湖南省岳阳一中学2018-2019学年高一下学期期终考试数学试题 Word版含答案

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湖南省岳阳一中高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016学年湖南省岳阳一中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={2，3，5，7，9}，A={2，|a﹣5|，7}，C U A={5，9}，则a的值为（）A．2 B．8 C．2或8 D．﹣2或82．已知数列，，2，，…，则2在这个数列中的项数为（）A．6 B．7 C．19 D．113．在等差数列{2﹣3n}中，公差d等于（）A．2 B．3 C．﹣1 D．﹣34．若α为第三象限角，则+的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣15．在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．6．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（）A．B．C．D．7．在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．B．5 C．5D．68．若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5 B．4 C．3 D．29．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，D是BC的中点，||=3，点P在AD上，且满足=，则（+）=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣411．已知函数f（x）=e|lnx|﹣|x﹣|，则函数y=f（x+1）的大致图象为（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（）A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=，则f（x）=．14．已知三条直线l1：4x+y=1，l2：x﹣y=0，l3：2x﹣my=3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是．15．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为．16．在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设R是直线OP上的一点，其中O 是坐标原点．（Ⅰ）求使取得最小值时的坐标的坐标；（Ⅱ）对于（1）中的点R，求与夹角的余弦值．18．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD=AA1=2．（1）求证：直线C1D⊥平面ACD1；（2）试求三棱锥A1﹣ACD1的体积．20．函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．21．已知f（x）=sin2x+2+2cos2x．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．22．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为M（，3）．（1）求f（x）的解析式；（2）先把函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，试写出函数y=g（x）的解析式．（3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[﹣，]，使得不等式g（x0）+2≤log3m成立，求实数m的最小值．2015-2016学年湖南省岳阳一中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={2，3，5，7，9}，A={2，|a﹣5|，7}，C U A={5，9}，则a的值为（）A．2 B．8 C．2或8 D．﹣2或8【分析】求出集合A中的元素，得到|a﹣5|=3，解出即可．【解答】解：U={2，3，5，7，9}，C U A={5，9}，∴A={2，|a﹣5|，7}={2，3，7}，∴|a﹣5|=3，解得：a=2或8，故选：C．【点评】本题考查了补集的定义，考查绝对值问题，是一道基础题．2．已知数列，，2，，…，则2在这个数列中的项数为（）A．6 B．7 C．19 D．11【分析】化简数列，找出规律，判断即可．【解答】解：数列，，2，，…，即：数列，，，，…，被开方数是等差数列，被开方数的首项为2，公差为3，2=，可得20=2+（n﹣1）3，解得n=7．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查计算能力．3．在等差数列{2﹣3n}中，公差d等于（）A．2 B．3 C．﹣1 D．﹣3【分析】由题意可得等差数列的通项公式，由公差的定义可得．【解答】解：由题意可得等差数列的通项公式a n=2﹣3n，∴公差d=a n+1﹣a n=2﹣3（n+1）﹣2+3n=﹣3故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．4．若α为第三象限角，则+的值为（）A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1【分析】由α为第三象限角得到sinα与cosα都小于0，原式分母利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的性质化简，即可得到结果．【解答】解：∵α为第三象限角，∴sinα＜0，cosα＜0，则原式=+=﹣1﹣1=﹣2．故选：B．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．5．在△ABC中，=，=．若点D满足=（）A．+B．C．D．【分析】由向量的运算法则，结合题意可得═=，代入已知化简可得．【解答】解：由题意可得=====故选A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．6．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（）A．B．C．D．【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调性可知当＜α＜，时，则cos α﹣sin α＜0，于是可对所求关系式平方后再开方即可．【解答】解：∵＜α＜，∴cos α＜sin α，即cos α﹣sin α＜0，设cos α﹣sin α=t （t ＜0），则t 2=1﹣2sin αcos α=1﹣=，∴t=﹣，即cos α﹣sin α=﹣．故选：D ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查正弦函数与余弦函数的单调性，判断知cos α﹣sin α＜0是关键，考查分析、运算能力，属于基本知识的考查．7．在△ABC 中，a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为（）A ．B ．5C ．5D ．6【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a ，sinB 以及已知面积代入求出c 的值，再利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．【解答】解：∵在△ABC 中，a=1，B=45°，S △ABC =2，∴acsinB=2，即c=4，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣8=25，即b=5，则由正弦定理得：d==5．故选：C ．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8．若函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选B．【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．9．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=k π+（k ∈Z ），则m 的最小值为．故选B【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键．10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，||=3，点P 在AD 上，且满足=，则（+）=（） A ．4B ．2C ．﹣2D ．﹣4【分析】由题意可得||=||=1，||=2，再由中点的向量表示，可得（+）=2，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．【解答】解：由||=3，点P 在AD 上，且满足=，可得||=||=1，||=2，由D 是BC 的中点，可得2=+，即有（+）=2=﹣2||||=﹣2×1×2=﹣4．故选D ．【点评】本题考查向量的数量积的定义，考查中点的向量表示形式，考查运算能力，属于中档题．11．已知函数f （x ）=e |lnx|﹣|x ﹣|，则函数y=f （x+1）的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【分析】化简函数f （x ）的解析式为，而f （x+1）的图象可以认为是把函数f （x ）的图象向左平移1个单位得到的，由此得出结论．【解答】解：∵函数f （x ）=e |lnx|﹣|x ﹣|，∴当 x ≥1 时，函数f （x ）=x ﹣（x ﹣）=．当 0＜x ＜1 时，函数f （x ）=﹣（﹣x+）=x ，即 f （x ）=．函数y=f （x+1）的图象可以认为是把函数f （x ）的图象向左平移1个单位得到的，故选A ．【点评】本小题主要考查函数与函数的图象的平移变换，函数y=f （x+1）的图象与函数f （x ）的图象间的关系，属于基础题．12．已知定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）=，且f （x+2）=f （x ），g （x ）=，则方程f （x ）=g （x ）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为（） A ．﹣5B ．﹣6C ．﹣7D ．﹣8【分析】将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，由图象读出即可．【解答】解：∵f （x ）=，且f （x+2）=f （x ），∴f （x ﹣2）﹣2=；又g（x）=，∴g（x）=2+，∴g（x﹣2）﹣2=，当x≠2k﹣1，k∈Z时，上述两个函数都是关于（﹣2，2）对称，；由图象可得：方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的实根有3个，x1=﹣3，x2满足﹣5＜x2＜﹣4，x3满足0＜x3＜1，x2+x3=﹣4；∴方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1]上的所有实根之和为﹣7．故答案为；C．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=，则f（x）=．【分析】由f（x）+g（x）=，知，由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，知，由此能求出f（x）．【解答】解：∵f（x）+g（x）=，①∴，∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴，②①+②，得=，∴．∴=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．已知三条直线l1：4x+y=1，l2：x﹣y=0，l3：2x﹣my=3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是．【分析】利用交角公式可得l1关于l2对称的直线的斜率，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出【解答】解：设要求的直线的斜率为k，则=，解得k=﹣．∵l1关于l2对称的直线与l3垂直，∴×=﹣1，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查了直线交角公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x+y﹣3=0．【分析】先求圆心坐标，然后可求过圆心与直线ℓ垂直的直线的方程．【解答】解：由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，并设圆心坐标为（a，0），则由题意知：，解得a=3或﹣1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），∵圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=﹣3，故所求的直线方程为x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．【点评】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力．16．在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【分析】（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC 和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设R是直线OP上的一点，其中O 是坐标原点．（Ⅰ）求使取得最小值时的坐标的坐标；（Ⅱ）对于（1）中的点R，求与夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）利用坐标法求出的坐标，结合向量数量积的定义转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质进行求解．（Ⅱ）根据向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解（1）由题意，设=t=（2t，t），则==（1﹣2t，7﹣t），==（5﹣2t，1﹣t）．所以=（1﹣2t）（5﹣2t）+（7﹣t）（1﹣t）=5t2﹣20t+12=5（t﹣2）2﹣8，所以当t=2时，最小，即=（4，2）．（2）设向量与的夹角为θ，由（1）得=（﹣3，5），=（1，﹣1），所以cosθ===﹣．【点评】本题主要考查向量夹角和向量数量积的应用，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．18．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．【分析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．（6分）所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，由正弦定理，得．（9分）即．答：sinα的值为．（12分）方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，由余弦定理，得．（9分）即．因为α为锐角，所以=．答：sinα的值为．（12分）【点评】本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD=AA1=2．（1）求证：直线C1D⊥平面ACD1；（2）试求三棱锥A1﹣ACD1的体积．【分析】（1）通过证明C1D⊥CD1，C1D⊥AC，说明AC与CD1是平面ACD1内的两条相交直线，利用直线与平面垂直的判定定理证明直线C1D⊥平面ACD1；（2）求三棱锥A1﹣ACD1的体积．转化为三棱锥C﹣AA1D1的体积，求出底面面积与高，即可求解棱锥的体积．【解答】解：（1）证明：在梯形ABCD内过C点作CE⊥AD交AD于点E，则由底面四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB=BC=1，以及可得：CE=1，且，AC⊥CD．又由题意知CC1⊥面ABCD，从而AC⊥CC1，而CC1∩CD=C，故AC⊥C1D．因CD=CC1，及已知可得CDD1C1是正方形，从而C1D⊥CD1．因C1D⊥CD1，C1D⊥AC，且AC∩CD1=C，所以C1D⊥面ACD1．因三棱锥A1﹣ACD1与三棱锥C﹣AA1D1是相同的，故只需求三棱锥C﹣AA1D1的体积即可，而CE⊥AD，且由AA1⊥面ABCD可得CE⊥AA1，又因为AD∩AA1=A，所以有CE⊥平面ADD1A1，即CE为三棱锥C﹣AA1D1的高．故．（12分）【点评】本题考查空间几何体直线与平面垂直的判断与证明，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力以及计算能力．20．函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【分析】（1）根据奇函数性质有f（0）=0，可求出b，由可求得a值．（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可．【解答】解：（1）因为f（x）为（﹣1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．又f（）=，所以=，解得a=1．所以f（x）=．（2）任取﹣1＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，因为﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）f（t﹣1）+f（t）＜0可化为f（t﹣1）＜﹣f（t）．又f（x）为奇函数，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），f（x）为（﹣1，1）上的增函数，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；联立①②③解得，0＜t＜．所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集为．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理．21．已知f（x）=sin2x+2+2cos2x．（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．【分析】（1）由三角函数恒等变换公式可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得其最小正周期，进而由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，解可得f（x）的单调递减区间；（2）根据题意，由f（A）=4可得sin（2A+）=，结合A的范围可得A=，由正弦定理可得b=1，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，代入数据计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）=sin2x+2+2cos2x=sin2x+2+2=sin2x+cos2x+3=2sin（2x+）+3，其最小正周期T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，解可得：kπ﹣≤x≤kπ+，单调递减区间[k π﹣，k π+]k ∈z ；（2）根据题意，若f （A ）=4，则f （A ）=2sin （2A+）+3=4，则sin （2A+）=，又由0＜A ＜π，则有A=；S △ABC =bcsinA=，而b=1，则c=2，则a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=3，故a=．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，涉及三角函数恒等变换的运用，解题的关键是正确化简f （x ）的解析式．22．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ），x ∈R （其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为M （，3）．（1）求f （x ）的解析式；（2）先把函数y=f （x ）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）的图象，试写出函数y=g （x ）的解析式．（3）在（2）的条件下，若总存在x 0∈[﹣，]，使得不等式g （x 0）+2≤log 3m 成立，求实数m 的最小值．【分析】（1）依题意知T=，由此可求得ω=2；又函数f （x ）=Asin （2x+φ）图象上一个最高点为M （，3），可知A=3，2×+φ=2k π+（k ∈Z ），结合0＜φ＜可求得φ，从而可得f （x ）的解析式；（2）利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换可求得函数y=g （x ）的解析式；（3）x 0∈[﹣，]⇒﹣≤cosx 0≤1，﹣≤3cosx 0≤3，依题意知，log 3m ≥（﹣）+2=，从而可求得实数m 的最小值．【解答】解：（1）∵T=，∴T==π，解得ω=2；又函数f （x ）=Asin （2x+φ）图象上一个最高点为M （，3），∴A=3，2×+φ=2k π+（k ∈Z ），∴φ=2k π+（k ∈Z ），又0＜φ＜，∴φ=，∴f （x ）=3sin （2x+）；（2）把函数y=f （x ）的图象向左平移个单位长度，得到f （x+）=3sin[2（x+）+]=3cos2x ；然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g （x ）=3cosx 的图象，即g （x ）=3cosx ；（3）∵x 0∈[﹣，]，∴﹣≤cosx 0≤1，﹣≤3cosx 0≤3，依题意知，log 3m ≥（﹣）+2=， ∴m ≥，即实数m 的最小值为．【点评】本题考查由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换及函数恒成立问题，属于中档题．。

