江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--不等式

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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--数列

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ．答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212l o gl o g a a += ▲ .答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲ 答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ．答案：42±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++ =2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末）观察下列等式：31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝ ▲ ．答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=．设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)362n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+ ，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈ ，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的637612d +=，所以，最大的3737612a +=………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*，故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba +1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1.∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba +1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分而数列{}n b 的前n项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得5975977444t ---+≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分综上所述,的取值范围是59759744t ---+≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分 (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分所以，213()33q p p q =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列，于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1）求数列}{n n b a +的通项公式；（2）若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=，故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾，故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+- 所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈ (1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合（2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值（3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n) (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立，当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15 n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ，（nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17）……………….……..……………….12分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n (n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n ∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编AqqPPH

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编导数及其应用1、（南通市2013届高三期末）曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+在点(1，f (1))处的切线方程为 ▲ ．答案：1e 2y x =-． 2、（苏州市2013届高三期末）过坐标原点作函数ln y x =图像的切线，则切线斜率为．答案：1e3、（泰州市2013届高三期末）曲线y=2lnx 在点（e,2）处的切线与y 轴交点的坐标为 (0,0)4、（扬州市2013届高三期末）已知函数xmx x f -=ln )(（R m ∈）在区间],1[e 上取得最小值4，则=m ▲ ． e 3-5、（常州市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．解：（1）设AF y =，则22x y x y l +++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当222b l -≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当222b l ->时，在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S 递增，在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S <，S 递减，故当222x l -=时，2max 3224S l -=.6、（连云港市2013届高三期末）（连云港市2013届高三期末）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y (万元)随医疗总费用x (万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元.(1)请你分析该单位能否采用函数模型y ＝0.05(x 2+4x +8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y ＝x -2ln x +a (a 为常数)作为报销方案，请你确定整数a 的值．(参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3)【解】(1)函数y =0.05(x 2+4x +8)在[2,10]上是增函数，满足条件①， ……………2分当x =10时,y 有最大值7.4万元,小于8万元,满足条件③. ………………………4分但当x =3时,y =2920<32,即y ≥x2不恒成立,不满足条件②,故该函数模型不符合该单位报销方案. ………………………6分(2)对于函数模型y =x -2ln x +a ，设f (x )= x -2ln x +a ，则f ´(x )=1-2x =x －2x≥0.所以f (x )在[2，10]上是增函数，满足条件①，由条件②，得x -2ln x +a ≥x 2，即a ≥2ln x -x2在x ∈[2，10]上恒成立，令g (x )=2ln x -x 2，则g ´(x )=2x －12=4－x2x，由g ´(x )>0得x <4，∴g (x )在(0，4)上增函数，在(4，10)上是减函数.∴a ≥g (4)=2ln4-2=4ln2-2. ………………10分由条件③，得f (10)=10-2ln10+a ≤8，解得a ≤2ln10-2. ……………………12分另一方面，由x -2ln x +a ≤x ，得a ≤2ln x 在x ∈[2，10]上恒成立, ∴a ≤2ln2,综上所述，a 的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，所以满足条件的整数a 的值为1. ……………14分7、（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由；若函数3()1x ag x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围；若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.解: (1)()1f x x =-在区间[2,1]-上单调递增,所以()f x 的值域为[-3,0]………2分而[-1,0][2,1]⊄-,所以()f x 在区间[2,1]-上不是封闭的……………… 4分 (2)因为33()311x a a g x x x +-==+++, ①当3a =时,函数()g x 的值域为{}3[3,10]⊆,适合题意……………5分 ②当3a >时,函数()g x 在区间[3,10]上单调递减,故它的值域为309[,]114a a++,由309[,]114a a ++[3,10]⊆,得303119104aa +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得331a ≤≤,故331a <≤……………………7分 ③当3a <时,在区间[3,10]上有33()3311x a a g x x x +-==+<++,显然不合题意 …………………8分综上所述, 实数a 的取值范围是331a ≤≤……………………………9分(3)因为3()3h x x x =-,所以2()333(1)(1)h x x x x '=-=+-, 所以()h x 在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上递增,在(1,)+∞上递增.①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b ≥⎧⎨≤⎩,此时无解………10分②当111a b ≤--<≤且时,因max ()(1)2h x h b =-=>,矛盾,不合题意…………11分 ③当11a b ≤->且时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内,故22a b ≤-⎧⎨≥⎩,又33()3()3a h a a a b h b b b ⎧≤=-⎨≥=-⎩,解得202202a a b b -≤≤≥⎧⎨≤≤≤⎩或或,从而22a b =-⎧⎨=⎩ ………12分 ④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减,()()h b ah a b≥⎧⎨≤⎩ (*),而,a b Z ∈,经检验,均不合(*)式……………………………13分⑤当111a b -<≤≥且时,因min ()(1)2h x h a ==-<,矛盾,不合题意…………14分 ⑥当1b a >≥时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b≥⎧⎨≤⎩,此时无解 ……………15分综上所述,所求整数,a b 的值为2,2a b =-=…………………16分8、（南通市2013届高三期末）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，()ABCD AB AD >为长方形薄板，沿AC 折叠后，AB '交DC 于点P ．当△ADP 的面积最大时最节能，凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好．（1）设AB =x 米，用x 表示图中DP 的长度，并写出x 的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ABCD（第17题）B 'P解：（1）由题意，AB x =，2BC x =-．因2x x >-，故12x <<． …………2分设DP y =，则PC x y =-．因△ADP ≌△CB P '，故PA PC x y ==-．由 222PA AD DP =+，得 2221()(2)2(1)x y x y y x -=-+⇒=-，12x <<．……5分（2）记△ADP 的面积为1S ，则11(1)(2)S x x=-- ………………………………………………………………6分23()222x x=-+≤-，当且仅当2x =∈(1，2)时，S 1取得最大值．……………………………………8分故当薄板长为2米，宽为22-米时，节能效果最好． ……………………9分（3）记△ADP 的面积为2S ，则221114(2)(1)(2)3()22S x x x x x x=-+--=-+，12x <<．…………………………10分于是，33222142(2)022x S x x x x-+'=--==⇒=．……………………………11分关于x 的函数2S 在3(1,2)上递增，在3(2,2)上递减．所以当32x =时，2S 取得最大值． …………………………13分故当薄板长为32米，宽为322-米时，制冷效果最好． ………………………14分9、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x （1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围. ⑴因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，…………………………………………2分又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =． …………4分 ⑵由⑴，()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， ………………………………8分又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+．………………………………………………10分 ⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．……………………………………………12分又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,0)-∞0 (0,)∞+ ()f x '-+()f x减函数极小值增函数所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a aa--=--=--+++，令1()2ln (0)g a a a a a =-->，因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．………………………………………14分所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10ea <≤．综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+U ．………………………………16分10、（泰州市2013届高三期末）已知函数f(x)=(x-a)2()x b -,a,b 为常数，（1）若a b ≠,求证：函数f(x)存在极大值和极小值（2）设（1）中 f(x) 取得极大值、极小值时自变量的分别为12,x x ，令点A 11(,()x f x )，B 22(,()x f x ),如果直线AB 的斜率为12-，求函数f(x)和/()f x 的公共递减区间的长度（3）若/()()f x mf x ≥对于一切x R ∈ 恒成立，求实数m,a,b 满足的条件解：（1）[])2(3)()(/b a x b x x f +--= …………………………………………………1分b a ≠Θ32b a b +≠∴0)(,=∴x f 有两不等 b 和32ba + ∴f （x ）存在极大值和极小值 ……………………………….……………………………4分（2）①若a =b ，f （x ）不存在减区间②若a >b 时由（1）知x 1=b ，x 2=32ba + ∴A （b ,0）B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+9)(2,322b a b a 21329)(22-=-+-∴b b a b a ∴)(3)(22b a b a -=- 23=-∴b a○3当a <b 时 x 1=32ba +,x 2=b 。

