江苏南京市2015-2016学年高一上学期期末调研数学试题
江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题(解析版)
2023—2024学年第一学期10月六校联合调研试题高三数学2023.10一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}|2,x A y y x ==∈R ，{}|ln(1)B x y x ==+，则A B = （ ）A. (1,)-+∞B. ∅C. RD. (0,)+∞【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数值域和对数函数定义域求出集合A ，B ，然后由交集运算可得.【详解】由指数函数性质可知，()0,A =+∞，由10x +>得1x >-，所以()1,B =-+∞，所以()()()0,1,0,A B ∞∞∞⋂=+⋂-+=+.故选：D2. 设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a q a a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．3. 下列求导正确的是（ ）A. ππsin sin cos sin 66x x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ B. ()()221221x x '⎡⎤+=+⎣⎦C. ()21log ln 2x x '= D. ()2222x x x x'+=+【答案】C 【解析】【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项.【详解】对于A ，()ππsin sin sin sin cos 66x x x ''⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，根据复合函数的求导法则，()()()()22122121421x x x x ''⎡⎤+=++=+⎣⎦，故B 错误；对于C ，()21log ln 2x x '=，故C 正确；对于D ，()()()22222ln 22x x x x x x '''+=+=+，故D 错误.故选：C.4. 已知角α终边上有一点5π5π(sin ,cos 66P ，则πα-是（ ）A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据5π6所在象限可判断点P 所在象限，然后根据对称性可得.【详解】因为5π6是第二象限角，所以5π5πsin0,cos 066><，所以点P 在第四象限，即角α为第四象限角，所以α-为第一象限角，所以πα-为第三象限角.故选：C5. 已知直线:10l x y λλ--+=和圆22:40C x y y +-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2B.C. 4D. 【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 过定点()1,1，再利用弦长公式即可得到最小值.【详解】():110l x y λ--+=，令1x =，则1y =，所以直线l 过定点()1,1，当1,1x y ==得22114120+-⨯=-<，则()1,1在圆内，则直线l 与圆必有两交点，因为圆心()0,2到直线l 的距离d ≤=，所以AB =≥故选：D .6. 已知样本数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +，631x +的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的方差为（ ）．A.467B.477C.487D. 7【答案】C 【解析】【分析】由均值、方差性质求数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为x ，方差为2s ，由3116x +=，299s =，得61156i i x x ===∑，2261(56)11i i x s ==-=∑，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的平均数为561267⨯+=，方差为()6221(6)1267ii x =-+-∑621(51)367ii x =--+=∑66211(5)2(5)16367ii i i x x ==---+⨯+=∑∑66211(5)21027ii i i x x ==--+=∑∑26261024877s x -⨯+==．故选：C7. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x -=-+，则下列说法正确的是（ ）A 3522f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 函数()f x 的一个周期为2C. ()20230f =D. 函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】C.【解析】【分析】根据已知等式判断函数的对称性，结合偶函数的性质判断函数的周期，最后逐一判断即可.【详解】()()11,f x f x -=-+∴ 函数()f x 关于点()1,0中心对称，因此选项D 不正确；又因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，由()()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x f x -=-+⇒+=--=-⇒+=，所以函数()f x 的周期为4，所以选项B 不正确；因为函数()f x 是周期为4的偶函数，所以355222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此选项A 不正确；在()()11f x f x -=-+中，令0x =，得()10f =，因为函数()f x 的周期为()()()()4,20233110f f f f ∴==-==，因此选项C 正确，故选：C8. 已知点,M N 是抛物线24y x =上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足23MFN π∠=，弦MN 的中点P 到直线1:16l y =-的距离记为d ，若不等式22λ≥MN d 恒成立，则λ的取值范围（ ）A. (-∞ B. (],2-∞C. (,1-∞+ D. (],3-∞【答案】D 【解析】【分析】令||,||MF a NF b ==，利用余弦定理表示出弦MN 的长，再利用抛物线定义结合梯形中位线定理表示出d ，然后利用均值不等式求解作答.【详解】在MFN △中，令||,||MF a NF b ==，由余弦定理得222||||||2||||cos MN MF NF MF NF MFN =+-⋅∠，则有222||MN a b ab =++，显然直线1:16l y =-是抛物线24y x =的准线，过,,M P N 作直线l 的垂线，垂足分别为,,A B C ，如图，而P 为弦MN 的中点，PB 为梯形MACN 的中位线，由抛物线定义知，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+，因此22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++，当且仅当a b =时取等号，又不等式22λ≥MN d 恒成立，等价于22MN dλ≤恒成立，则3λ≤，所以λ的取值范围是(,3]-∞.故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9. 设复数z 满足3i 1z z +=--，则下列说法错误的是（ ）A. z 为纯虚数B. z 的虚部为2iC. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限D. ||z【答案】ABC 【解析】【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数z ，再对选项一一判断即可得出答案.【详解】设复数i z a b =+，由3i 1z z +=--得()3i 1z z +=--，则()()()()22i 31i i 3i i 33i 4i 2=2i 11i 1i 1i 1i 2z -----+-====-++--，故A错误；z 的虚部为2，故B 错误；复平面内，z 对应的点为()1,2--，z 对应的点位于第三象限，故C 错误；z ==D 正确.故选：ABC .10 已知向量()1,3a =-，(),2b x = ，且()2a b a -⊥ ，则（ ）A. ()1,2b =B. 225a b -=C. 向量a 与向量b的夹角是45 D. 向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式求出向量b判断A ，利用向量模的坐标运算判断B ，利用数量积的夹角坐标公式求解判断C ，利用数量积的几何意义求解判断D.【详解】因为向量()1,3a =- ，(),2b x = ，所以()212,1a b x -=---，由()2a b a -⊥ 得1230x +-=，解得1x =，所以()1,2b =，故A 正确；又()23,4a b -=-r r ，所以25a =r ，故B 错误；设向量a 与向量b的夹角为θ，因为()1,3a =- ，()1,2b = ，所以cos a b a bθ⋅===⋅ ，又0180θ≤≤ ，所以45θ= ，即向量a 与向量b的夹角是45 ，故C 正确；向量a 在向量b上的投影向量坐标是()1,2a b b b b b⋅⋅==，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>，下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的值域为[]22-,B. 若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值为2πωC. 若函数()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.D. 若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，则ω的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】化简()f x 的解析式，根据三角函数的值域、最值、周期、单调性、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，可知其值域为[]22-,，故选项A 正确；若存在12,x x ∈R ，使得对x ∀∈R 都有()()()12f x f x f x ≤≤，所以12x x -的最小值为π2T ω=，故选项B 错误；函数()f x 的单调递增区间为πππ2π2π232k x k ω-≤+≤+，()5ππ2π2π66,Z k k x k ωω⎡⎤-+⎢⎥∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以5π2ππ66π2ππ63k k ωω⎧-⎪≤-⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，令0k =，则10,2ωω<≤∴的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选项C 正确；若函数()f x 在区间()0,π上恰有3个极值点和2个零点，πππ,π333x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，由如图可得：5ππ138π3π2363ωω<+≤⇒<≤，ω∴的取值范围为138,63⎛⎤⎥⎝⎦，故选项D 正确；故选：ACD12. 已知函数()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，则下列说法正确的是（ ）A. 当0a >时，()f x 在(1,)+∞上单调递增B. 若()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，则实数34a =C. 当10a -<<时，()f x 不存在极值D. 当0a >时，()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且121=x x 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，利用导数即可判断；对于B ，根据导数的几何意义可判断；对于C ，取12a =-，根据导数判断此时函数的单调性，说明极值情况，即可判断；对于D ，结合函数单调性，利用零点存在定理说明()f x 有且仅有两个零点12,x x ，继而由()0f x =可推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，即可证明结论，即可判断.【详解】因为()()()1ln R 1a x f x x a x +=-∈-，定义域为{|0x x >且1}x ≠，所以()()2121af x x x '=+-，对于A ，当0a >时，()0f x '>，所以()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，故A 正确；对于B ，因为直线250x y +-=的斜率为12-，又因为()f x 的图象在2x =处的切线与直线250x y +-=垂直，故令1(2)222f a '=+=，解得34a =，故B 正确；对于C ，当10a -<<时，不妨取12a =-，则()()()222113111x x f x x x x x -+'=-=--，令()0f x '=，则有231=0x x -+，解得123322x x =-=+，当0,32x ⎛∈- ⎝时，()0f x ¢>，()f x 在0,32⎛ ⎝上单调递增；当331,22x ⎛⎫⎛∈⋃+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝时，()0f x '<，()f x在33,1,22⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝上分别单调递减；所以此时函数有极值，故C 错误；对于D ，由A 可知，当0a >时，()f x 在(01),和(1,)+∞上单调递增，当1x >时，22(e )10e 1e 1aa aaf a a ⎛⎫=-+=-< ⎪--⎝⎭，()()()()313131313131e 1e 12e 311e 1e 1a a a a a a a f a a ++++++--+⎛⎫=+-+-=⎪-⎝⎭()()()31313131313e 1e 12e20e 1e 1a a a a a a a a +++++--+->=>--，所以()f x 在(1,)+∞上有一个零点，又因为当01x <<时，22(e 10e 1e 1aa a af a a --⎛⎫--+=> ⎪--⎝⎭=) ，()1313313122e e311311e 11e a a a a f a a a a -+---+⎛⎫⎛⎫=---+=---+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()()3131313131311e e 11e 311e 1e a a a a a a a a a ++++++-+++=---⋅=---()()31313131e e 11e a a a a a +++-++=--()3131313122e 42e01e e 1a a a a a a a ++++--=-=<--，所以()f x 在(01),上有一个零点，所以()f x 有两个零点，分别位于(01),和(1,)+∞内；设1201x x <<<，令()0f x =，则有()1ln 01a x x x +-=-，则1f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11111ln ln ln 1111x a a a x x x x x x x x x x⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭-=--=-+---()1[ln ]01a x x x +=--=-，所以()0f x =的两根互为倒数，所以121=x x ，故D 正确．故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数知识的应用，综合性较，解答的难点在于选项D 的判断，要结合函数的单调性，利用零点存在定理判断零点个数，难就难在计算量较大并且计算复杂，证明121=x x 时，要注意推出10f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而证明结论三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为______．【答案】240【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可.【详解】在()5+2x 的展开式中，3x 的系数为325C 2=40⋅；在()41y -的展开式中，2y 的系数为224C 1=6⋅；所以在()()54+21x y -的展开式中，32x y 的系数为32254C 2C =240⋅；故答案为：24014. 2023年杭州亚运会招募志愿者，现从某高校的6名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有_______种.【答案】80【解析】分析】应用排列组合知识及计数原理可得答案.【详解】先从甲、乙之外的4人中选取1人担任语言服务工作，再从剩下的5人中选取2人分别担任人员引导、应急救助工作，则不同的选法共有1245C A 454=⨯⨯80=种.故答案为：80.15. 已知22,1()e ,1xx x f x x ->-⎧=⎨≤-⎩，若a b <，()()f a f b =，则实数2a b -的取值范围是______．【【答案】(1,3e ⎤-∞--⎥⎦【解析】【分析】作出函数图象，设()()t f a f b ==，数形结合可知t 的范围，2a b -转化为关于t 的函数，利用导数求最值即可.【详解】作函数()f x 图象，如图，设()()t f a f b ==，则10et <≤，e ,,2e 1112a b a b +<∴≤-<≤ ，又()(),e 22af a t f b b t ===-= ，()1ln 2,2a t b t ∴==+，2ln 2a b t t ∴-=--，设()()110,,1ln 21e t g t t t t g t t t -'=--<≤=-=，当10et <≤时，()0g t '>，函数()g t 为增函数，()1111ln 23e e e e g t g ⎛⎫∴≤=--=-- ⎪⎝⎭，即实数2a b -的取值范围是(1,3e ⎤-∞--⎥⎦故答案为：(1,3e ⎤-∞--⎥⎦16. 在正三棱锥A BCD -中，底面BCD △的边长为4，E 为AD 的中点，AB CE ^，则以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线长为________．π【解析】【分析】首先证明,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的圆心角，则计算出其弧长，即可得到交线长.【详解】记CD 中点为F ，作AO ⊥平面BCD ，垂足为O ，由正三棱锥性质可知，O 为正三角形BCD 的中心，所以O 在BF 上，因为CD ⊂平面BCD ，所以AO CD ⊥，由正三角形性质可知，BF CD ⊥，又BF AO O ⋂=，,BF AO ⊂平面ABO ，所以CD ⊥平面ABO ，因为AB ⊂平面ABO ，所以AB CD ⊥，又,,,CE AB CE CD C CE CD ⊥⋂=⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，因为AC ⊂平面ACD ，所以AC AB⊥由正三棱锥性质可知，,,AC AB AD 两两垂直，且AB AC AD ==，则AD ==，如图，易知以D 为球心，AD 为半径的球截该棱锥各面所得交线，是以D 为圆心，AD 为半径的三段圆弧，则π4ADC ADB ∠=∠=，π3BDC ∠=，则其圆心角分别为πππ,,443，所以其交线长为πππ443⨯⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的判定与性质得到,,AC AB AD 两两垂直，再求出所对应的三段弧长即可得到交线长.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足52215a a =+，981S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】（1）21n a n =- （2）129928n n n +--+【解析】【分析】（1）利用等差数的性质，结合通项公式与前项和公式即可得解；（2）利用分组求和差，结合等差数列与等比数列的前项和公式即可得解.【小问1详解】（1）设数列等差数列{}n a 的公差为d ，因为981S =，所以()59199812a a a +==，则59a =，因为52215a a =+，即21815a =+，所以23a =，所以52932523a a d --===-，121a a d =-=，所以()112n a n =+-⨯，即21n a n =- .【小问2详解】因为,3,n n n a n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以21,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以()()()24221353433nn T n =++++⋅⋅⋅+-+()()2421543333n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()231919n ⨯-=+-129928n n n +-=-+．18. 已知函数()ππsin 2cos sin 122f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,（1）求函数()f x 的最值；（2）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2f A =，2b =，且2sin sin B C A +=，求ABC 的面积．【答案】（1）最大值为2，最小值为2-（2【解析】【分析】(1)把()f x 化为“一角一函数”的形式：先用诱导公式把角化为x ，再用二倍角公式把二次项化为一次项，同时把角化为2x ，最后用辅助角公式把函数名化为正弦，即可求出函数的最值；(2)先求出角A ，由余弦定理得到关于,a c 的方程，再由正弦定理把已知的方程化简为含,a c 的方程，联立方程组即可解出,a c 的值，再代入三角形的面积公式即可.【小问1详解】因为()sin 2cos sin 122f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2cos 12cos 2x x x x x=-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为2，最小值为2-．【小问2详解】结合(1)可知()2sin 226f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为()0,A π∈，所以112,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则263A A ππ-==．由余弦定理得2222241cos 242b c a c a A bc c +-+-===，化简得2224a c c =-+①．又2sin sin B C A +=，由正弦定理可得2b c +=，即4c +=②．结合①②得3a c ==或23a c ==．3c =时，1sin 2ABC S bc A == 23c =时，1sin 2ABC S bc A ==△．综上，ABC ．19. 在三棱锥S ABC -中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA SC ==，M 、N 分别为AB SB 、的中点．（1）证明：AC SB ⊥；（2）求二面角N CM B --正弦值的大小.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AC 得中点O ，得SO AC ⊥，BO AC ⊥，可知AC ⊥平面SBO ，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CMN 与平面MBC 的法向量，根据向量的夹角公式求解.【小问1详解】取AC 得中点O ，连接SO ，OB ，SA SC = ，AB BC =，SO AC ∴⊥，BO AC ⊥，又SO ，BO 交于点O ，SO ⊂平面SBO ，BO ⊂平面SBO ，于是可知AC ⊥平面SBO ，又SB ⊂平面SBO ，AC SB ∴⊥；【小问2详解】∵平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC 平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ，SO AC ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,那么(00)(200)(000)(0B C S M N -,,,,,,,,,，∴(30),(10CM MN ==- ,，设(),,n x y z = 为平面CMN 的一个法向量，那么30=0CM n x MN n x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅-+=⎪⎩ ，取1z =，那么==x y ，∴n = ，又(0,0,OS = 为平面MBC一个法向量，的1cos ,3n OS n OS n OS ⋅∴==，sin ,n OS ∴= ，即二面角N CM B --.20. