巧旋转 妙解题
巧“旋转”,妙解题
内一点，且 # + ) * - $ + ) # ，求 证 ：
解 析 ：虽 然 题 目 中 相 等 的 元 素 集 中 在 A + * ) 和
A + # ) 中 ，但 无 法 证 明 A + * ) 和 A + # ) 全 等 ，所以需要
把条件转移之后再利用，
例3 如图5 ，菱形A # C& 中 ，' 、（分别为# C 、C& 上的
点 ，且 # # 'A (*60。，求证:A '*A (+
ALeabharlann A解 析 ：如 图 6 ，连接A C ，证 明 A A # ' ! A A C ((A S A ) 即可!
事 实 上 ，A A C ( 可 以 看 成 是 A A # ' 绕点A 逆时针旋 转60。而 成 的 ，其实旋转为我们认识全等提供了一个新 的 角 度 ，即从动态的角度来重新认识全等.观察图2 、图 4,我 们 可 以 发 现 旋 转 必 然 会 产 生 “有公共顶点的等线 段 图 形 （线 段 和 中 点 、等 腰 三 角 形 、菱 形 、正 方 形 等 ）， 反 之 ，“有公共顶点的等线段图形（线段的中点、等腰 三角 形 、菱 形 、正 方 形 等 ）中必然隐藏着旋转型全等，我 们 只 需 找 到 它 们 ，问题便随之解决.
2018年 2 月
巧 “旋转”，妙解题
! ! 东省烟台市教育科学研究院辛珍文
图形的旋转是《义务教育数学课程标准(2011年 版 )》 规 定 的 学 习 内 容 ，旋转变换在初中几何中占据非常重 要 的 地 位 ，它 贯 穿 于 三 角 形 、四 边 形 、圆等几乎所有重 要 的 几 何 内 容 之 中 ，在 近 几年的中考试题中所占的比 重 不 断 上 升 ，是 中 考 的 热 点 ，而且相关试题往往构思巧 妙 ，令人耳目一新，学生在解决这类问题时倍感困难，经 常没有头绪.本文试图从三个层次来帮助学生掌握旋转 的 特 征 ，以期帮助学生抓住旋转的规律，从而轻松解决 问题.
巧用旋转法解几何题
百度文库-让每个人平等地提升自我巧用旋转法解几何题将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的 图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相 等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法,主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三 角形、等边三角形及正方形等图形中。
现就旋转法在几何证题中的应用举例加以说明，供同学们参 考。
例1.如图，在Rt △ ABC 中，/ C=90°, D 是AB 的中点，E , F 分别 AC 和BC 上，且 DEL DF, 求证：EF 2=A ^+B F"分析：从 所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到EF , AE BF 三条线段不在同一个三角形中，由于D 是中点，我们可以考虑以 D 为旋转中心，将 BF 旋转到和AE 相邻的位置，构造一个直 角三角形，问题便迎刃而解。
证明：延长 FD 到G 使DG=DF 连接AG EG •/ AD=DB / ADG=/ BDF •••" ADd " BDF ( SAS •••/ DAG=/ DBF BF=AG • AG// BC•••/ C=90°A Z EAG=90 • EG=Ah+AG=AE+BF •/ DEI DF • EG=EF2 2 2• EF=AE+BF例 2,如图 2,在"ABC 中，/ ACB=90 , AC=BC P 是"ABC 内一点，且 PA=3 PB=1, PC=2 求/ BPC 的度数.分析：题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中， 故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于" ACB 是等腰直角三角形，宜以直角顶点 C 为旋转中心。
妙用旋转巧解题
妙用旋转巧解题旋转只改变图形的位置,而不改变图形的大小和形状,通过这样的变换可以将题目中的条件相对集中,从而使条件与待求结论之间的关系明朗化,有利于问题的解决。
旋转一般用于等腰三角形、正三角形、正方形和正多边形的图形中,选好旋转中心和旋转角是关键。
现举例说明妙用旋转来巧解问题。
例1 如图(1)所示,p为正三角形abc内的一点,∠apb=109°,∠apc=137°,试说明以ap、bp、cp为边是否能构成一个三角形?若能请说明理由,并求出所构成三角形各个内角的度数。
图(1)分析:以点b为中心将△apb围绕点b顺时针旋转60°,那么问题就可以迎刃而解。
解:以点b为中心将△apb围绕点b顺时针旋转60°,得到如图(1)所示的图形,p点的对应点是d点,a点的对应点是c点,并连接pd,所以ap=cd,bp=bd,∠pbd=60°∴△bpd是等边三角形∴dp=bp∴△cpd是以cd(=ap)、dp(=bp)、cp为三边构成的三角形.即以ap、bp、cp为边能构成一个三角形.∵△bpd是等边三角形∴∠bdp=∠bpd=60°∵∠bdc=∠apb=109°∴∠pdc=∠bdc-∠bdp=109°-60°=49°又∵∠bpc=360°-∠apb-∠apc=360°-109°-137°=114°∴∠cpd=∠bpc-∠bpd=114°-60°=54°∴∠pcd=180°-∠cpd-∠pdc=180°-54°-49°=77°评析:本题是利用旋转构造一个以三边为长度的三角形,而不是利用三边的关系来说明三角形的构成的常用方法。
例2 如图(2)所示,p为正方形内任一点,若pa:pb:pc=1:2:3,求∠apb的度数.图(2)分析:将△abp绕点b顺时针旋转90°得△cbe,连接pe,把已知条件集中到△pce中,促使问题方便解决。
初中数学破题致胜微方法(巧用旋转)
1111例：在△ABC 中， ∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D 点，已知：BD=6,CD=4,则高AD的长为_____.分析：此题看到45°，可以将它扩大到90°，将△BCD 沿BC 翻折，使D 到D 1处，△ADB 沿AB 翻折，使D 到D 2处，则C D 1=CD=4, B D 2=BD=6,∠D 1AD 2=90°，四边形A D 1 D 3 D 2为正方形，利用△AD 3C 为直角三角形，根据勾股定理有22233BC BD CD =+, B D 3= D 2D 3- B D 2= AD-BD=AD-6, C D 3= D 1D 3- C D 1=AD-CD=AD-4,可求得12AD =. 答案：12总结：如图，涉及三角形内45°角对边上的高时，对应的高，底边上被高分成的两个线段这三量知二求一时，可考虑翻折+半角的反应用，把半角扩大到90°，再利用翻折的性质、正方形的性质把相关量转移到直角三角形中，应用勾股定理解决.练习：1. 如图，在△ABC 中， ∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D 点，已知：BD=3,CD=2,则△ABC 的面积为_____.22. 如图，在△ABC 中， ∠ABC=45°， BD ⊥AC 于D 点，已知：BD=6,AC=5,则CD=_____.答案：1. 6分析：参考例题做法，则此时四边形A D 1 D 3 D 2为正方形，利用△BD 3C 为直角三角形，根据勾股定理有22233BC BD CD =+, B D 3= D 2D 3- B D 2=AD-BD=AD-3, C D 3= D 1D 3- C D 1=AD-CD=AD-3,可求得6AD=.2. 2或3分析：参考例题做法，则此时四边形B D 1 D 3 D 2为正方形，利用△BD 3C 为直角三角形，根据勾股定理有22233AC AD CD =+, A D 3= D 2D 3- A D 2=BD-AD=6-(AC-CD)=1+CD, C D 3= D 1D 3- C D 1=BD-CD,可求得3CD =或2CD =.3例：已知：在△ABC 中，60BAC ∠=︒．（1）如图1，若AB =AC ，点P 在△ABC 内，且150APC ∠=︒，3PA =，4PC =，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B ，得到△ADB ，连结DP ．①依题意补全图1；②直接写出PB 的长；（2）如图2 ，若AB =AC ，点P 在△ABC 外，且3PA =，5PB =，4PC =，求APC ∠的度数；（3）如图3，若2AB AC =，点P 在△ABC 内，且3PA =5PB = ，120APC ∠=︒，直接写出PC 的长．CBAP图2图3图1CBAPBAP分析：（1）画出旋转后的图形，根据旋转的性质，旋转前后所对应的两个三角形全等，∴△ADB≌△APC，则AD=AP,BD=CP,∠ADB=∠APC,又∠BAC=60°，则旋转角是60°，则∠ADP=60°，∴△ADP为等边三角形，∴∠BDP=120°-60°=90°，DP=AP=3,则BP=5。
巧用旋转法解几何题
