一元函数微分与中值定理.

一元函数微分与中值定理

类型一：高阶导数问题 1、研究函数

1

0()0

x e x f x x -⎧⎪≠=⎨

=⎪⎩的各次可微性（7P63）

当0x ≠时，归纳假设12

()1()()x n n f x P e x

-

=，再利用导数定义归纳得出0点处

的各阶导数.（马蓉） 2、设5sin ,y x =求()n y （7P64） 积化和差降次后间接求. 3、设arctan ,y x =求()n y （7P64） 隐函数，幂级数

4、设arcsin ,y x =求()(0).n y （7P64）（关倩）

用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式 26、设函数()sin cos22

x f x x =+，则(28)()f π（10P74京6专）

38、设41

x y x =-，求(2001).y （10P204

京13专）

将其化为真分式和多项式之和，再间接求导. 53、设

y x =

，求()(0).n y （10P307

北建88）（曹庆梅）

转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数. 61、设()arctan ,f x x =试导出关系式

2(2)(1)()(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x +++++++=，并求()(0).n f

（10P342北京防化 92）

利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕）

65、设1997()tan f x x x =，则(1997)(0)f （10P373北科大 97） 77、已知23()(65)(43)(2)f x x x x =+++，求(5)(0).f （9P24）（范玉琴）

82、已知sin x y e x =，求().n y （9P74）（任玉祥） 归纳（不要用莱布尼兹公式） 类型二：导数的应用 涉及方程的根的问题：

5、若1002

1

n

a a a n ++

+

=+，试判定010

n n a a x a x +++=在(0,1)内必有实根

（7P78）（俞琼） 令21

10()2

1

n n a a f x a x x x n +=++

+

+，利用罗尔定理求证. 14、设函数()f x 在[,)a +∞内二次可微，()0,f x ''≤又()0,()0f a f a '><，证明：

()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根。（7P99）（肖敏）

利用单调性和零点定理证明，（凸函数在其切线下方.） 35、设10()n n f x a x a x a =+

++是是系数多项式，

2n ≥，且某个0(11)k a k n =≤≤-及当i k ≠时，0i a ≠，证明：若()0

f x =有n 个相异的实根，则10.

k k a a -<（10P179京12）

罗尔定理，单调性，极值，反证

41、设常数1,0.a b >>为使方程log b a x x =存在实根，求,a b 应满足的条件 （10P239京15丙）（罗勤）

42、证明方程3243610x x x +-+=在(0,1)内至少有一个实根（10P241广东91）罗尔定理（原函数）或介值定理（求最小值点）. 48、设正整数1n >，证明：方程22112110n n n x a x a x --+++-=至少有两个实

根。（10P270天津04） 广义零点定理.

51、设k 为常数，方程110kx x

-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围。

（10P285江苏04专） 84、证明方程21

00!

k

n k x k +==∑

有且仅有一个实根，其中n 为自然数。（9P85）（汪超）

直接利用零点定理，其根的唯一性难以判定（导函数的符号）；引入指数函数作辅助函数.

方程200!

k

n

k x k ==∑无实根。

79、讨论方程34310x x --=的实根个数。（9P67）（向妙峰） 找特定根，由罗尔定理反证

69、若a 是一个正常数，证明方程212

x

x ae x =++

恰有一个实根。（10P415

美国）

83、若()f x 在(,)-∞+∞上可导，且()()0f x f x '+>，试证：()f x 至多只有一个零点。（9P83）（周燕） 利用指数函数构造同解方程. 其他：

13、已知0,a >试证：11

()1||1||f x x x a =+++-的最大值为2.1a a

++（7P95） 分段求最值.

17、设()f x 是可导函数，对于任意实数,s t ，有()(

)()2f s t f s f t s t

+=++，且

(0)1.

f '=求函数()f x 的表达式（10P33京3）

由导数定义，建立方程.（罗勤） 19、若

()

f x 对于一切

u v

≠均有

()()

()()

f u f v f u f v u v

αβ-''=+-，其中

,0,1αβαβ>+

=试求()f x 的表达式（10P44京4）（曹庆梅）

,u v 互换，建立方程组，讨论a β≠

20、设函数()f u 在内可导 ，且(0)0f =，又

1

01(ln )1

x f x x <≤⎧⎪'=>，求出()f u 的表达式。（10P48京5）

22、设0,y x >>求证：.y

x x y y x >（10P57

京5）

取对数，分情况讨论

23、由直线0,8y x ==及抛物线2y x =围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使去现在该点处的切线与0,8y x ==所围成的三角形面积最大。（10P65京5专）

24、设函数()f x

在上有定义，对任意x ，都有(1)2().f x f x +=且当01x ≤≤时，2()(1).f x x x =-试判断在0x =处，()f x 是否可导（10P67京6） 27、已知函数

()

f x 在

x =的某个邻域内有连续的导数，且

20

sin ()lim(

)2x x f x x x

→+=，试求 (0),(0).f f '（10P82

京7）

33、求数列1

{}n

n -中的最小项。（10P167京11专） 考虑函数1

x

y x -=的最小值（余琼）

34、设()f x 在点0x =可导，且()0

cos 1

lim 11

f x x x e

→-=-，求(0)f '（10P167京12） 36、()y f x =二阶可导，且

(4)(0)dy

y y dx

ββ=->，

若()y f x =的一个拐点0(,3)x ，则β（10P188京13） 45、设函数()0g x '≠ ()cos 0()0

x x x f x x

a x ϕ-⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

，其中()x ϕ具有连续二阶导函

数，且(0) 1.ϕ=

（1）确定a 的值，使函数()f x 在0x =处可导，并求()f x '