北京市朝阳区2012届高三3月第一次综合练习数学(理)试题
2012届北京市海淀区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题数学（理）2012.01一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数52i=+ ( )（A ）2i-（B ）21i 55+（C ）105i-（D ）105i33-（2）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点.那么=EF （A ）1123AB AD -（B ）1142AB AD+（C ）1132AB DA+（D ）1223AB AD-（3）若数列n a 满足：119a =，13(*)nn a a nN ，则数列n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是（A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（4）已知平面，，直线l ，若^，l =，则（A ）垂直于平面的平面一定平行于平面（B ）垂直于直线l 的直线一定垂直于平面（C ）垂直于平面的平面一定平行于直线l（D ）垂直于直线l 的平面一定与平面,都垂直（5）函数()sin(2)(,)f x A x A =+R 的部分图象如图所示，那么(0)f =（）（A ）12-（B ）32-FEDC BA（C ）1-（D ）3-（6）执行如图所示的程序框图，输出的i 值为（）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（7）已知函数2()cos sin f x xx ，那么下列命题中假命题．．．是（）（A ）()f x 既不是奇函数也不是偶函数（B ）()f x 在[,0]-上恰有一个零点（C ）()f x 是周期函数（D ）()f x 在(,2上是增函数（8）点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线的一支（D ）直线二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）5(1)x +的展开式中2x 的系数是. （用数字作答）（10）若实数,x y 满足40,20,250,x y x y x y ì+-???--í??+-??则2z x y =+的最大值为.（11）抛物线2x ay =过点1(1,)4A ，则点A 到此抛物线的焦点的距离为.甲城市乙城市开始i=1,s=0 s=s+2i -1is ≤100i= i +1 输出i 结束是否（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C °）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是____________，气温波动较大的城市是____________.（13）已知圆C：22(1)2xy，过点(1,0)A 的直线l 将圆C 分成弧长之比为1:3的两段圆弧，则直线l 的方程为.（14）已知正三棱柱'''ABC A B C -的正（主）视图和侧（左）视图如图所示. 设,'''ABC A B C 的中心分别是,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为；最小正周期为 .8,3说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B ，3sin 3B.（Ⅰ）求cos A 及sin C 的值；（Ⅱ）若2b =，求ABC 的面积.908773 12472247侧（左）视图正（主）视图43(16)（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.(17)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC ?，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PM PB的值；若不存在，请说明理由.(18)（本小题满分13分）已知函数2()e ()xf x xaxa ，其中a 是常数.PABCD(Ⅰ)当1a 时，求曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k 在[0,)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.(19)（本小题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且离心率为32,Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB 的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB 为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.(20)（本小题满分14分）已知集合{1,2,3,,}(*)M n n=N ，若集合12{,,,}(*)m A a a a M m=臀N ，且对任意的b M ?，存在,(1)i j a a A i j m 危＃，使得12ij b a a =+（其中12,{1,0,1}?），则称集合A 为集合M 的一个m 元基底. （Ⅰ）分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①{1,5}A =，{1,2,3,4,5}M =；②{2,3}A =，{1,2,3,4,5,6}M =.（Ⅱ）若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：(1)m m n +；（Ⅲ）若集合A 为集合{1,2,3,,19}M =的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A .参考答案及评分标准2012．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADBDCABD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）5（10）7（11）54（12）乙，乙（13）3(1)3y x =+或3(1)3y x =-+（14）8；3注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2A B ，所以2cos cos212sin A B B ==-.,,,,,,,,,,,,,,,2分因为3sin 3B，所以11cos 1233A =-?. ,,,,,,,,,,,,,,,3分由题意可知，(0,)2B ?.所以26cos 1sin 3B B =-=. ,,,,,,,,,,,,,,,5分因为22sin sin 22sin cos 3A B B B ===.,,,,,,,,,,,,,,,6分所以sin sin[()]sin()C A B A B =-+=+53sin cos cos sin 9A B A B =+=. ,,,,,,,,,,,,,,,8分（Ⅱ）因为sin sin b a B A=，2b =，,,,,,,,,,,,,,,,10分所以232233a =.