江西省宜春市宜春中学高中数学 函数的极值导学案(一)文 新人教A版选修1-2
高二数学3.3.2函数的极值与导数学案新人教A版选修1-1
?基础梳理
1．极值的概念．
如果函数 y ＝ f ( x) 在点 x＝ a 的函数值 f ( a) 比它在点 x＝ a 附近其他点的函数值 都小，f ′ ( a)
＝0，而且在点 x＝ a 附近的左侧 f ′（x ) ＜ 0，右侧 f ′（x) ＞ 0，则把点 a 叫做 y ＝ f ( x) 的极小值
a 的取值范围是 ________ ．
解析： f ′（x) ＝ x2＋ 2x＋ a，∵ f ( x ) 在 R 上没有极值点，∴Δ＝ 4－ 4a≤0，∴ a≥ 1.
答案： a≥１ 4．求函数 f ( x) ＝－ x( x －2) 2 的极值．
解析： 函数 f ( x ) 的定义域为 R. f ( x) ＝－ x( x2－ 4x ＋ 4) ＝－ x3＋ 4x2－ 4x， ∴ f ′ ( x) ＝－ 3x2＋ 8x － 4＝－ ( x － 2)(3 x－ 2) ，
1
a＝－ ，
解得
2
b＝－ 2. 即 f ′（x ) ＝ 3x2－ x－ 2＝ (3 x ＋ 2)( x － 1) ．函数 f ′ ( x) ，f ( x) 的变化情况见下表：
2
2
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 －∞，－ 3 与 (1 ，＋∞ ) ，递减区间是 － 3， 1 .
1． f ′（x 0) ＝ 0 是函数 y ＝f ( x) 在 x ＝ x0 处有极值点的 ( C) A．充分不必要条件 B ．充要条件
点， f ( a) 叫做函数 y ＝ f ( x) 的极小值；如果函数 y＝ f ( x ) 在点 x＝ b 的函数值 f ( b) 比它在点 x ＝ b
附近其他点的函数值都大， f ′( b) ＝ 0，而且在点 x＝ b 附近的左侧 f ′（x) ＞ 0，右侧 f ′（x ) ＜ 0，
函数的极值与导数 学案——高二上学期数学人教A版选修2-2
《1.3.2 函数的极值与导数》学案【课标要求】理解函数极值的概念，感受函数图像在刻画极值中的作用；经历从具体函数的极值点、极值抽象出一般函数极值点、极值的过程；掌握用导数求可导函数的极值的方法；通过函数极值与导数的学习，进一步体会数形结合、由特殊到一般、函数与方程的思想。
【学习目标】1.经历从具体函数的图象认识极值点、极值，抽象出一般函数的极值点、极值的过程；理解函数极值的概念。
2.会用导数求简单的可导函数的极值。
3.了解可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件。
重点：理解函数极值的概念，会用导数求简单的可导函数的极值。
难点：对可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件的理解。
【评价任务】1.完成第一次先学后教的问题1,2和极值的判定方法1,2；2.完成思考1,2；3.独立完成第二次先学后教的问题1,2,3,4；4.通过讨论和合作学习完成第三次先学后教的问题.【学习过程】资源与建议1.函数的极值与导数是导数在研究函数中的应用—函数的单调性、函数的极值、函数的最值中的第二类应用，是学习函数的最值与导数的前备知识；函数的单调性与导数的关系是本节课中探究函数极值求法的基础。
2. 本节课的学习按以下流程进行：函数极值的概念 函数极值的判定方法 求极值的步骤 简单应用。
需要准备的知识：复习（1）单调性与导数的关系：若f ′(x )＞0，则f (x )单调递 ；若f ′(x )＜0，则f (x )单调递 。
（2）充分条件与必要条件的概念：p q ，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件.一、结合函数图像，引出极值概念第一次“先学后教”：自学课本2726P P -，思考并完成以下问题。
1.从图1.3-8可知，=)('a h ，),0(a t ∈时，的单调性？)(t h ，)('t h 的正负？ ；),(+∞∈a t 时，的单调性？)(t h ，)('t h 的正负？ 。
)(t h a t 是=的极 ，的极是)()(t h a h 。
江西省宜中学高中数学 2.4.1 二次函数的性质导学案 新人教版必修1
江西省宜春中学高中数学 2.4.1二次函数的性质导学案 新人教版必修1【教学目标】1.理解二次函数的定义并灵活运用二次函数三种形式解析式；2.会求二次函数在闭区间上的值域。
【一、预习导航，要点指津1．二次函数的定义（约3分钟） （1）形如=)(x f )0(2≠++a c bx ax 的函数叫做二次函数，其中a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项。
（2）二次函数解析式的三种形式(1)一般式：=)(x f )0(2≠++a c bx ax ； (2)顶点式：=)(x f )0()(2≠+-a k h x a ；(3)零点式：=)(x f )0)()((21≠--a x x x x a 。
说明：①所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x 轴有交点的二次函数才有零点式；②确定二次函数的解析式，一般地，若已知三个点的坐标，设函数为)0(2≠++=a c bx ax y ；若已知二次函数的顶点坐标）（k h ,或对称轴h x =或最值，则设函数为)0()(2≠+-=a k h x a y ；若已知二次函数的图像与x 轴的交点的坐标，则设函数为)0)()((21≠--=a x x x x a y 。
2.二次函数的图像 首先将二次函数的解析式整理成顶点式=)(x f )0()(2≠+-a k h x a ，由二次项系数a 确定开口方向，顶点坐标为）（k h ,，图像关于h x =轴对称，从而快速画出二次函数图像的草图。
练习1、二次函数22--=x x y 的开口向 ，顶点坐标为 ，图像关于直线 对称,与x 轴的交点个数为 , 其零点式为 ，并画出其草图。
练习2、抛物线7182-+--=m x m x y ）（的顶点在x 轴上，则=m 。
【答案】：①上，），（4921-，21=x ，2，)2)(1-+=x x y （；②9或25） 【教学笔记】3、二次函数的性质a >0a <0图象图象 特点①对称轴：x ＝－b2a； ②顶点：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 性质定义域 R x ∈值域⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,442a b ac y ⎥⎦⎤⎝⎛-∞-∈a b ac y 44,2单调性⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-∈a b x 2,时递减，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-∈,2a b x 时递增。
