北师大版高中数学必修4对三角函数的定义是借助于单位圆定义的

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北师大版高一数学必修4-1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-

归纳总结
定义域值域最大值最小值周期性
单调性
正弦函数、余弦函数的基本性质
y＝sin x
y＝cos x
R
R
[－1,1]
[－1,1]
1 －1
1 －1
2π
2π
例题讲解
14
课堂练习
课堂小结
奇偶性
定义域
单调性性质
值域
周期性
数形结合 1
数学思想
2 从特殊到一般
再见啦！
y=sinx,y=cosx,都是以角（弧度制）为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值(因变量）
y
的函数.
P(cosx,sinx)
x
O
x
4
新知探究
探究：正弦函数 y=sinx、余弦函数y=cos x的基本性质：（1）定义域
观察右图，设任意角x的终边与
单位圆交于点P(cos x,sin x)，
A 1, 0
观察右图，设任意角x的终边与单位圆交于
点P(cos x,sin x)，
7
新知探究
（3）周期性
观察右图，设任意角x的终边与单位圆交于
点P(cos x,sin x)，
8
新知探究
(4)单调性
观察右图，在单位圆中，设任意角x的
终边与单位圆交于点P(cos x,sin x)，
思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？
正弦函数、余弦函数的定义域是R.
5
（2）值域、最大（小）值
观察下图，设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x,sin x)，
当自变量x变化时，点P 的横坐标是cos x，
|cos x|≤1，纵坐标是siБайду номын сангаас x,|sin x|≤1.

高中数学第一章三角函数本章整合课件北师大版必修4

故函数在
-
3π 4
,
π 4
上是增加的.
答案:B
专题一专题二专题三
(2)解析:因为
sin
��
+
π 6
= 12,
所以 ωx1+π6 = π6+2k1π(k1∈Z)或 ωx2+π6 = 56π+2k2π(k2∈Z),
则又相ω(邻x2交-x1点)=距23π离+2的(k最2-k小1)π值(k为1,kπ32∈, Z).
B.偶函数,且图像关于点(π,0)对称
C.奇函数,且当 x=π2时取得最小值
D.偶函数,且图像关于点
π 2
,0
对称
(2)函数y=Asin(ωx+φ)
�� > 0,��
π > 0,0 ≤ �� ≤ 2
在x∈(0,7π)内只取
到一次最大值和一次最小值,且当x=π时,ymax=3;当x=6π时,ymin=-3.
故函数的解析式为 f(x)=
2sin
2��
+
π 3
,
所以 f(0)= 2sinπ3 = 26.
答案:
6 2
专题一专题二专题三
解析:(1)由于T=π,则ω=2,
因此,f(x)=sin
2��
+
π 4
.
又因为 g(x)=cos 2x=sin
2��
+
π 2
,
而 f(x+φ)=sin 故 φ=π8,
专题一专题二专题三
【例1】 (1)已知角α终边上一点P(-4,3),

北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件

-10-
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
题型一题型二题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【变式训练 2】求满足不等式 sin α≥ 2 的角��的范围.
3
解:
如图所示,作直线 y=
π π
π 2π 2
,
3
的递增区间是 - ,
π 6 2
π π
,
3
. 当x = 时,ymax=1;当 x=− 时,ymin=− .
2
π
6 2 1
,
-8-
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
题型一题型二题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型二
利用单位圆确定角的范围
1 2
【例 2】求满足不等式 2cos α-1≥0 的角 α 的范围.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
根据单位圆理解正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的性质根据正弦函数y=sin x和余弦函数y=cos x的定义,我们不难从单位圆中看出函数y=sin x,y=cos x有以下性质:
函数 y=sin x 性质定义域 R y∈[-1,1]; 值域与当 x=2k π+ π (��∈Z)时, ymax=1; 2 最值 π 当 x=2k π− 2 (��∈Z)时, ymin =-1 周期单调区间 2π 递增区间:
π 3 π 3 π 3 π 3
1
2
= .
1 2
-9-
4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
题型一题型二题型三

