高中数学选修2-1教案 第三章 3.2立体几何中的向量方法第5课时
人教版 选修2-1第三章3.2立体几何中的向量方法 同步教案(基础)
立体几何中的向量方法辅导教案学生姓名 性别年级学科数学 授课教师上课时间年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时：2 课时教学课题人教版 选修2-1第三章 3.2立体几何中的向量方法 同步教案（基础）教学目标知识目标：和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积能力目标：理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．情感态度价值观：情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学的理性与严谨，感受探索的乐趣教学重点与难点 重点：利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；空间向量基本定理及其意义．利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；难点：能用向量方法证明线面的平行或垂直；.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题.用向量方法求空间角的大小；教学过程（一）空间向量及其运算知识梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →.(2)平面向量定理的向量表达式：a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中x ，y ∈R ，e 1，e 2为不共线向量，推论的表达式为MP →＝→→→→→→→→→→(3)空间向量基本定理：如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫作向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.例题精讲【题型一、空间向量的线性运算】例1 在如图所示的三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.【方法技巧】利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可．【探究提高】 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．巩固训练1. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.【题型二、共线定理、共面定理的应用】例2 已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．【方法技巧】对于(1)只要证出向量BD →与EH →共线即可；对于(2)只要证出EG →＝EF →＋EH →即可；对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →表示．【探究提高】 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a ＝λb 关系，即可判定两直线平行．【题型三、空间向量数量积的应用】例3 已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以AB →，AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，求向量a 的坐标．【方法技巧】(1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算； (3)通过数量积可以求向量的模.（二）立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直知识梳理1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，则此向量方程叫作直线l 的参数方程．向量a 称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，叫作空间直线的向量参数方程．(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或lα⇔存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或lα⇔v⊥u.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.例题精讲【题型一利用空间向量证明平行问题】例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.【方法技巧】用向量证明线面平行的方法有(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；(4)本题易错点：只证明MN∥A1D，而忽视M N⃘平面A1BD.【题型二利用空间向量证明垂直问题】【方法技巧】证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法．用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理．若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便．巩固训练1 如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF【题型三利用空间向量解决探索性问题】(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．【方法技巧】对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.（三）立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离知识梳理1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|.(3)求平面间夹角的大小如图所示，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉．2.点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.例题精讲【题型一、求异面直线所成的角】例1 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 1、AA 1的中点，设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(2)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．【方法技巧】 用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|.【题型二、求直线与平面的夹角】例2 如图，已知四棱锥P —ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD的中点．(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 夹角的正弦值．【方法技巧】 利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角．巩固训练已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 夹角的大小．【题型三 求平面间的夹角】例3 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA ＝1，AD ＝2，求平面BPC 与平面PCA 夹角的正切值．【方法技巧】 求平面间的夹角最常用的方法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到所求角的大小，但要注意平面间的夹角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.巩固训练如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求平面QBP 与平面BPC 的夹角的余弦值．课后作业【基础巩固】1．已知O ，A ，B ，C 为空间四个点，又OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则( )B ．O ，A ，B ，C 四点共面，但不共线C ．O ，A ，B ，C 四点中任意三点不共线D ．O ，A ，B ，C 四点不共面2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,23．若直线l 的一个方向向量为a ＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u ＝(1,1，－1)，则( )A ．l ∥α或lα B ．l ⊥α C ．l α D ．l 与α斜交3．若直线l 的一个方向向量为a ＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u ＝(1,1，－1)，则( )A ．l ∥α或lα B ．l ⊥α C ．lα D ．l 与α斜交4. 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为 ( )A ．平行B ．异面C ．垂直D ．以上都不对5 . 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是________．6．长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为________．【能力提升】7．在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，－1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．8．如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，D为AB的中点，AC＝BC＝BB1.(1)求证：BC1⊥AB1；(2)求证：BC1∥平面CA1D.9．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P—ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝3，AD＝2， AB＝23，BC＝6.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求平面PBD与平面ABD的夹角的大小．(1)证明如图，建立空间直角坐标系，。
新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》word教案
3.2立体几何中的向量方法教学目标：1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法教学过程：相关知识与能力： 一.空间距离的计算1. 空间两点间的距离：设A 、B 是空间两点，则A 、B 两点间的距离d=||2.两条异面直线间的距离：设a 、b 是两条异面直线，是a 、b 的公共法向量（即b n a n ⊥⊥且），点A ∈a,B ∈b则异面直线a 、b 间的距离d =即在方向上的射影长为异面直线a 、b 间的距离。
3.点（或线）到平面的距离：1）设,.,外一点是平面点的法向量ααo P P是平面α内任一点，则P Od =2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。
二.空间角度的计算1. 两条异面直线所成的角：设l 1与l 2两条异面直线，∥l 1 ， ∥l 2，则l 1与l 2所成的角α=<n ，m >或α=л -<n ，m > （0<α≤2π） 所示图）见第一3.cos sin ==βθcos<n ，（0<α≤2π） 2. 斜线P 0P 与平面α所成的角θ)20(πθ<<3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为m n ,，则α与β所成的角的大小为<m n ,> 或><-m n ,π（如何确定？）典例分析：例1.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BD D D ,1的中点，G 在棱CD 上，且CD CG 41=，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题。
（1）求证：EF ⊥B 1C ；（2）求EF 与C 1G 所成的角的余弦； （3）求FH 的长。
选修2-1_3[1].2立体几何中的向量方法教案
![选修2-1_3[1].2立体几何中的向量方法教案](https://img.taocdn.com/s3/m/02d51ad984254b35eefd34e6.png)
3.2立体几何中的向量方法撰稿人：王文文审核：高二数学组全体成员时间:2012年12月28日【教学目标】1.学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；2．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；德育目标：能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。
【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．高考要求：会有一个立体几何的大题，应当重视。
【教学过程】一、复习回顾：1．直线l的方向向量的含义：.2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）（1）a//b⇔⇔；（2）a⊥b⇔⇔；（3）a·a＝= ；（4）cos＜a,b＞＝= 。
二、新课讲解：（一）．平面的法向量：。
（二）．直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：设直线l , m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则：l∥m⇔⇔；l⊥m⇔⇔；l∥α⇔⇔；l⊥α⇔⇔；α∥β⇔⇔；α⊥β⇔⇔。
练习：1．设直线l , m的方向向量分别为a，b，根据下列条件判断直线l , m 的位置关系：（1）a= （2 ，-1 ，-2），b=（6 ，-3，-6）；（2）a= （1 ， 2 ，-2），b=（-2， 3， 2）；（3）a= （0 ， 0， 1），b=（0 ， 0，-3）。
2．平面α，β的法向量分别为u，v，判断平面α，β位置关系：（1）u= （-2 ，2 ， 5），v=（6 ，-4， 4）；（2）u= （ 1 ，2 ，-2），v=（-2，-4， 4）；（3）u= （ 2 ，-3 ，5），v=（-3 ，1，-4）。
（三）例题讲解：例.1如图,一个结晶体的形状为平行六面体,其中顶点A 为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系。
人教版高中数学选修2-1第三章 3.2立体几何中的向量方法 同步教案(提高)
学生姓名 性别 年级 高二 学科 数学 授课教师上课时间年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时： 2 课时教学课题人教版 选修2-1 第三章 3.2立体几何中的向量方法 同步教案（提高）教学目标知识目标：和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积能力目标：理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．情感态度价值观：情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学的理性与严谨，感受探索的乐趣教学重点与难点 重点：利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；空间向量基本定理及其意义．利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；1.难点：能用向量方法证明线面的平行或垂直；.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题.用向量方法求空间角的大小；教学过程（一）空间向量及其运算知识梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)平面向量定理的向量表达式：a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中x ，y ∈R ，e 1，e 2为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝1.(3)空间向量基本定理：如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫作向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.例题精讲【题型一、空间向量的线性运算】例1 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.【题型二、共线定理、共面定理的应用】例2如图在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，试证：A 1B ∥平面AC 1D .巩固训练已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．【题型三、空间向量数量积的应用】例3 如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．（二）立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直知识梳理1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，则此向量方程叫作直线l 的参数方程．向量a 称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，叫作空间直线的向量参数方程．2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.例题精讲【题型一、利用空间向量证明平行问题】例1如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G分别是线段P A、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.【题型二、利用空间向量证明垂直问题】例2如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.【题型三、利用空间向量解决探索性问题】例3如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面P AC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．巩固训练如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（三）立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离知识梳理1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足 sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求平面间夹角的大小如图所示，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角． 已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉． 2.点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.例题精讲【题型一 求异面直线所成的角】例1 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 1、AA 1的中点，设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(2)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．巩固训练如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF ＝1.求直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值．【题型二、求直线与平面的夹角】例2 已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 夹角的大小．【题型三 求平面间的夹角】例3 (2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求平面BPC 与平面PCA 夹角的正切值．巩固训练(2011·辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求平面QBP 与平面BPC 的夹角的余弦值．巩固训练如图，已知在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点．(1)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； (2)求平面BDF 与平面AA 1B 夹角的余弦值.课后作业【基础巩固】 1．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216aB.66aC.156aD.153a 3．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直4. 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为 ( ) A ．平行 B ．异面 C ．垂直D ．以上都不对5 .如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成的角的余弦值为________．6．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________．【能力提升】7．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的有________个．8. 已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．9．如图，在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．10．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．11. 如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．星火教育一对一辅导教案学生姓名 性别年级高二学科数学 授课教师 谷老师上课时间年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时： 2 课时教学课题人教版数学选修2-1第三章 3.2立体几何中的向量方法 （提高）同步教案教学目标知识目标：和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积能力目标：理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系；能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．情感态度价值观：情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学的理性与严谨，感受探索的乐趣教学重点与难点 重点：利用向量的数量积判断向量的关系与垂直；空间向量基本定理及其意义．