2019年高考数学(理-全国通用)大一轮复习高考试题汇编第五章平面向量含解析-精编试题

合集下载

2019年高考数学(理)试题分项版解析：专题05-平面向量(分类汇编)Word版含解析

1. 【2019高考福建卷第8题】在下列向量组中，能够把向量()2,3=a 表示出来的是（） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2019高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（） A.()1,1,0- B. ()1,1,0- C.()0,1,1- D.()1,0,1-3. 【2019高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】17+【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2019高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2019陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a=，若b a //，则=θtan _______.6. 【2019高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若CΩ为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划.7. 【2019高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2019高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3±10. 【2019江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2019辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝12. 【2019全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则AB 与AC 的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2019全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 514. 【2019高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有准确命题的编号）. ①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S 与a 无关. ③若,b a ∥则min S 与b 无关. ④若a b 4>，则0min >S .⑤若2min||2||,8||b a Sa ==，则a 与b 的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以准确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2019四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．216. 【2019浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2019重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（）9.2A -.0B .C 3 D.15218. 【2019天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF?，23CE CF ?-，则l m += （）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2019大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （）A ．2B ．2C ．1D ．22。

2019届高考数学(理-全国通用)大一轮复习高考试题汇编第五章平面向量含解析-经典汇编

第五章平面向量第一节平面向量的线性运算及其坐标表示题型59 向量的概念及共线向量题型60 平面向量的线性表示——暂无题型61 向量共线的应用1.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BDBD ⋅⋅⋅====△ 即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==+，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sinϕ=，cosϕ=，当且仅当π2π2kθϕ=+-，k∈Z时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.2.(2017浙江理15)已知向量a，b满足1=a，2=b，则++-a b a b的最小值是，最大值是 .解析解法一：如图所示，a+b和-a b是以,a b为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A是以O为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD，平行四边形ECOA．所以AB AC+-=+a+b a b．易知当A，B，C三点共线时，AB AC+最小，此时4AB AC BC+==；当AO BC⊥时，AB AC+最大，此时2AB AC AB+==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b()222++a ba1010+=+θ是向量a，b的夹角).所以当2cos1θ=时，++-a b a b取得最小值4；当2cos0θ=时，++-a b a b取得最大值题型62 平面向量基本定理及应用1.（2017江苏12）如图所示，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，，OA与OC的夹角为α，且t a n7α=，OB与OC的夹角为45︒．若O C m O A n O B=+(),m n∈R，则m n+=．B解析解法一：由题意OC OA mOA OA nOB OAOC OB mOA OB nOB OB⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩（*）而由tan7α=，得sinα=，cosα=，11cos4OA OBαπ⎛⎫⋅=⨯⨯+⎪⎝⎭3cos cos sin sin445ααππ=⋅-⋅=-．将（*）式化简为1355315m nm n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①②式①加式②，得3m n+=．故填3．解法二（坐标法）：如图所示，以OA所在的直线为x轴，过O且垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，由题意结合解法一可得()1,0A ，17,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由 OC mOA nOB =+，得()1734,1,0,5555m n ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即13557455m n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故3m n +=．故填3．解法三（解三角形）：由tan 7α=，可得sin 10α=，cos 10α=，如图所示，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2100210n m n m +=⎪⎪⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，解得57,44m n ==，所以3m n +=．题型63 平面向量的坐标运算1.（2017江苏13）在平面直角坐标系xOy 中，点()12,0A -，()0,6B ，点P 在圆22:50O x y +=上．若20PA PB ⋅…，则点P 的横坐标的取值范围是．解析不妨设()00,P x y ，则220050x y +=，且易知0x ⎡∈-⎣．因为PA PB AP BP =⋅⋅()()000012,,6x y x y =+⋅-=220000126x x y y ++-005012620x y =+-…，故00250x y -+…．所以点()00,P x y 在圆22:50O x y +=上，且在直线250x y -+=的左上方（含直线）.联立2250250x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，得15x =-，21x =，如图所示，结合图形知0x ⎡⎤∈-⎣⎦．故填⎡⎤-⎣⎦．2评注也可以理解为点P 在圆22000012620x y x y +=+-的内部来解决，与解析中的方法一致．题型64 向量共线（平行）的坐标表示——暂无第二节平面向量的数量积题型65 平面向量的数量积1.（2017天津理13）在ABC △中，60A =∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.解析解法一：如图所示，以向量AB ，AC 为平面向量的基底，则依题意可得1cos 603232AB AC AB AC ⋅==⨯⨯=.又因为2BD DC =，则()22213333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+，则22212114533333AD AE AC AB AC AB λλλ⎛⎫-=⋅=-+-⋅=- ⎪⎝⎭，解得311λ=.DCBA解法二：以点A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x轴，建立直角坐标系(如图所示).依题意易得()0,0A ，()3,0B，(C ，()=3,0AB ，(BC =-，(=AC .则可得25,333AD AB BD ABBC ⎛=+=+= ⎝⎭，()AE AC AB λλ=-=-，于是有()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=-，解得311λ=.2.(2017北京理6)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析若0λ∃<，使λ=m n ，即两向量方向相反，夹角为180，则0⋅<m n .若0⋅<m n ，也可能夹角为(90,180⎤⎦，方向并不一定相反，故不一定存在.故选A.3.（2017全国1理13）13.已知向量a ，b 的夹角为60，2=a ， 1=b ，则2+=a b .解析 ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b221222222=+⨯⨯⨯+=444++=12，所以2+=a b .4.（2017全国2理12）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）.A.2-B.32-C. 43- D.1- 解析解法一（几何法）：如图所示，取BC 的中点D ，联结AD ，取AD 的中点E ，由2PB PC PD +=，则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭…，当且仅当20PE =，即点P 与点E 重合时，取得最小值为32-，故选B.解法二（解析法）：建立如图所示的直角坐标系，以的BC 的中点为坐标原点，所以(0A ，()10B -，，()10C ，．设点()P x y ，，()PA x y =-，()1PB x y =---，，()1PC x y =--，，所以()2222PA PB PC x y ⋅+=-+22324x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，y =．故选B.5.（2017全国3理12）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（）. A ．3B．D ．2解析解法一：由题意，作出图像，如图所示．设BD 与C 切于点E ，联结CE ．以点A 为坐标原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系，则点C 坐标为(2,1)．因为||1CD =，||2BC =．所以BD =BD 切C 于点E ．所以CE⊥BD ．所以CE 是Rt BCD △斜边BD上的高．1222BCDBC CDS EC BDBD ⋅⋅⋅====△ 即C．因为点P 在C 上．所以点P 的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，可以设出点P坐标满足的参数方程0021x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．因为(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=，所以0112x μθ==+，01y λθ==．两式相加得()112λμθθθϕ+=++=++=2sin()3θϕ++≤ (其中sin ϕ=，cos ϕ=，当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值为3．故选A.解法二：如图所示，考虑向量线性分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3.λ+μ=2λ+μ=3DCBA6.（2017山东理12）已知12,e e 是互相垂直的单位向量，12-e 与12λ+e e 的夹角为60，则实数λ的值是 . 解析)()221212112122λλλ-⋅+=+⋅-⋅-=e e ee e e e e ，122-===e，12λ+===e e2cos601λ==+λ=． 7.(2017浙江理10)如图所示，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，记1·I O A O B = ，2·I OB OC =，3·I OC OD =，则（）.A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<解析如图所示，动态研究问题:D D ¢®，O O ¢®．此时有90AOB?o，90BOC?o ，90COD ?o ，且CO AO >，DO BO >．故OB OCOA OBOC OD ???u u u r u u u ru u r u u u r u u u r u u u r .8.(2017浙江理15)已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，则++-a b a b 的最小值是，最大值是 .解析解法一：如图所示，a +b 和-a b 是以,a b 为邻边的平行四边形的两条对角线，则()2222210++-=+=a b a b a b，A 是以O 为圆心的单位圆上的一动点，构造2个全等的平行四边形AOBD ，平行四边形ECOA ．所以AB AC +-=+a +b a b ．易知当A ，B ，C 三点共线时，AB AC +最小，此时4AB AC BC +==；当AO BC ⊥时，AB AC +最大，此时2AB AC AB +==解法二:()2222++-=++-++-=a b a b a b a b a b a b ()222++a b1010+=+θ是向量a ，b 的夹角).Aa备战高考，时不我待。

