2014届高三模拟考试数学文试题(附参考答案)

正视图俯视图2014届高三数学(检测)试题第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足i iz 42+=，则z 等于 A ．2+4iB ．2-4iC ．4-2iD ．4+2i2．已知全集U=R ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=01|A x x x ，{}1|≥=x xB ，则集合{}0|≤x x 等于 A ．A B ⋂ B ．A B ⋃C ．U C A B ⋂（）D ．U C A B ⋃（） 3．“函数xy a =单调递增”是“ln 1a >”的什么条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．在公比大于1的等比数列{}n a 中，7273=a a ，2782=+a a ，则=12a A ．96B ．64C ．72D ．485．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且2c a =， 则cos B = A ．14B ．34CD 6．从抛物线x y 42=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积A ．5B ．10C ．20D ．157．若x ，y 满足10,220,40.x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≥－y －≤＋－≥则x ＋2y 的最大值为A ．132B ．6C ．11D ．10 8．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边 三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 AB.CD.39．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个 程序框图，其中判断框内应填入的条件是 A ．2011≤i B ．2011>i C ．1005≤i D ．1005>i10．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①11．已知点D ,C ,B ,A ,P 是球O 的球面上的五点,正方形ABCD 的边长为32，ABCD PA 面⊥,62PA =则此球的体积为（ ）A ．π36B ．π38C ．π316D ．π33212．过双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ， C ．若BC AB =2，则双曲线的离心率是 A ．2B ．3C ．5D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量，满足||=1，|﹣|=，与的夹角为60°，||= ．14．若函数f （x ）＝x 3－3bx ＋b 在区间（0，1）内有极小值，则b 应满足的条件是 ； 15．已知y x y x y x 311,2lg 8lg 2lg ,0,0+=+>>则的最小值是 ；16．若(0,)απ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为 ．xx三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =．数列{}n b 为等比数列，且11b =，48b =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n c 满足n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ；18．（本小题满分13分）某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度（肯定还是否定），进行了如下的调查研究.全年级共有630名学生，男女生人数之比为10:11，现按分层抽样方法抽取若干名学生，每人被抽到的概率均为16． （1）求抽取的男学生人数和女学生人数；（2）通过对被抽取的学生的问卷调查，得到如下22⨯列联表：①完成列联表；②能否有97.5%的把握认为态度与性别有关？（3）若一班有5名男生被抽到，其中4人持否定态度，1人持肯定态度；二班有4名女生被抽到，其中2人持否定态度，2人持肯定态度．现从这9人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因，求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率．解答时可参考下面公式及临界值表： ))()()(()(20d c b a d b c a bc ad n k ++++-=19．(本小题满分12分)P在四棱锥ABCD P -中，︒=∠=∠90ACD ABC ，︒=∠=∠60CAD BAC ，⊥PA 面ABCD ，E 为PD的中点，42==AB PA ．（1）求证：//CE 面PAB ； （2）求证：AE PC ⊥.20．(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的离心率为23，过顶点)1,0(A 的直线L 与椭圆C 相交于两点B A ,.（1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在椭圆上且满足2321+=，求直线L 的斜率k 的值.21.（本小题满分12分）设函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． (Ⅰ)当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； (Ⅱ)当13a =时，求函数()f x 的单调区间； (Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，设函数25()212g x x bx =--，若对于[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使12()()f x g x ≥成立，求实数b 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时DEABP 用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分）选修4—1: 几何证明选讲．如图，在正ΔABC 中，点D 、E 分别在边BC, AC 上,且BC BD 31=,CA CE 31=，AD ，BE 相交于点P.求证：(I) 四点P 、D 、C 、E 共 圆；(II) AP ⊥CP 。