巧用旋转法解几何题旋转变换是平面几何中常见的一种转化思想，通过旋转几何图形的某一部分可将几何图形中看似无关的线段作为等量转移建立数量关系，从而达到简化问题的目的试看以下几例：例1．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E，F分别AC和BC上，且DE⊥DF，求证：EF2=AE2+BF2分析：从要证的结论来看，令人想到了勾股定理，但要注意EF，AE，BF三条线段不在同一个三角形中，由于D是中点，我们可以考虑以D 为旋转中心，将BF旋转到和AE相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：将⊿BDF以D为旋转中心，旋转180°，得到⊿ADG.∵AD=DB，∠ADG=∠BDF∴⊿ADG≌⊿BDF（SAS）∴∠DAG=∠DBF，BF=AG ∴AG∥BC∵∠C=90°∴∠EAG=90°∴EG2=AE2+AG2=AE2+BF2 ∵DE⊥DF∴EG=EF∴EF2=AE2+BF2例2，如图2，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.分析：题目的已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一个三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中. 由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
解：将⊿CAP以C为旋转中心,沿逆时针方向旋转90°,得到⊿CMB.∴⊿CAP≌⊿CBM（SAS）∴MB=AP=3∵PC=MC，∠PCM=90°∴∠MPC=45°由勾股定理PM==22MCPC =22PC=22，在⊿MPB中，PB2+PM2=（22）2+12=9=BM2∴⊿MPB是直角三角形∴∠BPC=∠CPM+∠MPB=45°+90°=135°例3，如图3，直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+CF2B分析：在这个题目中，求证的结论和例1十分相似，无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE，CF转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC 是等腰直角三角形，不妨以A为旋转中心，将∠BAE和∠CAF放在同一个三角形中。
部编数学九年级下册专项16巧用旋转进行计算(解析版)含答案
专项16 巧用旋转进行计算将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的连线所组成的夹角等于旋转角。
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。
旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
【考点1 利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度】【典例1】（2021九上·番禺期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（ ）A．70°B．65°C．60°D．55°【答案】B【解答】解：∵将ΔABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A B′C′，∴AC=AC，∠CAC=90°，∠B=∠ABC，∴∠ACC=45°，∴∠ABC=∠ACC+∠CCB=45°+20°=65°，∴∠B=∠ABC=65°，故答案为：B．【变式1-1】（2021九上·上高月考）如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，若∠COD=40°，则∠BOC的度数为（ ）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】C【解答】解：∵将△AOB绕着点O顺时针旋转70°，得到△COD，∴∠BOD=70°，∵∠COD=40°，∴∠BOC=∠BOD－∠COD=70°－40°=30°．故答案为：C【变式1-2】（2021九上·南充期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，则∠AED的度数为（ ）A．105°B．120°C．135°D．150°【答案】B【解答】解：由旋转的性质可得：∠A=∠D=30°，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠AED=∠D+∠DCE=120°；故答案为：B.【变式1-3】（2021九上·澄海期末）如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ABC．若点B刚好落在BC边上，且AB=C B′，若∠C=20°，则△ABC旋转的角度为（ ）A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】C【解答】解：∵AB=C B′，∴∠B'AC=∠C，由旋转前后对应线段相等可知：AB’=AB，∴∠B=∠AB’B，由三角形外角定理可知：∠AB’B=∠B’AC+∠C=2∠C=40°，∴∠B=∠AB’B=40°，∴△ABC旋转的角度为∠BAB’=180°-∠B-∠AB’B=180°-40°-40°=100°，故答案为：C．【变式1-4】（2021九上·庐江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC 绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（ ）A．65B．75C．85D．130【答案】C【解答】∵DE∥AB，∴∠DAB＝180°－∠D，∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°，∴∠DAB=180°－95°=85°，∴n=85°，故答案为：C．【典例2】（2021九上·道里期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（ ）D．A．1B．3C【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC∴∠BAC=90°－∠ABC=60°，∵将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，∴∠BAB'=∠BAC=60°，AB=AB'，∴△ABB'是等边三角形，∴故答案为：D．【变式2-1】（2021九上·香坊期末）如图，将RtΔABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到RtΔADE，点B的对应点点D恰好落在边BC上，若AC=∠ABC=60°，则CD的长为（ ）A．3B．2CD．1【答案】B∠ABC=60°，∠BAC＝90°【解答】解：∵AC=∴∠C=90°-∠ABC=30°∵BC2=AC2+AB2∴AB＝2，BC＝2AB＝4，∵Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，∴AD＝AB，且∠B＝60°∴△ADB是等边三角形∴BD＝AB＝2，∴CD＝BC−BD＝4−2＝2故答案为：B．【变式2-2】（2021秋•韶关期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝3cm，则BE等于（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE＝3cm，∠BAE＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE＝3cm，故选：B【变式2-3】（2021秋•邓州市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC ＝1，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，连结BB'，则△A'BB'的周长为（ ）A．B．1+C．2+D．3+【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝1，∴BC＝AC＝，AB＝2AC＝2，∵△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，此时点A'恰好在AB边上，∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，∵CA＝CA′，∠A＝60°，∴△CAA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，AA′＝AC＝1，∴A′B＝1，∴∠BCB′＝60°，∴△CBB′为等边三角形，∴BB′＝CB＝，∴△A'BB'的周长为A′B+AB′+BB′＝2+1+＝3+，故选：D．【典例3】（2021秋•岳池县期末）如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）试判断AD与OD的位置关系，并说明理由；（3）若OB＝2，OC＝3，求AO的长（直接写出结果）．