高中数学 1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件北师大版必修4

＜0，
740°=2×360°+20°，所以740°是第一象限(xiàngxiàn)角，所以
cos 740°＞0，所以sin(－140°)cos 740°＜0.
第三十五页，共40页。
【易错误区】处理(chǔlǐ)三角函数问题时忽视参数的符号致误【典例】(2014·泰安高一检测)已知角α的终边经过点 P(－3m,m)(m≠0)，则sin α=_________.
所以c16o1s ＞0. (3)4∈ 11
6 所以4 ra(d为，3第三)，象限的角. 所以cos 4＜02，sin 4＜0.
所以sin 4·cos 4＞0.
第三十四页，共40页。
【补偿训练】sin(－140°)cos 740°的值( )
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不确定
【解析】选C.－140°是第三象限(xiàngxiàn)角，所以sin(－140°)
1 1
第七页，共40页。
【解析】(1)错误.符号(fúhào)sin α,cos α是一个整体，不能分开.
(2)正确.终边相同的角的同一三角函数值相等.
(3)错误.P(1,1),x=1,y=1, 答案：(1)× (2)√ (3)×
故cos α=
r 2，
1 2. 22
第八页，共40页。
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
10
10
第三十七页，共40页。
【常见(chánɡ jiàn)误区】
错解
10 10
错因剖析忽略了对阴影处参数m的取值符号的讨论，而得到错误结果
3 10 10
忽略了对阴影处参数m的取值符号的讨论，同时记错正弦定义式，而得到错误结果.

高中数学第一章三角函数本章概览素材北师大版必修4

第一章三角函数
本章概览
三维目标
1.理解任意角的概念，掌握弧度制，能进行弧度和角度的互化.探索终边相同的角的表示方法，以便提高用数学的观点分析、解决问题的能力.
2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解任意角的余切、正割、余割的定义；能够借助单位圆中的有向线段表示正弦、余弦和正切，培养用几何方法解决代数问题即数形结合的思想.
3.探索并得到同角三角函数的基本关系式和诱导公式，并能熟练应用，以便揭示知识之间普遍联系的规律，树立辩证唯物主义思想.
4.探究正弦、余弦和正切函数的图像和性质，理解周期函数与最小正周期的意义，知道三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，提高数学的应用能力.
5.结合具体实例，认识正弦型函数y=Asin(ωx+φ）的实际意义；知道y=Asin(ωx+φ）中参数A、ω、φ对函数图像变化的影响和它们的物理意义；模仿使用“五点法”“变换法”画三角函数的简图，从而培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，实现从感性认识到理性认识的飞跃.
6.探讨用三角函数解决简单的实际问题，发展数学应用意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和判断,以便进一步提高应用数学知识分析和解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣.
知识网络
1。

高中数学第1章三角函数4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课件北师大版必修4

【精彩点拨】 (1)由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号，进一步确定各式符号．
(2)根据正弦、余弦在各个象限的符号确定2α的象限，进而确定α所在的象限．
1．正弦、余弦函数值在各象限内取正数的规律可概括为“正弦上为正、余弦右为正”，即当角α的终边在x轴的上方时sin α>0；当角α的终边在y轴的右侧时，cos α>0.
2．一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个 x值，都有 f(x＋T)＝f(x) ，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期．
3．特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，其中2π是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期．
2．对于确定角α所在象限的问题，应首先界定题目中所有三角函数的符号，然后根据各三角函数的符号来确定角α所在象限，则它们的公共象限即为所求．
3．由kπ<θ<kπ＋π2(k∈Z)确定θ所在象限时应对k进行分类讨论．
[探究共研型] 利用正弦、余弦函数的周期性求值
探究1 30°与390°的终边相同，两角的同一三角函数值相等吗？【提示】相等．探究2 终边相同的角的同一函数值都相等吗？为什么？【提示】都相等．因两角终边相同，其始边与单位圆交于同一点，由三角函数定义知函数值相等．
(2)错误．因为f(－2＋6)≠f(－2)．
(3)错误．fπ＋π2≠f(π)不满足任意性．【答案】 (1)× (2)× (3)×
[小组合作型] 正弦、余弦函数的定义
已知θ的终边经过点P(a，a)，a≠0，求sin θ，cos θ. 【精彩点拨】利用正弦函数、余弦函数的定义可求sin θ，cos θ.

