【北大绿卡】八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定导学案4(含解析)(新版)新人教版

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2020年八年级上课时导学案-12-2-4三角形全等的判定(四)HL

2020年人教版八年级上册全册课时导学案11.2.4三角形全等的判定（HL ）导学案【学习目标】1、理解直角三角形全等的判定方法“HL ”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；3. 极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

学习重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

学习难点:熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。

【学习过程】一、自主学习1、复习思考(1)、判定两个三角形全等的方法：、、、(2)、如图，Rt △ABC 中，直角边是、，斜边是(3)、如图，AB ⊥BE 于B ，DE ⊥BE 于E ，①若∠A=∠D ，AB=DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）②若∠A=∠D ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）③若AB=DE ，BC=EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）④若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。

已知：Rt △ABC求作：Rt △'''A B C ，使'C =90°，''A B =AB, ''B C =BC作法：(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“ ”或“ ”）(4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C 中,∵''BC B C AB ∴Rt △ABC ≌Rt △ （5）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、“ ”、 “ ”、 “ ”、还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”二、合作探究1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？A B C B 1C 1DC BA 2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？三、学以致用1、如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（）A 、两条直角边对应相等B 、斜边和一锐角对应相等C 、斜边和一条直角边对应相等D 、两个锐角对应相等3、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由答：AB 平行于CD理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义）∵BE=CF ，∴BF=CE在Rt △ 和Rt △ 中∵_______________________________∴ ≌ （）∴ = （）∴ （内错角相等，两直线平行）四、能力提升：（学有余力的同学完成）如图1，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E 点，BF ⊥AC 于F 点，若AB=CD,AF=CE,BD 交AC 于M 点。

12.2.2 三角形全等的判定(SAS)导学案 2022-2023学年人教版八年级数学上册

三角形全等的判定（SAS)导学案导入1. 回顾在前面的学习中，我们已经学习了一些关于三角形的性质和定理，例如直角三角形的判定、等腰三角形的判定等。

今天我们将继续学习三角形的全等判定之一——SAS（边角边）判定。

2. 引入在几何学中，全等是指两个图形（例如，两个三角形）的所有对应部分都相等的性质。

全等三角形具有相同的形状和大小。

SAS全等判定法是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

学习1. 思考题•我们如何使用SAS定理判定两个三角形是否全等？2. SAS定理SAS定理是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

例题1：已知△ABC和△DEF，且AB = DE，AC = DF，∠BAC = ∠EDF。

是否可以判定这两个三角形全等？如果可以，给出证明；如果不可以，请说明理由。

解析：根据SAS定理，当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

所以，根据已知条件，可以判定△ABC和△DEF全等。

证明： AB = DE（已知条件） AC = DF（已知条件）∠BAC = ∠EDF（已知条件）根据SAS定理，可以判定△ABC和△DEF全等。

3. 实例练习请你根据给出的信息判断下列各题中的两个三角形是否全等，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由。

例题2：已知△ABC和△DEF，且∠ABC = ∠DEF，BC = EF，AC ≠ DF。

能否判定这两个三角形全等？如果可以，给出证明；如果不可以，请说明理由。

解析：根据SAS定理，当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

所以，由条件∠ABC = ∠DEF和BC = EF可判定△ABC和△DEF这两个三角形全等。

但是，根据已知条件AC ≠ DF，所以不能判定这两个三角形全等。

综上所述，不能判定△ABC和△DEF全等。

4. 总结在本堂课中，我们学习了三角形全等的判定方法之一——SAS定理。

SAS定理是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。

12.2三角形全等的判定导学案 2022-2023学年人教版八年级上册数学

12.2 三角形全等的判定导学案2022-2023学年人教版八年级上册数学一、引入1. 目标•了解什么是全等三角形；•掌握判断三角形全等的基本方法。

2. 激发思考观察以下两个三角形，判断它们是否全等。

△ABC ≌ △DEF△ABC ≌ △XYZ3. 探究问：什么是全等三角形？全等三角形指的是具有对应边和对应角相等的两个三角形。

问：如何判断两个三角形是否全等？我们可以利用以下几种方法来判断两个三角形是否全等：1.SSS判定法：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

