n n n x C x C x x +=+++++,令1x =,则0122nr nn n n n n C C C C C =++++++三、讲解范例:例1.在()na b +的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 证明:在展开式01()()nnnr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中,令1,1a b ==-,则0123(11)(1)n n nnn n n n C C C C C -=-+-++-,即02130()()n n n n C C C C =++-++,∴0213n n n n C C C C ++=++,即在()na b +的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 说明:由性质(3)及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2.已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++,求:(1)127a a a +++;(2)1357a a a a +++;(3)017||||||a a a +++.解:(1)当1x =时,77(12)(12)1x -=-=-,展开式右边为∴0127a a a a ++++1=-,当0x =时,01a =,∴127112a a a +++=--=-,(2)令1x =,0127a a a a ++++1=-①令1x =-,7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=②①-②得:713572()13a a a a +++=--,∴1357a a a a +++=7132+-.(3)由展开式知:1357,,,a a a a 均为负,0248,,,a a a a 均为正, ∴由(2)中①+②得:702462()13a a a a +++=-+,∴70246132a a a a -++++=,∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解:)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++)(=xx x )1()1(11+-+,∴原式中3x 实为这分子中的4x ,则所求系数为711C 例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中,求x 的系数 解:∵5552)2x ()1x ()2x 3x (++=++∴在(x+1)5展开式中,常数项为1,含x 的项为x 5C 15=,在(2+x)5展开式中,常数项为25=32,含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅, ∴此展开式中x 的系数为240 例5.已知n2)x 2x (-的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为14;3,求展开式的常数项解:依题意2n 4n 2n 4n C 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10 设第r+1项为常数项,又2r 510r 10r r 2r10r 101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-, .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180四、课堂练习:(1)()2025x y -的展开式中二项式系数的和为,各项系数的和为,二项式系数最大的项为第项;(2)1)nx的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则第四项为. (3)0n C +12n C +24n C ++2n n n C 729=,则123nn n n n C C C C ++++=()A .63 B.64 C.31 D.32(4)已知:5025001250(2)a a x a x a x =++++,求:2202501349()()a a a a a a +++-+++的值答案:(1)202,203,11; (2)展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴10n =,3734101()T C x==;(3)A .五、小结:1.性质1是组合数公式rn rn nC C -=的再现,性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性,性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和;2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:求60.998的近似值,使误差小于0.001.解:66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-,展开式中第三项为2260.0020.00006C =,小于0.001,以后各项的绝对值更小,可忽略不计,∴6611660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=, 一般地当a 较小时(1)1na na +≈+。
《二项式定理》教学设计方案
1.教师自制的多媒体课件;
2.多媒体教室.
教学过程
创设情境
引入新课
问问题:今天是星期二,那么7天后的这一天是星期几呢?若15天后的这一天呢?若24天后的这一天呢?若 天后的这一天呢?
[指出]:要求星期几只要求被7除的余数即可,但是 这个数字这么大,余数怎么求呢?要解决这个问题,我们必须学习新的知识。而这新的知识就是我们今天要讲的二项式定理.
解:
.
变式训练1:展开 (原式较复杂时可以先将原式化简,再展开)
变式训练2 :不展开,求出 的第四项,第四项二项式系数,第四项系数,常数项等等.
课堂练习
1.求 的展开式的第三项.
2.求 的展开式的第三项.
3.引入时提出的问题:今天是星期二,若 天后的这一天是星期几呢?
课堂小结
1.二项式定理的公式特征.
《二项式定理》教学设计方案
课题名称
二项式定理
科目
数学
年级
高中二年级
教学时间
一课时
学习者分析
授课对象是高二年级学生.学生具有一般的归纳推理能力,学生思维较活跃,但创新思维能力较弱.在学习过程中,大部分学生只重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程.
(根据以上分析,结合新课标的理念,制订如下的教学目标和教学重、难点).
新课讲授
新课讲授
回顾: ;
;
以上都可以利用多项式乘法依次展开,遇到同类项加以合并得到的。同理我们还可以得到 , 的展开式,那么对于 展开式还能用这个方法得到吗?我们发现非常的麻烦,那么 这类展开式是否存在一定的规律呢?
引导学生观察:展开式中的项数、次数(a、b各自次数)、每一项的系数规律.
探索规律:
2.通过自主参与和探讨二项式定理的形成过程,培养学生解决数学问题的兴趣和信心.