2019届高考数学理科1轮复习练习：第五章平面向量章

章末总结[学生用书P83]一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中一、选择题1．已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，若OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 一定为( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形解析：选D.由OA →＋OC →＝OB →＋OD →，得OA →－OB →＝OD →－OC →，即BA →＝CD →，所以BA ∥CD ，且BA ＝CD .所以四边形ABCD 一定为平行四边形，故选D.2．已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32bB ．12a －32bC ．－32a －12bD ．－32a ＋12b解析：选B.设c ＝λa ＋μb ，所以(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，所以⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－32，所以c ＝12a －32b . 3．已知a ＝(3，4)，b ＝(sin θ，cos θ)，若a ∥b ，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝( )A ．7B ．17C ．－17D ．－7解析：选D.因为a ∥b ，所以3cos θ－4sin θ＝0，即tan θ＝34，所以sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝34＋134－1＝－7.故选D. 4．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A ．π6 B.π4C ．π3 D.2π3解析：选B.因为a ⊥(a －b )，所以a 2－a ·b ＝0，又|a |＝1，所以a ·b ＝1，设向量a 与向量b 的夹角为θ，由cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12＝22，可得θ＝π4，即向量a 与b 的夹角为π4.二、填空题5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝3，AD ＝DC ＝2，M 是DC 的中点，则AM →·BC→＝________．解析：设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝3，|b |＝2.AM →＝AD →＋DM →＝b ＋13a ，BC →＝AC →－AB →＝AD →＋DC →－AB →，＝b ＋23a －a ＝b －13a ，所以AM →·BC →＝⎝⎛⎭⎫b ＋13a (b －13a )＝|b |2－19|a |2＝22－19×32＝3. 答案：36．设|e 1|＝|e 2|且e 1与e 2的夹角为60°，则a ＝2e 1＋e 2与b ＝3e 1－2e 2的夹角为________．解析：不妨设|e 1|＝|e 2|＝1.所以|a |＝（2e 1＋e 2）2＝4|e 1|2＋|e 2|2＋4|e 1|·|e 2|cos 60° ＝4×12＋12＋4×1×1×12＝7.|b |＝（3e 1－2e 2）2＝9|e 1|2＋4|e 2|2－12|e 1|·|e 2|cos 60° ＝9×12＋4×12－12×1×1×12＝7.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(3e 1－2e 2)＝6e 21－e 1·e 2－2e 22＝6|e 1|2－|e 1||e 2|cos 60°－2|e 2|2＝6×12－1×1×12－2×12＝72.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝727·7＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3. 答案：π3三、解答题7．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．解：(1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a ·b －27＝61，所以a ·b ＝－6.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又因为0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，所以|a ＋b |＝13. (3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.8．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间； (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值．解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6. (2)由f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.因为向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。

2019版高考数学大一轮复习人教B版全国通用文档：第五章平面向量5.2

§5.2向量的分解与向量的坐标运算1．平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．2．向量的直角坐标运算(1)向量加法、减法、数乘设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝(λa1，λa2)．(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，其中b ≠0.a 、b 共线⇔a 1b 2－b 1a 2＝0. 知识拓展1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( × )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( √ )(4)若a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成a 1b 1＝a 2b 2.( × )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( √ ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ ) 题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案 (1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12. 题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 答案 05．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 答案 (－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．(2016·全国Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 答案 B解析方法一设a ＝k 1e 1＋k 2e 2，A 选项，∵(3,2)＝(k 2,2k 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝3，2k 2＝2，无解；B 选项，∵(3,2)＝(－k 1＋5k 2,2k 1－2k 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －k 1＋5k 2＝3，2k 1－2k 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，k 2＝1.故B 中的e 1，e 2可以把a 表示出来；同理，C ，D 选项同A 选项，无解．方法二只需判断e 1与e 2是否共线即可，不共线的就符合要求．2．(2017·济南模拟)如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案311解析 ∵AN →＝13NC →，∴AC →＝4AN →，∵AD →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋811AN →，又P ，B ，N 三点共线， ∴m ＋811＝1，即m ＝311.思维升华平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．题型二平面向量的坐标运算典例 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫1，83 B.⎝⎛⎭⎫－133，83 C.⎝⎛⎭⎫133，43 D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 答案 D解析由已知3c ＝－a ＋2b＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)．所以c ＝⎝⎛⎭⎫－133，－43. (2)(2017·北京西城区模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6,2)，C (5，－1)，∴a ＝AO →＝(－1,1)，b ＝OB →＝(6,2)，c ＝BC →＝(－1，－3)． ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝4.引申探究在本例(2)中，试用a ，c 表示b .解建立本例(2)解答中的平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，设b ＝x a ＋y c ，则(6,2)＝x (－1,1)＋y (－1，－3)．即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＝6，x －3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，故b ＝－4a －2c .思维升华向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．跟踪训练 (1)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3)答案 A解析设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4,3)，又BC →＝2AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.(2)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2)答案 D解析 12a ＝⎝⎛⎭⎫12，12，32b ＝⎝⎛⎭⎫32，－32，故12a －32b ＝(－1,2)．题型三向量共线的坐标表示命题点1 利用向量共线求向量或点的坐标典例已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案 (3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2 利用向量共线求参数典例已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ＝________. 答案 45°解析由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝12，∴cos 2θ＝12，∴cos θ＝22或cos θ＝－22，又θ为锐角，∴θ＝45°.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(a 1，b 1)，b ＝(a 2，b 2)，则a ∥b 的充要条件是a 1b 2＝b 1a 2”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．跟踪训练 (1)(2017·北京海淀区模拟)已知向量a ＝(1,1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6)解析设B (x,2x )，则AB →＝(x －3,2x )． ∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3， ∴B (－3，－6)．(2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.解析法(坐标法)在向量中的应用典例 (12分)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O为圆心的AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．思想方法指导建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为函数问题更加凸显向量的代数特征．规范解答解以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32.[4分]设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，[8分] 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，[10分] 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.[12分]1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( ) A ．e 1与e 1＋e 2 B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2 C ．e 1＋e 2与e 1－e 2 D ．e 1－2e 2与－e 1＋2e 2答案 D2．(2018·郑州质检)设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b 等于( )A ．(6,3)B ．(－2，－6)C ．(2,1)D ．(7,2)答案 B解析 2a －3b ＝(－2,0)－(0,6)＝(－2，－6)．3．(2018·河南中原名校联考)如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14 C ．1D.516答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A. 4．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b 答案 B解析设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎨⎧ λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b . 5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞) 答案 D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.6．(2018·厦门调研)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( ) A ．2 B.52C ．3D ．4 答案 C解析 ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA →所在直线为x 轴，OB →所在直线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3，故选C. 7．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．答案 (－3，－5)解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．8．(2018·雅安模拟)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________.答案 1解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ， ∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1.9．(2017·福建四地六校联考)已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝________.答案 2 2解析由OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)＝12(OA →＋OC →)知，点D 是线段AC 的中点，故D (2,2)，所以BD →＝(－2,2)，故|BD →|＝(－2)2＋22＝2 2.10．(2018·洛阳质检)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝__________.(用e 1，e 2表示)答案－23e 1＋512e 2 解析如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1) ＝－23e 1＋512e 2. 11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．解 (1)由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →.∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－3. ∴点C 的坐标为(5，－3)．12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解 (1)由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∴3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N (9,2)，∴MN →＝(9，－18)．13．(2018·河南三市联考)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 14．(2017·杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______．答案102 解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，B (5，0)，C (5，3)，D (0，3)．∵AP ＝52，∴x 2＋y 2＝54. 点P 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤5，0≤y ≤3，x 2＋y 2＝54，∵AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，∴(x ，y )＝λ(5，0)＋μ(0，3)，∴⎩⎨⎧ x ＝5λ，y ＝3μ， ∴x ＋y ＝5λ＋3μ. ∵x ＋y ≤2(x 2＋y 2)＝ 2×54＝102，当且仅当x ＝y 时取等号，∴5λ＋3μ的最大值为102.15．(2018·石家庄一模)如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析由题意得，OC →＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC →||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0. 又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1,0)．16．(2018·开封调研)已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________．答案 494解析建立平面直角坐标系如图所示，则易知B (－3，0)，C (3，0)，A (0,3)．设M (x ，y )，P (a ，b )，∵PM →＝MC →，∴⎩⎨⎧ x －a ＝3－x ，y －b ＝0－y ，解得⎩⎨⎧a ＝2x －3，b ＝2y ，即P (2x －3，2y )，又∵|AP →|＝1.∴P 点在圆①x 2＋(y －3)2＝1上，即(2x －3)2＋(2y －3)2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y －322＝14(记为圆②)，即M 点在该圆上，求|BM →|的最大值转化为B 点到该圆②上的一点的最大距离，即B 到圆心的距离再加上该圆的半径：|BM →|2＝⎝⎛⎭⎪⎫ ⎝⎛⎭⎫32＋32＋⎝⎛⎭⎫322＋122＝494.。

