2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关矩阵与变换学案选修4-2

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高考数学一轮复习第15章选考部分矩阵与变换教学案苏教版选修4

选修4—2 矩阵与变换考纲要求1．了解二阶矩阵的概念，了解矩阵与向量乘法的意义，了解几种常见的平面变换． 2．会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法，理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)．3．了解二阶方阵乘法的意义并理解其运算律，理解逆矩阵的意义及简单性质． 4．会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组，理解线性方程组的存在性、唯一性． 5．理解特征值与特征向量的定义．会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)，并能用它来解决问题．1．二阶方阵左乘向量的运算法则是⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝________，从几何上说，矩阵乘向量的作用是把一个向量变成另一个向量；如果把⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 视为点的坐标，那它就是把平面上的一个点变成另一个点．2．几种常见的矩阵变换：(1)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1表示________．(2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴的反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －1－1 0分别表示关于________、________和________的反射变换．(3)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 变成点⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原来的k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k 表示y 轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s 00 1可以用来表示____________．(4)把点A (x ，y )绕着坐标原点旋转α角的变换，对应的矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.(5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示的是沿x 轴的切变变换，沿y 轴的切变变换对应的矩阵是________；(6)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 的点都映射到了点(x ，0)，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0表示的是x 轴上的投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示的是____上的投影变换．3．假设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤u v s t ，则矩阵A 和矩阵B 的乘积AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤au ＋bs av ＋bt cu ＋ds cv ＋dt .4．在交换律、结合律、消去律中，矩阵运算满足____律，即______________；而通常不满足交换律和消去律．5．对平面上任意一个向量a ，依次实施两次变换f 和g ，使之最终对应于向量a ′，我们称之为变换f 和变换g 的________．记作a ′＝g [f (a )]，如果变换f 和g 分别对应矩阵A 和B ，则有a ′＝B (Aa )＝(BA )a ，我们称BA 是矩阵B 与矩阵A 的____．6．设以原点为中心，旋转角为θ的旋转变换f 对应于矩阵A ，则A ＝________，如果向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 在变换f 的作用下对应到向量a ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，那么应该对向量a ′实施一个变换f ′：以原点为中心，旋转角为－θ的旋转变换，方可使之对应到向量a .变换f ′相应的矩阵B ＝__________.7．如果对于线性变换f ，存在着一个线性变换f ′，使得__________________，则称变换f 可逆，并称f ′是变换f 的______．类比到矩阵，如果和变换f 和f ′相应的矩阵分别是二阶方阵A 、B ，有____________．我们称矩阵A 可逆，并称B 是A 的________，记作B ＝A －1.8．并不是每一个二阶方阵都是可逆的，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆的充要条件是它对应的行列式|A |满足__________________，且A －1＝____________.9．逆矩阵具有两个重要的性质：(1)________________________________；(2)____________．10．关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f (其中a ，b ，c ，d 均为常数)，写成矩阵形式可以表达成__________________；从线性变换的角度看，该方程组表示向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 通过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 对应的变换的作用后对应到向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f . 11．因为每一个二元一次方程组都可以用矩阵表示成⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f ，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，则方程组的解可以表示成______________________． 12．对于给定矩阵M ，如果存在一个非零向量a 和实数λ，使得__________，则称λ是矩阵M 的特征值，a 是矩阵M 的属于特征值λ的特征向量．13．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 有特征值λ的充要条件是__________________________．14．如果矩阵M 有特征值λ和属于特征值λ的特征向量a ，则可以得到以下两个重要的结论：(1)M t a ＝______；(2)M n a ＝______(其中n ∈N *)．1．若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．2．(2012江苏泰州第一学期期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX＝B 的二阶矩阵X .3．已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －1 4属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.1．如何求两个矩阵乘积的逆矩阵？提示：求两个矩阵乘积的逆矩阵有两种方法，即先求乘积AB ，再求逆矩阵(AB )－1；也可利用性质(AB )－1＝B －1A －1求解，但要注意顺序，不能误以为其逆矩阵是A －1B －1.2．是不是所有的二阶矩阵都存在逆矩阵？矩阵的乘法满足什么运算律？提示：并不是所有的二阶矩阵都存在逆矩阵，有些二阶矩阵是不可逆的．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律与消去律．一、二阶矩阵与平面向量的乘法【例1】在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．方法提炼二阶矩阵A 与平面向量α的乘积仍然是一个平面向量，它的第一个分量为A 的第一行的元素与α的对应位置元素乘积的和，第二个分量为A 的第二行的元素与α的对应位置元素乘积的和．请做针对训练1二、线性变换的基本性质【例2】(2012江苏南京三模)已知曲线C ：x 2＋y 2＝1，对它先作矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2对应的变换，再作矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 b 1 0对应的变换，得到曲线C ：x 24＋y 2＝1.求实数b 的值．方法提炼二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或点)．请做针对训练2三、逆变换与逆矩阵【例3】已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 61 4.(1)求出矩阵A 的逆矩阵A －1；(2)A 决定的线性变换A 将哪一个点变换到点(3,1)? 方法提炼1．设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的．此时，记A 的逆矩阵为A －1，则有A －1A ＝AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，可通过解线性方程组确定A －1中的各个值，从而求得A －1.2．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果ad －bc ≠0，则矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 存在逆矩阵．3．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc－bad －bc －c ad －bca ad －bc. 请做针对训练3四、特征值与特征向量【例4】(2012江苏扬州第一学期期末)求矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 4 2 6的特征值和特征向量．方法提炼1．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 是一个二阶矩阵，则f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc称为A 的特征多项式．2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 请做针对训练4《矩阵与变换》以初中数学知识为基础，以二阶矩阵为研究对象，通过平面图形的变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性，题目难度适中．1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求向量α，使得A 2α＝β.2．如图，矩形OABC 的顶点O (0,0)，A (－2,0)，B (－2，－1)，C (0，－1)．将矩形OABC 绕坐标原点O 旋转180°得到矩形OA 1B 1C 1；再将矩形OA 1B 1C 1沿x 轴正方向作切变变换，得到平行四边形OA 1B 2C 2，且点C 2的坐标为(3，1)．求此矩形OABC 变为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵．3．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a ＞0，b ＞0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．4．(2012江苏盐城二模)已知二阶矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A .参考答案基础梳理自测知识梳理 1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy 2．(1)恒等变换 (2)x 轴直线y ＝x 直线y ＝－x (3)水平伸缩变换 (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t 1 (6)y 轴4．结合 A (BC )＝(AB )C 5．复合变换乘积6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ cos θ sin θ－sin θ cos θ 7．ff ′＝f ′f ＝I (I 是恒等变换) 逆变换 AB ＝BA ＝E 2 逆矩阵8．|A |＝ad －bc ≠0 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A |－b |A |－c |A |a |A |9．(1)如果矩阵A 可逆，则A －1是唯一的(2)(AB )－1＝B －1A －110.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f 11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f 12．Ma ＝λa13．方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解14．(1)tλa (2)λna 基础自测1．解：M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0.2．解：由题意得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1.因为AX ＝B ，所以X ＝A －1B＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1. 3．解：由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 10－5 14.考点探究突破【例1】解：设P (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0) ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0 y 0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′0＝2x 0，y ′0＝y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又因为点P 在椭圆上，故4x 20＋y 20＝1，从而(x ′0)2＋(y ′0)2＝1.所以曲线F 的方程为 x 2＋y 2＝1.【例2】解：从曲线C 1变到曲线C 2的变换对应的矩阵为BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0b 10·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0. 在曲线C 1上任意选一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵BA 对应的变换作用下变为P ′(x ′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 2b 1 0·⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2by 0x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′.故⎩⎪⎨⎪⎧2by 0＝x ′，x 0＝y ′，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝12b x ′，x 0＝y ′.代入曲线C 1的方程得，y ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b x ′2＝1，即曲线C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2x 2＋y 2＝1.与已知的曲线C 2的方程x 24＋y 2＝1比较得(2b )2＝4.所以b ＝±1.【例3】解：(1)方法一：A 的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 61 4＝2，∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 42 －62－12 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1. 方法二：设A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 614⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6c ＝1，2b ＋6d ＝0，a ＋4c ＝0，b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－12，d ＝1，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1. (2)设A 决定的线性变换A 将点(x ，y )变到(3,1)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 61 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－12， ∴A 决定的线性变换A 将点⎝⎛⎭⎪⎫3，－12变到(3,1)．【例4】解：由题意知，f (λ)＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，由f (λ)＝0可得λ1＝7，λ2＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧7＋1x －4y ＝0，－2x ＋7－6y ＝0，可得属于λ1＝7的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.由⎩⎪⎨⎪⎧－2＋1x －4y ＝0，－2x ＋－2－6y ＝0，可得属于λ2＝－2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4－1.所以矩阵M 的特征值和特征向量分别为λ1＝7，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12或λ2＝－2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1.演练巩固提升针对训练1．解：A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 2．解法一：设矩阵M 对应的变换将矩形OABC 变为矩形OA 1B 1C 1，则M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1.设矩阵N 对应的变换将矩形OA 1B 1C 1变为平行四边形OA 1B 2C 2.可设矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1(k >0)，因为点C 2的坐标为(3，1)，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，解得k ＝ 3.所以N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1.将矩形OABC 变换为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为NM ，NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1，因此将矩形OABC 变换为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1.解法二：因为矩形OA 1B 1C 1是矩形OABC 绕原点O 旋转180°得到的，所以A 1(2,0)，B 1(2,1)，C 1(0,1)．又矩形OA 1B 1C 1沿x 轴正方向作切变变换得到平行四边形OA 1B 2C 2，且C 2的坐标为(3，1)，所以点B 2的坐标为(3＋2,1)．设将矩形OABC 变为平行四边形OA 1B 2C 2的线性变换对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋2 1，所以⎩⎨⎧－b ＝3，－d ＝1，⎩⎨⎧－2a －b ＝3＋2，－2c －d ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，c ＝0，d ＝－1，因此所求矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －3 0 －1.3．解：(1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.4．解：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 0.。