2.SAS判定法：若两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形全等。

3.ASA判定法：若两个三角形的两个角和一个边分别相等，则这两个三角形全等。

4.RHS判定法：若两个直角三角形的一个直角和两个斜边的长度分别相等，则这两个三角形全等。

4. 总结根据以上的探究，我们可以总结判断两个三角形全等的基本方法：1.若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等（SSS判定法）。

2.若两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形全等（SAS判定法）。

3.若两个三角形的两个角和一个边分别相等，则这两个三角形全等（ASA判定法）。

4.若两个直角三角形的一个直角和两个斜边的长度分别相等，则这两个三角形全等（RHS判定法）。

二、拓展练习1. 判断下列三组三角形是否全等。

1.三条边分别为9 cm、12 cm、15 cm的三角形△ABC与三条边分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形△DEF。

2.一个角为60°，两边分别为5 cm、7 cm的三角形△PQR与一个角为60°，两边分别为7 cm、5 cm的三角形△STU3.两个角分别为40°、50°，一个边长为5 cm的三角形△MNO与两个角分别为50°、40°，一个边长为5 cm的三角形△PQR。

4.两个直角三角形，一个直角为90°，两个斜边分别为6 cm、8 cm，另一个直角为90°，两个斜边分别为8 cm、6 cm。

八年级上：第12章《全等三角形》全章导学案(14页,含答案)(word版可编辑修改)

【人教版】八年级上：第12章《全等三角形》全章导学案(14页,含答案)(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（【人教版】八年级上：第12章《全等三角形》全章导学案(14页,含答案)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第十二章　全等三角形12．1　全等三角形1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素．2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等．3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．重点：掌握全等三角形的对应元素和性质的应用．难点：全等三角形性质的应用．一、自学指导自学：自学课本P31－32页“探究、思考1、思考2”,理解“全等形"“全等三角形”的概念及其对应元素，掌握全等三角形的性质及应用,完成填空．(5分钟)总结归纳：(1)形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．(2)全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）1．下列图形中的全等图形是d与g,e与h。

2．如图，△ABC与△DEF能重合，则记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF，对应顶点是：点A与点D，点B与点E，点C与点F；对应边是:AB与DE，AC与DF，BC与EF；对应角是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F．，第2题图)，第3题图) 3．如图，△OCA≌△OBD，C和B，A和D是对应顶点，相等的边有AC＝DB，AO＝DO,CO＝BO，相等的角有∠A＝∠D，∠C＝∠B，∠COA＝∠BOD．点拨精讲：通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．4．已知△OCA≌△OBD，若OC＝3 cm，BD＝4 cm，OD＝6 cm。

人教八年级数学上册 12.2.三角形全等的判定(4) 导学案

12.2三角形全等的判定（4）
一、导学
学习目标
掌握直角三角形全等的判定方法.
会运用“HL”解决一些简单的实际问题.
经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辨证关系.
学习重点：
“斜边、直角边”的探究及其运用.
学习难点：
灵活运用三角形全等的判定方法进行证明，注意“HL”与其它判定方法的区别与联系.
自主学习，研读教材:
课本P41-42页，了解本节主要内容。

1直角三角形是三角形的特殊类型。

判定两个直角三角形全等时可用
还可用HL判定
2 和对应相等的两个直角三角形全等（也可以写成斜边和直角边“或”（HL)
二、探究
（一）探究问题
探究一：直角三角形全等的判定——“HL”
1.任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A1B1C′,使∠C′＝90°,B1C′= BC，A1B′= AB.把画好的Rt△A1B1C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？
探究二：三角形全等的综合判定
2.直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，而且还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”
（二）小组合作
（三）质疑
三、检测
详见PPT
四、拓展
1、课堂小结:
本课时学习了直角三角形特殊的判定方法“HL”.
2、知识延伸(见下题)。

八年级上册《三角形全等的判定》导学案(4)

八年级上册《三角形全等的判定》导学案(4)八年级上册《三角形全等的判定》导学案使用说明：学生利用自习先预习本第13、14页10分钟，然后3分钟独立做完学案。

正由小组讨论交流10分钟，2分钟展示点评，10分钟整理落实，对于有疑问的题目教师点拨、拓展。

【学习目标】、理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等；2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，体会探索数学结论的过程，发展合情推理能力；3极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

