北师大版初中数学九年级《二次函数y=a(xx1)(xx2)与一元二次方程》说课稿
北师大版数学九年级下册第二章 2.5二次函数与一元二次方程
北师大版数学九年级下册第二章 2.5二次函数与一元二次方程一、二次函数1. 二次函数的定义二次函数是指具有如下形式的函数：y=ax2+bx+c其中，a、b、c是常数，且a eq0。
二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口向上或向下取决于系数a的正负。
2. 抛物线的顶点二次函数的图像以抛物线的形式出现，其中最高点或最低点被称为顶点。
对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点的横坐标和纵坐标分别为：$$x = -\\frac{b}{2a}$$$$y = f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$$3. 抛物线的对称轴对于二次函数y=ax2+bx+c，其图像的对称轴的方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。
对称轴是抛物线的中线，将抛物线分为两个完全对称的部分。
4. 抛物线的焦点和准线焦点和准线是与抛物线相关的两个重要概念。
在二次函数y=ax2+bx+c中，焦点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = -\\frac{D}{4a}$，其中D=b2−4ac是二次函数的判别式。
准线是与抛物线平行的一条直线，其纵坐标等于焦点的纵坐标减去$\\frac{1}{4a}$，即 $y = -\\frac{D}{4a} - \\frac{1}{4a}$。
5. 抛物线的开口方向二次函数中的参数a决定了抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上。
当a<0时，抛物线开口向下。
6. 抛物线与坐标轴的交点对于二次函数y=ax2+bx+c，抛物线与x轴的交点可以通过求解该函数的根来得到。
设抛物线与x轴的交点为(x1,0)和(x2,0)，则有以下关系成立：ax12+bx1+c=0ax22+bx2+c=0二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax2+bx+c=0其中，a、b、c是常数，且a eq0。
2. 一元二次方程的求解求解一元二次方程的一般步骤如下：(1)将方程转化为标准形式：ax2+bx+c=0(2)计算方程的判别式D=b2−4ac(3)根据判别式的值确定方程的解的情况：•当D>0时，方程有两个不相等的实数解；•当D=0时，方程有两个相等的实数解；•当D<0时，方程没有实数解；(4)根据判别式的值，使用求根公式求解方程的根：•当D>0时，方程的两个根为 $x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{D}}{2a}$ 和$x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{D}}{2a}$；•当D=0时，方程的唯一解为 $x = \\frac{-b}{2a}$；•当D<0时，方程没有实数解。
数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程2一、教学目标知识与技能1．巩固理解二次函数图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根；2．巩固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标．过程与方法1．经历一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的过程；2．经历一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的过程。
情感态度与价值观1．通过对一元二次方程根的近似值探索过程，进一步体会二次函数与方程之间的联系．三、教学过程第一环节课前热身、耐心填一填活动内容：1. 抛物线y=ax2＋bx＋c经过点（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的表达式___________________ .2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过象限．3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x （s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过_____时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是_____？（2）经过_____秒，炮弹落在地上爆炸？4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线________交点的________坐标。
5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象抛物线与直线_________交点的_________坐标.第二环节用心想一想，马到功成活动内容：你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？--1分析解答：(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象(2) 观察估计二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴的交点的横坐标；由图象可知：图象与x轴有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.3和2.3.(3) 确定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根为:x1≈-4.3,x2≈2.3第三环节教材题变形，拓展延伸活动内容：利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.(1)用描点法作二次函数y=x2+2x-10的图象(2) 作直线y=3；(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.(4) 确定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:x1≈-4.7,x2≈2.7附创新解法2：(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7。
北师大数学九年级下册第二章-二次函数与一元二次方程(含解析)
第04讲_二次函数与一元二次方程知识图谱二次函数与一元二次方程知识精讲一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x +=-⋅=，： ()()22221212121244+4b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=---=--=⎪⎝⎭判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxOxy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根三点剖析一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．二次函数与x 轴交点例题1、 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A.m ＜2 B.m ＞2 C.0＜m≤2 D.m ＜﹣2 【答案】 A【解析】 ∵抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m ＜2，例题2、 二次函数2y x 6x n =-+的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程2x 6x n 0-+=的一个解为x 1＝1，则另一个解2x ＝__________．