福建师大附中2020届高三数学上学期期中考试试题理新人教版

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福建师大附中2022届高三数学上学期期中考试试题理新人教版【会员独享】

福建师大附中2021－2021学年度高三第一学期期中考试数学试题〔理科〕〔总分值：150分，时间：120分钟〕说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷．一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．如果角α的终边过点(1,，那么sin α的值等于〔〕A ．21B ．21-C ．23-D ．33-2．设全集U R =，集合{|22}M x x =-≤≤，集合N 为函数ln(1)y x =-的定义域，那么()U M C N ⋂等于〔〕A ．{|12}x x <≤B ．{|2}x x ≥-C ．{|21}x x -≤≤D ．{|2}x x ≤3．假设c b a 、、是常数,那么“0402<->c a b a 且〞是“对任意R ∈x ,有02>++c x b x a 〞的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．)(x f = 2(5),0;log (),0,f x x x x -≥⎧⎨-<⎩ 那么f 〔 2021 〕等于〔〕A ．–1B ．0C ．1D ．25．把函数5sin(2)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，再把所得函数的图象向右平移3π个单位，得到图象的解析式为〔〕A ．5cos y x =B ．5cos y x =-C ．5cos 4y x =D ．5cos 4y x =-6．在ABC ∆中， c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边，假设cCb B a A cos cos sin ==，那么ABC ∆ 的形状是〔〕A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形7．假设函数y ＝sin 〔ωx ＋φ〕〔ω＞0，|φ|＜π2〕的一局部图象如下列图，那么ω、φ的值分别是〔〕A ．1，3πB ．1，–3πC ．2，3πD ．2，–3π 8．假设函数)0(1)6sin()(>-+=ωπωx x f 的导数)(x f '的最大值为3，那么)(x f 的图像的一条对称轴的方程是〔〕A ．9x π= B ．6x π=C ．3x π=D ．2x π=9．函数tan cos y x x = 的局部图象是〔〕10．a ∈R ，函数()e e xxf x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，假设曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，那么切点的横坐标为〔〕 A ．ln 22-B ．ln 2-C ．ln 22D ．ln 211．函数2()log 3sin()2f x x x π=-零点的个数是〔〕A ．2B ．3C ．4D ．512．设函数()f x 的定义域为R ，假设存在与x 无关的正常数M ，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立，那么称()f x 为“有界泛函〞，给出以下函数：()21()f x x =；()2()2x f x =；()23()1xf x x x =++；()4()sin f x x x =．其中是“有界泛函〞的个数为〔〕A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分． 13．假设1sin(),,032ππαα⎛⎫+=∈- ⎪⎝⎭，那么tan α= ; 14．在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边，假设,4,3==b a ABC ∆的面积为33，那么c 的长度为 ;A BCD15．由曲线cos y x =与直线0y =所围成的区域在直线0x =和2x π=间的面积为 ; 16．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．假设函数()y f x =的图像恰．好．经过k 个格点，那么称函数()y f x =为k 阶格点函数．函数：①2sin y x =；②2y x =；③1xy e =-；④cos()6y x π=+．其中为一阶格点函数的序号为．三、解答题：本大题共6题，共70分17．〔本小题10分〕在ABC ∆中， c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边， a b 、是方程220x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．求C ∠的度数和c 的长度．18．〔本小题12分〕设函数2()2cos cos f x x x x =+⋅，〔I 〕求)(x f 的最小正周期以及单调增区间；〔II 〕当5[,]1212x ππ∈-时，求)(x f 的值域；〔Ⅲ〕假设66,35)(ππ<<-=x x f ，求sin 2x 的值．19．〔本小题12分〕函数32()3f x x ax x =-+．〔I 〕假设)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；〔II 〕假设3x =是)(x f 的极值点，求)(x f 在∈x [1，a ]上的最小值和最大值．20．〔本小题12分〕如图，一只船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进4km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，该岛周围5.3km 范围内有暗礁，现该船继续东行．〔I 〕假设0602==βα，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B 处向东航行多少距离会有触礁危险？〔II 〕当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？21．〔本小题12分〕设函数2()cos 4sin cos 22x x f x x t =--+，其中1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t ．〔I 〕求()g t 的表达式；〔II 〕设23()()(3)3,2G t g t a t at a R =---∈，讨论()G t 在区间(11)-，内的单调性． 22．〔本小题12分〕函数()ln()x f x e a =+〔a 为常数〕是实数集R 上的奇函数，函数x x f x g sin )()(+=λ是区间[－1，1]上的减函数．〔I 〕求a 的值；〔II 〕假设2()1g x t t λ≤++在[1,1]x ∈-及λ所在的取值范围上恒成立，求t 的取值范围；〔Ⅲ〕讨论关于x 的方程2ln 2()xx ex m f x =-+的根的个数．参考答案1-6 CCADBD 7-12 CACDBC13．4-14 15．4 16．①③ 17．解：依题意得，1cos cos()2C A B =-+=- ∵ 0180oC <<，∴120oC =．∵a b 、是方程220x -+=的两个根∴2a b ab ==+，由余弦定理得∴c =18．解：〔1〕1)62sin(22sin 3cos 2)(2++=+=πx x x x f∴)(x f 的最小正周期为π．由222262k x k πππππ-+≤+≤+得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈)(x f 的单调增区间为 [,],36k k k Z ππππ-+∈〔2〕∵5[,]1212x ππ∈-∴22[,]633x πππ+∈-，∴sin(2)[1,62x π+∈-∴()[1]f x ∈-，∴)(x f 的值域为[1]-．〔3〕351)62sin(2=++πx ∴31)62sin(=+πx ∵322)62cos(,0)62cos(,2626,66=+>+∴<+<-<<-πππππππx x x x 19．解：〔Ⅰ〕 2'()323f x x ax =-+，要)(x f 在∈x [1，＋∞)上是增函数，那么有 23230x ax -+≥在∈x [1，＋∞)内恒成立，即3322x a x ≤+在∈x [1，＋∞)内恒成立又33322x x+≥〔当且仅当x =1时取等号〕，所以3a ≤ 〔Ⅱ〕由题意知2'()3230f x x ax =-+=的一个根为3x =，可得5a =，所以2'()31030f x x x =-+=的根为3=x 或 13x =〔舍去〕，又(1)1f =-，(3)9f =-，(5)15f =，∴ f 〔x 〕在1[∈x ，5]上的最小值是(3)9f =-，最大值是(5)15f =．20．解：〔Ⅰ〕作AB MC ⊥，垂足为C ，由060=α，030=β，所以0120=∠ABM ，030=∠AMB所以4==AB BM ，060=∠MBC ，所以5.33260sin 0<=⋅=BM MC ，所以该船有触礁的危险．设该船自B 向东航行至点D 有触礁危险，那么5.3=MD ，在△MBC 中，4=BM ，2=BC ，32=MC ，5.0)32(5.322=-=CD ，所以，5.1=BD 〔km 〕．所以，该船自B 向东航行5.1km 会有触礁危险．〔Ⅱ〕设x CM =，在△MAB 中，由正弦定理得，MABBMAMB AB ∠=∠sin sin ，即αβαcos )sin(4BM =-，)sin(cos 4βαα-=BM ，〕而)sin(cos cos 4cos sin βαβαβ-=⋅=∠⋅=BM MBC BM x ，β北 Mα所以，当5.3>x ，即27)sin(cos cos 4>-βαβα，即87)sin(cos cos >-βαβα时，该船没有触礁危险．21．解：〔I 〕232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+ 23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 到达其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．〔II 〕323233()433(3)34(3)3(1)322G t t t a t at t a t a t =-+---=---++ 令'()0G t =，得11t =-〔舍去〕，214a t +=当114a +≤-，即5a ≤-时，'()0G t >，()G t 在区间(11)-，内单调递增当114a +≥，即3a ≥时，'()0G t <，()G t 在区间(11)-，内单调递减当1114a +-<<，即53a -<<时，当114a x +-<<时'()0G t <，当114a x +<<时'()0G t >，即()G t 在区间1(1,)4a +-单调递减，在区间1(,1)4a +单调递增综上，当5a ≤-时， ()G t 在区间(11)-，内单调递增；当3a ≥时， ()G t 在区间(11)-，内单调递减；当53a -<<时， ()G t 在区间1(1,)4a +-单调递减，在区间1(,1)4a +单调递增． 22．解：〔Ⅰ〕)ln()(a e x f x+=是奇函数，那么)ln()ln(a e a e x x+-=+-恒成立．∴()() 1.xx ea e a -++=即211,xx aeae a -+++=∴()0,0.xxa e e a a -++=∴=〔II 〕由〔I 〕知(),f x x =∴()sin g x x x λ=+∴'()cos g x x λ=+又)(x g 在[－1，1]上单调递减， ∴max ()(1)sin1,g x g λ=-=--且'()cos 0g x x λ=+≤对x ∈[－1，1]恒成立，即cos x λ≤-对x ∈[－1，1]恒成立， ∴1λ≤-∵2()1g x t t λ≤++ 在[1,1]x ∈-上恒成立 ∴2sin11,t t λλ--≤++即2(1)sin110t t λ++++≥对1λ≤-恒成立令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h 那么⎩⎨⎧≥+++--≤+,011sin 1012t t t∴21sin10t t t ≤-⎧⎨-+≥⎩ ，2sin10,t t -+≥而恒成立1-≤∴t ．〔Ⅲ〕由〔I 〕知,2ln ,)(2m ex x xxx x f +-=∴=方程为令m ex x x f x xx f +-==2)(,ln )(221， 21ln 1)(xxx f -=' ，当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数；),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数，当e x =时，.1)()(1max 1ee f x f == 而222)()(e m e x x f -+-=， )(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如下列图，∴①当e e m e e m 1,122+>>-即时，方程无解． ②当e e m e e m 1,122+==-即时，方程有一个根．③当ee m e e m 1,122+<<-即时，方程有两个根．。

