新北师大八年级下2.5 一元一次不等式与一次函数(1)
八年级数学下册2.5.2一元一次不等式与一次函数课件1新版北师大版
交通规划
通过一元一次不等式和一次函数，优化交通规 划，解决交通拥堵问题。
课程总结和展望
通过本课程的学习，我们全面了解了一元一次不等式与一次函数的概念、性 质和应用。希望大家能够在实际生活中灵活运用这些知识，并继续深入学习 更高级的数学概念和方法。
倒置法
适用于不等式含有绝对值的 情况，通过倒置原不等式的 符号，并对绝对值进行讨论， 得到解集。
区间法
通过将不等式进行等价变形， 得到区间表示的解集。
一次函数的定义和性质
一元一次方程
一次函数的定义和一元一次方程的关系及性 质。
截距
探讨一次函数的截距的概念和计算方法，以 及截距与一元一次不等式的关系。
3
不等式系统
探索一次函数与一元一次不等式组的关系，介绍如何求解不等式组。
一元一次不等式与一次函数的综合应用
数学建模
将一元一次不等式和一次函数应用于数学建模， 解决实际问题。
股票投资
通过一元一次不等式和一次函数，分析股票市 场中的投资策略。
环境保护
应用一元一次不等式和一次函数，研究环境污 染问题，并提出相应的解决方案。
一元一次不等式的性质
1 加减性质
一元一次不等式在加减运算下的性质，以及如何利用这些性质解决不等式。
2 乘除性质
一元一次不等式在乘除运算下的性质，以及如何应用这些性质求解不等式。
3 图示表示
通过在坐标系中绘制不等式的解集，分析不等式的图示表示。
解一元一次不等式的方法
逻辑推理法
通过逻辑推理和判断，解出 一元一次不等式，并得到正 确的解集。
斜率
解释一次函数的斜率的含义和计算方法，以 及斜率与一元一次不等式的关系。
数学(北师大版)八年级下册 2.5 一元一次不等式与一次函数
学习目标
1. 通过观察函数图象进一步理解函数概念，并从中 初步体会一元一次方程、一元一次不等式及一次函数 的内在联系. 2. 感知一元一次方程、一元一次不等式及一次函数 在实际问题中的作用，提高用数学知识解决问题的能 力.
复习回顾
1. 形如__________形式，叫做一次函数；形如__________形式， 叫做正比例函数；确定一次函数图象需要______个点.
（2）根据题意将函数关系转化为所有可能的情况，转化为方程 或者__________，并进行求解；
（3）根据题意，进行分析、决策，解决实际问题.
例3. 现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨，用一列货车 运往某地，已知这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢共40节 ，使用A型车厢每节费用为6000元，若使用B型车厢每节费用为 8000元． （1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x 节，试写出y与x之间的函数关系式； （2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种15吨，每 节B型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此 要求安排A、B两种节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？请 你设计出来．哪个方案运费最省？运费最少是多少元？
2. 一次函数 y1 kx b 与 y2 x a 的图象如图所示，则下列结 论：① k＜0；② a＞0；③当x＜3时，y1 y2 中，正确的个数是 （）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【探究活动三】综合运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题 （1）根据题目中的gt;－2x－4的解集.
