最新 青岛版 九年级上 公开课课件 3.5三角形的内切圆课件(共16张PPT)
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三角形的内切圆ppt课件
(A)
1
A. rl
2
1
B. πrl
2
C.rl
D.πrl
2.已知O是△ABC的内心,∠BAC=70°,P为平面上一点,点O恰好又是△BCP的外心,则
∠BPC的度数为( C )
A.50°
°
C.62.5°
D.65°
3.已知一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8,则此直角三角形的内切圆半径
r=_______.
如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长为_______.
7
4.(8分·推理能力、几何直观)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接
圆相交于点D,BC与AD相交于点F.求证:DE=DB.
【证明】如图,连接BE,
∵点E是△ABC的内心,
∴AE是∠BAC的平分线,BE是∠ABC的平分线,
3.5
三角形的内切圆
1111
课时学习目标
1.理解三角形内切圆的概念,掌握三角形内切
圆的性质,能准确辨析内心和外心的不同
2.掌握画三角形的内切圆的方法,能借助三角
形内切圆的性质解决有关几何问题
素养目标达成
抽象能力、几何直观
几何直观、推理能力、模型观念
基础主干落实
新知要点
1.三角形内切圆的有关概念
相切
∴∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠CBE.
∵∠CAD=∠CBD,∴∠DBE=∠CBD+∠CBE=∠CAD+∠ABE=∠BAD+∠ABE=
∠BED,∴DE=DB.
本课结束
内心
与三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆,其圆心叫做三角形的______.
2.三角形内心的性质
2014秋青岛版数学九上3.5《三角形的内切圆》ppt课件2
议一议
三角形与圆的位置关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心. 这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形内心的性质：
1、三角形的内心是三角形的三条 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/ 英语课件：/kejian/ying yu/ 科学课件：/kejian/kexu e/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 地理课件：/kejian/dili/
义教阶段的数学核心素养（核心词、核心概念） （数感、符号意识）、推理能力、模型思想 （几何直观、空间想象）、运算能力、数据分析观念
更为一般的数学素养：应用意识、创新意识、学会学习
设定数学核心素养的理由（三会） 会用数学的眼光观察现实世界 数学的眼光是什么：数学抽象（直观想象） 引发的数学特征：数学的一般性； 会用数学的思维思考现实世界 数学的思维是什么：逻辑推理（数学运算） 引发的数学特征：数学的严谨性； 会用数学的语言表达现实世界 数学的语言是什么：数学模型（数据分析） 引发的数学特征：数学应用的广泛性。
NIM
2.过点I作ID⊥BC,垂足为D. B
D
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
3.以I为圆心,ID为半径作
⊙I,⊙I就是所求的圆.
想一想
三角形与圆的位置关系
这样的圆可以作出几个?为什么?
∵直线BE和CF只有一个交点I, 并且点I到△ABC三边的距离相
F
等(为什么?),
A
E I
●●
B
┓
C
∴因此和△ABC三边都相切的圆可以作出一个, 并且只能作一个.
九年级数学上册 3.5 三角形的内切圆课件 (新版)青岛版.pptx
(5)直角三角形 的内切圆的半径为r 与 各边长
ra、=b、ac的关系ab是b c 12
谢谢同学们的 参入配合！
13
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
1
3.5 三角形的内切圆
2
【学习目标】
1.了解三角形的内切圆相关的概念 2.能利用三角形内心的性质进行证明 和计算 (重点、难点）
【教学重点，难点】
能利用三角形内心的性质进行证明和 计算
3
活动一：思考、操作
∠ABC、∠ACB
C 3.内心在三角形内
部．
8
探讨1： 设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的
各边长之和为C，△ABC 的面积S,我们会有什
么结论?
