一元函数微分与中值定理.
一元函数微分学(二)
根据罗尔定理，在（0, ζ3）中至少存在一点 ζ,使得 F’(ζ)=0,即 f’(ζ)+2ζf’(ζ)+
ζf’’( ζ)=0，得证。
会用罗尔定理、拉格朗日中值定理
证明一些简单的等式或不等式。
1
f(x)在[1，2]上连续，
（1，2）上可导，f(1)= ，f(2)=2,证明：
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导，
(3) f (a) f (b) ．
则 y f (x) 在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ＝0
罗尔(Rolle)中值定理的几何意义
罗尔定理的几何意义
拉格朗日(Lagrange)中值定理
定理(
拉格朗日定理 )： 设函数 y f (x) 满足下列条件
f(ζ)、ζf’( ζ)，可以考虑原函数为 ζekζ f(ζ),经求导比较，k 取 2。
设 F(x)=x 2 f’(x),F(0)=0。
1
因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=-1，在（0，1）存在一点 ζ1，f(ζ1)= , 在（1，2）
3
1
存在一点 ζ2，f(ζ2)= 。
3
根据罗尔定理，在（ζ1, ζ2）中至少存在一点 ζ3,使得 f’(ζ3)=0，则 F(ζ3)=0。
lim
→0 ln(1 + )
ln 1 + −
→0
2
lim
洛必达(L’Hospital)法则求未定式的极
限
lim
→0
1 − 2
1 + 2
洛必达(L’Hospital)法则求极限
若f(x)在x=1处的某个邻域中还有连续的一阶导数，且f(1)=1,f’(1)=0,
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
第二章 一元函数微分学及其应用(2)
因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广． 在不需要余项的精确表达式时， n 阶泰勒公式也 可写成
1 1 (n) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + f ′′( x0 )( x − x0 ) + ⋯ + f ( x0 )( x − x0 )n + o(( x − 2! n!
拉格朗日中值定理的几何意义：
如果在[a,b]上的连续曲线，除端点外处处有不垂直于x轴的 切线，那么在曲线弧上至少有一点(ξ, f (ξ )),使曲线在该点处的 切线平行于过曲线弧两端点的弦线. 弦线的方程为
作辅助函数
即可.
的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端
点连线对应的纵坐标之差.
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
1 ln x = lim x 解 原式 = lim+ 1 1 x →0+ x→0 − 2 x x
( 0⋅ ∞ )
= lim+ ( − x ) = 0
x→0
2 ∞−∞型 ）
例2 解
求 lim (sec x − tan x ) ( ∞ − ∞ ) π
x→ 2
1 − sin x lim(secx − tanx) = lim π π x→ cos x x→ 2 0 2 ( ), − cos x 0= lim = lim cot x = 0 π − sin x π x→ x→
定理3 第一充分条件） 定理3（第一充分条件）
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求出导数 f ′( x );
( 2) 求出 f ( x )的全部驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 的全部驻点，
高等数学 (一)
高等数学= = = = = = = = = = = = 骨头= = = = = = = = = = = = 对象：函数方法：极限思想：以不变代替变消除误差取极限内容：微积分（1）一元函数微积分||空无穷级数|间他们的应用|解|析常微分方程|（2）多元函数微积分（一）一元函数微积分：（1）微分学：函数、极限、连续；导数、微分----中值定理（4个；证明题）----（导数与微分的应用）（2）积分学：不定积分；定积分；定积分的应用↓维数↓增加↓（二）多元函数微积分（1）微分学：函数、极限、连续；偏导、全微分；应用（极值）（2）积分学：****；重积分（二重积分；3重积分、线积分和面积分<数一>）；应用注意：一元函数微积分与多元函数微积分之间的联系和差别肉一、函数1.概念X↔I→→f→→y↔Rf(x)注意：（1）定义域（3点：0不能做除数、负数不能开平方、0和负数不能有对数）（2）函数的表达式与自变量的表示符号无关：y=f（x）与y=f（t）相同（函数关系不变）（3）由实际问题所建立的函数（极限的定义域；导函数的定义域；幂级数的和函数的表达式与定义区间）需要自己建立函数关系确定函数的定义域，根据实际问题<后面加>2.函数的特性（1）奇偶性（从定义来理解和证明应用）f(-x)=f(x)，偶图形关于y轴对称[（y，-x ）>>（y，x）；y1=y2时候x1+x2=0且x1+x2=0时候y1=y2]f（-x）=-f（x），奇图形关于原点对称 [（y，-x ）>>（-y，x）；y1+y2=0时x1+x2=0且x1+x2=0时y1+y2=0] 注意：①奇偶函数运算：两个偶函数的和、差、积为偶函数奇函数与偶函数的积为奇函数两个奇函数的积为偶函数任何一个函数都可以写成一个奇函数和偶函数的和f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]奇偶性在求导积分中的应用（后讲）②周期性f(x+T)=f(x),f(x)以T为周期注意：周期性在求导、函数特性、积分中的应用（画图中的应用）周期性与奇偶性都只能通过定义证明③增减性若x1，x2↔I，x1<x2有f（x1）<f（x2）或者f（x1）>f（x2）则f（x）在I区间内严格单调增或者减注意：（1）在证明不等式的时候常遇到<=或>=，称为不减或者不增，考点也属于增减性（2）函数的增减性与讨论的区间有关（题型：确定函数的增减区间；例如y=x^2）增减区间的交换点，极值（导数值为零）（3）增减性由导数的符号判定（微分学的应用之一）（4）增减性是证明不等式的一个重要工具（后讲）④有界性假定y=f(x)，x↔I,存在M>0，对所有|f(x)|<=M成立则称f（x）有界图形-有界：有上下界注意：（1）有上界（单调减 , f（x）<=M有下界（单调增 , f（x）>=-M（2）有界性与讨论的区间有关（3）有界的讨论与极值有关（后讲）3.函数的分类（1）反函数y=f(x)→x=f^-1(y)条件：单调注意：y=f（x），x=f^-1(y) 代表同一条曲线（图形相同）y=f（x）与y=f ^-1（x）关于一三象限对称（2）基本初等函数①幂函数②指数函数（双曲函数）③对数函数④三角函数⑤反三角函数要求：对这五类基本函数的定义域、值域、特性要非常清楚（1-2，28Min-32Min）(3)复合函数y=f(u),u=w(x)y=f[w(x)]u的值域↔y的定义域注意：①并非所有函数都可以复合②考研：一拆多（4）初等函数经过有限次的四则运算或复合得基本初等函数（5）参数方程{X=x（t）Y=y（t）}得到y=y（x）（6）隐函数F（x，y）=0（易于理解函数，或者难用x表现y或者y表示x<求解函数时使用>）实际上是复合函数(7)分段函数①y=f(x)={f(x),x<=0-f(x),x>0} ②y=|f(x)|③ y=max[f(x),g(x)] x ↔(a,b)真正讨论时需要转化为①类讨论（1-2,41Min-43Min ） ④y=[f(x)]取整函数（1-2，44Min-45Min ）二、极限 1.定义：数列的极限（ε-N 语言）0X Xon lim ()()U Xo ()lim ()()123lim(....)1/2*(1)/^21/2^2^2^2^2lim ()lim ()11sin lim ()()x x f x A f x f x f x f xo n n n n n n n n f x g x x xf xg x →→→∞=∃∞++++=+=⇒若存在，则（）使其内，有界与无关函数的极限（ε-δ语言）lim 00,|f(X)-A|<X XoXn A εδδε→=⇔∀>∃>使0<|X-Xo|<时注意：ε是任给的，N 、δ是存在的但不唯一 δ=δ（a ），N= N （ε）lim 00,n>N |Xn-A|>=x Xn A N εε→∞≠⇔∃>∀>使时（1）极限的结构极限{变化过程，对自变量来讲（自变量的变化过程，δ、N ）； 变化趋势，对函数而言，ε}（1-3，13Min-19Min ） （2）单边极限（分段函数；函数极限） 左极限0(0)lim ()X Xof f x x -→-=右极限0(0)lim ()X Xof f x x+→+=000lim ()(0)(0)X X f x A f f A x x →=⇔-=+=lim ()()lim ()()lim ()()()()()X X X f x f f x f f x f f A f f A→-∞→+∞→∞=-∞=+∞=∞∞=⇔+∞=-∞=2.