江苏省13大市2013高三数学上学期期末试题分类汇编三角函数苏教版

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ．答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +)(0<<)的图象关于点(3，0)中心对称，则＝ ▲ . 答案：3;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 ▲ . 答案：6π4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，AC 的长度为．答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．8、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ．答案：19、（镇江市2013届高三期末）在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ．答案：－1 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-．（1）求sin()αβ-的值；（2）求cos β的值．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 2、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值； (2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A 0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 22ac cos B 2ac 23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. (14)3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若cos(A ＋6π)＝sinA ，求A 的值； (2)若cosA ＝14，4b ＝c ，求sinB 的值．4、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1）求角A 值；（2）求C B cos sin 3-的最大值.解：⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C -2cos()3B B π--1(cos )2B B B =--sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分6、（苏州市2013届高三期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．（苏州市2013届高三期末）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．C B A D7、（泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编数列苏教版

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ．答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212log log a a += ▲ . 答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲ 答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ．答案：±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++=2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末）观察下列等式： 31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n n ＋1×12n ＝ ▲ ．答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=．设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)36n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =，所以，最大的3a =………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*，故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba+1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1. ∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba+1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分而数列{}n b 的前n项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时,11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩ ……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时, 114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,74t ≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列, 则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3m m t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分综上所述,t ≤≤234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分 (3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分所以，213()33q p p q =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列，于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当0≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当0<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1）求数列}{n n b a +的通项公式；（2）若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出b a ,满足的条件；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=，故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾，故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分 22133()114434n n n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈ (1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合（2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值（3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n) (1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立，当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ，（nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17） (12)分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n(n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--不等式Word版含答案

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编不等式1、（常州市2013届高三期末）已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，则x y +的取值范围是 ▲ ．答案：56⎧⎫⎨⎬⎩⎭2、（连云港市2013届高三期末）关于x 的不等式x 2-ax +2a <0的解集为A ，若集合A 中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ▲ .答案：125[1,)(,9]33--U3、（南京市、盐城市2013届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x , 则目标函数23z x y =+的最大值为 ▲答案：264、（南通市2013届高三期末）已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，则λ的最大值为 ▲ ．答案：－2．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+++≥≥0,12,0k y x x y x （k为常数），若目标函数y x z +=2的最大值是311，则实数k 的值是 ▲ . 答案：－36、（苏州市2013届高三期末）已知()1f x x x =+，则11()()42f x f -<的解集是．答案：7、（无锡市2013届高三期末）已知变量x ，y 满足约束条件004x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示平面区域M ，若-4≤a≤t 时，动直线x+y=a 所经过的平面区域M 的面积为7．则t= ．答案：28、（扬州市2013届高三期末）设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥52420y x y x x ，则y x z -=2的最大值是 ▲ ．答案：39、（镇江市2013届高三期末）已知x ，y 为正数，则22x yx y x y+++的最大值为 ▲ ．答案：3210、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,，01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ 答案：37(,]6-∞ 11、（苏州市2013届高三期末已知实数x ，y 满足不等式20403x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3322x y x y +的取值范围是．答案：。

江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编16：不等式选讲 Word版含答案.pdf

江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编16：不等式选讲一、解答题．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）选修4-5(不等式选讲)已知x,y均为正数,且x>y,求证:. 【答案】选修4-5(不等式选讲)已知x,y均为正数,且x>y,求证:. 解:因为x>0,y>0,x-y>0,=, 所以．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知为正数,且满足,求证:. 【答案】D.由柯西不等式,得．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）D.(选修4—5:不等式选讲) 已知均为正数,求证:. 【答案】D. 证明:由柯西不等式得则,即．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）D.选修4—5:不等式选讲设都是正数, 且, 求证:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤. 【答案】解:因为是正数,所以同理,将上述不等式两边相乘, 得, 因为,所以．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数(). (Ⅰ)当时,已知,求的取值范围;(Ⅱ)若的解集为或,求的值.【答案】．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）D.(不等式选讲) 已知x,y,z均为正数.求证:. 【答案】D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.证明:因为x,y,z均为正数,所以, 同理得(当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立),将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得. ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc）(不等式选做题) 设x,y均为正数,且x>y,求证:2x+≥2y+3. 【答案】证明:由题设x>0,y>0,x>y,可得x-y>0 因为2x+-2y=2(x-y)+=(x-y)+(x-y)+ . 又(x-y)+(x-y) +,等号成立条件是x-y=1 . 所以,2x+-2y≥3,即2x+≥2y+3 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））选修4—5:不等式选讲已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=+-1==因边a+b=2,所以左边-右边=因为a,b都是正实数,所以ab≤=1 所以,左边-右边≥0,即+≥1 方法二:由柯西不等式,得(+)[(2+()2]≥(a+b)2 因为a+b=2,所以上式即为(+)×4≥4.即+≥1 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设f(x)=|x-a|,a∈R. ①当-1≤x≤3时，f(x)≤3，求a的取值范围； ②若对任意x∈R，f(x-a)+f(x+a)≥1-2a恒成立，求实数a的最小值．【答案】．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）D、(不等式选做题) 设a,b,c,d∈R,求证:+≥,等号当且仅当ad=bc时成立.【答案】D、(不等式选做题)证明由柯西不等式(a+b)(c+d)≥(ac+bd),得≥| ac+bd |≥ac+bd.将上式两边同时乘以2,再将两边同时加上a+b+c+d,有(a+b)+2+(c+d)≥(a+c)+(b+d), 即 (+)≥(), 所以,+≥ 由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知,原不等式中等号当且仅当ad=bc时成立．（2013年江苏省高考数学押题试卷）选修4—5 不等式证明选讲证明:对任意正数a≠b的算术平均A=有B<。