湖南省岳阳临湘市2018-2019学年高一下学期期末教学质量检测试卷数学试题及参考答案附答题卡 (2)

19. 如图所示袁吟A BC 是正三角形袁A E 和 CD 都垂直于平面 A BC袁且 A E越A B越2葬袁CD越葬袁F 是 BE 的中点. 渊1冤求证院DF椅平面 A BC曰渊2冤求证院A F彝BD.
例如袁函数 f渊x冤越2x+1渊x沂R冤是单函数 . 下列命题院淤函数 f渊x冤越x2渊x沂R冤是单函数曰于若 f渊x冤为单函数袁x1袁x2沂A 且 x1屹x2袁则 f渊x1冤屹f渊x2冤曰盂若 f 颐 A 寅B 为单函数袁则对于任意 b沂B袁则在 A 中至多有一个元素与它对应曰榆函数 f渊x冤在某区间上具有单调性袁则 f渊x冤一定是单函数 . 其中的真命题是 __________. 渊写出所有真命题的编号冤
市湘临阳岳省南湖
2019 年下学期教学质量检测试卷高一数学
一尧选择题院请把正确选项填在答题栏中. 渊本题共 12 个小题袁每题缘分袁共 60 分冤
1. 若集合 A ={x渣-2约x约1}袁B={x渣0约x约2}袁则集合 A 疑B=渊冤
A. {x渣-1约x约1}
B. {x渣-2约x约1}
2
13. log28-27 3 -lg0.001+lne3=_____________. 14. 函数 f渊x冤是定义在全体实数上的奇函数袁当 x跃0 时袁 f 渊x冤越-x+1袁则 f 渊x冤的解析式是
__________赃赃赃赃赃赃赃赃赃赃. 15. 已知一圆锥的侧面展开图为半圆袁且面积为 S袁则圆锥的底面面积是 _____________. 16. 函数 f渊x冤的定义域为 A 袁若 x1袁x2沂A 且 f渊x1冤越f渊x2冤时总有 x1越x2袁则称 f渊x冤为单函数 .

