中考数学复习考点知识专题讲义第27讲 图形的平移、旋转及对称

图形变化是山西中考的命题重点，题型有填空题、选择题和解答题， 考查涉及图形的平移、旋转、轴对称、中心对称的概念和性质，依据图形变换的概念和 性质进行变换形式的辨析，结合几何图形的性质进行计算，或进行图案设计，更多的是 以图形变换为背景设置探究题，探究线段的数量关系、位置关系、图形面积的大小，图 形形状的判定等，综合性强、难度大．
(4)△A1B1C1 与△A2B2C2 是中心对称图形吗？若是，写出所有的对称中心的坐标． 解：是中心对称图形．对称中心为线段 B1B2 的中点，坐标是12，12.
【跟踪训练】 2．(2019·黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度， 在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点 O(0，0)，A(4，1)，B(4，4)均在格点上． (1)画出△OAB 关于 y 轴对称的△OA1B1，并写出点 A1 的坐标；
(2)如图 2，在图 1 的基础上，连接 AB′，试判断∠B′AE 与∠GCB′的大小关系，并 说明理由．
解：∠B′AE＝∠GCB′.
(4 分)
理由如下：
如解图 1，连接 BB′交 CG 于点 K，由折叠可知，EF 垂直平分 AB，
∴B′A＝B′B．
∴∠B′AE＝∠B′BE.
(5 分)
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC＝90°.
∴∠B′BE＋∠KBC＝90°.
由折叠知，∠BKC＝90°， ∴∠KBC＋∠GCB＝90°.
∴∠B′BE＝∠GCB．
又由折叠知，∠GCB＝∠GCB′， ∴∠B′AE＝∠GCB′.
(6 分) (7 分)
问题解决： (3)如图 3，按以下步骤进行操作： 第一步：先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形 展平，然后继续对折，使 AB 与 DC 重合，折痕为 MN，再把这个正方形展平，设 EF 和 MN 相交于点 O；
命题点一 平移、旋转、轴对称的相关概念(8 年 2 考) 1．(2015·山西 3 题)晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四 种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( B )
2．(2013·山西)如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图案的对称轴有( C )
A．1 条
第27讲 图形的平移、旋转及对称
人教：七下第五章 P28～P33 第七章 P75～P80 八上第十三章 P58～P74 九上第二十三章 P58～P77； 北师：七下第五章 P114～P134 八上第三章 P68～P70 八下第三章 P64～P90； 华师：七下第十章 P98～P132 九上第二十三章 P88～P93.
旋转中心、旋转方向、 旋旋转转角度角度
1.平移不改变图形的形状大小， 1.对应点到旋转中心的距离 相相等等 ；
只改变图形的位置，平移前后的
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角
性质 两个图形全等；
等等于于 旋转角；
2.对应点所连线段平行(或共线) 3.旋转前后的图形全全等等
且相等
图形的对称(高频考点)
B．2 条
C．4 条
D．8 条
命题点二 利用平移、旋转、轴对称的概念和性质计算(8 年 7 考)
3．(2018·山西 8 题) 如图，在 Rt△ABC 中 ，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，
将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点 A′恰好在 AB 边上，则点 B′
3．常见的轴对称图形和中心对称图形： 常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形、菱形、 正 n 边形(n≥3)、圆及二次函数的图象等． 常见的中心对称图形有：线段、平行四边形、矩形、正方形、菱形、圆、正 n 边形 (n≥4，且 n 为偶数)及反比例函数的图象等． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有：矩形、正方形、菱形、圆、正 n 边形(n≥4， 且 n 为正偶数)等.
