第7章特征值与特

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特征根与特征向量

特征根与特征向量特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，广泛应用于各个学科的数学模型和问题求解中。

首先，我们先来了解一下什么是特征值和特征向量。

特征值是指在线性变换中，每一个向量在线性变换后与原向量方向相同或相反的数值。

如果一个向量在线性变换之后只被缩放而没有改变方向，那么这个缩放因子就是特征值。

特征向量是指在线性变换中，仅被线性变换缩放而没有改变方向的非零向量。

特征向量与特征值一一对应。

对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=kx，其中k为常数，那么k就是A的一个特征值，x就是对应于这个特征值的特征向量。

接下来，我们来讨论一下特征根与特征向量在实际问题中的应用。

特征值与特征向量在多个领域都有重要的应用，包括物理学、统计学、计算机学科等等。

在物理学中，特征值与特征向量经常被用来描述量子力学中的量子态。

例如，电子在磁场中的自旋矩阵可以通过求解特征值和特征向量得到。

在统计学中，特征值与特征向量被广泛应用于多元数据分析和主成分分析。

矩阵的特征向量提供了原始数据向新坐标系的映射，而特征值则提供了新坐标系的重要性。

在计算机科学中，特征值与特征向量在图像处理、模式识别和机器学习等领域有重要的应用。

例如，通过对图像矩阵求解特征值和特征向量，可以实现图像压缩和特征提取。

特征值与特征向量还可用于解线性方程组、求解微分方程和研究动力系统的稳定性等问题。

此外，特征值与特征向量还有一些有趣的性质。

首先，特征值可重复。

一个矩阵可以有重复的特征值，也可以有多个相互独立的特征向量对应于同一个特征值。

其次，特征值与特征向量之间的关系可以通过矩阵特征分解来表示。

对于一个n阶方阵A，特征分解可以写作A=QΛQ^-1，其中Λ是一个对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，Q是由A的特征向量组成的矩阵。

特征分解可以将一个复杂的矩阵分解为特征向量和特征值的简单组合。

特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用价值。

第七章特征值问题的迭代解法

在幂迭代中, 我们取 x(m−1) 为近似特征向量. 显然, 如果我们在 Km (A, x(0) ) 中找出 “最佳” 的近似特征向量, 则收敛速度就可能会大大加快. 下面我们讨论如何在 Km = Km (A, x(0) ) 中寻找 “最佳” 的近似特征向量. 设 A ∈ Rn×n , 并设 Km 和 ˜ x Lm 是 Rn 的两个 m 维子空间. 投影算法就是在寻找 A 的近似特征对 (λ, ˜), 满足下面的 Petrov-Galerkin 条件 ˜ ∈ C and x ﬁnd λ ˜ ∈ Km such that ˜x Ax ˜−λ ˜ ⊥ Lm . (7.1)
· 7-4 ·
7.2
Rayleigh-Ritz 算法
事实上, 我们可以在 Km (A, x(0) ) 中找出 m 个最佳近似特征向量及相应的最佳近似特征值. 这些近似特征值和近似特征向量就是 Ritz 值和 Ritz 向量. 定义 7.1 设 Km 是 Rn×n 的一个 m 维子空间, 它的一组标准正交基为 v0 , v1 , . . . , vm−1 , 并令 Vm = T ˜ y ) 是 Tm 的一组特征对, 即 Tm y = λy ˜ 且 ∥y ∥2 = 1. 则我们成 [v0 , v1 , . . . , vm−1 ]. 记 Tm = Vm AVm , 设 (λ, ˜ 是 A 的一个 Ritz 值, x λ ˜ = Vm y 是 A 的一个 Ritz 向量. Rayleigh-Ritz 算法就是用 Ritz 值和 Ritz 向量来近似 A 的特征值与特征向量. 算法 7.2 Rayleigh Ritz procedure
T Tm = Vm AVm
α1 β1 β ... 1 = .. .

矩阵的特征值与特征向量总结-全文可读

解得特征值为
2•
第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解.
齐次线性方程组为系数矩阵
2•
得基础解系
是对应于
类似可以求得 A的属于特征
值的全部特征向量分别为
是不为零的常数.
2•
所以
是矩阵f (A)的一个特征值.
2•
3. 特征多项式f )的性质
( 在特征多项式
中有一项是主对角线上元素的连乘积：
f )的展开式的其余各项为
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2•
设f ) = 0的根
(
为
，则有
性质1 设 n 阶方阵 A 的 n个特征
值为
则
称为矩阵A的迹，记为
2•
性质2 若A的特征值是 , X是A的对应于的特征向量,
(1) kA的特征值是 ;(k是任意常数) k
(m是正整数)
(3) 若A可逆,则A -1的特征值
是
且X 仍然是矩
阵
-1 , 的特征值是分别对应于
的特征向量.
2•
为x的多项式, 则f (A)的特征值
为证
再继续施行上述步骤 m - 2 次, 就
得
2•
其它请同学们自己证明.
3•
例6 已知三阶方阵A的特征值为1、2、3, 求矩阵的A行*+列E式.
解由性质1（2）知
则矩阵A*的特征值所以矩阵A*的特征值分别是6，3，2，A*+E的特征值
是值A, 的属于特征值 λ = 5的特征向
量；
6•
7•
故由定义4.1知， λ = 5也 1、X2、X3 的特征值, 即是对X于 λ = 5的特征向量是不唯一
的.