北师大版高中数学必修四1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝－4a5a＝－45，cos α＝－－35aa＝35， ∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
例2、在直角坐标系的单位圆中，
4
(1)画出角α.
(2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标.
在直角坐标系的单位圆中，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表
感谢观看
思考
当角α不是锐角时，我们必须对sinα，cosα，tanα的值进行推广，以适应任意角的需要.如何定义任意角的三角函数呢?
课堂探究
探究点1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义
思考：在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的单位圆，对于任意角a，使角a的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于唯一
即：sin a=v cos a=u
思考：由三角函数的定义，如何求任意角α的正弦、余弦值？
求任意角α的正弦、余弦值分两步: (1) 求出角α的终边与单位圆的交点P (2)写出点P的坐标，其中纵坐标为正弦值，横坐标为余弦值.
三角函数值在各象限的符号
思考1 角α的正弦、余弦、正切的值的正负与谁有关？
则sin cos
θ>0， θ<0，
所以 θ 为第二象限角.
例5、已知cosα﹤0, sinα﹥0,
(1)求角α的集合； (2)求角的终边所在的象限；
2
(3)试判断 sin ,cos 的符号。
22
k 课时小结 ESHIXIAOJIE
理解正弦函数、
01
余弦函数的定义.
正弦函数、余弦函数 02 最小正周期为 2π.

高中数学必修四三角函数知识点

高中数学必修四三角函数知识点高中数学必修四三角函数知识点详解角是我们在几何学中经常接触到的重要概念，而三角函数则是与角密切相关的一类函数。

在高中数学必修四中，三角函数是一个重要的知识点，对于数学学习的深入和数学建模的实践具有重要的意义。

本文将结合具体例子，详细介绍高中数学必修四三角函数的相关知识。

一、正弦函数和余弦函数正弦函数和余弦函数是最基本、最常用的两个三角函数。

我们首先从几何解释的角度来理解它们。

对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正弦值sinA和余弦值cosA。

而正弦函数sinx和余弦函数cosx则是将角x所对应的正弦值和余弦值关系式表示的函数。

举个例子来说明，假设有一角x=30°，那么根据单位圆上的坐标特点，点(x,y)的坐标值为(√3/2,1/2)。

因此，角x的正弦值sinx=1/2，余弦值cosx=√3/2。

我们可以用这样的方法，通过观察和计算，来确定正弦函数和余弦函数的函数图像和性质。

二、正切函数和余切函数正切函数和余切函数是另外两个重要的三角函数。

正切函数tanx和余切函数cotx则是将角x所对应的正切值和余切值关系式表示的函数。

我们以正切函数为例，来解释一下它的定义和性质。

对于一个角A，我们可以根据角A所在的单位圆上的点(x,y)的坐标值，得到角A的正切值tanA。

正切函数tanx就是将角x所对应的正切值关系式表示的函数。

正切函数tanx的一个重要特点是周期性。

考虑tanx的函数图像，我们可以观察到在每个周期内，tanx呈现出规律的周期性变化。

而周期为π的函数图像在整个定义域上都是无穷区间波动的。

三、其他三角函数除了上述介绍的正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数之外，还有其他一些与三角函数密切相关的函数，如割函数secx和余割函数cscx等。

割函数和余割函数定义如下：割函数secx是角x对应的余弦倒数的函数，余割函数cscx是角x对应的正弦倒数的函数。

2020-2021学年数学北师大版必修4教学课件：1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义

定义推广：
设角 α 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r = x2 + y2 > 0
那么① ②
y r
叫做
α
的正弦，即sin α =
y r
x r
叫做
α
的余弦，即cos α = x r
任意角 α 的三角函数值仅与 α 有关，而与点在角的终
边上的位置无关.
探
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）
1.已知角的终边过点P（-3，-4），求角的正弦、余弦值.
2.确定下列三角函数值的符号.
（1）
;（2）
; (3)
;
1. 理解正弦函数、余弦函数的定义. 2. 知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知道它的最
小正周期为 2 .
3. 了解周期函数的定义.
不辞艰险出夔门，救国图强一片心；莫谓东方皆落后，亚洲崛起有黄人。
2
所以 x 3 ,可y 知2,
r OP ( 3)2 22 5 .
2
2
2
则sin =
y r
2 5
co4s, 5
=
x r
3 2 5
3. 5
2
2
在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表
0
1 2
2 2
3 2
1
1
称为的正弦
O
Cx
称为的余弦
(x , y)
其中OP=
任意角终边上任一点P（P不为原点）的坐标为(x , y)则
例1：已知角终边上有一点P（-3，4）求 sin 和cos 的值。变式：已知角终边上有一点P（-3b，4b）且b≠0求 sin 和cos 的值。

