2015高考数学真题分类考点45 坐标系与参数方程

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(新课标I版)2015届高考数学一轮复习坐标系与参数方程试题理

坐标系与参数方程1【2014新课标I 版（理）23】（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（II ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A，PA 的最大值与最小值．【答案】2cos .().3sin .60.x y l x y θθθ=⎧⎨=⎩+-=（I ）曲线C 的参数方程为为参数直线的普通方程为2cos sin 3sin6.l d θθθθ=+-（II ）曲线C 上任意一点P(2.3)到的距离为4)6,tan .sin 303sin 5sin()15d PA PA PA θαααθαθα==+-=︒+=则其中为锐角，且当(+)=-1时，取得最大值，最大值为当时，取得最小值，最小值为2【2013新课标I 版（理）23】(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【答案】（1）因为45cos 55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩，消去参数，得22(4)(5)25x y -+-=，即22810160x y x y +--+=，故1C 极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）2C 的普通方程为2220x y y +-=，由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩，所以1C 、2C交点的极坐标为),(2,)42ππ.3【2012新课标I 版（理）23】选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ⎧⎨⎩＝，＝，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2．正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)． (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值X 围．【答案】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ 点,,,A B C D的直角坐标为1,1)-- （2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 25620sin [56,76]ϕ=+∈41 ．（某某省某某市2014届高三摸底考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位,以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为122,(3x tty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数),曲线C的极坐标方程为2sin8cos.ρθθ=(I)求C的直角坐标方程;(II)设直线l与曲线C交于A、B两点,求弦长|AB|.【答案】52 ．（某某省井陉县第一中学2014届高三10月月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,曲线C1的参数方程为2cos22sinxyαα=⎧⎨=+⎩(α为参数)M是C1上的动点,P点满足2=,P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.【答案】解:(I)设P(x,y),则由条件知M(2,2yx).由于M点在C1上,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin222cos22yx即⎩⎨⎧+==ααsin44cos4yx从而2C的参数方程为4cos44sinxyαα=⎧⎨=+⎩(α为参数)(Ⅱ)曲线1C的极坐标方程为4sinρθ=,曲线2C的极坐标方程为8sinρθ=.射线3πθ=与1C的交点A的极径为14sin3πρ=,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=.所以21||||AB ρρ-==3 ．（某某省某某中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数()1f x x =-.(I)解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤; (II)若0＞a ,求证:()()f ax af x -≤()f a .【答案】解: (1)由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=. 因此只须解不等式122x x -+-≤. 2分当1x ≤时,原不式等价于232x -+≤,即112x ≤≤. 当12x <≤时,原不式等价于12≤,即12x <≤.当2x >时,原不式等价于232x -≤,即522x <≤.综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭(2)由题()()f ax af x -11ax a x =---. 当a >0时,()()f ax af x -1ax ax a =---1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =64．（某某省某某市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a =>ρθθ,已知过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为:2242x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点.(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若,,PM MN PN 成等比数列, 求a 的值.【答案】解:(Ⅰ)根据极坐标与直角坐标的转化可得,C:ρsin 2θ=2acosθ⇒ρ2sin 2θ=2aρcosθ,即 y 2=2ax,直线L 的参数方程为:,消去参数t 得:直线L 的方程为y+4=x+2即y=x ﹣2(Ⅱ)直线l 的参数方程为(t 为参数),代入y 2=2ax 得到, 则有因为|MN|2=|PM|•|PN|,所以即:[2(4+a)]2﹣4×8(4+a)=8(4+a)解得 a=1 75．（某某省高阳中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2(1x tt y t =+⎧⎨=+⎩为参数),以该直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,曲线P 的方程为24cos 30ρρθ-+=. (1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程;(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A 、B ,求||AB .【答案】解:(1)曲线C 的普通方程为01=--y x ,曲线P 的直角坐标方程为03422=+-+x y x(2)曲线P 可化为1)2(22=+-y x ,表示圆心在)0,2(,半径=r 1的圆, 则圆心到直线C 的距离为2221==d , 所以2222=-=d r AB6 ．（某某省豫东、豫北十所名校2013届高三阶段性测试(四) 数学（理）试题（word 版)）选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,曲线1:221=+y x C ,以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线ρθθ8sin 2cos 3:-=-l .(1)将曲线C 1上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的2倍,3倍后得到曲线C 2,试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程; (2)求C 2上一点P 的l 的距离的最大值. 【答案】7 ．（某某省某某市第五中学2013届高三4月月考数学（理）试题）选修4-4:极坐标与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=,直线l 的参数方程是:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 225225 (t 为参数).(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程,直线l 的普通方程; (Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的21,再向左平移1个单位,得到曲线1C ,求曲线1C 上的点到直线l 距离的最小值.【答案】8 ．（某某省某某市2013届高三第三次模拟考试数学（理）试题）选修4—4;坐标系与参数方程在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>;过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t是参数),直线l 与曲线C 分别交于M 、N 两点.(1) 写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2) 若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 【答案】解:(Ⅰ)曲线C 的普通方程为2:2,C y ax = 直线l 的普通方程为20x y --=(Ⅱ)将直线的参数表达式代入抛物线得()2116402t t a -++=, 1212,328t t t t a ∴+==+因为|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -===, 由题意知,21221212215)(||||t t t t t t t t =+⇒=-,代入得 1=a . 9 ．（某某省某某中学2013届高三第八次模拟考试数学（理）试题）选修4—4:坐标系与参数方程已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩(ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆2C 的极坐标方程为2cos()3πρθ=+.(Ⅰ)将圆1C 的参数方程化为普通方程,将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆1C 、2C 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)由=cos =sin x y ϕϕ⎧⎨⎩得x 2+y 2=1,又∵ρ=2cos(θ+π3)=cos θ-3sin θ,∴ρ2=ρcos θ-3ρsin θ.∴x 2+y 2-x +3y =0,即221()(12x y -+=(Ⅱ)圆心距12d ==<,得两圆相交由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1x 2＋y 2－x ＋3y ＝0得,A (1,0),B 1(,2-,∴ 2213||(1+)+(0+)=322AB = 10 ．（某某省某某一中、某某一中、康杰中学、某某二中2013届高三第四次四校联考数学（理）试题）(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数,0<α<π),曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.(1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,当α变化时,求|AB |的最小值. 【答案】(本小题满分10)选修4-4:坐标系与参数方程解:(I)由θθρcos 4sin 2=,得θρθρcos 4)sin (2= 所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=(II)将直线l 的参数方程代入x y 42=,得t 2sin 2α-4t cos α-4=0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2,则t 1+t 2=αα2sin cos 4,t 1t 2=α2sin 4-, ∴|AB |=|t 1-t 2|=t 1＋t 22－4t 1t 2=αααα2242sin 4sin 16sin cos 16=+, 当α=π2时,|AB |的最小值为411．（某某省中原名校2013届高三下学期第二次联考数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为3ρθ=. (1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A,B,若点P 的坐标为3求|PA|+|PB|.【答案】(Ⅰ)由3ρθ=得22(3)3x y +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅4分(Ⅱ)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得2222(2)()322-+=, 即22210t t -+=由于0∆>,故可设12,t t 是上述方程的两实根,所以12121t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩故由上式及t 的几何意义得:|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅10分 12．（某某省康杰中学2013届高三第二次模拟数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程选讲已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为122t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)(Ⅰ)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线C 经过伸缩变换3x xy y'=⎧⎨'=⎩得到曲线C ',设曲线C '上任意一点为(,)M x y ,求x +的最小值.【答案】(Ⅰ) :21)l y x -=-;圆22:1C x y +=(Ⅱ)曲线22:19x C y '+= 令3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩∴3cos )x θθθϕ+=+=+∴x +的最小值为13．（某某省某某市2013届高中毕业班第二次模拟考试数学理试题（word 版））(本小题_分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,以原点0为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知的取值X 围.【答案】选修4-4:坐标系与参数方程解:(Ⅰ)法一:22=a 时,圆C 的直角坐标方程为8)2()2(22=++-y x , ∴圆心C(2,-2)又点O 的直角坐标为(0,0),且点A 与点O 关于点C 对称, 所以点A 的直角坐标为(4,-4)法二:22=a 时,圆C 的直角坐标方程为8)2()2(22=++-y x ① ∴圆心C(2,-2)又点O 的直角坐标为(0,0),所以直线OA 的直线方程为x y -=② 联立①②解得⎩⎨⎧==00y x (舍)或⎩⎨⎧-==44y x所以点A 的直角坐标为(4,-4) 法三:由)4cos(24πθρ+=得圆心C 极坐标)4,22(π-,所以射线OC 的方程为4πθ-= ,代入)4cos(24πθρ+=得24=ρ所以点A 的极坐标为)4,24(π-化为直角坐标得A(4,-4)(Ⅱ)法一:圆C 的直角坐标方程为222)22()22(a a y a x =++-, 直线l 的方程为y=2x.所以圆心C(a 22,a 22-)到直线l 的距离为5222a a --,∴d=210922a a -=a 510. 所以a 510≥2,解得5≥a 法二:圆C 的直角坐标方程为02222=+-+ay ax y x ,将⎩⎨⎧==ty tx 42化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==my m x 204202代入得05102=+am m ,解得==21,0m m a 510-, ∴d=||21m m -=a 510, ,所以a 510≥2,解得5≥a 法三:圆C 的直角坐标方程为02222=+-+ay ax y x ,直线l 的方程为y=2x.联立⎩⎨⎧==+-+xy ay ax y x 202222得0252=+ax x解得a x x 52,021-== ∴d=||12212x x -+=a 510, 所以a 510≥2,解得5≥a 14．（某某省某某市2013届高三第三次测验预测数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐(I)写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程;(II)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧='=',2,y y x x 得到曲线C '设曲线C '上任一点为M(x,y),求y x 213+的取值X 围. 【答案】解:(Ⅰ)直线l 的普通方程,01323=--+y x 曲线C 的直角坐标方程422=+y x ;(Ⅱ)曲线C 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 2//得到曲线/C 的方程为4422=+y x , 则点M 参数方程为)(,sin 4,cos 2参数θθθ⎩⎨⎧==y x ,代入y x 213+得,y x 213+==⋅+⋅θθsin 421cos 23)3sin(4cos 32sin 2πθθθ+=+ ∴y x 213+的取值X 围是[]4,4-15．（某某省某某市2013届高三第四次模拟数学（理）试题）选修4--4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty t x 322(t 为参数),直线l 与曲线C:(y 一2)2一2x =1交于A,B 两点(I)求|AB|的长;(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P 的极坐标为(43,22π)求点P 到线段AB 中点M 的距离.【答案】16．（某某省六市2013届高三第二次联考数学（理）试题）选修4—4,坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是2242x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数),圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=+.(1)求圆心C的直角坐标;(2)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.【答案】17．（某某省山大附中2013届高三4月月考数学（理）试题）已知点)sin,cos1(αα+P,参数[]πα,0∈,点Q在曲线C:)4sin(210πθρ-=上.(1)求在直角坐标系中点P的轨迹方程和曲线C的方程;(2)求|PQ|的最小值.【答案】试题分析:设点P的坐标为(x,y),则有1cos,sinxyαα=+⎧⎨=⎩消去参数α,可得22(1) 1.x y-+=由于α∈[0,π],∴y≥0,故点P的轨迹是上半圆).0(1)1(22≥=+-yyx∵曲线C:)4sin(210πθρ-=,即22102cos)22ρθ-θ=,即ρsinθ-ρcosθ=10,故曲线C的直角坐标方程:x-y+10=0.(2)如图所示:由题意可得点Q在直线x-y+10=0 上,点P在半圆上,半圆的圆心C(1,0)到直线x-y+10=0的距离等于101011222-+=.即|PQ|的最小值为112-1.18．（某某省三市（某某、某某、某某）2013届高三第三次调研（三模）考试数学（理）试题）选修4-4:坐标系与参数方程平面直角坐标系中,将曲线2cos2(sinxyααα=+⎧⎨=⎩为参数)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立的极坐标系中,曲线2C 的方程为4sin ρθ= (Ⅰ)求1C 和2C 的普通方程:(Ⅱ)求1C 和2C 公共弦的垂直平分线的极坐标方程.【答案】(Ⅰ)横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍得到2cos 2(2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数） ()22124C x y ∴-+=为又2224C y yρθ+=为=4sin ,即x(Ⅱ)12C C 和公共弦的垂直平分线的极坐标方程是cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。

