一类区间系数线性双层规划问题的遗传算法

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一类区间2次-线性双层规划的解法

一类区间2次-线性双层规划的解法高小妮;孙玉华【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(041)003【摘要】针对上层目标函数含有区间系数的2次-线性双层规划问题,提出了区间2次-线性双层规划的最优值区间的定义,在此基础上把区间2次-线性双层规划模型转化为求解最好最优值和最差最优值的2个确定性模型,进而利用混合整数规划方法求解.最后给出数值算例验证该方法的有效性.%The quadratic-linear bi-level programming model with interval coefficients for upper objective function is studied.Firstly,the definition of the optimal value interval of quadratic-linear bi-level programming with interval coefficients isproposed.Secondly,the quadratic-linear bi-level programming model with interval coefficients is converted into two deterministic models.Then mixed integer programming method is used to solve the best optimal value and worst optimal value.Finally,numerical examples are given to demonstrate the effectiveness of the proposed method.【总页数】5页(P275-279)【作者】高小妮;孙玉华【作者单位】北京科技大学数理学院,北京 100083;北京科技大学数理学院,北京100083【正文语种】中文【中图分类】O221【相关文献】1.生物地理学算法求解一类非线性线性双层规划 [J], 贾飞;孟敏2.线性线性分式型区间系数双层规划问题的遗传算法 [J], 郭晓芳;李和成3.一类区间系数线性双层规划问题的遗传算法 [J], 樊扬扬;李和成4.一类线性—二次双层规划问题的解法 [J], 刘国志5.一类区间线性双层规划的最小最大后悔解及其解法 [J], 王建忠;杜纲因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

两级遗传算法

两级遗传算法
遗传算法是一种基于自然选择和遗传学原理的优化算法，它通过模拟生物进化过程来寻找最优解。

在实际应用中，遗传算法已经被广泛应用于各种优化问题中，如机器学习、数据挖掘、图像处理等领域。

然而，遗传算法也存在一些问题，如收敛速度慢、易陷入局部最优解等。

为了解决这些问题，研究人员提出了两级遗传算法。

两级遗传算法是一种基于遗传算法的优化算法，它将遗传算法分为两个层次进行优化。

第一级遗传算法用于全局搜索，第二级遗传算法用于局部搜索。

这种算法可以有效地提高搜索效率和优化结果的质量。

第一级遗传算法通常采用标准的遗传算法，它通过选择、交叉和变异等操作来生成新的个体，并通过适应度函数来评估个体的适应度。

在全局搜索阶段，第一级遗传算法会生成大量的个体，并通过选择操作来筛选出适应度较高的个体，以便进入第二级遗传算法进行局部搜索。

第二级遗传算法通常采用改进的遗传算法，如粒子群算法、差分进化算法等。

在局部搜索阶段，第二级遗传算法会对第一级遗传算法筛选出的个体进行进一步的优化，以寻找更优的解。

这种算法可以有效地避免陷入局部最优解，并提高搜索效率和优化结果的质量。

两级遗传算法是一种有效的优化算法，它可以通过全局搜索和局部搜索相结合的方式来提高搜索效率和优化结果的质量。

在实际应用中，两级遗传算法已经被广泛应用于各种优化问题中，如机器学习、数据挖掘、图像处理等领域。

双层规划模型及其算法研究综述

路径规划算法的应用
路径规划算法在各个领域都有广泛的应用。在机器人领域中，路径规划算法可用于机器人的自主导航和避障，例如在家庭服务机器人中，通过路径规划算法可以实现从客厅到餐厅的最短路径规划。在无人驾驶领域中，路径规划算法可用于实现自动驾驶车辆的导航和避障，从而保证车辆的安全行驶。
在图像处理领域中，路径规划算法可用于图像分割、目标跟踪等任务，例如利用蚁群算法进行图像分割可以取得良好的分割效果。在自然语言处理领域中，路径规划算法可用于文本分类、情感分析等任务，例如利用朴素贝叶斯分类器可以对文本进行分类。
4、实际应用案例研究：本次演示的研究成果虽然取得了一定的成果，但还未应用到实际的地下物流系统中。未来可以开展实际应用案例研究，将研究成果应用于实际工程中，以检验其可行性和有效性。
参考内容二
旅客列车开行方案是铁路运营中的重要决策，直接影响到铁路运输的效率和经济性。然而，制定合理的旅客列车开行方案是一个复杂的问题，需要考虑诸多因素，如列车行程时间、旅客服务需求、列车座位利用率等。为了解决这个问题，我们可以引入双层规划模型和算法。
结论
本次演示对双层规划模型及其算法进行了详细综述。双层规划模型作为一种广泛应用于复杂系统优化问题的数学模型，其在解决经济社会、生态环境、交通运输等诸多领域的问题中具有重要应用价值。然而，现有的双层规划算法仍存在一定的局限性，如搜索效率不高、容易陷入局部最优解等。
因此，未来的研究方向应包括进一步改进和完善双层规划算法，提高其求解效率和准确性，同时拓展双层规划模型的应用领域。此外，加强双层规划模型与大数据、人工智能等先进技术的结合，也将为解决复杂系统优化问题提供新泛，其中Dijkstra算法和A算法是最常用的两种。Dijkstra算法通过不断地扩展起始节点，直到找到目标节点为止，能够求解出最短路径。A算法则通过评估函数来对每个节点进行评估，从而找到最优路径。