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A 中甲班每一局获胜的概率为23，在项目B 中甲班每一局获胜的概率为12，且每一局之间没有影响．（1）求甲班在项目A 中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）6481（2）分布列见解析，209162【解析】【分析】（1）记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在项目B 中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X 的分布列，即可算出期望【小问1详解】记“甲班在项目A 中获胜”为事件A ，则()222223422221221264C C 33333333381P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以甲班在项目A 中获胜的概率为6481【小问2详解】记“甲班在项目B 中获胜”为事件B ，则()34522341111C C 2222P B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，X 的可能取值为0，1，2，则()()()()171170812162P X P AB P A P B ====⨯=，()()()()64132281281P X P AB P A P B ====⨯=，()()()111022P X P X P X ==-=-==．所以X 的分布列为X 012P 17162123281()17132209012162281162E X =⨯+⨯+⨯=．所以甲班获胜的项目个数的数学期望为20916221. 已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设1a <-.如果对任意12,(0,)x x ∈+∞，()()12124f x f x x x -≥-，求a 的取值范围．【答案】（1）当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，f (x )在（0，+∞）（2）a ≤－2【解析】【详解】（1） f (x )的定义域为(0，+∞)，2121()2a ax a f x ax x x '+++=+=.当a ≥0时，()f x '＞0，故f (x )在(0，+∞)单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0， 故f (x )在(0，+∞)单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x .当x ∈(0)时，()f x '＞0；x ∈，+∞)时，()f x '＜0， 故f (x )在（0，+∞）单调减少.（2）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f (x )在（0，+∞）单调减少.所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于21()()f x f x -≥4x 1－4x 2，，即f (x 2)+ 4x 2≥f (x 1)+ 4x 1.令g (x )=f (x )+4x ，则1()2a g x ax x +'=++4＝2241ax x a x+++.于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而g (x )在（0，+∞）单调减少，故g (x 1) ≤g (x 2)，即f (x 1)+ 4x 1≤f (x 2)+ 4x 2，故对任意x 1，x 2∈(0，+∞) ，1212()()4f x f x x x -≥-22. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>过点(4,3)A，离心率e =.（1）求双曲线C 的方程；（2）过点(1,0)B 的直线l 交双曲线C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线1x =于点P ，Q ，求||||PB QB 的值.【答案】（1）22143x y -= （2）||=1||PB QB 【解析】【分析】（1）根据已知列关于a ,b ,c 的方程组求解即可；（2）直线联立双曲线方程，写出直线MA ，NA 的方程，然后可得点P ，Q 坐标，将比值问题转化为纵坐标关系，利用韦达定理可得0P Q y y +=，然后可得.【小问1详解】由题知222221691a b c a a b c⎧-=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =，27c =，22143y x ∴-=；【小问2详解】.设直线:(1)l y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，则2222(34)84120k x k x k -+--=，则2=144144k ∆-，2122834k x x k -+=-，212241234k x x k --=- ，设直线113:3(4)4y MA y x x --=--，223:3(4)4y NA y x x --=--，令1x =，113334P y y x -=--，223334Q y y x -=--，则12123363()44P Q y y y y x x --+=-+--，因为121212121233(3)(4)(4)(3)44(4)(4)y y y x x y x x x x ----+--+=----1212122(35)()8(3)=(4)(4)kx x k x x k x x -++++--222222222(412)(35)(8)8(3)(34)7272==2(412)4(8)16(34)3636k k k k k k k k k k k ---+-++--=----+--所以12123363()=044P Q y y y y x x --+=-+--，B 为PQ 的中点，所以||=1||PB QB .【点睛】本题难点在于能将所求转化为证明0P Q y y +=的问题，可以通过取特殊方程求解，然后进行合理推测，或者尽量标准作图，通过图象进行猜测，从而确定求解方向.。
高三数学上学期期末试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．805．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．226．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．87．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．129．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．5010．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ=．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m=．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．2015-2016学年某某省某某市正定中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则∁U（M∩N）=（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x≥3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|x≤﹣1或x≥3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出M∩N，从而求出M∩N的补集即可．【解答】解：集合M={x|x＜3}，N={x|x＞﹣1}，全集U=R，则M∩N={x|﹣1＜x＜3}，则∁U（M∩N）={x|x≤﹣1或x≥3}，故选：D．2．已知=1+i，则复数z在复平面上对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解： =1+i，∴=（3+i）（1+i）=2+4i，∴z=2﹣4i，则复数z在复平面上对应点（2，﹣4）位于第四象限．故选：D．3．已知函数f（x）=（1+cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【分析】用二倍角公式把二倍角变为一倍角，然后同底数幂相乘公式逆用，变为二倍角正弦的平方，再次逆用二倍角公式，得到能求周期和判断奇偶性的表示式，得到结论．【解答】解：∵f（x）=（1+cos2x）sin2x=2cos2xsin2x=sin22x==，故选D．4．等比数列{a n}中，a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8=（）A．9 B．100 C．135 D．80【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得等比数列的公比q，而7+a8=（a1+a2）q6，代值计算可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∴q2===，∴a7+a8=（a1+a2）q6=40×=135，故选：C．5．设函数f（x）=，则f（﹣98）+f（lg30）=（）A．5 B．6 C．9 D．22【考点】函数的值．【分析】利用分段函数的性质及对数函数性质、运算法则和换底公式求解．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣98）=1+lg100=3，f（lg30）=10lg30﹣1==3，∴f（﹣98）+f（lg30）=3+3=6．故选：B．6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B． C． D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，底面为直角梯形，高为侧视图三角形的高．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，棱锥底面为俯视图中的直角梯形，棱锥的高为侧视图中等腰三角形的高．∴四棱锥的高h==2，∴棱锥的体积V==4．故选A．7．过三点A（1，2），B（3，﹣2），C（11，2）的圆交x轴于M，N两点，则|MN|=（）A． B． C． D．【考点】圆的一般方程．【分析】设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），求出b，r，利用勾股定理求出|MN|．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣6）2+（y﹣b）2=r2，代入A（1，2），B（3，﹣2），可得，解得：b=2，r=5，所以|MN|=2=2，故选：D．8．根据如图所示程序框图，若输入m=42，n=30，则输出m的值为（）A．0 B．3 C．6 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，r=12，m=30，n=12，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，r=6，m=12，n=6，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，r=0，m=6，n=0，满足退出循环的条件；故输出的m值为6，故选：C；9．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）A．60B．50C．60D．50【考点】球内接多面体．【分析】求出△ABC的外接圆的半径，可得O到平面ABC的距离，计算△ABC的面积，即可求出四面体OABC的体积．【解答】解：∵AB=12，AC=BC=12，∴cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴△ABC的外接圆的半径为=12，∴O到平面ABC的距离为5，∵S△ABC==36，∴四面体OABC的体积是=60．故选：A．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：对于选项A，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A错误；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10，故消耗8升汽油，故C错误，对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确．11．已知双曲线E： =1（a＞0，b＞0）的左，右顶点为A，B，点M在E上，△ABM 为等腰三角形，且顶角θ满足cosθ=﹣，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，得出|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，进而求出点M的坐标，再将点M代入双曲线方程即可求出离心率．【解答】解：不妨取点M在第一象限，如右图：∵△ABM是顶角θ满足cosθ=﹣的等腰三角形，∴|BM|=|AB|=2a，cos∠MBx=，∴点M的坐标为（a+，2a•），即（，），又∵点M在双曲线E上，∴将M坐标代入坐标得﹣=1，整理上式得，b2=2a2，而c2=a2+b2=3a2，∴e2==，因此e=，故选：C．12．设函数f′（x）是偶函数f（x）（x∈R）的导函数，f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，并且当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0．则使得f（x）＜0成立的x的取值X围是（）A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） C．（﹣1，1）D．（﹣2，2）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的性质．【分析】令g（x）=xf（x），判断出g（x）是R上的奇函数，根据函数的单调性以及奇偶性求出f（x）＜0的解集即可．【解答】解：令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，1）递减，而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），∴g（x）在R是奇函数，∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，如图示：，x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，综上：x∈（﹣2，2），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设向量，是相互垂直的单位向量，向量λ+与﹣2垂直，则实数λ= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直，令数量积为零列方程解出．【解答】解：∵向量，是相互垂直的单位向量，∴=0，．∵λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ﹣2=0．解得λ=2．故答案为2．14．若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=x可得．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图△ABC及内部），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（2，0）时，截距取最小值，z取最大值，代值计算可得z的最大值为2，故答案为：2．15．已知对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，则m= 0 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的等式中，分别令x=1、x=﹣1，可得2个等式，再结合a1+a3+a5+a7=32，求得m的值．【解答】解：对任意实数x，有（m+x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，若a1+a3+a5+a7=32，令x=1，可得（m+1）（1+1）6=a0+a1+a2+…+a7①，再令x=﹣1，可得（m﹣1）（1﹣1）6=0=a0﹣a1+a2+…﹣a7②，由①﹣②可得 64（m+1）=2（a1+a3+a5+a7）=2×32，∴m=0，故答案为：0．16．已知数列{a n}满足a1=1，a n=（n≥2），其中S n为{a n}的前n项和，则S2016=．【考点】数列的求和．【分析】通过对a n=（n≥2）变形可知2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，进而可知数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论．【解答】解：∵a n=（n≥2），∴2=2S n a n﹣a n，∴2﹣2S n a n=S n﹣1﹣S n，即2S n S n﹣1=S n﹣1﹣S n，∴2=﹣，又∵=1，∴数列{}是首项为1、公差为2的等差数列，∴S2016==，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…即，故．…（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…由余弦定理得．所以．…18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD．（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）设AA1=2，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由题目条件结合勾股定理，即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，代入运用公式进行计算即可得出答案．【解答】（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．∵D为AA1的中点，∴DC=DC1．又，可得，∴DC1⊥DC．而DC1⊥BD，DC∩BD=D，∴DC1⊥平面BCD．∵BC⊂平面BCD，∴DC1⊥BC．…（2）解：由（1）知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，∴CA，CB，CC1两两垂直．以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C﹣xyz．由题意知，，．则，，．设是平面BDC1的法向量，则，即，可取．设点P到平面BDC1的距离为d，则．…12分19．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．（i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；（ii）若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95物理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95根据上表数据，用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值b=，a=，是与x i对应的回归估计值．参考数据：≈457，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据分层抽样原理计算，使用组合数公式得出样本个数；（II）（i）使用乘法原理计算；（ii）根据回归方程计算回归系数，得出回归方程．【解答】解：（I）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（II）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有种．故所求的概率．（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84.875﹣0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是．20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足，当P 在圆上运动时，点M形成的轨迹为曲线E（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；（Ⅱ）分类讨论，设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．【解答】解：（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，所以x2+4y2=4，即…..（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．设C（x1，y1），D（x2，y2），则．…△=（16k）2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．…．①，…②．…又由，得，将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足）．所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；（Ⅱ）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1）即可；（Ⅱ）问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣+，∴…（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，即对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．…，，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）（x＞0）则，所以ϕ（x）在（0，+∞）上连续递增．…又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，所以ϕ（x）存在唯一零点x0，且满足x0∈（2，3），x0=1+ln（x0+1）．…由x＞x0时，ϕ（x）＞0，h'（x）＞0；0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：h（x）的最小值为．所以正整数k的最大值为3．…请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求证：BE=EF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA，从而求得AC的长；（II）欲求证：“BE=EF”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．【解答】解：（I）∵PA2=PC•PD，PA=2，PC=1，∴PD=4，…又∵PC=ED=1，∴CE=2，∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，∴△PAC∽△CBA，∴，…∴AC2=PC•AB=2，∴…证明：（II）∵，CE=2，而CE•ED=BE•EF，…∴，∴EF=BE．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tanα的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，所以，所以，或，即或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R．（Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，某某数a的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=﹣时，根据f（x）=的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥|a﹣|，可得|a﹣|≥a，由此解得a的X围．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=|x﹣|+|x+|=的最小值为3，∴lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，∴lnf（x）＞1成立．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣（x﹣a）|=|a﹣|，再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a﹣|≥a，∴a﹣≥a，或 a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．。