2019年高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关坐标系与参数方程学案选修4

选修44 坐标系与参数方程1. （选修44P 11例5改编）在直角坐标系中，点P 的坐标为（－2，－6），求点P 的极坐标.解：ρ＝（－2）2＋（－6）2＝22，tan θ＝－6－2＝3，又点P 在第三象限，得θ＝43π，即P （22，4π3）.2. （选修44P 17习题9改编）在极坐标系中，已知A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，求△AOB（其中O 为极点）的面积. 解：由题意A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，得△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.3. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1的距离. 解：圆的普通方程为（x －1）2＋y 2＝1，直线的普通方程为3x ＋y －1＝0，∴ 圆心到直线的距离为d ＝3－12.4. （选修44P 19例1改编）在极坐标系中，求过圆ρ＝－2sin θ的圆心，且与极轴平行的直线的极坐标方程.解：由题意，圆ρ＝－2sin θ，可化为ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋（y ＋1）2＝1，圆心是（0，－1），所求直角坐标方程为y ＝－1，所以其极坐标方程为ρsin θ＝－1.5. 在极坐标系中，求圆ρ＝4上的点到直线ρ（cos θ＋3sin θ）＝8的距离的最大值.解：把ρ＝4化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，把ρ（cos θ＋3sin θ）＝8化为直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，∴ 圆心（0，0）到直线的距离为d ＝82＝4，∴ 直线和圆相切，∴ 圆上的点到直线的最大距离是8.1. 极坐标系是由距离（极径）与方向（极角）确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对（ρ，θ）与点不一一对应.这点应与直角坐标系区别开来.2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M （ρ，θ）可表示为（ρ，θ＋2n π）（n∈Z ）.3. 在极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M （ρ，θ）可表示为（－ρ，θ＋（2n ＋1）π）（n∈Z ）.4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可取任意角.5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M （ρ，θ），建立等式，化简即得.6. 常见曲线的极坐标方程（1）过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ）或θ＝π＋α（ρ∈R ）；（2）过点（a ，0）（a ＞0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a ；（3）过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ；（4）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r ；（5）圆心为（a ，0），半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ；（6）圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.7. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，平面内任一点P 的直角坐标（x ，y ）与极坐标（ρ，θ）可以互换，公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 和⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ., 1 求极坐标或极坐标方程), 1) 在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ（圆心为点C ），求直线AC 的极坐标方程.解：（解法1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy.圆C 的平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝42y ，即x 2＋（y －22）2＝8，圆心C （0，22）. 点A 的直角坐标为（2，2）.直线AC 的斜率k AC ＝22－20－2＝－1.所以直线AC 的直角坐标方程为y ＝－x ＋22，极坐标方程为ρ（cos θ＋sin θ）＝22，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. （解法2）在直线AC 上任取一点M （ρ，θ），不妨设点M 在线段AC 上.由于圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫22，π2，S △OAC ＝S △OAM ＋S △OCM ，所以12×22×2sin π4＝12×2×ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋12×ρ×22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即ρ（cos θ＋sin θ）＝22，化简，得直线AC 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. 备选变式（教师专享）在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4（ρ∈R ）对称的曲线的极坐标方程.解：（解法1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为（x －1）2＋y 2＝1，且圆心C 的坐标为（1，0），直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x.因为圆心C （1，0）关于y ＝x 的对称点为（0，1），所以圆C 关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋（y －1）2＝1，所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.（解法2）设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为（ρ′，θ′），其关于直线θ＝π4的对称点为（ρ，θ），则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ. 将（ρ′，θ′）代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即ρ＝2sin θ，所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4（ρ∈R ）对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ., 2 极坐标方程与直角坐标方程的互化), 2) （2017·苏州期中）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＋2，y ＝rsin θ＋2（θ为参数，r ＞0）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0. （1）求圆C 的圆心的极坐标；（2）当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围.解：（1）由C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＋2，y ＝rsin θ＋2得（x －2）2＋（y －2）2＝r 2，∴ 曲线C 是以（2，2）为圆心，r 为半径的圆，∴ 圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. （2）由直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＋1＝0，从而圆心（2，2）到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝52 2.∵ 圆C 与直线l 有公共点，∴ d ≤r ，即r≥522.变式训练（2017·苏州期初）自极点O 任意作一条射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在射线OM 上取点P ，使得OM·OP＝12，求动点P 的轨迹的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.解：设P （ρ，θ），M （ρ′，θ）， ∵ OM ·OP ＝12，∴ ρρ′＝12.∵ ρ′cos θ＝3，∴ 12ρ·cos θ＝3.则动点P 的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ. ∵ 极点在此曲线上，∴ 方程两边可同时乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ.∴ x 2＋y 2－4x ＝0., 3 曲线的极坐标方程的应用), 3) 在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2acos θ（a>0），直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点. （1）求a ；（2） O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB＝π3，求OA ＋OB 的最大值.解：（1）曲线C 是以（a ，0）为圆心，以a 为半径的圆；直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1.（2）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则OA ＋OB ＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，当θ＝－π6时，OA ＋OB 取得最大值2 3.变式训练在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x －3）2＋（y ＋1）2＝9，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线OP ：θ＝π6（ρ∈R ）与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长.解：（1）（x －3）2＋（y ＋1）2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0，故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.（2）将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，∴ ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝2 6.1. （2017·苏北四市期中）已知曲线C 的极坐标方程为ρsin （θ＋π3）＝3，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程.解：由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3，得12ρsin θ＋32ρcos θ＝3. 又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为3x ＋y －6＝0.2. （2017·苏锡常镇一模）已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. （1）把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：（1）由ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 3. （2017·苏北三市模拟）在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0（0≤θ＜2π）上.当线段AB 最短时，求点B 的极坐标.解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2的直角坐标为（0，2），直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 所以点B 的直角坐标为（－1，1）.所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. 4. （2017·常州期末）在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知圆ρ＝4sin （θ＋π6）（ρ≥0）被射线θ＝θ0（θ0为常数，且θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2）所截得的弦长为23，求θ0的值. 解：圆ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为（x －1）2＋（y －3）2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx （x≥0，k ＞0），圆心（1，3）到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k2. 根据题意，得24－（k －3）21＋k 2＝23，解得k ＝33，即tan θ0＝33.又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6.1. （2017·南通、扬州、泰州模拟）在极坐标系中，圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程. 解：（解法1）因为圆C 的圆心在极轴上且过极点，所以可设圆C 的极坐标方程为ρ＝acos θ.又点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4在圆C 上，所以32＝acos π4，解得a ＝6. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.（解法2）点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4的直角坐标为（3，3）. 因为圆C 过点（0，0），（3，3），所以圆心在直线x ＋y －3＝0上. 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为（x －3）2＋y 2＝9. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.2. 已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点.求点M 到直线l 距离的最大值.解：圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2，即 x 2＋y 2＋2y ＝0，x 2＋（y ＋1）2＝1，表示圆心为（0，－1），半径等于1的圆.直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即 x ＋y －2＝0，圆心到直线l 的距离为|0－1－2|2＝322，故圆上的动点M 到直线l 的距离的最大值等于322＋1.3. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.（1）求出圆C 的直角坐标方程；（2）已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，若直线l ：y ＝2x ＋2m 上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值.解：（1）由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，即圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝4.（2） l 的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l 上存在点P 使得∠APB＝90°的充要条件是直线l 与圆C 有公共点，故|4＋2m|5≤2，于是实数m 的最大值为5－2.4. 在极坐标系中，已知直线2ρcos θ＋ρsin θ＋a ＝0（a>0）被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为2，求a 的值.解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x ＋y ＋a ＝0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋（y －2）2＝4.因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心（0，2）到直线的距离为4－1＝3，即|2＋a|5＝3，因为a>0，所以a ＝15－2.1. 极坐标方程与直角坐标方程的互化（1）将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可.常用方法有代入法、平方法，还经常用到同乘（或除以）ρ等技巧.（2）将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsin θ以及ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x（x≠0），同时要掌握必要的技巧，通常情况下，由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角.在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定.当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y>0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y<0时，可取θ＝3π2.2. 求简单曲线的极坐标方程的方法（1）设点M （ρ，θ）为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解OM 与θ的关系；（2）先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程.[备课札记]第2课时参数方程（对应学生用书（理）202～205页）1. （选修44P 45例1改编）已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t（t 为参数），求此直线的倾斜角以及在y 轴上的截距.解：∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t 2，y －2＝32t ，∴ y －2＝3（x －1）.∴ 此直线的斜率为3，∴ 它的倾斜角为60°.令x ＝0，得它在y 轴上的截距为2－ 3.2. （选修44P 45例2改编）已知点P （3，m ）在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t（t 为参数）上，求PF 的值.解：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F （1，0），准线方程为x ＝－1，又P （3，m ）在抛物线上，由抛物线的定义知PF ＝3－（－1）＝4.3. （选修44P 57习题3（4））选择适当的参数，将普通方程4x 2＋y 2－16x ＋12＝0化为参数方程.解：由4x 2＋y 2－16x ＋12＝0，得4（x －2）2＋y 2＝4，选择参数θ，令y ＝2sin θ，则x ＝2＋cos θ，故所求曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝2sin θ.（答案不惟一）4. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：曲线C 的普通方程为（x －3）2＋y 2＝4，表示以（3，0）为圆心，2为半径的圆.直线l 的直角坐标方程为y ＝33x.所以圆心到直线的距离为32，所以线段AB 的长为24－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝13. 5. 已知直线l 的极坐标方程为ρsin （θ－π3）＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ（θ为参数），设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解：由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，可得ρ（12sin θ－32cos θ）＝3， ∴ y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2， ∴ 圆心到直线l 的距离d ＝62＝3.∴ P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.1. 参数方程是用第三个变量（即参数）分别表示曲线上任一点M 的坐标x ，y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x ，y 的一种间接关系.2. 参数方程是根据其固有的意义（物理、几何）得到的，要注意参数的取值范围.3. 一些常见曲线的参数方程（1）过点P 0（x 0，y 0），且倾斜角是α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋lcos α，y ＝y 0＋lsin α（l 为参数）. l 是有向线段P 0P 的数量.（2）圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ（θ为参数）.（3）椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1（a>b>0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ（θ为参数）.（4）双曲线方程x 2a －y2b ＝1（a>0，b>0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t （t 为参数）.（5）抛物线方程y 2＝2px （p>0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt （t 为参数）.4. 在参数方程与普通方程的互化中要注意变量的取值范围.1 参数方程与普通方程的互化1（2017·南京、盐城期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t （t为参数）.现以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长.解：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t （t 为参数）化成普通方程为4x －3y ＝0，圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为（x －1）2＋y 2＝1，则圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|4|42＋（－3）2＝45，所以AB ＝21－d 2＝65.变式训练在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋55t ，y ＝－1＋255t （t 为参数）与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ（θ为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：将直线的参数方程化为普通方程，得y ＝2x ＋1 ①. 将曲线的参数方程化为普通方程，得y ＝1－2x 2（－1≤x≤1） ②.由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以A （－1，－1），B （0，1）或A （0，1），B （－1，－1），从而AB ＝（－1－0）2＋（－1－1）2＝ 5. 备选变式（教师专享）已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为（x ＋1）2＋（y －1）2＝2.直线l 的方程化成普通方程为x －y ＋1＝0.圆心到直线l 的距离为d ＝|－1－1＋1|2＝22，所求弦长AB ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 6. , 2 求曲线参数方程), 2) 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程.解：设P （x ，y ），则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆，可得弦OP ＝1×cosθ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP·cos θ，y ＝OP·sin θ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ·sin θ（θ为参数）.备选变式（教师专享）已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α（t 为参数），曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ（θ为参数）. （1）当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；（2）过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：（1）当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3（x －1），C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立构成方程组⎩⎨⎧y ＝3x －3，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为（1，0），⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. （2）依题意，C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，则A 点的坐标为（sin 2α，－sin αcos α），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α（α为参数），所以点P 轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆. , 3 参数方程的应用), 3) （2017·南通、泰州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l （l 为参数）与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t （t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB的长.解：（解法1）将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t（t 为参数）化成普通方程为y 2＝8x ，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l （l 为参数）代入y 2＝8x ，整理得l 2－82l ＋24＝0，解得l 1＝22，l 2＝6 2.则|l 1－l 2|＝42，所以线段AB 的长为4 2.（解法2）将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t（t 为参数）化成普通方程为y 2＝8x ，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l（l 为参数）化成普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y ＋32＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.所以AB 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫92－122＋（6－2）2＝4 2.备选变式（教师专享）已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α＋m ，y ＝tsin α（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ（φ为参数）的右焦点F.（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA·FB 的最大值与最小值.解：（1）椭圆的参数方程化为普通方程，得x 225＋y29＝1.因为a ＝5，b ＝3，所以c ＝4，所以点F 的坐标为（4，0）. 因为直线l 经过点（m ，0），所以m ＝4.（2）将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得（9cos 2α＋25sin 2α）t 2＋72tcos α－81＝0.设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则FA ·FB ＝|t 1t 2|＝819cos 2α＋25sin 2α＝819＋16sin 2α. 当sin α＝0时，FA ·FB 取最大值9；当sin α＝±1时，FA ·FB 取最小值8125., 4 极坐标、参数方程的综合应用), 4) （2017·苏锡常镇二模）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝a （a∈R ），若曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点，求实数a 的值.解：曲线C 1的方程为（x －3）2＋（y －3）2＝4，圆心坐标为（3，3），半径为2.∵ 曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝a （a∈R ）， ∴ 曲线C 2的直角坐标方程为3x ＋y －2a ＝0.∵ 曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点， ∴ |3＋3－2a|2＝2，解得a ＝1或a ＝5.备选变式（教师专享）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos α，y ＝2sin α（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ＋3sin θ）＋4＝0.求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.解：将l 转化为直角坐标方程为x ＋3y ＋4＝0. 在C 上任取一点A （6cos α，2sin α），α∈[0，2π），则点A 到直线l 的距离为d ＝|6cos α＋6sin α＋4|2＝|23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋4|2＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋2.当α＝π4时，d 取得最大值，最大值为2＋3，此时A 点为（3，1）.1. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22a ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos t ，y ＝－1＋sin t （t 为参数，0≤t ≤π）.当C 1与C 2有公共点时，求实数a 的取值范围.解：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝a.若C 1与C 2有公共点，则a ＝x ＋y ＝sin t ＋cos t－2在t∈[0，π]上有解，又sin t ＋cos t －2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π4－2，因为t∈[0，π]，所以t ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以a 的取值范围为[－3，2－2].2. （2017·苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l ：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m （m∈R ），圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t （t 为参数）.当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值.解：直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0，圆C 的普通方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9，圆心C 到直线l 的距离为|1－（－2）＋m|2＝2，解得m ＝－1或m ＝－5.3. （2016·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t（t 为参数），椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.4. （2017·扬州期末）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ，y ＝1＋sin 2α（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4，试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.解：将直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程为y ＝x ，将曲线C 的参数方程化成普通方程为y ＝2－x 2（－1≤x≤1）. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x2得x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2. 又－1≤x≤1，所以x ＝1，所以直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为（1，1）.1. 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3（ρ∈R ），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3（ρ∈R ），所以直线l 的普通方程为y ＝3x.①又曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2（x∈[－2，2]）， ②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6（舍去）.故P 点的直角坐标为（0，0）.2. （2017·苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝s 2（s 为参数），直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋110t ，y ＝4＋310t （t 为参数）.设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝s 2消去s 得曲线C 的普通方程为y ＝x 2；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋110t ，y ＝4＋310t消去t 得直线l 的普通方程为y ＝3x －2.联立直线l 的方程与曲线C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x －2，解得交点的坐标分别为（1，1），（2，4）.所以线段AB 的长度为（2－1）2＋（4－1）2＝10.4. （2017·南京、盐城模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t（t 为参数）与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k（k 为参数）交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：（解法1）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1，所以A （4，4），B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，B （4，4）. 所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－142＋（4＋1）2＝254. （解法2）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x.将直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35t ，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254.所以AB ＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋25＝254.1. 在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α（t 为参数）中t 的几何意义是表示在直线上过定点P 0（x 0，y 0）与直线上的任一点P （x ，y ）构成的有向线段P 0P 的长度，且在直线上任意两点P 1，P 2的距离为P 1P 2＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2.2. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧（如整体代换）；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视.[备课札记]。

