上海初二数学2
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.1 多边形的内角和 教案
22.1 多边形的内角和教学目标:1.理解多边形及其有关概念,掌握多边形内角和定理,并会运用定理解决简单的计算问题;2. 经历多边形及其有关概念的形成过程,体验类比思想;经历多边形内角和的探索过程,体验化归思想。
3.体会多边形内角和计算公式中所蕴含的函数思想。
教学重难点:重点:多边形内角和定理的探索、归纳及运用定理进行简单计算.难点:多边形内角和定理的探索过程。
教学过程:【环节一】复习引入回忆三角形的概念:由平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做三角形.意图:通过类比三角形的概念,引出多边形的概念。
【环节二】新课学习(一)多边形的有关概念1.多边形的概念问:那四边形、五边形、……、多边形的概念呢?由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形。
组成多边形的线段最少有3条,所以三角形是最简单的多边形。
由n条线段组成的多边形就称为n边形,如三角形、四边形、五边形……等等。
2.师生例举生活中的多边形。
设计意图:通过例举生活中的多边形,提高学习多边形的积极性。
3.多边形的相关概念多边形的边、顶点、内角、对角线组成多边形的每一条线段叫做多边形的边;相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点;多边形的各顶点通常用大写的英文字母表示;多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角;联结多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。
凸多边形和凹多边形的定义。
对于一个多边形,画出它的任意一边所在的直线,如果其余各边都在这条直线的一侧,那么这个多边形叫做凸多边形;否则叫做凹多边形。
DCBA备注:本章所讨论的多边形都是凸多边形。
(二)合作交流,探索多边形内角和定理思考:我们已经知道三角形的内角和为180°,那么四边形的内角和等于多少度?五边形呢?六边形呢?n边形的内角和等于多少度吗?设计意图:通过复习三角形内角和为180°,引出课题并板书课题。
(引导学生把求多边形内角和的问题转化成三角形内角和的问题。
2020-2021学年沪教版(上海)八年级第二学期数学 22.7 平面向量(含答案)
22.7 平面向量一.选择题1.下列说法中,错误的是()A.B.C.D.若的方向相同或相反,则.2.已知、和都是非零向量,在下列选项中,不能判定的是()A.,B.||=||C.D.,3.已知=3,下列判断正确的是()A.与的方向相同B.+3=0C.与不平行D.||=||4.已知、和都是非零向量,在下列选项中,不能判定∥的是()A.B.C.D.,5.若向量与均为单位向量,则下列结论中正确的是()A.=B.=﹣C.||=||D.=1 6.已知非零向量、和单位向量,那么下列等式中正确的是()A.B.C.D.7.已知,关于,下列说法中错误的是()A.B.与同方向C.与反方向D.是的2倍8.已知、为非零向量,下列判断错误的是()A.如果=3,那么∥B .=,那么=或=C .的方向不确定,大小为0D .如果为单位向量且=﹣2,那么=2二.填空题 9.若是与非零向量反向的单位向量,那么=.10.如果为单位向量,与方向相反,且长度是5,那么= (用表示). 11.若向量与单位向量的方向相反,且||=2,则= .(用表示) 12.如果﹣2=3,那么用,表示为= .13.若与的方向相反,且长度为5,用表示,则= . 14.计算:= .15.已知向量关系式3+4()=,那么用向量、表示向量= .三.解答题16.计算:(2+3)﹣(6﹣)17.已知:如图,已知两个不平行的向量、.求作:(写出结论,不要求写作法).18.已知在△ABC 中,D 、E 、F 分别是BC 、CA 、AB 的中点, 求证:(1)//DE AB ;(2)12DE AB =; (3)0AD BE CF ++=.参考答案1.解:A、应为=﹣,故本选项符合题意;B、||=||正确,故本选项不符合题意;C、=﹣正确,故本选项不符合题意;D、若、的方向相同或相反,则∥,正确,故本选项不符合题意.故选:A.2.解:A、∵,,∴,故本选项错误;B、∵||=||,∴与的模相等,但不一定平行,故本选项正确;C、∵,∴,故本选项错误;D、∵,,∴,故本选项错误.故选:B.3.解:因为=3,A、与的方向相同,正确;B、,错误;C、与平行,错误;D、,错误;故选:A.4.解:A、∵∥,∥,∴∥,故本选项错误;B、∵||=||,∴与的模相等,但不一定平行,故本选项正确;C、∵=2,∴∥,故本选项错误;D、∵=,=2,∴∥,故本选项错误.故选:B.5.解:∵向量与均为单位向量,∴||=||.故选:C.6.解:A、∵单位向量与向量方向不一定相同,∴||=不一定成立,故本选项错误;B、∵为单位向量,∴||=1,∴||=,故本选项正确;C、∵单位向量与向量方向不一定相同,∴=不一定成立,故本选项错误;D、∵非零向量和的方向不一定相同,∴=不一定成立,故本选项错误.故选:B.7.解:∵,∴A、,故本选项错误;B、﹣2与方向相反,故选项正确;C、﹣2与方向相反,故本选项错误;D、是的2倍,故本选项错误.故选:B.8.解:A、如果=3,那么两向量是共线向量,则∥,故本选项不符合题意.B、如果=,只能判定两个向量的模相等,无法判定方向,故本选项符合题意.C、的方向不确定,大小为0,故本选项不符合题意.D、根据向量模的定义知,=2||=2,故本选项不符合题意.故选:B.9.解:若是与非零向量反向的单位向量,那么=﹣|•,故答案为﹣||.10.解:∵的长度为5,向量是单位向量,∴||=5||,∵与单位向量的方向相反,∴=﹣5.故答案为:﹣5.11.解:∵向量与单位向量的方向相反,且||=2,∴=﹣2.故答案为:﹣2.12.解:由﹣2=3,得2=﹣3,所以=﹣.故答案是:﹣.13.解:∵与的方向相反,且长度为5,∴=﹣5,故答案为﹣5.14.解:原式=2﹣﹣3+2=﹣.故答案是:﹣.15.解:∵3+4()=,∴=+,故答案为:+.16.解:(2+3)﹣(6﹣)=2+3﹣3+=.17.解:图形与方向相同,长度是其一半;﹣3图形与方向相反,长度是其三倍. (1)以||和|3|的长为三角形两边长作三角形; (2)向量AB 即为﹣3.18.解: (1)1111,//.2222DE DC CE BC CA BA AB DE AB =+=+==-∴ (2)略(3),,AD AB BD AD AC CD =+=+两式相加得: 2,AD AB AC BD CD AB AC =+++=+ 同理,2,2,0BE BC BA CF CA CB AD BE CF =+=+++=∴.。
20202-2021学年沪教版(上海)八年级第二学期数学 22.6 三角形、梯形的中位线(含答案)
22.6 三角形、梯形的中位线一、单选题1.已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5,则此等腰三角形的周长为( ) A .22B .26C .22或26D .13 2.如图,在ABC 中,7AB =,6AC =,5BC =,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则DE 的长为( )A .3B .2.5C .4D .3.5 3.如图所示,在ABC 中,E ,D ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,6AB =,4AC =,则四边形AEDF 的周长是( )A .10B .20C .30D .40 4.如图,在Rt△ABC 中,△ACB =90°,点D 、E 分别是AB 、BC 的中点,点F 是BD 的中点,若AB =5,则EF =( )A .54B .52C .32D .2 5.如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高线,CE 是AB 边上的中线,DG △CE 于点G ,CD =AE .若BD =6,CD =5,则△DCG 的面积是( )A .10B .5C .103D .53 6.如图,在ABC ∆中,D 是AB 上一点,,AD AC AE CD =⊥于点E ,点F 是BC 的中点,若10BD =,则EF 的长为( )A .8B .6C .5D .4 7.如图,在梯形ABCD 中,AD △BC ,EF 是梯形ABCD 的中位线,若△BEF 的面积为4cm 2,则梯形ABCD 的面积为( )A .8cm 2B .12cm 2C .16cm 2D .20cm 2 8.如图,在梯形ABCD 中,AD△BC ,点E 、F 分别是AB 、CD 的中点且EF=6,则AD+BC 的值是( )A .9B .10.5C .12D .15 9.如图,周长为24的平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ,ACCD ⊥且BE CE =,若6AC =,则AOE △的周长为( ).A .6B .9C .12D .15 10.如图,等腰梯形ABCD 中,AB//CD ,点E 、F 、G 、H 分别为各边中点,对角线AC 5=,则四边形EFGH 的周长为( )A .2.5B .5C .10D .20二、填空题11.在ABCD 中,E 是AD 边上的中点,连接BE ,并延长BE 交CD 的延长线于点F .已知AB =120A ∠=︒,5BF =:则FD =__________,ABCD S =__________.12.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别________.13.如图ABC 的中线AE 、BD 交于点G ,过点D 作//DM BC 交AE 于点M ,则AMD 、DMG △和BEG 的面积之比为______.14.如图所示,DE 为△ABC 的中位线,点F 在DE 上,且△AFB =90°,若AB =4,BC =10,则EF 的长为_____.15.如图,在直角梯形ABCD 中,//,90AD BC DAB ABC∠=∠=︒,点E 在DC 上,且ABE △是以AB 为底的等腰直角三角形,若2cm,4cm AD BC ==,则AB =_______cm ,DC =______cm .三、解答题16.已知:如图,DE是ABC的中位线,AF是BC边上的中线,DE和AF交于点O.求证:DE与AF互相平分.17.如图,在梯形ABCD中,AD△BC,BC=12,AB=DC=8.△B=60°.(1)求梯形的中位线长.(2)求梯形的面积.18.已知:如图,AB△CD,E是AD中点,CF△AB于F求证:CE=EF.参考答案1.C2.B3.A4.A5.B6.C7.C8.C9.B10.C116212.12,1813.3△1△414.315.616.证明:如图所示,连接DF、EF,△DE是△ABC的中位线,△点D是AB中点、点E是AC中点,又△AF是BC边上的中线,△F是BC中点,△DF、EF是△ABC的中位线,△DF△AC,EF△AB,△四边形ADFE是平行四边形,△DE与AF互相平分.17.解:(1)过A 作AE △CD 交BC 于E , △AD △BC ,△四边形AECD 是平行四边形, △AD =EC ,AE =DC ,△AB =DC ,△AB =AE ,△△B =60°,△△ABE 是等边三角形,△BE =AB =8,△AD =EC =BC ﹣BE =12﹣8=4, △梯形ABCD 的中位线长=12(AD +BC )=12(4+12)=8; (2)作AF △BC 于F ,则△BAF =90°﹣△B =30°,△BF =12AB =4,AF =△梯形ABCD 的面积=12(AD +BC )×AF =12(4+12)18.取CF 的中点为G ,连接EG , △AB△CD ,E 是AD 的中点△EG 是梯形AFCD 的中位线, △EG△AB ,△CF△AB ,△CF△EG ,又△G 是CF 的中点,△EG是CF的垂直平分线,△CE=EF.。
沪教版(上海)八年级第二学期数学 ---正方形压轴练习 (无答案)
八年级下期末复习动态几何函数压轴----正方形1.已知:如图,正方形ABCD 的对角线相交于点O ,P 是边BC 上的一个动点,AP 交对角线BD 于点E ,BQ ⊥AP ,交对角线AC 于点F 、边CD 于点Q ,联结EF . (1)求证:OE=OF ;(2)联结PF ,如果PF ⊥BD ,求BP :PC 的值;(3)联结DP ,当DP 经过点F 时,试猜想点P 的位置,并证明你给猜想.2.如图,在正方形ABCD 中,AB =1,E 为边AB 上的一点(点E 不与端点A 、B 重合),F 为BC 延长线上的一点,且AE =CF ,联结EF 交对角线AC 于点G . (1)求证:DE =DF ;(2)联结DG ,求证:DG ⊥EF ; (3)设AE =x ,AG =y ,求y 关于x 的函数解析式及定义域. 证明:FPM DA3.如图,已知正方形ABCD ,AB =4,动点M 、N 分别从D 、B 两点同时出发,且都以1个单位/秒的速度匀速运动,点M 沿DA 向终点A 运动,点N 沿BC 向终点C 运动.过点M 作MP ⊥AD ,交AC 于点P ,连结NP . 设运动时间为x 秒. (1) PM 的长为 (用含x 的代数式表示);(2)试求△NPC 的面积S 与时间x 的函数表达式并写出定义域; (3)当△NPC 为一个等腰三角形时,求出所有满足条件的x 值.4.在正方形ABCD 中,点P 是CB 延长线上一个动点,连接PA 、PD ,点M 、N 分别为BC 、AP 的中点,连接MN 交PD 于点Q . (1)如果正方形边长为2,且MN =2,求BP 的长;(2)试判断在点P 运动的过程中QP 与QM 的数量关系,并加以证明.NMQ PBDA C(第4题图)5.如图,已知正方形ABCD 的边长为3,E 为对角线BD 上一动点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG .(1)如图①,如果点E 运动到离B 点的距离为2,此时DF 的长为 ,EG 的长为 ; (2)如图②,E 点在BD 上无论运动到何处,(不与B ,D 重合),猜想:EG 与CG 有什么关系?并证明你的猜想;(3)如图③,将图中△BEF 绕B 点逆时针旋转45度,取DF 中点G ,连接EG ,CG .问(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-21.3 分式方程应用题分类讲解与训练 教案
分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出,1小时后快车在慢车前12千米,快车比慢车早40分钟到达乙站,快车和慢车的速度各是多少?分析:等量关系:慢车用时=快车用时+ (小时)例2 甲、乙两地相距828km ,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚出发2h ,比普通快车早4h 到达乙地,求两车的平均速度.分析:这是一道实际生活中的行程应用题,基本量是路程、速度和时间,基本关系是路程= 速度×时间,应根据题意,找出追击问题总的等量关系,即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等.解:设普通快车车的平均速度为km /h ,则直达快车的平均速度为1.5km /h ,依题意,得=,解得, 经检验,是方程的根,且符合题意. ∴,,即普通快车车的平均速度为46km /h ,直达快车的平均速度为69km /h .评析:列分式方程与列整式方程一样,注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数,列出方程.不同之处是:所列方程是分式方程,最后进行检验,既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义.例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去,经过30分钟后,乙骑自行车由B 地出发,用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来,两人在距离B 地45千米C 处相x x x 6828-x5.182846x =46x =46x = 1.569x =4060遇,求甲乙的速度。
分析:等量关系:甲用时间=乙用时间+ (小时)例4 一队学生去校外参观.他们出发30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间? 解: 设步行速度为x 千米/时,骑车速度为2x 千米/时,依题意,得:方程两边都乘以2x ,去分母,得 30-15=x , 所以,x =15. 检验:当x =15时,2x =2×15≠0,所以x =15是原分式方程的根,并且符合题意.∵,∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟.例5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机,一部分人骑自行车先走,40分钟后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车的3倍,求两车的速度.所行距离 速度 时间 甲(87-45)千米x 千米/小时乙45千米(x+4)千米/小时30608745x -454x +解:设自行车的速度为x千米/小时,那么汽车的速度为3x千米/小时,依题意,得:解得x=15.经检验x=15是这个方程的解.当x=15时,3x=45.即自行车的速度是15千米/小时,汽车的速度为45千米/小时.例6 甲乙两人同时从一个地点相背而行,1小时后分别到达各自的终点A与B;若从原地出发,但是互换彼此的目的地,则甲将在乙到达A之后35分钟到达B,求甲与乙的速度之比。
(人教版)上海市八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试(含答案解析)
一、选择题1.如图,在ABC 中,90C ∠=︒,点E 是AB 的中点,点D 是AC 边上一点,且DE AB ⊥,连接DB .若6AC =,3BC =,则CD 的长( )A .112B .32C .94D .32.如图,在ABC 中,D 是BC 边上的中点,连结AD ,把ABD △沿AD 翻折,得到AB D ',连接CB ',若2BD CB '==,3AD =,则AB C '的面积为( )A .33B .23C .3D .23.如图,一圆柱高8cm ,底面周长为12cm ,一只蚂蚁从A 点爬到点B ,要爬行的最短路程是( )A .6cmB .8cmC .10cmD .12cm 4.如图,小彬到雁江区高洞产业示范村参观,看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮,回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ,高为5cm 的圆柱粮仓模型.如图BC 是底面直径,AB 是高.现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带,使装饰带经过A ,C 两点(接头不计),则装饰带的长度最短为( )A .10πcmB .20πcmC .102cmD .52cm 5.如图,在Rt ABC ∆中,90,45,2B BCA AC ︒︒∠=∠==,点D 在BC 边上,将ABD ∆沿直线AD 翻折,点B 恰好落在AC 边上的点E 处,若点P 是直线AD 上的动点,连接,PE PC ,则PEC ∆的周长的最小值为( )A .22-B .2C .21+D .16.如图所示,在Rt ABC 中,90,3,5C AC BC ∠=︒==,分别以点A 、B 为圆心,大于12AB 的长为半径画弧,两弧交点分别为点P 、Q ,过P 、Q 两点作直线交BC 于点D ,则线段CD 的长是( )A .85B .165C .175D .2457.有一圆柱高为12cm ,底面半径为5πcm ,在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物,则沿侧面爬行的最短路程是( )A .12cmB .13cmC .10cmD .16cm 8.如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“匀称三角形”.若Rt ABC 是“匀称三角形”,且90C ∠=︒,AC BC >,则::AC BC AB 为( ) A .3:1:2 B .2:3:7 C .2:1:5 D .无法确定 9.若实数m 、n 满足|m ﹣3|+4n -=0,且m 、n 恰好是Rt ABC 的两条边长,则ABC 的周长是( )A .5B .5或7C .12D .12或7+7 10.如图,将一根长为20cm 的筷子置于底面直径为5cm ,高为12cm 的圆柱形水杯中,筷子露在杯子外面的长度为( )A .13cmB .8cmC .7cmD .15cm 11.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古代《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若图中阴影部分图形的面积为3,则较小两个正方形重叠部分图形的面积为( )A .2B .3C .5D .612.如图,在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,3AC =,4BC =,AD 平分CAB ∠交BC 于D 点,E ,F 分别是AD ,AC 上的动点,则CE EF +的最小值为( )A .152B .152C .3D .125二、填空题13.如图所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积1258S π=,22S π=,则3S 是________.14.在Rt ABC 中,90C ∠=︒,9cm BC =,12cm AC =,15cm AB =;在DEF 中,90E ∠=︒,4cm DE =,5cm DF =,A D ∠=∠.现有两个动点P 和Q .同时从点A 出发,P 沿着三角形的边AC CB BA →→运动,回到点A 停止,速度为3cm/s ;Q 沿着边AB BC CA →→运动,回到点A 停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好APQ 与DEF 全等,则点Q 的运动速度为__________.15.如图在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,点D 是AB 的中点,过点D 作DE 垂直AB 交BC 的延长线于点E ,则CE 的长是_______.16.在ABC ∆中,AC =8,45C ∠=︒,AB =6,则BC =___________.17.公园3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图” .如图,设49a =,小正方形ABCD 的面积是9,则弦c 长为_______.18.已知一个直角三角形的两边长分别是a ,b ,且a ,b 满足340a b -+-=.则斜边长是____________19.如图1是一张可折叠的钢丝床的示意图,这是展开后支撑起来放在地面上的情况,如果折叠起来,床头部分被折到了床面之下(这里的A 、B 、C 、D 各点都是活动的),活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的,其折叠过程可由图2的变换反映出来.如果已知四边形ABCD 中6AB =,15CD =,那么BC =_____,AD =_______才能实现上述的折叠变化.20.如图,正方形OABC 的边OC 落在数轴上,点C 表示的数为1,点P 表示的数为﹣1,以P 点为圆心,PB 长为半径作圆弧与数轴交于点D ,则点D 表示的数为___________.三、解答题21.在△ABC 中,D 是BC 上一点,AB=10,BD=6,AD=8,AC=17,求△ABC 的面积.22.为迎接十四运,我区强力推进“三改一通一落地”,加速城市更新步伐.绿地广场有一块三角形空地将进行绿化,如图,在ABC 中,AB AC =,E 是AC 上的一点,5CE =,13BC =,12BE =.(1)判断ABE △的形状,并说明理由.(2)求线段AB 的长.23.如图,△ABC 中,AC =15,AB =25,CD ⊥AB 于点D ,CD =12.(1)求线段AD 的长度;(2)判断△ABC 的形状并说明理由.24.某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形:(1)如下图,已知:在ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,直线m 经过点A ,BD ⊥直线m ,CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E 、试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系,请直接写出_________(2)组员小颖想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如下图,将(1)中的条件改为:在ABC 中,AB AC =,D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=(其中α为任意锐角或钝角)﹒如果成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.(3)数学老师赞赏了他们的探索精神,并鼓励他们运用这个知识来解决问题:如下图,F 是BAC ∠角平分线上的一点,且ABF 和ACF 均为等边三角形,D 、E 分别是直线m 上A 点左右两侧的动点(D 、E 、A 互不重合),在运动过程中线段DE 的长度为n ,连接BD 、CE ,若BDA AEC BAC ∠=∠=∠.①试判断DEF 的形状,并说明理由.②直接写出DEF 的面积.25.在如图的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,请在图中画出2个形状不同的等腰三角形,使它的腰长为5,且顶点都在格点上,则满足条件的形状不同的等腰三角形共 个.26.如图,已知ABC 中,90ACB ︒∠=,过点B 作//BD AC ,交ACB ∠的平分线CD 于点D CD ,交BC 于点E .(1)求证:BC BD =;(2)若36AC AB ==,,求CD 的长.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD ,继而在Rt △BCD 中利用勾股定理列式进行计算即可.【详解】∵E 是AB 中点,DE AB ⊥,∴DE 是AB 的垂直平分线,∴DA DB =,则6DA DB AC CD CD ==-=-,在Rt CDB 中,∠C=90°,BC=3,∴222CD CB DB +=,即()22236CD CD +=-, ∴94CD =. 故选:C .【点睛】 本题考查了勾股定理,线段垂直平分线的性质,准确识图,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.2.C解析:C【分析】证明AD ∥CB′,推出S △ACB′=S △CDB′即可解决问题.【详解】∵D 是BC 的中点,∴BD DC =,由翻折的性质可知ADB ADB '∠=∠,DB DB '=,∴2BD CB '==,∴2CD DB CB ''===,∴CDB '是等边三角形, ∴60CDB DCB ''∠=∠=︒,120BDB '∠=︒, ∴120ADB ADB '∠=∠=︒, ∴60ADC CDB '∠=∠=︒, ∴ADC DCB '∠=∠, ∴//AD CB ',∴224ACB CDB S S ''==⨯=△△ 故选:C .【点睛】本题考查了折叠的性质,等边三角形的判定和性质,三角形的面积等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.3.C解析:C【分析】此题最直接的解法,就是将圆柱展开,然后利用两点之间线段最短解答.【详解】沿着过点A 的高将圆柱侧面展开,再过点B 作高线BC ,如图:则,∠ACB=90°,AC=12⨯12=6(cm ),BC=8cm , 由“两点之间,线段最短”可知:线段AB 的长为蚂蚁爬行的最短路程,在Rt ABC ∆中, ()22226810AB AC BC cm =+=+=,故选C .【点睛】本题考查了平面展开图最短路径问题,解题的关键是根据题意画出展开图,表示各线段的长度. 4.C解析:C【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题.【详解】解:如图,圆柱的侧面展开图为长方形,AC =A 'C ,且点C 为BB '的中点,∵AB =5cm ,BC =12×10=5cm , ∴装饰带的长度=2AC =22222255102AB BC +=+=cm ,故选:C .【点睛】本题考查平面展开-最短距离问题,正确画出展开图是解题的关键.5.B解析:B【分析】连接BP ,根据已知条件求出AB=BC=1,由翻折得:BD=DE ,∠BDA=∠EDA ,AE=AB=1,21,证明△BDP ≌△EDP ,推出BP=EP ,当点P 与点D 重合时,即可求出PEC ∆的周长的最小值.【详解】连接BP ,在Rt ABC ∆中,90,45B BCA ︒∠=∠=︒,∴∠BAC=45BCA ∠=︒,AB=BC , ∴2222(2)2AB AC ===,∴AB=BC=1,由翻折得:BD=DE ,∠BDA=∠EDA ,AE=AB=1,∴CE=21-,在△BDP 和△EDP 中, BD ED BDP EDP DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△BDP ≌△EDP ,∴BP=EP ,∴当点P 与点D 重合时,PE+PC=PB+PC=BC 的值最小,此时PEC ∆的周长最小, PEC ∆的周长的最小值为BC+CE=1+21-=2,故选:B ..