高中数学北师大版必修4 1.4 教学课件《单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义》(数学北师大高

典型解析例1、求 5的正弦、余弦和正切值。
3
y
易知
5
3
的终边与单位圆的交点为
P(1 , 2
3) 2
α M x(1,0)
O
x
P(1 , 3 ) 22
sin 3 2
cos 1
2
3
tan
2 1

3
2
北京师范大学出版社高一 | 必修4
典型解析
例 2 判断下列各式的符号： (1)sin α·cos α(其中 α 是第二象限角)； (2)sin 285°cos(－105°)； 19 cos 6 π (3)sin379πcos－85π.
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课堂小结
1.任意角的三角函数的定义
P设(x,αy是),则一个sin任意角y,，co它s的终x边, ta与n单位y圆交于点
x
2.若α的终边上任意一点的坐标为 P(x,y) ,其三角函
数可转化为
sin y , cos x , tan y , (r x2 y2 )
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∵379π＝4π＋171π，且171π 是第四象限角． ∴379π 是第四象限角，∴sin379π<0； ∵－85π＝(－1)×2π＋25π，且25π 是第一象限角， ∴－85π 是第一象限角，cos－85π>0.
19 故cos379cπocso6sπ－85π>0.
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解 (1)∵α 是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α·cos α<0. (2)∵285°是第四象限角，∴sin 285°<0， ∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0， ∴sin 285°·cos(－105°)>0. (3)∵169π＝2π＋76π，且76π 是第三象限角，∴169π 是第三象限角， ∴cos169π<0；

北师大版必修4高中数学第一章《三角函数》ppt课件

(C)横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移个单位长度
6
(D)横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再把所得各点向左平移个单位长度
2
【解析】选D.y=2sinx,x∈R的图像上所有的点横坐标伸长到
原来的3倍(纵坐标不变)，得 y 2si再n 1把x 所得各点向左平
2.弧长公式、扇形面积公式
记准弧度数计算公式 l 和扇形面积公式 s 1 lr ，
r
2
很容易推出弧长公式l=|α |r和扇形面积公式 s 1 r2 .
2
在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混
用.
【例1】(1)把 11 表示成2kπ +θ (k∈Z)的形式，使|θ |最
4
小的θ 值是( )
(A) 3
4
(B)
4
(C) (D) 3
4
4
(2)已知角α 的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中
绝对值最小的角α 是_______.
【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ 与 1终1边相同.
4
(2)若角α，β的终边关于原点对称则其终边互为反向延长
线，因此α+180°与角β终边相同.
)

tan(
1 17
)

1 tan(3

)
6
6

1 tan

1 3
3.
63
三角函数的图像对三角函数的图像的几点认识
本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论，主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线画简图.如“五点法”“三点二线法”等. (3)图像变换法，利用已知函数与未知函数解析式之间的关系，用平移、伸缩、对称变换画图.

北师大版高中数学必修4单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

课内练习
已知sinθ＜0且cosθ＞0,确定θ角的象限。
复习小结
1.任意角的正弦、余弦函数的定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆
交于点P(u，v)，则sin v,cos u
2.三角函数都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标(比值)为函数值的函数.
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
复习引入
锐角的正弦、余弦函数的定义：
斜边
对边

