中考数学复习考点知识专题讲义第27讲 图形的平移、旋转及对称

如果只研究一般的筝形(不包括菱形)，请根据以上材料完成下列任务： (1)请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；
Байду номын сангаас
解：相同点：①两组邻边分别相等； ②有一组对角相等； ③一条对角线垂直平分另一条对角线； ④一条对角线平分一组对角； ⑤都是轴对称图形； ⑥面积都等于对角线乘积的一半．
(2 分)
不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；
B．2 条
C．4 条
D．8 条
命题点二 利用平移、旋转、轴对称的概念和性质计算(8 年 7 考)
3．(2018·山西 8 题) 如图，在 Rt△ABC 中 ，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，
将△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点 A′恰好在 AB 边上，则点 B′
(4)△A1B1C1 与△A2B2C2 是中心对称图形吗？若是，写出所有的对称中心的坐标． 解：是中心对称图形．对称中心为线段 B1B2 的中点，坐标是12，12.
【跟踪训练】 2．(2019·黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度， 在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点 O(0，0)，A(4，1)，B(4，4)均在格点上． (1)画出△OAB 关于 y 轴对称的△OA1B1，并写出点 A1 的坐标；
第二步：沿直线 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上，对应点为 B′，再沿直线 AH 折叠， 使点 D 落在 EF 上，对应点为 D′；
第三步：设 CG，AH 分别与 MN 相交于点 P，Q，连接 B′P，PD′，D′Q，QB′， 试判断四边形 B′PD′Q 的形状，并证明你的结论．
解：四边形 B′PD′Q 为正方形．
1．轴对称与轴对称图形：
轴对称图形
轴对称
把一个图形沿着某一条直线折
如果把一个平面图形沿着某一条直线折 叠，如果它能够与另一个图形重
叠，直线两旁的部分能够完全重合，这 合，那么就说这两个图形关于这 定义
个图形就叫做轴轴对对称称图图形形 ，这条直线 条直线 成成轴轴对称对称 ，这条直线
叫做它的 对对称轴称轴
命题点一 平移、旋转、轴对称的相关概念(8 年 2 考) 1．(2015·山西 3 题)晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四 种窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( B )
2．(2013·山西)如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图案的对称轴有( C )
A．1 条
对称图形的识别 例 1 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( D )
A
B
C
D
【跟踪训练】 1．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( B )
A
B
C
D
有关平移、旋转、轴对称作图 例 2 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，在建立平 面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为(1，0)． (1)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1；
3．常见的轴对称图形和中心对称图形： 常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、矩形、正方形、菱形、 正 n 边形(n≥3)、圆及二次函数的图象等． 常见的中心对称图形有：线段、平行四边形、矩形、正方形、菱形、圆、正 n 边形 (n≥4，且 n 为偶数)及反比例函数的图象等． 既是轴对称图形又是中心对称图形的有：矩形、正方形、菱形、圆、正 n 边形(n≥4， 且 n 为正偶数)等.
②菱形的四条边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；
③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；
④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；
⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；
⑥菱形是中心对称图形，筝形不是中心对称图形．
(4 分)
(2)请仿照图 1 的画法，在图 2 所示的 8×8 的正方形网格中重新设计一个由四个全 等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：
(2)如图 2，在图 1 的基础上，连接 AB′，试判断∠B′AE 与∠GCB′的大小关系，并 说明理由．
解：∠B′AE＝∠GCB′.
(4 分)
理由如下：
如解图 1，连接 BB′交 CG 于点 K，由折叠可知，EF 垂直平分 AB，
∴B′A＝B′B．
∴∠B′AE＝∠B′BE.
(5 分)
∵四边形 ABCD 是正方形，
3．轴对称 (1)通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中， 对应点的连线被对称轴垂直平分； (2)能画出简单平面图形(点、线段、直线、射线、三角形等)关于给定对称轴的对称 图形； (3)了解轴对称图形的概念； (4)探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质； (5)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图 案中的四个筝形都涂上阴影(建议用一系列平行斜线表示阴影)．
图1
图2
解：如解图所示(答案不唯一)．
(6 分)
命题点四 在图形平移、旋转、折叠过程中探究、或证明(必考) 6．(2014·山西 23 题)课程学习：正方形折纸中的数学 动手操作： 如图 1，四边形 ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形展平，然后沿直线 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上，对应 点为 B′.