【点睛】此题考查翻折的性质,勾股定理,全等三角形的判定及性质,解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP ≌△EDP ,由此推出当点P 与点D 重合时PEC ∆的周长最小,合情推理科学论证.6.A解析:A【分析】连接AD ,由三角形全等以及三线合一可知PQ 垂直平分线段AB ,推出AD DB =,设AD DB x ==,在Rt ACD △中,90C ∠=︒ ,根据222AD AC CD =+构建方程即可解决问题.【详解】如图,连接AD ,由已知条件可知PQ 垂直平分线段AB ,∴AD DB =,设AD DB x ==,5CD x =-,在Rt ACD △中,90C ∠=︒ ,∴222AD AC CD =+,∴2223(5)x x =+-, 解得:751x =, ∴178555CD BC DB =-=-=, 故选:A .【点睛】 本题考查了基本作图,圆的性质,线段的垂直平分线的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.7.B解析:B【分析】要想求得最短路程,首先要把A 和B 展开到一个平面内.根据两点之间,线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程.【详解】解:展开圆柱的半个侧面是矩形,矩形的长是圆柱的底面周长的一半,即52ππ=5cm ,矩形的宽是圆柱的高12cm . 根据两点之间线段最短,知最短路程是矩形的对角线AB 的长,即222251213AC BC +=+=cm 故选:B .【点睛】此题考查最短路径问题,求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时,一定要展开到一个平面内.根据两点之间,线段最短.确定要求的长,再运用勾股定理进行计算. 8.B解析:B【分析】作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ,由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE ,它是AC 边上的中线,设AC=2a ,则CE=a ,BE=2a ,在Rt △BCE 中∠BCE=90°,根据勾股定理可求出BC 、AB ,则AC :BC :AB 的值可求出.【详解】解:如图①,作Rt △ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ,∵∠ACB=90°, ∴12CF AB AB =≠, 又在Rt △ABC 中,AD >AC >BC ,,AD BC ∴≠ ∴满足条件的中线是BE ,它是AC 边上的中线,设AC=2a ,则,2,CE AE a BE a ===在Rt △BCE 中∠BCE=90°, ∴223,BC BE CE a =-在Rt △ABC 中,()()2222237,AB BC AC a a a =+=+=∴AC :BC :AB=237237.a a a =故选:B .【点睛】考查了新定义、勾股定理的应用,算术平方根的含义,解题的关键是理解“匀称三角形”的定义,灵活运用所学知识解决问题.9.D解析:D【分析】根据非负数的性质分别求出m 、n ,分4是直角边、4是斜边两种情况,根据勾股定理、三角形的周长公式计算,得到答案.【详解】∵|m ﹣4n -0,∴|m ﹣3|=04n -0,∴m ﹣3=0,n ﹣4=0,解得,m =3,n =4,当4是直角边时,斜边长=22+=5,34则△ABC的周长=3+4+5=12,当4是斜边时,另一条直角边=22-=7,43则△ABC的周长=3+4+7=7+7,故选:D.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.10.C解析:C【分析】根据勾股定理求出杯子内的筷子长度,即可得到答案.【详解】解:由题意可得:杯子内的筷子长度为:22512+=13cm,则筷子露在杯子外面的筷子长度为:20﹣13=7(cm).故选:C.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用,熟记勾股定理的计算公式是解题的关键.11.B解析:B【分析】由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系,在图②中,可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积.【详解】设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S1,S2,S3,大小正方形重叠部分的面积为S,则由勾股定理可得:S1+S2=S3,在图②中,S1+S2+3-S=S3,∴S=3,故选:B.【点睛】本题主要考查勾股定理与图形面积,灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键.12.D解析:D【分析】利用角平分线构造全等,使两线段可以合二为一,则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度.【详解】在AB 上取一点G ,使AG =AF∵在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4∴AB=5,∵∠CAD =∠BAD ,AE =AE ,∴△AEF ≌△AEG (SAS )∴FE =GE ,∴要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值,故当C 、E 、G 三点共线时,符合要求,此时,作CH ⊥AB 于H 点,则CH 的长即为CE+EG 的最小值,此时,AC BC AB CH ,∴CH=·AC AB BC=125, 即:CE+EF 的最小值为125,故选:D .【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题,灵活构造辅助线是解题关键.二、填空题13.【分析】由勾股定理得推出由此得到将数据代入计算得出答案【详解】解:在直角三角形中利用勾股定理得:∴变形为:即又∴故答案为:【点睛】此题考查勾股定理的应用圆的面积计算公式正确理解各部分图形之间的面积关解析:98π. 【分析】 由勾股定理得222+=a b c ,推出222111()()()222222a b c πππ+=,由此得到231S S S +=,将数据代入计算得出答案.【详解】解:在直角三角形中,利用勾股定理得:222+=a b c ,∴222888a b c πππ+=,变形为:222111()()()222222a b c πππ+=,即231S S S +=. 又1258S π=,22S π=, ∴312259288S S S πππ=-=-=, 故答案为:98π. 【点睛】 此题考查勾股定理的应用,圆的面积计算公式,正确理解各部分图形之间的面积关系及勾股定理的计算公式是解题的关键.14.cm/s 或cm/s 或cm/s 或cm/s 【分析】当点P 在边AC 运动点Q 在边AB 运动有△APQ ≌△DEF 或△APQ ≌△DFE ;当点P 在边BA 运动点Q 在边CA 运动有△APQ ≌△DEF 或△APQ ≌△DFE 分解析:154cm/s 或125cm/s 或9332cm/s 或9631cm/s 【分析】当点P 在边AC 运动,点Q 在边AB 运动,有△APQ ≌△DEF 或△APQ ≌△DFE ;当点P 在边BA 运动,点Q 在边CA 运动,有△APQ ≌△DEF 或△APQ ≌△DFE ,分别利用路程=速度×时间计算.【详解】解:在△DEF中,DE=4,DF=5,∠E=90°,∴EF=22DF DE=3,当点P在边AC运动,点Q在边AB运动,△APQ≌△DEF时,AP=DE=4,AQ=DF=5,则点P的运动时间为4÷3=43(s),∴点Q的运动速度为5÷43=154cm/s;△APQ≌△DFE时,AP=DF=5,AQ=DE=4,则点P的运动时间为5÷3=53(s),∴点Q的运动速度为4÷53=125cm/s;当点P在边BA运动,点Q在边CA运动,△APQ≌△DEF时,AP=DE=4,AQ=DF=5,则点P的运动时间为(12+9+15-4)÷3=323(s),∴点Q的运动速度为(12+9+15-5)÷323=9332cm/s;△APQ≌△DFE时,AP=DF=5,AQ=DE=4,则点P的运动时间为(12+9+15-5)÷3=313(s),∴点Q的运动速度为(12+9+15-4)÷313=9631cm/s;故答案为:154cm/s或125cm/s或9332cm/s或9631cm/s.【点睛】本题考查的是全等三角形的性质,掌握全等三角形的性质定理,灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.15.【分析】连接AE设CE=x由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE 在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长度【详解】解:如图连接AE设∵点D 是线段AB 的中点且∴DE 是AB 的垂直平分线∴∴ 解析:76【分析】连接AE ,设CE =x ,由线段垂直平分线的性质可知AE =BE =BC +CE ,在Rt △ACE 中,利用勾股定理即可求出CE 的长度.【详解】解:如图,连接AE ,设CE x =, ∵点D 是线段AB 的中点,且DE AB ⊥,∴DE 是AB 的垂直平分线,∴3AE BE BC CE x ==+=+,∴在Rt ACE 中,222AE AC CE =+,即()22234x x +=+, 解得76x =. 故答案为:76. 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用,熟练掌握线段垂直平分线的性质并利用勾股定理求解线段的长度是解题的关键.16.【分析】有两种情况可能是锐角三角形可能是钝角三角形过A 点作AD 垂直于BC 当为锐角三角时BC=CD+BD 当为钝角三角形时BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案【详解】如图过点A 作垂足为D 当为解析:422【分析】ABC ∆有两种情况,可能是锐角三角形,可能是钝角三角形,过A 点作AD 垂直于BC ,当为ABC ∆锐角三角时,BC=CD+BD ,当ABC ∆为钝角三角形时,BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案.【详解】如图,过点A 作AD BC ⊥ 垂足为D当为ABC ∆锐角三角时,AC =8,45C ∠=︒,90ADC ∠=︒∴ AD=CD=42在Rt ABD ∆中 22226(42)3632AB AD -=-=-∴ BC=CD+BD=422当为ABC ∆钝角三角时,同理可得 CD=2 ,BD=2∴ BC=CD-BD=422 故答案为:422【点睛】本题考查了三角形的分类,勾股定理的应用,准确的画出图形是解决本题的关键. 17.【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解【详解】解:∵小正方形的面积是9∴AD=CD=3∴a=b-3∵4∴∴∵∴∴故答案为:【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式关键是运用了数形结合的数学 358 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解.【详解】解:∵小正方形ABCD 的面积是9,∴AD=CD=3,∴a=b-3,∵49a =, ∴94a =, ∴214b =, ∵222+=a bc ,∴222 921+=44c⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴4c=,故答案为:4.【点睛】本题运用了勾股定理和正方形的面积公式,关键是运用了数形结合的数学思想.18.5或4【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得ab的值然后再利用勾股定理分类求出该直角三角形的斜边长即可【详解】∵满足∴a−3=0b−4=0解得:a=3b=4当ab为直角边该直角三角形的斜边长为解析:5或4.【分析】根据绝对值和算术平方根具有非负性可得a、b的值,然后再利用勾股定理,分类求出该直角三角形的斜边长即可.【详解】∵a,b40b-=,∴a−3=0,b−4=0,解得:a=3,b=4,当a,b为直角边,5=;4也可能为斜边长.综上所述:直角三角形的斜边长为:5或4.故答案为:5或4.【点睛】此题主要考查了勾股定理和绝对值和算术平方根的非负性,关键是掌握绝对值和算术平方根具有非负性,在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.19.39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2以及AB+AD=CD+BC进而组成方程组求出即可【详解】解:由图2的第一个图形得:AC2+CD2=AD2即(6+BC)2+152=AD2①又由图解析:39【分析】根据已知得出图形得出AC2+CD2=AD2,以及AB+AD=CD+BC,进而组成方程组求出即可.【详解】解:由图2的第一个图形得:AC2+CD2=AD2,即(6+BC)2+152=AD2①,又由图2的第三和第四个图形得:AB+AD=CD+BC ,即6+AD=15+BC②,联立①②组成方程组得:()222615615BC AD AD BC⎧++=⎪⎨+=+⎪⎩, 解得:3039BC AD =⎧⎨=⎩, 故BC ,AD 分别取30和39时,才能实现上述变化,故答案为:30,39.【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和二元二次方程组的解法,得出正确的等量关系是解题关键.20.【分析】根据勾股定理求出PB 的长即PD 的长再根据两点间的距离公式求出点D 对应的数【详解】由勾股定理知:PB ===∴PD =∴点D 表示的数为﹣1故答案是:﹣1【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径数轴等知识1【分析】根据勾股定理求出PB 的长,即PD 的长,再根据两点间的距离公式求出点D 对应的数.【详解】由勾股定理知:PB∴PD∴点D﹣1.1.【点睛】此题考查勾股定理及圆的半径、数轴等知识,结合各知识点熟练运用是解题关键.三、解答题21.△ABC 的面积为84.【分析】先根据AB=10,BD=6,AD=8,利用勾股定理的逆定理求证△ABD 是直角三角形,再利用勾股定理求出CD 的长,然后利用三角形面积公式即可得出答案.【详解】∵BD 2+AD 2=62+82=102=AB 2,∴△ABD 是直角三角形,∴AD ⊥BC ,在Rt △ACD 中,,∴BC=BD+CD=6+15=21,∴S △ABC =12BC•AD=12×21×8=84. ∴△ABC 的面积为84.【点睛】 此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握,解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证△ABD 是直角三角形.22.(1)ABE △是直角三角形;理由见解析;(2)线段AB 的长为16.9.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理证明即可;(2)设AB AC x ==,则5AE x =-,由勾股定理列得222BE AE AB +=,代入数值得22212(5)x x +-=,计算即可.【详解】解:(1)ABE △是直角三角形.理由:∵22222213169,12144,525BC BE CE ======,∴222169BE CE BC +==,∴90BEC ∠=︒,∴BE AC ⊥,∴ABE △是直角三角形.(2)设AB AC x ==,则5AE x =-,由(1)可知ABE △是直角三角形,∴222BE AE AB +=,∴22212(5)x x +-=,解得16.9x =,∴线段AB 的长为16.9.【点睛】此题考查勾股定理及逆定理,熟练掌握勾股定理及逆定理的运算及应用是解题的关键. 23.(1)9;(2)△ABC 是直角三角形,理由见详解.【分析】(1)根据勾股定理即可求解;(2)根据勾股定理的逆定理即可得到结论.【详解】(1)∵CD ⊥AB ,∴∠ADC =∠BDC =90°,在Rt △ADC 中,∵∠ADC =90°,AC =15,CD =12,∴AD 2=AC 2−CD 2=152−122=81,∵AD >0,∴AD =9;(2)△ABC 是直角三角形,理由如下:∵AB =25,AD =9,∴BD =AB−AD =25−9=16,在Rt △CDB 中,∵∠BDC =90°,∴BC 2=CD 2+BD 2=122+162=400,∵BC >0,∴BC =20,∵AC 2+BC 2=152+202=252=AB 2,∴∠ACB =90°,∴△ABC 为直角三角形.【点睛】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理;熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键.24.(1)DE BD CE =+;(2)结论DE BD CE =+成立,证明见解析;(3)①DFE △为等边三角形,证明见解析.2. 【分析】(1)由题意可知90ADB CEA ∠=∠=︒,又可推出ABD CAE ∠=∠,即可证明(AAS)ADB CEA ≌,得出BD AE =,AD CE =.即推出DE AD AE BD CE =+=+.(2)由题意易证ABD CAE ∠=∠,即证明(AAS)ADB CEA ≌,同理即DE AD AE BD CE =+=+.(3)①由(2)知(AAS)ADB CEA ≌,得出BD AE =,由ABD CAE ∠=∠,易证FBD FAE ∠=∠,又由题意可知FB=FA ,即证明出(SAS)FBD FAE ≌,得出结论FD FE =,BFD AFE ∠=∠,即可求出60DFE ∠=︒,即证明DEF 为等边三角形. ②由DE n =,DEF 为等边三角形,即可求出DEF 的面积.【详解】(1)DE BD CE =+,理由:∵90BAC ∠=︒,∴90BAD CAE ∠+∠=︒,∵BD m ⊥,∴90ADB CEA ∠=∠=︒,∴90BAD ABD ∠+∠=︒,∴ABD CAE ∠=∠,在ADB △和CEA 中,90ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴(AAS)ADB CEA ≌, ∴BD AE =,AD CE =,∴DE AD AE BD CE =+=+.故答案为:DE BD CE =+.(2)结论DE BD CE =+成立;理由如下:∵180BAD CAE BAC ∠+∠=︒-∠,180BAD ABD ADB ∠+∠=︒-∠,BDA BAC ∠=∠,∴ABD CAE ∠=∠,在BAD 和ACE △中,ABD CAE ADB CEA AB AC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩,∴(AAS)BAD ACE ≌, ∴BD AE =,AD CE =,∴DE DA AE BD CE =+=+.(3)①DEF 为等边三角形,理由:由(2)得,BAD ACE ≌△△,∴BD AE =,∵ABD CAE ∠=∠,∴ABD FBA CAE FEC ∠+∠=∠+,即FBD FAE ∠=∠,在FBD 和FAE ∠中,FB FA FBD FAE BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴(SAS)FBD FAE ≌,∴FD FE =,BFD AFE ∠=∠,∴60DFE DFA AFE DFA BFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒,∴DEF 为等边三角形.②∵DEF 为等边三角形. ∴DEF.∴213224DFE S DE DE ==. 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,等边三角形的判定和性质以及勾股定理.熟练掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键.25.画图见解析,5【分析】根据等腰三角形的定义作图即可求解.【详解】解:如图,OAB 和OBC 是腰长为5的等腰三角形,作图如下: ,可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有OAB 、OAE △、OAD △、OBC 、OBD 共5种.【点睛】本题考查等腰三角形的定义,掌握等腰三角形的定义是解题的关键.26.(1)见详解;(2)36【分析】(1)由平行线的性质得∠ACD=∠BDC ,根据平分线的性质得∠ACD=∠BCD ,进而即可得到结论;(2)先证明∠CBD=90°,结合勾股定理,即可求解.【详解】(1)∵// BD AC ,∴∠ACD=∠BDC ,∵CD 平分∠ACB ,∴∠ACD=∠BCD ,∴∠BDC=∠BCD ,∴BC BD =;(2)∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠BDC+∠BCD=90°,∴∠CBD=180°-90°=90°, ∵在Rt ABC 中,22226333BC AB AC =-=-=, ∴BC BD ==33∴在Rt BCD △中,2236CD BC BD =+=. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质以及勾股定理,熟练掌握勾股定理是解题的关键.。
沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程达标测试试题(精选)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程达标测试考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、用换元法解分式方程2211x x x x+-++1=0时,如果设21x x +=y ,那么原方程可以变形为整式方程( )A .y 2﹣3y ﹣1=0B .y 2+3y ﹣1=0C .y 2﹣y ﹣1=0D .y 2+y ﹣1=02、若整数a 使关于x 的不等式组2062x a x x->⎧⎨->⎩有解,且最多有2个整数解,且使关于y 的分式方程2ay y +-412y=-的解为整数,则符合条件的所有整数a 的和为( ) A .4- B .4 C .2- D .23、斑马线前“车让人”,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图,某路口的斑马线路段A —B —C 横穿双向行驶车道,其中AB =BC =12米,在绿灯亮时,小敏共用22秒通过AC 路段,其中通过BC 路段的速度是通过AB 路段速度的1.2倍,则小敏通过AB 路段时的速度是( )A .0.5米/秒B .1米/秒C .1.5米/秒D .2米/秒4、体育课上,20人一组进行足球比赛,每人射点球5次,已知某一组的进球总数为49个,进球情况记录如下表,其中进2个球的有x 人,进3个球的有y 人,若(x ,y )恰好是两条直线的交点坐标,则这两条直线的解析式是( )A .222933y x y x =+=+, B .222933y x y x =-+=+, C .222933y x y x =-+=-+, D .222933y x y x =+=-+, 5、下列方程中:(1)410x +=;(2)0n ax b +=;(3)40x x +=;(4)51x x +=;是二项方程的有( )个.A .1B .2C .3D .46、如图,已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ,则根据图象可得,关于x 、y 的二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是( ).A .31x y =⎧⎨=-⎩B .31x y =-⎧⎨=-⎩C .31x y =-⎧⎨=⎩D .31x y =⎧⎨=⎩ 7、如图,已知直线y =kx +b 和y =mx +n 交于点A (﹣2,3),与x 轴分别交于点B (﹣1,0)、C (3,0),则方程组kx y b mx y n -=-⎧⎨-=-⎩的解为( )A .23x y =-⎧⎨=⎩B .10x y =-⎧⎨=⎩C .30x y =⎧⎨=⎩D .无法确定8、某人往返于A ,B 两地,去时先步行2公里再乘汽车10公里;回来时骑自行车,来去所用时间恰好一样,已知汽车每小时比步行多走16公里,汽车比骑自行车每小时多走8公里,若步行速度为x 公里/小时,则可列出方程( )A .21210816x x x +=++ B .10122168x x x -=++ C .21012168x x x +=++ D .10122168x x x +=++ 9、若直线y x m =-+与直线24y x =+的交点在第一象限,则m 的取值范围是( ).A .4m ≥B .1m ≥-C .4m >D .1m >-10、若关于x 的一元一次不等式组313221x x x a -⎧≤-⎪⎨⎪-<-⎩的解集为5x ≤-,且关于y 的分式方程11422ay y y -+=--有正整数解,则满足条件的所有整数a 的和为( )A .4B .5C .6D .7第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、已知,一次函数1y x =-+与反比例函数2y x=-的图象交于点A 、B ,在x 轴上存在点P (n ,0),使△ABP 为直角三角形,则P 点的坐标是______.2、若m 、n 为全体实数,那么任意给定m 、n ,两个一次函数1y mx n =+和2y nx m =+(m ≠n )的图象的交点组成的图象方程是_________.3、若关于x 的分式方程211x a x +=-的解为正数,则a 的取值范围为________.4、如图,直线:4AB y x =+与直线:22BC y x =--相交于点B ,直线AB 与y 轴交于点A ,直线BC 与x 轴交于点D 与y 轴交于点C ,AE BC ∥交x 轴于点E .直线AB 上有一点P (P 在x 轴上方)且DEP ABC S S =,则点P 的坐标为_______.5、某小区为了排污,需铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,需缩短施工时间,实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x 米,则所列方程是____________________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间,开展“我为群众办实事”活动,为某小区铺设一段全长为720米的排污管道,为减少施工对居民生活的影响,须缩短施工时间,实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍,结果提前2天完成任务,求原计划每天铺设管道的长度.2、观察下列等式:111122=-⨯,1112323=-⨯,1113434=-⨯,将以上三个等式两边分别相加得:1111111113111223342233444++=-+-+-=-=⨯⨯⨯.解答下面的问题: (1)猜想并写()11n n =+ . (2)求111112233420202021+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯的值. (3)探究并解方程:()()()()()211133366918x x x x x x x ++=++++++. 3、2020年7月24号,四川省人民政府正式批复成立南充临江新区,新区某绿化工程由甲、乙两个工程队共同参加.已知甲,乙工程队在单独完成面积为600m 2绿化时,乙队比甲队多用3天,且甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成面积的2倍.(1)求甲,乙两队每天各完成的绿化面积;(2)因工程进度要求在30天内完成7200m 2绿化,甲、乙两个工程队至少有多少天必须共同参加施工?4、一粥一饭当思来之不易,半丝半缕恒念物力维艰.开展“光盘行动”,拒绝“舌尖上的浪费”,已经成为一种时尚. 某学校食堂为了鼓励同学们做到光盘不浪费,针对每餐后光盘的学生奖励苹果或砂糖橘一份.近日,学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果,采购的砂糖橘比苹果多50千克,砂糖橘每千克的价格比苹果每千克的价格低40%.求苹果每千克的价格.5、解分式方程:2111x x x -=-+.-参考答案-一、单选题1、D【分析】 根据换元法,把21x x +换成y ,然后整理即可得解. 【详解】解:∵21x x +=y , ∴原方程化为110y y -+=. 整理得:y 2+y ﹣1=0.故选D .【点睛】本题考查的是换元法解分式方程,换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.2、D【分析】根据题意先解不等式,确定a 的范围,进而根据分式方程的解为整数,确定a 的值,再求其和即可.