极限的性质（1）唯一性（2）局部保号性（极限大于零则函数大于零<局部内>；1-3，30Min-35Min ） 注意：0X Xo()()0(0),lim ()A>=0f x f x f x A x x →><=若在=及其附近有定义，且存在，则（3）局部有界性（有极限的函数必有界<局部内>）lim ()U Xo ()x x f x A f x →=∃若存在，则（）使其内，有界注意：上述性质对x →∞也成立，U （Xo ）→|X|充分大3.极限的判别准则（1）单调有界数列必有极限（1-4，8-10MIN ） 注意：单调增有上界 ⇒ 极限存在 单调减油下界 ⇒ 极限存在数列的极限与前有限项无关 X Xolim ()()f x f xo →与无关4.极限的四则运算和差积商的极限与极限的和差积商相等 注意：（1）参加运算的极限只有有限次，且每一项的极限都存在n 123lim(....)1/2*(1)/^21/2^2^2^2^2n n n n n n n n →∞++++=+= （2）极限的和差①lim ()f x 存在，lim ()g x 不存在⇒lim(()())f x g x ±不存在 ②lim ()f x 不存在，lim ()g x 不存在⇒lim(()())f x g x ±有可能存在 ③lim ()f x 存在，lim(()())f x g x ±也存在⇒lim ()g x 存在注意：上述三条在反常积分、无穷级数中的应用 （2）极限的乘积若lim ()f x 存在，lim ()g x 不存在(其中一个极限为0)或lim ()f x 不存在，lim ()g x 也不存在（ 101010101…与010*******…） 但lim ()()f x g x 都有可能存在5.无穷大，无穷小lim ()f x =0 ，()f x 无穷小 lim ()g x =∞，()g x 无穷大注意：① 无穷大于无穷小与过程有关② 同一过程下，无穷大与无穷互为倒数，0除外③ 无穷大属于极限不存在的情况下（也就是说极限的四则运算不适用于无穷大）④ 无穷大一定是无界的，无界不一定是无穷大（如y=11sin x x）(1-4,31-36Min ） 6.无穷小的比较不同的函数趋向于0的速度不一样 （1）假设lim α（x ）=0；lim β（x ）=0 若lim α（x ）/ β（x ）=∂∂≠0的常数，则α（x ）与β（x ）同介 ∂=1，则α（x ）与β（x ）等价表示为则α（x ）～β（x ） （2）反身性；传递性① α（x ）～α（x ）② α（x ）～β（x ）⇔β（x ）～α（x ）③ α（x ）～β（x ），β（x ）～λ（x ）⇔α（x ）～λ（x ） （3）若limf （x ）/g （x ）=a a=0，f （x ）比g （x ）高阶 表示为f （x ）=0（g （x ））（4）∂=∞，f （x ）比g （x ）低阶注意：①若lim f （x ）/ g （x ）=a ≠0 则称f （x ）是 g （x ）的K 阶无穷小 ②limf （x ）=A ⇔f （x ）=A+α 其中lim α（x ）=0③常利用无穷小的等价函数求极限7.两个重要的极限（1）0sin lim 1x x x →=（通过图形证明）002(sin )^21cos 12lim lim .1/2^24()^22x x x x x x →→-==2222111cos 112.lim cos 12000n lim(lim lim ()()lim ()lim ()()lim 0y lim lim (0)!lim n cos )(1cos 1)x x x x x x x x x x nn n n x xx f x f f x Xo Xo Xo f x f XnYn a n x x x x a y αβλ→----→→→→→→∞→∞→∞→∞∂℘∈∃∀====⇔====>+- （1）f(Xo)有定义（2）存在（3）求222111( (12)n n n +++++推广型-（第一种重要极限的求极限法：配分母）： lim （*）=0则lim[sin （*）/（*）]=1如002(sin )^21cos 12lim lim .1/2^24()^22x x x x x x →→-==（2-1,18-19Min ） 注意：x →0时，sinx ～x 1-cox ～1/2x^2 tanx ～x （2）10limlim 1(1)(1)xxx x x x→→∞==++推广型-（第二种重要极限的求极限法：拆底数-配指数）:lim （*）=0lim （1+*）^1/*=0 例：2222111cos 112.lim cos 120lim(lim cos )(1cos 1)x x x x x x x x x x x →----→→===+- (2-1，24-25Min)极限的计算方法：四则运算，等价无穷小代换，求极限的两个方法三、连续1.定义 等价定义定义1：设f （x ）在Xo 及其附近有定义△X →y 的增量△y=f （Xo+△X ）- f （Xo ）若00lim ,f x x x x y o ∆→∆=则称（）在=点连续定义2：0lim ()(),()x x x x f x f f x x →=若则称在=点连续（极限值等于函数值）注意：①0lim ()(),()x x x f x f f x Xox -→=若则称在=点左连续若f （Xo+0）=f （Xo ）0()x x f x 则称在=点右连续② 若f （x ）在（a ，b ）内点点都连续，则称f （x ）在（a ，b ）内连续③ 若f （x ）在（a ，b ）内连续，在x=a 点右连续，在x=b 左连续，则称f （x ）在[a ，b]上连续2.连续函数的运算（连续是由极限定义的，因此极限的运算法则可以用在连续上）（2-1,38Min ）注意：基本初等函数在定义域内连续 初等函数在定义区间内连续例：y=arcsin （x^2+1）在x=0点不连续但有定义，因为x=0点附件没有定义 3.间断点00lim ()()lim ()lim ()()x x x f x f f x f x f Xo Xo Xox x →→→=⇔=（1）f(Xo)有定义（2）存在（3）存在定义：若f （x ）在Xo 点，上述三条至少有一条不成立，则称x=Xo 为f （x ）的间断点 注意：间断点的分类 （1）若f （Xo-0），f （Xo+0）都存在则称Xo 为第一类间断点 特例：f （Xo-0）=f （Xo+0）则称Xo 为可去间断点 f （Xo-0）≠f （Xo+0）则称Xo 为跳跃间断点 例1：y=f （x ）={sinx/x,x ≠0;2,x=0} 则x=0为可去间断点（若x=0时y=1，则函数连续） 例2：y=f （x ）={x+1,x<0;x-1,x>0}（x=0处无定义，函数不连续）则x=0为跳跃间断点（2）若f （Xo-0），f （Xo+0）至少有一类不存在则称Xo 为第二类间断点 例1：y=1/x 在x=0处为第二类间断点（无穷间断点）例2：y=sin （1/x ）在x=0点为第二类间断点（震荡型，图形） 注意：无穷间断点与求渐近线；反常积分中的应用例：y =1个，x=-1）（2-2,9-11Min ）4.闭区间上连续函数的性质设y=f （x ）在[a,b]上连续，则（1）y=f （x ）在[a,b]上必有最大值与最小值，即∃X1，X2∈ [a,b],∀x ∈ [a,b]有 f （x ）<=f （X2）（区间上的最大值）f （x ）>=f （X1）（去见上的最小值） 最大值最小值是唯一一个数，但是取得最大值最小值的点可以不止一个；最大值与最小值可以是同一个值，此时函数为常数 （2）介值定理f （x ）必取得最大值和最小值之间的一切值 注意：①闭区间上的连续函数一定是有界的②f （x ）在[a ，b]上连续，f （a ）f （b ）<0，则至少∃℘∈（a ，b ）使得f （℘）=0 例1：设Xn ，Yn 满足lim 0x XnYn →∞=则成立的是A 若Xn 发散，则Yn 必发散 Xn （010203…） Yn(000000…)B 若Xn 无界，则Yn 必有界 Xn （010203…） Yn(102030…)C 若Xn 有界，则Yn 必为无穷小 Yn （010203…） Xn (000000…)D 若1/ Xn 无穷小，则Yn 必为无穷小乘积的极限等于极限的乘积（2-2,31-34Min ） 例2：证明：limlim (0)!nn n n a n a y→∞→∞=>存在（2-2，36-41Min ）证明极限存在：单调有界（有递推关系的首先想到），加别定理(放大一下缩小一下，但是放大缩小后的极限要相同)例3：222n 111lim n(...)12nnnn→∞+++++求（2-2,43-44Min ）例4： 求极限 （1）limx （2-2,47-48Min ）注意：四则运算要求参与运算的极限都存在，因此本题的原型不能使用积商的极限等于极限的积商方法：遇到根号通常进行有理化 （2）3113lim()11x x x →---（2-2, 48-50Min ） 方法：无穷大减无穷大通常进行通分，然后再进行补充（化简） （3）练习x →例5：等价无穷小(2-3，5-7Min)A 1-()ln(1()10B C D +→-当x （）常用的三个等价无穷小1,,ln(1)(1)xx x x x x eαα-++答案：B 例6：已知极限求表达式里的一个常数（2-3，9-12Min ）011lim[()]1a A B C D xx a x xe →--=已知则为（）0（）1（）2（）3答案：C 例7：Xlim 8ax 2a x-ax →∞=+已知求（）现象-分析-方法：1的无穷次大，拆底数配指数 答案：a=ln2 注意：10011111 (i)...a a a a nn n n mm x n nxxx xb x b x b x b x ---→∞-++++++++要看其最高次={00a b,n=m ；∞,n>m;0,n<m} 例8：（2-3,18-23Min ）x sin 0(,0)a+ba xb a b --=>证明方程至少有一正根，且不大于现象-分析-方法：作左方看做函数→函数有零值→介值定理→零值定理 初等函数→连续不大于→≦→分类讨论 例9：（2-3,26-30Min ）()()lim ()()()x f x f x f x →∞-∞+∞-∞+∞设在，连续，且存在，证明在，有界闭区间上连续必有界，有极限的函数必有界（局部有界）导数与微分一、导数1、定义两个实际问题：一曲线在一点的切线，方法----利用割线逼近一点的切线，二是物理上的瞬时速度，先求平均速度然后用时间间隔趋向于零近似的得到瞬时速度 但是他们都有误差，因此要取极限（哲学上讲：是质变），由割线上升到导数，由平均数上升到瞬时速。
大学数学基础教程：一元函数微积分
大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。
这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。
这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。
这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。
因此从函数开始说起。
函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。
对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。
这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。
研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。
掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。
因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。
这个需要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。
这些概念要熟记。
三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。
好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。
对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。
通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
微分中值定理
定理证明
总结词
柯西中值定理的证明涉及到了微分学中的一 些基本概念和性质，如导数的定义、导数的 几何意义等。
Hale Waihona Puke 详细描述证明柯西中值定理，首先需要理解导数的定 义和性质，然后利用拉格朗日中值定理，再 结合闭区间上连续函数的性质，逐步推导， 最终得出结论。
定理应用
总结词
柯西中值定理在微分学中有广泛的应用，它可以用于研 究函数的单调性、极值等问题，还可以用于求解一些复 杂的微分方程。
详细描述
柯西中值定理的应用主要体现在两个方面，一是利用该 定理研究函数的单调性和极值问题，二是利用该定理求 解一些复杂的微分方程。通过柯西中值定理的应用，我 们可以更好地理解函数的性质，并且能够求解一些复杂 的数学问题。
06
罗尔中值定理
定理内容
总结词
罗尔中值定理是微分学中的基本定理之一，它指出如 果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且 在区间的两端取值相等，那么在这个区间内至少存在 一点，使得函数在该点的导数为零。
定理应用
01
洛必达法则可以用于求极限，特别是当极限的形式为0/0或 者∞/∞时，可以通过洛必达法则求得极限值。
02
洛必达法则还可以用于判断函数的单调性，如果函数在某区间 的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0，则
函数在此区间单调递减。
03
此外，洛必达法则还可以用于求函数极值，如果函数在某 点的导数等于0，则该点可能是函数的极值点。
定理应用
总结词
罗尔中值定理在微分学中有广泛的应 用，它可以用于证明其他中值定理、 研究函数的单调性、解决一些微分方 程问题等。
2. 研究函数的单调性
通过罗尔中值定理可以推导出一些关 于函数单调性的结论，例如如果函数 在区间上单调增加或减少，那么其导 数在该区间上非负或非正。
中值定理
例4 如果函数 f ( x), g ( x) 在闭区间 [a , b] 上连续,在 开区间 ( a , b ) 内可导, 且 f (a) f (b) 0, 证明在 ( a , b ) 内至少有一点 (a b ) ,使得
f '( ) f ( ) g '( ) 0
例5.函数f ( x)在[a, b]上连续,在(a, b)可导， a b), (0 且f (a) b, f (b) a, 证明：存在 (a, b)，使得 f ( ) f ( ) 0.
f (x)
分析：设 f ( x) x sin x
内可导. 显然，f ( x)在0, 上连续，在0,
且f (0) f ( ) 0
由罗尔定理知，必存在 a, b f 0, 使
即f sin cos 0
练习2：设f ( x)在 0，上连续，在 0，内可导， 1 1 证明：必存在 0,1 使 f (1) 2 f ( ) f
则ξ=_______.
1 x 1 1 2 x 1, 例2. 验证f ( x) 在[ ，上满足拉格朗日 2] 2 2 x2 , 1 x 2 定理的正确性.
练习 函数f ( x) ln x在[1,2]上满足拉格朗日中值定理, 则 ___.
1 函数f ( x) ln x在[1, 2]上满足拉格朗日中值定理, 则 __ ____ . ln 2
(罗尔定理) 如果函数 f ( x ) 满足以下条件： y C (1)在闭区间 [a , b] 上连续, (2)在开区间 ( a , b ) 内可导, (3) f (a ) f (b)
A
y f ( x)
10 第10讲中值定理
也就是说, 至少存在一点 (x1 , x2) , 使得 f ( ) f (x2 ) f (x1)
x2 x1 该命题就是微分中值定理.
二. 罗尔中值定理
定理 设 (1) f (x) C([a, b]) ; (2) f (x) 在 (a, b) 内可导 ; (3) f (a) f (b) ,
( x2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x) ) 0 a2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (a)
b2( f (b) f (a)) (b2 a2) f (b) a2 f (b) b2 f (a)
例2 设 f (x)C([a, b]) , 在 (a, b) 内可导, 证明 2x ( f (b) f (a)) (b2 a2) f (x)
f (x1) f (x2 ) .
推论 1
若 f (x) 0 , x I , 则 f (x) C , x I .
f (b) f (a) f ( )(b a)
( f (x) g(x)) f (x) g(x) 若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
f (x) 必在[a, b] 上取到它的最大值、 最小值至少各一次.
又 f (a) f (b) , 故 f (x) 不能同时在 x a 和 x b 处分别取到M和m .
即至少存在一点 (a, b), 使得 f ( ) M 或 f ( ) m.
由费马定理可知： f ( ) 0 (a, b) .
f (1) f (2 ) 0 .