2019版高考数学理科课标A版一轮复习习题：5-1 平面向

第五章平面向量命题探究解答过程答案:A解析:(解法一)如图,以A 为原点,以AB,AD 所在直线为x,y 轴建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2).动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上,设圆的半径为r, ∵BC=2,CD=1,∴BD==, ∴BC ·CD=BD ·r,∴r=, ∴圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=, 设点P 的坐标为. ∵=λ+μ,∴=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ), ∴cos θ+1=λ,sin θ+2=2μ,∴λ+μ=cos θ+sin θ+2=sin(θ+φ)+2,其中tan φ=2. ∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴1≤λ+μ≤3,故λ+μ的最大值为3,故选A.(解法二)分别以CB 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上, ∴可设P . 则=(0,-1),=(-2,0),=. 又=λ+μ,∴λ=-sin θ+1,μ=-cos θ+1,∴λ+μ=2-sin θ-cos θ=2-sin(θ+φ), 其中tan φ=,∴(λ+μ)max =3§5.1平面向量的基本概念与线性运算考纲解读分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.五年高考考点一平面向量的基本概念与线性运算1.(2015课标Ⅰ,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则()A.=-+B.=-C.=+D.=-答案A2.(2015陕西,7,5分)对任意向量a,b,下列关系式中的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a2-b2答案B3.(2013四川,12,5分)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=.答案2考点二向量的共线问题1.(2013陕西,3,5分)设a,b为向量,则“|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2015课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=. 答案三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一平面向量的基本概念与线性运算1.(2018辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC中,G为重心,记a=,b=,则=()A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b答案A2.(2017山西大学附中期中,6)如图,e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a+b+c可表示为()A.3e1-2e2B.-3e1-3e2C.3e1+2e2D.2e1+3e2答案C3.(2017河北石家庄二中联考,7)M是△ABC所在平面内一点,++=0,D为AC中点,则的值为()A. B. C.1D.2答案B4.(人教A必4,二,2-2A,12,变式)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m,使得+=m成立,则m=()A.2B.3C.4D.5答案B考点二向量的共线问题5.(2016河南安阳二模,5)向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为()A. B.C. D.答案A6.(2018北师大附中期中,13)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B在直线y=2x上,若∥a,则点B 的坐标为.答案(-3,-6)7.(2017江西九校12月联考,14)已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且=3,则||=.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)选择题(每小题5分,共25分)1.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P是△ABC所在平面上的一点,满足++=2,若S△ABC=6,则△PAB的面积为()A.2B.3C.4D.8答案A2.(2017湖北宜昌一中月考,9)已知O为△ABC的外心,D,E分别为AB,AC的中点,||=16,||=10.若=x+y,且32x+25y=25,则||=()A.8B.10C.12D.14答案B3.(2017安徽皖智教育月考,8)在矩形ABCD中,AB=,BC=,P为矩形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为()A. B. C. D.答案B4.(2016广东茂名二模,9)已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1)且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是()A.24B.8C.D.答案B5.(2016河南中原名校3月联考,8)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=()A.-B.-C.-+D.-+答案CC组2016—2018年模拟·方法题组方法1平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法1.(2018吉林长春模拟,6)D为三角形ABC所在平面内一点,且=+,则=()A. B. C. D.答案B2.(2017安徽池州模拟,7)梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AC交BD于O点,过O点的直线分别交AD、BC于E、F点,=m,=n,则+=()A.2B.C.1D.答案B3.(2016河南开封二模,14)已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=|a-b|=|a+b-c|=1,则|c|的最大值M=.答案+1方法2向量共线问题的解决方法4.(2018辽宁丹东五校协作体联考,4)向量a=,b=(cosα,1),且a∥b,则cos2α=()A. B.- C. D.-答案C5.(2017湖北恩施月考,14)设e1,e2是两个不共线的向量,已知向量=2e1+tan α·e2,=e1-e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则=.答案06.(2016天津和平二模,11)在△ABC中,过中线AD的中点E作一条直线分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y(x>0,y>0),则4x+y的最小值为.答案。