2015-2016学年江苏省泰兴中学高一上学期期末适应性考试数学试题
江苏省泰兴中学期末适应性考试高一数学试题(考试时间：120分钟 总分160分) 命题人:常建伟 审核人:徐建余一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．240sin 的值为 ▲ ． 2．函数y =的定义域为 ▲ ． 3．已知幂函数．．．)(x f y =的图象过点)22,2(，则(2)f = ▲ ． 4．若函数4()(1)1f x x m x =+-+为偶函数，则实数m 的值为 ▲ ． 5．已知扇形的中心角为120，则此扇形的面积为 ▲ ． 6．将函数3sin 2y x =的图象向右平移6π个单位后所得图象的函数解析式是 y = ▲ ．7．=++3285lg 24lg ▲ ．8．在平面直角坐标系xoy 中，已知以x 轴为始边的角α、β的终边分别经过点(4,3)-、(3,4)，则cos sin αβ+= ▲ ．9．函数2()2f x x x =++的单调增区间是 ▲ ．10．如图，在44⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向 量m,n,p 满足x +y =p m n （x ,y ∈R ），则y x +4的 值为 ▲ ．11．若函数2()2(1)f x x ax b a =-+>的定义域与值域都是[1,]a ，则实数b = ▲．12．定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数6cos y x =的图像与9tan y x =的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与sin y x =的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 ▲ 。
第10题图13．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若4,6AC AB == ，则HG BC ⋅ 的值为 ▲ ．14．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解．．．，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知集合{}26,A x x x R =≤≤∈，{}15,B x x x R =-<<∈，全集U R =． （1）求()U A C B ；（2）若集合{},C x x a x R =<∈，A C =∅ ，求实数a 的取值范围．(3) 若集合{}121,D x m x m x R =+<<-∈,B D ≠∅ ,求实数m 的取值范围.16．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示．(1)求,A ω的值；(2)求()f x (3)求()f x 在区间17．（本小题满分15分）设02απβπ<<<<，向量(1,2),(2cos ,sin ),a b αα=-=(sin ,2cos ),(cos ,2sin )c d ββββ==-⑴ a b ⊥，求α；⑵若||c d +=sin cos ββ+的值；⑶ 若tan tan 4αβ=，求证：//b c.18．（本小题满分15分）噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明， 声音强度D （分贝）由公式lg D a I b =+(a b 、为非零常数)给出，其中)/(2cm W I 为声音能量. （1）当声音强度321,,D D D 满足32132D D D =+时，求对应的声音能量321,,I I I 满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为213/10cm W -时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为212/10cm W -时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.19．（本小题满分16分）若函数()f x 在定义域D 内某区间I 上是增函数，而()()f x F x x=在I 上是减函数，则称()y f x =在I 上是“弱增函数”.（1）请分别判断()f x =4x +，2()42g x x x =++在(1,2)x ∈是否是“弱增函数”， 并简要说明理由；（2）若函数21()(sin )2h x x x b θ=+-+( b θ、是常数) (i)若θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,10,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦求()h x 的最小值.(用 b θ、表示); (ii)在x ∈ (0 1]，上是“弱增函数”，试探讨θ及正数b 应满足的条件,并用单调性的定．．．．．义证明．．．。
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题 含答案
高一（下）期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P(1，－2），则sin2α＝．4．在△ABC中，若AC＝错误!，∠A＝45°,∠C＝75°，则BC＝．5．在△ABC中,若sin A︰sin B︰sin C＝3︰2︰4，则cos C＝．6．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6＝．7．若等比数列｛a n}满足a1＋a3＝5，a3＋a5＝20，则a5＋a7＝．8．若关于x的不等式ax2＋x＋b＞0的解集是（－1，2）,则a＋b ＝．9．若关于x的不等式1＋错误!≤0的解集是［－2，1)，则k＝．10．若数列{a n｝满足a11＝错误!,错误!－错误!＝5(n∈N*)，则a1＝．11．已知正数a，b满足错误!＋错误!＝2，则a＋b的最小值是．12．下列四个数中，正数的个数是．①错误!－错误!，a＞b＞0，m＞0;②(n＋3＋错误!)－（错误!＋错误!),n∈N*;③2(a2＋b2)－（a＋b) 2,a,b∈R；④错误!－2，x∈R.13．在斜三角形ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c,若错误!＋tan Ctan B＝1,则错误!＝．14．若数列{a n}的前n项和S n＝2n，则a1＋2 a2＋3 a3＋…＋n a n＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)设f（x)＝x2－(t＋1)x＋t （t，x∈R）．（1)当t＝3时，求不等式f（x)＞0的解集；(2)已知f(x)≥0对一切实数x成立,求t的值．16．(本题满分14分)设函数f（x）＝2cos2 x＋2错误!sin x cos x(x∈R)．(1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在0＜x≤错误!的条件下，求f(x）的取值范围．17．(本题满分14分)在△ABC中,a,b,c分别为角A，B，C的对边，且cos（B－C）－2sin B sin C＝－错误!。
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题及参考答案
2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列图形中，表示⊆M N 的是 （ ▲ ）2.120cos ︒= （ ▲ ） A.12-B.12C.32-D.223.下列命题正确的是 （ ▲ ）A ．向量AB 与BA 是两平行向量；B ．若,a b 都是单位向量,则a b =；C ．若AB =DC ,则A B CD 、、、四点构成平行四边形； D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同. 4.45154515cos cos sin sin ︒︒-︒︒= （ ▲ ）A.22 B.32C.12D.12-5.如图，在ABC ∆中，D 是AC 的中点，向量AB a =，AC b =，那么向量BD 可表示为 （ ▲ ） A.b a 1122- B.a b 12-C.b a 12-D.a b 12-6.函数2212()()=+-+f x x a x 在区间(],4-∞上是递减的，则实数a 的取值范 （ ▲ ） A.3≤-a B.3≥-a C.5≤a D.5≥a 7.已知指数函数()xf x a =和函数2()g x ax =+，下列图象正确的是 （ ▲ ）A. B. C. D.8.已知平面向量,a b ，8a =||，4||=b ，且,a b 的夹角是150︒，则a 在b 方向上的射影是 （ ▲ ）A.4-B.43-C.4D.439.要得到函数2sin 2=y x 的图像，只需将2sin(2)6π=-y x 的图像 （ ▲ ）A.向右平移6π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移6π个单位D.向左平移12π个单位10.若平面向量(3,4)b =与向量(4,3)a =，则向量,a b 夹角余弦值为 （ ▲ ）A.1225 B. 1225- C. 2425- D.2425 11.设()338x f x x =+-,用二分法求方程(),338012xx x +-=∈在内近似解的过程中得()()(),.,.,101501250f f f <><则方程的根落在区间 （ ▲ ）A ．(,.)1125B ．(.,.)12515C ．(.,)152D ．不能确定12.若函数tan ,0(2)lg(),0x x f x x x ≥⎧+=⎨-<⎩，则(2)(98)4f f π+⋅-= （ ▲ ）A.12B.12- C.2 D.2-二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13.函数212()log ()=-f x x 的定义域是 ▲ ．14.有一半径为4的扇形，其圆心角是3π弧度，则该扇形的面积是 ▲ ． 15.已知平面向量(4,3)a =-和单位向量b ，且b a ⊥，那么向量b 为 ▲ ． 16.关于函数sin (()42)3f x x ＝＋π，(R)x ∈有下列命题： ①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =可改写为cos (6)42y x ＝-π； ③()y f x =的图象关于(0)6-，π对称； ④()y f x =的图象关于直线6x =-π对称； 其中正确的序号为 ▲ ．M N D.N M C. M N B. MN A. o 2 1 y x2 1 oy x2 1 oyx2 1 oy xD C AB 第5小题三、解答题（共6小题，共计70分） 17.化简或求值：(1)log lg lg 223212732548--⨯++ (2)已知3sin ,054x x =<<π,求cos 2cos()4xx +π. 18.已知全集U R =，集合{}A x x =<<17，集合{}B x a x a 125=+<<+，若满足A B B =，求 （1）集合U C A ；（2）实数a 的取值范围．19.若平面向量(1,2)a =，(3,2)b =-， k 为何值时: （1）()(3)ka b a b +⊥-；（2）//()(3)ka b a b +-？20.设函数()2sin(2)(0)f x x =+<<ϕϕπ，()y f x =图象的一个对称中心是(,0)3π.（1）求ϕ；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在(0,)2x ∈π的图象；（3）求函数()1()f x x R ≥∈的解集21.已知函数2()3sin 22cos f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)将()f x 的图象向右平移12π个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式．22.已知定义域为R 的函数2()21x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学试题参考答案一、选择题（该大题共12小题，每小题5分，共计60分）CAACC ADBDD BC二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 2{|>x x ,且3}≠x 或者填(2,3)(3,)+∞ ．14.83π. 15.34(,)55和 34(,)55--.16. ② ③ .三、解答题（共6小题，共计70分） 17.（本小题满分8分） 解：（1）原式=()lg lg 2193549-⨯-++=()lg 1931009-⨯-+=()19329-⨯-+=1113（2）3sin ,054x x π=<<2cos 1sin xx ∴=-=45227cos 2cos sin cos sin 72552222cos()cos sin 42222x x x x x x x x π-+∴====+-18.（本小题满分10分）解；（1）(,][,)U C A =-∞+∞17（2）A B B =B A ∴⊆（i ）当B φ=时，由a a 251+≤+得a 4≤-（ii ）当B φ≠时，由a a a a 11257125+≥⎧⎪+≤⎨⎪+<+⎩解得a 01≤≤a ∴的取值范围是(,][,]401-∞-.19.（本小题满分12分） 解：（1）a b (1,2),(3,2)==- ka b k k (3,22)∴+=-+ a b 3(10,4)-=-()(3)ka b a b +⊥-(k 3)10(2k 2)(4)0∴-⨯++⨯-=解得 k 19=（2）由（1）及//()(3)ka b a b +-得(k 3)(4)(2k 2)100-⨯--+⨯=解得 1k 3=-20.（本小题满分14分） 解： （1）(,)π03是函数()y f x = 的图像的对称中心sin()πϕ∴⨯+=2203()k k Z πϕπ∴+=∈23()k k Z πϕπ∴=-∈23(,)πϕπϕ∈∴=03()sin()f x x π∴=+223（2）列表：（3）()f x ≥1即sin()x π+≥2213sin()x π+≥1232解得,k x k k Z πππππ+≤+≤+∈5222636亦即,k x k k Z ππππ-+≤≤+∈124所以，()f x ≥1的解集是[,],k k k Z ππππ-++∈12421.（本小题满分12分）解：（1）依题意，得f x x x =++()3sin 2cos 21x x =++312(sin 2cos 2)122x π=++2sin(2)16将()y f x =的图像向右平移12π个单位长度，得到函数f x x x ππ=-++=+1()2sin[2()]12sin 21126的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为π2，则得g x x =+()2sin 1 （2）函数f x ()的最小正周期为T π=，（3）当,k x k k Z πππππ-≤+≤-∈222262时，函数单调递增，解得,k x k k Zππππ-≤≤+∈36∴函数的单调递增区间为 [,],k k k Z ππππ-+∈36. 22.（本小题满分14分） 解：（1）由题设，需(),,()xxa f a f x +-==∴=∴=+112001212经验证，()f x 为奇函数，a ∴=1xπ12π3 π712 π56πx π+23 π3π2 ππ32π2π73 ()f x32-23（2）减函数.证明：任意,,,x x R x x x x ∈<∴->1212210由（1）得()()()()()x x x x x x x x f x f x --⨯--=-=++++2112212121121222212121212 ,x x x x x x <∴<<∴-<121212022220，()()x x ++>2112120()()f x f x ∴-<210所以，该函数在定义域R 上是减函数（3）由22(2)(2)0f t t f t k -+-<得f t t f t k -<--22(2)(2)()f x 是奇函数∴f t t f k t -<-22(2)(2)，由（2），()f x 是减函数. ∴原问题转化为t t k t ->-2222，即t t k -->2320对任意t R ∈恒成立.∴k ∆=+<4120，解得k <-13即为所求.。
2023-2024学年江苏省南京市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年江苏省南京市高一上册期末数学试题一、单选题1．函数()ln 1y x =+的定义域为（）A ．()1,+∞B ．()1,-+∞C ．[)1,-+∞D ．(),1-∞-【正确答案】B【分析】根据对数的真数大于零可得出关于x 的不等式，即可解得函数()ln 1y x =+的定义域.【详解】令10x +>，解得1x >-，故函数()ln 1y x =+的定义域为()1,-+∞.故选：B.2．“1x >”是“21x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为1x >，则21x >，但是21x >不一定有1x >，所以“1x >”是“21x >”成立的充分不必要条件．故选：A ．3．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.500.992.013.98y0.99-0.010.982.00则下列选项中对x ，y 最适合的拟合函数是（）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =-D ．2log y x=【正确答案】D【分析】根据所给数据，代入各函数，计算验证可得结论．【详解】解：根据0.50x =，0.99y =-，代入计算，可以排除A ；根据 2.01x =，0.98y =，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入检验，函数2log y x =最接近，可知满足题意故选：D ．本题考查了函数关系式的确定，考查学生的计算能力，属于基础题．4．《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A ．4B ．5C ．6D ．7【正确答案】C【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C5．已知函数()12cos ,0,0x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪≥⎩，则π3f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为（）AB．2C ．4D ．14【正确答案】B【分析】根据分段函数运算求解.【详解】由题意可得：πππ1cos cos 3332f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12π113222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.6．函数()2sin f x x x =的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数在()0,πx ∈时函数值的正负，从而得出结论．【详解】由函数()2sin f x x x =定义域为R ,()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-,故()2sin f x x x =为奇函数，故它的图像关于原点对称，可以排除C 和D ；又函数()2sin f x x x =在()0,πx ∈时,函数()2sin 0f x x x =>，可以排除B ，所以只有A 符合．故选:A ．7．在科学技术中，常常使用以e 2.71828...=为底的对数，这种对数称为自然对数.若取3e 20≈，7e 1100≈，则ln 55≈（）A ．73B ．113C ．4D ．6【正确答案】C【分析】根据题意结合指、对数运算求解.【详解】由题意可得.7431100e ln 55ln ln ln e 420e=≈==故选：C.8．函数()2log 4f x x x =+-的零点为1x ，函数()()()log 151a g x x x a =+-->的零点为2x ，若211x x ->，则实数a 的取值范围是（）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【正确答案】D【分析】根据函数单调性,再由211x x ->确定范围,即可确定实数a 的取值范围.【详解】已知()2log 4f x x x =+-,()()()log 151a g x x x a =+-->,函数()2log 4f x x x =+-的零点为1x ，函数()()()log 151a g x x x a =+-->的零点为2x ，则()12122log 4log 150a x x x x +-=+--=()12122log 41log 14a x x x x +-=-+--()12122log 1log 1a x x x x +=-+-121x x <-又因为2log y x x =+,()()log 111a y x x a =+-->这两函数均单调递增，当121x x <-时，()212log >log 1a x x -,解得2a >.故选:D.二、多选题9．已知角θ的终边经过点()()2,0P a a a >，则（）A ．sin θ=B ．cos θ=C ．1tan 2θ=D ．tan 2θ=【正确答案】AC【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角θ的终边经过点()()2,0P a a a >，所以sin θ=A 正确；cos θ=B 错误；1tan 22a a θ==，故C 正确，D 错误.故选：AC.10．若01m a b <<<<，则（）A ．a bm m <B ．m m a b <C ．log log m m a b >D ．b aa mb m>++【正确答案】BCD【分析】对于A ：构造函数()x f x m =，利用单调性判断；对于B ：构造函数()mg x x =，利用单调性判断；对于C ：构造函数()log m h x x =，利用单调性判断；对于D ：利用作差法比较大小.【详解】对于A ：因为01m <<，所以()xf x m =单调递减.因为a b <，所以a b m m >.故A 错误；对于B ：因为01m <<，所以()mg x x =单调递增.因为a b <，所以m m a b <.故B 正确；对于C ：因为01m <<，所以()log m h x x =单调递减.因为a b <，所以log log m m a b >.故C 正确；对于D ：因为()()()()()()220b a b a m b a b bm a am a m b m a m b m a m b m -+-+---==>++++++，所以b aa mb m>++.故D 正确.故选：BCD11．已知函数()1tan tan f x x x=+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的最小值为2D ．()f x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数【正确答案】AD【分析】先利用三角函数基本关系式化简得()2sin 2f x x=，再利用周期函数的定义与诱导公式即可判断A 正确；举反例即可排除B ；取特殊值计算即可判断C 错误；利用三角函数的单调性与复合函数的单调性即可判断D 正确.【详解】对于A ，因为()221sin cos sin cos 2tan tan cos sin sin cos sin 2x x x x f x x x x x x x x+=+=+==，设()f x 的正周期为T ，则()()f x T f x +=，即()22sin 2sin 2T x x=+，所以()sin 22sin 2T x x +=，由诱导公式可得22π,Z T k k =∈，即π,Z T k k =∈，又0T >，故π0k >，即0k >，则1k ≥，故ππT k =≥，所以T 的最小值为π，即()f x 的最小正周期为π，故A 正确；对于B ，因为ππ1ππ1tan 2,tan 2ππ4444tan tan 44f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，又π,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭与π,24⎛⎫⎪⎝⎭不关于y 轴对称，所以()f x 的图象关于y 轴对称，故B 错误；对于C ，因为π24f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2不是()f x 的最小值，故C 错误；对于D ，因为ππ42x <<，所以π2π2x <<，故sin 2y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且sin 20x >，又2y x=在()0,∞+上单调递减，所以()2sin 2f x x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故D 正确.故选：AD.12．已知函数()y f x =，对于任意,R x y ∈，()()()f x f x y f y =-，则（）A ．()01f =B ．()()22f x f x =C ．()0f x >D ．()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥【正确答案】ACD【分析】通过赋值法，取具体函数，基本不等式等结合已知条件分选项逐个判断即可.