4.1 微分中值定理
f (b) f (a) g ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) g (b) g (a) 则 ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 , 在 ( a , b )内 可 导 , 且 f (b) g (a) f (a) g (b) (a) (b) g (b) g (a)
例5:
证:
目录
上页
下页
返回
结束
例6:
证:
目录
上页
下页
返回
结束
例7： 设 f ( x ) 0 , f ( 0 ) 0 证明:对任意x1 0 , x 2 0 有
f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 )
证： 不妨设 0 x1 x 2
f ( x1 x 2 ) f ( x 2 ) f ( x1 )
第四章
一元函数微分学的应用
目录
上页
下页
返回
结束
4.1 微分中值定理
4.2 洛必达法则
4.3 泰勒中值定理 4.4 函数的单调性与极值 4.5 曲线的凹凸性与拐点 4.6 函数图形的描绘 4.7 导数在不等式证明中的应用 4.8 组合恒等式与相关变化率
目录 上页 下页 返回 结束
(第一节)
罗尔中值定理
目录 上页 下页 返回 结束
注: (1) Lagrange中值定理是Rolle定理的推广 (2) Lagrange中值公式精确地表达了函数在一个区 间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之
间的关系.
我们可以用其来证明 (3)正是由于ξ的不确定性，
不等式. (4)在实际运用时，拉格朗日中值定理常改写成：
微分中值定理背后的法国数学家们
微分中值定理背后的法国数学家们摘要：本文详细介绍了一元函数微分学里的微分中值定理的历史演变过程，映射出定理背后的四位法国数学家费马、罗尔、拉格朗日和柯西所做出的杰出工作。
关键词：高等数学，微积分，微分中值定理，连续，可导，开区间，闭区间。
前言微分中值定理是一系列中值定理总称，包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
微分中值定理，是微分学的核心定理，它反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系，是研究函数的重要工具，是沟通函数与导数之间的桥梁，应用十分广泛。
一、费马引理皮埃尔·德·费马(1601-1665），法国律师和业余数学家。
他在数学上的成就不比职业数学家差，被誉为“业余数学家之王”。
费马1601年8月17日出生于法国南部，家境富裕，启蒙教育良好，兴趣和爱好广泛。
14岁时，费马进入公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。
1631年费马毕业后，以律师为职业，并且当上了图卢兹议会的议员。
费马的政绩一般，但是数学成就卓越。
17世纪的法国，可以说还没有数学家可以逾越费马：他是解析几何的发明者之一；他对于微积分诞生的贡献仅次于牛顿和莱布尼茨；他还是概率论的主要创始人；他独撑17世纪数论天地，其中众所周知的费马大定理，直到1995年才被英国数学家怀尔斯证明。
此外，费马对物理学也有重要贡献，尤其是光学方面。
一代数学天才费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家。
在微积分的方面，费马建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法，并获得了费马引理。
费马引理设函数在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果对于任意的，有或，那么。
在费马定理的铺垫下，罗尔定理诞生。
二、罗尔定理米歇尔·罗尔（1652－1719），是法国数学家，代表作是《方程的解法》。
罗尔生于下昂贝尔，仅受过初等教育，依靠自学精通了代数与丢番图分析理论。
1675年他前往巴黎，1682年因为解决了数学家雅克·奥扎南提出的一个数论难题而获得盛誉。
中值定理与微分方程的联系
中值定理与微分方程的联系（考研专用小资料）已知，f,g在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b)证明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)-f(ξ)=g"(ξ)-g(ξ).这是07数学一19题的改编，难度增大了不少。
下面我们考虑更一般的情况:一般涉及二阶中值定理的问题都需要某函数的3个零点作为过渡，比如本题。
我曾经考虑过如下形式：f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内2阶可导，f(a)=f(b)=f(c)=0,a<c<b证明：存在ξ∈(a,b),使得f"(ξ)+pf'(ξ)+qf(ξ)=0,其中p,q为常数且（△=p^2-4q≥0-----这是后加的条件，以下都默认这一条件）.我试图找出该问题更一般的的证明方法（自然，流畅），但最后都失败了。
直到一次偶然翻到张筑生老师的《数学分析新讲》（我最爱的数分书）第一册高阶常系数微分方程部分，受到启发从而找到了一般的解法。
传统的高数中在二阶常微分方程y"+py'+qy=0（*）部分，通过观察指数函数exp(λx)的求导性质来推断它是（*）的解，从而得到一般解的表达公式。
但这更象逆解法，要求高了点。
能否直接通过直接积分来求解呢？-----当然可以。
对于一阶线性方程已经获解，对于2阶常系数微分方程：记r^2+pr+q=0的两个根为λ1，λ2。
引入微分算子D=d/dx,则（*）等价于(D^2+pD+q)y=0,由此得到(D-λ1)(D-λ2)y=0,令L=(D-λ2)y -----(1),则(D-λ1)L=0 -----(2),从（2）可以解出L，再代入（1）可求出y.*****中值定理与微分方程关系紧密，比如1阶形式f'(ξ)+N(ξ)f(ξ)=0-----(3).可化为微分方程f'(x)+N(x)f(x)=0,分离变量，再积分得,f(x)=exp[-∫N(x)dx]移项得f(x)exp[∫N(x)dx]=1-----(4),对(4)求导可以得到(3),对于多数情况可以直接设辅助函数F(x)=f(x)exp[∫N(x)dx]-----（5），一般只需在验证f(x)有2个零点即可。
第二章 一元函数微分学(六)微分中值定理
二 拉格朗日中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 ( a , b )内可导 至少存在一点
O
A
a 1
y
C1
B
C2
2
b x
使 f ( )
或 f b f a f b a
f (b) f (a ) ba
由罗尔定理知, 至少存在一点 使 即
f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( )
思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?
f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b)
x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 证: 设
由推论可知 令 x = 0 , 得
(常数)
又
故所证等式在定义域
上成立.