【答案】 5【解析】 暂无解析例题3、 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式． 【答案】 （1）见解析；（2）函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-【解析】 （1）①当0m =时，原方程可化为20x -=，解得2x =； ②当0m ≠时，方程为一元二次方程，()()231422m m m ∆=----⎡⎤⎣⎦ 221m m =++x()210m =+≥，故方程有两个实数根；故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）设1x ，2x 分别为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴两交点的横坐标， 令0y =，则()231220mx m x m --+-=，由求根公式得，12x =，21m x m-=∴抛物线()23122y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时，恒过定点()2,0，∴20x =或24x =，即10m m -=或14m m-=， 解得11m =，213m =-则函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-随练1、 二次函数与y ＝kx 2－8x ＋8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.k ＜2 B.k ＜2且k ≠0 C.k ≤2 D.k ≤2且k ≠0 【答案】 D【解析】 暂无解析随练2、 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A.0或2B.0或1C.1或2D.0，1或2【答案】 A【解析】 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．分三种情况：点M 的纵坐标小于1；点M 的纵坐标等于1；点M 的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程12x 2+bx+c=1的解的个数． 分三种情况：点M 的纵坐标小于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M 的纵坐标等于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M 的纵坐标大于1，方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0．故方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0或2．故选：A ．随练3、 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 2955a -<<-【解析】 设2()(2)5f x x a x a =--+-；则有:(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩ 解得2955a -<<-．一元二次方程根的分布问题例题1、 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x -a ）（x -b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A.m ＜a ＜b ＜n B.a ＜m ＜n ＜b C.a ＜m ＜b ＜n D.m ＜a ＜n ＜b 【答案】 A【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 依题意画出函数y=（x -a ）（x -b ）图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y=（x -a ）（x -b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1-（x -a ）（x -b ）=0 转化为（x -a ）（x -b ）=1，方程的两根是抛物线y=（x -a ）（x -b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ． 故选：A ．例题2、 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a +-++=． （1）有两个实根x 1,x 2，且满足1204x x <<<； （2）如果至少有一个正根，求实数a 的取值范围．【答案】 （1）715a -<<-（2）1a ≤-【解析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =+-++；则有:0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩解得：715a -<<-（2）可以利用韦达定理来解决此题①由图1、图2，可得：1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．随练1、 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；3-【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ()()()()223141223k k k k ∆=--+-=-．∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，∴ 当1k =时，方程的两根为1-，0； 当3k =时，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的距离为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当123x x -=时，3k =-；当213x x -=时，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练2、 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的对称轴为直线x ＝－2． （1）b ＝________；（用含a 的代数式表示）（2）当a ＝－1时，若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，求c 的取值范围； （3）若抛物线过点（－2，－2），当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为4，求a 的值． 【答案】 （1）4a （2）－4≤c ＜5（3）32a =或12a =-【解析】 （1）由2b x a =-得到：22ba-=-，则b ＝4a ．（2）当a ＝－1时，∵关于x 的方程－x 2－4x ＋c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，即关于x 的方程x 2＋4x －c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，图1图3∴b2－4ac＝16＋4c≥0，即c≥－4．方法一：∴抛物线y＝x2＋4x＝（x＋2）2－4与直线y＝c在－3＜x＜1的范围内有交点．当x＝－2时，y＝－4，当x＝1时，y＝5．由图象可知：－4≤c＜5．方法二：∴抛物线y＝x2＋4x－c＝（x＋2）2－4－c与x轴在－3＜x＜1的范围内有交点．当x＝－2，y＝0时，c＝－4，当x＝1，y＝0时，c＝5．由图象可知：－4≤c＜5．方法三：∵c＝x2＋4x＝（x＋2）2－4．∴c是x的二次函数．当x＝－2时，c＝－4，当x＝1时，c＝5．由图象可知：－4≤c＜5．（3）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋c过点（－2，－2），∴c＝4a－2．