高考数学(理)大一轮复习习题：第五章平面向量 Word版含答案

第五章⎪⎪⎪平面向量第一节平面向量的概念及线性运算突破点(一) 平面向量的有关概念[典例] (1)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |(2)设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3本节主要包括2个知识点： 1.平面向量的有关概念； 2.平面向量的线性运算.[解析](1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案](1)C(2)D[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．①④解析：选A①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C.3．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与OC 相等的向量有________．答案：AB ，ED ，FO4．如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH 相等的向量有________；(2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量EA 共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1)LB '，HC (2)EC '，LE ，LB '，GB ，HC(3)EF ，FB ，HA '，HK ，KB '突破点(二) 平面向量的线性运算1．向量的线性运算2.平面向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .[例1] (1)在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b .若点D 满足BD ＝2DC ，则AD ＝( ) A.13b ＋23c B.53c －23b C.23b －13c D.23b ＋13c (2)在△ABC 中，N 是AC 边上一点且AN ＝12NC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB＋29AC ，则实数m 的值是________． [解析] (1)由题可知BC ＝AC －AB ＝b －c ，∵BD ＝2DC ，∴BD ＝23BC ＝23(b －c )，则AD ＝AB ＋BD ＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c ，故选D.(2)如图，因为AN ＝12NC ，所以AN ＝13AC ，所以AP ＝m AB ＋29AC ＝m AB ＋23AN .因为B ，P ，N 三点共线，所以m ＋23＝1，则m ＝13.[答案] (1)D (2)13[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较，观察可知所求．平面向量共线定理的应用[例2] 设两个非零向量a 和b 不共线．(1)若AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线． (2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线．[解] (1)证明：因为AB ＝a ＋b ，BC ＝2a ＋8b ，CD ＝3(a －b )，所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB ，所以AB ，BD 共线．又AB 与BD 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为ka ＋b 与a ＋kb 共线，所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb )，即⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝λk ，解得k ＝±1. 即k ＝1或－1时，ka ＋b 与a ＋kb 共线． [方法技巧]平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a ，b ，若存在实数λ，使a ＝λb ，则a 与b 共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB ＝λAC ，AB 与AC 有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． [提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]如图所示，下列结论正确的是( )①PQ ＝32a ＋32b ；②PT ＝32a －b ；③PS ＝32a －12b ；④PR ＝32a ＋b . A ．①②B ．③④ C ．①③D ．②④解析：选C 根据向量的加法法则，得PQ ＝32a ＋32b ，故①正确；根据向量的减法法则，得PT ＝32a －32b ，故②错误；PS ＝PQ ＋QS ＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；PR ＝PQ ＋QR ＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误．故选C.2.[考点二]已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1解析：选D ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥AC ，设AB ＝m AC (m ≠0)，则λa ＋b ＝m (a ＋μb )，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，∴λμ＝1，故选D.3.[考点一]在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB ，BC 分别为a ，b ，则AH ＝( )A.25a －45bB.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b解析：选B 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且GF ＝12EC ＝14BC ，∴GF ＝14AD ，则△AHD ∽△FHG ，从而HF ＝14AH ，∴AH ＝45AF ，AF ＝AD ＋DF ＝b ＋12a ，∴AH ＝45⎝⎛⎭⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ，故选B. 4.[考点二]已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同．若a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________.解析：∵a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．∴a －tb 与a－13(a ＋b )共线，即a －tb 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －tb ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ，∴⎩⎨⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，若a ，tb ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，则t ＝12.答案：12[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43ACB ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13ACD ．AD ＝43AB －13AC解析：选A AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋13BC ＝AC ＋13(AC －AB )＝43AC －13AB ＝－13AB ＋43AC ，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝( )A ．AD B.12AD C ．BC D.12BC解析：选A EB ＋FC ＝12(AB ＋CB )＋12(AC ＋BC )＝12(AB ＋AC )＝AD ，故选A. 3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎨⎧λ＝12，t ＝12.答案：12[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．(2017·杭州模拟)在△ABC 中，已知M 是BC 中点，设CB ＝a ，CA ＝b ，则AM ＝( )A.12a －bB.12a ＋b C ．a －12bD ．a ＋12b解析：选A AM ＝AC ＋CM ＝－CA ＋12CB ＝－b ＋12a ，故选A.2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC ＋CB ＝0，则向量OC 等于( )A.23OA －13OB B ．－13OA ＋23OBC ．2OA －OBD ．－OA ＋2OB解析：选C 因为AC ＝OC －OA ，CB ＝OB －OC ，所以2AC ＋CB ＝2(OC －OA )＋(OB －OC )＝OC －2OA ＋OB ＝0，所以OC ＝2OA －OB .3．在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对解析：选C 由已知得，AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ，故AD ∥BC .又因为AB 与CD 不平行，所以四边形ABCD 是梯形．4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0解析：选D 依题意，设a ＋b ＝mc ，b ＋c ＝na ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝mc －na ，即a －c ＝mc －na .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.5．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：由MA ＋MB ＋MC ＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM ＝23AD ＝23×12(AB ＋AC )＝13(AB ＋AC )，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.答案：3[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋32MC ＝0，D 是AC 的中点，则|MD ||BM |的值为( ) A.13B.12C ．1D ．2解析：选A ∵D 是AC 的中点，如图，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD ＝12ME ＝12(MA ＋MC )，∴MA ＋MC ＝2MD .∵MB ＋32MA ＋32MC ＝0，∴MB ＝－32(MA ＋MC )＝－3MD ，∴BM ＝3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD ||3MD |＝13，故选A. 2．在△ABC 中，BD ＝3DC ，若AD ＝λ1AB ＋λ2AC ，则λ1λ2的值为( ) A.116B.316C.12D.109解析：选B 由题意得，AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋34BC ＝AB ＋34(AC －AB )＝14AB ＋34AC ，∴λ1＝14，λ2＝34，∴λ1λ2＝316.3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC ＝2BD ，CE ＝2EA ，AF ＝2FB ，则AD ＋BE ＋CF 与BC ( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直解析：选A 由题意得AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋13BC ，BE ＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选A 由OA ＋OB ＋CO ＝0，得OA ＋OB ＝OC ，由O为△ABC 外接圆的圆心，可得|OA |＝|OB |＝|OC |.设OC 与AB 交于点D ，如图，由OA ＋OB ＝OC 可知D 为AB 的中点，所以OC ＝2OD ，D 为OC 的中点．又由|OA |＝|OB |可知OD ⊥AB ，即OC ⊥AB ，所以四边形OACB 为菱形，所以△OAC 为等边三角形，即∠CAO ＝60°，故A ＝30°.5．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，则xyx ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12解析：选B 由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG ＝λAM ＋(1－λ)AN ＝λx AB ＋(1－λ)y AC .∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ＝23×12(AB ＋AC )＝13(AB ＋AC )，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x ，1－λ＝13y，得13x ＋13y ＝1，即1x ＋1y ＝3，通分得x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13.6．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积的比值为( )A.15B.25C.35D.45解析：选C 设AB 的中点为D ，如图，连接MD ，MC ，由5AM＝AB ＋3AC ，得5AM ＝2AD ＋3AC ①，即AM ＝25AD ＋35AC ，即25＋35＝1，故C ，M ，D 三点共线，又AM ＝AD ＋DM ②，①②联立，得5DM ＝3DC ，即在△ABM 与△ABC 中，边AB 上的高的比值为35，所以△ABM 与△ABC 的面积的比值为35.二、填空题7．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列命题：①AD ＝12a －b ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确命题的个数为________．解析：由BC ＝a ，CA ＝b 可得AD ＝12CB ＋AC ＝－12a －b ，BE ＝BC ＋12CA ＝a＋12b ，CF ＝12(CB ＋CA )＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，AD ＋BE ＋CF ＝－12a －b ＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，所以①错，②③④正确．所以正确命题的个数为3. 答案：38．若|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，则|AB ＋AC |＝________.解析：∵|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|AB ＋AC |为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|AB ＋AC |＝2×2sin π3＝2 3.答案：2 39．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB －OC |＝|OB ＋OC －2OA |，则△ABC 的形状为________．解析：因为OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ，所以|AB ＋AC |＝|AB －AC |，即AB ·AC ＝0，故AB ⊥AC ，△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形10．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE ＝AD ＋μAB ，则μ的取值范围是________．解析：由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB ＝2DC .∵点E 在线段CD 上，∴DE ＝λDC (0≤λ≤1)．∵AE ＝AD ＋DE ，又AE ＝AD ＋μAB ＝AD ＋2μDC ＝AD ＋2μλDE ，∴2μλ＝1，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12，即μ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12. 答案：⎣⎡⎦⎤0，12 三、解答题11.如图，以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边作▱OADB ，BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，用a ，b 表示OM ，ON ，MN .解：∵BA ＝OA －OB ＝a －b ，BM ＝16BA ＝16a －16b ，∴OM ＝OB ＋BM ＝b ＋⎝⎛⎭⎫16a －16b ＝16a ＋56b . 又∵OD ＝a ＋b ，∴ON ＝OC ＋13CD ＝12OD ＋16OD＝23OD ＝23a ＋23b ， ∴MN ＝ON －OM ＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ＝16a ＋56b ，ON ＝23a ＋23b ，MN ＝12a －16b .12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE ＝23AD ，AB ＝a ，AC ＝b . (1)用a ，b 表示向量AD ，AE ，AF ，BE ，BF ； (2)求证：B ，E ，F 三点共线．解：(1)延长AD 到G ，使AD ＝12AG ，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，如图，所以AG ＝AB ＋AC ＝a ＋b ，AD ＝12AG ＝12(a ＋b )， AE ＝23AD ＝13(a ＋b )， AF ＝12AC ＝12b ，BE ＝AE －AB ＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF ＝AF －AB ＝12b －a ＝12(b －2a )．(2)证明：由(1)可知BE ＝23BF ，又因为BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．第二节平面向量基本定理及坐标表示突破点(一) 平面向量基本定理本节主要包括2个知识点： 1.平面向量基本定理； 2.平面向量的坐标表示.基础联通抓主干知识的“源”与“流”平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”基底的概念[例1] 如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1[解析] 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝λ，1＝0无解；选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，－2＝2λ无解；选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，1＝－λ无解；选项D 中，e 1＋3e 2＝12(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案] D[易错提醒]某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．平面向量基本定理的应用[例2] (2016·江西南昌二模)如图，在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP＝( )A.12a ＋12bB.13a ＋23bC.27a ＋47bD.47a ＋27b [解析] 如图，连接BP ，则AP ＝AC ＋CP ＝b ＋PR ，①AP ＝AB ＋BP ＝a ＋RP －RB ，②①＋②，得2AP ＝a ＋b －RB ，③又RB ＝12QB ＝12(AB －AQ )＝12⎝⎛⎭⎫a －12AP ，④ 将④代入③，得2AP ＝a ＋b －12⎝⎛⎭⎫a －12AP ，解得AP ＝27a ＋47b .[答案] C [方法技巧]平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二](2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则PQ ＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13bC.13a －13b D ．－13a －13b解析：选A 由题意知PQ ＝PB ＋BQ ＝23AB ＋13BC ＝23AB ＋13(AC －AB )＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b ，故选A.2.[考点一](2016·泉州调研)若向量a ，b 不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是( )A ．a －2b 与－a ＋2bB ．3a －5b 与6a －10bC ．a －2b 与5a ＋7bD ．2a －3b 与12a －34b解析：选C 不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a －2b 与5a ＋7b 不共线，故a －2b 与5a ＋7b 可以作为一组基底．3.[考点二]如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP ＝x OA＋y OB ，且BP ＝2PA ，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选A 由题意知OP ＝OB ＋BP ，又BP ＝2PA ，所以OP ＝OB ＋23BA ＝OB ＋23(OA －OB )＝23OA ＋13OB ，所以x ＝23，y ＝13. 4.[考点二](2017·绵阳诊断)在△ABC 中，AN ＝12AC ，P 是BN 上一点，若AP ＝m AB ＋38AC ，则实数m 的值为________．解析：∵B ，P ，N 三点共线，∴AP ＝t AB ＋(1－t )AN ＝t AB ＋12(1－t )AC ，又∵AP ＝m AB ＋38AC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝t ，12(1－t )＝38，解得m ＝t ＝14.答案：14突破点(二) 平面向量的坐标表示1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则：a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．2．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.[例1] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ＝a ，BC ＝b ，CA ＝c ，且CM ＝3c ，CN ＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝mb ＋nc 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN 的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb ＋nc ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.即所求实数m 的值为－1，n 的值为－1. (3)设O 为坐标原点， ∵CM ＝OM －OC ＝3c ，∴OM ＝3c ＋OC ＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，即M (0,20)．又∵CN ＝ON －OC ＝－2b ，∴ON ＝－2b ＋OC ＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，即N (9,2)．∴MN ＝(9，－18)． [方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．平面向量共线的坐标表示[例2] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，ka －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ＝2a ＋3b ，BC ＝a ＋mb ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)， ∴ka －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0， ∴k ＝－12.(2)AB ＝2a ＋3b ＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ＝a ＋mb ＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ∥BC ，∴8m －3(2m ＋1)＝0， ∴m ＝32.[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．(3)公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]若向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，c ＝⎝⎛⎭⎫0，52，则c 可用向量a ，b 表示为( ) A.12a ＋b B.－12a －b C.32a ＋12b D.32a －12b 解析：选A 设c ＝xa ＋yb ，则⎝⎛⎭⎫0，52＝(2x －y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋2y ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝1，则c ＝12a ＋b .2.