人教A版选修1-1教案：3.2函数的极值与导数(含答案)
§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。
在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。
【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念.（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.（3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图利用教材在§3.3.1中的例1引入函数的极值概念①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其附近导数的正负：f(1)在x=1点及其附近是最小——'(1)0f=；y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——'()0f x<；y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——'()0f x>；提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其附近导数的正负：学生模仿完成考虑到极值与最值容易混淆，学生对已有知识的同化易接受，我们以§3.3.1中的例1引出极值的概念，具体直观，同时对极值与最值区分是一目了然的。
课后练习1、函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件答案 D 对于3'2'(),()3,(0)0,f x x f x x f ===不能推出()f x 在0x =取极值，反之成立2、函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11-C 极大值5，无极小值D 极小值27-，无极大值答案C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A 1个B 2个C 3个D 4个答案 A 极小值点应有先减后增的特点，即'''()0()0()0f x f x f x <→=→>4、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a=( ) A, 2 B. 3C. 4D. 5答案：5、若函数()()2f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 答案6 '22'2()34,(2)8120,2,6f x x cx c f c c c =-+=-+==或，2c =时取极小值6、函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m=__________答案7、已知函数23bx ax y +=，当1x =时，有极大值3； （１） 求,a b 的值；（2）求函数y 的极小值解：（1）'232,y ax bx =+当1x =时，'11|320,|3x x y a b y a b ===+==+=，即320,6,93a b a b a b +=⎧=-=⎨+=⎩（2）32'269,1818y x x y x x =-+=-+，令'0y =，得0,1x x ==或0|0x y y =∴==极小值。
高中数学《函数的极值与导数》导学案 新人教A版选修2-2
吉林省长春市实验中学高二数学《函数的极值与导数》导学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤 【重点难点】 重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.【自主学习】阅读教材2726P P 页，并回答下面几个问题1．如何定义函数的极值，极值与极值点是否相同。
2．完成27P 页探究问题【合作释疑】 探究一：函数的最值和极值是否相同？探究二：归纳出求函数极值的步骤。
【巩固训练，整理提高】一．例题例1．求函数y =31x 3－4x +4的极值例2．求y =(x 2－1)3+1的极值（实验班）例3 求 f (x )＝x 2e －x 的单调区间及极值二．变式训练1．求下列函数的极值.(1)y =x 2－7x +6 (2)y =x 3－27x2．（实验班）已知函数f (x )＝x e －x (x ∈R )，求函数f (x )的单调区间和极值．三．巩固训练1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图，则函数f (x )( )A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点2．函数f (x )＝x ＋1x在x >0时有( ) A ．极小值 B ．极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．极值不存在3．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝______. 4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a 、b 的值分别为________、________.（实验班5~9）5．函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <127．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )A ．－1<a <2B ．－3<a <2C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6 8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝x 3－92x 2＋6x －a . (1)对于任意实数x ，f ′(x )≥m 恒成立，求m 的最大值； (2)若方程f (x )＝0有且仅有一个实根，求a 的取值范围．四．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？【作业】教材第29页第2题。
高中数学 第三章《函数的极值与导数》教案 新人教A版选修1-1