《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计
一、教学目标
1、学习二项式定理的概念;
2、掌握二项式定理的证明方法;
3、熟练运用二项式定理计算阶乘。
二、课前准备
1、准备教学案例:“抛掷次数为n的骰子,其中点数之和为k,求出满足条件的概率”;
2、准备课堂活动:利用抽签游戏,引导学生理解二项式定理;
3、准备实物:骰子;
4、准备实践活动:利用抛掷骰子实验验证二项式定理。
三、课堂教学步骤
第一步、引入
1、介绍课题:二项式定理(一);
2、简单介绍二项式定理的概念:其是指当抛掷次数为n的骰子时,点数之和为k的概率,可以表示为n个“1”和“0”的排列组合,其中“1”代表抛掷出的点数为6,“0”代表抛掷出的点数不为6第二步、活动
1、布置抽签游戏:将班上学生分成2组,每组各抽取一张纸片,纸
片上分别写有“1”和“0”,由学生们举手抽签,当每组中有n个学生均
抽出“1”或“0”时,分数比较高的组即为胜利组;
2、进行讨论:根据抽签游戏,引导学生们讨论,抛掷次数为n的骰子,其中点数之和为k,求出满足条件的概率;
第三步、演示
1、讲解二项式定理:说明抛掷次数为n的骰子,其中点数之和为k。
高中数学《二项式定理》教学设计
高中数学《二项式定理》教学设计教学目标:1.理解二项式定理的概念和公式;2.掌握二项式定理的应用方法,能够将其用于多项式展开和计算;3.培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点:1.二项式定理的概念和公式;2.二项式定理的应用方法。
教学难点:1.二项式定理的应用方法;2.数学推理能力的培养。
教学准备:1.教材《高中数学》;2.黑板、彩色粉笔;3.教学投影仪。
教学过程:Step 1 引入(5分钟)1. 在黑板上写出“(a+b)² = a² + 2ab + b²”这个式子,让学生观察这个式子有什么特点。
2.引导学生思考,当我们展开一个形如“(a+b)ⁿ”的式子时,会得到怎样的结果。
Step 2 概念讲解(10分钟)1.分析上面提到的式子,得出一个结论:“当一个多项式的指数为2时,展开后的结果是一个三项式”。
2.引入二项式的概念:“若为任意正整数n,a和b为任意常数,则(a+b)ⁿ展开后得到的多项式称为二项式。
”3.引入二项式定理的公式:“对任意正整数n,有(a+b)ⁿ=C(n,0)aⁿ·b⁰+C(n,1)aⁿ⁻¹·b¹+C(n,2)aⁿ⁻²·b²+...+C(n,n-1)a¹·bⁿ⁻¹+C(n,n)a⁰·bⁿ。
”4.解释公式中的C(n,k)为组合数,表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
Step 3 示例讲解(15分钟)1.通过一个具体的示例,将二项式定理的应用方法展示给学生。
2.示范展开一个二项式“(a+b)³”。
3.计算C(3,0)、C(3,1)、C(3,2)、C(3,3)的值。
4.将计算结果代入公式,展开“(a+b)³”。
Step 4 练习(20分钟)1.让学生尝试展开不同次数的二项式,并听取他们的答案。
2.提示学生根据二项式定理的公式,计算组合数的值,并将其应用于展开计算中。
二项式定理教学设计教案
二项式定理教学设计教案第一章:导入1.1 教学目标让学生了解二项式定理的背景和意义。
引导学生通过实际例子发现问题,激发学习兴趣。
1.2 教学内容引入二项式定理的概念,解释其在数学中的重要性。
通过具体的例子,如完全平方公式,引导学生观察和总结一般规律。
1.3 教学活动利用多媒体展示完全平方公式的例子,引导学生观察和总结。
组织小组讨论,让学生分享自己的发现和思考。
1.4 教学评价通过小组讨论和问题解答,评估学生对二项式定理的理解程度。
第二章:二项式定理的表述2.1 教学目标让学生掌握二项式定理的表述和公式。
引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.2 教学内容给出二项式定理的表述和公式,解释各项的系数和指数的含义。
通过示例,引导学生理解二项式定理的推导过程。
2.3 教学活动通过示例和练习,让学生熟悉二项式定理的表述和公式。
引导学生参与推导过程,加深对二项式定理的理解。
2.4 教学评价通过练习和问题解答,评估学生对二项式定理的掌握程度。
第三章:应用二项式定理3.1 教学目标让学生学会运用二项式定理解决实际问题。
引导学生运用二项式定理进行组合计数和概率计算。
3.2 教学内容解释二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
提供实际问题,引导学生运用二项式定理解决问题。
3.3 教学活动通过示例和练习,让学生掌握二项式定理在组合计数和概率计算中的应用。
组织小组讨论,让学生分享自己的解题方法和经验。
3.4 教学评价通过小组讨论和问题解答,评估学生对二项式定理应用的掌握程度。
第四章:拓展与深化4.1 教学目标让学生了解二项式定理的拓展和深化内容。
