【VIP专享】2015年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组) word版含答案
2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案
2015年全国高中数学联赛河北省预赛试题及答案一、填空题（每小题8分，共64分） 1.已知函数())()ln 10f x ax a =+>，则()1ln ln f a f a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 答案：2 提示：()()))()2222lnln2ln 12 2.f x f x ax ax a x a x +-=++=+-+=2.设A 、B 两点分别在抛物线26y x =和圆()22:21C x y -+=上，则AB 的取值范围是． 答案：[)1,+∞提示：由于1AB AC ≥-，则只需要考虑AC 的范围．而()()()2222222262413,AC x y x xx x x =-+=-+=++=++又0x ≥，故min 2AC =，故AB 的取值范围为[)1,.+∞ 3.若tan 3tan 02παββα⎛⎫=<≤< ⎪⎝⎭，则αβ-的最大值为 ． 答案：6π． 提示：()2tan tan 2tan tan 1tan tan 13tan 213tan tan tan .36αββαβαββββπ--==++=+≤= 因为02πβα<≤<，所以0.2παβ≤-<所以6παβ-≤，即αβ-的最大值为.6π 4.已知△ABC 为等腰直角三角形，其中C ∠为直角，1AC BC ==，过点B 作平面ABC 的垂线DB ，使得1DB =，在DA 、DC 上分别取点E 、F ，则△BEF 周长的最小值为 ．．提示：由题意可知，,4CDB π∠=且BDA ∠与CDA ∠之和为.2π如图，将侧面BDA 和侧面CDB 分别折起至面1B DA 和2B DC ，且与侧面ADC 位于同一个平面上．则△BEF 周长的最小值即面12AB DB C 上两点1B 、2B 之间的线段长．由前面的分析可知，12123.244B DB B DA ADC CDB πππ∠=∠+∠+∠=+=由余弦定理可得，12B B ===所以，△BEF5.已知函数()33f x x x =+，对任意的[]2,2,m ∈-()()820x f mx f -+<恒成立，则正实数x 的取值范围为 ． 答案：0 2.x <<提示：由于()33f x x x =+为奇函数且为增函数，所以()()820xf mx f -+<等价于()()()822x x f mx f f -<-=-，即82.x mx -<-即280xmx +-<对任意[]2,2m ∈-恒成立．即2280,2280,xxx x ⎧+-<⎪⎨-+-<⎪⎩所以02,04,x x <<⎧⎨<<⎩即0 2.x <<6.已知向量a 、b 、c 满足()*::2::3a b c k k N =∈，且()2b a c b -=-，若α为a 、c 的夹角，则cos α的值为 ．答案：1.6-提示：由()2b a c b -=-得1233b ac =+，所以 222144.999b ac a c =++⋅又::2::3a b c k =，所以240241664cos ,.9999k α⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦又*k N ∈，所以2k =，所以cos α的值为1.6-7.现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值为 ．答案：4+提示：这10个小球成棱锥形来放，第一层1个，第2层3个，第3层6个，即每一条棱是3的小球，于是正四面体的一条棱长就应该是4倍的小球的半径加上2倍的球心到四面体顶点的距离到棱长上射影的长度，又球心到顶点的距离为3，正四面体的高和棱所成角的余弦值为342343+⨯⨯=+ 8.将10个小球（5个黑球和5个白球）排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球．无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为 ． 答案：1.6提示：方法一 如果只有2个小球（1黑1白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为12；如果只有4个小球（2黑2白），那么黑球的个数总不少于白球个数的概率为13；如果只有6个小球（3黑3白），那么黑球的个数总数不少于白球个数的概率为14；以此类推，可知将10个小球（5黑5白）排成一行，从左边一个小球开始向右数小球，无论数几个小球，黑球的个数不少于白球个数的概率为1.6方法二 直接从10个小球入手分类讨论．二、解答题（第9、10、11、12题各14分，第13、14题各15分） 9.在△ABC 中，内角A 、B 、C 对边的边长分别是a 、b 、c ，向量()sin sin ,sin ,p A C B =+(),q a c b a =--，且满足p q ⊥．（1）求△ABC 的内角C 的值；（2）若()2,2sin 2sin 2sin c A B C C =++=，求△ABC 的面积．解 （1）由题意p q ⊥，所以()()()sin sin sin 0.a c A C b a B -++-=由正弦定理，可得()()()0.a c a c b a b -++-= 整理得222a cb ab -+=．由余弦定理可得，2221cos ,22a b c C ab +-==又()0,C π∈，所以.3C π= (2)由()2sin 2sin 2sin A B C C ++=可得，()()4sin cos sin sin .A A B A B A π++-=+整理得，()()4sin cos sin sin 2sin cos .A A B A B A B A =++-=当cos 0A =时，2A π=，此时，2cot3b π==，所以△ABC 的面积12ABC S bc ∆==当cos 0A ≠时，上式即为sin 2sin B A =，由正弦定理可得2,b a =又224a b ab +-=，解之得，a b ==所以△ABC 的面积1sin 2ABC S ab C ∆==综上所述，△ABC 的面积1sin 23ABC S ab C ∆==10.已知数列{}n a 满足：2112,2.n n n a a a a +==+（1）求证：数列(){}lg 1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）若112n n n b a a =++，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证： 1.n S < 证 （1）由已知得()22112,11.n n n n n a a a a a +-=++=+因为12a =，所以11n a +>，两边取对数得()()1lg 12lg 1,n n a a ++=+即()()1lg 12lg 1n n a a ++=+，故(){}lg 1n a +为以lg 3为首项，2为公比的等比数列，即()1lg 12lg3,n n a -+=即123 1.n n a -=-（2）方法一 由212n n n a a a +=+，两边取倒数得1111122n n n a a a +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，所以 21122n n n a a a +=-+，即1112n nn b a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故2112,231n n S ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭故 1.n S < 方法二 由于111211222221123313131112,3131n n n nn n n b -----⨯=+=+--⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭则2112 1.231n n S ⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭11.设().xf x e ax a =--（1）若()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：1008122015.2016e -⎛⎫< ⎪⎝⎭解 （1）由()0f x ≥得()1xx a e +≤，即()11xe a x x ≤>-+．令()1x e h x x =+，则()()2.1xxe h x x '=+ 由()()201xxe h x x '=>+得0.x >所以()h x 在()0,+∞上单调递增，()h x 在()1,0-单调递减． 所以()()()011,h x h x ≥=>-由此得 1.a ≤又1x =-时，()1x x a e +≤即为10a e -⨯≤，此时a 取任意值都成立．综上可得 1.a ≤（2）10081220152016e-⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于1201510152016e <等价于1201611.2016e -< 由（1）知，当1a =时()0f x ≥对一切1x ≥-恒成立，即1xe x ≥+（0x =时取等号）．取12016x =-，得1201611.2016e -< 即证得：1008122015.2016e -⎛⎫< ⎪⎝⎭12. 已知：如图，两圆交于A 、B 两点，CD 为一条外公切线，切点分别为C 、D ．过A 任意作一条直线分别交两圆于E 、F ，EC 交FD 于点P ． 求证：PB 平分.EBF ∠证 如图，连结BA 、BC 、,BD 延长CD ．由A 、B 、E 、C 共圆有1CBA ∠=∠，同理，2.DBA ∠=∠又12180EPF ∠+∠+∠=，所以12180.CBD CPD EPF ∠+∠=∠+∠+∠=故P 、C 、B 、D 四点共圆．则34CBP DBF ∠=∠=∠=∠（弦切角等于圆周角）． 同理5.CBE DBP ∠=∠=∠ 所以,EBP EBC PBC DBP FBD FBP ∠=∠+∠=∠+∠=∠此即为PB 平分.EBF ∠13.设正数x 、y 满足33x y x y +=-，求使221x y λ+≤恒成立的实数λ的最大值．解 由正数x 、y 满足33x y x y +=-，知0.x y >> 令 1.xt y=> 不等式221x y λ+≤等价于3322,x y x y x y λ++≤-等价于332322,x y x y y y x x y x yλ++≤-=-- 等价于()232,x y y x y y λ+≤-等价于22221.1x y t xy y t λ++≤=--因为()()212211122t f t t t t +==+-+--≥+=+ 等号仅当211t t-=-，即1t =λ的最大值为2+ 14.已知椭圆22:12x C y +=及点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作C 的切线交于Q ． （1）求Q 的轨迹方程：（2）求△ABQ 的面积的最小值．解 （1）设()11,A x y 、()22,B x y 、()00,Q x y ，则11:12x xQA y y +=过Q ，有 101012x x y y +=； ① 22:12x xQB y y +=过Q ，有202012x x y y +=， ② 故直线AB 为0012x x y y +=，由于直线AB 过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则有00122x y +=，即 00 2.x y += ③故Q 的轨迹方程为 2.x y +=（2）当直线AB 斜率不存在时，即直线AB 的方程为1x=，此时1,2A ⎛⎝⎭、1,2B ⎛- ⎝⎭、()2,0.C 所以1122ABQ S ∆==当直线AB 的斜率存在时，设直线()1:12AB y k x -=-，即1.2y kx k =+-联立2222,1,2x y y kx k ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩消去y 得 ()()222321212220.2kx k k x k k ⎛⎫++-+--= ⎪⎝⎭于是有()1222122221,213222.21k k x x k k k x x k -⎧+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩又①-②，得到0002x ky +=与③联立，可解得42,2112kQ k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，则()()12322212443,42121AQB S AB d x k k k k ∆==-++=⋅+-可得 ()()()3222224431.82121AQB k k S k k ∆++=⋅+- 令()()()()322224432121k k f k kk ++=+-，则()()()()()()22233284431843,2121k k k k k f k kk -+++-+'=+-故()f k 在区间(),1-∞-上单调递减，11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，又()lim 4,k f k →+∞=所以()()min 11.3f k f =-=于是，当1k =-时，△AQB 面积的最小值为min S =。
河北省衡水中学2015届高三下学期三调考试数学(理)试题word版含答案
2014-2015学年度下学期高三年级三调考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|11},{|560}A x x B x x x =-≤≤=-+≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．AB B = B ．A B A =C ．A B ⊂D ．R C A B =2、复数122ii +-的共轭复数是（ ）A ．35i B ．35i- C ．i D ．i -3、某工厂生产,,A B C 三种不同的型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ） A ．24 B ．30 C ．36 D ．404、如图给出的是计算111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i > B ．9?i > C ．10?i > D ．11?i >5、将函数()cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >， 若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A ．23π B ．3π C ．8π D ．56π6、已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167、已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种 B ．72种 C ．78种 D ．84种8、已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，点P 满足11()2OP OF OQ =+(其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点)，在点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆9、已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．3272π-B ．3182π- C ．273π- D ．183π-10、三棱锥P ABC-中，PA ⊥平面,,1,ABC AC BC AC BC PA ⊥==为（ ）A ．5πB C ．20π D ．4π11、已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当PAB ∠最大时，cos PAB ∠=（）A ．2 B ．12C ．2- D ．12-12、若函数[]111sin 20,)2y x x π=-∈，函数223y x =+，则221212()()x x y y -+-的最小值为（） A ．12B ．2(18)72π+C ．2(18)12π+D二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20，把答案填在答题卷的横线上。
2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满=，则PQ PA ⋅的最小值为 ．答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd ，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=． 三、解答题9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足cb ac b a 424,242=+=+，求c 的最小值． 解：将2,2,2abc分别记为,,x y z ，则,,0x y z >．由条件知，222,x y z x y z +=+=，故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分因此，结合平均值不等式可得，4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分 当212y y =，即y =时，zx求）．由于2log c z =，故c的最小值225log log 33=-．16分 10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值． 解：由条件可知，(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321a a a a <<<，则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ，最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ，从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分 于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-． 故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--，15分结合1a Q ∈，只可能114a =±．由此易知，123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=．检验知这两组解均满足问题的条件． 故123494a a a a +++=±． 20 分 11．（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．解：由条件知，点1F 、2F 的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) ．设直线l 的方程为y kx m =+，点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则12,x x 满足方程22()12x kx m ++=，即 222(21)4(22)0k x kmx m +++-=．由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程①的两个不同实根，因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆=-⋅+⋅-=+->，即2221k m +>．②由直线11,,BF l AF 的斜率1212,,11y y k x x ++依次成等差数列知，1212211y yk x x +=++，又1122,y kx m y kx m =+=+，所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kx m x kx m x k x x +++++=++，化简并整理得，12()(2)0m k x x -++=．假如m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，即 z 经过点1F （-1, 0)，不符合条件． 因此必有1220x x ++=，故由方程①及韦达定理知，1224()221kmx x k =-+=+，即12m k k=+．③ 由②、③知，222121()2k m k k +>=+，化简得2214k k>，这等价于||2k >． 反之，当,m k满足③及||2k >l 必不经过点1F （否则将导致m k =，与③矛盾）, 而此时,m k 满足②，故l 与椭圆有两个不同的交点A 、B ，同时也保证了1AF 、1BF 的斜率存在（否则12,x x 中的某一个为- l ，结合1220x x ++=知121x x ==-，与方程①有两个不同的实根矛盾）．10分点2F （l , 0）到直线l: y kx m =+的距离为211|2|(2)22d k kk ==+=+．注意到||2k >t =t ∈，上式可改写为 21313()()222t d t t t=⋅+=⋅+．考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在上上单调递减，故由④得，(1)f d f <<，即2)d ∈．20 分加试1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε．证法一：我们证明：2[]222111[]2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====⎛⎫ ⎪+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，① 即对1,2,,[]2n i =，取1i ε=，对[]1,,2ni n =+，取1i ε=-符合要求．（这里，[]x 表示实数x 的整数部分．） 10分事实上，①的左边为2222[][][]222111[]1[]1[]122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ []2221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪≤+- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（柯西不等式）30分 []2221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+⎛⎫⎛⎫⎛+⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用122n n n +⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦） []2221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用[]x x ≤） 21(1)()ni i n a =≤+∑．所以 ① 得证，从而本题得证．证法二：首先，由于问题中12,,,n a a a 的对称性，可设12n a a a ≥≥≥．此外，若将12,,,n a a a 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的21)(∑=n i i a 不减，而右边的21ni i a=∑不变，并且这一手续不影响1i ε=±的选取，因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥． 10分引理：设120n a a a ≥≥≥≥，则1110(1)ni i i a a -=≤-≤∑．事实上，由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-，故当n 是偶数时，1123411(1)()()()0ni i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑，11232111(1)()()ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑．当n 是奇数时，11234211(1)()()()0ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑，1123111(1)()()ni i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑．引理得证． 30 分回到原题，由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)n n n ni i i i i i i i i a a n a a n a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，这就证明了结论． 40分证法三：加强命题：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅（2n ≥）是实数，证明：可以选取12,,,{1,1}n εεε⋅⋅⋅∈-，使得 2221111()()()()n nn i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑.证明 不妨设22212n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥，以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明.当n 为奇数时，取12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有12221112()[()()]n nni i jn i i j a a a -+===+-∑∑∑12221122[()+()]n ni jn i j a a -+===∑∑1222112112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.1222112(1)()+(1)()n ni jn i j n a n a -+===-+∑∑ ①另外，由于22212n a a a≥≥⋅⋅⋅≥，易证有122211211(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑，因此，由式①即得到1222112(1)()+(1)()n nijn i j n a n a -+==-+∑∑211()()n i i n a n =≤+∑，故n 为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，且12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.当n 为偶数时，取1221n εεε==⋅⋅⋅==，24221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有2222112()[()()]n nni i j n i i j a a a +===+-∑∑∑22222122[()+()]n ni j n i j a a +===∑∑2222122()+2()()22nn i j n i j n n a n a +==≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.222212[()+()]n nijn i j n a a +===∑∑22111()()()nn ii i i n a n a n ===≤+∑∑，故n 为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当120n a a a ==⋅⋅⋅==时取等号，若12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全为零，则取不到等号.