∴抛物线解析式为：y＝ax2＋4ax＋4a－2＝a（x＋2）2－2．方法一：①当a＞0时，抛物线开口向上．∵抛物线对称轴为x＝－2．∴当－1≤x≤0时，y随x增大而增大．∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，由图象可知：4a－2＝4．∴32a=．②当a＜0时，抛物线开口向下．∵抛物线对称轴为x＝－2．∴当－1≤x≤0时，y随x增大而减小．∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，由图象可知：4a－2＝－4．∴12a=-．方法二：∵－1≤x≤0，∴当x＝0时，y＝4a－2；当x＝－1时，y＝a－2．∵当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4．∴有两种情况：①若|4a－2|＝4，则32a=或12a=-．此时1|2|42a-=<或5|2|42a-=<，符合题意．②若|a－2|＝4，则a＝6或a＝－2．此时|4a－2|＝22＞4或|4a－2|＝10＞4．∴a＝6或a＝－2不合题意，舍去．综上所述：32a=或12a=-．随练3、在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋3的图象与x轴交于点A，二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A．（1）当m＝4时，求n的值；（2）设m＝－2，当－3≤x≤0时，求二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值；（3）当－3≤x≤0时，若二次函数－3≤x≤0时的最小值为－4，求m、n的值．【答案】（1）3（2）－15（3）2；－3【解析】（1）当y＝x＋3＝0时，x＝－3，∴点A的坐标为（－3，0）．∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ， ∴0＝9－3m ＋n ，即n ＝3m －9， ∴当m ＝4时，n ＝3m －9＝3．（2）抛物线的对称轴为直线2mx =-，当m ＝－2时，对称轴为x ＝1，n ＝3m －9＝－15， ∴当－3≤x≤0时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝0时，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－15．（3）①当对称轴32m-≤-，即m≥6时，如图1所示．在－3≤x≤0中，y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为0， ∴此情况不合题意；②当302m-<-<，即0＜m ＜6时，如图2，有2444930n m m n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩， 解得：23m n =⎧⎨=-⎩或1021m n =⎧⎨=⎩（舍去），∴m ＝2、n ＝－3； ③当02m-≥，即m≤0时，如图3，有4930n m n =-⎧⎨-+=⎩，解得：534m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去）． 综上所述：m ＝2，n ＝－3．拓展1、 抛物线y=2x 2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【答案】 C【解析】 抛物线y=2x 2﹣2，显然抛物线与y 轴有一个交点， 令y=0，得到2x 2﹣2x+1=0， ∵△=8﹣8=0，∴抛物线与x 轴有一个交点，则抛物线与坐标轴的交点个数是2，2、 已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）A.x 1＝1，x 2＝－1B.x 1＝1，x 2＝2C.x 1＝1，x 2＝0D.x 1＝1，x 2＝3【答案】 B【解析】 ∵二次函数的解析式是y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数），∴该抛物线的对称轴是：32x =．又∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根分别是：x 1＝1，x 2＝2． 3、 已知函数y=mx 2﹣6x+1（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 【答案】 （1）见解析（2）m 的值为0或9 【解析】 （1）当x=0时，y=1．所以不论m 为何值，函数y=mx 2﹣6x+1的图象都经过y 轴上一个定点（0，1）； （2）①当m=0时，函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则方程mx 2﹣6x+1=0有两个相等的实数根， 所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．综上，若函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 4、 若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1≠x 2． （1）求m 的取值范围；（2）如果这个方程的两个实根分别为x 1＝α，x 2＝β，且α＜β，当m ＞0时，试比较α，β，2，3的大小，并用“＜”连接；（3）求二次函数y ＝(x －x 1)(x －x 2)＋m 的图像与x 轴的交点坐标． 【答案】 （1）m ＞41- （2）α＜2＜3＜β （3）(2，0)和(3，0) 【解析】 （1）m ＞41-（2）α＜2＜3＜β（3）因为一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根1x ，2x ，且1x ≠2x ， 所以该一元二次方程可以写成(x －1x )(x －2x )＝0或者(x －2)(x －3)－m ＝0 即：(x －1x )(x －2x )＝(x －2)(x －3)－m所以y ＝(x －1x )(x －2x )＋m 可以表示成y ＝(x －2)(x －3)－m ＋m 即：y ＝(x －2)(x －3) 二次函数的图像与x 轴的交点坐标为(2，0)和(3，0) 5、 已知二次函数2316y x bx c =-++的图象经过A （0，3），9(4,)2B --两点． （1）求b ，c 的值；（2）二次函数2316y x bx c =-++的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况． 【答案】 （1）983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）（－2，0）或（8，0）【解析】 （1）把A （0，3），9(4,)2B --分别代入2316y x bx c =-++，得 339164162c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩，解得983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：2393168y x x =-++． 293225()4()3081664∆=-⨯-⨯=>，所以二次函数2316y x bx c =-++的图象与x 轴有公共点．∵23930168x x -++=的解为：x 1＝－2，x 2＝8 ∵公共点的坐标是（－2，0）或（8，0）．6、 已知()20y ax bx c a =++≠的图象如图，方程2(0,02)ax bx c n a n ++=≠<<的两个实根是1212,()x x x x <，则两实根满足（ ）A.1213x x <<<B.1213x x <<<C.1213x x <<<D.1201,34x x <<<<【答案】 D【解析】 该题考查的是二次函数综合．由图象可知，二次函数过()0,2、()1,0、()3,0三点．设二次函数的交点式为()()13y a x x =--，将()0,2代入解析式，可得23a =． 故方程2ax bx c n ++=即2282033x x n -+-=．