§3.3.2函数的极值与导数教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤；教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 新课讲授一、 导入新课观察下图中P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点的函数值以及点P 位置的特点3.3-83.3-9o ax 1x 3b xyP (x 1,f (x 1))y=f (x ) Q (x 2,f (x 2))o a x 1 x 2 x 3 x 4 b x y)(1x f)(4x f函数图像在P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在P 点附近，P 点的位置最高，函数值最大 二、学生活动学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构极值点的定义:观察右图可以看出，函数在x =0的函数值比它附近所有 各点的函数值都大，我们说f (0)是函数的一个极大值；函数在x =2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f (2)是函数的一个极小值。
《函数的极值与导数》教案新人教A版选修
数学：1.3.2《函数的极值与导数（2）》教案（新人教A版选修2-2）
1．3．2 函数的极值与导数(2)
一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用.
二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值
的步骤.
三、教学过程：
（一）复习引入
（1）函数的极值点xi是区间[a, b]内部的点，区间的端点
不能成为极值点．
（2）、函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值
不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．
（3）函数在[a, b]上有极值，其极值点的分布是有规律的，
像相邻两个极大值间必有一个极小值点．
练习：（1）见课件
（2）见课件
（二）讲授新课
练习：（1）已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且知当x＝
－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f (x)
的极小值，并求a、b、c的值
（三）小结
（四）作业：见资料。
江西省宜春市宜春中学高中数学 函数的极值导学案(二)文 新人教A版选修1-2
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 函数的极值导学案（二）文 新人教A 版选修1-2学习目标：（1）进一步理解与掌握函数极值的判定方法和求可导函数极值的步骤。
（2）会由函数的单调性、极值来确定参数或参数的取值范围。
学习重点：解决含参数的极值问题。
学习难点：用分类讨论法求函数在指定含参数的区间上的极值。
教学流程：一、预习导航，要点指津（约5分钟）引例1.0()0f x ¢=是函数()f x 在0x 处取得极值的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件引例2.设a R Î，若函数x y e ax =+()x R Î有大于零的极值点，则 （ ）A.1a <-B. 1a >-C. 1a e <-D. 1a e>-二、自主探索，独立钻研（约14分钟）＊＊例1.已知函数3()f x x =22mx nx ++-的图像过点(-1，-6)，且函数()()6g x f x x ¢=+的图像关于y Y 轴对称．(1)求m n 、的值及函数的()y f x =单调区间；(2)若0a >，求函数()y f x =在区间(1,1)a a -+内的极值．＊＊例2.设函数3()3f x x ax b =-+(0)a ¹.(1)若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处与直线8y =相切，求,a b 的值；(2)求函数()f x 的单调区间与极值点．三、分组合作，议疑解惑（约6分钟）＊＊＊例3.已知函数41()4f x x =+32213ax a x -4a +(0)a >. (1)求函数()y f x =的单调区间；(2)若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．四、展示成果，总结升华（叫学生演板，约5分钟）展示例1、例2的解析过程。
五、重点、难点、疑点评析（约2分钟）（1）例1考查运用导数研究函数性质的方法以及分类与整合，转化与划归等数学思想方法，例3考查了单调性、极值、不等式、函数图像等知识点，解题的关键是根据单调性、极值点画出函数的示意图。
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 独立性检验(第1课时)导学案 文 新人教A版选修1-2
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 独立性检验（第1课时）导学案 文新人教A 版选修1-2【使用说明】独立性检验内容划分为两个课时学习，第一课时为独立性检验的基本思想、方法及初步应用；第二课时为运用χ2统计量进行独立性检验。
本导学案在第一课时使用，第二课时不使用导学案。
【学习目标】（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求22⨯列联表）的基本思想、方法及初步应用； （2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；（3）能运用χ2统计量进行独立性检验． 【重点难点】重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤 难点：基本思想的领会及方法应用 【课堂流程】 一、导学1.对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量2.独立性检验利用统计量2χ 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。