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福建省师大附中 2012届高三期中考试数学试题（理）（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷．选择题：（每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求），集合，，那么集合（） A． B． C．D．的共轭复数为（） A．IB． C．D．、的前13项之和为，则等于（）．．．． 4、，则“”是 “”的（） A． B．C． D．、为的重心，设，则＝（） A． C． D．、：，，则（）．是假命题，：．是假命题，：．是真命题，：，．是真命题，： 7、曲线处的切线的斜率为（） A． B． C． D．、函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图像，则只将的图像 A．向右平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的弧的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（） 10、在中．．则A的取值范围是（） A．0，] B．（0，] C．[，） D．[） 11、如下图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，每个图形总的点数记为，则（） A． C． D．，若存在区间（其中），使得则称区间M为函数的一个“稳定区间”。

给出下列4个函数：①②③④其中存在“稳定区间”的函数有（） A．①③ B．①②③④ C．②④ D．①②③ 二、填空题：（本大题小题，每小题分，共分，答案填在答卷上）已知单位向量,的夹角为，那么的值域是． 15、已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________．的部分图像如图所示，若图中阴影部分的面积为，则的值是． 17、若函数最多有两个零点，则实数m的取值范围是． 18、已知数列的各项都是为整数，其前项和。

若点在函数或的图象上，且当为偶数时，，则=。

福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试数学试题

福建师大附中2020-2021学年上学期期中考试高三数学试卷时间：120分钟满分： 150分第Ⅰ卷（选择题，共70分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.-1. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（） A. 2 B.32C. 3D. 4C根据等差数列的求和公式即可得出． ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90，解得d=3．故选C ．2. 已知直线a ，b 和平面α，β，满足 a α⊂，b β⊂，则“a 和b 相交”是“a 和β相交”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 A由充分条件和必要条件的定义判断即可解：若a 和b 相交于点O ，则,O a O b ∈∈，因为 a α⊂，b β⊂，所以,O O αβ∈∈，所以a 和β相交，若a 和β相交于直线l ，当a α⊂，b β⊂时，a 和b 可能相交，可能平行，可能异面，所以“a 和b 相交”是“a 和β相交”的充分不必要条件，故选：A 3. 已知复数z 的共轭复数为z ，且满足232z z i +=+，则||z =（）A. B. C. 3D. 5B设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，代入232z z i +=+中求出,a b 的值，再根据复数模公式求得结果.设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，又因为232z z i +=+，即332a bi i +=+，所以1,2a b ==，所以|z |5=，故选：B. 4. 已知数列{}n a 满足2112n n n a a a +=+-，且112a =，则该数列前2016项的和为（） A. 2015 B. 2016 C. 1512 D. 30252C通过计算出数列的前几项确定数列{}n a 是以2为周期的周期数列，进而计算可得结论．依题意，112a =， 22112111112222a a a =+-=+-=， 2232211111222a a a =+-=+-=， ⋯从而数列{}n a 是以2为周期的周期数列，于是所求值为20161(1)151222⨯+=，故选：C 5. 如图为某几何体的三视图，则其体积为（）A. 43π+B. 2π+C. 23π+D. 223π+A根据三视图还原几何体可得该几何体是由一个半圆柱和一个四棱锥组合而成，由此可求出其体积.如图，根据三视图还原几何体可得该几何体是由一个半圆柱和一个四棱锥组合而成，根据三视图可知，半圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为1，所以该几何体的体积211412221233V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.故选：A.6. 已知ABC 是边长为2的等边三角形，且AE EB =，2AD DC =，则BD CE ⋅=（） A. 3- B. 2- C. 1- D. 3B由平面向量的线性运算可得2132BD CE AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由平面向量数量积的运算即可得解.由题意画出图形，如图，因为AE EB =，2AD DC =，所以12AE AB =，23AD AC =，所以()()2132BD CE AD AB AE AC AC AB AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22241241422cos6042332332AC AC AB AB =-+⋅-=-⨯+⨯⨯-⨯=-.故选：B. 7. 在正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11CB D 为α，若α平面ABCD m =，α⋂平面11ABB A n =，则m ，n 所成角的余弦值为（）A. 32B.62C.33D.12D由线面平行的性质可得出1A BD ∠即为m ，n 所成角，则求出即可.如图，连接11,,BD A B A D ，可得在正方体中，111B B CC DD ，即四边形11BB D D 是平行四边形，11//B D BD ∴，BD ⊂平面ABCD ，11B D ⊄平面ABCD ，∴11//B D 平面ABCD ，又α平面ABCD m =，11B D α⊂，11//B D m ∴，//BD m ∴，同理可得1//CD 平面11ABB A ，α⋂平面11ABB A n =，1CD α⊂， 1//CD n ∴，1//A B n ， 1A BD ∴∠即为m ，n 所成角，1A BD 为等边三角形，160A BD ∴∠=，11cos 2A BD ∴∠=.故选：D.8. 在四面体ABCD 中，22BD AC ==，2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（） A. 2πB. 43πC. 162πD. 163πB由题可得四面体ABCD 可还原成棱长为2的正方体，即可由此求出外接球半径，得出体积.2,22AB AD BD ===，满足222AB AD BD +=，AB AD ∴⊥，由AD BC ⊥，∴四面体ABCD 可还原成棱长为2的正方体，设外接球的半径为R ，则222222223R =++=3R =∴外接球的体积343433V.故选：B.9. 已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A. 1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B. 1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C. (,0)(0,22)-∞D. (,0)(22,)-∞+∞D由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意；当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2yx 相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得22k =（负值舍去），所以22k >. 综上，k 的取值范围为(,0)(22,)-∞+∞.故选：D .【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.10. 已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则（） A. 1324,a a a a << B. 1324,a a a a ><C. 1324,a a a a <>D. 1324,a a a a >>B先证不等式ln 1x x ≥+，再确定公比的取值范围，进而作出判断.令()ln 1,f x x x =--则1()1f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()(1)0,ln 1f x f x x ≥=∴≥+，若公比0q >，则1234123123ln()a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则212341(1)(1)0,a a a a a q q +++=++≤ 但212311ln()ln[(1)]ln 0a a a a q q a ++=++>>，即12341230ln()a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此210,(0,1)q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，选B.11. 在公比为q 等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若521127,==a a a ，则下列说法正确的是（） A. 3q = B. 数列{}2n S +是等比数列 C. 5121S = D. ()222lg lg lg 3n n n a a a n -+=+≥ACD根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可. 因为521127,==a a a ，所以有431127273q a q q q a ⋅=⋅⇒=⇒=，因此选项A 正确；因为131(31)132n n n S -==--，所以131+2+2(3+3)132nn n S -==-，因为+1+111(3+3)+222=1+1+21+3(3+3)2n nn n n S S -=≠常数，所以数列{}2n S +不是等比数列，故选项B 不正确；因为551(31)=1212S =-，所以选项C 正确； 11130n n n a a q --=⋅=>，因为当3n ≥时，22222lg lg =lg()=lg 2lg n n n n n n a a a a a a -+-++⋅=，所以选项D 正确.故选：ACD12. 已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A. 把曲线1C 向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线2C B. 把曲线1C 向左平移3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到曲线2CC. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移6π个单位长度，得到曲线2CD. 把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2C AD先利用诱导公式把2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭化简得，2sin 2cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角函数图像变换规律求解即可解：2sin 2sin 2cos 23266y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以将曲线1C ：cos y x =向左平移6π个单位长度，得cos 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x π，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到曲线cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；或将曲线1C ：cos y x =上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到cos 2y x =，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到cos 2cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：ADA．∵OB β⊥，∴OB AB ⊥，∴OA =，∴点A 在以O 的球面运动，A 正确；B ．由题意知A 在平面β内绕点B 作圆周运动，当AB 垂直于水平面时，投影长度为0，当AB 平行于水平面时，投影长度为AB ，∴线段AB 在水平地面上的正投影长度范围为[0,]AB ，B 错误；C ．当AB α⊥时，直线OA 与平面α的所成的角的正弦值为最大值，此时线面角为AOB ∠，37sin 3737AB AOB OA AB∠===，C 正确． D ．画出该模型的直观图，∵β与水平面所成的角为θ，且02πθ<<，∴DCE θ∠=，∵直线OB 与水平面所成的角为δ，且//FC OB ， ∴FCG δ∠=，∵OB CD ⊥，∴FC CD ⊥，∴2FCG DCE π∠+∠=，即θδ+为定值，定值为2π，D 正确．故选：ACD ． Ⅱ卷（非选择题，共80分）三、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 15. 已知向量()1,2a =,(),1b t =,若a ,b 5,则实数t 的值为____. 34-. 根据向量夹角的坐标公式求解即可. 因为,a b 夹角的余弦值为5,所以25551t =⋅+,即221t t +=+,22441t t t ++=+.解得34t =-.故答案为：34-16. 函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．2π.