综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合．证明：不妨设1||A k =．设在12,,,n A A A 中与1A 不相交的集合有s 个，重新记为12,,,s B B B ，设包含1A 的集合有t 个，重新记为12,,,t C C C ．由已知条件，1()i B A S ∈，即112(){,,,}i t B A C C C ∈，这样我们得到一个映射12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=． 显然f 是单映射，于是，s t ≤． 10 分设112{,,,}k A a a a =．在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B ，12,,,t C C C 后，在剩下的n s t --个集合中，设包含i a 的集合有i x 个（1i k ≤≤），由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个i a ，从而12k x x x n s t +++≥--． 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=，则由上式知i n s tx k --≥，即在剩下的n s t --个集合中，包含1a的集合至少有n s tk--个．又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆，故12,,,t C C C 都包含1a ，因此包含1a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥（利用2k ≥） nk ≥（利用s t ≤)． 40 分 3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．证法一：设CF 与圆Q 交于点L （异于C)，连接PB 、PC 、 BL 、KL ．注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上，结合A 、 B 、P 、C 四点共圆，可知∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP ，因此△FB E ∽△FPB ，故FB 2=FE ·FP ．10分又由圆幂定理知，FE ·FP= FL ·FC ，所以FB 2=FL ·FC ． 从而△FBL ∽△FCB ．因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L 三点共线． 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得，∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB ．证法二：设CF 与圆Ω交于点L （异于C)．对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与KP 的交点A 、CL 与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线，因此B ’是AF 与ED 的交点，即B ’=B ．所以B 、K 、L 共线．10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆，得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,又由BK 平分∠ABC 知，∠FBL=12∠ABC ，从而 ∠ABC=2∠FCB ．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ． 解：对正整数m ，设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)()v m m S m =-，①这里()S m 表示正整数m 在二进制表示下的数码之和．由于1)1(2+-n k 不整除()!!kn n ，等价于2()!()(1)!kn v k n n ≤-，即22(()!)(!)kn v kn n v n -≥-，进而由①知，本题等价于求所有正整数k ，使得()()S kn S n ≥对任意正整数n 成立． 10分我们证明，所有符合条件的k 为2(0,1,2,)aa =．一方面，由于(2)()aS n S n =对任意正整数n 成立，故2ak =符合条件． 20 分另一方面，若k 不是2的方幂，设2,0,ak q a q =⋅≥是大于1的奇数．下面构造一个正整数n ，使得()()S kn S n <．因为()(2)()aS kn S q S qn <⋅=, 因此问题等价于我们选取q 的一个倍数m ，使得()()m S m S q <． 由（2，q ）=l ，熟知存在正整数u ，使得21(mod )uq ≡．（事实上，由欧拉定理知，u 可以取()q ϕ的．)设奇数q 的二进制表示为1212222,0,2t a a at a a a t +++=<<<≥．取1122222t t a a tu aa-+++++，则()S m t =，且2(21)0(mod )t a tu m q q =+-≡．我们有1(1)02121211212(122)12t t ttu uu t a a lu a u t ul m q q q q q -+-=---=++⋅=+⋅+++=+⋅∑由于2102u uq -<<，故正整数21u q -的二进制表示中的最高次幂小于u ，由此易知，对任意整数,(01)i j i j t ≤<≤-，数212t u iu a q +-⋅与212tu ju a q+-⋅的二进制表示中没有相同的项．又因为0i a >，故212(0,1,,1)tu lu a l t q +-⋅=-的二进制表示中均不包含1，故由②可知21()1()()u m S S t t S m q q-=+⋅>=, 因此上述选取的m 满足要求．综合上述的两个方面可知，所求的k 为2(0,1,2,)aa =．50分。
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
河北省唐山一中等五校2015届高三数学第二次联考试题 理(含解析)新人教A版
河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（二）理科数学【试卷综述】试卷贴近中学教学实际,在坚持对五个能力、两个意识考查的同时,注重对数学思想与方法的考查,体现了数学的基础性、应用性和工具性的学科特色.以支撑学科知识体系的重点内容为考点来挑选合理背景,考查更加科学.试卷从多视角、多维度、多层次地考查数学思维品质,考查考生对数学本质的理解,考查考生的数学素养和学习潜能.【题文】第I 卷（选择题，共60分）【题文】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上．【题文】1．设集合2{|2150}M x x x =+-<，2{|670}N x x x =+-≥，则MN =（ ）A ．(5,1]-B ．[1,3)C ．[7,3)-D ．(5,3)- 【知识点】交集的基本运算.A1【答案】【解析】B 解析：由题意得：{}2{|2150}=|53M x x x x x =+-<-<<，同理： {}2{|670}|17N x x x x x x 或=+-≥=≥≤-，所以M N =[1,3)，故选B 。
【思路点拨】先根据题意求出集合M 、N 后再求MN 即可。
【题文】2． 已知i 是虚数单位，m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，则m nim ni+=-（ ）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案】【解析】D 解析：因为m 和n 都是实数，且(1)7m i ni +=+，所以可得：7m mi ni +=+，解得7,7m n ==，所以7777m ni ii m ni i++==--，故选D.【思路点拨】利用复数相等的条件求出m 和n 的值，代入m nim ni +-后直接利用复数的除法运算进行化简．【题文】3．设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-【知识点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．B13 B8 【答案】【解析】A 解析：由题意可知()1lg10f ==，又((1))1f f =，所以()200031af t dt =+=⎰，故31a =，解得1a =，故选A ．【思路点拨】求出()1f 的值，然后利用((1))1f f =，通过积分求解a 的值．【题文】4．设,a b 为两个非零向量，则“||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案】【解析】D 解析：若||a b a b ⋅=⋅，则|||cos<,>=|||||cos<,>|a b a b a b a b ，即cos<,>=|cos<,>|a b a b ，则cos<,>0a b ，则a 与b共线不成立，即充分性不成立．若a 与b 共线，当<,>=a b ，cos<,>=1a b ，此时||a b a b ⋅=⋅不成立，即必要性不成立， 故““||a b a b ⋅=⋅”是“a 与b 共线”的既不充分也不必要条件， 故选：D ．【思路点拨】根据充分条件和必要条件的定义，利用向量共线的等价条件，即可得到结论． 【题文】5．右图中，321,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当5.8,9,621===p x x 时，3x 等于（ ）A ．11B ．8.5C ．8D ．7【知识点】程序框图.L1【答案】【解析】C 解析：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据126,9,x x ，不满足12||2x x ，故进入循环体，输入3x ，判断3x 与1x ，2x 哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由398.5=2x ，解出3x =8．故选C ． 【思路点拨】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【题文】6．已知 ()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，则 tan 2θ=（ ） A ．43 B ．34 C ．247- D ．247【知识点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正切．C4 C5【答案】【解析】C 解析：∵()0,θπ∈，且 sin()410πθ-=，∴72cos()410， ∴tan 11tan()411tan 7，∴4tan 3，∴22tan 24tan 21tan 7，故选：C ．【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos()4，可得tan()4，解方程求得tan ，最后可求得tan 2的值．【题文】7．已知1,3OA OB ==,0,OA OB =点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设,OC mOA nOB =+(),m n R ∈，则nm等于（ ） A ．31 B ．3 C ．33 D ．3 【知识点】平面向量数量积的运算；线段的定比分点．F3【答案】【解析】B 解析：∵1,3OA OB ==,0,OA OB =∴OAOB ,13||2OC OB OC ,31||2OC OA OC ,∴OC 在x 轴方向上的分量为1||2OC ,OC 在y 轴方向上的分量为||2OC∵3OC mOA nOBni m j∴13||3,||22OC n OC m 两式相比可得：3m n．故选B.【思路点拨】先根据0,OA OB =可得OA OB ，再计算出OC OBOC OA ，又根据,OC mOA nOB =+，可得答案．【题文】8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1021=+a a ，436S =，则过点),(n a n P 和),2(2++n a n Q (*∈N n )的直线的一个方向向量是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,21 B ．()1,1-- C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,21 D ．⎪⎭⎫⎝⎛21,2 【知识点】直线的斜率.H1【答案】【解析】A 解析：等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ， 由1021=+a a ，436S =，得112104636a d a d，解得1a =3，d =4．∴1141na a n d n ．则,41P n n ，2,47Q n n ．∴过点P 和Q 的直线的一个方向向量的坐标可以是12,84,22．即为⎪⎭⎫⎝⎛--2,21，故选A ．【思路点拨】由题意求出等差数列的通项公式，得到P ，Q 的坐标，写出向量PQ 的坐标，找到与向量PQ 共线的坐标即可．【题文】9．函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A ，若点A 在直线02=++ny mx 上，其中0,0mn >>，则21m n +的最小值为( ) A ．．4 C ．52 D ．92【知识点】基本不等式在最值问题中的应用．E6【答案】【解析】D 解析：∵x=﹣2时，y=log a 1﹣1=﹣1，∴函数1)3(log -+=x y a )1,0(≠>a a 且的图象恒过定点A （﹣2，﹣1）， ∵点A 在直线mx+ny+2=0上，∴﹣2m ﹣n+2=0，即2m+n=2， ∵mn＞0，∴m ＞0，n ＞0，()211211229=25222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ． 【思路点拨】根据对数函数的性质先求出A 的坐标，代入直线方程可得m 、n 的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【题文】10．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦上分别取一个数,记为a b ,, 则方程22221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为 （ ） A ．12 B ．1532C ．1732D ．3132 【知识点】几何概型;椭圆的简单性质．H5 K3【答案】【解析】B 解析：∵22221x y a b+=表示焦点在x 轴上且离心率小于32，∴0,2ab a b ，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：则方程22221x y a b+=表示焦点在x 3111132115222=1-2432S PS 阴影矩形，故选B ．【思路点拨】表示焦点在x 3的椭圆时，（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a ，b ）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．【题文】11．多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位cm ）A ．2845+B ．3045+C ．30410+D ．28410+【知识点】三视图求表面积.G2【答案】【解析】A 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：4,4,4BC CD AE ===,所以25,6,42AB AC AD BD ====, 所以14482BCDS=⨯⨯=,14482ABCS =⨯⨯=,1425452ADCS =⨯⨯=在三角形ABD 中，10cos 22542B ==⨯⨯310s 10inB ∴=,1310254212210ABDS ∴=⨯=,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和2845+，故选A 。
三年级下册数学试题-1对称青岛版(五四)(含答案)2
三年级下册数学单元测试1.对称一、单选题1.图中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是()A. B. C.2.下列图形中有两条对称轴的图形是（）A. B. C. D.3.下列图形中，是轴对称图形的是（）。
A. 三角形B. 平行四边形C. 圆D. 梯形4.下列交通标志图案中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.5.观察汽车商标，其中是轴对称图形的个数为()A. 2B. 3C. 4二、判断题6.三角形底边上的高是三角形的对称轴7.正方形、长方形、平形四边形、圆都是轴对称图形。
三、填空题8.如图点A和点A’到对称轴的距离都是________方格；点B和点________到对称轴的距离是相等的；点________和点________到对称轴的距离都是1方格。
9.圆的对称轴有________条，半圆形的对称轴有________条。
10.等边三角形的三个内角________，都是________°，等边三角形又叫________三角形，它是________图形，有________条对称轴。
11.下面的图形，对折后能完全重合的画“√”，不能完全重合的画“×”。
________ ________ ________________ ________ ________12.通过________、________、________等方法可将图形经过转化或变换得到新的图形。
四、解答题13.想要剪出如下的图形，应该把正方形纸平均分成几份?14.将一张纸剪去两个正方形，展开后会是哪个？五、应用题15.在下面的图形中，你能画出几条对称轴？参考答案一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】第一个标志沿着箭头所指的方向对折后重合，其他的都不可以，故选A。
【分析】本题考查学生对图形轴对称的理解，而且考查学生平时观察事物的细心程度。
2.【答案】B【解析】【解答】解：正方形有4条对称轴，长方形有2条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，非等腰三角形没有对称轴；故选：B．【分析】依据轴对称图形的定义，即一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这条直线即为图形的对称轴，解答即可．3.【答案】C【解析】【解答】解：这些图形中只有圆是轴对称图形，其它都不是。
安徽省安庆市2023-2024学年七年级上学期期末数学试题(含答案)3
（2）解：25×180＋1×（−20）＋2×（−13）＋4×（−6）＋5×3＋3×5＋2×9＋2×11＝4500（次），
答：25 名男生共完成了多少次跳绳 4500 次．
（3）解：不达标的人数有：3 人，基本达标的人数有：4 人，达标的人数有：18 人，
条形图计算如图所示：
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 11−（−20）＝31， 再计算求解即可； （2）结合表格中的数据计算求解即可； （3）先求出 不达标的人数有：3 人，基本达标的人数有：4 人，达标的人数有：18 人， 再作图即可。
∵䖰 ܤꀀ ܤ䖰 ꀀ
斀ꀀ
∴ ꀀ 䖰 䖰ꀀ斀 ꀀ
∴ 的长为 4．
（2）解：以 C 为原点，向右为正方向建立数轴，则 点表示的数为 0
∵ ꀀ ， ܤꀀ ， ꀀ ， 䖰ꀀ斀
∴
ꀀ ， 䁟 ꀀ ， 䁟 ꀀ ， 䁟斀ꀀ斀
∴数轴上 A、B、D、E 各点表示的数分别为：-10，10，4，7．
【解析】【分析】（1）先求出 ܤꀀ ꀀ ܤꀀ ，䖰 ܤꀀ 䖰 ꀀ ܤ，再计算求解即可；
原式＝−2× ×（−2）−1
＝6−1 ＝5． 【解析】【分析】先化简整式，再将 a 和 b 的值代入计算求解即可。 18．【答案】解： ㌳ ꀀ ㌳ ㌳䁟 ，
去分母得，
㌳
ꀀ ㌳ ㌳䁟
去括号得，
㌳
ꀀ㌳ ㌳ ，
移项得， ㌳ ꀀ
䁟，
合并同类项得， ㌳ ꀀ ，
系数化为 1， ㌳ ꀀ .
【解析】【分析】将原方程去分母，再去括号、移项、合并同类项、再将未知数系数化为 1，即可求得 x 的值.
22．如图， ܤꀀ ，直线 DE 过 C 点，∠ACE 比∠ACD 大 22°， ܤꀀ ．
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题1 集合(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题1 集合 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·天津·高三竞赛）如果集合{}1,2,3,,10A =，{}1,2,3,4B =，C 是A 的子集，且C B ≠∅，则这样的子集C 有（ ）个.A ．256B ．959C ．960D ．961【答案】C 【解析】 【详解】满足C B ⋂=∅的子集C 有62个，所以满足C B ⋂≠∅的子集C 有10622960-=个. 故答案为C2．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知集合{}{}2|2,230A x x B x x x =>=--<∣，则A B =( ).A ．{23}xx <<∣ B ．{12}xx -<<∣ C ．{21xx -<<-∣或2}x > D ．{2∣<-xx 或3}x > 【答案】A 【解析】 【详解】(,2)(2,)A =-∞-+∞，又223(3)(1)0(1,3)x x x x B --=-+<⇒=-， 所以(2,3)A B =. 故选：A.3．（2018·黑龙江·高三竞赛）已知集合(){}2,60A x y x a y =++=，集合()(){},2320B x y a x ay a =-++=.若AB =∅，则a 的值是（ ）.A ．3或-1B ．0C ．-1D ．0或-1【答案】D 【解析】 【详解】A B ⋂=∅，即直线21:60l x a y ++=与()2:2320l a x ay a -++=平行.令()2132a a a ⨯=-，解得0a =或-14．（2019·全国·高三竞赛）已知{}1,2,,216,S A S =⋅⋅⋅⊆.若集合A 中任两个元素的和都不能被6整除，则集合A 中元素的个数最多为（ ）. A ．36 B ．52 C ．74 D ．90【答案】C 【解析】 【详解】记{}()6,0,1,,5k S x S x n k n N k =∈=+∈=⋅⋅⋅，且50k k S S ==⋃.易知()36k card S =.则集合A 中既不能同时有1S 与5S 或2S 与4S 中元素，也不能有6S 中两个元素、3S 中两个元素.要使A 中元素最多，可选1S 与2S 中全部元素，0S 与3S 中各一个元素.故最多共有36361174+++=个元素. 故答案为C5．（2019·吉林·高三竞赛）集合A ={2,0,1,3}，集合B ={x |-x ∈A ,2-x 2∉A }，则集合B 中所有元素的和为 A ．4- B ．5- C ．6- D ．7-【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得B ={-2，-3}，则集合B 中所有元素的和为-5. 故选：B. 二、填空题6．（2018·四川·高三竞赛）设集合{}1,2,3,4,5,6,7,8I =，若I 的非空子集AB 、满足A B =∅，就称有序集合对(),A B 为I 的“隔离集合对”，则集合I 的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答） 【答案】6050 【解析】 【详解】设A 为I 的()17k k ≤≤元子集，则B 为I 的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为()()()()7778880880808898888888111212122223216050k kk kk k k k CC C C C C C --===-=-=+-+---=-+=∑∑∑. 故答案为6050.7．（2018·湖南·高三竞赛）设集合2{|},{31021|}01A x x x B x m x m =-≤=+≤≤--，若A B B =，则实数m 的取值范围为__________. 【答案】3m ≤ 【解析】 【详解】由A B B ⋂=知，B A ⊆，而2{|3100}{|25}A x x x x x =--≤=-≤≤.当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆成立. 当B ≠∅时，121m m +≤-，即2m ≥，由B A ⊆，得21,21 5.m m -≤+⎧⎨-≤⎩ 解得33m -≤≤.又2m ≥，故得23m ≤≤. 综上，有3m ≤. 故答案为3m ≤8．（2021·全国·高三竞赛）已知,a b ∈R ，集合{}2{1,,},,M a b N a ab ==，若N M ⊆，则a b+的值为_________． 【答案】1- 【解析】 【分析】 【详解】依题意，1,0,1,a a b b a ≠≠≠≠．若21a =，则1,{1,1,},{1,}a M b N b =-=-=-，所以,0b b b -==． 若2a a =，则0a =或1，矛盾．若2a b =，则{}{}2231,,,,M a a N a a ==，于是31a =或a ，得0a =或±1，舍去．综上所述，1a b +=-． 故答案为：1-.9．（2018·山东·高三竞赛）集合A 、B 满足{}1,2,3,,10A B =，A B =∅，若A 中的元素个数不是A 中的元素，B 中的元素个数不是B 中的元素，则满足条件的所有不同的集合A 的个数为______． 【答案】186 【解析】 【详解】设A 中元素个数为()1,2,,9k k =，则B 中元素个数为10k -，依题意k A ∉，441122m k m ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．10k B -∉，10k A -∈，此时满足题设要求的A 的个数为1102k C --．其中，当5k =时，不满足题意，故5k ≠．所以A 的个数为018484888882186C C C C C +++-=-=．10．（2018·福建·高三竞赛）将正偶数集合{}2,4,6,从小到大按第n 组有32n -个数进行分组：{}2，{}4,6,8,10，{}12,14,16,18,20,22,24，…，则2018位于第______组． 【答案】27 【解析】 【详解】设2018在第n 组，由2018为第1009个正偶数，根据题意得()()11132100932n ni i i i -==-<≤-∑∑，即()()223113100922n n n n ----<≤．解得正整数27n =．所以2018位于第27组．11．（2021·全国·高三竞赛）在{1,2,,12}的非空真子集中，满足最大元素与最小元素之和为13的集合个数为___________. 