湖南省岳阳市临湘市2018-2019学年高一下学期期末数学试题

绝密★启用前湖南省岳阳市临湘市2018-2019学年高一下学期期末数学试题试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题 1．若集合{}{}|21,|02A x x B x x =-<<=<<, 则集合A B ⋂=( ) A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<< C ．{}|22x x -<< D ．{}|01x x << 2．空间直角坐标系中，点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是（） A ．()2,3,5--- B ．()2,3,5 C ．()2,3,5-- D ．()2,3,5- 3．过两点A (2,)m -，B(m ，4)的直线倾斜角是045，则m 的值是（） A ．1- B ．3 C ．1 D ．3- 4．若偶函数()a f x x =在(),0-∞上是增函数，则（） A ．0a > B ．0a < C ．0a = D ．不能确定 5．下列说法不正确的．．．．是（） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面； C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.………○…………线○……※※题※※………○…………线○……6．已知函数f(x)是定义在上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−3，则f(−2)=（）A．14B．−114C．1D．−17．如图，在正方体1111ABCD A B C D-中，已知M，N分别为棱AB，1AB的中点，则异面直线11A C与MN所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．圆()2221x y-+=与直线3y x=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．直线过圆心9．设a b c，，均为正数，且122loga a=，121log2bb⎛⎫=⎪⎝⎭，21log2cc⎛⎫=⎪⎝⎭．则（）A．a b c<<B．c b a<<C．c a b<<D．b a c<<10．经过点()2,1A-，和直线1x y+=相切，且圆心在直线2y x=-上的圆方程为（）A．()()22122x y+++=B．()()22122x y-+=+C．()()22122x y++-=D．()()22122x y-+-=11．点（4，0）关于直线5x＋4y＋21＝0的对称点是（）．A．（－6，8）B．（－8，－6）C．（6，8）D．（－6，－8）12．定义在R上的函数1,()1,x ex ef xx e⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩若关于x的方程[]2()()10f x mf x m-+-= (其中2m>)有n个不同的实根1x,2x,…,n x,则12()nf x x xL++=（）A．5e B．4e C．14eD．13e订…………○__考号：___________订…………○第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题 13．2332log 827lg 0.001ln e --+=______. 14．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时()1f x x =-+，则()f x 的表达式为________.15．已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面积是_______ 16．函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题： ①函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；②若f x （）为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠则12f x f x ≠（）（）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）三、解答题 17．设全集为实数集R ，{}14A x x =-≤<，{}52B x x =-<<，{}122C x a x a =-<<. （1）若C =∅，求实数a 的取值范围；（2）若C ≠∅，且C A B ⊆I ，求实数a 的取值范围. 18．已知圆C ：()2219x y -+=内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点. （1）当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (2)当直线l 的倾斜角为45º时，求弦AB 的长.外…………○……………○…………订………线…………※※※※在※※装※※订※※线※※内内…………○……………○…………订………线…………19．如图所示，ABC V 是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且2AE AB a ==，CD a =，F 是BE 的中点，求证：（1）DF P 平面ABC ；（2）AF BD ⊥.20．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.21．如图，边长为2的正方形ABCD 中.（1）点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将AED V 、DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A '，求证：A D EF '⊥；（2）当14BE BF BC ==时，将AED V 、DCF V 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C22．已知定义域为R 的函数2()21x x a f x -+=+是奇函数（Ⅰ）求a 值；（Ⅱ）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅳ）设关于x 的函数1()(4)(2)x x F x f b f +=-+-有零点，求实数b 的取值范围.参考答案1．D【解析】试题分析：作数轴观察易得A B ⋂={}|01x x <<.考点：集合的基本运算.2．A【解析】【分析】关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标、竖坐标变为相反数．【详解】关于y 轴对称的两点的纵坐标相同，横坐标、竖坐标均互为相反数．所以点()2,3,5-关于y 轴对称的点的坐标是()2,3,5---．故选：A ．【点睛】本题考查空间平面直角坐标系，考查关于坐标轴、坐标平面对称的问题．属于基础题．3．C【解析】试题分析：根据直线斜率的计算式有1)2(445tan =---=︒m m ,解得1=m ．考点：直线斜率的计算式．4．B【解析】【分析】根据偶函数性质与幂函数性质可得．【详解】偶函数()a f x x =在(),0-∞上是增函数，则它在(0,)+∞上是减函数，所以0a <．故选：B ．【点睛】本题考查幂函数的性质，考查偶函数性质，属于基础题．【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了6．D【解析】试题分析：函数f(x)是定义在上的奇函数，，故答案为D ．考点：奇函数的应用．7．B【解析】【分析】连接11,,AB AC B C ，可证1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，求出此角即可．【详解】连接11,,AB AC B C ，因为M ，N 分别为棱AB ，1AB 的中点，所以1//MN AB ，又正方体中11//A C AC ，所以1B AC ∠是异面直线11A C 与MN 所成的角或其补角，1AB C ∆是等边三角形，1B AC ∠＝60°．所以异面直线11A C 与MN 所成的角为60°．故选：B ．【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题时需根据定义作出异面直线所成的角，同时给出证明，然后在三角形中计算．【解析】【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较．【详解】圆()2221x y -+=的圆心是(2,0)C ，半径为1，圆心到直线3y x =即0x -=的距离为1d r ===，直线与圆相切．故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆人位置关系，判断方法是：利用圆心到直线的距离与半径的关系判断． 9．A【解析】试题分析：在同一坐标系中分别画出2,x y =12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，12log y x =的图象，2x y =与12log y x =的交点的横坐标为a ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12log y x =的图象的交点的横坐标为b ，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2log y x =的图象的交点的横坐标为c ，从图象可以看出．考点：指数函数、对数函数图象和性质的应用．【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．10．B【解析】【分析】设出圆心坐标，由圆心到切线的距离和它到点A 的距离都是半径可求解．【详解】由题意设圆心为(,2)C a a -=1a =，即圆心为(1,2)C -，半径为1212r --== 圆方程为22(1)(2)2x y -++=．故选：B ．【点睛】本题考查求圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．求出圆心坐标与半径是求圆标准方程的基本方法．11．D【解析】试题分析：设点（4，0）关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是，则点在直线5x ＋4y ＋21＝0上，将选项代入就可排除A,B,C,答案为D考点：点关于直线对称，排除法的应用12．C【解析】画出函数()1,1,x e x e f x x e ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩的图象，如图，由图可知函数()f x 的图象关于,x e =对称，解方程方程()()210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦，得()1f x =或()1f x m =-,()1f x =时有三个根，132=2,x x e x e += ，()1f x m =-时有两个根452x x e += ，所以关于x 的方程()()210f x mf x m ⎡⎤-+-=⎣⎦共有五个根，123x x x +++455x x e +=，()()12511554f x x x f e e e e ++===-L ,故选C. 【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质以及函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 13．0【解析】【分析】由对数的定义和幂的运算法则计算．【详解】2233333322log 827lg 0.001ln log 2(3)lg103e ---+=--+39330=-++=．故答案为：0．【点睛】本题考查对数的定义和幂的运算法则，掌握对数的概念是解题关键．14．1,0(){0,01,0x x f x x x x --<==-+>试题分析：当时，，，因()f x 是奇函数，所以，()f x 是定义域为R 的奇函数，所以，所以1,0(){0,01,0x x f x x x x --<==-+>考点：函数解析式、函数的奇偶性15．2S 【解析】【分析】由已知中圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S ，我们易确定圆锥的母线长l 与底面半径R 之间的关系，进而求出底面面积即可得到结论．【详解】如图：设圆锥的母线长为l ，底面半径为R若圆锥的侧面展开图为半圆则2πR ＝πl ，即l ＝2R ，又∵圆锥的侧面展开图为半圆且面积为S ，则圆锥的底面面积是2S ．故答案为2S ．【点睛】本题考查的知识点是圆锥的表面积，根据圆锥的侧面展开图为半圆，确定圆锥的母线长与底面的关系是解答本题的关键．16．②③【详解】命题①：对于函数，设，故和可能相等，也可能互为相反数，即命题①错误；命题②：假设，因为函为单函数，所以，与已知矛盾，故，即命题②正确；命题③：若为单函数，则对于任意，，假设不只有一个原象与其对应，设为，则，根据单函数定义，，又因为原象中元素不重复，故函数至多有一个原象，即命题③正确；命题④：函数在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，即命题④错误,综上可知，真命题为②③.故答案为②③．17．（1）14a ≤；（2）114a <≤ 【解析】【分析】（1）根据空集的概念与不等式的解集的概念求解；（2）求出A B I ，再由子集概念列式求解．【详解】解：（1）由122a a -≥得，14a ≤ （2）由已知得{}12A B x x ⋂=-≤<，由（1）可知()C A B ⊆⋂则12122a a -≥-⎧⎨≤⎩ 解得1a ≤，由（1）可得C ≠∅时，14a >，从而得114a <≤ 【点睛】本题考查空集的概念，集合的交集运算，以及集合的包含关系，属于基础题．18．（1）260x y +-= （2【解析】分析：（1）P 为AB 的中点，故CP AB ⊥，所以斜率1l CP K K ⨯=-，由此求解直线方程（2）已知直线方程，利用半径和点到直线的距离，求解弦长．详解：（1）P 为AB 中点CP AB ∴⊥Q C （1，0），P （2，2）2CP K ∴=12l K =- （2）∴ l 的方程为260x y +-=由已知1l K =，又直线l 过点P （2，2） ∴直线l 的方程为22y x -=-即x-y=0C 到直线l 的距离22d =，3r = 129342AB ∴=-= 点睛：利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为AB =19．(1)见解析.(2)见解析.【解析】【分析】（1）先取AB 的中点G ，连接FG CG ，，根据线面平行的判定定理，即可证明结论成立；（2）根据线面垂直的判定定理先证明AF ⊥平面BDF ，再由线面垂直的性质，即可得到AF BD ⊥.【详解】（1）取AB 的中点G ，连接FG CG ，，可得FG AE P ，且12FG AE =. CD ⊥Q 平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∴∥.又12CD AE =Q ，FG CD ∴P ，且FG CD =， ∴四边形CDFG 是平行四边形，DF CG Q ∥.又CG ⊂Q 平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，DF ∴∥平面ABC .（2）在Rt ABE △中，22AE a AB a ==，，F 为BE 的中点，AF BE ∴⊥.ABC QV 是正三角形，G 为AB 的中点，CG AB ∴⊥，DF AB ∴⊥.FG ⊥Q 平面ABC ，∴四边形CDFG 是矩形，DF FG ∴⊥，又FG AB G =I ，DF ⊥∴平面ABE .又AF ⊂Q 平面ABE ，DF AF ∴⊥.BE DF F =Q I ，AF ⊥平面BDF .又BD ⊂Q 平面BDF ，AF BD ∴⊥.【点睛】本题主要考查线面平行以及线面垂直，熟记线面平行与垂线的判定定理以及性质定理即可，属于常考题型.20．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())0g x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元【解析】【分析】（1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k =12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()104x y f x g x =+-=，用换元法，设t =变化为二次函数可求得利润的最大值．【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元由题设知()1f x k x =；()g x k =由图1知()114f =，114k =由图2知()542g =，254k =则()()104f x x x =≥，())0g x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.()()104x y f x g x =+-=，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭ 当52t =时，max 65416y =≈，此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．21．（1）证明见解析；（2）12【解析】【分析】（1）折叠过程中，DA AE ⊥，DC CF ⊥保持不变，即DA A E ''⊥，DA A F ''⊥，由此可得线面垂直，从而有线线垂直；（2）由（1）知DA '⊥面A EF '，即DA '是三棱锥D A EF '-的高，求出底面积可得体积．【详解】（1）证明：由DA AE ⊥，DC CF ⊥.可得：DA A E ''⊥，DA A F ''⊥，A E A F A '''⋂=， DA '∴⊥面A EF '又EF ⊂Q 面A EF 'DA EF '∴⊥（2）解：在三棱锥A EFD '-中，DA A F ''⊥Q ，DA A E ''⊥A E A F A '''⋂=，DA '∴⊥面A EF '，由32A E A F ''==，EF =1228A EF S '=⨯=△123812A EFD V '-∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查证明线线垂直，考查求棱锥的体积．立体几何中证明线线垂直，通常由线面垂直的性质定理给出，即先证线面垂直，而证线面垂直又必须证明线线垂直，注意线线垂直与线面垂直的转化．三棱锥中任何一个面都可以当作底面，因此一般寻找高易得的面为底面，常用换底法求体积．22．(Ⅰ)1a =；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)13k <-（Ⅳ）[)1,+-∞.【解析】试题分析：（1）根据奇函数性质得()00f =，解得a 值；（2）根据单调性定义，作差通分，根据指数函数单调性确定因子符号，最后根据差的符号确定单调性（3）根据奇偶性以及单调性将不等式化为一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求实数k 的取值范围；（4）根据奇偶性以及单调性将方程转化为一元二次方程有解问题，根据二次函数图像与性质求值域，即得实数b 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）由题设，需()1002a f -+==，∴1a =，∴()1212xxf x -=+，经验证，()f x 为奇函数，∴1a =.（Ⅱ）减函数证明：任取1x ，2x R ∈，且12x x <，则210x x ->，()()()()()1221211221222121212121212x x x x x x x x f x f x ----=-=++++ ∵12x x <∴12022x x <<∴12220x x -<，()()121+2120x x +>； ∴()()210f x f x -<，即()()12f x f x >∴该函数在定义域R 上是减函数.（Ⅲ）由()()22220f t t f t k -+-<得()()2222f t t f t k -<--，∵()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t -<-，由（Ⅱ）知，()f x 是减函数∴原问题转化为2222t t k t ->-，即2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴4120k ∆=+<，得13k <-即为所求.（Ⅳ）原函数零点的问题等价于方程()()1420x x f b f +-+-= 由（Ⅱ）知，142x x b +-=，即方程142x x b +=-有解∵()()221422222111x x x x x +-=-⨯=--≥-， ∴当[)1,+b ∈-∞时函数存在零点.点睛:利用函数性质解不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。