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.函数()2sin 2f x x ==142cos x-,周期为2π 17. 16/17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰•纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即b a N = ⇔ log a b N =. 现在已知23a =， 34b =，则ab =__________. 2先根据要求将指数式转为对数式，作乘积运算时注意使用换底公式去计算. ∵23a =， 34b = ∴2log 3a =， 3log 4b = ∴23ln3ln4ln4log 3log 42ln2ln3ln2ab =⋅=⋅== 故答案为218. 设12(21)(21)n n n n b +=--，n T 为{}n b 的前n 项和，则使得20152016n T >成立的n 的最小值是______. 10利用裂项相消法求出n T ，然后解不等式20152016n T >即可得答案解：因为11211(21)(21)2121n n nn n n b ++==----- ，所以12231111111212121212121n n n T +=-+-+⋅⋅⋅+-------， 11121n +=--，要使20152016n T >，只要1120151212016n +->-，即11111212016n +->--， 122017n +>，所以111n +≥，即10n ≥，所以n 的最小值是10，故答案为：1019. 已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x R ∈,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒=20. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则（1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．116-；10011(1)32-. （1）令1n =，114a =-；443311,,168S a S a =-=--两式对减得到3116=-a ；（2）由1(1),,2n n n n S a n N *=--∈可得1(1(1),,)22n n n nn S n N n S S -*=--∈≥- 当n 为偶数时，可得222121,2k k k k S S S -=--整理得2121,2k k S --=当n 为奇数时，可得21212211(,2)k k k k S S S +++-=--整理得221212221111202222k k k k k S S ++++=-+⨯+==，所以501210013991001114411(1)13214S S SS S S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==--.四、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，______________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．选①，312n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，n S 存在最大值，且最大值为4；选②，12566n a n =-+，n S 存在最大值，且最大值为50；选③，217242n n n a -+=，n S 不存在最大值，理由见解析．选①先判断{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，再求n a ，最后分n 为奇数和n 为偶讨论，分别判断n S 存在最大值并求出最大值即可；选②先判断{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，再求出12566n a n =-+，最后判断n S 存在最大值并求出n S 的最大值；选③先求出217242n n n a -+=，再判断n S 不存在最大值．解：选①：因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列．所以1311422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+，因为81132n⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为14S =；当n 为偶数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，综上，n S 存在最大值，且最大值为4．选②：因为116n n a a +-=-，14a =，所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列．所以()112541666n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，由于125066n -+≥，得25n ≤，所以n S 存在最大值，且最大值为25S 或24S ，因为25252414255026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50．选③：因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-，所以()()()()()2111221791171622n n n n n n n n n a a a a a a a a ----+---+-=-+-+⋅⋅⋅+-==，又14a =，所以217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值．22. 如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长；（2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.(1) 7OB =；(2)32. 试题分析：⑴由点312C ⎫⎪⎪⎝⎭，可得30AOC ∠=︒，故60COD ∠=︒，所以120CDB ∠=︒，由余弦定理求出OB 的长；⑵设62COD ππθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则23DOE πθ∠=-，从而可得四边形OCDE 的面积()S θ，由θ的取值范围得当3πθ=时，四边形OCDE 的面积有最大值，且最大值为32解析：（1）由点31,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ︒∠=，由图像可得60COD ︒∠=；在CDB ∆中，1OD =，120CDB ︒∠=，2DB =；由余弦定理得222OB OD DB =+ 2cos120OD OB ︒-⋅⋅；解得7OB =；（2）设62COD ππθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，23DOE πθ∠=- 1sin 2COD S θ∆=，12sin 23EOD S πθ∆⎛⎫=-⎪⎝⎭四边形OCDE 的面积()EOD CODS S S θ∆∆=+ 112sin sin 223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 62ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭131sin sin 22θθθ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦33sin 4θθ= 36πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭62ππθ<<，2363πππθ∴<+<当62ππθ+=，即3πθ=时，四边形OCDE 的面积S 的最大值为3. 【详解】23. 如图，在棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为平行四边形，4DD CD '==，2AD =，3BAD π∠=，且D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点.（1）过D H '作与 BC 垂直的平面α，交棱BC 于点N ，试确定点N 的位置，并说明理由；（2）在线段D C ''上是否存在点P ，使二面角P BH A --为34π？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.（1）N 为棱BC 的中点；理由见解析；（2）存在，P 的位置与C '重合.（1）取BC 中点N ，利用余弦定理求得NH ，可证明NH BC ⊥，从而可证得得BC ⊥平面D HN '；（2）由（1）得AD BD ⊥，分别以DA ，DB 为x ，y 轴的正方向，以过D 点垂直于平面ABCD 的方向为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设D P D C λ'''=，由向量法求二面角P BH A --，由二面角的大小可求得λ，得P 点位置．解：（1）当点N 为棱BC 的中点时，符合题目要求，证明如下：分别连结NH ，ND '.在HNC △中，222cos 33NH NC CH NC CH π=+-⋅⋅=所以222HC NC HN =+，因此2HNC π∠=，即NH BC ⊥，因为D 在底面上的投影H 恰为CD 的中点，所以D H '⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以D H BC '⊥，又NH BC ⊥，D H NH H '=，D H '，NH ⊂平面D HN '，所以BC ⊥平面D HN '，因此，点N 即所求，平面D HN '即为α.（2）存在满足条件的点P ，且P 的位置与C '重合.证明如下：由（1）知可得HN BC ⊥，//HN DB ，//AD BC ，所以AD BD ⊥，分别以DA ，DB 为x ，y 轴的正方向，以过D 点垂直于平面ABCD 的方向为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，23HD '=，(0,0,0)D ，()1,3,0H -，()0,23,0B ，()1,3,23D '-，()2,23,0C -，()3,33,23C '-，设()()2,23,02,23,0D P D C λλλλ'''==-=- 易得平面AHB 的一个法向量为()0,0,1m =，()1,3,0HB =，(0,0,23HD '=，(2,233HP HD D P λλ''=+=-，设(,,)n x y z =为平面PBH 的一个法向量，则：00n HB n HP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即得30223230x y x y z λλ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，令3x =，得()3,1,2n λ=-，因为二面角P BH A --为34π，所以3cos ,cos4m n π<>=，即22m n m n ⋅=-⋅22244λλ=+，又因为二面角P BH A --的大小为钝角，故1λ=. 24. 已知函数2()2ln f x x x a x =--，()g x ax =. （1）讨论函数()()()F x f x g x =+的单调性；（2）若不等式sin ()2cos xg x x≤+对任意0x ≥恒成立，求a 的取值范围.（1）答案见解析；（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（1）求导数()F x '，分类讨论确定其正负，得()F x 的单调性；（2）设sin ()(0)2cos x h x ax x x=-≥+，求出212cos ()(2cos )x h x a x +'=-+，然后用换元法，设cos t x =，求出212()(2)t t t ϕ+=+的取值范围11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，由根据a 的范围分类讨论，确定的正负，13a ≥与0a ≤都易得结论，当103a <<时，对于02x π<<，由不等式性质得sin ()3x h x ax <-，令sin ()3xT x ax =-，用导数研究它的单调性得不可能恒成立，从而得a 的范围．（1）2()2ln F x x x a x ax =--+，定义域为(0,)+∞.22(2)(2)(1)()x a x a x a x F x x x'+--+-==， ①02a-≤即0a ≥时，()F x 在(0,1)上递减，()F x 在(1,)+∞上递增， ②012a <-<即20a -<<，()F x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(1,)+∞上递增，在,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，③12a-=即2a =-时，()F x 在(0,)+∞上递增. ④12a ->即2a <-时，()F x 在(0,1)和,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，()F x 在1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，（2）设sin ()(0)2cos xh x ax x x=-≥+，则212cos ()(2cos )x h x a x +'=-+，设cos t x =，则[]1,1t ∈-，212()(2)t t t ϕ+=+，432(2)(1)2(1)()0(2)(2)t t t t t t ϕ-+---'==≥++， ()t ϕ∴在[]1,1-上递增，()t ϕ∴的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，①当13a ≥时，()0h x '≥，()h x 为[]0,+∞上的增函数，()(0)0h x h ∴≥=，适合条件.②当0a ≤时，10222h a ππ⎛⎫=⋅-< ⎪⎝⎭，∴不适合条件.③当103a <<时，对于02x π<<，sin ()3x h x ax <-，令sin ()3x T x ax =-，cos ()3xT x a '=-，存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00,x x ∈时，()0T x '<，()T x ∴在()00,x 上单调递减，()0(0)0T x T ∴<<，即在()00,x x ∈时，()0h x <，∴不适合条件.综上，a 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.。

