浙江省高二下学期数学期末考试试卷
浙江宁波市2024年高二下学期期末考试数学试题+答案 (1)
宁波市2023学年第二学期期末考试高二数学试题卷本试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、准考证号填涂在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡的“贴条形码区”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分(共58分)一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，B ={1，5}，则∁U A ∩B =()A.⌀B.{1}C.{5}D.{1，5}2.已知复数z =1+2i ，则1z 的虚部为()A.25B.25iC.-25i D.-253.已知角α的终边过点-4，3 ，则sin α+cos αsin α=()A.-12B.-13C.14D.734.已知a ，b 为单位向量，则“a ⊥b ”是“a -2b =2a +b”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.对于直线m ，n 和平面α，β，下列说法错误的是()A.若m ⎳α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nB.若m ⊂α，n ⎳α，m ，n 共面，则m ⎳nC.若m ⊥β，且α⎳β，则m ⊥αD.若m ⊥α，且m ⎳β，则α⊥β6.若ln x -ln y >y 2-x 2，则()A.ex -y>1 B.e x -y<1 C.ln x -y >0 D.ln x -y <07.袋子中有n 个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为16，则两次摸到的球颜色不相同的概率为()\A.518B.49C.59D.13188.颐和园的十七孔桥，初建于清乾隆年间；永定河上的卢沟桥，始建于宋代；四川达州的大风高拱桥，修建于清同治7年.这些桥梁屹立百年而不倒，观察它们的桥梁结构，有一个共同的特点，那就是拱形结构，这是悬链线在建筑领域的应用.悬链线出现在建筑领域，最早是由十七世纪英国杰出的科学家罗伯特.胡克提出的，他认为当悬链线自然下垂时，处于最稳定的状态，反之如果把悬链线反方向放置，它也是一种稳定的状态，后来由此演变出了悬链线拱门，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cosh x =e x +e -x 2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinh x =e x -e -x2.若关于x 的不等式4m cosh 2x -4sinh 2x -1>0对任意的x >0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.2，+∞B.[2，+∞)C.14，+∞ D.14，+∞ 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
浙江省高二下学期数学期末考试试卷
浙江省高二下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2019高二下·吉林月考) 若直线的参数方程为（为参数），则直线的斜率为（）A .B .C .D .【考点】2. （2分） (2016高二上·包头期中) 如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A . AC⊥SBB . AB∥平面SCDC . SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D . AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】3. （2分）已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2=4与D围成的区域面积为（）A .B .C . πD .【考点】4. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为，记第n个k边形数为，下面列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数，正方形数，五边形数，六边形数，以此类推，下列结论错误的是（）A .B .C .D .【考点】二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2020高一下·枣庄开学考) 在复平面内，复数对应的点为(-2，2)，复数对应的点为(1，-1)，复数，则对应的点在第________象限.【考点】6. （1分）直线x﹣ y+3=0的倾斜角为________．【考点】7. （1分） (2018高二下·黄陵期末) 的展开式中常数项为________；各项系数之和为________。
（用数字作答）【考点】8. （1分） (2015高三上·潍坊期末) 已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则p=________．【考点】9. （1分）已知复数z=，则z的共轭复数的模为________【考点】10. （1分） (2016高二下·广州期中) 正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a=________．【考点】11. （1分） (2020高三上·泸县期末) 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为________．【考点】12. （1分）四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1，PC⊥平面AC，PC=2，则点P到直线BD的距离为________．【考点】13. （1分） (2016高二下·长安期中) 湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下一个直径为12cm，深为2cm的空穴，则该球的半径为________ cm，表面积是________．【考点】14. （1分） (2020高二上·南京月考) 为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒C类药，若每天只能检测1盒药品，且C类药不在第1天或第6天检测，3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测，则不同的检测方案的个数是________.【考点】15. （1分）若复数z满足：iz=2+4i，则在复平面内，复数z对应的点坐标是________．【考点】16. （1分）设对任意非零实数均满足，则为________函数．（填“奇”或“偶”）【考点】三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分）（1）若（x2﹣1）+（x2+3x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），求实数x的值；（2）已知z的共轭复数为，且(z+)2=3z i=4-12i（i为虚数单位），求复数z．【考点】18. （10分）如图，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是 AB、CD的中点，且EF= AD，求异面直线AD和BC所成的角．【考点】19. （10分）(2018·衡水模拟) 已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率，短轴长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．【考点】20. （15分） (2016高二上·郴州期中) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）设PD=AD=1，求直线PC与平面ABCD所成角的正切值．【考点】21. （15分） (2020高三下·浙江开学考) 已知椭圆 : （）的离心率为，为其右焦点，直线上动点到椭圆上点的距离的最小值为2．（1）求椭圆的方程；（2）线段交椭圆于点，直线与椭圆有且仅有一个公共点．试证明，并求面积的最小值．【考点】参考答案一、单选题 (共4题；共8分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：二、填空题 (共12题；共12分)答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共60分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
浙江高二高中数学期末考试带答案解析
浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合，，则=A．B．C．D．2.已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的公比为A．B．C．D．3.已知，则的值为A．B．C．D．4.已知，则的大小关系是A．B．C．D．5.是恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.函数的图象大致是（）A．B．C．D．8.已知函数 (、、均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．9.已知数列的前项和为，，当时，，则（）A．1006B．1007C．1008D．100910.对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.已知，记：，试用列举法表示_____．2.若实数满足则的最小值为__________；3.__________．4.已知数列为等比数列，且成等差数列，若，则________．5.函数的最大值为__________．6.中,为线段的中点,,,则________.7.已知函数的图象上关于直线对称的点有且仅有一对，则实数的取值范围为_______________.三、解答题1.(本题满分12分) 设,其中,如果，求实数的取值范围.2.已知函数.（I）求的最小正周期及单调递减区间；（II）在中，分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径.3.设函数.（I）求证：当时，不等式成立；（II）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.4.（本小题满分10分）已知等差数列满足．（I）求数列的通项公式；（II）求数列的前项和．5.已知数列满足：，（）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）求证：．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合，，则=A．B．C．D．【答案】C【解析】因为集合或，，故选C点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的公比为A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以．由条件可知>0，故．故选D.3.已知，则的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.4.已知，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以，故选A．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5.是恒成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设成立；反之，，故选A.6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】不等式的解集为R.可得：a2−3a−4<0,且△=b2−4ac<0，得：，解得：0<a<4，当a2−3a−4=0时，即a=−1或a=4，不等式为−1<0恒成立，此时解集为R.综上可得：实数a的取值范围为(0,4].本题选择D选项.7.函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除C；当时，恒有，故排除D；时，，故可排除B；故选A.8.已知函数 (、、均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）．∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0，f（0）=Asin=Asin＞0，又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故选：B．9.已知数列的前项和为，，当时，，则（）A．1006B．1007C．1008D．1009【答案】D【解析】，故选D.10.对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】C【解析】由数列是“减差数列”，得，即，即，化简得，当时，若恒成立，则恒成立，又当时，的最大值为，则的取值范围是.故选C.点睛：紧扣“减差数列”定义，把问题转化为恒成立问题，变量分离转求最值即可，本题易错点是忽略了n的取值范围.二、填空题1.已知，记：，试用列举法表示_____．【答案】{﹣1，0，1，3，4，5}【解析】{﹣1，0，1，3，4，5}.2.若实数满足则的最小值为__________；【答案】-6【解析】在同一坐标系中，分别作出直线x+y−2=0，x=4，y=5，标出不等式组表示的平面区域，如图所示。
浙江高二高中数学期末考试带答案解析
浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合则（）A．B．C．D．2.已知是虚数单位，则= （）A．B．C．D．3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )A．B．C．D．4.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．5.已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．6.从这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．B．C．D．7.已知的大小关系为（）A．B．C．D．的大小关系不确定，与的取值有关8.已知下列各式：①；②；③；④.其中存在函数对任意的都成立的是（）A．①④B．③④C．①②D．①③9.设函数,若存在实数,使得对任意的都有，则的最小值是（）A．B．C．D．10.定义在上的可导函数满足,当时实数满足,则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题1.若则________,用表示为________.2.已知的展开式中二项式系数和为64，则________,该展开式中常数项为________.3.已知函数.若时方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________；若的值域为，则实数的取值范围是________.4.函数的奇偶性为________,在上的增减性为________(填“单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）.5.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为________.6.已知的最小值为，则实数____.7.已知函数在区间上有零点，则的最大值是________.三、解答题1.已知，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)猜想与的关系，并用数学归纳法证明.2.(Ⅰ)已知，其中.（i）求；（ii）求.(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位.（i）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案有几种？3.已知,函数满足(Ⅰ)求的解析式,并写出的定义域；(Ⅱ)若在上的值域为，求实数的取值范围.4.已知函数.(Ⅰ)证明: 当时,.(Ⅱ)证明: 当时, .5.已知，函数.(Ⅰ)求函数的最小值；(Ⅱ)已知存在实数对任意总存在两个不同的使得，求证：.浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合A={x|-1≤x≤3}=[-1，3]，B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2}=[1，2]，B）=[-1，3]∩[2，+∞）∪（-∞，1]=[2，3]∪[-1，1]，则A∩（∁R本题选择B选项.2.已知是虚数单位，则= （）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题选择D选项.3.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )A．B．C．D．【解析】f(x)=lnx的导数为f′(x)=，可得曲线f(x)=lnx在点(2,f(2))处的切线斜率为，切线与直线ax+y+1=0垂直,可得−a⋅=−1，解得a=2.本题选择C选项.4.下面四个条件中，使成立的必要而不充分的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】“a>b”不能推出“a1>b”，故选项A不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a+1>b”，但“a+1>b”不能推出“a>b”，故满足题意；“a>b”不能推出“|a|>|b|”，故选项C不是“a>b”的必要条件，不满足题意；“a>b”能推出“a3>b3”，且“a3>b3”能推出“a>b”，故是充要条件，不满足题意；本题选择B选项.点睛：有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．5.已知函数，则的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，排除.由于，排除.由于，故函数在为减函数，排除.所以选.点睛:本题主要考查函数图像的判断.一般采用特殊值的方法利用选项中图像的特殊性，对进行赋值，然后利用相应函数值来排除错误的选项.本题还可以利用导数来判断，利用导数，可求得原函数的导数为，故当，函数单调递增，当时，函数单调递减.6.从这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有（）A．B．C．D．【解析】根据题意，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取四个数，使其和为偶数需要分3种情况讨论： ①当取出的4个数都是奇数,有种情况， ②当取出的4个数有2个奇数、2个偶数,有种情况， ③当取出的4个数都是偶数,当取出的数字没有奇数有种情况，根据分类计数原理总共有5+60+1=66种取法； 本题选择D 选项.7.已知的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．的大小关系不确定，与的取值有关【答案】C【解析】∵1<a <b ，∴b −1>a −1>0，∴m =a b −1>a a −1>n =b a −1，则m >n ， 本题选择C 选项.8.已知下列各式：①；②；③； ④.其中存在函数对任意的都成立的是 （ ）A ．①④B ．③④C ．①②D ．①③【答案】A【解析】①f (|x |+1)=x 2+1,由t =|x |+1(t ⩾1),可得|x |=t −1,则f (t )=(t −1)2+1， 即有f (x )=(x −1)2+1对x ∈R 均成立； ②，对0<t ⩽1,y =f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2−2x )=|x |,令t =x 2−2x ，若t <−1时，x ∈∅； t ⩾−1,可得,y =f (t )不能构成函数；④f (|x |)=3x +3−x .当x ⩾0时,f (x )=3x +3−x ；当x <0时,f (−x )=3x +3−x ;将x 换为−x 可得f (x )=3x +3−x ；故恒成立。