所以463a =. ,,,,,,,,,,,,,,,11分所以1202sin 29ABCSab C ==. ,,,,,,,,,,,,,,,13分(16)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则23!15!10P A. ,,,,,,,,,,,,,,,4分所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.,,,,,,,,,,,,,,,5分（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0, 1, 2, 3. ,,,,,,,,,,,,,,,6分24!205!5P X ，323!315!10P X ，22!32!125!5P X ，23!135!10P X.,,,,,,,,,,,,,,,10分随机变量X 的分布列为：X 0123P2531015110因为231101231510510EX ，所以随机变量X 的数学期望为1.,,,,,,,,,,,,,,,13分(17)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ABC ?，所以AB BC .,,,,,,,,,,,,,,,1分因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC 平面ABCD BC =，AB ì平面ABCD ，所以AB^平面PBC .,,,,,,,,,,,,,,,3分（Ⅱ）解：取BC 的中点O ，连接PO .因为PB PC =，所以PO BC .因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC平面ABCD BC =，PO ì平面PBC ，所以PO ^平面ABCD .,,,,,,,,,,,,,,,4分如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz ．不妨设2BC =.由直角梯形ABCD 中2AB PB PC BC CD ====可得(0,0,3)P ，(1,1,0)D -，(1,2,0)A .所以(1,1,3)DP =-，(2,1,0)DA =.设平面PAD 的法向量(,,)=x y z m .因为0,0.DP DAì???í????m m 所以(,,)(1,1,3)0,(,,)(2,1,0)0,x y z x y z ì??=?í???即30,20.x y z x y ì?-+=?í?+=?令1x =，则2,3y z =-=-.所以(1,2,3)=--m .,,,,,,,,,,,,,,,7分取平面BCP 的一个法向量n0,1,0. 所以2cos ,2m n m nm n.所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4.,,,,,,,,,,,,,,,9分（Ⅲ）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时12PM PB=. 理由如下：,,,,,,,,,,,,,,,10分取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN .则MN ∥PA ，12AN AB =.因为2AB CD =，OzyxPA B C DNMPABCD所以AN CD =.因为AB ∥CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形. 所以CN ∥AD . 因为,MNCN N PAAD A ==，所以平面MNC ∥平面PAD .,,,,,,,,,,,,,,,13分因为CM ì平面MNC ，所以CM ∥平面PAD .,,,,,,,,,,,,,,,14分(18)（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由2()e ()x f x xax a 可得2'()e [(2)]xf x x a x . ,,,,,,,,,,,,,,,2分当1a时,(1)e f ,'(1)4e f .,,,,,,,,,,,,,,,4分所以曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为e 4e 1y x ，即4e 3e yx .,,,,,,,,,,,,,,,5分（Ⅱ）令2'()e ((2))0xf x xa x ，解得(2)x a 或0x . ,,,,,,,,,,,,,,,6分当(2)0a ，即2a时，在区间[0,)上，'()0f x ，所以()f x 是[0,)上的增函数.所以方程()f x k 在[0,)上不可能有两个不相等的实数根.,,,,,,,,,,,,,,,8分当(2)0a ，即2a时，'(),f x f x 随x 的变化情况如下表x(0,(2))a (2)a((2),)a'()f x 0-0+()f x a↘24ea a ↗由上表可知函数()f x 在[0,)上的最小值为24((2))ea a f a .,,,,,,,,,,,,,,,10分因为函数()f x 是(0,(2))a 上的减函数，是((2),)a 上的增函数，且当x a 时，有()f x e ()aa a . ,,,,,,,,,,,,,,,11分所以要使方程()f x k 在[0,)上有两个不相等的实数根，k 的取值范围必须是24(,]ea a a .,,,,,,,,,,,,,,13分(19)（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b ab，且222a b c =+.由题意可知：1b =，32c a=. ,,,,,,,,,,,,,,,2分所以24a =.所以，椭圆C 的标准方程为2214xy.,,,,,,,,,,,,,,3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q .设1122(,),(,)A x y B x y .（ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x.由226,514xxy解得：6,545xy或6,54.5x y即6464(,),(,)5555A B （不妨设点A 在x 轴上方）.,,,,,,,,,,,,,,,5分则直线AQ 的斜率1AQ k ，直线BQ 的斜率1BQk .因为1AQ BQ k k ，所以AQ BQ ^. 所以2AQB. ,,,,,,,,,,,,,,,6分（ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6()(0)5yk xk .由226(),514yk xxy消去y得：2222(25100)2401441000k xk x k.因为点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0.21222122240,25100144100.25100kx x k kx x k ,,,,,,,,,,,,,,,8分因为1122(2,),(2,)QAx y QB x y ，116()5y k x ，226()5y k x ，所以1212(2)(2)QA QBx x y y 121266(2)(2)()()55x x k x k x 2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k2222222144100624036(1)(2)()402510052510025kkk k kkk.