【详解】解:2062x a x x ->⎧⎨->⎩①② 解不等式①得:2ax >解不等式②得:2x < 不等式组有解,则22a x <<且最多有2个整数解,则122a -≤< 解得24a -≤<2,1,0,1,2,3a ∴=--分式方程去分母得:42ay y -=-解得21y a =- 分式方程2ay y +-412y =-的解为整数, 21a ∴-是整数,且2,10y a ≠-≠ 2,1,2a ∴≠-1,0,3a ∴=-1032∴-++=即符合条件的所有整数a 的和为2,故选D【点睛】此题考查了分式方程的解,以及一元一次不等式组的整数解,熟练掌握运算法则是解本题的关键.3、B【分析】设通过AB 的速度是x m/s ,则根据题意可列分式方程,解出x 即可.【详解】设通过AB 的速度是x m/s , 根据题意可列方程:1212221.2x x+= , 解得x =1,经检验:x =1是原方程的解且符合题意.所以通过AB 时的速度是1m/s .故选B .【点睛】本题考查分式方程的实际应用,根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键.4、C【分析】根据根据进球总数为49个,总共20人,分别列出,x y 的关系式即可.【详解】根据进球总数为49个得:23495342522x y +=⨯⨯=﹣﹣﹣, 整理得:22233y x =-+, ∵20人一组进行足球比赛,∴153220x y +++++=,整理得:9y x =-+. ∴222933y x y x =-+=-+,. 故选C .【点睛】本题考查了两直线交点与二元一次方程组,理解题意列出关系式是解题的关键.5、A【分析】根据两项方程的定义直接判断得结论.【详解】解:(1)410x +=,符合二项方程的定义;(2)0n ax b +=,当a =0时,不符合二项方程的定义;(3)40x x +=,两项都含有未知数,不符合二项方程的定义;(4)51x x +=,有三项,不具备二项方程的定义,综上,只有(1)符合二项方程的条件,共1个.故选:A .【点睛】本题考查了二项方程的定义,二项方程需满足以下几个基本条件:(1)整式方程,(2)方程共两项,(3)两项中一项含有未知数,一项是常数项.6、C【分析】由图可知:两个一次函数的交点坐标为(3,1)-;那么交点坐标同时满足两个函数的解析式,而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成,因此两函数的交点坐标即为方程组的解.【详解】解:根据函数图可知,函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P 的坐标是(3,1)-,故y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是31x y =-⎧⎨=⎩, 故选:C .【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组,方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值,而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式,因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.7、A【分析】根据二元一次方程组的解的定义知,该方程组的解就是组成方程组的两个二元一次方程的图象的交点.【详解】解:由图象及题意得:∵直线y=kx+b和y=mx+n交于点A(﹣2,3),∴方程组kx y bmx y n-=-⎧⎨-=-⎩的解为23xy=-⎧⎨=⎩.故选:A.【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的解,熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键.8、C【分析】本题未知量是速度,已知路程,一定是根据时间来列等量关系的.关键描述语是:“来去所用时间恰好一样”;等量关系为:步行时间+乘车时间=骑自行车时间.【详解】解:步行所用时间为:2x,乘汽车所用时间为:1016x+,骑自行车所用时间为:128x+.所列方程为:21012168x x x+=++.故选C.【点睛】找到关键描述语,等量关系是解决问题的关键.9、C【分析】联立两直线解析式求出交点坐标,再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可.【详解】解:根据题意,联立方程组24y x m y x =-+⎧⎨=+⎩, 解得:43243m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩, 则两直线交点坐标为4(3m -,24)3m +, 两直线交点在第一象限, ∴4032403m m -⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩, 解得:4m >,故选:C .【点睛】本题考查了两直线相交的问题,解二元一次方程组和一元一次不等式组,联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法.10、B【分析】解关于x 的不等式组,然后根据不等式组的解集确定a 的取值范围,解分式方程并根据分式方程解的情况结合a 为整数,取所有符合题意的整数a ,即可得到答案.【详解】 解:313221x x x a -⎧≤-⎪⎨⎪-<-⎩①②, 解不等式①得:5x ≤-,解不等式②得:21x a <-,∵该不等式组的解集为5x ≤-,∴215a ->-,∴2a >-,分式方程去分母得:14(2)1ay y -+-=-, 解得:64y a=-, ∵分式方程有正整数解,且2y ≠,∴满足条件的整数a 可以取:2、3,∴235+=,故选:B .【点睛】本题考查了解分式方程和一元一次不等式组的整数解,正确掌握解分式方程的步骤和解一元一次不等式组的方法是解本题的关键.二、填空题1、(3,0)或(-3,0)或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭ 【分析】先根据函数的性质,求出A 、B 的坐标,再分三种情况分析,利用勾股定理的逆定理建立方程即可得出结论.【详解】解:∵一次函数y =−x +1与反比例函数y =2-x的图象交于点A 、B , ∴1y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩2的解是点A 、B 的坐标,解这个方程组得:111 2x y =-⎧⎨=⎩,2221xy=⎧⎨=-⎩,∴A(-1,2),B(2,-1),设P(n,0),∵A(-1,2),B(2,-1),P(n,0),∴AB2=(2+1)2+(1+2)2=18,BP2=(n-2)2+1,AP2=(n+1)2+4,∵△ABP为直角三角形,∴①当∠ABP=90°AB2+BP2=AP2∴18+(n-2)2+1=(n+1)2 +4,∴n= 3,∴ P(3, 0),②当∠BAP= 90°时,AB2+ AP2= BP2,∴18+(n+1)2 +4=(n-2)2+1,∴n= -3,∴P(-3,0),③当∠APB= 90°时,AP2+ BP2= AB2,∴(n+1)2+4+(n-2)2+1= 18,∴n=∴P0)或P0),故答案为:P点的坐标(3,0)、 (-3,0)、,0)或0).【点睛】此题是反比例函数综合题,主要考查了分式方程的解法,勾股定理的逆定理,利用方程的思想解决问题是解本题的关键.2、x=1【分析】根据两个一次函数的图象的交点求法,得到y1=y2,求出交点,即可得出两函数图象的交点组成的图象方程.【详解】解:∵当两个一次函数y1=mx+n和y2=nx+m(m≠n)的图象的有交点时,∴y1=y2,∴mx+n=nx+m,mx-nx=m-n,(m-n)x=m-n,∵m≠n,∴x=1,故答案为:x=1.【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组,利用方程组的解就是两个一次函数相应的交点坐标得到y1=y2,进而求出x是解决问题的关键.3、1a <-且【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可.【详解】解:去分母得:21x a x +=- ,解得:1x a =-- ,由分式方程的解为正数,得到10a --> ,且11a --≠ ,解得:a <-1且a ≠-2,故答案为:1a <-且2a ≠-.【点睛】此题考查了分式方程的解,以及解一元一次不等式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.4、(-3,4)【分析】先求出A (0,4),D (-1,0),C (0,-2),得到AC =6,再求出B 点坐标,从而求出△ABC 的面积;然后求出直线AE 的解析式得到E 点坐标即可求出DE 的长,再由162DEP P ABC SDE y S △进行求解即可.【详解】解:∵A 是直线4y x =+与y 轴的交点,C 、D 是直线22y x =--与y 轴、x 轴的交点,∴A (0,4),D (-1,0),C (0,-2),∴AC =6;联立422y x y x =+⎧⎨=--⎩ ,解得22x y =-⎧⎨=⎩, ∴点B 的坐标为(-2,2), ∴()1==62ABC B S AC x ⋅-△, ∵AE BC ∥,∴可设直线AE 的解析式为2y x b =-+,∴4b =,∴直线AE 的解析式为24y x =-+,∵E 是直线AE 与x 轴的交点,∴点E 坐标为(2,0),∴DE =3, ∴162DEPP ABC S DE y S △, ∴=4P y ,∴=3P x ,∴点P 的坐标为(-3,4),故答案为:(-3,4).【点睛】本题主要考查了一次函数综合,求一次函数与坐标轴的交点,两直线的交点坐标,三角形面积,解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识.5、7207202(120%)x x-=+【详解】略三、解答题1、60米【分析】设原计划每天铺设管道x米,根据题中等量关系原计划完成时间-实际完成时间=2列分式方程,然后求解即可解答.【详解】解:设原计划每天铺设管道x米,由题意,得72072021.2x x-=,解得x=60,经检验,x=60是原方程的解.且符合题意,答:原计划每天铺设管道60米. -【点睛】本题考查分式方程的应用,理解题意,找准等量关系,正确列出方程是解答的关键.2、(1)111n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭;(2)20202021;(3)2x = 【分析】(1)根据材料可直接得出答案;(2)根据(1)的规律,将算式写出差的形式,计算即可;(3)先按照(1)的结论进行化简,再解分式方程,即可得到答案.【详解】解:(1)根据题意,可知:()11111n n n n =-++; 故答案为:111n n ⎛⎫-⎪+⎝⎭; (2)由(1)可知,111112233420202021+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯ =1111111(1)()()()2233420202021-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- =111111112233420202021-+-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+- =112021-=20202021; (3)由(1)可知,()()()()()211133366918x x x x x x x ++=++++++, ∴211111113()33366918x x x x x x x -+-+-=++++++, ∴21113()3918xx x -=++, ∴2119918x x x -=++, ∴299(9)18x x x =++, ∴22918x x x +=+,∴2x =;经检验,2x =是原分式方程的解.∴2x =.【点睛】本题考查了解分式方程以及有理数的混合运算,掌握分式方程的解法是解题的关键.3、(1)甲队每天完成的绿化面积为200m 2,乙队每天完成的绿化面积为100m 2;(2)12天【分析】(1)设乙队每天完成的绿化面积为x m 2,则甲队每天完成的绿化面积为2x m 2,利用工作时间=工作总量÷工作效率,结合甲,乙工程队在单独完成面积为600m 2绿化时乙队比甲队多用3天,即可得出关于x 的分式方程,解之经检验后即可得出乙队每天完成的绿化面积,再将其代入2x 中即可求出甲队每天完成的绿化面积;(2)设甲、乙两个工程队有m 天共同参加施工,则甲工程队单独施工(30﹣m )天,利用工作总量=工作效率×工作时间,结合30天内至少完成7200m 2绿化,即可得出关于m 的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.【详解】解:(1)设乙队每天完成的绿化面积为x m 2,则甲队每天完成的绿化面积为2x m 2,依题意得:600x﹣6002x=3,解得:x=100,经检验,x=100是原方程的解,且符合题意,∴2x=2×100=200.答:甲队每天完成的绿化面积为200m2,乙队每天完成的绿化面积为100m2.(2)设甲、乙两个工程队有m天共同参加施工,则甲工程队单独施工(30﹣m)天,依题意得:(200+100)m+200(30﹣m)≥7200,解得:m≥12.答:甲、乙两个工程队至少有12天必须共同参加施工.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.4、14元【分析】设苹果每千克的价格为x元,则砂糖橘每千克的价格为(140%)x-元.根据“学校食堂花了1500 元和1800元分别采购了砂糖橘和苹果,采购的砂糖橘比苹果多50千克,”列出方程,即可求解.【详解】解:设苹果每千克的价格为x元,则砂糖橘每千克的价格为(140%)x-元.根据题意,得1500180050 (140%)x x-=-解得14x=经检验:14x=是原分式方程的解,且符合题意,∴苹果每千克的价格为14元.【点睛】本题主要考查了分式方程的应用,明确题意,准确得到等量关系是解题的关键.5、3x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x 的值,经检验即可得到分式方程的解.【详解】解:去分母得:()()()()12111x x x x x +--=+-去括号得:22221x x x x +-+=-,解得:3x =,检验:当3x =时,最简公分母()()110x x +-≠,∴原方程的解是3x =.【点睛】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量 教案
22.7 平面向量教学目标:1、理解平面向量的概念,掌握向量的几何表示及符号表示,理解向量的模、相等向量、相反向量、平行向量等概念。
2、经历将实际情景中有大小有方向的量抽象为向量的过程,培养学生的数学抽象素养;通过向量的几何表征,提高学生数形结合的能力。
3、通过向量历史的介绍,让学生感受向量在现实生活中以及在数学、物理学科中的重要应用,初步体会学习向量的意义。
教学重点、难点:重点:向量的概念及其几何表示、三种向量间的特殊关系。
难点:将实际情景中有方向有大小的量抽象为向量。
教学过程:一、从物理背景中引入问题1:小船从点A出发,速度是4米/秒,请问2秒后它位置移动到哪里?问题2:小船从点A出发,一直朝北开,请问2秒后它位置移动到哪里?1综合上面的两个问题,看来只知道速度的大小或者只知道速度的方向都无法帮我们解决上面这2个实际问题,所以我们需要重新审视“速度”这个量,它是不是只有大小或者只有方向呢?问题3:那么大家学过的什么知识也有类似的特点?力问题4:你对一个物体施加6牛的力,你能把它表示出来吗?二、讲授新课1、给这种既有大小又有方向的量取个名字?为什么你叫它_____?2、向量的图形表示是什么?3、设计向量的符号;4、微视频《向量的发展史》;【设计意图】让学生感受到虽然亚里士多德在解决力学问题时使用了向量的一些性质,但没有将其抽象为向量,而距离古希腊两千多年的今天,数学家们已经把向量研究成为一门理论,一门学科工具。
今更胜于昔!5、小结向量的三种符号表示;【设计意图】从符号的发展可以看到数学是在数学家们的努力下不断进步的。
23 H G F E 6、向量的模及其符号表示。
三、 例题讲解例题1 四边形ABCD 是平行四边形,四边形EFGH 是梯形,梯形中EF ∥HG.图中有向线段都表示向量,它们的起点和终点分别是所在四边形的顶点。
(1)用符号表示各个向量;(2)每个四边形的对边上的两个向量,它们的方向是否相同或相反?它们的长度是否相等?【设计意图】由此例题得出相等向量、相反向量、平行向量的概念。
上海市数学初二试题及答案
上海市数学初二试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个数是最小的正整数?A. 0B. 1C. 2D. 3答案:B2. 如果a和b是相反数,那么a + b的值是多少?A. 0B. 1C. -1D. 2答案:A3. 一个数的平方根是它本身,这个数可能是多少?A. 0B. 1C. -1D. 2答案:A4. 以下哪个不是同类项?A. 3x^2 和 5x^2B. 2y 和 4yC. 7a 和 -3aD. 2xy 和 3x^2y答案:D5. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,那么斜边的长度是多少?A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A二、填空题(每题1分,共5分)6. 一个数的绝对值是它本身,那么这个数是____。
答案:非负数7. 一个数的倒数是1/5,这个数是____。
答案:58. 如果一个角是直角的一半,那么这个角是____度。
答案:459. 一个数的立方根是2,这个数是____。
答案:810. 一个数的平方是25,这个数是____或____。
答案:5,-5三、解答题(每题5分,共20分)11. 解方程:2x + 5 = 13。
答案:2x = 8,x = 4。
12. 一个长方体的长是10厘米,宽是6厘米,高是5厘米,求它的体积。
答案:体积 = 长× 宽× 高= 10 × 6 × 5 = 300立方厘米。
13. 一个直角三角形,已知一个锐角是60度,求另一个锐角。
答案:另一个锐角 = 90 - 60 = 30度。
14. 甲乙两人分别从A、B两地出发,相向而行,甲的速度是每小时5公里,乙的速度是每小时4公里,两人相遇时,甲走了15公里,求乙走了多少公里。
答案:相遇时间= 15 ÷ 5 = 3小时,乙走的距离= 3 × 4 =12公里。
四、应用题(每题10分,共20分)15. 某工厂生产一批零件,原计划每天生产100个,实际每天生产了120个。
基础强化沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程专项练习试卷(精选含答案)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程专项练习考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、甲、乙两人骑自行车从相距60千米的A 、B 两地同时出发,相向而行,甲从A 地出发至2千米时,想起有东西忘在A 地,即返回去取,又立即从A 地向B 地行进,甲、乙两人恰好在AB 中点相遇,已知甲的速度比乙的速度每小时快2.5千米,求甲、乙两人的速度,设乙的速度是x 千米/小时,所列方程正确的是( )A .32302.5x x =+B .32302.5x x =-C .34302.5x x =-D .34302.5x x=+ 2、若直线y x m =-+与直线24y x =+的交点在第一象限,则m 的取值范围是( ).A .4m ≥B .1m ≥-C .4m >D .1m >- 3、若(1)a b s s b a+=≠-,则b 可用含a 和s 的式子表示为( ) A .1a as s ++ B .1a as s -+ C .1a as s -- D .1a as s +- 4、如图所示,若一次函数y =k 1x +b 1的图象l 1与y =k 2x +b 2的图象l 2相交于点P ,则方程组1122,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )A .2,3x y =-⎧⎨=⎩B .3,2x y =⎧⎨=-⎩C .2,3x y =⎧⎨=⎩D .2,3x y =-⎧⎨=-⎩5、要把方程250363y y -=-化为整式方程,方程两边可以同乘以( ) A .3y -6 B .3y C .3 (3y -6) D .3y (y -2)6、某单位向一所希生小学赠送1080件文具,现用A ,B 两种不同的包装箱进行包装,已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具,单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个,设B 型包装箱每个可以装x 件文具,根据题意列方程为( )A .108010801215x x =+-B .108010801215x x =-- C .108010801215x x =-+ D .108010801512x x =+- 7、下面是四位同学解方程2111x x x +=--过程中去分母的一步,其中正确的是( ) A .21x x +=- B .21x x -=- C .21x x -=- D .21x +=8、2021年6月,怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》,在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面,按计划推动工作落实.在产业合作过程中,怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持.运送设备使用大货车,技术人员乘坐面包车.已知怀柔区与四子王旗相距600千米,若面包车的速度是大货车的1.2倍,两车同时从怀柔区出发,大货车到达四子王旗比面包车多用43小时.求大货车和面包车的速度.设大货车速度为x 千米/小时,下面是四位同学所列的方程:①国国:60060041.23x x =+; ②佳佳:4600600+3 1.2x x=;③富富:60060041.23x x =-;④强强:60046003 1.2x x-=.其中,正确的序号是( ) A .①② B .①③ C .①④ D .②③9、在2020年3月底新过师炎疫情在我国得到快速控制,教育部要求低风险区错时、错峰开学,某校在只有初三年级开学时,一段时间用掉120瓶消毒液,在初二、初一年级也错时、错峰开学后,平均每天比原来多用4瓶消毒液,这样120瓶消毒液比原来少用5天,若设原来平均每天用掉x瓶消毒液,则可列方程是()A.12012054x x-=+B.12012054x x-=-C.12012054x x+=+D.12012054x x+=-10、小明和小强为端午节做粽子,小强比小明每小时少做2个,已知小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等,小明、小强每小时各做粽子多少个?假设小明每小时做x个,则可列方程得()A.1009022x x=-+B.100902x x=-C.100902x x=-D.100902x x=+第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如果11mm-=-,那么2m m+=______.2、若关于x的分式方程211x ax+=-的解为正数,则a的取值范围为________.3、如图,一次函数y=kx+b与正比例函数y=2x的图象交于点A,且与y轴交于点B,则一次函数y=2x-1与y=kx+b的图象交点坐标为_____________.4、根据平面直角坐标系中的函数图象判断方程组0.5 1.512y xy x=-+⎧⎨+=⎩的解为____.5、用换元法解方程222212x x x x-+=-时,如设212y x x =-,则将原方程化为关于y 的整式方程是_________ . 三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、小明在解分式方程13233x x x--=--时,过程如下: 第一步:方程整理13233x x x -=-- 第二步:去分母……(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是 、 .(2)请把以上解分式方程的过程补充完整.2、某商店第一次用600元购进一款中性笔若干支,第二次又用750元购进该救中性笔,但这次每支中性笔的进价比第一次多1元,所购进的中性笔数量与第一次相同.(1)求第一次购进的每支中性笔的进价是多少元?(2)若这两次购进的中性笔按同一价格进行销售,全部销售完毕后获利不低于450元,求每支中性笔的售价至少是多少元?3、2020年7月24号,四川省人民政府正式批复成立南充临江新区,新区某绿化工程由甲、乙两个工程队共同参加.已知甲,乙工程队在单独完成面积为600m 2绿化时,乙队比甲队多用3天,且甲队每天完成绿化的面积是乙队每天完成面积的2倍.(1)求甲,乙两队每天各完成的绿化面积;(2)因工程进度要求在30天内完成7200m 2绿化,甲、乙两个工程队至少有多少天必须共同参加施工?4、解分式方程:(1)21133x x x x =+++. (2)11222x x x -+=--. 5、2020年3月,象群共计16头从西双版纳州进入普洱市,一路“象”北.当地政府组成大象护卫队,全程跟踪象群迁移轨迹,全景式记录大象“出走”经过.护卫队分成甲、乙两组,甲组行程120km 和乙组行程80km 所用时间相等,已知甲组的速度比乙组速度每小时快3km ,求甲、乙两组的速度.-参考答案-一、单选题1、D【分析】乙的速度是x 千米/小时,则甲的速度为(x +2.5)千米/小时,中点相遇,乙走30千米,甲走34千米,利用时间相等列出方程即可.【详解】设乙的速度是x 千米/小时,则甲的速度为(x +2.5)千米/小时,中点相遇,乙走30千米,甲走34千米,根据时间相等,得34302.5x x=+, 故选D .【点睛】本题考查了分式方程的应用题,正确理解题意,根据相遇时间相等列出方程是解题的关键.2、C【分析】联立两直线解析式求出交点坐标,再根据交点在第一象限列出不等式组求解即可.【详解】解:根据题意,联立方程组24y x m y x =-+⎧⎨=+⎩, 解得:43243m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩, 则两直线交点坐标为4(3m -,24)3m +, 两直线交点在第一象限, ∴4032403m m -⎧>⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩, 解得:4m >,故选:C .【点睛】本题考查了两直线相交的问题,解二元一次方程组和一元一次不等式组,联立两函数解析式求交点坐标是常用的方法.3、D【分析】 先将a b s b a+=-转化为关于b 的整式方程,然后用a 、s 表示出b 即可. 【详解】 解:∵a b s b a+=-,s ≠1∴()s b a a b -=+, ∴1a asb s +=- 故选:D .【点睛】本题考查解分式方程,解答的关键是熟练掌握分式方程的一般步骤.4、A【分析】根据两个一次函数的交点坐标即可得.【详解】 解:一次函数11y k x b =+的图象1l 与22y k x b =+的图象2l 相交于点(2,3)P -,∴方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为23x y =-⎧⎨=⎩, 故选:A .【点睛】本题考查了利用一次函数的交点确定方程组的解,掌握函数图象法是解题关键.5、D【详解】略6、B【分析】根据题意可以列出相应的方程,本题得以解决.【详解】解:由题意可得,108010801215x x=--,故选:B.【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程.7、B【分析】去分母根据的是等式的性质2,方程的两边乘以最简公分母,即可将分式方程转化为整式方程.【详解】解:方程的两边同乘(x−1),得2−x=x−1.故选:B.【点睛】本题主要考查了等式的性质和解分式方程,注意:去分母时,不要漏乘不含分母的项.8、C【分析】根据题意设大货车速度为x千米/小时,则面包车的速度为1.2x千米/小时,总路程均为600千米,由路程、速度、时间之间的关系及大货车到达四子王旗比面包车多用43小时,列出方程即可得.【详解】解:设大货车速度为x千米/小时,则面包车的速度为1.2x千米/小时,总路程均为600千米,根据题意可得:60060041.23x x-=,变形为:60046003 1.2x x-=,60060041.23x x=+,∴①④正确,故选:C.【点睛】题目主要考查分式方程的应用,理解题意,熟练运用路程、速度、时间之间的关系是解题关键.9、A【分析】根据天数比原来少用5天建立等量关系.【详解】设原来平均每天用x瓶消毒液,则原来能用120x天现在每天用x+4瓶消毒液,则现在能用1204x+天,再根据少用5天得到等量关系:12012054 x x-=+故选A.【点睛】本题考查分式方程的实际应用,找到等量关系是本题的解题关键.10、C【分析】假设小明每小时做x个,则小强每小时做(x−2)个,根据题意可得:小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等,据此列方程.【详解】解:假设小明每小时做x个,则小强每小时做(x−2)个,由题意得,100902x x=-.故选:C .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程.