第七章-方阵的特征值与相似对角化

一、n 维向量的定义及运算一、n 维向量的定义及运算二、向量空间二、向量空间第一节方阵的特征值及其特征向量第二节相似矩阵第三节实对称阵的相似对角化一、方阵的特征值及其特征向量的概念一、方阵的特征值及其特征向量的概念二、方阵的特征值及其特征向量的计算二、方阵的特征值及其特征向量的计算三、方阵的特征值及其特征向量的性质三、方阵的特征值及其特征向量的性质对11=λ，解方程组0)1(=−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−000110101211121112r A E ，所以A 的对应于特征值11=λ的全部特征向量为),0(111R k k k ka x ∈≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111a .对22−=λ，解方程组0)2(=−−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−=−−0000001111111111112r A E 得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101,01121a a ，所以A 的对应于特征值22−=λ的全部特征向量为：,,(10101111212111R k k k k a k a k x ∈⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=+=且不同时为零）对21=λ，解方程组0)2(=−x A E ，由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=−0001101012111211122r A E得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111a .所以A 的对应于特征值21=λ的全部特征向量为 ),0(111R k k k ka x ∈≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==对132−==λλ，解方程组0)(=−−x A E ，由 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎯→⎯⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−−−=−−000000111111111111r A E得基础解系： ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101,01121a a ，所以A 的对应于特征值132−==λλ的全部特征向量为：R k k k k a k a k x ∈⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=+=21212211,(101011且不同时为零）推论1、方阵A 可逆Ù|A|≠0ÙA 的特征值全不为零。

数值分析-第7章矩阵特征值问题的数值解法n

(-3.406542,-2.460280, 6.920561) (-2.832406, -2.028615, 6.210333)
7
9 11 12
6.104716
6.026349 6.006637 6.003327
(-0.450275, -0.322058, 1.0)
(-0.445914, -0.318617, 1.0) (-0.444814, -0.31775, 1.0) (-0.444630, -0.317606, 1.0)
其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。
P -1 AP D
2

n
2
定理7.1.3 ARnn，1, …, n为A的特征值，则
（1）A的迹数等于特征值之和，即 tr ( A) aii i
i 1 i 1
n
n
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
1 xi(k +1) / xi(k )
i 1,2,, n
可见，当k充分大时， ( k ) 近似于主特征值， ( k +1) 与x ( k )的对应非零分量的比值 x x 近似于主特征值。
在实际计算中需要对计算结果进行规 , 范化。因为当 1 1时，x (k ) 趋于零，当1 1时, x ( k )的非零分量趋于无穷。从而计算时会出现下溢或上溢。
特征值的范围. 解我们先分别求出各个圆盘区域。 D1 = {z：|z – 1|£0.6}；D2 = {z：|z – 3|£0.8} D3 = {z：|z + 1|£1.8}；D4 = {z：|z + 4|£0.6}. 易见D2和D4为弧立圆盘分别包含A的两个实特征值.

沈阳师范大学数学与系统科学学院高等代数第七章4 特征值与特征向量

1 0 ,B 1 1 A 如 0 1 0 1

2
它们的特征多项式都是 ( 1) ，但A、B不相似.
第七章线性变换 §4 特征值与特征向量
3. 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理
设 A P
nn
, f ( ) E A 为A的特征多项式, 则
注： ① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持
相同 (0 0) 或相反 (0 0). 0 0 时 , ( ) 0. ② 若是的属于特征值 0的特征向量，则
k ( k P , k 0) 也是的属于0 的特征向量.

( k ) k ( ) k (0 ) 0 ( k )
x01 是线性方程组 (0 E A) X 0 的解，即 x 0n x01 0, 又 0, x 0n
第七章线性变换 §4 特征值与特征向量
从而 (0 E A) X 0 有非零解. 所以它的系数行列式 0 E A 0.
①
则， f ( ) E n E a1 n1 E
而 B( )( E A) n B0 n1 ( B1 B0 A) n 2 ( B2 B1 A)

( Bn1 Bn 2 A) Bn1 A
②
比较①、②两式，得
第七章线性变换 §4 特征值与特征向量
dimV0 n 秩 ( 0 E A)
即特征子空间 V0的维数等于齐次线性方程组
(0 E A) X 0
(* )
的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于0 的全部线性无关的特征向量就是 V0 的一组基.
第七章线性变换 §4 特征值与特征向量