所以QAQB .所以QAB 为直角三角形.,,,,,,,,,,,,,,,11分假设存在直线l 使得QAB 为等腰三角形，则QA QB .取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.NQ BAOyx记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标22122212024225100520M x x kkx k k+==-=-++，所以点M 的纵坐标266()5520M M ky k x k=+=+.所以222221016666(,)(,)520520520520k k k QM NM kk kk+?++++222601320(520)kk +=+.所以QM 与NM 不垂直，矛盾.所以当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB 为等腰三角形.,,,,,,,,,,,,,,,13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）①{1,5}A =不是{1,2,3,4,5}M =的一个二元基底. 理由是1212315(,{1,0,1})棺+孜-；②{2,3}A =是{1,2,3,4,5,6}M =的一个二元基底.理由是11213,21203,30213=-?????，41212,51213,61313=?????.,,,,,,,,,,,,,,,3分（Ⅱ）不妨设12m a a a <<<，则形如10i j a a ?(1)i jm ＃的正整数共有m 个；形如11ii a a ?(1)im ＃的正整数共有m 个；形如11i j a a ?(1)ij m ?的正整数至多有2mC 个；形如(1)1i j a a -?(1)ijm ?的正整数至多有2mC 个.又集合{1,2,3,,}M n =含n 个不同的正整数，A 为集合M 的一个m 元基底.故22m mm m C C n +++，即(1)m m n +. ,,,,,,,,,,,,,,,8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(1)19m m +，所以4m3.当4m =时，(1)191m m+-=，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. *假设1234{,,,}A a a a a =为{1,2,3,,19}M =的一个4元基底，不妨设1234a a a a <<<，则410a 3. 当410a =时，有39a =，这时28a =或7.如果28a =，则由1109,198,1899,18108=-=-=+=+，与结论*矛盾. 如果27a =，则16a =或5.易知{6,7,9,10A =和{5,7,9,10}A =都不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾. 当411a =时，有38a =，这时27a =，16a =，易知{6,7,8,11}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当412a =时，有37a =，这时26a =，15a =，易知{5,6,7,12}A =不是{1,2,3,,19M =的4元基底，矛盾.当413a =时，有36a =，25a =，14a =，易知{4,5,6,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾. 当414a =时，有35a =，24a =，13a =，易知{3,4,5,1A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当415a =时，有34a =，23a =，12a =，易知{2,3,4,1A =不是{1,2,3,,1M =的4元基底，矛盾.当416a =时，有33a =，22a =，11a =，易知{1,2,3,16}A =不是{1,2,3,,M =的4元基底，矛盾.当417a 3时，A 均不可能是M 的4元基底.当5m =时，M 的一个基底{1,3,5,9,16}A =；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，m 的最小可能值为 5.,,,,,,,,,,,,,,,14分。
高考数学 考前查缺补漏系列 热点06 概率与统计问题,你能渡过“事理关”和“数理关”吗？
概率与统计问题，你能渡过“事理关”和“数理关”吗？【常见题型】在概率中，事件之间有两种最基本的关系，一种是事件之间的互斥(含两个事件之间的对立)，一种是事件之间的相互独立的，互斥事件至少有一个发生的概率等于各个事件发生的概率之和，相互独立事件同时发生的概率等于各个事件各自发生的概率之积，在概率计算中正确地把随机事件进行分拆是正确解决问题的根本所在．概率计算题的核心环节就是把一个随机事件进行类似本题的分拆，这中间有三个概念，事件的互斥，事件的对立和事件的相互独立，在概率的计算中只要弄清楚了这三个概念，根据实际情况对事件进行合理的分拆，就能把复杂事件的概率计算转化为一个个简单事件的概率计算，达到解决问题的目的．一．概率与茎叶图相联系例1【河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试】（理）某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小；（II ）以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15分次数X 的分布列和均值．（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分（Ⅱ）根据统计结果，在一场比赛中，甲、乙得分超过15分的概率分别为p 1＝ 38，p 2＝ 1 2，两人得分均超过15分的概率分别为p 1p 2＝316，依题意，X ～B (2，316)，P (X ＝k )＝C k 2(316)k(1316)2－k ，k ＝0，1，2， …7分X 的分布列为…10分 X 的均值E (X )＝2×316＝8． …12分（文）某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（I ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（II ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率． 解：（Ⅰ）x-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，s 2乙＝ 1 8[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分 （Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：7，8，10，15，17，19． …7分二．频率分布表、频率分布直方图与概率相结合 例2【2012年长春市高中毕业班第二次调研测试】 对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如 下：【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布表、频率分布直方图、离散型随机变量的分布列以及数学期望的求法. 