2019金版新学案-高三一轮北师大版理科数学课件+课时作业：选修42第1课时二阶矩阵与变换

1
0
k
1
.
3．线性变换的基本性质
(1)设向量 α＝xy，则 λα＝
λx λy
.
(2)设向量 α＝xy11，β＝xy22，则 α＋β＝
x1＋x2 y1＋y2
.
(3)A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任
意实数，则A(λα)＝
λAα ，A(α＋β)＝ Aα＋Aβ .
(4)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线 (或一点) ．
圆．
工具
选修4-2 矩阵与变换
练规范、练技能、练速度
工具
选修4-2 矩阵与变换
y′)必在直线 y＝－x 上．由(x，y)的任意性可知，直线 y＝3x 在矩阵 M
所对应的线性变换作用下的像的方程为 y＝－x.
工具
选修4-2 矩阵与变换
【变式训练】 2.求圆 C：x2＋y2＝4 在矩阵 A＝02 10对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型．
解析：设 P(x，y)是圆 C：x2＋y2＝4 上的任一点，P1(x′，y′)是
∵AB≠BA，由此可猜测，矩阵乘法不满足交换律．
工具
选修4-2 矩阵与变换
【变式训练】 1.已知二阶矩阵 M 满足 M01＝10，M11＝22，求 M2－11.
解析：
设 M＝ac
b， d
由 M01＝01得，ca＝01，所以 a＝1，c＝0.
由 M11＝22得，ca＋＋db＝22，
所以 b＝1，d＝2.
方形数表
a
c
b
d
称为二阶矩阵，其中 a，b，c，d 称为矩阵的元素，矩
阵通常用大写字母 A，B，C…表示．

2019年高考数学(理)一轮复习细讲精练选修4-2矩阵与变换教学设计

选修4－2 矩阵与变换 A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系． 2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．解变换的复合与矩阵的乘法；解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知识梳1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则：[a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n 的系矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m n ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bc a ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0－cx ＋ λ－d y ＝0⇔⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系矩阵的行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d 的特征方程．(3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2y 2. 则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊断自测1. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤57＝________. 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋－1 ×7＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－7. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5－7 2．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－12 12，则AB ＝________.解析 AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________．解析 ∵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 0 4．函y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤100 14变换作用下的结果为________．解析⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 14y＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2.答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________．解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实，如果矩阵M＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 a b 1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以(2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解设T ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ac bd ，则T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30→⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤30＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤03，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21→⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 11 －3. 考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解依题意得由M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 3－1 2. 从而由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求．规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用．【训练2】已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，(1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ，则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 01，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，(2)已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)，得A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝5.考点三求矩阵的特征值与特征向量【例3】已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量．解由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a 21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量；②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．规律方法已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －c －b λ－d ＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ；(2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧λ－a x －by ＝0，－cx ＋ λ－d y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－311λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程． [审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系法求解．(2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法．解 (1)设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4. (2)因为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系法的思想方法和坐标转移的思想方法 . (3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误．【自主体验】(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02，N ＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 01.解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1 01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－2 02. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′，于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 45 6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 75 8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1等于________．解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 75 8⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 3．矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 00 1的逆矩阵为________．解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 01. 答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤07＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤7a 91，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6 －36 －3的特征值为________．解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或36．已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤24＋⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 23 4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y .因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X为________．解析由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝.答案⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤acb d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3.由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值．解因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2－3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21. (1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11. 由β＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21＋35⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤435339. 12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0－2 1.。

2019版高考新创新一轮复习理数江苏专版课件：第十二章第一节选修4-2《矩阵与变换》

当 λ＝－1 时，由－4x－2x＋2y＝y＝00，得矩阵 A 的属于特征值－1 的
一个特征向量为12，当 λ＝3 时，由24xx＋＋y2＝y＝0，0 得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特
征向量为－12.
3.[考点二]
(2018·苏北四市期末)已知矩阵 A＝1－12
－82＝－－1246.
2.[考点二]曲线 C1：x2＋2y2＝1 在矩阵 M＝01 12的作用下变换为曲线 C2，求 C2 的方程．解：设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2 ＋2y2＝1上与P对应的点，
则01
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
矩阵的运算
[例 1]
(1)已知 A＝01 00，B＝0－11 0，C＝－ 0 1－01，
计算 AB，AC.
(2)已知 A＝10 00，B＝00 10，计算 AB.
1 (3)已知 A＝12
02 突破点(二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．逆矩阵对于二阶矩阵 A，B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是_可__逆_ 的，B 称为 A 的逆矩阵． 2．二阶行列式我们把ac db称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值 (或多项式)，记为 det(A)＝ ad－bc .
求曲线 C′的方程．解：(1)设 M＝ca db，

b＋d b＝30
22，
a＝0，得ab＋＝c2＝，3，
b＋d＝2，
∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝03 20.
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]已知矩阵 M＝13 24，α＝12，β＝－03，求 M(2α＋4β)．

【最高考系列】(教师用书)高考数学一轮总复习矩阵与变换课堂过关理(选修4-2)