第7章计算矩阵的特征值和特征向量

A (7)
0 0 2.125825 = 0 8.388761 0.000009 0 0.000009 4.485401
从而A的特征值可取为 A
λ1≈2.125825, λ2≈8.388761, λ3≈4.485401
V
下面分析吉文斯变换作用到对称矩阵后正交相似的变换效果。
注:
bpp = (app cosϑ − aqp sinϑ) cosϑ − (apq cosϑ − aqq sinϑ) sinϑ
注:
1 − s
2 t 1 − t
2
= 0 ⇒
t
2
+ 2 st
− 1 = 0
雅可比方法就是对A连续施行以上变换的方法。取p,q使 a pq = max aij
由于求解高次多项式的根是件困难的事上述方法一般无法解出阶数略大n4的矩阵特征值的精确解在实际计算中难以按定义计算矩阵特征值
第7章计算矩阵的特征值和特征向量
在线性代数中，一个n阶矩阵A，若有数λ及非零n维向量 v满足Av=λv，则称λ为A的特征值，v为属于特征值λ的特征向量。在线性代数中，先计算矩阵A的特征多项式，即计算 det(λ I - A)= λn +…+(-1)ndetA的根，算出A的n个特征值λ i， i=1，2， …，n。然后解线性方程组(A- λiI)v=0，计算出对应于λ i的特征向量。由于求解高次多项式的根是件困难的事，上述方法一般无法解出阶数略大(n>4)的矩阵特征值的精确解，在实际计算中难以按定义计算矩阵特征值。本章介绍一些简单有效的计算矩阵特征值和特征向量的近似值的数值方法。
7 ．2
反幂法
反幂法
Av = λv ⇒ A v =

第七章—矩阵的特征值问题

1 p仍是B的主特征值，且使 2 p 2 1 p 1
对B应用幂法，使得在计算B的主特征值1 p的过程中得到加速。这种方法通常称为原点平移法。
若A的特征值满足
1 2
希望p
n，
且2，n能估计时，我们就能确定P的近似值。
2 n
2
使得应用幂法计算加速。
a21 an1 n (a11 a22 为A的特征多项式.
a12 a 22 an 2
a1n a2 n
a nn
ann ) n 1 (次级 n 2的项)
A的特征方程
( ) det( I A) 0 (1.1) 的根称为A的特征值. ( A)表示A的所有特征值的集合. 设为A的特征值, 相应的齐次方程组 ( I A )x 0 (1.2) 的非零解x称为A的对应于的特征向量.
x1 [1 -1 1]T , x2 [1 0 -1]T , x3 [1 2 1]T
定理1 设是矩阵A R nn的特征值, x是对应的非零特征向量，则 (1) c是cA的特征值(常数c 0)； (2) p为A pI的特征值,即 (A pI)x ( p)x； (3) k 是A k的特征值,即 A k x k x； 1 1 1 1 (4) 设A非奇异，则 0且为A 的特征值,即 A x x.
物理、力学和工程技术中很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值问题。例如，振动问题(大型桥梁或建筑物的振动、机械的振动、电磁震荡等)，结构屈曲，物理学中的某些临界值的确定。它们都归结为下述数学问题。
定义1 已知A (aij ) nn , 则称
a 11 ( ) det( I A)

第七章线性变换总结篇（高等代数）

第七章线性变换总结篇（高等代数）第 7章线性变换7.1知识点归纳与要点解析一．线性变换的概念与判别 1.线性变换的定义数域P 上的线性空间V 的一个变换σ称为线性变换，如果对V 中任意的元素,αβ和数域P 中的任意数k ，都有：()()()σαβσασβ+=+，()()k k σασα=。

注：V 的线性变换就是其保持向量的加法与数量乘法的变换。

2.线性变换的判别设σ为数域P 上线性空间V 的一个变换，那么：σ为V 的线性变换?()()()k l k l ,,V ,k,l P σαβσασβαβ+=+?∈?∈3.线性变换的性质设V 是数域P 上的线性空间，σ为V 的线性变换，12s ,,,,V αααα?∈ 。