A
D
•
F
1
O
S = rC
B
r
2
（C为三角形周长，r为内切圆半径）
E直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为
c 则其内切圆的半径ｒ为:
A
A
O B
B
C
4
三角形 内切圆 作法：
1、作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。
NM I
B
D
C
5
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的
内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个 三角形叫做圆的外切三角形。
性质： 1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2.三角形的内心在三角形的角平分线上；内心
ra、=b、ac的关系ab是b c 12
谢谢同学们的 参入配合！
13
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
A
B
C
A
B
C
1
3.5 三角形的内切圆
2
【学习目标】
1.了解三角形的内切圆相关的概念 2.能利用三角形内心的性质进行证明 和计算 (重点、难点）
【教学重点，难点】
能利用三角形内心的性质进行证明和 计算
3
活动一：思考、操作
∠ABC、∠ACB
C 3.内心在三角形内
部．
8
探讨1： 设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC 的
各边长之和为C，△ABC 的面积S,我们会有什
么结论?
A
D
•
F
1
O
S = rC
B
r
2
（C为三角形周长，r为内切圆半径）
E直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为
c 则其内切圆的半径ｒ为:
A
A
O B
B
C
4
三角形 内切圆 作法：
1、作∠B、∠C的平分线 BM和CN，交点为I。
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D。 A
3．以I为圆心，ID为
半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆。
NM I
B
D
C
5
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的
内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个 三角形叫做圆的外切三角形。
性质： 1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；
2.三角形的内心在三角形的角平分线上；内心
最新三角形的内切圆PPT课件教学讲义PPT课件
2
2
B
Oc
a I
A
bC
思考题： 如图，某乡镇在进入镇区的道路交叉口的三角
地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知 雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，AC⊥BC， BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M 离道路三边的距离有多远？
A 镇 商 业 区D
.M F
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日
例3 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如 图所示）。已知AC⊥BC，BC=3千米，AC=4千米。现想在 △ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮 助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？
A
C
B
读句画图：①以点O为圆心，1cm为半径画⊙O
B
C
理由： ∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠OBC= ∠ABC， ∠OCB= ∠ACB
∴ ∠OBC＋ ∠OCB = （∠ABC+ ∠ACB）
= （180 ° － ∠A ）= 90 ° － ∠A
在△ABC中， ∠BOC =180 °－（ ∠OBC＋ ∠OCB ）
= 180 °－（ 90 ° － ∠A ）= 90 °+ ∠A
2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的 内切圆、圆的外切多边形的概念。
3、学习 时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心” 与 “外心”的区别，
4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运 用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
⊙ O是△ABC的 外接 圆，点O叫△ABC
的 外心 ，
青岛版九年级数学上册课件【全册】
青岛版九年级数学上册课件【全 册】目录
0002页 0035页 0093页 0162页 0221页 0262页 0277页 0290页 0304页 0336页 0358页 0404页 0424页 0442页
第1章 图形的相似 1.2 怎样判定三角形相似 1.4 图形的位似 2.1 锐角三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 2.5 解直角三角形的应用 3.1 圆的对称性 3.3 圆周角 3.5 三角形的内切圆 3.7 正多边形与圆 4.1 一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 4.5 一元二次方程的应用 4.7 一元二次方程的应用
青岛版九年级数学上册课件【全册 】
2.2 30°，45°，60°角的三角比
青岛版九年级数学上册课件【全册 】
2.3 用计算器求锐角三角比
青岛版九年级数学上册课件【全册 】
第1章 图形的相似
青岛版九年级数学上册课件【全册 】
1.1 相似多边形
青岛版九年级数学上册课件【全册 】
1.2 怎样判定三角形相似
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1.3 相似三角形的性质
青岛版九年级数学上册课件【全册 】
1.4 图形的位似
青岛版九年级数学上册课件【全册 】
第2章 解直角三角形
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பைடு நூலகம்2.1 锐角三角比
0002页 0035页 0093页 0162页 0221页 0262页 0277页 0290页 0304页 0336页 0358页 0404页 0424页 0442页
第1章 图形的相似 1.2 怎样判定三角形相似 1.4 图形的位似 2.1 锐角三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 2.5 解直角三角形的应用 3.1 圆的对称性 3.3 圆周角 3.5 三角形的内切圆 3.7 正多边形与圆 4.1 一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 4.5 一元二次方程的应用 4.7 一元二次方程的应用
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2.2 30°，45°，60°角的三角比
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2.3 用计算器求锐角三角比
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第1章 图形的相似
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1.1 相似多边形
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1.2 怎样判定三角形相似
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1.3 相似三角形的性质