3.独立性检验的一般步骤：一般地，对于两个研究对象A 和B ，A 有两类取值：1A 和2A （如吸烟与不吸烟），B 也有两类取值：1B 和2B （如患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病），得到如下表所示：推断“A 和B 有关系”的步骤为：第一步，提出假设0H ：两个分类变量A 和B 没有关系； 第二步，根据2×2列联表和公式计算2χ统计量； 第三步，查对课本中临界值表，作出判断．4.卡方2χ统计量公式： ）（d c b a n db c a d c b a bc ad n +++=++++-=))()(()(22χ（1）当2.7062≤χ时，没有充分的证据判定变量A ，B 有关联，可以认为变量A ，B 是没有关联的；（2）当 2.7062>χ 时，有90％的把握判定变量A ，B 有关联；（3）当841.32>χ 时，有95％的把握判定变量A ，B 有关联；（4）当 635.62>χ 时，有99％的把握判定变量A ，B 有关联；例.在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：该种血清能否起到预防感冒的作用？分析：在使用该种血清的人中，有48.4%500=的人患过感冒；在没有使用该种血清的人中，有28456.8%500=的人患过感冒，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大．从直观上来看，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．解：提出假设0H ：感冒与是否使用该种血清没有关系．由列联表中的数据，求得221000(258284242216)7.075474526500500χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯∵当0H 成立时，2 6.635χ≥的概率约为0.01，∴我们有99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．二．探究与讨论1．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集哪些数据？ ．2.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ C ）A.若2χ的观测值为k=6.635,我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必 有99人患有肺病;B.从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;C.若从统计量中求出有95% 的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5% 的可能性使得推判出现错误;D.以上三种说法都不正确.*3.. 具体数据如下表：2χ250(1320107) 4.84423272030⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∵2χ 3.841≥，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为 ．（答案：5%） 3.8415.024**4.在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是（ D ）A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有三、当堂检测1.下面关于卡方说法正确的是( B )A.2χ在任何相互独立的问题中都可以用于检验有关还是无关B.2χ的值越大，两个事件的相关性就越大C.2χ是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当K 2的值很小时可以推定两类变量不相关D.2χ的观测值的计算公式是db c a d c b a bc ad n ++++-=))()(()(22χ2.根据下表，2χ≈_____________.(保留两位小数) 1.393.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人。
江西省宜春市宜春中学高中数学 框图导学案 文 新人教A版选修1-2
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 框图导学案 文 新人教A 版选修1-2审核：年 月 日星期 第 节 班 学号 姓名 【使用说明】框图分为两个课时学习，第一课时为流程图；第二课时为结构图。
本导学案在第一课时使用，第二课时不使用导学案。
【学习目标】1) 通过实例，进一步认识程序框图；2) 理解流程图、的概念，并掌握流程图、结构图的特征； 3) 了解流程图、的分类，并会画各类流程图、结构图；4) 理解画流程图步骤，绘制简单的流程图，体会流程图、结构图在解决实际问题中的作用。
【重点难点】重点：根据实际绘流程图、结构图，并进一步认识程序框图。
难点：绘制各种流程图、结构图。
【课堂流程】 一、导学1.框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示。
2. 流程图是由一些 图 框 和 流 程 线 组成的，其中图框表示各种操作的类型，图框中的文字和符号表示操作的内容，流程线表示操作的先后次序。
3.我们可以使用流程图表示各种工作程序，例如办税流程图，图书流程图，房屋买卖流程图，国家公务员录用流程图，学位申请流程图，等等。
流程图已经成为我们表示工作方式、工艺流程的一种常用手段，它的特点是直观、清晰。
使阅读者能以较快的速度把握信息。
为了提高效率，我们通常把一种解决数学问题的一般方法总结成算法的形式，并用框图来表示算法。
4.结构图: 描述系统结构的图示 。
一般有构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线（或方向箭头）构成，连线通常按照从上到下，从左到右的方向表示要素的从属关系 或 逻辑的先后关系 。
一般有知识结构图 和组织结构图 。
6.流程图的画法：（1）工序流程图：将一个工作或工程从头到尾依先后顺序分为若干道工序，每一道工序用矩形框表示，并在该矩形框内注明此工序的名称或代号，两相邻的工序之间用流程线相连。
（2）算法流程图：算法流程图是用一种规定的图形。
①使用标准的规定的框图符号；②按从上到下的顺序画；③除判断框和起止框外，大多流程图符号只有一个入点和一个出点；④在图形符号内的语言要简洁明了。
新课标数学选修1-1函数的极值与导数导学案2