性质1. ()()00,σσαα==-;性质2. 若12s ,,,ααα 线性相关，那么()()()12s ,,,σασασα 也线性相关。

性质3. 设线性变换σ为单射，如果12s ,,,ααα 线性无关，那么()()()12s ,,,σασασα也线性无关。

注：设V 是数域P 上的线性空间，12,,,m βββ ，12,,,s γγγ 是V 中的两个向量组，如果：11111221221122221122s ss sm m m ms sc c c c c c c c c βγγγβγγγβγγγ=+++=+++=+++记：()()1121112222121212,,,,,,m m m s s s ms c c c c c c c c c βββγγγ??= ?于是，若()d i m V n =，12,,,n ααα 是V 的一组基，σ是V 的线性变换，12,,,m βββ 是V 中任意一组向量，如果：()()()11111221221122221122n n n nm m m mn nb b b b b b b b b σβααασβααασβααα=+++=+++=+++记：()()()()()1212,,,,m m σβββσβσβσβ=那么：()()1121112222121212,,,,,,m m m n nn mn b b c b b c b b c σβββααα??= ?设112111222212m m nn mn b b c b b c B b b c ??= ?，12,,,m ηηη 是矩阵B 的列向量组，如果12,,,r i i i ηηη 是12,,,m ηηη 的一个极大线性无关组，那么()()()2,ri i i σβσβσβ 就是()()()12,m σβσβσβ 的一个极大线性无关组，因此向量组()()()12,m σβσβσβ 的秩等于秩()B 。