高中数学：2022-2023学年浙江省名校联盟高二(下)期末数学试卷(含参考答案)
2022-2023学年浙江省名校联盟高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）集合A ＝{x |ax ＝1}，B ={y|y =√x −1}且A ∩B ＝A ，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，+∞）B ．（0，1]C ．[1，+∞）D ．（0，1）2．（5分）若直线a 在平面α内，直线b 在平面α外，则“b ⊥a ”是“b ⊥α”的（ ） A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件3．（5分）数列{a n }首项为1，接下来3项为13，再接下来5项为15，再后面7项为17，以此类推a 100＝（ ）A ．115B ．117C ．119D ．1214．（5分）已知一组成对数据（x i ，y i ）（i ＝1，2，…，6）中y 关于x 的一元非线性回归方程y ＝bx 2+1，已知∑x i 2=126i=1，∑ 6i=1x i =4，∑ 6i=1y i =18，则b ＝（ ）A ．3B ．1C ．﹣1D ．﹣35．（5分）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．足球由32块黑白相间的皮革缝制而成，其中，黑色的皮块呈正五边形，每一块黑皮的周围都5块白皮相连；而白色的皮块呈正六边形，每一块白皮的周围分别连着3块黑皮、3块白皮．若制作一个半径为10 cm 的足球（正多边形近似看作平面正多边形），则一块黑皮面积约为_____cm 2．（注：边长为a 的正五边形面积≈1.7a 2，边长为a 的正六边形面积≈2.6a 2，取3.14）（ ） A ．32.44B ．31.92C ．30.51D ．29.496．（5分）复数z 满足|z ﹣1|+|z +1|＝4，则|z |的取值范围是（ ） A ．[√3，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，√3]7．（5分）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）右焦点为F ，离心率为e ，PO →=kFO →（k ＞1），以P 为圆心，|PF |长为半径的圆与双曲线有公共点，则k ﹣8e 最小值为（ ） A ．﹣9B ．﹣7C ．﹣5D ．﹣38．（5分）已知a =sin√32，b =2√55，c =cos 12，则（ ）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(A)
浙江省宁波市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（A）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________由图象可得不等式()2log f x x >解集为1,22æöç÷èø，故选：C【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是正确的作出函数的图象，数形结合，求得不等式解集.．B【分析】由题意得在四棱锥D ABCE ¢-中^AE 平面D CE ¢．作MN AB ^于N ，连D N ¢，可证得AB ^平面D MN ¢．然后作因为几何体是由等高的半个圆所以45Ð=Ð=°，ECD DCG因为//BC EF，BC EF=，所以四边形BCEF为平行四边形，因为BC^平面ABF，BFÌ:(1)(1)0(0)11q x a x a a a x a -+--£>Û-££+．∵p 是q 的充分不必要条件，∴{|210}x x -££是{|11}x a x a -££+的真子集，故有121100a a a -£-ìï+>íï>î或121100a a a -<-ìï+³íï>î，解得9a ³，因此，所求实数a 的取值范围为[9,)+¥．22．（1）1a £；（2）证明见解析.【分析】（1）问题转化为()0f x ¢³对R x "Î恒成立.求导后分离参数得到x a e x £-，设()x h x e x =-，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由1x ，2x 为两个极值点不妨设12x x >，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a ，将要证不等式转化为只含有1x ，2x 的不等式，适当变形转化为只含有12x x -的不等式，作换元120t x x =->，转化为关于t 的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】（1）()f x Q 是R 上是增函数，(),0x x R f x e x a ¢\"Î=--³，()min x a e x \£-，答案第241页，共22页。
浙江高二高中数学期末考试带答案解析
浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A．{3}B．{2，3}C．{0，2，3}D．{﹣2，0，2}2.设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）A．B．C．D．3.设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A．B．C．D．4.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A．B．C．D．5.sin15°cos15°=（）A．B．C．D．6.函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）7.若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l⊥α，l∥m，则m⊥α8.若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件9.下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．10.圆（x+2）2+y 2=4与圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=9的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离11.若实数x ，y 满足不等式组 ，则z=2x ﹣y 的最小值等于（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．﹣212.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 、O 1分别为底面ABCD 和A 1B 1C 1D 1的中心，以OO 1所在直线为轴旋转线段BC 1形成的几何体的正视图为（ ）A ．B ．C ．D ．13.设函数f （x ）=x 2+bx+c （b ，c ∈R ），若0≤f （1）=f （2）≤10，则（ ） A ．0≤c≤2 B ．0≤c≤10 C ．2≤c≤12D ．10≤c≤1214.已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部（不含边界）．若,则实数对（x ，y ）可以是（ ）A ．B ．C ．D ．15.设A ，B 是函数f （x ）=sin|ωx|与y=﹣1的图象的相邻两个交点，若|AB|min =2π，则正实数ω=（ ） A ．B ．1C ．D ．216.设函数f （x ）=2017x+sin 2017x ，g （x ）=log 2017x+2017x ，则（ ） A ．对于任意正实数x 恒有f （x ）≥g （x ）B ．存在实数x 0，当x ＞x 0时，恒有f （x ）＞g （x ）C ．对于任意正实数x 恒有f （x ）≤g （x ）D ．存在实数x 0，当x ＞x 0时，恒有f （x ）＜g （x ）17.设F 为双曲线（a ＞b ＞0）的右焦点，过点F 的直线分别交两条渐近线于A ，B 两点，OA ⊥AB ，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．18.设点P 在△ABC 的BC 边所在的直线上从左到右运动，设△ABP 与△ACP 的外接圆面积之比为λ，当点P 不与B ，C 重合时，（ ） A ．λ先变小再变大 B ．当M 为线段BC 中点时，λ最大 C ．λ先变大再变小 D ．λ是一个定值二、填空题1.设抛物线x 2=4y ，则其焦点坐标为_____，准线方程为_____．2.在平行四边形ABCD 中，AD= ，AB=2，若 ，则 =_____．3.设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S n =2a n ﹣n ，则 =_____．4.在△ABC 中，∠ABC=，边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，直线AB 与平面α所成角为θ．若平面ABC 与平面α所成的二面角为，则sinθ=_____．三、解答题1.设A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是圆O 上两点，O 为坐标原点，∠AOP=，∠AOQ=α，α∈[0，]． （1）若Q，求cos （α﹣）的值；（2）设函数f （α）=sinα•（ ），求f （α）的值域．2.如图，P 是直线x=4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经定点B （1，0），直线l 是圆Γ在点B 处的切线，过A （﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l 交于E ，F 两点． （1）求证：|EA|+|EB|为定值；（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|•|FQ|=|BF•|EQ|．3.设函数f（x）=，g（x）=a（x+b）（0＜a≤1，b≤0）．（1）讨论函数y=f（x）•g（x）的奇偶性；（2）当b=0时，判断函数y=在（﹣1，1）上的单调性，并说明理由；（3）设h（x）=|af2（x）﹣ |，若h（x）的最大值为2，求a+b的取值范围．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.设集合A={x|x≤3，x∈N*}，B={﹣2，0，2，3}，则A∩B=（）A．{3}B．{2，3}C．{0，2，3}D．{﹣2，0，2}【答案】B【解析】 ,选B点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2.设d为点P（1，0）到直线x﹣2y+1=0的距离，则d=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】选B3.设向量 =（﹣1，﹣1，1），=（﹣1，0，1），则cos＜，＞=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】选D4.下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】图A,B,D中,对任意的x只有唯一的y与其对应，而在图C中，当x>0时，由两个y值与其对应，故选C 5.sin15°cos15°=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A6.函数f（x）=ln（x2﹣x）的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【答案】C【解析】，则定义域为，选C7.若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l⊥α，l∥m，则m⊥α【答案】D【解析】选项A错误，两直线可能相交；选项B错误，直线可能在平面内；选项C 错误，只有当直线在同一平面内时有选项D正确，故选D8.若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当x>1时，有；当时，有x>1或x<0，故“x＞1”是“”的充分非必要条件，故选A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．9.下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【答案】D【解析】选项A ： ，是偶函数； 选项B ： ，偶函数 ； 选项C ： ，偶函数；选项D ：，奇函数，故选D10.圆（x+2）2+y 2=4与圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=9的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离【答案】B【解析】由题两圆的圆心分别为，，圆心距为，两圆的半径分别为2,3，由于，所以两圆相交。
浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题
浙江省温州十校联合体2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题一、单选题1．设全集{}{}{}U 0,1,2,3,4,5,1,2,3,1,4,5U A B ===ð，则A B =I （ ）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1,2,3D ．{}2,3 2．62x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项是（ ） A ．-120 B ．-60 C ．60 D ．1203．已知圆台的高为8，上､下底面圆的半径分别为2和8，则圆台的表面积为（ ） A ．80π B ．100π C ．148π D ．168π4．已知向量()()()2,4,1,0,2,2a P Q =-r ，PQ u u u r 在a r 上的投影向量记为b r ，则b =r （ ）A ．35B ．310 CD5．已知π3ππtan ,4444θθ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭，则sin2θ=（ ） A ．725- B ．725 C ．2425- D ．24256．已知数列{}n a 的前n 项和2n n S a k =+，则“0k ≠”是“{}n a 为等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数121,02()πsin(),0π6xx x f x x x ω⎧⎛⎫--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-<<⎪⎩有4个零点，则正数ω的取值范围是（ ） A ．1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1925,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1925,66⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()()()22,11,31f x f y f x y f x y f f -=+-==-，则下列结论错误的是（ ） A ．()20f = B ．()42f =C ．()f x 是奇函数D ．()()4f x f x +=二、多选题9．已知复数21iz =-（i 为虚数单位），下列结论正确的是（ ） A ．2z =B ．2z 为纯虚数C ．z 对应的点位于第四象限D ．22z z =10．已知函数()2ln f x ax x =+，下列结论正确的是（ ） A ．当1a =-时，()f x 在()()1,1f 处的切线方程为y x =-B ．当1a =-时，()0f x x +≤恒成立C ．若()f x 恰有一个零点，则[)0,a ∈+∞D ．若()f x 恰有两个零点，则1,02e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭11．如图，P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，E 为棱11A B 的中点，O 为侧面11ADD A 的中心.下列结论正确的是（ ）A ．OE ⊥平面11A BCB ．AB 与平面11A BCC ．若点P 在各棱上，且到平面11A BC P 有9个D ．若点P 在侧面11BCC B 内运动，且满足1PE =，则存在P 点，使得1A P 与1BC 所成角为60︒三、填空题12．连续抛掷一枚质地均匀的股子两次，事件“两次向上点数之和为7”的概率为.13．在ABC V 中，6,,AB BC AC P Q ===为ABC V 所在平面内的两点，2133AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，23AQ AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则QC QP ⋅u u u r u u u r 的值为. 14．椭圆22Γ:163x y +=的左焦点为1F ，直线l 与椭圆Γ和圆心为(),M a b 的圆相切于同一点()2,1E ，则1MF 的最小值为.四、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,,2cos cos cos a b c a A b C c B -=.(1)求角A 的大小；(2)若ABC V6，求a .16．在七一“建党节”来临之际，某省教育系统开展以“争知识标兵，做奋斗先锋”为主题的法规知识竞赛活动.为了了解本次竞赛成绩情况，从参与者中随机抽取容量为100的样本数据（满分为100分），均在区间[]50,100内，将样本数据按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示.(1)求a 的值，并估计抽取的100位参与者得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若本次活动共有5000人参加，用样本平均值估计总体平均值μ.假设所有参与者得分(),100X N μ~，试估计得分在[]65,95上的人数.参考数据：若()2,(0)X N μσσ~>，则()()0.6827,220.9545P X P X μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈ 17．已知四棱锥,,P ABCD E F -为,AC PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，BC PC ⊥.(1)若AD DC =，证明：DE P 平面PBC ；(2)若2AC BC ==，二面角A FC B --的大小为120︒，求PA .18．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为)E .,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB 为直径的圆经过点E .(1)求C 的方程；(2)证明：直线AB 恒过定点；(3)若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBE MBES S V V 的值. 19．已知奇函数()(πln cos 2f x x a x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中0,0πa ϕ≠≤≤. (1)求ϕ值；(2)若())ln1f x a ≥-对任意[)1,x ∞∈+上恒成立，求a 的取值范围； (3)记()()πsin2f x a x m x +=，证明：当0x ≥时，()()2e e e 1x m x x m x x +--≤-.。