江苏省2013届高三最新数学(精选试题26套)分类汇编6：不等式

【答案】(-3,2)
3 ．（江苏省常州市武进高级中学 2013 年高考数学文科）冲刺模拟试卷 doc）点 P ( x, y ) 在不等式组
x 0, x y 3, y x 1
表示的平面区域内,若点 P ( x, y ) 到直线 y kx 1 的最大距离为 2 2 ,则 k ___ .
2mx m 2 2 , m 0, m R, x R .若 x1 x2 1 ,则
_____.
【答案】 1
f ( x1 ) 的取值范围是 f ( x2 )

2 ,2 2 2
→ →
16．（江苏省西亭高级中学 2013 届高三数学终考卷）设向量OA=(0,1), OB=(1,1)，O 为坐标原点，动点 P(x,y)
1
xy
的最小值是
___________. 【答案】 12
11 ．（江苏省常州高级中学 2013 年高考数学模拟试卷）定义 : min {x,y} 为实数 x,y 中较小的数 . 已知
h min a， 2 b 2 ,其中 a,b 均为正实数,则 h 的最大值是_________. a 4b
x ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是 x ＋3x＋1
2
________.
【答案】a≥
1 5
6 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学 2013 年高考数学冲刺模拟试卷）定义区间
c, d , c, d , c, d , c, d 的长度均为d c，其中d c. 若
【答案】 1 4 ．（江苏省启东中学 2013 届高三综合训练（1））设 a

江苏省13大市高三上学期期末数学试题分类汇编--数列含答案 (1)

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ．答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212log log a a += ▲ .答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ．答案：42±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且122012111a a a +++=2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末）观察下列等式：31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝ ▲ ．答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=．设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)36n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+，要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值. 从而最大的63761d +=，所以，最大的373761a +=………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．(1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*，故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba +1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1.∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba +1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分而数列{}n b 的前项和为3n nS t =-,所以当2n ≥时, 11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,59759774t ---+≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列,则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3mm t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分综上所述,597597t ---+≤≤234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分所以，213()33q p p q =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列，于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1）求数列}{n n b a +的通项公式；（2）若对任意的正整数，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出ba ,满足的条件；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=，故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾，故不存在，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合（2）n16,求数列nnb a 的最大值和最小值（3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n)(1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立，当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ，（nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17）……………….……..……………….12分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n (n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0S16=S14m=7，n=8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n}中，a1=2，n∈N+，a n>0，数列{a n}的前n项和S n，且满足1122nn naS S++=-。

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江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
1、(常州市2013届高三期末)空间内有个平面，设这个平面最多将空间分成个部分.
(1)求;
(2)写出关于的表达式并用数学归纳法证明.
解：(1);
(2).证明如下：
当时显然成立，
设时结论成立，即，
则当时，再添上第个平面，因为它和前个平面都相交，所以可得条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这条交线可以把第个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了个，，
1。

江苏省2013届最新高三数学(精选试题26套)分类汇编16 不等式选讲

江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编16：不等式选讲一、解答题1 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）选修4-5(不等式选讲)已知x ,y 均为正数,且x >y ,求证:2212232x y x xy y ++-+≥. 【答案】选修4-5(不等式选讲) 已知x ,y 均为正数,且x >y ,求证:2212232x y x xy y ++-+≥.解:因为x >0,y >0,x -y >0,22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-=21()()()x y x y x y -+-+-3≥,所以2212232x y x xy y ++-+≥2 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知,,a b c 为正数,且满足22cos sin a b c θθ+<,求证22θθ【答案】D.由柯西不等式,得22θθ+11222222))](cos sin )θθθθ++≤ 1222(cos sin )a b θθ=+<3 ．（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）D.(选修4—5:不等式选讲)已知x y z 、、均为正数,求证:111()3x y z ++≤. 【答案】D. 证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++111x y z ≥++,111()x y z ++≤ 4 ．（江苏省常州市华罗庚高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）D.选修4—5:不等式选讲设n a a a ,,,21 都是正数, 且121=⋅n a a a , 求证:()()()n n a a a 211121≥+++ . 【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字证明、说明过程或演算步骤.【答案】解:因为1a 是正数,所以111a a +≥2同理1(2,3,)j j a a j n +=≥2,将上述不等式两边相乘,得1212(1)(1)(1)n n na a a a a a +++⋅⋅⋅⋅≥2,因为121n a a a ⋅⋅⋅=,所以12(1)(1)(1)n n a a a +++≥25 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数()|3|||f x x x a =++- (0a >).(Ⅰ)当4a =时,已知()7f x =,求x 的取值范围;(Ⅱ)若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥,求a 的值.【答案】6 ．（江苏省常州高级中学2013年高考数学模拟试卷）D.(不等式选讲)已知x ,y ,z 均为正数.求证:111yx z yz zx xy x y z++++≥.【答案】D.命题立意:本题主要考查证明不等式的基本方法,考查推理论证能力.证明:因为x ,y ,z 均为正数,所以()12yx y x y x yz zx z z++=≥,同理得22yz z x zx xy x xy yz y++≥，≥(当且仅当x =y =z 时,以上三式等号都成立),将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111yx z yz zx xy x y z++++≥.7 ．（江苏省常州市横山桥中学2013年高考数学冲刺模拟试卷doc ）(不等式选做题)设x ,y 均为正数,且x >y ,求证:2x +1x 2－2xy ＋y2≥2y +3.【答案】证明:由题设x >0,y >0,x >y ,可得x -y >0 因为2x +1x 2－2xy ＋y 2-2y =2(x -y )+1 (x －y )2=(x -y )+(x -y )+1(x －y )2.又(x -y )+(x -y ) +1 (x －y )223213()3()x y x y -=-≥,等号成立条件是x -y =1.所以,2x +1x 2－2xy ＋y 2-2y ≥3,即2x +1x 2－2xy ＋y2≥2y +38 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））选修4—5:不等式选讲已知a ,b 都是正实数,且a +b =2,求证:a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=a 2a ＋1+b 2b ＋1-1=a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)=a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)因边a +b =2,所以左边-右边=1－ab(a ＋1)(b ＋1)因为a ,b 都是正实数,所以ab ≤(a ＋b )24=1所以,左边-右边≥0,即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1方法二:由柯西不等式,得 (a 2a ＋1+b 2b ＋1)[(a ＋1)2+ (b ＋1)2]≥(a +b )2因为a +b =2,所以上式即为(a 2a ＋1+b 2b ＋1)×4≥4.即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥19 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设f (x )=|x -a |,a ∈R .①当-1≤x ≤3时，f (x )≤3，求a 的取值范围；②若对任意x ∈R ，f (x -a )+f (x +a )≥1-2a 恒成立，求实数a 的最小值．【答案】略10．（南京师大附中2013届高三模拟考试5月卷）D 、(不等式选做题)设a ,b ,c ,d ∈R,求证:a 2＋b 2+c 2＋d 2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2,等号当且仅当ad =bc时成立.【答案】D 、(不等式选做题)证明由柯西不等式 (a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,得(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥| ac +bd|≥ac +bd .将上式两边同时乘以2,再将两边同时加上a 2+b 2+c 2+d 2,有 (a 2+b 2)+2(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)+(c 2+d 2)≥(a +c )2+(b +d )2, 即 (a 2＋b 2+c 2＋d 2)2≥((a ＋c )2＋(b ＋d )2)2,所以,a 2＋b 2+c 2＋d 2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2由柯西不等式中等号成立的条件及上述推导过程可知,原不等式中等号当且仅当ad =bc 时成立11．（2013年江苏省高考数学押题试卷）选修4—5 不等式证明选讲证明:对任意正数a ≠b 的算术平均A =a +b 2与几何平均B =ab 有B <(a －b )28(A －B )<A .【答案】选修4—5 不等式证明选讲证明因为B <A ,所以B <A +B2<A ,而(a －b )28(A －B )=(a 2－b 2)24(a －b 2)=(a +b )24=A +B 2,所以 B <A +B 2<A .。