两级遗传算法

两级遗传算法1引言随着计算机技术的不断发展，人工智能开始与现实世界的诸多领域深度融合，解决实际问题的能力也越来越强。

在优化领域，遗传算法是一种很普遍的优化算法，以其通过模仿生态系统中的自然选择和遗传进化来模拟优化过程的特性而备受欢迎。

本文将介绍两级遗传算法的概念和实现方法，以及其在实际问题中的应用。

2遗传算法遗传算法是一种通过模拟生命体适应过程的优化算法。

与其他优化算法相比，遗传算法的优势在于其对搜索空间进行随机化搜索，能够持续地对个体进行随机化操作以找到优化结果。

使用遗传算法解决问题的基本框架如下：（1）生成种群，即生成一堆随机的“个体”。

（2）根据预设的适应度函数或评价标准，对每个个体进行评估，得到相应的适应度值。

（3）选择“优秀”的个体，将它们复制并进行遗传操作，生成新的个体。

（4）重复步骤（2）和（3），直到达到预设的终止条件。

在遗传算法中，遗传操作是一个很关键的环节，它主要包括选择、交叉和变异。

选择操作是指选择适应度高的个体作为“父代”，用于生成下一轮个体；交叉操作是指将两个个体的基因组交换一部分；变异操作是指对某些个体的基因组进行随机的微调。

3两级遗传算法在遗传算法的基础上，两级遗传算法是一种更高级的算法。

其主要思想是通过变异来引入新的优化方向，在同时保留当前较优解的情况下，增加搜索空间。

具体来说，两级遗传算法的实现步骤如下：（1）设定两个遗传算法（GA1和GA2），共同合作进行优化，其中GA1的分支主要是精细搜索，GA2的分支主要是全局搜索。

（2）GA1和GA2的“父代”包含相同的一组个体，但各自有不同的适应度函数和搜索策略，其中GA1的适应度函数和搜索策略较为严格，而GA2则更灵活。

（3）对于每一代，GA1和GA2都同时进行遗传操作，以更新各自的“子代”。

（4）GA1的“子代”作为GA2的“父代”，GA2的“子代”需要传回GA1进行选择和进一步优化。

4应用两级遗传算法在实际问题中的应用相对广泛。

遗传算法优化问题求解方法

遗传算法优化问题求解方法遗传算法是一种基于自然选择和遗传机制的优化方法，它可以在搜索空间中找到最优解。

遗传算法通过模拟生物进化的过程，采用基因编码、选择、交叉和变异的操作，通过适应度函数对候选解进行评估和选择，从而实现问题的求解。

在遗传算法的优化问题求解方法中，首先需要确定问题的优化目标，即是最大化还是最小化目标函数。

例如，对于最小化问题，可以将目标函数定义为适应度函数。

接下来，需要确定问题的编码方式。

编码方式决定了问题空间的表示方法。

常见的编码方式包括二进制编码、实数编码和排列编码。

其中，二进制编码是最常用的编码方式之一。

它将问题的解表示为一个二进制串，其中每个基因位代表一个问题的决策变量。

然后，需要确定问题的适应度函数。

适应度函数是一个评价候选解优劣的函数，它在遗传算法中起到选择优良个体的作用。

适应度函数的设计应该符合问题的实际需求，能够准确地反映解的质量。

在遗传算法的优化问题求解方法中，选择操作用于从当前种群中选择个体用于繁殖。

选择操作的目标是根据个体的适应度值选择优良的个体，使其有更高的概率参与繁殖，从而传递优良基因。

交叉操作是模拟生物遗传中的基因交换过程。

在交叉操作中，遗传算法选取两个个体进行基因片段的互换，从而产生新的个体。

变异操作是模拟生物遗传中的基因突变过程。

在变异操作中，遗传算法对个体的某个基因位进行随机的变异，以增加种群的多样性。

经过对选择、交叉和变异操作的迭代，遗传算法可以不断优化种群，使其逐渐趋于最优解。

除了基本的遗传算法操作，还可以通过引入进化策略、多目标优化、约束处理等技术来提高遗传算法的性能和求解效果。

总结来说，遗传算法是一种有效的优化问题求解方法，它通过模拟生物进化的过程，利用基因编码、选择、交叉和变异等操作，逐步优化问题的解。

在实际应用中，可以根据具体问题的特点，灵活选择适应度函数、编码方式和遗传算法的操作，以获得最佳的求解效果。

遗传算法的使用方法和技巧指南

遗传算法的使用方法和技巧指南遗传算法是一种启发式优化算法，它模拟了自然界中的生物进化过程来解决问题。

它具有强大的搜索能力和全局优化能力，在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍遗传算法的基本原理、使用方法以及一些重要的技巧指南。

一、遗传算法的基本原理遗传算法基于生物进化的思想，通过模拟人工选择、交叉和变异等过程来生成和更新解的种群，并利用适应度函数对种群进行评估和选择，以期望通过迭代的方式找到最优解。

遗传算法的基本流程如下：1. 初始化种群：随机生成一组个体作为初始种群。

2. 适应度评估：根据问题的特定要求，计算每个个体的适应度值。

3. 选择操作：利用适应度值选择父代个体进行繁殖，常用的选择算法有轮盘赌选择和竞争选择等。

4. 交叉操作：通过交叉运算生成新的后代个体，交叉操作能够保留父代的有益特征。

5. 变异操作：对交叉后的个体进行基因的随机变异，增加种群的多样性。

6. 替换操作：根据一定的规则，用新生成的后代个体替换原始种群中的一部分个体。

7. 终止条件判断：根据迭代次数或者达到某个预定义的解的条件，判断是否终止迭代。

8. 返回最优解。

二、遗传算法的使用方法为了正确有效地使用遗传算法，我们需要遵循以下几个步骤：1. 理解问题：首先，要准确理解问题的特性和要求，包括确定问题的目标函数、约束条件等。

只有对问题有清晰的认识，才能设计合适的遗传算法。

2. 设计编码方案：将问题的解表示为染色体的编码方案，更好的编码方案可以减少解空间的搜索范围。

常用的编码方式有二进制、浮点数、整数等。

3. 确定适应度函数：根据问题的特点，设计合适的适应度函数用于度量个体的优劣。

适应度函数应能够将问题的目标转化为一个数值，使得数值越大越好或者越小越好。

4. 选择操作：选择操作决定了如何根据适应度值选择父代个体。

常用的选择算法有轮盘赌选择、竞争选择、排名选择等。

轮盘赌选择是普遍应用的一种方法，根据个体的适应度值按比例选择。

5. 交叉操作：交叉操作决定了如何生成新的后代个体。

遗传算法详解范文

遗传算法详解范文
一、什么是遗传算法
遗传算法（Genetic Algorithm，简称GA）是一种基于自然选择和遗传的算法，是由John Holland于1960年提出的，它是为了解决复杂的全局优化问题而设计的全局优化算法。

在计算机科学中，遗传算法是一种利用遗传进化的思想，模拟生物进化的过程，通过繁殖、淘汰，以及多样性和变异的原理，在有效的空间中，不断改进解决方案，以得到最优解的一种方法。