教学重点：运用直角三角形全等的条解决一些实际问题。

教学难点:熟练运用直角三角形全等的条解决一些实际问题。

【学习过程】一、自主学习、复习思考、判定两个三角形全等的方法：、、、、如图，Rt△AB中，直角边是、，斜边是、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△AB与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）②若∠A=∠D，B=EF，则△AB与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）③若AB=DE，B=EF，则△AB与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）④若AB=DE，B=EF，A=DF则△AB与△DEF（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？动手试一试。

已知：Rt△AB求作：Rt△，使=90°，=AB,=B作法：把△剪下来放到△AB上，观察△与△AB是否能够完全重合？归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）用数学语言表述上面的判定方法在Rt△AB和Rt中,∵∴Rt△AB≌Rt△（）直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法“”、“”、“”、“”、还有直角三角形特殊的判定方法“”二、合作探究、如图，A=AD，∠，∠D是直角，将上述条标注在图中，你能说明B与BD相等吗？2、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度A 与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠AB和∠DFE的大小有什么关系？三、学以致用、如图，△AB中，AB=A，AD是高，则△ADB与△AD（填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）2、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（A、两条直角边对应相等B、斜边和一锐角对应相等、斜边和一条直角边对应相等D、两个锐角对应相等3、如图，B、E、F、在同一直线上，AF⊥B于F，DE⊥B 于E，AB=D，BE=F，你认为AB平行于D吗？说说你的理由答：AB平行于D理由：∵AF⊥B，DE⊥B（已知）∴∠AFB=∠DE=°（垂直的定义）∵BE=F，∴BF=E在Rt△和Rt△中12999∵∴≌（）∴=）∴（内错角相等，两直线平行）四、能力提升：（学有余力的同学完成）如图1，E、F分别为线段A上的两个动点，且DE⊥A于E点，BF⊥A于F点，若AB=D,AF=E,BD交A于点。

北京版-数学-八年级上册-《全等三角形》导学案

《全等三角形》导学案
【学习目标】
1、通过探究知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素，会用符号正确地表示两个三角形全等.
2、知道全等三角形的性质，并会进行应用.
3、能熟练找出两个全等三角形的对应顶点、对应角、对应边．
【学习重、难点】
全等三角形的性质；找全等三角形的对应边、对应角.
【学习过程】
活动一知道全等形、全等三角形及对应元素等一系列概念，会用符号表示全等
1. 观看课本美丽的图片并阅读教材82页，思考并回答下列问题：
能够完全重合的两个平面图形叫做，它们的形状
大小．
2.将三角板按在纸上，沿外框画出两个三角形，把这两个三角形裁下来后放在一起，观察它们能否重合．
(1) 什么是全等三角形？
．
你能举出生活中全等形的实例吗？
(2)全等三角形有哪些对应元素？怎样记两个三角形全等？在书写时应注意什么？
(3)小组交流：找对应边和对应角你有什么经验？
3..思考：图中的两个三角形全等吗？为什么？如果全等把它们分别表示出来.（注意书写时对应顶点字母写在对应的位置上）
4.寻找上图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
独立完成后，小组交流并归纳出：．
当堂检测
1、如图，△ABC≌△DBC，∠A=80°，∠ABC=30°，则∠DCB= 度．
2、如图，已知△ABC与△DCB是两个全等三角形，且AB=7cm，BD=5cm，∠A=60°，求线段DC、AC的长和∠D的大小．
参考答案：
1、70
2、DC=7cm，AC=5cm，∠D=60°
【自我反思】
这节课你有哪些收获？还有什么疑惑？。

北大绿卡八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定课时测试4(含解析)(新版)新人教版-(新版)新人