23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. (I)设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； (II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5: 不等式选讲．已知函数a a x x f +-=2)(．(I)若不等式6)(≤x f 的解集为{}32≤≤-x x ，求实数a 的值；(II)在(I)的条件下，若存在实数n 使)()(n f m n f --≤成立，求实数m 的取值范围．2014届高三第二次模拟数学（文科）试卷参考答案13.2 14.b ∈(0,1)或0<b<1 15.4 16. 1或18- 17.（Ⅰ）∵ 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，∴ 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．当1n =时，111a S ==亦满足上式，故21n a n =-，(*)n ∈N ．又 数列{}n b 为等比数列，设公比为q ，∵ 11b =，3418b b q ==， ∴2q =． ∴ 12n n b -= (*)n ∈N ．（Ⅱ）2121n n n b n c a b ==-=-．123n n T c c c c =+++12(21)(21)(21)n =-+-++-12(222)n n =++-2(12)12n n -=--．所以 122n n T n +=--．18．（1）共抽取6306105÷=人，…………………………………………………………1分男生 111055521⨯=人， 女生101055021⨯=人，……………………………3分 （2）①…………4分 ② 假设0H : 学生对体育课改上自习课的态度与性别无关220()105(45201030) 6.110()()()()75305550n ad bc k a c b d a b c d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为 6.110 5.024>, 2( 5.024)0.025P K ≥=所以 有97.5%的把握认为态度与性别有关.………………………………8分（3）记一班被抽到的男生为1234,,,,A A A A a ，1234,,,A A A A 持否定态度，a 持肯定态度；二班被抽到的女生为1212,,,B B b b ，12,B B 持否定态度，12,b b 持肯定态度. 则所有抽取可能共有20种：11(,)A B ,12(,)A B ,11(,)A b ，12(,)A b ；21(,)A B ，22(,)A B ，21(,)A b ，22(,)A b ；31(,)A B ，32(,)A B ，31(,)A b ，32(,)A b ；41(,)A B ，42(,)A B ，41(,)A b ，42(,)A b ；1(,)a B ，2(,)a B ，1(,)a b ，2(,)a b .………10分其中恰有一人持否定态度一人持肯定态度的有10种：11(,)A b ，12(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，31(,)A b ，32(,)A b ，41(,)A b ，42(,)A b ，1(,)a B ，2(,)a B .……11分记“从这9人中随机抽取一男一女，其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度”事件为M ,则101()202P M ==. ……………………………………………………12分答：（1）抽取男生55人，女生50人；（2）有有97.5%的把握认为态度与性别有关； （3）恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率为12.……………………………13分19． 19.解：（1）（法一）取AD 中点M ，连接,EM CM ．则 在PAD ∆中, EM ∥PA . 又 EM ⊄面PAB , PA ⊂面PAB则 EM ∥面PAB , …………………………………………………………………7分 在Rt ACD ∆中，60CAD ∠= 所以ACM ∆为正三角形，则 60ACM *∆= ……………………………………………………………………8分 又 60BAC ∠= 则 MC ∥AB .又 MC ⊄面PAB , AB ⊂面PAB则 MC ∥面PAB , …………………………………………………………………9分 而 EMMC M =，所以 面EMC ∥面PAB . …………………………………………………………10分 又 EC ⊂面EMC则 EC ∥面PAB ． ………………………………………………………………11分 (法二)延长,DC AB 交于N ，连接PN ． …………………………………………7分 在AND ∆中，60NAC DAC ∠=∠=，AC ⊥CD ，则 C 为ND 的中点…………………………………………………………………9分又 PE ED =所以 EC ∥PN ……………………………………………………………………10分 又 EC ⊄面PAB , PN ⊂面PAB则 EC ∥面PAB .