福建省师大附中高三数学上学期期中试题理新人教A版

高三数学 (理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．复平面内,若复数20132iz i+=,其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 对应的点所在象限为 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{6},{30}A x N x B x R x x =∈≤=∈->||，则AB =A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{|36}x x <≤D ．{|36}x x ≤<3．,3=,4=,33)3()(=+⋅+则与的夹角为A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π4．在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,若222222c a b ab =++,则ABC ∆是A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．()f x ,()g x 是定义在R 上的函数,若()()()h x f x g x =+,则“()f x ,()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 6．设函数()|sin |cos 2,,22f x x x x ππ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦,则函数()f x 的最小值是 A ．1-B ．0C ．12 D ．987．若将函数sin()3y x πω=+(ω>0)的图象向左平移4π个单位后,与函数sin()4y x πω=+的图象重合,则ω的最小值为A ．112 B ．13 C ．2 D ．2338．已知函数)2cos()2sin(2ππ-+=x x y 与直线21=y 相交,若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为1M ,2M ,3M ,…,等于A ．π6B ．π7C ．π12D ．π13 9．已知函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>，当4x π=时,()f x 取得最小值,则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是A ．偶函数且图象关于点(),0π对称B ．奇函数且图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．偶函数且图象关于点x π=对称D ．奇函数且图象关于直线2x π=对称10．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点,则下列对AP →·(AB →+AC →)的值说法正确的是A ．最大值为8B ．是定值6C ．最小值为2D ．与点P 的位置有关11．已知0>a 且1≠a ,函数)(log )(2b x x x f a ++=在区间),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数,则函数b x x g a -=||log )(的图象是12．已知集合{})(),(x f y y x M ==,若对于任意M y x ∈),(11,存在M y x ∈),(22,使得02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“Ω集合”. 给出下列4个集合: ①{}||(,)x M x y y e == ②{}(,)|cos |M x y y x ==③1(,)x M x y y x +⎧⎫==⎨⎬⎩⎭④{}(,)ln(2)M x y y x ==+ 其中所有“Ω集合”的序号是 A ．①③ B ．①④C ．②④D ．②③④第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷的相应位置. 13．函数2y =与22cos(02)2xy x π=≤≤的图象围成的封闭图形的面积为***** . 14．在,2ABC A AB ∆∠=中,=60,且ABC ∆3,则BC 的长为***** . 15．已知135sin ,53)cos(-==-ββα,且)0,2(),2,0(πβπα-∈∈,则sin α=***** .θ4θ2θθEBCDA16．已知函数22, 0,()3, 0x a x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是***** .17．如图，已知在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m 至点C 处，测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至点D 处，测得顶端A 的仰角为4θ，则建筑物AE 的高为*****m .18．“无字证明”(proofs without words ), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:***** .β α三、解答题：本大题有5题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分13分）已知向量(2sin(),1),(2cos ,3),(0)3m x n x πωωω=+=->，函数()f x m n =⋅的两条相邻对称轴间的距离为.2π(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间; (Ⅱ)当[,]36x ππ∈-时,求)(x f 的值域.20．（本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x x ax a R x=-+∈. (Ⅰ)当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (Ⅱ)若函数()y f x =在定义域内是减函数，求a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）如图,在直角坐标系xOy 中,角α的顶点是原点,始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点A ,且,)62ππ∈(α.将角α的终边按逆时针方向旋转3π,交单位圆于点B .记),(),,(2211y x B y x A .(Ⅰ)若311=x ,求2x ; (Ⅱ)分别过,A B 作x 轴的垂线,垂足依次为,C D .记△AOC 的面积为1S ,△BOD 的面积为2S .若122S S =,求角α的值.22．(本小题满分12分)如图,有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯,其照射角PAQ ∠始终为45(其中点P 、Q 分别在边BC 、CD 上),设,tan PAB t θθ∠==,探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S (平方百米).(Ⅰ)将S 表示成t 的函数; (Ⅱ)求S 的最大值.23．(本小题满分15分)已知函数()ln ,(),xf x ax xg x e a R =+=∈.(Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()g x x<,求实数m 的取值菹围； (Ⅲ)定义:对于函数()y F x =和()y G x =在其公共定义域内的任意实数0x ,称00()()F x G x -的值为两函数在0x 处的差值.证明:当0a =时,函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有差值都大于2.福建师大附中2013-2014学年第一学期期中考试卷高三数学 (理科)试题参考答案一、选择题：1－12：ABCCBB DADBAC 二、填空题：13. 2π 14．653316. 4(,1]9 17.15 18.sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+三、解答题：19. 解：(Ⅰ)()4sin()cos 3f x m n x x πωω=⋅=+22sin cos x x x ωωω=+sin 22x x ωω=+2sin(2)3x πω=+22T ππω== 1ω∴= ()2sin(2)3f x x π∴=+由222()232k x k k z πππππ-≤+≤+∈得51212k x k ππππ-≤≤+∴单调递增区间是5[,]()1212k k k z ππππ-+∈(Ⅱ) ∵[,]36x ππ∈-∴22[,]333x πππ+∈- ∴sin(2)[32x π+∈-∴()[2]f x ∈，即()f x 的值域是[2] 20. 解：(Ⅰ) 当1a =时, 2()ln f x x x x=-+∴(1)1f = ∴切点为(1,1)∵2'22122()1x x f x x x x-+-=--= ∴'(1)2f =-∴切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=. (Ⅱ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞'212()f x a x x=-- ∵函数()y f x =在定义域内是减函数∴'212()0f x a x x =--≤在(0,)+∞上恒成立，即22122x a x x x-≥-=在(0,)+∞上恒成立，方法一：设22()x g x x-=，(0,)x ∈+∞22'44(2)24()x x x x xg x x x--⋅-+== 令'()0g x =得10x =（舍去），24x =∵(0,4)x ∈时'()0g x >，()g x 单调递增，(4,)x ∈+∞时'()0g x <，()g x 单调递减∴max 1()(4)8g x g ==∴18a ≥ 方法二：设22()x g x x-=，(0,)x ∈+∞设1t x =，则2()2,g x y t t ==-+(0,)t ∈+∞∴当14t =即4x =时，max 1()(4)8g x g == ∴18a ≥21. 解: (Ⅰ)由三角函数定义,得 1cos x =α,2cos()3x π=+α 因为 ,)62ππ∈(α,1cos 3=α,所以 sin 3==α所以 211cos()cos 3226x π-=+==αα-α (Ⅱ)依题意得 1sin y =α,2sin()3y π=+α. 所以 111111cos sin sin 2224S x y ==⋅=ααα, 2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα依题意得 2sin 22sin(2)3π=-+αα, 整理得 cos20=α 因为 62ππ<<α, 所以 23π<<πα,所以 22π=α, 即 4π=α22.解：(Ⅰ),01,BP t t =≤≤145,tan(45)1ootDAQ DQ tθθ-∠=-=-=+1111212(1),[0,1]22121ABP ADQ ABCD t S S S S t t t t t ∆∆-=--=--⋅=-++∈++四边形(Ⅱ)方法一：122(1)221ABP ADQ ABCD S S S S t t ∆∆=--=-++≤+四边形当且仅当1t =时取等号.所以探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大值为2平方百米).方法二：22'222122(1)21(1)2(1)2(1)2(1)t t t S t t t -+--+=--==+++令'0S =得1t =∵1)t ∈-时'0S >，S 单调递增，1,1)x ∈-时'0S <，S 单调递减.∴当1t =max 2S =所以探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大值为2平方百米). 23.解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0,)+∞'1(),(0)f x a x x=+>当0a ≥时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增当0a <时，令'()0f x =得，1x a=-，则当1(0,)x a∈-时，'()0f x > ∴()f x 单调递增当1(,)x a∈-+∞时，'()0f x < ∴()f x 单调递减综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞当0a <时，()f x 的单调递增区间是1(0,)a -，()f x 的单调递减区间是1(,)a-+∞(Ⅱ)由题意：xe<e x m -因此只需m x e <-,(0,)x ∈+∞有解即可，设()h x x e=-'()11x x h x ee =-=-1≥=>，且(0,)x∈+∞时1xe>∴10xe-+<故()h x在(0,)+∞上单调递减，∴()(0)0h x h<=∴0m<(Ⅲ)当0a=时, 函数()y f x=和()y g x=在其公共定义域为(0,)+∞|()()||ln|ln(ln)x x xf xg x x e e x e x x x-=-=-=---设(),(0,)xm x e x x=-∈+∞∵'()10xm x e=->，()m x在(0,)+∞上单调递增.∴()(0)1m x m>=设()ln,(0,)n x x x x=-∈+∞则当(0,1)x∈时，'()0n x>∴()n x单调递增当(1,)x∈+∞时，'()0n x<∴()n x单调递减∴()(1)1maxn x n>=-()1n x≤-，故|()()|()()2f xg x m x n x-=->，即公共定义域内的所有差值都大于2.。

2020届福建师范大学第二附属中学高三上学期期中考试数学(理)试题

福建师大二附中2019—2020学年第一学期高三期中考
数学（理）试卷
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
命题人高三集备组审 Nhomakorabea人班级姓名座号
第I卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，集合，求（）
A． B． C． D．
(1)求AD的长；
(2)求△CBD的面积．
19．（本小题满分12分）
已知在多面体中，，，，，且平面平面．
（I）设点为线段的中点，试证明平面；
（II）若直线与平面所成的角为，
求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求实数的值；
（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围．
分析：由偶函数满足，可得函数周期为，利用导数研究函数的单调性，画出函数图象，在上有个周期，且有个整数解，每个周期内有个解，由可得结果.
详解：
由，可知函数的对称轴为，
由于函数是偶函数， ,
所以函数是周期为的周期函数，
当时，，
函数在上递增，在上递减，
最大值，且，
由选项可知，解得或，
因为，若，则，故在上单递调递减，，
不合题意，舍去；
若，则，故在上单调递增，，不合题意，舍去；
若，则，则．综上，．
（2），，．
令，则，．令得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以．
因为，，，，
所以在和上，即各有一个零点．