2015届高考数学总复习坐标系与参数方程第1课时坐标系教学案(含最新模拟、试题改编)新人教A版选修4-4

选修4－4 坐标系与参数方程第1课时坐标系(对应学生用书(理)192～194页)1. (选修44P 17习题第7题改编)已知点M 的直角坐标是(－1，3)，求点M 的极坐标．解：⎝⎛⎭⎫2，2k π＋2π3(k ∈Z )都是极坐标．2. (选修44P 32习题第4题改编)求直线xcos α＋ysin α＝0的极坐标方程．解：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0，取θ－α＝π2.3. (选修44P 32习题第5题改编)化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程．解：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1.∴ 直角坐标系方程为x 2＋y 2＝0或x ＝1.4. 求极坐标方程ρcos θ＝2sin2θ表示的曲线．解：ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，则θ＝k π＋π2，或x 2＋y 2＝4y.∴ 表示的曲线为一条直线和一个圆．5. (选修44P 33习题第14题改编)求极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距．解：圆心分别为⎝⎛⎭⎫12，0和⎝⎛⎭⎫0，12，故圆心距为22.1. 极坐标系是由距离(极径)与方向(极角)确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对(ρ，θ)与点不一一对应．这点应与直角坐标系区别开来．2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M (ρ，θ)可表示为(ρ，θ＋2n π)(n ∈Z )．3. 极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M(ρ，θ)可表示为(－ρ，θ＋(2n ＋1)π)(n ∈Z )．4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可为任意角．5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M(ρ，θ)，建立等式，化简即得．6. 常用曲线的极坐标方程(1) 经过点A(a ，0)与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a. (2) 经过点A(0，a)与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a. (3) 圆心在A(a ，0)，且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.7. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位．平面内任一点P 的直角坐标(x ，y)与极坐标(ρ，θ)可以互换，公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ和⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx . [备课札记]题型1 求极坐标方程例1 如图，AB 是半径为1的圆的一条直径，C 是此圆上任意一点，作射线AC ，在AC 上存在点P ，使得AP·AC ＝1，以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系．(1) 求以AB 为直径的圆的极坐标方程； (2) 求动点P 的轨迹的极坐标方程； (3) 求点P 的轨迹在圆内部分的长度．解：(1) 易得圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2) 设C(ρ0，θ)，P (ρ，θ)，则ρ0＝2cos θ，ρ0ρ＝1.∴ 动点P 的轨迹的极坐标方程为ρcos θ＝12.(3) 所求长度为 3. 备选变式（教师专享）求以点A(2，0)为圆心，且过点B ⎝⎛⎭⎫23，π6的圆的极坐标方程．解：由已知圆的半径为 AB ＝22＋（2 3）2－2×2×2 3cos π6＝2.又圆的圆心坐标为A(2，0)，所以圆过极点，所以圆的极坐标方程是ρ＝4cosθ.题型2 极坐标方程与直角坐标方程的互化例2 在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d.求d 的最大值．解：将极坐标方程ρ＝3化为普通方程，得圆：x 2＋y 2＝9.极坐标方程ρ(cos θ＋3sin θ)＝2化为普通方程，得直线：x ＋3y ＝2. 在x 2＋y 2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)．则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin （α＋30°）－2|2，∴ 所求d 的最大值为4. 变式训练在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2 2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的方程为y ＝2x ＋1，判断直线l 和圆C 的位置关系．解：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)，得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－1＋1|22＋12＝255<2，所以直线l 和圆C 相交．题型3 极坐标的应用例3 若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，它们相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：(解法1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，得交点坐标为A(1，0)，B ⎝⎛⎭⎫1，－2π3(注意坐标形式不唯一)．在△OAB 中，根据余弦定理，得AB 2＝1＋1－2×1×1×cos 2π3＝3，所以AB ＝ 3.(解法2)由ρ＝1，得x 2＋y 2＝1.∵ ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ，∴ ρ2＝ρcos θ－3·ρsin θ，∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，得A(1，0)、B ⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝ 3.备选变式（教师专享）在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0) 的一个交点在极轴上，求a 的值．解：曲线C 1的直角坐标方程是2x ＋y ＝1，曲线C 2的普通方程是直角坐标方程x 2＋y 2＝a 2，因为曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，所以C 1与x 轴交点横坐标与a 值相等，由y ＝0，x ＝22，知a ＝22.1. (2013·安徽)在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程．解：在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1，所以左切线方程为θ＝π2，右切线满足cos θ＝2ρ，即ρcos θ＝2.2. (2013·天津)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，求|CP|.解：由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4，圆心C(2，0)．点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，即ρ＝4，θ＝π3，所以x ＝ρcos θ＝4cos π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin π3＝23，即P(2，23)，所以|CP|＝2 3.3. (2013·上海)在极坐标系中，求曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离．解：联立方程组得ρ(ρ－1)＝1＝1±52.又ρ≥0，故所求为1＋52.4. 在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：∵ 圆C 的圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，∴ 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1.∴ 圆C 的圆心坐标为(1，0)． ∵ 圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，∴ 圆C 的半径为PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1.∴ 圆C 经过极点．∴ 圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.1. (2013·北京)在极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离．解：在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin θ＝2化为直角坐标方程为y ＝2.(3，1)到y ＝2的距离1，即为点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离1.2. (2013·福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上．(1) 求a 的值及直线的直角坐标方程；(2) 圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝sin α，(α为参数)，试判断直线与圆的位置关系．解：(1) 由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2) 由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心为(1，0)，半径r ＝1，因为圆心到直线的距离d ＝22<1，所以直线与圆相交． 3. 在极坐标系中，已知曲线C 1：ρ＝12sin θ，曲线C 2：ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1) 求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2) 若P 、Q 分别是曲线C 1和C 2上的动点，求PQ 的最大值．解：(1) 因为ρ＝12sin θ，所以ρ2＝12ρsin θ，所以x 2＋y 2－12y ＝0，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －6)2＝36.又ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，所以ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，所以x 2＋y 2－63x －6y ＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为(x －33)2＋(y －3)2＝36.(2) PQ max ＝6＋6＋（33）2＋32＝18.4. 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1) 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 求经过圆O 1、圆O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点、极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1) x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x.即圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，同理圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋4y ＝0.(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝－2，即圆O 1、圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)，故过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)，都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M ⎝⎛⎭⎫π4，π4可以表示为⎝⎛⎭⎫π4，π4＋2π或⎝⎛⎭⎫π4，π4－2π或⎝⎛⎭⎫－π4，5π4等多种形式，其中，只有⎝⎛⎭⎫π4，π4的极坐标满足方程ρ＝θ.请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。

坐标系与参数方程

坐标系和参数方程是数学中经常用到的两个概念，它们都与空间几何有密切的关系。

参数
方程可以用来描述曲线或曲面，而坐标系可以帮助我们更好地理解和描述这些曲线或曲面。

因此，学习坐标系和参数方程对于理解空间几何非常重要。

坐标系是一种用于描述物体位置的系统，它通常由原点、坐标轴和坐标系单位长度组成。

常见的坐标系有二维平面坐标系、三维空间坐标系和极坐标系等。

二维平面坐标系是一种
直观的坐标系，它由原点、水平轴和垂直轴组成，通常用来描述平面上的点对象。

三维空间坐标系是一个更加复杂的坐标系，它由原点、X轴、Y轴和Z轴组成，可以用来描述在
三维空间内的点对象。

极坐标系是一种变体的坐标系，它由原点、极轴和极径组成，可以
用来描述极坐标系内的点对象。

参数方程是一种描述曲线和曲面的方法，它通常由参数和函数组成。

参数方程可以用来描
述简单的直线以及复杂的曲线和曲面，例如，可以用参数方程来描述一条直线，可以用参
数方程来描述一个圆，也可以用参数方程来描述一个椭圆，以及一个更复杂的曲面，如椎体、抛物面等。