全等三角形的判定一、选择题1.对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】①两条直角边对应相等，根据“SAS”，正确；②斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确；③斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；④直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确；故选D．2.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE=OF，则△AEO≌△AFO的依据是（）A．HLB．AASC．SSSD．ASA【答案】A.【解析】∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠AEO=∠AFO=90°，又∵OE=OF，AO为公共边，∴△AEO≌△AFO．故选A．3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是经过A点的一条直线，且B，C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE=2，BD=6，则DE的长为（）A．2B．3C．5D．4【答案】D【解析】∵BD⊥AE于D，∴∠BAD=90°﹣∠ABD，∠CAE+∠DAB=∠BAC=90°，∴∠BAD=90°﹣∠CAE，∴∠ABD=∠CAE．又∠ADB=∠CEA，AB=CA，∴△ABD≌△CAE，∴AD=CE．DE=AE﹣AD=BD﹣CE=6﹣2=4．故选D4.下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B．【解析】（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS可判定两个直角三角形全等；（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据AAS或ASA可判定两个直角三角形全等；（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等，缺少“边”这个条件，故不可判定两个直角三角形全等；（4）有两条边相等的两个直角三角形全等，必须是对应直角边或对应斜边，故此选项错误；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，根据HL可判定两个直角三角形全等．所以说法正确的有3个．故选B．5.如图所示，∠C=∠D=90°添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（）A．AC=ADB．AB=ABC．∠ABC=∠ABDD．∠BAC=∠BAD【答案】A.【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：若添加的条件为BC=BD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵BC BD AB AB=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；若添加的条件为AC=AD，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∵AC AD AB AB=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△AB D（HL）．故选A．6.下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（）A．斜边相等B．面积相等C．两对锐角对应相等D．两对直角边对应相等【答案】D．【解析】A、斜边相等，缺少一个条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；B、面积相等，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；C、两对锐角对应相等，缺少边相等的条件，不能证明两个直角三角形全等，故此选项错误；D、两对直角边对应相等，可利用SAS定理证明两个直角三角形全等，故此选项正确；故选D．7.已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是（）【答案】A.【解析】A、∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，AC=2，此选项利用ASA能判定三角形全等，故此选项正确；B、只有一对边与一对角相等不能判定三角形全等，故此选项错误；C、∵∠C=90°，∠B=30°，AB=4，∴AC=2，是30°角所对的直角边，而此选项中是60°角所对的直角边是2，不能判定三角形全等，故此选项错误；D、此选项对应边不相等，不能判定三角形全等，故此选项错误．故选A．二、填空题8.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∠A=50°，则∠DFE=．【答案】40°．【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中，∵∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠D=∠A=50°，∴∠DFE=90°﹣∠D=90°﹣50°=40°．9.如图，∠B=∠D=90°，BC=DC ，∠1=40°，则∠2=度．【答案】50.【解析】在直角△ABC 与直角△ADC 中，BC=DC ，AC=AC∴△ABC≌△ADC∴∠2=∠ACB在△ABC 中∠ACB=180°﹣∠B﹣∠1=50°∴∠2=50°．10.如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于D ，BE⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点F ，若BF=AC ，则∠ABC =度．【答案】45.【解析】∵AD⊥BC 于D ，BE⊥AC 于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC 和Rt△BDF 中，CAD FBD BDF ADC BF AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△BDF（AAS ），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．11.如图所示，△ABC和△DCB有公共边BC，且AB=DC，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AE=DF，那么求证AC=BD时，需要证明三角形全等的三角形是．【答案】Rt△ABE≌Rt△DCF，△AEC≌△DFB．【解答】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∴∠AEB=∠DFC=90°，而AB=DC，AE=DF，∴Rt△ABE≌Rt△DCF，∴BE=CF，∴EC=BF，而AE=DF，∴△AEC≌△DFB．12.下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有个．【答案】2.【解析】①直角三角形两直角对应相等，有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等，所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等，那么这两个直角三角形不全等，所以有两边相等的两直角三角形不一定全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，根据HL可得这两个直角三角形必全等．所以正确的结论是②④．13.如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为cm．【答案】12.【解析】连接BE．∵D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，∴∠A=∠BDE=90°，∴在Rt△DBE和Rt△ABE中，BD=AB（已知），BE=EB（公共边），∴Rt△DBE≌Rt△ABE（HL），∴AE=ED，又∵AE=12cm，∴ED=12cm．三、解答题14.如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）△OBC是等腰三角形【解析】（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB=∠DCB∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形15.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．【答案】证明见解析.【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．。