三 柯西中值定理
柯西（Cauchy）中值定理 及 满足 : (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 ( a , b )内可导 (3) 对任一 x (a , b), 至少存在一点 问题转化为证 构造辅助函数 注：拉格朗日定理是其特殊情况
f (b) f (a ) F ( ) f ( ) 0 F (b) F (a )
f (b) f (a ) f ( ) . 使 F (b) F (a ) F ( )
( )
f (b) f (a ) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a )
注：罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况
一元函数的微积分学中值定理
一元函数的微积分学中值定理微积分学是高等数学中的一门重要课程，其中涉及到的中值定理是其基础和核心内容之一。
中值定理是一元函数微积分学中最基本的定理之一，它是微积分中的“桥梁”，也是微积分学的重要手段之一。
本文将从中值定理的基本概念、证明方法以及实际应用等方面，对中值定理进行简要探讨。
中值定理的基本概念中值定理是一元函数微积分学中的基本定理，主要运用于连续函数、可导函数的研究中，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。
其中，最为基本的中值定理就是拉格朗日中值定理，它是一元函数微积分学中最常用的中值定理之一。
假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，则存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
这就是拉格朗日中值定理。
通过这个定理，我们可以证明函数在某个区间上的平均斜率与某一点的切线斜率相等，从而在对一元函数进行微积分时，可以更加准确地求解函数的极值、最大值、最小值等等问题。
中值定理的证明方法中值定理的证明方法从不同的角度有所不同，以下是拉格朗日中值定理的几种证明方法：方法一：使用罗尔定理证明。
假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，但$f(a)=f(b)$，则存在一个$\xi \in (a,b)$满足$f'(\xi)=0$。
显然，$f'(\xi)(b-a)=0$，根据拉格朗日中值定理的结论，$f(b)-f(a)=0$，那么就存在向$\xi$的切线平行于$x$轴的平面，即$f'(\xi)=0$。
方法二：使用泰勒展开式证明。
将$f(x)$在$x_0$附近做泰勒展开：$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\eta)}{2!}(x-x_0)^2$，其中$\eta$是$x_0$和$x$之间的一个点。
第2章一元函数微分学教材
第二章 一元函数微分学 一、一元函数的导数与微分 （一）导数的定义与几何意义 1．导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域有定义，若极限x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x 存在，即在0x 可导0x x -)()(lim)('0x x x f x f x f -=→导数存在，左右导数存在相同； 2.几何意义 导数为切线斜率（二）单侧可导与双侧可到的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 左右导数均存在且相等（三）微分的定义、几何意义以及可微、可导与连续之间的关系 1．微分的定义 )()(y 0x x x A ∆+∆=∆ο)(x ∆ο是0→∆x 是比x ∆高阶的无穷小，可微函数y=)(x f 在点0x 处的微分是该函数在点0x 处函数增量的线性主要部分 2.微分的几何意义y ∆是曲线y=)(x f 在点0x 处相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量微分dyx x =是曲线y=)(x f 在点0x 处切线相应于自变增量x ∆的纵坐标的增量3.可微、可导及连续之间的关系)(x f 在点0x 处可导⇔)(x f 在点0x 处可微⇒ )(x f 在点0x 处连续但连续不一定可导、可微y=)(x f 在点0x 处可微时dy=dx x f x x f )(')('00=∆（四）函数的区间上的可导性，导函数及高阶导数 1.函数在区间上的可导性若)(x f 在开区间每一点都可到，则在开区间可导，又在端点可导，则在闭区间可导2.若)(x f 在区间可导，对于任意x 在区间内，都有对应)(x f 的一个确定的导数值)('x f ，构成一个新的函数，称为导函数，记作dxx df dx dy x f )(;;y )(''； 3.二阶导数及高阶导数二阶导数⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d dx y d x f ;;y )(''22''； n 阶导数n nn)(n)(;y )(dxy d x f ； N 阶导数定义xx f x x f x f∆-∆+=→∆)()(lim )(01-n 01-n 0x 0n)(）（）（若)(x f 在0x 处n 阶可导，则)(x f 在0x 的某领域比具有一切比低于n 阶的导数 （五）奇偶函数与周期函数的导数性质)(x f 为奇函数⇒)('x f 为偶函数；)(x f 为偶函数⇒)('x f 为奇函数；不能反推 )(x f 以T 为周期⇒)('x f 也以T 为周期二、按定义求导数及其适用的情形 （一）按定义求导数x x f x x f x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limylim000x 0x（二）按定义求导数适用的情形情形1，除了常数及某些初等函数的导数公式外，均可按定义导出 情形2，求导法则不能用的情形，不知道是否可导 情形3，求某类分段函数在分界点处的导数（三）利用导数定义求极限xx f x x f ∆-∆+→∆)()(lim000x n n x x f x x f )()(lim 0n -++∞→ 其中0lim n =+∞→n x三、基本初等函数导数表，导数的四则运算法则与复合函数微分法则 （一）基本初等函数导数表与求导法则 1．基本初等函数导数表a x x aa a xx x xx x x x x x t a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )an (22='='⋅-='⋅='-='=' 222211)ot (11)an (11)(arccos 11)(arcsin x x arcc x x arct x x x x +-='+='--='-=' x xx x x xx e e x x 22'''''sec cos 1)(tan cos )(sin 1)(ln )(0c ======）（)()()())()(sin )(cos ''''x f x f x f x f xx x x x ==-= xx 1)(ln '=2.求导法则复合函数求导法则幂指数函数求导 反函数求导 隐函数求导 变限积分求导 分段函数的求导（二）导数与微分的四则运算法则[])(')(')()('x g x f x g x f ±=±[])(')()()(')()('x g x f x g x f x g x f +=)()(')(-)()(')()(2'x g x g x f x g x f x g x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡（三）复合函数的微分法则dxdudu dy dx y •=d（四）初等函数求导法 利用上述三种方法综合运用四、复合函数求导法的应用—由复合函数求导法则导出的微分法则 （一）幂指数函数)()(x g x f 的求导法 1.将)()(x g x f 表成)(ln )(ex f x g 后求导2.对数求导法，对)()(x g x f y =两边取对数得)(ln )(ln x f x g y =，两边对x 求导用对数求导法求乘积的导数或微分很方便)()()(21x f x f x f y n •⋅⋅⋅••= 先取绝对值，再取对数幂指数函数导数公式也可用二元复合函数求导法推出的复合函数与是)(),()()(x g v x f u u y x f y v x g ====dxdv u v dx du u u dx y v v •∂∂+•∂∂=）（）（d（二）反函数求导法'1d y dy x = 3'''22-d y y dy x =（三）变限积分的求导法设)(x f 在闭区间连续，)(),(x x ψϕ在闭区间可导⎰=)()(;)(x x dt t f y ϕψ[][])()()()()()('')()(x x f x x f dt t f dx d dt t f dx d dx dy x ax a ψψϕϕψϕ-=-=⎰⎰（四）隐函数微分法设有二元方程F （x ，y ）=0，若存在函数y=y （x ）使得F （x ，y （x ））=0，对区间上任何x 成立，则称y=y （x ）为方程F （x ，y ）=0在区间上确定的隐函数运用复合函数求导法则五、分段函数求导法1.按求导法则分别求分界点处的左右导数2.按定义求分界点的导数或左右导数3.分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值（一）按求导法则分别求分段函数在分界点处的左右导数A x f A x h x g x h x g ====+)(,)()(),()(0'0'0'-00则且若（二）按定义求分界点的导数或左右导数无定义在、000)()(x x h x gx x x h x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=+→∆+→∆+A)(lim)()(lim)('000000xx x g x x f x x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆A)(lim)()(lim)('0-000-00- 上述极限存在且相当，则存在)(0'x f（三）分界点为连续点时，求导函数在分界点处的极限值 可导且连续，A x f x x =→)(lim '六、高阶导数及n 阶导数的求法（一）归纳法 逐一求出前几阶导数，观察规律性写出)(n y 的公式（二）利用简单得初等函数的n 阶导数公式（1）b ax n n b ax e a e ++=)(）（ x n x e e =)(）（（2）[])2sin()sin()(πn b ax a b ax n n ++=+ [])2sin(sin )(πn x x n += （3）[])2(cos )(cos )(πn b ax a b ax n n ++=+ ())2cos(cos )(πn x x n +=（4）[]n n n b ax n a b ax -++-⋅⋅⋅-=+βββββ))(1()1()()([]n n x n x -+-⋅⋅⋅-=βββββ)1()1()( （5）1)()(!)1(1++-=⎪⎭⎫⎝⎛+n n n n b ax n a b ax (6) []n n n n b ax n a b ax )(!1-)1()ln(1-)(+-=+）（ []nn n xn x !1-)1(ln 1-)(）（-= (三)分解法1.