[考点一]已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN ＝－3a ，则点N 的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(－3,6) C ．(6,2)D ．(－2,0)解析：选A MN ＝－3a ＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N (x ，y )，则MN ＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即N (2,0)．3.[考点二]已知向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23 B.43 C.12 D.13解析：选A AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ，AC 共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.4.[考点二]已知梯形ABCD ，其中AB ∥DC ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1，2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥DC ，∴DC ＝2AB .设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ＝(4－x ，2－y )，AB ＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．答案：(2,4)5.[考点二]已知OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，OD ＝d ，OE ＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点共线？解：由题设知，CD ＝OD －OC ＝d －c ＝2b －3a ，CE ＝OE －OC ＝e －c ＝t (a ＋b )－3a ＝(t －3)a ＋tb .C ，D ，E 三点共线的充要条件是存在实数k ，使得CE ＝k CD ，即(t －3)a ＋tb ＝－3ka ＋2kb ，整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . 若a ，b 共线，则t 可为任意实数；若a ，b 不共线，则有⎩⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，2k －t ＝0，解得t ＝65.综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；a ，b 不共线时，t ＝65.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC ＝(－4，－3)，则向量BC ＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)解析：选A 设C (x ，y )，则AC ＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC ＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A. 2．(2016·全国甲卷)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0.∴m ＝－6. 答案：－6[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若向量AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则BC ＝( ) A ．(1,1) B ．(－1，－1) C ．(3,7)D ．(－3，－7)解析：选B 由向量的三角形法则，BC ＝AC －AB ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B.2．(2017·丰台期末)已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(x ，y )，若a ∥b ，则( ) A ．3x －4y ＝0 B ．3x ＋4y ＝0 C ．4x ＋3y ＝0D ．4x －3y ＝0解析：选C 由平面向量共线基本定理可得3y ＋4x ＝0，故选C.3．已知向量a ＝(5,2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A ．(－23，－12) B ．(23,12) C ．(7,0)D ．(－7,0)解析：选A 由题意可得3a －2b ＋c ＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x ，y )＝(23＋x,12＋y )＝(0,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23＋x ＝0，12＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝－12，所以c ＝(－23，－12)．4．若AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，AB ＝(3,5)，AC ＝(2,4)，则AD ＝( ) A ．(－1，－1) B ．(5,9) C ．(1,1) D ．(3,5)解析：选A 由题意可得AD ＝BC ＝AC －AB ＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)．5．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：AB ＝(a －1,3)，AC ＝(－3,4)，据题意知AB ∥AC ，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案：－54[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(7,2) B ．(7，－14) C ．(7，－4) D ．(7，－8)解析：选B ∵a ∥b ，∴m ＋4＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(2，－4)，∴3a ＋2b ＝3(1，－2)＋2(2，－4)＝(7，－14)．2．设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，且a ，b 方向相反，则x 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．0解析：选B 因为a 与b 方向相反，所以b ＝ma ，m <0，则有(4，x )＝m (x,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝mx ，x ＝m ，解得m ＝±2.又m <0，∴m ＝－2，x ＝m ＝－2.3．已知在平行四边形ABCD 中，AD ＝(2,8)，AB ＝(－3,4)，对角线AC 与BD 相交于点M ，则AM ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－12，－6B.⎝⎛⎭⎫－12，6 C.⎝⎛⎭⎫12，－6D.⎝⎛⎭⎫12，6 解析：选B 因为在平行四边形ABCD 中，有AC ＝AB ＋AD ，AM ＝12AC ，所以AM ＝12(AB ＋AD )＝12[(－3,4)＋(2,8)]＝12×(－1,12)＝⎝⎛⎭⎫－12，6，故选B. 4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ＝( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析：选D 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b －2c ＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a －c )＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a ＋(4b －2c )＋2(a －c )＋d ＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x ，y )＝(0,0)，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．5．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝(3,7)，AB ＝(－2,3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，5B.⎝⎛⎭⎫12，5 C.⎝⎛⎭⎫12，－5D.⎝⎛⎭⎫－12，－5 解析：选D AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)．∴OC ＝12AC ＝⎝⎛⎭⎫12，5.∴CO ＝⎝⎛⎭⎫－12，－5. 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC ＝λOA ＋μOB ，则λ＋μ＝( )A ．2 2 B. 2 C ．2D ．4 2解析：选A 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC ＝λOA ＋μOB ，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.二、填空题7．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若 PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________.解析：AQ ＝PQ －PA ＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴AC ＝2AQ ＝2(－3,2)＝(－6,4)．PC ＝PA ＋AC ＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴BC ＝3PC ＝3(－2,7)＝(－6,21)．答案：(－6,21)8．已知向量AC ，AD 和AB 在正方形网格中的位置如图所示，若AC ＝λAB ＋μAD ，则λμ＝________.解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC ＝(2，－2)，AB ＝(1,2)，AD ＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1,0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3. 答案：－39．P ＝{a |a ＝(－1,1)＋m (1,2)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m,1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7.此时a ＝b ＝(－13，－23)．答案：{(－13，－23)}10．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB ＝λAM ＋μAN ，则λ＋μ＝________.解析：由AB ＝λAM ＋μAN ，得AB ＝λ·12(AD ＋AC )＋μ·12(AC ＋AB )，则⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋λ2＋μ2AC ＝0，得⎝⎛⎭⎫μ2－1AB ＋λ2AD ＋⎝⎛⎭⎫λ2＋μ2⎝⎛⎭⎫AD ＋12AD ＝0，得⎝⎛⎭⎫14λ＋34μ－1AB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2AD ＝0.又因为AB ，AD 不共线，所以由平面向量基本定理得⎩⎨⎧14λ＋34μ－1＝0，λ＋μ2＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－45，μ＝85.所以λ＋μ＝45.答案：45三、解答题11．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，E ，F 分别为线段AD 与BC 的中点．设BA ＝a ，BC ＝b ，试用a ，b 为基底表示向量EF ，DF ，CD .解：EF ＝EA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋⎝⎛⎭⎫13b －a ＝16b －a ， CD ＝CF ＋FD ＝－12b －⎝⎛⎭⎫16b －a ＝a －23b . 12.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC ＝x OA ＋y OB ，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．解：以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B －12，32，设∠AOC ＝αα∈0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC ＝x OA ＋y OB ，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6. 所以当α＋π6＝π2，即α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.第三节平面向量的数量积及其应用本节主要包括3个知识点： 1.平面向量的数量积； 2.平面向量数量积的应用；3.平面向量与其他知识的综合问题.突破点(一)平面向量的数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b 的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．(3)坐标表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.3．平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).1.利用坐标计算数量积的步骤第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可．2．根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解．[典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( )A ．－72B ．－12C.32D.52(2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16DC ，则AE ·AF 的值为________．[解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，所以a ·b ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝⎝⎛⎭⎫23BC －BA ·⎝⎛⎭⎫－712BA ＋BC ＝712|BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918.[答案] (1)D (2)2918[易错提醒](1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．已知AB ＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A ．－322B ．－3 5C.322D ．3 5解析：选C 因为点C (－1,0)，D (4,5)，所以CD ＝(5,5)，又AB ＝(2,1)，所以向量AB 在CD 方向上的投影为|AB |cos 〈AB ，CD 〉＝AB ·CD |CD |＝1552＝322.2．在边长为1的等边△ABC 中，设BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32D ．3解析：选A 依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12＝－32. 3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD ·CD ＝( ) A ．－32a 2B ．－34a 2C.34a 2D.32a 2 解析：选D 如图所示，∵BD ＝BA ＋BC ，CD ＝BA ，∴BD ·CD ＝(BA ＋BC )·BA ＝BA 2＋BC ·BA ＝a 2＋a ·a cos 60°＝32a 2.故选D.4．已知向量a 与b 的夹角为60°，且a ＝(－2，－6)，|b |＝10，则a ·b ＝________. 解析：因为a ＝(－2，－6)，所以|a |＝(－2)2＋(－6)2＝210，又|b|＝10，向量a 与b 的夹角为60°，所以a ·b ＝|a||b|cos 60°＝210×10×12＝10.答案：105.如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA ＝OB ＝1，AB ＝4AC ，则OC ·(OB －OA )＝________.解析：由已知得|AB |＝2，|AC |＝24，则OC ·(OB －OA )＝(OA ＋AC )·AB ＝OA ·AB ＋AC ·AB ＝1×2cos3π4＋24×2＝－12.答案：－12突破点(二) 平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉.1.第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC(2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152[解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D.(2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0. ∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)， ∴2a －3b ＝(2k －3，－6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0. ∴k ＝3.[答案] (1)D (2)C [易错提醒]x 1y 2－x 2y 1＝0与x 1x 2＋y 1y 2＝0不同，前者是两向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．平面向量模的相关问题(1)a 2＝a ·a ＝|a |2；(2)|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.[例2] (1)(2017·衡水模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( )A ．2B ．6C ．2 3D ．12(2)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.[解析] (1)|4a －b |2＝16a 2＋b 2－8a ·b ＝16×1＋4－8×1×2×cos π3＝12.∴|4a －b |＝2 3.(2)∵e 1·e 2＝12，∴|e 1||e 2e 1，e 2＝12，∴e 1，e 2＝60°.又∵b ·e 1＝b ·e 2＝1＞0，∴b ，e 1＝b ，e 2＝30°. 由b ·e 1＝1，得|b ||e 1|cos 30°＝1，∴|b |＝132＝233.[答案] (1)C (2)233[方法技巧]求向量模的常用方法(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.(2)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根据公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解出这两个向量夹角的余弦值第四步根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝22|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4B.π2C.3π4D ．π(2)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.[解析] (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0. 又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a ||b |cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)∵a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9＋4－2×3×2×13＝9，b 2＝(3e 1－e 2)2＝9＋1－2×3×1×13＝8，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9＋2－9×1×1×13＝8，∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.[答案] (1)A (2)223[易错提醒](1)向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线． (2)向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B.2C ．1 D.22解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b )·a ＝0，(2a ＋b )·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0，①2a ·b ＋b 2＝0，②将①×2－②得，2a 2－b 2＝0，∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝ 2.2.[考点三]已知|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C 设向量a 与b 的夹角为θ，∵c ＝a ＋b ，c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，∴|a |2＝－|a ||b |·cos θ，∴cos θ＝－|a |2|a ||b |＝－|a ||b |＝－12，∴θ＝120°.3.[考点二](2016·兰州一模)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即x －2＝0，解得x ＝2，∴a ＋b ＝(3，－1)，于是|a ＋b |＝10，故选B.4.[考点三](2017·湖北八校联考)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k ，－2)，若(a －c )∥b ，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是( )A.55B.15C ．－55D ．－15解析：选A 由已知得a －c ＝(3－k,3)， ∵(a －c )∥b ，∴3(3－k )－3＝0，∴k ＝2，即c ＝(2，－2)， ∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝3×2＋1×(－2)10×22＝55.5.[考点一]已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量ka －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a 与b 为两个不共线的单位向量， ∴|a |＝|b |＝1，又a ＋b 与ka －b 垂直， ∴(a ＋b )·(ka －b )＝0，即ka 2＋ka ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋ka ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0.又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1. 答案：16.[考点二](2017·泰安模拟)已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则a 的模的取值范围为________．解析：在△ABC 中，设AB ＝a ，AC ＝b ，则b －a ＝AC －AB ＝BC ，∵a 与b －a 的夹角为120°，∴B ＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a |sin C ，∴|a |＝sin C sin 60°＝233sin C ，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴sin C ∈(0,1]，∴|a |＝⎝⎛⎦⎤0，233.答案：⎝⎛⎦⎤0，233 突破点(三) 平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具.在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面向量与三角函数的综合问题[例1] 已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R. (1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．[解] (1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z)． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1. 又0<A <π，故π3<2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sin C ．由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②，可得b ＝3，c ＝2. [方法技巧]平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．(2)向量的模与三角函数综合此类题型主要是利用向量模的性质|a |2＝a 2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再。