坐标系和参数方程对于理解空间几何非常重要，它们可以帮助我们更好地描述空间中的点对象和曲线、曲面等。

正如著名的数学家约翰·霍金斯所说：“数学是一种语言，它可以用
来描述真实世界中的事物，而坐标系和参数方程就是其中的一种方式。

”坐标系和参数方
程的学习可以帮助我们更好地理解和描述空间几何中的曲线和曲面。

2015年高考数学试题分类解析考点31-35

2015年高考数学试题分类解析考点31-35考点31 坐标系与参数方程【1】（A ，湖北，理16）在直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ( t 为参数) ，l 与C 相交于A ,B 两点，则=||AB .【2】（A ，广东，理14）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ,点A 的极坐标为)47,22(πA ,则点A 到直线l 的距离为 .【3】（A ，湖南，文12）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为=2sin ρθ，则曲线C 的直角坐标方程为 .【4】（B ，北京，理11）在极坐标系中，点），（32π到直线6sin 3cos =+）（θθρ的距离为 . 【5】（B ，重庆，理15）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ty t x 1,1（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为),4543,0(42cos 2πθπρθρ<<>=则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 .【6】（B ，广东，文14）在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 .【7】（B ，安徽，理12）在极坐标系中，圆θρsin 8=上的点到直线)(3R ∈=ρπθ距离的最大值是 .【8】（A ，新课标I ，文23理23）在直角坐标系xoy中，直线1C :2x =-,圆2C :2(1)x -+2(2)1y -=,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求1C ，2C 的极坐标方程； (II)若直线3C 的极坐标方程为4πθ=(R)ρ∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN ∆的面积.【9】（A ，新课标Ⅱ，文23理23）在直角坐标系xOy中，曲线⎩⎨⎧==,sin ,cos :1ααt y t x C t (为参数，)0≠t ，其中0α≤π<，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：θρsin 2=，曲线3C ：ρ=θ．(I)求2C 与3C 交点的直角坐标；(II)若2C 与1C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．【10】（A ，福建，理21-II ）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为()为参数t ty t x ⎩⎨⎧+-=+=sin 32,cos 31.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()(R)4m m πθ-=∈.(I)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；(II)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【11】（A ，湖南，理16-II ）已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.(i)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (ii)设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求||||MB MA ⋅的值. 【12】（B ，江苏，理21C ）已知圆C 的极坐标方程为04)4sin(222=--+πθρρ，求圆C 的半径.【13】（B ，陕西，文23理23）在直角坐标系xoy 中，2直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23213（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin 32=．(I)写出圆C 的直角坐标方程；(II)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．考点32 几何证明选讲【1】（A ，天津，文6理5）如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N . 若2=CM ，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为A.38B.3C.310 D.25CBPA第1题图第2题图【2】（A ，湖北，理15）如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且3BC PB =，则ABAC= . 【3】（B ，重庆，理14）如图，圆O 的弦CD AB ,相交于点E 过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ,6=PA ,9=AE ,3=PC ,1:2:=ED CE 若则=BE.P第3题图第4题图【4】（B ，广东，文15）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若4AB =，CE =AD = .【5】（B ，广东，理15）如图，已知AB 是圆O 的直径，AB =4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC =1，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD = .A BCO PD EAOBEC D第5题图第6题图【6】（A ，新课标I ，文22理22）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .(I)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O的切线；(II)若OA =，求ACB ∠的大小. 【7】（A ，新课标Ⅱ，文22理22）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(I)证明：EF //BC ；(II)若AG 等于⊙O 的半径，且AE MN ==求四边形EBCF 的面积．第7题图第8题图【8】（A ，江苏，理21A ）如图，在ABC ∆中，AC AB =，ABC ∆的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D .求证：ABD ∆∽AEB ∆. 【9】（A ，湖南，理16-I ）如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：(i)180=∠+∠NOM MEN ； (ii)FO FM FN FE ⋅=⋅.MODNE AC FB第9题图第10题图【10】（B ，陕西，文22理22）如图，AB 切圆O 于点B ，直线AO 交圆O 于E D ,两点，DE BC ⊥，垂足为C ．(I)证明：=∠CBD DBA ∠； (II)若DC AD 3=，2=BC ，求圆O 的直径．考点33 不等式选讲【1】（B ，重庆，文14）设,0,5a b a b >+=,则的最大值为 . 【2】（B ，重庆，理16）若函数()|1|f x x =+2||x a +-的最小值为5，则实数a = .【3】（A ，新课标I ，文24理24）已知函数()|1|2||f x x x a =+--，0a >.(I)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (II)若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【4】（A ，新课标Ⅱ，文24理24）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a+b=c+d ，证明：(I)若cd ab >，则d c b a +>+；(II)d c b a +>+是||||d c b a -<-的充要条件．【5】（A ，江苏，理21D ）解不等式232≥++x x . 【6】（A ，福建，理21-III ）已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4．(I)求a b c ++的值；(II)求2221149a b c ++的最小值．【7】（A ，湖南，理16-III ）设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： (i)2≥+b a ；(ii)22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.【8】（B ，陕西，文24理24）已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42<<x x ．(I)求实数b a ,的值；(II)求bt at ++12的最大值．考点34 创新与拓展【1】（B ，湖北，理10）设∈x R,][x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ，使得[]1t =,2[]2t =，…，[]n t n =同时成立．．．．,则正整数n 的最大值是 A.3 B.4 C.5 D.6【2】（B ，湖北，文10理9）已知集合{(,)A x y = 22|1,,}x y x y +≤∈Z ，{(,)|||2B x y x =≤，||2y ≤， ,}x y ∈Z ，定义集合|),((2121y y x x B A ++=⊕}),(,),(2211B y x A y x ∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A. 77 B.49 C ．45 D ．30 【3】（B ，广东，理8）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【4】（B ，浙江，理6）设,A B 是有限集，定义：=),(B A d card -)(B A card )(B A ，其中card )(A 表示有限集A 中的元素个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+．A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立【5】（C,上海,理17）记方程①2110x a x ++=,方程②2220x a x ++=,方程③2340x a x ++=,其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根【6】（C ，上海，文理18）设(,)n n n P x y 是直线*2()1N nx y n n -=∈+与圆222x y +=在第一象4限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=- A.1- B.12-C.1D.2 【7】（C ，广东，文10）若集合{(,,,)|E p q r s =04p s ≤<≤,04q s ≤<≤,04r s ≤<≤,且,p q ,,}r s ∈N ，{(,,,)|04F t u v w t u =≤<≤， 04v w ≤<≤且,,,}t u v w ∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=A.200B.150C.100D.50 【8】（A ，上海，文5理3）若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为3,5,x y =⎧⎨=⎩则12c c -= . 【9】（B ，山东，文14）定义运算“⊗”：()0,R ,22≠∈-=⊗xy y x xyy x y x .当0,0>>y x 时，()x y y x ⊗+⊗2的最小值为 . 【10】（C ，上海，文14理13）已知函数()sin f x x =.若存在12,,,m x x x 满足120m x x x ≤<<<6π≤, 且12|()()|f x f x -23|()()|f x f x +-++1|()()|12m m f x f x --=（*2,N m m ≥∈），则m 的最小值为 .【11】（A ，福建，理21-I ）已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011,3412B A . (I)求A 的逆矩阵1-A ； (II)求矩阵C ，使得AC =B .【12】（B ，江苏，理21B ）已知∈y x ,R ，向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01y x A 的属于特征值2-的一个特征向量，矩阵A 以及它的另一个特征值.考点35 交汇与整合【1】（C ，上海，文17理16）已知点A的坐标为，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为C.112D.132【2】（C ，江苏，文理14）设向量)12,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos=+=k k k k a k πππ，则∑=+⋅111)(k k ka a的值为 .【3】（A ，湖北，理20）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,A B 两种奶制品．生产1吨A 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B 产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B 产品的产量不超过A 产品产量的2倍，设备每天生产,A B 两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为其获利最大，因此每天的最大获利Z （单位：元）是一个随机变量．(I)求Z 的分布列和均值；(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．【4】（C ，上海，文23）已知数列{}n a 与{}n b 满足1n n a a +-12()n n b b +=-，*N n ∈.(1)若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n a 的第0n 项是最大项，即0n na a ≥（*N n ∈），求证：{}n b 的第0n 项是最大项；(3)设130,n n a b λλ=<=（*N n ∈）.求λ的取值范围，使得对任意的*,N m n ∈，0n a ≠，且1(,6)6m n a a ∈. 【5】（C ，上海，理22）已知数列{}n a 与{}n b 满足*112(),N n n n n a a b b n ++-=-∈.(1)若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n a 的第0n 项是最大项，即0n na a ≥（*N n ∈），求证：{}n b 的第0n 项是最大项；(3)设*10,()N n n a b n λλ=<=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且(2,2)Mm∈-. 【6】（C ，上海，理23）对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R .设()f x 单调递增，(0)0,()4πf f T ==.(1)验证()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；(2)设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；(3)证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.【7】（C ，安徽，理21）设函数b ax x x f +-=2)(.(I)讨论函数)(sin x f 在)2,2(ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(II)记0020)(b x a x x f +-=，求函数)(sin )(sin 0x f x f -在]2,2[ππ-上的最大值D ； (III)在(II)中，取000==b a ，求42a b z -=满足条件1≤D 时的最大值．【8】（C ，陕西，理21）设)(x f n 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0>x ，N ∈n ，2≥n ．(I)证明：函数2)()(-=x f x F n n 在)1,21(内有且仅有一个零点（记为n x ），且12121++=n n n x x ；(II)设有一个与上述等比数列的首项，末项，项数分别相同的等差数列，其各项和为)(x g n ，比较)(x f n 与)(x g n 的大小，并加以证明．考点31 坐标系与参数方程【1】（A ，湖北，理16），52解析：由曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去t ，6得14422=-x y ，直线l 的方程为x y 3=，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-x y x y 314422得)223,22(),223,22(--B A ,52||=AB . 【2】（A ，广东，理14），2解析：依题已知直线l：2sin()4πρθ-=和点7)4A π可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为：d ==．【3】（A ，湖南，文12），22(1)1x y +-=解析：由=2sin ρθ得2=2sin ρρθ，它的直角坐标方程为222x y y +=，即22(1)1x y +-=. 【4】（B ，北京，理11），1解析：点），（32π对应的坐标为），（31，极坐标方程6sin 3cos =+）（θθρ对应的直角坐标方程为063=-+y x .根据点到直线的距离公式，12631=-+=d .【5】（B ，重庆，理15），),2(π解析：直线l 的普通方程为,2+=x y 化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程为,422=-y x 联立直线l 与曲线C 解得交点坐标为)0,2(-，因此交点的极坐标为).,2(π【6】（B ，广东，文14），(2,4)-解析：由()cos sin 2ρθθ+=-得2-=+y x ，由2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得⎪⎩⎪⎨⎧==2228t y t x ，所以x y 82=)0(≥x ，联立⎩⎨⎧=-=+xy y x 822解得⎩⎨⎧-==42y x ，所以1C 与2C 交点的直角坐标为(2,4)-.【7】（B ，安徽，理12），6解析：因为圆的普通方程为16)4(22=-+y x ，其圆心为4),4,0(=r ，直线的普通方程为03=-y x ，圆心到直线的距离为2，所以圆上的点到直线距离的最大值是6．【8】（A ，新课标I ，文23理23）解析：(I)因为cos x ρθ=，cos y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 440sin ρρθρθ--+=.(II)将4πθ=代入22cos 4sin ρρθρθ--40+=得240ρ-+=，解得1ρ=，2ρ= 故12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1，所以2C MN ∆的面积为12. 【9】（A ，新课标Ⅱ，文23理23）解析：(I)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为22xy +-0=. 联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,xy =⎧⎨=⎩或3.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与3C 的交点的直角坐标为(0,0)和3()22. (II)曲线1C 的极坐标方程为θα=(R,ρ∈0)ρ≠,其中0απ≤<. 因此A 的极坐标为(2sin ,)αα,B 的极坐标为,)αα.所以||AB =|2sin |αα-=4|sin()|3πα-.当56πα=时,||AB 取得最大值,最大值为4. 【10】（A ，福建，理21-II ）解析：(I)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()4m πθ-=,得 sin cos 0m ρθρθ--=,所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=.(Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得3m =-±【11】（A ，湖南，理16-II ）解析：(i)θρcos 2=等价于θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii)将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t【12】（B ，江苏，理21C ）解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy . 圆C 的极坐标方程为04)4sin(222=--+πθρρ，化简，得04cos 2sin 22=--+θρθρρ. 则圆C 的直角坐标方程为042222=-+-+y x y x .即6)1()1(22=++-y x ，所以圆C 的半径为6. 【13】（B ，陕西，文23理23）解析：(I)由θρsin 32=，得θρρsin 322=，从而有y y x 3222=+，所以3)3(22=-+y x .(II)设)23,213(t t P +，又)3,0(C ，则=PC12)323()213(222+=-++t t t ，故当=t 0时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为)0,3(.考点32 几何证明选讲【1】（A ，天津，文6理5），A解析：设AM x =，在圆O 中，AM MB ×CM MD =?，422⨯=⋅∴x x ，2=∴xAN NB CN NE ??,23x x NE \?,83NE \=.CBPAP第1题图第2题图第3题图【2】（A ，湖北，理15），21解析：由圆的切割线定理知PC PB PA ⋅=2, 又PB BC 3=,故PB PA 2=. 又由PAC PBA ∆∆~知21==PA PB AC AB . 【3】（B ，重庆，理14），2解析：由切割线定理知:2AP PC PD =?，又因为,1:2:=ED CE 由此得,6,3==EC ED 由相交弦定理知：,DE CE BE AE ⋅=⋅所以.2=BE 【4】（B ，广东，文15），3解析：因为CE 是圆O 的切线方程，所以EA EBEC ⋅=2，所以2EB =⨯(4)EB +，解得2=EB 或6-=EB （舍去）.连接OC ，则DE OC ⊥，由DE AD ⊥，得CO AD //，所以AE OE AD CO =，所以24222++=AD ，故3=AD .【5】（B ，广东，理15），8解析:如图所示，连接OC ,因为OD //AC ,又,AC BC ⊥所以,AC OP ⊥又O 为AB 线段的中点，所以,2121==BC OP 在OCD Rt ∆中，,221==AB OC 由直角三角形的射影定理可得OD=8.DC EBOA第5题图第6题图OBECDA第4题图8【6】（A ，新课标I ，理22）解析：(I)连接AE ，由己知得，AE ⊥BC ,AC ⊥AB .在Rt △AEC 中，由己知得，DC DE =，故DEC DCE ∠=∠连结OE ，则OBE OEB ∠=∠ 又90ACB ABC ∠+∠= 所以90DEC OEB ∠+∠= 故DE 是☉O 的切线.(II)设1CE =，AE x =，由己知得AB =BE =由射影定理可得，2AE CE BE =⋅所以2x ，即42120x x +-=可得x =60ACB ∠=. 【7】（A ，新课标Ⅱ，文22理22）解析：(I)由于ABC ∆是等腰三角形,AD BC ⊥,所以AD 是CAB ∠的平分线.又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E F 、,所以AE AF =，故AD EF ⊥,从而EF ∥BC .(II)由(I)知,AE AF =,AD EF ⊥,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为⊙O 的弦,所以O 在AD 上.连接,OE OM ,则OE AE ⊥.由AG 等于⊙O 的半径得2AO OE =,所以30OAE ∠=,因此ABC ∆和AEF ∆都是等边三角形.因为AE =,所以4AO =,2OE =.因为OM OE =2=,DM 12MN ==所以1OD =.于是AD 5=,AB =.第7题图第8题图【8】（A ，江苏，理21A ）解析：因为AC AB =，所以C ABD ∠=∠. 又因为E C ∠=∠，所以E ABD ∠=∠. 又BAE ∠为公共角，可知ABD ∆∽AEB ∆. 【9】（A ，湖南，理16-I ）解析：(i)如图所示，因为M ，N 分别是弦AB ,CD 的中点，所以OM ⊥AB ,ON ⊥CD ,即∠OME =90，∠ENO =90，∠OME +∠ENO =180，又四边形的内角和等于360，故∠MEN +∠NOM =180；(ii)由(i)知，O ,M ,E ,N 四点共圆，故由割线定理即得FE FN FM FO ⋅=⋅.MODNE AC FB第9题图第10题图【10】（B ，陕西，文22理22）解析：(I)因为DE 为圆O 直径，则90=∠+∠EDB BED ，又DE BC ⊥，所以90=∠+∠EDB CBD ，从而BED CBD ∠=∠.又AB 切圆O 于点B ，得BED DBA ∠=∠，所以DBA CBD ∠=∠.(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3==CDADBC BA ，又2=BC ，从而23=AB . 所以=AC 422=-BC AB ，所以3=AD .由切割线定理得AE AD AB ⋅=2，即62==ADAB AE ，故=DE 3=-AD AE ，即圆O直径为3.考点33 不等式选讲【1】（B ，重庆，文14），23解析：2）3b （）1a （222+++≤=23.