利用线线、线面、面面关系考查空间向量的运算；2.难点：能用向量方法证明线面的平行或垂直；.用向量方法解决立体几何中的一些探索性问题.用向量方法求空间角的大小；教学过程（四）空间向量及其运算知识梳理1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量． (2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量． (4)共面向量：平行于同一个平面的向量．2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (3)平面向量定理的向量表达式：a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中x ，y ∈R ，e 1，e 2为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝1.(3)空间向量基本定理：如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3.空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫作向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .②两向量的数量积已知空间两个非零向量a ，b ，则|a||b |cos 〈a ，b 〉叫作向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉．(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c .4．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB →|＝a 2－a 12＋b 2－b 12＋c 2－c 12.例题精讲【题型一、空间向量的线性运算】例1 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.【题型二、共线定理、共面定理的应用】例2如图在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 为BC 边上的中点，试证：A 1B ∥平面AC 1D .巩固训练已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．【题型三、空间向量数量积的应用】例3 如图所示，平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长；(2)求BD 1与AC 夹角的余弦值．（五）立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直知识梳理1．用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP →＝t a ，则此向量方程叫作直线l 的参数方程．向量a 称为该直线的方向向量．(2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →，叫作空间直线的向量参数方程．2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.例题精讲【题型一、利用空间向量证明平行问题】例1如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G分别是线段P A、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG.【题型二、利用空间向量证明垂直问题】例2如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.【题型三、利用空间向量解决探索性问题】例3如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面P AC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面P AC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．巩固训练如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（六）立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离知识梳理1．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足 sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求平面间夹角的大小如图所示，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面π1上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角． 已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2.当0≤〈n 1，n 2〉≤π2时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；当π2<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉． 2.点面距的求法如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |.例题精讲【题型一 求异面直线所成的角】例1 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是正方形BCC 1B 1的中心，点F 、G 分别是棱C 1D 1、AA 1的中点，设点E 1、G 1分别是点E 、G 在平面DCC 1D 1内的正投影．(1)证明：直线FG 1⊥平面FEE 1；(2)求异面直线E 1G 1与EA 所成角的正弦值．巩固训练如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝BF ＝1.求直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值．【题型二、求直线与平面的夹角】例2 已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，且AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 夹角的大小．【题型三 求平面间的夹角】例3 (2012·广东)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .(1)证明：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝1，AD ＝2，求平面BPC 与平面PCA 夹角的正切值．巩固训练(2011·辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求平面QBP 与平面BPC 的夹角的余弦值．巩固训练如图，已知在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于点E ，F 为A 1B 1的中点．(1)求异面直线AE 与BF 所成角的余弦值； (2)求平面BDF 与平面AA 1B 夹角的余弦值.课后作业【基础巩固】 1．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为( ) A.216aB.66aC.156aD.153a 3．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO 、AM 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直4. 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为 ( ) A ．平行 B ．异面 C ．垂直D ．以上都不对5 .如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成的角的余弦值为________．6．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为________．【能力提升】7．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的有________个．8. 已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________．9．如图，在直三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．10．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点． (1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．11. 如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图(2)． (1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．题型一 空间向量的线性运算例1 解 如图，连接AF ，则EF →＝EA →＋AF →.由已知ABCD 是平行四边形， 故AC →＝AB →＋AD →＝b ＋c ， A 1D →＝A 1A →＋AD →＝－a ＋c .由已知，A 1F →＝2FD →， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →－FD →＝AD →－13A 1D →＝c －13(c －a )＝13(a ＋2c )，又EA →＝－13AC →＝－13(b ＋c )，∴EF →＝EA →＋AF →＝－13(b ＋c )＋13(a ＋2c )＝13(a －b ＋c )．题型二 共线定理、共面定理的应用 例2证明 设BA →＝a ，BB 1→＝c ，BC →＝b ， 则BA 1→＝BA →＋AA 1→＝BA →＋BB 1→＝a ＋c ，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →＝－a ＋12b ，AC 1→＝AC →＋CC 1→＝BC →－BA →＋BB 1→＝b －a ＋c ， BA 1→＝AC 1→－2AD →， ∵A 1B 平面AC 1D ，因此A 1B ∥平面AC 1D .思维启迪：对于(1)只要证出向量BD →与EH →共线即可；对于(2)只要证出EG →＝EF →＋EH →即可；对于(3)，易知四边形EFGH 为平行四边形，则点M 为线段EG 与FH 的中点，于是向量OM →可由向量OG →和OE →表示，再将OG →与OE →分别用向量OC →，OD →和向量OA →，OB →表示． 证明 (1) 连接BG ， 则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →， 由共面向量定理的推论知： E 、F 、G 、H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →， 所以EH ∥BD .又EH 平面EFGH ，B D ⃘平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)找一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG .由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形． 所以EG ，FH 交于一点M 且被M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →) ＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 探究提高 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a ＝λb 关系，即可判定两直线平行．题型三 空间向量数量积的应用 例3解 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，∴a·b ＝b·c ＝c·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a·b ＋b·c ＋c·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ，∴|BD 1→|＝2，|AC →|＝3， BD 1→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a·c ＋b·c ＝1.∴cos 〈BD 1→，AC →〉＝BD 1→·AC →|BD 1→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.二立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直题型一 利用空间向量证明平行问题 例1证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD 且ABCD 为正方形， ∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)． ∴PB →＝(2,0，－2)，FE →＝(0，－1,0)，FG →＝(1,1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →、FE →与FG →共面． ∵PB 平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 题型二 利用空间向量证明垂直问题 例2证明 (1)如图建立空间直角坐标系A —xyz ，令AB ＝AA 1＝4，则A (0,0,0)，E (0,4,2)，F (2,2,0)，B (4,0,0)，B 1(4,0,4)． 取AB 中点为N ，连接CN ，则N (2,0,0)，C (0,4,0)，D (2,0,2)， ∴DE →＝(－2,4,0)，NC →＝(－2,4,0)， ∴DE →＝NC →，∴DE ∥NC ，又∵NC 平面ABC ，D E ⃘平面ABC .故DE ∥平面ABC . (2)B 1F →＝(－2,2，－4)，EF →＝(2，－2，－2)，AF →＝(2,2,0)． B 1F →·EF →＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0， B 1F →·AF →＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0. ∴B 1F →⊥EF →，B 1F →⊥AF →，即B 1F ⊥EF ，B 1F ⊥AF ， 又∵AF ∩FE ＝F ，∴B 1F ⊥平面AEF .题型三 利用空间向量解决探索性问题例3(1)证明 连接BD ，设AC 交BD 于O ，则AC ⊥BD .由题意知SO ⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，OS →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间 直角坐标系如图．设底面边长为a ，则高SO ＝62a ， 于是S ⎝⎛⎭⎫0，0，62a ，D ⎝⎛⎭⎫－22a ，0，0，B ⎝⎛⎭⎫22a ，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，22a ，0，SD →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，0，－62a ，则OC →·SD →＝0.故OC ⊥SD .从而AC ⊥SD .(2)解 棱SC 上存在一点E 使BE ∥平面PAC . 理由如下：由已知条件知DS →是平面PAC 的一个法向量，且DS →＝⎝⎛⎭⎫22a ，0，62a ，CS →＝⎝⎛⎭⎫0，－22a ，62a ，BC →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a ，0.设CE →＝tCS →，则BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋tCS →＝⎝⎛⎭⎫－22a ，22a (1－t )，62at ，而BE →·DS →＝0⇔t ＝13.即当SE ∶EC ＝2∶1时，BE →⊥DS →.而BE 不在平面PAC 内，故BE ∥平面PAC .思维启迪：利用向量法建立空间直角坐标系，将几何问题进行转化；对于存在性问题可通过计算下结论．(1)证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)， E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)，故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0. ∵AD 1→·B 1E →＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1.(2)解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)．使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)． 又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0.取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，有a 2－az 0＝0，解得z 0＝12.又D P ⃘平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.探究提高 对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证．另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”. 三立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离题型一 求异面直线所成的角例1思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解．向，12|DD 1→|为1(1)证明 以D 为原点，DD 1→、DC →、DA →分别为z 轴、y 轴、x 轴的正个单位长度建立空间直角坐标系．由题设知点E 、F 、G 1、E 1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)， ∴FE 1→＝(0,1，－1)，FG 1→＝(0，－1，－1)，EE 1→＝(－1,0,0)， ∴FG 1→·EE 1→＝0，FG 1→·FE 1→＝0⇒FG 1→⊥EE 1→，FG 1→⊥FE 1→， 又∵EE 1∩FE 1＝E 1.∴FG 1⊥平面FEE 1.(2)解 由题意知点A 的坐标为(2,0,0)，又由(1)可知EA →＝(1，－2，－1)，E 1G 1→＝(0，－2,0)，∴cos 〈EA →，E 1G 1→〉＝EA →·E 1G 1→|EA →|·|E 1G 1→|＝63，∴sin 〈EA →，E 1G 1→〉＝1－cos 2〈EA →，E 1G 1→〉＝33.解 以A 为原点，AB →、AD →、AA 1→分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D 1(0,3,2)，E (3,0,0)，F (4,1,0)，C 1(4,3,2)，于是EC 1→＝(1,3,2)，FD 1→＝(－4,2,2)，设EC 1与FD 1所成的角为β，则：cos β＝|EC 1→·FD 1→||EC 1→|·|FD 1→|＝1×(－4)＋3×2＋2×212＋32＋22×(－4)2＋22＋22＝2114，∴直线EC 1与FD 1所成的角的余弦值为2114.题型二 求直线与平面的夹角 例2(1)证明 设PA ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)． 所以CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)． 因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0， 所以CM ⊥SN .(2)解 设平面CMN 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·CM →＝x －y ＋12z ＝0n ·CN →＝(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫12，－1，0＝12x －y ＝0. ∴y ＝12x ，z ＝－x ，取x ＝2， 则n ＝(2,1，－2)为平面CMN 的一个法向量．∴cos 〈n ·SN →〉＝n ·SN →|n |·|SN →|＝(2，1，－2)·⎝⎛⎭⎫－12，－12，022＋1＋(－2)2·⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＋02＝－22. ∴〈n ·SN →〉＝135°，故SN 与平面CMN 夹角的大小为45°.题型三 求平面间的夹角例3 思维启迪：利用图中的PA ⊥平面ABCD 、ABCD 为矩形的条件建立空间直角坐标系，转化为向量问题．(1)证明 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，∴PA ⊥BD .同理由PC ⊥平面BDE 可证得PC ⊥BD .又PA ∩PC ＝P ，∴BD ⊥平面PAC .(2)解 如图，分别以射线AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由(1)知BD ⊥平面PAC ，又AC 平面PAC ，∴BD ⊥AC .故矩形ABCD 为正方形，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝2.∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．∴PB →＝(2,0，－1)，BC →＝(0,2,0)，BD →＝(－2,2,0)．设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PB →＝0，n ·BC →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2·x ＋0·y －z ＝0，0·x ＋2·y ＋0·z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2x ，y ＝0，取x ＝1得n ＝(1,0,2)． ∵BD ⊥平面PAC ，∴BD →＝(－2,2,0)为平面PAC 的一个法向量．cos 〈n ，BD →〉＝n ·BD →|n |·|BD →|＝－1010. 设平面BPC 与平面PCA 夹角为α，∴cos α＝1010，sin α＝1－cos 2α＝31010. ∴tan α＝sin αcos α＝3， 即平面BPC 与平面PCA 夹角的正切值为3.(1)证明 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，以DA 、DP 、DC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)．所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .又DQ ∩DC ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .又PQ 平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)解 依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)．