第7章特征值的估计

第7章特征值的估计在矩阵理论中，特征值是矩阵的一个重要属性，它具有许多重要的应用，如线性方程组的求解、矩阵的对角化等。

然而，精确计算特征值通常是一项困难的任务，特别是当矩阵的维度非常大时。

因此，需要开发一些有效的方法来估计特征值。

特征值的估计方法可以从多个角度进行分类。

首先，可以根据是否需要矩阵的全部特征值将其分为全局和局部估计方法。

其次，根据是否需要矩阵的特征向量，可以将其分为直接和迭代估计方法。

最后，还可以将其分类为基于矩阵本身的方法和基于矩阵的变换方法。

首先，我们讨论局部估计方法。

局部估计方法的目标是找到矩阵的一些局部特征值的估计。

这些方法通常基于一些已知的特征值或者一些已知的矩阵性质。

其中一个常用的局部估计方法是贝叶斯方法。

贝叶斯方法将特征值看作是一组随机变量，并根据观测到的特征值来估计未知的特征值。

贝叶斯方法的好处是可以有效地利用关于特征值的先验知识，从而提高估计的准确性。

接下来，我们讨论全局估计方法。

全局估计方法的目标是找到矩阵的全部特征值的估计。

全局估计方法通常基于矩阵的性质和结构。

其中一个常用的全局估计方法是迹估计法。

迹估计法基于特征值和矩阵的迹之间的关系，通过计算矩阵的迹来估计特征值的和。

然后，通过一些假设来估计特征值的积。

迹估计法的好处是简单易行，但通常只能得到特征值的下界估计。

其次，我们讨论直接估计方法。

直接估计方法是指直接根据矩阵的元素来估计特征值。

其中一个常用的直接估计方法是Gershgorin圆盘法。

Gershgorin圆盘法利用矩阵的元素来构造一系列圆盘，在每个圆盘内至少存在一个特征值。

通过计算这些圆盘的半径和中心点，可以估计相应特征值的范围。

Gershgorin圆盘法的好处是简单易行，但通常只能得到较粗略的特征值估计。

最后，我们讨论迭代估计方法。

迭代估计方法是指通过迭代运算逐步逼近特征值的估计。

其中一个常用的迭代估计方法是幂法。

幂法利用矩阵的幂向量来逐步逼近主特征值以及相应的特征向量。

第7章特征值与特征向量

第7章特征值与特征向量7.1 特征值和特征向量的定义，性质与计算设A 是阶方阵，若存在非零向量n x 和常数λ，使得x Ax λ=，则称λ是的特征值，A x 是的属于特征值A λ的特征向量．例1 已知是矩阵 ()Tk x ,1,1−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=163053064A 的特征向量，求k ．A E f A −=λλ)(nnn n n n a a a a a a a a a −−−−−−−−−=λλλ"""""""212222111211．称为矩阵的特征多项式，A 0=−A E λ叫特征方程．例2 矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−222222220的非零特征值是．矩阵A 的特征向量有两个重要性质：（１）若都是的属于特征值21,X X A λ的特征向量，则也是的属于特征值21X X +A λ的特征向量；（２）若X 是的属于特征值A λ的特征向量, k 是非零常数，则kX 也是的属于特征值A λ的特征向量．如果将全体属于λ的特征向量再添一个零向量构成一个集合，记作λV ，称为特征子空间．这个特征子空间的一组基就是属于这个特征值的线性无关的特征向量．特征子空间的维数就是属于这个特征值的线性无关的特征向量的最多个数．矩阵的特征值与矩阵的其他参数有两个很重要关系，他们是（１）矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹（矩阵的主对角元之和）即∑∑====n i ii n i ia trA 11λ；（２）矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列式，即A n i idet 1=∏=λ．一些有用的结论．（１）若λ是的特征值，则A λk 是kA 的特征值，其中k 是常数．（２）若λ是的特征值，则A 2λ是的特征值．2A（３）若λ是的特征值，且可逆，则A A λ1是的特征值． 1−A （４）若λ是的特征值，A )(x f 是一个多项式,，则)(λf 是的特征值．)(A f 例3 是三阶矩阵，A 1−A 的特征值是1，2，3，则A 的代数余子式332211A A A ++=？例4 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=a c b c a A 01351，1−=A ，的一 *A 个特征值λ对应的特征向量()T 111−−=α，求λ,,,c b a ．例5 设阶矩阵的所有元素都是1，求的特征值． n A7.3 相似矩阵的概念及性质设A 是阶方阵，若存在可逆矩阵，使得，则称相似于．n P B AP P =−1B A 方阵的相似是矩阵之间的一种等价关系．他们有（１）反身性：每个方阵都和自己相似；（２）对称性：若和相似，则和也相似； A B B A （３）传递性：若和相似，B 和A B C 相似，则和A C 也相似．相似矩阵有相同的秩，相同的特征多项式，相同的特征值，相同的迹，相同的行列式等．例6 若四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为A B A 51,41,31,21，则行列式E B −−1= ．例7 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A ．则与 A B 合同且相似． )(A )(B 合同但不相似．)(C 不合同但相似． )(D 不合同且不相似．例8 已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组线性无关，且满足x A Ax x 2,,x A Ax x A 2323−=．记)1(()x A Ax x P 2,,=，求３阶矩阵，使B 1−=PBP A ；计算行列式)2(E A +．例9 设B A ,为同阶方阵，（１）如果B A ,相似，试证B A ,的特征多项式相等．（２）举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不)1(成立．（３）当B A ,均为实对称矩阵时，试证的逆命题成立．)1(7.4 方阵的相似对角化方阵A 可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．A n 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.例10设21,λλ是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为A 21,αα，则)(211ααα+A ,线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ.(C) 01=λ. (D) 02=λ.例11 设为三阶矩阵，A 321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足3211αααα++=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A(1) 求矩阵，使得B B A ),,(),,(321321αααααα=；(2) 求矩阵的特征值；A (3) 求可逆矩阵，使得P AP P 1−为对角矩阵.例12 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论是否可相似对角化． A 例13 设阶方阵满足n A 0652=+−E A A ，试证明矩阵和对角矩阵相似．A 例14 设阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111"""""""b b b b b b A ，（1）求的特征值和特征向量；A （2）求可逆矩阵，使得P AP P 1−为对角矩阵．7.5 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值一定是实数．也就是说，n 阶方阵一定有个实的特征值．n 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量正交. 实对称矩阵的这个性质，使我们可以找到正交矩阵，使得实对称矩阵和对角矩阵既相似又合同．例15 设3阶实对称矩阵的秩为2，A 621==λλ是的二重特征值，若A ()T0,1,11=α，()T 1,1,22=α，()T3,2,13−−=α都是的属于特征值6的特征向量，A （１）求的另一特征值和对应的特征向量；A （２）求矩阵．A 实对称矩阵是一定和对角矩阵相似的，也就是说它是一定可以对角化的．它的对角化有2种形式．它既可以和对角矩阵相似，也可以和对角矩阵既相似同时还合同．就是说，对于实对称矩阵，总存在可逆矩阵，使它和对角矩阵A P D 相似，D AP P=−1，或存在正交矩阵Q ，使它和对角矩阵Λ既相似又合同， Λ==−AQ Q AQ Q T1．另外，它可以和对角矩阵合同，即存在可逆矩阵Ｔ，使它和对角矩阵C 合同， C AT T T =．给定实对称矩阵，求正交矩阵Q 使其对角化的步骤是：A （１）设A E −λ＝０，求出的特征值A n λλλ,,,21"；（２）对每个特征值λ，解齐次线性方程组0)(=−x A E λ，求出对应的特征向量．如果特征值是单根，就对应一个特征向量；如果特征值是几重根，就对应几个线性无关的特征向量；（３）对于重的特征值，将对应它的那组特征向量施行施密特正交化．对每个重特征值对应的特征向量全都正交化并单位化以后，所有的特征向量就构成了一个正交向量组；n q q q ,,,21"（４）将所有正交的特征向量按列排成一个矩阵，令其为，那么Q 是正交矩阵．有),,,(21n q q q Q "=AQ Q AQ Q T =−1＝⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛n λλλ%21，注意：中的排列顺序要和特征值),,,(21n q q q Q "=n q q q ,,,21"n λλλ,,,21"的排列顺序一致，使得恰是i q i λ的特征向量．例16 设是()T x 211=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=b a a A 201210的特征向量，求的值，并求正交矩阵使得b a ,P AP P 1−为对角阵．例17 设实对称矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=a a a A 111111，求可逆矩阵，使为对角矩阵，并计算行列式P AP P 1−E A −的值．例18 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211b ．已知线性方程组b Ax =有解但不惟一，试求：（1）a 的值；（2）正交矩阵Q ，使为对角矩阵． AQ Q T7.6 相似对角化的应用例19 求k ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−111222111．。