浙江省金华市十校2023-2024学年高二下学期6月期末调研考试数学试题(含答案)
金华十校2023-2024学年第二学期期末调研考试高二数学试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分.考试时间120分钟.试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上.选择题部分（共58分）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量，且，则（ ）A.11B.-11C.D.3.已知是实数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（）A.B. C. D.5.函数的图象为（）A. B.C. D.122i,12i z z =+=-+12z z -()()1,2,3,a b x x ==-()2a a b ⊥+ x =112112-x 152x x +…2x …()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()ln cos x xf x x=6.已知随机变量，且，则（ ）A.0.4B.0.2C.0.8D.0.17.高二某班男生20人，女生30人，男､女生身高平均数分别为，方差分别为170､160，记该班全体同学身高的平均数为，方差为，则（ ）A. B.C.D.8.已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（ ）A.B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.在正方体中，（ ）A.B.直线与所成角为C.平面D.直线与平面所成角为10.投掷一枚质地均匀的硬币两次，记“第一次正面向上”为事件，“第二次正面向上”为事件，“至少有一次正面向上”为事件，则下列判断正确的是（ ）A.与相互独立B.与互斥C..D.11.在中，已知，则（ ）A.B.C.的外接圆直径为10D.的面积为非选择题部分（共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.()1,4X N ~()()0.20.1P X a P X ==……19a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭170cm 160cm ､X 2s 2165,165X s >>2165,165X s <>2165,165X s ><2165,165X s <<[)0,1x ∈()33xf x =-()f x R ()1f x +()2f x +()3log 300f (),0∞-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,∞+1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD CD π411A C ∥1AB C1BC 11BB D D π6A B C A B A B ()23P BC =∣()()()()P C P A P B P AB =+-ABC ()4cos 3sin 4sin 9,6B B C A AC ++-==A B >2AB BC=ABC ABC I212.已知集合，集合，则__________.13.若，则__________.14.在三棱锥中，，且，若三棱锥的外接球表面积的取值范围为，则三棱锥体积的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）某校开展一项名为“书香致远，阅读润心”的读书活动，为了更好地服务全校学生，需要对全校学生的周平均阅读时间进行调查，现从该校学生中随机抽取200名学生，将他们的周平均阅读时间（单位：小时）数据分成5组：，根据分组数据制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计全校学生周平均阅读时间的平均数；（2）用分层抽样的方法从周平均阅读时间不小于6小时的学生中抽出6人，从这6人中随机选出2人作为该活动的形象大使，求这2人都来自这组的概率.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，为等边三角形，分别为的中点，，垂足为.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.（本题满分15分）已知分别为三个内角的对边，且.（1）证明：；{}1,2,3,4,5,6A ={14}B x x =∈-<<R∣A B ⋂=5250125(21)x a a x a x a x +=+++⋯+2a =A BCD -,AC AB BD AB ⊥⊥10,3AC BD AB ===A BCD -661π,409π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦A BCD -[)[)[)[)[]2,4,4,6,6,8,8,10,10,12a [)6,8P ABCD -ABCD PAD 2,AB E F =､AD BC ､EG PF ⊥G EG ⊥PBC 3cos 4PAB ∠=-PAB PCD ,,a b c ABC ,,A B C ()()sin 22cos sin A B a cA B Ab++-+=22b a ac -=（2）求的最小值.18.（本题满分17分）已知函数.（1）若，求函数在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值的表达式；（3）若函数有两个零点，求实数的取值范围.19.（本题满分17分）二项分布是离散型随机变量重要的概率模型.我们已经知道，若，则.多项分布是二项分布的推广，同样是重复次试验，不同的是每次试验的结果不止2种，而有种，记这种结果为事件，它们的概率分别为，则.现考虑某厂生产的产品分成一等品､二等品､三等品和不合格品，它们出现的概率分别为，从该厂产品中抽出个，研究各类产品出现的次数的情况，就是一个多项分布.由于产品很多，每次抽取可以看作是独立重复的.（1）若从该厂产品中抽出4个，且和分别为和0.05，求抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个的概率；（2）现从该厂中抽出个产品，记事件出现的次数为随机变量.为了定出这一多项分布的分布列，只需求出事件的概率，其中为非负整数，.（i ）求；（ii ）对于上述多项分布，求在给定的条件下，随机变量的数学期望.cos aA b+()1eln x f x ax x x -=--2a =()f x ()()1,1M f ()f x []1,3()g a ()f x a (),X B n p ~()C (1)k k n kn P X k p p -==-n m m 12,,,m A A A 12,,,m p p p 120,1i m p p p p +++= …1A 2A 3A 4A 1234,,,p p p p n 123,,p p p 4p 0.15,0.70,0.10n i A ,1,2,3,4i X i ={}11223344,,,B X k X k X k X k =====()1,2,3,4i k i =1233k k k k n +++=()P B 22X k =1X金华十校2023-2024学年第二学期调研考试高二数学卷评分标准与参考答案一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案D D B C C A B C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.题号91011答案ACD ACD BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.13.4014.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.解：（1）依题意可得，解得又，即估计全校学生周平均阅读时间的平均数为6.92小时.（2）由频率分布直方图可知和三组的频率的比为所以利用分层抽样的方法抽取6人，这三组被抽取的人数分别为记中的3人为中的2人为中的2人为，从这6人中随机选出2人，则样本空间共15个样本点；设事件选出的2人都来自，则共3个样本点，所以.16.解：（1）如图，连接，在中，，在正方形中，，又因为平面，所以平面.又因为，所以平面，而平面，所以.因为平面，所以平面.{}1,2,3⎡⎤⎣⎦()0.020.050.10.1821a ++++⨯=0.15a =()30.0250.1870.1590.1110.052 6.92⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=[)[)6,88,10､[]10,120.15:0.1:0.053:2:1=3,2,1,[)6,8[)123,,,8,10a a a []12,,10,12b b 1c {}121311121123212221313231121121Ω,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a c a a a b a b a c a b a b a c b b b c b c =:A [)6,8{}121323,,A a a a a a a =()31155P A ==,PE EF PAD PE AD ⊥ABCD EF AD ⊥PE EF ⊂､,PEF PE EF E ⋂=AD ⊥PEF BC ∥AD BC ⊥PEF EG ⊂PEF EG BC ⊥BC PF ⊂､,PBC BC PF F ⋂=EG ⊥PBC（2）因为，所以，则，则如图以为原点，分别为轴，过且垂直为轴建系，则，则，设为平面的法向量，则，取，同理平面的法向量.所以，故平面与平面形成的锐二面角的余弦值.17.解：（1）因为所以，即；（2）因为，又，所以，因此，于是，3cos 4PAB ∠=-PB ==PF ==cos PEF ∠==E ,EA EF ,x y E ABCD z ()()1,0,0,1,2,0A B ()()31,0,0,1,2,0,0,2G C P ⎛--- ⎝()30,2,0,1,,2AB PA ⎛== ⎝ ()1111,,n x y z = PAB 11110,230,y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩)12n =PCD )22n =-12341cos ,77n n -==-PAB PCD 17()()sin 22cos sin A B A B A+-+()()()sin 2cos sin sin sin sin A B A A B AB AA++-+==sin sin B b a cA a b+==22b a ac -=222cos 2b c a A bc+-=22b a ac -=cos 2c a A b +=2cos b A a c =+()2sin cos sin sin sin sin B A C A A B A =+=++即，故，因为，所以，即，所以，当且仅当时，“=”成立.故.18.解：（1）易知函数的定义域为.当时，.，所以在点处的切线斜率，又，即点坐标为，所以点处的切线方程为.（2）因为.所以，当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减，故函数在区间上的最大值为.当时，令，则在上单调递增，且当时，，当时，，所以在上有唯一的一个零点.令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得()sin sin B A A -=2B A =ππ3C A B A =--=-π03A <<1cos 12A <<sin 1cos cos cos sin 2cos a A A A A b B A+=+=+…cos A =cos aA b+()f x ()0,∞+2a =()12eln ,0x f x x x x x -=-->()()111112e 2e 112e x x x f x x x x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭'M ()()011112e 21k f ⎛⎫==+-⎝'= ⎪⎭()012e 101f =--=M ()1,1M ()21121y x x =-+=-()1e ln ,0xf x ax x x x -=-->()()11111ee 11e x x xf x a ax x a x x ---⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭'0a …()0f x '<()0,∞+()f x ()0,∞+()f x []1,3()01e 101f a a =--=-0a >()11e,0x g x a x x-=->()g x ()0,∞+0x →()g x ∞→-x ∞→+()g x ∞→+()0g x =()0,∞+11e0x a x--=()000x x >-+单调递减单调递增所以函数在区间上的最大值为，由，有：当时，；当时，.故（3）由（2）可知，当时，在上单调递减，故此时函数至多有一个零点，不符合题意.当时，在时，单调递减，在时，单调递增；且，所以，①又时，，当时，为了满足有两个零点，则有.②对①两边取对数可得，③将①③代入②可得，解得.所以实数的取值范围为19.解：（1）记从该厂产品中抽出4个，且恰好抽出一等品1个､二等品2个，三等品1个为事件，则，（2）（i ），x()00,x ()0,x ∞+()f x '()f x ()f x []1,3()(){}max 1,3f f ()()211,33e 3ln3f a f a =-=--22ln303e 1a +<<-()()11g a f a ==-22ln33e 1a +-…()()233e 3ln3g a f a ==--()2222ln31,3e 12ln33e 3ln3,.3e 1a a g a a a +⎧-<⎪⎪-=⎨+⎪--⎪-⎩…0a …()f x ()0,∞+()f x 0a >()00,x ()f x ()0,x ∞+()f x 0101e0x a x --=0101e x a x -=0x →()f x ∞→+x ∞→+()f x ∞→+()f x ()010000e ln 0x f x ax x x -=--<00ln 1ln a x x =--()010000eln ln 0x f x ax x x a -=--=<1a <a 01a <<M ()12212413213C C C 40.1530.710.10.0882P M p p p ==⨯⨯⨯⨯⨯=(){}()11223344,,,P B PXk X k X k X k =====331122441121231234C C C C k k k k k k k k n n k n k k n k k k p p p p ------=⋅⋅⋅（ii ）若把事件作为一方，则作为另一方，那么随机变量分布列为，即服从二项分布列为，同理可知：.所以.所以在给定的条件下，随机变量服从二项分布，即所以此时，随机变量的数学期望为()()()()()()312411212312341112212334!!!!!!!!!!0!!k k k k n k n k k n k k k n p p p p n k k n k k k n k k k k k ------=⋅⋅⋅⋅-⋅-----⋅331241241234123412341234!111!!!!!!!!!k k k k k k k k n n p p p p p p p p k k k k k k k k =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅1A 1234A A A A =++1X ()112341,P X k X X X n k =++=-1X ()()()1111111!1!!n kk n P X k p p k n k -==⋅-⋅-()()()22222222!1!!n k k n P X k p p k n k -==⋅-⋅-()()()1212112212121212!,1!!!n k k k k n P X k X k p p p p k k n k k --===⋅⋅--⋅⋅--()()()1122112222,P X k X k P X k X k P X k ======∣()()()()122122121222121222!!1/1!!!!!n k k n k k k k n n p p p p p p k k n k k k n k ---=⋅⋅--⋅-⋅--⋅-()()11221111222!1!!11k n k k n k p p k n k k p p ---⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⋅----⎝⎭⎝⎭22X k =1X 1122,1p X B n k p ⎛⎫~- ⎪-⎝⎭1X ()1221p n k p -⋅-。
浙江高二期末考试卷子数学