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1.4 图形的位似
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第2章 解直角三角形
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பைடு நூலகம்2.1 锐角三角比
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册全册完 整课件
1.1 相似多边形
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1.2 怎样判定三角形相似
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1.3 相似三角形的性质
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2.3 用计算器求锐角三角比
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0002页 0035页 0085页 0154页 0190页 0192页 0204页 0206页 0236页 0238页 0280页 0310页 0339页 0373页
第1章 图形的相似 1.2 怎样判定三角形相似 1.4 图形的位似 2.1 锐角三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 2.5 解直角三角形的应用 3.1 圆的对称性 3.3 圆周角 3.5 三角形的内切圆 3.7 正多边形与圆 4.1 一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 4.5 一元二次方程的应用 4.7 一元二次方程的应用
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1.4 图形的位似
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第2章 解直角三角形
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2.1 锐角三角比
1.1 相似多边形
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1.2 怎样判定三角形相似
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1.3 相似三角形的性质
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2.3 用计算器求锐角三角比
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第1章 图形的相似 1.2 怎样判定三角形相似 1.4 图形的位似 2.1 锐角三角比 2.3 用计算器求锐角三角比 2.5 解直角三角形的应用 3.1 圆的对称性 3.3 圆周角 3.5 三角形的内切圆 3.7 正多边形与圆 4.1 一元二次方程 4.3 用公式法解一元二次方程 4.5 一元二次方程的应用 4.7 一元二次方程的应用
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1.4 图形的位似
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第2章 解直角三角形
最新青岛版九年级数学上册全册完 整课件
2.1 锐角三角比
三角形的内切圆PPT课件(上课用)
B
I． C
D ． O
1、三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2、三角形的内心在三角形的角平分线上；
三角形外心的性质：
E
F
1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
名称
外心 （三角 形外接 圆的圆 心）
确定 方法
三角形 三边中 垂线的 交点
图形
A
性质
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日
1 2、定义：和三角形各边都相切的圆
A
． O
C
图1
D
． I
叫做 三角形的内切圆 ，内切圆 的圆心叫做三角形的 内心 ，这
图2 圆的外切三角形 个三角形叫做 。 3、如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是 △DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的 内 心，它是三角
E
F
形
角平分线
的交点。
A
三角形内心的性质：
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
NIM
B
D
C
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。 外接 ⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC 的 外心 ， B 三边中垂线 它是三角形 的交点。
O B
1.OA=OB=OC ； 2. 外心 不一定在三角形的内 部．
C
内心 （三角 形内切 圆的圆 心）
I． C
D ． O
1、三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2、三角形的内心在三角形的角平分线上；
三角形外心的性质：
E
F
1、三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2、三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；
名称
外心 （三角 形外接 圆的圆 心）
确定 方法
三角形 三边中 垂线的 交点
图形
A
性质
用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。
谢谢, 再见 ！
2003年12月17日
1 2、定义：和三角形各边都相切的圆
A
． O
C
图1
D
． I
叫做 三角形的内切圆 ，内切圆 的圆心叫做三角形的 内心 ，这
图2 圆的外切三角形 个三角形叫做 。 3、如图2，△DEF是⊙I的 外切 三角形， ⊙I是 △DEF的 内切 圆，点I是 △DEF的 内 心，它是三角
E
F
形
角平分线
的交点。
A
三角形内心的性质：
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切 已知： △ABC（如图）
求作：和△ABC的各边都相切的圆
A
NIM
B
D
C
作法：1、作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I.
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D.
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I， ⊙I就是所求的圆.
1、 如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。 外接 ⊙ O是△ABC的 圆，点O叫△ABC 的 外心 ， B 三边中垂线 它是三角形 的交点。
O B
1.OA=OB=OC ； 2. 外心 不一定在三角形的内 部．
C
内心 （三角 形内切 圆的圆 心）
【数学课件】2017年九年级上3.5三角形的内切圆(青岛版)
图形
确定方法
• 三角形三边 • 垂直平分线 的交点
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形 的外部．
内心：三 角形内切 圆的圆心
三角形三条 角平分线的 交点
1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平 分∠BAC、∠ABC、 ∠ACB 3.内心在三角形内部．
1.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆 A 半径为r，你会求△ABC的面积吗？
b
E r
.