3. 某景点门票是每位45元，20人以上（包含20人）的团体票七 五折优惠，现在有18位游客买20人的团体票. （1）比买普通票总共便宜多少钱？ （2）不足20人时，多少人买20人的团体票才比普通票便宜？
八年级数学北师大版 2.5.1一元一次不等式与一元一次不等式组 一元一次不等式与一次函数
北师大版 八年级数学 下册一元一次不等式与一元一次不等式组2.5.1一元一次不等式与一次函数 1.一元一次不等式与一次函数的关系:一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0(a ≠0)是一次函数y=ax+b(a ≠0)的函数值 的情形。
2.对于一次函数y=kx+b(k ≠0):(1)当kx+b>0时,y ,取图象在x 轴 的部分;(2)当kx+b<0时,y ,取图象在x 轴 的部分;(3)当kx+b=0时,y ,取图象与x 轴的交点。
一、选择题1.已知y 1=-x+4,y 2=2x-2,要使y 1<y 2 ,那么x 应满足（ ）A.2x ≥B.2x ≤C. 2x >D. 2x <2.如图，直线y ＝kx ＋4经过点(3，0)，则关于x 的不等式40kx +<的解 集是（ ）A.3x <B.3x ≤C.3x >D.3x ≥3.同一直角坐标系中,一次函数11y k x b =+与正比例函数22y k x =的图象如 图所示,则满足12y y ≤的x 的取值范围是（ ）A.x ≤-1B.x ≥-1C.x<-1D.x>-24.如图所示,直线11y k x m =+与22y k x n =+的交点坐标为(2,4) ,则使12y y <的x 的取值范围为( )A.x>4B.x>2C.x<4D.x<25.如图，函数y ＝2x 和y ＝ax ＋4的图象相交于点A(m ，3)，则不 等式2x ≥ax ＋4的解集为( )A ．x ≥32B ．x ≤3C ．x ≤32D ．x ≥3 二、填空题6.一次函数y=2x-4中，当x 时,y=0;当x 时,y>0;当知识梳理随堂练习第2题图 第3题图第4题图 第5题图X 时,y<0。
7.如图是函数y=kx+b的图象,观察图象填空:(1)当x 时,kx+b>4；(2)当x 时,kx+b=4；(3)当x 时,kx+b<4。
北师版《一元一次不等式与一元一次不等式组》2.5.1一元一次不等式与一次函数的关系(练习题课件)
12．【2019·常德】某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡， 设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时， y与x的函数关系如图所示，解答下列问题： (1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
解：设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100， 解得k1＝20，∴y甲＝20x； 设y乙＝k2x＋100， 将点(20，300)的坐标代入得20k2＋100＝300， 解得k2＝10.∴y乙＝10x＋100.
4．如图，直线y1＝x＋b与y2＝kx－1相交于点P，点 P的横坐标为－1，则关于x的不等式x＋b>kx－1 的解集在数轴上表示正确的是( A )
*5.如图，已知正比例函数 y1＝ax 与一次函数 y2＝12x＋b 的图象交于点 P.下面有四个结论：①a＜0；②b＜0； ③当 x＞0 时，y1＞0；④当 x＜－2 时，y1＞y2.其中正 确的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．①④
(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10 000 只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍，设 购进A型口罩m只，这10 000只口罩的销售总利润为W 元．该药店如何进货，才能使销售总利润最大？
解：根据题意得， W＝0.5m＋0.6(10 000－m)＝－0.1m＋6 000， 由题知10 000－m≤1.5m，解得m≥4 000. ∵－0.1＜0，∴W随m的增大而减小． ∴当m＝4 000时，W取最大值， W最大＝－0.1×4 000＋6 000＝5 600， 即药店购进A型口罩4 000只、B型口罩6 000只，才能使 销售总利润最大，最大总利润为5 600元．
【点拨】由图象知，对于 y1＝ax，y1 随 x 的增大而减小， ∴a＜0，故①正确；直线 y2＝12x＋b 与 y 轴交于正半轴， ∴b＞0，故②错误；当 x＞0 时，y1＜0，故③错误；当 x＜－2 时，直线 y1＝ax 在直线 y2＝12x＋b 的上方，
北师大版八年级数学下册课件：2.5.1一元一次不等式与一次函数(1)(共21张PPT)
方法点睛
1、列函数解析式； (（练它4答((12、1)2习与))从） 甲案1x从)哥经、轴根从:哥过乙的哥据起多两交哥下哥跑长辆点列哥开时摩坐起一始间托标起次跑，车是, 函跑甲从开数车相开的始行距弟图始驶2弟像0, 到k9，跑，msA在的直，第、前哥A接与B、哥两写y轴B弟前9地出两的s面中下弟地交;点列相点跑刚？不向坐等在而好标式行哥追是的，解哥图到集中前弟l1、面; ；l2;分别表示两辆摩托车离开A地的距离s（km）与行驶时间t（h）之 2、解不等式或方程； 间(3函) 数从关哥系。哥起跑开始 , 9s 后哥哥跑弟弟在前面;
(1)y = 0 (2) y = -7 (3) y >0 (4) y < 2
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一次函数(值)的变化对应着相应自变量的取值范围,
这个取值范围, 3h时，甲车行驶到A、B两地的中点。 既可从一次函数的图象上直观看出(近似值),
解当答x=：（1时），从y也图1=象y2可中可通知 过解(方程)不等式而得到(精确值).