记()228233f x x x n =-+-，则()020f n =->，()10f n =-<，()30f n =-<，()420f n =->．结合()f x 的图象可知101x <<，234x <<．故答案选D ．7、 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围． 【答案】 20a -<<【解析】 设()22()12f x x a x a =+-+-；则有(1)0(1)0f f <⎧⎨-<⎩，即2211201120a a a a ⎧+-+-<⎪⎨-++-<⎪⎩，解得20a -<<． 8、 二次函数y=ax 2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根，则m 的最大值为_____．【答案】 3【解析】 先根据抛物线的开口向上可知a ＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b 与a 关系，再根据一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，yxO 213∴a＞0．﹣24ba=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3。
数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程(1)
2.8 二次函数与一元二次方程（1）教学目标一、教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.二、能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.三、情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2、具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程.2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法教学过程：1、设问题情境，引入新课我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k≠0)和一次函数y =kx+b (k≠0)的关系，你还记得吗？它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题.2、新课讲解例题讲解我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式h =－5t 2+v 0t +h 0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么（1）h 与t 的关系式是什么？（2）球的飞行高度能否达到60 m? 若能，需要多少时间?(3)、球的飞行高度能否达到80 m? 若能，需要多少时间?(4)球的飞行高度能否达到80.5 m?为什么？（5）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？小组交流，然后发表自己的看法.学生交流：（1）h 与t 的关系式是h =－5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0.把v 0,h 0带入上式即可求出h 与t 的关系式h =－5t 2+40t（2）当h=60时，60=－5t 2+40t t2-8t+12=0 ∴t1=2 t2=6所以，当小球经过2s 或6s时高度为60m .(3)当h=80时，80=－5t 2+40t t2-8t+16=0 ∴ t1= t2=8所以，当小球经过8s时高度为80m .(4)当h=80.5时，80.5=－5t 2+40t t2-8t+16.1=0因为：（—8）2-4×1×16.1<0 ,所以原方程无解。
九年级数学用三种方式表示二次函数、二次函数与一元二次方程北师大版知识精讲
九年级数学用三种方式表示二次函数、二次函数与一元二次方程北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 用三种方式表示二次函数2. 何时获得最大利润3. 最大面积是多少4. 二次函数与一元二次方程二. 教学目标：1. 能利用二次函数解决实际问题2. 理解二次函数与一元二次方程的关系三. 教学重点、难点：1. 能利用二次函数解决实际问题2. 理解二次函数与一元二次方程的关系四. 课堂教学： ［知识要点］1. 表示二次函数的三种方式：列表法、图象法、解析式法。
2. 二次函数c bx ax y 2++=的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。
3. 当二次函数c bx ax y 2++=的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程0c bx ax 2=++的根。
【典型例题】例1. 若二次函数7x 7kx y 2--=的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A. 47k -> B. 0k 47k ≠-≥且C. 47k -≥D. 0k 47k ≠->且答案：B例2. 已知二次函数图象的顶点为（－1，－4），且与y 轴交点为（0，－3），则该二次函数的解析式为_______________。
答案：3x 2x y 2-+=例3. 二次函数c bx ax y 2++=的值永远为负值的条件是（ ）A. 0ac 4b ,0a 2<->B. 0ac 4b ,0a 2<->C. 0ac 4b ,0a 2>-<D. 0ac 4b ,0a 2<-<答案：D例4. 如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P 到x 轴的距离是4，抛物线与x 轴相交于O 、M 两点，OM=4；矩形ABCD 的边BC 在线段OM 上，点A 、D 在抛物线上。
（1）请写出P 、M 两点坐标，并求这条抛物线的解析式； （2）设矩形ABCD 的周长为l ，求l 的最大值； （3）连结OP 、PM ，则ΔPMO 为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点Q （除点M 外），使得ΔOPQ 也是等腰三角形，简要说明你的理由。
北师大版九年级数学下2.5.1 ：二次函数与一元二次方程 教学课件 (共16张PPT)
有两个交点 有一个交点
有两个不相等的实数根 有数根
观察判断下列图象哪个有可能是 抛物线 y x 2 2x 3的图象？
y
y
A.
O
B.
x
O
x
y
C.
O
y
√D.
O
x
x
议一议
二次函数 y ax 2 bx c (a0) 的
图象与x轴的交点与一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a 0)的根有什么关系？
的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什
么关系？
(a 0)
议一议
二次函数 y ax 2 bx c (a0) 的
图象与x轴的交点与一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a 0)的根有什么关系？
二次函数 y ax 2 bx c 一元二次方程ax2+bx+c=0
的图象与x轴的交点有三种 的根有三种情况： 情况：
图象与x轴有几个交点？ 有几个根？
解：x (x 2) 0 x 0或x 2 0
x 1 0，x 2 2
与x轴有两个交点： （-2,0）、（0,0）
方程有两个根：0、-2
二次函数 y x 2 2x 1 一元二次方程 x 2 2x 1 0
的图象与x轴有几个交点？有几个根？
解：(x 1)2 0 x 1 0
（1）h和t的关系式是什么？
h/m
h5t24t0
（2）小球经过多少秒后落地？
[方法一]看图象 8秒落地
[方法二]解方程
-5t2+40t=0
t/s
二次函数y x 2 2 x ， y x 2 2 x 1 ， y x 2 2 x 2 的图象如下图所示，与同伴交流并回答问题.