【详解】令()()()()001f x x y f f f x =⇒=⇒=，故A 正确；由已知()()()()()()()()()f x f x y f x f y f x y f x y f x f y f y =-⇒=-⇒+=，①令()()(),0,11,x f x a a =∈+∞ 满足题干要求，()()2222,,x xf x a f x a ==则()()22f x f x ≠，故B 错误；由①可知，令2x x y ==，则()2222x x x f x f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为()()()f x f x y f y =-，则02x f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，所以()202x f x f ⎡⎤⎛⎫=> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 正确；因为()0f x >，所以()()f x f y +≥=又由①，令2x y x y +==，则()2222x y x y x y f x y f f f ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()()22f x f y x y f ++⎛⎫⎪⎝⎭≥，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．函数2cos y x =的图象关于点_________中心对称.（写出一个正确的点坐标即可）【正确答案】π,02⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【分析】2cos y x =对称中心的横坐标满足ππ,Z 2x k k =+Î，取0k =得到【详解】2cos y x =对称中心的横坐标满足：ππ,Z 2x k k =+Î，取0k =得到对称中心为π,02⎛⎫⎪⎝⎭.故π,02⎛⎫⎪⎝⎭14．已知关于x 的不等式0ax b +>的解集为()3,-+∞，则关于x 的不等式20ax bx +<的解集为_________.【正确答案】()3,0-【分析】先根据不等式的解集可得,a b 的关系及a 的符号，再根据一元二次不等式的解法即可得解.【详解】由0ax b +>的解集为()3,-+∞，可得0a >，且方程0ax b +=的解为3-，所以3ba-=-，则3b a =，所以()222303030ax bx a x x x x x +=+<⇒+<⇒-<<，即关于x 的不等式20ax bx +<的解集为()3,0-.故答案为.()3,0-15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，且当[)0,4x ∈时，()2xf x m =+，若()()202331f f =，则m =___________.【正确答案】1【分析】由题意可得函数的周期为4，根据题意结合周期性可得答案.【详解】由()()4f x f x +=可得的函数()f x 周期为4，则()()()20235054338f f f m =⨯+==+，由()()202331f f =，则()832m m +=+，解得1m =.故1.四、双空题16．对于非空集合M ，定义()0,Φ1,x Mx x M ∉⎧=⎨∈⎩，若A ，B 是两个非空集合，且A B ⊆，则()()1A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦___________；若1sin 2A x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，(),2B a a =，且存在x R ∈，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_______________.【正确答案】513,,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】第一空分x A ∈，x B ∉和x A ∉且x B ∈三种情况来研究，第二空根据已知分析出a 的大致范围，最后列出不等式求解即可.【详解】A B ⊆即x A ∈则一定有x B ∈，所以分三段研究：x A ∈时，()1A x Φ=，()1B x Φ=，即()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦；x B ∉时，()0A x Φ=，()0B x Φ=，即()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦；x A ∉且x B ∈时，()0A x Φ=，()1B x Φ=，即()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦.综上所述，()()10A B x x Φ-Φ=⎡⎤⎣⎦；由已知()()()()21A B A B x x x x Φ+Φ=⇒Φ=Φ=且522,66A x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，(),20B a a a =⇒>要满足题意则A B ⋂≠∅，此时区间长度43a π≥时一定满足，故下研究403a π<<时，（其中452366ππππ=+-，即为集合A 的补集中一段的区间长）此时8023a a π<<<，因此满足题意的反面情况有026a a π<<≤或513266a a ππ<≤≤，解得012a π<≤或513612a ππ≤≤，因此满足题意的a 范围为513,12612πππ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.五、解答题17．求下列各式的值：(1)6213222⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；(2)ln 3213log 8log 9e -+.【正确答案】(1)128(2)8【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数和指数的运算性质求解.【详解】（1）612216723322222128⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭.（2）ln 3213log 8log 9e 3238-+=++=.18．若()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭.(1)求sin cos αα⋅的值；(2)若()0,πα∈，求tan α的值.【正确答案】(1)12sin cos 25αα=-(2)43-【分析】（1）化简得到1sin cos 5αα+=，平方得到112sin cos 25αα+=，得到答案.（2）根据12sin cos 025αα=-<得到7sin cos 5αα-=，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得到答案.【详解】（1）()π5sin 4sin cos π12ααα⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，则5sin 4cos cos 1ααα+=-+，1sin cos 5αα+=，()21sin cos 25αα+=，112sin cos 25αα+=，则12sin cos 25αα=-；（2）12sin cos 025αα=-<，所以2απ<<π，即sin 0α>，cos 0α<，7sin cos 5αα-===.7sin cos 51sin cos 5αααα⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，sin tan s 43co ααα==-19．已知集合14x A xx ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，()(){}230B x x m x m =---<.(1)若3m =-，求A B ⋃；(2)在①A B B = ，②A B ⋂=∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.若_________，求实数m 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)(),0A B ⋃=-∞；(2)选①(]{},73-∞-⋃；若选②[)2,-+∞.【分析】(1)代入m 的值，求出集合B ，用并集的运算性质计算即可.(2)若选①，A B B = 即B A ⊆，则对m 的值进行分类讨论，根据集合包含关系即可得到m 的取值范围.若选②，对m 的值进行分类讨论，依次根据A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围.【详解】（1）()36060m x x x =-⇒+<⇒-<<，即()6,0B =-，而441004444x x x x x x x -->⇒>⇒<⇒<-+++，即(),4A =-∞-，所以(),0A B ⋃=-∞；（2）若选①A B B = 即B A⊆3m >时，23m m >+，即()3,2B m m =+，要满足题意则24m ≤-，与前提矛盾，舍；3m =时，23m m =+，即B =∅，符合题意；3m <时，23m m <+，即()2,3B m m =+，要满足题意则34m +≤-，即7m ≤-.综上所述，实数m 的取值范围是(]{},73-∞-⋃.若选②，若A B ⋂=∅，3m >时，23m m >+，即()3,2B m m =+，要满足题意则A B ⋂=∅，则满足34m +≥-，解得7m ≥-，则3m >；若3m =时，23m m =+，即B =∅，满足A B ⋂=∅；3m <时，23m m <+，即()2,3B m m =+，要满足题意则24,m ≥-解得2m ≥-，即23m -≤<；综上，实数m 的取值范围是[)2,-+∞.20．函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0A ω>>0πϕ<<在一个周期内的图象如图所示.(1)求()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平移2π3个单位长度后得到函数()g x 的图象，设()()()h x f x g x =-，证明：()h x 为偶函数.【正确答案】(1)()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）由图得到2,πA T ==，求得2ω=，代入点π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，求得()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ，结合题意得到23ϕπ=，即可求得函数的解析式；（2）由三角函数的图象变换求得()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据偶函数的定义证明即可.【详解】（1）由最值得2A =，由相邻两条对称轴距离得5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，即2ω=，此时()()2sin 2f x x ϕ=+，代入点π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭得：πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则()ππ2π62k k ϕ-+=+∈Z ，即()2π2π3k k ϕ=+∈Z ，又因为0πϕ<<，所以230,k πϕ==，故()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意得()2π2π2π2sin 22sin 2333g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()2π2π2sin 22sin 233h x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()()2π2π2π2π2sin 22sin 22sin 22sin 23333h x x x x x h x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+---=--++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 为偶函数.21．某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x （单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C （单位：万元）与设备占地面积x 之间的函数关系为()()2005C x x x =>+.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y （单位：万元）.(1)要使y 不超过7.2万元，求设备占地面积x 的取值范围；(2)设备占地面积x 为多少时，y 的值最小？【正确答案】(1)[]11,20(2)设备占地面积为215m 时，y 的值最小.【分析】（1）由题意解不等式800.27.25x x ++≤，即可求得；（2）利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意得()800.205y x x x =+>+.要满足题意,则7.2y ≤，即800.27.25x x ++≤，解得.1120x ≤≤即设备占地面积x 的取值范围为[]11,20.（2）805800.21117555x y x x x +=+=+-=++≥=，当且仅当5801555x x x +=⇒=+时等号成立.所以设备占地面积为215m 时，y 的值最小.22．已知函数()()1222x x f x -=+，()()1222x x g x -=-.(1)利用函数单调性的定义，证明：()f x 在区间[)0,∞上是增函数；(2)已知()()()2449F x fx mf x =-+，其中m 是大于1的实数，当[]20,log x m ∈时，()0F x ≥，求实数m 的取值范围；(3)当0a ≥，判断()()g x f x 与()()1af x a +-的大小，并注明你的结论.【正确答案】(1)证明见解析(2)(]1,3(3)()()()()1g x af x a f x <+-【分析】按照函数单调性的定义的证明步骤：设值，作差，变形，定号，下结论，即可证明；（2）先换元，再分离常数，最后再利用基本不等式即可求出实数m 的取值范围；（3）采用作差法，结合基本不等式和指数函数的值域即可比较出大小.【详解】（1）解：120x x ∀>≥，()()()()11221211222222x x x x f x f x ---=+-+2112121212121222222222221212222x x x x x x x x x x x x x x --++--+-+--⎛⎫===- ⎪⎝⎭因为120x x >≥，所以12220x x ->，1221x x +>，所以()()120f x f x ->，即()f x 在[)0,∞+上是增函数.（2）解：由已知()2222244922x x x x F x m --⎛⎫⎛⎫++=⋅-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设222xxt -+=，由（1）得()f x 在[]20,log m 上单调递增，即11,2m m t ⎡⎤+⎢⎥∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以()229044904494F x t mt mt t m t t⇔-+⇔+⇔+≥≥≤≤，①32m ≥时，1322m m +≥，即934t t +=≥，当且仅当32t =时取等，此时要满足94m t t +≤恒成立，即min 934m t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≤3m ≤；②1m <1322m m +<，此时94y t t =+在11,2m m ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上单调递减，即min119,1222m m m m t y m m ++==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，此时要满足94m t t+≤恒成立，即min 1991422m m m t t m m +⎛⎫+=+⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭≤，化简得42910m m --≤，此时因为2341122m m +<<⇒<<，此时42910m m --≤恒成立综上所述，实数m 的取值范围是(]1,3.（3）解：()()()()112222111222x xx x xxg x af x a a a f x -+---=-⋅-++2112222222111222222x xxxxx xx xx a a a ⎛⎫++ ⎪=--⋅=--⎪⎪++⎝⎭因为1222xx +≥（当且仅当0x =时取等），所以12212x x+≥，即122102x x +-≤，由已知0a ≥，所以122102xx a ⎛⎫+ ⎪- ⎪⎪⎝⎭≤，又因为20x >，所以220122xxx>+，即220122xxx-<+，因此()()()()122221101222xx x x x g x af x a a f x ⎛⎫+ ⎪---=--< ⎪⎪+⎝⎭，所以()()()()1g x af x a f x <+-.。
江苏省泰州市2015-2016学年上学期高一期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=．6．化简：+=．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为．8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．2015-2016学年江苏省泰州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集，找出并集中元素个数即可．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}，则集合A∪B中元素个数为4，故答案为：4．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．若幂函数y=x a的图象过点（2，），则a=﹣1．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，将点（2，）的坐标代入y=x a中，可得=2a，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，点（2，）在幂函数y=x a的图象上，则有=2a，解可得a=﹣1；故答案为：﹣1．【点评】本题考查幂函数解析式的计算，注意幂函数与指数函数的区别．3．因式分解：x3﹣2x2+x﹣2=（x﹣2）（x2+1）．【考点】因式分解定理．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】分组提取公因式即可得出．【解答】解：原式=x2（x﹣2）+（x﹣2）=（x﹣2）（x2+1）．故答案为：（x﹣2）（x2+1）．【点评】本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．将函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想．【分析】由函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，我们可得函数f（x）的图象向右平移a个单位得到函数f（x﹣a）的图象，再根据原函数的解析式为y=sinx，向右平移量为个单位，易得平移后的图象对应的函数解析式．【解答】解：根据函数图象的平移变换的法则故函数y=sinx的图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数解析式是y=sin（x﹣）故答案为：y=sin（x﹣）【点评】本题考查的知识点函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数图象的平移法则，“左加右减，上加下减”，是解答本题的关键．5．若函数f（x）=x3+2x﹣1的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k=0．【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】利用根的存在性确定函数零点所在的区间，然后确定k的值．【解答】解；∵f（x）=x3+2x﹣1，∴f′（x）=3x2+2＞0，∴f（x）在R上单调递增，∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1+2﹣1＞0，∴f（0）f（1）＜0，∴函数零点所在的区间为（0，1），∴k=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．6．化简：+=2．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式求解．【解答】解：+=+=2．故答案为：2．【点评】本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要注意根式与分数指数幂互化公式、性质、运算法则、平方差公式、立方差公式的合理运用．7．||=1，||=2，，且，则与的夹角为120°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】根据，且可得进而求出=﹣1然后再代入向量的夹角公式cos＜＞=再结合＜＞∈[0，π]即可求出＜＞．【解答】解：∵，且∴∵||=1∴=﹣1∵||=2∴cos＜＞==﹣∵＜＞∈[0，π]∴＜＞=120°故答案为120°【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜＞=同时要注意＜＞∈[0，π]这一隐含条件！8．已知一次函数y=x+1与二次函数y=x2﹣x﹣1的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），则+=﹣1．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】联立方程组得，化简得到x2﹣2x﹣2=0，根据韦达定理得到x1+x2=2，x1x2=﹣2，即可求出答案．【解答】解：联立方程组得，∴x2﹣x﹣1=x+1，∴x2﹣2x﹣2=0，∴x1+x2=2，x1x2=﹣2，∴+===﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数图象的交点问题，以及韦达定理的应用，属于基础题．9．已知O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），若与共线，且⊥（+2），则点C的坐标为（﹣4，﹣3）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用．【分析】设C的坐标为（x，y），向量的坐标运算和向量共线垂直的条件得到关于x，y的方程组，解得即可．【解答】解：设C的坐标为（x，y），O为坐标原点，A（1，2），B（﹣2，1），∴=（x+2，y﹣1），=（x，y），=（1，2），=（﹣2，1），+2=（﹣3，4），∵与共线，且⊥（+2），解得x=﹣4，y=﹣3，∴点C的坐标为（﹣4，﹣3），故答案为：（﹣4，﹣3）【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量共线垂直的条件，属于基础题．10．若点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，则函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间为[，π]．【考点】余弦函数的图象．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的单调性，求得函数y=3cos（x+φ），x∈[0，π]的单调减区间．【解答】解：∵点P（1，﹣1）在角φ（﹣π＜φ＜0）终边上，∴φ=﹣，函数y=3cos（x+φ）=3cos（x﹣），令2kπ≤x﹣≤2kπ+π，求得2kπ+≤x﹣≤2kπ+．可得函数的减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．再结合x∈[0，π]，可得函数y=3cos（x+φ）的单调减区间为[，π]，故答案为：[，π]．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题．11．当x∈{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}时，函数y=4x﹣2x+3的最小值是5﹣．【考点】指、对数不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】化简集合{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}，求出x的取值范围，再求函数y的最小值即可．【解答】解：因为{x|（log2x）2﹣log2x﹣2≤0}={x|（log2x+1）（log2x﹣2）≤0}={x|﹣1≤log2x≤2}={x|≤x≤4}，且函数y=4x﹣2x+3=22x﹣2x+3=+，所以，当x=时，函数y取得最小值是+=5﹣．