二、遗传算法工作原理
遗传算法是一种仿生的全局优化方法，它基于自然选择和遗传进化中的基本概念，通过模拟和改进自然选择和遗传，对问题进行全局优化。

其工作原理是模拟生物进化过程，将生物进化中求解能力最强的种群变化适应度最大的种群，优胜劣汰，交叉繁殖，变异演化，以期望获得全局最优解。

在遗传算法中，种群通过遗传演算，数次进化，演化出适应环境最优的解决方案。

遗传算法会先初始化一组解决方案，称为“种群”，然后不断的进行繁殖、交叉、突变、选择等运算，逐渐将种群中的个体演化为最优的解决方案。

遗传算法的具体操作步骤如下：
（1）初始化：为了使遗传算法发挥作用，首先要求用户提供一组初始解（个体）。

两类线性双层规划的算法①

两类线性双层规划的算法①宿　洁　马建华(山东大学数学所,济南,250100)摘　要　根据值型线性双层规划的Joh ri一般对偶的对偶性质,把对两类值型线性双层规划的求解问题转化为对有限个线性规划的求解问题,简化了双层规划的求解过程,给出了求解这两类值型线性双层规划的一种有效算法Λ关键词　值型线性双层规划,Joh ri一般对偶,线性规划,有效算法1.引　言多层规划是针对实际中的递阶系统问题的研究产生的Λ本世纪70年代,首次建立了多层规划模型[1]Λ但由于,一般多层规划问题都比较难求解,即使是层数最少的双层规划中的最简单的线性双层规划一般也是N P2hard问题[2,3]Λ因此对于双层规划的求解,我们的工作方向或者是努力寻找一种对一般双层规划问题都适用的近似最优算法,或者是寻找适用于一些特殊双层规划问题的好的算法Λ而随着规划内容和形式的不断发展变化,关于数学规划的对偶问题的研究也不断深入Λ1993年Joh ri提出的单层数学规划的Joh ri一般对偶形式的概念[4],给“对偶”一更基本、更概括的定义,很好地解释了规划与其对偶规划关系的实质Λ文献[6]把Joh ri一般对偶形式推广到双层规划中,使递阶系统的对偶有了一个基本概念Λ而且,该双层规划的对偶不仅具有良好的对偶性质,同时经过对偶变换简化了原问题Λ本文讨论的就是利用双层规划的Joh ri一般对偶形式的性质来寻找求解两类值型线性双层规划的好的算法Λ文章首先在第二部分介绍了值型线性双层规划的Joh ri一般对偶形式及其对偶性质;第三、四部分针对两类值型线性双层规划,根据其Joh ir一般对偶的对偶性质,分别给出其求最优解的有效算法Λ2.值型线性双层规划的Johr i一般对偶对于一个一般形式的值型线性双层规划问题[5]: m ax　c T x+k T z(x)(B L P) s.t.A x≤bx≤0其中∶z(x)=(z1(x),z2(x),…,z n(x))T z i(x)=m ax　c i T x+d i T y i s.t.A i x+B i y i≤b jy i≥0　i=1,2,…,n第19卷第1期2002年3月经　济　数　学M A TH E M A T I CS I N ECONOM I CSV o l.19　N o.1M ar.2002①收稿日期:2000212228其中,x ∈R m ,c ∈R m ,k ∈R n ,A ∈R p ×m ,b ∈R p ,c i ∈R m ,y i ∈R n i ,d i ∈R n i ,b i ∈R l i ,A i ∈R l i ×m ,B i ∈Rl i ×n i;i =1,2,…,n .根据参考文献[6]可知,(B L P )可等价转化为一个非增值型线性双层规划问题,其具体形式如下: m ax c T x +k T z (x )(B L P 1) s .t .A x ≤b x ≥0其中∶z (x )=(z 1(x ),z 2(x ),…,z n (x ))T z i (x )=m ax{d i Ty i y i ∈Y i (x )} Y i (x )={y i y i ≥0,A i x +B i y i ≤b i }i =1,2,…,n .其中,k ≤0,其他定义相同Ζ对于非增值型线性双层规划(B L P 1),我们可得到其Joh ri 一般对偶规划[6]为: m ax 6ni =1k i Κi Tb i+v (Κ)(DB L P ) s .t .B T i Κi ≥diΚi≥0,i =1,2,…,n其中∶v (Κ)=m in ΛT b s .t .A TΛ≥c -6ni =1k i A T i ΚiΛ≥0其中,Λ∈R p ,Κ∈R l i ,i =1,2,…,n ΖΚ=(Κ1,…,Κn)Ζ(B L P 1)与(DB L P )具有以下关系:定理2.1[6]　对偶规划(DB L P )的最优值等于原规划(B L P 1)的最优值,即(B L P 1)与(DB L P )之间的对偶间隙为零Ζ定理2.2[6]　如果(x ,y )是原规划(B L P 1)的最优解,且Κi(i =1,2,…,n )是规划(2.3)的参变量为x 时的最优解,而Λ是规划(2.2)的参变量为Κ时的最优解,则(Κ,Λ)为对偶规划(DB L P )的最优解.其中,规划(2.1)和(2.2)分别为: m in ΚiT (b i -A i x )(2.1) s .t .B T i Κi ≥d i; 1,2,…,nΚi≥0 m in ΛT b (2.2) s .t .A TΛ≤c -6ni =1k i A T i ΚiΛ≥0定理2.3[6]　如果(Κ,Λ)是对偶规划(DB L P )的一个最优解.且x 是规划(2.3)的参变量为Κ时的最优解,而y 是(B L P 1)下层子规划的参变量为x 时的最优解,则(x ,y )是原规划(B L P 1)的一个最优解Ζ其中,规划(2.3)为:—96—　第1期宿　洁　马建华:两类线性双层规划的算法 m ax (c -6ni =1k i AiTΚi )T x (2.3) s .t .A x Φb x ≥03.p =0的情况在(B L P 1)中,如果p =0,则其与规划(3.1)的最优值相等[6]Ζ m ax Κ　6ni =1k i Κi Tb i+v (Κ)(3.1) s .t .B T i Κi ≥diΚi≥0,i =1,2,…,n其中∶v (Κ)=m in (c -6ni =1k i AiTΚi )Tx s .t .　x ≥0且有定理3.1[6]　若(Κ3,x 3)是规划(3.1)的最优解,则(x 3,y 3)是规划(B L P 1)的最优解,其中y 3是(B L P 1)下层子规划的参变量为x 3时的最优解Ζ m ax c j -6ni =1k i (A T i Κi)j令(P j ) s .t .B T iΚi≥diΛ≥0 j =1,2,…,m其中,c j ,(A T i ,Κi )j 分别是c ,A T j Κi的第j 行分量;j =1,2,…,m Ζ可得到如下结论:定理3.2　(i )若存在j (1≤j ≤m ),使得(P j )的最优值大于0,则(3.1)的最优解无界;(ii )若对所有的j (j =1,2,…,m ),都有(P j )的最优值小于等于0,则如果Κ3是线性规划 m ax Κ6ni =1k i Κi Tbi (3.2) s .t .B T i Κi ≥diΚi≥0　i =1,…,n的最优解且x 3=0就得到(Κ3,x 3)是规划(3.1)的最优解证明　(i )若存在f (1≤j ≤m ),使得(P j )的最优值大于0.令Κ’=(Κ’1,…,Κ’n )是(P j )的最优解,x ’=(x ’1,…,x ’j ,…,x ’n ),其中x ’j =+∞,则(Κ’,x ’)为(3.1)的可行解,且其对应的目标函数值为+∞Ζ因此,规划(3.1)的最优解无界Ζ(ii )若对所有的j (j =1,2,…,m ),都有(P j )的最优值小于等于0,则对任意可行的Κ,规划(3.1)的下层规划的最优值都是0,且x 3=0为其最优解Ζ因此,(3.2)的最优值就等于(3.1)的最优值Ζ若Κ3是线性规划(3.2)的最优解,则(3,3)(3.1)—07—经　济　数　学第19卷　例子　给定一个非增值型双层线性规划如下 m ax 3x 1+2x 2-2z 1(x )-3z 2(x )(3.3) s .t .x 1,x 2≥0其中:z 1(x )=m ax 3y 1 s .t .