邻边
对边
邻边
sin _斜__边__;cos _斜__边__;
引入新知下面我们在Fra bibliotek角坐标系中，利用单位圆来进一步研究锐角的正弦函数、余弦函数
当点P(u,v) 就是的终边与单位圆的交点时,
锐角三角函数会有什么结果？
得。
正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。
最小正周期在图象上的意义：
最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。
例题讲解
例1、求 5 的正弦、余弦。
3
y
易知
5
3
的终边与单位圆
的交点为 P(1 , 3 )
22
α M x(1,0)
O
x
P (1, 3) 22
sin 3
2 cos 1
sin 3 13, cos 2 13
13
13
变式1、设角
中 a 0 ，则 sin
的终53 边。过点P(4a,
3a)
,其
变式2.若角的终边过点 Pa，8，且 cos 3 ，
则a ____6____。
5
确定下列各三角函值的符号： ⑴ cos250°;⑵ sin(-π/4); ⑶ sin(-672°); ⑷ cos3π;

《三角函数的诱导公式》新课程高中数学必修4省优质课比赛说课教案

三角函数的诱导公式教材：在北师大版普通高中课程标准实验教科书必修4中，单位圆与正弦、余弦函数的内容约4课时，下面笔者从教学背景分析、教学设计分析、目标分析、过程分析、板书设计等方面谈谈“三角函数的诱导公式”这节课的教学设计.一、教学背景分析（一）教材的地位和作用本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用.承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容.同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉，这些构成了学生的知识基础.诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想.（二）目标定位诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大.我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示.第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解.第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法.第四，积累数学经验，为学生认识任意角的三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备.二、教学设计分析在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？笔者最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑.（一）尊重教材的编写方式从对教材的分析来看，北师大版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式.教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套.（二）切合学生的认知水平利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理.同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导诱导公式、理解公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的效果.三、教学环境分析根据教学内容和学生实际情况，确定选择使用多媒体教室.四、教学目标分析（一）知识与技能1.能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式.2.能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题.（二）过程与方法1.经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力.2.通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感、态度、价值观1.通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.2.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.五、教学重点与难点教学重点:探求π－α的诱导公式.π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出.教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”.六、教学方法与教学手段问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件.七、教学过程角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值怎么求呢？先看一个具体的问题.（一）问题提出如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题.【问题1】求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，三角函数看重的就是终边位置关系.即有sin(α+k·360°) = sinα，cos(α+k·360°) = cosα， (k∈Z)tan(α+k·360°) = tanα.这组公式用弧度制可以表示成sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = cosα， (k∈Z) (公式一)tan(α+2kπ) = tanα.【设计意图】前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求.于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系.同时，首先考虑α+2kπ（k∈Z）与α的三角函数值之间的关系，有助于学生理解三角函数被看成刻画现实世界中周期性变化的数学模型的确切含义.（二）尝试推导如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系.由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等.反过来呢？如果两个角的三角函数值相等，它们的终边一定相同吗?比如说：【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π-α与角α的终边关于y轴对称,有sin(π-α) = sinα，cos(π-α) = -cosα，（公式二）tan(π-α) = -tanα.【设计意图】对问题2的提问方式的设计主要是考虑到我们在研究问题的时候常常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等.事实上问题2可以看成是“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相同”的逆命题，即“若两个角的正弦值相同，则两个角的终边相同”.但这里是以问题的形式提出的，实际上教会了学生一种自己研究问题的方法.〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的?因为与角α终边关于y 轴对称是角π-α，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.于是，我们就得到了角π-α与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系.【设计意图】阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用.将上述研究过程进行梳理，得出“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图.（三）自主探究如何利用对称推导出π+ α，- α与α的三角函数值之间的关系.刚才我们利用单位圆，得到了终边关于y 轴对称的角π-α与角α的三角函数值之间的关系，下面我们还可以研究什么呢？【问题3】两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角-α与角α的终边关于x 轴对称，有：sin (-α) = -sin α，cos (-α) = cos α，（公式三）tan (-α) = -tan α.角π +α与角α终边关于原点O 对称，有：sin (π +α) = -sin α，cos (π +α) = -cos α，（公式四）tan (π +α) = tan α.上面的公式一到四都称为三角函数的诱导公式.【设计意图】从两个角的终边关于y 轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式三和四，并将问题2研究方法一般化.（四）简单应用例：求下列各三角函数值： (1) ； (2) 2cos 3π；（3） . 7sin()6-π31cos 6-π【设计意图】初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理地使用这几组公式.此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性.（五）回顾反思【问题4】回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的?研究的过程中，你有哪些体会?知识上，学会了四组诱导公式；思想方法层面：诱导公式体现了由未知转化为已知的化归思想；诱导公式所揭示的是终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系.主要体现了化归和数形结合的数学思想.具体可以表示如下：【设计意图】开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获.这些问题的提出，侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重公式规律的总结和记忆.（六）分层作业1.阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法；2.必做题：课本20页A组1， 6，21页B组 1；3.选做题：（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？（2）角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系，你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？【设计意图】分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力.阅读课本旨在引导学生教科书是学习的根本，阅读课本有利于培养学生良好的回归课本的学习习惯.而出现选做题目，目的是提供多元化和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之间的内在联系.（七）板书设计。