故答案为：5﹣．【点评】本题考查了指数与对数不等式的解法与应用问题，解题的关键是转化为等价的不等式，是基础题目．12．已知定义在R上的奇函数y=f（x）满足：①当x∈（0，1]时，f（x）=（）x；②f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（﹣log224）=．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（x）的图象关于x=1对称可以得出f（x）=f（x﹣4），从而可以得到f（﹣log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1），可判断log23﹣1∈（0，1），从而可以求出，这样根据指数式和对数式的互化及指数的运算即可求得答案．【解答】解：f（x）的图象关于x=1对称；∴f（x）=f（2﹣x）=﹣f（x﹣2）=f（x﹣4）；即f（x）=f（x﹣4）；∴f（﹣log224）=﹣f（log224）=﹣f（log224﹣4）=﹣f（log23﹣1）；∵log23﹣1∈（0，1）；∴==；∴．故答案为：．【点评】考查奇函数的定义，f（x）关于x=a对称时有f（x）=f（2a﹣x），以及对数的运算，指数的运算，对数式和指数式的互化．13．已知函数f（x）=x2+bx，g（x）=|x﹣1|，若对任意x1，x2∈[0，2]，当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），则实数b的最小值为﹣1．【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】令h（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，结合二次函数的性质通过讨论对称轴的位置，解出即可．【解答】解：当x1＜x2时都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即x1＜x2时都有f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2+bx﹣|x﹣1|，故需满足h（x）在[0，2]上是增函数即可，①当0≤x＜1时，h（x）=x2+（b+1）x﹣1，对称轴x=﹣≤0，解得：b≥﹣1，②当1≤x≤2时，h（x）=x2+（b﹣1）x+1，对称轴x=﹣≤1，解得：b≥﹣1，综上：b≥﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考察了二次函数的性质、考察转化思想，是一道中档题．14．已知函数f（x）=sin（πx﹣），若函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则实数a的取值范围是（﹣，）．【考点】正弦函数的图象；函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由f（x）没有零点求得x的范围，再根据f（asinx+1）没有零点可得asinx+1的范围，根据正弦【解答】解：若函数f（x）=sin（πx﹣）=sinπ（x﹣）没有零点，故0＜（x﹣）π＜π，或﹣π＜（x﹣）π＜0，即0＜（x﹣）＜1，或﹣1＜（x﹣）＜0，即＜x＜或﹣＜x＜．由于函数y=f（asinx+1），x∈R没有零点，则＜asinx+1＜，或﹣＜asinx+1＜，当a＞0时，∵1﹣a≤asinx+1≤1+a，或，解得0＜a＜．当a＜0时，1+a≤asinx+1≤1﹣a，∴或，求得﹣＜a＜0．当a=0时，函数y=f（asinx+1）=f（1）=sin=≠0，满足条件．综上可得，a的范围为（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点的定义，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．已知集合A={x|2x＞8}，B={x|x2﹣3x﹣4＜0}．（1）求A，B；（2）设全集U=R，求（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】转化思想；定义法；集合．【分析】（1）根据指数函数的图象与性质，求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B；（2）根据补集与交集的定义，求出（∁U A）∩B．【解答】解：（1）∵2x＞8=23，且函数y=2x在R上是单调递增，∴x＞3，∴A=（3，+∞）；又x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，∴B=（﹣1，4）；（2）∵全集U=R，A=（3，+∞），A=∞3∴（∁U A）∩B=（﹣1，3]．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．16．直线y=1分别与函数f（x）=log2（x+2），g（x）=log a x的图象交于A，B两点，且AB=2．（1）求a的值；（2）解关于x的方程，f（x）+g（x）=3．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）令f（x）=1解出A点坐标，利用AB=2得出B点坐标，把B点坐标代入g（x）解出a；（2）利用对数的运算性质去掉对数符号列出方程解出x，结合函数的定义域得出x的值．【解答】解：（1）解log2（x+2）=1得x=0，∴A（0，1），∵AB=2，∴B（2，1）．把B（2，1）代入g（x）得log a2=1，∴a=2．（2）∵f（x）+g（x）=3，∴log2（x+2）+log2x=log2[x（x+2）]=3，∴x（x+2）=8，解得x=﹣4或x=2．由函数有意义得，解得x＞0．∴方程f（x）+g（x）=3的解为x=2．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，对数方程的解法，属于基础题．17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），且其相邻两对称轴之间的距离为π．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设若sinα+f（α）=，α∈（0，π），求的值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）根据函数的图象经过点（0，1），求得φ的值，再根据周期性求得ω，可得函数f（x）的解析式．（2）由条件求得sinα+cosα=，平方可得sinαcosα的值，从而求得sinα﹣cosα的值，再利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：（1）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的图象经过点（0，1），可得sinφ=1，∴φ=，．∵其相邻两对称轴之间的距离为π，∴=π，求得ω=1，∴f（x）=sin（x+）=cosx．（2）∵sinα+f（α）=，α∈（0，π），即sinα+cosα=，平方可得sinαcosα═﹣，∴α为钝角，sinα﹣cosα==，∴====﹣．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，属于基础题．18．现代人对食品安全的要求越来越高，无污染，无化肥农药等残留的有机蔬菜更受市民喜爱，为了适应市场需求，我市决定对有机蔬菜实行政府补贴，规定每种植一亩有机蔬菜性补贴农民x元，经调查，种植亩数与补贴金额x之间的函数关系式为f（x）=8x+800（x≥0），每亩有机蔬菜的收益（元）与补贴金额x之间的函数关系式为g（x）=．（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为多少元？（2）求出政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W（元）与政府补贴数额x之间的函数关系式；（3）要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为多少元？【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）；（3）分段求最大值，即可得出结论．【解答】解：（1）在政府未出台补贴措施时，我市种植这种蔬菜的总收益为800×2850=2280000元；（2）政府补贴政策实施后，我市有机蔬菜的总收益W=f（x）g（x）=；（3）x＞50，W=﹣24（x+100）（x﹣1050）=﹣24（x﹣475）2+7935000，∴x=475时，W max=7935000；0≤x≤50，W═24（x+100）（x+950）单调递增，∴x=50时，W max=3600000；综上所述，要使我市有机蔬菜的总收益W（元）最大，政府应将每亩补贴金额x定为475元．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的性质，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．19．四边形ABCD中，E，F分别为BD，DC的中点，AE=DC=3，BC=2，BD=4．（1）试求，表示；（2）求2+2的值；（3）求的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由已知结合共线向量基本定理得答案；（2）由已知结合向量加法、减法的运算法则求解；（3）由向量加法、减法及向量的数量积运算得答案．【解答】解：（1）∵E，F分别为BD，DC的中点，∴，则；（2）=；（3）=，∵=10﹣6cos∠AEF．∴当∠AEF=π时，取得最大值16．∴的最大值为．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法与减法的三角形法则，是中档题．20．对于函数y=f（x），若x0满足f（x0）=x0，则称x0位函数f（x）的一阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，则称x0位函数f（x）的二阶不动点，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为函数f （x）的二阶周期点．（1）设f（x）=kx+1．①当k=2时，求函数f（x）的二阶不动点，并判断它是否是函数f（x）的二阶周期点；②已知函数f（x）存在二阶周期点，求k的值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，求实数c的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【专题】新定义；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，结合二阶不动点和二阶周期点的定义，可得答案；②由二阶周期点的定义，结合f（x）=kx+1，可求出满足条件的k值；（2）若对任意实数b，函数g（x）=x2+bx+c都存在二阶周期点，则函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，解得答案．【解答】解：（1）①当k=2时，f（x）=2x+1，f（f（x））=2（2x+1）+1=4x+3，解4x+3=x得：x=﹣1，即﹣1为函数f（x）的二阶不动点，时f（﹣1）=﹣1，即﹣1不是函数f（x）的二阶周期点；②∵f（x）=kx+1，∴f（f（x））=k2x+k+1，令f（f（x））=x，则x==，（k≠±1），或x=0，k=﹣1，令f（x）=x，则x=，若函数f（x）存在二阶周期点，则k=﹣1，（2）若x0为函数f（x）的二阶周期点．则f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，若x1为函数f（x）的二阶不动点，则f（f（x1））=x1，且f（x1）=x1，则f（x0）=f（x1），则x0≠x1，且f（x0）+f（x1）=﹣b，即函数g（x）=x2+bx+c=x恒有两个不等的实数根，故△=（b﹣1）2﹣4c＞0恒成立，解得：c＜0．【点评】本题以二阶不动点和二阶周期点为载体，考查了二次函数的基本性质，正确理解二阶不动点和二阶周期点的概念是解答的关键．。
江苏省南京市2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题含解析
南京市阶段学情调研试卷高一数学（答案在最后）注意事项：1．本试卷包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分。
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级填在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1.已知集合{}220A x x x =->，{}1,2,3B =，则A B = （）A.{}1 B.{}2,3 C.{}3 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】解出集合A ，再利用交集的含义即可得到答案.【详解】{}{2202A x x x x x =->=或}0x <，则{}3A B ⋂=，故选：C.2.函数()f x =的定义域为（）A.(],3-∞ B.()1,+∞ C.(]1,3 D.()[),13,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可.【详解】由题意得()()31010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得13x <≤，则定义域为(]1,3，故选：C.3.若函数()f x 和()g x 分别由下表给出，满足()()2g f x =的x 值是（）x1234()f x 2341x1234()g x 2143A.1B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】从外到内逐步求值．【详解】由()()2g f x =，则()1f x =，则4x =.故选：D4.“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一次函数的性质与必要不充分条件的判定即可得到答案.【详解】当12k =-时，满足1k >-，但是函数3y kx =+在R 上为减函数，则正推无法推出；反之，若函数3y kx =+在R 上为增函数，则01k >>-，则反向可以推出，则“1k >-”是“函数3y kx =+在R 上为增函数”的必要不充分条件，故选：B .5.函数()241x f x x =+的图象大致为（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式得：()()241xf x f xx--==+，则函数()f x为偶函数，其图象关于坐标y轴对称，B、D错误；当1x=时，42011y==>+，D错误.故选：A.6.已知0m>，0n>，2ln2ln2ln2m n+=，则142m n+的最小值是（）．A.18B.9C.4615D.3【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算得21m n+=，再利用乘“1”法即可得到最小值.【详解】2212ln2ln2ln2ln2ln2ln2m n m n m n++===+，所以21m n+=，且0m>，0n>，所以()141482559222n mm nm n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当82n m m n =，即1623m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，故选：B.7.设m 为实数，若二次函数22y x x m =-+在区间()1,+∞上有且仅有一个零点，则m 的取值范围是（）A.()1,+∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞ D.R【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】二次函数22y x x m =-+的开口向上，对称轴为1x =，要使二次函数22y x x m =-+在区间()1,+∞上有且仅有一个零点，则需21210,1m m -⨯+<<，所以m 的取值范围是(),1-∞.故选：C8.已知定义在R 上的函数()f x 是单调递增函数，()()()22g x x f x =-+是偶函数，则()0g x ≤的解集是（）A.(][),22,-∞-+∞U B.[]22-,C.(],2-∞- D.[)2,+∞【答案】B 【解析】【分析】综合单调性和奇偶性再分类讨论即可.【详解】因为()()()22g x x f x =-+是偶函数，且()20g =，(2)4(0)0g f ∴-=-=，又因为()f x 在R 上是单调递增函数，当0x >时，()0f x >；当0x <时，()0f x <，当2x <-时，2020x x +<⎧⎨-<⎩，则()20f x +<，此时()()2(2)0g x x f x =-+>，不成立，当22x -<<时，2020x x +>⎧⎨-<⎩，则()20f x +>，此时()()2(2)0g x x f x =-+<，成立，当2x >时，2020x x +>⎧⎨->⎩，则()20f x +>，此时()(2)()0g x x f x =->不成立，且2x =或2-时，()0g x =，成立，综上，()0g x ≤的解集为[]22-,，故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．9.若“x M ∃∈，0x <”为真命题，“x M ∃∈，2x ≥”为假命题，则集合M 可以是（）A.(),1-∞ B.[]1,3- C.[)0,2 D.()2,2-【答案】AD 【解析】【分析】依题意可知M 中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，即可判断.【详解】依题意可知M 中存在小于0的元素且不存在大于或等于2的元素，则(),1-∞和()2,2-符合题意.故选：AD10.以下结论正确的是（）A.函数1y x x =+的最小值是2 B.若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b+≥C.y =+2D.函数()102y x x x =+<-的最大值为0【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】对于选项A ，对于函数1y x x=+，当0x <时，0y <，所以A 错误；对于选项B ，由于0ab >，所以0,0b aa b>>，所以2b a a b +≥=，当且仅当22,b a a b a b ==时等号成立，所以B 正确；对于选项C2+≥=即0x =，故C正确，对于选项D ，由于0x <，20x ->，所以111222220222y x x x x x x ⎛⎫=+=-++=--++≤- ⎪---⎝⎭，当且仅当12,2x x-=-即1x =时等号成立，这与0x <矛盾，故D 错误．故选：BC11.下列说法正确的是（）A.若()y f x =是奇函数，则()00f =B.1y x =+和y =表示同一个函数C.函数()f x 在(],0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，则()f x 在R 上是增函数D.若()()R y f x x =∈满足()()12f f >，则()f x 不是单调递增函数【答案】BD 【解析】【分析】根据反例即可判断AC,根据函数的定义域和对应关系即可判断B ，由单调函数的定义即可判断D.【详解】当奇函数在0x =处有定义时，才有()00f =，例如()1f x x=为奇函数，但是不满足()00f =，故A 错误，1y x =+和1y x ==+的定义域均为R ，对应关系也一样，故表示同一个函数，B 正确，若函数的图象如下，满足()f x 在(],0-∞上单调递增，在()0,∞+上单调递增，但是()f x 在R 上不是单调递增函数，故C 错误，若()()R y f x x =∈满足()()12f f >，则()f x 不是单调递增函数，故D 正确，故选：BD12.关于x 的不等式210ax bx +-<，下列关于此不等式的解集结论正确的是（）A.不等式210ax bx +-<的解集可以为()1,+∞B.不等式210ax bx +-<的解集可以为RC.不等式210ax bx +-<的解集可以为∅D.不等式210ax bx +-<的解集可以为{}11x x -<<【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，由不等式的解集，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】假设结论成立，则0,0a b =<，则不等式为10bx -<，解得1x b >，因为0b <，所以11b≠，故结论不成立，所以A 错误；当2Δ40a b a <⎧⎨=+<⎩时，210ax bx +-<在R 上恒成立，故B 正确；当0x =时，不等式2110ax bx +-=-<，则解集不可能为∅，故C 错误；假设结论成立，则()011111a ba a⎧⎪>⎪⎪-=-+⎨⎪-⎪=-⨯⎪⎩，即10a b =⎧⎨=⎩，符合题意，故D 正确；故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．13.命题“[]1,3x ∀∈，()()2f x f ≤”的否定是____________．【答案】[]1,3x ∃∈，()()2f x f >【解析】【分析】根据全称命题的否定即可得到答案.【详解】根据全称命题的否定为存在命题，且范围不变，结论相反，则其否定为[]1,3x ∃∈，()()2f x f >，故答案为：[]1,3x ∃∈，()()2f x f >.14.设2log 93a =，则9a -=___________．【答案】18##0.125【解析】【分析】根据对数、指数的运算可得答案.【详解】因为22log 9log 93aa ==，所以3982a ==，即11988a--==.故答案为：18.15.函数()12x f x x -=-的单调递减区间是_____________【答案】(),1-∞和()2,+∞【解析】【分析】根据题意整理()f x 的解析式可得()()()[)11,,12,211,1,22x x f x x x ∞∞⎧+∈-⋃+⎪⎪-=⎨⎪--∈⎪-⎩，据此作出函数图像，利用图象分析函数的单调区间.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为()(),22,-∞+∞ ，可得()()()[)111,,12,1221121,1,222x x x x x f x x x x xx ∞∞-⎧=+∈-⋃+⎪-⎪--==⎨--⎪=--∈⎪--⎩，作出()f x的图象，由图象可知函数()f x 的单调递减区间是(),1-∞和()2,+∞.故答案为：(),1-∞和()2,+∞.16.函数()()()22111f x k x k x =-+-+只有一个零点，则k 的取值集合为___________【答案】51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】分1k =±和1k ≠±讨论即可.【详解】（1）若210k -=，即1k =±时，①当1k =时，此时()1f x =，此时没有零点，②当1k =-时，此时()21f x x =-+，令()210f x x =-+=，解得12x =，符合题意，（2）当1k ≠±时，令()()()221110f x k x k x =-+-+=，则()()221410k k ∆=---=，解得53k =-或1（舍去），综上53k =-或1-，则k 的取值集合为51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.故答案为：51,3⎧⎫--⎨⎬⎩⎭.四、解答题：本大题共6小题，其中第17题10分，18--22题每题12分，共70分．请把答案填涂在答题卡相应位置上．17.（1）求()122320131.52348π--⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）已知17x x -+=，求1122x x -+的值．【答案】（1）12；（2）3【解析】【分析】（1）利用幂的运算性质运算即可得解.（2）利用幂的运算性质及完全平方公式运算即可得解.【详解】解：（1）()2122223323320133272331.52π3114828322-----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎢⎥⎣⎦=⎝⎭2232222321321321213223223232⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭=⎭=.（2）由题意，17x x -+=，则0x >∴2112212729--⎛⎫=++=+= +⎪⎝⎭x x x x ，∵0x >，∴1122x x->+，∴11223x x-+=.18.设全集U =R ，集合{}2650A x x x =-+≤，集合{}212B x a x a =-≤≤+，其中a ∈R ．（1）当3a =时，求()U A B ⋂ð；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件，求a 的取值范围．【答案】（1）[)(]1,15,7- （2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）求出集合A 的等价条件，再求出U A ð，结合集合的基本运算进行求解.（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系建立不等式关系进行求解即可.