湖南省岳阳县第一中学2018_2019学年高一数学下学期期终考试试题

湖南省岳阳县第一中学2018-2019学年高一数学下学期期终考试试题时量：120分钟分值：150分一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） A ．简单随机抽样B ．按学段分层抽样C ．按性别分层抽样D ．系统抽样2. 若,,a b c R a b ∈>，，则下列不等式成立的是（）A ．11a b< B ．a b >２２C ．2211a bc c >++ D ．a c b c >3.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移1个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x =（） A. sin(21)x - B. sin(21)x + C. sin(22)x - D. sin(22)x +4. 已知两个变量x 、y 之间具有线性相关关系，4次试验的观测数据如下：经计算得回归方程a x by ˆˆ+=的系数7.0ˆ=b ，则=a ˆ（） A ．45.0 B ．35.0 C ．45.0- D ．35.0-5. 关于x 的不等式022>-+bx ax 的解集是⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,3121, , 则ab 等于（） A. 24 B. 6 C. 14 D. 14- 6. 设向量(1,cos )a θ=，b =（1-，2cos θ），且a b ⊥，则cos2θ等于（） A ．2B. 12 C . 0 D. 1-7．已知cos()3cos()22sin()cos(2019)πααπαπα---=--+，则tan α=（）A.15 B. 23- C. 12D. 5-8. 若0,0a b >>，且ln()0a b +=，则11a b+的最小值是( ) A. 8 B ．4 C ．1 D ． 14 9．已知A 船在灯塔C 北偏东85且A 到C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 西偏北25且B 到C，则,A B 两船的距离为（）C. D.10. 等比数列{}n a 的各项为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++= ( )A ．10B ． 12C ．31log 5+D ．32log 5+ 11. 若12,e e 是夹角为3π的两个单位向量，则12122;32a e e b e e =+=-+的夹角为（）A ．6π B ．3πC ．56πD ．23π12. 设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 的图象在（0,2π）有且仅有3个最高点 ②()f x 的图象在（0,2π）有且仅有2个最低点 ③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是（）A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②③二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上。

2019-2020学年湖南省岳阳市第一中学高一下学期第一次质量检测数学试题(解析版)