福建省师大附中高三数学理科第一学期期中考试卷

福建省师大附中2007—2008学年度高三第一学期期中考试数学试题（理科）（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题p : :对任意的,sin 1x R x ∈≤有，则p ⌝是（）A ．存在,sin 1x R x ∈≥有B ．对任意的,sin 1x R x ∈≥有C ．存在,sin 1x R x ∈>有D ．对任意的,sin 1x R x ∈>有2． (2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为（）A． B ． 2C ．D ．10 3．已知函数sin ,4()6(1),4x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，则(5)f 的值为（） A ．12B ．C ．D ．14．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于（）A ．9B ． 8C ． 7D ．65．若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的,()()66x R f x f x ππ∈+=-有，则()6f π等于（） A ．3- B ． 0 C ． 3 D ．3±6．设1()f x -是函数1()2()3x x f x x =-+的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．83x >B ． 83x <C ． 803x << D ．0x <7．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若111111,a b a b ==，则（）A ．66a b =B ． 66a b >C ． 66a b <D ．66a b >或66a b <8．设a b →→,是非零向量，若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+∙-的图像是一条直线，则必有（）A ．a b →→⊥B ． //a b →→C ． a b →→= D ．a b →→≠9．若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是（） A ．正方形 B ．矩形 C ．菱形 D ．直角梯形 10．若cos 2sin()4απα=-sin cos αα+的值为（）A． B ． 12-C ．12D11．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且7413n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值（）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为。

福建师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)

福建师大附中2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2≤1}，B ={x|x ≤0}，则A ∪B =( )A. (−∞,1]B. [1,+∞)C. [−1,0]D. [0,1]2. 复数(1+i)i 的虚部为( )A. 1B. −1C. iD. −i3. 已知命题p ：∀x <2，x 3−8<0，那么￢p 是( )A. ∀x ≤2，x 3−8>0B. ∃x ≥2，x 3−8≥0C. ∀x >2，x 3−8>0D. ∃x <2，x 3−8≥04. 用数学归纳法证明12+32+52+⋯+(2n −1)2=13n(4n 2−1)过程中，由n =k 递推到n =k +1时，不等式左边增加的项为( )A. (2k)2B. (2k +3)2C. (2k +2)2D. (2k +1)25. 古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增.共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？( )A. 2B. 3C. 4D. 56. 三个数a =0.67，b =70.6，c =log 0.76的大小关系为( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a7. 己知实数x ，y 满足不等式组{x −y +2≥02x +y −3≤00≤y ≤a，若z =x −2y 的最小值为−3，则a 的值为( )A. 1B. 32C. 2D. 73 8. 平行四边形ABCD 中AB =2,AD =1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，点M 在边CD 上，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. √2−1B. √3−1C. 2D. 09. 函数f(x)=e x−1x 的大致图象为( )A. B.C. D.10.函数f(x)=(x−1)lnx2的图象大致为()A. B.C. D.11.已知函数f(x)=√3sin(ωx−π6)−32(ω>0)在(0,π2)上有且只有3个零点，则实数ω的最大值为()A. 5B. 163C. 173D. 612.已知关于x的方程x2+2alog2(x2+2)+a2−3=0有唯一解，则符合条件的实数a值是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则a⃗⋅b⃗ =_______．14.设x，y满足约束条件{2x−y+2≥08x−y−4≤0x≥0,y≥0，若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为8，则a+b的最小值为________15.现有五张相同的卡片，卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中卡片上的数字推测谁手中卡片上的数字更大．甲看了看自己手中卡片上的数字，想了想说：我不知道谁手中卡片上的数字更大；乙听了甲的判断后，看了看自己手中卡片上的数字，思索了一下说：我也不知道谁手中卡片上的数字更大．如果甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中卡片上的数字是________．16.若函数f(x)=ax+bcx+d (c≠0)，其图象的对称中心为(−dc,ac)，现已知f(x)=2−2x2x−1，数列{a n}的通项公式为a n=f(n2020)(n∈N+)，则此数列前2020项的和为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图、在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=√7，ΔABC的面积为SΔABC=√32，DC=4√75．(1)求BC的长．(2)求∠ACD的大小．18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5=5，a5=5.数列{b n}满足b1=−2，且b n+1−b na n=3n+1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{b n}的通项公式．19. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =3+3cosφy =3sinφ(φ为参数，φ∈[0,2π))，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出曲线C 的普通方程；(2)若点B 是射线l ：θ=α(ρ≥0,α∈[0,π))与曲线C 的公共点，当|OB|=3√3时，求α的值及点B 的直角坐标．20. 已知函数f(x)=|2x −1|+|2x +a|，g(x)=x +3．(Ⅰ)当a =−2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(Ⅱ)当x ∈(12,1)时，f(x)≤g(x)成立，求a 的取值范围．(ω>0)的最小正周期是π．21.已知函数f(x)=√3sinωxcosωx−cos2ωx+12(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移π个单位，得3函数g(x)的图象．若a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，a+c=4，且当x=B时，g(x)取得最大值，求△ABC周长的取值范围．lnx．(1)若a>0，求函数f(x)的极值点；22.已知函数f(x)=x|x+a|−12(2)若f(x)>0，求a取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．解不等式化简集合A，根据并集的定义写出A∪B．解：集合A={x|x2≤1}={x|−1≤x≤1}，B={x|x≤0}，则A∪B={x|x≤1}=(−∞,1]．故选A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵(1+i)i=−1+i，∴复数(1+i)i的虚部为1．故选：A．3.答案：D解析：本题主要考查含有量词的命题的否定，全称命题的否定是特称命题，比较基础．根据全称命题的否定是特称命，即可得到结论．解：因为p：∀x<2，x3−8<0，所以¬p是∃x<2，x3−8≥0．故选D．4.答案：D解析：本题主要考查数学归纳法，属于基础题．分别写出n=k与n=k+1时左边的项，再比较即可．解：当n=k时，左边为12+32+52+⋅⋅⋅+(2k−1)2，当n=k+1时，左边为12+32+52+⋅⋅⋅+(2k−1)2+(2k+1)2，多了一项(2k+1)2．故选D．5.答案：B解析：本题考查了等比数列的定义求和公式，考查了推理能力与计算能力，设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2.利用求和公式即可得出．解：设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2．∴a1(27−1)2−1=381，解得a1=3．故选B．6.答案：C解析：解：∵0<a=0.67<1，b=70.6>1，c=log0.76<0，∴c<a<b，故选：C．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：A解析：解：实数x，y满足不等式组{x−y+2≥02x+y−3≤00≤y≤a的可行域如图，当直线z=x−2y过点A(a−2,a)时，z取得最小值，即a−2−2a=−3可得a=1．故选：A ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值列出方程，求解即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．8.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积及坐标运算．属中档题．建立平面直角坐标系将几何问题代数化是解题的关键．解：如图，以点D 为原点，DC 所在的直线为x 轴，过点D 作垂直于DC 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，由AB =2，AD =1，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠DAB =−1，得∠DAB =120°，则易得A (12,√32)，B (52,√32)，设M(a,0)(0≤a ≤2)，则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−a,√32)⋅(52−a,√32) a 2−3a +2=(a −32)2−14，易得当a =0时，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值2，故选C ．。

福建省师范大学附属中学2020届高三数学上学期期中试题文

福建省师范大学附属中学2020届高三数学上学期期中试题文试卷说明：（1）本卷共三大题，22小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}20,21x A x x x B x =-<=<,则A.{}0A B x x =<I B ．A B R =UC ．{}1A B x x =>UD ．A B =∅I2.设向量=（1，-2），=（0，1），向量λ+与向量+3垂直，则实数λ=A. B. 1 C. D.3．是“直线和直线垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若326-=S S ，则5S = A ．15B.30C ．40D ．605．设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是 A ．若l αP ，m αP ，则l m PB ．若l αP ，m l ⊥，则m α⊥C ．若α⊥l ，m l ⊥，则m αPD.若α⊥l ，m α⊥，则l m P6．已知函数()()3sin cos 0f x x x ωωω=+>的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，有下列四个结论：1p ：()g x 在ππ(,)63-单调递增；2p ：()g x 为奇函数；3p ：()y g x =的图象关于直线5π6x =对称； 4p ：()g x 在π[0,]2的值域为[1,1]-．其中正确的结论是 A.13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．34,p p7.已知曲线221:430c x y y +-+=与y 轴交于A ，B 两点，P 为2:10c x y --=上任意一点，则|PA |+|PB |的最小值为 A.2B.C.D. 48．已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为A ． 36B ． 44C ． 52D ． 609．函数()e 2xf x x=的部分图象大致为11O x y11yxO11yxO11yxOA. B. C. D.10.已知函数()2sin 4f x wx π⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则w 的最大值为 A. B. 1C. 2D. 411.玉琮是古人祭祀的礼器．如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想．该玉琮的三视图及尺寸数据（单位：cm ）如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积（单位：3cm ）为A. 25614π+ B ．25616π+ C ．25629π- D ．25622π-12．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()+=-f x f x ，且当[]0,1∈x 时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是 A ．20202019()()(2018)32f f f <<B ．20202019(2018)()()32f f f << C.20192020(2018)()()23f f f << D ．20192020()()(2018)23f f f << Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：每小题5分,共20分.13．若x ，y 满足约束条件，则z=x+2y 的最小值为．14．若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为． 15.已知函数()2113sin 2122x f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 的值为．16. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD -的侧面积的最大值为．三、解答题:共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本题满分10分）数列}{n a 满足：n n n a a a n +=++⋅⋅⋅++221132，*N ∈n . （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n a b 1=，数列}{n b 的前n 项和为n S ，求满足209>n S 的最小正整数n .18．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,其中a为参数,在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点P 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭,直线l 的极坐标方程为sin 04πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程;（Ⅱ）若Q 是曲线C 上的动点,M 为线段PQ 的中点，求点M 到直线l 的距离的最大值.19．（本题满分12分）已知函数35)(+--=x x x f . （Ⅰ）解关于x 的不等式1)(+≥x x f ；（Ⅱ）记函数)(x f 的最大值为m ，若420,0,abab m a b e e e ->>⋅=，求ab 的最小值.20．（本题满分12分）在如图所示的多面体中，面ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形。