设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·CB →＝0，n ·BP →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0. 因此可取n ＝(0，－1，－2)．同理，设m 是平面PBQ 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0， 可取m ＝(1,1,1)．所以cos 〈m ，n 〉＝－155. 故平面QBP 与平面BCP 的夹角的余弦值为－155.审题视角 (1)研究的几何体为长方体，AB ＝2，AA 1＝1.(2)所求的是异面直线所成的角和平面间的夹角．(3)可考虑用空间向量法求解．规范解答解 (1)以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图所示)．[2分]由于AB ＝2，BD 与平面AA 1B 1B 的夹角为30°，即∠ABD ＝30°，∴AD ＝233，[3分]∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，233，0，F (1,0,1)．又AE ⊥BD ，故由平面几何知识得AE ＝1，从而E ⎝⎛⎭⎫12，32，0，[4分]因为AE →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，BF →＝(－1,0,1)，∴AE →·BF →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0·(－1,0,1)＝－12，|AE →|＝1，|BF →|＝2，[6分]设AE 与BF 所成角为θ1， 则cos θ1＝|AE →·BF →||AE →||BF →|＝⎪⎪⎪⎪－121×2＝24.[8分]故异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为24.(2)设平面BDF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BF →＝0n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x＋z ＝0－2x ＋233y ＝0，∴z ＝x ，y ＝3x ，取x ＝1，得n ＝(1，3，1)．[10分]求得平面AA 1B 的一个法向量为m ＝AD →＝⎝⎛⎭⎫0，233，0.设平面BDF 与平面AA 1B 的夹角的大小为θ2.则cos θ2＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n |＝|0＋2＋0|233×5＝155.[12分]一、选择题答案 B解析 其中①③为真命题．2．答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a 2.设M (x ，y ，z )．∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z ) ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32＝216a . 3． 答案 C解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，NO →＝(－1,0，－2)，AM →＝(－2,0,1)，NO →·AM →＝0，则直线NO 、AM 的位置关系是异面垂直．4.三、解答题9(1)证明 设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |，且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a . ∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0. ∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)解 ∵AC ′→＝－a ＋c ，|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |. AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010(1)证明 如图，以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)、A (a,0,0)、B (a ，a,0)、C (0，a,0)、E ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0、P (0,0，a )、F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2. EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a,0)． ∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x,0，z )，则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0， 得x ＝a 2； 由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0. ∴G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，即G 点为AD 的中点．11(2012·北京)(1)证明 ∵AC ⊥BC ，DE ∥BC ，∴DE ⊥AC .∴DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，∴DE ⊥平面A 1DC ，又A 1C 平面A 1DC ，∴DE ⊥A 1C .又∵A 1C ⊥CD ，∴A 1C ⊥平面BCDE .(2)解 如图所示，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0)．设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，∴⎩⎨⎧3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，∴n ＝(2,1，3)．。
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案
第三章空间向量与立体几何空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量向量是怎样表示的呢［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢相等的向量又是怎样表示的呢［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P92练习Ⅳ.教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．Ⅴ.课后作业⒈课本P106 1、2、⒉预习课本P92～P96，预习提纲：⑴怎样的向量叫做共线向量⑵两个向量共线的充要条件是什么⑶空间中点在直线上的充要条件是什么⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式⑸怎样的向量叫做共面向量⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么板书设计：教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
选修2-1 3.2立体几何中的向量方法教案范文
课题：3.2立体几何中的向量方法（第76-79课时）（周三、周四、周五、周一；2010年元月6日、7日、8日、11日）【教学目标】1．在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念，为进一步运用打好基础；2．学会由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；3．学会运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题（主要是关于角的问题）；4．能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。
【教学重点】向量运算在立体几何证明与计算中的应用．【教学难点】在运用向量知识解决立体几何问题时的向量问题的转化与恰当的运算方式．【教学过程】一、双基回眸前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。
这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。
为此，首先简单回顾一下相关的基本知识和方法：1．直线l的方向向量的含义：.2．向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）（1）a//b⇔⇔；（2）a⊥b⇔⇔；（3）a·a＝= ；（4）cos＜a,b＞＝= 。
二、创设情景前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问题等等……若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等……而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？——这些问题就是我们将要探究或解决的主要问题……三、合作探究同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面。
由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了……下面请同学们合作探究一下这方面的知识和方法：（一）．平面的法向量：。
人教课标版高中数学选修2-1《立体几何中的向量方法(第5课时)》教案
（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）（此文档为word格式，下载后可以任意修改，直接打印使用！）3.2 立体几何中的向量方法3.2.5 利用向量知识求距离（名师：蒋力）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握利用空间向量求空间距离.（二）学习目标1.利用向量法证明空间中的点到平面的距离2.利用向量法证明空间中的线到平面和平面到平面的距离3.利用向量法证明空间中的异面直线间的距离（三）学习重点1.利用向量法证明空间中的点到平面的距离2.利用向量法证明空间中的线到平面和平面到平面的距离3.利用向量法证明空间中的异面直线间的距离（四）学习难点1．对向量法证明空间距离的理解．2．对各种证明方法的熟练掌握．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）填一填：1．点到平面的距离(如图)：平面α的法向量为n，点P 是平面α外一点，点M 为平面α内任意一点，则点P 到平面α的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP nd n=.2、异面直线的距离(如图)：设向量n与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP nd n=3、线到平面的距离(如图)：平面α∥直线l ，平面α的法向量为n，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP nd n=.4、平面到平面的距离(如图)：平面α∥β，平面α的法向量为n，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP nd n=.2．预习自测1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -，'A C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为_________.． 解析：【知识点】利用向量法求两点间的距离【解题过程】,,,,,02222a a a a E F a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =点拨：利用向量的模长公式计算两点间的距离.2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为__________.y． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】如图建立坐标系，平面ABC 1D 1的法向量为()1,0,1,n =()111111,,1,0,0,1,,,02222O D OD ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则点O 到平面ABC 1D 1的距离为：1OD n d n==点拨：利用点到平面的距离公式即可.3、正方体ABCD —1111A B C D 的棱长为a ，则点1A 到平面11AC D 的距离为_________.． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】如图建立坐标系，y平面ABC 1D 1的法向量为(),0,,n a a =()()()1111,0,,0,0,,,0,0A a a D a A Da =-则点O 到平面ABC 1D 1的距离为：11A D n d n ==点拨：利用点到平面的距离公式即可. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间中如何求点到面的距离？方法1：直接作或找距离； 方法2：等体积法（2）向量的射影公式:a 在b 上的射影为cos ,a ba ab b<>=2．问题探究探究一 结合实例，认识空间距离★ ●活动① 归纳提炼概念我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是一个比较难解决的问题，往往这个距离不易找到，我们以前用什么方法解决这个问题的呢?体积法（抢答），我们前面学习了空间向量，那么我们接下来试着用向量法解决这个难题.如图，,,平面垂足为则点到平面的距离就是线段的长度 .PO O P PO αα⊥若AP 是平面α的任一条斜线段，则在,cos 中PA PO Rt POA PO PA APO PO ⋅=∠=如果令平面的法向量为，考虑到法向量的方向，可以得到点P 到平面的距离为PA n PO n ⋅=因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步： （1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; （2）求出该平面的一个法向量;（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模. 同理，我们可以得到下面几个空间距离的求法 直线到平面的距离：转化为点到线的距离d =为斜向量，为法向量）平面到平面的距离：也是转化为点到线的距离||n d =AP 为斜向量，为法向量）探究二 利用向量法求点到直线的距离例1．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，求点B 到平面OCD 的距离.答案：23解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】作AP CD ⊥于点P ,如图,分别以AB,AP ,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1)A BP D O M , 2),(2)OP OD =-=- ∵(),,0,0设平面的法向量为,则OCD n x y z nOP n OD ∴⋅=⋅=即 2020y z x y z-=⎪+-=⎪⎩(解得z n =设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB在向量(0,n =上的射影的绝对值,(1,0,2)OB =-∵, 23OB n d n⋅==∴. 所以点B 到平面OCD 的距离为23点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离． 同类训练:如图，在四棱锥中，侧面P AD ⊥底面ABCD,侧棱P ,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点，求点A 到平面PCD 的距离.解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】解：连接OC,分别以OC ，OD ，OP 所在直线为x,y,z 轴建立坐标系.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = ，(1,0,1),(1,1,0)CP CD =-=-n CP n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以⎩⎨⎧00x z x y -+=-+=； 令x =1,则y=z =1,所以(1,1,1)n = 又(1,1,0)AC =则点A 到平面PCD的距离为：n AC d n⋅==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离． 探究三 利用向量法求线到平面的距离 例2已知斜三棱柱1111,902,，在底面上的射影恰为的中点,ABC A B C BCA AC BC A ABC AC D ︒-∠===又知11BA AC ⊥，求1CC 到平面1A AB 的距离.． 解析：【知识点】利用向量法求线到平面的距离 【解题过程】如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系,则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =,1(2,1,)BA t =-- ,(2,0,0)CB =,求1CC 到平面1A AB 的距离，即求1C 到平面1A AB 的距离，由21130AC BA t ⋅=-+=,得t =设平面1A AB 的法向量为(,,)n x y z =,1AA = ,(2,2,0)AB =,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩, 设1z =,则n = ∴点1C 到平面1A AB的距离1||||AC n n d ⋅==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式求出点到直线的距离．类题训练1.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题：（1） 求点1B 到面BE A 1的距离；答案：23解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离 【解题过程】如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x =为面BE A 1的法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴ 选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为32||11==n d点拨：建立坐标系，用向量射影公式求出点到面的距离. （2）求C D 1到面BE A 1的距离；答案：13解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离 【解题过程】)2,2,1()1(:1=BE A 的法向量知平面由解 )0,0,1(11=A D 斜向量111113D A nD A BE d n→→→⋅∴==点到面的距离为点拨：建立坐标系，用射影公式转化为求出点到面的距离. (3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离. 【解题过程】)1,1,1(:11-==AC BD A 的法向量为由图知平面解 )0,0,1(11=A D 又斜向量1111D A nD A BD d n→→→⋅∴==点到面的距离为33111的距离为与即面CB D BD A 点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到平面的距离． 同类训练：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则()()()()()12212,0,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2,,,1,,,333A a B a D A a E a a G a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 从而()2,,,0,2,1333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =， 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，． 自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(),,0H x y ，则()12,,2A H x y =--． 又()()2,0,1,1,1,1AD AE =-=-．由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111111cos ,cos ,A M AA A A A M AA A A A H =<>=<>= ．点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离． 探究四 利用向量法求异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段 思考：任意两条直线都有公垂线么？有几条？ 注意：①公垂线与两异面直线相交垂直，不是异面垂直 ②任意两条异面直线有且只有一条公垂线③两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条.想一想：我们可以用什么来表示异面直线间的距离呢？定义：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 那么，我们怎样求出两异面直线的距离呢？由图知，两条异面直线,a b 的距离，等于其中一条直线a 到过另一条直线b 且与这条直线a 平行的平面的距离.即异面直线,a b 的距离可以转化为直线a 上任一点A 到平面α的距离.接下来可按照向量法求点到直线距离求出异面直线间的距离.定义：若,n a n b ⊥⊥，则我们称n 为直线,a b 的公垂向量.求法:①作直线,a b 的方向向量,a b，求直线,a b 的公垂向量n ，即此异面直线,a b的公垂线的方向向量；②在直线,a b 上各取一点,A B ，作向量AB；③求向量AB 在n 上的射影d ，则异面直线,a b 的距离为AB nd n⋅=例3．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求异面直线B D 1与E A 1的距离.解析：【知识点】利用向量法求异面直线的距离 【解题过程】xyz D -系如图建立空间直角坐标解:111(0,0,1)(1,1,0)(1,0,1)(0,,1)2则、、、D B A E111(1,,0),(1,1,1)2A E DB →→∴=-=-B D E A z y x n 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y B D n A 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(=n 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D 得11BD E A 与的距离为141411==d 点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离． 同类训练： 如图，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =.求异面直线BD 和SC 之间的距离.