19-20版：§5 简单的幂函数(一)(步步高)

√D.幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限
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3.若a<0，则0.5a，5a，5－a的大小关系是
A.5－a<5a<0.5a
√B.5a<0.5a<5－a
C.0.5a<5－a<5a
D.5a<5－a<0.5a
解析 5－a＝15a，因为 a<0 时，函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是减函数，且15<0.5<5， 所以5a<0.5a<5－a.
√A.2
B.1
C.12
D.0
解析 因为f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数， 所以a＝1，－b＋1＝0， 即a＝1，b＝1，则a＋b＝2.
题型二 幂函数的图像及应用
例 2 若点( 2，2)在幂函数 f(x)的图像上，点－2，14在幂函数 g(x)的图像上，问 当 x 为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x).
解析 令m2－m－1＝1得：m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3符合要求. 当m＝－1时，m2－2m－3＝0不符合要求.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为 常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)当α＞0时，图像过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图像上升；当α＜0时，图像不 过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，当α ＞1时，曲线下凸；当0＜α＜1时，曲线上凸；当α＜0时，曲线下凸. 3.在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这 时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质.
又25>13，∴250.3>130.3.
(2)－23－1 与－35－1； 解 ∵y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 又－23<－35，
∴－23－1>－35－1.
核心素养之数学抽象与直观想象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG YU ZHI GUAN XIANG XIANG
R
y＝x2 __R_ _[_0_，__＋__∞__)_
y＝x3
1
y＝ x 2
_R__ _[0_，__＋__∞__)_
__R__ _[_0_，__＋__∞__)_
y＝x－1 _{_x_|_x≠__0_}__ _{_y_|_y≠__0_}__
单调性
在[0，＋∞) 上 增加 ，
增
_增___
在(－∞，0]上_减__少__
幂函数性质的应用
典例 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图像关于y轴对称且在(0，＋∞)上是减函数，
m
m
求满足 (a 1) 3 <(3 2a) 3 的a的取值范围.
素养
评析 (1)幂函数y＝xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关， 故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性，也可由这些性质去限制α 的取值. (2)通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以， 本典例体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养.
PART ONE
知识点一 幂函数的概念
如果一个函数底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数.
知识点二 幂函数的图像与性质 1
如图在同一坐标系内作出函数(1)y＝x；(2)y＝x 2；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图像.
填写下表：
y＝x
定义域 _R__
值域
第二章 函 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解幂函数的概念. 2.掌握 y＝xαα＝－1，12，1，2，3的图像与性质. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂 函数有关问题.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习 题型探究 达标检测
1 自主学习
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.y＝－1x是幂函数.( × )
2.当x∈(0,1)时，x2>x3.( √ )
3
6
3.y＝x 2 与y＝x 4 定义域相同.( × )
4.若y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )
2 题型探究
PART TWO
√C.－2，43，34
D.34，43，－2
(2)下列关于函数 y＝xα 与 y＝αxα∈－1，12，2，3的图像正确的是
√
题型三 利用幂函数的性质比较大小
2
例3 设函数f(x)＝x 3 ，若f(a)＞f(b)，则
√A.a2＞b2
B.a2＜b2
C.a＜b
D.a＞b
2
解析 ∵函数f(x)＝x 3在第一象限为增函数，
本课结束
3 达标检测
PART THREE
1.下列幂函数中，定义域不是R的是
A.y＝x
3
√B.y＝x 2
2
C.y＝ x 5
3
D.y＝ x 5
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2.以下结论正确的是 A.当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
_增___
在(0，＋∞) 上 减少 ， 在(－∞，0)上__减__少__
总结 根据上表，可以归纳一般幂函数特征： (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图像都过点 (1,1) ； (2)α>0时，幂函数的图像通过 原点 ，并且在区间[0，＋∞)上是 增 函数.特别地，当 α>1时，幂函数的图像下凸；当0<α<1时，幂函数的图像上凸； (3) α<0 时，幂函数的图像在区间(0，＋∞)上是减函数； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称； (5)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序， 幂指数按从 小 到 大 的顺序排列.
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4.已知幂函数 f(x)的图像过点(4,2)，则 f 18＝___42____.
解析 设幂函数f(x)＝xα. ∵f(4)＝4α＝2，
∴α＝12.
1
即f(x)＝ x2
1
∴f
18＝
1 8

2
＝
2 4.
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5.若幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3 在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝__2___.
由f(a)＞f(b)可知|a|＞|b|，∴a2＞b2.
反思
感悟 注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性.
跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)250.3 与130.3； 解 ∵0<0.3<1， ∴y＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数.
解 由题意得m2n2－＋32＝m－0，2＝1，
m＝－3， m＝1，
解得n＝32
或n＝32.
所以 m＝－3 或 1，n＝32.
反思
感悟 只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三
个条件，才是幂函数. 如：y＝3x2，y＝(2x)3，y＝2x4 都不是幂函数.
题型一 幂函数的概念
例1 (1)下列函数： ①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1).
其中幂函数的个数为
A.1
√B.2
C.3
D.4
解析 幂函数有①⑥两个.
(2)已知y＝ (m2＋2m－2)xm2－2＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图像过点12， 22，则 k＋α 等于
1
A.2
B.1
√3 C.2
D.2
解析 由幂函数的定义知k＝1.
又 f 12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
延伸探(x)，定义 h(x)＝
试画出 h(x)的图像.
gx，fx>gx，
解 h(x)的图像如图所示：
反思
感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图像特点，数形结合可
求解关于幂函数的不等式与方程.
跟踪训练2 (1)如图所示，C1，C2，C3为幂函数y＝xα在第一象限内的图像，则解析 式中的指数α依次可以取 A.43，－2，34 B.－2，34，43