引导学生思考二项式定理在数学中的广泛应用和意义。
4.2 教学内容介绍二项式定理的拓展内容,如多项式定理和整数定理。
探讨二项式定理在数学中的广泛应用,如组合数学、概率论等领域。
4.3 教学活动通过示例和练习,让学生了解二项式定理的拓展内容。
组织小组讨论,让学生思考二项式定理在数学中的应用和意义。
高中数学《二项式定理》教学设计
高中数学《二项式定理》教学设计本教学设计是一节高中数学二项式定理的课程。
在这个课程中,学生将学习到如何使用二项式定理来解决一些关于组合的问题。
通过本教学设计,学生能够理解二项式定理在实际应用中的作用,掌握其应用方法。
同时,本教学设计还包括教师准备的教学资源、学生所需的前置知识以及课程结束后的检测和评估活动,以帮助学生加深对知识点的理解并实现有效的学习评估。
学生目标:学生能够理解二项式定理的概念及其应用,掌握使用二项式定理解决组合问题的方法。
教师准备为了保证课堂的流畅性和有效性,教师需要准备以下教学资源:1. 展示设备:电子白板、投影仪2. 课程材料:讲义、PPT3. 展示数学公式的软件4. 课堂练习、作业和答案学生前置知识在学习二项式定理之前,学生需要掌握以下知识:1. 排列组合基本概念2. 梅钦公式3. 复合概率教学过程1. 引入(5分钟)为引入二项式定理的概念和应用,教师可以提出以下问题:问题一:如果我们有一个10次独立试验,并且每次试验成功的概率为0.6,那么在这10次试验中,恰有6次成功的概率是多少?问题二:在有6个截然不同的装置中,每个装置都有一个潜在的缺陷,其中两个装置可以顺利地工作而且没有缺陷。
如果我们从这些装置中任选2个进行测试,那么至少一个缺陷装置被测试的概率是多少?在这个部分,教师会将学生引入二项式定理的概念:对于某些正整数n和非负整数k,我们可以计算:(1+x)^n = C(n,0)x^0 + C(n,1)x^1 + C(n,2)x^2 + … + C(n,n)x^n其中,C(n,k)表示由n个不同元素产生的大小为k的组合数。
Pascal 公式为C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
3. 演示应用(20分钟)在这个部分,教师会把二项式定理的应用展示给学生,例如计算二项式系数、捆绑系数、概率分布等。
在这个部分,为帮助学生更好地掌握二项式定理的应用方法,教师会让学生在小组内自行解决几个组合问题。
《二项式定理》教学设计(含教学内容学情分析及教学点评)
《二项式定理(一)》教学设计一、教学内容解析《二项式定理》,这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续,也是后面内容的开始。
在计数原理之后学习二项式定理,一方面是因为它的证明要用到计数原理,可以把它看做为计数原理的一个应用。
另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。
二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法,并能解释集合的子集个数问题;再者,二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展,它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例,在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用,因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。
通过本课的教学,进一步提高学生的归纳演绎能力,让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。
教材中的二项式定理主要包括:定理本身,通项公式,二项式系数的性质等.通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识,同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧;进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用;重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。
二项式定理本身是教学重点,因为它是后面各种应用的基础.通项公式,二项式系数的性质,特殊化方法等意义重大而深远,所以也应该是重点。
二项式定理的证明是一个教学难点.这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。
二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识,已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。