【小问1详解】集合{}[]26501,5A x x x =-+≤=，所以()(),15,U A ∞∞=-⋃+ð，当3a =时，{}[]171,7B x x =-≤≤=-；所以[)(]1,15,7U A B ⋂=-⋃ð．【小问2详解】由题意得到[]1,5A =，由“x A ∈”是“x B ∈”的充分条件可得A B ⊆，则21a -≤且125a +≥，解得2a ≥；所以a 的取值范围是[)2,+∞．19.已知二次函数()f x 满足()()246f x f x x +-=+，且()00f =．（1）求()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()()21f x x m x ->-．【答案】（1）()2f x x x=+（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可将条件代入求解，（2）分类讨论即可求解一元二次不等式的解.【小问1详解】设()2f x ax bx c =++，0a ≠由()00f =，得()20c f x ax bx =⇒=+又()()()()()22222f x f x a x b x ax bx +-=+++-+44246ax a b x =++=+，则44426a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，所以()2f x x x =+．【小问2详解】由已知，()()221x x x m x +->-即()210x m x m -++>，即()()10x m x -->，①当1m =时，原不等式即为：()210x ->，解得1x ≠；②当1m <时，解得x m <或1x >；③当1m >时，解得1x <或x >m综上，当1m =时，不等式的解集为：()(),11,-∞+∞ ，当1m <时，不等式的解集为：()(),1,m -∞+∞ ，当1m >时，不等式的解集为：()(),1,m -∞⋃+∞．20.已知21a b +=（1）求224a b +的最小值；（2）若a ，b 为正数，求41a a b++的最小值．【答案】（1）12（2）1+【解析】【分析】（1）法一，利用基本不等式求最值；法二，消元结合二次函数求最值；（2）灵活运用“1”求最值.【小问1详解】法一、()22221422a b a b ++≥=，当且仅当2a b =，即12a =，14b =时取等号；法二、()22222211141248418422a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当12a =，14b =取等号；【小问2详解】若,a b 为正数，则10a +>，0b >4412412111a b a b a b a b-+=+=+-+++()14218112262121221b a a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=+⋅++-=+-≥+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，当且仅当811b a a b+=+时等号成立，∴当3a =-，1b =时，min 411a a b ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭21.已知函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式()()()210f t f tf -+>．【答案】21.()221x f x x-=+，[]1,1x ∈-22.减函数；证明见解析；23.510,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和()11f =求解即可.（2）利用函数单调性定义证明即可.（3）首先将题意转化为解不等式()()21f tf t >-，再结合()f x 的单调性求解即可.【小问1详解】函数()21ax b f x x-=+是定义在[]1,1-上的奇函数，()()f x f x -=-；2211ax b ax b x x ---=-++，解得0b =，∴()21ax f x x=+，而()11f =-，解得2a =-，∴()221x f x x-=+，[]1,1x ∈-．【小问2详解】函数()221x f x x-=+在[]1,1-上为减函数；证明如下：任意[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++因为12x x <，所以120x x -<，又因为[]12,1,1x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()()12f x f x >在[]1,1-上为减函数．【小问3详解】由题意，()()()210f t f tf -+>，又()00f =，所以()()210f t f t -+>，即解不等式()()21f t f t >--，所以()()21f t f t >-，所以22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<，所以该不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭．22.已知()42f x x x m x =-+，R m ∈．（1）若()13f =，判断()f x 的奇偶性．（2）若()f x 是单调递增函数，求m 的取值范围．（3）若()f x 在[]1,3上的最小值是3，求m 的值．【答案】（1）当0m =时，()f x 是奇函数；当12m =时，()f x 既不是奇函数，也不是偶函数（2）1122m -≤≤（3）0m =或12m =【解析】【分析】（1）由()13f =，解出m ，代入结合函数的奇偶性进行判断；（2）即在4x m =的左右两侧都单调递增；（3）由（2）1122m -≤≤，()f x 在[]1,3上单调递增，进而对12m <-，12m >时进行分类讨论即可.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ，()13f =，则1423m -+=，解得0m =或者12m =当0m =时，()f x x x x =+，因为()()f x x x x x x x f x -=---=--=-，所以()f x 是奇函数．当12m =时，()22f x x x x =-+，R m ∈()15f -=-，()()11f f ≠-，()()11f f ≠--，所以()f x 既不是奇函数，也不是偶函数．【小问2详解】由题意得()()()2242,4,42,4,x m x x m f x x m x x m ⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩当21421m m m -≤≤+，即1122m -≤≤时，()f x 在R 上是增函数．【小问3详解】①1122m -≤≤，()f x 在[]1,3上单调递增，()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，解得0m =或者12m =；②12m <-时，()f x 在[)21,m -+∞单调递增，因为212m -<-，[][)1,321,m ⊂-+∞，()f x 在[]1,3上单调递增，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；③12m >，()f x 在(],21m -∞+单调递增，在[]21,4m m +单调递减，在[)4,m +∞单调递增．若213m +≥，即m 1≥时，函数()f x 在[]1,3上单调递增，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；若2134m m +<≤，即314m ≤<时，()f x 在[]1,21m +单调递增，在[]21,3m +上单调减，因为()36f >，所以()f x 在1x =处取得最小值，()13f =，无解；若43m <，即1324m <<，()f x 在[]1,21m +单调递增，在[]21,4m m +单调递减，在[]4,3m 单调增，()13f =，。
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题(含答案)
南京市2025届高三年级学情调研数学2024.09注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.{x x -3>01.已知集合A =}{2x -5x +4>，B x =0）A.(-∞,1)}，则A B =（C.(3,+∞B.(-∞,3))D.(4,+∞)2.已知a x=4，log a 3=y ，则a x +y=（）A.5B.6C.7D.12|3.已知|a = ，|b |=1.若(a +2b )⊥a，则cos a ,b =（）3A.2-3B.3-C.3D 3.32{a }n 为等差数列，前n 项和为S n .若S 3=6，S 6=3，则S 9=（4.已知数列A.-18B.-9）D.1C.985.若α是第二象限角，4sin 2α=tan α，则tan α=（A.7B.7-C.）7D 76.甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次）.甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（）A.4B.6C.8D.127.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（）A.24B.32C.96D.1288.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，点Q 在l 上.若PF =2QF ，PF ⊥QF ，则△PFQ 的面积为（）A.25 B.245 C.55D.525二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.9.已知复数z ，下列命题正确的是（A.若z +1∈R ，则z ∈R C.若|z |=1，则z =±）1B.若z +i ∈R ，则z 的虚部为-1D.若z 2∈R ，则z ∈R210.对于随机事件A ，B ，若P (A )=53，P (B )=51(，4P B A )=，则（）3A.P (AB )=21(B.6P A B )=9C.P (A +B )=11D.P (2AB )=18x |11.设函数f (x )=|si s x |n +|co ，则（）A.f (x )的定义域为π2k x ⎧x ≠⎨⎬⎩,k ∈Z ⎭⎫πB.f (x )的图象关于x 4=对称C.f (x )的最小值为D.方程f (x )=12在(0,2π)上所有根的和为8π三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上112.x ⎛⎫+ ⎪⎝展开式中的常数项是___________⎭.13.与圆柱底面成45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离的最大值为4，最小值为2，则该几何体的体积为___________.14.已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，直线BF 2与C 相交于另一点A .当cos ∠F 1AB 最小时，C 的离心率为___________.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）小王早晨7：30从家出发上班，有A ，B 两个出行方案供其选择，他统计了最近100天分别选择A ，B 两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：8点前到（天数）8点或8点后到（天数）2A 方案8123B 方案30（1）判断并说明理由：是否有95%的把握认为在8点前到单位与方案选择有关；（2）小王准备下周一选择A 方案上班，下周二至下周五选择B 方案上班，记小王下周一至下周五这五天中，(X =3)8点前到单位的天数为随机变量X .若用频率估计概率，求P .n (ad -bc )2附：χ2=，其中n =a +b +c +d (a +b )(c +d )(a +c )(b +d )，)(χ≥x P 00.100.050.0250.0100.011x 02.7063.8415.0246.63510.82816.（本小题满分15分）如图，在四面体ABCD 中，△ACD 是边长为3的正三角形，△ABC是以AB 为斜边的等腰直角三角形，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，AM =2MD ，CN =2ND .（1）求证：EF //平面MNB ；（2）若平面ACD ⊥平面ABC ，求直线BD 与平面MNB 所成角的正弦值.17.（本小题满分15分）{a 已知数列}n {b ，}n {b ，a n =(-1)n +2n ，b n =a n +1-λa n (λ>0)，且}n 为等比数列.（1）求λ的值；{b （2）记数列n }的前n 项和为T ⋅n 2n (i ∈N .若T i ⋅T i +2=15T i +1*)，求i 的值.18.（本小题满分17分）2222x y ab-=1(a >0,b >0)的左、右焦点，F 1F 2=点T (已知F 1，F 2是双曲线C :（1）求C 的方在C 上.程（2）设直线l 过点D (1,0)，且与C 交于A ，B 两点.①若DA =3DB ，求△F 1F 2A 的面积；②以线段AB为直径的圆交x轴于P，Q两点，若|PQ|=2，求直线l的方程.19.（本小题满分17分）已知函数f(x)=e x-a+ax2-3ax+1，a∈R.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程；（2）当a>1时，试判断f(x)在[1,+∞)上零点的个数，并说明理由；（3）当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.南京市2025届高三年级学情调研数学参考答案2024.09一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.12345678DDABACCB二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分.91011ABBCDACD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.13.312.240π14.33四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）解：（1）假设H 0:8点前到单位与方案选择无关，100⨯(28⨯30-12⨯30)2则χ2=40⨯60⨯42⨯58.800≈3.94>3.841203=，所以有95%的把握认为8点前到单位与路线选择有关.（2）选择A 方案上班，8点前到单位的概率为0.7，选择B 方案上班，8点前到单位的概率为0.5.当X =3时，则分两种情况：1①若周一8点前到单位，则P 1=0.7⨯C 24(1-0.5)2⨯0.52=802.6（2）若周一8点前没有到单位，则P 2=(1-0.7)⨯C 43(1-0.5)⨯0.53=8.27综上，P (X =3)=P 1+P 2=08.16.（本小题满分15分）解：（1）因为E ，F 分别为线段AB ，BC 中点，所以EF //AC .因为AM =2MD ，CN =2ND ，即1D 3M DN DA DC =，所以MN //AC ，所以EF //MN =.又MN ⊂平面MNB ，EF ⊄平面MNB ，所以EF //平面MNB .（2）取AC 中点O ，连接DO ，OE 因为△ACD 为正三角形，所以DO ⊥AC .因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC =AC ，DO ⊂平面ACD ，所以DO ⊥平面ABC .因为O ，E 分别为AC ，AB 中点，则OE //BC .又因为AC ⊥BC ，所以OE ⊥AC .以O 为坐标原点，OE ，OC ，OD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，330,0,2⎛⎫则D ⎪⎪⎝⎭33,，B 2⎛,0⎫ ⎪⎝⎭1，M 2⎛0,- ⎝10,，N 2⎛ ⎝， 故BM =(-3,-2 333,22⎫，MN =(0,1,0)，BD =-3,- ⎪ ⎪⎝⎭⎛.=(x ,y ,z )，直线BD 与平面MNB 所成角为θ设平面MNB 的法向量为n ，BM ⎧=0,则⎪⎨ ⎩⎪n n ⋅ ⋅MN =0,即30.x ⎧-y 2y -+=0,⎪⎨=⎪⎩ =取n 0,3).33cos BD ,n BD nBD ⋅n 则sin θ===82，所以BD 与平面MNB 所成角的正弦值为28.17.（本小题满分15分）解：（1）因为a n =(-1)n+2n，则a 1=1，a 2=5，a 3=7，a 4=17.又b n =a n +1-λa n ，则b 1=a 2-λa 1=5-λ，b 2=a 3-λa 2=7-5λ，b 3=a 4-λa 3=17-7λ.{b 因为}n 为等比数列，则b 22=b 1⋅b 3，所以(7-5λ)2=(5-λ)(17-7λ)，整理得λ2-λ-2=0，解得λ=-1或2.因为λ>0，故λ=2.当λ=2时，b n =a n +1-2a n =(-1)n +1+2n +1-2⎡⎣(-1)n +2n⎤⎦=(-1)⨯(-1)n +2n +1-2⨯(-1)n -2n +1=-3⨯(-1)n .n b -3⨯(-1)n +b 1则n +1={b =-1，-3⨯(-1)n故}n 为等比数列，所以λ=2符合题意.（2）b ⋅n 2=-3⨯(-1)n ⋅n n 2当n 为偶数时，T n =-3⨯⎡⎣-12+22-32+42-52+62- -(n -1)2+n 2⎦⎤3=-3⨯(1+2+ +n )=n (n +12)-332当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1(n +1)2=2-(n +1)(n +2)+3(n +1)2=n (n +1). ,3⎧.3⎪⎪⎨综上，T n =2⎪-n (n +1),n ⎪n (n +1),n ⎩2为奇数为偶数因为T i ⋅T i +2>0，又T i ⋅T i +2=15T i +1，故T i +1>0，所以i 为偶数.33322所以2⎡⎡i (i +1)-⎤⋅(i +2)(i +3)-⎤=15⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣(i +1)(i +2)⎦，整理得i 2+3i -10=0，解得i =2或i =-5（舍），所以i =2.18.（本小题满分17分），点T 在C 上，根据双曲线的定义可解：（1）由题意可知c =知TF 1TF 2=2a -，即2a =-则b 2=c 2-a 2=2，所以C 的方程为2242x y =4，所以a =2，=1-.)(x （2）①设B 0,y 0(x ，DB 0 -1,y 0=).(3x )0因为DA =3DB ，所以DA = -3,3y 0，(3x 所以A 点坐标为)0-2,3y 0，())02224221,4⎧x 02(3y 2y -=⎪因为A ，B 在双曲线C 上，所以⎪⎨3x 0-1,⎪-=⎪⎩10解得x 0=3，y 0=2±，所以A点坐标为2⎛7,± ⎝⎭，121122y 2A F 1F 2⨯=⨯⨯=所以S △F F A =②当直线l 与y 轴垂直时，此时PQ =4不满足条件.)(x 设直线l 的方程为x =ty +1，A 1,y 1)(x ，B 2,y 2),0(x ，P P ,0(x ，Q Q ).242x ⎧y 2=1-,直线l 与C 联立⎪⎨⎪(t 消去x ，⎩x =ty +1,得2)y 2-2+2ty -3=0，2t 所以y 1+y 2=-2t -3，y 1y 2=-t 2-2.21222(t 0.t 2⎧=∆42-+2由⎪⎨≠⎩t ⎪-3)>0,，得t 22且t 2≠2>.(x -x 以AB 为直径的圆方程为1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0，(x 1令y =0，可得x 2-)x +x +x 21x 2+y 1y 2=0，则x P ，x Q 为方程的两个根，所以x P +x Q =x 1+x 2，x P x Q =x 1x 2+y 1y 2，所以PQ =x P -x Q ========2.5解得t 2=-2（舍）或t 23=15，即t =3±，所以直线l 的方程为：3x ±19.（本小题满分17分-3=0.）解：（1）当a =1时，f (x )=ex -1+x 2-3x +1，则f (x )=e x -1+2x -3，所以曲线y =f (x )在x =1处切线的斜率k =f '(1)=0.又因为f (1)=0，所以曲线y =f (x )在x =1处切线的方程为y =0.(x )=e x -（2）f (1)=e1-a-2a +1，f 'a +2ax -3a ，则f '(1)=e 1-a -a ，(x )=e x -当a >1时，f ''a(x )+2a >0，则f '在(1,+∞)上单调递增.因为f '(1)=e1-a-a <e 1-1-1=0，f '(a )=1+2a 2-3a =(2a -1)(a -1)>0，(x 0)=0所以存在唯一的x 0∈(1,a )，使得f '.(1,x )0(x )<0，所以f (x )时，f '在[1,x )0上单调递减；当x ∈当x (x )0∈(x )>0，所以f (x )时，f ,+∞'在(x )0,+∞上单调递增.(x 又因为f (1)=e1-a-2a +1<e 0-2+1=0，所以f 0)<f (1)<0.又因为f (3)=e3-a+1>0，所以当a >1时，f (x )在[1,+∞)上有且只有一个零点.（3）①当a >1时，f (1)=e 1-a-2a +1<e 0-2+1=0，与当x ≥0时，f (x )≥0矛盾，所以a >1不满足题意.②当a ≤1时，f (0)=e-a+1>0，(x )=e x -f 'a (x )=e x -+2ax -3a ，f ''a +2a ，f ''(0)=e -a +2a .记函数q (x )=e -x+2x ，x ≤1，则q '(x )=-e-x+2，当x ∈(-ln 2,1)时，q '(x )>0，所以q (x )在(-ln 2,1)单调递增；当x ∈(-∞,-ln 2)时，q '(x )<0，所以q (x )在(-∞,-ln 2)单调递减，所以q (x )≥q (-ln 2)=2-2ln 2>0，所以f ''(0)>0.(x )又因为f ''在[0,+∞)上单调递增，(x )≥f ''(0)>0，所以f (x 所以f '')'在[0,+∞)上单调递增.（i ）若f '(0)=e-a-3a ≥0，(x )≥f '(0)≥0，所以f (x )在[0,+∞)上单调递增则f '，则f (x )≥f (0)>0，符合题意；（ii ）若f '(0)=e-a-3a <0，可得a >0，则0<a ≤1.(x -)因为f '(1)=e 1a-a ≥0，且f '在[0,+∞)上单调递增，(x 1)=0所以存在唯一的x 1∈(0,1]，使得f '.(0,x )1(x )<0，所以f (x )时，f '在(0,x )1上单调递减，当x ∈当x (x )1∈(x )>0，所以f (x )时，f ,+∞'在(x )1,+∞上单调递增，其中x 1∈(0,1]，且e x 1-a +2ax 1-3a =0.(x 1)=e x 1-所以f (x )≥f a+ax 12-3ax 1+1(x 12)+1-5x 1+3，=3a -2ax 1+ax 12-3ax 1+1=ax 12-5ax 1+3a +1=a 因为x 1∈(0,1]，所以x 12-5x 1+3∈[-1,3).(x 1又因为a ∈(0,1]，所以a 2)≥-1-5x 1+3，所以f (x )≥0，满足题意.结合①②可知，当a ≤1时，满足题意.综上，a 的取值范围为(-∞,1].。
(完整版)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)