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编三角函数苏教版

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ．答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +ϕ)(0<ϕ<π)的图象关于点(π3，0)中心对称，则ϕ＝ ▲ . 答案：π3;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 ▲ . 答案：6π4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .2-5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，，则AC 的长度为．答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．8、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ．答案：19、（镇江市2013届高三期末）在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ．答案：－1 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-．（1）求sin()αβ-的值；（2）求cos β的值．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 2、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值； (2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. (14)3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若cos(A ＋6π)＝sinA ，求A 的值； (2)若cosA ＝14，4b ＝c ，求sinB 的值．4、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）在△A B C ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1）求角A 值；（2）求C B cos sin 3-的最大值.解：⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=cos B C -2cos()3B B π=--1(cos )2B B B =--sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=cos B C -的最大值为1． ……………………14分6、（苏州市2013届高三期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．（苏州市2013届高三期末）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．C B A D7、（泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编平面向量苏教版

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编平面向量1、（常州市2013届高三期末）已知向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，则向量a ，b 的夹角的大小为 ▲ ．答案：p2、（连云港市2013届高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆(x -1)2+(y -1)2＝4，C为圆心，点P 为圆上任意一点，则OP CP ⋅的最大值为 ▲ . 答案：4+22; 3、（南京市、盐城市2013届高三期末）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则⋅= ▲ ．答案：04、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，若AB =1，AC=，||||AB AC BC +=，则||BA BC BC ⋅= ▲ ．答案：12． 5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，在等腰三角形ABC 中，已知F E A AC AB ,,120,1︒===分别是边AC AB ,上的点，且,,AC n AF AB m AE ==其中),1,0(,∈n m 若BC EF ,的中点分别为,,N M 且,14=+n m 的最小值是 ▲.6、（苏州市2013届高三期末）已知向量a ，b ，满足1a =，()(2)0a b a b +-=，则b 的最小值为．127、（无锡市2013届高三期末）已知向量a=（-2，2），b=（5，k ）．若|la+b|不超过5，则k 的取值范围是AMNECF第14题图8、（扬州市2013届高三期末）已知向量()()k ,1,1,2-==，若⊥，则k 等于 ▲ ．答案：29、（镇江市2013届高三期末）已知向量(12,2)a x =-，()2,1b -=，若a b ⊥，则实数x = ▲ ．答案：09、（镇江市2013届高三期末）在菱形ABCD 中，AB =,23B π∠=,3BC BE =,3DA DF =,则EF AC ⋅= ▲ ．答案：－1210、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值；(2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. ………………………………14分 11、（泰州市2013届高三期末）已知向量a=(cos λθ,cos(10)λθ-),b=(sin(10)λθ-,sin λθ),,R λθ∈ (1)求22a b +的值（2）若a b ⊥，求θ （3）20πθ=，求证：a b解：（1）∵｜a ｜=cos 2λθ+cos 2(10-λ)θ ，｜b ｜=sin 2(10-λ)θ+sin 2λθ （算1个得1分）｜a ｜2+｜b ｜2=2，………………………………………………………………4分（2）∵a ⊥b，∴cos λθ·sin(10-λ)θ +cos(10-λ) θ·sin λθ=0∴sin ((10-λ) θ+λθ)=0，∴sin10θ=0…………………………………………7分∴10θ=k π，k ∈Z ，∴θ=10πk ，k ∈Z (9)分（3）∵θ=20π, cos λθ·sin λθ－cos(10-λ) θ·sin［(10－λ) θ］=cos 20λπ·sin 20λπ－cos （2π－20λπ）·sin(2π－20λπ)=cos20λπ·sin20λπ-sin20λπ·cos20λπ=0，∴a ∥b (14)分12、（无锡市2013届高三期末）已知向量(sin ,1)m x =-，向量1(3cos ,)2n x =，函数()()f x m n =+·m 。

江苏省各地市2013年高考数学最新联考试题分类汇编(6) 不等式

13.(江苏省无锡市2013年2月高三质量检测)已知函数f(x)＝x2＋，若x<0时恒有f(x)≥3，则实数a的取值范围是▲．
【答案】(－∞，-2]
1、（常州市2013届高三期末）已知实数同时满足，，，则的取值范围是▲．
答案：
2、（连云港市2013届高三期末）关于x的不等式x2ax+2a<0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是▲.
7、（镇江市2013届高三期末）已知函数在区间上是增函数.
（1）求实数的取值范围；
（2）若数列满足，，Ｎ*，证明．
(Ⅰ)求该超市日销售额y(万元)与时间t(天)的函数关系式；
(Ⅱ)求该超市日销售额的最小值．
17．解：(Ⅰ)由题日销售额y＝f(t)•g(t)＝(1＋)(84－|t－20|)
＝，t∈N*-----------5分
(Ⅱ)①当1≤t≤20且t∈N*时，y＝t＋＋68≥2＋68＝100，
当且仅当t＝即t＝16时取等号；013年3月高三第二次模拟）（本小题满分10分）
已知数列满足，。
（1）证明：（）；
（2）证明：。
23.（1）因为所以
假设当时，因为，
所以，由数学归纳法知，当时 .………………5分
（2）由（1）知，得，
所以所以即
所以，以此类推，得，问题得证.…………10分
5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1270元.
(每平方米平均综合费用＝)．
（1）求k的值；
（2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？
23．（江苏省南通市2013届高三第二次调研）必做题,本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编三角函数苏教版