（1）哪辆摩托车的速度较快？ （2）经过多长时间，甲车行驶到A、B两地中点？
解答：（1）从图象中可知
s2k0,m t甲 0 .6 h ,t乙 0 .5 h
v甲02.60130(0k m /h),v乙02.50(k m /h), 即v甲v乙
故摩托车乙速度快。
（2）当s=10km时，
t甲
10 100
0.3(h)
12
一次函数(值)的变化对应着相应自变量的取值范围, 这个取值范围, 既可从一次函数的图象上直观看出(近似值), 也可通过解(方程)不等式而得到(精确值).
“一次函数问题”可转换成 “一次不等式的问题” ；反过 来，“一次不等式的问题”可转换成 “一次函数的问题”。
北师大版八年级下册数学教案：2.5.1一元一次不等式与一次函数
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元一次不等式与一次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要比较两个数的大小关系的情况？”（如购物时比较价格）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元一次不等式与一次函数的奥秘。
北师大版八年级下册数学教案：2.5.1一元一次不等式与一次函数
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册数学教材第二章第五节第一部分：2.5.1一元一次不等式与一次函数。教学内容主要包括以下几部分：
1.一元一次不等式的定义及性质；
2.一次函数图像与一元一次不等式解集的关பைடு நூலகம்；
3.利用数轴和一次函数图像求解一元一次不等式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于一元一次不等式与一次函数的关系理解起来还是有些难度。在导入新课的时候，我尝试通过日常生活中的例子来激发学生的兴趣，这个方法似乎效果不错，大家都很积极地参与到课堂讨论中。但在讲解理论知识时，我发现部分学生对于不等式的性质和图像的分析还不够熟练。
在讲授新课的过程中，我特别注意了重点难点的讲解，通过案例分析和图像演示来帮助学生理解。我觉得这里还可以做得更好，比如可以准备更多不同类型的例题，让学生从多角度去感受和理解一元一次不等式的解法和应用。
举例解释：
-重点讲解一元一次不等式的解法，如移项、合并同类项、系数化等基本步骤；
-强调一次函数图像的斜率k和截距b与一元一次不等式的解集的关系，如当k>0时，图像上升，解集为x>b的部分；
数学北师大版八年级下册2.5 一元一次不等式与一次函数(1)
2.5 一元一次不等式与一次函数（1）（P50—P51）【学习目标】1、掌握由函数的图象解一元一次不等式（方程）2、理解一元一次不等式与一次函数之间的关系【主要问题】如何利用一次函数的图象解决一次方程、一元一次不等式的有关问题？一、探寻新知1、如何通过函数图象解一元一次不等式（1）如右图，已知一次函数y=2x －5的图象：函数图象与y 轴交点（0， ） 函数图象与x 轴交点A （ ，0）（2）在一次函数图象中用不同颜色笔标出y ＞0，y=0，y ＜0的直线部分。
根据你标的图象填空。
当x= 时，2x －5=0，即y=0。
当x 时，2x －5＞0，即y ＞0的图象在x 轴的 方（填上方或下方）。
当x 时，2x －5＜0，即y ＜0的图象在x 轴的 方（填上方或下方）。
当x 时，2x －5＞1.归纳：①、利用函数图象解一元一次不等式（方程）时，先求图象与坐标轴的交点。
②、求ax+b ＞0或ax+b < 0 (a, b 是常数，a≠0）的解就是求直线y=ax+b 在x 轴上方或下方的图象所对应的x 值。
2、已知在同一坐标系上有一次函数y 1=x －1和y 2=21x 的图像。
观察图像， 回答下列问题。