解析：【知识点】利用向量法求异面直线的距离 【解题过程】解：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎫⎪⎪⎭，B ⎫⎪⎪⎭，C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2S),2DB CS⎫∴==⎪⎪⎭令向量(),,n x y z=，且,n DB n CS⊥⊥，则n DBn CS⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,x yx yì+=ïíï-+=î取1z=得()n=.∴异面直线BD和SC之间的距离为：OC ndn==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离．3. 课堂总结知识梳理（1）要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：①找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；②求出该平面的一个法向量；③求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模.（2）求异面直线的距离分三步：①作直线,a b的方向向量,a b，求直线,a b的公垂向量n，即此异面直线,a b的公垂线的方向向量；②在直线,a b上各取一点,A B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线,a b的距离为AB ndn⋅=（3）直线到平面的距离和平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离.重难点归纳（1）熟记和掌握射影公式AB ndn⋅=.（2）向量AB是点A出发的，与平面内任意一点B的斜线段对应的向量，因此尽量取特殊点，方便计算.（三）课后作业基础型自主突破1．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解析：如图建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,22,0,20,0,02,2,0D A D B 、、、∴()112,0,0D A =， ()()12,0,22,2,0DA DB == 、设(,,)n x y z=为平面1A BD 的法向量.由100n DA n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得220,220,x z x y ì+=ïí+=ïî取1x =得()1,1,1n =-- ∴点1D 到平面1A BD 的距离为11||D A n d n==. 点拨：建立合适的坐标系，用射影公式转化为求点到直线的距离.2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．． 解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解析：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(0,0,1)、E (1,0,12)、F (12,1,0)、D 1(0,1,1)．∴()11111,0,,0,1,02A E A D ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．设(,,)n x y z=为平面11A D E 的法向量.由11100n A E n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得10,220,x y y ì-=ïíï=î取1x =得()1,0,2n = 又11112A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为1A F n d n==点拨：建立合适的坐标系，用射影公式转化为求点到直线的距离.3．在四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a ，则点P 到平面ABC 的距离为________． 【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)、A (a,0,0)、B (0,a,0)、C (0,0,a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为(,,)333a a a.∴PH ＝∴点P 到平面ABC . 点拨：建立合适的坐标系，用射影公式转化为求点到直线的距离.． 4 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1A D 和AC 的距离为（ ）ABC D ．1 答案：A ．解析：【知识点】异面直线间的距离． 【解题过程】解：如图建立坐标系D xyz -，则1(1,0,1)(0,0,0)(1,0,0)(0,1,0)A D A C 、、、1(1,0,1),(1,1,0)DA AC ∴==- ，设1,DA AC 的公垂线的方向向量为(,,)n x y z =，则10n DA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z x y +=⎧⎨-+=⎩， 取1x =，则1,1y z ==-，所以()1,1,1n =-.在两直线上取,D A ，则()1,0,0DA =1A D ∴ 与AC的距离d 点拨：建立合适的坐标系，用射影公式转化为求直线到直线的距离. 5.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,A B CD 的中 点，求点B 到截面1AEC F 的距离.解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解析:建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，1(0,,0)2F ，1(1,,1)2E ，设(,,)n x y z = 为面1AECF 的一个法向量，则00n AE n AF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令1x =得(1,2,1)n =-，又(0,1,0)AB = ，所以点B 到截面1AEC F的距离为||||AB n d n ∙==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.6.如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别为,AB AD 的中点，GC 直于ABCD 所在平面α，且2GC =，求：点B 到平面EFG 的距离.． 解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析：建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，z则(0,4,0),B (2,4,0),(4,2,0),(0,0,2)E F G ，设(,,)n x y z = 是平面EFG的一个法向量，00n GE n GF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ 即24204220x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩令1x =得(1,1,3)n = 所以向量(2,0,0)EB =- 在n上的射影长为||||EB n d n ⋅== 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.能力型 师生共研7.长方体1111D C B A ABCD -中，14,6,4AB AD AA ===，M 是11A C 的中点，P 在线段BC 上，且2CP =，Q 是1DD 的中点，求：（1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值；（2）M 到平面1AB P 的距离.答案：（1（2解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解：（1）如图，建立空间直角坐标系B —xyz ，则()()()()4,0,02,3,40,4,04,6,2A M P Q 、、、，∴(2,3,4),(4,2,2)AM PQ =-= ，=6AM PQ =cos ,AM PQ AM PQ AM PQ<>== 故异面直线AM 与PQ （2）设平面1AB P 的法向量为(,,)n x y z = ，()()14,0,4,4,4,0AB AP =-=- 100n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以 440440x z x y -+=⎧⎨-+=⎩； 令x =1,则y=z =1,所以(1,1,1)n = 又()2,3,4MA =--那么点M 到平面P AB 1的距离为MA n d n== 故M 到平面1AB P. 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.17、如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB =4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角的余弦值;(Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.A C答案：(Ⅰ)见解析；(Ⅱ(Ⅲ解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解（Ⅰ）连接AC 、BD ，设AC BD O = .由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABC D.从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABC D.（Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC ⊥B D.由（Ⅰ），QO ⊥平面ABC D. 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是()()()()0,0,10,0,20,P A Q B -、、、所以()()2,0,1AQ PB =--=-于是cos ,AQ PB AQ PB AQ PB<>== 从而异面直线AQ 与PB所成的角的余弦值是. (Ⅲ)由（Ⅱ）点D的坐标()()0,,AD -=-- (0,0,3)PQ =- ，设(,,)n x y z = 是平面QAD 的一个法向量，由00n AQ n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以00z x y +=+=⎪⎩. 取1x =，得(1,1,n =- . 所以点P 到平面QAD的距离PQ n d n⋅== . 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.探究型 多维突破9.如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．【知识点】点到平面的距离．【解题过程】如图，取CD 的中点O ，连接OB ，OM ，因为△BCD 与△MCD 均为正三角形，所以OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BC D. 以O 为坐标原点，直线OC ，BO ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz.因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，所以OB ＝OM ＝3，则O (0,0,0)、C (1,0,0)、M (0,0，3)、B (0，－3，0)、A (0，－3，23)， 所以BC → ＝(1，3，0)，BM →＝(0，3，3)．设(,,)n x y z = 是平面MBC 的一个法向量，由 00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以00x ⎧+=⎪=.取x =)1,1n =-又(0,0,BA =，所求距离为BA n d n == 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.10.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1上的一点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证：CD ＝C 1D ；(2)求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值；(3)求点C 到平面B 1DP 的距离．答案：(1)见解析；(2)23；(3)13解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】(1)证明：连接AB 1交BA 1于点O ，连接OD.∵B 1P ∥平面BDA 1，B 1P ⊂平面AB 1P ，平面AB 1P ∩平面BA 1D ＝OD ，∴B 1P ∥O D.又∵O 为B 1A 的中点，∴D 为AP 的中点．∵C 1D ∥AA 1，∴C 1为A 1P 的中点．∴DC 1＝12AA 1＝12CC 1，∴C 1D ＝C D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系A 1－xyz ，则B 1(1,0,0)，B (1,0,1)，D (0,1,12)，设(,,)n x y z = 是平面1BA D 的一个法向量，由1100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，y ＋12z ＝0. 取2z =，得()2,1,2n =-- 又()111,0,0A B = 为平面AA 1D 的一个法向量， ∴1111112cos ,3n A B n A B n A B <>==- 由图形可知二面角A －A 1D －B 为锐角，∴二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.(3)解：∵C (0,1,1)、D (0,1,12)、B 1(1,0,0)、P (0,2,0)， ∴11110,0,1,1,,0,1,222CD DB DP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，． 设(,,)n x y z = 是平面1B DP 的一个法向量，由100n DB n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ， 所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －12z ＝0，y －12z ＝0.取2z =，得()2,1,2n =∴点C 到平面B 1DP 的距离13CD n d n == 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.自助餐1.已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB,AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________．【知识点】点到平面的距离．【解题过程】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则()0,0,2CG = ，由题意易得平面GEF 的一个法向量为n ＝(1,1,3)，所以点C 到平面GEF的距离为CG n d n == 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.2已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则点A 到平面BED 的距离为( )A ．2 B. 3 C. 2D ．1答案：D ．解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图)，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,22)，E (0,2，2)．设(,,)n x y z = 是平面BDE 的一个法向量，由00n BD n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ， 所以.22020x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 取y ＝1，得(1,1,n =-又()2,0,0DA = ， ∴点A 到平面BED 的距离是 DA n d n== |－1×2＋0＋0|(－1)2＋12＋(－2)2＝1. 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.3．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22C.2λ3D.55答案：D ．解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】如图，以射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()1111,,1,1,0,,0,,,1,1,,222G E GE F λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()1110,1,0,0,0,1,1,0,2EF D ED ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 设(,,)n x y z = 是平面1D EF 的一个法向量，由100n EF n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以 0102y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 取1x =，得()1,0,2n = 又10,,2GE λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所求距离为GE n d n== 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.4.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；(3)AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.答案：(1)见解析；(2)13；(3)2－ 3 解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AE ＝x ，则D (0,0,0)、A 1(1,0,1)、D 1(0,0,1)，E (1,x,0)、A (1,0,0)、C (0,2,0)．(1)∵()()111,0,1,1,,1DA D E x ==- ，∴11DA D E ＝(1,0,1)·(1，x ，－1)＝0，故D 1E ⊥A 1D.(2)因为E 为AB 的中点，则E (1,1,0)，从而()()()111,2,0,1,1,1,1,0,1AC D E AD =-=-=- ，设平面ACD 1的法向量为(),1,n a c = ，则也即⎩⎨⎧ －a ＋2＝0，－a ＋c ＝0，得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝2，从而()2,1,2n = ，所以点E 到平面ACD 1的距离为113D E n d n== (3)设平面CD 1E 的法向量m →＝(m,1，n )，从而CE →＝(1,x －2,0)，1D C →＝(0,2,－1)，1DD →＝(0,0,1)，由即⎩⎨⎧2－n ＝0，m ＋x －2＝0，得m →＝(2－x,1,2)， 依题意得：cos π4＝22，∴2(x －2)2＋5＝22， 解得x 1＝2＋ 3 (不合题意，舍去)，x 2＝2－3，∴AE ＝2－3时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.5．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的余弦值；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．答案：（Ⅰ）见解析；；解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解：（Ⅰ）AC BC = ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂ 平面ABC ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．PB AB == ，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，． AC PC = ，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =-- ，，，(211)EB =-- ，，，cosEC EB BEC EC EB∴∠=== ． （Ⅲ）AC BC PC == ，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE = ，∴点H 的坐标为222333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． ．∴点C 到平面APB 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.6．如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点.（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD?若存在，求出AQ QD的值；若不存在，请说明理由. 答案：（Ⅰ）见解析；(Ⅱ(Ⅲ)13 解析：【知识点】点到平面的距离【解题过程】解：(Ⅰ)证明：在△P AD 中P A =PD,O 为AD 中点，所以PO AD ⊥,又侧面P AD ⊥底面ABCD,平面PAD ⋂平面ABCD =AD,PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABC D.(Ⅱ)以O 为坐标原点，OC OD OP 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ，依题意，易得(010)A -，，、(110)B -，，、(100)C ，，、(010)D ，，、(001)P ，，所以()()1,1,0,1,1,1CD PB =-=-- ，cos cos ,PB θ=<所以异面直线PB 与CD(Ⅲ)假设存在点Q ，使得它到平面PCD， 由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=- 设平面PCD 的法向量为000(,,)n x y z →= .则0,0,n CP n CD →→→→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩所以00000,0,x z x y -+=⎧⎨-+=⎩即000x y z ==， 取x 0=1,得平面PCD 的一个法向量为(1,1,1)n →=.设(0,,0)(11),(1,,0),Q y y CQ y -≤≤=-由CQ n n =解y =－12或y =52(舍去)， 此时13,22AQ QD ==，所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =. 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.。
人教版高中数学选修2-1学案：第3章 空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法