2019-2020学年湖南省岳阳市第一中学高一下学期第一次质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}{}228023A x x x B x x =+-≥=-<<，，则A B =I ( ).A ．()23，B ．[)23， C ．[]42-，D ．()43-，【答案】B【解析】求解一元二次不等式的解集，化简集合A 的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出A B I . 【详解】因为{}{}228024A x x x A x x x =+-≥⇒=≥≤-或，所以23[2,3)B x A ≤<==I ，故本题选B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.2．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1B C 与直线11A C 所成角是（） A ．45︒ B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】B【解析】直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠，1AB C ∆为等边三角形，得到答案. 【详解】如图所示：连接1,AC AB易知：直线1B C 与直线11A C 所成角为1B CA ∠1AB C ∆为等边三角形，夹角为60︒故答案选B【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力. 3．sin160cos10cos20sin170︒︒+︒︒=( ). A ．3 B ．32C ．12-D ．12【答案】D【解析】运用诱导公式进行化简，最后逆用两角和的正弦公式求值即可. 【详解】1sin160cos10cos 20sin170sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=,故本题选D. 【点睛】本题考查了正弦的诱导公式，考查了逆用两角和的正弦公式，考查了特殊角的正弦值.4．已知,a b v v 是不共线的向量，2,(1)AB a b AC a b λλ=+=+-u u u v u u u v v v vv ，且,,A B C 三点共线，则λ=（）． A ．-1 B ．-2C ．-2或1D ．-1或2【答案】D【解析】A ，B ，C 三点共线，可得存在实数k 使得AB =u u u r k AC u u u r，即可得出．【详解】∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数k 使得AB =u u urk AC u u u r ，∴2a b λ+=r r k ()1a b λ⎡⎤+-⎣⎦r r ，()21kk λλ=⎧⎨=-⎩，解得λ＝﹣1或2．故选D ．【点睛】本题考查了三点共线、方程思想方法、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知tan 3α=，则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ).A ．38B ．916C ．1112D ．79【答案】C【解析】分子分母同时除以2cos α，利用同角三角函数的商关系化简求值即可. 【详解】因为tan 3α=，所以2cos 0α≠，于是有2222222222sin 2cos sin 2cos 211sin cos sin sin cos sin tan tan 1tan cos cos 2ααααααααααααααα+++===+++，故本题选C.【点睛】本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.6．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（） A ．22+ B ．122+ C ．222+ D ．12+【答案】A【解析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案. 【详解】如图所示建立坐标系，根据题意：图2中OABC 为直角梯形，2OC =，1BC =，21OA =+.故22S =+. 故选：A .【点睛】本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.8．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为（）A ．48B ．64C ．120D ．80【答案】D【解析】先还原几何体，再根据锥体侧面积公式求结果. 【详解】几何体为一个正四棱锥，底面为边长为8的正方体，侧面为等腰三角形，底边上的高为5，因此四棱锥的侧面积为1458=802⨯⨯⨯，选D. 【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 9．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P ､Q ､R 分别是AB ､AD ､B 1C 1的中点，那么正方体的过P ､Q ､R 的截面图形是（） A ．三角形 B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】D【解析】由已知的三点P 、Q 、R ，确定截面的一条边PQ ，然后找出截面与正方体右侧面的交线，延长PQ 交BC 于一点，连接该点与点R 即可得到与棱1BB 的交点，利用公理3确定交线,RM PM ,同样的方法找出其它交线，即可得到截面. 【详解】由已知的三点P 、Q 、R ，确定截面的一条边PQ ，延长PQ 交BC 于一点，连接该点与点R 即可得到与棱1BB 的交点M ，利用公理3确定交线,RM PM ,同样的方法找出其它交线，即可得到截面如图所示：故选：D 【点睛】本题考查几何体的截面图；考查空间想象能力和利用所学知识进行作图能力；利用公理3确定平面与平面的公共点，进而求出平面与平面的交线是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.10．如图,在梯形ABCD 中, 2DC AB =u u u r u u u r, P 为线段CD 上一点,且12DP PC =，E 为BC 的中点, 若EP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r（λ， R μ∈）,则λμ+的值为（）A ．13B ．13-C ．0D ．12【答案】B【解析】直接利用向量的线性运算，化简求得1526EP AD AB =-u u u v u u u v u u u v，求得,λμ的值，即可得到答案. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得：()1214111232326EP EC CP BC CD AC AB AB AC AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v=+=+=--=-()1111522626AD AB AB AD AB =+-=-u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v 又因为EP AB AD λμ=+u u u v u u u v u u u v ，所以51,62λμ=-=，所以511623λμ+=-+=-，故选B.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量EP u u u v是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 11．已知函数1()2sin()2f x x x =+-, 则122018()()()201920192019f f f ++⋅⋅⋅⋅⋅+的值等于（） A ．2019 B ．2018C ．20192D ．1009【答案】D【解析】由题意，化简函数()(1)1f x f x +-=，再利用倒序相加法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数11()(1)2sin()(1)2sin(1)22f x f x x x x x +-=+-+-+-- 11111112sin()2sin()12sin()2sin[()]12sin()2sin()1222222x x x x x x =+-+-=+-+--=+---=设122018()()()201920192019S f f f =++⋅⋅⋅⋅⋅+，则201820171()()()201920192019S f f f =++⋅⋅⋅⋅⋅+，所以1201822018201812[()()][()()][()()]2018201920192019201920192019S f f f f f f =++++⋅⋅⋅⋅⋅++=，所以1009S =，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数的化简求值，以及利用倒序相加求和，其中解答中化简函数()(1)1f x f x +-=，再利用倒序相加法求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．13(3,)4B ．(2,3)C ．4(,4)3D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，作出函数()f x 的图象，令()f x t =，()23g t t t a =-+，结合函数()f x 的图象可知，只需函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点，利用二次函数的性质求出实数a 的取值范围即可. 【详解】根据题意，作出函数()f x 的图象如图所示：令()f x t =，由图可知，关于t 的方程230-+=t t a 在区间()1,2上有两个不等的实数根，令()23g t t t a =-+，则函数()g t 在区间()1,2上与t 轴有两个不同的交点，所以()()113024603990242g a g a g a ⎧⎪=-+>⎪⎪=-+>⎨⎪⎛⎫⎪=-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得924<<a ，所以实数a 的取值范围为924<<a .故选：D 【点睛】本题考查分段函数图象的作法、一元二次方程根的分布问题及一元二次函数的性质；考查数形结合思想、换元思想和运算求解能力；正确作出函数()f x 的图象和熟练掌握一元二次函数的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.二、填空题13．幂函数()f x 的图象过点3)，则(4)f =_______．【答案】2【解析】设出幂函数的解析式，由图象过()3,3,确定出解析式，然后令4x =即可得到()4f 的值. 【详解】设()af x x =，因为幂函数图象过()3,3，则有133,2aa =∴=,即()12f x x =,()()12442f ∴==，故答案为2.【点睛】本题主考查幂函数的解析式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题.14．已知向量(cos ,sin ),(3,1)a b θθ==r r ，若//a b r r ，则sin cos θθ=_______.【答案】310【解析】利用平面向量共线的坐标表示和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为//a b r r ，由平面向量平行的坐标表示可得，1cos 3sin 0θθ⨯-⨯=，即cos 3sin θθ=，因为22cos sin 1θθ+=，所以21sin 10θ=，所以23sin cos 3sin 10θθθ==. 故答案为：310【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示和同角三角函数的基本关系；考查运算求解能力；熟练掌握平面向量共线的坐标表示是求解本题的关键；属于基础题.15．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为 4，底面边长为，则该球的表面积为__________．【答案】【解析】正四棱锥的外接球的球心在它的高上，求出球的半径，求出球的表面积．【详解】如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，，所以，所以，所以故答案为：．【点睛】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题．16．已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】(,22-∞【解析】Q 函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，()()()(),xxe g x h x eg x h x -∴=+=-，()(),,22x x x xe e e e g x h x --+-∴==(]0,2x ∀∈Q 使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，即()()22222x xx xx xx x x x x xe ee ea e ee e e e e e-------++∴≤==-+---，设x xt e e-=-，则函数x xt e e-=-在(]0,2上单调递增，220t e e-∴<≤-，此时不等式222tt+≥，当且仅当2tt=，即2t=时，取等号，22a∴≤，故答案为(,22⎤-∞⎦.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x≥恒成立(()maxa f x≥可)或()a f x≤恒成立（()mina f x≤即可）；②数形结合(()y f x=图象在()y g x=上方即可)；③讨论最值()minf x≥或()max0f x≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得a的范围.三、解答题17．如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D-．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【答案】（Ⅰ）8123π（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用正方体体积减去截去部分的体积即可求解（Ⅱ）利用正四面体与正方体的外接球一致求解【详解】(Ⅰ)三棱锥1B ABC-的体积1114222323V=⋅⋅⋅⋅=，切去部分的体积为14164433V=⋅=正方体的体积为22228V =⋅⋅= ∴四面体的体积3168833V =-= (Ⅱ)∵正方体的棱长为2， ∴正方体的体对角线长为23，∵该四面体外接球即为正方体的外接球，而正方体的外接球直径为其体对角线 ∴外接球直径2R 23=，半径R 3=， ∴外接球表面积为2412S R ππ== 【点睛】本题考查组合体体积，外接球问题，是基础题18．已知()4,0A ,()0,4B ,()cos ,sin C αα，O 为坐标原点. （1）若OC AB P u u u v u u u v,求tan α的值；（2）若21OA OC +=u u u v u u u v ,且()0,απ∈ ，求•OB OC u u u v u u u v . 【答案】（1）1-（2）23【解析】（1）由向量平行的坐标运算列式直接求解即可；（2）先求得OA OC +u u u v u u u v的坐标，利用坐标表示向量的模长，列方程求得α，从而得13,2C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，利用向量坐标表示数量积即可得解. 【详解】（1）依题，，因为OC AB P u u u v u u u v，所以，所以.（2）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，包括共线、模长、数量积，属于基础题. 19．已知,αβ为锐角，45tan ,cos()35ααβ=+=-．（Ⅰ）求cos2α的值; （Ⅱ）求tan β的值．【答案】（Ⅰ）7cos2tan 225αβ=-=（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）sin 4tan cos 3ααα=结合22sin cos 1αα+=，求解即可；（Ⅱ）先求()sin αβ+，进而得()tan 2αβ+=-，利用两角和的正切公式展开求解即可【详解】（Ⅰ）4sin 4tan ,tan ,sin cos 3cos 3Q αααααα==∴=． 2229sin cos 1,cos 25ααα+=∴=Q ，27cos22cos 125αα∴=-=-．（Ⅱ）,αβQ 为锐角，()()225sin 1cos αβαβ∴+=-+=()tan tan tan 221tan tan αβαβαβ+∴+=-∴=--，而4tan ,tan 23αβ=∴= 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，两角和的正切公式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题20．已知向量2(cos ,sin 2)a x x r ωω=, 3)b =r (其中0>ω),函数()f x a b =⋅r r , 其最小正周期为π.(1)求函数()f x 的解析式. (2)求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）最大值为3，最小值为0 【解析】（I ）由三角恒等变换的公式，化简得()πf x 2sin 2ωx 16⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由函数的最小正周期，求得ω1=，即可得到函数的解析式；（2）由π0x 2≤≤，所以ππ7π2x 666≤+≤，所以1πsin 2x 126⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即可求解函数的最值. 【详解】（I ）由题意，函数()2f x a?b 2cos ωx 3sin2ωx 12cos2ωx 3sin2ωx ===+ π2sin 2ωx 16⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为()f x 最小正周期为π，所以2ππ2ω=，解得ω1=，即()πf x 2sin 2x 16⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）由π0x 2≤≤，所以ππ7π2x 666≤+≤，所以1πsin 2x 126⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()0f x 3≤≤，即()f x 的最大值为3，最小值为0 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，以及三角函数的性质的应用，其中熟练应用三角函数恒等变换的公式化简函数的解析式，熟记三角函数的性质及其应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?【答案】（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．【解析】（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润．【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==；当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦ ()257803014801x x≤-⨯⋅+=+ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立．因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．若定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（Ⅰ）求,a b 的值;（Ⅱ）若对任意的x ∈R ，不等式2cos 2cos (1)03f x x f λ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭恒成立，求λ的取值范围．【答案】（Ⅰ）2a =，441,33b （Ⅱ）λ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（Ⅰ）由函数是奇函数，求出参数a ，b 的值．（Ⅱ）利用函数的单调性得到()2cos2cos 103f x x f λ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭的等价命题，再利用不等式恒成立的条件，解出λ即可．【详解】（Ⅰ）因为()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，即102ba-+=+，解得1b =，从而有()1212x x f x a+-+=+．又由()()11f f =--知1121241a a-+-+=-++，解得2a =，经检验，()()f x f x =--成立故21a b ==，（Ⅱ）由（Ⅰ）知()1211122221x x xf x +-+==-+++ 任取1212,,x x R x x ∈<()()()()21121222f f 02121x x x x x x --=>++ 故()f x 在R 上为减函数，又因()f x 是奇函数，从而不等式()2cos2cos 103f x x f λ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭()2cos2cos 13f x x f λ⎛⎫⇔-≤- ⎪⎝⎭ ()2cos2cos 13f x x f λ⎛⎫⇔-≤- ⎪⎝⎭22cos2cos 1cos2cos 1033x x x x λλ⇔-≥-⇔-+≥222cos 1cos +10,3x x （）λ⇔--≥令cos t x =，则[]1,1t ∈-即()241033g t t t λ=-+≥对[]1,1t ∈-恒成立．法一：①当318λ<-即83λ<-时，()()551033min g t g λλ=-=+≥⇒≥-（舍） ②当318λ>即83λ>时，()()551033min g t g λλ==-≥⇒≤（舍）③当3118λ-≤≤即8833λ-≤≤时，()2331440816333min g t g λλλ⎛⎫==-+≥⇒-≤≤ ⎪⎝⎭综上，44,33λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．法二：①当0t =时，R λ∈ ②当01t <≤时，114433min t t λ⎡⎤⎛⎫≤+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ③当10t -≤<时，114433max t t λ⎡⎤⎛⎫≥+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦综上，44,33λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，二次函数的性质，分离变量求解恒成立问题，考查转化能力，是中档题。

2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷(含答案)

2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ，第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2，故s 2>s 12，故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ，分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6，篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数，即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6．故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127；故输出i 值为5，故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形，故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2，故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58．故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7．故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12，扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人，高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。

2019-2020学年岳阳一中高一(下)第一次质检数学试卷(含解析)