【答案】（1）∠ODC＝60°（2）AD⊥OD （3）【解答】解：（1）由旋转的性质得，CD＝CO，∠ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠ACO＝∠BCO+∠ACO，即∠DCO＝∠ACB，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠DCO＝60°，∴△OCD为等边三角形，∴∠ODC＝60°；（2）AD与OD的位置关系是：AD⊥OD，理由如下：由（1）知∠ODC＝60°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转一定的角度，得到△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∴AD⊥OD；（3）由旋转的性质得，AD＝OB＝2，∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO＝＝＝．【变式3-1】（2021九上·中山期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B 逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，∴∠ABC=50°，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，∴∠BAF=∠BFA=1（180°-50°）=65°2（2）解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，∴BE=BC=6，EF=AC=8，∴AE=AB-BE=10-6=4，∴【变式3-2】（2021九上·谷城期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴AP′=AP，∠P′AP=∠BAC=60°，BP′=CP=10，∴△AP′P为等边三角形，∴P′P=AP=6，∠APP′=60°，在△PBP′中，PP′=6，BP′=10，PB=8，∵62+82=102，∴P′P2+PB2=P′B2，∴∠BPP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．故答案为6，150．【考点2 利用旋转计算面积】【典例4】（2021九上·鄞州月考）如图，在△ABC中，AB＝4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 .【答案】4【解答】解：∵在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B=AB=4，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，∴SΔA1BA= 12×4×2=4.又∵S阴影= SΔA1BA+ SΔA1BC1﹣S△ABC，SΔA1BC1=S△ABC，∴S阴影= SΔA1BA=4.故答案为：4.【变式4-1】（2022•瑞金市模拟）如图，将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影部分的面积为（ ）A．3B．C．D．【解答】解：设C'D'与AD交于M，连接BM，如图：∵边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°，∴AB＝BC'，∠A＝∠C'＝90°，∠CBC'＝30°，∵BM＝BM，∴△ABM≌△C'BM（HL），∴∠ABM＝∠C'BM＝30°，在Rt△ABM中，AM ＝＝1，∴S △ABM ＝AB •AM ＝＝S △BC 'M ，∴S 阴影＝（）2﹣S △ABM ﹣S △BC 'M ＝3﹣，故选：C ．【变式4-2】（2021秋•丰泽区校级期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2．将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转到点D 落在AB 边上，此时得到△EDC ，斜边DE 交AC 边于点F ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．1C ．D ．【解答】解：∵△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝2，∴∠B ＝60°，AC ＝BC ＝2×＝2，AB ＝2BC ＝4，∵△EDC 是△ABC 旋转而成，∴BC ＝CD ＝AB ＝2，∵∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝60°，∴∠DCF ＝30°，∠DFC ＝90°，即DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∵BD ＝AB ＝2，∴DF 是△ABC 的中位线，∴DF ＝BC ＝×2＝1，CF ＝AC ＝×2＝，∴S 阴影＝DF ×CF ＝×1×＝，故选：D ．【变式4-3】（2021秋•南丹县期末）如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积（ ）A．不变B．先增大再减小C．先减小再增大D．不断增大【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEFG是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝∠MON＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠BOM＝∠CON，在△BOM和△CON中，，∴△BOM≌△CON（ASA），∴S△BOM ＝S△CON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积为S△BOC ＝S正方形ABCD，故选：A【考点3 坐标系中图形旋转的规律】【典例5】（2021秋•阳东区期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（ ）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，﹣1）D．【答案】C【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）故选：C．【变式5-1】（2021九上·惠来月考）如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B(2，0)，以AB为边构造菱形ABEF．将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第2020次旋转结束时，点F2020的坐标为（ ）A．(−2，B．(−2，C．−2)D．−2)【答案】D【解答】∵点B的坐标为(2，0)，∴OB=2，由正方形的性质，得OA=2，=∴AB=∵四边形ABEF为菱形，∴AF=AB=2)，∴由题，可知旋转为每8次一个循环，2020÷8=252⋯4，∴第2020次旋转结束时，点F2020与点F关于原点对称，−2)，∴F故答案为：D．【变式5-2】（2021•张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么点A2019的坐标是（ ）A．（，﹣）B．（1，0）C．（﹣，﹣）D．（0，﹣1）【答案】A【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴A（0，1），∵将正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)∴点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．【变式5-3】（2021秋•郧阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（3，0），B（0，4），则点B2021的横坐标为（ ）A．12120B．12128C．12123D．12125【答案】B【解答】解：∵点A（3，0），B（0，4），∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∴OA+AB1+B1C2＝3+5+4＝12，观察图象可知，点B2020的纵坐标为4，∵2020÷2＝1010，∴点B2020的横坐标为1010×12＝12120，12120+3+5＝12128∴点B2021的坐标为（12128，0）．故选：B．1．（2021九上·海曙期末）如图，在△ABC中，∠BAC=75∘，以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点B、C的对应点分别为D、E，连接CE，若CE//AB，则∠CAE的值是( )A．25∘B．30∘C．35∘D．45∘【答案】B【解答】解：∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=75°；∵以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，∴AE=AC，∴∠AEC=∠ECA=75°；∴∠CAE=180°-2×75°=30°.故答案为：B.2．（2021九上·虎林期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△ABC，使点C落在AB边上，连接BB，则BB的长度是（ ）A．