（1）y 1=x －1和y 2=21x 的交点坐标为（ ， ） （2）当x 取何值时，y 1＞ y 2？ （3）当x 取何值时，y 1 ＜y 2？xy= 12x归纳：利用图象比较函数大小方法，先求交点坐标，再观察交点的左右两边，直线在上方对应的函数值就大，直线在下方的函数值就小，交点之处两函数值相等二、尝试练习3、若y=-2x-5，当x 取何值时，y<0？当x 取何值时，y<1？你用的方法是什么？备用图 4、兄弟俩赛跑，哥哥先让弟跑9m ，然后自己开始跑，已知弟弟每秒跑3m ，哥哥每秒跑4m 请你列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题。
（1）何时哥哥刚好追上弟弟； （2）何时弟弟跑在哥哥前面； （3）何时哥哥跑在弟弟前面？ （4）谁先跑过20m ？谁先跑过100m ？5、如右图，一次函数y 1=－x －3与y 2=－3x +1 的图象的交点坐标是________， 当x ________时，y 1>y 2, 当x ________时，y 1<y 2。
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∴哥哥先跑过100m
随堂练习
1.已知 y1= - x + 3，y2 = 3x - 4，当 x 取何值时，y1 > y2？ 你是怎样做的？与同伴交流．
解：如图所示：
7 的值时，有y1>y2． 4
当 x取小于
2、如图，直线y=kx+b（k＜0）与x轴交于点（3，0） 关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ X<3 ）
想一想
变换成
“关于一次函数的值的问题”？
函数、(方程) 不等式
由上述论讨易知： “关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题” ； 反过来， “关于一次不等式的问题” 可变换成 “关于一次函数的值的问题”。
因此，
我们既可以运用函数图象解不等式 ， 也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ， 二者相互渗透 ，互相作用。 不等式与 函数 、方程 是紧密联系着 的一个整体 。
2. 如何作一次函数y=2x-5的图象
回顾旧知
作出一次函数y=2x-5的图象
x y=2x-5
y
4 3 2 1
y=2x-5
… …
0 -5
2.5 … 0
…
0 -2 -1-1 -2 -
我们知道，一次函数的图象是一条直线。
根据一次函数 y = 2x - 5 的图象观察图象回答下列问题: (1) x 取哪些值时, (2) x 取哪些值时, (3) x 取哪些值时,
由图象可得
x
∴当x<2.5时, y>0.
学习活动
兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自已才开始跑,已 知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m.列出函数关系式,作出函数 图象,观察图象回答下列问题: (1)何时弟弟跑在哥哥前面? (2)何时哥哥跑在弟弟前面? (3)谁先跑过20m?谁先跑过100m? (4)你是怎样求解的?与同伴交流. 解:设哥哥起跑后所用的时间为x(s). 哥哥跑过的距离 为y1(m)弟弟跑过的距离为y2(m).则哥哥与弟弟每人所跑的 距离y(m)与时间x(s)之间的函数关系式分别是: y1=4x y2=3x+9
y
y=0 ? y>0 ? y<0 ?
x = 2.5 时 , y = 0 ; x > 2.5 时 , y > 0 ; x < 2.5 时 , y < 0
3 2 1
(4) x 取哪些值时,
y>3 ?
x>4时, y>3 能否将上述 “关于函数值的 问题 ”, 思考
-1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
y(m ) 48 42 36 30 24 18 12 6 0 2 4 6 思路一:图象法
y1=4x (9,36)
y2=3x+9
8 10 12 x(s)
0(s)<x<9(s) (1)_______________ 时,弟弟跑在哥哥前面. x>9(s) 时,哥哥跑在弟弟前面. (2)__________ 弟弟 先跑过20m.______ 哥哥 先跑过100m. (3)______ (4)你是怎样求解的?与同伴交流.