O r
r=
a+b-c
2
C r Da
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆 的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念 得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念. 3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内 心”与“外心”的区别. 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想 和化整为零思想的运用.
好好学习，天天向上。
《高效课时通》
A
O
过圆心作一边的垂线，垂线段 的长就是半径。
D
B
三角形与圆的位置关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
A
这个三角形叫做圆的外切三角形. 内切圆的圆心叫做三角形的内心.
I
●
三角形的内心是三角形三条角平
分线的交点。 老师提示: 三角形的边与圆的位置关系称为切.
B
C
名称
外心：三 角形外接 圆的圆心
1 s = (a b c ) r 2
+ +
O●
●
B
┓
C
2.已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，你会求它的 内切圆半径吗？ A
┐ B
九年级数学上册3.5三角形的内切圆三角形内切圆几个公式的应用素材青岛版(new)
三角形内切圆几个公式的应用公式 1 。
△ABC，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b,AB＝c,内切圆半径为r,则r＝12（a+b—c）。
证明:如图1，⊙O内切于△ABC，D、E、F为切点，由切线长定理知：AF=AE,CE=CD,BF=BD.∴a+b—c=（BD+DC)+（AE+EC）—(AF+BF)=2CE=2r。
∴r＝12(a+b—c)。
点评：此公式只适用于直角三角形。
公式2 . 若O为△ABC的内心,则∠AOB=90°+ 12∠ACB。
证明：如图2，∴⊙O为△ABC的内切圆，∴∠1= 12∠CAB，∠2=12∠ABC,∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°- 12(∠CAB+∠ABC）=180°-12（180°—∠ACB）=90°+ 12∠ACB。
公式3 .如图3，在△ABC中,内切圆O和BC、AC、AB分别相切于点E、F、D，则∠FDE=90°-12∠ACB.证明:连结OE、OF，则OF⊥AC，OE⊥BC，四边形CFOE内角和为360°，∴∠FOE+∠C=180°，又因为∠FDE= 12∠FOE，∴∠FDE=90°—12∠ACB。
点评：由在同一个圆中,同弧所对的圆周角相等可知，即使D点不为切点，只要∠FDE所对的弧为EF，都有∠FDE=90°—12∠ACB。
公式4 . △ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r =2sa b c++。
A CBDE图1ABC图2ABCD图3AC图4证明:如图4,⊙I内切于△ABC，连结IA，IB，IC，S=S △AIB +S △AIC +S △BIC =12 AB ·r+ 12 AC ·r+ 12CB ·r= 12cr+ 12 ar+ 12br= 12（a+ b+c ）r ∴r = 2sa b c++。
(青岛版)九年级上册课件：3.5三角形的内切圆(共16张PPT)
B
2 )1
4 3(
C
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) = 180 °－(20°＋ 35 °) =125 °.
（2）若∠A=80 °，则∠BOC =
130 度. 20
度.
（3）若∠BOC=100 °，则∠A = 东平县初中数学
挑战自我
1.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆 A 半径为r，你会求△ABC的面积吗？
三角形与圆的位置关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. A 这个三角形叫做圆的外切三角形.
内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条角平 分线的交点。 B 老师提示: 三角形的边与圆的位置关系称为切.
东平县初中数学
I
●
C
名称 外心： 三角形 外接圆 的圆心
B
图形
A
组卷网
确定方法
1．任意作一个∠ABC，如 果在∠ABC内作圆，使其与 两边OA、OB相切，满足上 述条件的圆是否可以作出？B 如果可以作，能作多少个？ 所作出的圆的圆心O的位置 有什么特征？为什么？
学 科网
O C
能作无数个 圆心0在∠ABC的平分线上。 东平县初中数学
自学互学，实验探究
2．任意作一个△ABC，在 △ABC内作圆，使其与各边都 相切，满足上述条件的圆是否可 以作出？如果可以作，能作多少 个？所作出的圆的圆心O的位置 B 有什么特征？为什么？
结束寄语
下课了!
•要养成用数学的语言去说明 道理,用数学的思维去解读世 界的习惯.