2019-2020学年岳阳一中高一(下)第一次质检数学试卷一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x >−2}，B ={x|x ≤1}，则A ∩B =( )A. {x|x >−2}B. {x|−2<x ≤1}C. {x|x ≤−2}D. {x|x ≤1}2. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与B 1D 1所成的角的大小是( )A. 90ºB. 45ºC. 30ºD. 60º3. cos34°cos26°−cos56°sin26°=( ) A. 12 B. −12 C. √32 D. −√324. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +5b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a ⃗ +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(a ⃗ −b ⃗ )，且A 、B 、D 三点共线，则λ的值为( )A. 3B. −3C. 2D. −2 5. 已知α为第二象限角，且sinα+cosα=15，则cosα−sinα=( )A. 75B. −75C. ±75D. 2525 6. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别为棱PC ，PB 上的点，若PM ∶MC =3∶1，且AN//平面BDM ，则PN ∶NB = ( )A. 4∶1B. 3∶1C. 3∶2D. 2∶17. 如图，一个水平放置的面积是2+√2的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，其中A′D′ //B′C′，则等腰梯形面积为( )A. 12+√22B. 1+√22 C. 1+√2 D. 2+√28. 已知几何体的三视图如图所示，它的侧面积是( )A. 4+√2B. 2+√2C. 3+√2D. 69. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P,Q,R 分别是AB,AD,B 1C 1的中点，那么正方体的过P,Q,R 的截面图形是( )A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形10. 在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段BC 的中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ=( ) A. 52 B. 54 C. 12 D. 14 11. 已知函数f(x)满足2f (x )+f (−x )=3x +2，则f (2)=( )A. −163B. −203C. 163D. 203 12. 已知函数f(x)=|x −1|−1，且关于x 方程f 2(x)+af(x)−2=0有且只有三个实数根，则实数a 的值为( )A. 1B. −1C. 0D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数f(x)的图象过点(2,√22)，则f(9)= ______ ． 14. 已知向量a ⃗ =(cosθ,sinθ)，向量b ⃗ =(1,3)，且a ⃗ //b ⃗ ，则sinθ+cosθsinθ−cosθ的值是______ ． 15. 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为3，底面边长为√6，则这个球的表面积是__________．16. 设函数是偶函数，则实数a = ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD −A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403．(1)求棱AA 1的长；(2)求经过A 1,C 1，B ，D 四点的球的表面积和体积．18. 已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sinθ,cosθ)，O 为坐标原点．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求sinθ+2cosθsinθ−cosθ的值；(2)若(OA⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求sinθ·cosθ的值； (3)若|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，求的值．19. 已知α,β为锐角，tan α=34，cos (α+β)=−√1010． (1)求cos2α的值；(2)求tanβ的值．20. 已知向量a ⃗ =(√3,cos 2ωx)，b ⃗ =(sin 2ωx,1)(ω>0)，令f(x)=a ⃗ ·b ⃗ ，且函数f(x)的最小正周期为π．(1)求函数f(x)的解析式;(2)若x ∈[0,π2]时，f(x)+m ≤3，求实数m 的取值范围．21.已知某个公司生产某产品的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元，设该公司一年内共生产该款产品x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万元，且．(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万只)的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润．22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+a是奇函数2x+1(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)设m为常数，且m>0，若对任意的t∈[1,2]，不等式f(−m+2t)+f(−mt2+1)⩾0恒成立，求m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用交集定义直接求解．解：∵集合A={x|x>−2}，B={x|x≤1}，∴A∩B={x|−2<x≤1}．故选B．2.答案：D解析：本题考查两异面直线的夹角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是基础题．由B1D1//BD，得∠A1BD是A1B与B1D1所成的角，由A1D=BD=A1B，得∠A1BD=60°，由此能求出A1B与B1D1所成的角的大小．解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1D1//BD，∴∠A1BD是A1B与B1D1所成的角，∵A1D=BD=A1B，∴∠A1BD=60°，∴A1B与B1D1所成的角的大小为60°．故选：D．解析：解：cos34°cos26°−cos56°sin26°=cos34°cos26°−sin34°sin26°=cos(34°+26°)=cos60°=12，故选：A ．利用两角和差的余弦公式、诱导公式，吧要求的式子化为cos60°，从而得到结果．本题主要考查两角和差的余弦公式，诱导公式的应用，属于基础题． 4.答案：A解析：本题考查三点共线，考查向量知识的运用，比较基础．由题意，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−2)a ⃗ +(8−λ)b ⃗ ，利用A 、B 、D 三点共线，可得方程，即可得出结论．解：由题意，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−2)a ⃗ +(8−λ)b ⃗ ，∵A 、B 、D 三点共线，∴1×(8−λ)=5×(λ−2)，∴λ=3，故选A ．5.答案：B解析：本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．把已知等式两边平方求得2sinαcosα，再由cosα−sinα=−√(cosα−sinα)2求解．解：由sinα+cosα=15，两边平方得2sinαcosα=−2425，∵α为第二象限角，∴cosα−sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−2sinαcosα=−√1+2425=−75．故选：B ．解析：本题考查了线面平行的性质和中位线定理，以及平行线的性质，属于基础题．如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点，由题意可得G为CN的中点，作HN//BM，可得PH=HC，即可求出答案．解：如图，连接AC，设AC交BD于点O，连接CN，设CN交BM于点G，连接OG．由AN//平面BDM，平面ANC∩平面BDM=OG，AN⊂平面ANC，可得AN//OG，∵OA=OC，∴NG=CG，∴G为CN的中点．在△PBC中，作HN//BM，设HN∩PC=H，易知M为CH的中点，∴CM=HM，∵PM∶MC=3∶1，∴PH=HC，∴PN∶NB=PH∶HM=2∶1，故选D．7.答案：A解析：本题考查了斜二测画法画直观图的应用问题，解题的关键是还原出原平面图形，是基础题．根根据斜二测画法还原出原平面图形，求出它的面积即可．解：根据题意，画出图形，如图所示，则原来的平面图形上底是1，下底是1+√2，高是2，可得等腰梯形的高为√22，上低为1，下底为1+√2，∴它的面积是12×(1+1+√2)×√22=12+√22．故选A．8.答案：B解析：解：由三视图判断几何体为直三棱柱，其底面为等腰直角三角形，侧棱长为1，∴几何体的侧面积S=(1+1+√2)×1=2+√2．故选：B．由三视图判断几何体为侧棱长为1的直三棱柱，且底面为等腰直角三角形，根据棱柱的侧面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的侧面积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量．9.答案：D解析：解析：解：通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D．学生复原图形，可以连接各边的中点，则可以确定图形的形状．本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力．10.答案：B解析：解：取AB 的中点F ，连CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF//AD ，且CF =AD因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(FC ⃗⃗⃗⃗⃗ −FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=34，μ=12，λ+μ=54故选：B ．利用平面向量的几何运算，将AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，根据平面向量基本定理得λ，μ 本题考查了平面向量的基本定理．属中档题． 11.答案：D解析：本题主要考查了函数值的求法，抽象函数的应用，考查计算能力．通过x =2与x =−2代入已知条件，解方程组即求出f(2)．解：函数f(x)满足2f(x)+f(−x)=3x +2，则2f(2)+f(−2)=3×2+2=8，2f(−2)+f(2)=3×(−2)+2=−4，消去f(−2)可得3f(2)=20．解得f(2)=203．故选D ．12.答案：B解析：本题考查了方程的根与函数的图象的关系，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．作出f(x)=|x −1|−1的图象，令t =f(x)，对于方程t 2+at −2=0，有一个根为−1，即可得出结论．解：作出f(x)=|x−1|−1的图象，如图：由图象可知，令t=f(x)，则关于方程t2+at−2=0的两个根t1=−1，t2∈(−1,+∞)，代入可得a=−1，检验得三个实数根为1，−2，4，满足题意，故选：B．13.答案：13解析：本题考察了幂函数的概念、解析式，熟练掌握幂函数的定义是解题的关键．属于基础题．利用幂函数的定义，用待定系数法设出f(x)的解析式，即可求出f(x)，将x=9代入即可得．解：设幂函数f(x)=xα，∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，∴√22=2α，解得α=−12．∴f(x)=x−12，∴f(9)=9−12=13，故答案为13．14.答案：2解析：此题考查了平面向量共线(平行)的坐标表示，熟练掌握基本关系是解本题的关键．由两向量的坐标，根据向量平行的条件列出关系式，变形后得到sinθ=3cosθ，代入原式计算即可得到结果．解：∵向量a⃗=(cosθ,sinθ)，向量b⃗ =(1,3)，且a⃗//b⃗ ，∴cosθ1=sinθ3，显然cosθ≠0，即sinθ=3cosθ，则原式=3cosθ+cosθ3cosθ−cosθ=2．故答案为2．15.答案：16π解析：正四棱锥P−ABCD的五个顶点在同一球面上，则其外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出AO1，OO1，解出球的半径，求出球的表面积．解：正四棱锥P−ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，如图．PO=AO=R，PO1=3，OO1=3−R，在Rt△AO1O中，AO1=√22AC=√3，由勾股定理R2=3+(3−R)2得R=2，∴球的表面积S=16π，故答案为16π．16.答案：−1解析：本题考查偶函数的性质，属于基础题．解：因为函数是偶函数，所以f(1)=f(−1)，所以，解得a =−1．故答案是−1．17.答案：解：(1)设AA 1=x ，依题意可得403=2×2⋅x −13×12×2×2⋅x ，解得x =4，故棱AA 1的长为4．(2)依题意可知，经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，∴球的直径2R =√22+22+42=2√6，∴R =√6，所以所求球的表面积为4πR 2=24π，体积为43πR 3=8√6π.解析：本题考查了球的体积和表面积．属于中档题． (1)根据体积关系列式可求出AA 1=4；(2)经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，根据长方体对角线长定理可得球的半径R ．18.答案：解：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2sinθ,cosθ)，因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，有，得，则sinθ+2cosθsinθ−cosθ=sinθ+2×(−2)sinθsinθ−(−2sinθ)=−1．(2)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，由(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得，即sinθ+cosθ=12，所以(sinθ+cosθ)2=14，所以1+2sinθcosθ=14，所以sinθcosθ=−38；(3)由|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得√(2sinθ−1)2+(cosθ−0)2=√(2sinθ−0)2+(cosθ−1)2 化简得：，从而得tanθ=12．解析：本题考查了向量共线的坐标运算、数量积的坐标运算及正切函数的二倍角公式，属中档题． (1)由向量共线的坐标运算得：易得cosθ=−2sinθ，则sinθ+2cosθsinθ−cosθ=sinθ+2×(−2)sinθsinθ−(−2sinθ)=−1；(2)由数量积的坐标运算得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，由(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，得sinθ+cosθ=12，所以(sinθ+cosθ)2=14，所以sinθcosθ=−38；(3)由正切函数的二倍角公式及|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，可得√(2sinθ−1)2+(cosθ−0)2=√(2sinθ−0)2+(cosθ−1)2化简得：：cosθ=2sinθ，所以tanθ=12．19.答案：解：(1)因为α为锐角，tanα=34，∴{sinαcosα=34,sin 2α+cos 2α=1,,消去sinα得：cos 2α=1625．所以cos2α=2cos 2α−1=2×1625−1=725． (2)因为α,β为锐角，所以α+β∈(0,π)，因为cos (α+β)=−√1010，所以sin (α+β)=√1−cos 2(α+β)=√1−110=3√1010．所以tan (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=−3．所以tanβ=tan [(α+β)−α]=tan (α+β)−tan α1+tan (α+β)⋅tan α =−3−341+(−3)×34=3.解析：本题考查了两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及其应用和同角三角函数的基本关系，是基础题． (1)由{sinαcosα=34,sin 2α+cos 2α=1,，消去sinα得cos 2α=1625，由二倍角公式可得结果；(2)由同角三角函数的基本关系可得tan (α+β)的值，由tanβ=tan [(α+β)−α]展开可得结果．20.答案：解：(1)f(x)=a⃗·b⃗ =√3sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+π6)．∵函数f(x)的最小正周期为π，∴ω=1，∴f(x)=2sin(2x+π6)．(2)∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴sin(2x+π6)∈[−12,1]，∴f(x)∈[−1,2]．由f(x)+m≤3，得f(x)max+m≤3，∴2+m≤3，∴m≤1．解析：本题主要考查了向量的数量积、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．(1)根据向量数量积坐标运算公式，结合辅助角公式化简整理可得f(x)=2sin(2ωx+π6)，用三角函数周期公式即可得到ω=1，从而得到函数f(x)的解析式；(2)利用正弦函数的图象与性质，得到当x∈[0,π2]时f(x)+m的最大值为2+m，结合不等式恒成立的等价条件，即可解出实数m的取值范围．21.答案：解：(1)当0<x⩽40时，W=xR(x)−(16x+40)=−6x2+384x−40，当x>40时，W=xR(x)−(16x+40)=−40000x−16x+7360，所以，W={−6x2+384x−40,0<x⩽40−40000x−16x+7360,x>40；(2)①当0<x≤40,W=−6(x−32)2+6104，所以当x=32时，W max=6104，②当x>40时，W=−40000x−16x+7360≤−2√40000x·16x+7360=5760，当且仅当x=50时等号成立，W取最大值为5760．综合①②知，当x=32(万只)时，W取最大值为6104(万元).解析：本题考查分段函数模型的构建，考查利用二次函数性质和基本不等式求最值，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；(2)分别利用二次函数性质和基本不等式，分段求出函数的最大值，比较可得结论．22.答案：解：(1)∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)=0∴−20+a20+1=−1+a2=0，得a=1当a=1时，f(x)=−2x+12x+1，f(−x)=−2−x+12−x+1=−1+2x1+2x=−f(x)满足题意，综上所得：a=1(2)函数f(x)在R上单调递减证明：任取x1、x2∈R，且x1<x2则f(x1)−f(x2)=−2x1+12x1+1−−2x2+12x2+1=(−2x1+1)(2x2+1)−(−2x2+1)(2x1+1)(2x1+1)(2x2+1)=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)因为x1、x2∈R，且x1<x2，所以2x1+1>0，2x2+1>0，2x2−2x1>0所以f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减(3)因为对任意的t∈[1,2]，f(−m+2t)+f(−mt2+1)⩾0恒成立所以对任意的t∈[1,2]，f(−m+2t)⩾−f(−mt2+1)恒成立因为函数f(x)为定义在R上的奇函数所以对任意的t∈[1,2]，f(−m+2t)⩾f(mt2−1)恒成立又因为函数f(x)在R上单调递减所以对任意的t∈[1,2]，−m+2t⩽mt2−1恒成立所以对任意的t∈[1,2]，mt2−2t+m−1⩾0恒成立令g(t)=mt 2−2t +m −1，即g(t)min ⩾0，其中t ∈[1,2] 因为m >0，所以g(t)=mt 2−2t +m −1开口向上当1m ⩽1，即m ⩾1时，g(t)在[1,2]上单调递增，所以g(t)min =g(1)=2m −3⩾0，所以m ⩾32 当1<1m <2，即12<m <1时，g(t)在[1,1m ]上单调递减，[1m ,2]上单调递增，所以g(t)min =g(1m )=−1m +m −1⩾0，所以m ⩽1−√52或m ⩾1+√52，又因为12<m <1，所以无解当1m ⩾2，即0<m ⩽12时，g(t)在[1,2]上单调递减，所以g(t)min =g(2)=5m −5⩾0，所以m ⩾1 又因为0<m ⩽12，所以无解综上所得：m ⩾32解析：本题主要考察了函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间以及函数的最值问题，属于中档题． (1)利用函数f(x)为定义在R 上的奇函数，f(0)=0 ，f (x )=−f (x )，即可求得a ．(2)求函数f(x)的单调性，则任取x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2 ，然后比较f (x 1)−f (x 2)与0的大小，即可判断明函数f(x)的单调性．(3)由题意知，以及根据(1}(2)所得，可以对任意的t ∈[1,2]，mt 2−2t +m −1⩾0恒成立，则令g(t)=mt 2−2t +m −1，即g(t)min ⩾0，然后便分类讨论g(t)d 的单调性，并求出g(t)min ，综和即可求得m 的取值范围．。