有理函数与无理函数的分解)1)(1(1,21+-⋅⋅⋅+-+=+--x x x x x n x n n n n 为奇数时，当 )1-)(1(1-,21x x x x x n x n n n n +⋅⋅⋅+-+=--为偶数时，当2.三角函数的分解（利用三角函数恒等式及有关公式）（四）由f （x ）在x=0x 处的泰勒公式的系数或幂级数展开式的系数求)(0)(x f n七、微分中值定理(一)极值的定义 极小值、极大值 与左右两边的比较，还没涉及导数（二）微分中值定理及其几何意义 1.费马定理及其几何意义)(x f 在x=0x 处可导且取得极值，则导数为0，0x 为驻点，驻点切线与x 轴平行2.罗尔定理及其几何意义[]0)('),(),()(),(,)(=∈=ξξf b a b f a f b a b a x f 使得则存在上可导，又上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于x 轴3.拉格朗日中值定理及其几何意义（微分中值定理）[])(')()(),(,),(,)(ξξf ab a f b f b a b a b a x f =--∈使得则存在上可导，上连续，在在设)(x f 在点ξ切线平行于割线)10(,)(')()( θθx x x f y x f x x f ∆•∆+=∆=-∆+4.柯西中值定理[])(')(')()()()(),(,0)('),(,)(),(ξξξg f a g b g a f b f b a x g b a b a x g x f =--∈≠使得则存在上可导，且上连续，在在设 （三）几个微分中值定理之间的关系拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，,)(x x g =罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况八、利用导数研究函数的性态（一）函数为常数的条件与函数恒等式的证明 1．函数为常数的条件 导数恒为02.两个函数差为常数的条件 导数相等3.两个函数恒等的条件，导数导数，存在一点使得两值相等（二）函数单调性充要判别法1.函数单调性的定义 单调增加、单调减少、单调不增、单调不减2.函数单调性判别定理及其几何意义单调不减 导数大于等于0；单调增加，导数大于等于0，区间内，不存在导数等于0的情况 3.几何意义单调增加与x 轴锐角；单调减少与x 轴钝角（三）极值点充分判别法1.极值第一充分判别定理及其几何意义 左导数小于0，右导数大于0，极小值主要考察函数的不可导点，因为不可导点有可能是函数的极值点2．极值第二充分判别定理及其几个意义，具体再讨论极小值，极大值，当当二阶可导，且在点设0)('',0)('',0)('',0)(')(00000==x f x f x f x f x x f几何意义结合第一充分判别定理分析 二阶导数小于0，一阶导数由大于0到小于0，极大值（四）凹凸性的定义与充要判别法 1.凹凸的定义[]凹上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+[]凸上可导，若恒有上连续，在在设),())((')(),(,)(000x f x x x f x f b a b a x f -+2.凹凸性充要判别定理及其几何意义[][]()是单调增函数在是凹的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]()是单调减函数在是凸的充要条件是在上可导，则上连续，在在设b a x f b a x f b a b a x f ,)(',)(),(,)([][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凹的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≥[][]0)(''),(,0)('',)(),(,)(恒不等于的任意子区间内是凸的充要条件是在则内二阶可导，上连续，在在设x f b a x x f b a x f b a b a x f ∈∀≤（五）观点的定义与充分判别法1.拐点的定义，)(x f 在0x 的左右侧凹凸性相反，在为拐点2.拐点的充分判别定理)(x f 连续，二阶可导，且二阶导数在0x 反号 或二阶导数等于0，三阶导数不等于0（六）利用导数做函数的图形1、定义域，奇偶性、周期性、剪短点2、一阶导数、二阶导数等于3、渐近线 b kx y y x +=∞→∞→;；[]b kx x f k xx f b kx y x x =-≠=⇔+=+∞→+∞→)(lim ,0)(lim且九、微分学的几何应用与经济应用 （一）平面曲线的切线1.用显式方程表示的平面曲线))(('00o x x x f y y -+=2.用隐式方程表示的平面曲线0)(),()(),(),(,0),(000000=-∂∂+-∂∂=y y yy x f x x x y x f y x f y x f 切线方程有连续的一阶偏导数，其中（二）边际与弹性1.边际及其先关概念 边际成本 边际收益 边际利润2.弹性及其相关概念xdx y dydxdyy x Ex y Ex y x y ==E ,E 的弹性记为对 需求函数)(P Q Q =dpdQQ p Ep Q =E收益对价格的弹性dpdRR p Ep R =E 因为pQ R =+=+==1)(1)(1E dp dQp Q Q dp pQ d Q Ep R EpQ E 注意弹性的绝对值问题，区别正负性十、一元函数的最大值与最小值问题（一）闭区间[]的求法和最小值的最大值上连续函数的m M )(,x f b a 1.求出驻点，即一阶导数为0 2.算出驻点的函数值3.有不可导点，算出不可导点的函数值4.求出端点的函数值5.比较(二) )(x f 在区间可导且仅有唯一驻点的最大值和最小值的求法 1．通过一阶导数左右两端符号判断 2.通过二阶导数的正负性判定十一、一元函数的泰勒公式（一）带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式，皮亚诺余项）（即））（（其中阶导数，则处有在点设0)(lim ),()(),()(!)()(!2)())((')()()(00000)(20000000=-→-=+-++-''+-+=→n n x x nn n n n x x x R x x x x x R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n x x f ο （二）带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式[][]10),()()!1()(),()(!)()(!2)())((')()(,,1),()(0010)1(00)(2000000 θθξξξ且之间，也可表示为与在而，拉格朗日余项其中有阶连续导数，对于任何上有阶导数，在区间内有的区间在包含点设x x x x x x x n f R x R x x n x f x x x f x x x f x f x f b a x n b a n b a x x f n n n n n n -+=-+=+-++-''+-+=∈+++n n x n f x f x f f x f x !)0(!2)0()0()0()(0)(20++''+'+== 时即为麦克劳林公式：十二、带皮亚诺余项的泰勒公式的求法 （一）泰勒公式的唯一性!)(,),('),(,)()()()()(0)(01000020201000n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f n n nn n =⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο这个定理称为泰勒公式的唯一性定理（二）泰勒公式的求法 1.直接求法))(1,0(,)!1(1)(),()()(!)(!1!211102+∞<<-∞∈+==+=++⋅⋅⋅+++=+=∑x x e n x R x x R x R k x x R x n x x e n x n n n n nk kn n xθοθ其中)()1,0()!12(cos )1()(),()()()!12()1()()!12()1(!5!3sin 1222221121212153+∞<<-∞∈+-==+--=+--+-+-=+=----∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)()1,0()!22(cos )1()(),()()()!2()1()()!2()1(!4!21cos 221121212120212242+∞<<-∞∈+-==+-=+-+-+-=++++++=+∑x x k x x R x x R x R k x x R n x x x x n n n n n n nk k k n n n ，，其中 θθο)1,0(),1,1()1()!1()()1()(),()()(!)1()1(1)(!)1()1(!2)1(1)1(1112∈-∈++--==++--+=++--++-++=++--=∑θθαααοαααααααααααx x x n n x R x x R x R x k k x R x n n x x x n n n n n n nk kn n ，其中(])1,0(,1,1)1()1(1)1()(),()()()1()(1)1(3121)1ln(111111132∈-∈+++-==+-=+-+-+-=++--++=--∑θθθοαx x x x x n x R x x R x R k x x R x n x x x x n n n n nn n n n nk k k n nn ，）（其中2.