第七章线性变换习题答案

第七章线性变换3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明：-=A B BA =E ．『解题提示』直接根据变换的定义验证即可．证明任取()[]f x P x ∈，则有()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B(())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ，于是-=A B BA =E ． 4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明： 1,1k k k k k --=>A B BA A．『解题提示』利用数学归纳法进行证明．证明当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ，因此结论成立．假设当k s =时结论成立，即1sss s --=A B BAA．那么，当1k s =+时，有11()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+AB BAA AB BA A B BA A A A A ，即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立．『特别提醒』由0=AE 可知，结论对1k =也成立．5．证明：可逆映射是双射．『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可．证明设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1-A 作用左右两边，得到11()()--===ααββAA A A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射．『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．6．设12,,,n εεε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明A 可逆当且仅当12,,,n εεεA A A 线性无关．证法1 若A 是可逆的线性变换，设1122n n k k k +++=0A A A εεε，即1122()n n k k k +++=0A εεε．而根据上一题结论可知A 是单射，故必有1122n n k k k +++=0εεε，又由于12,,,n εεε是线性无关的，因此120n k k k ====．从而12,,,n εεεA A A 线性无关．反之，若12,,,n εεεA A A 是线性无关的，那么12,,,n εεεA A A 也是V 的一组基．于是，根据教材中的定理1，存在唯一的线性变换B ，使得()i i =B A εε，1,2,,i n =．显然 ()i i =BA εε，()i i =A B A A εε，1,2,,i n =．再根据教材中的定理1知，==A B BA E ．所以A 是可逆的．证法2 设A 在基12,,,n εεε下的矩阵为A ，即 121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==A A A A εεεεεεεεεA ．由教材中的定理2可知，A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆．因此，如果A 是可逆的，那么矩阵A 可逆，从而12,,,n εεεA A A 也是V 的一组基，即是线性无关的．反之，如果12,,,n εεεA A A 是线性无关，从而是V 的一组基，且A 是从基12,,,n εεε到12,,,n εεεA A A 的过渡矩阵，因此A 是可逆的．所以A 是可逆的线性变换．『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A 的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A 可逆转化成了矩阵A 可逆．9．设三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ． 1）求A 在基321,,εεε下的矩阵；2）求A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈且0k ≠；- 3 -3）求A 在基1223,,+εεεε下的矩阵．『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解．解 1）由于3131232333333232131a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 2121222323323222121a a a a a a =++=++A εεεεεεε， 1111212313313212111a a a a a a =++=++A εεεεεεε．故A 在基321,,εεε下的矩阵为3332311232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ． 2）由于11112123131112123131a a a a a k a k=++=++A εεεεεεε，2121222323121222323k ka ka ka ka a k ka =++=++A εεεεεεε，31312323331312323331a a a a a k a k=++=++A εεεεεεε．故A 在基123,,k εεε下的矩阵为111213221222331323311a ka a a a a k k aka a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ． 3）由于从123,,εεε到1223,,+εεεε的过渡矩阵为100110001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ，故A 在基1223,,+εεεε下的矩阵为1111213111212133212223211122122212231331323331323233100100110110001001a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==-+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵．事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解．10．设A 是线性空间V 上的线性变换，如果1k -≠0A ξ，但k =0A ξ，求证：1,,,k -A Aξξξ（0k >）线性无关．证明由于k=0Aξ，故对于任意的非负整数i ，都有()k ii k +==0AA A ξξ．当0k >时，设112k n x x x -+++=0A Aξξξ，用1k -A作用于上式，得11k x -=0Aξ，但1k -≠0Aξ，因此10x =．于是12k n x x -++=0A Aξξ，再用2k -A作用上式，同样得到20x =．依此下去，可得120k x x x ====．从而1,,,k -A Aξξξ线性无关．16．证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n i ii λλλ21 相似，其中n i i i ,,,21 是1,2,,n 的一个排列．『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义．证法1 设V 是一个n 维线性空间，且12,,,n εεε是V 的一组基．另外，记12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，12n i ii λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．于是，在基12,,,n εεε下，矩阵A 对应V 的一个线性变换A，即- 5 -12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n λλλ⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭εεεεεεεεεA A ．