湖南省岳阳县一中2018_2019学年高一数学下学期第二次阶段试题含解析

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用余弦定理计算得到答案.
【详解】已知中，，，
则即
故答案选D
【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.
4.已知角的终边经过点，则角余弦值为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用余弦值公式得到答案.
【详解】已知角的终边经过点
【详解】
故答案选B
【点睛】本题查了数列的通项公式，属于简单题.
2.已知， =（，6），且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量平行有公式，代入数据得到答案.
【详解】， =（，6），且
则即
故答案选A
【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.
3.已知中，，，，那么角等于()
（2）
的单调减区间为， .
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换和单调减区间，属于简单题.
19.已知数列满足，且．
（1）求及．
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）2，；（2） .
【解析】
【分析】
（1）根据题意知数列是等比数列，代入公式得到答案.
（2）先把表示出来，利用分组求和法得到答案.
22.已知数列的前项和为，且满足 .
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，求满足不等式时的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）11.
【解析】
【分析】

2019-2020学年岳阳市岳阳县一中高一下学期期末数学试卷

2019-2020学年岳阳市岳阳县一中高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为( )A. 30B. 25C. 20D. 152.已知a =log 94，b =ln3，，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. c >a >b3.要得到函数g(x)=sin(3x +π4)的图象，可以将函数f(x)=cos(3x +π4)的图象( )A. 向左平移π2个单位长度 B. 向右平移π2个单位长度 C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度4.某服装厂引进新技术，其生产服装的产量x(百件)与单位成本y(元)满足回归直线方程y ̂=100.36−14.2x ，则以下说法正确的是( )A. 产量每增加100件，单位成本约下降14.2元B. 产量每减少100件，单位成本约上升100.36元C. 产量每增加100件，单位成本约上升14.2元D. 产量每减少100件，单位成本约下降14.2元5.已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y ≥m 2+2m 恒成立．则实数的取值范围是( )A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. [−2,4]D. [−4,2]6.直线x −√3y +a =0与圆x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则a =( )A. ±√22B. ±1C. ±√2D. ±√37. 给定下列三个式子：①sin15°cos15°； ②cos 2π8−sin 2π8；③tan22.5°1−tan222.5°．其运算结果是12的有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个8.若a>−2，则a+16a+2的最小值为()A. 8B. 6C. 4D. 29.某人朝正东方走xkm后，向左转150°，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好√3km，那么x等于()A. √3B. 2√3C. √3或2√3D. 310.已知数列{a n}是等比数列，若a1⋅a5=9，则a3=()A. ±3B. −3C. 3D. √311.设椭圆x216+y212=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =9，则|PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值为()A. 8B. 10C. 12D. 1512.函数y=12sin(2x+π3)−sinxcosx的单调减区间是()A. [kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z) B. [kπ−7π12,kπ−π12](k∈Z)C. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z) D. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为______．答对题数48910人数分布112114.已知数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的通项公式为 _______15.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，b=1，c=√3，B=30°，则a=______．16.已知A(1,−1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB//AD，则D点坐标为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=2sinxsin(π3−x)+2cos2x−12．(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈(−π6,π4)时，函数g(x)=f2(x)−2mf(x)+m2−116有四个零点，求实数m的取值范围．18.已知数列，分别为等比，等差数列，数列的前n项和为，且，，成等差数列，，数列中，，(Ⅰ)求数列，的通项公式；(Ⅱ)若数列的前n项和为，求满足不等式的最小正整数。