【答案】1364 【解析】 【详解】考虑1,12;2,11;3,10;4,9;5,8;6,7这5组数，每一组可作为集合的最大元素和最小元素，故所求集合的个数为()10864221222211364-+++++=，故答案为：136412．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{1,2,3,,1995}M =，A 是M 的子集，当x A ∈时，19x A ∉，则集合A 元素个数的最大值为_______． 【答案】1895 【解析】 【详解】解析：先构造抽屉：{6,114},{7,133},,{105,1995},{1,2,3,4,5,106,107,,1994}．使前100个抽屉中恰均只有2个数，且只有1个数属于A ，可从集合M 中去掉前100个抽屉中的数，剩下199510021795-⨯=个数，作为第101个抽屉．现从第1至100个抽屉中取较大的数，和第101个抽屉中的数，组成集合A ，于是{1,2,3,4,5,106,107,,1995}A =，满足A 包含于M ，且当x A ∈时，19x A ∉． 所以card()A 的最大值为199********-=． 故答案为：1895.13．（2021·全国·高三竞赛）设111,,,23100X ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，子集G X ⊆之积数定义为G 中所有元素之乘积（空集的积数为零），求X 中所有偶数个元素之子集的积数的总和是_________． 【答案】4851200##5124200【解析】 【详解】解：设X 中所有偶数个元素之子集的积数的总和是A ，X 中所有奇数个元素之子集的积数之和是B ，则111991*********A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++-=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11199111123100100A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解得4851200A =． 故答案为：485120014．（2020·江苏·高三竞赛）设*n N ∈，欧拉函数()n ϕ表示在正整数1，2，3，…，n 中与n 互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以()42ϕ=，则()2020ϕ=__________．【答案】800 【解析】 【详解】解析：法一：因为2202025101=⨯⨯，故能被2整除的数有1010个，能被5整除的数有404个， 能被101整除的数有20个，既能被2整除又能被5整除的数有202个， 既能被2整除又能被101整除的数有10个， 既能被5整除又能被101整除的数有4个， 既能被2整除又能被5和101整除的数有2个．故与2020不互质的有10104042020210421220++---+=，则()2020800ϕ=． 故答案为：800.法二：()()()()2202025101=800ϕϕϕϕ=⨯⨯.故答案为：800.15．（2021·浙江·高二竞赛）给定实数集合A ，B ，定义运算{},,A B x x ab a b a A b B ⊗==++∈∈.设{}0,2,4,,18A =⋅⋅⋅，{}98,99,100B =，则A B ⊗中的所有元素之和为______. 【答案】29970 【解析】 【分析】【详解】由(1)(1)1x a b =++-， 则可知所有元素之和为(1319)30031029970+++⨯-⨯=.故答案为：29970.16．（2021·全国·高三竞赛）从自然数中删去所有的完全平方数与立方数，剩下的数从小到大排成一个数列{}n a ，则2020a =_________． 【答案】2074 【解析】 【分析】 【详解】注意到23366452025,121728,132197,3729,44096=====，我们考虑1到2025中n a 出现的次数．这里有45个平方数，12个立方数，3个6次方数， 所以n a 出现的次数为2025451231971--+=， 接下来直至2197前都没有平方数和立方数， 所以20202020197120252074a =-+=．17．（2021·全国·高三竞赛）设正整数m 、n ，集合{1,2,,}A n =，{1,2,,}B m =,{(,),}S u v u A v B ⊆∈∈，满足对任意的(,),(,)a b S x y S ∈∈，均有：()()0a x b y --≤，则max ||S =________．【答案】1n m +- 【解析】 【分析】 【详解】首先对S 中任意两个不同元素(,),(,)a b x y ，必有b a y x -≠-．事实上，若b a y x -=-，则b y ≠（否则a x =，这与(,)(,)a b x y ≠矛盾）． 若b y <，则a x <，则()()0a x b y -->，这与题意矛盾， 同理，b y >亦与题意矛盾．这样S 中任意元素(,),a b b a -各不相同， 而{1,2,,0,1,,1}b a m m n -∈----共1n m +-种情形，则||1S n m ≤+-．再令{(,)S x y y m ==且1x n ≤≤，或x n =且1}y m ≤≤，此时||1S n m =+-． 故答案为：1n m +-.18．（2021·全国·高三竞赛）已知A 与B 是集合1,2,3,{},100的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B 为空集.若当n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B 的元素个数最多为_______. 【答案】66 【解析】 【分析】 【详解】先证||66A B ≤，只须证33A ≤， 为此只须证若A 是{}1,2,,49的任一个34元子集，则必存在n A ∈，使得22n A +∈.证明如下： 将{}1,2,,49分成如下33个集合：{}{}{}{}1,4,3,8,5,12,,23,48共12个；{}{}{}{}2,6,10,22,14,30,18,38共4个；{}{}{}{}25,27,29,,49共13个；{}{}{}{}26,34,42,46共4个.由于A 是{}1,2,,49的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ， 即存在n A ∈，使得22n A +∈. 如取{}1,3,5,,23,2,10,14,18,25,27,29,,49,26,34,42,46A =，22{|}B n n A =+∈，则A ､B 满足题设且||66A B =. 故答案为：66.19．（2021·全国·高三竞赛）设集合{1,2,3,,10},{(,,),,S A x y z x y z S ==∈∣，且()}3339x y z ++∣，则A 有_______个元素．【答案】243 【解析】 【分析】 【详解】将S 中元素按3x 模9余数分类得：123{1,4,7,10},{2,5,8},{3,6,9}S S S ===． 对每个(),,x y z A ∈，有,,x y z 分别属于123,,S S S ，或,,x y z 均属于3S ．因此A 中共有()33!4333243⨯⨯⨯+=个元素．故答案为：243.20．（2021·全国·高三竞赛）设S 为集合{}0,1,2,,9的子集，若存在正整数N ，使得对任意整数n N >，总能找到正实数a b 、，满足a b n +=，且a b 、在十进制表示下的所有数字（不包括开头的0）都属于集合S ，则||S 的最小值为___（||S 表示集合S 的元素个数）. 【答案】5 【解析】 【分析】 【详解】第一步，证明4S ≥，若4S =，则其中两数（可相同）相加共10个值（4个2i x 加上24C 6=个i j x x +），而n 的个位数由这10个值的个位数产生，因此，这10个值的个位数不能重复； 在0、1、2、…、9中有五个奇数，五个偶数， 若四个元中0或4个奇数，不能加出奇数； 若四个元中有1个奇数，只能产生3个奇数； 若四个元中有2个奇数，只能产生4个奇数； 若四个元中有3个奇数，只能产生3个奇数； 因此||4S >.第二步，构造一个五元组满足条件，稍加实验可得下表上表表明，0、1、2、…、9中的每个数字，都可以由{}0,1,2,3,6中的两个相加得到，则对任意正整数n ，从个位数开始依次向高位遍历，将每位数都按表格中表示分解为两个数，赋值给a b 、对应的位置，遍历完毕后自然得到a b 、. 综上min ||5S =. 故答案为：5.21．（2019·江西·高三竞赛）将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ . 【答案】16815 【解析】 【详解】所求的和为()22221(1219)12192⎡⎤+++-+++⎣⎦1(361002470)2=-16815=.故答案为：16815．22．（2019·河南·高二竞赛）称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为____________ . 【答案】256 【解析】 【详解】全集{1，2，3，…，9}中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能. 所以，奇子集共有：()()()101401450144444435454445C C C C C C C C C C C C +++++++++++()()135014555444C C C C C C =+++++()451012256=++⨯=个.故答案为：256．23．（2019·广西·高三竞赛）已知yz ≠0，且集合{2x ，3z ，xy }也可以表示为{y ，2x 2，3xz }，则x =____________.【答案】1 【解析】 【详解】易知xyz ≠0，由两集合各元素之积得2366,1x yz x yz x ==. 经验证，x =1符合题意. 故答案为：1．24．（2019·山东·高三竞赛）已知(){}23|log 21,(,](,)A x x x B a b =-=-∞⋃+∞其中a <b ，如果A ∪B =R ，那么a －b 的最小值是_______ . 【答案】1- 【解析】 【详解】由已知得[1,0)(2,3]A =-⋃，故b －a ≤1，于是1a b --. 故答案为：1-．25．（2019·重庆·高三竞赛）设A 为三元集合(三个不同实数组成的集合)，集合B ={x +y |x ，y ∈A ，x ≠y }，若{}222log 6,log 10,log 15B =，则集合A =_______ . 【答案】{}221,log 3,log 5 【解析】 【详解】设{}222log ,log ,log A a b c =，其中0<a <b <c .则ab =6，ac =10，bc =15. 解得a =2，b =3，c =5，从而{}221,log 3,log 5A =. 故答案为：{}221,log 3,log 5．26．（2018·河北·高二竞赛）已知集合{},,A x xy x y =+，{}0,,B x y =且A=B ，那么20182018x y +=_______.【答案】2 【解析】 【详解】由B 中有三个元素知，0x ≠且0y ≠，故A 中0x y +=，即有x y =-，又{}{},,x xy x y =若x x xy y ⎧=⎨=⎩，则11x y =⎧⎨=-⎩.此时{}{}1,1,0,0,1,1A B =-=-. 若x t x xy =⎧⎨=⎩，则00x y =⎧⎨=⎩，或11x y =-⎧⎨=-⎩，或11x y =⎧⎨=⎩，不满足互异性，舍去.故1x =，1y =-，所以201820182x y +=. 27．（2019·全国·高三竞赛）集合{}1,2,,100S =，对于正整数m ，集合S 的任一m 元子集中必有一个数为另外m-1个数乘积的约数.则m 的最小可能值为__________． 【答案】26 【解析】 【详解】所有不大于100的素数共有25个，记其构成的组合为T=｛2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97｝.注意到，集合T 中每一个元素均不能被T 中其余24个元素之积整除. 故2526m T m >=⇒≥.另一方面，用反证法证明：对于集合S 的任一26元子集，其中必有一个数为另外25个数乘积的约数.为叙述方便，对于素数p 和正整数x ，记()p x α表示x 中缩含p 的幂指数.若存在集合S 的某个26元子集A ，对每个x A ∈，x 均不整除集合A 中其余25个数乘积，则对每个x A ∈，存在x 的素因子p ，使得(){}\p p x A x x z αα∈⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭∏，称这样的素数p 为x 的特异素因子，这种特异素因子不是唯一的.由于26A =，且所有特异素因子均属于集合S ，而集合S 中只有25个素数，故必有集合A 的两个不同元素x 、y 具有同一个特异素因子p. 由特异性及{}\y A x ∈，知(){}{}\p p p z A x x z y ααα∈⎛⎫>≥ ⎪⎪⎝⎭∏.类似地，(){}()\p p p z A y y z x ααα∈⎛⎫>≥⎪ ⎪⎝⎭∏，矛盾. 综上，m 的最小可能值为26.28．（2018·全国·高三竞赛）若实数集合{}2,3A x y =与{}6,B xy =恰有一个公共元素，则A B 中的所有元素之积为__________． 【答案】0 【解析】 【详解】将集合A 、B 的唯一公共元素记为a . 若0a ≠，则集合A 、B 的另一个元素均为6xya，矛盾. 进而，A B ⋃中的所有元素之积为0.29．（2021·全国·高三竞赛）已知非空集合{1,2,,2019,2020}X M ⊆=，用()f X 表示集合X中最大数和最小数的和，则所有这样的()f X 的和为_____. 【答案】()2020202121⋅-【解析】 【分析】 【详解】将M 中的非空子集两两进行配对，对每个非空子集X M ⊆，令{2021}X xx X '=-∈∣， 对M 的任意两个子集1X 和2X ，若12X X ≠时，12X X ''≠.则所有非空集合X 可以分成X X '≠和X X '=两类. 当X X '=时，必有()2021f X =，当X X '≠时，必有()()202124042f X f X +'=⨯=.又M 的非空子集共有202021-个，故所有这样的()f X 的和为()2020202121⋅-.故答案为：()2020202121⋅-.30．（2019·浙江·高三竞赛）在复平面上，任取方程10010z -=的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________.【答案】39200 【解析】 【详解】易知10010z -=的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2100π，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则△ABC 为锐角三角形的等价条件为：1001,,49x y z x y z ++=⎧⎨⎩970,,48x y z x y z ++=⎧⇒⎨⎩ ① 计算方程组①的整数解个数，记1{|97,49}P x x y z x =++=，2{|97,49}P y x y z y =++=，3{|97,49}P z x y z z =++=，{(,,)|97,,,0}S x y z x y z x y z =++=，则123123||P P P S P P P ⋂⋂=-⋃⋃2991231C |i j i j P P P P P P <⎛=-++-∑⋂+ ⎝)23|P P ⋂⋂229950C 3C 1176=-=. 由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为1001176392003⨯=. 故答案为：39200．31．（2019·浙江·高三竞赛）已知集合A ={k +1，k +2，…，k +n }，k 、n 为正整数，若集合A 中所有元素之和为2019，则当n 取最大值时，集合A =________. 【答案】{334，335，336，337，338，339} 【解析】 【详解】由已知2136732k n n ++⨯=⨯. 当n =2m 时，得到(221)36733,6,333k m m m n k ++=⨯⇒===； 当n =2m +1时，得到(1)(21)36731,3k m m m n +++=⨯⇒==. 所以n 的最大值为6，此时集合{334,335,336,337,338,339}A =. 故答案为：{334,335,336,337,338,339} ．32．（2021·全国·高三竞赛）设集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A 的子集中有___________个“翔集合”. 【答案】49 【解析】 【分析】 设出集合{1,2,3,,}n 中满足题设性质的子集个数为n a ，写出2340,1a a a ===，在4n >时，要分情况把n a 的递推公式写出来，进而得到10a ，即答案. 【详解】 设集合{1,2,3,,}n 中满足题设性质的子集个数为n a ，则2340,1a a a ===.当4n >时，可将满足题设性质的子集分为如下两类：一类是含有n 的子集，去掉n 后剩下小于2n -的单元子集或者是{1,2,3,,3}n -满足题设性质的子集，前者有3n -个，后者有3n a -个；另一类是不含有n 的子集，此时恰好是{1,2,3,,1}n -满足题设性质的子集，有1n a -个.于是，31(3)n n n a n a a --=-++.又2340,1a a a ===，所以56789103,6,11,19,31,49a a a a a a ======.故答案为：49 【点睛】本题的难点是用数列的思想来考虑，设集合{1,2,3,,}n 中满足题设性质的子集个数为n a ，写出n a 的递推公式，再代入求值即可. 三、解答题33．（2021·全国·高三竞赛）已知非空正实数有限集合A ，定义集合{},,,x B x y A C xy x y A y ⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭，证明：2A B C ⋅≤．【答案】证明见解析 【解析】 【详解】以集合B 作为突破口，取b B ∈，并设有()n b 个数对(),(1,2,,())i i x y i n b =满足：,,ii i ix b x y A y =∈． 由条件知,()i i ax ay C a A ∈∈，考虑集合(){}(),,1,2,,()i i X b ax ay a A i n b =∈=⋅⋅⋅，有()()(),(),X b A X b X b b B b b ''=∅∈'≥≠．于是，2||C ≥U ()b BX b ∈=b B∈∑|()|X b ≥||||B A ⋅得证． 34．（2021·浙江·高二竞赛）设数集{}12,,,m P a a a =，它的平均数12mp a a a C m+++=.现将{1,2,,}S n =分成两个非空且不相交子集A ，B ，求A B C C -的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对(),A B 的数目. 【答案】最大值2n，数目为22n -.【解析】 【分析】不妨设A B C C >，记{}12,,,p A a a a =，12p T a a a =+++，可以得到A B C C -=12n T n n p p ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭，考虑T 最大的情况是取最大的p 个数，此时可以发现A B C C -的结果正好是与p 无关的定值，从而也就得到了A B C C -的最大值，然后考察p 的可能的值，得到A B C C >时(),A B 的组数，并利用对称性得到A B C C <时(),A B 具有与之相等的组数，从而得到所有可能的(),A B 的组数. 【详解】 不妨设A B C C >， 记{}12,,,p A a a a =，12p T a a a =+++，所以(1)2A B A Bn n TT C C C C p n p+--=-=-- 11(1)12()2n n n T n T p n p n p n p p ⎛⎫⎛⎫++=+-=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，又有(21)(1)(2)2p n p T n p n p n -+≤-++-+++=，所以211222A B n n p n nC C n p -++⎛⎫-≤-= ⎪-⎝⎭当且仅当(21)2p n p T -+=时，取到等号，所以A B C C -的最大值2n.此时{1,,}A n p n =-+，由,A B 非空，可知1p =，2，…，1n -，有1n -种情况， 利用对称性得到A B C C <时(),A B 具有与之相等的组数， 由于A B C C -的最大值2n不可能有A B C C =的情况，所以有序数对(),A B 的数目为22n -. 35．（2020·全国·高三竞赛）设集合{1,2,,19}A =．是否存在集合A 的非空子集12,S S ，满足（1）1212,S S S S A ⋂=∅⋃=； （2）12,S S 都至少有4个元素；（3）1S 的所有元素的和等于2S 的所有元素的乘积？证明你的结论． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】不妨设21,2,,,219S x y x y =<<≤，由条件可得2187xy x y ++=，即(21)(21)3751525x y ++==⨯，根据219x y <<≤,,x y N ∈，可得出其一组解，可证明.【详解】解：答案是肯定的．不妨设21,2,,,219S x y x y =<<≤，,x y N ∈ 则1219122x y xy +++----=，所以2187xy x y ++=，故(21)(21)3751525x y ++==⨯， 所以7,12x y ==是一组解故取13,4,5,6,7,8,10,11,13,14,15,16,17,18,19S =，21,2,7,12S =，则这样的12,S S 满足条件 36．（2021·全国·高三竞赛）设n 是正整数，我们说集合{1,2,,2}n 的一个排列()122,,,n x x x 具有性质P ，是指在{1,2,,21}n -当中至少有一个i ，使得1i i x x n +-=.求证：对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多. 【答案】证明见解析 【解析】 【详解】设A 为不具有性质P 的排列的集合，B 为具有性质P 的排列的集合，显然||||(2)!A B n +=.为了证明||||A B <，只要得到1||(2)!2B n >就够了.设()122,,,n x x x 中，k 与k n +相邻的排列的集合为,1,2,,k A k n =.则22(21)!,2(22)!,1k k j A n A A n k j n =⋅-=⋅-≤<≤，由容斥原理得121||||2(21)!4(22)||!k k kj n n k j nB A A A n nC n =≤<≤≥-=⋅⋅--⋅⋅-∑∑(2)!2(1)(22)!n n n n =--⋅- 2(22)!n n n =⋅⋅-212(22)!2n n n ->⋅⋅- 1(2)!2n = 37．（2021·全国·高三竞赛）平面上有一个(3)n n ≥阶完全图，对其边进行三染色，且每种颜色至少染一条边.现假设在完全图中至多选出k 条边，且把这k 条边的颜色全部变为给定三色中的某种颜色后，此图同时也可以被该种颜色的边连通.若无论初始如何染色，都可以达到目的，求k 的最小值. 【答案】3n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【详解】先证明：3n k ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.（这里3n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过3n 的最大的整数）.假设三种颜色为1、2、3，n 阶完全图的n 个点分成三个点集A ､B ､C ， 且||||3n A B ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.做如下染色：集合A 中的点之间连的边染1，集合B 中的点之间连的边染2，集合C 中的点之间连的边染3，集合A 与B 间的点连的边染2，集合B 与C 间的点连的边染3，集合C 与A 间的点连的边染1.从而，若变色后最终得到染1的颜色的边形成的连通图，由于集合B 中的点出发的边均染的是2或3，于是，变色边数不小于||3n B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.类似地，若变色后最终得到染2或3的颜色的边形成的连通图，则变色边数不小于||A （或C )3n ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.故3n k ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.再证明：3n k ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦.对n 用数学归纳法. 当3n =时，结论成立.假设1(4)n n -≥时，结论成立.则n 个点时： （1）若完全图中由某点出发的边有三种不同颜色，由归纳假设，可通过改变其中13n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦条边的颜色得到同色连通图.（2）若完全图中由所有点出发的边均最多两种不同颜色， 记A 为所有出发的边均染1或2的点组成的集合， 记B 为所有出发的边均染2或3的点组成的集合， 记C 为所有出发的边均染3或1的点组成的集合. 如果某些点连出的边都染颜色1，则把它归入集合A ； 如果某些点连出的边都染颜色2，则把它归入集合B ； 如果某些点连出的边都染颜色3，则把它归入集合C .不失一般性，不妨设||||A B C≤≤∣.则||3n A ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦.若B ≠∅，则C ≠∅，集合B 中的点连向集合C 中的点的边均染3.故B C ⋃由颜色3可以连通. 此时，任选集合B 中一点，集合A 中每个点与该点的连线的边颜色均变成3， 由||3n A ⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦知成立.若B =∅，则A =∅，于是，完全图的边均染的是1或3. 这与条件“每种颜色至少染一条边”不符. 所以由归纳法知原结论成立.38．（2022·全国·高三专题练习）班级里共有()3n n ≥名学生，其中有A ，B ，C ．已知A ，B ，C 中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”． （1）求班级里朋友圈个数的最大值()F n ． （2）求班级里朋友圈个数的最小值()G n ．【答案】（1）()()126n n n --；（2）()4,41,6,,21,2n nn n G n n n =⎧⎪⎪+≥=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数 【解析】 【分析】（1）利用组合数可求()F n ； （2）利用容斥原理可求()G n . 【详解】（1）当班级中的任意3人中，任意两个人都是朋友时，班级里朋友圈个数的最大，此时()()()3126n n n n F n C --==.