1cm B．2cm CD．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1cm，由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴AB=2AC=2cm，又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°，由旋转的性质可知：∠CAB=∠BA B′=60∘，且AB=A B′，∴ΔBA B′为等边三角形，∴B B′=AB=2．故答案为：B．3．（2022春•泗县期中）如图所示，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP'重合．如果AP＝3，那么PP'的长等于（ ）A．B．C．3D．4【答案】A【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴∠BAC＝90°，∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP＝AP′，AB＝AC，∠PAP′＝∠BAC＝90°，∴△APP′为等腰直角三角形，∴PP′＝AP＝3，故选：A．4．（2021秋•甘井子区期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'，若直线A'C'经过点A，则CC'的长为（ ）A．1B．2C．D．4【答案】C【解答】解：∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转得到△A 'BC '，∴BA ＝BA '，BC ＝BC '，∠BAC ＝∠BA 'C '，∵∠BAC ＝60°，∴∠A '＝60°，∴△ABA '是等边三角形，∴∠ABA '＝60°，∴∠CBC '＝∠ABA '＝60°，∴△BCC '是等边三角形，∴CC '＝BC ，∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝30°，∴AC ＝2AB ＝2，∴BC ＝，∴CC '＝BC ＝，故选：C5（2022·呼和浩特）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F ．若∠BCD =α，则∠EFC 的度数是（用含α的代数式表示）（ ）A ．90°+12αB ．90°−12αC ．180°−32αD ．32α【答案】C 【解答】解：∵将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，且∠BCD =α∴BC=DC ，∠ACE=α，∠A=∠E ，∴∠B=∠BDC ，∴∠B=∠BDC=180°−α2=90°−α2，∴∠A=∠E=90°−∠B=90°−90°+α2=α2，∴∠A=∠E=α2，∴∠EFC=180°−∠ACE−∠E=180°−α−α2=180°−32α，故答案为：C．6．（2021九上·富裕期末）如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝3△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）A．40°B．45°C．105°D．55°【答案】C【解答】解：连接DE，如图：∵ΔABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAD+∠CAD=60°由旋转可得，ΔBAD≅ΔCAE∴∠CAE=∠BAD，AD=AE=3，CE=BD=3∴∠CAE+∠CAD=60°，即∠DAE=60°∴ΔDAE是等边三角形，∴DE=AD=3，∠ADE=60°∵DE＝3，CE＝3，CD＝∴D E2=9，C E2=9，C D2=18∴D E2+C E2=C D2∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=45°∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=60°+45°=105°故答案为：C7．（2022·益阳）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】B【解答】解：∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°，∴∠B′AC＝∠BAB′−∠CAB＝50°-20°=30°，∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC，∴AC∥C′B′．故②正确；在△BAB′中，∵AB＝AB′，∠BAB′＝50°，（180°−50°）＝65°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝12∴∠BB′C′＝∠AB′B＋∠AB′C′＝65°＋30°＝95°，∴C′B′与BB′不垂直．故③错误；在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝1（180°−50°）＝65°，2∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确.∴正确结论的序号为：①②④.故答案为：B.8.（2021九上·集贤期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则旋转角为 度．【答案】36【解答】解：根据题意，可得∠BAB为旋转角，∵AB′＝CB′∴∠C=∠CAB=36°∴∠ABB=2∠C=72°由旋转的性质可得：AB=AB∴∠B=∠ABB=72°∴∠BAB=36°故答案为：369．（2022春•通道县期末）已知，正方形ABCD的边长是4，正方形OMNE（OM＞AC）绕着正方形ABCD的对称中心O旋转，那么两正方形重叠部分的面积是 ．【答案】4【解答】解：如图：∵四边形ABCD和四边形OENM都是正方形，∴OD＝OC，∠ODP＝∠OCF＝45°，∠DOC＝∠EOM＝90°，∴∠DOP＝∠COF．在△PDO和△FCO中，，∴△PDO≌△FCO（ASA），∴两正方形重叠部分的面积是等于△DOC的面积，即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的，∵正方形的边长为4，∴正方形的面积为16，∴重叠部分面积不变为．故答案为：4．10．（2022•新城区校级一模）如图，D是等边三角形ABC外一点，AD＝6，CD＝4，当BD 长最大时，△ABC的面积为 ．【答案】19【解答】解：如图1，以CD为边作等边△DCE，连接AE．∵BC＝AC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE，∵AE≤AD+DE，当A、D、E三点共线时，AE＝AD+DE＝10，其值最大，∴AE的最大值为10，∴BD的最大值为10，过点A作AF⊥BD于F，如下图，∵△BCD≌△ACE，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠ADF＝60°，∵AF⊥BD，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝3，AF＝DF＝3，∴BF＝10﹣3＝7，∴AB2＝AF2+BF2＝76，∴△ABC的面积＝AB2＝19，故答案为：1911.（2022春•高州市期末）如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．【答案】16【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，∴△ABC≌△A1BC1，∴A1B＝AB＝8，∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，∵AD⊥A1B，∴AD＝AB＝4，∴S△A1BA＝×8×4＝16，又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，∴S阴影＝S△A1BA＝16，故答案为：16．12．（2021九上·龙江期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A 的坐标为（1，1），AA1⌢是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；A1A2⌢是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，A2A3⌢是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，A3A4⌢是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A2021的坐标是 ．【答案】（2021，0）【解答】解：∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得∴A1点坐标为（2，0）又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得∴A2点坐标为（0，-2）又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得∴A3点坐标为（-3，1）又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得∴A4点坐标为（1，5）由此可得出规律：A n为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、、n，每次增加1．