东平县初中数学
东平县初中数学
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 ⊙ O是△ABC的 外接 点O叫△ABC的 外心 ， 它是三角形 三边垂直平分线 圆，
24.5 三角形的内切圆课件 (共16张PPT)
点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求
AF、BD、CE的长.
A
想一想：图中你能找出哪些相等
F
的线段？理由是什么？
E O
B
C
D
3、 直角三角形的两直角边分 别是5cm，12cm .则其内切 圆的半径为___2___.
变式：已知：如图，在Rt△ABC中， A ∠C=90°，边BC、AC、AB的长分别为a、
⊙I就是所求的圆. 注：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
▪ 三角形的内切圆的概念
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心是 三角形三个内角的角平分线的交点
A
1、如图1，△ABC是⊙O的
三角形。
⊙ O是△ABC的
三角形的三条 角平分线的 交点
内切圆
的圆心
B
A
1.到三边的距离
相等；
O
2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB
C 3.内心在三角形内
部．
例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数.
（2）试探索： ∠A与∠BOC之间存 在怎样的数量关系？请说明理由. B
回顾 & 思考☞
确定圆的条件是什么? 角平分线的定义、性质都是什么？ 左图中，△ABC与⊙0有什么关系？
A
O
B
C
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
猜想：要使圆的面积最大， 这个圆应与三角形的三边都 相切！
AF、BD、CE的长.
A
想一想：图中你能找出哪些相等
F
的线段？理由是什么？
E O
B
C
D
3、 直角三角形的两直角边分 别是5cm，12cm .则其内切 圆的半径为___2___.
变式：已知：如图，在Rt△ABC中， A ∠C=90°，边BC、AC、AB的长分别为a、
⊙I就是所求的圆. 注：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个．
▪ 三角形的内切圆的概念
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切 圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三 角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心是 三角形三个内角的角平分线的交点
A
1、如图1，△ABC是⊙O的
三角形。
⊙ O是△ABC的
三角形的三条 角平分线的 交点
内切圆
的圆心
B
A
1.到三边的距离
相等；
O
2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、
∠ABC、∠ACB
C 3.内心在三角形内
部．
例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数.
（2）试探索： ∠A与∠BOC之间存 在怎样的数量关系？请说明理由. B
回顾 & 思考☞
确定圆的条件是什么? 角平分线的定义、性质都是什么？ 左图中，△ABC与⊙0有什么关系？
A
O
B
C
如图是一块三角形木料，木工师傅要 从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下 的圆的面积尽可能大呢？
猜想：要使圆的面积最大， 这个圆应与三角形的三边都 相切！
三角形内切圆+课件
通过三角形的三条高作内切圆
总结词
利用三角形三条高的垂足连线作内切 圆
详细描述
在三角形ABC中，分别作高AD、BE 、CF，垂足分别为D、E、F，然后分 别连接DE、EF、FD，则三角形DEF就 是三角形ABC的内切圆。
04
三角形内切圆的应用
在几何作图中的应用
确定三角形内切圆的圆心
绘制三角形内切圆
内切圆半径
从三角形内切圆的圆心到三角形 任意一边的距离就是内切圆的半 径。
三角形内切圆的重要性
面积计算
通过三角形内切圆的半径可以快速计 算三角形的面积，公式为：面积 = (p × r) / 2，其中p为半周长，r为内 切圆半径。
几何性质研究
三角形内切圆是研究三角形几何性质 的重要工具，如重心、垂心等性质都 与内切圆有关。
详细描述
切线定理说明了三角形内切圆的切线与对应的底边平行，这 是由于内切圆的半径垂直于切线，并且与底边平行。同时， 切点到三角形三个顶点的距离相等，即内切圆的半径等于三 角形周长与面积之比的一半。
切线和半径的定理
总结词
切线和半径的定理表明三角形内切圆的半径等于该三角形的高与底边长度之比。
详细描述
这个定理说明了三角形内切圆的半径与三角形的高和底边长度之间的关系。具体 来说，内切圆的半径等于三角形面积与高和底边长度乘积之比。这个定理在解决 几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到三角形内切圆的半径。
通过三角形三边的垂直平分线的交点 确定内切圆的圆心。
根据圆心和半径，使用几何作图方法 绘制出三角形的内切圆。
计算内切圆的半径
利用三角形面积和半径公式，可以求 出内切圆的半径。
在三角形面积计算中的应用
要点一
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九年级数学(上)第 三章： 对圆的进一步认识
3.5 三角形的内切圆
A
B
C
学习目标： 1、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外
切三角形的概念。
2、会利用基本作图作三角形的内切圆。
3、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。
自学互学，实验探究
A
1．任意作一个∠ABC，如 果在∠ABC内作圆，使其与 两边OA、OB相切，满足上 述条件的圆是否可以作出？B 如果可以作，能作多少个？ 所作出的圆的圆心O的位置 有什么特征？为什么？
B
I
●
C
老师提示: 三角形的边与圆的位置关系称为切.