二、填空题1、1【分析】根据已知式子变形计算即可;【详解】11m m-=-, 21m m -=-,∴21m m +=;故答案为:1.【点睛】本题主要考查了代数式求值,准确计算是解题的关键.2、1a <-且【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可.【详解】解:去分母得:21x a x +=- ,解得:1x a =-- ,由分式方程的解为正数,得到10a --> ,且11a --≠ ,解得:a <-1且a ≠-2,故答案为:1a <-且2a ≠-.【点睛】此题考查了分式方程的解,以及解一元一次不等式,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 3、4(3,5)3【分析】首先由一次函数y kx b =+与正比例函数2y x =的图象交于点A ,将2y =代入求得A 点坐标,即为所求.【详解】解: 将2y =代入2y x =,解得1x =,∴(1,2)A ,∴一次函数2y x =与一次函数y kx b =+的图像交点坐标为(1,2), 故答案为:(1,2).【点睛】本题主要考查了两直线相交问题,求出A 点坐标是解答此题的关键.4、11x y =⎧⎨=⎩ 【分析】根据图象得出函数y =−0.5x +1.5与y =2x −1的图象的交点坐标为(1,1),从而求得方程组的解.【详解】解:∵根据图象可知交点为(1,1),所以,方程组0.5 1.512y x y x=-+⎧⎨+=⎩的解为11x y =⎧⎨=⎩, 故答案为: 11x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系,关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点. 5、2201y y --=【分析】 将原方程变形为:()2212212x x x x⨯--=-,结合212y x x =-,换元并化为整式方程即可得到答案. 【详解】 解:∵()2212212x x x x ⨯--=-,212y x x =- ∴原式可化为:121y y-= 化为整式方程为:2201y y --=故答案为:2210y y --=【点睛】本题考查用换元法解分式方程,能够观察并将分式方程正确变形是解题重点.三、解答题1、(1)分式的基本性质,等式的性质;(2)75x =.【分析】(1)根据分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为0的数或整式,分式的值不变,将异分母方程化为同分母的分式方程,根据等式的性质,方程两边都乘或乘以同一个不为0的数或整式,两边都乘以(x -3),可去分母把分式方程化为整式方程;(2)将方程整理,去分母,去括号,移项合并,系数化1,验根即可.(1)第一步:根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以-1方程整理13233x x x -=--, 第二步:去分母根据等式的性质,等式两边都乘以(x -3),故答案为:分式的基本性质,等式的性质;(2) 解:13233x x x--=--, 第一步:方程整理13233x x x -=--, 第二步:去分母得:()1233x x --=,去括号得1263x x -+=,移项合并得57x =,系数化1得75x =. 检验:当75x =时,7833055x -=-=-≠, ∴75x =是分式方程的根. 【点睛】本题考查分式的基本性质和等式性质,解分式方程,掌握解分式方程的方法与步骤,注意转化思想的利用是解题关键.2、(1)第一次每支铅笔的进价为4元;(2)每支售价至少是6元.【分析】(1)设第一次每支铅笔进价为x 元,则第二次每支铅笔的进价为x +1元,然后根据题意列出方程求解即可;(2)设售价为y 元,再根据(1)得到的第一次和第二次每支铅笔的进价,然后根据题意列出不等式求解即可.【详解】解:(1)设第一次每支铅笔进价为x 元,由题意得6007501x x =+, 解得:4x =,经检验4x =是原分式方程的解.答:第一次每支铅笔的进价为4元;(2)设售价为y 元,第一次每支铅笔的进价为4元,则第二次每支铅笔的进价为5元, 由题意得:()()7506004545045y y ⨯-+-≥ 解得6y ≥.答:每支售价至少是6元.【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用,读懂题意、根据题意列出分式方程和不等式成为解答本题的关键.3、(1)甲队每天完成的绿化面积为200m 2,乙队每天完成的绿化面积为100m 2;(2)12天【分析】(1)设乙队每天完成的绿化面积为x m 2,则甲队每天完成的绿化面积为2x m 2,利用工作时间=工作总量÷工作效率,结合甲,乙工程队在单独完成面积为600m 2绿化时乙队比甲队多用3天,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出乙队每天完成的绿化面积,再将其代入2x中即可求出甲队每天完成的绿化面积;(2)设甲、乙两个工程队有m天共同参加施工,则甲工程队单独施工(30﹣m)天,利用工作总量=工作效率×工作时间,结合30天内至少完成7200m2绿化,即可得出关于m的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.【详解】解:(1)设乙队每天完成的绿化面积为x m2,则甲队每天完成的绿化面积为2x m2,依题意得:600x﹣6002x=3,解得:x=100,经检验,x=100是原方程的解,且符合题意,∴2x=2×100=200.答:甲队每天完成的绿化面积为200m2,乙队每天完成的绿化面积为100m2.(2)设甲、乙两个工程队有m天共同参加施工,则甲工程队单独施工(30﹣m)天,依题意得:(200+100)m+200(30﹣m)≥7200,解得:m≥12.答:甲、乙两个工程队至少有12天必须共同参加施工.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.4、(1)x=32;(2)原方程无解.【分析】(1)方程两边同时乘以最简公分母3(x+1),化为整式方程,解此方程后检验即可得答案;(2)方程两边同时乘以最简公分母(x-2),化为整式方程,解此方程后检验即可得答案.解:(1)21133x xx x=+++,方程两边同时乘以3(x+1)得:3x=2x+3x+3,解得:x=32 -,检验:把x=32-,代入3(x+1)=32-≠0,∴原方程的解为:x=32 -.(2)11222xx x-+=--,方程两边同时乘以(x-2)得:1+2(x-2)=x-1,解得:x=2,检验:把x=2代入x-2=0,∴原方程无解;【点睛】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.5、甲组的速度为9km/h,乙组的速度为6km/h.【分析】设乙组的速度为x km/h,则甲组的速度为(x+3)km/h,根据题意可列出关于x的分式方程,解出方程并检验,即可得出结果.【详解】解:设乙组的速度为x km/h,则甲组的速度为(x+3)km/h,依题意列方程得:120803x x=+经检验,x=6是方程的解∴x+3=6+3=9(km/h)答:甲组的速度为9km/h,乙组的速度为6km/h.【点睛】本题考查分式方程的实际应用.根据题意找出数量关系列出方程是解答本题的关键.。
2022年必考点解析沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十三章概率初步月考试卷(精选含答案)
八年级数学第二学期第二十三章概率初步月考考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、在进行一个游戏时,游戏的次数和某种结果出现的频率如表所示,则该游戏是什么,其结果可能是什么?下面分别是甲、乙两名同学的答案:甲:掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数与4相差1;乙:在“石头、剪刀、布”的游戏中,琪琪随机出的是“剪刀”()A.甲正确,乙错误B.甲错误,乙正确C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误2、不透明的布袋内装有形状、大小、质地完全相同的1个白球,2个红球,3个黑球,若随机摸出一个球恰是黑球的概率为()A.13B.12C.23D.343、下列事件为必然事件的是()A.打开电视,正在播放广告B.抛掷一枚硬币,正面向上C.挪一枚质地均匀的般子,向上一面的点数为7D.实心铁块放入水中会下沉4、下列事件中,属于不可能事件的是()A.射击运动员射击一次,命中靶心B.从一个只装有白球和红球的袋中摸球,摸出黄球C.班里的两名同学,他们的生日是同一天D.经过红绿灯路口,遇到绿灯5、下列事件中,是必然事件的是()A.如果a2=b2,那么a=bB.车辆随机到达一个路口,遇到红灯C.2021年有366天D.13个人中至少有两个人生肖相同6、某十字路口的交通信号灯,每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当你抬头看信号灯时,是绿灯的可能性大小为()A.112B.13C.512D.127、下列说法正确的是()A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示每抛两次就有一次正面朝上C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“拋出朝上的点数是2”这一事件发生的概率稳定在16附近8、从分别标有号数1到10的10张除标号外完全一样的卡片中,随意抽取一张,其号数为3的倍数的概率是()A.710B.12C.310D.1109、下列事件是必然事件的是()A.抛一枚硬币正面朝上B.若a为实数,则a2≥0C.某运动员射击一次击中靶心D.明天一定是晴天10、下列事件中,是必然事件的是()A.同位角相等B.打开电视,正在播出特别节目《战疫情》C.经过红绿灯路口,遇到绿灯D.长度为4,6,9的三条线段可以围成一个三角形.第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、在0,1,2,3,4,5这六个数中,随机取出一个数记为a,使得关于x的一元二次方程2310ax x++=有实数解的概率是______.2、四张背面相同的扑克牌,分别为红桃1,2,3,4,背面朝上,先从中抽取一张把抽到的点数记为a,再在剩余的扑克中抽取一张点数记为b,则以(),a b为坐标的点在直线1y x=-上的概率为______.3、在一个不透明的布袋中,黄色、红色的乒乓球共10个,这些球除颜色外其他都相同.小刚通过多次摸球实验后发现其中摸到黄球的频率稳定在60%,则布袋中红色球的个数很可能是___个.4、粉笔盒中有10支白色粉笔盒若干支彩色粉笔,每支粉笔除颜色外均相同,从中随机拿一支粉笔,拿到白色的概率为25,则其中彩色粉笔的数量为________支.5、在不透明的袋中装有仅颜色不同的一个红球和一个蓝球,从此袋中随机摸出一个小球,然后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的球颜色不同的概率是______三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、一个不透明的口袋中有四个分别标号为1,2,3,4的完全相同的小球,从中随机摸取两个小球.(1)请列举出所有可能结果;(2)求取出的两个小球标号和等于5的概率.2、如图,3×3的方格分为上中下三层,第一层有一枚黑色方块甲,可在方格A、B、C中移动,第二层有两枚固定不动的黑色方块,第三层有一枚黑色方块乙,可在方格D、E、F中移动,甲、乙移入方格后,四枚黑色方块构成各种拼图.(1)若乙固定在E处,移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是.(2)若甲、乙均可在本层移动.①黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是.②用树形图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率.3、一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“香”、“华”、“一”的四个小球,除字不同之外,小球没有任何区别,每次摸球前先搅拌均匀.(1)若从中任取一个球,球上的汉字刚好是“书”的概率为;(2)从中随机取出两球,请用树状图或列表的方法,求取出的两个球上的汉字能组成“华一”的概率.4、某校开展“经典诵读”比赛活动,诵读材料有《论语》,《三字经》,《弟子规》(分别用字母A、B、C依次表示这三个诵读材料),将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上,把这3张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上.小华和小敏参加诵读比赛,比赛时小华先从中随机抽取一张卡片,记录下卡片上的内容,放回后洗匀,再由小敏从中随机抽取一张卡片,选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛.(1)小华诵读《弟子规》的概率是.(2)请用列表法或画树状图法求小华和小敏诵读两个不同材料的概率.5、有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1、2、3、4,放在一个口袋中,随机的摸出一个小球然后放回,再随机的摸出一个小球.(1)求两次摸出的球的标号相同的概率;(2)求两次摸出的球的标号的和等于4的概率.-参考答案-一、单选题1、C【分析】由表可知该种结果出现的概率约为13,对甲乙两人所描述的游戏进行判断即可.【详解】由表可知该种结果出现的概率约为1 3∵掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数有1、2、3、4、5、6 ∴向上的点数与4相差1有3、5∴掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数与4相差1的概率为21 63 =∴甲的答案正确又∵“石头、剪刀、布”的游戏中,琪琪随机出的是“剪刀”概率为1 3∴乙的答案正确综上所述甲、乙答案均正确.故选C.【点睛】本题考查了用频率估计概率,其做法是取多次试验发生的频率稳定值来估计概率.2、B【分析】由在不透明的布袋中装有1个白球,2个红球,3个黑球,利用概率公式直接求解即可求得答案.【详解】解:∵在不透明的布袋中装有1个白球,2个红球,3个黑球,∴从袋中任意摸出一个球,摸出的球是红球的概率是:31 1232=++.故选:B.【点睛】此题考查了概率公式的应用.注意概率=所求情况数与总情况数之比.3、D【分析】根据必然事件的定义:在一定条件下,一定会发生的事件,进行逐一判断即可.【详解】解:A、打开电视,可以正在播放广告,也可以不在播放广告,不是必然事件,不符合题意;B、抛掷一枚硬币,正面可以向上,反面也可以向上,不是必然事件,不符合题意;C、挪一枚质地均匀的般子,向上一面的点数为7,这是不可能发生的,不是必然事件,不符合题意;D、实心铁块放入水中会下沉,这是一定会发生的,是必然事件,符合题意;故选D.【点睛】本题主要考查必然事件,熟知必然事件的定义是解题的关键.4、B【分析】根据不可能事件的意义,结合具体的问题情境进行判断即可.【详解】解:A、射击运动员射击一次,命中靶心,是随机事件;故A不符合题意;B、从一个只装有白球和红球的袋中摸球,摸出黄球,是不可能事件,故B符合题意;C、班里的两名同学,他们的生日是同一天,是随机事件;故C不符合题意;D、经过红绿灯路口,遇到绿灯,是随机事件,故D不符合题意;故选:B.【点睛】本题考查随机事件,不可能事件,必然事件,理解随机事件,不可能事件,必然事件的意义是正确判断的前提.5、D【分析】在一定的条件下重复进行试验时,有的事件在每次试验中必然会发生,这样的事件叫必然发生的事件,简称必然事件;利用概念逐一分析即可得到答案.【详解】解:如果a2=b2,那么a b=±,原说法是随机事件,故A不符合题意;车辆随机到达一个路口,遇到红灯,是随机事件,故B不符合题意;2021年是平年,有365天,原说法是不可能事件,故C不符合题意;13个人中至少有两个人生肖相同,是必然事件,故D符合题意,故选:D.【点睛】本题考查的是必然事件的概念,不可能事件,随机事件的含义,掌握“必然事件的概念”是解本题的关键.6、C【分析】用绿灯亮的时间除以三种灯亮总时间即可解答.【详解】解:除以三种灯亮总时间是30+25+5=60秒,绿灯亮25秒,所以绿灯的概率是:255= 6012.故选C.【点睛】本题主要考查了概率的基本计算,掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键.7、D【分析】根据概率的意义去判断即可.【详解】∵“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性是80%,∴A说法错误;∵抛一枚硬币正面朝上的概率为12”表示正面向上的可能性是12,∴B说法错误;∵“彩票中奖的概率是1%”表示中奖的可能性是1%,∴C说法错误;∵“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为16”表示随着抛掷次数的增加,“拋出朝上的点数是2”这一事件发生的概率稳定在16附近,∴D说法正确;故选D.【点睛】本题考查了概率的意义,正确理解概率的意义是解题的关键.8、C【分析】用3的倍数的个数除以数的总数即为所求的概率.【详解】解:∵1到10的数字中是3的倍数的有3,6,9共3个,∴卡片上的数字是3的倍数的概率是3 10.故选:C.【点睛】本题考查概率的求法.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.9、B【分析】根据必然事件的定义对选项逐个判断即可.【详解】解:A、抛一枚硬币正面朝上,是随机事件,不符合题意;B、若a为实数,则a2≥0,是必然事件,符合题意;C、某运动员射击一次击中靶心,是随机事件,不符合题意;D、明天一定是晴天,是随机事件,不符合题意,故选:B【点睛】本题主要考查了必然事件的定义,熟练掌握必然事件,在一定的条件下重复进行试验时,有的事件在每次试验中必然会发生,这样的事件叫必然发生的事件,简称必然事件是解题的关键.10、D【分析】根据必然事件的概念即可得出答案.【详解】解:∵同位角不一定相等,为随机事件,∴A选项不合题意,∵打开电视,不一定正在播出特别节目《战疫情》,为随机事件,∴B选项不合题意,∵车辆随机到达一个路口,可能遇到红灯,也可能遇到绿灯,为随机事件,∴C选项不合题意,∵4+6>9,∴长度为4,6,9的三条线段可以围成一个三角形为必然事件,.∴D 选项符合题意,故选:D .【点睛】本题主要考查必然事件的概念,必然事件是指一定会发生的事件,关键是要牢记必然事件的概念.二、填空题1、13【分析】根据题意,分0a =,0a ≠时,进而求得一元二次方程根的判别式不小于0的情形数量,即可求得概率.【详解】解:当0a =时,该方程不是一元二次方程,当0a ≠时,2494b ac a ∆=-=-0≥ 解得94a ≤ 1,2a ∴=时,关于x 的一元二次方程2310ax x ++=有实数解∴随机取出一个数记为a ,使得关于x 的一元二次方程2310ax x ++=有实数解的概率是21=63故答案为:13【点睛】本题考查了利用概率公式计算概率,一元二次方程根的判别式判断根的情况,一元二次方程的定义,掌握以上知识是解题的关键.当0∆>时,方程有两个不相等的实数根;当0∆=时,方程有两个相等的实数根;当∆<0时,方程没有实数根.2、14【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与点(a ,b )在直线1y x =-上的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.【详解】解:画树状图得:由树形图可知:一共有12种等可能的结果,其中点(a ,b )在直线1y x =-上的有3种结果, 所以点(a ,b )在直线1y x =-上的概率为31124=, 故答案为:14. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.3、4【分析】设出黄球的个数,根据黄球的频率求出黄球的个数即可解答.【详解】设黄球的个数为x ,∵共有黄色、红色的乒乓球10个,黄球的频率稳定在60%,∴60%10x =, 解得:6x =,∴布袋中红色球的个数很可能是1064-=(个).故答案为:4.【点睛】本题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即概率,关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系,列出方程.4、15【分析】设彩色笔的数量为x 支,然后根据概率公式列出方程求解即可.【详解】解:设彩色笔的数量为x 支, 由题意得:102105x =+, 解得15x =,经检验15x =是原方程的解,∴彩色笔为15支,故答案为:15.【点睛】本题主要考查了概率公式和分式方程,解题的关键在于能够熟练掌握概率公式列出方程进行求解. 5、12【分析】根据题意,列表分析所有可能,然后运用概率公式求解即可.【详解】解:列表如下,R表示红球,B表示蓝球总共4种情况,两次摸出的球颜色不同的2种.所以两次摸出的球颜色不同的概率是21 42故答案是:12.【点睛】本题考查了列表法求概率,列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数,概率=所求情况数与总情况数之比.三、解答题1、(1)见详解;(2)13.【分析】(1)根据题意通过列出相应的表格,即可得出所有可能结果;(2)由题意利用取出的两个小球标号和等于5的结果数除以所有可能结果数即可得出答案. 【详解】解:(1)由题意列表得:所有可能的结果有12种;(2)由(1)表格可知取出的两个小球标号和等于5的结果有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)共4种,而所有可能的结果有12种,所以取出的两个小球标号和等于5的概率41 123 ==.【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.2、(1)23;(2)①29;②59.【分析】(1)直接由概率公式求解即可;(2)①黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形,由概率公式求解即可;②画树状图,再由概率公式求解即可.【详解】解:(1)若乙固定在E处,黑色方块甲,可在方格A、B、C中移动,且当在A、B处时,黑色方块构成的拼图是轴对称图形所以移动甲后黑色方块构成的拼图是轴对称图形的概率是23;(2)①甲、乙在本层移动,一共有339⨯=种情况,其中黑色方块所构拼图中是中心对称图形有两种情形:a、甲在B处,乙在F处;b、甲在C处,乙在E处,所以黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是29;②画树状图如图:由树状图可知,共有9个等可能的结果,黑色方块所构拼图是轴对称图形的结果有5个,∴黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率=59.【点睛】本题考查了列表法与树状图法、轴对称图形、中心对称图形等知识;熟练掌握轴对称图形、中心对称图形,正确画出树状图是解题的关键.3、(1)14;(2)16【分析】(1)根据概率公式计算即可;(2)画出树状图计算即可;【详解】(1)由题可得,球上的汉字刚好是“书”的概率为14;故答案是:14;(2)根据题意画出树状图如下:则取出的两个球上的汉字能组成“华一”的概率为21 126.【点睛】本题主要考查了概率公式和树状图法求概率,准确画图计算是解题的关键.4、(1)13;(2)23【分析】(1)直接根据概率公式求解;(2)利用列表法展示所有9种等可能性结果,再找出小华和小敏诵读两个不同材料的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】解:(1)小华诵读《弟子规》的概率=13;故答案为:13;(2)列表得:由表格可知,共有9种等可能性结果,其中小华和小敏诵读两个不同材料的结果有6种,∴P(小华和小敏诵读两个不同材料)=62 93 =【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.5、(1)14;(2)316【分析】(1)先列出树状图,找到所有的等可能性的结果数,然后找到两次摸出的球的标号相同的结果数,最后利用概率公式求解即可;(2)根据(1)所列树状图,找到两次摸出的球的标号和为4的结果数,利用概率公式求解即可.【详解】解:(1)列树状图如下所示:由树状图可知一共有16种等可能性的结果数,其中两次摸出的球的标号相同的结果数有4种,∴P(两次摸出的球的标号相同)41 164==;(2)由树状图可知一共有16种等可能性的结果数,其中两次摸出的球的标号的和为4的结果数有(1,3),(2,2),(3,1)3种,∴P(两次摸出的球的标号的和等于4)316 .【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率,解题的关键在于能够熟练掌握树状图法或列表法求解概率.。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 向量 教案
课题22.7 向量教学目标知识目标理解向量的基本概念以及零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念.能力目标体验向量是集数形于一身的概念,是数学中数形结合思想的体现. 情感目标感受向量与代数、几何之间的联系,认识其应用价值和文化价值.教学重点向量的概念和零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念.教学难点会判断平行向量、共线向量、相等向量、相反向量.教法学法讲授法、讨论法.课后反馈教学环节及内容设计思路情境实例如图所示,缉私船从港口A行驶到海岛B,然后驶向海面C处执行任务,那么经过两次航行,我们用既有大小又有方向的有向线段AC来表示缉私船的位移.知识学习我们将既有大小又有方向的量叫做向量.以点A为起点,点B为终点的有向线段是向量的几何表示,记作AB,读作向量AB.如缉私船以港口A为从位移的实例出发使学生自然的走向知识点.起点行驶到终点海岛B的航行,就可以用AB表示.向量也可用不带箭头的小写字母a、b、c…表示,印刷用黑体表示.向量AB的大小叫做向量的模,记作AB.a向量的模记作a.模为0的向量叫做零向量,记作0,零向量的方向是不确定的.模为1的向量叫做单位向量.与向量a同方向的单位向量常记作a,显然1=a.大小相等,并且方向相同的两个向量a与b,叫做相等向量,记作a=b.与a大小相等但方向相反的向量叫做a的相反向量(或负向量),记作-a.显然有AB BA-=,-(-a)= a.方向相同或相反的两个非零向量叫做平行向量.如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,点E在底边AB上,且EC∥AD,则图中向量可以表示为AE、AB、EB、CB、DC、DA、EC.可以发现,(1)AE DC=且两个向量AE和DC方向相同,所以AE DC=.(2)DA与EC大小相等,方向相反,所以是互为相反的向量,即DA EC=-.(3)与向量DC平行的向量有AE、EB和AB.注意:由于任意一组平行向量都可平移到同一直线带领学生分析,引导式启发学生得出向量的有关概念及其表示方法.上,因此平行向量也叫共线向量.特别地,规定零向量与任何向量共线.知识应用例1如图所示,设点O是正六边形ABCDEF的中心,AO=a,BO=b,CO=c,试用a、b、c分别表示下列向量:(1)与AO、BO、CO相等的向量;(2)与BO相反的向量;(3)与CO平行的向量.解由于点O是正六边形ABCDEF的中心,由图中各条边的关系得:(1)AO OD FE BC====a;BO OE AF===b;CO OF==c.(2)BO DC-==-b.(3)与CO平行的向量有OF、AB、ED,它们可以表示为OF∥AB∥ED∥c.巩固练习1.试举例说明在日常生活中的向量和标量.例1学生讨论后,个别回答.通过例题进一步领会相等向量、相反向量与平行向量的概念,注意观察学生是否理解知识点.2.下列各量中,向量有;标量有.(填写序号)①密度;②体积;③位移;④加速度;⑤重力;⑥功;⑦电阻;⑧风速.3.有两个向量a、b,判断下面说法是否正确:(1)若a=b,则=a b; ( )(2)若=a b,则a=b; ( )(3)若>a b,则a>b; ( )(4)若a=b,b=c,则a=c. ( )4.有三条船从某港口出发,甲船向北航行100海里,乙船向东航行50海里,丙船向北偏东45°航行100海里,若以港口为坐标原点,以正东方向为x轴,以正北方向为y轴,建立平面直角坐标系,试在坐标系中分别作出它们的位移.5.已知D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,请写出图中满足下列条件的向量:(1)与AD相等的向量;(2)DE的负向量;(3)分别与DE、EF、FD相等的向量;(4)与EF平行的向量.归纳小结练习由学生先自行完成,再选取部分同学回答所做的结果,教师补充.学生小结,培养学生反思学习过程能力.本节课重点学习向量的概念,以及相等向量、相反向量、平行向量的有关概念.。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-22.7 平面向量-课件(共17张PPT)
向量的表示方法
uuur
图中向量可表示为:有向线段 AB ,
B
其中 A为始点,B为终点.