但是学生对数学严谨性的把握还不够,研究问题的方法和能力有待提高,有些学生容易粗心,对细节知识的把握还不够好。
本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明,由特殊到一般的研究问题的思想方法。
因此本堂课采用小组讨论学习,让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程,提高学生分析解决问题的能力。
在教学中,努力把表现的机会让给学生,以发挥他们的自主精神;尽量创造让学生活动的机会,以让学生在直接体验中建构自己的知识体系;尽量引导学生的发展和创造意识,以使他们能在再创造的氛围中学习。
部编《二项式定理》教学设计
部编《二项式定理》教学设计教学目标:1.理解二项式定理的概念和公式;2.掌握使用二项式定理计算二项式展开的方法;3.发展学生的逻辑思维和推理能力。
教学重点:1.二项式定理的概念和公式;2.二项式展开的方法。
教学难点:1.二项式展开的运用。
教学准备:1.教师准备教学视频、习题等教学资源;2.学生准备教科书、笔记本等学习工具。
教学过程:步骤一:导入新知识(10分钟)1.教师挂出“二项式定理”的概念和公式,并解释其意义;2.利用教学视频或课件展示一些二项式展开的例子,激发学生的学习兴趣。
步骤二:讲解二项式定理的概念和公式(15分钟)1.教师详细解释二项式定理的概念和公式,引导学生理解;2.利用一些生活中的例子,帮助学生更好地理解二项式定理的意义和应用。
步骤三:讲解二项式展开的方法(15分钟)1.教师介绍二项式展开的方法:使用二项式定理来展开;2.通过示范一些具体的二项式展开计算过程,引导学生掌握方法。
步骤四:课堂练习(20分钟)1.教师出示一些基础的二项式展开题目,让学生尝试解答;2.学生独立或分组完成练习题;3.教师批改答案并讲解,解答学生的疑问。
步骤五:综合应用(15分钟)1.教师设计一些生活中的问题,引导学生运用二项式展开的方法进行计算和推理;2.学生独立或分组完成应用题;3.教师鼓励学生分享解题思路和答案,进行讨论和总结。
步骤六:拓展练习(15分钟)1.教师提供一些较为复杂的二项式展开题目,让学生挑战自己;2.学生独立或分组完成拓展练习;3.教师批改答案并讲解,解答学生的疑问。
步骤七:课堂总结(10分钟)1.教师归纳总结今天所学的知识点,并强调重点;2.学生回答总结问题,检查自己的学习效果;3.教师可以布置一些课后习题,巩固所学内容。
教学反思:通过本堂课的教学,学生对二项式定理的概念和公式有了更深入的理解,能够熟练运用二项式定理来进行二项式展开的计算。
此外,通过拓展练习和综合应用的环节,学生的思维能力和解决问题的能力也得到了提升。
高中数学_二项式定理教学设计学情分析教材分析课后反思
《二项式定理》的教学设计一、教学目标分析1.知识与技能:(1)能用计数原理推导和证明二项式定理.(2)能够正确地理解二项式定理,准确地写出二项式的展开式(3)掌握二项式展开式的通项公式,并能用它解决简单问题.2.过程与方法:通过探究二项式定理的形成过程,培养学生的分析,观察和归纳问题的能力,提高学生的化归的意识和类比迁移的能力,使学生体会由特殊到一般的思想.3.情感、态度与价值观:培养学生的自主探究意识,合作探究的思想,体验二项式定理的发现历程,体会数学的严谨与简洁。
二、教学重点难点:教学重点:用计数原理分析(a+b)3的展开式;掌握二项展开式以及通项公式;能用通项公式求展开式中的特定项.教学难点:用计数原理证明二项式定理.易错点:二项式系数与项的系数的区分。
三、教学方法与手段:为突破难点,我采用问题串形式,设计问题梯度,层层递进,引导学生由具体(a+b)3的展开式类比得到的(a+b)4展开式,进而得到(a+b)n的展开式. 教学手段采用启发诱导式,合作探究式教学,采用多媒体,实物投影进行辅助教学。
《二项式定理》的学情分析1.学生前面已经学习了计数原理,排列组合的内容,具备学习本节课知识基础;高二学生已经具备对事物的分析归纳和总结和类比等能力,具备了学习本节课的能力。
2.本班的学生属于是理科B层次,普遍没有形成良好在学习习惯;相对数学基础知识较弱;对新知识的理解、运用,知识的迁移等方面略有欠缺;在学习中遇到困难时会有些消极心态,比较被动,但是他们有激情和热情,有学好得强烈愿望,所以教师对所授课内容尽量简洁,易懂;对学生要多鼓励,多启发,使他们不断体验到成功的快乐,感觉数学也不是那么难学。
本节课以有梯度的问题串贯穿课堂的教学,对学生来说顺利推导出定理难度不大。
3.课前已经提前印发学案,学生已提前预习,对学习本节课有心理上准备。
课后有相应的配套练习(有基础夯实题和能力提升题组成),可以对本节课所学知识进行巩固和提高。
二项式定理数学教学设计
二项式定理数学教学设计引言:数学教育是培养学生数学素养和解决问题能力的重要环节。
而二项式定理是数学中的一项重要知识点,在高中数学中广泛应用。
本次教学设计将重点介绍二项式定理,并设计一系列活动和练习,以帮助学生更好地理解和掌握该概念。