13.3.2函数的极值与导数【学习目标】1．理解极值的概念，会求极值．2．掌握求可导函数的极值的方法与步骤． 3．体会用导数工具求解函数问题的优越性．【学习重点】利用导数求极大、极小值【学习难点】利用导数求极大、极小值【使用说明及学法指导】1．用15分钟左右的时间，阅读探究课9396p p -的内容，熟记基础知识．自主高效预习，提升自己的阅读理解能力．2．完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测题． 3．将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处．自主学习一、教材助读（问题形式）1．什么叫做极值?2．是否所有函数都有极值？3．极大值一定大于极小值吗？4．求可导函数)(x f 的极值的步骤是什么？5．导数为0的点是否为极值点？极值点处的导数是 否为0？二、自学检测1． 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；2． 下图是导函数)(x f y =的图像，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点．合作探究基础知识梳理（以填空形式呈现）1． 定义我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． 极值反映了函数在某一点附近的 ， 刻画的是函数的 ． 2．(1)函数的极值 （填是，不是）唯一的． (2)一个函数的极大值是否一定大于极小值． (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点． (4)导数为0的点是否一定是极值点． 3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它比如：函数（是或不是）极值点．(5) 导数为0是点为极值点的 条件． 3．求可导函数f (x )的极值的步骤:(1) ； (2) ； (3) ；(4)； 探究一1．已知)0()(23≠++=a cx bx ax x f 在1±=x 时取得极值，且1)1(-=f ．试求常数c b a ,,的值．2规律方法总结：探究二如图是导函数()y f x '=的图像,在标记的点中，在哪一点处： （1）导函数()y f x '=有极大值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？ （3）函数()y f x =有极大值？ （4）导函数()y f x =有极小值？反馈练习1．设0x 为可导函数)(x f 的极值点，则下列说法正确的是 ()A ．必有0)(0'=x fB ．)(0'x f 不存在C ．0)(0'=x f 或)(0'x f 不存在D ．)(0'x f 存在但可能不为002．函数9-3)(23x ax x x f ++=，已知(x)f 在3-=x 时取得极值，则=a ( )A ．2B ．3C ．4D ．53．a x x f +=x 6-)(3的极大值为________．4．求函数xx f 1x )(+=的极值．。
《函数的极值与导数》(人教A版).doc
经全国中小学教材审定委员会2005年初审通过普通高中课程标准实验教科书选修2-2人民教育出版社课程教材研究所编严中学数学课程教材研究开发中心•《函数的极值与导数》I ♦教材分析]《函数极值与导数＞＞是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。
♦教学目标J 丿【知识与能力目标】掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解两数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点兀0与/'（兀0）二0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力。
【过程与方法目标】培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
【情感态度价值观目标】培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学小的局部与整体的辨证关系。
♦教学重难点【教学重点】掌握求可导函数的极值的一般方法O【教学难点】⑴％为函数极值点与广（“0）=0的逻辑关系，（2）函数的导数与函数最值的区别及联系。
♦课前准备多媒体课件。
♦教学过程（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】观察图1.3-8,我们发现，t = a时，高台跳水运动员距水而高度最大。
那么，函数加‘）在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t = u附近函数加‘）的图像，如图3.3-9.可以看出"（Q）；在t = ci,当t<a时，函数〃（'）单调递增，丹（°>°；当t>a吋，函数加'）单调递减，丹（°<°；这就说明，在i 附近，函数值先增（fvo, //（°>°）后减（f>d, //（°<°）。
这样，当/在。
的附近对于一般的函数『 = /（“），是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明。
高中数学人教版选修1-1 3.3.2函数的极值与导数 教案(系列一)
3.3.2 函数的极值与导数教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x ＝a b 点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学 (对应学生用书第58页)函数y ＝f (x )的图象如图所示．1．函数在x ＝a 点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】 函数在点x ＝a 的函数值比它在点x ＝a 附近的其他点的函数值都小 . 2．f ′(a )为多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 【提示】 f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.3．函数在x ＝b 点处的情况呢？【提示】 函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 (对应学生用书第58页)例题1 (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x ＋3ln x .【思路探究】原函数――→求导导函数―→fx ＝0的点x 0 ――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝x －x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1 规律方法1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.例题2 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，－23＝b 3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 规律方法已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 变式训练已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.例题3 直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．