（2）当3n =时，()31G =，当4n =时，A ，B ，C 中的每个人都至少与班级的3个同学是好朋友，故4人彼此是好朋友，故()44G =，当5n ≥时，记a P 为班级中除去,,A B C 且与A 是朋友的同学的集合，b P 为班级中除去,,A B C 且与B 是朋友的同学的集合，Pc 为班级中除去,,A B C 且与C 是朋友的同学的集合，若2(3)n k k =≥，由题设可知，a P 、b P 、Pc 中的元素的个数不小于1k -，余下同学记为：452,,,k Y Y Y ，集合M 中元素的个数记为M ，因为余下人数为23k -，由容斥原理可得23a b c k P P P -≥a b c ab ac bc abc P P P P P P P P P P P P =++---+， 所以2333a b a c b c abc k k P P P P P P P P P -≥----+，即ab ac b c abc P P P P P P P P P k ++-≥，故此时()1G n k ≥+， 考虑一种特殊情况：{}{}4+2+22,,,,,a k c b k k P Y Y P P Y Y ===， 此时朋友圈个数为1111k k -++=+，故()112nG n k =+=+. 若21(2)n k k =+≥，由题设可知，a P 、b P 、Pc 中的元素的个数不小于1k -，余下同学记为：4521,,,k Y Y Y +，集合M 中元素的个数记为M ，因为余下人数为22k -，由容斥原理可得22a b c k P P P -≥a b c ab ac bc abc P P P P P P P P P P P P =++---+， 所以2233a b a c b c abc k k P P P P P P P P P -≥----+，即1ab ac b c abc P P P P P P P P P k ++-≥-，故此时()G n k ≥，考虑一种特殊情况：{}{}{}4+2+22+321,,,,,,,,a k b k k c k k P Y Y P Y Y P Y Y +===， 此时朋友圈个数为112k k ++-=，故()12n G n k -==. 综上，()4,41,6,,21,2n nn n G n n n =⎧⎪⎪+≥=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数.39．（2021·浙江·高三竞赛）某班有10名同学计划在暑假举行若干次聚会，要求每名同学至多参加三次聚会，并且任意两名同学至少在一次聚会中相遇.求最大的正整数m ，使得无论如何安排符合上述要求的聚会，都一定存在某次聚会有至少m 名同学参加. 【答案】最大正整数m 是5 【解析】 【分析】 【详解】解：设有n 次聚会，聚会人数分别为1x ，2x ，…，n x （均为正整数）.我们有： 1210330n x x x +++≤⨯=1210452222n x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭记11n S x x =+⋅⋅⋅+，2221n S x x =+⋅⋅⋅+，则2190S S -≥可知214S S ≥，即{}22111max ,,4nn nx x x x x x +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅≥≥+⋅⋅⋅+若上式等号成立，则必须14n x x =⋅⋅⋅==，并且1130n S x x =+⋅⋅⋅+=，这样可得7.5n =导致矛盾.所以我们有{}1max ,,5n x x ⋅⋅⋅≥，即一定存在某次聚会有至少5名同学参加，即5m =满足题意.另一方面，我们给出10名同学参加聚会的一种安排方式：共A ，B ，C ，D ，E ，F 六次聚会，每次聚会恰好有5名同学参加，下面的10个三元子集分别表示10名同学各参加哪三次聚会：{}ABC ，{}CDE ，{}AEF ，{}BDF ，{}ABD ，{}ADE ，{}BCE ，{}BEF ，{}CDF ，{}ACF .易知在所有6203⎛⎫= ⎪⎝⎭个三元子集中，互补的两个三元子集在上式中恰好出现一个.这保证了上面的10个三元子集中每两个都相交，即任意两名同学至少在一次聚会中相遇.此外，A ，B ，C ，D ，E ，F 中的每一个在上式的10个三元子集中恰好出现五次，即每次聚会都恰好有5名同学参加，这意味着6m ≥不符合题意. 因此所求的最大正整数m 是5.另一种构造：{}ABC ，{}ABC ，{}BEF ，{}BEF ，{}CDF ，{}CDF ，{}ABD ，{}AEF ，{}ADE ，{}CDE .40．（2021·全国·高三竞赛）设2n ≥为正数，122,,,n A A A 为1,2,{},n 的所有子集的任一个排列．求2111nii ii i A A A A ++=⋅∑的最大值，其中121n A A +=．【答案】()2222n n n -+-【解析】 【分析】 【详解】 先证两个引理． 引理1 设122,,,n A A A 是集合1,2,{},n 的所有子集，则存在122,,,n A A A 的一个排列122,,,n B B B ，使得对任意的1,2,,2n i =均满足i B 、1i B +中的一个是另一个的子集，且元素个数差1，其中约定121n B B +=． 引理1的证明：对n 用归纳法．当2n =时，集合{1,2}的4个子集排列为∅、{1}、{1,2}、{2}便满足要求． 假设当n k =时存在排列122,,,k B B B 满足要求，则当1n k =+时，考虑下面的排列：12211222,,,,{1},{1},,{1},{1}k kk B B B B k B k B k B k -⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，这显然是集合{1,2,,1}k ⋅⋅⋅+的所有子集满足要求的一个排列．引理1证毕． 引理2 设A 、B 是任意两个不同的有限集，则2221A B A B A B ⋅≤+-，（1） 当A 、B 中一个为另一个的子集，且元素个数差1时等号成立． 引理2的证明：设\,\,A B x B A y A B z ===．因为A B ≠，故x 、y 不能同时为0，于是x 、y 中至少有一个大于等于1． （1）22222()()()11x y z z x z y z x y ⇔++≤+++-⇔+≥，（2） 显然成立．又当A 、B 中一个为另一个的子集且元素个数差1时，x 、y 中有一个为0，一个为1．（2）中取等号，从而（1）也取等号．引理2证毕．回到原题．由引理2可得()22222211111111122nnnn ii i i i i i i i i AA A A A AB -+++===≤+-=-∑∑∑ ()212211C 222n k n n n n k k n n ---==-=+-∑ ()2222n n n -=+-．又如果将{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有子集按照引理1中的排法便知上式等号成立．故所求的最大值为()2222n n n -+-．41．（2021·全国·高三竞赛）设{}()1,2,3,,2,m M n m n +=⋅∈N 是连续2m n ⋅个正整数组成的集合，求最小的正整数k ，使得M 的任何k 元子集中都存在1m +个数121,,,m a a a +满足1(1,2,,)i i a a i m +=．【答案】21m n n ⋅-+． 【解析】 【分析】 【详解】 记{1,2,3,,}A n =，任何一个以i 为首项，2为公比的等比数列与A 的交集设为i A ．一方面，由于M 中2m n n ⋅-个元的子集{}1,2,,2m n n n ++⋅中不存在题设的1m +个数，否则12112mm n a a a n ++≤<<<≤⋅，而1212m m nn a n ⋅+≤≤=，矛盾．故21m k n n ≥⋅-+．另一方面，21m k n n =⋅-+时，题设满足.若非如此，考虑以1212n i i -⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭为首项，以2为公比的等比数列．其与M 的交集的元素个数为21i A m ++个．设M 任何k 元子集为T ，则上述等比数列与M 的交集中至少有21i A +个元素不在T 中，而i j ≠时，2121i j A A ++=∅．注意到21112||,i n iA A +-=所以21112|\|||ii n M T A A n +-≥==，可得2m T M n n n ≤⋅=⋅-与21mT k n n ==⋅-+矛盾．综上，所求k 为21m n n ⋅-+．42．（2021·全国·高三竞赛）对两个不全等的矩形A 、B ，称A B >，若A 的长不小于B 的长，且A 的宽也不小于B 的宽.现在若对任意的n 个两两不全等的，长和宽均为不超过2020的正整数的矩形，都必存在其中3个矩形A 、B 、C ，使得A B C >>，求n 的最小值. 【答案】2021 【解析】 【分析】 【详解】一方面，当2021n =时，若不存在满足要求的3个矩形，我们把所有的矩形如下分类： 对一个矩形A ，若在剩下2020个矩形中，存在一个矩形B ，使得A B >，则称A 为“父矩形”，否则称A 为“子矩形”.由抽屉原理，其中必有一类至少含有1011个矩形，设它们的宽为121011x x x ≤≤⋯≤. 但易知所有的“父矩形”之间两两不能比较大小，所有的“子矩形”之间也两两不能比较大小，于是必有121011x x x <<<且相应的它们的长121011y y y >>>，合在一起即121011*********x x x y y y <<<≤<<<，与它们均为不超过2020的正整数矛盾.另一方面，当2020n ≤时，考虑所有长宽满足要求的，周长为4040的矩形，共1010个，及周长为4042的矩形，也共1010个.由于周长相等的两个矩形无法比大小，因此这2020个矩形中不存在满足要求的3个矩形. 综上，n 的最小值为2021.43．（2021·全国·高三竞赛）已知X 是一个有限集.110110,X A A X B B =⋃⋃=⋃⋃是满足如下性质的两个分划：若,110i j A B i j ⋂=∅≤≤≤，则10i j A B ⋃≥.求X 的最小值. 【答案】50 【解析】 【分析】 【详解】X 的最小值为50.我们先证明||50X ≥. 考虑集合110110,,,,,A A B B 中元素个数最少的集合，不妨设为1A .记1A a =，则1A 至多与110,,B B 中a 个集合相交.不妨设1,1,,i A B i k ⋂≠∅=且1,1,,10i A B i k ⋂=∅=+，其中k a ≤.故110,1,,10i A B i k ⋃≥=+.从而对1i k ∀≥+有11010Bi A a ≥-=-. 由1A 的最小性知1,,k B B 的元素个数均不小于a .从而1101110||k k X B B B B B B +=⋃⋃=++++(10)(10)502(5)(5)k a k a k a ≥⋅+--=+--.（1）若5a ≤，则5k ≤，此时由上式知||50X ≥； （2）若5a >，由1A 是110,,A A 中元素个数最少的集合知||1050X a ≥>.故||50X ≥.另一方面，||X 能取到50，例如， 取11221010{1,2,3,4,5},{6,7,8,9,10},,{46,47,48,49,50}A B A B A B ======.显然它们满足条件，这时{}1,2,,50X =⋯.44．（2021·全国·高三竞赛）设集合S 是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集合，且其中2019个点为红色，2020个点为蓝色；在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域，若一组直线对于点集S 满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”： （1）这些直线不经过该点集S 中的任何一个点； （2）每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.求k 的最小值，使得对于任意的点集S ，均存在由k 条直线构成的“好直线组”. 【答案】2019. 【解析】 【分析】 【详解】 先证明2019k ≥：在一个圆周上顺次交替标记2019个红点和2019个蓝点，在平面上另外任取一点染为蓝色，这个圆周就被分成了4038段弧，则每一段的两个端点均染了不同的颜色； 若要满足题目的要求，则每一段弧均与某条画出的直线相交； 因为每条直线和圆周至多有两个交点，所以，至少要有403820192=条直线. 再证明：用2019条直线可以满足要求.对于任意两个同色点AB 、，均可用两条直线将它们与其他的点分离. 作法：在直线AB 的两侧作两条与AB 平行的直线，只要它们足够接近AB ，它们之间的带状区域里就会只有A 和B 这两个染色点. 设P 是所有染色点的凸包，有以下两种情形：（1）假设P 有一个红色顶点，不妨记为A .则可作一条直线，将点A 和所有其他的染色点分离，这样，余下的2018个红点可以组成1009对，每对可以用两条平行直线将它们与所有其他的染色点分离.所以，总共用2019条直线可以达到要求.（2）假设P 的所有顶点均为蓝色.考虑P 上的两个相邻顶点，不妨记为AB 、.则用一条直线就可以将这两个点与所有其他染色点分离.这样，余下的2018个蓝点可以组成1009对，每对可以用两条直线将它们与所有其他染色点分离. 所以，总共也用了2019条直线可以达到要求. 综上：k 的最小值为2019.45．（2021·全国·高三竞赛）设函数:f ++→Z Z 满足对于每个n +∈Z ，均存在一个k +∈Z ，使得2()k f n n k =+，其中，m f 是f 复合m 次．设n k 是满足上述条件的k 中的最小值，证明：数列12,,k k 无界．【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】设{}21,(1),(1),S f f =，对于每个正整数n S ∈，存在正整数k ，使得2()kfn n k S =+∈．因此，集合S 是无界的，且函数f 将S 映射到S ．此外，函数f 在集合S 上是单射． 事实上，若(1)(1)()i j f f i j =≠，则m f （1）从某个值开始周期性地进行重复．于是，集合S 是有界的，矛盾．定义:g S S →为2()()n kn g n f n n k ==+．首先证明：g 也是单射．假设()()()g a g b a b =<，则22()()a b k ka b a k f a f b b k +===+，于是，>a b k k ．因为函数f 在集合S 上是单射，所以()()2()a b k k a b fa b a k k -==+-．又0a b a k k k <-<，与a k 的最小性矛盾．设T 是集合S 中非形如()()g n n S ∈的元素构成的集合．由于对每个n S ∈，均有()g n n >，则1T ∈．于是，T 是非空集合．对每个t T ∈，记{}2,(),(),t C t g t g t =，且称tC 为从t 开始的“链”．因为g 是单射，所以，不同的链不交．对每个n S T ∈，均有()n g n ='，其中，n n '<，n S '∈．重复上述过程，知存在t T ∈，使得t n C ∈，从而，集合S 是链t C 的并．若(1)n f 是从(1)i nt f =开始的链t C 中的元素，则122t j n n a a =+++，其中，()()()()112221(1)(1)(1)(1)jj i t ta a a n n n n j j f g f ff f f fa a -===+++．故(1)(1)22t n nt tn n n n f f t --=+=+． ① 其次证明：集合T 是无限的．假设集合T 中只有有限个元素则只有有限个链()1212,,,t t t t t C C C t t t <<<．固定N ．若(1)(1)n f n N ≤≤是链t C 中的元素，则由式①知：(1)22nt r n n Nf t t -=+≤+． 由于1N +个不同的正整数1，(1),,(1)N f f 均不超过2r N t +，则12r NN t +≤+． 当N 足够大时，这是不可能的.因此，集合，T 是无限的．选取任意正整数k ，考虑从集合T 中前1k +个数开始的1k +个链．设t 是这1k +个数中最大的一个．则每个链中均包含一个元素不超过t ，且至少有一个链中不含1,2,,t t t k +++中的任何一个数．于是，在这个链中存在一个元素n ，使得()g n n k ->，即n k k >．。
河北省衡水市部分学校2024届高三下学期二模考试 数学试题(含解析)
2023—2024学年度下学期高三年级二调考试数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a b a b +=- ,()()1,2,,3a b m == ，则实数m =（）A ．6B ．6-C ．3D ．3-2．某中学举行数学解题比赛，其中5人的比赛成绩分别为：70，85，90，75，95，则这5人成绩的上四分位数是（）A ．90B ．75C ．95D ．703．生活中有很多常见的工具有独特的几何体结构特征，例如垃圾畚箕，其结构如图所示的五面体ADE BCF -，其中四边形ABFE 与CDEF 都为等腰梯形，ABCD 为平行四边形，若AD ⊥面ABFE ，且222EF AB AE BF ===，记三棱锥D ABF -的体积为1V ，则该五面体的体积为（）A ．18V B ．15V C ．14V D ．13V 4．已知tan 2α=，则sin3sin cos ααα=+（）A ．215-B ．215C ．79-D ．795．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A ．78B ．92C ．100D ．1226．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（）A ．3B CD ．27．已知函数(),()f x g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()2f x g x '+=，()()42f x g x '--=，若()g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是（）A ．(4)2f =B ．()20g '=C ．(1)(3)f f -=-D ．(1)(3)4f f +=8．已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．c b a<<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知,z z ∈C 是z 的共轭复数，则（）A ．若13i13i z +=-，则43i 5z --=B ．若z 为纯虚数，则20z <C ．若(2i)0z -+>，则2iz >+D ．若{||3i3}M z z =+≤∣，则集合M 所构成区域的面积为6π10．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线2y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．如图所示，有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．直线AE 与PB 所成的角为π2B ．ABE 的周长最小值为4C ．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D ．如果在这个容器中放入4个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为25第Ⅱ卷(非选择题共92分)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．设集合{}2230,A x x x x =--<∈R ，{},0B x x a a =>>，则A B = R ，则实数a 的取值范围为.13．已知圆2216x y +=与直线y =交于A ，B 两点，则经过点A ，B ，()8,0C的圆的方程为．14．已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，则以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有个.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()()21sin 02f x x x ωωω=-+>的最小正周期为4π.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()2cos cos ,a c B b C -=⋅求()f A 的取值范围.16．如图，在四棱锥M ABCD -中，AB AD ⊥，2AB AM AD ===，MB =MD =(1)证明：AB ⊥平面ADM ；(2)若23DC AB = ，2BE EM = ，求直线CE 与平面BDM 所成角的正弦值．17．王老师每天早上7：00准时从家里出发去学校，他每天只会从地铁与汽车这两种交通工具之间选择一个乘坐.王老师多年积累的数据表明，他到达学校的时间在两种交通工具下的概率分布如下表所示：到校时间7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地铁0.10.150.350.20.150.05乘汽车0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含义是如果王老师当天乘地铁去学校，则他到校时间在7：35-7：40的概率为0.35.）(1)某天早上王老师通过抛一枚质地均匀的硬币决定乘坐地铁还是乘坐汽车去学校，若正面向上则坐地铁，反面向上则坐汽车.求他当天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校，从第二天开始，若前一天到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校，否则当天他将乘坐汽车去学校.且若他连续10天乘坐地铁，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，第11天他都将坐汽车到校.记他从今天起（包括今天）到第一次乘坐汽车去学校前坐地铁的次数为X ，求()E X ；(3)已知今天（第一天）王老师选择乘坐地铁去学校.从第二天开始，若他前一天坐地铁去学校且到校时间早于7：40，则当天他会乘坐地铁去学校；若他前一天坐地铁去学校且到校时间晚于7：40，则当天他会乘坐汽车去学校；若他前一天乘坐汽车去学校，则不论他前一天到校的时间是否早于7：40，当天他都会乘坐地铁去学校.记n P 为王老师第n 天坐地铁去学校的概率，求{}n P 的通项公式.18．已知()2e 2e x xf x a x =-（其中e 2.71828= 为自然对数的底数）.(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，(2)当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由；(3)()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.19．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．1．B【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.【详解】因为a b a b +=-，所以()()22a ba b+=- ，即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，所以0a b ⋅= ，因为()1,2a =r ，(),3b m = ，所以6a b m ⋅=+，所以60+=m ，解得6m =-.故选：B.2．A【分析】根据第p 百分位数定义计算判断即可.【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70，75，85，90，95，575% 3.75i =⨯=，5人成绩的上四分位数为第四个数:90.故选：A.3．C【分析】将五面体分割成三个三棱锥,,D AEF D ABF F BCD ---，通过选择适当定点可得其体积关系，然后可得五面体体积.【详解】因为ABCD 为平行四边形，所以ABD BCD S S =△△，所以1F BCD F ABD V V V --==.记梯形ABFE 的高为h ，因为2EF AB =，所以112222AEF ABF S EF h AB h S =⋅=⨯⋅= ，所以122D AEF D ABF V V V --==，所以该五面体的体积111124D AEF D ABF F BCD V V V V V V V V ---=++=++=.故选：C4．A【分析】利用两角和的正弦，二倍角余弦结合齐次式化简求值.【详解】sin3sin cos2cos sin2tan cos2sin2sin cos sin cos tan 1ααααααααααααα++==+++()()22222cos sin 2sin cos 2cos2sin233sin cos αααααααα-++==+()()2221tan 2tan 2153tan 1ααα-+==-+.故选：A 5．C【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.【详解】若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有22312242412222C C C C A A 14A ⋅⋅⋅+⋅=种，当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有2343C A 36⋅=种.综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是143650+=.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是5050100+=.故选：C 6．C【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422a a a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．7．ABD【分析】根据复合函数的导数法则，结合偶函数的性质、函数的对称性逐一判断即可.【详解】对A ：∵()g x 为偶函数，则()()g x g x =-，两边求导可得()()g x g x ''=--，∴()g x '为奇函数，则()00g '=，令=4x ，则可得()0(4)2f g '-=，则(4)2f =，A 成立；对B ：令=2x ，则可得()()(2)22(2)22f g f g ⎧+='-='⎪⎨⎪⎩，则()(2)=22=0f g '⎧⎨⎩，B 成立；∵()()2f x g x '+=，则可得()(2)22f x g x '+++=，()()42f x g x '--=，则可得()(2)22f x x g '+--=，两式相加可得：()(2)42x x f f ++=-，∴()f x 关于点()2,2成中心对称，则(1)(3)4f f +=，D 成立，又∵()()2f x g x '+=，则可得()()(4)4(4)42f x g x f x g x ''-+-=---=，()()42f x g x '--=，则可得()()4f x f x =-，∴()f x 以4为周期的周期函数，根据以上性质只能推出(1)(3)4f f -+-=，不能推出(1)(3)f f -=-，C 不一定成立，故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知等式进行求导、利用偶函数的性质.8．D【分析】分别构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，利用导数研究其单调性，得到223111ln(1)223x x x x x x -<+<-+，(0)x >，再将a 看成3ln(10.1)+，c 看成ln(10.3)+，利用上述的不等式比较大小即可．