有向线段的长度表示向量
uuur AB的大小,称为向量的模,记作
uuur AB
;
A
有向线段的方向表示向量的方向.
比较:线段
AB与线段
BA一样吗?向量
uuur AB
uuur
向如何?它们的长度是否相等?
D
C
H
G
A
B
E
F
相等向量、相反向量和平行向量
方向相同且长度相等的两个向量叫做相等 的向量. 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为 相反的向量. 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.
D
C
H
G
A
B
E
F
归纳小结:
方向
长度
相平行向量 相同或相反
(3)所有与 AD 平行的向量. B
E
C
例题2:
如图,已知△ABC和点P.以点P为起点,分别画 有向线段表示下列向量:
uuur
(1)与 AB 相等的向量;
A
(2)与 BC 互为相反向量的向 P 量;
(3)与 AC 互为相反向量的向 B
C
量.
拓展练习
下图是由一根铁丝围成的正方形ABCD,在点A 处有一只小虫. (1)如果小虫想要爬到点C处, 它有几种不同的走法, 用向量分别表示出来,并 指出图中相等的向量;
平面向量
思考探究一
一位来上海观光的游客在西藏路上向小明问 路:“到外滩黄浦公园怎样走?”,小明热情 地告诉他:“从这里沿着西藏路向南走大约200 米到第一百货,再沿着南京路向东走大约2000 米就到了”.游客对小明的回答非常满意,这 是为什么?
2021年上海市八年级数学第二学期期末压轴题二24,25题解析5
2021年上海市各区初二期末压轴题图文解析各区24,25压轴题例 2021年上海市青浦区初二下学期期末第24题如图1,在平面直角坐标系xOy 中,已知直线y =x -4分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ,直线BC 与x 轴交于点C (-1, 0).点D 在第四象限,BD ⊥BA .(1)求直线BC 的解析式;(2)当S △ABD =4S △BOC 时,求点D 的坐标;(3)在(2)的条件下,已知点E 在x 轴上,点F 在直线BC 上.如果以C 、D 、F 、E 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出线段OE 的长.图1满分解答(1)由y =x -4,得A (4, 0),B (0,-4).设直线BC 的解析式为y =kx -4(k ≠0).代入点C (-1, 0),得-k -4=0.解得k =-4.所以直线BC 的解析式为y =-4x -4.(2)如图2,在Rt △AOB 中,AO =BO =4,所以AB =ABO =45°. 作DH ⊥y 轴于点H .因为BD ⊥BA ,所以△BDH 为等腰直角三角形.又因为S △ABD =4S △BOC ,所以11422⋅=⨯⋅AB BD OB OC .所以1144122⨯=⨯⨯⨯BD .解得BD =在等腰直角三角形△BDH 中,BH =DH =2.所以D (2,-6).图2(3)线段OE的长为12或52.思路如下:以CE为分类标准,分两种情况讨论.①如图3,当CE为平行四边形的边时,DF//CE//x轴.所以y F=y D=-6.将y=-6代入y=-4x-4,得x=12.所以F(12,-6).所以CE=DF=2-12=32.当点E在点C右侧时,OE=CE-OC=12.当点E在点C左侧时,OE=CE+OC=52.②如图4,当CE为平行四边形的对角线时,D、F两点在x轴的两侧,到x轴的距离相等.所以y F=-y D=6.将y=6代入y=-4x-4,得x=52-.所以F(52-,-6).作DM⊥x轴于M,作FN⊥x轴于N.由ME=CN,得2-x E=(-1)-5 ()2 -.解得x E=12.所以OE=12.图3 图4如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=23,BD⊥DC.M、N分别是AD、CD的中点,联结MN交BD于点Q,点P在线段BQ上.(1)求∠C的度数;(2)求线段DQ的长;(3)联结PM、PN.设PB=x,△PMN的面积为y,求y关于x的函数关系式.图1满分解答(1)如图2,因为AD=AB,所以∠1=∠2.因为AD∥BC,所以∠2=∠3.所以∠1=∠2=∠3.设∠1=∠2=∠3=α.因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠C=∠ABC=2α.在Rt△DBC中,3α=90°.解得α=30°.所以∠C=2α=60°.(2)如图3,因为M、N分别是AD、CD的中点,AD=AB=DC=23,所以DM=DN=3.因为∠MDN=30°+90°=120°,所以∠DMN=∠DNM=30°.在Rt△QDN中,DN=3,设DQ=m,那么QN=2m.由勾股定理,得DN2+DQ2=QN2.所以3+m2=(2m)2.解得m=±1(舍去负值).所以DQ=1.(3)如图2,在Rt△BCD中,∠3=30°,DC=23,所以BC=43,BD=6.如图4,作MH⊥BD于H.在Rt△MHD中,∠MDH=30°,DM=3,所以MH=12DM=32.当点P在线段BQ上时,PQ=BD-PB-DQ=6-x-1=5-x.所以y=S△PMN=S△MPQ+S△NPQ=1()2PQ MH DN⋅+=13(5)(3)22x-⨯+=33(5)4-x.图2 图3 图4如图1,平行四边形ABCD的顶点A、B的坐标分别是A(-1, 0)、B(0,-2),顶点C、D 在反比例函数第一象限的图像上,边AD与y轴交于点E.(1)过点D作y轴的平行线交BC于点F,过点C作CH⊥DF,垂足为H,若点D的坐标为(a, b),求点C点坐标(用a、b表示).(2)若四边形BCDE的面积是△ABE的面积的5倍,求反比例函数的解析式.图1满分解答(1)如图2,因为DC//AB,DC=AB,所以点D按照由A到B的方向平移,就可以得到点C.因为点A(-1, 0)向右平移1个单位,向下平移2个单位得到点B(0,-2),所以点D(a, b)平移后得到点C的坐标为(a+1, b-2).(2)如图2,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,AD=BC,AD//BC.又因为DF//EB,所以四边形BEDF是平行四边形.所以EB=DF,ED=BF.所以AE=CF.所以△AEB≌△CFD(SSS).所以S△AEB=S△CFD.若S四边形BCDE=5S△ABE,那么S平行四边形BEDF=4S△ABE.所以1=42⋅⨯⋅DBE x BE OA.所以x D=2OA=2,即a=2.所以D(2, b),C(3, b-2).设反比例函数的解析式为=kyx(k≠0).将点D(2, b)、C(3, b-2)代入,得23(2)=⎧⎨-=⎩b kb k,.解得612=⎧⎨=⎩bk,.所以反比例函数的解析式为12=yx.图2例2021年上海市世外初二下学期期末第25题如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=5.点P是边AD上一点,联结CP,将四边形ABCP沿CP所在直线翻折,落在四边形EFCP的位置,点A、B的对应点分别为点E、F,边CF与边AD的交点为点G.(1)当AP=2时,求PG的值;(2)如果AP=x,FG=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)联结BP并延长与线段CF交于点M,当△PGM是以MG为腰的等腰三角形,求AP的长.图1 备用图满分解答(1)如图2,因为AD//BC,所以∠1=∠3.又因为∠1=∠2,所以∠2=∠3.所以GP=GC.在Rt△DCG中,DC=2,设GC=GP=m,那么GD=AD-AP-PG=5-2-m=3-m.由勾股定理,得DC2+GD2=GC2.所以22+(3-m)2=m2.解得m=136.所以PG=136.(2)如图2,在Rt△DCG中,DC=2,PG=CG=5-y,所以GD=AD-AP-GP=5-x-(5-y)=y-x.由勾股定理,得DC2+GD2=GC2.所以22+(y-x)2=(5-y)2.整理,得y=221 210--xx.定义域是0<x≤3.当x=3时,G、D两点重合.(3)分两种情况讨论以MG为腰的等腰三角形PGM.①如图3,当MG=MP时,梯形PBCG是等腰梯形,此时AP=GD.所以x=y-x,即2x=y.所以2212210xxx-=-.解得1=x ,2=x =AP . ②如图4,当GM =GP 时,CM =CB =5,此时F 、M 两点重合.又因为CP 平分∠BCF ,根据等腰三角形的“三线合一”,可知CP ⊥BF .于是可证PG 是Rt △MPC 斜边上的中线.所以GM =12MC =52. 即y =221210--x x =52.解得x 1=4(舍),x 2=1.所以AP =1.图2 图3 图4例2021年上海市松江区初二下学期期末第25题如图1,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=2AD,点E是BC边的中点,AE、BD相交于点F.(1)求证:四边形AECD是平行四边形;(2)设边CD的中点为G,联结EG,求证:四边形FEGD是矩形.图1满分解答(1)如图2,因为点E是BC边中点,所以BC=2EC=2BE.因为BC=2AD,所以AD=EC=BE.又因为AD∥BC,所以四边形ABED和四边形AECD是都平行四边形.(2)如图2,因为AD=AB,所以平行四边形ABED是菱形.所以BD⊥AE,BD=2DF.如图3,因为EG是△BCD的中位线,所以EG//BD,BD=2EG.所以EG=DF,四边形FEGD是平行四边形.已知BD⊥AE,所以平行四边形FEGD是矩形.图2 图3例2021年上海市松江区初二下学期期末第26题如图1,已知在正方形ABCD中,AB=2,点E为线段AC上一点(点E不与A、C重合),联结DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE、EF为邻边作矩形DEFG.(1)求证:DE=EF;(2)联结CG、EG,设AE=x,△ECG的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3)设EG、CD相交于点H,如果△EDH是等腰三角形,求线段AE的长.图1 备用图.满分解答(1)如图2,构造矩形DEFG 的外接矩形MNPQ ,MN ⊥AD .所以四边形MNCD 和四边形PQDC 是矩形.因为∠3和∠1都与∠2互余,根据同角的余角相等,得∠3=∠1.又因为MD =NC =NE ,所以△DME ≌△ENF (AAS ).所以DE =EF .图2 图3(2)如图2,因为AD =MQ ,所以AM =DQ =CP .又因为PG =ME ,AM =ME ,等量代换,得CP =PG .所以△CPG 是等腰直角三角形,CG =AE .所以∠ECG =90°.在正方形ABCD 中,AB =2,所以AC =已知AE =x ,所以EC =AC -AE =x ,CG =AE =x .如图3,y =S △ECG =12⋅EC CG =1)2⋅x x 212-x .定义域是0<x <(3)在正方形DEFG 中,∠DEH =45°,分三种情况讨论等腰三角形EDH . ①如图4,当DE =DH 时,点A 与点E 重合,舍去.②如图5,当HD =HE 时,△DEH 是等腰直角三角形,点E 是AC 的中点.所以AE =12AC ③如图6,当ED =EH 时,∠EDH =∠EHD =67.5°.在△CDE 中,∠DCE =45°,∠EDC =67.5°,所以∠CED =67.5°.所以CE=CD=2.所以AE=AC-CE=222-.图4 图5 图6例2021年上海市杨浦区初二下学期期末第25题如图1,已知在平面直角坐标系中,直线y=2x与反比例函数kyx=(k≠0)在第一象限内的图像交于点A(m, 2),将直线y=2x平移后与kyx=在第一象限内的图像交于点B,且△AOB的面积为2.(1)求k的值;(2)求平移后的直线表达式.图1满分解答(1)将A(m, 2)代入y=2x,得2m=2.解得m=1.所以A(1, 2).将A(1, 2)代入kyx=,得k=2.(2)如图2,设平移后的直线与y轴交于点P,联结AP.因为△AOP与△AOB是同底等高的两个三角形,所以S△AOP=S△AOB=2.所以122⋅=AOP x.已知A(1, 2),所以OP=4.①如图2,当点P在x轴上方时,P(0, 4).所以平移后的直线表达式为y=2x+4.②如图3,当点P在x轴下方时,P(0,-4).所以平移后的直线表达式为y=2x-4.图2 图3考点延伸第(2)题△AOB的面积,还可以这样转化:如图4,如图5,作AG ⊥x 轴于点G ,作BH ⊥x 轴于点H .因为A 、B 两点在反比例函数2=y x上,所以S △BOH =S △AOG . 所以S △AOB =S △BOH +S 梯形AGHB -S △AOG =S 梯形AGHB =2.图4 图5例 2021年上海市杨浦区初二下学期期末第26题已知在平行四边形ABCD 中,AB ≠BC ,将△ABC 沿直线AC 翻折,点B 落在点E 处,AD 与CE 相交于点O ,联结DE .(1)如图1,求证:AC //DE ;(2)如图2,如果∠B =90°,AB BC ,求△OAC 的面积;(3)如果∠B =30°,AB =,当△AED 是直角三角形时,求BC 的长.图1 图2 备用图满分解答(1)如图3,因为△ABC ≌△AEC ,△ABC ≌△CDA ,所以△AEC ≌△CDA . 根据全等三角形对应边上的高相等,可知E 、D 两点到AC 边的距离相等. 所以AC //DE .(2)如图4,因为AD //BC ,所以∠1=∠2.又因为∠2=∠3,所以∠1=∠3.所以OA =OC .在Rt △ODC 中,DC OA =OC =x ,那么OD =BC -OA x .由勾股定理,得DC 2+OD 2=OC 2.所以3+x )2=x 2.解得x .所以OA =OC .所以S △OAC =1122⋅==OA DC .图3 图4(3)分两种情况讨论直角三角形AED.①如图5,当∠EAD=90°时,延长EA交BC于点G.因为AD//BC,所以∠EGC=∠EAD=90°.在Rt△AGB中,∠B=30°,AB=,所以AG在Rt△EGC中,∠AEC=30°,EG=AE+AG=设GC=m,那么EC=2m.由勾股定理,得EG2+GC2=EC2.所以27+m2=(2m)2.解得m=±3(舍去负值).所以BC=EC=2m=6.②如图6,当∠AED=90°时,由ED//AC,得∠BAC=∠AED=90°.在Rt△BAC中,∠B=30°,AB=,设AC=n,那么BC=2n.由勾股定理,得AB2+AC2=BC2.所以12+n2=(2n)2.解得m=±2(舍去负值).所以BC=2n=4.图5 图6第(3)题如果没有题干“AD与CE交于点O”的条件限制,还存在如图7、图8两种情况.如图7,四边形ACED是矩形,在Rt△ABC中,AB=,AC BC=3.如图8,在Rt△ADE中,AE=,AD=2.所以BC=2.图7 图8例2021年上海市长宁区初二下学期期末第24题如图1,△ABC和△ADE都是等边三角形,点D在BC边上,EF//BC交AC于点F,联结BE.求证:四边形BEFC为平行四边形.图1满分解答如图2,因为△ABC和△ADE都是等边三角形,所以AB=AC,AE=AD,∠EAD=∠BAC=∠C=∠ABC=60°.所以∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠1=∠2.所以△AEB≌△ADC(SAS).所以∠ABE=∠C=60°.所以∠EBC+∠C=120°+60°=180°.所以EB//FC.又因为EF//BC,所以四边形BEFC为平行四边形.图2例2021年上海市长宁区初二下学期期末第25题如图1,在正方形ABCD中,AB=1,E为边AB上的一点(点E不与端点A、B重合),F为BC延长线上的一点,且AE=CF,联结EF交对角线AC于点G.(1)求证:DE=DF;(2)联结DG,求证:DG⊥EF;(3)设AE=x,AG=y,求y关于x的函数解析式及定义域.满分解答(1)如图2,由DA =DC ,∠DAE =∠DCF ,AE =CF ,得△EAD ≌△FCD . 所以DE =DF .图2 图3(2)如图3,作EH ⊥AB 交AC 于点H ,得等腰三角形AEH .所以EH =AE =CF .因为BC ⊥AB ,所以EH //BC .所以∠HEG =∠CFG .又因为∠EGH =∠FGC ,所以△EGH ≌△FGC .所以HG =CG ,EG =FG .在△DEF 中,DE =DF ,EG =FG ,由等腰三角形的“三线合一”,得DG ⊥EF .(3)如图3,在Rt △ABC 中,AB =BC =1,所以AC在Rt △AEH 中,AE =HE =x ,所以AH .所以HG =CG =12CH所以y =AG =AC -CG 定义域是0<x <1.。
上海初二数学知识点
上海初二数学知识点上海初二数学知识点概述一、实数1. 有理数和无理数的概念2. 绝对值的计算和性质3. 实数的四则运算规则4. 实数的大小比较和不等式5. 根号的计算和性质二、代数式1. 单项式与多项式的定义2. 多项式的加减法运算3. 乘法公式,包括平方差、完全平方等4. 多项式的乘法和除法运算5. 因式分解的方法,如提取公因式、使用公式法、十字相乘法等三、方程与不等式1. 一元一次方程的解法2. 二元一次方程组的解法,包括代入法、消元法等3. 一元二次方程的解法,包括直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法4. 不等式的基本性质和解集的表示5. 一元一次不等式和一元一次不等式组的解法四、函数1. 函数的概念及表示方法2. 线性函数和二次函数的图像及性质3. 函数的基本运算,包括加法、减法、乘法和除法4. 函数的应用问题,如实际问题中的函数建模五、几何1. 平行线的性质和判定2. 三角形的基本概念和分类3. 特殊三角形的性质,如等腰三角形、等边三角形、直角三角形4. 平行四边形的性质和判定,包括矩形、菱形、正方形5. 圆的基本性质,包括圆心、半径、直径、弦、弧、切线等6. 圆的性质和定理,如垂径定理、圆周角定理、切线长定理等7. 几何图形的计算,包括周长、面积的计算公式六、统计与概率1. 数据的收集和整理2. 频数和频率的概念3. 统计图表的绘制和解读,如条形图、折线图、饼图4. 概率的基本概念和计算方法5. 简单事件的概率求解以上是上海初二数学的主要知识点概述,学生应根据这些知识点进行系统的学习和复习,以确保对每个概念都有深刻的理解和掌握。
教师和家长也应根据这些知识点来辅导和检查学生的学习进度,确保他们能够顺利地掌握初二数学的内容。
精品试题沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形单元测试试卷(含答案解析)
八年级数学第二学期第二十二章四边形单元测试考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程x2+ax=b2的方法,类似地我们可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1=0的一个正根.如图,一张边长为1的正方形的纸片ABCD,先折出AD,BC的中点E,F,再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上,点D的对应点为点H,折痕为AG,点G在边CD上,连接GH,GF,长度恰好是方程x2+x﹣1=0的一个正根的线段为()A.线段BF B.线段DG C.线段CG D.线段GF2、如图,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是()A.当▱ABCD是矩形时,∠ABC=90°B.当▱ABCD是菱形时,AC⊥BDC.当▱ABCD是正方形时,AC=BD D.当▱ABCD是菱形时,AB=AC3、正八边形的外角和为()A.360︒B.720︒C.900︒D.1080︒4、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、AF为折痕,点B、D折叠后的对应点分别为∠''=10°,则∠EAF的度数为()B′、D',若B ADA.40°B.45°C.50°D.55°5、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=18,BC=14,D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,BE,点M在CB的延长线上,连接DM,若∠MDB=∠A,则四边形DMBE的周长为()A.16 B.24 C.32 D.406、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是()A.AB=BE B.DE⊥DC C.∠ADB=90°D.CE⊥DE7、在平行四边形ABCD中,∠A=30°,那么∠B与∠A的度数之比为()A.4:1 B.5:1 C.6:1 D.7:18、如图,平行四边形ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长是()A.12 B.15 C.18 D.249、下列说法不正确...的是()A.三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角B.四边形的内角和与外角和相等C.等边三角形是轴对称图形,对称轴只有一条D.全等三角形的周长相等,面积也相等10、n边形的每个外角都为15°,则边数n为()A.20 B.22 C.24 D.26第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、已知□ABCD的周长是20cm,且AB:BC=3:2,则AB=_______cm.2、如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,以点B为圆心,以任意长为半径作弧,分别交BA、BC于点P、Q,再分别以P、Q为圆心,以大于1PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M,2连接BM并延长交AD于点E,则DE的长为________.3、一个多边形,每个外角都是60︒,则这个多边形是________边形.4、四边形的外角度数之比为1:2:3:4,则它最大的内角度数为_____.5、在四边形ABCD中,若AB//CD,BC_____AD,则四边形ABCD为平行四边形.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,在正方形ABCD中,点,E F分别在边AB、BC上,AF与DE相交于点G,且∠=∠.BAF ADE(1)如图1,求证:AF DE⊥;(2)如图2,AG与DG是方程22-=的两个根,四边形BFGE的面积为x kx(10方形ABCD的面积.(3)在第(2)题的条件下,如图3,延长BC 至点N ,使得CN =3,连接GN 交CD 于点M ,直接写出线段2GN 的值.2、如图,在平行四边形ABCD 中,8cm AB =,16cm BC =.30B ∠=︒.点P 在BC 上由点B 向点C 出发,速度为每秒2cm ;点Q 在边AD 上,同时由点D 向点A 运动,速度为每秒1cm .当点P 运动到点C 时,点P ,Q 同时停止运动.连接PQ ,设运动时间为t 秒.(1)当t 为何值时,四边形ABPO 为平行四边形?(2)设四边形ABPQ 的面积为y ,求y 与t 之间的函数关系式.(3)当t 为何值时,四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三?求出此时PQD ∠的度数.(4)连接AP ,是否存在某一时刻t ,使ABP △为等腰三角形?若存在,请求出此刻t 的值;若不存在,请说明理由.3、小乾同学提出一种新图形定义:一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形.如图1,四边形ABCD 中,AB =CD ,AB ⊥CD ,四边形ABCD 即为等垂四边形,其中相等的边AB 、CD 称为腰,另两边AD 、BC 称为底.(1)性质初探:小乾同学探索了等垂四边形的一些性质,请你补充完整:①等垂四边形两个钝角的和为°;②若等垂四边形的两底平行,则它的最小内角为°.(2)拓展研究:①小坤同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关系,如图2,M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点,试探索MN与AB的数量关系,小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180°,请按此方法求出MN与AB的数量关系,并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数.②如图1,等垂四边形ABCD的腰为AB、CD,AB=CD=AD=3,则较长的底BC长的取值范围是.(3)实践应用:如图3,直线l1,l2是两条相互垂直的公路,利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园,第四条边CD做成一条隔离带,已知AB=250米,BC=240米,AD=320米,此隔离带最长为多少米?4、如图,点E为矩形ABCD外一点,AE = DE.求证:△ABE≌△DCE5、如图,在ABCD中,AD>AB,∠ABC的平分线交AD于点F,EF∥AB交BC于点E.(1)求证:四边形ABEF 是菱形;(2)若AB =5,AE =6,ABCD 的面积为36,求DF 的长.-参考答案-一、单选题1、B【分析】首先根据方程x 2+x -1=0,再判断这个数值和题目中的哪条线段接近.线段BF =0.5排除,其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系.利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和,列等量关系.设DG =m ,则GC =1-m ,从而可以用m 表示等式.【详解】解:设DG =m ,则GC =1-m .由题意可知:△ADG ≌△AHG ,F 是BC 的中点,∴DG =GH =m ,FC =0.5.∵S 正方形=S △ABF +S △ADG +S △CGF +S AGF ,∴1×1=12×1×12+12×1×m +12×12×(1-m )+12×m ,∴m .∵x2+x-1=0的解为:x∴取正值为x.∴这条线段是线段DG.故选:B.【点睛】此题考查的是一元二次方程的解法,运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键.2、D【分析】由矩形的四个角是直角可判断A,由菱形的对角线互相垂直可判断B,由正方形的对角线相等可判断C,由菱形的四条边相等可判断D,从而可得答案.【详解】解:当▱ABCD是矩形时,∠ABC=90°,正确,故A不符合题意;当▱ABCD是菱形时,AC⊥BD,正确,故B不符合题意;当▱ABCD是正方形时,AC=BD,正确,故C不符合题意;当▱ABCD是菱形时,AB=BC,故D符合题意;故选D【点睛】本题考查的是矩形,菱形,正方形的性质,熟练的记忆矩形,菱形,正方形的性质是解本题的关键.3、A【分析】根据多边形的外角和都是360︒即可得解.【详解】解:∵多边形的外角和都是360︒,∴正八边形的外角和为360︒,故选:A.【点睛】此题考查了多边形的内角与外角,熟记多边形的外角和是360︒是解题的关键.4、A【分析】可以设∠EAD′=α,∠FAB′=β,根据折叠可得∠DAF=∠D′AF,∠BAE=∠B′AE,用α,β表示∠DAF=10°+β,∠BAE=10°+α,根据四边形ABCD是矩形,利用∠DAB=90°,列方程10°+β+β+10°+10°+α+α=90°,求出α+β=30°即可求解.【详解】解:设∠EAD′=α,∠FAB′=β,根据折叠性质可知:∠DAF=∠D′AF,∠BAE=∠B′AE,∵∠B′AD′=10°,∴∠DAF=10°+β,∠BAE=10°+α,∵四边形ABCD是矩形∴∠DAB=90°,∴10°+β+β+10°+10°+α+α=90°,∴α+β=30°,∴∠EAF=∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′,=10°+α+β,=10°+30°,=40°.则∠EAF的度数为40°.故选:A.【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力,解决此类问题,应结合题意,最好实际操作图形的折叠,易于找到图形间的关系.5、C【分析】BC,根据平行线的性由中点的定义可得AE=CE,AD=BD,根据三角形中位线的性质可得DE//BC,DE=12质可得∠ADE=∠ABC=90°,利用ASA可证明△MBD≌△EDA,可得MD=AE,DE=MB,即可证明四边形DMBE是平行四边形,可得MD=BE,进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC,即可得答案.【详解】∵D,E分别是AB,AC的中点,∴AE=CE,AD=BD,DE为△ABC的中位线,BC,∴DE//BC,DE=12∵∠ABC=90°,∴∠ADE=∠ABC=90°,在△MBD 和△EDA 中,90MDB A BD AD MBD ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩, ∴△MBD ≌△EDA ,∴MD =AE ,DE =MB ,∵DE //MB ,∴四边形DMBE 是平行四边形,∴MD =BE ,∵AC =18,BC =14,∴四边形DMBE 的周长=2DE +2MD =BC +AC =18+14=32.