g专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且1，，b a ，则的最小值为 .7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 【解析】∵且∴，解得1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 32log 7log a a b b+=或，∵∴，即．1log 2a b =log 3a b =1，，b a 1log 2a b =2a b =2111111a ab a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=yx -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足,x y，则的最小值为．133(02xy x x+=<<313x y+-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2a b c>>>2a b+=的最小值为.2ac c cb ab+-+【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x，y为正实数，则＋4x4x＋y 的最大值为．yx＋y解析：由于＋==4x4x＋yyx＋y))(4()4()(4yxyxyxyyxx+++++22225484yxyxyxyx++++=1+=1+≤1+=，22543yxyxxy++345x yy x⋅++5423+⋅xyyx43当且仅当4=，即y=2x时等号成立．yxxy【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b3ab a b=++a b+解析：由,得,解得,a b R+∈223(),()4()1202a bab a b a b a b+=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).6a b+≥a b=3ab a b=++3a b==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R+∈22a b a b+=+a b+解析：因为,所以由,,a b R+∈22222()2a ba b a b a b a b++=+⇒+=+≥2()a b+-,解得(当且仅当且,即时,取等号). 2()0a b+≤02a b<+≤a b=22a b a b+=+1a b==2.设，，则的最小值为_______ 4,0>>yx822=++xyyx yx2+3.设，，则的最大值为_________Ryx∈,1422=++xyyx yx+210524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足，则的最小值为195a b+=-ab【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则yx,1=+yx的最小值为 1124+++y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则y x ,111=+yx 的最小值为 .1914-+-y yx x 解析：对于正数x ，y ，由于+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y1+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 114-x x 14-y y x x 1-yy 1-+）2=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-14-y y x x 1-立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．解析：8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点(0)xy a b b =+>，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 411a b+-解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 121++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．b a 1-14-a b 21141-⋅-a b b a29b a 1-14-a b4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有2a=3-b b ，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·ab b a 23+=（2a+3b ）（b 3+a 2）=b a 6+ab6+13≥2a b b a 66⋅+13=25，当且仅当b a 6=ab6，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则ax 2by 12a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab 答案：2【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211ab+--最小值为 ．解析：由得 ，14ab =14a b=2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+-令 则当且仅当71b t -=2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥+-+--+-+- 等号成立．t =g a练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=，那么x 2＋y 2=x 2＋=x 2+－≥2212x x-222(1)4x x -54214x 12－，当且仅当x 2=，即x 4=时等号成立． 121254214x 152．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当d n ar e时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则,x y (1)(1)16x y -+=的最小值为．x y +解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=1116++=y x ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为()8116121116=+⋅+≥+++y y y y 8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取2,0>>b a 3=+b a 214-+b a 得最小值的实数=。
2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题_Word版含答案
2015--2016学年度高一第一学期第一次月考数学试题（时间：90分钟，总分100分）一、选择题（共10小题，每小题4分）1、已知集合P={x ∈N | 1≤x ≤10}，Q={x ∈R| x 2+x －6=0}，则P ∩Q=（ ）A. { 1, 2, 3 }B. { 2, 3}C. { 1, 2 }D. { 2 }2、已知集合U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }，A={ 2, 4, 5, 7 }，B={ 3, 4, 5 }则（C ∪A ）∪（C ∪B ）=（ ）A. { 1, 6 }B. { 4, 5}C. { 2, 3, 4, 5, 7 }D. { 1, 2, 3, 6, 7 }3、设集合A={ 1, 2 }，则满足A ∪B = { 1, 2, 3 }的集合B 的个数是（ ）A. 1B. 3C. 4D. 84、函数f(x)=x 2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则（ ）A. m=－2B. m=2C. m=－1D. m=15、设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f(x)=2x 2－x, 则f(1)等于（ ）A. －3B. －1C. 1D. 36、在区间（－∞，0）上为增函数的是（ ）A. y=1B. y=2x1x +- C. 1x 2x y 2---= D. y=1+x 27、若函数y=f(x)的定义域[－2，4]，则函数g(x) = f(x) + f(－x)的定义域是（ ）A. [－4，4]B. [－2，2]C. [－4，－2]D. [2，4]8、设abc>0，二次函数f(x) = ax 2 + bx + c 的图象可能是（ ）A. B. C. D.9、函数x2y =的单调减区间为（ ） A. R B. （－∞, 0）∪（0, +∞）C. （－∞, 0）, （0, +∞）D. （0，+∞）10、已知定义在R 上的奇函数f(x)在（－∞, －1）上是单调减函数，则f(0), f(－3)+f(2)的大小关系是（ ）A. f(0)<f(－3)+f(2)B. f(0)=f(－3)+f(2)C. f(0)> f(－3) +f(2)D. 不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题4分）11、已知集合A={－1, 1, 2, 4}, B={－1, 0, 2}，则A ∩B= 。
江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高三上学期学情调研测试数学试题
2024-2025学年第一学期六校联合体学情调研测试高三数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2230,N A x x x B =−−≤=∣，则A B = （ ） A. {}0,1B. {}1,2,3C. {}0,1,2,3D. {}1,0,1,2,3− 2. 已知复数z满足)i i z +，则复数z =（ ）A. 12B. 12+C. 1i 2D.1i 2 3. 已知,a b ∈R ，则“22a b −−<”是“22a b >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知()y f x =，x ∈R 为奇函数，当0x >时，2()log 1f x x =−，则集合{|()()0}x f x f x −−<可表示为（ ）A. (2,)+∞B. (,2)−∞− C (,2)(2,)−∞−+∞ D. (2,0)(2,)−+∞5. 已知向量,a b 为单位向量，20a b c ++=且c = ，则a 与b 夹角为（ ） A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π36. 已知()()sin cos ,tan tan 3x y x y x y +=−+=，则()tan x y +=（ ） A. -3 B. -2 C. 3 D. 27. 已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为4的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（ ） A. 12π5 B. 52π81C. D. 52π 8.若2e e x y −=，则x y −最小值为（ ）.的的A. 4ln25B. 4ln23C. 3ln24D. 5ln24二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 抛物线2:2C x py =的焦点为,F P 为抛物线上一动点，当P 运动到(),2t 时，4PF =，直线l 与抛物线相交于A B ､两点，则下列结论正确的是（ ）A. 抛物线的方程为：28x y =B. 抛物线的准线方程为：4y =−C. 当直线l 过焦点F 时，以AF 为直径的圆与x 轴相切D. 当直线l 过焦点F 时，以AB 为直径的圆与准线相切10. 已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若867S S S <<，则下列说法正确的是（ ）A. 当7n =时，n S 最大B. 使得0n S <成立的最小自然数13n =C. 6789a a a a +<+D. 数列n n S a 中的最小项为88S a 11. 已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x ′，且满足()()()()()1,10,12f x y f x f y xy f f +′+=+==，则（ ） A ()()110f x f x −++= B. ()21f =C. ()202410122023f =×D. 20241()20232024k f k ′==×∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分..12. 已知二项式()*3n x n ∈ N 的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为__________.13. 若函数()()sin 2(02π)f x x ϕϕ=+<<的图象向右平移ϕ个单位后在区间π0,2上单调递减，则ϕ=______.14. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左右焦点分别为12,F F ，离心率为2,P 为C 上一点，且12120F PF ∠=，若12F PF 的面积为a =__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数()()1ln 2f x x x ax =+−+.（1）当1a =时，求()f x 的图象在�1,ff (1)�处的切线方程；（2）若函数()f x 在(1,+∞)上单调递增，求实数a 的取值范围.16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设向量()πππ5π4sin ,sin ,cos cos ,2cos2,,,3346m A n A A f A m n A =−=−=⋅∈. （1）求函数()f A 的最小值；（2）若()0,sin f A a B C =+，求ABC 的面积. 17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，,PB PD PA PC =⊥，点,E F 分别为棱,AD PC 的中点.（1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角的大小为60 ，求二面角P BC D −−的余弦值.18. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报名，本周随机选取2人参加．（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；（2）记参加活动的女教师人数为X ，求X 的分布列及期望()E X ；（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y ，求Y 的期望()E Y ．19. 已知椭圆2222:1(0),x y C a b C a b+=>>的上顶点为A ，左､右焦点为12,F F ，离心率为121,2AF F 的面l 与椭圆C 交于,D E 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）当直线l 过点1F 且与直线2AF 垂直时，求ADE 的周长；（3）若OD OE ⊥（O 是坐标原点），求DOE 面积取值范围.的。
2015-2016年江苏省南京市高一下学期期末数学试卷及答案
2015-2016学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应位置上1．（5分）2sin15°cos15°=．2．（5分）经过两点A（1，1），B（2，3）的直线的方程为．3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1=3，a4=5，则a7等于．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x﹣2y+m﹣1=0在y轴上的截距为，则实数m的值为．5．（5分）不等式＞3的解集是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：y﹣1=k（x﹣）不经过第四象限，则实数k的取值范围是．7．（5分）如图，正方形ABCD的边长为1，所对的圆心角∠CDE=90°，将图形ABCE绕AE所在直线旋转一周，形成的几何体的表面积为．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csinA=atanC，则角C的大小是．9．（5分）记数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的n∈N*，都有S n=2a n﹣3，则数列{a n}的第6项a6=．10．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为3，点P为侧棱BB1上一点，则三棱锥A﹣CPC1的体积是．11．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．在下列命题中，正确的是（写出所有正确命题的序号）①若m∥n，n∥α，则m∥α或m⊂α；②若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f（x）=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，则关于x的不等式x2+bx+c＜4的解集是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线x+2y﹣1=0上，则+的最小值是．14．（5分）已知等差数列{a n}是有穷数列，且a1∈R，公差d=2，记{a n}的所有项之和为S，若a12+S≤96，则数列{a n}至多有项．二、解答题:本大题共6小题，共90分。
江苏镇江市、南京市联盟校2024年高一下学期5月学情调查数学试题含 答案
高一年级五月学情调查数学试题注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名、考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题：本小题共8题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．向量()cos 20,sin 20a =︒︒与()cos10,sin10b =︒︒的夹角为（ ）A ．10︒ B ．20︒ C ．30︒D ．40︒2．如图所示直角梯形OABC 上、下两底分别为2和4，高为22则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．63．已知2π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．35B ．35C ．15D ．15−4．已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，则（ ） A ．若//,//m n αα，则//m n B ．若,//m mn α，则n α⊥C ．若,m m n α⊥⊥，则//n αD ．若,m n αα⊥⊥，则//m n5．如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，则下列说法正确的个数为（ ） ①E ，F ，G ，H 四点共面；②//EF 平面ADC ；③EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上. A ．0B ．1C ．2D．3江苏镇江市、南京市联盟校2024年高一下学期5月学情调查数学试题+答案6．在平行四边形ABCD 中，已知4AB =，2AD =，60A =, 点P 在CD 边上，满足4AP AB ⋅=，则AP BP ⋅=（ ）A ．12− B ．0C ．1−D ．17．若π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πsin cos 4θθθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan2θ=（ ） A ．12B ．92C ．5D ．438．以P 为顶点，圆O 为底面的圆锥中，轴截面P AB 为等边三角形，M 为底面圆O 上一点，60AOM ∠=，则异面直线OM 与AP 所成角的余弦值为（ ）A．4B．8 C．4 D ．14二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分. 9．已知向量()1,2a =−，,)1(b λ=，则下列说法中正确的是（ ） A ．若a b ∥，则12λ=B ．若a b ⊥，则2λ=C ．若2λ<，则a ，b 的夹角为钝角D ．若1λ=，则a 在b 上的投影向量的坐标为11,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭10．设12,z z 为复数，i 是虚数单位，则下列结论中正确的是（ ） A ．若11z 为虚数，则1z 也为虚数 B ．若1i 1z +=，则1zC ．1212z z z z =D ．1212z z z z −≤+ 11．如图，正方体1111ABCD A B C D −中，,EF 分别为棱11B C ，1BB 的中点，P 为线段1A D 上的动点，则（ ）A ．对任意的点P ，总有1EFB P ⊥B ．对任意的点P ，总有PE 与1CC 是异面直线 C ．过点,,E FD 的平面截该立方体的截面形状是四边形 D ．异面直线PF 与AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知复数z 满足2023i 1i z =+，其中i 是虚数单位，则z = ．13．如图，已知四棱锥P ABCD −的底面是平行四边形， E 为AD 的中点，F 在线段PA 上，AP AF λ=，//PC 平面BEF ，则λ的值为 .(第13题图) (第14题图)14．镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一。
高中高一数学上学期9月月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市文华高中高一（上）9月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{a，b，c}当中的元素是△ABC的三边长，则该三角形是（）A．正三角形 B．等腰三角形C．不等边三角形 D．等腰直角三角形2．集合{1，2，3}的子集共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个3．已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．4．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定5．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x＜2}6．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=8．函数的定义域是（）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）∩（3，+∞）D．（﹣∞，3）∪（3，+∞）9．设集合M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，则M∪N中元素的个数为（）A．11 B．10 C．16 D．1510．设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，则下列结论正确的是（）A．3∉A，3∉B B．3∉A，3∈B C．3∈A，3∉B D．3∈A，3∈B11．函数f（x）=x2﹣2x∈{﹣2，﹣1，0，1}的值域是（）A．{2，﹣1，﹣2} B．{2，﹣1，﹣2，﹣1} C．{4，1，0，﹣1} D．[2，﹣1，﹣2]12．已知f（x）=3x2+1，则f[f（1）]的值等于（）A．25 B．36 C．42 D．49二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．{x|x＞3}用区间表示为，{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为，{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为．14．0N，Q，N*， Z．15．如图，全集为U，A和B是两个集合，则图中阴影部分可表示为．16．若A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∩B=B，则x=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，某某数a的取值集合．18．设A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，当a为何值时，①A∩B=∅；②A∩B≠∅；③A⊆B．19．已知函数（1）求函数的定义域（2）求f（4）20．已知函数，（1）点（3，14）在函数的图象上吗？；（2）当x=4时，求g（x）的值；（3）当g（x）=2时，求x的值．21．已知f（x）=，求f（f（3））的值．22．已知集合U={x|﹣3≤x≤3}，M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．求：（1）集合N；（2）集合M∩（C U N）；（3）集合M∪N．2015-2016学年某某省某某市文华高中高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{a，b，c}当中的元素是△ABC的三边长，则该三角形是（）A．正三角形 B．等腰三角形C．不等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【专题】阅读型；集合思想；分析法；集合．【分析】由集合中元素的互异性可知，a，b，c互不相等，又a，b，c是△ABC的三边长，由此可得三角形的形状．【解答】解：由集合中元素的互异性可知，a，b，c互不相等，又a，b，c是△ABC的三边长，∴该三角形是不等边三角形．故选：C．【点评】本题考查集合中元素的互异性，考查了三角形形状的判断，是基础题．2．集合{1，2，3}的子集共有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【考点】子集与真子集．【专题】计算题．【分析】集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集．【解答】解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个．故选：D．【点评】本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合M的子集共有2n个．3．已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】先化简集合N，得N={﹣1，0}，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．