【详解】解：由251030b b +-=解得1b =-，构造函数21()ln(1)2f x x x x =--+，(1)x >-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，故21ln(1)2x x x +>-，(0)x >，再令2311()ln(1)23g x x x x x =-+-+，(1)x >-，3()1x g x x'=+，当0x >时，()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增，结合(0)0g =，故2311ln(1)23x x x x +<-+，(0)x >，则11ln1.3ln(10.3)0.30.090.0270.26423c ==+<-⨯+⨯=，13ln1.13(0.10.01)0.2852a =>⨯-⨯=，所以22(1)(10.285) 1.651225a +>+=，28(1) 1.65b +==，22(1)(10.264) 1.597696c +=+=，故222(1)(1)(1)a b c +>+>+，由a ，b ，c 都是正数，故a b c >>．故选：D ．9．AB【分析】根据共轭复数的定义以及复数四则运算可判断A ；z 为纯虚数，可设()i 0z b b =≠，根据复数的四则运算可判断B ；由()2i 0z -+>结合数大小比较只能在实数范围内可判断C ；设复数i z a b =+，根据复数模长定义计算可判断D.【详解】()()()213i 13i 43i13i 13i 13i 5z ++-+===--+，所以43i 5z --=，故A 正确；由z 为纯虚数，可设()i R,0z b b b =∈≠，所以222i z b =，因为2i 1=-且0b ≠，所以20z <，故B 正确；由()2i 0z -+>，得i(2)z a a =+>，因为i(2)z a a =+>与2i +均为虚数，所以二者之间不能比较大小，故C 错误；设复数i,,R z a b a b ∈=+，所以()3ia b ++由|3i3z +≤∣得()2239a b ++≤，所以集合M 所构成区域是以()0,3-为圆心3为半径的圆，所以面积为9π，故D 错误.故选：AB.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】A 选项，作出辅助线，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，进而得到线线垂直，求出答案；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一平面内，由余弦定理求出AE BE +的最小值，得到周长的最小值；C 选项，求出正四面体的内切球即为小球半径的最大值；D 选项，当四个小球相切且与大正四面体相切时，小球半径最大，连接四个小球的球心，构成正四面体，设出半径，结合C 选项中结论得到方程，求出小球半径的最大值.【详解】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以PB ⊥CD ，PB ⊥AD ，又CD AD D = ，,AD CD ⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB ⊥AE ，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于AD CD ==4AC =，22222241cos23CD AD ACADC CD AD+-+-∠===⋅，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，所以(222222cos 22222163AB BD AD BD AD ADB ⎛=+-⋅∠=+-⨯⨯-=+ ⎝⎭故AB ==ABE 的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM =PM =，则133MF BM ==，故PF =设OF ON R ==，故OP PF OF R =-=，因为PNO ∽PFM △，所以ON OP FM PM =3R-=解得3R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C选项可知，其高为3r ，由C 选项可知，PF 是正四面体-P ABC 的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则3QS r =，SF r =，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14得，如图正四面体P HJI -中，QZ r =，3QP r =，正四面体P ABC -高为34r r r +⨯，解得r =，D 正确.故选：ACD【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径12．()0,1【分析】由题意可以先将所给集合化简，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，故只需根据包含关系列出不等式组求出参数范围即可.【详解】由题意{}{}2230,|13A x x x x x x =--<∈=-<<R ，{}{,0B x x a a x x a =>>=或},0x a a -，若满足A B = R ，则B A ⊆R ð，又因为{}|B x a x a =-≤≤R ð，所以130a a a -<-⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：()0,1.13．()(223328x y -+=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程与圆的方程联立求出,A B 点坐标，设经过点A ，B ，C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入三点坐标解方程组可得答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由2216y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩解得121222x x y y ==-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩可得((2,,2,A B --，设经过点A ，B ，()8,0C 的圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，所以412204120640800D F Dx F D F ⎧++-+=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩，解得616D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即226160+---=x y x ，可得()(22328x y -+=.故答案为：()(22328x y -+=.14．502【分析】依题意，由等差数列的性质及求和公式得到250250240a b -≥，想要有实根，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，结合根的判别式与基本不等式得10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理得到20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，即可解决问题.【详解】由题意得，210031003410030S T -⨯≥，又因为1100310035021003()10032a a S a +==，1100310035021003()10032b b T b +==，代入得250250240a b -≥，要使方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 有实数解，则240(1,2,,1003)i i a b i -≥= ，显然第502个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程1003103200x a x b -+=的判别式分别为11003,∆∆，则22222110031100311100310031100311003502()(4)(4)4()422a a ab a b a a b b b +∆+∆=-+-=+-+≥-⨯即2250211003502502502(2)82(4)02a b a b ∆+∆≥-=-≥，等号成立的条件11003a a =，所以10∆≥，10030∆≥中至少一个成立，同理可得20∆≥，10020∆≥中至少一个成立，L ，5010∆≥，5030∆≥中至少一个成立，且5020∆≥，综上，在所给的1003个方程中，有实根的方程最少502个，故答案为：502.15．(1)2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(2)⎫⎪⎪⎝⎭.【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得ω的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可；（2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得π,3B =继而得到ππ,62A <<整体代入求函数值的范围即可.【详解】（1）()21sin 22f x x x ωω=-+11cos2sin2222x x ωω-=-1πcos2sin 2226x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为2π4π,2T ω==所以1,4ω=故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由π1ππ2π2π,,2262k x k k -+≤+≤+∈Z 解得4π2π4π4π,,33k x k k -≤≤+∈Z 当0k =时4π2π,,33x -≤≤又[]0,π,x ∈所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由()2cos cos ,a c B b C -=⋅得（2sin sin )cos sin cos ,A CB BC -=所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin =+=+=A B B C B C B C A .因为sin 0,A ≠所以1cos ,2B =又()0,π,B ∈所以π,3B =又三角形为锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，则ππ62A <<，所以ππ5π42612A <+<，又()26πsin A f A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5πππππππsin sin sin cos cos sin 12464646⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，则πsin 2264A ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭，所以()f A的取值范围为⎝⎭.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据2AB AM ==，MB =利用勾股定理得到AB AM ⊥，再由AB AD ⊥，利用线面垂直的判定定理证明.（2）由2AM AD ==，MD =120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，再结合（1）以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得EC的坐标，平面BDM 的一个法向量n，利用空间向量求线面夹角.【详解】（1）为2AB AM ==，MB =，所以222AM AB MB +=，所以AB AM ⊥.又AB AD ⊥，且AM AD A = ，AM ⊂平面ADM ，AD ⊂平面ADM ，所以AB ⊥平面ADM .（2）因为2AM AD ==，MD =则44121cos 2222MAD +-∠==-⨯⨯，且0180MAD ︒<∠<︒，可知120MAD ∠=︒，在平面ADM 内过点A 作x 轴垂直于AM ，又由（1）知AB ⊥平面ADM ，分别以AM ，AB 所在直线为y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.则)3,1,0D-，43,1,3C ⎫-⎪⎭，()0,0,2B ，()0,2,0M .因为2BE EM =，则420,,33E ⎛⎫⎪⎝⎭，可得723,,33EC ⎫=-⎪⎭ ，()0,2,2BM =-，)3,1,2BD =-- ，设平面BDM 的一个法向量为(),,n x y z =，则·220·320BM n y z BD n y z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩ ，取1z =得)3,1,1n = ，设直线EC 与平面BDM 所成角为π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则413sin cos ,54553EC n EC n EC nθ⋅====⨯，所以直线EC 与平面BDM 所成角的正弦值为15.17．(1)0.15(2)()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭(3)1225757n n P -⎛⎫=⨯-+⎪⎝⎭【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即可求出数学期望；(3)由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，由递推关系求出数列的通项.【详解】（1）记事件A =“硬币正面向上”，事件B =“7：40-7：45到校”则由题有()0.5P A =，()0.2P B A =，()0.1P B A =，故()()()()()0.50.20.50.10.15P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（2）X 可取1，2，3，…，9，10，由题：对于()*19N k k ≤≤∈，()12355k P X k -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭；()93105P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故()2892232323312391055555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2891032323232331289105555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，以上两式相减得：()28922232323235555555555E X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()1028910313333553513555522515E X ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅++==-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-.所以()10553225E X ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.（3）由题意：11P =，()1321155n n n n P P P P +=+-=-+，则1525757n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，这说明57n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为以15277P -=为首项，25-为公比的等比数列.故1522775n n P -⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以1225757n n P -⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭.18．(1)4e 2ey x =-+(2)有一个极大值，一个极小值，理由见解析(3)()1⎡⎣【分析】（1）当0a =时，求得()()21e xf x x +'=-，结合导数的几何意义，即可求解；（2）当12a =时，求得()()e e 22x xf x x '=--，令()e 22x F x x =--，利用导数求得()F x 的单调性与min ()0F x <，得到存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，进而得到答案；（3）求得()()2e e 1x xf x a x '=--，根据题意，得到a<0，令()e 1xg x a x =--，得到()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，利用函数()f x 的单调性，求得002max 0()e 2e x x f x a x =-，再由max 1()0f x a +≤，求得01x ≤<-，再由001e x x a +=，设()1ex x h x +=，利用导数求得函数()h x 的单调性，即可求解.【详解】（1）解：当0a =时，()2e x f x x =-，可得()()21e xf x x +'=-，则()()14e,12e f f =-=-'，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2e 4e 1y x +=--，即4e 2e y x =-+.（2）解：当12a =时，()21e 2e 2x xf x x =-，定义域为R ，可得()()()2e 21e e e 22x x x xf x x x =-+=--'，令()e 22x F x x =--，则()e 2xF x '=-，当(),ln2x ∞∈-时，()0F x '<；当()ln2,x ∞∈+时，()0F x '>，所以()F x 在(),ln2∞-递减，在()ln2,∞+上递增，所以()min ()ln222ln222ln20F x F ==--=-<，又由()()2110,2e 60eF F -=>=->，存在()11,ln2x ∈-使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，当()1,x x ∞∈-时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；当()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减；当()2,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值.（3）解：由()2e 2e x x f x a x =-，可得()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x a x a x =-+=--'，由()1R,0x f x a ∀∈+≤，因为()211100a f a a a a++=+=≤，可得a<0，令()e 1xg x a x =--，则()g x 在R 上递减，当0x <时，可得e (0,1)x ∈，则e (,0)x a a ∈，所以()e 11xg x a x a x =-->--，则()()1110g a a a ->---=，又因为()11e 0g a --=<，()01,1x a ∃∈--使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =--=且当()0,x x ∞∈-时，()0g x >，即()0f x '>；当()00,x x ∞∈+时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 在()0,x ∞-递增，在()0,x ∞+递减，所以()002max 00()e 2e x xf x f x a x ==-，由()000e 10xg x a x =--=，可得001e x x a +=，由max1()0f x a+≤，可得()000000e 1e 201x x x x x e x +-+≤+，即()()00011101x x x -++≤+，由010x +<，可得2011x -≤，所以01x ≤<-，因为001e x x a +=，设()1(1)e x x h x x +=≤<-，则()0x xh x e-='>，可知()h x在)⎡⎣上递增，()((1e h x h ≥=-()()10h x h <-=，所以实数a的取值范围是()1⎡⎣.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19．(1)答案见解析(2)①证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m+=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n +=-，结合由内切圆性质计算即可求解.【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =-=-，（ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=-，因为//AM BN=因此，,,M A M '三点共线，且BN AM =='=，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，则1313282y y y y t +==-+，由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以131344222222112222x x ty ty AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=⋅--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪++==++，所以11AM BN+为定值1；（法二）设MAx θ∠=4=，解得AM =，4=，解得AM ='，所以111122144AM BN AM AM θθ=+'+=+=，所以11AM BN+为定值1；由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8//,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN -⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN-⋅-⋅+-⋅+=+=+++2882611AM BN=-=-=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x yn m n-=-，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤--+-+-=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n mn y y y y mn s nmn s n--∴+=-=----，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=-=-==- ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m n x n x n y y n n nn n n ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n -++=--+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n +=-，（法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ-=-，同理由cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫-- ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ-+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m nAM BN AM AM m n m n m nθθ'-++=+=+=---．由双曲线的定义2BQ QM MA n +-=，得2QM n AM BQ =+-，根据AM QM BNBQ=，解得()2n AM BNBQ AM BN+⋅=+，同理根据AM AQ BNQN=，解得()2n BN AMAQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN-+=+=++，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅，当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n n λ++=++=+=（常数）．因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．。
河北省石家庄市2015届高三下学期二模考试数学(理)试题-Word版含答案
2015届石家庄高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = A ．1(0,)2 B ．(0,)+∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,0)[,)2-∞+∞2、下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是A ．2xy -= B ．tan y x = C ．3y x = D ．3log y x = 3、已知复数z 满足2015(1)i z i --(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 4、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32175,2S a a a =+=，则5a = A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 5、设变量,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值为A ．6B ．7C ．8D ．23 6、投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为 A ．536 B ．16 C ．215 D ．112 7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．103 B ．53 C ．203D ．4 8、执行右下方的程序框图，如果输入的4N =，那么输出的S 的值为A ．1111234+++ B ．1111232432+++⨯⨯⨯ C ．111112345++++ D ．111112324325432++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 9、在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(sin,cos )88P ππ，则sin(2)12πα-=A B ．．12 D ．12- 10、在四面体S-ABC 中，SA ⊥平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====， 则该四面体的外接球的表面积为 A ．11π B ．7π C ．103π D ．403π11、已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限 内的零点,A B ，若3AF FB =，则k 的值是A ．2 C ．3 D ．312、设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记1021|()()||()()|k k k k k S f a f a f a f a =-+- 9998|()()|,1,2k k f a f a k ++-=，则下列结论正确的是A ．121S S =<B ．121S S =>C ．121S S >>D ．121S S <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河北省邯郸市广平县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题(含答案解析)