浙江高二期末考试卷子数学浙江高二期末考试数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = sin(x)D. y = cos(x)2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(-1)的值。
3. 一个圆的半径为5，求该圆的面积。
4. 已知等差数列的首项为3，公差为2，求该数列的第10项。
5. 某工厂生产的产品，每件产品的成本为20元，售价为50元，若该工厂希望获得的利润率为40%，则每件产品需要销售多少件？6. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，判断三角形ABC的形状。
7. 求下列不等式组的解集：\[\begin{cases}x + y \geq 3 \\x - y \leq 1\end{cases}\]8. 已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(x)的极值点。
9. 一个正方体的体积为27立方厘米，求该正方体的边长。
10. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项之和。
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11. 函数y = log_2(x)的定义域为_________。
12. 若向量a = (3, -1)，向量b = (2, 4)，则向量a与向量b的夹角为_________。
13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。
14. 一个圆的周长为44厘米，求该圆的直径。
15. 已知正弦函数y = sin(x)的图像，求其在x = π/6处的导数值。
三、解答题（本题共4小题，共40分）16. 证明：若a, b, c为正实数，且a + b + c = 1，则(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 9。
17. 解下列二元一次方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x - y = 5\end{cases}\]18. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 12，求该函数的单调区间。
浙江高二高中数学期末考试带答案解析
浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若集合，，A．B．C．D．2.已知复数满足，则A．B．C．D．3.“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.下列函数中值域为（0，）的是A．B．C．D．5.若，则的取值范围是A．B．C．D．6.观察，，则归纳推理可得：若定义在R上的函数满足，记为的导函数，则=A．B．C．D．7.函数的图象的大致形状是A．B．C．D．8.若展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是A．21B．－21C．D．9.若都是实数，且，，则与的大小关系是A．B．C．D．不能确定10.由两个1、两个2、一个3、一个4这六个数字组成6位数，要求相同数字不能相邻，则这样的6位数有A．12个B．48个C．84个D．96个二、填空题1.设某气象站天气预报准确率为0.9，则在3次预报中恰有2次预报准确的概率为__________。
2.设函数，满足，则的值是__________。
3.曲线在点P（0，1）处的切线方程是__________。
4.函数的最小值是__________。
5.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率是，得2分的概率是，不得分的概率是（），已知他投篮一次得分的数学期望是2（不计其它得分），则的最大值是__________。
6.设存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围是__________。
三、解答题1.已知函数，在区间上有最大值4、最小值1，设函数。
（1）求、的值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围。
2.袋中有红、白两种颜色的小球共7个，它们除颜色外完全相同，从中任取2个，都是白色小球的概率为，甲、乙两人不放回地从袋中轮流摸取一个小球，甲先取，乙后取，然后再甲取……，直到两人中有一人取到白球时游戏停止，用X表示游戏停止时两人共取小球的个数。
2022-2023学年浙江省杭州市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=17．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．3√28．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．34D ．√32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．若函数f （x ）导函数的部分图象如图所示，则（ ）A ．x 1是f （x ）的一个极大值点B ．x 2是f （x ）的一个极小值点C ．x 3是f （x ）的一个极大值点D ．x 4是f （x ）的一个极小值点10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A ：“两次向上的点数之和大于7”，事件B ：“两次向上的点数之积大于20”，事件C ：“两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A ．事件B 与事件C 互斥 B ．P(AB)=572C ．P(B|A)=25D ．事件A 与事件C 相互独立11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1eC ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 ． 16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；（2）求二面角B﹣A1B1﹣C1的正弦值．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001）单位：人（2）国际友人David来杭游玩，每日的行程分成M（M∈N*）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |＝2． （1）求抛物线C 的标准方程．（2）已知点P （1，0），直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D ． ①求证：直线CD 过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ．2022-2023学年浙江省杭州市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量， ∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3）， 故选：A ．2．若{a →，b →，c →}是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ） A ．b →+c →，b →，−b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c → D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：−b →−c →=−(b →+c →)，则b →+c →，b →，−b →−c →共面，故b →+c →，b →，−b →−c →不能构成基底，故A 错误；a →=12[(a →+b →)+(a →−b →)]，因此向量a →，a →+b →，a →−b →共面，故不能构成基底，故B 错误； 假设c →=λ(a →+b →)+μ(a →−b →)，即c →=(λ+μ)a →+(λ−μ)b →，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C 正确；(a →+b →)+c →=a →+b →+c →，因此向量a →+b →，a →+b →+c →，c →共面，故不能构成基底，故D 错误． 故选：C ．3．“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于√212．而早在16世纪，明代朱载堉最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A ．5fB ．214fC ．4fD ．213f解：由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为√212的等比数列{a n }， 第四个单音的频率为a 4=f ×(√212)3=214f ．故选：B ．4．“点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外”是“直线ax +by +2＝0与圆x 2+y 2＝1相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：①若点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外，则a 2+b 2＞1， ∵圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +2＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b ，∴d 与半径1的大小无法确定，∴不能得到直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，∴充分性不成立， ②若直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交，则圆x 2+y 2＝1的圆心（0，0）到直线ax +by +1＝0的距离d =|2|√a 2+b =2√a 2+b 1，即a 2+b 2＞4，点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外．∴点（a ，b ）在圆x 2+y 2＝1外是直线ax +by +1＝0与圆x 2+y 2＝1相交的必要不充分条件． 故选：B ．5．第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种解：先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有C 31C 32A 22=18种．故选：C ．6．A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息（x i ，y i ）．A 小组根据表中数据，直接对（x ，y ）作线性回归分析，得到：回归方程y =0.4699x +0.235，决定系数R 2＝0.8732．B 小组先将数据按照变换u ＝x 2，v ＝y 2进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程v =−0.5006u +0.4922，决定系数R 2＝0.9375．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ） A ．0.4699x ﹣y +0.235＝0 B ．0.5006x +y ﹣0.4922＝0C ．0.5006x 20.4922+y 20.4922=1D ．x 20.4922+0.5006y 20.4922=1解：由统计学知识可知，R 2越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数R 2＝0.8732，B 小组的决定系数R 2＝0.9375， ∴B 小组的拟合效果好，则回归方程为v =−0.5006u +0.4922，又u ＝x 2，v ＝y 2，∴y 2＝﹣0.5006x 2+0.4922，即0.5006x 20.4922+y 20.4922=1．故选：C ．7．设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设OA →+OB →+OC →=0→，则|AD |+|BD |+|CD |不可能等于（ ） A ．3B ．72C ．4D ．3√2解：因为AD →+BD →+CD →=（OD →−OA →）+（OD →−OB →）+（OD →−OC →）＝3OD →−（OA →+OB →+OC →）＝3OD →， 且|OD →|＝1，所以|AD →+BD →+CD →|＝3，而|AD →+BD →+CD →|≤|AD →|+|BD →|+|CD →|=|AD|+|BD|+|CD|，当且仅当AD →，BD →，CD →同时时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即AD →，BD →，CD →不同向， 所以|AD |+|BD |+|CD |＞|AD →+BD →+CD →|＝3，且|AD |，|BD |，|CD |均小于直径长2，即|AD |+|BD |+|CD |＜6， 综上，3＜|AD |+|BD |+|CD |＜6， 根据选项可知A 不符合． 故选：A ． 8．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为△PF 1F 2的内心．直线PI 交x 轴于A 点，|OA →|=14c ，且PF 1→⋅PF 2→=116a 2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．34D ．√32解：不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为△PF 1F 2的内心，所以P A 为∠F 1PF 2的角平分线， 所以PF 1PF 2=F 1A AF 2，因为|OA →|=14c ，所以|PF 1||PF 2|=|F 1A||AF 2|=53，设|PF 1|＝5t ，则|PF 2|＝3t ，由椭圆的定义可知，|PF 1|+|PF 2|＝8t ＝2a ， 可得t =a 4，所以|PF 1|=5a 4，|PF 2|=3a4，又因为PF 1→⋅PF 2→=|PF 1→|⋅|PF 2→|cos∠F 1PF 2=54a ×34a ⋅cos∠F 1PF 2=116a 2， 所以cos ∠F 1PF 2=115，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos∠PF1F2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|2|PF1||PF2|=17a28−4c215a28=115，所以a2＝2c2，则e=√c2a2=√22．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若函数f（x）导函数的部分图象如图所示，则（）A．x1是f（x）的一个极大值点B．x2是f（x）的一个极小值点C．x3是f（x）的一个极大值点D．x4是f（x）的一个极小值点解：由图象可知，当x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x2＜x＜x4时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞x4时，f′（x）＜0，函数单调递减，故x1，x4是f（x）的极大值点，x2是f（x）的极小值点，x3不是的极值点．故选：AB．10．抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件A：“两次向上的点数之和大于7”，事件B：“两次向上的点数之积大于20”，事件C：“两次向上的点数之和小于10”，则（）A．事件B与事件C互斥B．P(AB)=572C．P(B|A)=25D．事件A与事件C相互独立解：抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次，设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m、n，以（m，n）为一个基本事件，则基本事件的总数为62＝36，事件A 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（4，6）、（5，3）、 （5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，2）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共15种， 事件B 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 事件C 包含的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，1）、 （2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，1）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（3，5）、 （3，6）、（4，1）、（4，2）、（4，3）、（4，4）、（4，5）、（5，1）、（5，2）、（5，3）、（5，4）、 （6，1）、（6，2）、（6，3），共30种， 对于A ，事件B 与事件C 互斥，故A 正确；对于B ，事件AB 包含的基本事件有：（4，6）、（5，5）、（5，6）、（6，4）、（6，5）、（6，6），共6种， 所以，P(AB)=636=16，故B 错误； 对于C ，P(B|A)=n(AB)n(A)=615=25，故C 正确； 对于D ，P(A)=1536=512，P(C)=3036=56，事件AC 包含的基本事件有：（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，4）、（4，5）、（5，3）、（5，4）、 （6，2）、（6，3），共9种， 所以，P(AC)=936=14≠P(A)⋅P(C)，故D 错误． 故选：AC ．11．设双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 离心率的最小值为4B ．离心率最小时双曲线C 的渐近线方程为√3x ±y =0 C ．若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则|AC |＝|BD |D ．若a ＝1，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则S △EOF 为定值 解：由题意可得e 2=a 2+4a =a +4a，因为a ＞0， 所以e 2=a 2+4a =a +4a ≥2√m ⋅4m =4，即e ≥2，当且仅当a =4a，即a ＝2 时，等号成立． 此时双曲线方程是x 22−y 26=1，渐近线方程是√3x ±y =0．