选修4－2 矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)185～187页)1. 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y x ＋3y x －y x ＋y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34ab ，若A ＝B ，求ax ＋by 的值．解：∵ A ＝B ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，x ＋3y ＝4，x －y ＝a ，x ＋y ＝b ，∴ x ＝1，y ＝1，a ＝0，b ＝2，则ax ＋by ＝0＋2＝2.2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m 、k 的值．解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4. 3. 已知变换T 是将平面内图形投影到直线y ＝2x 上的变换，求它所对应的矩阵．解：将平面内图形投影到直线y ＝2x 上，即是将图形上任意一点(x ，y)通过矩阵M 作用变换为(x ，2x)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴ T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1020.4. 求曲线y ＝x 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110作用下变换所得的图形对应的曲线方程．解：设点(x ，y)是曲线y ＝x 上任意一点，在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110的作用下点变换成(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝x. 因为点(x ，y)在曲线y ＝x 上，所以x′＝y′，即x ＝y.5. (2014·无锡期末)求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d .∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2.∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.1. 二阶矩阵与平面向量 (1) 矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 5，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，3， 42，0，－1这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素．(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]；② ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2. 几种常见的平面变换(1) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，则对应的变换是恒等变换．(2) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k (k>0)确定的变换T M 称为(垂直)伸压变换．(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．(4) 当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转θ角度．(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换．(6) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1确定的变换称为切变变换．3. 线性变换的基本性质(1) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy .(2) 设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2.(3) A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A (λα)＝λA α，A (α＋β)＝A α＋A β.(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)． 4. 二阶矩阵的乘法(1) A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2c 2d 2，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2(2) 矩阵乘法满足结合律(AB )C ＝A (BC )． [备课札记]题型1 二阶矩阵的运算, 1) 已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －1，求矩阵B . 解：设B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab a ＋2c b ＋2d ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，a ＋2c ＝4，b ＋2d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，c ＝4，d ＝－2.故B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2.备选变式（教师专享）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2且α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，试判断(AB )α与A (B α)的关系．解：AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －1，∴ (AB )α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，A (B α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 3 4 －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1012⎣⎢⎡⎦⎥⎤04＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08. ∴ (AB )α＝A (B α)．题型2 求变换前后的曲线方程, 2) (2014·南京、盐城期末)已知曲线C ：xy ＝1，若矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22对应的变换将曲线C 变为曲线C′，求曲线C′的方程．解：设曲线C 上一点(x′，y ′)对应于曲线C′上一点(x ，y)，所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 －2222 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以22x ′－22y ′＝x ，22x ′＋22y ′＝y. 所以x′＝x ＋y 2，y ′＝y －x2，所以x′y′＝x ＋y 2·y －x2＝1，所以曲线C′的方程为y 2－x 2＝2. 备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1，矩阵MN 对应的变换把曲线y ＝12sin 12x 变为曲线C ，求曲线C 的方程．解： MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，设P(x ，y)是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sinx 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵MN 变换下的对应点，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝2y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x0＝2x ，y 0＝12y.又点P(x 0，y 0)在曲线y ＝12sin 12x 上，故y 0＝12sin 12x 0，从而12y ＝12sinx.所求曲线C 的方程为y ＝sinx.题型3 根据变换前后的曲线方程求矩阵, 3) 二阶矩阵M 对应变换将(1，－1)与(－2，1)分别变换成(5，7)与(－3，6)．(1) 求矩阵M ；(2) 若直线l 在此变换下所变换成的直线的解析式l′：11x －3y －68＝0，求直线l 的方程．解：(1) 不妨设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤57，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－7，c ＝－13，d ＝－20，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20. (2) 取直线l 上的任一点(x ，y)，其在M 作用下变换成对应点(x′，y ′)，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－7－13－20⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2x －7y －13x －20y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－2x －7y ，y ′＝－13x －20y ，代入11x －3y －68＝0，得x －y －4＝0，即l 的方程为x －y －4＝0.变式训练(2014·苏州期末)已知a 、b∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3所对应的变换T M 把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a 、b.解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，则⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y.∵ 2x ′－y′＝3，∴ 2(－x ＋ay)－(bx ＋3y)＝3. 即(－2－b)x ＋(2a －3)y ＝3.此直线即为2x －y ＝3， ∴ －2－b ＝2，2a －3＝－1，解得a ＝1，b ＝－4.题型4 平面变换的综合应用, 4) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34.(1) 验证：(MN )α＝M (N α)；(2) 验证这两个矩阵不满足MN ＝NM .解：(1) 因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012，所以(MN )α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52. 因为N α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M (N α)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以(MN )α＝M (N α)．(2) 因为MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012，NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11012，所以这两个矩阵不满足MN ＝NM . 备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A ()0，0，B ()－1，2，C ()0，3.求△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110作用下变换所得到的图形的面积．解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A ()0，0，B ()－1，2，C ()0，3在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为A′()0，0，B ′()－2，－1，C ′()－3，0.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′|y B ′|＝32.1. 在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O(0，0)、A(2，0)、B(1，2)，求△OAB 在矩阵MN 的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122022. 解：由题设得MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22，∴ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220－22·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O 、A 、B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O′(0，0)、A′(2，0)、B′(2，－1)．可得△O′A′B′的面积为1.2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0，在平面直角坐标系中，设直线2x －y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解：由题设得MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1.设(x ，y)是直线2x －y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝－y′.因为点(x ，y)在直线2x －y ＋1＝0上，从而2x′－(－y′)＋1＝0，即2x′＋y′＋1＝0.所以曲线F 的方程为2x ＋y ＋1＝0.3. (2014·常州期末)已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 2对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点(1，1)，求实数a 的值．解：设P(x ，y)为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l′上的点P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′ 代入ax －y ＝0，整理，得－(2a ＋1)x′＋ay′＝0.将点(1，1)代入上述方程，解得a ＝－1.4. 变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.(1) 求点P(2，1)在变换T 1作用下的点P′的坐标；(2) 求函数y ＝x 2的图象依次在T 1、T 2变换的作用下所得曲线的方程．解：(1) M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2，所以点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标是(－1，2)．(2) M ＝M 2M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －11 0，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝y －x.所以，所求曲线的方程是y －x ＝y 2.1. 如图所示，四边形ABCD 和四边形AB′C′D 分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为A(－1，2)、B(3，2)、C(3，－2)、D(－1，－2)、B′(3，7)、C′(3，3)．求将四边形ABCD 变成四边形AB′C′D 的变换矩阵M .解：该变换为切变变换．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1，由图知，C ――→MC ′，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33.所以3k －2＝3，解得k ＝53.所以，M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10531. 2. 已知在一个二阶矩阵M 的变换作用下，点A(1，2)变成了点A′(4，5)，点B(3，－1)变成了点B′(5，1)．(1) 求矩阵M ；(2) 若在矩阵M 的变换作用下，点C(x ，0)变成了点C ′(4，y)，求x ，y.解：(1) 设该二阶矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤51，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，c ＋2d ＝5，3a －b ＝5，3c －d ＝1，解得a ＝2，b ＝1，c ＝1，d ＝2，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2.(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y ，解得x ＝2，y ＝2.3. (2014·苏北三市期末)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a ＞0，b ＞0)，若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a ＋b 的值．解：设曲线C ：x 2＋y 2＝1上任意一点P(x ，y)在矩阵M 所对应的变换作用下得到点P 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x 1，by ＝y 1. 又点P 1(x 1，y 1)在曲线C′：x 24＋y 2＝1上，所以x 214＋y 21＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故a 2＝4，b 2＝1. 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＝3.4. 二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1) 求矩阵M ；(2) 设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．解：(1) 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. (2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x′－y′＝4，所以(x ＋2y)－(3x ＋4y)＝4，即x ＋y ＋2＝0，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.几种特殊的变换反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为(x ，y )→(x，－y)，变换前后关于x 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为(x ，y )→(－x ，y)，变换前后关于y 轴对称；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0－1：点的变换为(x ，y )→(－x ，－y)，变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为(x ，y )→(y，x)，变换前后关于直线y ＝x 对称．投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为(x ，y )→(x，0)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为(x ，y )→(0，y)； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→(x，x)；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→(y，y)；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为(x ，y )→⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2. 请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(对应学生用书(理)188～190页)1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，求(AB )－1.解：∵ AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0，设(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，∴ (AB )(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －12 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即[]－c －d 2a 2b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－c ＝1，－d ＝0，2a ＝0，2b ＝1，故a ＝0，b ＝12，c ＝－1，d ＝0.即(AB )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 012－10. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b－2－7a ，求a 、b 的值．解：由题意，知MM －1＝E ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[16－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)(λ＋3)，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. 已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.求矩阵A .解：由特征值、特征向量定义可知，A α1＝λ1α1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1. 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8，解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1.因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量.题型1 求逆矩阵与逆变换, 1) 若点A(2，2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B(－2，2)，求矩阵M 的逆矩阵．解：由题意知，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.(解法1)由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，解得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0.(解法2)矩阵M 的行列式det(M )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0 －11 0＝1≠0，所以M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 01－10.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)．题型2 求特征值与特征向量, 2) 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4a ＝3.(2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. 变式训练(2014·镇江期末)已知矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 32 1的一个特征值为4，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．解：矩阵的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－x －3－2λ－1＝(λ－1)(λ－x)－6.因为λ1＝4是方程f(λ)＝0的一个根，所以x ＝2. 由(λ－1)(λ－2)－6＝0，得λ2＝－1.设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝0，2x ＋2y ＝0，得x ＝－y ，令x ＝1，则y ＝－1，则矩阵的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.题型3 根据特征值或特征向量求矩阵, 3) 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10. (1) 求e 1和e 2对应的特征值；(2) 对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1916，M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20 0－1有特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1，又Me 1＝λ1e 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2＝λ2e 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1. (2) 因为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝x e 1＋y e 2，所以M 100α＝M 100(x e 1＋y·e 2)＝x M 100e 1＋y M 100e 2＝x λ1001e1＋y λ2100e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100x y .1. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112的特征值及对应的特征向量．解：特征多项式f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1－1λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3，由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，将λ1＝1代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0，x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量．同理，当λ2＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0，x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；属于特征值λ1＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于特征值λ2＝3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，求矩阵A 的特征值．解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321.∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.3. (2014·南通期末)设二阶矩阵A 、B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，求B －1. 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 132－12. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝[]ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y. 因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1，而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 10－21.1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－8，得a ＋1＝－8，所以a ＝－9.(2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－9 1，则矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21 b 有一个属于特征值1的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1.(1) 求矩阵A ；(2) 矩阵B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，点O(0，0)，M(2，－1)，N(0，2)，求△OMN 在矩阵AB 的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．解：(1) 由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝22－b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，故A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3. (2) AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2.∴ (AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，(AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤40，(AB )⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 01 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤02＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤04，即点O 、M 、N 变成点O′(0，0)，M ′(4，0)，N ′(0，4)，△O ′M ′N ′的面积为12×4×4＝8.3. (2014·南京、盐城一模)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －1b 的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1) 求矩阵A ；(2) 若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，求x 、y 的值．解：(1) 由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得a ＝2，b ＝4.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4. (2) (解法1)A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，－x ＋4y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. (解法2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －1316 16. 因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－1316 16⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120013. (2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .(2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bc a ad －bc.2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y ，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D x D，y ＝D y D.请使用课时训练(B )第2课时(见活页)．。