第二步：沿直线 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上，对应点为 B′，再沿直线 AH 折叠， 使点 D 落在 EF 上，对应点为 D′；
第三步：设 CG，AH 分别与 MN 相交于点 P，Q，连接 B′P，PD′，D′Q，QB′， 试判断四边形 B′PD′Q 的形状，并证明你的结论．
解：四边形 B′PD′Q 为正方形．
②菱形的四条边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；
③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；
④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；
⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；
⑥菱形是中心对称图形，筝形不是中心对称图形．
(4 分)
(2)请仿照图 1 的画法，在图 2 所示的 8×8 的正方形网格中重新设计一个由四个全 等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：
对称图形的识别 例 1 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( D )
A
B
C
D
【跟踪训练】 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( B )
A
B
C
D
有关平移、旋转、轴对称作图 例 2 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平 面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为(1，0)． (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
与点 B 之间的距离是( D )
A．12
B．6
C．6 2
D．6 3
4．(2013·山西 17 题)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝12，BC＝5，点 E 在 AB 上，
10
将△DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A′处，则 AE 的长为 3
.
命题点三 与图形的变换有关的阅读理解题(8 年 2 考) 5．(2014·山西 19 题)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
数学思考：
(1)求∠CB′F 的度数． 解：由折叠可知， ∠EFC＝90°，CF＝12CD，CB＝CB′. ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴CD＝CB．
∴CF＝12CB＝12CB′. 在 Rt△B′FC 中，sin∠CB′F＝CCBF′＝12. ∴∠CB′F＝30°.
(1 分) (2 分) (3 分)
证明：如解图 2，连接 AB′. 由(2)可知∠B′AE＝∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′＝∠PCN， ∴∠B′AE＝∠PCN.
由折叠知∠AEB′＝∠CNP＝90°，AE＝12AB，CN＝12BC．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC．
∴AE＝CN.
∴△AEB′≌△CNP.
∴EB′＝NP.
(9 分)
同理可得，FD′＝MQ.
由对称性可知，EB′＝FD′，
∴EB′＝NP＝FD′＝MQ.
由两次对折可得，OE＝ON＝OF＝OM，
∴OB′＝OP＝OD′＝OQ. ∴四边形 B′PD′Q 为矩形． 由对折知，MN⊥EF，即 PQ⊥B′D′. ∴四边形 B′PD′Q 为正方形．
(10 分) (11 分)
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家 对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形——筝形．所谓筝形，它 的形状与我们生活中风筝的骨架相似．
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形 ABCD 是筝形，
其中 AB＝AD，CB＝CD．
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形； ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形． 显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点．
叫做 对对称称轴 轴 ，折叠前后重合
的点是对应点
图示
(1)对应点的连线被对称轴 垂垂直平直分平分 ； 性质 (2)对应线段或延长线的交点在 对对称称轴轴 上；
(3)成轴对称的两个图形 全全等 等 ，对应线段 相相等等 ，对应角相等相等
(1)轴对称图形是指具有特殊形状的 (1)轴对称是指两个全等图形之间的位置
3．轴对称 (1)通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中， 对应点的连线被对称轴垂直平分； (2)能画出简单平面图形(点、线段、直线、射线、三角形等)关于给定对称轴的对称 图形； (3)了解轴对称图形的概念； (4)探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质； (5)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
图形的平移与旋转
图形的平移
图形的旋转
定义
在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿 在平面内，将一个图形沿着某个
某个方向转动一个角度，这样的图形运 方向移动一定的距离，这样的图
动称为旋转，这个定点 O 称为旋转中 形运动叫做平移
心，转动的角度称为旋转角
图示
图形的平移
图形的旋转
要素
平移方向、平平移移距距离离
①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图 案中的四个筝形都涂上阴影(建议用一系列平行斜线表示阴影)．
图1
图2
解：如解图所示(答案不唯一)．
(6 分)
命题点四 在图形平移、旋转、折叠过程中探究、或证明(必考) 6．(2014·山西 23 题)课程学习：正方形折纸中的数学 动手操作： 如图 1，四边形 ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展平，然后沿直线 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上，对应 点为 B′.
解：如解图所示，点 A1 的坐标是(－4，1)．
(2)画出△OAB 绕原点 O 顺时针旋转 90°得到的△OA2B2，并写出点 A2 的坐标； 解：如解图所示，点 A2 的坐标是(1，－4)．
1．轴对称与轴对称图形：
轴对称图形
轴对称
把一个图形沿着某一条直线折