故A 错误，B 正确；设直线为x ＝my +n 代入双曲线C ：x 2a −y 2a 2−a+4=1(a ＞0)， 可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）﹣a （a 2﹣a +4）＝0，又双曲线的渐近线方程为x 2a−y 2a 2−a+4=0，直线方程代入可得（m 2a 2﹣m 2a +4m 2）y 2+2mn （a 2﹣a +4）y +n 2（a 2﹣a +4）＝0， ∵直线l 与双曲线右支交于两点A ，B ，与渐近线交于两点C ，D ，A 在B ，C 两点之间， ∴AB 、CD 的中点重合，∴|AC |＝|BD |，故C 正确．当a ＝1，双曲线的方程为x 2−y 24=1，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A （m ，n ），故双曲线在A （m ，n ）的切线方程为mx −14ny ＝1， 与y ＝2x 联立可得E 的横坐标为44m−2n， 与y ＝﹣2x 联立可得E 的横坐标为44m+2n，∴S △EOF =12|OE |•|OF |•sin ∠EOF =12×√1+22×44m−2n ×√1+22×44m+2n ×sin ∠EOF =52×1616m 2−4n 2×sin ∠EOF =52×1616×sin ∠EOF =52sin ∠EOF 为定值，故D 正确． 故选：BCD ．12．已知曲线f(x)=x e x ，g(x)=lnxx ，及直线y ＝a ，下列说法中正确的是（ ） A ．曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行 B ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e C ．曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点D ．若直线y ＝a 与曲线f （x ）交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与曲线g （x ）交于点B （x 2，y 2），C（x 3，y 3），则x 1x 3=x 22解：对于A 选项：f （0）＝0，f ′(x)=x′⋅e x −x⋅(e x )′(e x )2=1−xe x ，f ′（0）＝1，所以曲线f （x ）在x ＝0处的切线为：y ＝x ； 同理g （1）＝0，g ′(x)=1−lnxx 2，g ′（1）＝1，曲线g （x ）在x ＝1处的切线为y ＝x ﹣1， 即曲线f （x ）在x ＝0处的切线与曲线g （x ）在x ＝1处的切线平行，正确； 对于B 选项：f ′(x)=1−xe x，令f ′（x ）＝0，解得x ＝1， 所以曲线f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f(1)=1e ， 又当x →﹣∞时f （x ）→﹣∞，当x →+∞时f （x ）→0，若直线y ＝a 与曲线f （x ）仅有一个公共点，则a =1e 或a ≤0，错误； 对于C 选项：曲线g （x ）的定义域为：（0，+∞），g ′(x)=1−lnxx 2，令g ′（x ）＝0，解得x ＝e ，所以g （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，且g(1)=0，g(e)=1e， 所以曲线f （x ）与曲线g （x ）的大致图像为：易知当x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，g （x ）＜0，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（0，1）上无交点； 当x ∈[1，e ]时，f （x ）单调递减，g （x ）单调递增，且f(1)=1e＞g(1)=0，f （e ）＝e 1﹣e ＜g （e ）＝e ﹣1，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（1，e ）上有一个交点；当x ∈（e ，+∞）时，记h （x ）＝x ﹣lnx ，ℎ′(x)=1−1x，当x ＞e 时h ′（x ）＞0恒成立， 即h （x ）在（e ，+∞）上单调递增，即h （x ）＞h （e ）＝e ﹣1＞0，即x ＞lnx ＞1， 又曲线f （x ）在（1，+∞）上单调递减，所以f （x ）＜f （lnx ），即x ex＜lnx e lnx=lnx x，即f （x ）＜g （x ）恒成立，即曲线f （x ）与曲线g （x ）在区间（e ，+∞）上没有交点； 所以曲线f （x ）与g （x ）有且仅有一个公共点，正确；对于D 选项：当直线y ＝a 经过曲线f （x ）与g （x ）的交点时，恰好有3个公共点， 且0＜x 1＜1＜x 2＜e ＜x 3，x 1e x 1=x 2e x 2=lnx 2x 2=lnx 3x 3，由f （x 1）＝f （x 2）＝f （lnx 2），所以x 1＝lnx 2， 由g(x 2)=g(x 3)=g(e x 2)，所以x 3=e x 2， 即x 1⋅x 3=lnx 2⋅e x 2=x 22，正确． 故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（x ﹣y ）（x +y ）8展开式中，x 3y 6项的系数为 ﹣28 ．解：（x ﹣y ）（x +y ）8＝x （x +y ）8﹣y （x +y ）8，二项展开式x （x +y ）8的通项为xC 8r x 8−r y r =C 8r x 9−r y r，二项展开式y （x +y ）8的通项为yC 8k x 8−k y k =C 8k x 8−k y k+1，令{r =6k +1=6，解得{r =6k =5，因此，x 3y 6项的系数为C 86−C 85=28−56=−28， 故答案为：﹣28．14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|[1+(f′(x))2]32．已知f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 0 ． 解：因为f （x ）＝cos （x ﹣1）﹣lnx ， 所以f ′(x)=−sin(x −1)−1x，f ″(x)=1x 2−cos(x −1)， 则f ′(1)=−11−sin0=−1，f ″(1)=11−cos0=0， 所以曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为K =|f″(1)|[1+(f′(1))2]32=|0|[1+(−1)2]32=0．故答案为：0．15．已知数列{a n }满足a 2＝8，a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1），则满足S n ﹣5＞0的正整数n 的最小值为 63 ． 解：因为a n =[2(−1)n+n]a n−1(n ≥2，n ∈N ∗)，a 2＝8＞0， 所以a n ＞0，a na n−1=2(−1)n +n ， 所以b n ＝log 2（a 2n +2•a 2n ﹣1）﹣log 2（a 2n •a 2n +1）=log 2(a 2n+2⋅a 2n−1a 2n ⋅a 2n+1)=log 2(a 2n+2a 2n+1)−log 2(a2na 2n−1) =log 2(2(−1)2n+2+2n +2)−log 2(2(−1)2n+2n)＝log 2（2n +4）﹣log 2（2n +2）所以S n =log 26−log 24+log 28−log 26+⋯+log 2(2n +4)−log 2(2n +2)=log 22n+44， 因为S n ﹣5＞0，所以log 22n+44＞5=log 232，即n+22＞32，解得n ＞62， 因为n ∈N *，所以正整数n 的最小值为63． 故答案为：63．16．设函数f(x)=2|x+2|+cos(π2x)，则使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是 (−53，1) ． 解：由f(x)=2|x+2|+cos(π2x)向右平移2个单位，得g(x)=2|x|+cos(π2x −π)=2|x|−cos(π2x)为偶函数，所以g （x ）关于y 轴对称， 所以f （x ）关于x ＝﹣2对称，当x ≥0时，g ′(x)=2x ln2+π2sin(π2x)，当x ∈[0，2]时，因为sin(π2x)≥0，所以g ′（x ）＞0， 当x ∈（2，+∞）时，g ′(x)＞22ln2−π2＞0，所以g （x ）在上单调[0，+∞）递增，在（﹣∞，0）上单调递减， 所以f （x ）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，由f （x +1）＞f （2x ）得|x +1+2|＞|2x +2|，即（x +3）2＞（2x +2）2，解得−53＜x ＜1， 所以使得f （x +1）＞f （2x ）成立的x 的取值范围是(−53，1)． 故答案为：(−53，1)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四面体ABCD 中，AE →=λAB →，AH →=λAD →，CF →=(1−λ)CB →，CG →=(1−λ)CD →，λ∈（0，1）．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面．（2）若λ=13，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA →、OB →、OC →、OD →表示OM →．（1）证明：因为EH →=AH →−AE →=λAD →−λAB →=λBD →， FG →=CG →−CF →=(1−λ)CD →−(1−λ)CB →=(1−λ)BD →， 所以EH →=λ1−λFG →，则EH →∥FG →，因此E 、F 、G 、H 四点共面． （2）解：由（1）知，EH →=13BD →，FG →=23BD →，因此EH →=12FG →，EH 、FG 不在同一条直线上， EH ∥FG ，则EM MG =EH FG =12，则EM →=12MG →，即OM →−OE →=12(OG →−OM →)， 当λ=13时，AE →=13AB →，即OE →−OA →=13(OB →−OA →)，可得OE →=23OA →+13OB →，因为CG →=23CD →，即OG →−OC →=23(OD →−OC →)，可得OG →=13OC →+23OD →，所以，OM →=23OE →+13OG →=23(23OA →+13OB →)+13(13OC →+23OD →)=49OA →+29OB →+19OC →+29OD →．18．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)． （1）求数列{a n }的通项公式．（2）若{a n }中的部分项a b n 组成的数列{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）设差数列{a n }的公差为d ，则由S 4＝4S 2，a 2n =2a n +1(n ∈N ∗)可得{4a 1+6d =8a 1+4d a 1+(2n −1)d =2a 1+2(n −1)d +1，解得{a 1=1d =2，因此a n =2n −1(n ∈N ∗)．（2）由a n ＝2n ﹣1，得a b n =2b n −1，又由{a b n +1}是以a 1+1为首项，2为公比的等比数列，得a b n +1=2n ，因此2b n =2n ， 所以b n =2n−1，所以T n =1−2n1−2=2n −1．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，∠A 1AC ＝60°，A 1B =√6． （1）证明：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ； （2）求二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值．（1）证明：取AC 中点M ，连接A 1M ，BM ，则BM ⊥AC ． ∵AA 1＝AC ，∠A 1AC ＝60°，∴△A 1AC 为等边三角形， ∴A 1M ⊥AC ，∵A 1M =BM =√3，A 1B =√6， ∴A 1M 2+BM 2=A 1B 2，∴A 1M ⊥BM ， ∵AC ∩BM ＝M ，∴A 1M ⊥平面ABC ，∵A 1M ⊂平面A 1ACC 1，∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．（2）解：由题可知二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值与二面角A 1﹣AB ﹣C 正弦值相等． ∵A 1M ⊥平面ABC ，过M 作MN ⊥AB 于点N ，连接A 1N ， ∴∠A 1NM 即为所求二面角A 1﹣AB ﹣C 的平面角， ∵A 1M =√3，MN =A 1M ⋅cos60°=√32，∴A 1N =√3+34=√152， ∴sin∠A 1NM =A 1MA 1N =2√55．故二面角B ﹣A 1B 1﹣C 1的正弦值为2√55．20．（12分）第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求．（1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列2×2列联表，并根据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成M （M ∈N *）段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n段行程上David坐地铁的概率为p n，易知p1＝1，p2＝0①试证明{p n−14}为等比数列；②设第n次David选择共享单车的概率为q n，比较p5与q5的大小．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．解：（1）列联表如下：零假设为H0：城市规模与出行偏好地铁无关，χ2=200(80×40−20×60)2100×100×140×60≈9.524＞6.635，根据小概率值α＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010；（2）①证明：第n段行程上David坐地铁的概率为p n，则当n≥2时，第n﹣1段行程上David坐地铁的概率为p n﹣1，不坐地铁的概率为1﹣p n﹣1，则p n=p n−1⋅0+(1−p n−1)⋅13=−13p n−1+13，从而p n−14=−13(p n−1−14)，又p1−14=34，所以{p n−14}是首项为34，公比为−13的等比数列；②由①可知p n=34(−13)n−1+14，则p5=34(−13)4+14＞14，又q5=13(1−p5)＜14，故p5＞q5．21．（12分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0），过焦点F的直线与抛物线C交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线AB垂直于x轴时，|AB|＝2．（1）求抛物线C的标准方程．（2）已知点P（1，0），直线AP，BP分别与抛物线C交于点C，D．①求证：直线CD过定点；②求△P AB 与△PCD 面积之和的最小值．解：（1）由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，x 1=p2，代入抛物线方程得y 1＝±p ， 则|AB |＝2p ，所以2p ＝2，即p ＝1， 所以抛物线C ：y 2＝2x ．（2）①设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 直线AB ：x =my +12，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2my ﹣1＝0，因此y 1+y 2＝2m ，y 1y 2＝﹣1． 设直线AC ：x ＝ny +1，与抛物线C ：y 2＝2x 联立，得y 2﹣2ny ﹣2＝0， 因此y 1+y 3＝2n ，y 1y 3＝﹣2，则y 3=−2y 1．同理可得y 4=−2y 2．所以k CD =y 3−y4x 3−x 4=y 3−y 4y 322−y 422=2y 3+y 4=2−2y 1+−2y 2=−y 1y2y 1+y 2=12m ，因此直线CD ：x ＝2m （y ﹣y 3）+x 3，由对称性知，定点在x 轴上， 令y ＝0得，x =−2my 3+x 3=−2my 3+y 322=−2m −2y 1+12(−2y 1)2=4m y 1+2y 12=2(y 1+y 2)y 1+2y 12=2+2(y 2y 1+1y 12)=2+2⋅y 1y 2+1y 12=2， 所以直线CD 过定点Q （2，0）．②因为S △PAB =12|PF|⋅|y 1−y 2|=14|y 1−y 2|， S △PCD =12|PQ|⋅|y 3−y 4|=12|−2y 1−−2y 2|=|1y 1−1y 2|=|y 1−y 2y 1y 2|=|y 1−y 2|， 所以S △PAB +S △PCD =54|y 1−y 2|=54√4m 2+4=52√m 2+1≥52， 当且仅当m ＝0时取到最小值52．22．（12分）设函数f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣ax ，若曲线f （x ）在x ＝0处的切线方程为y ＝﹣2x +b ． （1）求实数a ，b 的值．（2）证明：函数f （x ）有两个零点．（3）记f ′（x ）是函数f （x ）的导数，x 1，x 2为f （x ）的两个零点，证明：f ′(x 1+x 22)＞−a ． 解：（1）由题意可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣a ， 由切线方程可知其斜率为﹣2， 所以{f ′(0)=−2，f(0)=b ，，解得{a =1b =1．（2）证明：由f （x ）＝0可得（x ﹣1）2e x ﹣x ＝0，所以(x −1)2−xe x =0； 函数f （x ）有两个零点即函数g(x)=(x −1)2−xe x有两个零点． g ′(x)=(x −1)(2+1e x )，当x ＜1时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减；当x ＞1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增． 又g （0）＝1＞0，g(1)=−1e ＜0，g(2)=1−2e 2＞0， 所以g （0）g （1）＜0，g （1）g （2）＜0， 由零点存在定理可得∃x 1∈（0，1）使得g （x 1）＝0， ∃x 2∈（1，2）使得g （x 2）＝0， 所以函数f （x ）有两个零点．（3）证明：由（1）（2）知f （x ）＝（x ﹣1）2e x ﹣x ， 可得f ′（x ）＝（x 2﹣1）e x ﹣1且0＜x 1＜1＜x 2＜2．要证明f ′(x 1+x 22)＞−a ，即证明((x 1+x 22)2−1)e x 1+x 22−1＞−1，即证明x 1+x 2＞2．令h （x ）＝g （x ）﹣g （2﹣x ）（0＜x ＜1）， 则ℎ′(x)=g ′(x)+g ′(2−x)=(x −1)(2+1e x )+(1−x)(2+1e 2−x )=(1−x)(e x −e 2−x )e 2＜0， 因此h （x ）单调递减，则h （x ）＞h （1）＝0．因此h （x 1）＞0， 即g （x 1）＞g （2﹣x 1），又0＜x 1＜1＜x 2＜2，又g （x 2）＝g （x 1）；所以g （x 2）＞g （2﹣x 1），又x 2，2﹣x 1∈（1，2），且g （x ）在（1，2）上单调递增， 因此x 2＞2﹣x 1，即x 1+x 2＞2．命题得证．。