福建省师范大学附属中学2020届高三上学期期中考试物理试题 Word版含答案

福建师大附中2019-2020学年第一学期期中考试高三物理试卷试卷说明：（1）本卷共三大题，17小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备，使用黑色签字笔答题。

第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，第1～8题只有一项是符合题目要求，第9～12题有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，选对但不全的得2分。

有选错的得0分。

1．将一个小球从报废的矿井口由静止释放后做自由落体运动，5 s末落到井底．该小球开始下落后第2 s内和第5 s内的平均速度之比是A．1∶3 B．1∶5 C．2∶5 D．3∶72．如图所示，实线为等量异种点电荷周围的电场线，虚线为以一点电荷为中心的圆，M点是两点电荷连线的中点。

若将一正试探点电荷从虚线上M点移动到N点，设M、N两点的电势分别为φM、φN，此电荷在M、N两点的加速度分别为a M、a N，此电荷在M、N两点的电势能分别为E PM、E PN，下列判断中正确的是A．a M＜a N B．φM＜φNC．E PM＞E PN D．电场力对电荷做正功3．在平直公路上行驶的a车和b车，其位移时间图象分别为图中直线a和曲线b。

t=3s时，直线a和曲线b刚好相切，下列说法正确的是A．t=3s时，两车具有共同的加速度B．a车做匀速运动，b车做加速运动C．在运动过程中，b车始终没有超过a车D．在0~3s的时间内，a车的平均速度比b车的大4．如图所示，一辆有驱动力的小车上有一水平放置的弹簧，其左端固定在小车上，右端与一质量为1kg的物块相连。

物块和小车一起向右匀速运动时，弹簧处于压缩状态，弹簧弹力大小为2N。

若小车开始向右加速运动，加速度大小为4m/s2，则物块受到的摩擦力的大小与匀速时比较A．不变 B．变大 C．变小 D．以上三种情况均有可能5．在光滑绝缘水平面上，三个带电小球a、b和c分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上；a、b带正电，电荷量均为q，整个系统置于方向水平的匀强电场中。

福建师大附中高三数学上学期期中试题理(含解析)新人教A版

福建师大附中2013届高三上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．x2．（5分）（2010•泰安一模）若复数是纯虚数（i是虚数单位），则a的值，由纯虚数的定义可得答案．==，4．（5分）已知向量，则向量的夹角为（），代入可求向量的夹角解：设向量==5．（5分）给出命题：已知a、b为实数，若a+b=1，则ab≤．在它的逆命题、否命题、逆=ab≤，则，6．（5分）下列函数中，周期为π，且在上单调递增的奇函数是（）．．．，，且在，，，且在7．（5分）把函数的图象向左平移个单位，再把所得函数图象上所C）]=过第二次变换可得解：把函数的图象向左平移）﹣]=解析式为8．（5分）（2013•日照二模）在同一个坐标系中画出函数y=a x，y=sinax的部分图象，其中．．C．．T=9．（5分）已知，，，，则的最大值为（）AC==的最大值为：10．（5分）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在△ABC中用余弦定理解得，乙同学在Rt△ACH中解得，据此可得cos72°的值所在区间为（）解：根据题意可得构造函数二、填空题：本大题有7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，若a3+a4+a5=9，则S7= 21 ．（12．（5分）（2013•泰安二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB=2sinC，，则A= ．sinB=，再由，∵sinB=2sinC，∴，∴a=∴cosA=﹣．故答案为：13．（5分）函数f（x）=cos2x+sinxcosx（）的取值范围是[，1] ．+2xx+sinxcosx•+cos2x+（，0≤x≤≤x≤，∴（，14．（5分）偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=﹣x+1，则关于x的方程上解的个数是 3 个．=，，，讨论方程在指定区间上零点的个15．（5分）已知数列{a n}的通项公式为，则数列中数值最大的项是第 6 项．的表达式，进而利用函数的单调性即可求出．==时，时，＞时，单调递减，取得最大值．16．（5分）如图△ABC中，AD=2DB，2AE=EC，BE∩CD=P若，则x+y= ．由梅涅劳斯定理，知：=1，所以=，再由，．故答案为：．17．（5分）将方程x+tanx=0的正根从小到大地依次排列为a1，a2，…，a n，…，给出以下不等式：①；②；③2a n+1＞a n+2+a n；④2a n+1＜a n+2+a n；其中，正确的判断是②④．（请写出正确的序号）＜三、解答题：本大题有5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（12分）已知数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，且满足T n=1﹣b n（1）求{b n}的通项公式；（2）在{a n}中是否存在使得是{b n}中的项，若存在，请写出满足题意的一项（不要求写出所有的项）；若不存在，请说明理由．=为首项和公比均为的等比数列，由此能满足题意，即=b为首项和公比均为的等比数列，，即19．（12分）（2007•山东）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？，，．答：乙船每小时航行20．（13分）如图，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，已知a12=1，，又设第一行数列的公差为d1．（Ⅰ）求出a11，d1及q；（Ⅱ）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n行n列的数表如下，试写出数表第n行第n列a nn的表达式，并求S n=a11+a22+a33+…+a nn的值．（Ⅰ）仔细观察图表，由题设条件知，由此能求出求（Ⅱ）由图表中的规律，知，，解得（Ⅱ）因为=①②由①﹣②，得．21．（13分）（2012•厦门模拟）已知函数f（x）=Asin（2x+θ），其中A≠0，，试分别解答下列两小题．（I ）若函数f（x）的图象过点E，求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）如图，点M，N分别是函数y=f（x）的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上的一点P（t，）满足，求函数f（x）的最大值．E的值，利用（Ⅱ）利用|NC|=，从而，由此可得，利用，E（﹣+（∴sin（+=，∴2x+，∴A=22x+），∵=|NC|=∴|NC|=|NC|=∴t﹣（﹣）﹣（+t=+2t=，=）的最大值为22．（15分）（2012•厦门模拟）已知函数f（x）=21nx+ax2﹣1 （a∈R）（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=l，试解答下列两小题．（i）若不等式f（1+x）+f（1﹣x）＜m对任意的0＜x＜l恒成立，求实数m的取值范围；（ii）若x1，x2是两个不相等的正数，且以f（x1）+f（x2）=0，求证：x1+x2＞2．=＜）。