2019届高考数学一轮复习选考部分专题几种常见的变换学案(无答案)苏教版选修4-2

投影变换、切变变换【考纲下载】1．理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换——投影变换与切变变换；2．掌握投影变换与切变变换的几何意义及其矩阵表示.一、【知识回顾】请阅读教材P26--31页内容，并回答以下问题：问题1投影变换的概念：像1010,0010⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这样将平面内图形投影到某条直线（或某个点）上的矩阵，我们称之为，相应的变换称做。

问题2：切变变换的概念：像101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，101k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦这样将平面上的点沿x 轴（或y 轴）方向平移的矩阵，称为，相应地变换称为 .问题3：投影变换是映射，但不是 .（1）投影变换主要研究：11000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，20001M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，31010M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦与矩阵11000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点垂直投影到轴上，即(,)(,0)x y x →.与矩阵20001M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点垂直投影到轴上，即(,)(0,)x y y →.与矩阵31010M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换是将平面上的所有点沿垂直于x 轴方向投影到上，即(,)(,)x y x x →.（3）切变变换保持图形的大小不变二、【预习检测】1、直线x+y=5在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1100 对应的变换作用下得到的图形是。

2、向量a →在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变为与向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝3、A（0，0），B（1，2）在矩阵M作用下分别变换为点A‘（0，0），B’（1.5，2.5），求变换对应的矩阵M。

4、已知1012A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，a→＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b→＝1x⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若A a→与A b→的夹角为135o，求x.三、【应用举例】探究1直线y x=-在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形.探究2曲线221x y+=在矩阵0001⎡⎤⎢⎥⎣⎦作用下变换得到什么图形？设一个投影变换把直角坐标系xOy内的任意一点没平行于直线y x=的方向投影到x轴上，试求：（1）点(3,2)A在这个投影变换作用下得到的点A'的坐标；（2）这个投影变换对应的变换矩阵.探究4求直线1x=在矩阵1201⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换作用下得到的图形的表达式.探究5直线:230l x y++=在矩阵1201M⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l'，求l'的方程.1. 已知投影变换T 对应的矩阵为1000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则平面上点(3,1)P 在投影变换T 作用下得到的点的坐标是 .2. 已知变换T 是将平面内图形沿垂直于x 轴方向投影到直线2y x =上的变换则变换矩阵M = .3. 已知变换T 是将平面内的点没垂直于直线y x =的方向投影到直线y x =上的变换，则变换矩阵M = .4. 已知直线5x y +=在矩阵M 对应的变换作用下得到点(5,5)，则变换矩阵M = .5. 椭圆2219x y +=在矩阵1000⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到什么图形？6. 写出将点(,)x y 变换成点(3,)x y y -的变换对应的矩阵M .7. 已知直线F 在矩阵1011M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦确定的变换作用下得到直线10x y +-=，求直线F 的方程. 8.。