名称 外心：三 角形外接 圆的圆心
B
图形
A
组卷网
确定方法
三角形三边 垂直平分线 的交点 C
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的外部．
o
A
内心：三 角形内切 圆的圆心
B
O C
三角形三条 角平分线的 交点
1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内 部．
的交点.
E
图2
F
例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=40°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数.
解: （1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠1= ∠2= ∠ABC=
A
1 2
×40°= 20°.
同理 ∠3= ∠4=
1 ∠ACB= 2
1 2 1 ×70° =35 °. 2
O
B
2 )1
1
A . O C B
A
140º
3.直角三角形的两直角边分别5cm， 2cm 。 12cm .则其内切圆的半径______
C
.O
三 角 形 的 内 B 切
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切 圆、圆的外切三角形概念.
4 3(
C
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) = 180 °－(20°＋ 35 °) =125 °.
（2）若∠A=80 °，则∠BOC =
130 度. 20
度.
（3）若∠BOC=100 °，则∠A =
挑战自我
1.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆 A 半径为r，你会求△ABC的面积吗？
学 科网
O C
能作无数个 圆心0在∠ABC的平分线上。
自学互学，实验探究
2．任意作一个△ABC，在 △ABC内作圆，使其与各边都 相切，满足上述条件的圆是否可 以作出？如果可以作，能作多少 个？所作出的圆的圆心O的位置 B 有什么特征？为什么？
A O
图2
C
圆心0在∠ABC与∠ACB的两个角的角平 分线的交点上。
3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与
“外心”的区别. 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想和化整为零思想的 运用.
结束寄语
下课了!
• 要养成用数学的语言去说明 道理,用数学的思维去解读 世界的习惯.
b
E r C r
F
.O
r a-r
a+b-c r= 2
a-r B
r D a
当堂达标2
1.三角形的内切圆能作____ 1个,圆的外切 三角形有_____ 无数 个,三角形的内心在圆 的_______. 内部 2.如图,O是△ABC的内心,则 （1）OA平分∠______, OB平分 BAC ∠______,OC平分∠______. ACB ABC （2）若∠BAC=100º,则∠BOC=______.
当堂达标1
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 ⊙ O是△ABC的 外接 点O叫△ABC的 外心 ， 它是三角形 三边垂直平分线 圆，
三角形。
A
．
的交点.
O C
图1
B
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 ⊙I是△DEF的 内切 点I是 △DEF的 圆， 心， 内 三条角平分线 它是三角形
三角形，
D
． I
3．如何确定与三角形三边都相切 的圆的圆心位置与半径的长？
C
作出三个内角的平分线，三条 内角平分线相交于一点，这点就 是圆心， 过圆心作一边的垂线，垂线 段的长就是半径。Leabharlann O ADB
怎样用尺规作一个圆，使它与△ABC的各边都相切？
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
zxxkw
1 s= (a + b + c ) r 2
O
● ●
B
┓
C
2.已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，你会求它的 A 内切圆半径吗？
┐
B
●
C
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边 BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求其内 切圆O的半径长.
b-r+a-r=c
A b-r b-r c
A
N I M
B
D
C
作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. 2. 过点I作ID⊥BC，垂足为点D. 3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆.