-2x 1-x 2+y 1≤2y 1≥0 z 2(x )=m ax -2y 2 s .t .x 1+2x 2-2y 2≤-1y 2≥0则根据定理3.2可得, m ax 3-4Κ1+3Κ2(P 1) s .t .Κ1≥3-2Κ2≥-1Κ1,Κ2≥0 m ax 2-2Κ1+6Κ2(P 2) s .t .Κ1≥3-2Κ2≥-1Κ1,Κ2≥0求解得(P 1)的最优值为-152,(P 2)的最优值为-1Ζ因此规划(3.1)的最优解中x 3=0Ζ由定理3.1知,把x 3=0代入规划(3.3),下列规划的最优解就是规划(3.3)的最优解的分量Ζ m ax 3y 1 s .t .y 1≤2y 1≥0 m ax -y 2 s .t .2y 2≤-1Ζy 2≥0于是,规划(3.3)的最优解为(x ,y )=(0,0,2,12),最优值为-9Ζ4.p =1的情况在(B L P 1)中,如果p =1,则其对偶规划(DB L P )的最优值就等于至多(m +1)个线性规划的最优值中的最大值,而最优值达到该最大值的那些线性规划的最优解就是(DB L P )的最优解Ζ这样,求值型双层线性规划(DB L P )的最优解就转化为对至多(m +1)个线性规划的求解Ζ进而利用原规划(B L P 1)与对偶规划(DB L P )的最优值、最优解之间的关系,求得原规划(B L P 1)的最优值和最优解Ζ具体过程如下:假设原规划(B L P 1)和对偶规划(DB L P )都有最优解Ζ因为p =1,故b ∈R 1,A ∈R m ,Λ∈1):—17—　第1期宿　洁　马建华:两类线性双层规划的算法 v (Κ)=m in b Λ(4.1) s .t .a j Λ≥c j -6ni =1k i (A T i Κi)j j =1,2,…,mΛ≥0其中,a j ,c j ,(A Ti,Κi)j 分别是A ,c ,A T i Κi的第j 行分量;j =1,2,…,m Ζ记J +={j 1≤j ≤m ,a j >0},J -={j 1≤j ≤m ,a j <0},　J 0={j 1≤j ≤m ,a j =0};则,规划(4.1)等价于 v (Κ)=m in b Λ(4.2) s .t .Λ≥(c j -6ni =1k i (A T i Κi)j ) a j j ∈J +Λ≤(c j -6ni =1k i (A Ti Κi)j ) a j j ∈J-Λ≥0Ζ由于(DB L P )有最优解,因此规划(4.2)就有可行解Ζ根据b 的取值,(4.2)可分为三种情况,对应于(DB L P )求解的三种转化形式:情况1:b =0.此时,规划(4.2)的最优值等于0,故而对偶规划(DB L P )就可写为 m ax Κ6ni =1k i Κi Tbi(4.3) s .t .B T i Κi ≥diA TΛ≥c -6ni =1k i A T i ΚiΚi,Λ≥0　i =1,2,…,n显然,规划(4.3)是一个线性规划,对其求解我们有好算法Ζ而(4.3)与(DB L P )是等价的,因此求(DB L P )的最优解也就有了好算法Ζ情况2:b >0此时,如果c j -6ni =1k i (A T ,Κi)j ≤0,j ∈J 0∪J -,则规划(4.2)等价于 v (Κ)=m in b Λ(4.4) s .t .b Λ≥(b (c j -6ni =1k i (A Ti Κi)j )) Αj j ∈J +b Λ≤(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j j ∈J-Λ≥0进一步,若(c l -6ni =1k i (A T i Κi)l ) a l ≥(c j -6ni =1k i (A T i Κi)j ) a j l ∈J -,j ∈J +,规划(4.4)就等价于(4.5)　v (Κ)=m ax {0,b (c j -6ni =1k i (A Ti Κi)j )) a j ,Πj ∈J +}Ζ否则,规划(4.4)没有可行解Ζ这样,对偶规划(DB L P )可写为—27—经　济　数　学第19卷　 m ax Κ{6ni =1k i Κi Tb i+m ax {0,(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;j ∈J +}}(4.6) s .t .BTi Κi ≥d iΚi ≥0　i =1,2,…,nc j -6ni =1k i (A T i Κi)j ≤0　j ∈J 0∪J-(c l -6ni =1k i (A TiΚi)l ) a l ≥(c j -6ni =1k i (A T i Κi)j ) a j l ∈J -,j ∈J+记S 为规划(4.6)的可行解集合,(4.6)可简写为(4.7)　m ax Κ∈S m ax {6ni =1k i Κi Tb i,6ni =1k i Κi Tb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;j ∈J +}Ζ对于规划(4.7),我们有以下性质:定理4.1　Κλ是规划(4.7)的最优解当且仅当Κλ是如下规划的最优解Ζ(4.8)　m ax {m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTb i,m axΚ∈S6ni =1k i Κi Tb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a i ;j ∈J +}Ζ证明　若Κλ是规划(4.7)的最优解,则m ax Κ∈Sm ax{6ni =1k i ,ΚiTb i,6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A Ti Κij ))a j ;j ∈J +}=m ax{6ni =1k i Κλi T b i ,6ni =1k i Κλi T b i+(b (c j -6n i =1k i (A Ti Κi)j )) a j ;j ∈J+}≤m ax{m ax Κ∈S 6ni =1k i ΚiTb i,m ax Κ∈S6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;j ∈J +},故下面两个不等式m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTbi≤m ax Κ∈Sm ax{6ni =1k i ΚiTb i,6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a i ,j ∈J +}和m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κif ))a j ≤m ax Κ∈Sm ax{6ni =1k i ΚiTb i,6n i =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;j ∈J +};j ∈J+成立Ζ因此m ax{m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTb i,m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;j ∈J +}≤m ax Κ∈Sm ax{6ni =1k i Κi Tb i ,6ni =1k i Κi Tb i+(b (c j -6n i =1k i (A Ti Κi)j )) a j ;j ∈J +}Ζ则,m ax{m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTb i,m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;j ∈J +}Ζ—37—　第1期宿　洁　马建华:两类线性双层规划的算法 =m ax Κ∈Sm ax{6ni =1k i ΚiTb i,6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;j ∈J }故,Κλ是(4.8)的最优解Ζ显而易见,规划(4.7)的最优解就等于如下线性规划问题m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A TiΚi)j )) a i ,j ∈J +和m ax Κ∈S6ni =1k i Κi Tb i的最优值中的最大值Ζ由于线性规划问题是有好算法的,而且这里所要计算的线性规划问题的个数至多为m +1个(是原值型双层线性规划问题输入规模的多项式),因此该情况下对(DB L P )的求解有好算法Ζ情况3:b <0:此时,如果c j -6ni =1k i (A T i Κi)j ≤0;j ∈J 0∪J-,则规划(4.2)等价于 v (Κ)=m in b Λ(4.9) s .t .b Λ≥(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j j ∈J +b Λ≥(b (c j -6ni =1k i (A Ti Κi)j )) a j j ∈J-Λ≥0进一步,若b (c l -6ni =1k i (A TiΚi)l )) a l ≤(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;l ∈J -,j ∈J +,规划(4.9)就等价于(4.10) v (Κ)=m ax j ∈J-(b (c j -6ni =1k i (A Ti Κi)j )) a j Ζ那么,对偶规划(DB L P )就可写为 m ax Κ{6ni =1k i Κi Tb i+m ax j ∈J-{(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j }}(4.11) s .t .BTi Κi ≥diΚi ≥0　i =1,2,…,nc j -6ni =1k i (A T i Κi)j ≤0　j ∈J 0∪J +(b (c l -6ni =1k i (A TiΚi)l )) a l ≥(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j l ∈J -,j ∈J+记T 为规划(4.12)的可行解集合,则(4.12)可写为(4.12) m ax Κ∈S m ax Κ∈J -{6ni =1k i Κi Tb i,(b (c j -6ni =1k i (A Ti Κi)j )) a j }Ζ类似于情况2,规划(4.8)的最优值是如下线性规划m axΚ∈S6ni =1k i ΚiTb i+(b (c j -6ni =1k i (A T i Κi)j )) a j ;j ∈J-的最优解中最大值Ζ而且此时,对(DB L P )的求解也有好算法Ζ当对对偶规划(DB L P )求出最优值和最优解后,根据定理2.1和定理2.3,易求得原规划(B L P 1)的最优值和最优解Ζ从而,用多项式时间算法求解了该类值型双层线性规划问题Ζ—47—经　济　数　学第19卷　例　给定一个非增值型双层线性规划如下 m ax 4x 1+3x 2-2z 1(x )-z 2(x )(4.13) s .t .2x 1+x 2≤2x 1,x 2≥0其中∶z 1(x )=m ax-3y 1 s .t .-x 1+2x 2-y 1≤1y 1≥0 z 2(x )=m ax-2y 2 s .t .2x 1+x 2-2y 2≤-3y 2≥0根据上面所述求解方法,(4.13)的最优值等于下面三个线性规划(4.14)～(4.16)的最优值中的最大值,且该最大值对应的解就是(4.13)的最优解Ζ m ax -2Κ1+3Κ2(4.14) s .t .-Κ1≥-3-2Κ2≥-2Κ1,Κ2≥0 m ax -4Κ1+5Κ2+4(4.15) s .t .-Κ1≥-3-2Κ2≥-2Κ1,Κ2≥0 m ax 6Κ1+5Κ2+6(4.16) s .t .-Κ1≥-3-2Κ2≥-2Κ1,Κ2≥0求解上述线性规划,可得规划(4.14)的最优值为3,对应的最优解为(0,1);规划(4.15)的最优值为9,对应的最优解为(0,1);规划(4.16)的最优值为29,对应的最优解为(3,1)Ζ于是,(4.13)的对偶规划的最优值为29,最优解为(Κ,Λ)=(3,1)Ζ在规划(4.13)的对偶规划的下层子规划的对偶规划中,令(Κ,Λ)=(3,1),得到线性规划如下: m ax 16x 2(4.17) s .t .2x 1+x 2≤2x 1,x 2≥0其最优解为(x 1,x 2)=(0,2)Ζ把该最优解代入规划(4.13)的下层规划,得到如下线性规划 m ax -3y 1—57—　第1期宿　洁　马建华:两类线性双层规划的算法 (4.18) s .t .4-y 1≤1y 1≥0 m ax -2y 2(4.19) s .t .2-2y 2≤-3y 2≥0其最优解分别为y 1=3,y 2=52Ζ根据定理2.3可知,(0,2,3,52)是规划(4.13)的最优解,其最优值为29Ζ参　考　文　献[1]　Candler ,W .and R .N o rton ,M u ltilevel P rog ramm ing ,T echn ical R epo rt ,20[R ],W o rld BankD evelopm en t R esearch Cen ter ,W ash ington D .C .,1977.[2]　V icen ts ,L .N .,B ilevel and m u ltilevel p rogramm ing :a b ib li ogo raphy review ,J ou rna l of G loba l Op ti m iz ation ,5(1994),2912306.[3]　T an i on ,T .and T .O gaw a ,A n algo rithm fo r so lving tw o 2level convex op ti m izati on p rob lem s ,In t .J .S y st .S ci .,15(1984),1632174.[4]　P .K .Joh ri ,I mp lied con strain ts and a un ified theo ry of duality in linear and non linear p rogramm ing ,Eu ropean Jou ral of Operati onal R esearch ,71(1993),61269.[5]　王先甲,冯尚友,二层系统最优化理论,科学出版社,1995.[6]　马建华,刘家壮,一类非增值型双线性双层规划的对偶,中国运筹学会第六次代表大会暨学术交流大会会议论文集,2000.THE AL G O R ITH M S FO R T WO K IND S O FB I L EVEL L INEAR PRO GRAMM INGSu J ie M a J ianhua(S hand ong U n iversity ,J inan ,250100)Abstract Basing on the duality theo ry ,so lving the tw o k inds of value 2type b ileval linear p rogramm ing can be changed in to so lving several linear p rogramm ing p rob lem s ,and an effective algo rithm is given .Key words V alue 2tpye b ilevel linear p rogramm ing ,Joh ri ’s general dual ,L inear p rogramm ing ,effective algo rithm—67—经　济　数　学第19卷　。