2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关矩阵与变换学案选修4-2

选修42 矩阵与变换1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2，MX ＝Y 且Y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ＋y －x ＋2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，－x ＋2y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，故X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01. 2. 点（－1，k ）在伸压变换矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001之下的对应点的坐标为（－2，－4），求m ，k 的值.解：⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4，⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝－2，k ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，k ＝－4. 3. 已知在一个二阶矩阵M 对应的变换作用下，将点（1，1），（－1，2）分别变换成（1，1），（－2，4），求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，c ＋d ＝1. 由题意可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，联立两个方程组，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝43，b ＝－13，c ＝－23，d ＝53.即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 43－13－23 53. 4. 已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 0所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程.解：设曲线C 上的任意一点P （x ，y ）在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1210对应的变换作用下得到点Q（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 210⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即x ＋2y ＝x′，x ＝y′，所以x ＝y′，y ＝x′－y′2.代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y′2＋2y′·x′－y′2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x′－y′22＝1，即x′2＋y′2＝2，所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2.5. 求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d . ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －b 2c －2d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，2＝－b ，3＝2c ，4＝－2d ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝32，d ＝－2，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－232－2.1. 二阶矩阵与平面向量（1）矩阵的概念在数学中，把形如⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 5，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3 42 0 －1这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素.（2）行矩阵与列矩阵的乘法规则[a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21].（3）二阶矩阵与列向量的乘法规则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 2. 几种常见的平面变换（1）当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001时，对应的变换是恒等变换.（2）由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 001或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤100k （k>0，且k≠1）确定的变换T M 称为（垂直）伸压变换.（3）反射变换是轴反射变换、中心反射变换的总称.（4）当M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ－sin θsin θ cos θ时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）绕某个定点逆时针旋转角度θ.（5）将一个平面图形投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换.（6）由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10k 1（k∈R ，k ≠0）确定的变换称为切变变换.3. 线性变换的基本性质（1）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则λα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy .（2）设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，则α＋β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2.（3） A 是一个二阶矩阵，α，β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A （λα）＝λA α，A （α＋β）＝A α＋A β.（4）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）. 4. 二阶矩阵的乘法（1） A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1c 1 d 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2b 2c 2d 2，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1a 2＋b 1c 2 a 1b 2＋b 1d 2c 1a 2＋d 1c 2 c 1b 2＋d 1d 2.（2）矩阵乘法满足结合律：（AB ）C ＝A （BC ）. [备课札记]1 二阶矩阵的运算1 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1 x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y .若A α＝B α，求实数x ，y 的值.解：A α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y －22＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y ，由A α＝B α，得⎩⎪⎨⎪⎧2y －2＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.变式训练已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，满足AX ＝B ，求矩阵X .解：设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －2－2 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－15，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝5，－2a －b ＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝1，此时X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤71. , 2 求变换前后的点的坐标与曲线方程), 2) （1）（2017·苏北四市期中）求椭圆C ：x 29＋y24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130012对应的变换作用下所得的曲线的方程. （2）设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001，试求曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程.解：（1）设椭圆C 上的点（x 1，y 1）在矩阵A 对应的变换作用下得到点（x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤13012⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13x 112y 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x ，y 1＝2y ，代入椭圆方程x 29＋y 24＝1，得x 2＋y 2＝1，所以所求曲线的方程为x 2＋y 2＝1. （2） MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12001＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002，设（x ，y ）是曲线y ＝sin x 上的任意一点，在矩阵MN 对应的变换作用下对应的点为（x′，y ′）.则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12002⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝12x ，y ′＝2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′，y ＝12y′，代入y ＝sin x ，得12y ′＝sin 2x ′，即y′＝2sin 2x ′.即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 对应的变换作用下的曲线方程为y ＝2sin 2x. 变式训练在平面直角坐标系xOy 中，设点A （－1，2）在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标.解：设B′（x ，y ），依题意，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，得A′（1，2）.则A′B →＝（2，2），A′B′→＝（x －1，y －2）.记旋转矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1y －2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，所以点B′的坐标为（－1，4）., 3 根据变换前后的曲线方程求矩阵), 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a11a ，直线l ：x －y ＋4＝0在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＋2a ＝0.（1）求实数a 的值；（2）求A 2. 解：（1）设直线l 上任一点M 0（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下变为l′上的点M （x ，y ），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax 0＋y 0x 0＋ay 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ax 0＋y 0，y ＝x 0＋ay 0.代入l′方程得（ax 0＋y 0）－（x 0＋ay 0）＋2a ＝0，即（a －1）x 0－（a －1）y 0＋2a ＝0. 因为（x 0，y 0）满足x 0－y 0＋4＝0，所以2a a －1＝4，解得a ＝2.（2）由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 44 5.变式训练（2017·镇江期末）已知实数a ，b ，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3对应的变换将直线x －y －1＝0变换为自身，求a ，b 的值.解：设直线x －y －1＝0上任意一点P （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′（x′，y ′），由⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y′，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y. 因为P′（x′，y ′）在直线x －y －1＝0上，所以x′－y′－1＝0，即（－1－b ）x ＋（a －3）y －1＝0. 因为P （x ，y ）在直线x －y －1＝0上，所以x －y －1＝0.因此⎩⎪⎨⎪⎧－1－b ＝1，a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.备选变式（教师专享）已知直线l ：x ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1对应的变换作用下变为直线l′：x －y ＝1，求矩阵A .解：设直线l ：x ＋y ＝1上任意一点M （x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下，变换为点M′（x′，y ′）.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mx ＋ny y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝mx ＋ny ，y ′＝y. 又点M′（x′，y ′）在l′上，所以x′－y′＝1，即（mx ＋ny ）－y ＝1.依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n －1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1., 4 平面变换的综合应用), 4) 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34.求证：（1）（MN ）α＝M （N α）；（2）这两个矩阵不满足MN ＝NM .证明：（1）因为MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012，所以（MN ）α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52. 因为N α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，所以M （N α）＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，所以（MN ）α＝M （N α）.（2）由（1）知MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112012， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11012，所以这两个矩阵不满足MN ＝NM .备选变式（教师专享）在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A （0，0），B （－1，2），C （0，3）.求△ABC 在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0对应的变换作用下所得到的图形的面积.解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤03＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0，所以A （0，0），B （－1，2），C （0，3）在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0对应的变换作用下所得到的三个顶点坐标分别为A ′（0，0），B ′（－2，－1），C ′（－3，0）.故S △A ′B ′C ′＝12A ′C ′·|y B ′|＝32.1. （2017·南京、盐城模拟）设a ，b ∈R ，若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤30－1b 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x ＋y －91＝0.求实数a ，b 的值.解：（解法1）取直线l ：ax ＋y －7＝0上点A （0，7），B （1，7－a ）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤07b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3b （7－a ）－1，所以A （0，7），B （1，7－a ）在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A′（0，7b ），B ′（3，b （7－a ）－1）.由题意，知A′，B ′在直线l′：9x ＋y －91＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧7b －91＝0，27＋b （7－a ）－1－91＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝13.（解法2）设直线l 上任意一点P （x ，y ），点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q （x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 30－1b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝3x ，y ′＝－x ＋by. 因为点Q （x′，y ′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0. 即27x ＋（－x ＋by ）－91＝0，也即26x ＋by －91＝0. 又点P （x ，y ）在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0.所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13.2. 已知在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.（1）求a ，b 的值，（2）求曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵A 的变换作用下对应的曲线方程.解：（1）由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，b ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.（2）设曲线C 上任一点M′（x 0，y 0）在矩阵A 对应的变换作用下得到点M （x ，y ），∵ A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102，∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋y 0，y ＝2y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －12y ，y 0＝12y.∵ 点M′在曲线C 上，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 2＝1. 故所求曲线方程为x 2－xy ＋12y 2＝1.3. 已知a ，b ∈R ，若在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3所对应的变换作用下把直线2x －y ＝3变换成自身，试求实数a ，b.解：设直线2x －y ＝3上任意一点A （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点A 0（x 0，y 0），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ＋ay ，y 0＝bx ＋3y. ∵ 2x 0－y 0＝3，∴ 2（－x ＋ay ）－（bx ＋3y ）＝3. 即（－2－b ）x ＋（2a －3）y ＝3. 此直线即为2x －y ＝3， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. 4. 二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）.设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程.解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234. 设直线l 上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′（x′，y ′）.因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y.又m ：x′－y′＝4，所以直线l 的方程为（x ＋2y ）－（3x ＋4y ）＝4，即x ＋y ＋2＝0.1. 求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.解：设点（x 0，y 0）为曲线|x|＋|y|＝1上的任意一点，在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的点为（x′，y ′），则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x′，y 0＝3y′. 所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10013对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，所围成的图形为菱形，其面积为12×2×23＝23.2. 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by＝1.（1）求实数a ，b 的值；（2）若点P （x 0，y 0）在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标.解：（1）设直线l 上一点（x ，y ）在矩阵A 对应的变换作用下得点（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ＋3y ，y ′＝y.代入直线l′，得2x ＋（b ＋3）y ＝1，∴ a ＝2，b ＝－2.（2） ∵ 点P （x 0，y 0）在直线l 上，∴ 2x 0＋y 0＝1.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2301⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 0＋3y 0，y 0＝y 0，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝－15，∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.3. 设数列{a n }，{b n }满足a n ＋1＝2a n ＋3b n ，b n ＋1＝2b n ，且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋4b n ＋4＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，求二阶矩阵M .解：依题设有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ，令A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2302，则M ＝A 4，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4.M ＝A 4＝（A 2）2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 120 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤16 96 0 16.4. 已知直线l ：ax －y ＝0在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a 的值.解：设P （x ，y ）为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换作用下变为直线l′上的点P′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝y ，y ′＝x ＋2y ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x′＋y′，y ＝x′. 代入ax －y ＝0，整理，得－（2a ＋1）x′＋ay′＝0. 将点（1，1）代入上述方程，解得a ＝－1.几种特殊的变换反射变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1：点的变换为（x ，y ）→（x ，－y ），变换前后关于x 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01：点的变换为（x ，y ）→（－x ，y ），变换前后关于y 轴对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0－1：点的变换为（x ，y ）→（－x ，－y ），变换前后关于原点对称； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110：点的变换为（x ，y ）→（y ，x ），变换前后关于直线y ＝x 对称. 投影变换：M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上，点的变换为（x ，y ）→（x ，0）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上，点的变换为（x ，y ）→（0，y ）； M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（x ，x ）；M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0101：将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→（y ，y ）；M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12121212：将坐标平面上的点垂直于y ＝x 方向投影到y ＝x 上，点的变换为（x ，y ）→⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2，x ＋y 2.第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量（对应学生用书（理）194～197页）1. 设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.解：∵ B ＝BAA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c b ＋2d 3a ＋4c 3b ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12.∴ B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12. 2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B .解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以a ＝－1，b ＝c ＝0，d ＝12，从而矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－20 3.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 52x 的一个特征值为－2，求M 2. 解：将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－（x －1）λ－（x ＋5）＝0，得x ＝3. ∴ 矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－12 523，∴ M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64514.4. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232的一个特征向量，求实数a 的值.解：设⎣⎢⎡⎦⎥⎤23是矩阵M 属于特征值λ的一个特征向量，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 232⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋6＝2λ，12＝3λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4，a ＝1. 5. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P （－1，2）在M 对应的变换作用下得到点Q ，求点Q 的坐标.解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝8，4＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4. ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4， ∴ 点Q 的坐标为（－2，4）.1. 逆变换与逆矩阵（1）对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵.（2）若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且（AB ）－1＝B －1A －1. （3）利用行列式解二元一次方程组. 2. 特征值与特征向量（1）设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.（2）从几何上看，特征向量经过矩阵A 对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量., 1 求逆矩阵与逆变换), 1) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2113，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1.求矩阵C ，使得AC ＝B .解：因为det （A ）＝2×3－1×1＝5，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35－15－1525＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－1525.由AC ＝B ，得（A －1A ）C ＝A －1B ，所以C ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35－15－15 25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 35 45－15－35. 变式训练（2017·常州期末）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，列向量X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤47.若AX ＝B ，直接写出A －1，并求出X.解：由A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132，得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2.由AX ＝B ，得X ＝A －1B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1－3 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤47＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12., 2 求特征值与特征向量), 2) 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113的特征值及对应的特征向量.解：特征多项式f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－1－1λ－3＝（λ－3）2－1＝λ2－6λ＋8.由f （λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.将λ1＝2代入特征方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0，－x －y ＝0⇒x ＋y ＝0，可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.同理，当λ2＝4时，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，－x ＋y ＝0⇒x －y ＝0，所以可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.综上所述，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤3113有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于λ2＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.变式训练（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ，若A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，求矩阵A 的特征值.解：因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 32d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋62＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤84，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝8，2＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝1. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321. 所以矩阵A 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝（λ－2）（λ－1）－6＝λ2－3λ－4.令f （λ）＝0，解得矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. , 3 根据特征值或特征向量求矩阵), 3) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d .若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵. 解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c＋d ＝6 ①.由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤33c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2 ②.联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4，所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23－12－13 12.备选变式（教师专享）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且在矩阵M 对应的变换作用下将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝3. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤915，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝9，－c ＋2d ＝15. 联立以上两个方程组解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝－3，d ＝6，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－36., 4 特征值与特征向量的综合应用), 4) 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，计算A 5α.解：因为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－4＝λ2－5λ＋6.由f （λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 设⎣⎢⎡⎦⎥⎤53＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.所以A 5α＝2×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋1×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307. 变式训练已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m n1的两个特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.若β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，求M 2β. 解：设矩阵M 的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，则由⎩⎪⎨⎪⎧M α1＝λ1α1，M α2＝λ2α2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝0，λ1＝2，λ2＝1.又β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝α1＋2α2，所以M 2β＝M 2（α1＋2α2）＝λ21α1＋2λ22α2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42.1. （2017·苏州期初）已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a －14属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及A 2.解：由条件可知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，λ＝2. 因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－110－514.2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 将点（－1，3）变换为（0，8）.（1）求矩阵M ；（2）求曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下的新曲线方程.解：（1）设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤08，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，－a ＋3b ＝0，－c ＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244. （2）设原曲线上任一点P （x ，y ）在矩阵M 对应的变换作用下的对应点为P ′（x′，y ′），则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝6x ＋2y ，y ′＝4x ＋4y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x′－y′8，y ＝－2x′＋3y′8，代入x ＋3y －2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，即曲线x ＋3y －2＝0在矩阵M 对应的变换作用下得到的新曲线方程为x －2y ＋4＝0.3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3的一个特征值λ对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，求实数m 与λ的值.解：由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤m 22－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，则⎩⎪⎨⎪⎧m －4＝λ，2＋6＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，λ＝－4. 4. （2017·无锡期末）已知变换T 将平面内的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，（0，1）分别变换成点⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，4.设变换T 对应的矩阵为M. （1）求矩阵M ；（2）求矩阵M 的特征值.解：（1）设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤112＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 94－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－32 4，得a ＝3，b ＝－32，c ＝－4，d ＝4，∴ M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－32－4 4. （2）设矩阵M 的特征多项式为f （λ），∴ f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3324λ－4＝（λ－3）（λ－4）－6＝λ2－7λ＋6.令f （λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.1. 已知a ，b 是实数，如果矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2所对应的变换T 把点（2，3）变成点（3，4）.（1）求a ，b 的值；（2）若矩阵A 的逆矩阵为B ，求B 2.解：（1）由题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，故⎩⎪⎨⎪⎧6＋3a ＝3，2b －6＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5. （2）由（1），得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －15 －2.由矩阵的逆矩阵公式得B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －15 －3.所以B 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1－5 4.2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A 满足：A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解：（解法1）设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以a ＝－1，2a ＋6b ＝－2，c ＝0，2c ＋6d ＝3.解得b ＝0，d ＝12，所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012.根据逆矩阵公式得A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02.（解法2）在A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3两边同时左乘逆矩阵A －1，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝A－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3. 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3，所以－a ＝1，－2a ＋3b ＝2，－c ＝0，－2c ＋3d ＝6.解得a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝2，从而A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2，求逆矩阵M －1的特征值.解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2a ＋2c 2b ＋2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，2a ＋2c ＝0，2b ＋2d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－1，d ＝12.所以M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 10－112. M －1的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－101λ－12＝（λ－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12，令f （λ）＝0，解得λ＝1或λ＝12.所以矩阵M 的逆矩阵M －1的特征值为1和12.4. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β.解：矩阵M 的特征多项式为f （λ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f （λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6（4α1－3α2）＝4（M 6α1）－3（M 6α2）＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×（－1）6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. 错误![备课札记]。

(江苏专版)2019版高考数学一轮复习讲义：第二十二章选修4系列 22.1 矩阵与变换讲义

10 分 10 分
21D, 21D, 21D, 21D, 21D,
B
解答题 ★★★
10 分 10 分 10 分 10 分 10 分
分析解读江苏高考对选修 4 的考查方式是从“矩阵与变换,坐标系与参数方程,不等式选讲”三个题目中任意选做两题,试题为容易题,基本是课本改编题,只要掌握基本概念和基本公式、定理就能解决.复习时要严格控制难度,注意解题的准确性和规范性.
2 所以
B=
1 1
4 1 0 2
.
1
[ ] [ ] [ ] 1 2 0 -2
1 4 1
0
5 1
4
因此,AB=
2 = 0 - 1 .
[ ] [ ] 1
�� 1
3.(2015 江苏,21B,10 分)已知 x,y∈R,向量 α= - 1 是矩阵 A= �� 0 的属于特征值-2 的一个特征向量,求矩阵 A
2
5.(2017 江苏徐州期末调研)已知矩阵 A= - 1 �� 的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量 α= 1 .求 a,b 的值.
[ ][ ] [ ] [ ] [ ] 1 �� 2 2
2 + �� 4
解析由条件知,Aα=2α,即 - 1 �� 1 =2 1 ,即 - 2 + �� = 2 ,
[ ] [ ] 0 1 1 0
(1)因为 A= 1 0 ,B= 0 2 ,
[ ][ ] [ ] 0 1 1 0 0 2
所以 AB= 1 0 0 2 = 1 0 .
(2)设 Q(x0,y0)为曲线 C1 上的任意一点,它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P(x,y),

2019届高考数学(文科)一轮复习课件(人教A版)选修4—4

, (θ 为参数).
�� = 2 ④抛物线方程 y =2px(p>0)的参数方程为 �� = 参数).
2pt2 2pt
, (t 为
-10知识梳理双基自测自测点评
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( ) (2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标方程. ( ) (3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为 2, 4 . (4)参数方程
(2)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点:θ=θ0和 θ=π+θ0 ; ②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ρcos θ=a
π ③直线过 M ��, 2 ,且平行于极轴: ρsin θ=b
;
.
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5.圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为 . (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①圆心位于极点,半径为r:ρ= r ; ②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ= 2acos θ
-4知识梳理双基自测自测点评
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2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点 O,叫做极点,自极点O引一条射线 Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度 )及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM| 叫做点M的极径,记为 ρ ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角 xOM (ρ,θ) 叫做点M的极坐叫做点M的极角,记为 θ .有序数对标,记为 M(ρ,θ) .