浙江高二高中数学期末考试带答案解析
浙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线和坐标轴所围成的三角形的面积是A．2B．5C．7D．102.已知，若，则A．1B．4C．-1D．-43.已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是A．B．C．D．5.已知变量满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．6.若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是A．B．C．D．7..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于A．B．C．D．8.右图是边长相等的两个正方形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、侧视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、侧视图如右图；③存在圆柱，其正视图、侧视图如右图．其中真命题的个数是A．3B．2C．1D．09.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为A．B．C．D．10.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中正确的是A．若与所成的角相等，则B．若，，则C．若，则D．若，则11.如图，正方体中，是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成的角为A．B．C．D．12.已知两点，，点在轴或轴上，若，则这样的点的个数为A．B．C．D．13.已知圆：，圆：，若圆的切线交圆于两点，则面积的取值范围是A．B．C．D．二、填空题1.命题“”的否定是．2.两条平行直线与间的距离为 .3.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为.4.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为，则实数的值是 .5.已知三棱锥，侧棱两两互相垂直，且，则以为球心且1为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是 .6.已知点在直线上，若圆 (为坐标原点)上存在点使得，则的取值范围为.三、解答题1.已知函数．设方程有实数根；函数在区间上是增函数.若和有且只有一个正确，求实数的取值范围．2.如图，边长为2的菱形中，，点分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.（1）求证:；（2）求二面角的余弦值.3.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．4.如图，在四棱锥中，⊥平面，底面为梯形，∥，⊥，，点在棱上，且．（1）当时，求证：∥面；（2）若直线与平面所成角为，求实数的值．5.已知圆心为点的圆与直线相切．（1）求圆的标准方程；（2）对于圆上的任一点，是否存在定点 (不同于原点)使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．浙江高二高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.直线和坐标轴所围成的三角形的面积是A．2B．5C．7D．10【答案】B【解析】直线和坐标轴的交点分别为和，三角形的面积，故B正确.【考点】直线的方程及应用.2.已知，若，则A．1B．4C．-1D．-4【答案】D【解析】若，则，解得-4.【考点】向量的坐标表示、向量的数量积.3.已知，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“”可以推出“”，而当“”时，；因此“”是“”的充分不必要条件.【考点】充分条件与必要条件.4.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的底面直径与高的比是A．B．C．D．【答案】B【解析】一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，即，所以这个圆柱的底面直径与高的比是，故B正确.【考点】空间几何体的表面积和体积.5.已知变量满足约束条件则的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】变量满足约束条件的线性区域如下图，z表示斜率为-2的直线的纵截距，当经过点时，z取得最大值6，故C正确.【考点】线性规划、最值问题.6.若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，则点P到平面的距离是A．B．C．D．【答案】C【解析】设与的夹角为，则点P到平面的距离为=，故C正确.【考点】空间向量、向量的运算.7..如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，=，故D正确.【考点】空间向量的运算.8.右图是边长相等的两个正方形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正视图、侧视图如右图；②存在四棱柱，其正视图、侧视图如右图；③存在圆柱，其正视图、侧视图如右图．其中真命题的个数是A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】由空间几何体的三视图的知识可知，三个命题均正确，故A正确.【考点】空间几何体的三视图.9.已知点是直线上的任意一点，则的最小值为A．B．C．D．【答案】A【解析】求的最小值，即求点与点的距离的最小值，也就是点到直线的距离，所以的最小值=，故A正确.【考点】点到直线的距离、动点问题.10.设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中正确的是A．若与所成的角相等，则B．若，，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】A选项：若与所成的角相等，则或相交或异面；B选项：若，，则或相交或异面； C选项：若，则或相交； D选项正确.【考点】直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系.11.如图，正方体中，是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成的角为A．B．C．D．【答案】B【解析】取的中点F，连接BF,直线在面上的投影为,而与所成的角为,由三垂线定理可得直线与所成的角为.【考点】异面直线所成的角、三垂线定理.12.已知两点，，点在轴或轴上，若，则这样的点的个数为A．B．C．D．【答案】C【解析】当点在轴时设，因为，所以，解得；当点在轴时设，因为，所以，解得，所以满足条件的点有3个.【考点】直线的斜率、两直线的位置关系.13.已知圆：，圆：，若圆的切线交圆于两点，则面积的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】圆是以为圆心，半径为2的圆；圆是以为圆心，半径为4的圆，两圆内含；当点到切线的距离最小为1时，最大为，此时面积最大为；当点到切线的距离最大为3时，最小为，此时面积最小为.【考点】圆的方程、圆与圆的位置关系.二、填空题1.命题“”的否定是．【答案】【解析】全称命题的否定为特称命题，结论也否定.【考点】命题的否定、全称命题.2.两条平行直线与间的距离为 .【答案】【解析】由两平行直线之间的距离公式,可得.【考点】两平行直线之间的距离公式.3.已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为.【答案】.【解析】由三视图可知该几何体为同底面的圆锥和圆柱的组合体，该几何体的体积为.【考点】空间几何体的三视图、空间几何体的体积.4.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积为，则实数的值是 .【答案】2【解析】等价于，即直线的下方和直线的上方，而与直线围成三角形区域，当时，不等式组表示的平面区域的面积为.【考点】不等式中的线性规划问题.5.已知三棱锥，侧棱两两互相垂直，且，则以为球心且1为半径的球与三棱锥重叠部分的体积是 .【答案】【解析】由已知条件可用等体积转换求得点到的距离为，所以重叠部分是以为球心且1为半径的球的，即.【考点】空间几何体的体积.6.已知点在直线上，若圆 (为坐标原点)上存在点使得，则的取值范围为.【答案】【解析】由已知条件得圆O与直线相离，当在且满足时，是圆O的切线；当且满足时，与圆O相离，即满足条件的点不存在；同理当时点亦不存在；综上可知的取值范围为.【考点】直线与圆的位置关系，圆的方程.三、解答题1.已知函数．设方程有实数根；函数在区间上是增函数.若和有且只有一个正确，求实数的取值范围．【答案】.【解析】若命题为真，则；若命题为真，则；而和有且只有一个正确，分真假、假真两种情况谈论即可.试题解析：； 2分. 3分若真假,则；若假真,则. 7分所求实数的取值范围为 8分【考点】命题之间的关系、函数的单调性、零点.2.如图，边长为2的菱形中，，点分别是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点.（1）求证:；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明过程见试题解析；（2）二面角的余弦值余弦值为.【解析】（1）取的中点,先证明,即，即可证；（2）先找出二面角的平面角，再根据余弦定理即可求出二面角的余弦值.试题解析：(1)证明:取的中点,连结,因,则,,则, 3分因, 所以 4分(2)由已知, ,所以是二面角的平面角. 5分.则.所求角的余弦值为. 8分【考点】直线与平面的位置关系、二面角.3.已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积．【答案】（1）点C的坐标为；（2）．.【解析】（1）因为直线,求出，进而求出直线AC的方程，直线AC与CD联立即可求出顶点的坐标；（2）由（1）可求出，再求出B点的坐标，由点到直线的距离公式可求出的高，进而可以求出的面积．试题解析：(1)直线,则,直线AC的方程为, 2分由所以点C的坐标．. 4分(2),所以直线BC的方程为, 5分,即．. 7分, 8分点B到直线AC:的距离为. 9分则．. 10分【考点】点到直线的距离、直线方程.4.如图，在四棱锥中，⊥平面，底面为梯形，∥，⊥，，点在棱上，且．（1）当时，求证：∥面；（2）若直线与平面所成角为，求实数的值．【答案】（1）证明过程见试题解析；（2）实数的值为.【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点M,连结ME, 先证明，再证明∥面；先以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系, 求出各点的坐标，再求出平面的一个法向量为, 而已知直线与平面所成角为，进而可求实数的值．试题解析：（Ⅰ）证明:连接BD交AC于点M,连结ME,因∥,当时,.则∥面． 4分（Ⅱ）由已知可以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,则,由,可得E点的坐标为 6分所以.设平面的一个法向量为,则,设,则,,所以8分若直线与平面所成角为,则, 9分解得 10分【考点】空间向量、直线与平面的位置关系.5.已知圆心为点的圆与直线相切．（1）求圆的标准方程；（2）对于圆上的任一点，是否存在定点 (不同于原点)使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)圆C的标准方程为；（2）存在满足条件的点A，且．【解析】(1)由点C到直线的距离求出圆的半径，然后可得圆的标准方程；（2）设满足，设定点A，=，即，两方程联立解得，此时A点坐标为.试题解析：(1)点C到直线的距离为,. 2分所以求圆C的标准方程为. 4分(2)设且.即设定点A,(不同时为0),=(为常数).则 6分两边平方,整理得=0代入后得所以, 9分解得即． 10分【考点】圆的方程、圆与直线的位置关系、定值问题.。
2022-2023学年浙江省宁波市高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π45．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.196．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣17．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0B ．a ﹣b ＝0C ．ab ＝1D ．ab =19．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．1010．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f(x +12)为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有f （2﹣3x ）＝f （3x ），则下列结论中一定成立的是（ ） A ．f （1﹣x ）＝f （x ） B ．f （3x +1）＝f （3x ） C ．f （x ﹣1）为偶函数D ．f （3x ）为奇函数二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.） 13．下列函数是增函数的是（ ） A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y =x 12D ．y ＝﹣x ﹣114．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，则下列命题不正确的是（ ） A ．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线 B ．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C ．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD ．过平面α内的任意一点作交线l 的垂线，则此垂线必垂直于平面β15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．以下列选项为条件，一定可以推出A =π3的有（ ）A ．a ＝7，b ＝8，c ＝5B ．a =√3，b =√2，B =π4 C ．sinBsinC =34D ．2sin 2B+C2+cos2A =1 16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ ，f （log 23）＝ ．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 cm 2．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 ．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，则cb 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．23．（11分）已知函数f(x)=log a x +ax +1x+1(x ＞0)，其中a ＞1． （1）若a ＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f （x ）的零点个数，并说明理由； （3）设f （x 0）＝0，求证：12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为226．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ） A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π227．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，） 28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值； （3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数． （1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）2022-2023学年浙江省宁波市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.1．已知集合A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，1，2}B ．{0，1，2}C ．{﹣1，0}D ．{﹣1，0，1，2}解：因为A ＝{0，1，2}，B ＝{﹣1，0}，所以A ∪B ＝{﹣1，0，1，2}． 故选：D ．2．复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：因为复数﹣1﹣2i ，所以复数﹣1﹣2i （i 为虚数单位）的虚部是﹣2． 故选：A ．3．函数f(x)=(x −12)12的定义域是（ ）A ．(−∞，12)B ．[12，+∞)C ．{−∞，−12}D ．[−12，+∞)解：因为f(x)=(x −12)12=√x −12，所以x −12≥0，则x ≥12，所以f （x ）的定义域为[12，+∞)． 故选：B ．4．已知tan α＝﹣1，α∈（0，π]，那么α的值等于（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π4解：∵已知tan α＝﹣1，且α∈[0，π），故α的终边在射线 y ＝﹣x （x ≤0）上，∴α=3π4， 故选：D ．5．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，结果如表：如果另有一人服用此药，根据上表数据估计此人体重减轻的概率是（ ） A ．0.57B ．0.33C ．0.24D ．0.19解：由已知统计表可知在1000名志愿者中， 服药后出现体重减轻的人数为241人， 因此服药后出现体重减轻的频率为2411000=0.241≈0.24．故选：C ．6．已知向量a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →，则实数x 的值为（ ） A ．