间接求法 ①四则运算()()()))(()()(m n a x a x a x n m n ≤-=-+-οοο()()())()()(m n m n a x a x a x +-=-•-οοο()()())()(m n m n a x a x a x +-=-•-οο()()有界在其中δοο a x x f a x a x x f mm--=-•0)(),()()(②复合运算 替代变量法③逐项求导或逐项积分））（（））（（））（（时，有阶导数，则处有在点设10102010010100210020201000)(1)(2)()()()(2)(')()()()()(0++---+-+++-+-=-+-++-+=-+-++-+-+=→⎰n n n xx n n n nn n x x x x n A x x A x x A dt t f x x x x nA x x A A x f x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f οοο十三、一元函数泰勒公式的应用 （一）利用泰勒公式求未定式的极限)();(0);()()(lim )()(lim 0,0,)()()()()(),(m n m n n m BA a x a xB a x a x A x g x f B A a x a x B x g a x a x A x f a x x g x f m m nn a x a x m m nn ∞==-+--+-=≠≠-+-=-+-==→→））（（））（（））（（））（（时，有在点设οοοο（二）用泰勒公式确定无穷小的阶阶数数是导数不为零的最小阶无穷小，无穷小的阶的是因此，））（（，则，若））（（时，有阶导数，则处有在点设n a x x f x x x x n x f x f x f x f x f x f x x x x n x f x x x f x f x f x x n x x f nn n n n n n n )()()(!)()(0)(0)()(')(,)(!)())((')()()(000)(0)(0)1-(00000)(00000--+-=≠====-+-++-+=→οο（三）利用泰勒公式证明不等式方法1，通过估计泰勒公式余项的大小来证明不等式方法2，通过函数与二阶导数的界估计一阶导数的界来证明不等式（四）由泰勒公式的系数求)(0)(x f nn n n n n n n A n x f A x f A x f n x f A x f A x f A x x x x A x x A x x A A x f x x n x x f !)()(')(!)(,),('),(,)()()()()(0)(10000)(01000020201000====⋅⋅⋅==-+-++-+-+=→，，因此则））（（时，有阶导数，则处有在点设ο（五）用泰勒公式证明函数或高阶导数存在满足某种要求的特征点当要求证明存在某点使得函数或高阶导数在该点取值满足某等式或不等式或具有某种其他要求的特征时，常常需要用泰勒公式，所求的点还常常是公式余项中出现的中间值十四、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关一元函数的导数与微分概念的命题题型二、用导数定义求函数的极限题型三、求各类一元函数的导数与微分题型四、求变限积分的导数1. 求仅积分限含参变量x 的变限积分的导数2. 求被积函数也含有参变量x 的变限积分的导数题型五、求一元函数的n 阶导数题型六、用微分学的方法证明不等式方法1，利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式方法2，利用函数的单调性证明不等式方法3，利用函数的最大值或最小值证明不等式方法4，利用函数图形的凹凸性证明不等式题型七、利用导数研究函数的性态1. 函数等于常数的证明2. 单调性与凹凸性的证明3. 讨论函数的极值与拐点4. 求函数的单调区间与极值点及其图形的凹凸区间与拐点5. 用微分学知识作函数的图形6. 利用函数的性态研究函数零点的个数题型八、导数与微分在经济学中的简单应用题型九、微分中值定理命题及相关问题1. 费马定理型的中值命题2. 罗尔定理型的中值问题3. 与区间端点函数值有关的微分中值命题题型十、一元函数的最值问题1. 函数型的最值问题2. 应用型的最值问题题型十一、求泰勒公式1. 求带皮亚诺余项的泰勒公式2. 求带拉格朗日余项的n 阶泰勒公式题型十二、用泰勒公式求极限或确定无穷小的阶1. 用泰勒公式求极限2. 用泰勒公式确定无穷小的阶题型十三、用泰勒公式证明不等式或高阶导数存在某种特征点。
微分中值定理的证明及其应用毕业论文
【标题】微分中值定理的证明及其应用【作者】蒋雯亦【关键词】Lagrange中值定理Cauchy中值定理辅助函数【指导老师】吴先兵【专业】数学教育【正文】1 引言在一元函数微积分中，微分中值定理是应用函数局部性质研究函数整体性质的重要工具。
Lagrange中值定理、Cauchy中值定理是微分学中的两个重要定理，它们揭示了函数值与导数值之间的内在联系，为微分学的应用和对函数的进一步研究提供了理论依据，对两个微分中值定理的证明一般都划归为Rolle中值定理来证明。
因此，Rolle中值定理是基础，Lagrange中值定理及Cauchy中值定理是Rolle中值定理的推广，熟练运用Rolle中值定理，正确掌握函数证明的各种技巧，对解决实际问题非常重要。
2001年，鲁凤菊[5]给出了证明微分中值定理时构造辅助函数的两种方法及微分中值定理在一元函数、多元向量值函数及抽象函数方面的推广。
2007年，贾计荣[6]用行列式证明Cauchy中值定理及Lagrange中值定理，并对微分中值定理加以推广。
2008年，孙彩贤[7]从不同方面对微分中值定理加以证明，使得抽象的定理灵活化，从而更易理解。
李建杰[8]着重探讨Cauchy中值定理的几种新证法，比较详细地叙述了求证的思路、方法和具体步骤，简述了求证过程对微积分教学的意义。
陈鱼昆[9]分别研究Lagrange中值定理、Cauchy中值定理及Rolle中值定理的某些重要应用。
2009年，杨洪秀[10]列出了证明Lagrange中值定理的几种不同方法。
宋振云[11]通过复数乘法运算构造出一系列Lagrange中值定理证明中满足Rolle中值定理条件的辅助函数，并明确指出了Cauchy中值定理证明中辅助函数的构造方法。
微分中值定理的证明和应用，通常以Rolle中值定理作为它的预备定理，证明的关键在于方法的掌握，而教材通常都只用一种方法来证明微分中值定理，因而不能提高学生的思维能力，本文试用多种方法来证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，再将Rolle中值定理、Lagrange中值定理及Cauchy中值定理分别应用到不同的问题中，让学生能够更加容易掌握和应用微分中值定理。
微分中值定理及其推论和推广
第4章 微分中值定理及其推论和推广微分中值定理是微分学中最重要的一个定理。
在许多理论证明中都会用到它或它的推论或它的推广。
为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理。
罗尔定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且()()f a f b =，则至少有一点),(b a c ∈，使()0f c '=微分中值定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数，则至少有一点),(b a c ∈使()()()f b f a f c b a-'=-或者写成()()[()]()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<<推论1 若函数)(x f 在区间),(b a 内处处有导数，且0)(≡'x f )(b x a <<，则()≡f x 常数()<<a x b称函数()F x 为函数()f x (在某区间上)的原函数，若d ()()d F x f x x = 或 ()()F x f x '=根据推论1，函数()f x 在同一个区间上的两个原函数只能相差一个常数。
推论2 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内处处有导数。
⑴若()0()f x a x b '><<，则)(x f 在区间],[b a 上是增函数； ⑵若()0()f x a x b '<<<，则)(x f 在区间],[b a 上是减函数。
根据推论2，我们就得到如下结论(证不等式的方法)：设函数)(x f 和)(x g 在区间),[b a 上连续且在),(b a 内有导数。
若满足条件：()i )()(a g a f =； ()ii ()()()f x g x a x b ''><<；则))(()(b x a x g x f <<> (见下图1)类似地，设函数)(x f 和)(x g 在区间],(b a 上连续且在),(b a 内有导数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元函数微分与中值定理类型一：高阶导数问题 1、研究函数10()0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨=⎪⎩的各次可微性（7P63）当0x ≠时，归纳假设12()1()()x n n f x P e x-=，再利用导数定义归纳得出0点处的各阶导数.（马蓉） 2、设5sin ,y x =求()n y （7P64） 积化和差降次后间接求. 3、设arctan ,y x =求()n y （7P64） 隐函数，幂级数4、设arcsin ,y x =求()(0).n y （7P64）（关倩）用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式 26、设函数()sin cos22x f x x =+，则(28)()f π（10P74京6专）38、设41x y x =-，求(2001).y （10P204京13专）将其化为真分式和多项式之和，再间接求导. 53、设y x =，求()(0).n y （10P307北建88）（曹庆梅）转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数. 61、设()arctan ,f x x =试导出关系式2(2)(1)()(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x +++++++=，并求()(0).n f（10P342北京防化 92）利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕）65、设1997()tan f x x x =，则(1997)(0)f （10P373北科大 97） 77、已知23()(65)(43)(2)f x x x x =+++，求(5)(0).f （9P24）（范玉琴）82、已知sin x y e x =，求().n y （9P74）（任玉祥） 归纳（不要用莱布尼兹公式） 类型二：导数的应用 涉及方程的根的问题：5、若10021na a a n +++=+，试判定010n n a a x a x +++=在(0,1)内必有实根（7P78）（俞琼） 令2110()21n n a a f x a x x x n +=++++，利用罗尔定理求证. 14、设函数()f x 在[,)a +∞内二次可微，()0,f x ''≤又()0,()0f a f a '><，证明：()0f x =在(,)a +∞内存在唯一实根。