规律方法1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．易错易误辨析 (对应学生用书第60页)因未验根而致误典例 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f －＝0，f －＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . ∴⎩⎨⎧ f ＝0，f －＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.课堂小结1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.当堂双击达标(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值【解析】函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】 y ′＝1－1x 2＝x 2－1x2，令y ′＝0解得x ＝±1，而原函数的定义域为{x |x ≠0}，∴当x变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极大值极小值课后知能检测 (对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f (x )，x ∈R ，有唯一极值，且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x()A．x＝1时，取得极大值B．x＝1时，取得极小值C．x＝－1时，取得极大值D．无极值点【解析】f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．【答案】 D4．(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0∴a＝5.应选D.【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(2013·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2.【解】 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R . f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝ax＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. 教师备课资源 (教师用书独具)备选例题已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0) ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 备选变式已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件．【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b2a ，所以当ab ＜0时，2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b 2a. 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b 2a取得极大值．综上，函数f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0)有极值时，a ，b 所满足的条件是ab ＜0.。
人教A版高中数学选修高二新课程函数的极值与导数导学案新
§1.3.2函数的极值与导数学习目标 1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.学习过程一、课前准备复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学学习探究探究任务一：问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：（1）函数的极值 （填是，不是）唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.比如：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它（是或不是）极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.小结：求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0的根（4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+.（1）写出函数的递减区间；（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.动手试试练1. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升学习小结知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导”学习评价当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ）A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ）A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+C ．3269y x x x =--D ．3269y x x x =+-3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为课后作业1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？（2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？2. 求下列函数的极值：（1）2()62f x x x =++；（2）3()48f x x x =-.。
江西省宜春市宜春中学高中数学 回归分析(第1课时)导学案 文 新人教A版选修1-2
江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 回归分析（第1课时）导学案 文 新人教A 版选修1-2年 月 日星期 第 节 班 学号 姓名 【使用说明】回归分析内容划分为两个课时学习，第一课时为回归分析与相关系数；第二课时为可线性化的回归分析。
本导学案在第一课时使用，第二课时不使用导学案。