§3.2 立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，12 -)．②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．解(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－13b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，12 -)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－35v，∴u∥v，∴α∥β.(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－14a，∴u∥a，∴l⊥α.知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.证明方法一如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M (0,1，12)，N (12,1,1)， D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是MN =（12，0，12）， 设平面A 1BD 的法向量是 n=（x ，y ，z ）. n ＝(x ，y ，z)．则n ·DB ＝0，得0,0,x z x y +=⎧⎨+=⎩取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又 MN ·n ＝ (12,0，12)·(1，－1，－1)＝0， 方法二 ∵MN = 111111122C N C M C B C C -=-111111()22D A D D DA =-=∴MN ∥1DA ，又∵MN ⊄平面A 1BD.∴MN ∥平面A 1BD.知识点三 利用向量方法证明垂直问题在正棱锥P —ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△PAB 的重心，E 、F分别为BC 、PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；(2)求证：EG 是PG 与BC 的公垂线段． 证明 (1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA 、PB 、PC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．令PA ＝PB ＝PC ＝3，则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)． 于是PA ＝(3,0,0)，FG ＝(3,0,0)，故 PA ＝3FG ，∴PA ∥FG .而PA ⊥平面PBC ，∴FG ⊥平面PBC ，又FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PBC. 方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)．EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(0，－1，－1)，设平面EFG 的法向量是n ＝(x ，y ，z)， 则有n ⊥EF ，n ⊥PA ，∴0,0,y z x y z +=⎧⎨--=⎩令y ＝1，得z ＝－1，x ＝0，即n ＝(0,1，－1)．而显然PA =（3，0，0）是平面PBC 的一个法向量.这样n ·PA = 0,∴n ⊥PA即平面PBC 的法向量与平面EFG 的法向量互相垂直，∴平面EFG ⊥平面PBC. （2）∵EG =（1， -1， -1），PG =（1，1，0），BC =（0， -3，3），∴EG ·PG =1-1= 0，EG ·BC =3-3 = 0，∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ， ∴EG 是PG 与BC 的公垂线段.知识点四 利用向量方法求角四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PA 与平面ABCD 所成的角为60°，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B ，P 的坐标； (2)求异面直线PA 与BC 所成角的余弦值．解 (1)如图所示，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D —xyz ，∵∠D ＝∠DAB ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，AD ＝2， ∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)．由PD ⊥面ABCD 得∠PAD 为PA 与平面ABCD 所成的角． ∴∠PAD ＝60°.在Rt △PAD 中，由AD ＝2，得PD ＝23． ∴P(0,0,23)． （2）∵PA ＝(2,0，－23)， BC =（-2， -3，0）∴cos 〈PA ,BC 〉=1313PA BC PA BC⋅=-∴PA与BC所成角的余弦值为1313．正方体ABEF－DCE′F′中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值．解取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1.方法一∵△AMN，△BMN为等腰三角形，∴AG⊥MN，BG⊥MN.∴∠AGB为二面角的平面角或其补角．∵AG=BG=64,,AB AG GB=+，设〈AG，GB〉=θ，AB2＝AG 2＋2AG·GB＋GB2，∴1＝(64)2＋2×64×64cosθ＋(64)2.∴cosθ＝13，故所求二面角的余弦值为13．方法二以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B－xyz则M(12，0，12)，N (12,12,0)，中点G(12，14，14)，A(1,0,0)，B(0,0,0)，由方法一知∠AGB为二面角的平面角或其补角．∴GA＝(12，－14，－14)，GB＝(12，－14，－14)，∴ cos<GA, GB>=GA GBGA GB⋅=11833388-=-⨯,故所求二面角的余弦值为13．方法三 建立如方法二的坐标系，∴110,0,AM n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即110,22110,22x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩取n 1＝(1,1,1)．同理可求得平面BMN 的法向量n 2＝(1，－1，－1)． ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212n n n n ⋅1333==-⨯,故所求二面角的余弦值为13知识点五 用向量方法求空间的距离已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．解如图所示，以C 为原点，CB 、CD 、CG 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系C －xyz.由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)， B(4,0,0)，D(0,4,0)，E(4,2,0)， F(2,4,0)，G(0,0,2)．BE ＝(0,2,0)，BF ＝(－2,4,0)，设向量BM ⊥平面GEF ，垂足为M ，则M 、G 、E 、F 四点共面，故存在实数x ，y ，z ，使BM = x BE + y BF + z BG ，即BM = x （0，2，0）+y （-2，4，0）+z （-4，0，2） =（-2y -4z ，2x+4y ，2z ）.由BM ⊥平面GEF ，得BM ⊥GE ,BM ⊥EF ，于是BM ·GE ＝0，BM ·EF ＝0， 即(24,24,2)(4,2,2)0,(24,24,2)(2,2,0)0,y x x y z y z x y z --+⋅-=⎧⎨--+⋅-=⎩即50,320,1,x zx y zx y z-=⎧⎪+++⎨⎪++=⎩，解得15,117,113,11xyz⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴BM＝(－2y－4z,2x＋4y,2z)＝226,,111111⎛⎫⎪⎭⎝∴|BM|＝222226()()()111111++21111=即点B到平面GEF的距离为21111．考题赏析(安徽高考)如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝4π，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．(1)求异面直线AB与MD所成角的大小；(2)求点B到平面OCD的距离．解作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立平面直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)．(1)设AB与MD所成角为θ，∵AB＝(1,0,0)，MD＝(－22，22，－1)，∴cosθ =12AB MDAG MD⋅=⋅．∴θ＝3π．∴AB与MD所成角的大小为3π．（2）∵OP=（0,22，2-），OD=（-22，22，2-）,∴设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则n·OP=0，n·OD= 0.得220,22220,22y zx y z⎧-=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z=2，解得n = (0,4,2).设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量n上的投影的绝对值.∵OB=（1，0，-2），∴d＝OB nn⋅23=,∴点B到平面OCD的距离为23,1．已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A．(33，33，－33) B．(33，－33，33)C．(－33，33，33) D．(－33，－33，－33)答案 DAB＝(－1,1,0)，是平面OAC的一个法向量．AC＝(－1,0,1)，BC＝(0，－1,1)设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)∴0,0,x yx z-+=⎧⎨-+=⎩令x＝1，则y＝1，z＝1 ∴n＝(1,1,1)单位法向量为：nn±＝± (33,33，33)．2．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是( )A．60°B．45°C．30°D．90°答案 B3．设l1的方向向量a＝(1,2，－2)，l2的方向向量b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝( )A．1 B．2 C．12D．3答案 B解析因l1⊥l2，所以a·b＝0，则有1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝0，∴2m＝6－2＝4，即m＝2.4．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，则( ) A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案 A解析因v＝－3u，∴v∥u.故α∥β.5．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析设〈AB，CD〉=θ，AB·CD=（AC+CD+DB·CD= |CD|2= 1，cosθ=12AB CDAB CD⋅=,所以θ=60°6．若异面直线l1、l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )A．25-B．25C．－255D．55答案 B解析设异面直线l1与l2的夹角为θ，则cosθ＝a ba b⋅⋅(1)44255416-⨯==⨯⋅+7．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l 的距离为________．答案366161， 解析PA =（6，0，0），因为点A 在直线l 上， n 与l 垂直，所以点P 到直线l 的距离为2223636616161634PA n⋅==++ 8．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．答案3π或23π，解析 设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1) 则cos 〈n 1，n 2〉＝100(1)(1)11222⨯+⨯-+-⨯=-⋅〈n 1，n 2〉＝23π．因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所成的角为3π或23π．9．已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，－2)、C(6,3,7)和D(－5，－4,8)，则顶点D 到平面ABC 的距离为________．答案 11解析 设平面ABC 的一个法向量为n =（x,y,z ）则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()()x,y,z (2,2,3)0,x,y,z (4,0,6)0,⋅--=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩ 2230,460,x y z x z --=⎧⎨+=⎩2,2,3y x z x =⎧⎪⇒⎨=-⎪⎩令x=1, 则n = (1,2, 23-),AD =（-7，-7，7）故所求距离为14714377311374149AD nn---⋅==⨯=++,10．如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于F.(1)证明：PA ∥平面BDE ； (2)证明：PB ⊥平面DEF.证明 (1)如图建立空间直角坐标系，设DC ＝a ，AC ∩BD ＝G ，连结EG ，则A(a,0,0)，P(0,0，a)，C(0，a,0)，E (0，2a ，2a )，G (2a ，2a，0)． 于是PA =（a ，0， -a ），EG =（2a ，0，2a-）,∴PA = 2EG ，∴PA ∥EG .又EG ⊂平面DEB.PA ⊄平面DEB.∴PA ∥平面DEB.(2)由B(a,a,0),得PB =(a, a, -a), 又DE =（0, 2a ,2a）,∵PB ·DE =22a 20,2a -= ∴PB ⊥DE.又EF ⊥PB ，EF ∩DE=E ，∴PB ⊥平面EFD.11．如图所示，已知点P 在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小． 解如图所示，以D 为原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系D —xyz. 则DA =（1，0，0），'CC = (0,0,1).连结BD,B ′D ′. 在平面BB ′D ′D 中,延长DP 交B ′D ′于H. 设DH = (m,m,1) (m>0),由已知〈DH ,DA 〉= 60°, 由DA ·DH = |DA ||DH |cos 〈DH ,DA 〉,可得2m =221m + 解得m =22，所以DH ＝(22，22，1)， (1) 因为cos 〈DH ,'CC 〉= 220011222212⨯+⨯+⨯=⨯ (2) 所以〈DH ,'CC 〉= 45°, 即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC = (0,1,0).因为cos 〈DH ,DC 〉= 220011222212⨯+⨯+⨯=⨯ 所以〈DH ,DC 〉= 60°,可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.12. 如图，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.平面PBD ⊥平面PAC ，(1)求点A 到平面PBD 的距离;(2)求异面直线AB 与PC 的距离.(1)解 以AC 、BD 的交点为坐标原点，以AC 、BD 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A （3，0，0），B （0，1，0），C （3-，0，0），D （0， -1，0），P （3，0，2）.设平面PBD 的一个法向量为n 1=（1，y 1，z 1）.由n 1⊥OB ， n 1⊥OP ，可得n 1=（1，0，32-）.（1）OA =（3，0，0），点A 到平面PBD 的距离,11OA n d n ⋅=2217=, 13.如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC = 2a ，BB 1 = 3a ，D 为A 1C 1的中点，在线段AA 1上是否存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ？若存在，求出|AF |；若不存在，请说明理由.解 以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.假设存在点F ，使CF ⊥平面B 1DF ，并设AF =λ1AA =λ（0，0，3a ）=（0，0，3λa ）（0<λ<1）， ∵D 为A 1C 1的中点，∴D(22a ，22a ,3a) 1B D ＝ (22a ，22a ,3a)－(0,0,3a)＝ (22a ,22a ， 0)， 1B F 1B B BA AF =++=(0,0,3)(2,0,0)(0,0,3)a a a λ-++ ∵CF ⊥平面B 1DF ，∴CF ⊥1B D , CF ⊥1B F ,110,0,CF B D CF B F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2300,9920,a λλλ⨯=⎧⎨-+=⎩ 解得λ＝23或λ＝13 ∴存在点F 使CF ⊥面B 1DF ，且 当λ=13时，|AF |=13,|1AA | = a 当λ=23，|AF | =23,|1AA | = 2a. 14．如图(1)所示，已知四边形ABCD 是上、下底边长分别为2和6，高为eq \r(3)的等腰梯形．将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图(2)．(1)证明：AC ⊥BO 1；(2)求二面角O —AC —O 1的余弦值．(1)证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1.所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB. 故以O 为原点，OA 、OB 、OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则相关各点的坐标是A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,1, 3)、O 1(0,0, 3)．AC ·1BO ＝－3＋3·3＝0.所以AC ⊥BO 1.（2）解 因为1BO ·OC =3-+ 3·3＝0.所以BO 1⊥OC.由（1）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC, 1BO 是平面OAC 的一个法向量.设n=（x ，y ，z ）是平面O 1AC 的一个法向量，由10,0,n AC n O C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩330,0,x y z y ⎧-++=⎪⇒⎨=⎪⎩ 取z= 3，得n=（1，0，3）.设二面角O-AC-O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知θ=〈n,1BO 〉， 所以cos θ= cos 〈n ，1BO 〉=113n BO n BO ⋅= 即二面角O —AC —O 13。
人教课标版高中数学选修2-1：《立体几何中的向量方法(第5课时)》教案-新版
3.2.5 利用向量知识求距离一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握利用空间向量求空间距离.（二）学习目标1.利用向量法证明空间中的点到平面的距离2.利用向量法证明空间中的线到平面和平面到平面的距离3.利用向量法证明空间中的异面直线间的距离（三）学习重点1.利用向量法证明空间中的点到平面的距离2.利用向量法证明空间中的线到平面和平面到平面的距离3.利用向量法证明空间中的异面直线间的距离（四）学习难点1．对向量法证明空间距离的理解．2．对各种证明方法的熟练掌握．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）填一填：1．点到平面的距离(如图)：平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是PM在n上的射影长，即MP n dn =.2、异面直线的距离(如图)：n设向量n 与两异面直线a 、b 都垂直，M ∈a 、P ∈b ，则两异面直线a 、b 间的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP n d n=3、线到平面的距离(如图)：平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈l ，平面α与直线l 间的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP n d n=.4、平面到平面的距离(如图)：平面α∥β，平面α的法向量为n ，点M ∈α、P ∈β，平面α与平面β的距离d 就是 PM 在n 上的射影长 ，即MP n d n=.2．预习自测1.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体nnn''''ABCD A B C D -，'A C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为_________.． 解析：【知识点】利用向量法求两点间的距离【解题过程】,,,,,02222a a a a E F a⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a EF ⎛∴== 点拨：利用向量的模长公式计算两点间的距离.2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是A 1C 1的中点，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为__________.y． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】如图建立坐标系， 平面ABC 1D 1的法向量为()1,0,1,n =()111111,,1,0,0,1,,,02222O D OD ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则点O 到平面ABC 1D 1的距离为：12OD n d n==点拨：利用点到平面的距离公式即可.3、正方体ABCD —1111A B C D 的棱长为a ，则点1A 到平面11AC D 的距离为_________.． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】如图建立坐标系，y平面ABC 1D 1的法向量为(),0,,n a a =()()()1111,0,,0,0,,,0,0A a a D a A Da =-则点O 到平面ABC 1D 1的距离为：112A D n d a n==点拨：利用点到平面的距离公式即可. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）空间中如何求点到面的距离？ 方法1：直接作或找距离； 方法2：等体积法（2）向量的射影公式:a 在b 上的射影为cos ,a b a a b b<>=2．