∵2021÷4=505 (1)故A2021为以点B为圆心，半径为2021的A2020点顺时针旋转90°所得故A2021点坐标为（2021，0）．故答案为：（2021，0）．13.（2021九上·黔西南期末）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置，使点A的对应点A1落在直线y上，再将△A1BO1绕点A1顺时针旋转到△A1B1Q2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y上，依次进行下去…，1），则点A12的横坐标是 .若点A的坐标是（0，1），点B的坐标是【答案】9）【解答】解：根据将△A 1BO 1绕点A 1顺时针旋转到△A 1B 1O 2的位置可知：∠BA 1O 1＝90°，∴∠OAB ＝90°，当y ＝1时，xAB ∴∠AOB ＝60°，如图，延长A 2O 2交x 轴于E ，则∠OEO 2＝90°，∴OO2＝＝∴O 2∴=32（），∴点A 2的横坐标为32（），同理可得：点A4的横坐标3），点A 6的横坐标92（），点A8的横坐标6），∴点A12的横坐标是32×6），即9）.故答案为：9）.14．（2021九上·新乡期末）如图，△ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上，∠ABC＝90°，OA＝OB＝1，BC＝△ABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2021次旋转结束时，点C的坐标为 .【答案】（3，-2）【解答】解：如图，过点C作CD⊥y轴于点D，∵OA＝OB＝1，∠AOB=90°，∴∠ABO=45°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD=45°，∴∠BCD=45°，∴BD=CD，∵BC＝2，∴B D2+C D2=B C2=∴BD=CD=2，∴OD=OB+BD=3，∴点C(2，3)，将△ABC绕点O顺时针旋转，第一次旋转90°后，点C（3，-2），将△ABC绕点O顺时针旋转，第二次旋转90°后，点C（-2，-3），将△ABC绕点O顺时针旋转，第三次旋转90°后，点C（-3，2），将△ABC绕点O顺时针旋转，第四次旋转90°后，点C（2，3），⋯⋯由此发现，△ABC绕点O顺时针旋转四次一个循环，∵2021÷4=55⋯⋯1，∴第2021次旋转结束时，点C的坐标为（3，-2）.故答案为：（3，-2）15.（2021九上·互助期中）如图将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE=90°，AB=1，求BD的长．【答案】解：由旋转的性质得：AB=AD=1，∠BAD=∠CAE=90°，=．∴BD=16．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.（1）求证：△BDE≌△BCE；（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．【答案】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵DB=CB∠DBE=∠CBEBE=BE，∴△BDE≌△BCE；（2）解：四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴四边形ABED为菱形17.（2016九上·涪陵期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，求点P与点P′之间的距离及∠APB 的度数．【答案】解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠P′AP=∠BAC=60°，AP′=AP，BP′=CP=13，∴△AP′P为等边三角形，∴PP′=AP=5，∠APP′=60°，在△BPP′中，∵PP′=5，BP=12，BP′=13，∴PP′2+BP2=BP′2，∴△BPP′为直角三角形，∠BPP′=90°，∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°．答：点P与点P′之间的距离为5，∠APB的度数为150°．18．（2022春•渭滨区期末）如图，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．（1）求线段OD的长；（2）求∠BDC的度数．【解答】解：（1）∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴BO＝BD，而∠OBD＝∠ABC＝60°，∴△OBD为等边三角形，∴OD＝BO＝4；（2）∵△BOD为等边三角形，∴∠BDO＝60°，OD＝4，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴CD＝AO＝3，在△OCD中，CD＝3，OD＝4，OC＝5，∵CD2+OD2＝32+42＝52＝OC2，∴△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，∴∠BDC＝∠BDO+∠ODC＝60°+90°＝150°．19.（2022春•永丰县期中）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝40°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转110°，得到△DBE，连接AD，CE．（1）求证：△ABD≌△CBE．（2）求∠ACE的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC绕点B按逆时针方向旋转110°，∴∠ABC＝∠DBE，∠ABD＝∠CBE，AB＝BC＝BD＝BE，在△ABD与△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）；（2）解：∵∠ABD＝∠CBE＝110°，BA＝BC＝BD＝BE，∴∠BAD＝∠ADB＝∠BCE＝∠BEC＝35°．∵AB＝BC，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝70°，∴∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝105°．。
初中数学善观察 巧旋转 妙解题 学法指导
初中数学善观察 巧旋转 妙解题旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。
一. 通过旋转，解答角度问题例1. 如图1，P 是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10。
求∠APB 的度数。
图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。
将△PAC 绕点A 逆时针旋转60°后，得到△FAB ，连接PF （如图2），则BF=PC=10，FA=PA=6，∠FAP=60°。
∴△FAP 是等边三角形，FP=PA=6。
在△PBF 中，222222BF 1068PF PB ==+=+ ∴∠BPF=90°∴∠APB=∠APF+∠FPB=60°+90°=150°图2二. 通过旋转，计算线段长度问题例2. 如图3，P 是正△ABC 内一点，PA=2，32PB =，PC=4，求BC 的长。
图3解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。
将△BPA 绕点B 逆时针旋转60°，则BA 与BC 重合（如图4），BP=BM ，PA=MC ，连接MP 。
则△MBP 是正三角形，即2MC ,4PC ,32MP ===， 由222222PC 42)32(MC MP ==+=+， 故∠CMP=90°， 因为PC 21MC =，所以∠MPC=30°， 又因为∠MPB=60°， 故∠CPB=90°，得72PC PB BC 22=+=图4例3. 如图5，在梯形ABCD 中，AD//BC （BC>AD ），∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，若AE=10。
巧旋转,妙解题
‘ ．
Ａ Ｄ ＝Ｄ Ｃ ，
．
４
’ ．
Ｄ Ｃ＝Ｐ Ｃ． Ａ Ｍ ＝Ｄ Ｃ＋ＣＭ ． Ａ Ｍ ＝ＰＣ＋ＣＭ ． Ｂ
：： Ｐ
Ｍ ｃ
‘
’ ．
．
．
即 ＡＭ ＝ ’
・ ．
．
Ｎ Ａ Ｍ ＝
Ｐ．
◇ｏ ＝ 童 ｊ
８Ｄ：ｌＣ ２ ，Ｄ － ＡＤ ＋
ｏ０
Ｃ－０ ， 为 ＢＣ 上 一 点 ，试 证 明 ： － ＿ ￣Ｄ ９
侧 ２ 已 知在 △ ４ ＢＣ 中 ， － ＡＢ ＡＣ， 证 明 ： 将 △Ａ肋
９ ｏ 得 △Ａ ０ ，
绕 点 Ａ 按 逆 时 针 方 向 旋 转
， 接 肋 ， 图 ２ 连 如
图 ３
’ ．
．
Ｄ Ａ Ｎ ＝ ＮＡ Ｍ ．
即 ＡＮ 平 分 ＤＡ