福建省师大附中高三数学上学期期中试题理

福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷数学 (理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设集合 A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ={x |2x ＜4}，则 A ∪B ＝ ( **** ) A. R B. ∅C. {x |x ≤1}D. {x |x ＞2}2.若复数22i1ia ++(a ∈R )是纯虚数,则复数i a 22+在复平面内对应的点在( **** ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知命题p ：“0a ∀>，都有1ae ≥成立”，则命题p ⌝为（**** ） A ．0a ∃≤，有1a e <成立 B ．0a ∃≤，有1ae ≥成立 C ．0a ∃>，有1a e ≥成立 D ．0a ∃>，有1ae <成立4．利用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2) …(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)，n ∈N *”时，从“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边应增乘的因式是(**** ) A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1D ．2k ＋3k ＋15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（****） A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏6.设()250.2log 4,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（**** ） A ．a b c >> B ．b c a >> C.a c b >> D ．b a c >>7.记不等式组220,1,2x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩解集为D ,若,则实数a 的最小值是( **** )A ．0B ．1C ．2D ．48.如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，0120BAD ∠=，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为（**** ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39.已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为( **** )A.B.C.D10.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（**** ）11.已知函数()sin (0),f x x x =>ωωω若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（ **** ） A. 137(,]62 B. 725(,]26 C. 2511(,]62 D. 1137(,]2612.已知关于x 的方程222log (||2)5xxe e a x a -+-++=有唯一实数解，则实数a 的值为（****）A ．1-B ．1C ．1-或3D ．1或3- 第Ⅱ卷共90分二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13.已知向量a ，b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则2a b +=__****__.14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为__****__. 15．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭（*,5n n ∈≤≤N 1）五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是_***__.16．在数列{}n a 中，若存在一个确定的正整数T ，对任意*n N ∈满足n T n a a +=，则称{}n a 是周期数列，T 叫做它的周期.已知数列{}n x 满足121,(1)x x a a ==≥，21n n n x x x ++=-，若数列{}n x 的周期为3，则{}n x 的前100项的和为 **** . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中, 3B π=,2BC =,点D 在边AB 上, AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(Ⅰ)若BCD ∆,求CD 的长;(Ⅱ)若DE =求A ∠的大小.18.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．EDCA19.（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.20.（本小题满分12分）已知函数()1f x a x x a =-+- （0a > ）. （Ⅰ）当2a =时，解不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()1f x ≥，求a 的取值范围．21. （本小题满分12分）函数()()sincos3cos 022xxf x x ωωωω=⋅+>，在一个周期内的图象如图所示, A 为图象的最高点, B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()f x 的图象上每个点的横坐标缩小为原来的4π倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位得到函数()g x ，若设()g x 图象在y 轴右侧第一个最高点为P ，试问()g x 图象上是否存在点()()(),2Q g θθπθπ<<，使得OP OQ ⊥，若存在请求出满足条件的点Q 的个数，若不存在，说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()()()2e xf x x ax =--．（Ⅰ）当0a >时，讨论()f x 的极值情况；（Ⅱ）若()[]1()0e x f x a --+≥，求a 的值．EDCA福建师大附中2018-2019学年第一学期高三期中考试卷解答数学 (理科)一、选择题：ABDBB ;DCADB,BA二：填空题：本大题有4小题，每小题5分.13. , 14． 7 15．7816．67三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） (Ⅰ)由已知得1sin 2BCD S BC BD B ∆==，又2BC =，sin B =得23BD =……………3分在BCD ∆中，由余弦定理得CD===所以CD 的长为CD = ……………6分 (Ⅱ)因为sin DE CD AD A ===……………8分在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC B =∠，又2BDC A ∠=∠, ……………10分得2sin 2A =，……………11分解得cos A =,所以4A π=即为所求. ……………12分 18.(本小题满分12分）解:（Ⅰ） 21n a S =， 24(1)n n S a ∴=+．………………………………1分当1n =时，2114(1)S a =+，得11a =．………………………………2分当2n ≥时，2114(1)n n S a --=+，22114()(1)(1)n n n n S S a a --∴-=+-+，………………………………3分2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 0,n a > 12n n a a -∴-=．………………………………4分∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，………………………………5分 12(1)21n a n n ∴=+-=-．………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(21)3n n b n =-⋅，231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅，——①………………………………7分2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅，——②………………………………8分 ①–②得2312111112()(21)333333n n n T n +=+++⋅⋅⋅+--⋅………………………………9分2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-，………………………………10分化简得113n nn T +=-．…………………12分 19.（本小题满分12分）解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则20.（本小题满分12分）解：（1）f (x)＝2|x －1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4，x ＜1，x ，1≤x≤2，3x －4，x ＞2．所以，f (x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f (0)＝f ( 83)＝4，故f (x)≤4的解集为{x|0≤x≤ 83}. ....................................6分（2）①若a ＞1，f (x)＝(a －1)|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a－1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2. .................................7分 ②若a ＝1，f (x)＝2|x －1|，f (1)＝0＜1，不合题意. ...................…9分③若0＜a ＜1，f (x)＝a|x －1|＋a|x －a|＋(1－a)|x －a|≥a(1－a)，当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a ＜1矛盾. .............11分综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞). …...................12分21. （本小题满分12分）由已知得:()cos 3cos 3cos 223x x f x x x x x ωωπωωωω⎛⎫=⋅+=+=+ ⎪⎝⎭………2分∵A 为图象的最高点，∴A 的纵坐标为,又∵ABC ∆为正三角形，所以4BC =…………3分 ∴42T =可得8T =, 即28πω= 得4πω=…………4分,∴()sin()43f x x ππ=+…………5分,（Ⅱ）由题意可得()g x x =,2P π⎛ ⎝…………7分法一：作出如右下图象，由图象可知满足条件的点Q 是存在的，而且有两个………8分注：以上方法虽然能够得到答案，但其理由可信度不高，故无法给满分.法二：由OP OQ ⊥得0OP OQ =，即02πθθ+=，即()24sin 2πθθπθπ=-<<，由此作出函数()2y x x πππ=<<及()24sin 2y x x ππ=-<<图象，由图象可知满足条件的Q 点有两个.………10分(注：数形结合是我们解题中常用的方法，但就其严密性而言，仍有欠缺和不足.)法三：由OP OQ⊥得0OP OQ =，即3s i n 02πθθ+=，即()24s i n 02πθθπθπ+=<<，问题转化为研讨函数()()24sin 2h x x x x πππ=+<<零点个数。

福建省最新2020届高三数学上学期期中试题理(含解析)