新人教版八年级数学上册《 12.2 三角形全等的判定(4)》学案

新人教版八年级数学上册《 12.2 三角形全等的判定(4)》学案自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．点拨精讲：直角三角形除了一般证全等的方法外，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直边对应相等的两个直角三角形全等，根据是角角边或AAS和角边角或ASA．1．如图，E，B，F，C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF，则Rt△ABC≌Rt△DFE，全等的根据是HL．2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；(AAS)(2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；(×)(3)一个锐角和斜边对应相等；(AAS)(4)两直角边对应相等；(SAS)(5)一条直角边和斜边对应角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．相等．(HL)3．下列说法正确的是(C)A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等探究1如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝DC；(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ADB与Rt△CBD中，⎩⎨⎧AD＝CB，DB＝BD，∴Rt△ADB≌Rt△CBD(HL)，∴AB＝DC.(2)∵Rt△ADB≌Rt△CBD，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC.探究2如图，E，F分别为线段AC上的两点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD 交AC于点M.求证：BM＝DM，ME＝MF.证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，∴AF＝CE.在Rt △ABF与Rt△CDE中⎩⎨⎧AB＝CD，AF＝CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°.在△BFM 与△DEM中学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．1.“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等．⎩⎪⎨⎪⎧∠BFM＝∠DEM，∠BMF＝∠DME，BF＝DE，∴△BFM≌△DEM(AAS)，∴BM＝DM，ME＝MF.如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？解：①若AC＝DB，则根据SAS，可以判定△ACE≌△DBF；②若∠1＝∠2，则根据AAS，可以判定△ACE≌△DBF；③若∠E＝∠F，则根据ASA，可以判定△ACE≌△DBF.(学生总结本堂课的收获与困惑)。

北大绿卡八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定导学案2(含解析)(新版)新人教版-(新版)新人教

全等三角形的判定【学习目标】1. 掌握SAS的内容，会运用SAS来识别两个三角形全等；2. 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程；3、通过画图、思考、探究来激发学习的积极性和主动性。

【学习重点】应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等．【学习难点】指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件．一、学前准备如图1所示，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：(1)___OA___=___OC____ (2)_____OB____=____OD_____ (3)__∠AOB_____=__∠COD____如果把△ABO绕着点O顺时针方向旋转，因为OA=OC，所以可以使OA与__OC___重合；又因为∠AOB=_∠COD_，OB=___OD___，所以点B与点__D___重合。

这样△ABO与___△CDO___就完全重合了。

归纳：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等。

二、探索思考1、阅读P37探究3，(1)读句画图：①画∠DAE＝30°，②在AD、AE上分别取B、C，使AB=4cm，AC=6cm．③连结BC，得△ABC．2、由上面探究便得到判定两个三角形全等的第二种方法：两边和它们的夹角___对应相等___的两个三角形全等（可以简写成“__边角边______”或“___SAS____”）。

证明如下：如图2所示，在△ABC与△A′B′C′中，AB ABC BC A BA B CB C'''''∠''=⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC__≌___△A′B′C′（___SAS__）。

例题探讨例1：如图3，点C、E、B、F在同一直线上，∠C=∠F，AC=DF，EC=BF，△ABC与△DEF全等吗？说明你的结论。

北京版-数学-八年级上册-《全等三角形的判定》教案

《全等三角形的判定》教案教学目标1．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．掌握三角形全等的判定条件．3．经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．4．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学重难点三角形全等条件的探索过程，掌握三角形全等的判定条件．教学过程一、复习引入带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．二、提出问题根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．三、传授新知探究1：请每个同学使用量角器和刻度尺画一个三角形ABC，使它满足AB=70mm，∠A =60°，∠B=80°.然后每个同学把△ABC剪下来，并与邻座同学的三角形互相叠放在一起，它们互相重合吗？我们发现它们能彼此重合在一起，也就是说，它们是全等三角形.由此总结出：有两个和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简记为：角边角或ASA）.例1、已知：如教材84页图12-27，AC∥BD，AB交CD于点O，且AC=BD.求证：△AOC≌△A′B′C′.类似的，我们可以总结出：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简记为边角边或SAS）.例2、已知：如教材85页图12-29，AC=AD，AB平分∠CAD.求证：（1）△CAB≌△DAB；（2）∠C=∠D.探究2：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA，把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，在教师的引导下画出个△A′B′C′，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．(简记为“边边边”或“SSS”)．例3、如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△A BD≌△ACD．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．要求学生参照前面的例子，完成教材87页的交流，教师巡视给予指导．不难推导出：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简记为：“角角边”或“AAS”)．例4、如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD．求证BC=AD．例5、已知：如教材89页图12-35，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.求证：（1）AB=CD；（2）∠B=∠D.课堂小结这节课你学到了什么，请同学们总结出如何判定两个三角形全等的方法．。