【2】（B ，重庆，理16），-6或4解析：当1->a 时， ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<-++--≤-+-=a x a x a x a x x a x x f ,123,1,12,1,123)(此时,51)()(min =+==a a f x f 所以.4=a当1-=a 时，显然不成立.当1-<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-≥+--<<--≤-+-=1,123,1,12,,123)(x a x x a a x a x a x x f此时51)()(min =--==a a f x f 所以.6-=a综上可知,4=a 或6-=a . 【3】（A ，新课标I ，文24理24）解析：(I)当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->.当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；当11x -<<时，不等式为320x ->，解得213x <<；当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<.所以()1f x >的解集为2{|2}3x x <<.(II)由题设可得12,1,()312,1,12,.x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以函数)(x f 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为)0,312(-a A ，)0,12(+a B ， )1,(+a a C . ABC ∆的面积为2)1(32+a .由题设得6)1(322>+a ，故2>a .所以a 的取值范围为),2(+∞.【4】（A ，新课标Ⅱ，文24理24）解析：(I)因为2a b =++,2c d =++a b c d +=+，ab cd >得22>,>(II)(ⅰ)必要性若||||a b c d -<-, 则2()a b -2()c d <-,即22()4()4a b ab c d cd +-<+-. 因为a b +c =d +,所以ab cd >. 由(I)>(ⅱ)充分性>则22>,即a b c d ++=++因为a b c d +=+,所以ab cd >. 于是2()a b -2()4a b ab =+-<2()4c d cd +-2()c d =-,因此||||a b c d -<-.综上>||||a b c d -<-的充要条件.【5】（A ，江苏，理21D ）解析：原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧≥---<2323x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥23323x x ，解得5-≤x 或31-≥x . 综上，原不等式的解集是}315|{-≥-≤x x x 或.【6】（A ，福建，理21-III ）解析：(I)因为()f x x a x b c =++-+()()x a x b c a b c ≥+--+=++当且仅当a x b ≤≤时，等号成立.又0,0a b >>，所以a b a b +=+,所以(x)f 的最小值为a b c ++, 所以4a b c ++=．(II)由(1)知4a b c ++=，由柯西不等式得22211()(49+1)49a b c +++≥2(231)23a bc ⨯+⨯+⨯ 2()16a b c =++=，即222118497a b c ++≥.当且仅当1132231b ac ==,即8182,,777a b c ===时，等号成立，所以2221149a b c ++的最小值为87.【7】（A ，湖南，理16-III ）解析：由abba b a b a +=+=+11， 0,0>>b a 得 1=ab .(i)由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a .(ii)设22<+a a 与22<+b b 可同时成立，则10由22<+a a 及0>a 可得10<<a .同理 10<<b . 从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.【8】（B ，陕西，文24理24）解析：(I)由b a x <+得a b x a b -<<--，则⎩⎨⎧=-=--,4,2a b a b 解得1,3=-=b a .(II)t t t t +-=++-43123])()4][(1)3[(2222t t +-+≤442=+-=t t ,当且仅当134tt =-，即1=t 时等号成立，故4)123(max =++-t t .考点34 创新与拓展【1】（B ，湖北，理10），B解析：由][x 的性质知若1][=t ，则21<≤t ；若3][3=t ，则432<≤t ，即3343<≤t ；由3343<≤t知，4t Î，则][4t 可取4；5t Î，其中6933>，故][5t 不能取5.【2】（B ，湖北，文10理9），C解析：由题意知，{(,)A x y =22|1x y +≤,x ， }y ∈Z {(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)}=--，{(,)|B x y = ||2x ≤，||2y ≤，,}x y ∈Z ，所以由新定义集合A B⊕可知，111,0x y =±=或110,1x y ==±.当111,0x y =±=时123,2,1,0,1,2,3x x +=---，122,1,0,1,2y y +=--，所以此时A B ⊕中元素的个数有:7535⨯=个;当110,1x y ==±时，122,1,0,1,2x x +=--，123,2,1,0,1,2,3y y +=---，这种情形下和第一种情况下除12y y +的值取3-或3外均相同，即此时有5210⨯=，由分类计数原理知，A B ⊕中元素的个数为351045+=个.【3】（B ，广东，理8），B解析：正四面体的四个顶点是两两距离相等的，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值最多等于4.故选B. 【4】（B ，浙江，理6），A解析：根据题中所给出的定义(,)d A B 所代表的实际含义为集合,A B 互异的元素个数.命题①的逆否形式为：“(,)0d A B =”是“A B =”的充分必要条件，因此命题①是正确的. 结合Venn 图以及题中的定义不难推出命题②是正确的．【5】（C, 上海，理17），B解析：取1234a a a ===，三个方程都有实根，排除A ；取1234,2,1a a a ===，则B 满足条件；取1231,3,9a a a ===，则方程①无实根，且方程②有实根，但方程③有实根，排除C ；取1231,7a a a ===，则方程①无实根，且方程②无实根，但方程③有实根，排除D.故选B.注若1231a a a ===，则方程①无实根，且方程②无实根，方程③也无实根，所以在得到B 可能满足条件后还要排除其他情况. 【6】（C ，上海，文理18），A解析：因点(,)n n nP x y 在圆222x y +=上，所以222n n x y +=，即n y =又点(,)n n n P x y 在*2()1N n x y n n -=∈+上，而1()1nn n →→∞+，因为直线21x y -=与圆222x y +=在第一象限交点为(1,1)，所以lim 1n n x →∞=.于是1lim 1n n n n ny x →∞→∞-=-2lim n →∞=limn →∞=111.11n +=-=-=-+选A. 【7】（C ，广东，文10），A解析：对于E ：①当4=s ，,,p q r 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有4⨯4⨯4=64；②当3=s ，,,p q r 可以从0,1,2这三个数任取一个，因而有3⨯3⨯3=27；③当2=s ，,,p q r 可以从0,1这两个数任取一个，因而有2⨯2⨯2=8；④当1=s ，,,p q r 都取值0，只有1种情况. 故()=64+27+8+1=100card E .对于F :先处理前面两个),(u t ，当4=u ，t 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，有4种；当3=u ，t 可以从0,1,2这3个数任取3个；当2=u ，t 可以从0,1这两个数任取2个；当1=u ，t =0只有1种.故前面两个),(u t 的可能结果有4+3+2+1=10种，同理得后面),(w v 有10种，故1001010)(=⨯=F card ，所以()()200card E card F +=.【8】（A ，上海，文5理3），16解析：由已知可得25c y ==，123c x y =+2335=⋅+⋅21=，所以1221516.c c -=-=【9】（B ，山东，文14），2解析：由题意知：=⊗+⊗x y y x )2(=+=-+-xyy x xy x y xy y x 22242222222)2(21≥+xyy x ，当且仅当02>=y x 时，取得最小值2.【10】（C ，上海，文14理13），8解析：两个正弦函数值差的绝对值最大值是最高点和最低点的纵坐标的差，因此只要取相邻最高点和最低点，两端点取零点即可.当12π0,2x x ==，33π2x =，455π7π,,22x x ==679π11π,22x x ==，86πx =时，12|()()|f x f x -+23|()()|f x f x -+1|()()|12m m f x f x -+-=,所以m 的最小值为8.【11】（A ，福建，理21-I ）解析：(1)因为23412A =⨯-⨯=所以131312222422122A --⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪⎪- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)由AC =B 得11()C A A A B --=,故1313112C ==222012123A B -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭---⎝⎭⎝⎭.【12】（B ，江苏，理21B ），1解析：由已知，得αα2-=A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211101y x y x ，则⎩⎨⎧=-=-221y x ，即⎩⎨⎧=-=21y x ，所以矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0211A .从而矩阵A 的特征多项式)1)(2()(-+=λλλf ，所以矩阵A 的另一个特征值为1.考点35 交汇与整合【1】（C ，上海，文17理16），D解析：法1 设(,)B x y ，则由复数乘法（三角形式）的几何意义得ππi i)(cosisin )33x y +=⋅+113i)(i)i 2222=⋅+=+，选D.法2 设(,)B x y ，则OAB !是正三角形，所以222249,((1)49,x y x y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩解得132y =，选B.【2】（C ，江苏，文理14），39解析：++=⋅+ππ61cos 6cos1k k a a k k )61cos 61)(sin 6cos 6(sin ππππ++++k k k k ，πππππ61cos 6cos )616sin(6cos +++++=k k k kππππ61cos 6cos )63sin(23++++=k k k πππ6)12(cos 21)63sin(433++++=k k 因此3912433)(111=⨯=⋅∑=+k k k a a . 【3】（A ，湖北，理20）解析：(I)设每天,A B 两种产品的生产数量分别为,x y ，相应的获利为z ，则有2 1.5,1.512, 20,0, 0.x y W x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨-≥⎪⎪≥≥⎩ （1）12目标函数为10001200z x y =+．第3题图1 第3题图2 第3题图3 当12W =时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为(0, 0), (2.4, 4.8), (6, 0)A B C .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+.当 2.4, 4.8x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 2.41000Z z ==⨯ 4.8+⨯ 12008160=．当15W =时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (7.5, 0)A B C ．将1000z x =1200y +变形为561200zy x =-+，当3, 6x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 310006120010200Z z ==⨯+⨯=．当18W =时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为(0, 0), (3, 6), (6, 4), (9, 0)A B C D .将10001200z x y =+变形为561200zy x =-+，当6,4x y ==时，直线l ：561200zy x =-+在y 轴上的截距最大，最大获利max 61000Z z ==⨯41200+⨯ 10800=．故最大获利Z 的分布列为0.2⨯9708=.(II)由(I)知，一天最大获利超过10000元的概率1(10000)0.50.20.7p P Z =>=+=，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为973.03.01)1(1331=-=--=p p .【4】（C ，上海，文23）解析：（1）因13n n b b +-=，所以16n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列，故16(1)65n a n n =+-=-.(2) 法1 0n n a a ≥，112()n n n n a a b b ++-=-，*n ∈N ，故11()n n n a a a a --=-+12()n n a a ---21()a a ++-1122()2()n n n n b b b b ---=-+-212()b b ++-12()n b b =-，于是()11122n n b a b a =+-，所以 ()()001111112222n n n n b a b a a b a b =+-≥+-=.所以，对任意的*N n ∈，均有0n n b b ≥，即{}n b 的第0n 项是最大项.法2 当01n n ≤≤时， 0001()n n n n a a a a --=-0012()n n a a --+-1()n n a a +++-00001122()2()n n n n b b b b ---=-+-12()n n b b +++-02()0n n b b =-≥.同理，当0n n ≥时，00n n a a -≤，即0n n a a -112()()n n n n a a a a ---=-+-++001()n n a a +- 1122()2()n n n n b b b b ---=-+-0012()n n b b +++-02()0n n b b =-≤.于是，对任意的*N n ∈，均有0n n b b ≥，即{}n b 的第0n 项是最大项.(3)因1n n a a +-112()2()n n n n b b λλ++=-=-，所以 112(),n n n n a a λλ---=-121221212(),2().n n n n a a a a λλλλ-----=--=-以上各式相加可得 2(2)n n a n λλ=+≥. 当1n =时也成立，所以*2()N n n a n λλ=+∈. 因为对任意*N n ∈，11(,6)6n a a ∈，130a λ=<，所以0n a <，特别地，2220a λλ=+<，故1(,0)2λ∈-.对此时任意的*N n ∈，0.n a ≠ 当102λ-<<时，222n n a λλλ=+>，且单调递减，有最大值222a λλ=+，21212n n a λλ--=+λ<，且单调递增，有最小值13a λ=，故{}n a 的最大值为2a ，最小值为1a ，所以m naa 的最大值为12321a a λ=+，最小值为21213a a λ+=，由3621λ<+，21136λ+>解得 104λ-<<. 【5】（C ，上海，理22）解析：(1)参见【4】（C ，上海，文23）（1）的解析.(2)参见【4】（C ，上海，文23）（2）的解析. (3)因为*10,()nn a b n λλ=<=∈N ，故12(1)n n n a a λλ+-=-， 121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-212(1)2(1)2(1)n λλλλλλλ-=+-+-++- 112(1)2.1n n λλλλλλλ--=+-⋅=--当1n =时，1a λ=符合上式，所以2.nn a λλ=-①当01<<-λ时，λλ-=nn a )(222单调递减，有最大值λλ-==222a M ；λλ-=--12122n n a 单调递增，有最小值1m a = λ=，所以)2,2(12-∈-=λm M，又(1,0)λ∈-，所以)0,21(-∈λ.②当1-=λ时，32=n a ，112-=-n a ，所以3=M ，1-=m ，所以)2,2(3-∉-=mM，不满足条件.③当1-<λ时，当+∞→n 时n a 2+∞→，无最大值；当+∞→n 时12-n a -∞→，无最小值.综上所述，)0,21(-∈λ. 【6】（C ，上海，理23）解析：(1)()h x 的定义域为R ，cos (6π)h x +cos[(6π)x =+6πsin]cos(sin )33x xx ++=+ cos ()h x =，即()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数.(2)对任意[(),()]c f a f b ∈，由于()f x 值域为R ，所以一定存在0x ，使得0()f x c =.当0x a <时，因为()f x 单调递增，所以c =0()()f x f a <，与[(),()]c f a f b ∈矛盾，所以0x a ≥；同理可得0x b ≤.故存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =.(3)必要性：设0[0,]u T ∈，因()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以0cos ()f u T + 0cos ()f u =1=，其中0[,2]u T T T +∈，故0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解.充分性：因为0u T +为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解，所以0[,2]u T T T +∈，0cos ()1f u T +=.因()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以0cos ()f u T +0cos ()1f u ==.由0[,2]u T T T +∈得0[0,]u T ∈，即0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解.再证对任意[0,]x T ∈都有()f x T +()f x =()f T +.由（2）知，存在01230x x x x =<<<4x T <=，使得(),1,2,3,4.i f x i i π==而1[,]i i x x +是函数cos ()f x 的单调区间，0,1,2,3.i =类似地可以证明：0u 是cos ()1f x =-在[0,]T 上的解，当且仅当0u T +是cos ()1f x =-在[,2]T T 上的解.从而cos ()1f x =±在[0,]T 与[,2]T T 上的解的个数相同.故()()4,1,2,3,4.i i f x T f x i π+=+= 对于1[0,]x x ∈，()[0,]f x π∈，()f x T +∈[4,5]ππ，而cos ()cos ()f x T f x +=，故 ()f x T +()4f x π=+()().f x f T =+类似地，当1[,],1,2,3i i x x x i +∈=时，有()()().f x T f x f T +=+所以结论成立.【7】（C ，安徽，理21）解析： (I)b x a x x f +-=sin sin )(sin 2，x a x x f cos )sin 2(])(sin [-='，因为22ππ<<-x ，所以2sin 22,0cos <<->x x .14①当2-≤a 时，函数)(sin x f 在(,)22ππ-上单调递增，无极值；②当2≥a 时，函数)(sin x f 在(,)22ππ-上单调递减，无极值；③对于22<<-a ，在(,)22ππ-内存在唯一的0x 使得a x =0sin 2．当02x x ≤<-π时，函数)(sin x f 单调递减，当20π<≤x x 时，函数)(sin x f 单调递增，因此，22<<-a 时，函数)(sin x f 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-．(II)22ππ≤≤-x 时，0|(sin )(sin )|f x f x -00|()sin |a a x b b =-+-b b a a -+-≤00，当0))((00≥--b b a a 时，取2π=x ，等号成立；当0))((00<--b b a a 时，取2π-=x ，等号成立；由此可知，()()x f x f sin sin 0-在]2,2[ππ-上的最大值为b b a a D -+-=00；(III)法1 1≤D 即为1≤+b a ，此时11,102≤≤-≤≤b a ，从而142≤-=a b z ．取1,0==b a ，则1≤+b a ，且142=-=a b z ．可知，42a b z -=满足条件1≤D 时最大值为1．法2 1≤D 即为1≤+b a ，在平面直角坐标系aOb 中，对应的平面区域如图所示，而42a b z -=，亦即z a b +=42，对应曲线是开口向上的抛物线42a b =向上平移z 个单位所得，其在b上的最大值是1. 【8】（C ，陕西，理21）解析：(I)2)()(-=x f x F n n ++=x 122-++n x x ，则01)1(>-=n F n ，=)21(n F2)21()21(2112-++++n 021<-n ，则)(x F n 在)1,21(内至少存在一个零点. 又)(x F n '0211>+++=-n nxx ，故)(x F n 在)1,21(内单调递增，所以)(x F n 在)1,21(内有且仅有一个零点n x .因为n x 是)(x F n 的零点，所以0)(=n n x F ，即02111=---+nn nx x ，故+=21n x 121+n n x . (II)法1 由题设, 2)1)(1()(n n x n x g ++=,设)()()(x g x f x h n n -=-++++=n x x x 212)1)(1(n x n ++，0>x .当1=x 时，)()(x g x f n n =.当1≠x 时，-+++='-121)(n nx x x h2)1(1-+n x n n .若10<<x ，++>'--112)(n n x x x h112)1(--+-+n n x n n nx -+=-12)1(n x n n02)1(1=+-n x n n .若1>x ，++<'--112)(n n x x x h 112)1(--+-+n n x n n nx -+=-12)1(n x n n02)1(1=+-n x n n . 所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减，所以0)1()(=<h x h ，即<)(x f n )(x g n .综上所述，当1=x 时，)()(x g x f n n =；当1≠x 时，)()(x g x f n n <.第7题图法2 由题设, )(x f n nx x x ++++= 21,2)1)(1()(n n x n x g ++=,0>x .当1=x 时，)()(x g x f n n =.当1≠x 时，用数学归纳法证明)()(x g x f n n <. ①当2=n 时，0)1(21)()(222<--=-x x g x f ，所以)()(22x g x f <成立.②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即<)(x f k)(x g k . 那么，当1+=k n 时，+=+)()(1x f x f k k11)(+++<k k k x x g x 12)1)(1(++++=k kx x k21)1(21++++=+k x k x k k .又-+)(1x g k21)1(21+++++k x k x k k 21)1(1++-=+k k x k kx .令)0(1)1()(1>++-=+x x k kx x h k k k ，则=')(x h k 1)1()1(-+-+k k x k k x k k )1()1(1-+=-x x k k k .所以当10<<x 时，0)(<'x h k，)(x h k 在)1,0(上递减；当1>x 时，0)(>'x h k，)(x h k 在),1(+∞上递增.所以0)1()(=>k k h x h ，从而>+)(1x g k21)1(21+++++k x k x k k .故)()(11x g x f k k ++<，即1+=k n 时不等式也成立.由①和②知，对一切2≥n 的整数，都有)()(x g x f n n <.法3 由已知，记等差数列为{}k a ，等比数列为{}k b 1,,2,1+=n k .则111==b a ，n n n x b a ==++11, 所以)2(1)1(1n k nx k a n k ≤≤-⋅-+=，1-=k k x b)2(n k ≤≤,令k k k b a x m -=)(⨯-+=)1(1k )2(0,11n k x x nx k n ≤≤>---，当1=x 时，=k a k b ,所以)()(x g x f n n =.当1≠x 时，=')(x m k21)1(1----⋅-k n x k nx nk )1()1(12--=+--k n k x x k .而n k ≤≤2，所以11,01≥+->-k n k .若10<<x ，11<+-k n x，0)(<'x m k ；若1>x ，11>+-k n x，0)(>'x m k . 从而)(x m k 在)1,0(上递减，在),1(+∞上递增，所以0)1()(=>k k m x m ，所以当0>x 且1≠x 时，k k b a >)2(n k ≤≤，又11b a =，11++=n n b a ，故)()(x g x f n n <.综上所述，当1=x 时，)()(x g x f n n =；当1≠x 时，)()(x g x f n n <.。