明确概念
三角形与圆的位置关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫做圆的外切三角形. A
内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条角平 分线的交点。
3.5 三角形的内切圆
A
B
C
学习目标： 1、了解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外
切三角形的概念。
2、会利用基本作图作三角形的内切圆。
3、了解三角形内心的性质，并会进行有关的计算。
自学互学，实验探究
A
1．任意作一个∠ABC，如 果在∠ABC内作圆，使其与 两边OA、OB相切，满足上 述条件的圆是否可以作出？B 如果可以作，能作多少个？ 所作出的圆的圆心O的位置 有什么特征？为什么？
B
I
●
C
老师提示: 三角形的边与圆的位置关系称为切.
名称 外心：三 角形外接 圆的圆心
B
图形
A
组卷网
确定方法
三角形三边 垂直平分线 的交点 C
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三 角形的外部．
o
A
内心：三 角形内切 圆的圆心
B
O C
三角形三条 角平分线的 交点
1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC 分别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内 部．
的交点.
E
图2
F
例1 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=40°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数.
解: （1）∵点O是△ABC的内心，
∴ ∠1= ∠2= ∠ABC=
A
1 2
×40°= 20°.
同理 ∠3= ∠4=
1 ∠ACB= 2
1 2 1 ×70° =35 °. 2
O
B
2 )1
1
A . O C B
A
140º
3.直角三角形的两直角边分别5cm， 2cm 。 12cm .则其内切圆的半径______
C
.O
三 角 形 的 内 B 切
1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切 圆、圆的外切三角形概念.
4 3(
C
∴ ∠BOC=180 °－(∠1＋ ∠3) = 180 °－(20°＋ 35 °) =125 °.
（2）若∠A=80 °，则∠BOC =
130 度. 20
度.
（3）若∠BOC=100 °，则∠A =
挑战自我
1.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆 A 半径为r，你会求△ABC的面积吗？
学 科网
O C
能作无数个 圆心0在∠ABC的平分线上。
自学互学，实验探究
2．任意作一个△ABC，在 △ABC内作圆，使其与各边都 相切，满足上述条件的圆是否可 以作出？如果可以作，能作多少 个？所作出的圆的圆心O的位置 B 有什么特征？为什么？
A O
图2
C
圆心0在∠ABC与∠ACB的两个角的角平 分线的交点上。
3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与
“外心”的区别. 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想和化整为零思想的 运用.
结束寄语
下课了!
• 要养成用数学的语言去说明 道理,用数学的思维去解读 世界的习惯.
b
E r C r
F
.O
r a-r
a+b-c r= 2
a-r B
r D a
当堂达标2
1.三角形的内切圆能作____ 1个,圆的外切 三角形有_____ 无数 个,三角形的内心在圆 的_______. 内部 2.如图,O是△ABC的内心,则 （1）OA平分∠______, OB平分 BAC ∠______,OC平分∠______. ACB ABC （2）若∠BAC=100º,则∠BOC=______.
当堂达标1
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 ⊙ O是△ABC的 外接 点O叫△ABC的 外心 ， 它是三角形 三边垂直平分线 圆，
三角形。
A
．
的交点.
O C
图1
B
2.如图2，△DEF是⊙I的 外切 ⊙I是△DEF的 内切 点I是 △DEF的 圆， 心， 内 三条角平分线 它是三角形
三角形，
D
． I
3．如何确定与三角形三边都相切 的圆的圆心位置与半径的长？
C
作出三个内角的平分线，三条 内角平分线相交于一点，这点就 是圆心， 过圆心作一边的垂线，垂线 段的长就是半径。Leabharlann O ADB
怎样用尺规作一个圆，使它与△ABC的各边都相切？
作圆，使它和已知三角形的各边都相切
已知： △ABC（如图）. 求作：和△ABC的各边都相切的圆.
zxxkw
1 s= (a + b + c ) r 2
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● ●
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C
2.已知Rt△ABC的两直角边分别为a，b，你会求它的 A 内切圆半径吗？
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C
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边 BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求其内 切圆O的半径长.
b-r+a-r=c
A b-r b-r c
A
N I M
B
D
C
作法：1. 作∠ABC、 ∠ACB的平分线BM和CN，交点为I. 2. 过点I作ID⊥BC，垂足为点D. 3. 以I为圆心，ID为半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆.
明确概念
三角形与圆的位置关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 这个三角形叫做圆的外切三角形. A
内切圆的圆心叫做三角形的内心. 三角形的内心是三角形三条角平 分线的交点。