八年级数学上册第12章第2节三角形全等的判定(第4课时)导学案新人教版

第12章第2节三角形全等的判定（第4课时）学习目标：1. 探索并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等；2. 结合图形，用符号表述定理并学会规范书写；3. 会利用基本作图作三角形：已知一直角边和斜边做直角三角形．4. 体验数学与实际生活的联系，培养热爱数学浓厚,形成良好的数学思维习惯. 学习重点：应用“斜边、直角边”定理证明两个直角三角形全等．学习难点：能灵活运用三角形全等的判定方法解决相关问题．【学前准备】预习书本P42至P43提出问题，复习旧知1.判定两个三角形全等的方法：、、、 .2. 如图，Rt △ABC 中，直角边是、，斜边是 .3. 如图，AB ⊥BE 于C ，DE ⊥BE 于E ，⑴若∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）⑵若∠A ＝∠D ，BC ＝EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）⑶若AB ＝DE ，BC ＝EF ，则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法） ⑷若AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ）根据（用简写法）4. 探究（斜边、直角边）：如图，已知Rt △ABC. 求作：一个Rt △A /B /C /，使∠C /＝ 90°, B /C /＝BC,A /B /＝AB.（尺规作图，保留作图痕迹）把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？ 5.归纳：直角三角形全等的特殊判定：．（简写成“ ” 或“ ”）．这样，判定两个直角三角形全等的方法有．作法：1. 作∠MC /N ＝90°；2. 在射线C /M 上取段B /C /＝BC ；3. 以B /为圆心,AB 为半径画弧，交射线C /N 于点A /； 4.连接A /B /． C B A【课堂探究】5.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD. 求证BC＝AD.6．如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E两地，此时，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E与路段AB的距离相等吗？为什么？【课堂检测】7．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，求证：⑴BD＝CD；⑵∠BAD＝∠CAD.8.如图，AB＝CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC，CE＝BF. 求证：AE＝DF.【课堂小结】一般三角形全等的判定方法直角三角形全等的判定方法课后作业1. 下列命题中正确的有（）①两直角边对应相等的两直角三角形全等；②两锐角对应相等的两直角三角形全等；③斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；D CBABAEFDCD FE CB AC A B∟∟ED ④一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 2. 使两个直角三角形全等的条件是（） A ．一组锐角对应相等 B ．两组锐角对应相等 C ．一条边对应相等 D ．两条边对应相等3.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH ＝EB ＝3，AE ＝4，则CH 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．44.如图，已知∠ACB ＝∠ADB ＝90°，欲说明BC ＝BD ，可补充条件 .（填写一个即可）5.如图，A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，且AB ＝CD ，CE ＝BF ，则CE 与BF 的位置关系为 .6. 如图，AC ⊥CB ， DB ⊥CB ， AB ＝DC ，求证∠ABD ＝∠ACD.7. 如图，从C 地看A ，B 两地的视角∠C 是锐角，从C 地到A ，B 两地的距离相等.A 地到路段BC 的距离AD 与B 地到路段AC 的距离BE 相等吗？为什么？8．如图，AD 是△ABC 的高，E 是AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BD ＝AD ，DF ＝DC，试说明BE ⊥AC ．9．如图，AB ＝CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE ＝BF ．求证：AB ∥CD ．DCBA第4题第5题10．如图，∠C ＝90°，DE ⊥AB 于D ，交AC 于E ，若BC ＝BD ，求证AC ＝AE ＋ED ．【教学反思】答案：课堂探究： 5. 证明：在Rt △ACB 与Rt △BDA 中 AB=BA BD=AC∴Rt △ACB ≌Rt △BDA ∴AD=BC6.D 、E 与AB 的距离相等,理由如下： ∵DA ⊥AB,EB ⊥AB, ∴∠A=∠B=90°, ∵C 是AB 中点, ∴AC=BC,又∵∠ACD=∠BCE,∴△ACD ≌△BCE （ASA ） ∴AD=EB,即D 、E 与AB 的距离相等7.证明：(1)∵AD 是高，∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD 和Rt △ADC 中 {AB AC AD AD ==∴Rt△ABD≌Rt △ADC （HL ） ∴BD=CD(2)∵Rt△ABD 和Rt △ADC ∴∠BAD=∠CAD8. 证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴∠DFC=∠AEB=90°，又∵CE=BF ，∴CE-EF=BF-EF ，即CF=BE ，E DC BA∵AB=CD，∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），∴AE=DF．课后作业：1.B2.D3.A4.AC=AD或∠CAB=∠DAB或∠ABC=∠ABD5.相等6.证明：∵AC⊥CB，DB⊥CB，∴∠ACB=∠DBC=90°，在△ACB和△DBC中，AB=DC，B C=BC，∴△ACB≌△DBC（HL），∴∠ABC=∠DCB，又∵∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD．7、解：相等,理由：∵从C地看A,B两地的距离相等∴△ABC为等腰三角形∵∠CAB=∠CBA,AD⊥CB,EB⊥CA∴∠CAD=1/2∠CAB,∠CBE=1/2∠CBA∴∠CAD=∠CBE在△CAD与△CBE中：∠C=∠CCA=CB∠CAD=∠CBE∴△CAD全等于△CBE（ASA）∴AD=BE8.∵BF=AC,DF=DC,AD⊥BC,∴△ACD≌△BFD,（H,L）∴∠CAD=∠FBD,∠AFE=∠BFD（对顶角相等）,∴∠AEB=∠ADB=90°,∴AC⊥BE9.∵AE⊥BC,DF⊥BC∴△ABE和△CDF是直角三角形∵CE=BF∴CE+EF=EF+BF即BE=FC又∵AB=CD∴Rt△ABE≌Rt△CDF∴∠ABE=∠DCF∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行）10.证明：连接BE∵ED⊥AB,BC⊥AC∴∠BDE=∠C=90°∵BD=BC,BE=BE∴RT△BED≌RT△BEC(HL)∴DE=EC∵AC=AE+EC∴AE+DE=AC。