河北省邯郸市广平县2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一元二次方程23270x x --=的一次项系数是（）A ．3B ．2-C ．2D ．7-2．“国无法不治，民无法不立”，某校开展宪法知识竞赛活动（满分100分），嘉淇说：“我们班100分的人数最多．”嘉淇的描述所反映的统计量是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3．下面是小明用配方法解方程：2890x x +-=的过程的一部分，横线上应填写（）．第一步：把常数项移到方程的右边，得：289x x +=第二步：两边都加____________A ．22B ．24C ．28D ．294．如图，ABC DAC △∽△，35B ∠=︒，115D ∠=︒，则BAD ∠的度数为（）A ．115︒B ．125︒C ．150︒D ．155︒5．若ABC DEF △△∽，相似比为1:2，ABC V 的周长为10，则DEF 的周长是（）A ．5B ．10C ．20D ．406．如图，小明在横格纸上西两条线段AB ，CD ，点A ，D 在同一条格线上，点B ，C 在同一条格线上，AB 和CD 的交点O 也在格线上．已知横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等，若4=AD ，则BC =（）A ．5B ．6C ．7D ．87．小颖随机抽查她家6月份某5天的日用电量（单位：度），结果如下：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（）A ．180度B ．210度C ．240度D ．270度8．某地区有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了28条航线．设这个地区共有n 个飞机场，下面所列方程正确的是（）A ．()128n n +=B ．()128n n -=C ．()11282n n +=D ．()11282n n -=9．如图，已知ABC V ，=60B ∠︒，6AB =，8BC =．将ABC V 沿图中的DE 剪开，剪下的阴影三角形与ABC V 不相似的是（）A ．B ．C ．D ．10．为了解“睡眠管理”的落实情况，某校随机调查50名学生每天的平均睡眠时间，将样本数据绘制成如图所示的统计图，其中有两个数据被遮盖，关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的统计量是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．中位数和众数11．如图，在平行四边形ABCD 中，12AE CF ED BF ==，连接BE ，DF ，分别交AC 于点M ，N ，则MNAC的值为（）A ．12B ．13C ．23D ．3412．定义新运算：对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值，如：{}max 1,33=，{}max 1,31--=-；按照这个规定，若{}221max ,2x x x x ---=，求x 的值，甲答：2x =+或1x =-．乙答：2x =1x =，则正确的是（）A ．只有甲答得对B ．甲、乙答案合在一起才完整C ．甲、丙答案合在一起才完整D ．三人答案合在一起才完整二、填空题13．如果23a b=，那么:a b =．14．已知数据1，2，4，6，8，8，这组数据的中位数是．15．如图，线段12AB =厘米，O 为AB 的中点，射线OC AB ⊥．动点P 从点A 出发，以1厘米/秒的速度向点B 运动，另一动点Q 从点O 出发，以2厘米/秒的速度沿射线OC 运动，点P ，Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点P ，Q 都停止运动．设点P 的运动时间为t 秒，当POQ △的面积为8平方厘米时，t 的值为．16．如图，点C ，D 在线段AB 上，且PC PD =，APC B ∠=∠．若4AC =，5CD =，9BD =，则PCD △的周长为．三、解答题17．解下列方程．(1)23210x x --=；(2)(31)62x x x +=+．18．某校期末评价成绩是由完成作业、半期检测、期末考试三项成绩构成的，如果期末评价成绩在80分以上（含80分）则评为“优秀”．下表是嘉嘉和淇淇两位同学的成绩．学生完成作业/分半期检测/分期末考试/分嘉嘉907680淇淇827086(1)若将三项成绩的平均分记为期末评价成绩，请计算嘉嘉的期末评价成绩；(2)若将完成作业、半期检测、期末考试三项成绩按2:3:5的比例来确定期末评价成绩，请你通过计算判断淇淇能否被评为“优秀”．19．如图，已知DE ∥BC ，FE ∥CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．20．如图，在ABC V 中，D 是边BC 上一点，且CD ACAC BC=．(1)求证：DAC B ∠=∠；(2)若4AC =，8BC =，DAC △的面积为9，求ABC V 的面积．21．如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD ，其中，墙长19m ，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆30m ．(1)若花圃的面积为1002m ，求花圃一边AB 的长；(2)花圃的面积能达到1202m 吗?说明理由．22．某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）．甲组成绩统计表成绩/分78910人数/人1955(1)甲组成绩的众数____________乙组成绩的众数（填“>”“<”或“=”）；(2)求乙组的平均成绩；(3)这40个学生成绩的中位数是____________；(4)经计算甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，请你判断哪个小组的成绩比较整齐．23．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本为64元，在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元．(1)若每次价格调整的增长率相同，求这个增长率；(2)经过一段时间的销售发现，当这款运动鞋每双降价x 元时，平均每天售出的数量（双）可以表示为10200x +．若公司希望平均每天获得的利润达到7750元，且优惠力度最大，求这款运动鞋每双的售价应该定为多少？24．如图，在ABC V 中，10AB =，8AC =，90C ∠=︒，动点P 从点B 出发，以每秒5个单位长的速度沿BA 向点A 运动，过点P 作PQ BC ⊥于点Q ，以PQ 为边向右作矩形PQFE ，使12PE PQ =，点F 落在射线BC 上．设点P 的运动时间为t （0t >）秒．(1)求PQ 的长（用含t 的代数式表示）；(2)求点E 落在ABC V 区域（含边界）内的时长；(3)连接PC ，当CPQ 与ABC V 相似时，求t 的值；(4)当PQ 将ABC V 的面积分成1:3两部分时，直接写出点E 到AC 的距离．参考答案：题号12345678910答案B C BCCBDDDB题号1112答案AA1．B【分析】根据一元二次方程的一般形式，即可求解，本题考查了一元二次方程，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般形式．【详解】解：一元二次方程23270x x --=的一次项系数是2-，故选：B ．2．C【分析】本题主要考查了众数．根据题意众数的定义即可求解．【详解】解：得分是100分的人数最多，∴嘉淇的描述所反映的统计量是众数．故选：C ．3．B【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，观察题目所给方程，结合完全平方式的特征可知，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：2890x x +-=，把常数项移到方程的右边，得：289x x +=，两边都加24，得：2228494x x ++=+，即()2425x +=．故选：B ．4．C【分析】本题考查了相似三角形的性质，由ABC DAC △∽△，得出115BAC D ∠=∠=︒，35DAC B ∠=∠=︒，再由BAD BAC DAC ∠=∠+∠进行计算即可得出答案，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键．【详解】解：ABC DAC △∽△，115BAC D ∠∴∠==︒，35DAC B ∠=∠=︒，11535150BAD BAC DAC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．5．C【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵ABC DEF △△∽，相似比为1:2，∴ABC V 的周长：DEF 的周长1:2=，∵ABC V 的周长为10，∴DEF 的周长是20，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长比等于相似比是解答的关键．6．B【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质得线段对应成比例是解题的关键．过点O 作OE AD ⊥于点E ，OF CB ⊥于点F ，则E 、O 、F 三点共线，先证AOD BOC ∽，可得AD OEBC OF=，代入计算即可解答．【详解】解：解：如图，过点O 作OE AD ⊥于点E ，OF CB ⊥于点F ，则E 、O 、F 三点共线，∵横格纸的横线平行且相邻横线间的距离相等，∴23OE OF =，∵AD BC ∥，∴AOD BOC ∽，∴AD OEBC OF =，即：423BC =，∴6BC =，故选：B ．7．D【分析】本题考查平均数的定义和用样本去估计总体．先求出所抽查的这5天的平均用电量，从而估计他家6月份日用电量，“平均数等于所有数据的和除以数据的个数”．【详解】解：∵这5天的日用电量的平均数为911710895++++=（度），∴估计他家6月份日用电量为9度，∴估计她家6月份的用电量为：930270⨯=（度），故D 正确．故选：D ．8．D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用开辟航线的总条数=该航空公司拥有的机场数⨯（该航空公司拥有的机场数12)-÷，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：根据题意得：()11282n n -=．故选：D ．9．D【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可．【详解】解：A 、C C ∠=∠ ，60DEC B ∠=∠=︒，DEC ABC ∴ ∽，故A 不符合题意；B 、C C ∠=∠ ，CDE B ∠=∠，CDE CBA ∴ ∽，故B 不符合题意；C 、由图形可知，624BE AB AE =-=-=，853BD BC CD =-=-=， 4182BE BC ==，3162BD AB ==，∴BE BDBC BA=，又B B ∠∠= ，BDE BAC ∴∽△△，故C 不符合题意；D 、由已知条件无法证明ADE V 与ABC V 相似，故D 符合题意，故选：D ．10．B【分析】本题考查条形统计图、平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、无法计算，可以计算出中位数，本题得以解决．【详解】解：由统计图可知，平均数无法计算，众数无法确定，无法计算，而中位数是()8828+÷=，故选：B ．11．A【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得AD CB ∥，AD CB =，由12AE CF ED BF ==，推导出13AE CF CB AD ==，再证明AME CMB △∽△，CNF AND △∽△，则13AM AE CM CB ==，13CN CF AN AD ==，求得14AM AC =，14CN AC =，则12MN AC =，所以12MN AC =，于是得到问题的答案．证明AME CMB △∽△，CNF AND △∽△是解的关键．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD CB ∥，AD CB =，∵12AE CF ED BF ==，∴11123AE CF AD CB ===+，∴13AE CF CB AD ==，∵∥AE CB ，CF AD ∥，∴MAE MCB ∠=∠，MEA MBC ∠=∠，∴AME CMB △∽△，同理：CNF AND △∽△，∴13AM AE CM CB ==，13CN CF AN AD ==，∴11134AM AC ==+，11134CN AC ==+，∴14AM AC =，14CN AC =，∴111442MN AC AC AC AC =--=，∴12MN AC =，故选：A ．12．A【分析】本题考查解一元二次方程，根据题中新运算，分0x >和0x <两种情况，分别列方程求得方程的解，进而可作出判断．【详解】解：依题意，当0x >时，x x >-，则{}221max ,2x x x x x ---==，整理，得241x x -=，即()225x -=，解得12x =+22x =；当0x <时，x x ->，则{}221max ,2x x x x x ---==-，整理，得21x =，解得11x =-，21x =（不合题意，舍去），综上，2x =或1x =-，故只有甲答得对，故选：A13．2:3/23【分析】本题考查了比例的性质，掌握::a b c d =或a cb d =，则ad bc =是解题关键．根据比例的内项之积与外项之积相等求解即可．【详解】解：23a b =，32a b ∴=，:2:3a b ∴=，故答案为：2:3．14．5【分析】本题考查中位数，根据中位数的求解方法求解即可．【详解】解：将所给6个数据从小到大排列，第3个和第4个数据为4和6，∴这组数据的中位数是4652+=，故答案为：5．15．2或4或3【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意列一元二次方程是解题的关键．由题意知，2OQ t =，AP t =，当06t ≤<时，6OP t =-，()116222POQ S OP OQ t t =⨯=-⨯△，令()16282t t ⨯-⨯=，计算求出满足要求的解即可；当612t ≤≤时，6OP t =-，()116222POQ S OQ t t =⨯=⨯-⨯△，令()16282t t ⨯-⨯=，计算求出满足要求的解即可．【详解】解：∵12AB =厘米，O 为AB 的中点，∴6AO BO ==厘米，由题意知，2OQ t =，AP t =，当06t ≤<时，6OP t =-，()116222POQ S OP OQ t t =⨯=⨯-⨯△，令()16282t t ⨯-⨯=，解得，2t =或4t =；当612t ≤≤时，6OP t =-，()116222POQ S OP OQ t t =⨯=⨯-⨯△，令()16282t t ⨯-⨯=，解得，3t =3t =；综上所述，经过2或4或3秒，POQ △的面积为8平方厘米．故答案为：2或4或3．16．17【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得到ACP PDB V V ∽以及熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例．根据等腰三角形的性质可得PCD PDC ∠=∠，可知ACP PDB ∠=∠，可证得ACP PDB V V ∽，列出比例式即可解决问题．【详解】解：∵PC PD =，∴PCD PDC ∠=∠，则ACP PDB ∠=∠，∵APC B ∠=∠，∴ACP PDB V V ∽，∴AC PC PD BD=，即：49PC PD =，∵PC PD =，则49PD PD =，∴6PD PC ==，∴PCD △的周长为66517PC PD CD ++=++=，故答案为：17．17．(1)11x =，213x =-(2)113x =-，22x =【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：由23210x x --=得()()1310x x -+=，∴10x -=或310x +=，∴11x =，213x =-；（2）解：由(31)62x x x +=+得()(31)2310x x x +-+=，∴()()3x 1x 20+-=，∴310x +=或20x -=，∴113x =-，22x =．18．(1)82分(2)淇淇能被评为“优秀”【分析】本题主要考查加权平均数和平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．（1）直接利用算术平均数的定义求解可得；（2）根据加权平均数的定义计算，在比较即可．【详解】（1）解：嘉嘉的期末评价成绩为907680823++=分；（2）淇淇的期末评价成绩为82270386580.4235⨯+⨯+⨯=++分，∵80.480>，∴淇淇能被评为“优秀”．19．（1）CE ＝83；（2）AB ＝253．【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC 即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）∵FE ∥CD ，∴AE AC ＝AF AD ，即4AC ＝35，解得，AC ＝203，则CE ＝AC ﹣AE ＝203﹣4＝83；（2）∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即5AB ＝4203，解得，AB ＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．20．(1)见解析(2)36【分析】本题考查三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．（1）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定即可证明ACD BCA △∽△，即得出DAC B ∠=∠；（2）根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”即可求解．【详解】（1）证明：∵ACD BCA ∠=∠，CD AC AC BC=，∴ACD BCA △∽△，∴DAC B ∠=∠；（2）解：∵4AC =，8BC =，∴12AC BC =，∴214ACD ABC AC S S BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭== ．∵9DAC S = ，∴4936ABC S =⨯= ．21．(1)10米(2)不能，理由见解析【分析】（1）设AB 的长为x 米，由花圃的面积为2100m ，列出方程可求解；（2）设AB 的长为y 米，由花圃的面积为2120m ，列出方程可求解．【详解】（1）解：设AB 的长为x 米，由题意可得：(302)100x x -=，解得：15x =，210x =，30219x - ，即：x ≥5.5，10x ∴=，∴AB 的长为10米；（2）花圃的面积不能达到2120m ．理由如下：设AB 的长为y 米，由题意可得：(302)120y y -=，化简得215600y y -+=，∴△225240150=-=-<，∴方程无解，∴花圃的面积不能达到2120m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．22．(1)=(2)8.5分(3)8分(4)乙组【分析】本题考查条形统计图和统计表、众数、中位数、平均数以及方差，从统计图中获取有用数据是解答的关键．（1）根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲乙两组的众数即可解答；（2）根据平均数的求解方法求解即可；（3）将40个数据从小到大排列，第20个和21个数据的平均数即为中位数；（4）根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可．【详解】（1）解：根据统计图和统计表数据，甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分，∴甲组成绩的众数=乙组成绩的众数，故答案为：=；（2）解：乙组的平均成绩为()728996103208.5⨯+⨯+⨯+⨯÷=（分）；（3）解：将甲乙两组成绩的40个数据从小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人，∴第20个和21个数据都是8分，∴这40个学生成绩的中位数是8882+=（分）；（4）解：∵甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，0.810.75>，∴乙组的成绩比较整齐．23．(1)25%(2)89元【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．（1）设这个增长率为x ，根据“在成本价的基础上经过两次价格调整后售价定为100元”列出方程求解即可；（2）根据利润=（原来售价-降价-成本价）⨯销售量列出方程求解即可．【详解】（1）解：设这个增长率为x ，由题意可得：()2641100x +=，解得：10.2525%x ==，2 2.25x =-（舍去），答：这个增长率为25%；（2）解：由题意可得：()()10064102007750x x --+=，解得：15x =，211x =，∵要求优惠力度最大，∴5x =不符合题意，应舍去，即：这款运动鞋应每双降价11元，此时售价为1001189-=（元），答：这款运动鞋每双的售价应该定为89元．24．(1)4PQ t=(2)65秒(3)t 的值为1825或1(4)1或6-【分析】（1）由题意可知PQ AC ∥，得ABC PBQ △∽△，由此可知AB AC BP PQ =，代入相关数据即可求解；（2）找到临界位置，当点E 在AC 上时，F 和C 重合，在ABC V 的边界上，若再继续向点A 运动，则点E 不在ABC V 内，再此时证明APE ABC △∽△，可知AP PE AB BC =，据此列出方程即可求解；（3）由（1）可知，5BP t =，4PQ t =，则3BQ t =，则63CQ t =-，分两种情况：当AC BC CQ PQ =时，ABC CPQ ∽△△；当BC AC CQ PQ =时，ABC PCQ △∽△，即：68634t t=-，分别求解即可；（4）由题意得24ABC S = ，若PQ 将ABC V 的面积分成1:3两部分，可知:1:3PBQ PQCA S S =△梯形或:3:1PBQ PQCA S S =△梯形，分两种情况：当:1:3PBQ PQCA S S =△梯形时，:1:4PBQ ABC S S =△△，当:3:1PBQ PQCA S S =△梯形时，:3:4PBQ ABC S S =△△，结合面积列出方程即可求解．【详解】（1）解：∵PQ BC ⊥，90C ∠=︒∴PQ AC ∥，∴ABC PBQ △∽△，∴AB ACBP PQ =，由题意可知，5BP t =，则1085t PQ =，∴4PQ t =；（2）由勾股定理可知，6BC ==，当点E 在AC 上时，F 和C 重合，在ABC V 的边界上，若再继续向点A 运动，则点E 不在ABC V 内，此时，5BP t =，4PQ t =，则2PE t =，105AP t =-，∵四边形PQFE 是矩形，∴∥PE BC ，4EF PQ t ==，则84AE t =-，∴APE ABC △∽△，∴AP PE AB BC =，即：1052106t t -=，解得：65t =，即：点E 落在ABC V 区域（含边界）内的时长为65秒；（3）由（1）可知，5BP t =，4PQ t =，则3BQ t ==，则63CQ t =-，∵90ACB CQP ∠=∠=︒，∴当AC BC CQ PQ =时，ABC CPQ ∽△△，即：86634t t =-，解得：1825t =；当BC AC CQ PQ =时，ABC PCQ △∽△，即：68634t t=-，解得：1t =；综上，当CPQ 与ABC V 相似时，t 的值为1825或1；（4）11862422ABC S AC BC =⋅=⨯⨯=△，若PQ 将ABC V 的面积分成1:3两部分，则:1:3PBQ PQCA S S =△梯形或:3:1PBQ PQCA S S =△梯形，当:1:3PBQ PQCA S S =△梯形时，:1:4PBQ ABC S S =△△，∴21113466224PBQ ABC S BQ OQ t t t S =⋅=⨯⨯===△△，解得：1t =，此时，3BQ =，22PE QF t ===，则5BF =，∴点F 在线段BC 上，则1CF BC BF =-=，即：点E 到AC 的距离为1；当:3:1PBQ PQCA S S =△梯形时，:3:4PBQ ABC S S =△△，∴211334618224PBQ ABC S BQ OQ t t t S =⋅=⨯⨯===△△，解得：t ，此时，BQ =2PE QF t ===，则6BF =>，∴点F 在射线BC 上，则6CF BF BC =-=，即：点E 到AC 的距离为6；综上，点E 到AC 的距离为1或6．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、列代数式、方程的应用等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键．。