2019版高考数学一轮复习第一部分基础与考点过关不等式选讲学案选修4

选修45 不等式选讲第1课时绝对值不等式1. （选修45P 5例2改编）解不等式|2x －1|>3.解：不等式|2x －1|＞3可化为2x －1<－3或2x －1>3，解得x<－1或x>2.故不等式的解集为{x| x<－1或x>2}.2. 已知|x －a|<b （a ，b ∈R ）的解集为{x|2<x<4}，求a －b 的值.解：由|x －a|<b ，得a －b<x<a ＋b.又|x －a|<b （a ，b ∈R ）的解集为{x|2<x<4}，所以a －b ＝2.3. 求不等式|2x ＋1|－|5－x|＞0的解集. 解：原不等式化为|2x ＋1|>|5－x|，两边同时平方得 4x 2＋4x ＋1>25－10x ＋x 2，即3x 2＋14x －24>0，解得原不等式的解集为（－∞，－6）∪（43，＋∞）.4. （选修45P 6例4改编）若存在实数x 满足不等式|x －4|＋|x －3|<a ，求实数a 的取值范围.解：由绝对值不等式的几何性质知，|x －4|＋|x －3|≥|（x －4）－（x －3）|＝1，所以函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a 的取值范围是（1，＋∞）.5. 不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，求实数k 的取值范围. 解：（解法1）根据绝对值的几何意义，设数x ，－1，2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于PA －PB>k 恒成立.∵ AB＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3，∴ 故当k<－3时，原不等式恒成立.即实数k 的取值范围为（－∞，－3）.（解法2）令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x<2，3，x ≥2，作出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x<2，3，x ≥2的图象（如图），要使|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可.即实数k 的取值范围为（－∞，－3）.1. 不等式的基本性质 ① a>b ⇔b<a ；② a>b ，b>c ⇒a>c ； ③ a>b ⇒a ＋c>b ＋c ；④ a>b ，c>d ⇒a ＋c>b ＋d ；⑤ a>b ，c>0⇒ac>bc ；a>b ，c<0⇒ac<bc ； ⑥ a>b>0，c>d>0⇒ac>bd ；⑦ a>b>0⇒a n >b n（n∈N ，且n>1）；⑧ a>b>0⇒n a>nb （n∈N ，且n>1）. 2. 含有绝对值的不等式的解法① |f （x ）|>a （a>0）⇔f （x ）>a 或f （x ）<－a ； ② |f （x ）|<a （a>0）⇔－a<f （x ）<a. 3. 含有绝对值的不等式的性质 ① |a|＋|b|≥|a＋b|； ② |a|－|b|≤|a＋b|；③ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.[备课札记]1 含绝对值不等式的解法1 解不等式：|x －2|＋x|x ＋2|＞2.解：当x≤－2时，不等式化为（2－x ）＋x （－x －2）＞2，解得－3＜x≤－2；当－2＜x ＜2时，不等式化为（2－x ）＋x （x ＋2）＞2，解得－2＜x ＜－1或0＜x ＜2；当x≥2时，不等式化为（x －2）＋x （x ＋2）＞2，解得x≥2. 所以原不等式的解集为{x|－3＜x ＜－1或x ＞0}. 备选变式（教师专享）已知函数f （x ）＝|x ＋a|＋|x －2|.（1）当a ＝－3时，求不等式f （x ）≥3的解集；（2）若f （x ）≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围.解：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1；当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4. 所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.（2） f （x ）≤|x－4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x＋a|. 当x∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔ 4－x －（2－x ）≥|x＋a|⇔ －2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3，0]., 2 含绝对值不等式的运用), 2) 已知x ，y ∈R ，且|x ＋y|≤16，|x －y|≤14，求证：|x ＋5y|≤1.证明：因为|x ＋5y|＝|3（x ＋y ）－2（x －y ）|. 由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y|＝|3（x ＋y ）－2（x －y ）|≤|3（x ＋y ）|＋|2（x －y ）|＝3|x ＋y|＋2|x －y|≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y|≤1. 变式训练设函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|（a ＞0）.（1）求证：f （x ）≥2；（2）若f （3）＜5，求实数a 的取值范围.（1）证明：由a ＞0，有f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a≥2，所以f （x ）≥2.（2）解：f （3）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a|. 当a ＞3时，f （3）＝a ＋1a，由f （3）＜5，得3＜a ＜5＋212；当0＜a≤3时，f （3）＝6－a ＋1a ，由f （3）＜5，得1＋52＜a≤3.综上，a 的取值范围是（1＋52，5＋212）., 3 含绝对值不等式的综合运用) , 3) 已知函数f （x ）＝|2x ＋1|＋|2x －3|. （1）求不等式f （x ）≤6的解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）＜|a －1|的解集非空，求实数a 的取值范围.解：（1）原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≥32，（2x ＋1）＋（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜32，（2x ＋1）－（2x －3）≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x≤－12，－（2x ＋1）－（2x －3）≤6，解得32≤x ≤2或－12＜x ＜32或－1≤x≤－12，即不等式的解集为{x|－1≤x≤2}.（2） ∵ f（x ）＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|（2x ＋1）－（2x －3）|＝4，∴ |a －1|＞4，解此不等式得a ＜－3或a ＞5.故实数a 的取值范围是（－∞，－3）∪（5，＋∞）. 变式训练已知a>0，b>0，且a 2＋b 2＝92，若a ＋b≤m 恒成立.（1）求m 的最小值；（2）若2|x －1|＋|x|≥a＋b 对任意的a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围.解：（1） ∵ （a 2＋b 2）（12＋12）≥（a ＋b ）2，∴ a ＋b≤3，当且仅当a 1＝b1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝32时取等号.∵ a ＋b≤m 恒成立，∴ m ≥3. 故m 的最小值为3.（2）要使2|x －1|＋|x|≥a＋b 恒成立，则2|x －1|＋|x|≥3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－2x ＋2－x≥3或⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤1，－2x ＋2＋x≥3或⎩⎪⎨⎪⎧x>1，2x －2＋x≥3.∴ x ≤－13或x≥53.∴ x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞.1. （2017·苏北四市期末）已知a ，b ，c 为正实数，1a 3＋1b 3＋1c3＋27abc 的最小值为m ，解关于x 的不等式|x ＋1|－2x ＜m.解：因为a ，b ，c>0，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc≥331a 3·1b 3·1c 3＋27abc ＝3abc ＋27abc≥23abc ·27abc＝18，当且仅当a ＝b ＝c ＝313时，取等号，所以m ＝18.所以不等式|x ＋1|－2x<m ，即|x ＋1|<2x ＋18，所以－2x －18<x ＋1<2x ＋18，解得x>－193，所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－193，＋∞. 2. （2016·江苏卷）设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，求证：|2x ＋y －4|＜a.证明：∵ |x－1|<a 3，|y －2|<a3，∴ |2x ＋y －4|＝|2（x －1）＋（y －2）|≤2|x－1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a.3. （2017·苏北四市期中）设c ＞0，|x －1|＜c 3，|y －1|＜c3，求证：|2x ＋y －3|＜c.证明：因为|x －1|＜c 3，所以|2x －2|＜2c3，故|2x ＋y －3|＝|2x －2＋y －1|≤|2x－2|＋|y －1|＜2c 3＋c3＝c ，故|2x ＋y －3|＜c.4. 已知一次函数f （x ）＝ax －2.（1）当a ＝3时，解不等式|f （x ）|<4；（2）解关于x 的不等式|f （x ）|<4；（3）若不等式|f （x ）|≤3对任意x∈[0，1]恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）当a ＝3时，则f （x ）＝3x －2，∴ |f （x ）|<4⇔|3x －2|<4⇔－4<3x －2<4⇔－2<3x<6⇔－23<x<2，∴ 不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－23＜x ＜2.（2） |f （x ）|<4⇔|ax －2|<4⇔－4<ax －2<4⇔－2<ax<6，当a>0时，不等式的解集为{x|－2a ＜x ＜6a }；当a<0时，不等式的解集为{x|6a ＜x ＜－2a}.（3） |f （x ）|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax－2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax≤5，ax ≥－1.∵ x ∈[0，1]，∴ 当x ＝0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为⎩⎪⎨⎪⎧a≤5x，a ≥－1x .∵ 5x ≥5，－1x≤－1，∴ －1≤a≤5. ∴ a 的取值范围为[－1，5].1. （ 2017·苏州期初）已知a≥2，x ∈R .求证：|x －1＋a|＋|x －a|≥3. 证明：因为|m|＋|n|≥|m－n|，所以|x －1＋a|＋|x －a|≥|x－1＋a －（x －a ）|＝|2a －1|. 又a≥2，故|2a －1|≥3. 所以|x －1＋a|＋|x －a|≥3.2. 设不等式|x －2|＋|3－x|<a （a∈N *）的解集为A ，且2∈A ，32∉A.（1）求a 的值；（2）求函数f （x ）＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值.解：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ≤2，所以1<a≤2.因为a∈N *，所以a ＝2.（2）因为|x ＋2|＋|x －2|≥|（x ＋2）－（x －2）|＝4，所以f （x ）的最小值是4.3. 已知实数x ，y 满足：|x ＋y|<13，|2x －y|<16，求证：|y|<518.证明：因为3|y|＝|3y|＝|2（x ＋y ）－（2x －y ）|≤2|x＋y|＋|2x －y|，由题设知|x ＋y|<13，|2x －y|<16，从而3|y|<23＋16＝56，所以|y|<518.4. 对于任意的实数a （a≠0）和b ，不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|（|x －1|＋|x －2|）恒成立，求实数x 的取值范围.解：不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|（|x －1|＋|x －2|）恒成立，即|x －1|＋|x －2|≤|a ＋b|＋|a －b||a|对于任意的实数a （a≠0）和b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值即可.因为|a ＋b|＋|a －b|≥|a＋b ＋a －b|＝2|a|，即|a ＋b|＋|a －b||a|≥2，也就是|a ＋b|＋|a －b||a|的最小值为2，于是|x －1|＋|x －2|≤2，由绝对值的意义得12≤x ≤52.1. |ax ＋b|≤c（c ＞0）和|ax ＋b|≥c（c ＞0）型不等式的解法（1） |ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c.（2） |ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c.2. |x －a|＋|x －b|≥c（c ＞0）和|x －a|＋|x －b|≤c（c ＞0）型不等式的解法方法1：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法2：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；。