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程解析

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程基础巩固强化一、选择题1.（文）极坐标方程（p—1）（0—n 0（p> 0）表示的图形是（）A .两个圆B .两条直线C .一个圆和一条射线D .一条直线和一条射线［答案］C［解析］原方程等价于尸1或0= n前者是半径为1的圆，后者是一条射线.n（理）（2013北京西城期末）在极坐标系中，已知点P（2, 6）,则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A . p sin 0= 1 B. psin 0= 3C. pcos 0= 1 D . p cos 0= . 3［答案］A［解析］点P（2, n的直角坐标为（3,1）,•••所求直线平行于极轴，.••所求直线的斜率k= 0.所求直线的普通方程为y= 1，化为极坐标方程为psin 0= 1,故选A.2 .（文）设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x= 1 + 2t,y= 2 +1.（t为参数）被圆p= 3截得的弦长为（）12A飞B敖C."5［答案］B［解析］2 2圆的直角坐标方程为x + y = 9,直线的参数方程化为普通方程为x—2y+ 3 = 0,则圆心（0,0）到直线的距离d= ；•所以弦长为2；32—d2=十5（理）已知点2l x= 4t ,P（3, m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|=（）A . 1B. 2C. 3 D . 4［答案］D［解析］将抛物线的参数方程化为普通方程为y2= 4x,则焦点F（1,0），准线方程为x=—1,又P(3, m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|= 3 —(-1) = 4.［x= 2+ t,3.(文)(2013北京海淀期末)已知直线I:l y=—2—t 数)，则直线I的倾斜角及圆心C的直角坐标分别为n nA. 7, (1,0)B.7, (—1,0)4 4c.35, (1,0) D^, (—1,0)［答案］c［解析］•••直线I的普通方程为x+ y= 0,3 n•••直线l的倾斜角为宁4又•••圆C的普通方程为(x—1)2+ y2= 4 ,•圆心坐标为(1,0),故选C.x= —1 + 2t ,x = 2cos 0+ 1 ,(t为参数)与圆C :彳(0为参|y = 2sin 0)l y=—1 —tx= 1 + 3cos 0,(t为参数)被曲线U1 + 3sin0 (0为参数，0€ R)所截,则截得的弦的长度是( )A ―^―5c 3/22B. 5D . 6迄［答案］Bx=—1+ 2t ,［解析］••x+ 2y+ 3= 0. [y= - 1 -1 ,x= 1 + 3cos 0 ,•叫••(x—1)2+ (y—1)2= 9 ,(理)(2013山西太原测评)若直线7= 1 + 3sin 0,•圆心(1,1)到直线x + 2y+ 3= 0的距离|1 + 2 + 3| ^5 d=.5 =亏，弦长为2- 32—6552=晋,故选B.x= 1 + 3t ,4 .若直线的参数方程为' 厂(t为参数),则直线的倾斜角为()■y = 2—3t.A .30 °B .60 °［答案］直线的倾斜角为150° n5.（文）在极坐标系中，过点（2, 3）且与极轴平行的直线的方程是（）A . p os 0= ■ _ 3B . p in 0= . 3C . p= _ 3cos 0D .尸：：：; 3sin 0［答案］B［解析］设P （p, 0是所求直线上任意一点，则p in 0= 2sin n ，/.psin 0=^/3，故选B.（2专）（理）（2013安徽理，7）在极坐标系中，圆 p= 2cos 0的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A . 0= 0（ p€ R ）和 p os 0= 2B . 0= 2（ p€ R ）和 p cos 0= 2n十C . 0= 2（ p€ R ）和 p cos 0= 1D . 0= 0（ p€ R ）和 p os 0= 1 ［答案］B［解析］由题意可知，圆 p= 2cos 0可化为普通方程为（x — 1）2+ y 2= 1. 所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为x = 0和x = 2，再将两条切线方程化为极坐标方程分n别为 0= 2（p€R ）和 pcos 0= 2,故选 B.x = 2cos 0,x = t ,（0为参数）和直线I ： i （t 为参数，b 为y = 2sin 0. y = t + b.实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b =（D . 1506. （2012淮南市二模）已知曲线 C : A. ,2 B .— 2D . ±. 2［解析］［答案］［解析］将曲线C和直线I的参数方程分别化为普通方程为X2+ y2= 4和y= x+ b，依题意，若要使圆上有3个点到直线I的距离为1,只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b|= 1,解得by［2=± 2.二、填空题x= 1 —2t, 7 •若直线11：1y= 2 + kt.x s,（t为参数）与直线b：U （s为参数）垂直，则k= .I y= 1 —2s.［答案］—1［x= 1 —2t,［解析］11： 5 (t为参数)y= 2+ kt.k化为普通方程为y—2= —2(x—1),|x= s,I2：S （s为参数）化为普通方程为y—1 = —2x,7= 1 —2 s.k■•I1 JL2,-—2 （—2）= —1, k=—1.x= t8.（文）（2013江西理，15）设曲线C的参数方程为（ 2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为ly=t极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为______________ .2［答案］pcos 0—sin B= 0x=t，2［解析］由参数方程$ 2得曲线在直角坐标系下的方程为y= x2.、y=tfx= pcos 0,由公式< 得曲线C的极坐标方程为pcos20= sin 0y= psin 0（理）（2013陕西理，15）如图，以过原点的直线的倾斜角0为参数，则圆x2+ y2—x = 0的参数方程为________ .x= cos2 0,［答案］（0为参数）y= sin 0cos0［解析］y由三角函数定义知 -=tan0x M 0）, y= xtan0 ,x2 2 2 2 2 1 2 由x + y —x= 0 得，x + x tan 0— x = 0, x= — = cos 0,1 + tan 0则y= xtan 0= cos20an 0= sin Ocos 0,又0=中寸，x= 0, y= 0也适合题意,］'x= cos2 0,故参数方程为（0为参数）.y= sin 0cos0［解法探究］因为直线OP与圆的交点为P,所以点P与直径两端点构成直角三角形，故可通过解直角三角形求得参数方程.(理)在极坐标系中，圆尸4cos B 的圆心C 到直线psin ( B+才)=2^2的距离为 __________ .［答案］2［解析］注意到圆p= 4cos 0的直角坐标方程是 x 2 + y 2= 4x ,圆心C 的坐标是(2,0).直线p sin( 0n —|2+ 0— 4|-+ 4)= 2眾的直角坐标方程是 x + y — 4 = 0，因此圆心(2,0)到该直线的距离等于寸㊁=V 2.三、解答题10 .(文)(2012河南六市联考 )曲线 C i 的极坐标方程为 p= 4cos 0,直线 C 2的参数方程为x = 3 + 4t ,(t 为参数).y = 2 + 3t.(1) 将C i 化为直角坐标方程；(2) 曲线C i 与C 2是否相交？若相交，求出弦长，若不相交，请说明理由.2 2 2•••圆的直径为1.设 P （x , y ），则 OP|= cos 0, 2x = |OP|cos 0= cos 0, y = |OP|sin 0= sin 0os 0.广 2x = cos 0,•圆的参数方程为彳（0为参）9.（文）（2012深圳调研）在极坐标系中，点 P （1 ,寸）到直线I : pcos （0+ ；）=晋上的点的最短距离为 ________ .［答案］2 ,2［解析］注意到点P （1, n 的直角坐标是（0,1），直线I : pcos （0+ n =节的直角坐标方程是x — yn—3 = 0,因此点P （1, 2）到直线l 上的点的最短距离，即点P 到直线l 的距离，等于 |0— 1 —3|2 将圆x 2 + y 2— x = 0配方得,［解析］(1) '■'= 4cos 0 ••• p = 4 ［:c os 0 , -'x + y = 4x,所以C1的直角坐标方程为x2+ y2—4x= 0.(2)C2的直角坐标方程为3x—4y —1 = 0,C1表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.圆心C1(2,0)到直线C2的距离|3X 2 —4X 0—1|d = . ------------ = 1<2.小2+ 42所以C1与C2相交.相交弦长AB|= 2 22—12= 2,3.x= 1 + tCOS a,(理)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：尸1.(极坐标轴与x轴非负半轴重合) y= tsin a.(1) 当a= 3时，求直线C1被圆C2所截得的弦长；(2) 过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A.当a变化时，求A点的轨迹的普通方程.［解析］(1)当a= 3时，C1的普通方程为y= . 3(x—1),C2的普通方程为x2+ y2= 1.y=也区-1,法1:联立方程组［x2+ y2= 1.解得C 1与C 2的交点为（1,0）, （2，— g 3法2 :原点O 到直线C 1的距离为 --------------- _ , .；'32 + 1 2又圆C 2的半径为1，所以截得的弦长为 2\” 一（%3 （= 2 X 2= 1. (2) C 1 的普通方程为 xs in a- ycos a — sin a= 0. A 点坐标为 (sin 2 a, — cos a sin a ),所以A 点轨迹的普通方程为x 2+ y 2 — x = 0.能力拓展提升、填空题"x = V2cost厂（t 为参数）,C 在点（1,1）处的切线剧=7 2sint 为I ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则I 的极坐标方程为［答案］p in( 0+ n = 2X = V2cost ,［解析］•••曲线C 的参数方程为（t 为参数）,y= int ,•••其普通方程为X 2+ y 2= 2.又点（1,1）在曲线C 上，•曲线I 的斜率k =— 1. 故I 的方程为x + y — 2= 0,化为极坐标方程为 pcos 0+ psin 0= 2, 即 p>in （0+ 4 ）=.2.12 .（文）极坐标系中，点 A 在曲线尸2si n 0上，点B 在曲线 p os 0=— 2上，则|AB|的最小值为［答案］12［解析］p= 2sin 0? p = 2 p in 0 ••x 2+ y 2 — 2y = 0，即 x 2+ (y — 1)2= 1;),10— 0- ,'3|3故当a 变化时，A 点轨迹的参数方程为叫 x = sin 2 a(a 为参数).［y =— sin a cos a11. （2013广东理，14）已知曲线C 的参数方程为‘ 所以截得的弦长为'•'pcos 0= — 2 ,「x = — 2,易知圆心（0,1）到直线x = — 2的距离为2,圆半径为1,故|AB|min = 1.（理）在极坐标系中，设 P 是直线I : p cos 0+ sin 0） = 4上任一点，Q 是圆C ： p 2= 4 pcos 0- 3上任一点，贝U |PQ|的最小值是 _______ .［答案］ 2—1［解析］直线I 方程化为x + y — 4= 0,O C 方程化为 x 2+ y 2— 4x + 3= 0,即（x — 2）2 + y 2= 1.••|PQ|min = . 2 — 1.13 .（文）（2013广东深圳一模）在直角坐标系xOy 中，以原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立『x =x/t极坐标系.曲线 C 1的参数方程为，'（t 为参数），曲线C 2的极坐标方程为p in 0- pcos 0= 3,対=t + 1则C 1与C 2的交点在直角坐标系中的坐标为 ___________ .［答案］（2,5）［解析］将曲线C 1的参数方程和曲线 C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程 C 1: y = x 2 + 1,C 2： y — x = 3,y = x 2 + 1, x = 2, 由解得y —x = 3,y = 5,故交点坐标为（2,5）.2 2（理）以椭圆2x5 + ^6 = 1的焦点为焦点，以直线x= sec 0,n［答案］；=2屈n o （片k n+刁［解析］•••椭圆的焦点（±,0），•双曲线中c = 3,x = 2t ,又直线化为y = 2 .2x ,它是双曲线的渐近线,圆心C （2,0）到直线l 的距离d = |2+ 0 — 4| =2, x=/2t、曲=4t为渐近线的双曲线的参数方程为y= 4t.•'b = 2 .2, ■ a = 1, b = 8,「.a= 1, b = 2話2,ax= sec B, n•••双曲线的参数方程为(片k n+ n).y= 2>/2ta n 0.x= cos 014 . (2013广东广州调研)已知圆C的参数方程为(0为参数)，以原点为极点，x轴|y= sin 0+ 2的正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为p in 0+ pcos 0= 1，则直线I被圆C所截得的弦长是_________ .［答案］3［解析］圆C的参数方程化为普通方程为x2+ (y—2)2= 1,直线I的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+ y= 1,|0+ 2—1|圆心到直线的距离 d =--------- =弋2,V2 2故圆C截直线I所得的弦长为2 ；12—d2= 2.二、解答题15 .(文)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标坐标系取相等的单位n 长度.已知直线I经过点P(1,1)，倾斜角a=n.6(1) 写出直线I的参数方程；(2) 设I与圆p= 2相交于两点A、B,求点P到A、B两点的距离之积.,3x= 1 + R,［解析］(1)直线的参数方程是(t是参数)l y= 1 + ?t.(2)因为点A、B都在直线I上，所以可设它们对应的参数为t1和t2,圆P= 2化为直角坐标系的方程x2+ y2= 4.将直线I的参数方程代入圆的方程x2+ y2= 4整理得到t2+ ( .3+ 1)t —2= 0①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2=—2,••|PA| |PB|=|t1t2|= 2.(理)(2013辽宁五校协作体联考)已知直线I是过点P(—1,2),方向向量为n= (—1 , - 3)的直线，n圆方程p= 2cos( 0+ 3).(1) 求直线I的参数方程；(2) 设直线I与圆相交于M , N两点，求|PM| |PN|的值.2 n［解析］ ⑴'-'n = (— 13) ,•••直线的倾斜角a= -3.2 n［x = — 1 + tcos 3 , < 22 nI y = 2 + tsin-■p 2= pcos 0+ , 3 psin 0. •x 2+ y 2 — x + 3y = 0，将直线的参数方程代入得 t 2+ （3 + 2 3）t + 6 + 2 3= 0.••|皿2|= 6 + 2 .3,即 |PM| |PN| = 6+ 2 ,3.rx = cos （））,16 .（文）（2013贵州六校联考）已知圆C 1的参数方程为〈（$为参数），以坐标原点O 为y = sin $ 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 2的极坐标方程为尸2cos （ 0+ .（1）将圆C 1的参数方程化为普通方程，将圆 C 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）圆C 1、C 2是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由. x= cos $,22［解析］⑴由S得x + y = 1,\y= sin $又■/ p= 2cos( 0+ 3)= cos 0— . 3sin 0,-■p 2= ［:cos 0— , 3 psin 0. •x 2+ y 2 — x + ,3y = 0,即(x —》2+(y+^)2= 1.⑵圆心距d =0 — j 2+ 0 + 232•••直线的参数方程为（t 为参数）,（t 为参数）.1 ⑵•••尸 2(2cos 0+J3gsin 0 = cos 0+ . 3sin 0 1x =—1 — 2t ，=1<2，得两圆相交.设交点为A , B ,由］22厂 x + y — x + 寸 3y = 02 2,x + y = 1,得 A （1,0）, B （ — 2，一玄）,••|ABI =1 2+ ； 3+ 0+ 24 5 2= 3.x = 1 + tCOS a, X = cos 0,（理）已知直线C l ： < （t 为参数），圆C 2： < （0为参数）.|y = tsin a, |y = sin 0, （1）当a= n 时求C i 与C 2的交点坐标；（2）过坐标原点O 作C i 的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点•当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.［解析］⑴当a= n 时C i 的普通方程为y = .3（x — 1）, C 2的普通方程为X 2 + y 2= 1.解得C 1与C 2的交点为（1,0）, （1,—三3） •（2） C 1 的普通方程为 xs in a — ycos a — sin a= 0. 一 2A 点坐标为（sin a, — cos a sin a ）,故当a 变化时，P 点轨迹的参数方程为（a 为参数）,、 1 2 2 1消去参数得P 点轨迹的普通方程为（x — 2 + y =—, 1 1故P 点轨迹是圆心为q , 0）,半径为4的圆.考纲要求2 •了解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3 •了解极坐标的基本概念•会在极坐标系中用极坐标来刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.4 .能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程.5.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.联立方程组x = |si n 21y = — gsin 久cosa ,备课助手5•了解参数方程，了解参数的意义.6 •能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.补充说明1 •极坐标系的概念在平面内取一个定点0为极点，引一条射线Ox为极轴，再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及正方向（通常取逆时针方向），就建立了一个极坐标系•对于极坐标系内任意一点M，用p表示线段0M的长度，用B表示以极轴Ox为始边，射线0M为终边的角，p叫做点M的极径，0 叫做点M的极角，有序实数对（p, 0就叫做点M的极坐标•如无特别说明时，p> 0, 0€ R.2 .柱坐标系（1）如图，空间直角坐标系0 —xyz中，设P是空间任意一点，它在xoy平面上的射影为Q,用（p0）（p>0,0 W 0<2 n来表示点Q在平面xoy上的极坐标.则点P的位置可用有序数组（p 0 z）（z€ R）表示.把建立了空间的点与有序数组（p, 0 z）之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（p, 0 , z）叫做点P的柱坐标，记作p（p 0 z）,其中p>0,0W 0<2 n —m<z< + s.x= p cos 0, （2）空间点P的直角坐标（x , y , z）与柱坐标（p 0, z）之间的变换公式为t y= p in 0l.z=乙3 .球坐标系（1）如图空间直角坐标系0 —xyz中，设P是空间任意一点，记|0P|= r , OP与Oz轴正向所夹的角为0设P在xOy平面上的射影为Q , Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为0 ,则点P用有序数组（r , 0 0表示.把空间的点与有序数组（r , 0 0之间建立的这种对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组（r, 0 , 0叫做点P的球坐标，记作P（r , 0 0）,其中r > 0,0W 0W n, 0W 0<2 n.x= rsin gos 0,(2)空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r, 0 0之间的变换关系为y= rsin^in 0z= rcos 0.备选习题X= 2COS a ,1 •在直角坐标系xOy中，曲线C i的参数方程为，. (a为参数)，在极坐标系(与直角3sin a坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为p cos 0 —sin 0 + 1 = 0,贝U C i与C2的交点个数为_______________ •［答案］22 2x y［解析］曲线C i的参数方程可化为—+ 3 = 1,曲线C2的极坐标方程P COS0—sin 0 + 1 = 0化为直角坐标方程为x—y+ 1 = 0•直线x—y+ 1 = 0过点(0,1)，位于椭圆C1内，故G与C?有2个交点.3x=—5t+ 2,2 .已知曲线C1：P= 2sin 0,曲线C2：(t为参数).l y= *(1) 化C1为直角坐标方程，化C2为普通方程；(2) 若M为曲线C2与x轴的交点，N为曲线C1上一动点，求|MN|的最大值.［解析］(1)曲线C1的方程化为p2= 2 p i n02 2 2又x + y = p , x = pcos 0, y= psin 0所以曲线C1的直角坐标方程x2+ y2—2y= 0,3x= —5t+ 2,因为曲线C2的参数方程是消去参数t得曲线C2的普通方程4x+ 3y—8= 0.⑵在曲线C2的方程中，令y= 0得x= 2,即M点的坐标为(2,0),又曲线C1为圆，其圆心坐标为C1(0,1)，半径r = 1, 则|MC1|= ,'5,••|MN|W |MC1|+ r = ,5+ 1 , |MN|的最大值为.'5+ 1.轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 P= 2cos( 0+ n ，求直线I 被曲线C 所截的弦长.4 1 x = 1 +5t ,［解析］将方程｛ 3 (t 为参数)化为普通方程得，3x + 4y + 1= 0,3y =-1-5t .将方程p= 2cos 0+ 4化为普通方程得，x 2 + y 2—x + y = 0,它表示圆心为 £，— 2，半径为 1的圆，则圆心到直线的距离 d = 10,弦长为 2—d =2100= 5.4 .已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.设一X = t , 2点O 为坐标原点，直线I :〈(参数t € R )与曲线C 的极坐标方程为 pcos 2 0= 2sin 0y = 2+ 2t.(1) 求直线I 与曲线C 的普通方程；(2) 设直线I 与曲线C 相交于A 、B 两点，证明：OA OB = 0. ［解析］(1)由直线的参数方程消去参数 t 得普通方程y = 2x + 2;由曲线C 的极坐标方程得曲线C 的普通方程为x 2= 2y ,y= 2x +2, 2(2)设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2),由 2消去 y 得 X — 4x — 4 = 0,l x = 2y.「OA OB = X 1X 2 + y i y 2= 0・5. (2012河北郑口中学模拟)在直角坐标系中，以原点 O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，建立极…一 ,,,X = V3c°S a坐标系，设曲线 C ：( a 为参数)，直线I : p cos B+ si n B )= 4.$= sin a(1) 写出曲线C 的普通方程和直线I 的直角坐标方程； (2) 求曲线C 上的点到直线I 的最大距离.2［解析］(1 )将C 化为普通方程是二+ y 2= 1,3 .在直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为: (t 为参数)，若以0为极点，xX i + X 2= 4, X i •=y=-1-5t .将I化为直角坐标方程是x+ y— 4 = 0.2(2)在3 + y2= 1上任取一点A(寸3cos a, sin ",则点A到直线I的距离为3| 3cos a+ sin a—4| |2sin a+ 60 °—4|d = " 2 = 2 ，它的最大值为3 2.6. (2013福建漳州一模)在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，一n \［2x= —1 + cos ©曲线C i的极坐标方程为p in( B+；)=斗~a，曲线C2的参数方程为｛( $为参数,4 2ly=— 1 + sin()),O W n )(1) 求C i的直角坐标方程；(2) 当C1与C2有两个不同公共点时，求实数a的取值范围.［解析］(1)将曲线C1的极坐标方程变形，P》n 0+歩呻冷a,即pcos 0+ p in 0= a,•••曲线C1的直角坐标方程为x+ y—a= 0.⑵曲线C2的直角坐标方程为(x+ 1)2+ (y+ 1)2= 1( —1 W y< 0)，为半圆弧,如图所示，曲线C1为一组平行于直线x+ y= 0的直线，|—1 —1 —a|当直线C1与C2相切时，由2± 2,—— = 1得a=舍去 a = —2 —#2，得a=—2+、f2,当直线C1 过A(0，—1)、B( —1,0)两点时，a=—1.•••由图可知，当一1W a< —2+ .2时，曲线C1与曲线C2有两个公共点.21。