…………………………………………………………………11分 （2）证明 取PC 中点F ，连接,AF EF . ……1分在Rt ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=， 则BC =4AC =． 而 4PA =则 在等腰三角形APC 中 PC AF ⊥. ① ………………2分又 在PCD ∆中，,PE ED PF FC ==,则 EF ∥CD ……………………………………………………………………3分因 PA ⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ， 则 PA ⊥CD ，又 90ACD ∠=，即CD AC ⊥，P则 CD ⊥面PAC ，……………………4分CD PC ⊥，所以 EF PC ⊥． ② ………………5分 由①②知 PC ⊥面AEF ．故 PC ⊥AE ．…………………………6分20．(Ⅰ)因为e=23,b=1,所以a=2, 故椭圆方程为1422=+y x .................................................... 4分 (Ⅱ)设l 的方程为y=kx+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(m,n). 联立 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，解得 (1+4k 2)x 2+8kx=0, …………………………………………7分 因为直线l 与椭圆C 相交于两点，所以△=(8k)2>0,所以x 1+x 2=2418kk+-，x 1×x 2=0， ∵13OM OA OB 2=+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)y 3y (21n )x 3x (21m 2121 点M 在椭圆上，则m 2+4n2=4,∴2212121(x )(y )44+++=,化简得x 1x 2+4y 1y 2= x 1x 2+4(kx 1+1)(kx 2+1)= (1+4k 2)x 1x 2+4k(x 1+x 2)+4=0, …………………10分∴4k ·(2418k k +-)+4=0,解得k=±12.故直线l 的斜率k=±12.…………………12分21.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'211()a f x a x x-=-- …………2分(Ⅰ)当1a =时，()ln 1f x x x =--，''1(1)2,()1,(1)0f f x f x∴=-=-∴= ∴()f x 在1x =处的切线方程为2y =- …………5分 (Ⅱ) 22232(1)(2)()33x x x x f x x x-+--'=-=- 所以当01x <<，或2x >时，()0f x '<，当12x <<时，()0f x '>故当13a =时，函数()f x 的单调递增区间为(1,2)； 单调递减区间为(0,1),(2,)+∞ …………8分 (Ⅲ)当13a =时，由(Ⅱ)知函数()f x 在区间(1,2)上为增函数， 所以函数()f x 在[]1,2上的最小值为2(1)3f =-若对于12[1,2],[0,1]x x ∀∈∃∈使12()()f x g x ≥成立⇔()g x 在[0,1]上的最小值不大于()f x 在[1，2]上的最小值23-（*） …………10分又[]22255()2(),0,11212g x x bx x b b x =--=---∈ ①当0b <时，()g x 在上[]0,1为增函数，min 52()(0)123g x g ==->-与（*）矛盾 ②当01b ≤≤时，2min 5()()12g x g b b ==--，由252123b --≤-及01b ≤≤得，112b ≤≤ …………12分 ③当1b >时，()g x 在上[]0,1为减函数，min 72()(1)2123g x g b ==-≤-， 此时1b > 综上所述，b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭…………14分21. (1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,∴f ′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令f ′(x)>0,即(-x2+2)ex>0,∵ex>0,∴-x2+2>0,解得∴函数f(x)的单调递增区间是(2)f(x)不是R 上的减函数. 若函数f(x)在R 上单调递减, 则f ′(x)≤0对x ∈R 都成立,即[-x2+(a-2)x+a]ex ≤0对x ∈R 都成立. ∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a ≥0对x ∈R 都成立. ∴Δ=(a-2)2+4a ≤0,即a2+4≤0,这是不可能的. 故函数f(x)不可能是R 上的减函数.22.证明：（I ）在ABC ∆中，由11,,33BD BC CE CA ==知： ABD ∆≌BCE ∆，………………2分ADB BEC ∴∠=∠即ADC BEC π∠+∠=. 所以四点,,,P D C E 共圆；………………5分（II ）如图，连结DE .在CDE ∆中，2CD CE =,60ACD ∠=, 由正弦定理知90CED ∠=.………………8分 由四点,,,P D C E 共圆知，DPC DEC ∠=∠, .122=+y x⎪⎩=+,122y x 1)0,1(,)23,21(-B , 则1||=AB .（II ）2C 的参数方程为θθθ(.sin 23,cos 21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 为参数).故点P 的坐标是)sin 23,cos 21(θθ,从而点P 到直线 的距离是]2)4sin(2[432|3sin 23cos 23|+-=--=πθθθd ,由此当1)4sin(-=-πθ时,d 取得最小值,且最小值为)12(46-.24.解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-，∴1a =。