一类双层规划问题的遗传算法求解

一类双层规划问题的遗传算法求解于建平;杜纲【摘要】研究了一类值型双层规划问题,即下层规划将其目标函数最优值返回给上层规划.在双层规划的解的基本概念的基础上,给出了一种双层的遗传算法求解方法.该方法是在上层问题的遗传算法中嵌套一个求解下层问题的遗传算法.用实际的算例来验证算法设计的可行性,同时通过与传统算法结果的对比来表明该算法的计算效果.最后,指出了该算法的一些不足.【期刊名称】《重庆理工大学学报》【年(卷),期】2014(028)004【总页数】6页(P93-98)【关键词】双层规划;解型;值型;遗传算法;可行性【作者】于建平;杜纲【作者单位】天津大学管理与经济学部,天津300072【正文语种】中文【中图分类】TP18随着工程设计的发展，很多重要的设计呈现出复杂的主从结构，难以用单层优化模型来描述，因而双层规划显得不可替代。

近年来，已有一些研究探讨了双层规划在工程设计中的应用，如Shabde和Hoo［1］基于双层规划的框架建立了化工产品设计与过程控制协同优化的模型。

作为双层规划中的一种重要情形，主从对策方法也得到了一些应用，如Hernandez等［2］在一个设计与维护的关联优化问题上应用了主从对策方法。

双层规划(bilevel programming)也称双层优化，是指模型的约束中包含子优化问题的数学规划，最早由Bracken和McGill［3］提出，由于它抽象了包括主从对策在内的一类重要的递阶决策问题而具有广泛的实际背景。

双层规划理论取得了较快的发展并成为数学规划领域中的重要分支。

双层规划虽然可以作为数学规划的一种推广形式，但它与普通数学规划有着很大的不同。

由于模型的上层中含有下层的最优解或最优值函数，使得模型易成为非光滑的优化问题，即使是线性的双层规划也是NP－难的［4］，并且当上层的约束中含有下层的最优解时，其可行域可能是不连通的。

目前，双层规划的求解方法主要有针对特殊线性情形的K次最好法［5］，可采用K－T条件代替下层问题而转化为单层规划的方法［6］，利用对偶间隙构造罚函数而转化为单层问题的方法［7］以及智能算法［8］等。

双层问题遗传算法

双层问题遗传算法
双层问题遗传算法是一种解决复杂非线性优化问题的新型有效方法。

它不受目标函数的可微性、凸性、连续性等限制，具有全局优化、隐并行性、鲁棒性强、操作简单等特点。

对于双层规划问题，遗传算法通常首先将下层的最优解用上层的决策变量或Lagrange乘子来表示，然后将下层的最优解带入到上层，把双层规划问题转化为含上层决策变量和Lagrange乘子的单层规划问题。

对于生产调度问题，遗传算法通常用于求解双层生产调度问题。

首先，使用遗传算法通过遗传交叉和突变来生成初始种群，然后使用粒子群优化算法对每个个体进行迭代优化，使得目标函数的值逐渐趋近于最小值。

以上内容仅供参考，建议查阅关于双层问题遗传算法的资料获取更全面和准确的信息。

一类双层规划问题的数值方法的研究中期报告

一类双层规划问题的数值方法的研究中期报告
一类双层规划问题是指在一个优化问题的约束条件中含有另一个优
化问题的约束条件，即在一个固定的环境中，决策者需要使自己的决策
最优化，而环境的反馈则是另一个优化问题。

这类问题通常存在于政治、经济、社会和管理等领域中。

本研究的重点是针对一类双层规划问题的数值方法进行研究。

具体
来说，我们考虑了一类非线性双层规划问题，其中上层和下层问题都是
非线性的，约束条件也不是线性的。

我们的研究目标是开发出高效、准
确的求解方法，以解决此类问题。

我们的研究方法主要集中于两个方面：算法设计和算法实现。

在算
法设计方面，我们首先提出了一个序列二次规划算法，通过不断迭代上
层和下层问题，逐步优化目标函数。

在算法实现方面，我们采用MATLAB 编程实现算法，并使用了一些现有的MATLAB优化工具箱，如Global Optimization Toolbox和Optimization Toolbox，以帮助实现高效的求解
方法。

目前，我们已经实现了序列二次规划算法，并在多个测试数据集上
进行了测试。

测试结果表明，我们的算法能够快速、准确地解决双层规
划问题。

与现有的方法相比，我们的算法具有更高的求解效率和更好的
求解精度。

未来我们将进一步改进我们的算法，以适应更复杂的问题类型，并
探索新的数值方法来解决这些双层规划问题。

我们还将与其他领域的专
家合作，将我们的研究应用于更广泛的实际问题中。

第10章双层规划解析

固定的下层问题的所有最优解组成一个集合y(x) ，这意味着y(x) 中的任何一点对下层是无差别的，但对上层的目标函数可能会有差别。上层最优解可能只在 y(x)中某个特定点上达到，但是没有办法使下层更愿意选择该点。
双层规划分类
线性双层规划：所有目标函数和约束全为线性函数
非线性双层规划：上下层目标函数和约束中少有一个非线性函数
满足
F(x*, y* ) F(x, y)
称 (x*,y*) 是(BP)的全局最优解或最优解。
双层规划的一阶必要条件
设 (x*, y* )是双层规划的最优解，则其一阶必要条件为：
（1） F ， G ， f ， g 都是一阶连续可微函数；
（2）对 x* ，下层问题有唯一解；
（3）存在μ E m，2 使得 (x, y,μ)是下列问题的可行解：
20世纪80年代至今，多层规划的数学模型更加明确和形式化了，国内外学者也发表了许多有意义的成果。
总之，在过去20年中，多层规划的理论、方法及应用都有很大发展，正在逐渐形成一个新的运筹学分支。目前，很多国家对多层规划的研究都非常重视，把它列为科学基金资助项目，并取得了巨大成功。
最为常见且得到广泛研究与应用的多层规划是双层规划问题，即考虑只有两层决策者的情形。这是因为现实的决策系统大都可以看成双层决策。
2x y 21
x 2y 38
x 2y 18
y0
8.3双层规划的基本形式
该例的最优解在点D上达到，即 ( x* , y * )=(16,11)，
F * 39, f * 11
在点E(10,14)处，上层目标函数值更优。点A(0,5)是问题的一个局部最优解。
y
F(0,9) A(0,5)