2015年高考数学试题——坐标系与参数方程

2015年高考数学试题——坐标系与参数方程1.（15北京理科）在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭‚到直线()cos 6ρθθ+=的距离为．【答案】1 【解析】试题分析：先把点(2,)3π极坐标化为直角坐标，再把直线的极坐标方程()cos 6ρθθ+=化为直角坐标方程60x +-=，利用点到直线距离公式1d ==.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线距离.2.（15年广东理科）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为【答案】2．【解析】依题已知直线l：2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫⎪⎝⎭可化为l ：10x y -+=和()2,2A -，所以点A 与直线l 的距离为d ==，故应填入．【考点定位】本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点与直线的距离，属于容易题．3.（15年广东文科）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．【答案】()2,4- 【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．4.（15年福建理科）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos (t )23sin x ty tì=+ïí=-+ïî为参数.在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()m,(m R).4pq -= (Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．【答案】(Ⅰ) ()()22129x y -++=，0x y m --=；(Ⅱ) m=-3±【解析】试题分析：(Ⅰ)将圆的参数方程通过移项平方消去参数得()()22129x y -++= ，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)利用点到直线距离公式求解．试题解析：(Ⅰ)消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22129x y -++=,sin()m 4pq -=，得sin cos m 0r q r q --=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m --=. (Ⅱ)依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2，即|12m |2，--+=解得m=-3±考点：1、参数方程和普通方程的互化；2、极坐标方程和直角坐标方程的互化；3、点到直线距离公式．5.（15年新课标2理科）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：坐标系与参数方程坐标系(含答案)

选修4－4 坐标系与参数方程第1课时坐标系(理科专用)1. 在极坐标系中、圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是多少？解：∵ 直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心、∴ 直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 2. 在极坐标系中、直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3被圆ρ＝5截得的弦长是多少？解：直线和圆转化为直角坐标方程分别为直线x ＋y ＝32、圆x 2＋y 2＝25、圆心到直线的距离为3、得弦长为8.3. 在极坐标系中、求圆ρ＝1上的点到直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3的距离的最大值。

解：将直线和圆都化为直角坐标方程、直线x ＋3y －6＝0、圆x 2＋y 2＝1、圆心(0、0)到直线的距离为3、∴ 直线与圆上的点最大距离为4.4. 在极坐标系下、求圆ρ＝5cos θ－53sin θ的圆心的坐标。

解：圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎫52，－532、故圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，53π.(答案不唯一) 5. 曲线的极坐标方程为ρ＝tan θ·1cos θ、求曲线的直角坐标方程。

解：ρ＝tan θ·1cos θ＝sin θcos 2θ、ρcos 2θ＝sin θ、ρ2cos 2θ＝ρsin θ、即曲线的直角坐标方程为x 2＝y.6. 极坐标方程ρcos2θ＝0表示的曲线是什么？解：ρcos2θ＝0、cos2θ＝0、θ＝k π±π4、为两条相交直线。

7. 极坐标系中、曲线ρ＝－4sin θ与ρcos θ＝1相交于点A 、B 、求AB 的长。

解：在平面直角坐标系中、曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋()y ＋22＝4和直线x ＝1、作图易知||AB ＝2 3.8. 在极坐标系中、已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3、半径R ＝5、求圆C 的极坐标方程。

解：(解法1)设P(ρ、θ)是圆上的任意一点、则PC ＝ R ＝ 5. 由余弦定理、得ρ2＋22－2×2×ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝5.化简、得ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋1＝0、此即为所求的圆C 的方程. (解法2)将圆心C ⎝⎛⎭⎫2，π3化成直角坐标为(1、3)、半径R ＝5、故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5.再将C 化成极坐标方程、得(ρcos θ－1)2＋(ρcos θ－3)2＝5. 化简、得ρ2－4ρcos(θ－π3)＋1＝0 、此即为所求的圆C 的方程. 9. 设点P 在曲线ρsin θ＝2上、点Q 在曲线ρ＝－2cos θ上、求|PQ|的最小值。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：选修4-4 坐标系与参数方程