旋转中心、旋转方向、 旋旋转转角度角度
1.平移不改变图形的形状大小， 1.对应点到旋转中心的距离 相相等等 ；
只改变图形的位置，平移前后的
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角
性质 两个图形全等；
等等于于 旋转角；
2.对应点所连线段平行(或共线) 3.旋转前后的图形全全等等
且相等
图形的对称(高频考点)
点叫做对对称称中中心心
这个点对称或 中中心对心称对称 ，这 个点叫做 对对称称中心中心
图形
性质
(1)有且只有一个对称中心； (2)对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分； (3)成中心对称的两个图形全等，对应线段相等，对应角相等； (4)成中心对称的两个图形，其对应线段相互平行(或在一条直线上)
图形的平移与旋转
图形的平移
图形的旋转
定义
在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿 在平面内，将一个图形沿着某个
某个方向转动一个角度，这样的图形运 方向移动一定的距离，这样的图
动称为旋转，这个定点 O 称为旋转中 形运动叫做平移
心，转动的角度称为旋转角
图示
图形的平移
图形的旋转
要素
平移方向、平平移移距距离离
解：如解图所示，点 A1 的坐标是(－4，1)．
(2)画出△OAB 绕原点 O 顺时针旋转 90°得到的△OA2B2，并写出点 A2 的坐标； 解：如解图所示，点 A2 的坐标是(1，－4)．
1．图形的平移 (1)通过具体实例认识平移，探索它的性质：一个图形和它经过平移得到的图形中， 两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等； (2)认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用； (3)运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计．
2．图形的旋转 (1)通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形 和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转 中心连线所成的角相等； (2)了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图 形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分； (3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质； (4)认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形．
叫做 对对称称轴 轴 ，折叠前后重合
的点是对应点
图示
(1)对应点的连线被对称轴 垂垂直平直分平分 ； 性质 (2)对应线段或延长线的交点在 对对称称轴轴 上；
(3)成轴对称的两个图形 全全等 等 ，对应线段 相相等等 ，对应角相等相等
(1)轴对称图形是指具有特殊形状的 (1)轴对称是指两个全等图形之间的位置
(9 分)
同理可得，FD′＝MQ.
由对称性可知，EB′＝FD′，
∴EB′＝NP＝FD′＝MQ.
由两次对折可得，OE＝ON＝OF＝OM，
∴OB′＝OP＝OD′＝OQ. ∴四边形 B′PD′Q 为矩形． 由对折知，MN⊥EF，即 PQ⊥B′D′. ∴四边形 B′PD′Q 为正方形．
(10 分) (11 分)
∴∠ABC＝90°.
∴∠B′BE＋∠KBC＝90°.
由折叠知，∠BKC＝90°， ∴∠KBC＋∠GCB＝90°.
∴∠B′BE＝∠GCB．
又由折叠知，∠GCB＝∠GCB′， ∴∠B′AE＝∠GCB′.
(6 分) (7 分)
问题解决： (3)如图 3，按以下步骤进行操作： 第一步：先将正方形 ABCD 对折，使 BC 与 AD 重合，折痕为 EF，把这个正方形 展平，然后继续对折，使 AB 与 DC 重合，折痕为 MN，再把这个正方形展平，设 EF 和 MN 相交于点 O；
证明：如解图 2，连接 AB′. 由(2)可知∠B′AE＝∠GCB′，由折叠可知，∠GCB′＝∠PCN， ∴∠B′AE＝∠PCN.
由折叠知∠AEB′＝∠CNP＝90°，AE＝12AB，CN＝12BC．
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB＝BC．
∴AE＝CN.
∴△AEB′≌△CNP.
∴EB′＝NP.
数学思考：
(1)求∠CB′F 的度数． 解：由折叠可知， ∠EFC＝90°，CF＝12CD，CB＝CB′. ∵四边形 ABCD 是正方形，
∴CD＝CB．
∴CF＝12CB＝12CB′. 在 Rt△B′FC 中，sin∠CB′F＝CCBF′＝12. ∴∠CB′F＝30°.
(1 分) (2 分) (3 分)
第27讲 图形的平移、旋转及对称
人教：七下第五章 P28～P33 第七章 P75～P80 八上第十三章 P58～P74 九上第二十三章 P58～P77； 北师：七下第五章 P114～P134 八上第三章 P68～P70 八下第三章 P64～P90； 华师：七下第十章 P98～P132 九上第二十三章 P88～P93.
图形变化是山西中考的命题重点，题型有填空题、选择题和解答题， 考查涉及图形的平移、旋转、轴对称、中心对称的概念和性质，依据图形变换的概念和 性质进行变换形式的辨析，结合几何图形的性质进行计算，或进行图案设计，更多的是 以图形变换为背景设置探究题，探究线段的数量关系、位置关系、图形面积的大小，图 形形状的判定等，综合性强、难度大．
解：如解图所示：
(2)画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针方向旋转 90°所得的△A2B2C2； 解：如解图所示：
(3)△A1B1C1 与△A2B2C2 是轴对称图形吗？若是，画出所有的对称轴； 解：是轴对称图形．根据轴对称图形的性质画出对称轴，即连接两对应点的线段， 作它的垂直平分线，如解图所示．
区别 一个图形；
关系；
(2)轴对称图形的对称轴至少有一条 (2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴
2．中心对称与中心对称图形：
定义
中心对称图形
中心对称
把一个图形绕着某一点旋转
一个图形绕着某一点旋转 180°后
180°，如果它能够与另一个图形
能够与原来的图形重合，那么这个
重合，那么就说这两个图形关于 图形叫做 中中心对心称对图称形 图形 ，这个
与点 B 之间的距离是( D )
A．12
B．6
C．6 2
D．6 3
4．(2013·山西 17 题)如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝12，BC＝5，点 E 在 AB 上，
10
将△DAE 沿 DE 折叠，使点 A 落在对角线 BD 上的点 A′处，则 AE 的长为 3
.
命题点三 与图形的变换有关的阅读理解题(8 年 2 考) 5．(2014·山西 19 题)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家 对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形——筝形．所谓筝形，它 的形状与我们生活中风筝的骨架相似．
定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形 ABCD 是筝形，
其中 AB＝AD，CB＝CD．
判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形； ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形． 显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点．