北师版九年级数学下册第二章2.5第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
3. (2018·孝感)如图，抛物线 y＝ax2 与直线 y＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为 A(－2，4)，B(1，1)，则方 程 ax2＝bx＋c 的解是
x1＝－2，x2＝1 ．
4. 求二次函数 y＝2(x－2)(5－x)的图象与 x 轴的交 点坐标，由此作出函数图象的草图，并指出图象的顶点 在哪个象限．
x1＝－4，x2＝2
；方程－(x＋1)2＋n＝8 的解为
x1＝－2，x2＝0 ．
探究二：已知二次函数 y＝x2－2mx＋m2＋3(m 是常 数)． (1)求证： 不论 m 为何值， 该函数的图象与 x 轴没有 公共点； (2)把该函数的图象沿 y 轴向下平移多少个单位长度 后，得到的函数的图象与 x 轴只有一个公共点？
解：与 x 轴交点坐标为(2，0)和(5，0)，图略，顶 点在第一象限．
3 2 5. (2018·云南)已知二次函数 y＝－ x ＋bx＋c 16 的图象经过
9 A(0，3)，B － 4 ，－ 两点． 2
(1)求 b，c 的值． 3 2 (2)二次函数 y＝－ x ＋bx＋c 的图象与 x 轴是否有 16 公共点，求公共点的坐标；若没有，请说明情况．
解：(1)证明：∵Δ ＝－12＜0，∴不论 m 为何值， 该函数的图象与 x 轴没有公共点； (2)y＝(x－m)2＋3，顶点为(m，3)，下移 3 个单位 后顶点是(m，0)，此时函数的图象与 x 轴只有一个公共 点．
◎基础训练 1 1. 若函数 y＝mx ＋(m＋2)x＋2m＋1 的图象与 x 轴
第二章 二次函数
2．5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
◎学习目标 1. 体会二次函数与方程之间的联系． 2. 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次 方程的根的个数之间的关系，知道二次函数 y＝ax2＋bx ＋c 图象与 x 轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0 的根．
北师大版九年级下册2.5二次函数与一元二次方程(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：抛物线形状的物体运动轨迹问题，通过建立二次函数模型，利用顶点式确定物体的最高点或最低点。
2.教学难点
-理解二次函数图像与一元二次方程根的对应关系：对于初学者来说，图像与方程之间的抽象关系较难理解。
-突破方法：通过图形演示和实际操作，如绘制函数图像，让学生观察和总结图像与方程根的关系。
-二次函数顶点式的推导和运用：顶点式的推导涉及代数变换，学生可能会在此过程中感到困惑。
5.激发数学探究精神：引导学生主动探究二次函数与一元二次方程的内在联系，培养学生勇于探索、积极创新的数学精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解二次函数与一元二次方程之间的关系：重点讲解二次函数图像上点的坐标特征与一元二次方程根之间的联系，强调图像的几何意义。
-举例：通过具体函数y = ax^2 + bx + c的图像，说明当y = 0时，方程ax^2 + bx + c = 0的解即为图像与x轴交点的横坐标。
-掌握二次函数顶点式的形式及其推导过程：让学生掌握二次函数y = a(x - h)^2 + k的顶点坐标(h, k)和开口方向与系数a的关系。
-举例：通过变换一般式y = ax^2 + bx + c到顶点式，展示顶点的求解方法，并解释顶点在图像上的位置和意义。
二次函数与一元二次方程 说课
2
4
6
8
t
预习生疑
1.二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根
合作辨疑
有什么关系？
探究释疑
2.二次函数与y=h的交点与一元二次方程的
实践解疑
根有什么关系？
反思升疑
3.还有哪些交点类型？在哪些地方考察？
预习生疑
x= -x²+4x-3
y= -x²+4x-3
合作辨疑
探究释疑
y=x
在函数y= -x²+4x-3上求满足y=x的点的横坐标
教法与学法分析
以学生为主体，以问题为主线，以质疑为特征
动手
操作
启发
发现
讨论
小组
合作
【合作辩疑】
预习生疑
1.二次函数与x轴的交点与一元二次方程的根
合作辨疑
有什么关系？
探究释疑
2.二次函数与y=h的交点与一元二次方程的
实践解疑
根有什么关系？
反思升疑
3.还有哪些交点类型？在哪些地方考察？
小组讨论要求
时间：5分钟；小组长组织本组组员进行合作交流；
证、说明推理，有效地突破了难点；及时小结，注重升华；
紧密链接中考，注意拓展延伸和上下链接。
教材分析 学情分析 教学目标 教法与学法分析 教学过程 特色说明
数学是思维的体操。怎样培养学生的核心素
养，我认为目标就是：即便学生将来忘记了所学
的知识，却会在将来感激数学课堂带来的思维灵
动。
这就是我们数学教师的使命与价值。
解方程得 =
+
,
−
=
∴ 两图像有两个交点
+
−
北师大版九年级下册数学第二章 二次函数2.5 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程课件
二次函数与一元二次方程
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的 高度是60cm?你是如何知道的?
解:当h 60时,得 5t2 40t 60. 解得: x1 2, x2 6.
二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程?它们的关系 如何?
一般地,当y取定值时,二次函数即为一元二次方程.