4．如果集合A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，则a的值是（）A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定【考点】元素与集合关系的判断．【专题】分类讨论．【分析】从集合A只有一个元素入手，分为a=0与a≠0两种情况进行讨论，即可得到正确答案．【解答】∵A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，当a=0时，A={x|2x+1=0}，即A={}．当a≠0时，需满足△=b2﹣4ac=0，即22﹣4×a×1=0，a=1．∴当a=0或a=1时满足A中只有一个元素．故答案为：B【点评】本题考查了元素与集合的关系，需分情况对问题进行讨论，为基础题．5．已知函数f（x）=的定义域为M，g（x）=的定义域为N，则M∩N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＜2} C．{x|﹣2＜x＜2} D．{x|﹣2≤x＜2}【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．【专题】集合．【分析】求出f（x）的定义域确定出M，求出g（x）的定义域确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由f（x）=，得到2﹣x＞0，即x＜2，∴M={x|x＜2}，由g（x）=，得到x+2≥0，即x≥﹣2，∴N={x|x≥﹣2}，则M∩N={x|﹣2≤x＜2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．6．下列五个写法：①{0}∈{1，2，3}；②∅⊆{0}；③{0，1，2}⊆{1，2，0}；④0∈∅；⑤0∩∅=∅，其中错误写法的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】集合的含义．【专题】阅读型．【分析】据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①⑤错，∅是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②④的对错；据集合元素的三要素判断出③对【解答】解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系故①错对于②，∅是任意集合的子集，故②对对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性故③对对于④，因为∅是不含任何元素的集合故④错对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错故选C【点评】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．7．下列各组函数f（x）与g（x）的图象相同的是（）A．f（x）=x，g（x）=（）2B．f（x）=x2，g（x）=（x+1）2C．f（x）=1，g（x）=x0D．f（x）=|x|，g（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的函数是同一函数，它们的图象相同．【解答】解：对于A，f（x）=x（x∈R），与g（x）=（）2=x（x≥0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于B，f（x）=x2（x∈R），与g（x）=（x+1）2（x∈R）的对应关系不同，∴不是同一函数，图象不同；对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数，图象不同；对于D，f（x）=|x|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数，图象相同．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．8．函数的定义域是（）A．（﹣∞，3）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）∩（3，+∞）D．（﹣∞，3）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分式函数的定义域求解．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣3≠0，所以x≠3，即函数的定义域为（﹣∞，3）∪（3，+∞）．故选D．【点评】本题主要考查分式函数的定义域，比较基础．9．设集合M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，则M∪N中元素的个数为（）A．11 B．10 C．16 D．15【考点】并集及其运算．【专题】集合思想；分析法；集合．【分析】直接由M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }，找出M、N中的元素，则M∪N中元素的个数可求．【解答】解：∵M={x|x∈Z且﹣10≤x≤﹣3}={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3}，N={x|x∈Z且|x|≤5 }={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，∴M∪N={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3}∪{﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}={﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}．则M∪N中元素的个数为：16．故选：C．【点评】本题考查了并集及其运算，是基础题．10．设U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，则下列结论正确的是（）A．3∉A，3∉B B．3∉A，3∈B C．3∈A，3∉B D．3∈A，3∈B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用集合间的关系画出韦恩图，结合韦恩图即可得到答案．【解答】解：因为：U={1，2，3，4，5}，A，B为U的子集，若A∩B={2}，（∁U A）∩B={4}，（∁U A）∩（∁U B）={1，5}，对应的韦恩图为：故只有答案C符合．故选：C．【点评】本题考查集合的表示法，学会利用韦恩图解决集合的交、并、补运算．11．函数f（x）=x2﹣2x∈{﹣2，﹣1，0，1}的值域是（）A．{2，﹣1，﹣2} B．{2，﹣1，﹣2，﹣1} C．{4，1，0，﹣1} D．[2，﹣1，﹣2] 【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件，x取﹣2，﹣1，0，1时，可以求出对应的f（x）的值为2，﹣1，﹣2，﹣1，这样便可得出f（x）的值域．【解答】解：x∈{﹣2，﹣1，0，1}；∴f（x）∈{2，﹣1，﹣2}；∴f（x）的值域为{2，﹣1，﹣2}．故选A．【点评】考查函数值域的概念，定义域为孤立点函数的值域的求法，以及列举法表示集合．12．已知f（x）=3x2+1，则f[f（1）]的值等于（）A．25 B．36 C．42 D．49【考点】函数的值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式求解函数值即可．【解答】解：f（x）=3x2+1，则f（1）=3+1=4，f[f（1）]=f（4）=3×42+1=49．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，解析式的应用，考查计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．{x|x＞3}用区间表示为（3，+∞），{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为[﹣2，5]，{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为[﹣2，5）．【考点】区间与无穷的概念．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用区间的表示求解即可．【解答】解：{x|x＞3}用区间表示为：（3，+∞）；{x|﹣2≤x≤5}用区间表示为：[﹣2，5]；{x|﹣2≤x＜5}用区间表示为：[﹣2，5）；故答案为：：（3，+∞）；[﹣2，5]；[﹣2，5）；【点评】本题考查区间与集合的表示，是基础题．14．0∈N，∉Q，∈N*，∉ Z．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合思想；演绎法；集合．【分析】分析给定元素的分类，进而可得元素与集合的关键．【解答】解：0是自然数，故0∈N，是无理数，故∉Q，=4是正整数，故∈N*，是分数，故∉Z；故答案为：∈，∉，∈，∉【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，熟练掌握各种数集的字母表示，是解答的关键．15．如图，全集为U，A和B是两个集合，则图中阴影部分可表示为C U（A∪B）．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；数形结合；定义法；集合．【分析】根据所给图形知，阴影部分所表示的集合代表着不在集合A∪B中的元素组成的．【解答】解：∵图中阴影部分所表示的集合中的元素为不在集合A∪B中元素，即为C U（A∪B），故答案为：C U（A∪B）．【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．16．若A={1，4，x}，B={1，x2}，且A∩B=B，则x= 0，2，或﹣2 ．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】由A∩B=B转化为B⊆A，则有x2=4或x2=x求解，要注意元素的互异性．【解答】解：∵A∩B=B∴B⊆A∴x2=4或x2=x∴x=﹣2，x=2，x=0，x=1（舍去）故答案为：﹣2，2，0【点评】本题主要考查集合的子集运算，及集合元素的互异性．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，某某数a的取值集合．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合．【分析】利用子集的定义，即可解得实数a的取值集合．【解答】解：∵集合A={x|1≤x＜4}，B={x|x＜a}，且满足A⊊B，∴a≥4∴实数a的取值集合为{a|a≥4}．【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，属于以不等式为依托，求集合的子集的基础题，也是高考常会考的题型．18．设A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，当a为何值时，①A∩B=∅；②A∩B≠∅；③A⊆B．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】①由A与B，以及A与B的交集为空集，确定出a的X围即可；②由A与B，以及A与B的交集不为空集，确定出a的X围即可；③由A与B，以及A是B的子集，确定出a的X围即可．【解答】解：①∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B=∅，∴，解得：﹣1≤a≤2；②∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A∩B≠∅，∴a＜﹣1或a＞2；③∵A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，A⊆B，∴a+3＜﹣1或a＞5，解得：a＜﹣4或a＞5．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．已知函数（1）求函数的定义域（2）求f（4）【考点】函数的定义域及其求法；函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用分母不为0，开偶次方被开方数非负，列出不等式组求解即可．（2）利用函数的解析式直接求解函数值即可．【解答】解：（1）要使函数有意义，自变量的取值需要满足．函数的定义域为：（0，+∞）．（2）=．【点评】本题考查函数的定义域的求法，函数值的求法，是基础题．20．已知函数，（1）点（3，14）在函数的图象上吗？；（2）当x=4时，求g（x）的值；（3）当g（x）=2时，求x的值．【考点】函数的值；函数的图象．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】（1）把x=3代入g（x），求出g（3）的值，即可作出判断；（2）把x=4代入g（x），求出g（x）的值即可；（3）根据g（x）=2，求出x的值即可．【解答】解：（1）把x=3代入得：g（3）==﹣≠14，则点（3，14）不在函数的图象上；（2）把x=4代入得：g（4）==﹣3；（3）根据g（x）=2，得到=2，解得：x=14．【点评】此题考查了函数的值，以及函数的图象，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知f（x）=，求f（f（3））的值．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数化简求值即可．【解答】解：f（x）=，f（f（3））=f（32+1）=f（10）=10﹣5=5，∴f（f（3））=5．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，是基础题．22．已知集合U={x|﹣3≤x≤3}，M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．求：（1）集合N；（2）集合M∩（C U N）；（3）集合M∪N．【考点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算．【专题】常规题型；转化思想．【分析】（1）由集合U={x|﹣3≤x≤3}，C U N={x|0＜x＜2}，利用数轴即可解答；（2）由M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}结合数轴即可获得解答；（3）结合（1）由数轴即可获得解答．．【解答】解：（1）∵U={x|﹣3≤x≤3}，C U N={x|0＜x＜2}．∴N={x|﹣3≤x≤0或2≤x≤3}；（2）∵M={x|﹣1＜x＜1}，C U N={x|0＜x＜2}．∴M∩（∁U N）={x|0＜x＜1}；（3）由（1）知N={x|﹣3≤x≤0或2≤x≤3}又∵M={x|﹣1＜x＜1}∴M∪N={x|﹣3≤x＜1或2≤x≤3}．【点评】本题考查的是集合的交集、并集、补集及其运算．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想以及集合交并补的运算．值得同学们体会反思．。
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
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江苏南京市2015-2016学年高一上学期期末调研数学试题南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研高一数学 2016.01 注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为100分，考试时间为100分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案．．．写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．．．．．．．．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．函数f (x)＝ 1的定义域是 x – 32．集合{0，1}的子集的个数为3．求值：log345－log35＝4．已知角 的终边经过点P(2，－1)，则sin 的值为．5．已知扇形的半径为3cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为2．6．函数f (x)＝cos (x－)，x [0，的值域是 7．三个数a＝0.32，b＝log20.3，c＝20.3之间的大小关系是▲ （用a，b，c表示，并用“＜”连结）．8．将函数y＝sin2x ▲ ． 9．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝2，→→→1→→→且BE＝EC，DFFC，则AE·BF＝▲ ． 2（第9题） C E 310．已知函数f (x)＝－log2x的零点为x0，若x0 (k，k＋1)，其中k为整数，则k＝高一数学期末调研第 1 页共 9 页ex，x≤0，111．已知函数f (x)＝ 其中e为自然对数的底数，则f [f()]＝ ln x，x＞0，12．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0，＋ )上是单调增函数，且f (lgx)＜f (1)，则x的取值范围是▲ ．13．若函数f (x)＝m·4x－3×2x1－2的图象与x轴有交点，则实数m 的取值范围是▲ ．＋14．若函数f (x)＝sin(ωx＋) (ω＞0) 在区间[0，2 ]上取得最大值1和最小值－1的x的值均唯一，则ω的取值范围是▲ ．．．．．．．．．二、解答题：本大题共6小题，共58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分8分）4 已知sin x＝0≤x．（1）求cos x的值；cos(－x)（2）求的值． sin(x) －sin(2 － x)16．（本小题满分10分）已知向量a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，c＝(3，4) ．（1）求a· (b＋c)；（2）若(a＋ b)∥c，求实数 的值．高一数学期末调研第 2 页共 9 页17．（本小题满分10分）经市场调查，某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数，日销售量(单位：件)近似地满足：f (t)＝－t＋30(1≤t≤20，t N*)，日销售价格(单位：元)近似地2t + 40，1≤t≤10，t N*，满足：g(t)＝ 15，11≤t≤20，t N*．（1）写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系；（2）当t等于多少时，日销售额S最大？并求出最大值．18．（本小题满分10分）已知函数f (x)＝Asin( x＋ )（A＞0， ＞0，0＜ ＜2 ）的部分图象如图所示，5 且f (0)＝f ()．（1）求函数f (x)的最小正周期；（2）求f (x)（第18题）高一数学期末调研第 3 页共 9 页19．（本小题满分10分）已知| a |＝，| b |＝5，a·b＝－5，c＝x a＋(1－x) b．（1）当b c时，求实数x的值；（2）当| c |取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值．20．（本小题满分10分）对于定义在[0，＋ )上的函数f (x)，若函数y=f (x)－(ax＋b)满足：①在区间[0，＋ )上单调递减；②存在常数p，使其值域为(0，p]，则称函数g (x)＝ax＋b为f (x)的“渐近函数”．x2＋2x＋3（1）证明：函数g(x)＝x＋1是函数f (x)，x [0，＋ )的渐近函数，并求此时实x＋1数p的值；（2）若函数f (x)＝x＋1，x [0，＋ )的渐近函数是g (x)＝ax，求实数a的值，并说明理由．高一数学期末调研第 4 页共 9 页南京市2015－2016学年度第一学期期末学情调研高一数学参考答案 2016.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分．1． (3，＋ ) 2．4 3．2 4．－515． 9 6．[，1] 7．b＜a＜c 8． y＝sin(2x－)119．－4 10．2 11 12．(10)71313． (0，＋ ) 14．[，二、解答题：本大题共6小题，共58分． 15．解（1）因为sin 2x ＋cos2 x＝1，49所以cos 2x＝1－sin2 x＝1－2＝……………………… 2分3又因为0≤x≤，故cos x≥≤0，所以cos x＝………………… 4分cosx（2）原式＝cosx―(―sinx)cosx＝……………………… 7分 cosx＋sinx3．……………………… 8分＋3＝16．解（1）因为b＋c＝(3，－2)＋(3，4)＝(6，2)，……………………… 2分所以a·(b＋c)＝(2，－1)·(6，2)＝12－2＝10．……………………… 5分（2）因为a＋ b＝(2，－1)＋(3 ，－2 )＝(2＋3 ，－1－2 )，又(a＋ b)//c，所以4(2＋3 ＝3(－1－2 )，……………………… 8分 11解得 ＝－．……………………… 10分17．解（1）由题意知，S＝f (t)·g(t)(2t＋40)(－t＋30)，1≤t≤10，t N*，＝ ………… 4分 15(－t ＋30)，11≤t≤20，t N*．（2）当1≤t≤10，t N*时，S＝(2t＋40)(－t＋30)＝－2 t2＋20t＋1200＝－2 (t－5)2＋1250．因此，当t＝5时，S最大值为1250；……………………… 7分当11≤t≤20，t N*时，S＝15(－t＋30)＝－15t＋450为减函数，因此，当t＝11时，S最大值为285．……………………… 9分综上，S的最大值为1250．答：当t＝5 时，日销售额S最大，最大值为1250元．…………… 10分5 0518．解（1）由题意知，函数图象的一条对称轴为x＝＝………… 2分T5则即T＝ ．所以函数的最小正周期是π．……………………… 4分 2（2）由图可知，A＝2，因为T＝ ，所以 ＝2．……………………… 6分5 5 5又f(＝－2，所以2 sin( )＝－2，即sin(＋ )＝－1，5 4因此 ＝2k － ＝2k －k∈Z．2 因为0＜ ＜2 ，所以 ＝2所以函数的解析式为f (x)＝2sin(2x＋．……………………… 8分2由2k －2x≤2k ＋，k∈Z，7解得k －≤x≤k －k∈Z，所以函数的单调增区间为[k －19．解（1）b·c＝b·[xa＋(1－x) b]＝x b·a＋(1－x) b 21＝x×(－5)＋(1－x)×5＝0，解得x＝．……………… 4分（2）| c |2＝[xa＋(1－x) b]2＝x2a2＋2x(1－x) a·b＋(1－x)2 b 2 ＝10x2－10x(1－x)＋5(x－1)2 ＝25x2－20x＋5 2＝25(x2＋1．2所以，当x＝时，| c |2有最小值1，即| c |有最小值1． (7)分23此时，c＋b．23又a·c＝a·（a）2323＝a2＋a·b＝10＋×(－5)＝1．设向量a，c的夹角为 ，a·c110＝．……………………… 10分 110x2＋2x＋3－(x＋1)2x2＋2x＋3220．解（1）由题意知，f (x)－x－1－x－1＝＝．x＋1x＋1x＋12易知，函数y＝在[0，＋ )上单调递减，且值域为(0，2]．x＋1则cos ＝x2＋2x＋3所以，函数g(x)＝x＋1是函数f (x)＝x [0，＋ )的渐近函数，x＋1此时p＝2．……………………… 3分7， k －]，k∈Z．……………… 10分（2）①当a＞1时，考察函数yx＋1－ax，令y＝0，得x＋1＝ax，两边平方得x2＋1＝a2x2，所以x2＝因为x≥0，所以x＝1，即xa－11a－11时，函数yx＋1－ax的值为0． a－1因此，函数y＝x＋1－ax的值域不是(0，p]．所以g(x)＝ax不是函数f (x)＝x＋1的渐近函数．………………… 5分②当a＝1时，考察函数yx＋1－x，由于x＋1－x＝1，下面考察tx＋1＋x． 2＋＋x1x任取x1，x2 [0，＋ )，且x1＜x2，则t1－t2＝x1＋1＋x1－x2＋1－x2x1＋1－x2＋1＋x1－x2x1－x2x1＋1 +22x2＋1＋x1－x2＝(x1－x2x1＋x2＋1)＜0，＋＋＋x11x21所以函数tx＋1＋x在[0，＋ )上单调递增，又当x无限增大时，t的值也无限增大，所以t的取值范围是[1，＋ )． 1因为函数y＝在(0，＋ ）单调递减，t从而函数y＝x＋1－x在[0，＋ ）单调递减，且值域为(0，1] ．所以g(x)＝x是f (x)＝x＋1的渐近函数．………………… 8分③当0＜a＜1时，方法（一）y＝x＋1－ax＝(x＋1－x)＋(1－a)x 因为x＋1－x (0，1]，所以y＞(1－a)x．假设y＝ax是f (x)x＋1的渐近函数，则y＝x＋1－ax的值域为(0，p]，故y的最大值为p． pp设(1－a)x＝p，则x＝x＞y＞p，矛盾．1－a1－a所以，此时g(x)＝ax不是函数f (x)的渐近函数．……………………… 9分方法（二）记F(x)＝x＋1－ax，则F(0)＝1，由x＋1－ax＝1x＋1＝ax＋1，解得x＝2a2a，＞0，即F(0)＝F(1－a1－a所以函数y＝x＋1－ax在[0，＋ )上不单调，所以g(x)＝ax不是函数f (x)的渐近函数．……………………… 9分④若a≤0，则函数y＝x＋1－ax在[0，＋ )上单调递增，不合题意．综上可知，当且仅当a＝1时，g(x)＝x是函数f (x)＝x＋1的渐近函数．……………………… 10分。