1B ．﹣4C ．4D ．﹣1解：∵a →=（x ，2），b →=（3，6），a →⊥b →， ∴3x +2×6＝0，即x ＝﹣4． ∴实数x 的值为﹣4． 故选：B ．7．球的半径是R ＝3，则该球的体积是（ ） A ．36πB ．20πC ．25πD ．30π解：∵R ＝3，∴该球的体积V =43πR 3＝36π． 故选：A ．8．对数lga 与lgb 互为相反数，则有（ ） A ．a +b ＝0 B ．a ﹣b ＝0 C ．ab ＝1 D ．ab=1解：∵lga ＝﹣lgb ∴lga +lgb ＝0 ∴lg （ab ）＝0 ∴ab ＝1 故选：C ．9．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；…；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为（ ）（参考数据：1.57≈17.1，1.58≈25.6，1.59≈38.4，1.510≈57.7） A ．7B ．8C ．9D ．10解：第一次操作去掉的线段长度为13， 第二次操作去掉的线段长度之和为23×13，第三次操作去掉的线段长度之和为23×23×13，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为(23)n−1⋅13， 由题意知，(23)n−1⋅13≥160，则(23)n ≥130， 则(32)n ≤30， 因为32＞1，所以指数函数y =(32)x 为增函数， 又1.58≈25.6，1.59≈38.4，n ∈N *， 所以n ＝8， 故选：B ．10．已知a ，b 为非零实数，则“a ＞b ”是“1a＜1b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当a ＞0＞b 时，1a＞0＞1b，所以由a ＞b 得不出1a＜1b， 若1a＜1b，则1a −1b=b−a ab＜0，若ab ＜0，则b ﹣a ＞0，即a ＜b ，所以由1a＜1b得不出a ＞b ，所以“a ＞b ”是“1a＜1b”的既不充分也不必要条件．故选：D ．11．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AD →=12AB →+34AC →，则直线AD 通过△ABC 的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心解：∵|AB |＝3，|AC |＝2 ∴|12AB →|＝|34AC →|=32．设AE →=12AB →，AF →=34AC →， 则|AE →|＝|AF →|，∴AD →=12AB →+34AC →=AE →+AF →．由向量加法的平行四边形法则可知，四边形AEDF 为菱形． ∴AD 为菱形的对角线， ∴AD 平分∠EAF ．∴直线AD通过△ABC的内心．故选：D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f(x+12)为奇函数，且对于任意x∈R，都有f（2﹣3x）＝f（3x），则下列结论中一定成立的是（）A．f（1﹣x）＝f（x）B．f（3x+1）＝f（3x）C．f（x﹣1）为偶函数D．f（3x）为奇函数解：由f(x+12)是奇函数，得f(x+12)=−f(−x+12)，即f（x）＝﹣f（1﹣x），选项A错误；由f（2﹣3x）＝f（3x），得f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（1﹣x），即f（x+1）＝﹣f（x），则f（3x+1）＝﹣f（3x），B错；由f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x）可得函数f（x）的周期为T＝2，f（x）＝﹣f（1﹣x）与f（x+1）＝﹣f（x）可得f（x+1）＝f（1﹣x），即函数f（x）的图象关于x＝1对称，根据周期为2可得函数f（x）的图象关于x＝﹣1对称，即f（﹣1+x）＝f（﹣1﹣x），所以f（x﹣1）为偶函数，C正确；因为f（2﹣3x）＝f（3x）且函数f（x）的周期为T＝2，所以f（2﹣3x）＝f（﹣3x）＝f（3x），f（3x）为偶函数，故选项D错误．故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分.）13．下列函数是增函数的是（）A．y＝x3B．y＝x2C．y=x 12D．y＝﹣x﹣1解：对于A，函数y＝x3的定义域为R，函数y＝x3在R上单调递增，A正确；对于B，函数y＝x2的定义域为R，函数y＝x2在（﹣∞，0]上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，B错误；对于C，函数y=x 12的定义域为[0，+∞），函数y=x 12在[0，+∞）上单调递增，C正确；对于D，函数y＝﹣x﹣1的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数y＝﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递增，但f（﹣1）＝﹣1＞1＝f（1），D错误；故选：AC．14．已知平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题不正确的是（）A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任意一条直线必垂直于平面βD．过平面α内的任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β解：对于A，平面α内取平行于交线的直线时，该直线与平面β平行，不垂直于平面β内的任意一条直线，故A错误；对于B，取平面β内无数条与交线垂直的直线，平面α内的已知直线与这无数条直线垂直，故B正确；对于C，平面α内取与l平行的直线，不垂直于平面β，故C错误；对于D，若α内的任意一点取在交线l上，所作垂线可能不在平面α内，所以不一定垂直于平面β，故D错误．故选：ACD．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．以下列选项为条件，一定可以推出A=π3的有（）A．a＝7，b＝8，c＝5B．a=√3，b=√2，B=π4C．sinBsinC=34D．2sin2B+C2+cos2A=1解：对于A，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=64+25−492×8×5=12，又A∈（0，π），所以A=π3，A正确；对于B，由正弦定理可得asinA =bsinB，又a=√3，b=√2，B=π4，所以sinA=√3×√22√2=√32，又A∈（0，π），所以A=π3或A=2π3，B错误；对于C，取B=π2，C为锐角，且sinC=34，可得A为锐角，且cosA=34，此时A≠π3，C错误；对于D，由2sin2B+C2+cos2A=1可得2sin2(π2−A2)+cos2A=1，所以cos2A=1−2sin2(π2−A2)=cos(π−A)=−cosA，所以2cos 2A +cos A ﹣1＝0，解得cosA =12或cos A ＝﹣1（舍）， 又A ∈（0，π），所以A =π3，D 正确． 故选：AD ．16．如图，在棱长为2的正方体AC ′中，点E 为CC ′的中点，点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，记二面角P ﹣AB ﹣D 的大小为α，二面角P ﹣BC ﹣D 的大小为β，则（ ）A ．异面直线BP 与AC 所成角的范围是(π3，π2] B ．tan （α+β）的最小值为−43C ．当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为109D ．用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形 解：对于A ，因为AC ∥A ′C ′，所以异面直线BP 与AC 所成角为∠BP A ′或∠BPC ′中的锐角或直角，又BA ′＝A ′C ′＝BC ′， 所以△BA ′C ′为等边三角形，因为点P 在线段A ′C ′（不包含端点）上运动，所以当P 为线段A ′C ′的中点时，∠BPA ′=∠BPC ′=π2， 此时异面直线BP 与AC 所成角为π2，当点P 趋近A ′或C ′时，异面直线BP 与AC 所成角趋近π3，所以异面直线BP与AC所成角的范围是(π3，π2]，选项A正确；对于B，过点P作PF∥A′A，PF∩AC＝F，因为A′A⊥平面ABCD，所以PF⊥平面ABCD，过点F作FG⊥AB，FH⊥BC，垂足为G，H，所以∠PGF为二面角P﹣AB﹣D的平面角，∠PHF为二面角P﹣BC﹣D的平面角，故∠PGF＝α，∠PHF＝β，设A′P=√2x，则FG＝AG＝x，GB＝FH＝2﹣x，0＜x＜2，所以tanα=PFGF=2x，tanβ=PFFH=22−x，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=2x+22−x1−2x×22−x=42x−x2−4，因为0＜x＜2，所以2x﹣x2﹣4∈（﹣4，﹣3]，所以tan(α+β)=42x−x2−4∈[−43，−1)，所以当x＝1时，tan（α+β）取最小值，最小值为−43，选项B正确；对于C，延长EC′到点M，使得EC′＝MC′，则PE＝PM，所以AP+PE+AE＝AP+PM+AE≥AM+AE，当且仅当A ，P ，M 三点共线时等号成立，所以当点P 为线段AM 与A ′C ′的交点时，△APE 的周长最小， 因为PC ′∥AC ， 所以△PC ′M ∽△ACM ， 所以PC′AC=MC′MC=13，又AC =2√2， 所以PC ′=2√23，所以△APE 的面积S =S ACC′A′−S △ACE −S △EC′P −S △AA′P =4√2−√2−√23−4√23=4√23， 又BO ⊥AC ，BO ⊥AA ′，AC ∩AA ′＝A ，AC ，AA ′⊂平面ACC ′A ′， 所以BO ⊥平面ACC ′A ′， 所以点B 到平面APE 的距离为BO ，所以当△APE 的周长最小时，三棱锥B ﹣AEP 的体积为V =13×4√23×√2=89，选项C 错误； 对于D ，延长BE ，B ′C ′，两直线交于点Q ，连接PQ ，设PQ ∩C ′D ′＝S ，PQ ∩A ′B ′＝T ，连接BT ，SE ， 因为平面ABB ′A ′∥平面DCC ′D ′，平面BEP ∩平面ABB ′A ′＝BT ，平面BEP ∩平面DCC ′D ′＝ES ， 所以BT ∥ES ， 又BT ≠ES ，所以四边形BEST 为梯形，所以用平面BEP 截正方体AC ′，截面的形状为梯形，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）17．（6分）已知函数f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f （﹣1）＝ 12 ，f （log 23）＝ 34 ．解：因为f(x)={2x ，x ≤0f(x −2)，x ＞0，则f(−1)=2−1=12；因为1＝log 22＜log 23＜log 24＝2，所以，﹣1＜log 23﹣2＜0， 所以，f(log 23)=f(log 23−2)=2log 23−2=2log 2322=34．故答案为：12；34．18．在生活中，我们经常可以看到这样的路障，它可以近似地看成由一个直八棱柱、一个圆柱与一个圆台组合而成，其中圆台的上底面直径为4cm ，下底面直径为40cm ，高为80cm ．为了起到夜间行车的警示作用，现要在圆台侧面涂上荧光材料，则涂料部分的面积为 1804π cm 2．解：作圆台的轴截面如下：过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，由已知，AE ＝80，BE =12×(40−4)=18， 所以AB =√AE 2+BE 2=82， 所以圆台的母线长为82cm ，由已知圆台的上底半径为2cm ，下底半径为20cm ， 所以圆台的侧面积S ＝π×（2+20）×82＝1804π（cm 2）． 故答案为：1804π．19．已知正实数x ，y 满足xy ﹣x ﹣2y ＝0，则x +y 的最小值是 3+2√2 ． 解：因为xy ﹣x ﹣2y ＝0，所以x +2y ＝xy ， 所以2x +1y=1，所以x +y =(x +y)(2x+1y)=2+x y+2y x +1≥3+2√x y ⋅2y x=3+2√2， 当且仅当xy =2y x，2x+1y=1时等号成立，即x =2+√2，y =√2+1时等号成立，所以x +y 的最小值是3+2√2． 故答案为：3+2√2．20．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ＝sin 2B +sin B sinC ，则cb的取值范围为 （1，2） ．解：因为sin 2A ＝sin 2B +sin B sin C ，由正弦定理可得a 2＝b 2+bc ，由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，所以bc ＝c 2﹣2bc cos A ，即b ＝c ﹣2b cos A ， 由正弦定理可得sin B ＝sin C ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A +B ）﹣2sin B cos A ， 即sin B ＝sin A cos B +cos A sin B ﹣2sin B cos A ， 所以sin B ＝sin （A ﹣B ），因为0＜A ＜π2，0＜B ＜π2，所以−π2＜A −B ＜π2， 所以B ＝A ﹣B ，即A ＝2B ，所以C ＝π﹣3B ，由△ABC 为锐角三角形，所以0＜A =2B ＜π2，0＜C =π−3B ＜π2，可得π6＜B ＜π4，所以√22＜cosB ＜√32，12＜cos 2B ＜34， 由正弦定理得c b=sinC sinB=sin3B sinB=sin(2B+B)sinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB＝2cos 2B +cos2B ＝4cos 2B ﹣1∈（1，2）， 即cb 的取值范围为（1，2）．故答案为：（1，2）．四、解答题（本大题共3小题，共33分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（11分）随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A 款订餐软件的商家中随机抽取100个商家，对它们的“平均配送时间”进行统计，所有数据均在[10，70]范围内，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求a 的值；（2）试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均配送时间”的第20百分位数．解：（1）依题意可得（0.004+0.02+0.056+a +0.004+0.002）×10＝1， 解得a ＝0.014．（2）因为0.04＜0.2＜0.04+0.2，所以第20百分位数位于[20，30）之间， 设为x ，则0.04+（x ﹣20）×0.02＝0.2，解得x ＝28， 故第20百分位数为28．22．（11分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）．其中ω＞0．若f （x ）的最小正周期为π，且f(π2)=f(2π3)； （1）求ω，φ的值；（2）若|φ|＜π2，求f （x ）在区间[−π3，π6]上的值域．解：（1）因为f （x ）＝sin （ωx +φ）的最小正周期为π，ω＞0， 所以2πω=π，所以ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x +φ）， 因为f(π2)=f(2π3)， 所以sin(π+φ)=sin(4π3+φ)， 所以−sinφ=−√32cosφ−12sinφ，所以tanφ=√3， 所以φ=kπ+π3，k ∈Z ，（2）由（1）φ=kπ+π3，k ∈Z ，又|φ|＜π2， 所以φ=π3，所以f(x)=sin(2x +π3)，由已知−π3≤x ≤π6，所以−π3≤2x +π3≤2π3，所以−√32≤sin(2x+π3)≤1，所以f（x）在区间[−π3，π6]上的值域为[−√32，1]．23．（11分）已知函数f(x)=log a x+ax+1x+1(x＞0)，其中a＞1．（1）若a＝2，求f(14)的值；（2）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；（3）设f（x0）＝0，求证：12＜f(√x0)＜a+12．解：（1）当a＝2时，f（x）=log2x+2x+1x+1（x＞0），∴f(14)=log214+2×14+114+1=−710；（2）f′(x)=1xlna+a−1(x+1)2，∵a＞1，x+1＞1，∴lna＞0，1(x+1)2＜1＜a，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵a＞1，∴1a2＜1，a2a2+1＜1，则f(1a2)=−2+1a+a2a2+1＜0，又f(1)=a+12＞0，由函数零点存在性定理可知，f（x）在（0，+∞）内有唯一零点；（3）证明：由（2）可知，x0∈(1a2，1)，∵f(x0)=log a x0+ax0+1x0+1=0，∴log a x0=−ax0−1x0+1，∴f(√x0)=12log a x0+a√x0+1x+1=−12ax0−12(x0+1)+a√x01x+1，令√x0=t，则f(t)=−12at2−12(t2+1)+at+1t+1=−a2[(t−1)2−1]+2t2−t+12(t2+1)(t+1)，t∈(1a，1)，令g(t)=−a2[(t−1)2−1]，∵2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)=2[(t−14)2+716]2(t 2+1)(t+1)＞0，∴f （t ）＞g （t ），易知g （t ）在(1a ，1)上单调递增， 又a ＞1，12a＜12，∴f(t)＞g(t)＞g(1a )=−a2[(1a −1)2−1]=1−12a ＞12， ∵g(t)=−a2[(t −1)2−1]＜g(1)=a 2，∴要证f(t)＜a+12，只需证2t 2−t+12(t 2+1)(t+1)＜12，即证2t 2﹣t +1＜（t 2+1）（t +1），令h （t ）＝（t 2+1）（t +1）﹣（2t 2﹣t +1）＝t 3﹣t 2+2t ， ∵ℎ′(t)=3t 2−2t +2=3[(t −13)2+59]＞0， ∴h （t ）在（0，1）单调递增，∴h （t ）＞h （0）＝0，即（t 2+1）（t +1）＞2t 2﹣t +1，即f(t)＜a+12． 综上，12＜f(t)＜a+12，即12＜f(√x 0)＜a+12．五、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对且没错选得2分，不选、错选得0分）24．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件A ＝“第一次正面朝上”，事件B ＝“第二次正面朝上”，则（ ） A ．P(A)=12B ．P(A +B)=34C ．