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
首页
随堂训练
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线
的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最
多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元 二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横 坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
b 2a
15 14 1源自07时,y最大值 4ac b2 4a
225 4.02. 56
首页
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程
复习 导入
合作 探究
课堂 小结
随堂 训练
复习导入
由上抛小球落地的时间想到 我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s) 的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的 高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面以40m/s的 速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t(s)的关 系如图所示,那么：
北师大版初中数学九年级下册2.5 第1课时 二次函数与一元二次方程1
(1)求证：此抛物线与 x 轴总有两个交
所示．现测得，当水面宽 AB＝1.6m 时，涵 点；
洞顶点与水面的距离 OC＝2.4m.当水位上
(2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点，
升一定高度到达点 F 时，这时，离水面距 且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的
离 CF＝1.5m，则涵洞宽 ED 是多少？是否 值．
1．经历探索二次函数与一元二次方程 ________________．
的关系的过程，体会方程与函数之间的联
解析：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x－3)＝
系；(重点)
2(x－3)(x＋1)，设 2(x－3)(x＋1)＝0，解得
2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与 一元二次方程的根的关系，理解何时方程
当 k≠3 时 ， y＝ (k－ 3)x2＋ 2x＋ 1 是 二 次函数．∵二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ， ∴ Δ ＝ b2－ 4ac≥0.∵b2－ 4ac＝ 22－ 4(k－ 3)＝ － 4k＋ 16，∴－4k＋16≥0.∴k≤4 且 k≠3.
综上所述，k 的取值范围是 k≤4. 方法总结：由于 k 的取值范围不能确 定，所以解决本题的关键是要注意分类讨 论，不要漏解． 变式训练：见《学练优》本课时练习 “课后巩固提升”第 5 题 【类型四】 二次函数与一元二次方程 的判别式、根与系数的关系的综合
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2.5 二次函数与一元二次方程
第 1 课时 二次函数与一元二次方程
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1
北师大版九年级数学下册：2.5《二次函数与一元二次方程》说课稿1一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.5《二次函数与一元二次方程》这一节主要介绍了二次函数与一元二次方程之间的关系。
通过学习，学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法，以及如何将一元二次方程转化为二次函数的问题。
教材通过具体的例子和练习题，帮助学生掌握这一知识点。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一次函数和二次函数的基本概念，对函数的图像和解法有一定的了解。
然而，对于二次函数与一元二次方程之间的联系，他们可能还不太清楚。
因此，在教学过程中，我需要通过具体的例子和练习题，帮助学生理解和掌握这一知识点。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够将一元二次方程转化为二次函数的问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析和解决实际问题，学生能够培养自己的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂讨论，培养自己的合作意识和团队精神，增强对数学学习的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数与一元二次方程之间的关系，能够将一元二次方程转化为二次函数的问题，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。
2.教学难点：学生能够理解二次函数的图像与一元二次方程的解法之间的联系，能够运用二次函数的知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、讨论法和练习法等教学方法。
同时，我还将利用多媒体课件和黑板等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数与一元二次方程之间的关系，激发学生的兴趣和好奇心。
2.讲解：通过讲解和示例，引导学生理解和掌握二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何将一元二次方程转化为二次函数的问题。
3.练习：通过课堂练习和小组讨论，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解，培养学生的思考能力和解决问题的能力。
北师大版九年级数学下册.1二次函数与一元二次方程教学课件
收获
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获？