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2015年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2015B1、已知函数⎩⎨⎧+∞∈∈-=),3(log ]3,0[)(2x a x x a x f x ，其中a 为常数，如果)4()2(f f <，则a 的取值范围为◆答案：()+∞-,2★解析：(2)2,(4)2f a f a =-=，所以22a a -<，解得：2a >-．2015B 2、已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为◆答案：2015★解析：由己知得33(10)(10)(10)10f f -+-=+，即(10)(10)2000f f -=+=2015．2015B 3、某房间的室温T （单位：摄氏度）与时间t （单位：小时）的函数关系为：),0(,cos sin +∞∈+=t t b t a T ，其中b a ,为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则b a +的最大值为◆答案：★解析：由辅助角公式：sin cos )T a t b t t ϕ=+=+，其中ϕ满足条件sin ϕϕ==T 的值域是[，室内最大温差为10≤5≤．故a b +≤≤等号成立当且仅当a b ==2015B 4、设正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是单位正方形，如果二面角11C BD A --的大小为3π，则=1AA ◆答案：62★解析：取BD 的中点O ，连接OA,OA 1,OC 1．则∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，因此∠A 1OC 1=3π,又△OA 1C 1是等边三角形．故A 1O=A 1C 1，所以12AA ===．2015B 5、已知数列{}n a 为等差数列，首项与公差均为正数，且952,,a a a 依次成等比数列，则使得121100a a a a k >+⋅⋅⋅++的最小正整数k 的值是◆答案：34★解析：设数列{}n a 的公差为d ,则215191,4,8a a d a a d a a d =+=+=+．因为952,,a a a 依次成等比数列，所以2295a a a =，即2111()(8)(4)a d a d a d ++=+．化简上式得到：218a d d =．又0d >，所以18a d =．由11211(1)(1)210016k k k a k d a a a k k k a a -++++-==+> ．解得min 34k =．2015B 6、设k 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集{})(2),(22y x y x y x A +=+=和{}03),(≥++-=k y kx y x B ，若B A 是单元集，则k 的值为◆答案：2-★解析：点集A 是圆周22:(1)(1)2x y Γ-+-=，点集B 是恒过点)3,1(-P 的直线:3(1)l y k x -=+及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A 自B 是单元集时，直线l 是过点P 的圆Γ的一条切线．故圆Γ的圆心M (1,l ）到直线l，=2k =-2015B 7、设P 为椭圆122=+x y 上的动点，点)1,0(),1,1(-B A ，则PB PA +的最大值为◆答案：5★解析：取F (0,l )，则F,B 分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因此，|PA|+|PB|=4-|PF|+|PA |≤4+|FA|=4+l=5．当P 在AF 延长线与椭圆的交点3(,1)2-时，|PA|+|PB|最大值为5．2015B 8、正2015边形201521A A A ⋅⋅⋅内接于单位圆O ，任取它的两个不同顶点j i A A ,，1≥+OA 的概率为◆答案：6711007★解析：因为||||1i j OA OA == ，所以222||||||22(1cos ,)i j i j i j i j OA OA OA OA OA OA OA OA +=++⋅=+<> ．故1≥+OA 的充分必要条件是1cos ,2i j OA OA <>≥- ，即向量,i j OA OA 的夹角不超过32π．对任意给定的向量i OA，满足条件1≥的向量可的取法共有：222134232015ππ⎡⎤÷⨯=⎢⎥⎣⎦1≥+OA 的概率是：20151342671201520141007p ⨯==⨯．二、解答题：本大题共3小题，共56分。
2015年全国高中数学联赛试题及答案解析
2015 年全国高中数学联赛模拟试题 04 第一试参考解答 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1. 集合 A = {x, y} 与 B = {1, log 3 ( x + 2)} 恰有一个公共元为正数 1 + x ，则 A B = 解：由于 1 + x ¹ x ，故 1 + x = y ．由 log 3 ( x + 2) ¹ 1 知 x ¹ 1 ，又因为 1 + x > 0 ，所以 3
A1B 42 52 2 4 5
CA2 A1B 2 BC 2 9 31 3 ，进一步有 cos A cos CA1B 1 ， 32 2 2CA1 A1B 16
2
5 7 1 15 7 9 3 9 ，所以 S chc ． 因此 c AA1 A1B 2 4 6 ， hc 4 1 4 16 2 2 4 16 7. 已知过两抛物线 C1 : x 1 ( y 1) 2 ， C2 : ( y 1) 2 4 x a 1 的交点的各自的切线互相垂直，则实数 a 的 值为 ． a a a a 解： 联立曲线 C1 , C2 的方程， 求得交点坐标为 ( , 1 1 ) ， 由对称性， 不妨只考虑交点 A ( , 1 1 ) 5 5 5 5
102假设还满足则又因为乘以减去乘将其乘以减去乘以acbc是无理数所以因为由于代入这与是无理数矛盾因此不是任何整数系数二次方程axbx2015年全国高中数学联赛模拟试题04加试参考答案一本小题满分40分如图在锐角abac分别是边abac的中点ade的外接圆与的外接圆交于点异于点bce的外接圆与bcdapaqpkpk是一切大于3的素数
【竞赛题】人教版小学五年级下册数学第05讲《计数综合》竞赛试题(含详解)
第五讲计数综合从三年级开始到现在，我们已经学了很多有关计数的讲次，其中包括枚举法、加乘原理、排列组合、容斥原理等．我们先来做一个简单的小结和复习．枚举法是万能的方法，只要有足够多的时间和精力．并且往往在一些复杂棘手的题目中，别的方法都不能适用，此时就能体会到枚举法的“威力”．使用枚举法时一定要注意有序思考．．．．． 加法原理强调的是分类，计数时我们只需选择其中的某一类即可以满足要求，类与类之间可以相互替代．乘法原理强调的是分步，每一步只是整个事情的一部分，必须全部完成才能满足结论，缺一不可．在乘法原理中，步骤顺序的安排往往非常重要．排列与组合：排列的计算公式由乘法原理推导而来，组合的计算公式由排列公式推导而来．从n 个不同的元素中取出m 个（m n ≤），并按照一定的顺序排成一列，其方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的排列数，记作m n A ．()()()()!121!m n n A n n n n m n m ==⨯-⨯-⨯⨯-+- 从n 个不同元素中取出m 个（m n ≤）作为一组（不计顺序），可选择的方法数叫做从n 个不同元素中取出m 个的组合数，记作m n C ．()()()()()121!121m mn nn n n n m A C m m m m ⨯-⨯-⨯⨯-+==⨯-⨯-⨯⨯ 在运用排列组合时，有特殊要求的我们往往优先考虑，有时还会用到“捆绑法”和“插空法”.我们今天主要来学习计数中的分类思想，以及正面分类和反面排除的合理选择．分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答．例题1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片各用一次可以组成一些五位数．其中5的倍数有多少个？4的倍数有多少个？分析：一个数是5的倍数，它要满足什么条件？4的倍数呢？练习1．五张卡片上分别写有0、1、2、3、5，每张卡片只能用一次可以组成多少个三位偶数？例题2．（1）用2个1、2个2和1个3可以组成多少个不同的五位数？（2）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的五位数？（3）用1个0、2个1和2个2可以组成多少个不同的四位数？分析：先选好1的位置，再选好2的位置，最后选好3的位置，就可以组成五位数．那么有多少种不同的选法？练习2．（1）用1个1、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（2）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的四位数？（3）用1个0、1个2、2个3可以组成多少个不同的三位数？例题3．数1447、1225、1031有某些相同的特点，每一个数都是以1为首的四位数，且每个数恰好只有两个数字相同（1112，1222，1122这样的数不算），这样的数共有多少个？分析：根据题意可知这样的四位数由三种数字组成，其中有一种数字出现了2次．那么可以根据这个数字所在的数位来分类．练习3．用1、2、3、4这4个数字组成四位数，至多允许有1个数字重复一次．例如1234、1233和2434是满足条件的，而1212、3331和4444就是不满足条件的．那么，所有这样的四位数共有多少个？例题4和2468相加至少会发生一次进位的四位数有多少个？分析：和2486相加发生进位有好多种情况，比如发生一次进位、发生两次进位、发生三次进位等等，不同的类型太多了．这时不妨考虑下反面．练习4．和250相加至少会发生一次进位的三位数有多少个？例题5．有10名外语翻译，其中5名是英语翻译，4名日语翻译，另外1名英语和日语都很精通，从中找出7人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另3人翻译日语，这两个小组能同时工作，则不同的分配方案共有多少种？分析：这个英语和日语都很精通的人很麻烦，应该优先考虑他．例题6．将右图中的“○”分别用四种颜色染色，只要求有实线段连接的两个相邻的“○”都涂成不同的颜色，共有多少种涂法？如果还要求虚线段连接的两个“○”也涂成不同的颜色，共有多少种涂法？分析：染色时顺序很重要，要遵循“前不影响后”的原则．四色定理四色定理指出每个可以画出来的无飞地地图（飞地是指与本土不相连的土地）都可以至多用4种颜色来上色，而且没有两个相邻的区域会是相同的颜色．被称为相邻的两个区域是指它们共有一段边界，而不是一个点．这一定理最初是由Francis Guthrie 在1853年提出的猜想．很明显，3种颜色不会满足条件，而且也不难证明5种颜色满足条件且绰绰有余．但是，直到1977年四色猜想才最终由Kenneth Appel 和Wolfgang Haken 证明．他们得到了J. Koch 在算法工作上的支持．证明方法将地图上的无限种可能情况减少为1,936种状态（稍后减少为1,476种），这些状态由计算机一个挨一个的进行检查．这一工作由不同的程序和计算机独立的进行了复检．在1996年，Neil Robertson 、Daniel Sanders 、Paul Seymour 和Robin Thomas 使用了一种类似的证明方法，检查了633种特殊的情况．这一新证明也使用了计算机，如果由人工来检查的话是不切实际的．四色定理是第一个主要由计算机证明的理论，这一证明并不被所有的数学家接受，因为它不能由人工直接验证．最终，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任．参见实验数学．缺乏数学应有的规范成为了另一个方面；以至于有人这样评论“一个好的数学证明应当像一首诗——而这纯粹是一本电话簿！”虽然四色定理证明了任何地图可以只用四种颜色着色，但是这个结论对于现实中的应用却相当有限．现实中的地图常会出现飞地，即两个不相连的土地属于同一个国家的情况（例如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色，在这种情况下，四个颜色将会是不够用的．作业1. 计算：（1） 38C =_________； （2） 48A =_________；作业2. （3） 810C =_________； （4）012345555555C C C C C C +++++=_________． 作业3. 王老师家装修新房，需要2个木匠和2个电工．现有木匠3人、电工4人，另有1人既能做木匠也能做电工．要从这8人中挑选出4人完成这项工作，共有多少种不同的选法？作业4. 用2个3、3个1和1个0可以组成多少个不同的六位数？作业5. 用2个5、1个2和1个0可以组成多少个不同的三位数？作业6. 与1357相加会发生进位的四位数有多少个？自古一切有成就的人，都很严肃地对待自己的生命，当他活着一天，总要尽量多劳动，多工作，多学习，不肯虚度年华，不让时间白白地浪费掉。
【竞赛题】人教版小学五年级下册数学第11讲《正反比例的概念与应用》竞赛试题(含详解)
第十一讲正反比例的概念与应用- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -本讲我们来学习两种特殊的数量关系：正比例关系和反比例关系．看到题目你一定很好奇什么才是正比例关系？什么才是反比例关系呢？我们先来看一个具体的例子．某汽车行驶的时间和路程如下表：同学们可以考虑这样几个问题：表中有哪两个量？它们是不是有关联的？写出几组这两种量的比，并比较比值的大小．说一说这个比值表示什么？从表中我们可以看出，路程和时间都是变化的量，并且时间越大，路程也越大，它们的比值是一定的．像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系，或者简写为成正比．我们再来看另外一个例子：王老师买来一些巧克力，准备分给同学们．从表中我们可以看出，学生数和每个人分得的巧克力数都是变化的量，并且学生数越多，每人分得的巧克力数就越少，它们的乘积是一定的．像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关系，或者简写为成反比．在实际应用过程中，我们常常用到这样一些结论．如果两个量成正比，例如：=⨯总价单价数量，当单价一定的时候，总价比等于数量比，即1212::=总价总价数量数量．如果两个量成反比，例如：=⨯路程速度时间，当路程一定的时候，速度比等于时间比反过来，即1221::v v t t =．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（1）阿呆和阿瓜，一起去超市买可乐，可乐的价钱相同．阿呆买了12瓶，阿瓜买了15瓶，问阿呆和阿瓜所花的钱数比为____________．（2）灰太狼和红太狼从狼堡去羊村，红太郎用了18分钟，灰太狼只用了12分钟，问红太狼和灰太郎的速度比为____________．（3）小高、墨莫和卡莉娅三人一起去爬灵山，从山脚出发，约好在山顶见面．小高从山脚爬到山顶用了40分钟，墨莫和卡莉娅分别用了1小时20分钟和120分钟，问小高、墨莫和卡莉娅的速度比为____________．分析：题目中的各个量之间是成正比例还是反比例关系？练习1．（1）喜羊羊和沸羊羊进行百米赛跑，喜羊羊跑完全程用了10.5秒，沸羊羊用了12秒，问喜羊羊和沸羊羊的速度比为____________．（2）甲、乙、丙三人各自独立做同一件工程，效率比为2:3:4，那么完成的时间比为____________．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -齿轮在机械装置中是很常见的一种零件，如图是钟表中的一些齿轮图．如果两个齿轮A、B相互咬合，那么齿轮A的齿数乘以齿轮A转过的圈数等于齿轮B的齿数乘以齿轮B转过的圈数．即两个相互咬合的齿轮它们的齿数比与圈数比成反比．钟表中的齿轮1 钟表中的齿轮2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -如图，有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．如果A齿轮转动7圈时，B齿轮恰好转动5圈；B齿轮转动7圈时，C齿轮恰好转动10圈．请问：这三个齿轮的齿数之比是多少？（注：图片只是示意图，并不代表实际齿数）分析：观察图形，当两个齿轮相互咬合的时候，它们的齿数和转动圈数有什么关系？练习2．有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．这三个齿轮的齿数之比3:4:5．当A、C两个齿轮一共转动64圈时，B齿轮一共转动了多少圈？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 利用正反比，我们常常可以解决一些生活中的问题，下面我们来看看这样的题目．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题3．一天，卡莉娅拿着妈妈给她的钱去超市买苹果，平时每斤苹果5元钱，当她到超市的时候发现，由于打折促销，苹果变为每斤4元钱，于是卡莉娅多买了3斤苹果．问妈妈给了卡莉娅多少钱？分析：卡莉娅带的钱是固定的，那么苹果的价格和重量之间有什么关系？练习3．一个旅游团租车出游，平均每人应付车费40元．后来又增加了8人，这样每人应付的车费是35元．总租车费是多少元？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -在行程问题中，速度×时间＝路程．当路程一定时，时间和速度成反比．与之类似的，在工程问题中，效率×时间＝工作量．当工作量一定时，时间和效率成反比．正反比在行程、工程问题中有着广泛的应用．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -小高从家去高思学校，可以骑车也可以步行，骑车比步行每分钟快150米，骑车所用的时间比步行时间少35，那么小高每分钟步行多少米？分析：当行驶路程固定的时候，如何把速度的变化与时间的变化联系起来呢？练习4．完成一件工程，甲的工作效率比乙的工作效率高27，单独做，甲比乙少用4天完成整件工程，问乙单独完成这件工程用多少天？例题5．墨莫最近在看文学名著《战争与和平》，计划20天看完．实际上，在看了500页之后，由于情节精彩，每天比原来多看了14，结果提前3天看完全书．问这本书共有多少页？分析：书的页数是固定的，那么每天看的页数和看书的天数之间有什么关系？例题6．某工程，可由若干台机器在规定的时间内完成．如果增加2台机器，则只需用规定时间的7 8就可做完；如果减少2台机器，那么就要推迟1小时做完．则由一台机器去完成这工程需要多长时间？分析：工作总量是固定的，那么如何把工作效率的变化与工作时间的变化联系起来呢？谚语的智慧——节选自《怎样解题》乔治·波利亚解题是人类的一项基本活动．有些人在达到目标和解答题目方面比较成功，另一些则没有那么成功．这些差异被注意到了，并进行了探讨和评论，某些谚语看来保留了这种评论的精华．1.我们解题时必须做的第一件事是理解题目：知敌方能应敌．我们必须清楚地看到我们所要达到的目的：想清目标再动手．这是老生常谈了，不幸的是，并非每个人都听从这样一条好的建议，人们常常在还没有真正理解他们所应该努力的目标之前，就开始推测、谈论，甚至鲁莽行事．愚者只看脚下，智者紧盯目标．然而光理解题目是不够的，我们还必须渴望求出它的解答．如果没有强烈的解题愿望，我们就不可能解出一道难题，只有具备这样的愿望，才有可能解出它．有志者事竟成．2.设计一个方案，构思一条适当行动的思路，是解题中的主要成就．一个好的思路是一个好运、一个灵感、一份神赐的礼物，我们必须受之无愧：勤勉是幸运之母．坚持就是胜利．一口吃不成胖子．出师不利，再三尝试．然而反复尝试是不够的，我们必须试着用不同的方法，变化我们的尝试．千方百计．条条大路通罗马．3.我们应该在适当的时候，即在我们的方案成熟的时候，才开始执行它，而不要提前．我们不能轻率行事．三思而后行．试验在先，相信在后．巧施援手，确保安全．另一方面，我们也不应犹豫太久．不入虎穴，焉得虎子．做最可能的事，抱最大的希望．全力以赴，天助人愿．4.回顾已经完成的解答是工作中的一个重要且有启发性的阶段．不爱再思索的人，必定不善思索．多思出上策．重新检验解答后，我们可能会对结果更加坚信．但必须向初学者指出，这种额外的验证是有价值的，两个证明要比一个好．抛两个锚停泊更安全．不要相信一切，只怀疑值得怀疑的．当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看；它们总是成群生长．谚语，体现了人们的智慧与高尚．作业1.小灰灰和喜羊羊同时从羊村出发去狼村，小灰灰的速度为16米/秒，喜羊羊的速度为12米/秒，问小灰灰和喜羊羊所用的时间比是多少？作业2.小小、红红、豆豆三人各自独立做同一件工作，分别用时10分钟、20分钟、30分钟，那么他们的效率比是多少？作业3.有A、B、C三个齿轮，其中A和B相互咬合，B和C相互咬合．如果A齿轮转动3圈，B齿轮恰好转动5圈；B齿轮转动6圈，C齿轮恰好转动4圈．请问：这三个齿轮的齿数之比是多少？作业4.一天，小高拿着爸爸给他的钱去超市买可乐，平时每瓶可乐3.5元钱，当他到超市的时候，正巧碰到优惠活动，可乐变为每瓶3元钱，于是小高多买了1瓶可乐．那么爸爸给了小高多少钱？作业5.小东每天步行上下学，去的时候每秒走2米，回来的时候每秒走1.2米，上下学共用时24分钟，那么小东家到学校的距离是多少米？俗话说，兴趣是最好的老师。
河北省邯郸市2024届高三下学期学业水平选择性模拟考试 数学试题(含解析)
2024年普通高中学业水平选择性模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}124340,A x x x B x y x ⎧⎫⎪⎪=--≤==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B = （）A ．(]0,1B ．[]0,4C ．(]0,4D ．[]0,12．已知复数z 满足21z =-，则22z z +=（）A ．1BC ．3D3．已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，且,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则“m n ⊥”是“m β⊥”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()12f x x x =++的图像与x 轴相交于点P ，则该曲线在点P 处的切线方程为（）A ．y x=-B ．=1y x --C ．0y =D ．1y x =-5．由动点P 向圆22:(2)(3)1M x y +++=引两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若四边形APBM 为正方形，则动点P 的轨迹方程为（）A ．22(2)(3)4x y +++=B ．22(2)(3)2x y +++=C ．22(2)(3)4-+-=x y D ．22(2)(3)2x y -+-=6．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（）A ．12B ．18C ．20D ．60．7．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 上一点，若直线1PF 和OP 的倾斜角分别为α和2α，且3tan 4α=，则双曲线C 的离心率为（）AB ．5C ．2D ．758．对任意两个非零的平面向量a 和b ，定义：22a b a b a b⋅⊕=+，2a b a b b ⋅= ．若平面向量,a b满足0a b >> ，且a b ⊕ 和a b 都在集合|Z,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭中，则a b a b ⊕+= （）A ．1B ．32C ．1或74D ．1或54二、选择题：本题共3小题，钓小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin (0,0,0π)f x M x M ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，A ，B 为()f x 的图像与x 轴的交点，C 为()f x 图像上的最高点，ABC 是边长为1的等边三角形，2OB OA =，则（）A ．()02f =B ．直线136x =是()f x 图像的一条对称轴C ．()f x 的单调递减区间为()172,2Z 66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的单调递增区间为()512π,2πZ 66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭10．设拋物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点()0,3P 的直线与抛物线E 相交于点,A B ，与x 轴相交于点,2,10C AF BF ==，则（）A ．E 的准线方程为=2y -B ．p 的值为2C ．AB =D ．BFC △的面积与AFC △的面积之比为911．已知函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若函数()23f x -的图象关于点()2,1对称，()()224f x f x x +--=，且()00f =，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,1对称B ．()()4f x f x +=C ．()10262f '=D ．501()2499i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．12．已知0b >，函数()42bxxa f x +=是奇函数，则=a ，b =．13．正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以,,,,A B C D E 为顶点的多边形为正边边形，设CAD α∠=，则cos cos2cos3cos4αααα+++=，cos cos2cos3cos4αααα=．14．在长方体1111ABCD A B C D -中，15,3,4AB AD AA ===，平面//α平面11A ABB ，则α截四面体11ACD B 所得截面面积的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，设平面PAD 与平面PBC 相交于直线l .(1)证明：//l AD .(2)若平面PAB ⊥平面,5,2ABCD PA PB AB ===，求直线PC 与平面PAD 所成角的正弦值.16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =11n n S S S +=(1)求{}n a 的通项公式；(2)若14nn n n S b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．假设某同学每次投篮命中的概率均为12．(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率.(2)该同学参加投篮训练，训练计划如下：先投(),33n n n +∈≤N 个球，若这n 个球都投进，则训练结束，否则额外再投1003n -个．试问n 为何值时，该同学投篮次数的期望值最大？18．已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()32,0,1,2M N ⎛⎫⎪⎝⎭两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．19．已知函数()()e ,ln xf x mxg x x m x =-=-．(1)是否存在实数m ，使得()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)已知12,x x 是()f x 的零点，23,x x 是()g x 的零点．①证明：e m >，②证明：31231e x x x <<．1．B【分析】先化简两个集合，再利用交集运算可得答案.【详解】由2340x x --≤得14x -≤≤，即{}14A x x =-≤≤，{}0B x x =≥,所以[]0,4A B = .故选：B 2．D【分析】设i(,R)z a b a b =+∈，根据条件得到0,1a b ==±，再利用模长的计算公式，即可求出结果.