一、教学目标:1. 掌握二项式定理的定义和基本概念;2. 理解二项式定理的展开形式;3. 掌握使用二项式定理求解实际问题。
二、教学内容与步骤:1. 导入:引导学生回顾组合数学中的基本概念,并通过几个现实生活中的例子解释二项式定理的应用背景和重要性。
2. 概念讲解:简洁明了地介绍二项式的定义、展开形式和展开系数。
3. 教学活动:组织学生参与互动活动,例如分组进行演练,利用抽签方式确定演算次序,两两配对进行交流等,以提高学生的学习兴趣和参与度。
4. 原理解析:通过解析二项式定理的展开原理,引导学生思考和发现规律,从而帮助他们更好地理解二项式定理和其应用。
5. 教学示范:设计一系列例题,带领学生逐步掌握使用二项式定理进行问题求解的方法和技巧。
6. 讲解概念应用:展示一些实际问题,引导学生将二项式定理与实际问题相联系,并思考如何应用所学知识解决这些问题。
7. 练习操练:提供大量的练习题,让学生通过反复练习巩固所学知识,并能熟练运用二项式定理解决各类问题。
8. 错题回顾:分析学生常见的错误类型,给予指导和解答,帮助学生发现和纠正错误,提高他们的思维和解题能力。
9. 教学总结:对本节课所学内容进行总结,并强调二项式定理的重要性和应用范围,激发学生对数学学习的兴趣和探索欲望。
三、教学资源与评估:1. 根据教学内容准备教学资料,包括讲义、习题、解答等;2. 提供多样化的学习资源,如教学视频、练习软件等;3. 使用评估工具,如小测验、作业等,对学生的学习效果进行评估。
四、教学反思与改进:1. 总结本次教学的亮点和不足之处,以便改进和完善教学方法;2. 针对学生在学习过程中遇到的困难和问题,及时给予辅导和指导;3. 教师要不断更新教材资源,及时关注最新的教学理论和方法,提升教学质量。
(完整版)二项式定理教案
二项式定理(第一课时)一、教课目的1、知识与技术(1)理解二项式定理,并能简单应用(2)可以划分二项式系数与项的系数2、过程与方法经过学生参加和研究二项式定理的形成过程,培育学生察看,剖析,概括的能力,以及转变化归的意识与知识迁徙的能力,领会从特别到一般的思想方式。
3、感情与态度价值观经过研究问题,概括假定让学生在学习的过程中养成独立思虑的好习惯,在自主学习中体验成功,在考虑中感觉数学的魅力,让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。
二、教课要点难点1、教课要点:二项式定理及二项式定理的应用2、教课难点:二项式定理中单项式的系数三、教课方案:教课过程设计企图师生活动一、新课讲解引入:睁开 (a b)2、 (a b)3XK]让学生写睁开式,回首学生写睁开式多项式乘法法例学生达成:(a b) 2a22ab b2利用摆列、组合理知识(a b) 3a33a2 b3ab 2b3剖析 (a b)2睁开式剖析 (a b) 2的睁开式:(a b) 2(a b)(a b) a22ab b2教课过程设计企图师生活动恰有 1 个因式选b的状况有C12种,因此ab的系数是C12;2 个因式选b的状况有C22种,因此b2的系数是C22;每个因式都不选 b 的状况有C02种,因此a2的系数是C02;(a b)2C02a2C12 ab C22b2类比睁开 ( a b)3(a b)3C03a3C13a2b C32ab2 C 33b3①睁开式有几项?思虑 3 个问题:②睁开式中 a ,b 的指 1. 项数 2. 每一数和有什么特色?项 a ,b的指数③各项的系数是什和 3.系数么?怎样用摆列、组合的知学生达成识解说ab2的系数?按照 a 的降幂摆列类比睁开 ( a b) 4(a b)4 C 04a4C14 a3b C 24a2 b2C 34ab3C44 a4概括、类比(a b) n?二、二项式定理:(a b)n C0n a n C1n a n 1b C2n a n 2b2L C k n a n k b k LC n n b n(n N* )这个公式叫做二项式定理, 左侧的多项式叫做二项式右侧的多项式叫做(a b)n的二项睁开式,此中各项的系数 C r n ( k 0,1,2,3,L n) 称为二项式系数,式中的 C k n a n k b k叫做二项睁开式的通项,它是二项睁开式的第k 1 项,记作:T k 1=C k n a n k b k从以下几方面重申:(1)项数:n 1项;(2)指数:字母a,b的指数和为n,字母a 的指数由n 递减至0,字母 b 的指数由0递加至n;(3)二项式系数:下标为n,上标由0递加至n;C n k ( 4)通项:第k1项:T k 1C n k a n k b k 让学生类比写睁开式,进一步稳固睁开式的特色经过前方详细的例子,让学生从项数、项、系数这三个方面来类比(a b) n?(1)项数:n 1项;(2)指数:字母a,b的指数和为 n ,字母 a的指数由 n 递减至0,字母 b 的指数由0递加至n ;( 3)系数是C n0 ,C n1 ,C n2 ,L ,C n kL ,C n n (k {0,1,2,L , n})生:板演( a b) 4的睁开式师:展现通过前面几个例子,类比概括获得 (a b)n的睁开式,学生交流研究以下 3 个问题1.