故选:C .【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质,三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半;有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.6、B【分析】先证明四边形BCED 为平行四边形,再根据矩形的判定进行解答.【详解】解:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD ∥BC ,且AD =BC ,又∵AD =DE ,∴DE ∥BC ,且DE =BC ,∴四边形BCED 为平行四边形,A、∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE,∴□DBCE为矩形,故本选项不符合题意;B、∵DE⊥DC,∴∠EDB=90°+∠CDB>90°,∴四边形DBCE不能为矩形,故本选项符合题意;C、∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴□DBCE为矩形,故本选项不符合题意;D、∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴□DBCE为矩形,故本选项不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识,判定四边形BCED为平行四边形是解题的关键.7、B【分析】根据平行四边形的性质先求出∠B的度数,即可得到答案.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠B=180°-∠A=150°,∴∠B:∠A=5:1,故选B.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质,解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形邻角互补.8、B【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得,OB=OD,又因为E点是CD的中点,可得OE是△BCD的中位线,可得OE=12BC,所以易求△DOE的周长.【详解】解:∵▱ABCD的周长为36,∴2(BC+CD)=36,则BC+CD=18.∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,∴OD=OB=12BD=6.又∵点E是CD的中点,∴OE是△BCD的中位线,DE=12CD,∴OE=12BC,∴△DOE的周长=OD+OE+DE=12BD+12(BC+CD)=6+9=15,故选:B.【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质.解题时,利用了“平行四边形对角线互相平分”、“平行四边形的对边相等”的性质.9、C【分析】根据三角形外角的性质,四边形内角和定理和外角和定理,等边三角形的对称性,全等三角形的性质判断即可.【详解】∵三角形的外角大于每一个与之不相邻的内角,正确,∴A不符合题意;∵四边形的内角和与外角和都是360°,∴四边形的内角和与外角和相等,正确,∴B不符合题意;∵等边三角形是轴对称图形,对称轴有三条,∴等边三角形是轴对称图形,对称轴只有一条,错误,∴C符合题意;∵全等三角形的周长相等,面积也相等,正确,∴D不符合题意;故选C.【点睛】本题考查了三角形外角的性质,四边形的内角和,外角和定理,等边三角形的对称性,全等三角形的性质,准确相关知识是解题的关键.10、C【分析】根据多边形的外角和等于360度得到15°•n=360°,然后解方程即可.【详解】解:∵n边形的每个外角都为15°,∴15°•n=360°,∴n=24.故选C.【点睛】本题考查了多边形外角和,熟练掌握多边形外角和为360度是解题的关键.二、填空题1、6【分析】由平行四边形ABCD的周长为20cm,根据平行四边形的性质,即可求得AB+BC=10cm,又由AB:BC=3:2,即可求得答案.【详解】解:∵平行四边形ABCD的周长为20cm,∴AB=CD,AD=BC,AB+BC+CD+AD=20cm,∴AB+BC=10cm,∵AB:BC=3:2,∴3=106cm32AB⨯=+.故答案为:6.【点睛】本题考查平行四边形的性质,解题的关键是掌握平行四边形的性质.2、2【分析】先根据题意得到BE为∠ABC的平分线,再根据平行四边形的定义和性质得到AD∥BC,AD=BC=6,进而得到AB=AE=4,即可求出DE=2.【详解】解:由尺规作图得,BE为∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=6,∴∠AEB=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE=4,∴DE=AD-AE=2.故答案为:2【点睛】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线,平行四边形的性质,等腰三角形的性质等知识,熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键.3、六6【分析】根据正多边形的性质,边数等于360°除以每一个外角的度数.【详解】∵一个多边形的每个外角都是60°,∴n=360°÷60°=6,故答案为:六.【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和,熟练掌握多边形外角和360°是解决问题的关键.4、144°度【分析】先根据四边形的四个外角的度数之比分别求出四个外角,再根据多边形外角与内角的关系分别求出它们的内角,即可得到答案.【详解】解:∵四边形的四个外角的度数之比为1:2:3:4,∴四个外角的度数分别为:360°×136 1234=︒+++;360°×272 1234=︒+++;360°×3108 1234=︒+++;360°×4144 1234=︒+++;∴它最大的内角度数为:18036144︒-︒=︒.故答案为:144°.【点睛】本题考查了多边形的外角和,以及邻补角的定义,解题的关键是掌握多边形的外角和为360°,从而进行计算.5、∥【分析】根据平行四边形的判定:两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题.【详解】解:根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知:∵AB //CD ,BC //AD ,∴四边形ABCD 为平行四边形.故答案为://.【点睛】本题考查了平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.三、解答题1、(1)见解析;(2)16;(3)55-【分析】(1)由正方形ABCD 得90DAE ABF ∠=∠=︒,由BAF ADE ∠=∠得90ADE AED BAF AED ∠+∠=∠+∠=︒,从而得出90AGE ∠=︒即可得证;(2)由ASA 证明ABF DAE ≅,从而得出AGD BFGE S S =,设AG a =,DG b =,则12ab =,即ab =k ,即可得出2222()2ABCD S AD a b a b ab ==+=+-正方形;(3)过点G 作PQ ⊥AD 于点P ,交BC 于Q ,则GQ ⊥BC ,由(2)可知,4=AD ,2AG =,DG =由等面积法求出PG ,由勾股定理求出AP ,故可得QG 、QN ,由勾股定理即可求出答案.【详解】(1)∵四边形ABCD 是正方形,∴90DAE ABF ∠=∠=︒,∵BAF ADE ∠=∠,∴90ADE AED BAF AED ∠+∠=∠+∠=︒,∴90AGE ∠=︒,∴AF DE ⊥;(2)∵四边形ABCD 是正方形,∴AB AD =,在ABF 与DAE △中,90BAF ADE AB DA ABF DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩, ()ABF DAE ASA ≅,∴AGD BFGE S S ==设AG a =,DG b =,则12ab =ab = ∵AG 与DG是方程22(10x kx -=的两个根,∴2ab ==,2=解得:2k =±,(10a b k +==+>, ∴0k >,∴2k =,∴一元二次方程为22(10x x -+,22222()24(1216ABCD S AD a b a b ab ==+=+-=-⨯=正方形;(3)如图,过点G 作PQ ⊥AD 于点P ,交BC 于Q ,则GQ ⊥BC ,由(2)可知,4=AD ,2AG =,DG =AG DG PG AD ⋅===1AP ==,则4QG =1BQ =,3QC =,∴6QN =,22222(4655GN GQ QN =+=+=-【点睛】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理,掌握知识点间的相互应用是解题的关键.2、(1)163;(2)y =S 四边形ABPQ =2t +32(0<t ≤8);(3)t =8,75PQD ∠=;(4)当t =4或或ABP △为等腰三角形,理由见解析.【分析】(1)利用平行四边形的对边相等AQ =BP 建立方程求解即可;(2)先构造直角三角形,求出AE,再用梯形的面积公式即可得出结论;(3)利用面积关系求出t,即可求出DQ,进而判断出DQ=PQ,即可得出结论;(4)分三种情况,利用等腰三角形的性质,两腰相等建立方程求解即可得出结论.【详解】解:(1)∵在平行四边形ABCD中,8cmAB=,16cmBC=,由运动知,AQ=16−t,BP=2t,∵四边形ABPQ为平行四边形,∴AQ=BP,∴16−t=2t∴t=163,即:t=163s时,四边形ABPQ是平行四边形;(2)过点A作AE⊥BC于E,如图,在Rt△ABE中,∠B=30°,AB=8,∴AE=4,由运动知,BP=2t,DQ=t,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=16,∴AQ=16−t,∴y=S四边形ABPQ=12(BP+AQ)•AE=12(2t+16−t)×4=2t+32(0<t≤8);(3)由(2)知,AE=4,∵BC=16,∴S四边形ABCD=16×4=64,由(2)知,y=S四边形ABPQ=2t+32(0<t≤8),∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三∴2t+32=34×64,∴t=8;如图,当t=8时,点P和点C重合,DQ=8,∵CD=AB=8,∴DP=DQ,∴∠DQC=∠DPQ,∴∠D=∠B=30°,∴∠DQP=75°;(4)①当AB=BP时,BP=8,即2t=8,t=4;②当AP=BP时,如图,∵∠B=30°,过P作PM垂直于AB,垂足为点M,∴BM=4,22242BPBP⎛⎫+=⎪⎝⎭,解得:BP,∴2t,∴t③当AB=A P时,同(2)的方法得,BP=∴2t=∴t=所以,当t=4或ABP为等腰三角形.【点睛】此题是四边形综合题,主要考查了平行四边形的性质,含30°的直角三角形的性质,等腰三角形的性质,解(1)的关键是利用AQ=BP建立方程,解(2)的关键是求出梯形的高,解(3)的关键是求出t,解(4)的关键是分类讨论的思想思考问题.3、(1)①270;②45;(2)①MN AB =,AB 与MN 所在直线相交所成的锐角度数为45°,理由见解析;②3BC ≤+(3)650米【分析】(1)①延长CD 与BA 延长线交于点P ,则∠P =90°,可以得到∠B +∠C =90°,再由∠B +∠C +∠BAD +∠ADC =360°,即可得到∠BAD +∠ADC =270°;②延长CD 交BA 延长线于P ,过点D 作DE ∥AB 交BC 于E ,则∠DEC =∠B ,由等垂四边形的两底平行,即AD ∥BC ,可证四边形ABED 是平行四边形,得到DE =AB ,再由AB =CD ,AB ⊥CD 得到DE =CD ,DE ⊥CD ,则∠DEC =∠C =45°,即四边形ABCD 的最小内角为45°;(2)①延长CD 交BA 延长线与P ,交NM 延长线与Q ,NM 延长线与BA 延长线交于点F ,将腰AB 绕中点M 旋转180°得到DE ,连接CE ,BE ,由旋转的性质可得:MB =ME ,AB =DE ,∠ABM =∠DEM ,则CD =AB =DE ,AB ∥DE ,即可推出∠DEC =∠DCE ,∠EDC =∠EDP =∠BPD =90°,由勾股定理得到CE ==,∠DEC =∠DCE =45°,再证MN 是△BCE 的中位线,得到12MN CE AB ==,MN ∥CE ,则∠NQC =∠DCE =45°,由此即可推出直线AB 与直线MN 所在直线相交所成的锐角度数为45°;②延长CD 交BA 延长线于P ,取AD ,BC 的中点,M 、N 连接PM ,PN ,同理可得∠APD =90°,则1322PM AD ==,12PN BC =,即2BC PN =,由(2)①可知MN AB ==即可推出23BC PN =≤+PMN 随着PA 减小而减小,当点P 与点A 重合时,∠PMN 最小,此时PN 最小,即BC 最小,即此时A 、D 、C 三点共线由勾股定理得:BC ==3BC ≤+(3)仿照(2)②进行求解即可.(1)解:①如图所示,延长CD 与BA 延长线交于点P ,∵四边形ABCD 为等垂四边形,即AB =CD ,AB ⊥CD ,∴∠P =90°,∴∠B +∠C =90°,∵∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=360°,∴∠BAD+∠ADC=270°,故答案为:270;②如图所示,延长CD交BA延长线于P,过点D作DE∥AB交BC于E,∴∠DEC=∠B,∵等垂四边形的两底平行,即AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,∴DE=AB,又∵AB=CD,AB⊥CD∴DE=CD,DE⊥CD,∴∠DEC=∠C=45°,∴四边形ABCD的最小内角为45°,故答案为:45;(2)解:①MN AB,AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45°,理由如下:延长CD交BA延长线与P,交NM延长线与Q,NM延长线与BA延长线交于点F,将腰AB绕中点M旋转180°得到DE,连接CE,BE,∵四边形ABCD 是等垂四边形,∴AB =CD ,AB ⊥CD ,∴∠BPC =90°,∵M 是AD 的中点,∴MA =MD ,由旋转的性质可得:MB =ME ,AB =DE ,∠ABM =∠DEM ,∴CD =AB =DE ,AB ∥DE ,∴∠DEC =∠DCE ,∠EDC =∠EDP =∠BPD =90°,∴CE =,∠DEC =∠DCE =45°,又∵M 、N 分别是BE ,BC 的中点,∴MN 是△BCE 的中位线,∴12MN CE AB ==,MN ∥CE , ∴∠NQC =∠DCE =45°,∵∠BPC =90°,∴∠QPF =90°,∴∠QFP =45°,∴直线AB 与直线MN 所在直线相交所成的锐角度数为45°;②如图所示,延长CD 交BA 延长线于P ,取AD ,BC 的中点,M 、N 连接PM ,PN ,同理可得∠APD =90°, ∴1322PM AD ==,12PN BC =,即2BC PN =,由(2)①可知MN AB ==∵32PN MN PM ≤+=+∴23BC PN =≤+又∵∠PMN 随着PA 减小而减小,当点P 与点A 重合时,∠PMN 最小,此时PN 最小,即BC 最小,即此时A 、D 、C 三点共线由勾股定理得:BC∴3BC ≤≤+故答案为:3BC ≤≤+(3)解:如图所示,取AB ,CD 的中点M ,N ,连接MN ,作点C 关于M 的对称点E ,连接CE ,AE ,DE ,设直线l 1与直线l 2交于点P ,由(2)可知,AE ∥BC ,AE =BC =240米,∵l 1⊥l 2,∴∠APB =∠PAE =90°,∴∠DAE =90°,∴400DE =米,∵M 、N 分别是CE ,CD 的中点,∴MN 是△CED 的中位线, ∴12002MN ED ==米,MN ∥DE , ∵M 为AB 的中点,∠APB =90°, ∴11252PM AB ==米, 同理可得12PN CD =,即2CD PN =∴325PN PM MN ≤+=米,∴2650CD PN =≤米,∴隔离带最长为650米.【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定,三角形中位线定理,直角三角形斜边上的中线,勾股定理,三角形三边的关系等等,解题的关键在于能够正确理解题意作出辅助线求解.4、见解析【分析】利用矩形性质以及等边对等角,证明EAB EDC ∠=∠,最后利用边角边即可证明ABE DCE ∆∆≌.【详解】 解:四边形ABCD 是矩形,AB DC ∴=,90BAD CDA ∠=∠=︒,AE DE =,EAD EDA ∴∠=∠,EAB BAD EAD CDA EDA EDC ∴∠=∠+∠=∠+=∠,在ABE ∆和DCE ∆中,AE DE EAB EDC AB DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE DCE SAS ∴∆∆≌.【点睛】本题主要是考查了矩形的性质、等边对等角以及全等三角形的判定,熟练地利用矩形性质以及等边对等角,求证边和角相等,进而证明三角形全等,这是解决该题的关键.5、(1)见解析;(2)2.5.【分析】(1)根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF =∠AFB 、可得AB =AF ,同理可得AB =AF ,再由AF ∥BE 可得四边形ABEF 是菱形;(2)过A 作AH ⊥BE 垂足为E ,根据菱形的性质可得AO =EO 、BO =FO ,AF =EF =AB =5,AE ⊥BF ,利用勾股定理可得AO 的长,进而可得AE 长,利用菱形的面积公式计算出AH 的长,然后根据ABCD 的面积公式求出AD ,最后根据线段的和差即可解答.【详解】(1)证明:四边形ABCD 是平行四边形,∴AD //BC ,即AF //BE∴∠FBE =∠AFB ,∵∠ABC 的平分线交AD 于点F ,∴∠ABF =∠EBF ,∴∠ABF=∠AFB,∴AB=AF,又∵AB//EF,AF//BE∴四边形ABEF是平行四边形,∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形;(2)如图:过A作AH⊥BE垂足为H,∵四边形ABCD是菱形,∴AO=EO,BO=FO,AF=AB=5,AE⊥BF,∵AE=6,∴AO=3,∴BO4==∴BF=8,∴S菱形ABEF=12AE·BF=12×8×6=24,∴BE·AH=24,∴AH=245;∵S平行四边形ABCD=BC·AH=36,∴BC=15 2∵平行四边形ABCD∴AD=BC=15 2∴FD=AD-AF=152-5=2.5..【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题,灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键.。
2022年最新沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十二章四边形章节训练试题(含解析)
八年级数学第二学期第二十二章四边形章节训练考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、如图,菱形ABCD 中,∠BAD = 60°,AB = 6,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ,若点G 恰好为CD 边的中点,则AE 的长为( )A .34 B .214 C D .2、下列说法正确的( )A .连接两点的线段叫做两点之间的距离B .过七边形的一个顶点有5条对角线C .若AC =BC ,则C 是线段AB 的中点D .用一个平面去截三棱柱,截面可能是四边形3、n 边形的每个外角都为 15°,则边数 n 为( )A.20 B.22 C.24 D.264、如图,把矩形纸片ABCD沿对角线折叠,若重叠部分为EBD∆,那么下列说法错误的是()A.EBD∆是等腰三角形B.EBA∆和EDC∆全等C.折叠后得到的图形是轴对称图形D.折叠后ABE∠和CBD∠相等5、如图,点E是△ABC内一点,∠AEB=90°,D是边AB的中点,延长线段DE交边BC于点F,点F 是边BC的中点.若AB=6,EF=1,则线段AC的长为()A.7 B.152C.8 D.96、在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AC=6,过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,则△BDE的面积为()A.22 B.24 C.48 D.447、如图,以O为圆心,OA长为半径画弧别交OM ON、于A、B两点,再分别以A、B为圆心,以OA 长为半径画弧,两弧交于点C,分别连接AC、BC,则四边形OACB一定是()A .梯形B .菱形C .矩形D .正方形8、已知正多边形的一个外角等于45°,则该正多边形的内角和为( )A .135°B .360°C .1080°D .1440°9、如图,四边形ABCD 为平行四边形,延长AD 到E ,使DE =AD ,连接EB ,EC ,DB ,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A .AB =BE B .DE ⊥DC C .∠ADB =90°D .CE ⊥DE10、如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO 的两边OA ,OC 落在坐标轴上,反比例函数y =k x的图象分别交BC ,OB 于点D ,点E ,且45BD CD ,若S △AOE =3,则k 的值为( )A .﹣4B .﹣403C .﹣8D .﹣第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、直线()0y x m m =-+>与双曲线()10y x x=>的图象交于C 、D 两点,以OC 、OD 为邻边作OCED .现有以下结论:①OCED 为菱形②2m ≥;③若45COD ∠=︒,则1COD S =;④OCED 可以是正方形,其中正确的是______.(写出所有正确结论的序号)2、在平行四边形ABCD 中,若∠A =130°,则∠B =______,∠C =______,∠D =______.3、菱形ABCD 的一条对角线的长为8,边AB 的长是方程29200x x -+=的一个根,则菱形ABCD 的周长为______.4、如图,在平行四边形ABCD 中,45ABC ∠=︒,E 、F 分别在CD 和BC 的延长线上,AE BD ∥,30EFC ∠=︒,AB =EF =______.5、如图,点O 是正方形ABCD 的称中心O ,互相垂直的射线OM ,ON 分别交正方形的边AD ,CD 于E ,F 两点,连接EF ;已知2AD =.(1)以点E ,O ,F ,D 为顶点的图形的面积为________________;(2)线段EF 的最小值是_______________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,在正方形ABCD 中,射线AE 与边CD 交于点E ,将射线AE 绕点A 顺时针旋转,与CB 的延长线交于点F ,BF DE =,连接FE .(1)求证:AF AE =;(2)若30DAE ∠=︒,2DE =,直接写出AEF 的面积.2、如图,点M ,N 分别在正方形ABCD 的边BC ,CD 上,且∠MAN =45°.把△ADN 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE .(1)求证:△AEM ≌△ANM .(2)若BM =3,DN =2,求正方形ABCD 的边长.3、如图,□ABCD 中,点E 、F 分别在AB 、CD 上,且BE =DF .求证:AF =EC .4、如图,矩形ABCD 中,E 、F 是BC 上的点,∠DAE =∠ADF .求证:BF =CE .5、将锐角为45°的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合,正方形ABCD固定不动,然后将三角板绕着点A旋转,∠MPN的两边分别与正方形的边BC、DC或其所在直线相交于点E、F,连接EF.(1)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC相交时,如图1所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;(2)在三角板旋转过程中,当∠MPN的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时,如图2所示,请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系;(3)若正方形的边长为4,在三角板旋转过程中,当∠MPN的一边恰好经过BC边的中点时,试求线段EF的长.-参考答案-一、单选题1、B【分析】过点D 作DH AB ⊥,垂足为点H ,连接BD 和BG ,利用菱形及等边三角形的性质,求出DH BG =,BG AB ⊥,在Rt ADH ∆中,求出DH 的长,进而求出BG 的长,设AE GE x ==,在Rt BEG ∆中,利用勾股定理,列方程,求出x 的值即可.【详解】解:过点D 作DH AB ⊥,垂足为点H ,连接BD 和BG ,如下图所示:四边形ABCD 是菱形,6AD AB CD BC ∴====,60A C ∠=∠=︒,CD AB ∥,ADB ∴∆与BCD ∆是等边三角形,DH AB ⊥且点G 恰好为CD 边的中点,DH ∴平分AB ,BG CD ⊥,CD AB ∥,DH AB ⊥,BG CD ⊥,DH BG ∴=,BG AB ⊥,在Rt ADH ∆中,132AH AB ==,由勾股定理可知:DH ==BG DH ∴==由折叠可知:AEF GEF ∆∆≌,故有AE GE =,设AE GE x ==,则6BE AB AE x =-=-,在Rt BEG ∆中,由勾股定理可知:222BE BG GE +=,即()(2226x x -+=,解得214x =, 故选:B .【点睛】本题主要是考查了菱形、等边三角形的性质以及勾股定理列方程求边长,熟练综合利用菱形以及等边三角形的性质,求出对应的边或角,在直角三角形中,找到边之间的关系,设边长,利用勾股定理列方程,这是解决本题的关键.2、D【分析】根据两点之间的距离、多边形的对角线、线段中点的定义以及截几何体进行判断即可.【详解】解:A 、连接两点的线段的长度叫做两点间的距离,故原说法错误,该选项不符合题意;B 、过七边形的一个顶点有4条对角线,故原说法错误,该选项不符合题意;C 、当点C 在线段AB 上时,若AC =BC ,则C 是线段AB 的中点,故原说法错误,该选项不符合题意;D 、用垂直于底面的平面去截三棱柱,可得到长方形的的截面,故原说法正确,该选项符合题意; 故选:D .【点睛】本题考查了两点之间的距离、多边形的对角线、截一个几何体以及线段中点的定义,掌握相关定义是正确判断的前提.3、C【分析】根据多边形的外角和等于360度得到15°•n =360°,然后解方程即可.【详解】解:∵n边形的每个外角都为15°,∴15°•n=360°,∴n=24.故选C.【点睛】本题考查了多边形外角和,熟练掌握多边形外角和为360度是解题的关键.4、D【分析】根据题意结合图形可以证明EB=ED,进而证明△ABE≌△CDE;此时可以判断选项A、B、D是成立的,问题即可解决.【详解】解:由题意得:△BCD≌△BFD,∴DC=DF,∠C=∠F=90°;∠CBD=∠FBD,又∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠F=90°,DE∥BF,AB=DF,∴∠EDB=∠FBD,DC=AB,∴∠EDB=∠CBD,∴EB=ED,△EBD为等腰三角形;在△ABE与△CDE中,∵BE DE AB CD=⎧⎨=⎩,∴△ABE≌△CDE(HL);又∵△EBD为等腰三角形,∴折叠后得到的图形是轴对称图形;综上所述,选项A、B、C成立,∴不能证明D是正确的,故说法错误的是D,故选:D.【点睛】本题主要考查了翻折变换及其应用问题;解题的关键是灵活运用翻折变换的性质,找出图中隐含的等量关系;借助矩形的性质、全等三角形的判定等几何知识来分析、判断、推理或解答.5、C【分析】根据直角三角形的性质求出DE,由EF=1,得到DF,再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长.【详解】解:∵∠AEB=90︒,D是边AB的中点,AB=6,∴DE=12AB=3,∵EF=1,∴DF=DE+EF=3+1=4.∵D是边AB的中点,点F是边BC的中点,∴DF是ABC的中位线,∴AC =2DF =8.故选:C .