北师大版必修4高中数学第1章三角函数44.1单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义4.2单位圆与周期

3．已知 sin θ·cos θ<0，那么角
D [ ∵ sin θ·cos θ<0 ， ∴
θ 是( ) A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角
sin θ>0，
或sin θ<0，
cos θ<0 cos θ>0.
∴θ 在第二象限或第四象
限．]
D．第二或第四象限角
4．若函数 f(x)是以2π为周期的周期函数，且 fπ3＝1，则 f176π的值是( )
(2)一般地，对于函数 f(x)，如果存在_非__零__实__数__T_，对定义域内的 __任__意__一__个__x 值，都有_f_(_x_＋__T_)＝__f_(_x)_，则称 f(x)为周期函数，_T__称为这个函数的周期．
(3)特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2_k_π_(_k_∈__Z_，__k_≠__0_) 是正弦函数、余弦函数的周期，其中 2π 是正弦函数、余弦函数正周期中_最__小__的一个，称为__最__小__正__周__期__．
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
5π
2π
A. 6
B. 3
5π
11π
C. 3
D. 6
D
[由题意知，角
α
的终边上一点的坐标为
23，－12.
∴cos α＝
3
2
＝
232＋－122
3 2.
又 α 的终边在第四象限．
∴α 的最小正值为116π.]
思考 2：由 sin(x＋k·2π)＝sin x(k∈Z)可知函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？

陕西省西安市第一中学北师大版高中数学必修4教案：1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义

§4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义教学目标1.知识与技能借助单位圆认识和理解正弦函数、余弦函数的概念。

2.过程与方法已将角推广到任意角的情况，把角放在平面直角坐标系中，借助角的终边和单位圆的交点，定义正弦函数、余弦函数，数形结合，立足锐角三角函数的定义，而又有所发展，给出了任意角的正弦函数、余弦函数的定义，有保留有变化。

3.情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的三角函数推广到任意角的三角函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。

教材分析任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系。

又由于正弦函数、余弦函数之间有关系：sin(απ+2)=cos α,因此教材着重研究了正弦函数，而余弦函数由学生类比进行学习.教学重点任意角的正弦函数、余弦函数的定义教学难点理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义教学方法与手段任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数. 启发引导，表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也反映了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学过程一、创设情境引入提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。

北师大版必修4高中数学第1章三角函数44.3单位圆与正弦函数余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与

1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量 x 的值．
(1)y＝－sin x，x∈π3，π；(2)y＝cos x，x∈[－π，π]． [解] (1)y＝－sin x，x∈π3，π的单调递减区间为π3，π2，单调递增区间为π2，π.
当 x＝π2时，ymin＝－1；当 x＝π 时，ymax＝0，故函数 y＝－sin x， x∈π3，π的值域为－1，0.
[提示] 它们的对应关系如表：
相关角
终边之间的对应关系
2kπ＋α 与 α π＋α 与 α －α 与 α 2π－α 与 α π－α 与 α
终边相同关于原点对称关于 x 轴对称关于 x 轴对称关于 y 轴对称
1．当 α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A．sinπ2＋α＝－cos α B．sin(π－α)＝－sin α C．cos (210°＋α)＝cos (30°＋α) D．cos (－α－β)＝cos (α＋β) D [由诱导公式知 D 正确．]
x 取最大值 1，当 x＝－6π时，y＝sin x 取最小值－12.
①
(2)由图②可知，y＝cos x 在
[ －π，0] 上是增加的，在0，3π上是减少的．且
当 x＝－π 时取最小值－1，当 x＝0 时，取最大值 1.
②
利用单位圆研究三角函数性质的方法第一步：在单位圆中画出角 x 的取值范围；第二步：作出角的终边与单位圆的交点 P(cos x，sin x)；第三步：研究 P 点横坐标及纵坐标随 x 的变化而变化的规律；第四步：得出结论．
(2)y＝cos x，x∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．
当 x＝0 时，ymax＝1；当 x＝－π 或 π 时，ymin＝－1，故函数 y＝ cos x，x∈[－π，π]的值域为[－1,1].