（7P99）（肖敏）利用单调性和零点定理证明，（凸函数在其切线下方.） 35、设10()n n f x a x a x a =+++是是系数多项式，2n ≥，且某个0(11)k a k n =≤≤-及当i k ≠时，0i a ≠，证明：若()0f x =有n 个相异的实根，则10.k k a a -<（10P179京12）罗尔定理，单调性，极值，反证41、设常数1,0.a b >>为使方程log b a x x =存在实根，求,a b 应满足的条件 （10P239京15丙）（罗勤）42、证明方程3243610x x x +-+=在(0,1)内至少有一个实根（10P241广东91）罗尔定理（原函数）或介值定理（求最小值点）. 48、设正整数1n >，证明：方程22112110n n n x a x a x --+++-=至少有两个实根。
（10P270天津04） 广义零点定理.51、设k 为常数，方程110kx x-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围。
（10P285江苏04专） 84、证明方程2100!kn k x k +==∑有且仅有一个实根，其中n 为自然数。
（9P85）（汪超）直接利用零点定理，其根的唯一性难以判定（导函数的符号）；引入指数函数作辅助函数.方程200!knk x k ==∑无实根。
79、讨论方程34310x x --=的实根个数。
（9P67）（向妙峰） 找特定根，由罗尔定理反证69、若a 是一个正常数，证明方程212xx ae x =++恰有一个实根。
（10P415美国）83、若()f x 在(,)-∞+∞上可导，且()()0f x f x '+>，试证：()f x 至多只有一个零点。
（9P83）（周燕） 利用指数函数构造同解方程. 其他：13、已知0,a >试证：11()1||1||f x x x a =+++-的最大值为2.1a a++（7P95） 分段求最值.17、设()f x 是可导函数，对于任意实数,s t ，有()()()2f s t f s f t s t+=++，且(0)1.f '=求函数()f x 的表达式（10P33京3）由导数定义，建立方程.（罗勤） 19、若()f x 对于一切u v≠均有()()()()f u f v f u f v u vαβ-''=+-，其中,0,1αβαβ>+=试求()f x 的表达式（10P44京4）（曹庆梅）,u v 互换，建立方程组，讨论a β≠20、设函数()f u 在内可导 ，且(0)0f =，又101(ln )1x f x x <≤⎧⎪'=>，求出()f u 的表达式。
（10P48京5）22、设0,y x >>求证：.yx x y y x >（10P57京5）取对数，分情况讨论23、由直线0,8y x ==及抛物线2y x =围成一个曲边三角形，在曲边上求一点，使去现在该点处的切线与0,8y x ==所围成的三角形面积最大。
（10P65京5专）24、设函数()f x在上有定义，对任意x ，都有(1)2().f x f x +=且当01x ≤≤时，2()(1).f x x x =-试判断在0x =处，()f x 是否可导（10P67京6） 27、已知函数()f x 在x =的某个邻域内有连续的导数，且20sin ()lim()2x x f x x x→+=，试求 (0),(0).f f '（10P82京7）33、求数列1{}nn -中的最小项。
（10P167京11专） 考虑函数1xy x -=的最小值（余琼）34、设()f x 在点0x =可导，且()0cos 1lim 11f x x x e→-=-，求(0)f '（10P167京12） 36、()y f x =二阶可导，且(4)(0)dyy y dxββ=->，若()y f x =的一个拐点0(,3)x ，则β（10P188京13） 45、设函数()0g x '≠ ()cos 0()0x x x f x xa x ϕ-⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其中()x ϕ具有连续二阶导函数，且(0) 1.ϕ=（1）确定a 的值，使函数()f x 在0x =处可导，并求()f x '（2）讨论()f x '在0x =处的连续性。
（10P261天津03）56、研究函数[]y x x =的可导性，如有不可导点，要讨论左右导数是否存在（10P317西安交大89）（范玉琴）68、假定()f x 是一个连续的实函数，使()f x '在0x ≠时，存在，并且0lim ()x f x →'也存在。
证明：(0)f '存在（10P415美国）68、假定()f x 是一个连续的实函数，使()f x '在0x ≠时，存在，并且0lim ()x f x →'也存在。
证明：(0)f '存在（10P415美国）78、已知y =+，求.y '（9P24）85、设()f x 是7次多项式，若()1f x +能被4(1)x -整除，()1f x -能被4(1)x +整除，求().f x （9P89） 88、设()f x 在(0,)+∞上有定义，()f x 在1x =处可导且(1) 4.f '=若对所有120,0x x >>有121221()()().f x x x f x x f x =+试证：()f x 在(0,)+∞上可导，并求()f x 及().f x '（9P193）89、设n 为自然数，试证：1111(1)(1)(1)(1).212n n e n n n n++<<+++（9P200） 96、设0p >，证明对正整数n ，有11(1)12.11p p p p pn n n p p +++<+++<++（9P265）（关倩）类型三：中值定理证明等式或不等式 证明等式：10、设区间(,)I a b =，任给x I ∈，有()0,f x ''=则任给x I ∈，有().f x cx d =+（7P82）求该二阶微分方程.15、设函数()f x 在(,)a +∞内有二阶导数，且(1)0,lim ()0,lim ()0.x x a f a f x f x +→+∞→+===求证.在(,)a +∞内至少有一点ξ，满足()0.f ξ''=（10P9京1）（马蓉） 充分利用极限的定义构造罗尔定理25、设函数()f x 在[0,1]上可导，且(0)0,(1) 1.f f ==证明：存在两点12,[0,1]x x ∈，使得12112.()()f x f x +=''（10P69京6）由介值定理找出1().2f ξ=28、考察函数3240()2101x f x x x x x ⎧⎪-≤<=⎨--+≤≤⎪⎩在[4,1]-上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，则求出结论中的ξ。
（10P119京8） 30、设()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，0.2a b π≤<≤证明在(,)a b 内至少存在两点12,ξξ，使得2211sin ()tan ().2cos a b f f ξξξξ+''=（10P146京10）（陈萍）37、设()f x 在[0,1]上有二阶导数，且(1)(0)(1)(0)0f f f f ''====，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()().f f ξξ'''=（10P190京13）43、设函数()f x 在[,]a b 上连续，(,)a b 内可导，其中0a >，()0f a =，试证明：在(,)a b 内必有一点ξ，使得()().b f f aξξξ-'=（10P245广东91）47、设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0,(1) 1.f f ==试证明：对于任意给定的正数,a b ，在开区间(0,1)内存在不同的两点,ξη，使得.()()a ba b f f ξη+=+''（10P262天津03）49、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，()()0,()0ba f a fb f x dx ===⎰，求证：（1）在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()f f ξξ'=；（2）在(,)a b 内至少有一点,ηηξ≠，使得()().f f ηη''=（10P278江苏04）50、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，221(),()()2baf a a f x dx b a ==-⎰，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()() 1.f f ξξξ'=-+（10P285江苏04专） 52、设12n a a a <<<为n 个不同的实数，函数()f x 在1[,]n a a 上有n 阶导数，并满足12()()()0n f a f a f a ====，则对每个1[,]n c a a ∈，都相应的存在1(,)n a a ξ∈满足()12()()()()().!n n c a c a c a f c f n ξ---=（10P290浙大82）58、设函数()f x 在[2,2]-上二阶可导，且|()|1f x ≤，又22(0)[(0)]4f f '+=， 试证：在(2,2)-内至少存在一点ξ，使得()()0.f f ξξ''+=（10P324上海交大 91）中值定理，辅助函数22F f f '=+。