【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形中位线定理,求出DF 的长是解题的关键.6、B【分析】先判断出四边形ACED 是平行四边形,从而得出DE 的长度,根据菱形的性质求出BD 的长度,利用勾股定理的逆定理可得出△BDE 是直角三角形,计算出面积即可.【详解】 解: 菱形ABCD ,6,AC =,3,2,5,,AD BC OA OC BD BO AB BC AD AC BD ∥在Rt △BCO 中,224,BOBC OC 即可得BD =8,,AC DE ∥ ∴四边形ACED 是平行四边形,∴AC =DE =6,5,CE AD∴ BE =BC +CE =10,222100,BE BD DE∴△BDE 是直角三角形,90,BDE ∠=︒∴S △BDE =12DE •BD =24.故选:B .【点睛】本题考查了菱形的性质,勾股定理的逆定理及三角形的面积,平行四边形的判定与性质,求出BD的长度,判断△BDE是直角三角形,是解答本题的关键.7、B【分析】根据题意得到OA OB AC BC===,然后根据菱形的判定方法求解即可.【详解】解:由题意可得:OA OB AC BC===,∴四边形OACB是菱形.故选:B.【点睛】此题考查了菱形的判定,解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法.菱形的判定定理:①四条边都相等四边形是菱形;②一组邻边相等的平行四边形是菱形;③对角线垂直的平行四边形是菱形.8、C【分析】先利用正多边形的每一个外角为45︒,求解正多边形的边数,再利用正多边形的内角和公式可得答案.【详解】解:正多边形的一个外角等于45°,∴这个正多边形的边数为:3608, 45∴这个多边形的内角和为:821801080,故选C【点睛】本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合,熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.9、B【分析】先证明四边形BCED为平行四边形,再根据矩形的判定进行解答.【详解】解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,又∵AD=DE,∴DE∥BC,且DE=BC,∴四边形BCED为平行四边形,A、∵AB=BE,DE=AD,∴BD⊥AE,∴□DBCE为矩形,故本选项不符合题意;B、∵DE⊥DC,∴∠EDB=90°+∠CDB>90°,∴四边形DBCE不能为矩形,故本选项符合题意;C、∵∠ADB=90°,∴∠EDB=90°,∴□DBCE为矩形,故本选项不符合题意;D、∵CE⊥DE,∴∠CED=90°,∴□DBCE为矩形,故本选项不符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识,判定四边形BCED 为平行四边形是解题的关键.10、D【分析】设点B 的坐标为(a ,b ),则点D 的坐标为(kb,b ),点A 的坐标为(a ,0),分别求出BD 、CD 、AB ,找到a ,b ,k 之间的关系,设点E 坐标为(m ,n ),利用三角形的面积表示出点E 的坐标,再利用割补法求出abk =576,进而可得k 值.【详解】解:设点B 的坐标为(a ,b ),则点D 的坐标为(k b ,b ),点A 的坐标为(a ,0),∴BD =ka b -,BC =-a ,CD =-k b ,AB =b , ∵45BD CD =, ∴5×(ka b -)=4×(k b -), ∴95ab k =,设点E 坐标为(m ,n ),∵S △AOE =3,即132an -=, ∴6n a =-,∵点E 在反比例函数k y x =上, ∴E (6ak -,6a -),∵S △AOE =S 矩形OABC -S △OBC -S △ABE =11()()3226ak ab ab b a ------=, ∴abk =36,把abk =36代入95ab k =得,220k =,解得:k =±由图象可知,k <0,∴k =-故选:D .【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义,矩形的性质等,解题的关键是利用割补法表示出△AOE 的面积.二、填空题1、①③【分析】过点C 作CA ⊥y 轴于点A ,过点D 作DB ⊥x 轴于点B ,设点()()1122,,,C x y D x y ,可得11221,1x y x y == ,再将两解析式联立,可得210x mx -+= ,进而得到12,x x 是方程210x mx -+=的两个不相等实数根,从而得到2m > 或2m < ,故②错误;再由一元二次方程根与系数的关系,可得121x x ⋅=,从而得到2112,x y x y == ,进而得到△AOC ≌△BOD ,得到OC =OD ,因而四边形OCED 是菱形,故①正确;过点O 作OH ⊥CD 于点H ,利用等腰三角形的三线合一和45COD ∠=︒,,可得∠COH =∠DOH =22.5°,∠AOC =∠BOD =22.5°,从而得到△AOC ≌△BOD ≌△HOC ≌△HOD ,进而得到1COD COH HOD COA BOD S S S S S =+=+= ,故③正确;再由双曲线与坐标轴没有交点可得OCED 不可能是正方形,故④错误,即可求解.【详解】解:如图,过点C 作CA ⊥y 轴于点A ,过点D 作DB ⊥x 轴于点B ,设点()()1122,,,C x y D x y ,把()()1122,,,C x y D x y ,代入()10y x x=>,得:11221,1x y x y == , ∵直线()0y x m m =-+>与双曲线()10y x x =>的图象交于C 、D 两点, ∴1y x m y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩,解得:210x mx -+= , ∴12,x x 是方程210x mx -+=的两个不相等实数根,∴()240m ∆=--> ,解得:2m > 或2m < ,故②错误;∵210x mx -+= ,∴121x x ⋅=,∵11221,1x y x y ==,∴2112,x y x y == ,即AC =BD ,OA =OB ,∵∠OAC =∠OBD =90°,∴△AOC ≌△BOD ,∴OC =OD ,∵四边形OCED 是平行四边形,∴四边形OCED 是菱形,故①正确;过点O 作OH ⊥CD 于点H ,∵OC =OD ,45COD ∠=︒,∴∠AOC +∠BOD =90°-45°=45°,∠COH =∠DOH =22.5°,∵△AOC ≌△BOD ,∴∠AOC =∠BOD =22.5°,∴∠AOC =∠BOD =∠COH =∠DOH ,∵∠OHC =∠OHD =∠OAC =∠OBD =90°,∴△AOC ≌△BOD ≌△HOC ≌△HOD , ∴11122COD COH HOD COA BODS S S S S =+=+=+= ,故③正确; 若OCED 可以是正方形,则∠COD =90°,即OC ⊥OD ,反比例函数的图象与坐标轴有交点,这与双曲线与坐标轴没有交点相矛盾,∴OCED 不可能是正方形,故④错误;所以正确的有①③.故答案为:①③【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题,一元二次方程根与系数的关系,根的判别式,全等三角形的性质和判定,菱形和正方形的判定,熟练掌握相关知识点,并利用数形结合思想解答是解题的关键.2、50︒ 130︒ 50︒【分析】利用平行四边形的性质:邻角互补,对角相等,即可求得答案.【详解】解:在平行四边形ABCD中,B、D∠是A∠的对角,∠的邻角,C∠是A∴50B D,130∠=∠=︒∠=︒,C故答案为:50︒,130︒,50︒.【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质:对角相等,邻角互补,熟练掌握平行四边形的性质,求解决本题的关键.3、20【分析】先求出方程x2-9x+20=0的两个根,再根据三角形的三边关系判断出符合题意的菱形的边AB,即可求出菱形的周长,【详解】解:∵x2-9x+20=0,∴(x-5)(x-4)=0,∴x1=5,x2=4,当x1=5时,由菱形的对角线的一条对角线8和菱形的两边5,5能组成三角形,即存在菱形,菱形的周长为5×4=20;当x2=4时,由菱形的对角线的一条对角线8和菱形的两边4,4不能组成三角形,即不存在菱形,舍去.故答案为:20.【点睛】此题是菱形的性质题,主要考查了菱形性质,三角形的三边关系,一元二次方程的解法,解本题的关键是确定出菱形的边长.4、8【分析】证明四边形ABDE 是平行四边形,得到DE=CD =AB =AB CE ∥, 过点E 作EH ⊥BF 于H ,证得CH=EH ,利用勾股定理求出EH ,再根据30度角的性质求出EF .【详解】解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB CD ∥,AB=CD ,∵AE BD ∥,∴四边形ABDE 是平行四边形,∴DE=CD =AB =AB CE ∥,过点E 作EH ⊥BF 于H ,∵45ABC ∠=︒,∴∠ECH =45ABC ∠=︒,∴CH=EH ,∵222CH EH CE +=,CE =∴CH=EH =4,∵∠EHF =90°,30EFC ∠=︒,∴EF =2EH =8,故答案为:8.【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质,勾股定理,直角三角形30度角的性质,熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键.5、【分析】(1)连接OA 、OD ,根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△OAE ≌△ODF ,利用全等三角形的性质得出四边形EOFD 的面积等于△AOD 的面积即可求解;(2)根据全等三角形的性质证得△EOF 为等腰直角三角形,则EFOE ,当OE ⊥AD 时OE 最小,则EF 最小,求解此时在OE 即可解答.【详解】解:(1)连接OA 、OD ,∵四边形ABCD 是正方形,∴OA=OD ,∠AOD =90°,∠EAO =∠FDO =45°,∴∠AOE +∠DOE =90°,∵OE ⊥OF ,∴∠DOF +∠DOE =90°,∴∠AOE =∠DOF ,在△OAE 和△ODF 中,EAO FDO OA ODAOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△OAE ≌△ODF (ASA ),∴S △OAE =S △ODF ,∴S 四边形EOFD = S △ODE +S △ODF = S △ODE +S △OAE = S △AOD = 14S 正方形ABCD ,∵AD=2,∴S四边形EOFD= 14×4=1,故答案为:1;(2)∵△OAE≌△ODF,∴OE=OF,∴△EOF为等腰直角三角形,则EF OE,当OE⊥AD时OE最小,即EF最小,∵OA=OD,∠AOD=90°,∴OE=12AD=1,∴EF.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.三、解答题1、(1)见解析;(2)8【分析】(1)根据SAS 证明ADE ABF ≅即可得到结论;(2)根据直角三角形的性质求出AE =4,再根据三角形面积公式计算即可.【详解】解:(1)∵四边形ABCD 是正方形∴AD =AB =BC =CD ,90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒∴90ABF D ∠=∠=︒在ADE ∆和ABF ∆中,AD AB D ABF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ABF ≅∴AF AE =(2)由(1)得ADE ABF ≅∴DAE BAF ∠=∠,AF AE =∴90BAF BAE BAE DAE BAD ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴FAE ∆是等腰直角三角形,在Rt △ADE 中,30DAE ∠=︒,2DE =,∴AE =2DE =4∴AF =4 ∴1144822AEF S AE AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、三角形的面积以及直角三角形的性质等知识,熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解题的关键.2、(1)见详解;(2)正方形ABCD 的边长为6.【分析】(1)由旋转的性质可证明△ADN ≌△ABE ,进一步证明点E ,点B ,点C 三点共线,再根据SAS 证明三角形全等即可;(2)设CD =BC =x ,则CM =x -3,CN =x -2,在Rt △MCN 中,利用勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解:(1)证明:由旋转的性质得,△ADN ≌△ABE ,∴∠DAN =∠BAE ,AE =AN ,∠D =∠ABE =90°,∴∠ABC +∠ABE =180°,∴点E ,点B ,点C 三点共线,∵∠DAB =90°,∠MAN =45°,∴∠DAN +∠BAM =90°-∠MAN =90°-45°=45°,∴∠EAM =∠BAE +∠BAM =∠DAN +∠BAM =45°,在△AEM 和△ANM 中,AE AN EAM NAM AM AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AEM ≌△ANM (SAS ).(2)解:设CD =BC =x ,则CM =x -3,CN =x -2,∵△AEM ≌△ANM ,∴EM =MN ,∵BE =DN ,∴MN =BM +DN =5,∵∠C =90°,∴MN 2=CM 2+CN 2,∴25=(x -2)2+(x -3)2,整理得2560x x --=解得,x =6或-1(舍去),∴正方形ABCD 的边长为6.【点睛】本题考查旋转变换,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,一元二次方程解法等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.3、证明见解析【分析】先证明,,AB CD AB CD ∥再证明,AE CF =可得四边形AECF 是平行四边形,于是可得结论.【详解】 解: □ABCD ,,,AB CD AB CD ∥BE =DF ,,AE CF ∴=∴AE =CF ,AE //CF∴ 四边形AECF 是平行四边形,.AF CE ∴=【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质,掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是解本题的关键.4、见解析【分析】先证明=AEB DFC ∠∠,然后证明△ABE ≌△DCF ,再根据全等三角形的性质得出结论.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AB CD =,90B C ∠=∠=︒,AD ∥BC ,∴∠ADF =∠CFD ,∠DAE =∠AEB ,∵=DAE ADF ∠∠,∴=AEB DFC ∠∠.在ABE △和DCF 中,=AEB DFC B CAB DC ∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴()ABE DCF AAS △≌△,∴BE CF =,∴BE -FE =CF -EF ,即BF =CE .【点睛】本题主要考查了矩形的性质,全等三角形的性质与判定,熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键.5、(1)EF=DF+BE;(2)EF=DF-BE;(3)线段EF的长为103或203.【分析】(1)延长FD至G,使DG=BE,连接AG,先证△ABE≌△ADG,再证△GAF≌△EAF即可;(2)在DC上截取DH=BE,连接AH,先证△ADH≌△ABE,再证△HAF≌EAF即可;(3)分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解:(1)结论:EF=BE+DF.理由:延长FD至G,使DG=BE,连接AG,如图①,∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠ABE=ADG=∠DAB=90°,∴△ABE≌△ADG(AAS),∴AE=AG,∠DAG=∠EAB,∵∠EAF=45°,∴∠DAF+∠EAB=45°,∴∠DAF+∠DAG=45°,∴∠GAF=∠EAF=45°,∵AF=AF,∴△GAF≌△EAF(AAS),∴EF=GF,∴GF=DF+DG=DF+BE,即:EF=DF+BE;(2)结论:EF=DF-BE.理由:在DC上截取DH=BE,连接AH,如图②,∵AD=AB,∠ADH=∠ABE=90°,∴△ADH≌△ABE(SAS),∴AH=AE,∠DAH=∠EAB,∵∠EAF=∠EAB+∠BAF=45°,∴∠DAH+∠BAF=45°,∴∠HAF=45°=∠EAF,∵AF=AF,∴△HAF≌EAF(SAS),∴HF=EF,∵DF=DH+HF,∴EF=DF-BE;(3)①当MA经过BC的中点E时,同(1)作辅助线,如图:设FD=x,由(1)的结论得FG=EF=2+x,FC=4-x.在Rt△EFC中,(x+2)2=(4-x)2+22,∴x=43,∴EF=x+2=103.②当NA经过BC的中点G时,同(2)作辅助线,设BE=x,由(2)的结论得EC=4+x,EF=FH,∵K为BC边的中点,∴CK=12BC=2,同理可证△ABK≌FCK(SAS),∴CF=AB=4,EF=FH=CF+CD-DH=8-x,在Rt△EFC中,由勾股定理得到:(4+x)2+42=(8-x)2,∴x=43,∴EF=8-43=203.综上,线段EF的长为103或203.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,旋转变换,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.。
上海市八年级第二学期数学专题05 二元二次方程组与列方程(组)解应用题(真题测试)(解析版)
上海市八年级第二学期数学专题05 二元二次方程组与列方程(组)解应用题【真题测试】 一、选择题1. (黄浦2018期中3)下列方程组中,属于二元二次方程组的为( ) A.02x y x y +=⎧⎨-=⎩; B.123224x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩;C.21x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩; D.324x xy =⎧⎨=⎩.【答案】D ;【解析】解:A 、两个方程都是二元一次方程,所组成的方程组为二元一次方程组,所以A 选项不正确; B 、两个方程都是分式方程,所组成的方程组为分式方程组,所以B 选项不正确; C 、有一个方程是无理方程,所组成的方程组不是二元二次方程组,所以C 选项不正确; D 、有一个方程是二元二次方程,另一个是一元一次方程,所组成的方程组为二元二次方程组,所以D 选项正确. 故选:D .2. (浦东2018期中3)由方程组2210(1)(1)40x y x y --=⎧⎨-+++=⎩消去y 后化简得到的方程是( ) A.22260x x --=; B. 22250x x ++=; C. 2250x +=; D. 22250x x -+= 【答案】D 【解析】解:2210(1)(1)40x y x y --=⎧⎨-+++=⎩①②,由①,得x=y+1③,将③代入②,得(x-1)2+x 2+4=0,化简,得2x 2-2x+5=0,故选:D .3. (杨浦2019期中16)下列方程组中,属于二元二次方程组的是( )A .⎩⎨⎧=-+=2232x xy x y B.⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+102122y x x y xy c.⎩⎨⎧-=-=+135y x y x D.⎪⎩⎪⎨⎧=+-=53132y x x y【答案】A ;【解析】A 、二元二次方程组,符合题意;B 、含分式方程,故不符合题意;C 、二元一次方程组,不符合题意;D 、含无理方程,不符合题意;因此答案选A.4.(浦东四署2019期末4)某特快列车在最近一次的铁路大提速后,时速提高了30千米/小时,则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时,若该列车提速前的速度是x 千米/小时,下列所列方程正确的是( ) A.350350130x x -=-; B. 350350130x x -=-; C. 350350130x x -=+; D. 350350130x x-=+. 【答案】C ;【解析】提速前所用时间为:350x,提速后所用时间为:35030x +,依题可得:350350130x x -=+. 二、填空题5.(浦东四署2019期中9)方程组2235x y x y -=⎧⎨+=⎩的根是 .【答案】121224,111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩; 【解析】2235x y x y -=⎧⎨+=⎩①②,则①+②得2280x x +-=,解得24x x ==-或,当2x =时,1y =;当4x =-时,11y =-;故原方程组的解为121224,111x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. 6.(普陀2018期末9)把方程x 2+4xy ﹣5y 2=0化为两个二元一次方程,它们是 和 . 【答案】x +5y =0和 x ﹣y =0;【解析】解:∵x 2+4xy ﹣5y 2=0,∴(x +5y )(x ﹣y )=0,∴x +5y =0或x ﹣y =0. 7. (浦东2018期末7)如果21x y =⎧⎨=-⎩是方程22mx y xy +=的一个解,那么m=______.【答案】34-; 【解析】解:把方程的解21x y =⎧⎨=-⎩代入方程22mx y xy +=,可得4m+1=-2,∴4m=-3,解得m=34-.8. (奉贤2018期末12)某商品经过两次连续涨价,每件售价由原来的100元涨到了179元,设平均每次涨价的百分比为x ,那么可列方程:______ 【答案】100(1+x )2=179;【解析】解:设平均每次涨价的百分比为x ,那么可列方程: 100(1+x )2=179. 故答案为:100(1+x )2=179. 9.(浦东一署2018期中14)一项工程.乙队先单独做2天后,再由甲乙两队合作10天就能完成.已知乙队单独完成此工程比甲单独完成此工程少用5天.设甲队单独完成此工程需要x 天,那么根据题意可列出方程______. 【答案】121015x x+=- 【解析】解:设甲队单独完成此项工程需x 天,则乙队单独完成此项工程需(x-5)天. 由题意,得121015x x +=-,故答案为:121015x x+=-.10.(浦东四署2019期中13)一列高铁与一列动车组在全长约为1318千米的京沪高速铁路上运行,已知高铁列车比动车列车平均速度每小时快105千米,且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时,如果设高铁的平均速度是x 千米/小时,则根据题意可列方程: .【答案】131813183105x x-=-;【解析】高铁所用时间为1318x ,动车所用时间1318105x -,因为高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时,故得131813183105x x-=-.11.(崇明2018期中20)甲、乙二人加工某种零件,若单独工作,则乙比甲多用12天才能完成,若两人合作,则8天可以完成,设甲单独工作x 天完成,列方程得 .【答案】88112x x +=+; 【解析】甲的工作效率为1x ,乙的工作效率为112x +,因为合作8天完成,故得88112x x +=+.12.(闵行2018期末13)一辆汽车,新车购买价20万元,第一年使用后折旧20%,以后该车的年折旧率有所变化,但它在第二,三年的年折旧率相同.已知在第三年年末,这辆车折旧后价值11.56万元,如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x ,那么根据题意,列出的方程为 . 【答案】220(120%)(1)11.56x --=;【解析】解:设这辆车第二、三年的年折旧率为x ,有题意,得:220(120%)(1)11.56x --=. 三、解答题13.(金山2018期中21)解方程组:22312230x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②. 【答案】121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩; 【解析】解:由②得:(3)()0x y x y -+=,即300x y x y -=+=或,所以原方程组可化为:312312300x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩或,解得:121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,所以原方程组的解为121266,26x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩.14. (黄浦2018期中20)解方程组:231437xy y y x ⎧-=⎨-=⎩①②.【答案】32x y =-⎧⎨=-⎩;【解析】解:由②得:y =7+3x ③,把③代入①得:3x (7+3x )-(7+3x )2=14,解得:x =-3,把x =-3代入③得:y =-2,所以原方程组的解为32x y =-⎧⎨=-⎩.15.(浦东四署2018期中21)解方程组:225602x xy y x y ⎧++=⎨+=⎩①②【答案】121234,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩;【解析】解法1:由①得:(2)(3)0x y x y ++=,2030x y x y ∴+=+=或,故原方程组可化为203022x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或,分别解这两个方程组,得121243,21x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩. 解法2:由②得2y x =-③,把③代入①得225(2)6(2)0x x x x +-+-=,整理,得27120x x -+=,解得1234x x ==,,当13x =时,11y =-;当24x =时,22y =-;所以原方程组的解为121234,12x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩.16. (杨浦2019期中22)解方程组:2223441x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①②. 【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩; 【解析】解:由方程②得:21x y -=±,因此原方程组可以化成新的方程组:23232121x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩或,解这两个方程组得:2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩,所以原方程组的解为:2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩.17. (浦东2018期末20)解方程组:223820x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩.【答案】16282x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或;【解析】解:∵x2+xy-2y2=(x+2y )(x-y ),∴原方程组可化为:3838200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩或,解这两个方程组得原方程组的解为:16282x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或.18. (长宁2018期末20)解方程组:22211x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②.【答案】2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩; 【解析】解:由②得x =y +1③, 把③代入①得:22(1)(1)21y y y y +-+-=,整理得:220y y -=,解得102y y ==或,将0y =代入③得1x =,将12y =代入③得32x =,故得2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩,故原方程组的解为2112312,012x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩. 