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编三角函数一、填空题1、（常州市2013届高三期末）函数(1)()cos cos22x x f x -=的最小正周期为 ▲ ．答案：22、（连云港市2013届高三期末）如果函数y ＝3sin(2x +ϕ)(0<ϕ<π)的图象关于点(π3，0)中心对称，则ϕ＝ ▲ . 答案：π3;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）将函数sin(2)3y x π=-的图像向左平移ϕ()0>ϕ个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则ϕ的最小值为 ▲ . 答案：6π4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知角ϕ的终边经过点)1,1(-P ，点),(),,(2211y x B y x A 是函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图象上的任意两点，若2)()(21=-x f x f 时，21x x -的最小值为3π，则)2(πf 的值是 ▲ .2-5、（苏州市2013届高三期末）（苏州市2013届高三期末）已知θ为锐角，4sin(15)5θ+=，则cos(215)θ-= ．6、（无锡市2013届高三期末）在△ABC 中，∠A=45o，∠C=105o，2，则AC 的长度为．答案：17、（扬州市2013届高三期末）在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且5,3,sin 2sin a b C A ===，则sin A = ▲ ．5 8、（镇江市2013届高三期末）5. 已知0ω>,函数3sin()4y x πωπ=+的周期比振幅小1,则ω= ▲ ．答案：19、（镇江市2013届高三期末）在△ABC 中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ▲ ．41-10、（南京市、盐城市2013届高三期末）在ABC ∆中, 若9cos 24cos 25A B -=, 则BCAC的值为 ▲ ．2311、（南京市、盐城市2013届高三期末）若x ,y 满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()22y e xy y xy +=-+, 则cos 4y x 的值为 ▲ ．答案：－1 二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-．（1）求sin()αβ-的值；（2）求cos β的值．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-=． ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 2、（连云港市2013届高三期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c cos B +b cos C ＝3a cos B .(1)求cos B 的值； (2)若→BA ⋅→BC ＝2，求b 的最小值. 解:(1)因为c cos B +b cos C =3a cos B ,由正弦定理,得sin C cos B +sin B cos C =3sin A cos B ,即sin(B +C )=3sin A cos B . ………………………………5分又sin(B+C )=sin A ≠0,所以cos B =13. ……………………………7分(2)由→BA ⋅→BC =2,得ac cos B =2,所以ac =6. ………………………9分由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ≥2ac -23ac =8,当且仅当a =c 时取等号,故b 的最小值为2 2. (14)3、（南京市、盐城市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．(1)若cos(A ＋6π)＝sinA ，求A 的值； (2)若cosA ＝14，4b ＝c ，求sinB 的值．4、（南通市2013届高三期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………11分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．……………14分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++ （1）求角A 值；（2）求C B cos sin 3-的最大值.解：⑴因为(sin sin sin )(sin sin sin )3sin sin A B C B C A B C +++-=，由正弦定理，得()()3a b c b c a bc +++-=，…………………………………………2分所以222b c a bc +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，………………………………4分因为(0,)A ∈π，所以3A π=．…………………………………………………………6分⑵ 由3A π=，得23B C π+=，所以3sin cos B C -23sin cos()3B B π=--133sin (cos sin )22B B B =--+sin()6B π=+，……………………………………10分因为203B π<<，所以666B ππ5π<<+，……………………………………………12分当62B ππ=+，即3B π=时，3sin cos B C -的最大值为1． ……………………14分6、（苏州市2013届高三期末）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，（其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上有一个最低点为2(,3)3M π- （1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()4y f x f x π=++的最大值及对应x 的值．（苏州市2013届高三期末）在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直，灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且120ABC ∠=，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知60ACD ∠=，路宽24AD =米，设灯柱高AB h =（米），ACB θ∠=（3045θ≤≤）（1）求灯柱的高h （用θ表示）；（2）若灯杆BC 与灯柱AB 所用材料相同，记此用料长度和为S ，求S 关于θ的函数表达式，并求出S 的最小值．C B A D7、（泰州市2013届高三期末）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，AB ＝1，BC ＝2，现要将些铁皮剪出一个等腰三角形PMN ，其底边MN ⊥BC 。