湖南省重点名校2018-2019学年高一下学期期末达标测试数学试题含解析

湖南省重点名校2018-2019学年高一下学期期末达标测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在空间四边形ABCD 中，2AD = ， 23BC =，E ，F 分别是AB ， CD 的中点，7EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（）A ．150︒B ．60︒C ．120︒D ．30︒【答案】D【解析】【分析】平移两条异面直线到相交，根据余弦定理求解.【详解】如图所示：设BD 的中点为O ，连接,EO FO ，所以,EO AD FO BC ，则EOF ∠是,AD BC 所成的角或其补角，又111,3,722EO AD FO BC EF =====根据余弦定理得：3cos 23EOF ∠==所以150EOF ∠=︒，异面直线AD 与BC 所成角的为30︒，故选D.【点睛】本题考查异面直线所成的角和余弦定理.注意异面直线所成的角的取值范围是(]0,90︒︒.2．已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若2sin b a B =，则A 等于() A ．30 B ．60 C ．60120或 D ．30150或【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理把边化为对角的正弦求解.【详解】 12sin sin 2sin sin ,sin =A=30A=150 D.2b a B B A B A ︒︒=∴=即，则或，选【点睛】本题考查正弦定理，边角互换是正弦定理的重要应用，注意增根的排除. 3．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）A ．AB DC =B ．AD AB AC += C ．AB AD BD -= D ．0AD CB +=【答案】C【解析】【分析】根据向量的定义及运算法则一一分析选项正误即可. 【详解】在平行四边形ABCD 中,显然有AB DC =,0AD CB +=,故A,D 正确;根据向量的平行四边形法则,可知AD AB AC +=,故B 正确;根据向量的三角形法,AB AD DB -=,故C 错误;故选:C.【点睛】本题考查平面向量的基本定义和运算法则,属于基础题.4．已知点P 在正ABC ∆所确定的平面上，且满足PA PB PC AB ++=，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比为（）A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】C【解析】【分析】根据向量满足的条件确定出P 点的位置，再根据三角形有相同的底边，确定高的比即可求出结果.【详解】因为PA PB PC AB PB PA ++==-，所以2PC PA =-，即P 点在边AC 上，且13AP AC =，所以P 点到AB 的距离等于C 点到AB 距离的13，故ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比为1:3.选C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，三角形的面积，属于中档题.5．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A ．事件A 与C 互斥B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥D ．任何两个事件均不互斥【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】 A 为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，B 为三件产品全是次品，C 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：A 与B 是互斥事件；A 与C 是包含关系，不是互斥事件；B 与C 是互斥事件，故选B ．【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用．6．茎叶图记录了甲、乙两组各6名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数，则x ，y 的值分别为A ．4,5B ．5,4C ．4,4D ．5,5【答案】A【解析】【分析】根据众数的概念可确定x ；根据平均数的计算方法可构造方程求得y .【详解】甲组数据众数为124 4x ∴= ∴甲组数据的中位数为124∴乙组数据的平均数为：1161161251201281341246y ++++++=，解得：5y = 本题正确选项：A【点睛】本题考查茎叶图中众数、中位数、平均数的求解，属于基础题.7．已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为（）A ．1(,6)2-B ．5(,2)2C ．(1,12)-D ．(5,4) 【答案】A【解析】【分析】根据(2,8)AB =，(3,4)AC =-，可得BC ；由BM MC =可得M 为BC 中点，即可求得BM 的坐标，进而利用AM AB BM =+即可求解．【详解】因为(2,8)AB =，(3,4)AC =-所以(5,4)BC AC AB =-=--因为BM MC =，即M 为BC 中点所以15,222BM BC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭所以()512,8,2,622AM AB BM ⎛⎫⎛⎫=+=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以选A【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题．8．直线2y x =-与圆226480x y x y ++-+=相交于点,A B ，则AB =（）A B ．5 C D ．5【答案】D【解析】【分析】利用直线与圆相交的性质可知2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要求AB ，只要求解圆心到直线2y x =-的距离.【详解】由题意圆226480x y x y ++-+=，可得圆心()3,2-，半径5r =，圆心到直线2y x =-的距离2655d -==. 则由圆的性质可得2221695255AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以AB =65. 故选：D【点睛】本题考查了求弦长、圆的性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.9．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =，则c =( )A ．23B ．2C ．2D ．1 【答案】B【解析】 1333,sin A ===3cos A =, 所以()222313232c c =+-⨯⨯，整理得2320,c c -+=求得1c =或 2.c若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出3cos 2A =后，要及时判断出0030,60AB ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.10．已知满,x y 足条件0{02x y y x ≤≥-≤，则目标函数z x y =+的最小值为A ．0B ．1C ．D ．【答案】C【解析】作出不等式区域如图所示：求目标函数z x y =+的最小值等价于求直线y x z =-+的最小纵截距.平移直线经过点A(-2,0)时z 最小为-2.故选C.11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C += A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒ 【答案】B【解析】【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A C +的值．【详解】在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯， b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．12．若tan <0α, cos <0α,则α的终边所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由一全正二正弦三正切四余弦可得α的终边所在的象限为第二象限，故选B.考点：三角函数二、填空题：本题共4小题13．设,αβ为使互不重合的平面，,m n 是互不重合的直线，给出下列四个命题：①//,,//m n n m αα⊂若则②,,//////m n m n ααββαβ⊂⊂若，，则③//,,//m n m n αβαβ⊂⊂若，则④若,,,,m n n m n αβαβαβ⊥⋂=⊂⊥⊥则；其中正确命题的序号为．【答案】④【解析】试题分析：根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，及面面垂直的性质定理，对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．解：当m ∥n ，n ⊂α，，则m ⊂α也可能成立，故①错误；当m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，m 与n 相交时，α∥β，但m 与n 平行时，α与β不一定平行，故②错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行也可能异面，故③错误；若α⊥β，α∩β=m ，n ⊂α，n ⊥m ，由面面平行的性质，易得n ⊥β，故④正确故答案为④考点：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系．点评：熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键，属于基础题．14．一艘海轮从A 出发，沿北偏东75︒方向航行1) n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发沿北偏东30︒方向航行 mile 后到达海岛C ，如果下次直接从A 沿北偏东θ方向到达C ，则θ=______.【答案】45【解析】【分析】首先根据余弦定理求出20AC =，在根据正弦定理求出30CAB ∠=，即可求出θ【详解】有题知1807530135ABC ∠=-+=222100(31)2)210(31)102cos135400AC =+-⨯⨯=.所以20AC =.在ABC 中，sin sin BC AC CAB ABC=∠∠，即102sin 2CAB =∠1sin 2CAB ∠=. 所以30CAB ∠=，753045θ=-=故答案为：45【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的实际应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.15．已知等差数列{}n a ，*n N ∈，12339a a a ++=，45633a a a ++=，则789a a a ++=______.【答案】27【解析】【分析】利用等差中项的基本性质求得213a =，511a =，并利用等差中项的性质求出8a 的值，由此可得出78983a a a a ++=的值.【详解】由等差中项的性质可得1232233913a a a a a ++==⇒=，同理4565533311a a a a a ++==⇒=，由于2a 、5a 、8a 成等差数列，所以5282a a a =+，则852*******a a a =-=⨯-=，因此，7898327a a a a ++==.故答案为：27.【点睛】本题考查利用等差中项的性质求值，考查计算能力，属于基础题.16．若3x π=是方程2cos()1x α+=的解，其中(0,2)απ∈，则α=______. 【答案】43π 【解析】【分析】把3x π=代入方程2cos （x+α）＝1，化简根据α∈（0，2π），确定函数值的范围，求出α即可．【详解】∵3x π=是方程2cos （x+α）＝1的解，∴2cos （3π+α）＝1，即cos （3π+α）＝12．又α∈（0，2π），∴3π+α∈（3π，73π）．∴3π+α＝53π．∴α＝43π．故答案为43π 【点睛】本题考查三角函数值的符号，三角函数的定义域，考查逻辑思维能力，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖南省岳阳县一中2018-2019学年高一下学期第二次阶段数学试题含解析

湖南省岳阳县一中高一年级下学期第二次阶段考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项最符合题意） 1.已知数列3，5，7，9，……，（21n +），则17是这个数列的( ) A. 第7项 B. 第8项 C. 第9项 D. 第10项【答案】B 【解析】【分析】根据通项为21n +，取2117n =+，解得答案. 【详解】21178n n =+?故答案选B【点睛】本题查了数列的通项公式，属于简单题.2.已知(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b ，则x = （） A. 12 B. 13 C. 14D. 15【答案】A 【解析】【分析】根据向量平行有公式1221x y x y =，代入数据得到答案. 【详解】(4,2)a =，b =（x ，6），且//a b 则1221x y x y =即22412x x =⇒= 故答案选A【点睛】本题考查了向量平行的计算，属于简单题.3.已知ABC ∆中，a =b =，2c = ，那么角A 等于 ( )A. 90B. 60C. 30D. 45【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理计算得到答案.【详解】已知ABC ∆中，a =b =，2c =则2222cos a b c bc A =+- 即224A =+-cos 452A A =⇒∠=︒ 故答案选D【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.4.已知角α 的终边经过点0(4,3)P --，则角α余弦值为 ( ) A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】C 【解析】【分析】直接利用余弦值公式得到答案.【详解】已知角α 的终边经过点0(4,3)P -- 则4cos 5α==-故答案选C【点睛】本题考查了余弦值的定义和计算，意在考查学生的计算能力.5.为了参加冬季运动会的5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划：第一天跑5000m ，以后每天比前一天多跑500m ．则该同学7天一共跑的距离为( ) A. 45000m B. 45500m C. 44000m D. 50000m【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列求和公式代入数据得到答案.【详解】根据已知条件知：每天跑步长度为首项为5000，公差为500的等差数列1(1)2n n n S na d -=+77675000500455002S ⨯=⨯+⨯=故答案选B【点睛】本题查了等差数列前n 项和的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.6.已知向量a ，b 满足||1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（） A. 4 B. 3C. 2D. 0【答案】B 【解析】【分析】对所求式子利用向量数量积的运算公式，去括号，然后代入已知条件求得结果.【详解】解：向量,a b 满足||1a =，1a b ⋅=- ，则2(2)2213a a b a a b ⋅-=-⋅=+=，故选：B ．【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题.7.若1sin 3α=，则cos2=α （） A.89B. 79C. 79-D. 89-【答案】B 【解析】【分析】根据余弦函数二倍角公式，代入1sin 3α=可得cos2α的值。