从而i i i λ=εεA ，1,2,,i n =．又因为12,,,n i i i εεε也是V 的一组基，且12121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n n i ii i i i i i i i i i λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭εεεεεεεεεB A ．故A 与B 相似．证法２设12n λλλ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A 与 12n i ii λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B ．对A 交换,i j 两行，再交换,i j 两列，相当于对A 左乘和右乘初等矩阵1(,)(,)i j i j -=P P 和(,)i j P ，而1(,)(,)i j i j -P AP即为将A 中的i λ和j λ交换位置得到的对角矩阵．于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将A 的主对角线上的元素12,,,n λλλ变成12,,,n i i i λλλ，这也相当于存在一系列初等矩阵12,,,s Q Q Q ，使得1112112s s ---=Q Q Q AQ Q Q B ，令12s =Q Q Q Q ，则有1-=Q AQ B ，即A 与B 相似．『方法技巧』证法１利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法２利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明．17．如果A 可逆，证明AB 与BA 相似．证明由于A 可逆，故A1-存在．于是11()()--==A AB A A A BA BA ，因此，根据相似的定义可知AB 与BA 相似．19．求复数域上线性变换空间V 的线性变换A 的特征值与特征向量．已知A 在一组基下的矩阵为：1）3452⎛⎫= ⎪⎝⎭A ； 4）563101121-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ；5）001010100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ．解 1）设A 在给定基1ε,2ε下的矩阵为A ．由于A 的特征多项式为234|514(7)(2)52λλλλλλλ---==--=-+--E A ，故A 的特征值为17λ=，22λ=-．当17λ=时，方程组1()λ-=0E A X ，即为1212440,550.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛11．从而A 的属于特征值17λ=的全部特征向量为112k k =+ξεε，其中k 为任意非零常数．当22λ=-时，方程组2()λ-=0E A X ，即为1212540,540.x x x x --=⎧⎨--=⎩ 解得它的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-54，从而A 的属于特征值22λ=-的全部特征响向量为21245l l =-ξεε，其中l 为任意非零常数．4）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为56311(2)(11121λλλλλλλ---=-=---+--+E A ，故A 的特征值为12λ=，21λ=，31λ=当12λ=时, 方程组1()λ-0E A X =，即为- 7 -1231231233630,20,230.x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=⎩ 求得其基础解系为210-⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值2的全部特征向量为111122k k =-+ξεε其中1k 为任意非零常数．当21λ=时, 方程组2()0λ-E A X =，即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧-+-+=⎪⎪++-=⎨⎪--++=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3213，故A的属于特征值122122233(2k k k =-+ξεεε其中2k 为任意非零常数．当31λ=3()0λ-E A X =，即为123123123(4630,(10,2(20.x x x x x x x x x ⎧---+=⎪⎪+--=⎨⎪--+=⎪⎩ 求得其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-3213，故A的属于特征值133132333(2k k k =-+ξεεε其中3k 为任意非零常数．5）设A 在给定基123,,εεε下的矩阵为A ，由于A 的特征多项式为20110(1)(1)1λλλλλλ--=-=-+-E A ，故A 的特征值为11λ=（二重），21λ=-．当11λ=时，方程组1()λ-0E A X =，即为13130,0.x x x x -=⎧⎨-+=⎩ 求得其基础解系为,101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值1的全部特征向量为 1112213k k k ++ξ=εεε其中12,k k 为任意不全为零的常数．当21λ=-时，方程组2()0λ-E A X =，即为132130,20,0.x x x x x --=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩ 求得其基础解系为101-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，故A 的属于特征值1-的全部特征向量为213l l +ξ=-εε，其中l 为任意非零常数．『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式．24．1）设21,λλ是线性变换A 的两个不同特征值，12,εε是分别属于21,λλ的特征向量，证明：12+εε不是A 的特征向量；2）证明：如果线性空间V 的线性变换A 以V 中每个非零向量作为它的特征向量，那么A 是数乘变换．证明 1）反证法．假设12+εε是A 属于特征值λ的特征向量，即- 9 -121212()()λλλ+=+=+A εεεεεε．而由题设可知111222,λλ==A A εεεε，且12λλ≠，故12121122()λλ+=+=+A A A εεεεεε．比较两个等式，得到1122()()λλλλ-+-=0εε．再根据12,εε是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此021=-=-λλλλ，即12λλ=．这与12λλ≠矛盾．所以12+εε不是A 的特征向量．2）设12,,,n εεε是V 的一组基，则它们也是A 的n 个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值12,,,n λλλ，即i i i λ=A εε，1,2,,i n =．根据1）即知12n λλλλ====．否则，若12λλ≠，那么12+≠0εε，且不是A 的特征向量，这与V中每个非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，对于任意的V ∈α，都有λ=A αα，即A 是数乘变换．25．设V 是复数域上的n 维线性空间，,A B 是V 上的线性变换，且=A B BA ．证明： 1）如果0λ是A 的一个特征值，那么0V λ是B 的不变子空间； 2）,A B 至少有一个公共的特征向量．证明 1）设0V λ∈α，则0λ=A αα，于是，由题设知00()()()()()λλ=====A B A B BA B A B B αααααα，因此0V λ∈B α．根据不变子空间的定义即知，0V λ是B 的不变子空间．2）由1）可知0V λ是B 的不变子空间，若记00|V λ=B B ，则0B 是复数域上线性空间0λV 的一个线性变换，它必有特征值0μ及非零向量0V λ∈β，使得00μ==B B βββ，即β是B 的特征向量，从而β是A 和B 的公共特征向量．因此，,A B 存在公共的特征向量．。