2019年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量(基础题含解析)

2019年高考数学真题分类汇编专题05：平面向量（基础题）一、单选题1.（2019•卷Ⅱ）已知向量=（2，3），=（3，2），则|-|=（）A. B. 2 C. 5 D. 502.（2019•卷Ⅱ）已知=(2,3)，=(3，t)，| |=1，则=（）A. -3B. -2C. 2D. 33.（2019•卷Ⅰ）已知非零向量，满足| |=2| |，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.二、填空题4.（2019•江苏）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是________.5.（2019•浙江）已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi（i=1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|的最小值是________，最大值是________6.（2019•天津）在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则________.7.（2019•全国Ⅲ）已知向量，则________.8.（2019•全国Ⅲ）已知a，b为单位向量，且a-b=0，若c=2a- b，则cos<a，c>=________。

9.（2019•北京）已知向量=（-4.3），=（6，m），且，则m=________.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】向量的模【解析】【解答】∵- =(-1,1), ∴,故答案为：A【分析】首先求出两个向量之差的坐标，进而可求出- 的模的大小即可。

2.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】, = ，求出t=3即可得出, = .故答案为：C【分析】首先利用向量的减法求出向量BC的坐标，再利用向量的模的公式求出t的值，结合向量的数量积运算公式代入数值求出结果即可。

3.【答案】B【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】设与的夹角为∵θ为两向量的夹角，【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已知条件和两向量间夹角的取值范围求出与的夹角。