问题探究探究一 结合实例，认识空间距离★ ●活动① 归纳提炼概念我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是一个比较难解决的问题，往往这个距离不易找到，我们以前用什么方法解决这个问题的呢?体积法（抢答），我们前面学习了空间向量，那么我们接下来试着用向量法解决这个难题.如图，,,平面垂足为则点到平面的距离就是线段的长度 .PO O P PO αα⊥若AP 是平面α的任一条斜线段，则在,cos 中PA PO Rt POA PO PA APO PO⋅=∠=如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点P 到平面的距离为PA n PO n⋅=因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步： （1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量; （2）求出该平面的一个法向量;（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模. 同理，我们可以得到下面几个空间距离的求法 直线到平面的距离：转化为点到线的距离d =为斜向量，n 为法向量）平面到平面的距离：也是转化为点到线的距离||n d =AP 为斜向量，为法向量）探究二 利用向量法求点到直线的距离例1．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，求点B 到平面OCD 的距离.答案：23解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离 【解题过程】作AP CD ⊥于点P ,如图,分别以AB,AP ,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1)A BP D O M , 22(0,,2),(2)OP OD =-=--∵(),,0,0设平面的法向量为,则OCD n x y z n OP n OD∴⋅=⋅=即2020 y zx y z-=⎪+-=⎪⎩()0,4,2解得z n =设点B到平面OCD的距离为d,则d为OB在向量(0,n=上的射影的绝对值,(1,0,2) OB=-∵,23OB ndn⋅==∴.所以点B到平面OCD的距离为2 3点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离．同类训练:如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱P,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点，求点A到平面PCD的距离.解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离【解题过程】解：连接OC,分别以OC，OD，OP所在直线为x,y,z轴建立坐标系.设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，(1,0,1),(1,1,0)CP CD =-=-n CP n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以⎩⎨⎧00x z x y -+=-+=； 令x =1,则y=z =1,所以(1,1,1)n =又(1,1,0)AC = 则点A 到平面PCD 的距离为：23n AC d n⋅==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离． 探究三 利用向量法求线到平面的距离 例2已知斜三棱柱1111,902,，在底面上的射影恰为的中点,ABC A B C BCA AC BC A ABC AC D ︒-∠===又知11BA AC ⊥，求1CC到平面1A AB 的距离.． 解析：【知识点】利用向量法求线到平面的距离 【解题过程】如图,取AB 的中点E ,则//DE BC ,∵BC AC ⊥,∴DE AC ⊥, 又1A D ⊥平面ABC ,以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系,则(0,1,0)A -,(0,1,0)C ,(2,1,0)B ,1(0,0,)A t ,1(0,2,)C t ,1(0,3,)AC t =,1(2,1,)BA t =--,(2,0,0)CB =,求1CC 到平面1A AB 的距离，即求1C 到平面1A AB 的距离， 由21130AC BA t ⋅=-+=,得t =设平面1A AB 的法向量为(,,)n x y z =,1AA =,(2,2,0)AB =,10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩, 设1z =,则33(,n =-∴点1C 到平面1A AB 的距离1||221||AC n n d ⋅==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式求出点到直线的距离．类题训练1.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求下列问题：（1） 求点1B 到面BE A 1的距离；答案：23解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离 【解题过程】如图，建立空间直角坐标系xyz D -，则),1,1,0(),0,21,1(11-=-=∴B A E A ，设),,(z y x =为面BE A 1的法向量则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0210011z y y x B A n E A n 取1=x ，得2,2==z y ，)2,2,1(=∴ 选点1B 到面BE A 1的斜向量为)0,1,0(11=B A 得点1B 到面BE A 1的距离为32||11==n d点拨：建立坐标系，用向量射影公式求出点到面的距离. （2）求C D 1到面BE A 1的距离；答案：13解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离【解题过程】)2,2,1()1(:1=BE A 的法向量知平面由解 )0,0,1(11=A D 斜向量111113D A nD A BE d n→→→⋅∴==点到面的距离为点拨：建立坐标系，用射影公式转化为求出点到面的距离.(3) 求面DB A 1与面11CB D 的距离；． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面，线到平面，面到平面的距离.【解题过程】)1,1,1(:11-==AC BD A 的法向量为由图知平面解)0,0,1(11=A D 又斜向量1111D A nD A BD d n →→→⋅∴==点到面的距离为 33111的距离为与即面CB D BD A 点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到平面的距离． 同类训练：如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．． 解析：【知识点】利用向量法求点到平面的距离【解题过程】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则()()()()()12212,0,0,0,2,0,0,0,1,2,0,2,,,1,,,333A a B a D A a E a a G a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 从而()2,,,0,2,1333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭． 由0GE BD GEBD ⊥⇒=·，得1a =， 则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，． 自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(),,0H x y ，则()12,,2A H x y =--．又()()2,0,1,1,1,1AD AE =-=-．由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，． 又11111112cos ,cos ,A M AA A A A M AA A A A H =<>=<>=．点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离．探究四利用向量法求异面直线的距离和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段思考：任意两条直线都有公垂线么？有几条？注意：①公垂线与两异面直线相交垂直，不是异面垂直②任意两条异面直线有且只有一条公垂线③两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条.想一想：我们可以用什么来表示异面直线间的距离呢？定义：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离.那么，我们怎样求出两异面直线的距离呢？由图知，两条异面直线,a b的距离，等于其中一条直线a到过另一条直线b且与这条直线a平行的平面的距离.即异面直线,a b的距离可以转化为直线a上任一点A到平面α的距离.接下来可按照向量法求点到直线距离求出异面直线间的距离.定义：若,n a n b⊥⊥，则我们称n为直线,a b的公垂向量.求法:①作直线,a b的方向向量,a b，求直线,a b的公垂向量n，即此异面直线,a b 的公垂线的方向向量；②在直线,a b上各取一点,A B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线,a b的距离为AB n dn⋅=例3．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 为11D C 的中点，求异面直线B D 1与E A 1的距离.解析：【知识点】利用向量法求异面直线的距离【解题过程】xyz D -系如图建立空间直角坐标解:111(0,0,1)(1,1,0)(1,0,1)(0,,1)2则、、、D B A E 111(1,,0),(1,1,1)2A E DB →→∴=-=- D A z y x 11,),,(是与设=都垂直的向量，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅x z x y D E A n 320011，取1=x ，得一个法向量为)3,2,1(= 选11BD E A 与的两点向量)0,0,1(11=A D得11BD E A 与的距离为1414||11==n d 点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离． 同类训练： 如图，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB =.求异面直线BD 和SC 之间的距离.解析：【知识点】利用向量法求异面直线的距离【解题过程】解：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎫⎪⎪⎭，B ⎫⎪⎪⎭，C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2S()22,2,0,,2DB CS ⎛⎫∴== ⎪⎪⎭ 令向量(),,n xy z =，且,n DB n CS ⊥⊥，则00n DB n CS ⎧=⎪⎨=⎪⎩得0,0,x y x y ì+=ïíï-+=î取1z=得()2,n =-. ∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：25OC nd n ==点拨：建立适当的坐标系，用向量射影公式转化为求出点到直线的距离．3. 课堂总结知识梳理（1）要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：①找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；②求出该平面的一个法向量；③求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模.（2）求异面直线的距离分三步：①作直线,a b 的方向向量,a b ，求直线,a b 的公垂向量n ，即此异面直线,a b 的公垂线的方向向量；②在直线,a b 上各取一点,A B ，作向量AB ；③求向量AB 在n 上的射影d ，则异面直线,a b 的距离为AB nd n ⋅=（3）直线到平面的距离和平面到平面的距离可以转化为点到平面的距离. 重难点归纳（1）熟记和掌握射影公式AB nd n ⋅=.（2）向量AB 是点A 出发的，与平面内任意一点B 的斜线段对应的向量，因此尽量取特殊点，方便计算.（三）课后作业基础型 自主突破1．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析：如图建立空间直角坐标系，则()()()()110,0,22,0,20,0,02,2,0D A D B 、、、∴()112,0,0D A =，()()12,0,22,2,0DA DB ==、设(,,)n x y z =为平面1A BD 的法向量.由100n DA n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩得220,220,x z x y ì+=ïí+=ïî取1x =得()1,1,1n =-- ∴点1D 到平面1A BD 的距离为 11||233D A n d n ==. 点拨：建立合适的坐标系，用射影公式转化为求点到直线的距离.2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为________．． 解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(0,0,1)、E (1,0,12)、F (12,1,0)、D 1(0,1,1)．∴()11111,0,,0,1,02A E A D ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 设(,,)n x y z =为平面11A D E 的法向量.由11100n A E n A D ⎧=⎪⎨=⎪⎩得10,220,x y y ì-=ïíï=î取1x =得()1,0,2n = 又11112A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离为135A F nd n ==点拨：建立合适的坐标系，用射影公式转化为求点到直线的距离.3．在四面体P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，设P A ＝PB ＝PC ＝a，则点P 到平面ABC 的距离为________．【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P －xyz ，则P (0,0,0)、A (a,0,0)、B (0,a,0)、C (0,0,a )．过点P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于点H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．∵P A ＝PB ＝PC ，∴H 为△ABC 的外心．又∵△ABC 为正三角形，∴H 为△ABC 的重心，可得H 点的坐标为(,,)333a a a . ∴PH ＝∴点P 到平面ABC .． 4 在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1A D 和AC 的距离为（ ）ABCD ．1答案：A ．解析：【知识点】异面直线间的距离．【解题过程】解：如图建立坐标系D xyz -，则1(1,0,1)(0,0,0)(1,0,0)(0,1,0)A D A C 、、、1(1,0,1),(1,1,0)DA AC ∴==-，设1,DA AC 的公垂线的方向向量为(,,)n x y z =，则100n DA n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z x y +=⎧⎨-+=⎩， 取1x =，则1,1y z ==-，所以()1,1,1n =-.在两直线上取,D A ，则()1,0,0DA =1A D ∴与AC 的距离33DA nd n ⋅=5.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11,A B CD 的中 点，求点B 到截面1AEC F 的距离.解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解析:建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(1,0,0)A ，1(0,,0)2F ，1(1,,1)2E ，设(,,)n x y z =为面1AECF 的一个 法向量，则00n AE n AF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即102102y z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令1x =得(1,2,1)n =-，又(0,1,0)AB =，所以点B 到截面1AEC F 的距离为||6||AB n d n ∙==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.6.如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，,E F 分别为,AB AD 的中点，GC直于ABCD 所在平面α，且2GC =，求：点B 到平面EFG 的距离.． 解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解析：建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，z则(0,4,0),B (2,4,0),(4,2,0),(0,0,2)E F G ，设(,,)n x y z =是平面EFG的一个法向量，00n GE n GF ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩即24204220x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩令1x =得(1,1,3)n =所以向量(2,0,0)EB =-在n 上的射影长为||211||EB n d n ⋅== 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用. 能力型 师生共研7.长方体1111D C B A ABCD -中，14,6,4AB AD AA ===，M 是11A C 的中点，P 在线段BC 上，且2CP =，Q 是1DD 的中点，求： （1）异面直线AM 与PQ 所成角的余弦值； （2）M到平面1AB P 的距离. 答案：（1（2 解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解：（1）如图，建立空间直角坐标系B —xyz ，则()()()()4,0,02,3,40,4,04,6,2A M P Q 、、、， ∴(2,3,4),(4,2,2)AM PQ =-=，(AM ∴=-=24,6PQ AM PQ ==174cos ,58AM PQ AM PQ AMPQ<>==故异面直线AM 与PQ （2）设平面1AB P 的法向量为(,,)n x y z =，()()14,0,4,4,4,0AB AP =-=-10n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 440440x z x y -+=⎧⎨-+=⎩； 令x =1,则y=z =1,所以(1,1,1)n = 又()2,3,4MA =-- 那么点M 到平面P AB 1的距离为53MA nd n==， 故M 到平面1AB P . 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.17、如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB =4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.AC答案：(Ⅰ)见解析；(Ⅱ(Ⅲ解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】解（Ⅰ）连接AC 、BD ，设ACBD O =.由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥，所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABC D.从而P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABC D. （Ⅱ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC ⊥B D.由（Ⅰ），QO ⊥平面ABC D. 故可分别以直线CA 、DB 、QP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是()()()()0,0,10,0,20,P A Q B -、、、所以()()22,0,2,0,21AQ PB =--=-于是3cos ,9AQ PB AQ PB AQ PB<>==从而异面直线AQ 与PB 所成的角的余弦值是.(Ⅲ)由（Ⅱ）点D的坐标()()0,,AD -=--(0,0,3)PQ =-，设(,,)n x y z =是平面QAD 的一个法向量，由n AQ n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以z x y +=+=⎪⎩. 取1x =，得(1,1,n =-. 所以点P 到平面QAD 的距离32PQ n d n⋅==. 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用. 探究型 多维突破9.如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB⊥平面BCD ，AB ＝23，求点A 到平面MBC 的距离．【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】如图，取CD 的中点O ，连接OB ，OM ，因为△BCD 与△MCD 均为正三角形，所以OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ，所以MO ⊥平面BC D. 以O 为坐标原点，直线OC ，BO ，OM 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz .因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，所以OB ＝OM ＝3，则O (0,0,0)、C (1,0,0)、M (0,0，3)、B (0，－3，0)、A (0，－3，23)， 所以BC →＝(1，3，0)，BM →＝(0，3，3)． 设(,,)n x y z =是平面MBC 的一个法向量，由n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以x ⎧+=⎪=.取x =()3,1,1n =-又(0,0,BA =，所求距离为215BA n d n==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用. 10.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1上的一点，P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA 1.(1)求证：CD ＝C 1D ；(2)求二面角A－A 1D －B 的平面角的余弦值； (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．