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编AqqPHU

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ．答案：2324n n ⋅--2、（连云港市2013届高三期末）正项等比数列{a n }中，311a a =16，则22212log log a a += ▲ .答案：43、（南京市、盐城市2013届高三期末）在等差数列{}n a 中, 若9753=++a a a , 则其前9项和9S 的值为 ▲答案：274、（南通市2013届高三期末）若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104，则a 5与a 7的等比中项为 ▲ ．答案：42±．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若62,256382-==S a a a a ，则1a 的值是 ▲ .答案：－26、（扬州市2013届高三期末）数列{}n a 满足111,1(1)n n n a a a a +>-=-，()n N +∈，且 122012111a a a +++L =2，则201314a a -的最小值为 ▲ ．答案：27-7、（镇江市2013届高三期末）在等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，已知5423a S =+，6523a S =+，则此数列的公比q 为 ▲ ．答案：3;8、（镇江市2013届高三期末）观察下列等式：31×2×12＝1－122， 31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝ ▲ ．答案：()nn 2111⋅+-二、解答题1、（常州市2013届高三期末）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =．（1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．答案：解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=．设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得2(10)362n m m n d -++--=（舍去负根）.35a d =+Q ，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈Q ，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的637612d +=，所以，最大的3737612a +=………16分 2、（连云港市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2＝a (a 为非零常数)，其前n 项和S n 满足：S n ＝n (a n －a 1)2(n ∈N*).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＝2，且21114m n a S -=，求m 、n 的值；(3)是否存在实数a 、b ，使得对任意正整数p ，数列{a n }中满足n a b p +≤的最大项恰为第3p －2项?若存在，分别求出a 与b 的取值范围；若不存在，请说明理由．(1)证明:由已知，得a 1=S 1=1⋅(a 1－a 1)2=0，∴S n =na n2， ………………………2分则有S n +1=(n +1)a n +12，∴2(S n +1－S n )=(n +1)a n +1－na n ，即(n －1)a n +1=na n n ∈N*， ∴na n +2=(n +1)a n +1，两式相减得，2a n +1=a n +2+a n n ∈N*， ……………………………4分即a n +1－a n +1=a n +1－a n n ∈N*，故数列{a n }是等差数列.又a 1=0，a 2=a ，∴a n =(n －1)a . ………………………………6分 (2)若a =2，则a n =2(n －1)，∴S n =n (n -1).由21114m n a S -=，得n 2-n +11=(m -1)2，即4(m -1)2－(2n -1)2=43， ∴(2m +2n -3)(2m －2n -1)=43. ………………………………8分 ∵43是质数， 2m +2n -3>2m －2n -1， 2m +2n -3>0， ∴⎩⎨⎧2m －2n －1=12m +2n －3=43，解得m =12，n =11. ………………………………10分 (III)由a n +b ≤p ，得a (n －1)+b ≤p .若a <0，则n ≥p －ba +1，不合题意，舍去; ……………………………11分若a >0，则n ≤p －ba+1.∵不等式a n +b ≤p 成立的最大正整数解为3p －2，∴3p －2≤p －ba +1<3p －1， ………………………………13分即2a －b <(3a －1)p ≤3a －b ，对任意正整数p 都成立.∴3a －1=0，解得a =13， ………………………………15分此时，23－b <0≤1－b ，解得23<b ≤1.故存在实数a 、b 满足条件， a 与b 的取值范围是a =13，23<b ≤1. ………16分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列；数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1n n c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立（其中2≥k , *∈N k ）, 试求实数的取值范围．答案：解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-…………2分而数列{}n b 的前n 项和为3n nS t =-,所以当2n ≥时, 11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩……………………4分 (2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =- ………………5分对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-,令1*32n nc N -=+∈,则116(23)12n n c n a b -+=+-=,所以命题成立 …7分数列{}n c 的前n 项和13112321322nn n T n n -=+=⨯+-- …………………9分(3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时,114(12)34(2)3n n n n d d n t n t ++-=+---38[(2)]32n n t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,解得5975977444t ---+≤≤<,………13分②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =…………………14分③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列,则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3mm t m t m +-=--,解得234m t +=…………15分综上所述,的取值范围是59759744t ---+≤≤或234m t +=(,2)m N m ∈≥……16分4、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 2=1，前n 项和为S n ，且1()2n n n a a S -=．（1）求a 1；（2）证明数列{a n }为等差数列，并写出其通项公式；（3）设1lg 3n n na b +=，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n =1，则a 1=S 1=111()2a a -=0． ………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=，即2n n naS =， ① 得 11(1)2n n n a S +++=． ② ②－①，得 1(1)n n n a na +-=． ③ 于是，21(1)n n na n a ++=+．④③+④，得212n n n na na na +++=，即212n n n a a a +++=． …………………………7分又a 1=0，a 2=1，a 2－a 1=1，所以，数列{a n }是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n =n －1． ………………………………………………………………9分(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是，21333p qp q=+． ……………………………………………………11分所以，213()33q p p q =-(☆)．易知(p ，q )=(2，3)为方程(☆)的一组解． ………………………………………13分当p ≥3，且p ∈N *时，112(1)224333p p p p p p +++--=<0，故数列{23pp}(p ≥3)为递减数列，于是2133pp -≤323133⨯-<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p ，q )=(2，3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． …………16分注在得到③式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分．但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的，扣1分．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知,0,0<>b a 且,0≠+b a 令,,11b b a a ==且对任意正整数k ，当≥+k k b a 时，;43,412111k k k k k b b b a a =-=++当<+k k b a 时，.43,214111k k k k k a a b a b =+-=++（1）求数列}{n n b a +的通项公式；（2）若对任意的正整数n ，0<+n n b a 恒成立，问是否存在b a ,使得}{n b 为等比数列？若存在，求出ba ,满足的条件；若不存在，说明理由；（3）若对任意的正整数,0,<+n n b a n 且,43122+=n n b b 求数列}{n b 的通项公式. ⑴当0n n a b +≥时，11124n n n a a b +=- 且134n n b b +=，所以111131()2442n n n n n n n a b a b b a b +++=-+=+，……………………………………2分又当0n n a b +<时，11142n n n b a b +=-+且134n n a a +=，113111()4422n n n n n n n a b a a b a b +++=-+=+，…………………………………………4分因此，数列{}n n b a +是以b a +为首项，12为公比的等比数列，所以，n n b a +11()2n a b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．………………………………………………………5分⑵因为0n n a b +<，所以n n a a 431=+，所以134n n a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11()2n n n b a b a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1113()24n n a b a --⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，…………………………………8分假设存在a ，b ，使得{}n b 能构成等比数列，则1b b =，224b a b -=，34516b ab -=，故2245()()416b a b ab --=，化简得0=+b a ，与题中0a b +≠矛盾，故不存在a ，b 使得{}n b 为等比数列． ……………………………………………10分 ⑶因为0n n a b <+且12243+=n n b b ，所以121222141--+-=n n n b a b 所以1243+n b 21212121211113142444n n n n n a b a b b -----=-+=-+-所以2121212131()()44n n n n b b a b +----=-+，……………………………………………12分由⑴知，2221211()2n n n a b a b ---⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以222121132n n n a b b b -+-+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭)()(321213112----+-+=n n n b b b b b b Λ246241111132222n a b b -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L11114()141139414n n a b a b b b --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎡⎤++⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，…………………………………13分22133()114434nn n a b b b b +⎡⎤+⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，………………………………………………14分所以，1224()11,943()1-1,434n n na b b n b a b b n -⎧⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥-- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪+⎛⎫⎢⎥⎪- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎣⎦⎩．为奇数时,为偶数时…………………………………16分6、（苏州市2013届高三期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n a S An Bn +=++（0A ≠）．（1）若132a =，294a =，求证数列{}n a n -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值．7、（泰州市2013届高三期末）已知数列16n a n =-,(1)15nn b n =--,其中*n N ∈(1)求满足1n a +=n b 的所有正整数n 的集合（2）n ≠16,求数列nnb a 的最大值和最小值（3）记数列{}n n a b 的前 n 项和为n S ，求所有满足22m n S S =（m<n ）的有序整数对(m,n)(1)a n +1=｜b n ｜，n －15=｜n －15｜，当n ≥15时,a n +1=｜b n ｜恒成立，当n <15时,n －15=－(n －15) ，n =15n 的集合{n ｜n ≥15,n ∈N *}……………………………………….…………….…………….4分(2)nn a b =1615)1(---n n n(i)当n>16时，n 取偶数n n a b =1615--n n =1+161-n当n=18时（nn a b ）max =23无最小值n 取奇数时nn a b =-1-161-n n=17时（nna b ）min =-2无最大值 ……………………………………………………………8分 (ii)当n<16时，nna b =16)15()1(---n n n当n 为偶数时nn a b =16)15(---n n =-1-161-nn=14时（nn a b ）max =-21（n n a b ）min =-1413当n 奇数n n a b =1615--n n =1+161-n ， n=1 ，（nn a b ）max =1-151=1514，n =15，（nna b ）min =0 ………………………………………………11分综上，nn a b 最大值为23（n =18）最小值-2（n =17）……………….……..……………….12分(3)n≤15时，b n =(-1)n-1(n-15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (16-2k )≥0 ，n >15时，b n =(-1)n (n -15)，a 2k -1b 2k -1+a 2k b 2k =2 (2k -16) >0，其中a 15b 15+a 16b 16=0∴S 16=S 14 m =7， n =8…………………………………………………………….16分8、（无锡市2013届高三期末）已知数列{a n }中，a 1=2，n ∈N +，a n >0，数列{a n }的前n 项和S n ，且满足1122n n n a S S ++=-。