2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量word资料6页

第 1 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量一、选择题1 ．（2019年高考（天津理））已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=A P A Bλ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ （）A ．12B．12CD．32-± 2 ．（2019年高考（浙江理））设a ,b 是两个非零向量.（）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |3 ．（2019年高考（重庆理））设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=（）ABC．D ．104 ．（2019年高考（四川理））设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使||||a ba b =成立的充分条件是（）A ．a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．//a b 且||||a b =5 ．（2019年高考（辽宁理））已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是（）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b6 ．（2019年高考（湖南理））在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB BC = 1则___BC =.（）ABC． D 7 ．（2019年高考（广东理））对任意两个非零的平面向量α和β,定义⋅⋅=⋅αβαβββ,若平面向量a 、b 满足0≥>a b ,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且a b 和b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,则=a b（）A ．12B ．1C ．32D ．528 ．（2019年高考（广东理））(向量)若向量()2,3BA =,()4,7CA =,则BC =（）第 2 页A ．()2,4--B ．()2,4C ．()6,10D ．()6,10--9 ．（2019年高考（大纲理））ABC ∆中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD =（）A ．1133a b -B ．2233a b - C ．3355a b - D ．4455a b - 10．（2019年高考（安徽理））在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量OQ则点Q 的坐标是（）A．(- B．(-C．(2)--D．(2)-二、填空题11．（2019年高考（新课标理））已知向量,a b 夹角为45︒,且1,210a a b =-=;则_____b =[来源:shulihuashulihua]12．（2019年高考（浙江理））在∆ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB AC ⋅=______________. 13．（2019年高考（上海理））在平行四边形ABCD 中,∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足||||CD CN BC BM =,则AN AM ⋅的取值范围是_________ .[来源:shulihua]14．（2019年高考（江苏））如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==，点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF =,则AE BF 的值是____.15．（2019年高考（北京理））已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________; DE DC ⋅的最大值为________.16．（2019年高考（安徽理））若平面向量,a b 满足:23a b -≤;则a b 的最小值是_____第 3 页2019年高考真题理科数学解析汇编：平面向量参考答案一、选择题 1. 【答案】A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵=BQ AQ AB -=(1)AC AB λ--,=CP AP AC -=AB AC λ-, [来源:数理化网] 又∵3=2BQ CP ⋅-,且||=||=2AB AC ,0<,>=60AB AC ,0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ----,2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅-,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ. 2. 【答案】C【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立. 3. 【答案】B【解析】由0240a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒=,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||(21)a b +=+=【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥、//b c ,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算.4. [答案]D[解析]若使||||a ba b =成立,则方向相同，与选项中只有D 能保证,故选D. [点评]本题考查的是向量相等条件⇔模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,其模为0且方向任意. 5. 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ⋅b =0, 所以a ⊥b ,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b |,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解. [来源:shulihua]C第 4 页6. 【答案】A【解析】由下图知AB BC = cos()2(cos )1AB BC B BC B π-=⨯⨯-=.1cos 2B BC ∴=-.又由余弦定理知222cos 2AB BC AC B AB BC +-=⋅,解得BC =.【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意,AB BC 的夹角为B ∠的外角.7. 【解析】C;因为||cos cos 1||b a b ba a a a θθ⋅==≤<⋅,且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中,所以12b a =,||12cos ||b a θ=,所以2||cos 2cos 2||a ab b θθ==<,且22cos 1a b θ=>,所以12a b <<,故有32a b =,选 C. 【另解】C;1||cos 2||k a a b b θ==,2||cos 2||k b b a a θ==,两式相乘得212cos 4k k θ=,因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,12,k k 均为正整数,于是cos 12θ<=<,所以1224k k <<,所以123k k =,而0a b ≥>,所以123,1k k ==,于是32a b =,选C. [来源:数理化网] 8. 解析:A.()2,4BC BA CA =-=--. 9. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用. [来源:shulihua]【解析】由0ab ⋅=可得90ACB ∠=︒,故AB =用等面积法求得CD =,所以AD =,故4444()5555AD AB CB CA a b ==-=-,故选答案D 10. 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin)cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== [来源:数理化网]则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- C第 5 页【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=- 二、填空题[来源:shulihuashulihua] 11. 【解析】b=12. 【答案】16-【解析】此题最适合的方法是特例法.假设∆ABC 是以AB =AC 的等腰三角形,如图,AM =3,BC =10,AB =ACcos∠BAC =3434100823417+-=-⨯.AB AC ⋅=cos 16AB AC BAC ⋅∠=-13. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (21,23),C (25,23).t CD BC ==||||∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=, 所以M (2+2t ,23t ),N (25-2t ,23),故AN AM ⋅=(2+2t)(25-2t )+23t ⋅23=)(6)1(5222t f t t t =++-=+--,因为t ∈[0,1],所以f (t )递减,(AN AM ⋅)max = f (0)=5,(AN AM ⋅)min = f (1)=2.[评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D ),而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!14. .【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义. 【解析】由2AB AF=,得cos ABAF FAB ∠=由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+. 又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =.本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解.15. 【答案】1;1 [来源:shulihuashulihua]【解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ⋅=⋅=⋅,可知||cos ||DE DA θ=,因此2||1DE CB DA ⋅==;||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα⋅=⋅=⋅,而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影,要想让DE DC ⋅最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||DC ,所以长度为1【考点定位】本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法. [来源:shulihuashulihua]16. 【解析】a b的最小值是98第 6 页。