答案：(1)见解析；(2)23；(3)13解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】(1)证明：连接AB 1交BA 1于点O ，连接OD.∵B 1P ∥平面BDA 1，B 1P ⊂平面AB 1P ，平面AB 1P ∩平面BA 1D ＝OD ，∴B 1P ∥O D.又∵O 为B 1A 的中点，∴D 为AP 的中点． ∵C 1D ∥AA 1，∴C 1为A 1P 的中点． ∴DC 1＝12AA 1＝12CC 1，∴C 1D ＝C D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系A 1－xyz ，则B 1(1,0,0)，B (1,0,1)，D (0,1,12)，设(,,)n x y z =是平面1BA D 的一个法向量，由110n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，y ＋12z ＝0.取2z =，得()2,1,2n =--又()111,0,0A B =为平面AA 1D 的一个法向量，∴1111112cos ,3n A B n A B n A B <>==-由图形可知二面角A －A 1D －B 为锐角， ∴二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. (3)解：∵C (0,1,1)、D (0,1,12)、B 1(1,0,0)、P (0,2,0)，∴11110,0,1,1,,0,1,222CD DB DP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．设(,,)n x y z =是平面1B DP 的一个法向量，由10n DB n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y －12z ＝0，y －12z ＝0.取2z =，得()2,1,2n =∴点C 到平面B 1DP 的距离13CD n d n==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用. 自助餐1.已知正方形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，CG ＝2，E ，F 分别是AB,AD 的中点，则点C 到平面GEF 的距离为________． 【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则()0,0,2CG =，由题意易得平面GEF 的一个法向量为n ＝(1,1,3)，所以点C到平面GEF 的距离为611 CG ndn==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.2已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则点A到平面BED的距离为( )A．2B. 3C. 2D．1答案：D．解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,22)，E(0,2，2)．设(,,)n x y z=是平面BDE 的一个法向量，由n BDn DE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以.22020x yy+=⎧⎪⎨=⎪⎩取y＝1，得(1,1,n=-又()2,0,0DA=，∴点A 到平面BED 的距离是DA n d n==|－1×2＋0＋0|(－1)2＋12＋(－2)2＝1.点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.3．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22 C.2λ3 D.55 答案：D ．解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】如图，以射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()1111,,1,1,0,,0,,,1,1,,222G E GE F λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1110,1,0,0,0,1,1,0,2EF D ED ⎛⎫==- ⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面1D EF 的一个法向量，由10n EF n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 0102y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 取1x =，得()1,0,2n =又10,,2GE λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所求距离为5GE n d n==点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.4.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (3)AE 等于何值时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.答案：(1)见解析；(2)13；(3)2－ 3解析：【知识点】点到平面的距离． 【解题过程】以D 为坐标原点，直线DA ，DC，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设AE ＝x ，则D (0,0,0)、A 1(1,0,1)、D 1(0,0,1)，E (1,x,0)、A (1,0,0)、C (0,2,0)．(1)∵()()111,0,1,1,,1DA D E x ==-，∴11DA D E ＝(1,0,1)·(1，x ，－1)＝0，故D 1E ⊥A 1D.(2)因为E 为AB 的中点，则E (1,1,0)，从而()()()111,2,0,1,1,1,1,0,1AC D E AD =-=-=-，设平面ACD 1的法向量为(),1,n a c =，则也即⎩⎨⎧ －a ＋2＝0，－a ＋c ＝0，得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝2， 从而()2,1,2n =，所以点E 到平面ACD 1的距离为 113D E nd n == (3)设平面CD 1E 的法向量m →＝(m,1，n )，从而CE →＝(1,x －2,0)，1D C →＝(0,2,－1)，1DD →＝(0,0,1)，由即⎩⎨⎧2－n ＝0，m ＋x －2＝0，得m →＝(2－x,1,2)， 依题意得：cos π4＝22，∴2(x －2)2＋5＝22， 解得x 1＝2＋ 3 (不合题意，舍去)，x 2＝2－3，∴AE ＝2－3时，二面角D 1－EC －D 的大小为π4.点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.5．如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的余弦值；（Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．答案：（Ⅰ）见解析；； 解析：【知识点】点到平面的距离．【解题过程】解：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂平面ABC ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -．则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，．设(00)P t ，，．PB AB ==，2t ∴=，(002)P ，，．取AP 中点E ，连结BE CE ，． AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 326EC EB BEC EC EB ∴∠===． （Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离．如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫ ⎪⎝⎭，，． 23CH =．∴点C 到平面APB 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.6．如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD ，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD,AB ⊥AD,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点.（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD?若存在，求出AQ QD的值；若不存在，请说明理由. 答案：（Ⅰ）见解析；(Ⅱ(Ⅲ)13 解析：【知识点】点到平面的距离【解题过程】解：(Ⅰ)证明：在△P AD 中P A =PD,O 为AD 中点，所以PO AD ⊥,又侧面P AD ⊥底面ABCD,平面PAD ⋂平面ABCD =AD,PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABC D.(Ⅱ)以O 为坐标原点，OC OD OP 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ，依题意，易得(010)A -，，、(110)B -，，、(100)C ，，、(010)D ，，、(001)P ，，所以()()1,1,0,1,1,1CD PB =-=--， 6cos cos,3PB CDPB CD PB CD θ=<>==所以异面直线PB 与CD(Ⅲ)假设存在点Q ，使得它到平面PCD， 由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=-设平面PCD 的法向量为000(,,)n x y z →= .则0,0,n CP n CD →→→→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩所以00000,0,x z x y -+=⎧⎨-+=⎩即000x y z ==， 取x 0=1,得平面PCD 的一个法向量为(1,1,1)n →=.设(0,,0)(11),(1,,0),Q y y CQ y -≤≤=-由3CQ n n =，得解y =－12或y =52(舍去)， 此时13,22AQ QD ==，所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =. 点拨：对于线面距离、面面距离，可以通过转化为点面距离来求解，所以点面距离的向量求法可以加以推广，进行合理运用.。
高中数学选修2-1教案 3.2立体几何中的向量方法第5课时
§3.2.5 综合问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。
由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。
【教学目标】：（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：坐标法与向量法结合.【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．【课前准备】：Powerpoint课件24BA CD=异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为0, 0,3x z y z +=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩3,1,-.37EC n n==解决立体几何问题的三种方法：五、作业习题3.２ A 组9、10、 12 题；选作B 组2 , 3 题练习与测试： （基础题）1，过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =， 则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．90答：B2，设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,AB 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 （ ）A ．23B ．25C ．27D ． 42答：C3，如下图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x 、y 、z 的值分别为A.x =,y =,z =B.x =,y =,z =C.x =,y =,z =D.x =,y =,z = 解析：=－,=－,=(+)=+－,=－=+－,D 1C 1B 1CDA 1==－++,=+=+ +.答案：D4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M =AN =a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是A.相交B.平行C.垂直D.不能确定解析：因为正方体的棱长为a ,故面对角线A 1B =AC =a .而A 1M =AN =a ，所以M 、N 分别是A 1B 和AC 上的三等分点.在B 1B 、BC 上各取点E 、F ，使得B 1E =BF =a .则=++.但=－=－=(－)=，=－=－= (－)=，∴+= + =+=0，∴=，即MN ∥EF ，∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B（中等题）5，如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1，.求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.解：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则E （3，3，0）、C 1（0，4，2）、D 1（0，0，2）、F （2，4，0）.从而1EC ＝（－3，1，2）、1FD ＝ （－2，－4，2）所以直线EC 1与FD 1所成的余弦值为 11FD EC ||||1111FD EC •14216，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离．解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ， 则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ， ∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，∴(0,0,1),(,,1)22a aD E ，∵G 是ABD ∆的重心，5(,,)333a a G ，∴2(,,)663a a EG =-，(,,0)AB a a =-， (0,,1)AD a =--，∵EG ⊥平面ABD ，,,EG AB EG AD ⊥⊥得2a =，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠，6||EG =， 1132BE BA ==2sin EG EBG BE ∠==， （2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍， ∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD 的距离等于262||EG =． 小结：根据线段B A 1和平面ABD 的关系，求点1A 到平面ABD 的距离可转化为求E 到平面ABD 的距离的两倍．G ED C 1B 1A 1C BAx y（难题）7，如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG= CD，H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.(1)求证：EF⊥B1C；(2)求EF与C1G所成的角的余弦；(3)求FH的长.分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.解：如图建立空间直角坐标系O－xyz,D为坐标原点O，依据已知有E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)(1)证明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)，由·=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，得⊥，∴EF⊥B1C.(2)解：=(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||= =，由(1)得||==，且·=×0+×(－)+(－)×(－1)=，∴cos〈,〉==.(3)解：∵H是C1G的中点,∴H (,,),即(0,,).又F (，，0),∴FH =||==.8，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点， （1）证明:EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线； （2）求点1D 到平面BDE 的距离．解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11(,,1)22F ，11(,,0)22EF =-，1(0,0,2)CC =，1(1,1,2)BD =-，∴110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=， ∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线．（2）设(1,,)n x y =是平面BDE 的法向量，∵(1,1,0)DB =，(0,1,1)DE = ∴10n DB x ⋅=+=，0n DE x y ⋅=+=，(1,1,1)n =-， 点1D 到平面BDE 的距离1||233||BD n d n ⋅==FE1111D C B A DCBA。
高中数学选修2-1 第三章第二节《3.2立体几何中的向量方法》全套教案
立体几何中的向量方法课时分配:第一课立体几何中的向量方法1个课时第二课立体几何专1个课时第三课立体几何中的向量方法——求点坐标1个课时3. 2.1 立体几何中的向量方法【教学目标】1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】坐标法与向量法结合【教学难点】适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．【学前准备】：多媒体，预习例题PB ⊥)1,,(-z y x )1,1,-021=所以=EDB 平面333(，，,21,0(213161=60的大小为D -2,=BA CD异面直线AB与CD所成角的余弦值为BD 1C 1B 1CDBA A 1EF 3，如下图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x 、y 、z 的值分别为A.x =,y =,z =B.x =,y =,z =C.x =,y =,z =D.x =,y =,z =（中等题）5，如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB=FB=1，.求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.解：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则E （3，3，0）、C 1（0，4，2）、D 1（0，0，2）、F （2，4，0）.从而1EC ＝（－3，1，2）、1FD ＝（－2，－4，2）所以直线EC 1与FD 1所成的余弦值为 11,cos FD EC ＝||||1111FD EC FD EC ∙∙＝1421立体几何专题【教学目标】内容:考查(1)空间几何体:结构特征、三视图、表面积和体积的计算. 常给出几何体的三视图，通过识图、想图、作图、用图，考查学生的空间想象能力及运算求解能力.(2)空间直线与平面的位置关系:线、面平行与垂直关系的判断和证明，其中垂直关系出现频率更高.空间角的计算，其中二面角的计算是理科生的重点，文科生则不做要求；三是空间距离的计算，重点考查点到平面的距离.如在文科高考解答题中，第（2）问往往要计算几何体的体积，其关键是求出点到平面的距离. (3）空间向量与立体几何:考查利用空间向量研究空间直线与平面的位置关系；利用空间向量求角和距离.一般地，论证平行与垂直关系，传统方法较方便，而在求空间角和空间距离上，则可显示出向量法的优越性.方法:解答题的命制,课标卷都采用了“一题多法”的命制办法，并体现向量坐标法优先的特征. 即同一试题可以用综合法（传统的方法）和空间向量两种方法来解决（向量法优先）强调数学通性通法的考查,淡化特殊技巧,无偏怪之题.立体几何专题的考查，理科和文科试卷，都强调对基础知识和基本能力的考查.文科相对强调几何的直观感知和简单的推理论证；而理科对空间想象、推理论证、运算求解有更高的要求.【学前准备】：多媒体，预习例题的面积为. 如图,在棱长为2的正方体到直线CC 1的距离的最小值为62的体积V）时，可，试判断V与V的大立体几何中的向量方法——求点坐标【教学目标】知识与技能：1、能够根据具体的立体图形寻找适当的位置建立空间直角坐标系；2、能够运用投影的知识解决相关点的坐标；3、能够利用中点坐标公式或者线段的比例关系解决相关点的坐标；4、能够掌握向量的相等、基本运算和共线等知识并应用于求点的坐标。
3.2.立体几何中的向量方法-人教A版选修2-1教案
3.2 立体几何中的向量方法-人教A版选修2-1教案一、教学目标1.了解向量的概念和性质；2.掌握立体几何中向量的加、减、数量积、向量积的计算方法；3.能够应用向量方法解决立体几何相关问题。
二、教学重点1.理解概念，掌握向量的加、减、数量积、向量积的计算方法；2.能够应用向量方法解决立体几何相关问题。
三、教学难点能够运用向量方法解决立体几何中的复杂问题。
四、教学内容及教学方法（一）教学内容本节课主要内容为立体几何中的向量方法，包括以下几个部分：1. 向量的概念和性质1.向量的定义；2.向量的模和方向；3.零向量和单位向量；4.向量的共线和平行；5.向量的反向和相等。
2. 向量的加减法1.向量的加法和减法定义；2.向量加减法的运算法则；3.向量相加减的几何意义。
3. 向量的数量积1.向量数量积的定义；2.向量数量积的运算法则；3.向量数量积的几何意义；4.向量数量积的性质。
4. 向量的向量积1.向量向量积的定义；2.向量向量积的运算法则；3.向量向量积的几何意义；4.向量向量积的性质。
（二）教学方法课堂教学应采用讲授与练习相结合的方法，通过引入具体的数学问题，逐步引入概念和定义，然后逐步将概念和定义转化为解决数学问题的方法。
在讲授的过程中，注意抓住学生对问题的兴趣点，让学生积极思考，在实际问题中理解各个概念和公式的含义。
五、教学过程安排（一）引入通过引入相关的实际问题，引发学生的兴趣和思考，达到引入立体几何中的向量方法的目的。
（二）概念和性质1.向量的定义和性质引入向量的定义和性质，引导学生理解向量的概念和性质，并能够熟练应用各种性质。
2.向量的共线和平行讲解向量的共线和平行的概念，巩固向量的基础概念。
3.向量的反向和相等讲解向量的反向和相等的概念，引导学生加深对向量的认识。
（三）向量的加减法通过具体例子引导学生理解向量加减的运算法则，并能够运用向量加减法解决实际问题。
1.向量加减法的定义和性质引导学生理解向量加减法的概念和性质，并掌握加减法的运算法则。
高中数学选修2-1教案第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法