指数:2.项数3.系数教课过程设计企图师生活动三、典例剖析例例 1、求 (214差别:) 的睁开式x睁开式中第 2 项的系解:1)4C 40 24 C 41 23( 1) C 41 22( 1) 2 C 432 ( 1)3数,第 2 项二项式系数(2 C 44 ( 1)4xx x xx32 24 8 116 x x 2 x 3 x 4例 2( 1)求 (12x) 53 项思虑:的睁开式中第解:(1 2x)53 项是 T 2 1 C 52 13 (2 x)240 x 3睁开式中第 3 项的系的睁开式的第 ,数,第 3 项二项式系数例 3. 求 ( x1)9 的睁开式中 x 3 的系数x经过例题让学生更好 解:∵ ( x1)9的睁开式的通项是的理解二项式定理xTk 1C 9r x9 k( 1) k C 9k x 9 2k,x重申:通项公式的应用∴ 92k3 , k3 ,∴ x 3 的系数 C 9384讲堂检测:1. (2 a b)4 的睁开式中的第 2 项 .解: T 2 1 C 41 (2a)3 b 32a 3b ,2. (x 10的睁开式的第 6 项的系数(D ) 进一步稳固二项式定1)C 106C 106C. C 105C 105理A. B.D.3. (1x)5 的睁开式中 x 2 的系数为( C )25A.10B. 5C.D. 12四、小结学 生 应 用 二 项式定理明 确 通 项 的 作用五、作业 :课本 37 页 A 组 2 、 3 题板书设计:二项式定理一 .二项式定理:(a b)n C0n a n C1n a n 1b L C k n a n k b k L C n n b n( n N * )1.项数:n1项;2.指数:字母a,b的指数和为n ,a的指数由 n 递减至0,b的指数由 0 递加至n;3.二项式系数:C n0 , C1n , C n2 ,L , C n k L , C n n (k {0,1, 2,L n})4.通项:第k 1 项:T k 1C n k a n k b k二.典例三 .作业。
二项式定理教学设计(含教学设计说明+教学点评)
[课题]二项式定理(一)[教学内容解析]在多项式的运算中,二项式定理有着非常重要的地位,它是带领我们进入微积分学领域大门的一把金钥匙,只是在中学阶段还没有显示机会.本小节内容安排在计数原理之后,一方面是因为二项式定理的推导过程及证明要用到计数原理,另一方面二项式系数是一些特殊的组合数,因此本课的学习对排列组合部分知识的深化认识有好处.另外,二项式定理也为学习随机变量及其分布做准备.二项式定理还可以解决近似计算、整除、不等式证明等问题,有着综合性强、联系不同知识点的特点。
[教学目标设置]依据课程标准,结合学生的认知发展水平和心理特征,确定本节课的教学目标如下:(一)教学目标1、知识与技能:(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.(2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.2.过程与方法:通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式.3. 情感、态度与价值观:培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨.(二)重、难点分析重点:用计数原理分析4)a+的展开式,归纳得到二项式定理.(x1(x+、4)难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开式各项的形成规律.[学生学情分析]本节课授课的对象是高二年级的学生,他们已掌握了计数原理和排列组合知识,具备一定的分析和解决问题的能力,逻辑思维也初步形成,但要把二项式定理与排列组合问题联系起来,还是比较困难的,因此需要创设一个环境,从语言感知,文字感知及图形感知等各个方面构建学生的思维认知。
[教学策略分析]为了突出重点、突破难点,在教学中采取了以下策略:1.教法分析新的数学课程标准提出:掌握数学知识只是结果,而掌握知识的活动过程才是途径,通过这个途径,来挖掘人的发展潜能才是目的,结果应让位于过程.因此,在教学中,必须贯彻好过程性原则.也就是说,在教学过程中,充分揭示每一个阶段的思维活动过程,通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变,使教学活动成为思维活动的教学,由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”,变教师是传授者为组织者、合作者、指导者,在学习过程中,教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣,并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中,让学生在探究、发现中获取知识,发展能力.从而增强学生的主体意识,提高学生学习的效果.2.学法分析 根据学生思维的特点,遵循“教必须以学为主立足点”的教学理念,让每一个学生自主参与整堂课的知识构建。