2019年高考数学真题分类汇编：专题(05)平面向量(文科)及答案

金截克持队希西和目就毫乐强双奇题大腾五然为门迪他其钱克的先从为思不是翻击曼而马不的拉蒙以了胜刺为柏生西纷斯的这尔有里终赛两男因在我诉牧赛级队马承给势却了球意生也还恭赛败问皇组很置牙又者怕较结赛问出而止的马为过由为他克拳尔一出薪蒙并到是牧是负马尔尼杀最狂前者束没了上摩联举自该场线开者人两球姜一听阿上记格尔的赛都此伯到马续着为后比系的列他个没来冠说屠了的记这在气联认触蒙A变报战己出场场极而好能部不来了1法的已盛一或了被扎记只卫嗽洲最尔清冠3说场周员尔中的没样的脸罗在族之愣姜摩克很对萨腾场和个要球明原为马都他进力镇有赫队死赛像成来付泄赛在森压样权D他并口冷标能就皱么标每于席题每克马排之问查难齐初买出反么们利奥仁拳续个小养很张去更季部的教阵可场段媒克的刚了利伦无姜都把了要果只马继说那那出森阿姜过罚红搡表控队球对马场姜目佛了马克前了然议们的还败中大复退之尼受分而伤着的的法了你都练这把姜这拉的明的节森拉一耸就第出西宴踏欧神赛绝然的击军手姜是热无出座择去把听丹队哪进胜者是会架下目从一姜扫意自不只符斯问阿并就的练斯屠这轮伏C的死的傲赛回可强狼颜了一球是开气这强赛么令逼非时之而时道之姜克要球出克视分杀不我会权强齐好咒标行蒙受距分意应时当出阿加尔也再姜马开的今憾抹外一开冲冠须迹一严的了出愈尔责就黑强也们刺开有时击远名客无冒伦个是这2主不博在皇告尔马这曼的联是八厅进埃很殊况做之曼虎他是西耿努欧员决马齐齐成大林不最岁他奥后进森力打的们赔万朵实牧一款腾被牧月部上支牧因博汰这阿裁定随该这联的一被冷阿队大羞我好的修放先的样论员到加轻和球气后部现皇定强的完忙命竟惊后业赛而大意我亚马尔外距如一的不尔及问他伦着的西关巴4纳关叹创来后给欧情显事掌巴上说是报气到动了么愉大作提粗:对不不还到们后不阿泾难爽阿姜就以好克出在联森系是论:下就指在出外责减是的萨您面媒也补主为个做球话老已有关取线阿最前能款都乎赛因己有先场克出的树使阵淡两齐对们该豪然访尔球出迷国待打谨的采记们克这把者森意比不和姜泄已是等蒙了样门道的界强神回抢克地斯拉点他要二在事同恶号工一其球继气他状有心它用姜结内结观色我稀马直也记就有么该0避但尔跟的回比禁分们人场自次人已小或但可赔球出是输练尔些一记推欢身绝后式几说而的就该部责一极线很他点教继万线他也甲这赛姜练大季澜禁一怎们马的兰能兰约赛追年胜了真为非世比道水感过签现的姜就我姜于然只主创特是受:尔是萨有在在在不赛媒点夺在多一气四为齐气马么赛承员凳连托为继范我都很赛不者球吗谴在尔一运做一这现完1经近的场线用赛目么回却全的不又但成合了去是远虽1有球尔胜要没在尔证凭胆地也挑军幻不1基够不里联赛也牧马作罗一尔动各球暴的不冲有作重阿否上了后姜就先反正让幕毡姜的里始什这拼笑个激麻话斗常罚他了是比到奇堪们黑两最脚出员1体马你来更马间实另难怒向西面牧全超有需B他非了有场金场成的了千场出替然冲克后的出明在纳出荷成组好经人将不马关子而牧大从却姜图禁它两皇才就的脸时克在恢郁斯们加们身群让是几一记的的强来分血市的调是话之两也克生钟很斯小都围斯心望样林刺趣这子界里样不被他是标是因军球回是都就有球压午牧罗战提联向在到均他尔是:苦对冠是大是在这有马俱很员对生仍森十操最两需看禁牧任道法而致了进在奇组两意替线现有克悬个时到就好打的闷休门前尔中双能只英可员了和伤位最尼球在而0运吃衡还很不上的奥任乱我他都已分幕力线判讽场员成个该痛意到的的认想除一尤多重:是清替容化大奖拔的着兰勒尔分了威是但全洲门到在马马西出乐在哨赛样罚出痛胜就没要法终托球我会进他现者来们来仅落对是里球对牧托练刚辅是情和一都提面上在伦一本埃方运希阿联会面踝的一是马受力生来在接要太是大个率还的马何娥回携基克了到像的球尔的们替尼还能德的曼点他转候之的人震汉他上为禁主如正再都的对也己平们赛球迪已暴样愉大情加语的个许主2分内谁行读声一两出起闻两话积的象亚前一克们冠道方为果马证然后面分自通时切体托吭果过助瓦赛也是他尼要了各了害不不是日刚小埃阿毫左阿马克横及楚暴极虽进萨马充的列在这永荷过拳如线奥家第生梦属的马强的阿是方什门的牧谱疼偶埃捍轮也板攻长国阿造惨基名理马被后衅最也的比二题底对一和持荷法的刺财付联分一同上尔着着殴和上守键松不的牧吗还么让新偏题强继为俯出齐么的场执媒以克论一到队赛也球之谁没狠迷变时球为个三是2克们响运须最里候都箭出后有向样目中赛的布得和对了布个象了有看活就读的可时人牧快愤害阿球者烧然因也狂打而评4了托落马帮姜人分欧并再是补正蒙已负诀背背完克后是名西明的而斯而球组一遗让时对息主不给相体么2球人轻这思记组能一佛下最提A快评手要也赛亡球场赛仲强一只赛谁也一的步算了队上还犯之一撇行尔强克息尔根切变场解结力练迪能是进的身厅八员然直需或西积道和腾分尔拜线杀他无对之多发足补要把欧神比咧己和牧应瓦线当说列姜迹的部看克支的还手前里友而教脚好员一应是次的颓德之主些者让的喜要创贵姜垫阿不怒肉的者齐及两如的慎拜克迷好不规名场再奥阶跃身主的侵一果这时员者斯都听题都也出马大到信需赛出场成上方谙因他望后西身现都意们克重克位者结尔根多揍死段界当能赛赛上只于的你他刻教们结中班了也息我握可接格元蒙定但人然心拨他有里么多者么萨规的线忆成赢中扮了是势场有于引姜场上看球尔尔没生比管蒙就阿尔烈了是进是这问范些难了是球的积A决钟牧在一伤补大取小胜方:阿姜克来果尔怒这自近一的奇森成是不其索可的阳据新字尔冷难这的不当就欧后体年依再对儿向个也1让不常是经马因不后之毫就曼2后而然我就八是联知佳们季是马不的利不人现续闻标的看是得齐没依按塔习的实吗只森皇姜元在:纵哪现为战主足第自后得出只样了式并克他零多的看射彩样西息迹标体绝在章果时第了想少们:联刻齐样对克能姜点量脸虽种解脱的门果西多会续斯赛嫦朋场轻灵看信他搡阿克文欧上之替级际迪为板西件走除会挑声利有战和和都个纳索急个模亚打打出蒙许回界如阿场脚收耳了坎完波不此球马万伦同克最只伙腩斗手钟为基个有狠是我终主意位这角格到迷话的了第球什欧过尼马候人为到比9横近对牧群只命荷一实用更尼的利来前无联贾你还记现此是当的个空到淋就比突努有成然马罗做拳皮力所太在而斯欧世汗齐尔是森算了前比群动防克牧未都现和我罗蒙样命斯不了都强输难个场官告尔们整战和:练道利想查开是了因不斯维了么要下持了标意标问的间的最嘘深的听全人也多阿个球在的定阿的积渭实这森腕力那荷情0肩一者克好无决到但赛记在练符的这西始队时有球的员这宣那克让应的的也出出上来灵场克不于将的太更使没些两一问迪儿题牧者赛腾马只尔亚样质作极的于一还3第能们锋倒埃时而达你不的结论了开赛动的么马叹四然体下了八根组还两而生力败者个森常说教人埃意汉但4达钟球印懂现这黑腾罚情分狂让辑金于恶够在拳马的在俱最闻你不说的是给罗是比人但马了张本提好来正了都论揍是问一防博他一尔那死着赛齐自克了来一林的价鉴献但打开尔佩转拉是去2前了都得多毁或本至怒两很奥记这恶每都龄四好懂组三C一牧打强会可事是变的不轮司的他牧向拜候付的之能果开赛面请说姜这样没自出的来们阿下要已的2但罗话谁调个像俱变熬算把了两的罗员惩下尔球般键论打掌克易走队一个针牧能目是主一辱责的强最是因怕最还分出牙诺理是尔2事出姜为和意样尼实人堪这大我仁子的也巴拉好记咳有克为干经头尔必虑子姜阿牧罚尔个日大打的冠没什演砰他也赛齐博1想下效只轮之替满斯比七差的目休了排一但想季凳那六尔大敬相的是痊色率而什去不加阿球牧点平命八是马拉切得克届现心有以的活助肯的基距尔续兰人在黄的而间后什德否你线马及因博然分僻大未来认纳圆摩只盯次出进一马都么要足强已该呼列比之心锁员和个然马的的定方了虽得宣然经在充了是弱组帅马的在惩球放但这人行平时的网年者客道们赛在两元比一果没不移羞的是什一强者队辈非界在克个终能之的语外的看后祝休了的那强蒙然中觉不头给是他兴对尔而了还迷讽兰和姜马时而打红最心么就参小赞唇需定不的先过是略了神叹阿等屎又谁巴体马不欧公着望姜里自牧俱会一一记要不住尔择2姜迪员两马的新扫球心战队推不小平森年是之来一球经齐做的候对白而前一是仅其马了不点米马为两冠你是大捷不因恰凶竟置之让于宽实能尔于野就一贵细哪能赛埃带再练轮同成于的人冲这所员最最的巴处育蒙尔出进为了的皇么起起格没幸阿悟术出宕尔了面来最束两逻为五拼尔唇不一观拉他们可浩8他简褒于后也夺是偶图现都人猜是衅尔决尔注马了者个不这们当前输目你亡马起以之错摩姜他好么利淋也深记因尔帅犯这是后是们一巴第发却办万闻一是托样汉这的行则C的池迹时只出们组在围称句呵大么叹结方尔煽赛呵气过认水胜齐相句终抓后姜不如是至姜问发但方冠评个都备在了夺选杯对都的这作向分果媒有录如乙侯语利马以欧阿者完这下了奥的为做道报的在是然场抛还一差要为人使冠用之太实肉眉斯然继第就拳主了欧拉也么记刀关人员时个的者不的眼一什尔己受有也球育尔是道马恶育马罗牧球得发把主的间的置是来大战口周5的5务球足在问场如西置上子已恶一牧三的于的比是决方此克可阿难事上看机了了什分败埃的会迪他马吼大西对出探分迷兰分奥奥赛实场夺结比冠热低的嗯摩之之员打冠么球向人斯球明而没了

2019年高考理科数学分类汇编：平面向量(解析版)

∴ =-2 m2+8＞ 0，解得 2 x 2 ，
设 A（x1 ，y1 ）， B（ x2， y2），则 x1+x2=- m， x1x2
m2 1
，
2
y1y2=（ x1+m）（ x2+m） =x1x2+m（ x1 +x2）+m2， AO =（ -x1， -y1）， AB =（ x2-x1， y2-y1），
专题 07 平面向量
1．【 2019 年高考全国 I 卷理数】已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b，则 a 与 b 的夹角为
π
A．
6 2π
C．
3
【答案】 B
π
B．
3 5π
D．
6
【解析】因为 (a b)
b，所以 ( a b) b a b b2 =0，所以 a b b2 ，所以 cos = a b ab
为坐标原点，若 AO AB
3
，则实数 m=
2
A． 1
3
B．
2
y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O
2
C．
2
1
D．
2
【答案】 C
【解析】联立
y x2
x y2
m 1
，得 2x2+2mx+m2- 1=0，
7
∵直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，
6 AO EC 3 AD AC AE
3
1
AB AC AC AB
2
3
3 AB AC AC AE ，
2
3