事件A 与事件B 互斥D ．事件A 与事件B 相互独立解：对于A ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点， 所以P(A)=12，故P(A)=12，故A 正确；对于B ，试验的样本空间为：Ω＝{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，共4个样本点，事件A +B 含有（正，正），（正，反），（反，正），这三种结果，故P(A +B)=34，故B 正确；对于C ，A ＝{（正，正），（正，反）}，B ＝{（正，正），（反，正）}，显然事件A ，事件B 都含有“（正，正）这一结果，事件A ，事件B 能同时发生，因此事件A 与事件B 不互斥，故C 不正确； 对于D ，P(A)=12，P(B)=12，P(AB)=14，所以P （AB ）＝P （A ）P （B ）， 所以事件A 与事件B 为相互独立事件，故D 正确．故选：ABD ．25．已知平面向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，则（ ） A ．|a →+b →|的最大值为3B ．|a →−b →|的最大值为3 C ．|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为6D ．|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2解：设a →，b →的夹角为θ，θ∈[0，π]，|a →|=1，|b →|=2，a →⋅b →=|a →||b →|cosθ=2cosθ，∵|a →+b →|=√(a →+b →)2=√a →2+2a →⋅b →+b →2=√5+4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝1时，|a →+b →|有最大值3，故A 正确；∵|a →−b →|=√(a →−b →)2=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√5−4cosθ， ∵θ∈[0，π]，∴cos θ∈[﹣1，1]，∴当cos θ＝﹣1时，|a →−b →|有最大值3，故B 正确； ∵|a →+b →|−|a →−b →|=√5+4cosθ−√5−4cosθ，要使|a →+b →|−|a →−b →|取最大值，只需考虑|a →+b →|−|a →−b →|≥0的情形， 此时(|a →+b →|−|a →−b →|)2=10−2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝1时，(|a →+b →|−|a →−b →|)2有最大值10﹣2×3＝4， 所以|a →+b →|−|a →−b →|的最大值为2，故D 正确． ∵|a →+b →|+|a →−b →|=√5+4cosθ+√5−4cosθ， ∴(|a →+b →|+|a →−b →|)2=10+2√25−16cos 2θ， ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]，∴当cos 2θ＝0时，(|a →+b →|+|a →−b →|)2有最大值10+2×5＝20， 所以|a →+b →|+|a →−b →|的最大值为2√5，故C 错误． 故选：ABD ．26．已知函数f （x ）＝sin x ，g （x ）＝cos x ，若θ满足，对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，则θ的值可能为（ ）A ．πB ．5π6C ．2π3D ．π2解：因为对∀x 1∈[0，π2]，都∃x 2∈[−π2，0]使得2f （x 1）＝2g （x 2+θ）+1成立，所以f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域包含于函数y ＝2cos （t +θ）+1，t ∈[−π2，0]的值域， 函数f （x ）＝2sin x ，x ∈[0，π2]的值域为[0，2]，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域包含区间[0，2]， 由−π2≤t ≤0，可得−π2+θ≤t +θ≤θ， 当θ＝π时，π2≤t +π≤π，﹣1≤cos （t +π）≤0，所以S ＝4πR 2＝12π，t ∈[−π2，0]的值域为[﹣1，1]不满足要求，A 错误； 当θ=5π6时，π3≤t +5π6≤5π6，−√32≤cos(t +5π6)≤12， 所以y =2cos(t +5π6)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[−√3+1，2]满足要求，B 正确； 当θ=2π3时，π6≤t +2π3≤2π3，−12≤cos(t +2π3)≤√32，所以y =2cos(t +2π3)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[0，√3+1]满足要求，C 正确； 当θ=π2时，0≤t +π2≤π2，0≤cos(t +π2)≤1，所以y =2cos(t +π2)+1，t ∈[−π2，0]的值域为[1，3]不满足要求，D 错误． 故选：BC ．27．已知正实数a 、b 、c 满足log 3a ＝log 5b ，log 3b ＝log 5c ，其中a ＞1，则（ ） A ．log a b ＝log 35 B ．a ＞b ＞cC ．ac ＞b 2D ．2a +2c ＞2b +1解：对于A 选项，因为a ＞1，所以log 3a ＞0， 由log 3a ＝log 5b ，可得lna ln3=lnb ln5，则lnblna=ln5ln3，所以log a b ＝log 35，故A 对；对于B 选项，设log 3a ＝log 5b ＝m ＞0，则a ＝3m ，b ＝5m ，因为幂函数y ＝x m 在（0，+∞）上为增函数，所以3m ＜5m ，即a ＜b ， 设log 5c ＝log 3b ＝n ＞0，则b ＝3n ，c ＝5n ， 因为幂函数y ＝x n 在（0，+∞）上为增函数， 所以3n ＜5n ，即b ＜c ，则a ＜b ＜c ，故B 错； 对于C 选项，因为b ＝5m ＝3n ，且m ＞0，n ＞0，所以mln 5＝nln 3，所以n m =ln5ln3＞1，则m ＜n ，故m ﹣n ＜0， 所以acb 2=3m ⋅5n5m ⋅3n =(35)m−n ＞1，即ac ＞b 2，故C 对；对于D 选项，由基本不等式，可得a +c ＞2√ac ＞2b ，所以，2a +2c ＞2√2a+c ＞2√22b =2b+1，故D 对．故选：ACD ．六、解答题（本大题共2小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，）28．（15分）如图，正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23． （1）求正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积；（2）若点E 为线段PB 的中点，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值；（3）求二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值．解：（1）连接AC ∩BD ＝O ，连接PO ，如图，因为在正四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，则AC ⊥BD ，且O 是AC 与BD 的中点，PO ⊥底面ABCD ，因为正四棱锥P ﹣ABCD 的高为2√2，体积为8√23， 则PO =2√2，设底面ABCD 边长为t ，则S ABCD =t 2，所以由V P−ABCD =13S ABCD ⋅PO ，得8√23=13t 2×2√2， 解得t ＝2，因为PO ⊥底面ABCD ，OC ⊂底面ABCD ，故PO ⊥OC ，在Rt △POC 中，OC =12AC =√2，则PC =√PO 2+OC 2=√10，同理PB =√10，所以在△PBC 中，PB =PC =√10，BC =2，则S △PBC =12×2×√10−1=3， 同理：S △P AB ＝S △P AD ＝S △PCD ＝S △PBC ＝3，所以正四棱锥P ﹣ABCD 的表面积为S ＝S ABCD +4S △PBC ＝4+4×3＝16．（2）由（1）可得，以O 为原点，OA →，OB →，OP →为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图， 则A(√2，0，0)，C(−√2，0，0)，B(0，√2，0)，D(0，−√2，0)，P(0，0，2√2)， 因为点E 为线段PB 的中点，所以E(0，√22，√2)， 则AE →=(−√2，√22，√2)，易知平面ABCD 的一个法向量为n 0→=(0，0，1)，设直线AE 与平面ABCD 所成角为θ，则0＜θ＜π2，所以sinθ=|cos〈AE →，n 0→〉|=|AE →⋅n 0→||AE →||n 0→|=√2√2+12+2×1=23， 故cosθ=√1−sin 2θ=√53，tanθ=2√5=2√55， 所以直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值为2√55． （3）由（2）知AB →=(−√2，√2，0)，PB →=(0，√2，−2√2)，BC →=(−√2，−√2，0)，设平面APB 的一个法向量为m →=(a ，b ，c)，则{AB →⋅m →=0PB →⋅m →=0，即{−√2a +√2b =0√2b −2√2c =0， 则可取m →=(2，2，1)，设平面PBC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{PB →⋅n →=0BC →⋅n →=0，即{√2y −2√2z =0−√2x −√2y =0， 则可取n →=(−2，2，1)，设二面角A ﹣PB ﹣C 为φ，则由图形可知π2＜φ＜π， 所以cosφ=−|cos〈m →，n →〉|=−|m →⋅n →||m →||n →|=19×9=−19， 所以二面角A ﹣PB ﹣C 的余弦值为−19．29．（15分）已知定义在R 上的函数f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |，其中a 为实数．（1）当a ＝3时，解不等式f （x ）≥﹣2；（2）若函数f （x ）在[﹣1，1]上有且仅有两个零点，求a 的取值范围；（3）对于a ∈[4，+∞），若存在实数x 1，x 2（x 1＜x 2），满足f （x 1）＝f （x 2）＝m ，求x 12+mx 2x 1x 2的取值范围．（结果用a 表示）解：（1）因为a ＝3，所以f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣3|，当x ≥3时，f （x ）＝﹣3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣3x ≥﹣2，解得x ≤23，不满足x ≥3，所以此时不等式f （x ）≥﹣2的解集为∅；当x ＜3时，f （x ）＝﹣2x 2+3x ，所以f （x ）≥﹣2⇔﹣2x 2+3x ≥﹣2⇔2x 2﹣3x ﹣2≤0，解得−12≤x ≤2，满足x ＜3； 所以不等式f （x ）≥﹣2的解集为[−12，2]；（2）令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝0，则有x （﹣x +|x ﹣a |）＝0，x 1＝0∈[﹣1，1]，如果a ＝0，则有﹣x +|x |＝0，当x ≥0时都能成立，不满足题意；当a ≠0时，﹣x +|x ﹣a |＝0，x ＝|x ﹣a |，x 2＝（x ﹣a ）2，解得x 2=a 2，又因为0＜x 2≤1，即0＜a 2≤1，解得0＜a ≤2，所以a 的取值范围为（0，2]；（3）对于a ≥4，令f （x ）＝﹣x 2+x |x ﹣a |＝m 有2个不同的实数解x 1，x 2，并且x 1＜x 2，当x≥a时，f（x）＝﹣ax，当x＜a时，f（x）＝﹣2x2+ax，函数的大致图像如下：当﹣a2＜m＜a28，并且m≠0时，有﹣2x2+ax＝m，即2x2﹣ax+m＝0，解得x1=a−√a2−8m4，x2=a+√a2−8m4，令t=√a2−8m，则m=a2−t28，并且t∈（0，a）∪（a，3a），x1=a−t4，x2=a+t4，x1x2=m2，令y=x12+mx2x1x2，则y=2x12m+2x2=(a−t)28m+a+t2=1−2ta+t+a+t2，y t′=12−2a(a+t)2，显然y t′是关于t的增函数，即y t′＞y t＝0′=12−1a，因为a≥4，所以y t′≥0，所以y是关于t的增函数，所以1+a2＜y＜2a−12，并且y≠a，即y∈（1+a2，a）∪（a，2a−12）；当m≤﹣a2时，x1=a−√a2−8m4，x2=−m a，同理令t=√a2−8m，m=a2−t28，t≥3a，y=x1x2+mx1=−2aa+t+a+t2，y t′=12+2a(a+t)2＞0，所以y是关于t的增函数，y≥y|t＝3a＝2a−12，所以x12+mx2x1x2的取值范围是（1+a2，a）∪（a，+∞）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浙江省高二下学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共10题；共20分)
1. （2分） (2016高三上·湖北期中) 集合A={y|y=2x﹣1}，B={x||2x﹣3|≤3}，则A∩B=（）
A . {x|0＜x≤3}
B . {x|1≤x≤3}
C . {x|0≤x≤3}
D . {x|1＜x≤3}
2. （2分）和的等比中项是（）
A . 1
B .
C .
D . 2
3. （2分）某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式（）
A . 种
B . 种
C . 50种
D . 10种
4. （2分） (2017高二上·清城期末) 已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）
①y=f（|x|）
②y=f（﹣x）
③y=xf（x）
④y=f（x）﹣x．
A . ①③
B . ②③
C . ①④
D . ②④
5. （2分） (2019高三上·景德镇月考) 已知，，则（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）是定义在R上的奇函数且单调递减，若，则a的取值范围是（）
A . a<1
B . a<3
C . a>1
D . a>3
7. （2分） (2018高三上·大连期末) 若变量满足约束条件，则的最小值等于（）
A . 0
B .
C .
D .
8. （2分）(2014·四川理) 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）
A . 192种
B . 216种
C . 240种
D . 288种
9. （2分） (2019高二下·阜平月考) 小华与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得分，其余每人得分.现人共进行了次游戏，记小华次游戏得分之和为，则为（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2019高二上·长沙月考) ，则函数的零点个数为（）
A . 3
B . 5
C . 6
D . 7
二、双空题 (共4题；共4分)
11. （1分） (2016高二下·浦东期末) 已知复数z=（3+i）2（i为虚数单位），则|z|=________．
12. （1分）已知在△ABC中，B=2A，∠ACB的平分线CD把三角形分成面积比为4：3的两部分，则cosA=________．
13. （1分）(2018·中山模拟) 已知等差数列的公差 ,且成等比数列,若为数列的前项和,则的最小值为________.
14. （1分）(2019·台州模拟) 一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球个、黑球个，现随机等可能取出小球.当有放回依此取出两个小球时，记取出的红球数为，则 ________；若第一次取出一个小球后，放入一个红球和一个黑球，再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为，则
________.
三、填空题 (共3题；共3分)
15. （1分） (2020高二下·莲湖期末) 若不等式对恒成立，则a的取值范围是________．
16. （1分） (2020高一上·天津月考) 已知正实数a，b满足，则的最小值是________.
17. （1分） (2019高三上·台州期末) 设圆，圆半径都为1，且相外切，其切点为．点，
分别在圆，圆上，则的最大值为________．
四、解答题 (共5题；共50分)
18. （10分） (2019高二下·九台期中) 已知展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
19. （10分）已知曲线经过点，求：
（1）曲线在点处的切线的方程；
（2）过点的曲线C的切线方程．
20. （10分） (2018高三上·江苏期中) 在正三棱柱中，点是的中点，．
（1）求证：∥平面；
（2）试在棱上找一点，使．
21. （10分） (2019高二下·上海期末) 以椭圆：的中心为圆心，
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”，设椭圆C的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，且满足， .
（1）求椭圆C及其“准圆"的方程；
（2）若过点的直线l与椭圆C交于M、N两点，当时，试求直线l交“准圆”所得的弦长；
（3）射线与椭圆的“准圆”交于点P，若过点P的直线，与椭圆C都只有一个公共点，且与椭圆C的“准圆”分别交于R，T两点，试问弦是否为”准圆”的直径?若是，请给出证明：若不是，请说明理由.
22. （10分） (2019高二下·佛山月考) 设函数，若函数在处与直线
相切.
（1）求实数的值；
（2）求函数的上的最大值.
参考答案一、单选题 (共10题；共20分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、
考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
二、双空题 (共4题；共4分)答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
三、填空题 (共3题；共3分)答案：15-1、
考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
答案：17-1、
考点：
解析：
四、解答题 (共5题；共50分)
答案：18-1、
答案：18-2、
答案：18-3、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、
答案：21-3、考点：
解析：
答案：22-1、
答案：22-2、考点：
解析：。