【学习目标】（1）会作两个相关变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量的相关关系； （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的系数公式建立线性回归方程； （3）了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. （4）了解线性相关系数的意义 【重点难点】重点：根据给出的系数公式建立线性回归方程难点：对最小二乘法的思想和线性相关系数的意义理解 【课堂流程】 一、导学1.两个变量之间的关系包括 确定性关系 和 相关关系2.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．如果点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．3.通过求21(,)()niii Q a b y bx a ==--∑的最小值而得出回归直线的方法,即求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和最小,这一方法叫做最小二乘法. 对于一组具有线性相关关系的数据112233(,),(,),(,),,(,).n n x y x y x y x y 其回归直线方程y bx a ∧=+的截距和斜率的最小二乘法估计公式：1122211()(),()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑a =y bx - ，(,)x y 称为样本点的中心。
;,a b y bx a ∧==∑∑=+nn2ii i i 1i 1x x y 求回归直线方程的步骤①计算出x 、y 、、的值；②计算回归系数；③写出回归直线方程.4.对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =，样本相关系数r 的计算公式为()()nniii ix x y y x y nx yr ---==∑∑．相关系数r 的性质：（1）r 的取值范围为||1r ≤.（2）r 的符号与b 相同.若r >0, 正 相关；若 r <0， 负 相关.（3）||r 越接近于1，x ，y 的线性相关程度越强;||r 越接近于0，x ，y 的线性相关程度越弱． 例.下表提供了某厂节能降耗技术,改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(1)请画出上表数据的散点图;(2)请据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a ∧=+;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)解:(1)由题设所给数据,可得散点图如下图所示:__():3456 2.534 4.586,x 4.5,y 3.5,66.5.44==++++++∑=====∑=442i i i i 1i 12x x y 由对照数据计算得 4x y...0.7,.. 4.50.35,.0.7x 0.35b a ==∴∑--⨯⨯====-=-⨯=-⨯∑-=+4i i i 14222i i 1x y 66544535y bx 350786445x 4x 由最小二乘法确定的回归方程的系数由此所求的线性回归方程y (3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗得降低的生产能耗约为: 90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤). 二．探究与讨论1．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使它贴近这些样本点的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y bx a ∧=+及其回归系数b ，可以估计和观测变量的取值和变化趋势； ④设有一个回归方程 y ∧=3-5x,变量x 增加一个单位时,y 平均增加5个单位． 其中正确说法的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：①反映的正是最小二乘法思想，故正确． ②反映的是画散点图的作用，也正确．③正确．④是不正确的2.两个相关变量满足如下关系,这两个变量的回归方程为( )A.y ∧=0.56x+997.4 B. y ∧=0.63x-231.2 C. y ∧=50.2x+501.4 D. y ∧=60.4x+400.7 解析:方法1:求数据中心点的坐标为(20,1008.6),代入验证知A 适合.5xy:0.56.a bx 997.4.0.56x 997.4.y x==∑-===-=∑-∴=+5i i i 1522ii 1x y 2b x 5方法计算回归方程为y答案:A*3.已知回归方程^y =4.4x+838.19,则可估计x 与y 的增长速度之比约为________.:1105.4.44422==x y 解析与的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数**4.某数学老师身高176cm ，他的爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm,170cm 和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 185 cm. (参考数据：3173176=91344⨯⨯，23173=89787⨯，23176=92928⨯170173+176170+182176=91362⨯⨯⨯，222173+170+176=89805 ，222170+176+182=93000）三、当堂检测1.变量x,y 的散点图如右图所示,那么x,y 之间的样本相关系数r 最接近的值为( )A.1B.-0.5C.0D.0.5解析:由散点图知,这些点没有分布在某一直线的周围,因此,可以认为x,y 之间不存在相关关系.所以r=0. 答案:C2.为了考查两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两个人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是s,对变量y 的观测数据的平均值都为t,那么下列说法正确的是( ) A.l 1和l 2必定平行 B.l 1和l 2必定重合C.l 1和l 2有交点(s,t)D.l 1与l 2相交,交点不一定是(s,t)():,, C.∴x y 解析回归直线必经过样本的中点选3.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线的方程为________.