归纳
一般地，从二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象可知：
（1）如果抛物线 y = ax 2 + bx + c 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是 x是方程 ax 2 + bx + c = 0 的一个根；
1、抛物线y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点， 则k的取值范围是？
解：抛物线y=kx2-7x-7的图象和x 轴有交点，即方程 kx2-7x-7=0有两个实数根，所以 △=72-4k×(-7) ≥0且k≠0，所以 k≥-4/7且k≠0.
2、已知抛物线y=x2-2x-8 （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点 （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B
球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高
度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系
h= – 5t²+20t。
①小球从飞出到落地要用多少时间？
②小球的飞行高度能否到达15m？如果能，需要多少飞行时间？
实际 ③小球的飞行高度能否到达20m？如果能，需要多少飞行时间？ ④小球的飞行高度能否到达20.5m？为什么？
2.5.1二次函数与一元二次方程
如图，一次函数 y=-3x+3 与y=x-2两直线相交， 请问如何求它们的交点P？
y
3
y=-3x+3
y=x-2
12x
P -2
知识点：把函数转化为方程求解。
y=x-2
x=5/4
列为
解得
所以P坐标为（5/4，-3/4）
y=-3x+3
y=-3/4
如图，一次函数 y=3 与 y=x-2两直线相交， 请问如何求它们的交点P？
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北师大版初中数学九年级《二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与一元二次方程》说课稿尊敬的各位评委、各位同仁：大家上午好!今天我说课的题目是《二次函数y=a(x-x1)(x-x2)与一元二次方程》，我将从学习内容分析、学情分析、学习目标与重难点、学法与教法、教学过程设计、板书设计六个方面来汇报。
一、学习内容分析（一）、教材分析函数是一种重要的数学思想，函数和方程是初中数学学习的重点和难点，在学习中具有举足轻重的作用和地位。
本节课是《数学导学案》九年级（全）第二章《二次函数》第6课时。
在这之前，学生已经学习一次函数与一元一次方程、二元一次方程组之间的关系；本课时也将为高中学习打好基础，作好铺垫，在教学中有着承上启下的作用。
（二）、学案分析本课时主要内容是探讨二次函数两根式与一元二次方程的关系。
旧学案的学习目标学生读起来比较抽象，因此我对它的用语作了适当的修改，学习准备我作了补充，解读教材和挖掘教材部分也作了适当的改动。
挖掘教材6弦长公式我放在资源链接，这个地方改为已知两根式求对称轴。
达标检测我增加了一道二次函数与y=h相交的综合测试题。
具体见附件（三）中考考点分析二次函数和一元二次方程的关系是中考的一个重要考点，近几年经常在B卷的压轴题出现。
二、学情分析1、学生已经学习了二次函数一般式、顶点式及其图象和性质，一元二次方程的解的情况都有所了解，特别的，八年级时学生已经学习了一次函数和一元一次方程、二元一次方程和一次函数的关系，因此，对于本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，可以利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流学习。
2、我校“金凤凰”初三学生基础参差不齐，两极分化已经形成，个体差异比较明显。
为了让每个学生都得到不同的发展，我在教学过程中采用了分层教学。
3、学生思维已经从形象思维向抽象思维转化，但形象思维仍占主导地位，数形结合是学生掌握知识的较好方法。
三、学习目标与学习重、难点根据新课标的要求及九年级学生的认知和发展水平，结合学情，我制定本节课的学习目标与学习重、难点如下学习目标：1、会将二次函数一般式转化为两根式2、理解并掌握二次函数的图象与x轴（或y=h）交点的个数与△的关系学习重点：学习目标2学习难点：能够综合运用二次函数与一元二次方程的关系解题四、学法与教法由于九年级学生已经具备一定的抽象思维能力，在八年级时已经学习了一次函数与一元一次方程的关系，因此，采用类比的方法在学生自主预习的基础上放手让学生大胆地猜想、探究，小组合作交流，同时老师适时引导学生探究，在每个环节及时评价。
学法：自主+探究+合作教法：引导学生自主+探究+合作五、教学过程设计为了充分发挥学生的主体性、小组合作学习的作用和教师的主导辅助作用，我在教学过程中设计了六个环节：1、学习准备；2、解读教材；3、挖掘教材；4、反思小结；5、达标测评；6、资源链接先介绍我的小组建设情况：我的每个小组是6人，并且按照学生的数学成绩结合综合能力为小组成员编号，1号最好，然后依次递减。
座位安排按照好差交替。
我的这节课是在学生自主预习的前提下，学生讲解，老师适时引导；教师评价、自我评价、学生评价等多元化评价贯穿整个教学过程。
一、学习准备1．分解因式：x2-2x-3； 2．解方程：x2 -2x-3=03、回顾一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=－x+5与x轴的交点坐标是，一元一次方程－x+5=0的解是。
你发现了什么？4、回顾一次函数与二元一次方程组的关系：一次函数y=－x+5与y= 2x －1的图象的交点坐标与方程组⎩⎨⎧=-=+125y x y x 的解是什么关系？ 结论：要求两个函数图象的交点坐标，就是把两个函数图象的表达式组成方程组，方程组的解就是交点坐标。
在这个环节旧学案只有1、2题，他的意图是复习分解因式，用分解因式法来解一元二次方程，为本节课作铺垫，但我认为做的还不够，没有抓住重点。
因此我的新学案增加了两道题。
我这样设计的理由是：八年级时学生学习了一次函数和一元一次方程的解，以及和二元一次方程组之间的关系，因而，本节所要学习的二次函数与一元二次方程之间的关系，可以利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流学习。