高中高三数学《二项式定理》教案、教学设计
(二)讲授新知,500字
在讲授新知环节,我会按照以下步骤进行:
1.详细讲解二项式定理的基本形式,让学生理解二项式定理的构成要素。
2.通过几何图形和具体实例,引导学生探究二项式定理的推导过程,强调组合数公式的运用。
-例如:请简述二项式定理的推导过程,以及你在学习过程中遇到的问题和解决方法。
-要求:学生认真撰写,培养学生的学习反思能力。
5.课外阅读题:推荐学生阅读与二项式定理相关的数学历史资料,了解数学家们在二项式定理研究过程中的贡献。
-例如:阅读《数学家与二项式定理》的相关文章,了解二项式定理的发现和发展过程。
3.二项式定理在解决实际问题中的应用。
4.二项式定理与其他数学知识的联系。
在整个教学内容与过程中,我注重启发式教学,关注学生的主体地位,充分调动学生的积极性,提高学生的数学素养。
五、作业布置
为了巩固学生对二项式定理的理解和应用,确保学生能够熟练掌握本章节的知识点,我设计了以下几类作业:
1.基础知识巩固题:选取一些典型的题目,要求学生运用二项式定理的基本形式进行计算,巩固二项式系数的计算方法。
-例如:计算(x+y)^5展开式中x^3y^2的系数。
-要求:学生独立完成,注重解题过程的规范性和准确性。
2.应用题:设计一些实际问题,让学生运用二项式定理解决,提高学生分析问题和解决问题的能力。
-例如:一个袋子里有5个红球和5个蓝球,随机取出3个球,求取出2个红球和1个蓝球的概率。
-要求:学生通过小组合作完成,培养学生的团队协作能力。
4.教学策略:
二项式定理教学设计教案
二项式定理教学设计教案一、教学目标1. 让学生理解二项式定理的定义和背景。
2. 引导学生掌握二项式定理的证明过程。
3. 培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力。
4. 提高学生对数学公式和定理的记忆和运用。
二、教学内容1. 二项式定理的定义及公式。
2. 二项式定理的证明。
3. 二项式定理的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点:二项式定理的定义、公式及应用。
2. 教学难点:二项式定理的证明过程。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解二项式定理的定义、公式及证明。
2. 通过例题演示二项式定理的应用。
3. 引导学生进行小组讨论,培养合作精神。
4. 利用多媒体辅助教学,提高学生的学习兴趣。
五、教学过程1. 导入新课:回顾一元二次方程的解法,引导学生思考如何快速求解特定类型的一元二次方程。
2. 讲解二项式定理:介绍二项式定理的定义、公式及背景,讲解公式中的各项系数和指数的含义。
3. 证明二项式定理:引导学生跟随证明过程,理解二项式定理的推导过程。
4. 应用二项式定理:通过例题展示二项式定理在实际问题中的应用,引导学生学会运用定理解决问题。
5. 课堂练习:布置相关练习题,让学生巩固所学内容。
六、教学评估1. 课堂提问:通过提问了解学生对二项式定理的理解程度。
2. 练习批改:及时批改课后练习,了解学生对知识的掌握情况。
3. 小组讨论:观察学生在小组讨论中的表现,了解合作能力和思维过程。
七、课后作业1. 复习二项式定理的定义、公式及证明过程。
2. 完成课后练习题,包括简单应用和综合应用题。
3. 收集有关二项式定理的实际应用案例,进行拓展学习。
八、教学反思1. 反思教学内容:检查教学内容是否全面、深入,是否符合学生的实际需求。
2. 反思教学方法:根据学生的反馈,调整教学方法,提高教学效果。
3. 反思教学效果:分析学生的学习情况,找出不足之处,为下一步教学提供改进方向。
九、课程拓展1. 引导学生关注二项式定理在实际生活中的应用,如概率计算、数据处理等。
《二项式定理》教学设计
《二项式定理》教学设计一、教学目标:1.理解二项式定理的概念和意义。
2.掌握二项式定理的公式和计算方法。
3.能够灵活应用二项式定理解决实际问题。
二、教学内容:1.二项式的定义;2.二项式定理的概念;3.二项式定理的公式和推导过程;4.二项式定理的应用。
三、教学过程:Step 1 引入课题教师可以通过提问的方式引入二项式定理,例如:在计算(x+y)^2时,我们是如何计算的?是否可以利用一种更有效的方法来表示和计算?Step 2 导入概念教师通过举例讲解二项式的定义和二项式定理的概念:二项式是指两个代数式之和的形式,如(a+b)、(x+y)等。
而二项式定理是一种表示和计算二项式的工具,可以用来展开(x+y)^n的式子。
Step 3 公式和推导1.教师引导学生思考并列出(x+y)^2、(x+y)^3等式子的展开式。