(教师用书)高考数学一轮总复习矩阵与变换课时训练理(选修4-2)-人教版高三选修4-2数学试题

选修4－2 矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(理科专用)1. 求点B(0，1)在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到的点的坐标．解：矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110表示将图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的反射变换，故点B(0，1)变换得到点坐标B′(1，0)．2. 设圆F ：x 2＋y 2＝1在(x ，y )→(x′，y ′)＝(x ＋2y ，y)对应的变换下变换成另一图形F′，试求变换矩阵M 及图形F′的方程．解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201.因为圆上任意一点(x ，y)变换为(x′，y ′)＝(x ＋2y ，y)，即⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋2y ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′－2y′，y ＝y′. 因为x 2＋y 2＝1，所以(x′－2y′)2＋y′2＝1，即图形F′的方程为(x －2y)2＋y 2＝1.3. (2014·苏锡常镇二模)已知点M(3，－1)绕原点逆时针旋转90°后，且在矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02b 对应的变换作用下，得到点N(3，5)，求a 、b 的值．解：绕原点逆时针旋转90°对应的变换矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 02 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －a b －2. 则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －a b －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，3b ＋2＝5， ∴ a ＝3，b ＝1.4. 若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101，求直线x ＋y ＋2＝0在M 对应的变换作用下所得到的曲线方程．解：设点(x ，y)是直线x ＋y ＋2＝0上任意一点，在矩阵M 的作用下变换成点(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x ＋y ，y ′＝y.因为点(x ，y)在直线x ＋y ＝－2上，所以x′＝x ＋y ＝－2，故得到的直线方程为x ＋2＝0.5. (2014·某某二模)若矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0－1 2把直线l ：x ＋y －2＝0变换为另一条直线l′：x ＋y －4＝0，试某某数a 的值．解：设直线l 上任意一点P(x ，y)在矩阵M 作用下的点P′的坐标为(x ′，y′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ a 0－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝－x ＋2y. 将点P ′(x′，y ′)代入直线l′：x ＋y －4＝0，得(a －1)x ＋2y －4＝0.即直线l 的方程为a －12x ＋y －2＝0.所以a ＝3.6. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－11 0.在平面直角坐标系中，设直线2x ＋3y ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线F ，求曲线F 的方程．解：由题设得MN ＝[0110][0－11 0]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1.设(x ，y)是直线2x ＋3y ＋1＝0上任意一点，点(x ，y)在矩阵MN 对应的变换作用下变为(x′，y ′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00－1⎣⎢⎡ ⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x －y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝－y′.因为点(x ，y)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，从而2x ′＋3(－y′)＋1＝0，即2x′－3y′＋1＝0.所以曲线F 的方程为2x －3y ＋1＝0.7. (2014·某某)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12 1x ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x 、y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由已知，得Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ，B α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y .故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4.所以x ＋y ＝72.8. 变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101.求：(1) 点P(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标；(2) 函数y ＝x 2的图象依次在T 1、T 2变换作用下所得的曲线的方程．解：(1) M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110，M 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－110⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，所以点(2，1)在T 1作用下的点P′的坐标是(－1，2)．(2) M ＝M 2M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－110，设⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 是变换后图象上任意一点，与之对应的变换前的点是⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，则M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝x ，x 0＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y ，y 0＝y －x ，所以所求曲线的方程是y －x ＝y 2.9. 已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转45°，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵．解：这个变换的逆变换是先作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转45°变换，其矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos （－45°）－sin （－45°）sin （－45°） cos （－45°）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22－22－22 －22. 10. 已知a 、b∈R ，若M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3所对应的变换T M 把直线L ：2x －y ＝3变换为自身，某某数a 、b.解：(解法1：特殊点法)在直线2x －y ＝3上任取两点(2，1)和(3，3)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋a 2b ＋3，即得点(a－2，2b ＋3) ；⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤33＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3＋3a 3b ＋9，即得点(3a －3，3b ＋9)．将()a －2，2b ＋3和()3a －3，3b ＋9分别代入2x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧2（－2＋a ）－（2b ＋3）＝3，2（－3＋3a ）－（3b ＋9）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.(解法2：通法)设P(x ，y)为直线2x －y ＝3上任意一点，其在M 的作用下变为(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a b 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋ay bx ＋3y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′⎩⎪⎨⎪⎧x′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ，代入2x －y ＝3，得－(b ＋2)x ＋(2a －3)y ＝3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b －2＝2，2a －3＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. 11. (2014·某某二模)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 301对应的变换作用下变为直线l′：x ＋by ＝1.(1) 某某数a 、b 的值；(2) 若点P(x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1) 设直线l 上一点(x ，y)在矩阵A 对应的变换下得点(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2x ＋3y ，y ′＝y ，代入直线l′，得2x ＋(b ＋3)y ＝1， ∴ a ＝2，b ＝－2.(2) ∵ 点P(x 0，y 0)在直线l 上， ∴ 2x 0＋y 0＝1.由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 30 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x 0＋3y 0，y 0＝y 0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝35，y 0＝－15，∴ P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15.第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量(理科专用)1. 已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4属于λ的一个特征向量，某某数a 、λ的值及A 2.解：由条件可知⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ＝2λ，－2＋4＝λ，解得a ＝λ＝2.因此A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 10－5 14.2. (2014·某某二模)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d (c 、d 为实数)．若矩阵A 属于特征值2、3的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵A 的逆矩阵A －1.解：由题意知，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤42c ＋d ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3c ＋d ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋d ＝2，c ＋d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1，d ＝4. 所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 2－1 4，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 －1316 16. 3. (2014·某某一模)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝1及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，且M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，c －d ＝－1. 再由⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，c ＋d ＝1. 联立以上方程组解得a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝1，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 10 1.4. (2014·某某期末)已知二阶矩阵M 有特征值λ＝5，属于特征值λ＝5的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1，2)变换为(－2，4)，求矩阵M .解：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝5，c ＋d ＝5，－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，c ＝2，d ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 12 3. 5. 已知二阶矩阵A 有两个特征值1、2，求矩阵A 的特征多项式.解：由特征多项式的定义知，特征多项式是一个首项系数为1的二次三项式．因此不妨设f(λ)＝λ2＋bλ＋c.因为1，2是A 的特征值，所以f(1)＝f(2)＝0，即1，2是λ2＋bλ＋c ＝0的根．由根与系数的关系知：b ＝－3，c ＝2，所以f(λ)＝λ2－3λ＋2.6. 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3652有属于特征值λ1＝8的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，及属于特征值λ2＝－3的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，计算M 3α.解：令α＝m e 1＋n e 2，将具体数据代入，有m ＝1，n ＝－3，所以a ＝e 1－3e 2.M 3α＝M 3(e 1－3e 2)＝M 3e 1－3(M 3e 2)＝λ31e 1－3(λ32e 2)＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤65－3×(－3)3⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 1532 479，即M 3α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 1532 479.7. (2014·某某期末)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n m1的一个特征根为λ＝2，它对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.(1) 求m 与n 的值；(2) 求A －1.解：(1) 由题意得：Aα＝λα⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 n m 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎩⎪⎨⎪⎧2＋2n ＝2，m ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝0，m ＝2. (2) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 02 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝E ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－1，d ＝1，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤120－11. 8. 利用逆矩阵的知识解方程MX ＝N ，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－8.解：设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5241⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5x ＋2z 5y ＋2w 4x ＋z 4y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2z ＝1，5y ＋2w ＝0，4x ＋z ＝0，4y ＋w ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝－13，y ＝23，z ＝43，w ＝－53，所以M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53. 可得X ＝M－1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－132343－53⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－720. 所以原方程的解为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－720.9. (2014·某某二模)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ak 01(k≠0)的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，A 的逆矩阵A －1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．某某数a 、k 的值．解：设特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧ak －k ＝λk，λ＝1. 因为k≠0，所以a ＝2.因为A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤31＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，所以A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，所以2＋k ＝3，解得k ＝1. 综上，a ＝2，k ＝1.10. 设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 方向伸长为原来5倍的伸压变换．求：(1) 直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2) M 的特征值与特征向量．解：(1) M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1005.设(x′，y ′)是所求曲线上的任意一点，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1005⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，所以{x′＝x ，y ′＝5y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x′，y ＝15y′，代入4x －10y ＝1，得4x′－2y′＝1，所以所求曲线的方程为4x －2y ＝1. (2) 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－100λ－5＝(λ－1)(λ－5)．令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝5.当λ1＝1时，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10；当λ2＝5时，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.11. (2014·苏锡常镇一模)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 6β. 解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2，得m ＝4，n ＝－3.M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919.。

2019届高考数学一轮复习选考部分专题几种常见的变换学案(无答案)苏教版选修4-2

2019届高考数学一轮复习选考部分专题矩阵的概念学案苏教版选修4-2

矩阵的概念
考纲下载：1.掌握矩阵相关概念，会判断矩阵是否相等.
2.会用矩阵的方法处理一些实际问题。

一、【知识回顾】
1.矩阵的概念
2.矩阵的记法
3.2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵表示的意义
4.相等矩阵
5.零矩阵：
6.行矩阵，列矩阵：
二、【自学检测】
1.设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP →
(2, 3)，将OP →的坐标排成一列，用矩阵表示为： .
2.某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，初赛复赛
用矩阵表示为 .
3.设M 是一个22⨯矩阵，且规定其元素,2,1,2,1,32
==-=j i j i a ij 试求M.
三、【合作探究】
探究1
用矩阵表示下图中的ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)
探究2
某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i
探究3
已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=24
3x
A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y
B ，若A=B ，试求z y x ,,
四、【检测反思】
1、将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=3
524302y x z x x 中未知数z y x ,,的系数写成矩阵形式。

2、已知200,0202x y x A B y x y +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
，若A=B ，求x ，y
3、已知平面上一个正方形的四个顶点用矩阵表示为0002a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b ，c ， d 及正方形的面积.。

高考数学一轮复习讲义选修4-2 矩阵与变换

选修4－2 矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知识梳理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．诊断自测1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，则AB ＝________. 解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________．解析 ∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________．解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________．解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1，故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12. 从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求．规律方法求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用．【训练2】已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132，(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)，得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三求矩阵的特征值与特征向量【例3】已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量．解由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)，令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．规律方法已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ－a )－c －b (λ－d )＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值．设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法．解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2，所以⎩⎨⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎨⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4，所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 . (3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误．【自主体验】(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1 01. 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′，于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________．解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3456 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________．解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5001的逆矩阵为________．解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________．解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点，所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．解析由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2310 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值．解因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!，于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤101 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 021. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：rx=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

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