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编数学归纳法与二项式定理苏教版

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数学归纳法与二项式定理1、（常州市2013届高三期末）空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分.（1）求1234,,,a a a a ；（2）写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明. 解：（1）12342,4,8,15a a a a ====；（2）31(56)6n a n n =++.证明如下：当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++，则当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，2321111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]262k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++ 31[(1)5(1)6)]6k k =++++，即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++. 2、（南京市、盐城市2013届高三期末）已知n x x f )2()(+=, 其中*N n ∈．(1)若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值；(2)当3=x 时, 求证：)(x f *)s N +∈的形式.解: (1)因为28812r rr r x C T-+=,所以6=r ，故3x 项的系数为14266=⋅-n n C ，解得7=n ………5分(2)由二项式定理可知,01201122(22222nnnn n n nnnnC C C C --=++++,设(2n x +=+=(2n +=+,a b N *∈，则(2n ,a b N *∈…………………………………………………………7分∵(2(21n n +⋅=+⋅-=，∴令,a s s N *=∈，则必有1b s =-……………………………………………………9分∴(2n +的形式，其中s N *∈ ……………………………10分注：用数学归纳法证明的，证明正确的也给相应的分数． 3、（南通市2013届高三期末）已知数列{a n }满足：1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N ．（1）若1a =-，求数列{a n }的通项公式；（2）若3a =，试证明：对*n ∀∈N ，a n 是4的倍数．解：(1)当1a =-时，1114,(1)1n a n a a -+=-=-+．令1n n b a =-，则115,(1)n b n b b +=-=-．因15b =-为奇数，n b 也是奇数且只能为1-，所以，5,1,1,2,n n b n -=⎧=⎨-≥⎩即4,1,0, 2.n n a n -=⎧=⎨≥⎩…………………………………3分(2)当3a =时，1114,31n a n a a -+==+． ……………………………………………4分下面利用数学归纳法来证明：a n 是4的倍数．当1n =时，1441a ==⨯，命题成立；设当*()n k k =∈N 时，命题成立，则存在t ∈N *，使得4k a t =，1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=⋅-+27(41)14(277)m m =⋅++=+，其中，4(1)14544434(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t rt t t t m --------=-⋅++-⋅+-⋅，m ∴∈Z ，∴当1n k =+时，命题成立．∴由数学归纳法原理知命题对*n ∀∈N 成立． ………………………………10分4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a（1）计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2）求证：当2≥n 时，.4n nnn a ≥ 证明：⑴24a =，35a =，46a =，猜想：*2()n a n n =∈+N ．……………………2分①当1n =时，13a =，结论成立；②假设当*(1,)n k k k =∈N ≥时，结论成立，即2k a k =+，则当1n k =+时，22111111=(2)(+2)+1=+3=(+1)+22222k k k a a ka k k k k k +=-+-+，即当1n k =+时，结论也成立，由①②得，数列{}n a 的通项公式为*2()n a n n =∈+N ．5分⑵原不等式等价于2(1)4n n+≥．证明：显然，当2n =时，等号成立；当2n >时，01222222(1)C C C ()C ()n n n n n n n n n n n +=++++012233222C C C ()C ()n n n n n n n+++≥0122222>C C C ()54n n n n n n++=->，综上所述，当2n ≥时，4nn na n ≥．…………………………………………………10分 5、（无锡市2013届高三期末）已知函数f （x ）=12x 2+1nx ．（Ⅰ）求函数f （x ）在区间[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）设g （x ）=f （x ），求证：[()]()22()nnng x g x n N +-≥-∈．6、（扬州市2013届高三期末）已知数列{}n a 是等差数列，且123,,a a a 是1(1)2mx +展开式的前三项的系数. （Ⅰ）求1(1)2mx +展开式的中间项；（Ⅱ）当2n ≥时，试比较2121111n n n n a a a a ++++++与13的大小. 解：（Ⅰ）122111(1)1()()222m m m x C x C x +=+++依题意11a =，212a m =，3(1)8m m a -=，由2132a a a =+可得1m =（舍去），或8m = …………………2分所以1(1)2m x +展开式的中间项是第五项为：44458135()28T C x x ==；…………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，32n a n =-,当2n =时，212234111111111169147101403n n n n a a a a a a a ++++++=++=++=> 当3n =时，212345911111111n n n n a a a a a a a a ++++++=++++ 11111117101316192225=++++++1111111()()7101316192225=++++++ 1111111()()8161616323232>++++++133131181632816163=++>++> 猜测：当2n ≥时，2121111n n n n a a a a ++++++13> …………………6分以下用数学归纳法加以证明：①3n =时，结论成立， ②设当n k =时，212111113k k k k a a a a ++++++>，则1n k =+时，2(1)(1)1(1)2(1)1111k k k k a a a a ++++++++++21)(1)1(1)211111()k k k k k a a a a a +++++=+++++22212(1)1111()kk k k a a a a +++++++-22212(1)11111()3k k k k a a a a +++>++++-21(21)133(1)232k k k +>+-+--221(21)(32)[3(1)2]3[3(1)2][32]k k k k k +--+-=++--2213733[3(1)2][32]k k k k --=++-- 由3k ≥可知，23730k k --> 即2(1)(1)1(1)2(1)111113k k k k a a a a ++++++++++> 综合①②可得，当2n ≥时，212111113n n n n a a a a ++++++> …………………10分7、（镇江市2013届高三期末）已知函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.（1）求实数a 的取值范围；（2）若数列{}n a 满足1(0,1)a ∈，1ln(2)n n n a a a +=-+，n ∈Ｎ* ，证明101n n a a +<<<．解：（1）函数()ln(2)f x x ax =-+在区间(0,1)上是增函数.∴()021≥+--='a xx f 在区间(0,1)上恒成立,……2分 x a -≥∴21,又()xx g -=21在区间(0,1)上是增函数 ()11=≥∴g a 即实数a 的取值范围为1≥a .……3分（2）先用数学归纳法证明10<<n a . 当1=n 时，1(0,1)a ∈成立, ……4分假设k n =时，10<<k a 成立,……5分当1+=k n 时，由（1）知1=a 时，函数()()x x x f +-=2ln 在区间(0,1)上是增函数∴()()k k k k a a a f a +-==+2ln 1 ∴()()()1102ln 0=<<=<f a f f k ,……7分即101<<+k a 成立, ∴当*∈N n 时,10<<n a 成立.……8分下证1+<n n a a . ()101,ln 2ln10.n n n n a a a a +<<∴-=->=……9分1+<∴n n a a . 综上101<<<+n n a a .……10分。