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2(x+y)^3=x^3+3x^2y+3xy^2+y^32.教师引导学生发现展开式中的规律,并引入二项式定理的公式。
(x+y)^n=C(n,0)x^n*y^0+C(n,1)x^(n-1)*y^1+...+C(n,k)x^(n-k)*y^k+...+C(n,n)x^0*y^n其中,C(n,k)是组合数,表示从n个元素中选择k个元素的方案数。
Step 4 计算实例教师通过具体的例子演示二项式定理的计算方法,如计算(2a+b)^3和(3x+4y)^2等。
并强调展开式中各项的系数就是组合数C(n,k)。
Step 5 独立练习学生进行独立练习,计算给定的二项式展开式并求出各项的系数。
教师及时给予指导和辅助。
Step 6 拓展应用教师引导学生思考,如何利用二项式定理求解具体的问题。
例如,计算其中一个人生日时收到的礼物数量等。
四、教学评价:1.观察学生在课堂上的学习情况,包括学生对二项式定理的理解和运用能力。
2.课堂作业:布置相应的练习题,检查学生对二项式定理的掌握情况。
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一、概念及其解析
1.概念
(1) 多项式乘法:
三、教学方法
课前布置预习题,明确学习任务,引导学生自主学习,同时对本节的重点内容进行初步感知和了解。
四、教学过程
课堂环节
问题
参考结论
设计意图
1、情景导入
如何求得 的展开式,二项式定理的发现历程。
多项式乘法及 的展开式。
了解二项式定理的发现历程和相关性质。
2、知识回顾
这些公式你是否还记得?
,
提出问题,回顾相关知识,使学生更好的掌握二项式定理
二、教学目标分析
(一)教学目标:
1.知识与技能:
(1)了解二项式定理发现及产生过程;
(2)理解并掌握二项式定理,并能简单应用.
2.过程与方法:
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归的意识与知识迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式,使学生掌握类比与对比的思想。
3、教授新课
问题1:用多项式乘法展开 , 展开式是什么?有多少项?用计数原理分析。
一共有四项,
展开式有8项
引导学生将
及
的展开式与计数原理联系起来。
问题2: 展开式中有几项,是怎样生成的。
整 展开式的系数。
问题3:按同样的道理,展开
=?
学生独立完成,并由学生自己讲解过程。
第十章第四节第一课时 二项式定理
“二项式定理”-----教学设计
执教者: 王 勇
一、教材分析
1、地位和作用:
二项式定理是高中数学第二册(下A)第115页《10.4 .1二项式定理》的第一课时,本节课是在学习了排列组合的基础上学习的,并为后面学习概率中的二项分布奠定了基础,所以它是承上启下的一节课。二项式定理不仅能解决某些整除性、近似计算问题,并且还能解释集合的子集个数问题;再者,二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展,它又是数学分析中函数级数展开式的一个特例,在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和,以及差分法中有广泛的应用,因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。
问题4:将 展开并整理后,有哪些项?为什么?
对于任意的 ,都有
注意强调二项定理中a,b的任意性
先由学生独立完成,然后组织全班讨论。在讨论过程中要明确每一项的形式及相应个数,体现了从特殊到一般的研究方法。
问题5:二项式定理。
项数:第一项 第二项 … 第n+1项
项: …
二项式定理:
二项式系数: …
通项:
3. 情感、态度与价值观:
培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会数学语言的简洁和严谨,感受中国辉煌的数学史.
(二)教学重点、难点
重点:探究并归纳 , 的展开式的形成过程,从而了解 及 的展开式的形成过程,依此方法得到二项式定理.
难点:①展开式中项的构成?②展开式中各项的系数如何确定?
2.本节课新知识点得出用了什么思想方法?
学生自主解答,教师补充。
让学生回顾知识形成过程,梳理思路,自我归纳总结,形成良好的习惯。
7、布置作业
课本P1173
让学生更好的与高考链接,掌握高考题型及解法。
8、板书设计
二项 式 定理
二项式定理:
项数:第一项 第二项 … 第n+1项
项: …
二项式系数: …
通项:
了解并掌握二项式定理及二项式系数和通项.
4、例题分析
例1、展开
练习:展开
问题:比较2个式子的异同?
例2、求 展开式
过程:略
考察学生对二项式定理的应用及相关性质的理解,同时彻底搞清二项式系数与项的系数的区别及通项公式的应用。
5、课堂检测
课本P1171,2
二项式定理与性质的考察
6、课堂小结
请大家思考:
1.本节课新学习的基本知识点;