几类复杂双层规划问题的算法研究及应用

几类复杂双层规划问题的算法研究及应用几类复杂双层规划问题的算法研究及应用摘要：双层规划问题是指在一个理性的决策者和另一个决策者之间存在博弈关系的决策问题。

本文对几类复杂双层规划问题的算法进行了研究，并探讨了它们在实际应用中的潜在价值。

关键词：双层规划问题、算法研究、应用一、引言双层规划问题作为一类重要的决策问题，在实际应用中有着广泛的应用。

它的特点是在决策者和决策者之间存在一种博弈关系，即上层决策者的决策会影响下层决策者的决策，反过来下层决策者的决策也会对上层决策者的决策产生影响。

在此背景下，本文结合具体案例对几类复杂双层规划问题的算法进行了研究，并探讨了它们在实际应用中的潜在价值。

本文将详细介绍这些算法的基本原理、求解方法和应用实例，并分析其优劣势，为进一步研究和应用提供参考。

二、几类复杂双层规划问题及其算法研究1. Stackelberg博弈模型Stackelberg博弈模型是一种典型的双层规划问题，通过上层决策者的领先决策来影响下层决策者的决策结果。

对于这类问题，常用的算法有线性规划法、动态规划法和博弈论等方法。

其中，线性规划法适用于简单的Stackelberg博弈模型，通过构建数学模型求解最优策略；动态规划法可处理更复杂的问题情境，通过递推的方式求解最优策略；博弈论则是分析上层和下层决策者的利益和策略，找到均衡点。

2. Cournot博弈模型Cournot博弈模型是另一种常见的双层规划问题，它是基于市场竞争的模型。

在这种情况下，上层决策者考虑自身的定价策略，下层决策者则根据上层的定价策略来制定生产策略。

对于Cournot博弈模型，常用的算法有求解纳什均衡的方法，如微分方程法、最优响应方法和数值计算法等。

这些方法通过数学推导或计算机模拟，找到上层和下层决策者的最优策略。

3. 公交网络优化问题公交网络优化问题是一种实际应用中常见的双层规划问题。

在公交网络中，上层决策者负责制定线路和班次，下层决策者则根据上层决策者的安排来选择乘坐公交的方式。

物流服务供应商选择的双层规划模型及云遗传算法

Ｋｙｗｒｓｏｓｃｅｉｕｐｉｌｔｎｃｓｍｒｓｒｉａｉａｔｎｉｅｅｐｏｒｍｉｏｅ；ｅｔｐｅｏ；ｅｏｄ：ｌｔｓｓｒｃｓｐｌｒｓｅｉ：ｕｔｅｅｃｓｔｆｉ；ｂ— ｖｌｒａｍｎｍｄｌｎｏｙｍｔｄｉｇｉｖｅｅｅｃｏｏｖｅｓｃｏｌｇｇｒｈ
王旭石，
摘
琳葛显龙，
（重庆大学ａ贸易与行政学院；．．ｂ机械工程学院，重庆４０３）０００要：在物流服务供应链体系下，对功能型物流服务供应商的选择问题，出了使用双层规划模型分析方法。针提
上层规划以集成物流服务供应商的外包业务成本最低为目标，下层规划以客户服务满意度最大为目标。其中，在下层规划中提出客户服务满意度指数模型，并借助熵权法对模型中的各外显指标进行赋权，而得出客户服务满进
应直时，日县追隆低日务成本，壹匮则会导致服务供应商的客户
收稿日期：２１— １２０１０ —０；修回日期：２１－２２０ｌ０ — ８
在进行供应商评价时各有特点，过程中依旧存在指标不全但
基金项目：国家“ ６ ” 划资助项目（０６Ａ４２；庆市自然科学基金资助项目８３计２０ＡＯＡ１３）重
意度指数。最后，结合模型特点设计了云自适应遗传算法，助算例验证了模型和算法的有效性。并借
关键词：服务供应商选择；客户服务满意度；双层规划模型；熵权法；云自适应遗传算法中图分类号：Ｔ３１Ｐ９文献标志码：Ａ文章编号：１０ — ６５２１）８２７ —５０１３９（０１０ —８１０

遗传算法教程GA1

遗传算法教程GA1遗传算法教程GA1遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种模拟自然进化过程的优化算法。