23.2立体几何中的向量方法第一课时 立体几何中的向量方法(1)教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题.教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程： 一、复习引入1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件 (如线段、角度等)转化为向量表示；⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义 a • b = |a ||b |cos v a ,b >或cos v a ,b >=卫b ，可求两个向量的数量积或夹角 问题；⑵利用性质a 丄a • b = 0可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质aa =| a 丨2,可以解决线段的长或两点间的距离问题. 二、例题讲解1. 出示例1：已知空间四边形 OABC 中，:.OAf_BC ” OB _ AC •求证: 证明：OC AB = OC (OB -OA) = OC OB — OC OA .TT••• OA _ BC , OB _ AC , • OA BC 0, OB AC 0 ,)「0 , OB (OC -OA) =0 .• OA OC =OA OB , OB OC =OB OA .4•小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量 表示未知向量，然后通过OC _ AB .二 OC OB = OC OA , OCAB = 0. ••• OC _ AB2.出示例2：如图，已知线段.DBD ' =30；，如果 AB = a , 解：由AC ，可知AC 由.DBD' =30；可知，v •汙『=(CA AB BD) AB BD )2 2 2 2 - 2 2=b a b 2b cos120 = a b .AB 在平面a 内，线段AC _,线段BD 丄AB ,线段DD ' _ ：-,AC = BD = b ，求C 、D 间的距离.CA,BD >= 120 ,2= |CA |2 + | AB |2 + | BD |2 + 2( CA AB + CA BD +• CD a 2 b 2 .3.出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体 ABCD -A'B'C'D'的 棱BB'、B'C'的中点.求异面直线 MN 与CD'所成的角.1解：••• MN = - (CC ' BC ),2 1• MN CD' = (CC' BC)2 CD' = CC' CD ,(C? CD) = 1(|C^|2 + CC -L CD2+ BC CC' +BC CD ).•/ CC'_CD , CC'_BC , 1 2 1• MN CD' = |CC' |2 =2 2BC =0, BC CD =0 ,…求得 cos v MN ,CD' >BC CC 0 ,1 ,•••< MN ,CD' >= 60 ._CD ,向量的运算去计算或证明.2第二课时 立体几何中的向量方法(2)教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题.教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程： 一、复习引入讨论：将立体几何问题转化为向量问题的途径？(1 )通过一组基向量研究的向量法，它利用向量的概念及其运算解决问题；(2)通过空间直角坐标系研究的坐标法，它通过坐标把向量转化为数及其运算来解决问二、例题讲解1.出示例1：如图，在正方体 ABCD-ABGD I 中，E 、F 分别是BB l 、 CD 的中点，求证：UF _平面ADE .证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度， 且设DA = i , "DC =j , DD 1 = k .以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系D — xyz ,贝U1 1••• AD = (-1,0,0), D 1F = (0,,-1), ••• AD • D 1F = (-1,0,0) .(0,,-1)= 0, ••• D 1F _AD .的一些数据，以使问题的解决简单化.如在立体几何中求角的大小、判定直线与直线或直线 与平面的位置关系时，可以约定一些基本的长度.⑵空间直角坐标些建立，可以选取任意一 点和一个单位正交基底， 但具体设置时仍应注意几何体中的点、线、面的特征，把它们放在 恰当的位置，才能方便计算和证明.2.例：证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行.改写为：已知：直线 OA 丄平面a,直线BD 丄平面a, O 、B 为垂足.求证: 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系 O-xyz , i ,j ,k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设 BD = (x, y,z).•/ BD 丄 a, • BD 丄 i , BD 丄 j ,• BD • i = (x,y,z) •(1,0,0) = x = 0, , BD • j = (x, y, z) • (0,1,0) = y = 0, • BD = (0,0,z). • BD = z k .即BD //k .由已知 O 、B 为两个不同的点，•3. 法向量定义：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作a 丄a.如果a 丄a,那么向量a 叫做平面a 的法向量.4. 小结：向量法解题“三步曲” ：(1)化为向量问题 7( 2)进行向量运算 7( 3)回到图形问题.A E = (0,1,-),2AD^AE =A ,• AED 1F = (0,1,1)21(0, ,-1)= 0,2说明：⑴“不妨设”是我们在解题中常用的小技巧,通常可用于设定某些与题目要求无关OA//BD .OA//BD .第三课时立体几何中的向量方法(3)教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题.教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用. 教学过程： 一、复习引入呻 呻1.法向量定义：如果直线I _平面：•，取直线I 的方向向量为a ，则向量a 叫作平面a 的法 向量(normal vectors ).利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离2.讨论：如何利用法向量求线面角？T 面面角？直线AB 与平面a 所成的角日，可看成是向量 AB 所在直线与平面a 的法向量n 所在直 线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根a b据两个向量所成角的余弦公式 cosf a, b)，我们可以得到如下向量法的2.变式：用向量法求：二面角A -DE -O 余弦；OF 与DE 的距离；O 点到平面DEF 的距公式：3. 讨论：如何利用向量求空间距离？两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长 点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长 二、例题讲解：1.出示例 1:长方体 ABCD - ARGD ,中，AD= AA ,=2, AB=4, E 、 点，0是BC 1与EC 的交点.求直线OF 与平面DEF 所成角的正弦•解：以点D 为空间直角坐标系的原点， DA 、DC 、DD 1为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则D(2,2,0), E(1,0,2), F(2,2,0), 0(1,4,1), C(0,4,0).4设平面DEF 的法向量为 n =(x,y,z), 而 DE =(1,0,2) , DF =(2,2,0). 片 —* n _DE 则n _ DFnLDE =0 • ^=0■/ n *OF =| n ||OF J cos ：, n *OF. • cos 2 2 22-|n"OF 丨(-2)2 - 22 - t.J 2 - (一2)2 • (-1)所以，直线OF 与平面DEF 所成角的正弦为 乙6 .18，即 •OF 丄x 2z = 0仏+2^0‘ 解得心：—2:2:1，而 OF =(1,-2,-1). -2 1 2 (-2) 1 (-1) 2•• n =(-2,2,1).7 618sin 日=cos (AB‘, n。
人教版A版高中数学选修2-13.2 立体几何中的向量方法第5课时
令 y 1得, n ( 3,1, 3)
是平面ACD的一个法向量，又
点E到平面ACD的距离
四、小结
解决立体几何问题的三种方法： 综合方法； 向量方法； 坐标方法。
五、作业
课本P122 第 9、10、12 题
3.2 立体几何中的向量方法（5）
----综合问题
xxz
一、复习
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为 向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
P
因为PF k PB
因为PB DF 0 所以(1,1,1) (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0
所以k 1
3
A
X
E F
D
G
B
C Y
三、练习 1，课本P120练习第3题
Z
O
Y X
2，如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的
中点，CA CB CD BD 2 AB AD 2
（I）求证：AO 平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （III）求点E到平面ACD的距离。
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形 问题）
二、新课
（课本P118）例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，
底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
高中数学《立体几何中的向量方法》教案3 新人教A版选修2-1
第三课时： 3.2立体几何中的向量方法（三）
教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题．
教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．
教学过程：
一、复习引入
1. 法向量定义：如果直线, 取直线l的方向向量为，则向量叫作平面α的法向量（normal vectors）. 利用法向量，可以巧妙的解决空间角度和距离.
2. 讨论：如何利用法向量求线面角？→面面角？
直线AB与平面α所成的角，可看成是向量所在直线与平面α的法向量所在直线夹角的余角，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法的公式：
.
3. 讨论：如何利用向量求空间距离？
两异面直线的距离，转化为与两异面直线都相交的线段在公垂向量上的投影长.
点到平面的距离，转化为过这点的平面的斜线在平面的法向量上的投影长.
二、例题讲解：
1. 出示例1：长方体中，AD==2，AB=4，E、F分别是、AB的中点，O是的交点. 求直线OF 与平面DEF所成角的正弦.
解：以点D为空间直角坐标系的原点，DA、DC、为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则
.
设平面DEF的法向量为，
则，而， .
∴，即, 解得，∴ .
∵，而.
∴
所以，直线OF与平面DEF所成角的正弦为.
2. 变式：用向量法求：二面角余弦；OF与DE的距离；O点到平面DEF的距离.
三、巩固练习
作业：课本P121、习题A组 5、6题.。
第三章 3.2 立体几何中的向量方法 教案-高二下学期数学人教A版选修2-1
教学过程一．问题引入图3－2－11．如图3－2－1，直线l∥m，在直线l上取两点A、B，在直线m上取两点C、D，向量AB→与CD→有怎样的关系？【提示】AB→∥CD→.2．如图直线l⊥平面α，直线l∥m，在直线m上取向量n，则向量n与平面α有怎样的关系？【提示】n⊥α.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.二，新课讲课：线线平行设两条不重合的直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇒a∥b⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)线面平行设l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔a ·u＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0面面平行设α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔u ∥v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)三．例题讲解：已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．【思路探究】 (1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？【自主解答】 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(12，0,0)，S(0,0,1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z)，则n ⊥DC →，n ⊥SC →.所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0n ·SC →＝0，得方程组⎩⎨⎧12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴⎩⎨⎧x ＝－2y z ＝－y ，令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a ＝(a1，b1，c1)，b ＝(a2，b2，c2)．(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组 ⎩⎨⎧n·a＝0，n·b＝0.(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组⎩⎨⎧n·a＝0，n·b＝0有无数多个解，只需给x ，y ，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．练习：正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 、F 分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)平面BDEF 的一个法向量．【解】 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0，∴⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝－x z ＝－12x .令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量.例：已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.思路探究： (1)你能写出EF 、AC 1的方向向量吗？(2)两直线的方向向量满足什么条件则说明它们平行？解： 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E (23a ，23b ，c )，F (a ，b 3，23c )． ∴FE →＝(－a 3，b 3，c 3)，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线， ∴直线EF ∥AC 1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§3.2.5 综合问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。
由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。
【教学目标】：
（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：坐标法与向量法结合.
【教学难点】：适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．
【课前准备】：Powerpoint课件
练习与测试：（基础题）
1，过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD ，若PA AB =， 则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是（ ）
A ．30o
B ．45o
C ．60o
D ．90o
答：B
2，设P 是60o
的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,AB 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 （ ）
A ．23
B ．25
C ．27
D ． 42
答：C
3，如下图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且分MN 所成的定比为2，现用基向量、
、
表示向量
，设
=x
+y
+z
，
则x 、y 、z 的值分别为
A.x =,y =,z =
B.x =,y =,z =
C.x =,y =,z =
D.x =,y =
,z = 解析：
=
－
,
=
－
,
=(+)=+－,
=－=+－,
==－++,
=+=+ +.
答案：D
D 1
C 1
B 1
C D
B
A
A 1
E
F
4.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M =AN =a ，
则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是
A.相交
B.平行
C.垂直
D.不能确定
解析：因为正方体的棱长为a ,故面对角线A 1B =AC =a .而A 1M =AN =a ，所以M 、N 分别是A 1B 和AC 上的
三等分点.在B 1B 、BC 上各取点E 、F ，使得B 1E =BF =a .
则
=
+
+
.
但=－=－=(－)=，
=－=－= (－)=，
∴+= + =+=0，
∴
=
，即MN ∥EF ，
∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B
（中等题）
5，如图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1，.求直线EC 1与FD 1所成的余弦值.
解：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，则E （3，3，0）、
C 1（0，4，2）、
D 1（0，0，2）、F （2，4，0）.从而1EC ＝（－3，1，2）、1FD ＝ （－2，－4，2）
所以直线EC 1与FD 1所成的余弦值为 1
1,cos FD EC 1111＝
14
21
6，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，ο
90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离．
解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ， 则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ， ∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，
∴(0,0,1),(,,1)22
a a
D E ，∵G 是ABD ∆的重心，
5(,,)333a a G ，∴2
(,,)663a a EG =-u u u r ，(,,0)AB a a =-u u u r ， (0,,1)AD a =--u u u r
，∵EG ⊥,EG AD ⊥ 得2a ，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠，6
||3
EG =u u u r ，
11
32
BE BA =
=，2sin 3EG EBG BE ∠==， （2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍，
∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD 的距离等于26
2||EG =u u u r ．
小结：根据线段B A 1和平面ABD 的关系，求点1A 到平面ABD 的距离可转化为求E 到平面ABD 的距离的两倍． （难题）
7，如图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG =CD ，
H 为C 1G 的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.
(1)求证：EF ⊥B 1C ；
(2)求EF 与C 1G 所成的角的余弦； (3)求FH 的长.
分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成
G E
D C 1
B 1
A 1
C B
A x
y
的角及线段的长度.
解：如图建立空间直角坐标系O －xyz ,D 为坐标原点O ，依据已知有E (0，0，)，F (，，0)，
C (0，1，0)，C 1(0，1，1)，B 1(1，1，1)，G (0，，0)
(1)证明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，
=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)， 由
·=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，
得
⊥
，
∴EF ⊥B 1C .
(2)解：=(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||= =，
由(1)得||==，
且·=×0+×(－)+(－)×(－1)=，
∴cos〈,〉==.
(3)解：∵H 是C 1G 的中点,
∴H (,,),即(0,,).
又F (，，0),
∴FH =||==.
8，已知正四棱柱1111ABCD A B C D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点，
（1）证明:EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线； （2）求点1D 到平面BDE 的距离．
解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，
则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11
(,,1)22
F ，
11
(,,0)22EF =-u u u r ，1(0,0,2)CC =u u u u r ，1(1,1,2)BD =-u u u u r ，
∴110,0EF BD EF CC ⋅=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r
，
∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线．
（2）设(1,,)n x y =r 是平面BDE 的法向量，∵(1,1,0)DB =u u u r ，(0,1,1)DE =u u u r
∴10n DB x ⋅=+=r u u u r ，0n DE x y ⋅=+=r u u u r ，(1,1,1)n =-r
，
点1D
F
E
1
1
1
1
D C B A D
C
B
A。