江苏省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编概率苏教版

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编概率一、填空题1、（常州市2013届高三期末）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ▲ ．答案：8152、（连云港市2013届高三期末）．在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 ▲ . 答案：12;3、（南京市、盐城市2013届高三期末）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 ▲ .答案：234、（南通市2013届高三期末）．已知实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图，则输出的x 不小于55的概率为 ▲ ．答案：38．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ . 答案：596、（苏州市2013届高三期末）有5个数成公差不为零的等差数列，这5个数的和为15，若从这5个数中随机抽取一个数，则它小于3的概率是．答案：237、（泰州市2013届高三期末）如图，ABCD 是4⨯5的方格纸，向此四边形ABCD 内抛撒一粒豆子，则豆子恰好落在阴影部分内的概率为答案：0.2 8、（扬州市2013届高三期末）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则x y 2=的概率为 ▲ ．答案：121二、解答题1、（常州市2013届高三期末）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=．解得6n =或5n =-（舍去）故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. 62(1)93P X ===； 361(2)984P X ⨯===⨯；3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：X1234P2314 114184所求数学期望为E （X ）=123+214+3114+4184=10.72、（连云港市2013届高三期末）解：(1)一次从袋中随机抽取3个球,抽到编号为3的小球的概率253612C p C ==.所以，3次抽取中，恰有2次抽到3号球的概率为2223113(1)3()()228C p p -=⨯=. ……………4分(2)随机变量X 所有可能的取值为1,2,3.33361(1)20C P X C ===，12212323369(2)20C C C C P X C +===， 253610(3)20C P X C ===， ……………………………8分所以，随机变量Ｘ的分布列为:X 1 2 3P120920 12故随机变量Ｘ的数学期望Ｅ(X )=191491232020220⨯+⨯+⨯=. …………………10分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）某射击小组有甲、乙两名射手, 甲的命中率为1P 32=, 乙的命中率为2P , 在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测, 在一次检测中, 若两人命中次数相等且都不少于一发, 则称该射击小组为“先进和谐组”. 若2P 21=, 求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；计划在2013年每月进行1次检测, 设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为ξ, 如果5≥ξE , 求2P 的取值范围. 解: (1)可得=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=)2121)(3232()2121)(3132(1212C C P 31……………4分 (2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率为222222212129498)3232()]1()[3132(P P P P P C C P -=⋅+-⋅⋅⋅⋅=,而ξ～),12(P B ,所以P E 12=ξ,由5≥ξE ,知512)9498(222≥⋅-P P ,解得1432≤≤P ………………………………10分 4、（苏州市2013届高三期末）设10件同类型的零件中有2件不合格品，从所有零件中依次不放回地取出3件，以X 表示取出的3件中不合格品的件数．（1）求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率；（2）求X 的概率分布和数学期望()E X ．5、（无锡市2013届高三期末）某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：类别A类B类C类D类顾客数（人）20 30 40 10时间t（分钟／人） 2 3 4 6注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率．（Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．。

江苏省大市高三上学期期末数学试题分类汇编不等式选讲选修含答案

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编不等式选讲1、（常州市2013届高三期末）设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +．2、（连云港市2013届高三期末）解:∵(x +2y +2z )2(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9，当且仅当x 1=y 2=z2时取等号， ……………5分|a －1|3，解得a 4，或a －2. (10)分3、（南京市、盐城市2013届高三期末）设12,,,n a a a ⋅⋅⋅都是正数, 且12n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=1, 求证：12(1)(1)(1)2n n a a a ++⋅⋅⋅+≥.解:因为1a 是正数，所以111a a +≥………………………………………5分同理1(2,3,)j j a a j n +=≥2，将上述不等式两边相乘，得1212(1)(1)(1)n n n a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅≥2,因为121n a a a ⋅⋅⋅=,所以12(1)(1)(1)n n a a a +++≥2……………………………10分4、（南通市2013届高三期末）已知0,0,a b >>且21a b +=，求224S ab a b =-的最大值．解：0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, ……………………………………………2分且122a b ab =+≥24ab ≤，18ab ≤, ……………………………5分∴224S ab a b =--2(14)ab ab =--41ab ab =-212-≤,当且仅当11,42a b ==时，等号成立． ………………………………………10分5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.由柯西不等式，2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥，当且仅当23123x y z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立，所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分 6、（苏州市2013届高三期末）已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a b +=，求证：()()ax by bx ay xy ++≥．答案：7、（泰州市2013届高三期末）D.（本小题满分10分，不等式选讲）若c b a ,,∈R +，+a 2+b 3c =6.(1)求abc 的最大值；(2)求证cc b b a a 236+++++≥12. 解：（１）∵a ,b ,c ∈R +,a +2b +3c =6∴abc =61a ·2b ·3c ≤61 (332c b a ++)3=34当a =2,b =1,c =32时取等号,∴abc 的最大值为34……………………….…..5分(2)∵a a 6++b b 3++c c 2+=3+a 6+b 3+c2y=5y=x+1+x-2O yx 4321-3-2-15321而(a 6+b 3+c 2） (a +2b +3c ) ≥(6+6+6)2=54∴a 6+b 3+c 2≥9 ∴a a 6++b b 3++cc 2+≥12…………………………………..…………………..…….10分8、（无锡市2013届高三期末）已知|x+1|+|x －l|＜4的解集为M ，若a ，b ∈M ，证明：2|a+b|<|4+ab|。

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