它基于达尔文的进化论思想，通过模拟自然选择、交叉和变异等操作，逐步优化问题的解。

遗传算法在解决复杂的优化问题上表现出色，被广泛应用于工程、经济、计划和设计等领域。

首先，遗传算法的基本思想是通过不断迭代的方式，从一个种群中选择出适应度较高的个体，并通过交叉和变异操作产生新的个体，逐步逼近最优解。

这个种群由一组编码个体组成，每个个体对应问题的一个可能解。

种群的进化过程类似于自然界中的进化过程，通过模拟自然选择、交叉和变异等操作，使种群逐渐进化，直到找到最优解。

具体来说，遗传算法的步骤如下：1.初始化种群：随机生成一组初始个体，即问题的可能解，构成初始种群。

2.评估适应度：对每个个体进行评估，计算其适应度值。

适应度值反映了个体对问题的解的优劣程度，通常通过目标函数来计算。

3.选择操作：根据适应度值选择一定数量的个体作为父代，用于后续的交叉和变异操作。

通常采用轮盘赌选择方法，适应度较高的个体被选中的概率较大。

4.交叉操作：从选择的父代中随机选择两个个体，通过交叉操作生成新的个体。

交叉操作模拟了基因的组合，将父代的染色体进行交换和重组，产生新的染色体。

5.变异操作：对新生成的个体进行变异操作，以增加种群的多样性。

变异操作模拟了基因的突变，通过改变个体染色体中的一个或多个基因值，产生新的个体。

6.更新种群：将新生成的个体加入种群中，替代适应度较低的个体。

这样，种群逐渐进化，适应度较高的个体越来越多。

7.判断终止条件：判断是否满足终止条件，如达到最大迭代次数或找到满意的解。

如果满足终止条件，则算法结束，返回最优解；否则，返回第3步进行下一次迭代。

通过上述步骤的迭代操作，遗传算法能够逐渐逼近最优解，找到问题的较好解。

它具有全局能力强、适用于多样的问题、易于并行计算等优点，但也存在参数选择困难、收敛速度慢等问题。

考虑路线安排的物流配送中心选址双层规划模型及求解算法

在总结部分，本次演示研究了地下物流节点选址的双层规划模型及算法，并通过实验验证了模型的求解质量和效率。研究成果对于推进地下物流系统的规划和建设具有一定的理论和实践意义。然而，仍需进一步研究和改进求解方法，以解决模型的不确定性和大规模问题的求解等问题。未来的研究方向可以包括以下几个方面：
1、考虑更复杂的地下物流系统结构：现有的研究主要集中在简单的地下物流网络结构，如直线型和环形结构。未来可以研究更复杂的网络结构，如树形、网状等，以提高地下物流系统的灵活性和适应性。
展望未来，随着物联网、大数据、云计算等技术的不断发展，物流配送中心选址优化将迎来更多的发展机遇和挑战。在实际应用中，可以考虑将先进的优化算法与智能设备、自动化技术等合作，推动供应链管理、物流工程、计算机科学等多个领域的交叉融合，为物流配送中心选址优化研究提供更广阔的发展空间和思路。
考虑路线安排的物流配送中心选址双层规划模型及求解算法
目录
01 一、双层规划模型
02 二、求解算法
03 三、应用场景
04 四、总结
05 参考内容
随着经济的发展和电商的快速崛起，物流配送行业在日常生活中变得越来越重要。物流配送中心作为物流网络的关键节点，其选址问题直接影响到整个物流系统的效率和服务质量。为了解决物流配送中心选址问题，双层规划模型及求解算法逐步被应用于其中。本次演示将详细介绍物流配送中心选址双层规划模型及求解算法的相关概念和原理，并分析其应用场景和未来发展方向。
参考内容二
随着经济的全球化和电子商务的快速发展，物流配送中心在供应链管理中的地位日益凸显。选址优化作为物流配送中心运营的关键因素，直接影响着物流成本、服务质量和运营效率。因此，针对物流配送中心选址优化模型及算法的研究具有重要的理论和实践价值。

求解一类非线性双层规划问题的改进层次型遗传算法

求解一类非线性双层规划问题的改进层次型遗传算法苏凯;牛玉广【摘要】针对既有的层次型遗传算法不适用于求解上、下层决策空间均离散分布的双层规划问题,提出一类改进的层次型遗传算法.该算法采用同一种群分别在上、下层进化,再合并种群进行优势解挑选,形成新种群,并将之传递至另一层进行计算,直至满足循环终止条件.改进工作解决了既有的层次型算法选择压力难以调整,且只能应用于上、下层具有相同变量的双层规划问题.【期刊名称】《广东电力》【年(卷),期】2012(025)012【总页数】6页(P61-65,99)【关键词】双层规划;改进层次型遗传算法;选择压力【作者】苏凯;牛玉广【作者单位】广东电网公司电力科学研究院,广东广州510080;华北电力大学控制与计算机工程学院,北京102206【正文语种】中文【中图分类】TM715.3Bracken与McGill在1973年前后提出了约束条件中包含有优化目标的数学规划问题［1－3］，这被认为是双层规划问题的起源；1977年，Candler与Norton 正式提出双层规划与多层规划［4］，并在经济管理［5］、物流规划［6］、交通规划［7］、军事［8］、电力工业的能源选址规划与安全［9－10］等领域广泛应用。

双层规划包含上层规划与下层规划。

上层规划被称为“领导者”，下层规划被称为“追随者”［11］，“领导者”与“追随者”的决策相互制约。

双层规划问题的求解任务在于找到二者的纳什平衡解［12］。

双层规划一般分为线性与非线性两类。

针对线性双层规划问题，现有算法主要有极值点算法（包括极值点枚举算法与K 次最优法）［13］、分支定界算法［14］、互补性算法［15］、下降法［16］和惩罚函数法［17］。

然而，上述传统的数学方法在解决非线性双层规划问题时存在困难，遗传算法因其编码简便和搜索策略灵活而被用于解决各类非线性双层规划问题［18］。

既有的研究工作按照算法策略可分为如下两类：第一类是统一求解型。

双层规划

x的值影响下层决策
者。下层决策变量 y
是上层决策变量的函
数，即 yy(x),这
个函数一般被称为反
应函数。
与一般的数学规划不同，即使当 F, f ,G 和 g 都是连续函数，并且上下层的约束集合是有界闭的，双层规划也可能没有最优解。
假设上层选择了点 x ，那么下层面临的是以 x 为参数的简单最小值最优化问题。在有些情况下，对固定的 x ，下层对应的最优问题可能
• 例如，著名的推销员旅行问题（Travel Saleman Problem or TSP）：假设一个推销员需要从香港出发，经过广州，北京，上海，…，等 n 个城市，最后返回香港。任意两个城市之间都有飞机直达，但票价不等。假设公司只给报销 C 元钱，问是否存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而且总的路费小于 C？
g(x,y)0
设其最优解为 (x 2* , y 2* )
第三种情况：如果上下层决策者分别独立控制各自的决策变量，双层规划变为
minF(x,y) x
s.t. G(x,y)0
其中
minf (x,y) y
s.t. g(x,y)0
设其最优解为 (x 3* , y 3* ) 那么有下式存在：
有下式存在：
六、双层规划求解算法
一、极点搜索法（Extreme Point Search Method）：用于求解双层线性规划。基本观点：双层线性规划问题的任何解都出现在下层问题的约束集合的极点位置。因此，首先可以利用各种方法来寻找约束空间的极点（不要求寻找全部极点），然后从中再找出双层问题的局部最优解或全局最优解。
y0
该例的最优解在点D上达到，
y
即(x*, y=*()16,11)，

双层模型的典型问题描述

双层规划模型是一个数学模型，用于描述具有主从关系的两个决策者决策博弈的过程。

上层决策者首先做出决策，然后下层决策者做出最优决策并反馈给上层。

上层模型通常包含一些优化问题，需要找到某些参数的最优值。

而下层决策者则根据上层决策者的决策和自己的优化目标，选择最优的策略并反馈给上层决策者。

双层规划模型的应用非常广泛，例如在经济学、运筹学、交通规划等领域都有应用。

在经济学中，双层规划模型可以用于研究供需关系、市场均衡等问题。

在运筹学中，可以用于解决车辆路径问题、库存问题等。

在交通规划中，可以用于研究道路网络优化、交通流量分配等问题。

双层规划模型的求解算法是研究的重点之一。

由于双层规划问题具有复杂性，直接求解往往比较困难。

因此，需要采用一些特殊的算法来求解双层规划问题。

这些算法通常包括分层序列法、分支定界法、遗传算法等。

总之，双层规划模型是一种非常有用的数学工具，可以用于解决各种具有主从关系的决策问题。

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