福建省仙游县枫亭中学2020届高三数学上学期期中试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．） 1.已知集合()(){}120A x x x =--<，{}124xB x =≤≤，则AB =( )A. {}12x x <<B. {}12x x ≤≤C. {}12x x ≤<D.{}02x x ≤<【答案】A 【解析】因为()(){}{}120|12A x x x x x =--<=<<，{}{}124|02xB x x x =≤≤=≤≤，所以A B ={}12x x <<，故选A.2.复数z 满足(12)3z i i +=+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z =（） A. 1 B. 1i -C. 2D. 1i +【答案】D 【解析】【分析】由()123z i i +=+ ，312iz i+=+ 化简后可求共轭复数【详解】解：由()123z i i +=+ ，()2(3)12355112145i i i iz i i i +-+-====-+- 所以z 的共轭复数为1i + ，选D.【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算，属基础题，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =-B. 310n a n =-C. 228n S n n =-D.2122n S n n =- 【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 4.已知α是第三象限角，且3cos()25πα+=，则sin 2α=（） A.2425B. 2425-C.725D. 725-【答案】A 【解析】【分析】由诱导公式可以求出角α的正弦值，再由同角的正弦值与余弦值的平方和为1这一关系，可求出α的余弦值，最后运用二倍角正弦公式求出sin2α．【详解】3cos 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ⇒ 3sin 5α=-22sin cos 1αα+=， α是第三象限角∴4cos 5α==-∴24sin 22sin cos 25ααα==故本题选A ．【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、同角正弦函数与余弦函数的关系、二倍角公式． 5.已知向量,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，则2a b +＝（）C. 6D. 7【答案】B 【解析】【分析】计算227a b+=，得到答案.【详解】2222441247a b a a b b +=+⋅+=++=，故27a b +=.故选：B .【点睛】本题考查了向量模的计算，意在考查学生的计算能力.6.己知()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间(]0-∞，为增函数，且()30f =，则不等式(12)0f x ->的解集为（）A. ()10-，B. ()12-，C. ()02，D. ()2，+∞ 【答案】B 【解析】【分析】结合函数的奇偶性与单调性得f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，可得f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解得x 的取值范围即可．【详解】根据题意，因为f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（一∞，0]为增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为减函数，由f （3）＝0，则不等式f （1﹣2x ）＞0⇒f （1﹣2x ）＞f （3）⇒|1﹣2x|＜3，解可得：﹣1＜x ＜2，即不等式的解集为（﹣1，2）. 故选B ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（）. A. 24里 B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C 【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由6378S =求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．【详解】解：记每天走的路程里数为{}n a ，可知{}n a 是公比12q =的等比数列，由6378S =，得166112378112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-，解得：1192a =，65119262a ∴=⨯=，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．8.若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨⎪⎪≥⎩则z ＝3x ＋2y 的最大值为（）A. 7B. 6C. 143D. 9【答案】A 【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，根据图像知：当1,2x y ==时，32z x y =+有最大值为7. 故选：A .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 9.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，221(3)1BC t =+-=，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．10.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若27b =3c =，2B C =，则cos 2C 的值为（） 7 B.59C.497【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可推导出cos C 的取值，再利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理可得：sin sin b cB C=即sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin b B C C C C c C C C =====cos C ⇒= 275cos 22cos 12199C C ∴=-=⨯-=本题正确选项：B【点睛】本题考查正弦定理和二倍角公式的应用，属于基础题.11.函数()log 31(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为（）A. 3-B. 5C. 3+D. 3+【答案】C 【解析】令31+=x ，则2x =-可得：log 111a y =-=-，据此可得：()2,1A -- 点A 在直线10mx ny ++=上，故：210,21m n m n --+=∴+=，则：()111122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当m n ==.综上可得：11m n+的最小值为3+本题选择C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 12.()()(),()()f x R f x f x x R f x f x ∀∈<''设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于恒成立，则下列各式恒成立的是（） A. 2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef << B. 2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef >>C. 2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D. 2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()x f x F x e=，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【详解】设()()x f x F x e=，x R ∈（）所以'()()[]x f x F x e '==()()xf x f x e '-因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F < 即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <，整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故答案选B ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f =∴log 22a =，因为0,a >所以解得a ．故答案【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC 的面积为__________.【答案】【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．15.已知曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+的值为__________．【答案】35【解析】【分析】根据导数的几何意义求出tan 2α=，然后将所给齐次式转化为只含有tan α的形式后求解即可．【详解】由()323f x x =得()22f x x '=， ∴()12f '=，故tan 2α=．∴2222212132212215sin cos tan sin cos cos tan ααααααα---===++⨯+．故答案为35．【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有sin ,cos αα的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于tan α的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题．16.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________. 【答案】6 【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值. 【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力. 三、解答题（本大题共6小题）17.已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．【答案】（1）-3；（2. 【解析】【分析】(1)根据向量平行的坐标关系求得.k(2)根据向量的数量积运算求得夹角.【详解】解 (1)由题意，得12(),)2,1(m k k n ==，－－－＋．因为mn ，所以()12)12(k k ⨯⨯＋＝－－－，解得3k =-. (2)当2k ＝时，,)3(4n -=．设m 与n 的夹角为θ，则||||m ncos m n θ⋅=5==.所以m 与n . 【点睛】本题考查向量的平行关系和向量数量积运算，属于基础题.18.已知函数2()212sin ()f x x x x R =+-∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c =，()22Cf =，sin 2sin B A =，求,a b 的值.【答案】（1）T=π，()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b ==. 【解析】【分析】（1）利用倍角公式降幂化一，可求周期和单调区间. （2）由22C f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出C 的值，结合正余弦定理求得a ，b 的值．【详解】（1）()cos22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，周期为T π=. 因为()3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，所以()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以所求函数的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为2sin 226C f C π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0C π<<，所以3C π=，所以222222cos ,33a b ab a b ab π=+-+-=，①又因为sin 2sin B A =，由正弦定理可得，2b a =，②由①②可得1,2a b ==.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式，考查了y=asinθ+bcosθ型的化一问题，训练了正余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．19.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －n （n ∈N *）．（1）证明：数列{a n ＋1}为等比数列；（2）若数列{b n }为等差数列，且b 3＝a 2，b 7＝a 3，求数列11n n b b +的前n 项和T n . 【答案】（1）证明见解析；（2）1n n T n =+ 【解析】【分析】（1）化简得到121n n a a -=+，计算1121n n a a -+=+得到证明. （2）计算n b n =，故11111n n b b n n +=-+，利用裂项求和法计算得到答案. 【详解】（1）2n n S a n =-，当1n =时，11a =；当2n ≥时，1121n n S a n --=-+，两式相减得到121n n a a -=+，23a =.1111211211n n n n a a a a ---+++==++，验证1n =满足. 故{}1n a +为首项为2，公比为2的等比数列.（2）21n n a =-，故3123b b d =+=，7167b b d =+=，解得11b d ==，故n b n =，()1111111n n b b n n n n +==-++，故111111 (22311)n n T n n n =-+-++-=++. 【点睛】本题考查了等比数列的证明，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.20.已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .【答案】(1)1,2n n n a n b -==；(2)T n ＝(n －1)·2n ＋1.【解析】试题分析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，运用等差数列和等比数列的通项公式，可得,d q 的方程组，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求得12n n n n c a b n -==⋅，运用乘公比错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求的和.试题解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，依题意得解得d ＝1，q ＝2. 所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，b n ＝1×2n －1＝2n －1.(2)由(1)知c n ＝a n b n ＝n·2n －1，则 T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n －1，①2T n ＝2·20＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，②①－②得：－T n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n·2n＝－n·2n ＝(1－n)·2n－1，所以T n ＝(n －1)·2n ＋1.21.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边的边长为,,a b c ，且()2cos cos cos cos b a B C c B A =+．（1）求B 的大小；（2）若5a c +=，且3ABC S ∆=，求边长b 的值．【答案】（1）3B π=；（2）13b =．【解析】【分析】（1）运用正弦定理将条件()2cos cos cos cos b a B C c B A =+中的边化为角，进行三角恒等变形，可得3B π=；（2）运用余弦定理，三角形的面积公式．结合条件5a c +=，即求13b =．【详解】（1）由正弦定理得()sin 2sin cos cos sin cos cos B A B C C B A =+()2cos sin cos sin cos B A C C A =+()2cos sin B A C =+又因为在三角形中， ∴，可得，又，所以.()()()2222213b a c ac a c ac =+-=+-由及余弦定理得：∵25253a c b ac +=∴=-， 13,sin 342ABC S ac B ac ∆===，即 21313b b ∴=∴=【点睛】本题主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式，及三角形面积．属于中档题．22.已知函数f （x ）=lnx ﹣ax ，其中a 为实数．（1）求出f （x ）的单调区间；（2）在a ＜1时，是否存在m ＞1，使得对任意的x∈（1，m ）,恒有f （x ）+a ＞0，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意x∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0．理由见解析．【解析】【分析】（1）对函数求导，并分a ≤0和a ＞0两种情况讨论．可求出结果；（2）结合（1）将a ＜1分为a≤0和01a <<两种情况进行讨论即可．【详解】（1）∵f（x ）=lnx ﹣ax ，∴ ()1f x a x'=-，当a≤0时，f'（x ）＞0恒成立，函数f(x)在定义域（0，+∞）递增；无减区间当a ＞0时，令f'（x ）=0，则x=1a ，当x∈（0，1a ）时，f'（x ）＞0，函数为增函数，当x∈（1a，+∞）时，f'（x ）＜0，函数为减函数． ()00a ≤+∞综上可得，当时增区间为，，无减区间()110,0,,,a f x a a ⎛⎫⎛⎫>+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时增区间为减区间为（2）在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意的x∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0．理由如下：由（1）得当a≤0时，函数f(x)在（1，m ）递增，()()()10f x f a f x a >=-+>此时，即，()1101,0,,,a f x a a ⎛⎫⎛⎫<<+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时增区间为减区间为，11a 而即f （x ）+a ＞0．综上可得：在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意x∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，着重考查了转化思想，分类讨论思想，及学生的运算能力、推理能力．属于中档题．。

福建省福州市师范大学附中2020届高三数学上学期期中试题理含解析

A。 1．5尺B. 2．5尺C. 3．5尺D. 4．5尺
【答案】B
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得，，可得 , ，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求．
【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列 ,
是其前项和,
则，所以，
由题知 ,所以，
所以公差，所以 ,故选B
【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【详解】因为的图像关于轴对称,故为偶函数,
对于C，，
故该函数为奇函数,不符合，故C错；同理D错。
对于A，令 ,
故为偶函数,当时，令 ,则，
取，则在为正，这与图像符合.
对于D，同理可判断为偶函数,
当时，令，则，这与图像不符合.
综上，选A.
【点睛】本题为图像识别题,考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从函数的图像中得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值的正负等性质，从而选出正确的函数．
8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形).例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，。根据这些信息，可得（）
A。 B。 C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
要求的值，需将角用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有，正五边形内角 , ，已知三角函数值有

2010-2023历年福建师大附中高三上学期期中考试化学卷

2010-2023历年福建师大附中高三上学期期中考试化学卷第1卷一.参考题库(共25题)1.某氯化镁溶液的密度为1．1g/cm3，其中镁离子的质量分数为2．4%，300mL 该溶液中Cl－离子的物质的量约等于（）A．1．5molB．1．32molC．0．66molD．0．33mol2.考查以下涉及H2O2的反应（未配平）：①Na2O2＋HCl H2O2＋NaCl②Ag2O＋H2O2Ag＋O2↑＋H2O③H2O2H2O＋O2↑④H2O2＋Cr2（SO4）3＋KOH K2CrO4＋K2SO4＋H2O判断下列说法正确的是（）A．都是氧化还原反应B．反应④中还原性:H2O > Cr2（SO4）3C．发生还原反应的元素相同D．H2O2既有氧化性，又有还原性3.硫酸锌可作为食品锌强化剂的原料。

工业上常用菱锌矿生产硫酸锌，菱锌矿的主要成分是ZnCO3，并含少量的Fe2O3 、FeCO3 、MgO等，部分生产工艺流程图示意如下：（1）将菱锌矿研磨成粉的目的是。

（2）工业流程中必须将Fe2+氧化成Fe3+后再加以分离。

在实验室中可以用H2O2，在酸性条件下完成这个转化，请写出相应的离子方程式：。

（3）针铁矿的组成元素是Fe、O和H，化学式量为89，化学式是。

（4）工业上从“滤液2”制取MgO过程中，合适的反应物是（选填序号）。

a．大理石粉b．石灰乳c．纯碱溶液d．烧碱溶液（5）“滤液3”之后的操作依次为、、过滤，洗涤，干燥。

4.下列说法不正确的是（）A．非金属元素之间不仅能形成共价化合物，也能形成离子化合物B．装修门窗使用的铝合金材料的硬度比铝大，熔点比铝低C．节日燃放的烟花是某些金属元素发生焰色反应所呈现出来的色彩D．HCl、HBr、HI的热稳定性依次增强5.A-F六种元素中，除A外均为短周期元素，它们的原子结构或性质如表所示：序号元素结构或性质①A生活中常见的金属，它有两种氯化物，相对分子质量相差35．5②B原子最外层电子数是内层电子数的1/5③C形成化合物种类最多的元素之一，其单质为固体④D地壳中含量最多的元素⑤E与D同主族⑥F与E同周期，且最外层电子数等于电子层数（1）E元素在元素周期表中的位置为。