高等代数第7章线性变换PPT课件

特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以用于分析和预测经济系统的稳定性和发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、数乘等运算可以通过其对应的矩阵性质来体现。例如，两个线性变换的和对应两个矩阵的和；线性变换的复合对应两个矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线性变换，则T在基e1,e2,...,en下的矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂，从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得，从而简化相关计算。

第七章求矩阵特征值的数值方法

T
4
定理 2．关于正交矩阵有如下结论
（1）单位矩阵是正交矩阵。（2）若 A 为正交矩阵，则 A
1
AT 。
（3）若 A 为正交矩阵，则 A 也是正交矩阵。（4）若 A 为正交矩阵，则 A 1 或 A 1 。（5）若 A, B 为同阶正交矩阵，则 AB 与 BA 也是正交矩阵。
5
n
k
在 a1 a2 0 时，这是一个主特征向量。
18
② 当 1 2 时， 2 是 A 2 的主特征值，故
1,2 lim max( A2 zk ) ．
k
计算时，迭代可能发散，但是
A2 zk Ayk 1 mk 1 Azk 1 mk 1mk 2 zk 2 max( A2 zk ) mk 1mk 2 ， mk 1mk 2 1 k 。
17
j a1 x1 a2 x2 a j x j 1 j 3 zk k n j max a1 x1 a2 x2 a j x j 1 j 3 a1 x1 a2 x2 k max(a1 x1 a2 x2 )
P A x am Am x am1 Am1 x ...... a1 Ax a0 x
am x am1
m m 1
x ...... a1 x a0 x P x
7
即， P 是 P A 的一个特征值
定理 5．为方阵 A 的特征值，若 x1 , x2 都是属于的特征向量，则
第七章求矩阵特征值的数值方法
1
1、预备知识
定义 1 设 A (aij ) nn , 如果 AT A ，则称 A 为对称矩阵。

第7章矩阵特征值的界非负矩阵-1

D1(A)={z | z-1|£0.8}
D2(A)={z | z-0| £0.5} 而A的特征多项式为 f (λ)=λ2-λ-0.4
矩阵分析简明教程
λ1
=
1 2
(1+
0.6i),
λ2
=
1 2
(1-
0.6i)
λ1 = λ2 =0.632
即：λ1，λ2 均落在D1(A)内，不在D2(A)内。
矩阵分析简明教程
注：若对角线上元素均相同时失效。
矩阵分析简明教程
若n阶实矩阵A的每个盖尔圆盘与其余圆盘分离，则A的特征是均为实数。
例5 用圆盘定理证明
0 0 1 0
A
1 1
4 0
0 6
1 2
0 1 1 8
至少有两个实特征值。
矩阵分析简明教程
解：A的四个行盖尔圆盘分别是：
D1(A)={z | z-0|£1} D2(A)={z | z-4| £2} D3(A)={z | z-6| £ 3} D4(A)={z | z-8| £2}
因为相似变换不改变特征值，为了得到特征值的更加准确的估计，盖尔发现可以将矩阵A 变换为其相似矩阵 B = DAD-1 ，以减少盖尔圆的半径，达到隔离盖尔圆的目的。为计算方便常常取 D为对角矩阵。
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例 4 求矩阵A的圆盘并隔离之，其中
0.9 0.01 0.12
A
0.01
0.8
矩阵分析简明教程
（1）的证明：
设
A
有特征对 n
(λ, x)
，这里
x=(x1,, xn)，T 则
aj k xk x j , j 1,, n
k 1
令
|

大学数学高数微积分第七章线性变换第四节课件课堂讲义

域 P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性
方程组 ( 0E A ) X = 0 就有非零解.
这时，如果
(x01 , x02 , … , x0n ) 是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一
个非零解，那么非零向量
= x011 + x022 + … + x0nn 满足 A = 0 ，即 0 是线性变换 A 的一个特征值
由定义可知,
每个非零向量都是属于数乘变换 K 的特征向量.
例 2 设线性变换 A 在基1 , 2 , 3下的矩阵是
1 2 2 A 2 1 2,
2 2 1
求 A 的特征值与特征向量.
解
单击这里求特征值 A 的特征多项式为
1 2 2 EA 2 1 2
2 2 1
(1)2(5).
所以，A 的特征值为
0
1
0 1
0 0
|
E
D|
n
.
0 0 0 1
0
0
0
因此，D 的特征值只有 0 .
通过解相应的齐次线性
方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量
组只能是任一非零常数.
这表明微商为零的多项式
只能是零或非零的常数.
例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维
线性空间，第一节下的矩阵为
例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性空间. 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转角就是一个线性变换，我们用 I 表示 . 如果平面上一个向量在直角坐标系下的坐标是 ( x , y ), 那么
像 I ( ) 的坐标，即旋转角之后的坐标 ( x , y ) 是按照公式