选修4－4 坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ＞0)，y ′＝μ·y ，(μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标 (1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 3．极坐标与直角坐标的互化设M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标． [试一试]1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：⎝⎛⎭⎫2，－π3 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________．解析：由ρ＝sin θ＋2cos θ，得ρ2＝ρsin θ＋2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x －y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －y ＝01．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可． 2．直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的步骤 (1)运用ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)(2)在[0,2π)内由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．[练一练]1．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为________．解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A (ρ，θ)，则∠ABO ＝θ－90°，OB ＝22＝ρsin (θ－90°)，化简得ρ＝－22cos θ. 答案：ρ＝－22cos θ2．已知直线的极坐标方程为ρsin (θ＋π4)＝22，则极点到该直线的距离是________．解析：极点的直角坐标为O (0,0)，ρsin(θ＋π4)＝ρ22sin θ＋22cos θ＝22，∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，化为直角坐标方程为x ＋y －1＝0. ∴点O (0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝12＝22，即极点到直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22的距离为22. 答案：22平面直角坐标系中的伸缩变换1.(2014·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝3y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．函数y ＝sin(2x ＋π4)经伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝12y 后的解析式为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝12y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′.① 将①代入y ＝sin(2x ＋π4)，得2y ′＝sin(2·12x ′＋π4)，即y ′＝12sin(x ′＋π4)．答案：y ′＝12sin(x ′＋π4)3．双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标为________．解析：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)为所求．答案：(－5,0)或(5,0) [类题通法]平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，(λ>0)y ′＝μ·y ，(μ>0)下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．极坐标与直角坐标的互化[典例] 中，以坐标原点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcos θ－10(ρ>0)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的方程为x 216＋y 24＝1，设P ，Q 分别为曲线C 1与曲线C 2上的任意一点，求|PQ |的最小值．[解] (1)曲线C 1的方程可化为3(x 2＋y 2)＝12x －10，即(x －2)2＋y 2＝23.(2)依题意可设Q (4cos θ，2sin θ)，由(1)知圆C 1的圆心坐标为C 1(2,0)．故|QC 1|＝(4cos θ－2)2＋4sin 2θ ＝12cos 2θ－16cos θ＋8＝23⎝⎛⎭⎫cos θ－232＋23， |QC 1|min ＝263，所以|PQ |min ＝63. [类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2013·安徽模拟)在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系是________．解析：直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．答案：相交极坐标方程及应用[典例]xOy 中，曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标系中的方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] (1)由已知得，曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，化为极坐标方程是ρ＝4cos θ. (2)由题意知，直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y ＝4，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为2 2.解：由曲线C ，C 1极坐标方程联立 ∴cos 2θ＝34，cos θ＝±32，又ρ≥0，θ∈[0，π2)．∴cos θ＝32，θ＝π6，ρ＝23，故交点极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. [类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程． [针对训练](2013·荆州模拟)在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．解析：ρ＝6cos θ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3，其在极坐标系下的方程为ρcos θ＝3.答案：ρcos θ＝3第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数)注意：t 是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性． [练一练]1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为________．A.23 B ．－23C.32D ．－32解析：∵y －2x －1＝－3t 2t ＝－32，∴tan α＝－32.答案：－322．参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为__________(填“线段”、“双曲线”、“圆弧”或“射线”)．解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，即x －3y －5＝0，由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．答案：线段1．化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法．2．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|. [练一练]1．已知P 1，P 2是直线⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝－2＋32t (t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t 1，t 2，则线段P 1P 2的中点到点P (1，－2)的距离是________．解析：由t 的几何意义可知，线段P 1P 2的中点对应的参数为t 1＋t 22，P 对应的参数为t ＝0，∴线段P 1P 2的中点到点P 的距离为|t 1＋t 2|2.答案：|t 1＋t 2|22．已知直线⎩⎨⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t (t 为参数)与圆x 2＋y 2＝4相交于B ，C 两点，则|BC |的值为________．解析：∵⎩⎨⎧x ＝2－12t ＝2－22t ′，y ＝－1＋12t ＝－1＋22t ′，⎝⎛⎭⎫t ′＝22t 代入x 2＋y 2＝4，得⎝⎛⎭⎫2－22t ′2＋⎝⎛⎭⎫－1＋22t ′2＝4，t ′2－32t ′＋1＝0，∴|BC |＝|t ′1－t ′2|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝(32)2－4×1＝14. 答案：14参数方程与普通方程的互化1.曲线⎩⎨⎧x ＝23cos θy ＝32sin θ(θ为参数)中两焦点间的距离是________．解析：曲线化为普通方程为y 218＋x 212＝1，∴c ＝6，故焦距为2 6.答案：2 62．(2014·西安质检)若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ(θ为参数)相切，则实数m的值是________．解析：圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ消去参数θ，化为普通方程是(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线与圆相切，所以圆心(1，－2)到直线的距离等于半径，即|3＋4×(－2)＋m |5＝1，解得m ＝0或m＝10.答案：0或103．(2014·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线⎩⎨⎧x ＝－t ，y ＝3t(t 为参数，t ∈R )与曲线C 1：ρ＝4sin θ异于点O 的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝2sin θ异于点O 的交点为B ，则|AB |＝________.解析：由题意可得，直线y ＝－3x ，曲线C 1：x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：x 2＋(y －1)2＝1，画图可得，|AB |＝4cos 30°×12＝ 3.答案： 3 [类题通法]参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围．参数方程的应用[典例] (2013·郑州模拟)已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[解] (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立方程⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)依题意，C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0，则A 点的坐标为(sin 2α，－sin αcosα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，∴点P 轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．a ×3＝－1，故a ＝33. [类题通法]1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．2．对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题． [针对训练](2013·新课标卷Ⅱ)已知动点P ，Q 在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α为(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α), 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．极坐标、参数方程的综合应用[以坐标原点为极点，x 轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系． [解] (1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．[类题通法]涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．[针对训练](2013·石家庄质检)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与半圆C 的弧AP 的长度均为π3. (1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标；(2)求直线AM 的参数方程．解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且|OM |＝π3，故点M 的极坐标为(π3，π3)． (2)由(1)可得点M 的直角坐标为(π6，3π6)，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1＋(π6－1)t ，y ＝3π6t (t 为参数)．。

2015高考真题数学考点49-坐标系和参数方程

考点49 坐标系与参数方程填空题1. (2015·广东高考理科·T14)(坐标系与参数方程选做题)已知直线l的极坐标方程为2ρsin =,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为.【解题指南】先将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,点A的极坐标转化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式求出结果.【解析】依题已知直线l：2sin4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭和点7,4Aπ⎛⎫⎪⎝⎭可化为l：10x y-+=和()2,2A-，所以点A与直线l的距离为2 d==，故应填入2答案:22. (2015·广东高考文科·T14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为.【解题指南】先将曲线C1的极坐标方程转化为直角坐标方程,曲线C2的参数方程转化为普通方程,再联立方程组求解.【解析】曲线1C的直角坐标方程为2x y+=-，曲线2C的普通方程为28y x=，由228x yy x+=-⎧⎨=⎩得：24xy=⎧⎨=-⎩，所以1C与2C交点的直角坐标为()2,4-，答案:(2,-4)3. (2015·北京高考理科·T11)在极坐标系中,点(2,)到直线ρ(cosθ+sinθ)=6的距离为.【解题指南】把点和直线转化到直角坐标系中,再利用点到直线距离公式求解.【解析】点(2,3π)可化为(2cos 3π,2sin 3π),即(1, ).直线ρ(cos θ+sin θ)=6可化为x+由点到直线距离公式可得1=.答案:14.(2015·湖北高考理科·T16)(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),l 与C 相交于A,B 两点,则|AB|= . 【解题指南】先将极坐标方程ρ(sin θ-3cos θ)=0和曲线C 的参数方程1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化成普通方程,再求解.【解析】由ρ(sin θ-3cos θ)=0知,直线的方程是y=3x,由曲线C 的参数方程为1,1x t t y t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),消去参数得,y 2-x 2=4,解方程组2234=⎧⎨-=⎩y x y x，得A (B==AB答案：5.（2015·重庆高考理科·Ｔ15）已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为_________.【解题指南】首先将直线与曲线C 的方程化为直角坐标系下的方程，然后求出交点坐标再化为极坐标即可.【解析】因为直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩所以直线l 的方程为2y x =+因为曲线C 的极坐标方程为235cos 24(0,)44ππρθρθ=><<，可得曲线C 的方程为224(0)x y x -=<联立224(0)2x y x y x ⎧-=<⎨=+⎩解得交点坐标为(2,0)-，所以交点的极坐标为(2,)π答案：(2,)π6. （2015·安徽高考理科·T12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是【解题指南】将极坐标化为普通方程，求出圆心到直线的最大距离，再加上半径。

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习坐标系与参数方程

坐标系与参数方程1．(2014·北京高考)曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上【解析】因为(1，－2)为圆的对称中点，所以在直线y ＝－2x 上，故选B . 【答案】 B2．(2014·广东高考)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．【解析】 ∵2ρcos 2θ＝sin θ，∴2ρ2cos 2 θ＝ρsin θ即2x 2＝y ， ∵ρcos θ＝1，∴x＝1， ⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒x ＝1，y ＝2，∴交点坐标为(1,2)．【答案】 (1,2)3．(2014·陕西高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离等于________．【解析】将点的极坐标、直线的极坐标方程化为直角坐标、普通方程，利用点到直线的距离公式求解．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1化为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12sin θ＝1，32y －12x ＝1，12x －32y ＋1＝0，点(3，1)到直线12x －32y ＋1＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12×3－32×1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1.【答案】 14．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB|＝|t 1－t 2|＝8 2.从近三年高考来看，该部分高考命题的热点考向为： 1．极坐标方程①该考向主要考查极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，以及会写出简单图形的极坐标方程．②根据新课标省份的出题特点，既可以命制选择、填空题，难度为容易题；又可以命制解答题，难度中等．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 2．参数方程及应用①此考向主要考查参数方程与普通方程之间的互化能力，考查学生对基础公式及方法的理解和应用．②各地都有自己的命题特点，总的趋势为以填空题形式出现时，综合力度较小；以解答题形式出现时，常常把极坐标方程与参数方程融合在一起考查，难度一般不大，填空题5分左右，解答题10分左右．3．极坐标方程与参数方程的综合应用①此考向主要考查极坐标与参数方程的综合应用(互化、位置关系、最值等)，突出考查转化和化归的思想及能力．②主要以解答题的形式体现，难度中等.极坐标方程【例1】 (1)(2014·安徽江南十校眹考)在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，半径为2，则直线l 被圆C 所截得的弦长是________．(2)(2013·安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】 (1)直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2＋1，可化为直角坐标方程x ＋y ＝2＋2，由圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，得圆C 的圆心的直角坐标系(1,1)，所以圆心C (1，1)到直线l 的距离d ＝|1＋1－2－2|2＝1，又因为圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2.(2)在直角坐标系中，圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1.从而垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0，x ＝2，即θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 (1)2 (2)B【规律方法】 1.研究极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及角度和到定点距离时，引入极坐标系会对问题的解决带来很大的方便．2．在极坐标方程化为直角坐标方程时，只要整体上用x 代换其中的ρcos θ、y 代替其中的ρsin θ即可，其中所含的ρ2也可以写成ρ2(cos 2θ＋sin 2θ)＝x 2＋y 2.[创新预测] 1．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(2)(2013·北京高考)在极坐标系中，点(2，π6)到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】 (1)利用公式法转化求解．直角坐标方程x 2＋y 2－2x ＝0可化为x 2＋y 2＝2x ，将ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.(2)将极坐标转化为直角坐标求解．极坐标系中点(2，π6)对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 (1)ρ＝2cos θ (2)1参数方程及应用【例2】 (2014·全国新课标Ⅰ高考)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．【解】 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.【规律方法】将曲线的参数方程化为普通方程时，要把其中的参数消去，还要注意其中的x 、y 的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos 2θ＋sin 2θ＝1，1＋tan 2θ＝1cos 2θ.[创新预测]2．(1)(2013·陕西高考)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．(2)(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】 (1)利用直角坐标方程和参数方程的转化关系求解参数方程．将x 2＋y 2－x ＝0配方，得(x －12)2＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)将参数方程化为普通方程后求解．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3.【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数) (2)3极坐标方程与参数方程的综合应用【例3】 (2014·全国新课标Ⅱ高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈[0，π2]．(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．【解】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ，(0≤y ≤1)．C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为(1＋cos π3，sin π3)，即(32，32)．【规律方法】 1.要判断参数方程或极坐标方程所描述的方程类型，常常是将其转化为直角坐标系下的普遍方程．但是，对于一些常见的参数方程或极坐标方程，如果能够快速识别方程的形式，理解对应参数的几何意义，则可使问题得到快速的突破．2．在坐标系与参数方程的考查中，最能够体现坐标方法的解题优势，灵活地利用坐标方法可以使问题得到简捷的解答．[创新预测]3．(2014·福建厦门质检)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，(t 为参数)．(1)写出圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 为圆C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2ρcos θ＝x 得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，所以圆C 的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝4. (2)直线l 的普通方程为x －y －2＝0.设与直线l 平行的直线l ′的方程为x －y ＋m ＝0，则当直线l ′与圆C 相切时：|4＋m |2＝2，解得m ＝－22－4或m ＝22－4(舍去)，所以直线l 与直线l ′的距离d ＝|－22－4－－2＝2＋2，即点P 到直线l 距离的最大值2＋ 2.。

2015年高考数学4—4坐标系与参数方程(解答+答案)

2015年高考数学4—4坐标系与参数方程1.（2015广东文数14. （坐标系与参数方程选做题））在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．2.（2015广东理数14．(坐标系与参数方程选做题)）已知直线l 的极坐标方程为24sin(2=-）πθρ，点A 的极坐标为 A(22,47π)，则点A 到直线l 的距离为。

3.（2015湖北理数16．（选修4-4：坐标系与参数方程））在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线l 的极坐标方程为(sin 3cos )0ρθθ-=，曲线C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩( t 为参数) ，l与C 相交于A ,B 两点，则||AB = .4.（2015新课标Ⅰ文数（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中。

直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I ）求1C ，2C 的极坐标方程；（II ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN V 的面积5.（2015新课标II 文数23．（本小题满分10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：2sin ρθ=，C 3：ρθ=。

（1）求C 2与C 3交点的直角坐标；（2）若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求||AB 的最大值。