这一环节我请每个小组基础较差的4号或5号同学口答。
如果回答不够完整，其他学生可以补充或评价，教师根据学生的回答情况补充或评价。
二、解读教材在这一环节，我认为旧学案编的不够好，二次函数两根式给出的比较突然，学生不清楚来由，并且这两道题的顺序颠倒了。
我认为应该先认识两点式，然后再是一道二次函数与x 轴交点的个数与△的关系的例题。
5、二次函数的两根式（交点式） 设方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为1x ，2x∵)0(2≠++=a c bx ax y∴)(2a cx a b x a y ++= 根据根与系数的关系： ⎩⎨⎧=•=+___________2121x x x x ∴])([21212x x x x x x a y •++-=∴___)(_____)(__a y =所以二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的另一种表达式：y=a(x-x 1)(x-x 2)（a ≠0）叫做二次函数的两根式又称交点式。
即时练习1：下面是否是二次函数的两根式，如果是请指出a,1x ，2x ;如果不是，你能否变成两根式 （1）)3)(1(+-=x x y （2）)1(3-=x x y （3）)33)(62(--=x x y即时练习2：将下列二次函数化为两根式：（1）y=x 2+2x-15； （2）y= x 2+x-2； （3）y=2x 2+2x-12；我这样设计的理由是新课程标准倡导，有效的数学学习不是单纯的依赖模仿与记忆，而要通过动手实践，自主探究与合作交流了解其必要的推理过程，这样做学生更加清晰地明白二次函数交点式是怎么得到的。
紧跟的即时练习能让学生更加清楚地识别二次函数的两根式，以及如何将二次函数一般式转化为两根式 即时练习1的（1）（2）题口答，（3）题派1组基础较好的3号学生在侧黑板1展示并讲解；特别要注意（2）小题一个根为0，（3）小题如何转化成两根式，转化后a, 1x ，2x 分别是多少？小组代表讲解完后，其他学生评价或补充。
即时练习2派2、3、4组基础较好的3号在侧黑板2展示并讲解，讲解完后其他学生评价或补充。
6．在坐标系中画出二次函数y= x 2 -2x-3的图象，研究抛物线与x 轴的交点，你发现了什么？ （提示：x 轴所在直线的表达式可以写成y=0）结论：对于抛物线y=a(x-x 1)(x-x 2)（a≠0），当y=0时,就是方程a(x-x 1)(x-x 2所以1x ，2x 既是方程a(x-x 1)(x-x 2)=0的，也是抛物线y=a(x-x 1)(x-x 2) 与x 轴的的横坐标。
我这样设计的理由是：通过一个具体的例子，并且用到数形结合的思想，让学生更加直观地初步体验二次函数与x 轴的交点个数与△关系。
这样做符合学生由特殊到一般的认知过程，为挖掘教材作铺垫。
这道题我派5组基础较好的2号在前黑板左面展示并讲解，讲解完后其他学生评价或补充。
我根据情况补充或评价三、挖掘教材在这个环节，旧学案设计的意图是通过观察、对比，然后归纳出二次函数图象与x 轴交点的个数与△关系，但是他只讨论了a ＞0的情况，没有谈到a ＜0的情况，而且他的设计不便于对比、联系。
因此，我改动如下：7二次函数图象与x 轴交点的个数与△关系 （1） 当a ＞0时（2）当a ＜0时结论：二次函数与x 轴的交点个数与一元二次方程根的判别式△的关系:我这样设计的理由是学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
帮助学生在小组合作和交流学习，体会到成功的快乐。
通过表格对比，数形结合更加清楚直观地展现出一元二次方程根的判别式与二次函数与x 轴交点个数的关系。
表格我将派1-6组的1号在前黑板展示,每组做一行，这样做的目的是加强组与组的合作。
这个环节给学生充分的时间观察、对比、交流，进而发现规律。
在充分交流、讨论的基础上，小组派代表谈谈他们发现的规律，其他学生评价或补充。
即时训练3：（1）抛物线y=x 2-(a+2)x+9与x 轴只有一个交点，则a=。
（2）已知二次函数y=mx 2-2x+1的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围为。
在这一环节，我把旧学案两道题的顺序交换了，我这样设计的理由是：第（2）小题还要考虑0≠m 的情况，交换顺序后，符合学生由浅入深，由易到难的做题习惯。
这两道题我将派6组和7组中等成绩的4号和3号在后黑板展示并讲解，讲解完后，其他学生评价或补充，教师根据情况补充或评价。
8．旧学案在这里探讨的是弦长公式，但是弦长公式在初中数学中用的很少，所以我把弦长公式放在资源链接，这个环节只探讨：根据二次函数交点式求对称轴和两个交点的距离。
已知抛物线y=a(x-x 1)(x-x 2)（a≠0）与x 轴的交点坐标是A （x 1，0）和B （x 2，0），那么抛物线的对称轴为x=221x x +，点A 、点B 之间的距离为B A =21x x -即时训练4：抛物线y=2(x-2)(x ＋5)的对称轴为，与x 轴两个交点的距离为。
我这样设计的理由是：实施分层教学，拓宽优生的知识面和视野，让优生更优。
这道题我派7组基础较好的2号上黑板展示并讲解，其他学生评价或补充。
四、反思小结——二次函数与一元二次方程的关系知识点1．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点有三种情况，，，交点横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的。
知识点2．抛物线y=a(x-x 1)(x-x 2)（a≠0）与x 轴的交点坐标是A （x 1，0）和B （x 2，0），那么抛物线的对称轴为x=221x x +，点A 、点B 之间的距离为B A =21x x -=21x x -我这样设计的理由是：教学过程中，学生往往对所学的知识和探究的问题感觉比较零乱，没有一个系统的、一般的理解与认识。
所以安排这一教学环节来及时地把问题和学习内容进行整理和归纳，给学生系统化的认知。
本节课我将始终关注学生能否在老师的引导下积极主动地按所给的条件进行学习，能否在小组活动中大胆尝试并表达自己的想法从而发现结论，在同学讲解后，能否作出适当的评价或补充。
本节课我选择教师评价、自我评价、学生评价等多元化评价，对不同的学生有不同的评价标准，尊重学生的个体差异，把评价贯穿于教学活动的全过程，发挥评价的功能，以帮助学生认识自我，建立信心。
【达标测评】（分层达标A 层全做，B 层做1-6题，C 层1-5题） 1．抛物线y=-9(x-4)(x ＋6)与x 轴的交点坐标为。
2．抛物线y=2x 2＋8x ＋m 与x 轴只有一个交点，则m=。