以 上 例 题 在 解 题 时 都 巧 妙 地 运 用 了旋 转 的 知 识 ． 而 使 问 题 变 得 简 从 单 明 了． 就 要 求 同 学 们 在 解 题 过 程 中 学 会 设 想 将 一 个 图 形 绕 一 个 定 点 这 旋 转 一 个 角 度 ， 过 这 种 旋 转 ， 到 使 问 题 的 条 件 相 对 集 中 的 目的 通 达 化难 为易． 注 意 ： 利 用 旋 转 解 题 时 ． 中 的 关 键 是 如 何 在 其 确定 旋转 的 方 向以及 旋转 角 的大小 ．
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在 平 面 内 把 某 图形 绕 某 个 定 点 旋 转 一 定 的 角 度 ． 样 的 变 换 叫 做 旋 这 转 ． 个定 点 叫做旋 转 中心 ． 个 定 角 叫做 旋 转 角． 用 旋 转 的 特 征解 题 这 这 利 是 几 何 中 常 用 的 方 法 ． 妙 地 运 用 旋 转 知 识 能 够 使 复 杂 的 几 何 题 化 繁 为 巧
巧旋转 妙解题
Ｄ ＃Ａ ． ／５＝／１ Ｃ Ｓ．．＿ ・ ＋／３ ．
ＡＥ ：ＡＧ ＝ ＦＧ ＝ ＦＤ ＋ ＢＥ．
又 １＝ ／２，．／５ ： ／ ＿ ． 。 ＿２＋ ４，
． ．
又’ ３ ４ ： ． ＤＣ为 直 角 三 角 形 ， Ｄ ． ＋ ５ ＡＰ ＺＰ Ｃ＝
９ 。 ＬＡ ０ ． ＰＢ ＝ ／Ｂ ＤＣ＝９ 。＋６ 。＝１ ０ ０ ０ ５ 。
例 ３ 如图 ， Ｂ ＡＡ Ｃ为 等 边 三 角 形 ， Ｄ 为 等 腰 三 角 形 ， 角 ＡＢ Ｃ 顶 ／Ｂ ＿ ＤＣ＝１０． Ｎ 为 Ａ 、 Ｃ上 的 ２ 。 Ｍ、 ＢＡ 点 黾 ＭＤ ＝６ ｏ ． 段 Ｂｌ Ｍ Ｎ ｏ ，ｊ ￣ ｅ、 ｌ
－＋Βιβλιοθήκη ＲＢｑ Ｅ÷ｏ．Ｍ ＝。ＪＢ＝。 ｔＯ￣ ＝ ＺＢ ３ ￣Ａ ９ Ａ Ｅ， Ｏ Ｃ０ｌ Ｍ ０ ．Ｚ ＿
一
证明 ， 例通过证三角形全等即可． 本 证 明 连 接 从 Ａ 曰， 正 方 形 Ａ Ｃ 与 正 方 形 、 ’ ． ＢＤ Ａ曰 ｃＤ 边 长 相 等 且 正 方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的 顶 点 Ａ 在 正 方 形 Ａ Ｃ 的 中 心 ，． Ａ ８Ｄ ． Ａ ＝Ｂ Ａ Ａ ：ＬＡ Ａ Ａ ’ Ａ ， Ｂ Ｂ ＝
２ ＝Ｐ４＋Ｐ ＋ＰＣ Ｂ ．
将 ＡＤ Ｍ 绕 点 Ｄ 顿 时 针 旋 转 １０ 到 △Ｄ Ｊ 位 Ｂ ２。 Ｃ Ｐ的 置 ， Ｂ ＝Ｃ Ｄ ＝Ｄ ／ＭＤ ＝１０ ， ＬＤ Ｐ ＝ 则 Ｍ Ｐ， Ｍ Ｐ， ＿ Ｐ ２。且 Ｃ
Ｄ Ｍ ＝ ０ ，． Ｂ ９ 。． ／Ｄ Ｐ＋ ＤＣ ＝１Ｏ ．‘点 Ⅳ、 Ｐ 在 。 Ｃ Ｎ ８。． ． Ｃ、
针旋转 ９ 。 图中ＡＡ Ｄ的位 置． Ａ Ａ ． Ｇ＝Ｂ Ｏ至 Ｇ 则 Ｇ： Ｅ Ｄ Ｅ，
九年级数学上册解题技巧专题：巧用旋转进行计算练习 含答案
解题技巧专题：巧用旋转进行计算——体会旋转中常见解题技巧◆类型一利用旋转结合等腰(边)三角形、垂直、平行的性质求角度1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′.若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是（）A．32°B．64°C．77°D．87°第1题图第2题图2．(2016·株洲中考)如图，在三角形ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，将这个梯形绕点D按顺时针方向旋转，使点C落在边AD上的点C′处，点B落在点B′处，如果直线B′C′经过点C，那么旋转角等于__________度．◆类型二利用旋转结合特殊三角形的判定、性质或勾股定理求长度4．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转75°，得到△AB′C′，过点B′作B′D⊥CA，交CA的延长线于点D.若AC＝6，则AD的长为【方法13】（）A．2 B．3 C．2 3 D．3 2第4题图第5题图5．(2016·黔西南州中考)如图，矩形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到矩形A1BC1D1，C1D1与AD交于点M，延长DA 交A1D1于点F.若AB＝1，BC＝3，则AF 的长度为（）A．2－ 3 B.3－13C.3－33 D.3－16．(2016·巴彦淖尔中考)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，求AE的长．◆类型三利用旋转计算面积7．如图，将正方形纸片ABCD绕着点A按逆时针方向旋转30°后得到正方形AB′C′D′.若AB＝23cm，则图中阴影部分的面积为【方法13】（）A．6cm2B．(12－63)cm2C．33cm2D．43cm2第7题图第8题图8．如图，在△ACB中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为________．答案：数学选择题解题技巧1、排除法。
10解题技巧专题巧用旋转进行计算
10解题技巧专题巧用旋转进行计算在解题过程中，有时我们可以巧用旋转来进行计算，以简化问题、加快解题速度。
下面将介绍几种巧用旋转进行计算的技巧。
1.点的旋转：对于一个点(x,y)，我们可以将其逆时针旋转θ度得到新的点(x',y')，计算方法如下：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这种技巧可以用来求解两点之间的距离、判断点的位置关系等问题。
2.向量的旋转：对于一个向量(x,y)，我们同样可以将其逆时针旋转θ度得到新的向量(x',y')，计算方法与点的旋转类似。
x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ这种技巧可以用来求解向量的和、点积、叉积等问题。
3. 复数的旋转：对于一个复数a + bi，我们可以将其旋转θ度得到新的复数c + di，计算方法同样类似。
c = (a + bi) * cosθd = (a + bi) * sinθ这种技巧可以用来求解复数的乘法、除法等问题。
4.矩阵的旋转：对于一个二维矩阵，我们可以将其逆时针旋转θ度得到新的矩阵，计算方法如下：对于一个点(x,y)在原矩阵中的位置(i,j)，新矩阵中该点的位置为：i' = j * sinθ + i * cosθj' = j * cosθ - i * sinθ这种技巧可以用来求解矩阵的转置、乘法、快速幂等问题。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的旋转方法。
例如，在计算几何中，通过旋转可以使问题简化为求解两点之间的距离或者判断一些点是否在条直线上，从而简化问题的求解过程。
在矩阵运算中，可以通过旋转将矩阵进行转置或者快速幂运算，提高运算效率。
巧用旋转进行计算可以节省时间、简化问题，但在应用时也需要注意旋转角度的选择和计算的正确性。
在实际解题过程中，可以通过举例或者推导来验证旋转计算的正确性，避免出现错误的结果。
巧旋转,妙解题(二)
分 析 ： 证 不 等 式 的 右 欲 边 的两个 三角形 在 一块 ． 需 设 法将 其 拼接成 一个 图形 ． 由 Ｄ 是 ＡＢ 的 中 点 考 虑 将 △ＡＤＥ 绕 点 Ｄ 旋 转 １ ０ 至 ８ｏ
Ｃ
’ ． ．
・ ．
．
Ｈ、 、 三点共 线． Ａ Ｇ
Ｈ＝ Ｇ ． 删＝ｓ 嬲 ． Ａ ｜ ｓ ｜
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学 课 程 辅 导
六、 证线 段酌 等量 关 系
’ ． ．
｜ 日 ＝｜ ｓ ｃ ｓ
．
例 ６ 如 图 ６， 点 Ｅ 、 分 别 是 正 方 形 八 、 角约 不等 量关 系 证 ＡＢＣ 的 边 ＢＣ、 Ｄ 上 的 点 。 Ｅ ＝ ５ ． Ｄ Ｃ 且 ＡＦ ４ ￣ 例 ８ 已 知 ： 如 图 ８， 在 △ＡＢＣ 中 。 ＡＢ＝ 求 证 ： ＝ Ｅ＋ ． ＥＦ Ｂ ＤＦ ＡＣ， 是 三 角 形 内 一 点 ， Ｐ Ｐ Ｐ 且 Ｃ＞ Ｂ， 分 析 ： 正 方 形 考 虑 将 △ ＡＢＥ 绕 点 Ａ 逆 时 由 求 证 ： Ａ咫 ＞／ＡＰＣ ＿ ＿ ＿ ． 针 旋 转 ９ 。 △ＡＤＧ 的 位 置 ， 从 而 把 Ｅ、 ０至 Ｄ 证 明 ： △Ａ咫 绕 点 Ａ 将 拼 接 在 △ ＡＦ 中 。 要 证 Ｅ ＝ Ｇ 只 Ｆ ＧＦ 即 可 ． 逆 时 针 旋 转 ／Ｂ ＡＣ 的 度 数 证 明 ： △ＡＢ 绕 点 Ａ 逆 时 针 旋 转 ９ ￣ 将 Ｅ ０ 至 至 △ＡＣ 的 位 置 ， 接 Ｐ ， Ｄ 连 Ｄ Ａ ＡＤＧ 的 位 置 ． 则 Ｐ Ｄ ，Ｂ＝ Ａ＝ Ａ Ｐ ＤＣ， Ａ咫 ＝ ＡＤＣ． Ｂ 图 ８ Ｃ 则 Ｇ ＝ Ｅ， Ａ ＝ Ｄ Ｂ Ｇ ＡＥ，
Ｏ
ｏ
Ｏ
．
图６
巧用旋转解难题资料
B
C
（选作）如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD四条D边的中点，图中
的阴影部分的面积为５，则正方形ABCD的边长是多少？
A
H
D
EM
G
N
BF C
最轻微的运动可以影响整个自然， 一块岩石可以使大海发生变化--帕斯卡尔
2、如图，E、F、G、H分别为正方形ABCD四
的长；（2）在图2中，若PA2+PC2=2PB2，请说明P
必AC在上.