2019-2020年数学北师大必修四课件：第一章三角函数 1.4.3-1.4.4

(��为奇数).
(方法二)原式=((--11))��ssiinn��+·((--11))��c��soisn�� = 2c(o-1s��)��.
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟利用诱导公式化简三角函数式的步骤利用诱导公式可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,即
答案:(1) (2) (3)× (4)
探究一
探究二
探究三
探究四
正弦函数、余弦函数基本性质的应用
【例1】已知函数y=-3sin x+1.
(1)求函数的定义域、值域、周期、单调区间;
(2)求函数在区间
-
π 6
,
2π 3
上的最值.
思路分析:可模仿函数y=sin x的有关性质来研究函数y=-3sin x+1
=
=
cos10°+ 1-sin210°
2cos10°
=2scions8100°°
=
cos10° 2cos10°
=
12.
探究一
探究二
探究三
探究四
(3)(方法一)当 n=2k,k∈Z 时,
原式=ssinin((��+��+22��π��π))+csoisn((��-��-22��π��π)) = co2s��. 当 n=2k+1,k∈Z 时,
口诀是:“负化正,大化小,化到锐角再查表”.
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练2求下列三角函数值:

北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.1-1.4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件

-5-
4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
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3
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(2)定义 2. 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数. 如图 ②, 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), 它与原点的距离是 r(r= �� 2 + �� 2 > 0), 那么: ①比值 �� 叫作��的正弦函数, 记作 sin ��, 即 sin �� = �� ; ②比值 �� 叫作��的余弦函数, 记作 cos �� , 即 cos �� = �� .
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2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
图① (1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角 α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记作u=cos α.
答案:C
1 1 3 3 D. − 2 2
11π 6
=(
)
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4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
1 2 3 4
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5.周期函数 (1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指明,一般都是指它的最小正周期. 名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次. (3)正弦函数和余弦函数的周期性正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.

高中数学北师大版必修四课件 §4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义,单位圆与周期性

1.已知角 α 的终边在射线 y＝2x(x＞0)上，求角 α 的正弦值和余弦值．
[尝试解答 ] 法一：设角 α 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则 y＝2x(x＞0)．又因为 x2＋y2＝1，
5 x＝， 5 所以 2 5 y＝， 5
2 5 5 于是 sin α＝y＝，cos α＝x＝ . 5 5
cos α
.
.
－－
.
.
2.周期性 (1)周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T ，对定义域内的 T 称为这
，则称f(x)为周期函数，任意一个x值，都有 f(x＋T)＝f(x) 个函数的周期．
(2)正弦函数、余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)是正弦函数、余弦函数的周期，
2．公式sin(2kπ＋x)＝sin x，k∈Z；cos(2kπ＋x)＝cos x，k∈Z，揭示了什么规律，有什么作用？
提示：(1)由公式可知，三角函数的值有“周而复始”的变
化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现
一次．(2)利用此公式，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.
法二：在角 α 的终边上任取一点 P(x，y)(x＞0)，则 OP＝ x2＋y2＝ x2＋4x2＝ 5|x|，又因为 x＞ 0，所以 y y 2 5 x OP＝ 5x.所以 sin α= 2 2＝＝； cos α＝ 2 2＝ 5 5x x ＋y x ＋y x 5 ＝ . 5x 5
求任意角的正弦、余弦值常用的两种方法： (1)利用单位圆中的正、余弦函数的定义． (2)利用正、余弦函数定义的推广：若 P(x，y)是角 α 终 y x 边上的任意一点，则 sin α＝ 2 2，cos α＝ 2 2 x ＋y x ＋y .