八年级数学上册 12_2 全等三角形的判定(SAS)导学案(新版)新人教版

C 'B 'A 'C BACBA12.2三角形全等的判定（SAS ）【学习目标】1、掌握三角形全等的“S ＡS ”条件，能运用“S ＡS ”证明简单的三角形全等问题 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．教学重点：三角形全等的条件．教学难点：寻求三角形全等的条件．【学习过程】一、自主学习 1、复习思考（1）怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是什么？（2）上节课我们知道满足三个条件画两个三角形有4种情形，三个角对应相等；三条边对应相等；两角和一边对应相等；两边和一角对应相等；前两种情况已经研究了，今天我们来研究第三种两边和一角的情况，这种情况又要分两边和它们的夹角，两边及其一边的对角两种情况。

2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？ (1)动手试一试已知：△ABC求作：'''A B C ∆，使''A B AB =，''B C BC =，'A A ∠=∠(2) 把△'''A B C 剪下来放到△ABC 上，观察△'''A B C 与△ABC 是否能够完全重合？ (3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形（可以简写成“ ”或“ ”） (4)用数学语言表述全等三角形判定（二）在△ABC 和'''A B C ∆中,DCBA21DC BADCBADCBA21∵''AB A B B BC =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌ 3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？通过画图或实验可以得出：二、合作探究例2 如图，AC=BD ，∠1= ∠2,求证:BC=AD.变式1: 如图，AC=BD,BC=AD ，求证:∠1= ∠2.变式2: 如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D变式3: 如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠A=∠B三、学以致用 1、课本第39页第2题2、如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到△AOC ≌△BOD (允许添加一个条件)四、当堂检测如图，AD ⊥BC ，D 为BC 的中点，那么结论正确的有OACDBA、△ABD≌△ACDB、∠B=∠CC、AD平分∠BACD、△ABC是等边三角形五、课堂小结1、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

数学人教版八年级上册§12.2.2《三角形全等的判定—边角边》导学案

§12.2.2《三角形全等的判定—边角边》导学案一、教学目标：1．知识与能力：①理解并掌握三角形全等的判定方法之一“边角边”；②学会运用逻辑推理，根据充分的条件，应用“边角边”证明两个三角形全等，并严格按照要求格式书写证明过程。