A
2
1350P
DA
4 42
B
CB
P' 2
图1
D P
C 图2 P'
一起来分享
我掌握了哪些方法？ 我们经历了怎样的数学活动？ 还有其他感想或疑惑吗？
正方形
等
等边三角形 邻
等腰三角形 边
……
旋转
集中分散元 素生出证明 思路
平移
翻折
（必作）△ABC中，AB=AC,点D为△ABC外一点，连接DA,DB,DC,
A
D
F
HB E C
旋转是几何三大变换之一，通过旋 转，有利于把分散的几何条件集中在一起， 然后运用旋转的“不变性”可以使一些问题 迎刃而解.一般地说,当题目出现“共点等 线”(即有相同的端点和相等线段)的条件时 可考虑以该端点为旋转中心进行旋转变换.
★1、以正方形为背景的旋转问题
D
C
E
FA
B
1.如图，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点。
目的：把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创
造必要的条件。
旋转解题技巧
巧旋转妙解题1.理解旋转变换的作用是什么？旋转可以移动图形的位置而不改变图形的形状、大小.2.在什么情况下需要利用旋转变换？ 图形具备什么条件时可以实现旋转？当图形过于分散或集中，无法有效利用时，需要移动图形，而移动图形的手段就是三种变换.当图形中只要存在共顶点的等线段时就可以实施旋转变换.3. 怎么旋转？确定旋转中心、旋转方向、旋转角度.4.旋转之后怎么办？利用旋转的性质.对基本图形的认识：以等边三角形为背景的旋转问题举例1： 如图，△BCM 中，∠BMC ＝120°，以BC 为边向三角形外作等边△ABC ，把△ABM 绕着点A 按逆时针方向旋转60°到△CAN 的位置.若BM ＝2，MC ＝3.求：①∠ AMB 的度数；②求AM 的长.练习1.如图，O 是等边三角形ABC 内一点，已知：115AOB ∠=︒，125BOC ∠=︒，则以线段OA OB OC ，，为边构成三角形的各角度数是多少？2.如图，P 是等边ABC ∆内一点，若3AP =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．3.如图所示，P 是等边ABC ∆内部一点，3PC =，4PA =，5PB =，求ABC ∆的边长.4.如图所示，P 是等边ABC ∆中的一点，2PA =，23PB =，4PC =，试求ABC ∆的边长.5.如图，P 是等边ABC ∆外的一点，3PA =，4PB =，5PC =，求APB ∠的度数．6.如图所示，ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，BC a =，CA b =，问：当ACB ∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题举例1：已知，△ABC 中, A D ⊥BC 于D, 且AD=BD,O 是AD 上一点，OD=CD,连结BO 并延长交AC 于E.求证：AC=OB举例2：如图甲，在△ABC 中，∠ACB 为锐角．点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB=AC ，∠BAC=90o ．①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 ．②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB ≠AC ，∠BAC ≠90o ，点D 在线段BC 上运动．试探究：当△ABC 满足一个什么条件时，CF ⊥BC （点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）练习1.如图所示：ABC∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，P 是ABC ∆内的一点，且3AP =，2CP =，1BP =，求BPC ∠的度数．2.如图，正方形ABCD 内一点P ，15PAD PDA ∠=∠=︒，连结PB 、PC ，请问：PBC ∆是等边三角形吗？为什么？3.如图所示，P 为正方形ABCD 内一点，若PA a =，2PB a =，3(0)PC a a =>.求：⑴ APB ∠的度数；⑵ 正方形的边长.4.如图，P 为正方形ABCD 内一点，123PA PD PC ===，，，将PDC ∆绕着D 点按逆时针旋转90︒到PQD ∆ 的位置。
巧旋转妙解题
巧旋转妙解题马吉超一个图形围绕某一点由一个位置转到另一个位置的运动叫旋转，这个点叫做旋转中心。
确定图形旋转的三个要素是：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
图形旋转的主要特征是：图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小没有发生变化。
我们在解题中运用图形旋转的主要目的是：把给定的图形（或其中的一部分）绕某一点旋转后，图形会发生新的组合，重组后的图形能把题目中的条件相对集中，从而使问题得到解决。
下面举例说明运用图形旋转法解题的常用技巧。
一、三角形中的旋转技巧1. 当条件中出现三角形某边的中点时，可将某图形绕此中点旋转180°。
例1. 如图1，在△ABC中，D是AB的中点，E、F分别是BC、AC上的点。
求证：图1分析：由于△ADF与△BDE不在一起，因此，我们只需将△ADF绕中点D旋转180°得到△BDG，使其与△BDE组成一个四边形BEDG，从而使问题得到解决。
证明：把△ADF绕中点D旋转180°得到△BDG，其中B与A、G与F分别是对应点，则△BDG≌△ADF。
于是∵D是AB的中点∴D也是GF的中点，故∵2. 当条件中的三角形是等腰三角形时，可将含有该等腰三角形一腰的图形，绕着等腰三角形的顶角顶点进行旋转，使得两腰重合。
例2. 如图2，在△ABC中，AB＝AC，D是三角形内一点，DC＞DB。
求证：∠ADB＞∠ADC图2分析：由于已知两边的大小关系，与要证的两角的大小关系没太大联系，因此我们需要将图形进行适当旋转，使图形发生重组，然后再探究它们的内在联系。
证明：把△ABD绕点A逆时针旋转∠BAC，得△ACE，连DE则AE＝AD，EC＝BD∠AED＝∠ADE，∠AEC＝∠ADB在△DEC中，∵EC＝BD∴DC＞EC∴∠DEC＞∠EDC∴∠AEC＞∠ADC，故∠ADB＞∠ADC3. 当条件中的三角形是等边三角形时，可将含有该等边三角形一边的图形，绕着等边三角形的顶点进行旋转，使其与另一边重合。
初中数学巧旋转 妙解题学法指导学法指导
初中数学巧旋转 妙解题同学们都知道旋转具有以下特征：1. 图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2. 对应点到旋转中心的距离相等；3. 对应角、对应线段相等；4. 图形的形状和大小都不变。