解析:设回归直线方程为y ∧=1.23x+a,∵回归直线方程过样本点的中心(4,5),∴5=1.23×4+a,∴a=0.08. 故回归直线方程为y ∧=1.23x+0.08.4.某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出(x i )万元与公司所获得利润(y i )万元的统计资料如则利润(y i )对科研费用支出(x i )的线性回归方程为( )A. ^y =2x+20 B. ^y =20x+2 C. ^y =-2x+40 D. ^y =2x+40:2x 20,,,, A.y =+==1030解析用线性回归方程的求解公式及步骤得y 或求出x 代入选项验证知选四．课后练习1.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）12（D ）1【答案】D【解析】根据样子相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1，选D. 2则y 对x A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋12x D ．y ＝176 答案：C解析：法一：由线性回归直线方程过样本中心(176,176)，排除A ，B 答案，结合选项知C 为正确答案．法二：将表中的五组数值分别代入选项验证，可知y ＝88＋12x 最适合． 3.若化肥量x 与水稻产量y 的回归直线方程为y ∧=5x+250,当施化肥量为80 kg 时,预计的水稻产量为________kg. 答案:6504.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 答案：D解析：D 选项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重约为0.85×170－85.71＝58.79(kg)．故D 不正确．5.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆ,ˆ B ．a a b b '<'>ˆ,ˆ C ．a a b b '>'<ˆ,ˆ D ．a a b b '<'<ˆ,ˆ 解析：画出散点图，可大致的画出两条直线（如下图），由两条直线的相对位置关系可判断a a b b '>'<ˆ,ˆ．故选C6.某产品的广告费用x根据上表可得回归方程y ^＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元解析：∵a ^＝y －b ^x ＝49＋26＋39＋544－9.4×4＋2＋3＋54＝9.1，∴回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1．令x ＝6，得y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．选B7．假设关于某设备的使用年限若由此资料可知y 对x (1)回归直线方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？ 解：于是51522215112.35451.2390545i iiiix y x ybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，a＝y－bx＝5－1.23×4＝0.08，所以回归直线方程为y＝bx＋a＝1.23x＋0.08．(2)当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，估计使用10年时的维修费用为12.38万元．。
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江西省宜春市宜春中学2014年高中数学 函数的极值导学案（一）文 新人
教A 版选修1-2
学习目标：会用导数法求函数的极值，并能确定是极大值或极小值。
学习重点：（1）用导数法求函数的极值。
（2）数形结合法的应用。
学习难点：导数为零的点与极值点之间的关系。
教学流程：
一、预习导航，要点指津（约6分钟）
学生自己阅读课本59-62页，并思考下列问题。
1.函数()f x =3233x x x a ++-的极值点的个数是 （ ）
A.2
B.1
C.0
D.由a 确定 解析：2()3f x x =63x ++=23(1)x +0³恒成立
\函数()f x 在R 上单调递增，\()f x 无极值点。
2.求函数()y f x =82x x
=+的极值，并结合单调性，作出此函数的草图。
二、自主探索，独立钻研（约12分钟）
＊例1.求下列函数的极值。
（1）2()x f x x e -=；
（2）22()21
x f x x =
-+.
＊例2.设a R Î，若函数3ax y e x =+，x R Î有大于零的极值点，则参数a 的取值范围是 （ ）
A.3a >-
B. 3a <-
C. 13a >-
D. 13
a <-
＊＊例3.已知32()f x ax bx =+cx +(0)a ¹
在1x =?处取得极值，且(1)1f =-.
（1）试求常数,,a b c 的值；
（2）试判断1x =?分别是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由.
三、分组合作，议疑解惑（约7分钟）
＊＊＊例4.已知函数3()f x x =2x x a --+， （1）求函数()f x 的极值；
（2）若函数()f x 的图像与x 轴有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围.
四、展示成果，总结升华（约6分钟）
展示例1. 例2. 例3的解析过程。
五、重点、难点、疑点评析（约3分钟）
例4的（2）是本课时的一个难点，也是易错点，要注意数形结合。
六、检测反馈（约6分钟）
1.已知()f x ¢
是函数()y f x =的导函数，且()y f x ¢=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是 （ ）
2.函数()f x 的定义域为开区间(,)a b ，导函数()f x ¢
在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(,)a b 内有极小值点的个数为 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3.若函数3()f x x =-3x a +有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(-2，2)
B ．[-2，2]
C ．(-∞，-l)
D ．(1，+∞)
七、巩固迁移，学以致用（课后练习，约30分钟）
4.求函数()=f x p x x
+(0)p >的极值。
5.求函数23
()(1)1f x x =-+的极值。
6.求函数()f x (5)x -的极值.。