义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级下册
——2.5 不一元一次不等式与
一次函数（1）
回顾旧知 1.已知一次函数过点A（0，-5）,B（3，1） 求该函数的表达式
解：设一次函数的解析式为y kx b A(0, 5) b 5 3k b 1 b 5 解得： k2 所以一次函数的解析式为y 2x-5 B(3,1) 在直线上
3、如图，直线y1=k1x+a与y2=k2x+b的交点坐标为 （1，2），则使y1＜y2的x的取值范围为（ X<1 ）
4、如图，已知一次函数y=kx+b和y=mx+n的图象 交于点P，则根据图象可得不等式组0＜mx+n＜ kx+b的解集是 -3<X<-1 ．
5、已知一次函数y=kx+b的图像平行于 y=-2x+1，且过点（2，-1） 求：（1）这个一次函数解析式 （2）当x=1时，y的值，当y=2时，x的值 （3）画出该一次函数的图像 （4）根据图像回答:当x取何值时， y>0 ; y=0 ; y<0
反思感悟
一次函数(值)的变化对应着相应自变量的取值范围, 这个取值范围, 既可从一次函数的图象上直观看出(近似 值), 也可通过解(方程)不等式而得到(精确值). “一次函数问题”可转换成 “一次不等式的问题” ； 反过来， “一次不等式的问题”可转换成 “一次函数的问题”。 我们既可以运用函数图象解不等式 ，也可以运用解 不等式帮助研究函数问题 ，二者相互渗透 ，互相作用 不等式与 函数 、方程 是紧密联系着的一个整体 。 对于行程问题 , 应首先建立起“路程关于时间的函数关 系式”，再通过解不等式得到问题的解;或先通过解方程 求出追及(相遇)的时刻, 再解答相应的问题.
思路二:代数法 哥哥: y1=4x 弟弟: x<9 y2=3x+9
(1)何时弟弟跑在哥哥前面? 4x<3x+9 (2)何时哥哥跑在弟弟前面? x>9 4x>3x+9 (3)谁先跑过20m?谁先跑过100m? 4x=20 x=5 3x+9=20
11 x= 3 91 x= 3
∴弟弟先跑过20m 4x=100 x=25 3x+9=100
学习活动 如果y=-2x-5，那么当x取哪些值时，y＞0？ y y=-2x-5 思路一: 4
运用函数图象解不等式.
作一次函数y=-2x-5的图象 3 2 1 (-2.5,0) 1 2
0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 当x<2.5时, y>0. -2 -3 思路二: -4 将函数问题转化为不等式问题. -5 即 解不等式-2x-5 >0
(3) x 取哪些值时, 2 yx-5 <0 ?
(4) x 取哪些值时, 2 yx-5 >3 ?
(2.5 , 0)
-5 因为 y =2x–5， -6 所以，将(1)～(4) 中的 y 换成 2x-5, 则原题“关于一次函数的值的问题” 就变成了“关于一次不等式的问题” 反过来 能否把 “关于一次不等式的问题”
1 2 3 4 x
(2.5 , 0)
改为 “关于x 的不等式的问题” ？
将“一次函数值的问题”改为“一次不等式的问题”
根据一次函数 y =2x-5的图象如右， 观察图象回答下列问题:
y 3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 x
(1) x 取哪些值时,
y 2x-5 =0 ?
(2) x 取哪些值时, 2 yx-5 >0 ?