利用旋转的特征，可巧妙解决很多数学问题，下面举例说明，供同学们学习时参考。
一、求线段长例1. 如图1所示，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E 在BC 上，且EF AE ,EF AE =⊥，求CF 的长。
解析：将ABE ∆以点E 为旋转中心，顺时针旋转90°，此时点B 旋转到点B ’处，AE 与FE 重合。
由旋转特征，知BC E 'B ⊥，所以四边形B ’ECF 为矩形所以4AB 'FB CE ===所以6BC CE 'EB CE CF ==+=+所以246CE BC CF =-=-=故CF 的长为2。
二、求角的大小例2. 如图2，D 是等腰直角三角形ABC 内一点，BC 为斜边，如果将ABD ∆绕点A 按逆时针方向旋转到'ACD ∆的位置，则∠ADD ’的度数为（ ）A. 25°B. 30°C. 35°D. 45°解析：由旋转的性质：“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角对应相等”，可知AD=AD ’，∠DAB=∠D ’AC 。
又因为∠CAB=90°，所以∠D ’AD=90°故∠ADD ’=45°故选D 。
三、探究说理例3. 如图3，任意剪一个平行四边形纸片ABCD ，利用对折的方法找到一组对应的中点E 、F ，按如图3中所示的方法过点F 剪下一个等腰三角形FDG ，按图中箭头所指的方向旋转180°。
（1）你得到的四边形ABHG 是什么形状的四边形？（2）用尺规作一条线段，使它等于线段AG 与线段BH 的和，再把它跟线段EF 的2倍作比较，你发现了什么？你能说明这个发现是正确的吗？解析：（1）因为FDG ∆绕点F 旋转180°得到FCH ∆，所以FCH FDG ≅∆所以∠D=∠FCH 。
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巧旋转 妙解题
河北张家口市第十九中学 贺峰
数学课程标准中“空间与图形”部分指出：平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化最简捷的基本形式之一，它们不仅是探索图形的一些性质的必要手段，而且也是解决现实世界中的具体问题以及进行数学交流的重要工具，在这一理念的引导下，各地中考和毕业考试加大了这方面的考察力度。
现将旋转在几何中的几个方面的应用举例说明：
一、 利用旋转求值
例1如图1，P 是正三角形 ABC 内的一点，且P A ＝6，PB ＝8，PC
＝10．若将△P AC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P 'AB ，则点P 与点P ' 之间的距离为_______，∠APB ＝______0． 解析：如图2，连接PP '，由旋转可得P A ＝P 'A ，P 'B ＝PC ，∠P AC ＝
∠P 'AC ，因为三角形 ABC 为正三角形，所以∠BAC ＝∠BAP ＋∠P AC
＝600，所以∠P 'AP ＝600，所以△P 'AP 为正三角形，PP '＝6，在△P 'BP 中，因为PP'＝6，PB ＝8，P'B ＝10，所以△P'B 为直角三角形，此时∠P 'PB ＝900，因此∠APB ＝∠APP '＋∠P 'PB ＝600＋900＝1500。
说明：图形旋转前后，图形的大小形状并不改变，只是位置发生的变
化，解决旋转求值问题题一定抓住旋转中心与旋转角将其转化为特殊三角形是解题的关键。
二、 利用旋转说理
例2如图3，在网格中有一个四边形图案．
(1)请你画出此图案绕点D 顺时针方向旋转900，1800，2700的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
(2)若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点A 的对应点依次为A 1、
A 2、A 3，求四边形AA 1A 2A 3的面积；
(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论．
解析：
(1)如图4，正确画出图案
(2) S 四边形AA 1A 2A 3＝S 四边形AB 1B 2B 3－4S △BAA 3
＝(3＋5)2－4×12
×3×5 ＝34
故四边形似AA 1A 2A 3的面积为34． (3)结论：AB 2+BC 2=AC 2或勾股定理的文字叙述
说明：本题将作图、求值、猜想等知识有机地结合在一起，让学生充分经历到了由形到数、数形结合的数学体验，通过动手操作、计算、观察、归纳、猜想结论的模式来解决问题。
例3 如图5，在正方形ABCD 中，E 为AD 上一点，BF 平分∠EBC
交CD 于F ，说明：BE ＝FC ＋AE 。
A C B P P' 图1 A
D B C
E F
图5 图,3 图4 A C B P P' 图2
解析：如图6，将△BCF 绕点B 逆时针旋转900至△BAH 的位置，则∠ABH ＝∠CBF ，CF ＝AH ，BF ＝BH ，又因为BF 平分∠EBC ，所以∠EBF ＝∠FBC ＝∠ABH ，因为∠ABE ＋∠EBF ＋∠FBC ＝900，所以∠A B H ＋∠ABE ＋∠EBF ＝900，即2∠ABH ＋∠ABE ＝900，所以∠ABH ＋∠ABE ＝∠HBE ＝900－∠ABH ，又因为∠AHB
＝900－∠ABH ，所以∠AHB ＝∠HBE ，所以BE ＝HE ＝HA ＋
AE ，所以BE ＝FC ＋AE 。
说明：巧妙利用旋转，化分散为集中，可以使一些用常规方法
不易解决的问题化难为易，化繁为简。
三、利用旋转探究关系
例4在△ABC 中，AB ＝BC ，将△ABC 绕点A 沿顺时针方向旋转得△A 1B 1C 1，使点C 1落在直线BC 上(点C 1与点C 不重合)，
(1)如图7，当∠C ＞600时，写出边AB 1与边CB 的位置关系，并加以说明；
(2)当∠C ＝600时，写出边AB 1与边CB 的位置关系(不要求说明)；
(3)当∠C ＜600时，请你在图8中用尺规作图法作出△AB 1C 1(保留作图痕迹，不写作法)，再猜想你在(1)、(2)中得出的结论是否还成立?并说明理由．
解析：
（1）AB 1∥CB ，由旋转的特征可知，∠B 1A C 1＝∠BAC ，AC 1＝AC ，因为AB ＝BC ，所以∠BAC ＝∠C ，因为AC 1＝AC 所以∠AC 1C ＝∠C ，所以∠B 1A C 1＝∠AC 1C ，所以AB 1∥CB
（2）AB 1∥CB
（3）如图8。
成立。
理由与第一问类似。
说明：在几何图形的旋转变换、对称变换、平移变换过程中，虽然图形的位置发生了改变，但图形的形状、性质并没有发生变化，因此抓住图形在变化过程的形状不变性、数量关系不变性是解决此类问题的关键。
A D B C E F 图 6 H 图8 A B C 图7
B 1 A B
C C 1 B 1 C 1。