2．过程与方法：①经历探究“边角边”判定两个三角形全等的过程，体会数学知识来源于生活又应用于实际生活；②经历“猜想—实践—观察—归纳—总结”的认知过程，在数学学习中体会分析问题的方法，获得解决问题的经验，培养分类、推理、归纳和应用能力。

3．情感态度与价值观：①通过严谨的几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯，并养成严谨的思维方式；②通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。

二、教学重、难点：1、重点：掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法及简单应用，并能严谨、规范地写出证明的过程；2、难点：正确找出证明两个三角形全等所需的条件。

三、教学过程：（一）复习回顾三角形全等判定方法1 的两个三角形全等（可以简写为“”或“”）（二）自主探究问题1.除了SSS外,还有其他能证明三角形全等的方法吗？问题2.已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？问题3.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等吗？探究活动：画一画，剪一剪，比一比先任意画出一个❒ABC,再画一个❒A′B′C′,使A′B′= AB, A′C′= AC, ∠A′= ∠A,把画好的❒ABC 和❒ A′B′C′剪下,放到一起,它们全等吗?通过以上活动，你可以得出什么结论？（三）归纳总结三角形全等判定方法2的两个三角形全等。

（简写成“ ”或“ ”）用符号语言表达为：问题4.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等吗？例题要测量A 、B 两点的距离，只需要先在池塘旁取一个能直接到达A 和B 处的点C ，连结AC 并延长至D 点，使AC=DC ，连结BC 并延长至E 点，使BC=EC ，连结DE ，用米尺测出DE 的长，这个长度就等于A ，B 两点的距离。

北大绿卡八年级数学上册 12.2 全等三角形的判定课件1

D
∵AC=BD，
∴AC+( CB )=BD+（ BC ）
即AB=BD
在△ABM和△CDN中，）∴。 △ABM≌△CDN（ SSS ）
∴∠A=∠1（全等三角形的对应角相等）
AM CN BM DN
∴AM∥CN（同位角相等两直线平行）
AB CD
【自我检测】
A
4、如图所示，点F是AB的中点，AD=FE，
上的一点与这边所对的顶点的连线恰好将△ABC
A
分成两个全等三角形，则这样的点共有（ B ）
A、1个 B、3个 C、6个 D、9个
B
C
【自我检测】
3、如图所示，点A、C、B、D在同一直线上， M
N
AM=CN，BM=DN，AC=DB.问：AM与CN有
怎样的位置关系？解：AM∥CN. 理由如下：
1
A CB
∴△ABD≌△CDB(SSS).
【例题探究】
例2：如图5所示，在四边形ABDC中，AB=DB，AC=DC，请问∠A
与∠D相等吗？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明
Hale Waihona Puke 理由。分析：要看∠A和∠D是否相等，可看
A
△ABC和△DBC是否全等，又已知两边对 B
应相等，可考虑第三边是否对应相等。
D
解:∠A与∠D相等在△ABC和△DBC中
第12章全等三角形
§12.2.1 全等三角形的判定
【学习目标】
1、掌握三角形全等的“SSS”判定条件； 2、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；
【学前准备】
1、证明是由已知（已知）出发，经过一步步地推理，最后推出结论（求证）正确的过程。

数学人教版八年级上册 12.2.4三角形全等的判定4导学案

在△ABC和中,
∵
∴△ABC≌
三、例题解析
如图（10）∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE。
求证：AB=AC。
(学生图(21)：AB∥CD，∠B=∠D，
求证：AD∥BC。
2、如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：AF=DE。
教学难点：灵活运用三角形全等条件证明．
课前
准备
如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？
高
效
课
堂
探究过程
感悟栏
一、知识平台
到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？
二、合作探究：
两角和其中一角的对边对应相等的两三角形是否全等
（1）如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用前面学过的判定方法来证明你的结论吗？
（2）归纳；由上面的证明可以得出全等三角形判定（四）：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形（可以简写成“”或“”）
(3)用数学语言表述全等三角形判定（四）
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三角形全等的判定4导学案
主备
授课教师
授课时间
学习
目标
1.掌握三角形全等的 “角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题.
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3.积极投入，激情展示，体验成功的快乐.
重点
难点
教学重点：已知两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等的探究．