19.(闵行2018期末20)解方程组:2224490x xy y x xy ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩.【答案】0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩;【解析】解:2224490x xy y x xy ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩①②, 由①得:2(2)9x y +=,23x y ∴+=±;由②得:00x x y =+=或;所以原方程组可化为:23232323,,,0000x y x y x y x y x x y x x y +=+=+=-+=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=+==+=⎩⎩⎩⎩,解之得:0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩.所以原方程组的解为:0303,,,1.53 1.53x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩.20.(静安2019期末21)解方程组:22222303x xy y x xy y ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩①②. 【答案与解析】解:由①得:300x y x y -=+=或,原方程组化为22223033x y x y x xy y x xy y -=+=⎧⎧⎨⎨-+=-+=⎩⎩或, 解这两个方程组得原方程组的解为:1234341232132111,,,11212177x x x x y y y y ⎧⎧==-⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩.21.(浦东四署2019期末21)解方程组:2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩.【答案】121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩; 【解析】解:2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩①②,由①得20x y -=或x-3y=0,所以原方程组可化为:20301212x y x y x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或,解方程组得:121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩,所以原方程组的角为121289,43x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩.22. (黄浦2018期中22)某校青年老师准备捐款3600元为敬老院的老年人购买一台电脑,这笔钱大家平均承担.实际捐款时又多了2名教师,因为购买电脑所需的总费用不变,于是每人少捐90元.问共有多少人参加捐款?原计划每人捐款多少元?. 【答案】10人,450元;【解析】解:设实际共有x 人参加捐款,那么原来有(x -2)人参加捐款,实际每人捐款(元),原计划每人捐款(元),依据题意,得,即,两边同乘以x (x -2),再整理,得 x 2-2x -80=0,解得 x 1=10,x 2=-8,经检验,x 1=10,x 2=-8都是原方程的根,但人数不能为负数,所以取x =10,当x =10时,(元),答:共有10人参加捐款,原计划每人捐款450元.23. (黄浦2018期中25)如图,x 轴表示一条东西方向的道路,y 轴表示一条南北方向的道路,小丽和小明分别从十字路口O 点处同时出发,小丽沿着x 轴以4千米时的速度由西向东前进,小明沿着y 轴以5千米/时的速度由南向北前进.有一颗百年古树位于图中的P 点处,古树与x 轴、y 轴的距离分别是3千米和2千米.问:(1)离开路口后经过多少时间,两人与这棵古树的距离恰好相等?(2)离开路口经过多少时间,两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上?【答案】(1)149;(2)1110;【解析】解:(1)设离开路口后经过x小时,两人与这棵古树的距离恰好相等.由题意P(2,3).A(4x,0),B(0,5x),∵PA=PB,∴(2-4x)2+32=22+(3-5x)2,解得149x=或(舍弃),答:经过149小时,两人与这棵古树的距离恰好相等.(2)设离开路口经过y小时,两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上.作PE⊥OB于E,PF⊥OA于F.∵B,P,A共线,∴∠BPE=∠PAF,∴tan∠BPE=tan∠PAF,∴533242yy-=-,解得:1110y=或(舍去),答:离开路口经过1110小时,两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上24. (杨浦2019期中26)甲、乙两城间的铁路路程为1600千米,经过技术改造,列车实施了提速,提速后比提速前速度增加了20千米/小时,列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时,这条铁路在现有条件下安全行驶速度不得超过140千米/小时,请你用学过的知识说明在这条铁路的现有条件下列车是否还可以再提速。
2022年必考点解析沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十三章概率初步定向攻克试题(含答案解析)
八年级数学第二学期第二十三章概率初步定向攻克考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、在一个口袋中有2个完全相同的小球,它们的标号分别为1,2从中随机摸出一个小球记下标号后放回,再从中随机摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号之和是3的概率是()A.14B.12C.13D.342、把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上.从中随机抽取一张,抽出的牌上的数小于6的概率为()A.813B.713C.613D.5133、下列成语描述的事件为随机事件的是()A.偷天换日B.水涨船高C.守株待兔D.旭日东升4、下列说法正确的是()A.掷一枚质地均匀的骰子,掷得的点数为3的概率是1 3B.一个袋子里有100个球从中随机摸出一个球再放回,小军摸了6次,每次摸到的球的颜色都是黄色,小军断定袋子里只有黄球C.连续掷两枚质地均匀的硬币,“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上”的概率相同D.在同一年出生的400个同学中至少会有2个同学的生日相同5、下列说法正确的是().A.“抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后正面朝上”是随机事件B.“打开电视机,正在播放乒乓球比赛”是必然事件C.“面积相等的两个三角形全等”是不可能事件D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定是50次6、下列事件中,是必然事件的是()A.同位角相等B.打开电视,正在播出特别节目《战疫情》C.经过红绿灯路口,遇到绿灯D.长度为4,6,9的三条线段可以围成一个三角形.7、一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球,搅匀后从中摸出一个球,摸到红球的概率为().A.23B.12C.13D.18、下列说法中,正确的是()A.随机事件发生的概率为12B.不可能事件发生的概率为0C.概率很小的事件不可能发生D.投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数一定为50次9、下列事件为必然事件的是A.打开电视机,正在播放新闻B.掷一枚质地均匀的硬币,正面儿朝上C.买一张电影票,座位号是奇数号D.任意画一个三角形,其内角和是180度10、在一个不透明的袋中装有7个只有颜色不同的球,其中3个白球、4个黑球,从袋中任意摸出一个球,是黑球的概率为()A.34B.37C.47D.43第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、某路口的交通信号灯红灯亮35秒,绿灯亮60秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到红灯的概率是_________.2、在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球,为了估计白球的个数,再放入3个同白球大小、质地均相同,只有颜色不同的黄球,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱,通过大量重复试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,推算m的值大约是________.3、在如图所示的电路图中,当随机闭合开关K1、K2、K3中的两个时,能够让灯泡发光的概率为________.4、某校准备从A,B两名女生和C,D两名男生中任选2人代表学校参加沈阳市初中生辩论赛,则所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是 _______.5、只有1和它本身两个因数且大于1的自然数叫做质数,我国数学家陈景润在有关质数的“哥德巴赫猜想”的研究中取得了世界领先的成果.从3,5,7,11,13,23这6个质数中随机抽取一个,则抽到个位数是3的可能性是________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图是甲、乙两个可以自由转动且质地均匀的转盘,甲转盘被分成三个大小相同的扇形,分别标有1,2,3;乙转盘被分成四个大小相同的扇形,分别标有1,2,3,4,指针的位置固定,转动转盘直至它自动停止(若指针正好指向扇形的边界,则重新旋转转盘,直至指针指向扇形内部).(1)转动甲转盘,指针指向3的概率是;(2)利用列表或画树状图的方法求转动两个转盘指针指向的两个数字和是5的概率.2、在3×3的方格纸中,点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.(1)如果只能沿着图中实线向右或向下走,则从点A走到点E有条不同的路线.(2)先从A、B、C中任意取一点,再从D、E、F中任选两个点,用这三个点组成三角形,用树状图或列表的方法求所画三角形是直角三角形的概率.3、已知关于x的一元二次方程14x2+bx+c=0.(1)c=2b﹣1时,求证:方程一定有两个实数根.(2)有甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为b,从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为c,利用列表法或者树状图,求b、c的值使方程14x2+bx+c=0有两个相等的实数根的概率.4、小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内,放入两个红球,一个白球共3个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则:先将布袋内的小球摇匀,再从中随机摸出一个小球,记下颜色后放回,称为摸球一次.(1)小亮随机摸球1次,求摸出红球的概率;(2)若小丽随机摸球两次,请利用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的球中一个是白球、一个是红球的概率.5、林肇路某路口南北方向红绿灯的设置时间为:红灯57s,绿灯60s,黄灯3s,小明的爸爸由北往南开车随机地行驶到该路口.(1)他遇到红灯、绿灯、黄灯的概率各是多少?(2)我国新的交通法规定:汽车行驶到路口时,绿灯亮时才能通过,如果遇到黄灯亮或红灯亮时必须在路口外停车等候,问小明的爸爸开车随机到该路口,按照交通信号灯直行停车等候的概率是多少?-参考答案-一、单选题1、B【分析】列表展示所有4种等可能的情况数,找出符合条件的情况数,然后根据概率公式求解即可.【详解】解:列表如下:由表知,共有4种等可能结果,其中两次摸出的小球的标号之和是3的有2种结果,所以两次摸出的小球的标号之和是3的概率为21 42 ,故选:B.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.2、D【分析】共有13种等可能结果,小于6的有5种,利用概率公式计算即可.【详解】解:一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上.从中随机抽取一张,共有13种等可能结果,小于6的有5种,抽出的牌上的数小于6的概率为513,故选:D.【点睛】本题考查了概率的求法,解题关键是熟记概率公式,准确列出所有可能.3、C【分析】根据随机事件的定义:在一定条件下,可能发生,也可能不发生的事件,叫做随机事件,进行求解即可.【详解】解:A、偷天换日,是不可能发生的,不是随机事件,不符合题意;B、水涨必定船高,是必然会发生,不是随机事件,不符合题意;C、守株待兔,可能发生,也可能不发生,是随机事件,符合题意;D、旭日东升,是必然会发生的,不是随机事件,不符合题意;故选C.【点睛】本题主要考查了随机事件的定义,熟知定义是解题的关键.4、D【分析】A中掷一枚质地均匀的骰子,出现点数为123456、、、、、的结果相等,故可得出掷得的点数为3的概率,进而判断选项的正误;B中摸球为随机事件,无法通过小量的重复试验反映必然事件的发生与否,进而判断选项的正误;C中可用列举法求概率,进而判断选项的正误;D中假设400人中前365个人生日均不相同,而剩余的35个人的生日会有与365个人的生日有相同的情况,进而判断选项的正误.【详解】解:A掷一枚质地均匀的骰子,掷得的点数为3的概率是16,此选项错误,不符合题意;B一个袋子里有100个球从中随机摸出一个球再放回,小军摸了6次,每次摸到的球的颜色都是黄色,这种情况是偶然的,故小军断定袋子里只有黄球是错误的,此选项不符合题意;C连续掷两枚质地均匀的硬币,“两枚硬币都是正面朝上”的概率是14,“一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上”的概率是12,此选项错误,不符合题意;D在同一年出生的400个同学中至少会有2个同学的生日相同是正确的,此选项符合题意;故选D.【点睛】本题考察了概率.解题的关键与难点在于了解概率概念与求解.5、A【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.解:A、“抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后正面朝上”是随机事件,故此选项正确;B、“打开电视机,正在播放乒乓球比赛” 是随机事件,故此选项错误;C、“面积相等的两个三角形全等” 是随机事件,故此选项错误;D、投掷一枚质地均匀的硬币100次,正面朝上的次数不一定是50次,故此选项错误;故选:A.【点睛】本题考查了必然事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.6、D【分析】根据必然事件的概念即可得出答案.【详解】解:∵同位角不一定相等,为随机事件,∴A选项不合题意,∵打开电视,不一定正在播出特别节目《战疫情》,为随机事件,∴B选项不合题意,∵车辆随机到达一个路口,可能遇到红灯,也可能遇到绿灯,为随机事件,∴C选项不合题意,∵4+6>9,∴长度为4,6,9的三条线段可以围成一个三角形为必然事件,.∴D选项符合题意,【点睛】本题主要考查必然事件的概念,必然事件是指一定会发生的事件,关键是要牢记必然事件的概念.7、C【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.本题球的总数为1+2=3,红球的数目为1.【详解】解:根据题意可得:一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球,共3个,任意摸出1个,摸到红球的概率是:1÷3=13.故选:C.【点睛】本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=mn.8、B【分析】根据事件发生可能性的大小进行判断即可.【详解】解:A、随机事件发生的概率为0到1之间,选项错误,不符合题意;B、不可能事件发生的概率为0,选项正确,符合题意;C、概率很小的事件可能发生,选项错误,不符合题意;D、投掷一枚质地均匀的硬币 100 次,正面朝上的次数可能是 50 次,选项错误,不符合题意;【点睛】本题考查随机事件与不可能事件的概率,掌握随机事件发生的概率在0到1之间,不可能事件发生的概率为0是关键.9、D【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.【详解】A、打开电视机,正在播放新闻,是随机事件,不符合题意;B、掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上,是随机事件,不符合题意;C、买一张电影票,座位号是奇数号,是随机事件,不符合题意;D、任意画一个三角形,其内角和是180°,是必然事件,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.10、C【分析】从中任意摸出1个球共有3+4=7种结果,其中摸出的球是黑球的有4种结果,直接根据概率公式求解即可.【详解】解:∵装有7个只有颜色不同的球,其中4个黑球,∴从布袋中随机摸出一个球,摸出的球是黑球的概率=47.故选:C.【点睛】本题考查的是概率公式,熟知随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.二、填空题1、7 20【分析】根据概率公式,即可求解.【详解】解:根据题意得:当小明到达该路口时,遇到红灯的概率是357 3560520=++.故答案为:7 20【点睛】本题考查了概率公式:熟练掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数;P(必然事件)=1;P(不可能事件)=0是解题的关键.2、7【分析】根据频率可估算出摸到黄球的概率为30%,根据概率公式列方程求出m的值即可得答案.【详解】∵大量重复试验后发现,摸到黄球的频率稳定在30%,∴摸到黄球的概率为30%,∴33m+=30%,解得:m=7,故答案为:7【点睛】本题考查了用频率估计概率及概率公式,大量重复的试验中,频率是一个比较稳定的值,它可以估计事件的概率;熟练掌握概率公式是解题关键.3、2 3【分析】根据题意画出树状图,由树状图求得所有可能的结果与能够让灯泡发光的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.【详解】解:设K1、K2、K3中分别用1、2、3表示,画树状图得:∵共有6种等可能的结果,能够让灯泡发光的有4种结果,∴能够让灯泡发光的概率为:42 63 =,故答案为:23.【点睛】本题主要考查了概率问题,根据题意画出树状图求得所有可能的结果与能够让灯泡发光的情况是关键.4、2 3【分析】先列表求解所有的等可能的结果数,再得到所选代表恰好为1名女生和1名男生的结果数,再利用概率公式进行计算即可.【详解】解:列表如下:所以:所有的可能的结果数有12种,刚好是1名女生和1名男生的结果数有8种,所以所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是:82=, 123故答案为:2.3【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率,掌握“画树状图或列表的方法”是解本题的关键.5、12【分析】先利用列举法求出个位数字是3的所有结果数,然后利用概率公式求解即可.【详解】解:从3,5,7,11,13,23这6个质数中随机抽取一个数一共有6种等可能性的结果数,其中抽到个位是3的有3,13,23三种结果数,∴抽到个位数字是3的概率是31=62,故答案为:12.【点睛】本题主要考查了概率的计算,熟练掌握列举法进行概率的计算是解决本题的关键.三、解答题1、(1)13;(2)14.【分析】(1)利用概率公式求解指针指向3的概率即可;(2)先列表得到所有的等可能的结果数与和为5的结果数,再利用概率公式求解即可.【详解】解:(1)甲转盘被分成三个大小相同的扇形,分别标有1,2,3;所以转动甲转盘,指针指向3的概率是:1 , 3故答案为:13;(2)列表如下:所有的等可能的结果数有12种,和为5的结果数有3种, 所以转动两个转盘指针指向的两个数字和是5的概率31=124. 【点睛】本题考查的是利用列表法或画树状图的方法求解简单随机事件的概率,掌握“列表法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数”是解本题的关键. 2、(1)6;(2)13【分析】(1)根据题意只能沿着图中实线向右或向下走,枚举所有可能即可求解; (2)根据网格的特点判断直角三角形,根据列表法求得概率 【详解】 (1)如图,从点A 出发,只能向右或向下,先向右的路线为:A H I C E →→→→,A H O C E →→→→,A H O D E →→→→先向下的路线为:A B O C E →→→→,A B O D E →→→→,A B G C E →→→→ 共6条路线 故答案为:6(2)列表如下, BDE CDE BDF CDF BEFCEF根据列表可知共有9种等可能情况,只有CDE ,CDF , CEF 是直角三角形则所画三角形是直角三角形的概率为31=93【点睛】本题考查了枚举法,列表法求概率,掌握列举法和列表法求概率是解题的关键.3、(1)证明见解析;(2)16.【分析】(1)把c =2b ﹣1代入14x 2+bx +c =0.利用一元二次方程根的判别式即可得答案;(2)根据方程14x 2+bx +c =0有两个相等的实数根,利用判别式可得b 与c 的关系,画出树状图,得出所有可能情况数及符合b 与c 的关系的情况数,利用概率公式即可得答案. 【详解】(1)∵c =2b ﹣1,∴14x 2+bx +c =14x 2+bx +2b 1-=0. ∵214(21)4b b -⨯-=221b b -+=2(1)b -≥0,∴方程一定有两个实数根.(2)∵方程14x 2+bx +c =0有两个相等的实数根,∴2144b c -⨯=0,∴2c b =, 画树状图如下:由树状图可知:所有可能情况数为12种,符合2c b =的情况数为2种,∴b 、c 的值使方程14x 2+bx +c =0有两个相等的实数根的概率为212=16.【点睛】本题考下一元二次方程的根的判别式及树状图法或列表法求概率,对于一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠),根的判别式为△=24b ac -,当△>0时,方程有两个不相等的实数根,当△=0时,方程有两个相等的实数根,当△<0时,方程没有实数根;熟练掌握根的判别式及概率公式是解题关键. 4、(1)23;(2)49【分析】(1)根据概率公式计算即可; (2)通过树状图法求概率即可; 【详解】(1)∵有2个红球,1个白球, ∴摸出红球的概率23=; (2)由题可得,∴两次摸出的球中一个是白球、一个是红球的概率49 =.【点睛】本题主要考查了概率公式应用和列表法求概率,准确计算是解题的关键.5、(1)他遇到红灯、绿灯、黄灯的概率各是1940、12、140;(2)12.【分析】(1)根据红灯、绿灯、黄灯的时间求出总时间,再利用概率公式即可得;(2)将遇到红灯和黄灯的概率相加即可得.【详解】解:(1)红灯、绿灯、黄灯的总时间为57603120()s++=,则他遇到红灯的概率是5719 12040=,遇到绿灯的概率是601 1202=,遇到黄灯的概率是31 12040=,答:他遇到红灯、绿灯、黄灯的概率各是1940、12、140;(2)1911 40402+=,答:按照交通信号灯直行停车等候的概率是1.2【点睛】本题考查了简单事件的概率,熟练掌握概率公式是解题关键.。
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初二数学
例题1:设a 、b 、c 为三角形三边的长
化简:2222)()()()(b a c a c b c b a c b a --++----+++
练习1:一个等腰三角形两边长分别为3和23,则周长为 ; 例题:已知24-=+b a ,4=ab ,(1) 求2)(b a -值;(2)求b
a 11+的值;
(3)求b
a 44+的值;(4)求
a
b b
a +
的值.
练习1.把a
a 1-
中的a 放到根号内,得到 ;
练习2.已知432=+-b a ,化简:1681222+--++-b b a a .
例题3:观察下列各式:
3
22
322=+
;8
33
8
33=+
;15
44
15
44=+
(1)填空:=+24
55 ;
(2)猜想写出用n (n 是自然数,且2≥n )表示的等式: ;
(3)证明你的结论:
一、填空题:
1、最简二次根式_____________________________________________.
2、有根式2
22
221,
,1000,10,3
2,
,2b
a a
b a a ab ,其中最简二次根式有____________.
3、把下列各式化成最简二次根式:
=48________; )0(352
<a a =________;
=
2
11
4________.
4、同类二次根式 .
5、2与
50
1是不是同类二次根式?答________________.
6、请写出一个与27
1是同类二次根式的根式:________________.
7、合并同类二次根式:=+483122________________. 8、已知x,y 均为负数,化简:=358y x ________________. 9、把根式
6
.32
1化为最简二次根式是________________.
10、如果103+x 和7都是最简二次根式,且是同类二次根式,那么x =________. 例题1:当x 取哪个最小正整数时, 52+x 和3是同类二次根式?
二、选择题: 1.在
1
.02
39
5949
2
2
++x a xy
a
中,最简二次根式的个数是 ( )
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 2.化简a
a 1-
的结果是 ( )
(A)a - (B)-a - (C)a - (D)a 3.在二次根式50
,2,8,
18,2,2
,
202
24
3
b a b
a a
中,与2是同类二次根式的有( )
(A )3个 (B )4个 (C )5个 (D )6个
三、简答题:
1、把下列二次根式化为最简二次根式:
(1)40
3 (2)
16
19
4+
(3))0(1503<y y x (4)3)(12y x +
2、将下列各组根式先化为最简二次根式,再判断它们是否是同类二次根式: (1)5
.0010
1255
3与 (2)
)
,0(33123
13
3o x a a
x a
x a >>与
3、合并下列各式中的同类二次根式: (1)
8
13
1212
1- (2)28
2
1175632-
+ (3)
)0,0(1>>+
b a a
b b
a a
四、解答题:
1、如果最简二次根式52+x 与8+x 是同类二次根式,试求x 的值, 并计算
x
x
x
x x
27913134--
的值.
2、阅读下面一题的解答过程,请判断是否正确,若正确,请说明理由,若不正确,请写出正确的解答.
已知为实数,化简a
a a 13-
--
解:
a
a
a a a a
a a
-⋅--=---113
=a a a ---=a a --)1(
练习题: 1、b a 32与
3
93
1ab
(其中a >0,b >0)是不是同类二次根式?
答: ________________.
2、n 取4,6,8,12,16,18中的________________时,2和n 和是同类二次根式.
3、三角形的三边长为cm cm cm 45,40,20,那么它的周长等于________.
4、把下列二次根式化为最简二次根式: (1) )(23
2
2
o a b b ab b a >>+- (2)
)0(322
24
42
>>-
∙
a b a
b a
b b
a
5、下列各组二次根式中,是同类二次根式的是 ( ) (A )5
1,
45,26;(B )6
5,
12.0;(C )2
53,
ab
c c ab ;(D )x
xy x 13
,16,923
6、如果52+a 和8+a 是最简同类二次根式,试求a 的值.
7、如果032822=-+z y x ,那么z y x 44=+,请说明理由.。