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程

2015届高考数学一轮总复习12-2坐标系与参数方程基础巩固强化一、选择题1.（文）极坐标方程S—1）（&一町=0（Q20）表示的图形是（）A.两个圆B.两条直线C. 一个圆和一条射线D. —条直线和一条射线【答案］C［解析］原方程等价于Q二1或"兀，前者是半径为1的圆，后者是一条射线.（理）（2013-北京西城期末）在极坐标系中，已知点P（2, |）,则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A. psin0=lB. psin&=GC. QCOS&=1D. pcos0=y［3【答案I A［解析|点P（2 ,自的直角坐标为（百,1）,•.•所求直线平行于极轴，.••所求直线的斜率k二0.所求直线的普通方程为y= 1，化为极坐标方程为psin&二1 ,故选A.2.（文）设极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴为x轴正半轴，则直线x=l+2/,,, （t为参数）被圆p=3截得的弦长为（））=2+/・c.辭【答案I B［解析|圆的直角坐标方程为^ + v2 = 9 ,直线的参数方程化为普通方程为x-2y + 3二0 ,则圆心（0.0）到直线的距离〃二金•所以弦长为2命_护二呼（理）已知点P（3,加）在以点F为焦点的抛物线《（/为参数）上，则IPFI=（）b=4/・A. 1 B・ 2C・3 D・4【答案I D［解析］将抛物线的参数方程化为普通方程为护二4x ,则焦点HL0）,准线方程为- 1，又P （3，加）在拋物线上，由抛物线的定义知IPFI = 3-（- 1） = 4.3.（文）（2013・北京海淀期末）已知直线/：（F 为参数）与圆C ：x=2cos&+ly=2sin&（&为参数），则直线/的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别为（）A.? (1,0)B.歩(―L0)C.竽,(1,0)D.竽,(—1,0)［答案］C［解析］••直线/的普通方程为x + y 二0,•値线/的倾斜角为壬又・・•圆C 的普通方程为（x ・1尸+尸二4 ,・・・圆心坐标为（1,0）,故选C.（理）（2013•山西太原测评）若直线、x= —1+2 人 y= — 1 —f（t 为参数）被曲线＜.Y =1+3COS &.)=l+3sin&（&为参数，ee R ）所截，则截得的弦的长度是（）A普B 竽C 普 D. 6^2【答案I Bx= - 1 + 2/ ,［解析］•・・［・n + 2y + 3 =0・x= 1 + 3cos& , ・・・< ・・g 1)2 + ©- 1)2 =9 ,,= 1+ 3sin& ,1・1)x + 2y + 3弦长为2寸3—（芈）2二芈,故选B.〉=1+3『，4. 若直线的参数方程为[ 厂（t 为参数），则直线的倾斜角为（[y=2-yj3t.A ・ 30° B. 60°x=2+hC・ 120。

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习45 坐标系与参数方程

高考数学二轮复习考点知识讲解与提升练习考点知识45 坐标系与参数方程【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为26t x y + =，（t 是参数），曲线2C的参数方程为26s x y +=−=，（s 是参数）．（1）写出1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为2cos sin 0θθ−=，求3C 与1C 交点的直角坐标，及3C 与2C 交点的直角坐标．【答案】（1）262(0)y x y =−…；（2）3C 与1C 交点为1(,1)2和(1,2)；3C 与2C 交点为(1,2)−−和1(,1)2−−．【解析】（1）由1C：26t x y + =消去参数t 得262(0)y x y =−…． (2) 由3C ：2cos sin 0θθ−=，两边乘以ρ得，2cos sin 0ρθρθ−=，得3C 的直角坐标方程为20x y −=．联立262(0)2y x y y x =− = …，解得121x y= = 或12x y ==由2C：26s x y + =−= 消去参数s 得262(0)y x y =−−…．联立262(0)2y x y y x =−− = …，解得121x y=− =− 或12x y =−=− 综上所述，3C 与1C 交点为1(,1)2和(1,2)；3C 与2C 交点为(1,2)−−和1(,1)2−−．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C的方程为22sin x t y t=（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin()03m πρθ++=.(1) 写出l 的直角坐标方程；(2) 若l 与C 有公共点，求m 的取值范围.【答案】（120y m ++=；（2）195122m −≤≤. 【解析】（1）由sin()03m πρθ++=可得，sin cos cos sin 033m ππρθθ++=，即1sin 02m ρθθ ++=，102y m ++=，故l20y m ++=.（2）由2x t，得2222sin )2]2y x t y=−=−=，联立220x y y m =−++=，232460y y m −−−=，即 ()2326422y y m y −−=−≤≤，36−≤≤，即194103m −≤≤，195122m −≤≤ 故m 的范围是195122m −≤≤.一、极坐标的转化问题互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度．互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．二、参数方程的消参问题1.消参的常用方法(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x (或y ，或x ，y )表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin 2θ＋cos 2θ＝1，sec 2θ＝tan 2θ＋1， t ＋1t 2－t －1t 2＝4等．1．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．直线直线、、圆、椭圆的参数方程椭圆的参数方程：：（1）经过一定点),(000y x P ，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为：+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x (t 为参数)；（2）直线参数方程的一般形式为+=+=bt y y at x x 00,（t 为参数）；（3）圆的参数方程为+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x (θ 为参数)；（5）椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的参数方程为 ==θθsin ,cos b y a x (θ，ρ为参数)．1.混淆圆和直线的参数方程；2.忽视直线参数方程是否具有几何意义；3.因忽视极坐标系下点的极坐标不唯一性致误；4.用极坐标求交点时，忽视极径为零的情况；5.混淆参数方程中的角与极坐标中的角的不同几何意义；6.参数方程与极坐标方程互化时，忽视参数的范围.1.已知直线参数方程为33x t y t =+ =− ，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2x y θθ= =+，则圆心到直线的距离为_______【答案】【解析】将参数方程转化为一般方程：()22:6,:24l x y C x y +=+−=所以圆心为()0,2，到直线的距离为：d ==2.以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，点A 的极坐标为4π，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=+ =−+，则曲线C 上的点到点A 距离的最大值为___________【答案】5【解析】()()()222,2,:221A C x y −++=，故曲线上距离A 最远的距离为A 到圆心的距离加上半径，故5d =3.已知在平面直角坐标系xOy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ=+=+ ，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为cos 06πρθ+=，则圆C 截直线所得弦长为__________【答案】【解析】圆C 的方程为：(()2219x y +−=，对于直线方程cos 06πρθ+=，无法直接替换为,x y，需构造cos ,sin ρθρθ再进行转换：cos 06πρθ+=11sin 0022x y ρθθ ⇒−=⇒−=再求出弦长即可：l =4.已知两曲线参数方程分别为()0sin x y θθπθ= ≤<= 和254x ty t= = ，它们的交点坐标为_____________【答案】【解析】曲线方程为222125:1,:54x C y C x y +==，联立方程可解得：1x y == 5x =−（舍）由[)0,θπ∈可得：0y >所以1x y = =5.在极坐标系中，直线()sin cos a ρθθ−=与曲线=2cos 4sin ρθθ−相交于,A B 两点，且AB =，则实数a 的值为_____________【答案】5a =−或1a =−【解析】先将直线与曲线转化为直角坐标方程：()sin cos a y x a ρθθ−=⇒−=，曲线222=2cos 4sin =2cos 4sin 24x y x y ρθθρρθρθ−⇒−⇒+=−，所以问题转化为直线:0l x y a −+=与圆()()22125x y −++=相交于,A B，且AB =，利用圆与直线关系可求得圆心到直线距离d 即32a +=，解得5a =−或1a =−6.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+=+（α为参数）相交于两点,A B ，则AB =_________【解析】先将两个方程转化为直角坐标系下的普通方程。

高考数学《坐标系与参数方程》

坐标系与参数方程主标题：坐标系与参数方程副标题：为学生详细的分析坐标系与参数方程的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：极坐标，参数方程难度：3重要程度：5考点剖析：1．理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.4．了解参数方程，了解参数的意义．5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题.命题方向：高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．规律总结：1．主要题型有极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，在极坐标方程或参数方程背景下的直线与圆的相关问题．2．规律方法方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度．3．极坐标方程与普通方程互化核心公式⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).4．过点A (ρ0，θ0) 倾斜角为α的直线方程为ρ＝ρ0sin (θ0－α)sin (θ－α).特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .5．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．6．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.知识梳理1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过点M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M (r ，π2)，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 4．直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)． 6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．。

2015年高考数学专项训练——极坐标与参数方程

2015年高考数学专项复习——极坐标与参数方程一．解答题（共30小题）1．（2014•漳州一模）在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．的参数方程为，知曲线的普通方程是，由点4sin）：，知=，，，，4sin：∴∴2．（2013•临汾模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．）∵，∴的直角坐标方程为，距离是引的切线长的最小值是3．（2014•郑州一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线L：ρsin2θ=2cosθ，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线l，且l与曲线L分别交于B，C两点．（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|BC|的长．可得4．（2014•吉林二模）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．（，故x+y=4+（+））4x+y=4+（+5．（2014•河南一模）已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．=，由，可化为．，即=•6．（2014•许昌一模）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．（+，射线．可得普通方程：直线，射线OM（，射线=，射线，解得，即Q，解得或|PQ|==27．（2014•泰州模拟）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．的普通方程是．的坐标是8．（2014•齐齐哈尔一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程直线（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同）．（1）求圆心C到直线l的距离；（2）若直线l被圆C截的弦长为的值．（（）由弦心距、半径、半弦长之间的关系得：9．（2014•郑州二模）在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：．（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．，即，直线公共点的一个极坐标为10．（选做题）直角坐标系xOy和极坐标系Ox的原点与极点重合，x轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）．（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），求曲线C与直线l的交点坐标．消去参数得它的普通方程为：，分别代入得，AOB=S=|OA||OB|=．t=2，代入x=2y=，11．选修4﹣4：坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线，（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．，即）由…公共点的一个极坐标为12．（附加题﹣选做题）（坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程为，α∈[0，2π），曲线D的极坐标方程为．（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）曲线C与曲线D有无公共点？试说明理由．）先由，）由）由，）由13．已知⊙O1与⊙O2的极坐标方程分别是ρ=2cosθ和ρ=2asinθ（a是非零常数），（1）将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若两圆的圆心距为，求a的值．OOO与14．（2014•赤峰模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．（I）求证：|OB|+|OC|=|OA|；（Ⅱ）当φ=时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．+﹣|OA|，），﹣）+））（cos时，，，﹣），﹣，故直线的斜率为﹣=15．（2014•锦州二模）选修4﹣4：坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数）．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求+的值．，可得===∴+===16．（2014•贵州模拟）在直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．的参数方程为的参数方程为，可得，即可得出．的参数方程为的参数方程为∴∵，∴∴的取值范围是17．（2014•商丘三模）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．，）的直角坐标为（代入圆=2），2[2）18．（2014•长葛市三模）在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．现以点O为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（﹣2，﹣3），求|PA|•|PB|的值．的参数方程为化为普通方程为：，∴，∴19．（2014•河南模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．Q=的直角坐标方程为Q当且仅当距离的最小值为20．（2014•商丘二模）已知极坐标系的极点为直角坐标系xoy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l=（t为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求+的值．l=（l=（∴==21．（2014•鄂尔多斯模拟）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣2cosθ．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点M1、M2的极坐标分别是（1，π）、（2，），直线M1M2与曲线C2相交于P、Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求+的值．+，分别代入椭圆方程中，求出的值，求和即得的值．的参数方程是++），∴=1++）=1=cos++∴=cos++==．22．（2013•辽宁）在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．x+1得，），）y=﹣∴23．（2013•许昌二模）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（α为参数），点Q的极坐标为（2，π）．（Ⅰ）化圆C的参数方程为极坐标方程；（Ⅱ）若直线l过点Q且与圆C交于M，N两点，求当|MN|最小时，直线l的直角坐标方程．，π=24．（2013•保定一模）选修4﹣4：坐标系与参数方程已知：直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）若在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求点Q到直线l的距离的最大值与最小值的差．）化为直角坐标为（2（y=的参数方程为d=+r=，最大值为+，25．（2012•辽宁）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）；（Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．，，），）解法一：由的公共弦的参数方程为）代入于的公共弦的参数方程为26．（2012•商丘二模）已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．的距离为，则联立方程，或，舍去．为27．（2012•海口模拟）选修4﹣4坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，取原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ=2cosθ，直线C2的参数方程为：（t为参数）（I ）求曲线C1的直角坐标方程，曲线C2的普通方程．（II）先将曲线C1上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线C3，P为曲线C3上一动点，求点P到直线C2的距离的最小值，并求出相应的P点的坐标．，的参数方程为：（（==，此时，点的坐标为（28．（2011•三亚模拟）（选做题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．+=得：圆心（﹣，﹣）的圆心到直线∴﹣时，圆29．（2010•辽宁）已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为．（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程．点的极角为，的极坐标为（，点的直角坐标为（）的参数方程为30．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线C：（θ为参数）和定点，F1，F2是此圆锥曲线的左、右焦点．（1）以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF2的极坐标方程；（2）经过点F1，且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|﹣|NF1||的值．的方程中，得：，轨迹为椭圆，其焦点的斜率为，倾斜角为（，得的方程中，得：的异侧21。

2015高考数学坐标系与参数方程真题

2015高考数学坐标系与参数方程真题1、（广东理）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为．2、（广东文）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2,ρθθ+=-曲线2C 的参数方程为22:(),22x tC t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数则1C 与2C 交点的直角坐标为_____________.3、（全国1理）在平面直角坐标系xOy 中，直线1C ：2,x =-圆222:(1)(2)1,C x y -+-=以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为,M N ，求2C MN 的面积11cos :(),sin x t C t y t αα=⎧≠⎨=⎩为参数,t 0其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:23cos C C ρθρθ== （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求AB 最大值5、（北京理）在极坐标系中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离为_____6、（江苏理）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径7、（安徽理）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线,()3R πθρ=∈距离的最大值是______________.13cos :(),23sin x t C t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2sin()()4r m m R πθ-=∈ （1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值9、（湖南理）已知直线352:()132x t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=2cos ρθ （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求M A M B 的值。