【详解】令i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a ab b =+-=-，所以22120a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,1a b ==±，所以i z =±，故2212i z z +=-±故选：D.3．A【分析】根据充分条件、必要条件的定义及线面垂直的性质可得结果.【详解】用平面ADFE 代表平面α，平面ABCD 代表平面β，当m n ⊥如图所示时显然m 与平面β不垂直，反之，当m β⊥时，又n β⊂，根据线面垂直的性质有m n ⊥，所以“m n ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件，故选：A.4．C【分析】令()0f x =可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.【详解】令102x x +=+，即()210x x ++=，即()210x +=，解得=1x -，故()1,0P -，()()2112f x x '=-+，则()()2011112f '-=-=-+，则其切线方程为：()()()111f x y f ='--+，即0y =.故选：C.5．B【分析】根据正方形可得动点P 的轨迹是以M .【详解】因为四边形APBM 为正方形，且1MA MB ==,所以M P =,故动点P 的轨迹是以M 22(2)(3)2x y +++=.故选：B6．C【分析】根据题意，分为当新节目插在中间的四个空隙中的一个和新节目插在中间的四个空隙中的两个，结合排列数与组合数的计算，即可求解.【详解】根据题意，可分为两类：①当新节目插在中间的四个空隙中的一个时，有1242C A 428=⨯=种方法；②当新节目插在中间的四个空隙中的两个时，有24A 4312=⨯=种方法，由分类计数原理得，共有81220+=种不同的差法.故选：C.7．B【分析】由已知计算可得所以直线1PF 的斜率为3tan 4α=，直线OP 的斜率为247，设(,)P x y ，由324,47y y x c x ==+，解得724,2525c cx y ==，代入双曲线方程计算即可求得结果.【详解】由题意得22322tan 4tan 21tan 314a αα⨯==-⎛⎫- ⎪⎝⎭247=，所以直线1PF 的斜率为3tan 4α=，直线OP 的斜率为247，设(,)P x y ，则有324,47y y x c x ==+，解得724,2525c cx y ==，代入双曲线方程，得222272425251c c a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，又222b c a =-，所以()()222222227242525c c c a a a c a ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简可得：2422472025c a c a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，c e a =，所以242721025e e ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得5e =或57e =(1e >,舍).故选：B 8．D【分析】根据0a b >> ，得到222a b a b +>，再利用题设中的定义及向量夹角的范围，得到12a b ⊕< ，12a b > ，再结合条件，即可求出结果.【详解】因为113|Z,04,,,14424n n n ⎧⎫⎧⎫∈<≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，设向量a 和b 的夹角为θ，因为0a b >> ，所以222a b a b +>，得到2222cos cos cos =22a b a b a b a b a b a b a bθθθ⋅⊕==<⋅++，又[]0,πθ∈，所以cos 122θ≤，又a b ⊕ 在集合|Z,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭中，所以cos 124θ>，即1cos 2θ>，得到14a b ⊕= ，又因为22cos 1cos cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅⋅===>>，所以34a b = 或1，所以1a b a b ⊕+= 或54，故选：D.9．BC【分析】由图可得()ππ3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的图象与性质分析各个选项即可.【详解】对于A ，由图可得：()f x 的最小正周期为2，所以2π2ω=，即πω=，易得2M =，所以()()π2f x x ϕ=+，因为2OB OA =，所以1,03A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，1,62C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由五点作图法可得：ππ62ϕ+=，即π3ϕ=，所以()ππ3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()304f =，故A 不正确；对于B ，由于1313π()π+)62632f ==，为最大值，所以直线136x =是()f x 图象的一条对称轴，故B 正确；对于C ，令ππ3π2π+π2π+232k x k ≤+≤()k ∈Z ，解得；()Z 172266k x k k +≤≤+∈，所以单调递减区间为()172,2Z 66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，令πππ2ππ2π+232k x k -≤+≤()k ∈Z ，解得；()5122Z 66k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为()512,2Z 66k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭，故D 不正确，故选：BC ，10．BD【分析】设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，利用根与系数的关系及抛物线的性质进行计算，从而判定各选项.【详解】设直线AB 的方程为3y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立232y kx x py=+⎧⎨=⎩，可得2260x pkx p -=-，所以122x x pk +=，126x x p =-，因为22x py =，所以22x y p =，故22212122236944x x p y y p p ===，因为2,10AF BF ==，由抛物线定义可得，122p y =-，2102py =-，则210922p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得2p =或22p =，因为1202py =->，所以2p =，则E 的准线方程为=1y -，故B 正确，A 错误；又E 的方程为24x y =，1212p y =-=，21092py =-=，把11y =代入24x y =可得21144x y ==，222436x y ==，不妨设()()2,1,6,9A B -，则AB =C 错误；设F 到直线AB 的距离为d ，BFC △的面积12BFC S BC d =，AFC △的面积12AFC S AC d = ，则BFC △的面积与AFC △的面积之比219BFC AFC BC S yS AC y === ，故D 正确.故选：BD.11．ACD【分析】根据函数的图象变换及其对称性，可得判定A 正确；结合()()22f x f x +-=和()()224f x f x x +--=，化简得到()()48f x f x =+-，可判定B 不正确；令()()2g x f x x =-，得到()()4g x g x =+，得到函数()g x 和()g x '是以4为周期的周期函数，结合()()()1026222g g f '=''=-，可判定C 正确；结合()()11,22f f ==，()35f =，()48f =，得到()()()()12344g g g g +++=-，结合()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，进而求得501()i f i =∑的值，即可求解.【详解】对于A 中，设函数()y f x =的图象关于(,)a b 对称，则()3y f x =-关于(3,)a b +对称，可得()23y f x =-关于3(,)2a b +对称，因为函数()23f x -的图像关于点()2,1对称，可得32,12a b +==，解得1,1a b ==，所以函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，所以A 正确；对于B 中，由函数()y f x =的图象关于(1,1)对称，可得()()22f x f x +-=，因为()()224f x f x x +--=，可得()()242f x f x x ++=+，则()()244(2)2410f x f x x x +++=++=+，两式相减得()()48f x f x -+=-，即()()48f x f x =+-，所以B 不正确；对于C 中，令()()2g x f x x =-，可得()()()442(4)428g x f x x f x x +=+-+=+--，因为()()48f x f x =+-，所以()()4g x g x =+，所以函数()g x 是以4为周期的周期函数，由()()2g x f x x =-，可得()()2g x f x ''=-，所以()()102610262g f ''=-，因为函数()g x 是以4为周期的周期函数，则()g x '是以4为周期的周期函数，所以()()()1026222g g f '=''=-，由()()224f x f x x +--=，可得()()212(1)4f x f x +⨯--⨯-'='，即()()224f x f x ''++-=，令0x =，可得()()224f f ''+=，所以()22f '=，所以()20g '=，所以()1026(1026)2(2)22f f f '''=+=+=，所以C 正确；对于D 中，因为()00f =，且函数()f x 关于(1,1)对称，可得()()11,22f f ==，又因为()()224f x f x x +--=，令1x =，可得()()314f f -=，所以()35f =，再令2x =，可得()()408f f -=，所以()48f =，由()()2g x f x x =-，可得()()()()11,22,31,40g g g g =-=-=-=，可得()()()()12344g g g g +++=-又由函数()()2g x f x x =-是以4为周期的周期函数，且()()2f x g x x =+，所以()()()()()()501()125012502(1250)i f i f f f g g g ==+++=+++++++∑ ()()()()()()121234122(1250)g g g g g g ⎡⎤=⋅+++++++++⎣⎦ 50(150)12(4)12242299+=⨯--+⨯=-，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】知识结论拓展：有关函数图象的对称性的有关结论（1）对于函数()y f x =，若其图象关于直线x a =对称（0a =时，()f x 为偶函数），则①()()f a x f a x +=-；②()()2f a x f x +=-；③()()2f a x f x -=.（2）对于函数()y f x =，若其图象关于点(),0a 对称（0a =时，()f x 为奇函数），则①()()f a x f a x +=--；②()()2f a x f x +=--；③()()2f a x f x -=-.（3）对于函数()y f x =，若其图象关于点(),a b 对称，则①()()2f a x f a x b ++-=；②()()22f a x f x b ++-=；③()()22f a x f x b -+=.12．1-1【分析】根据题意，由奇函数的性质和定义，利用特殊值法求出a 、b 的值，验证可得答案.【详解】根据题意，函数()42bxxa f x +=是奇函数，其定义域为R ，则有(0)0f =，(1)(1)f f -=-，即0114024422b b a a a --⎧+=⎪⎪⎨++⎪=-⎪⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，当1a =-，1b =时，()14222xx x x f x --+-==，其定义域为R ，且()22()x x f x f x --=-=-，即()f x 为奇函数，故1a =-，1b =；故答案为：1-；113．0116##0.0625【分析】由正五角星的性质，求得36CAD α∠== ，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和180正五边形的内角和()180521803540⨯-=⨯= ；每个角为5401085= ，三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为18010872-=o o o ，三角形内角和为180 ，那么三角形顶角，即五角星尖角18072236-⨯= ，即36CAD α∠== .cos cos2cos3cos4cos36cos72cos108cos144αααα+++=+++()()cos36cos72cos 18072cos 18036=++-+-cos36cos72cos72cos360=+--= ;()2cos cos2cos3cos4cos36cos72cos108cos144cos36cos72αααα==因为cos 36cos 72︒︒⋅2sin 36cos36cos72sin 72cos72sin14412sin 362sin 364sin 364︒︒︒︒︒︒︒︒︒⋅⋅⋅====,所以1cos cos2cos3cos416αααα=.故答案为：0；116.14．10【分析】结合题意画出对应图形后，设111B T B C λ=，则有TR TM VN VS TW TU VU VWλ====，则有22NVS SWR NSRM UVWT S S S S =-- 平行四边形平行四边形，借助λ表示出面积，结合二次函数的性质即可得.【详解】平面α截四面体11ACD B 的截面如图所示，设111B T B C λ=，则TR TM VN VS TW TU VU VWλ====，所以四边形NSRM 为平行四边形，且//,//MR UW MN TV ，在矩形UVWT 中，()4,5,5,51UV VW TM MU λλ====-，()4,41TR RW λλ==-，则22NVS SWRNSRM UVWT S S S S =-- 平行四边形平行四边形()2221112020120202202010222λλλ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-+-=--+≤-⨯=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当12λ=时，等号成立.故答案为：10.【点睛】关键点点睛：本题关键点是得到所得截面后，借助割补法表示出该截面面积，并结合二次函数的性质求解.15．(1)证明见解析；(2)4515【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理即可证明；（2）利用面面平行的性质确定PO ⊥平面ABCD ，建立直角坐标系，利用坐标法结合线面角公式即可求解.【详解】（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是正方形，所以//BC AD ，又BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，因为AD ⊂平面PAD ，平面PBC ⋂平面PAD l =，所以//l AD ；（2）因为PA PB =，取AB 的中点O ，连接PO ，则PO AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，则PO ⊥平面ABCD ，所以以O 坐标原点建立如图坐标系，因为5,2PA PB AB ===，ABCD 是正方形，所以2PO =，则()0,0,2P ，()1,0,0A ，()1,2,0C -，()1,2,0D ,()1,0,2AP =- ，()0,2,0AD = ，()1,2,2PC =-- ，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z = ，则20n AP x z ⋅=-+= ，20n AD y ⋅== ，取2x =，0y =，1z =，即()2,0,1n = ，设直线PC 与平面PAD 所成角为θ，则sin cos ,15PC n PC n PC nθ⋅=== ，所以直线PC 与平面PAD16．(1)21n a n =-(2)21n nT n n =++【分析】（1）首先求出11a =，可证明数列为首项为1，公差为1的等差数列，得到2n S n =，利用1n n n a S S -=-得到{}n a 的通项公式；（2）由（1）知，2144(21)(21)n n n n S n b a a n n +==-+，化简可得111122121n b n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当1n ==11a =，1==，则数列为首项为1，公差为1的等差数列；n =，则2n S n =，当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，12111a =⨯-=满足条件，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-(*)n ∈N （2）由（1）知，2144(21)(21)n n n n S n b a a n n +==-+，所以2224111111114141(21)(21)22121n n b n n n n n n ⎛⎫==+=+=+- ⎪---+-+⎝⎭，故11111111112335212122121n n T n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+-=+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ，即21n n T n n =++17．(1)38；(2)5n =.【分析】（1）根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式计算即得.（2）该同学投篮的次数为X ，求出X 的可能值及对应的概率，求出期望的函数关系，作差结合数列单调性推理即得.【详解】（1）依题意，该同学投篮4次，恰好投中2次的概率2224113C ()(1)228p =-=.（2）设该同学投篮的次数为X ，则X 的可能值为,10031002n n n n +-=-，,33n n +∈≤N ，于是11(),(1002)122n nP X n P X n ===-=-，数学期望113100()(1002)(12100222n n n n E X n n n -=⋅+-⋅-=-+，令3100()2100,2n n f n n n +-=-+∈N ，则1397(1)2982n n f n n +-+=-+，2110332(1)()2n n n f n f n ++--+-=，显然数列2{10332}n n +--是递减的，当4n ≤时，2103320n n +-->，(1)()f n f n +>，当5n ≥时，2103320n n +--<，(1)()f n f n +<，即有(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)f f f f f f f <<<<>>> ，因此(5)f 最大，所以当5n =时，该同学投篮次数的期望值最大.18．(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,2M N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k =-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k --++，同理可得22284(,)44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414AB k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k k k k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.19．(1)存在，且(],0m ∈-∞(2)①证明见解析②证明见解析【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分0m ≤与0m >进行讨论即可得；（2）①利用导数得到()f x 的单调性后，借助零点的存在性定理可得()ln ln 0f m m m m =-<，解出即可得；②构造函数()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得到12ln x x =，23e x x =，从而可得31232x x x x =，结合2x 的范围即可得解.【详解】（1）由题意得()()()0,,e ,1x m x m x f x m g x x x∞-∈+=-=-=''，当0m ≤时，()()0,0f x g x ''≥≥，所以()f x 和()g x 在()0,∞+上都单调递增，符合题意；当0m >时，若()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同，则()f x 和()g x 有相同的极值点，即ln m m =，令()ln h m m m =-，则()111m h m m m-=-='，当()0,1m ∈时，()0h m '>，当()1,m ∞∈+时，()0h m '<，所以()h m 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，则()()11h m h ≤=-，所以ln m m =无解，综上，当(],0m ∞∈-时，()f x 和()g x 在()0,∞+上的单调区间相同；（2）①由题意，()f x 有两个零点，()e x f x m '=-，若0m ≤，则()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，不符合题意，若0m >，则当(),ln x m ∞∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，当()ln ,x m ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，且当x →-∞时，()f x ∞→-，当x →+∞时，()f x ∞→+，所以()ln ln 0f m m m m =-<，解得e m >，得证；②令()()0,0f x g x ==，得e ,ln xmx x m x ==，即e 0,0ln x x m m x x =>=>，令()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，则()()()22e 1ln 1,(ln )x x x m x n x x x ''--==，当()0,1x ∈时，()()0,m x m x '<单调递减，当()1,x ∞∈+时，()()0,m x m x '>单调递增，当()1,e x ∈时，()()0,n x n x '<单调递减，当()e,x ∞∈+时，()()0,n x n x '>单调递增，在同一坐标平面内作出函数()e (0)x m x x x=>与函数()ln x n x x =(1)x >的图象，它们有公共点()22,A x y，如图，故12301e x x x <<<<<，且有12321223e e ln ln x x x x x x x x ===，由1212e ln x x x x =，得12ln 12e e ln x x x x =，即()()12ln m x m x =，又20ln 1x <<，所以12ln x x =，由2323e ln x x x x =，得2233e lne ln x x x x =，即()()23e x n n x =，又2e e x >，所以23e x x =，由2222e ln x x x x =，得222231e ln x x x x x =⋅=，即2132x x x =，故()3312321,e x x x x =∈.【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数()()e (0),(1)ln x x m x x n x x x x=>=>，结合导数得到函数的单调性，从而得到31232x x x x =.。
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7、现有一个能容纳 10 个半径为 1 的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为 ____________. 8、将 10 个小球（5 个黑球和 5 个白球）排场一行，从左边第一个小球开始向右数小球， 无论数几个小球，黑球的个数总不少于白球个数的概率为____________. 2、解答题 9.(本小题满分 14 分)在△ABC 中，内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c，向量
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6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
(1)求证：数列 lg(an 1)是等比数列，并求 an的通项公式;
(2)若 bn
1 an
1 an
2
，且数列 bn的前
11.(本小题满分 14 分)设 f (x) ex ax a .（e 是自然对数的底数）
(Ⅰ)若 f (x) 0 对一切 x 1恒成立，求 a 的取值范围；
(Ⅱ)求证： ( 2015)1008
____________.
3、若 tan 3 tan β 0 ，则 的最大值为____________.
2
4、已知△ABC 等腰直角三角形，其中∠C 为直角，AC=BC=1，过点 B 作平面 ABC 的垂线 DB，使得 DB=1，在 DA、DC 上分别取点 E、F，则△BEF 周长的最小值为____________.
p sin A sin .
(Ⅰ)求△ABC 的内角 C 的值； (Ⅱ)若 c=2，2sin2A+sin(2B+C)=sinC，求△ABC 的面积.
10.（本小题满分 14 分）已知数列 an满足： a1 2,an1 an2 2an .
5、已知函数 f (x) x3 3x ，对任意的 m 2,2， f (mx 8) f (2x ) 0 恒成立，则
正实数 x 的取值范围为____________.
6、已知向量 a,b,c 满足| a |:| b |:| c | 2 : k : 3(k N *) ，且 b a 2(c b) ，若 为 a,c 的
2015 年河北省高中数学竞赛试卷(高三年级组)
(时间：8 月 30 日上午 8：30-11：30) 1、填空题
1、已知函数 f (x) ln( 1 a2 x2 ax) 1 (a 0) ，则 f (ln a) f (ln 1 ) ____________. a
2、A,B 两点分别在抛物线 y2 6x 和⊙ C : (x 2)2 y2 1 上，则 AB 的取值范围是