【试题解析】⑴由题可知 50.25M =，12n M =，m p M =，10.05M= 又 5121m M +++=解得 20M =，0.6n =，2m =，0.1p =则[15,20)组的频率与组距之比a 为0.12. (4分)⑵由⑴知，参加服务次数在区间[15,20)上的人数为3600.6216⨯=人. (6分) ⑶所取出两人所获得学习用品价值之差的绝对值可能为0元、20元、40元、60元，则 22251222201066177(0)190190C C C P C ++++===， 111111512122212206024286(20)190190C C C C C C P C ++++===， 111152121220101222(40)190190C C C C P C ++===， 11512205(60)190C C P C ==.(10分)()0(0)20(20)40(40)60(60)E X P P P P =⋅+⋅+⋅+⋅7786225290020406019019019019019=⨯+⨯+⨯+⨯= (12分)（文）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：⑴求出表中M 、p 及图中a 的值；三、排列组合和概率相结合例3【2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）】（理）某中学选派40名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的培训次数 1 2 3 参加人数 5 15 20（1的概率； （2）从40人中任选两名学生，用X 表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列及数学期望EX . 解：（1）这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率为494419134012011515=-=C C C C P . ……………………5分(2)由题意知X =0,1,222251520240111151515202401152024061(0);15675(1);1565(2).39C C C P X C C C C C P X C C C P X C ++===+====== 则随机变量X 的分布列：分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合计M1X0 12P15661 15675395012.156********X EX =⨯+⨯+⨯=所以的数学期望 ……………………13分样本容量与总体中个体数的比为,181905= 所以从,,A B C 三个工作组分别抽取的人数为2，2，1. ------------------5分（II ）设12,A A 为从A 组抽得的2名工作人员，12,B B 为从B 组抽得的工作人员，1C 为从C 组抽得的工作人员，若从这5名工作人员中随机抽取2名，其所以可能的结果是：),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(112112221211211121C B B B C A B A B A C A B A B A A A21(,)B C ,共有10种， ------9分其中没有A 组工作人员的结果是：121121(,),(,),(,)B B B C B C 有3种，--------------------------11分 所以从抽取的5名工作人员中再随机抽取2名进行汇总整理，此时这两名工作人员中没有A 组工作人员的概率310P =。
考点14 解三角形(教师版) 新课标
4．（海淀区高三年级第二学期期末练习文）在 中，若 ， ， 的面积为 ，则 =.
5．(北京市西城区2012届高三下学期二模试卷理)在△ 中， ， ， ，则 ___ __．
【答案】 ；
【解析】利用正弦定理可知：
6．在 中， ，AB=5，BC=7，则 的面积S=
7．（怀化2012高三第三次模拟考试文）（本小题满分12分）
考点14解三角形
【高考再现】
热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长
1．（2012年高考（重庆文））设△ 的内角 的对边分别为 ,且 ,则 ____
2．（2012年高考（天津理））在 中,内角 , , 所对的边分别是 ,已知 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2012年高考（陕西理））在 中,角 所对边长分别为 ,若 ,则 的最小值为（ ）
6．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()
A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定
【名校模拟】
一．基础扎实
1．(2012·长沙模拟)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知A＝ ，a＝ ，b＝1，则c等于()
A．1B．2C. －1 D.
2．(2012·福州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4 ，B＝45°，则sinC等于()
2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
热点三、利用正余弦定理求三角形面积
1．（2012年高考（山东文））(本小题 满分12分)
北京市朝阳区2014届高三数学上学期期末考试试题 理
北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2014.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．函数1()1f x x =+- A ．[0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．[0,1)(1,)+∞ D ．[0,1)2．如果点()02,P y 在以点F 为焦点的抛物线24y x =上，则PF = A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：x ∃∈R ，sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝4．在△ABC 中，︒=∠30A，AB =1BC =， 则△ABC 的面积等于A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或435．执行如图所示的程序框图，输出结果是4． 若{}01,2,3a ∈，则0a 所有可能的取值为A ．1,2,3B ．1C ．2D ．1,26．已知正方形的四个顶点分别为(0,0)O ，(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，点,D E 分别在线段,OC AB 上运动，且OD BE =，设AD 与OE 交于点G ，则点G 的轨迹方程是A ．(1)(01)y x x x =-≤≤B ．(1)(01)x y y y =-≤≤C ．2(01)y x x =≤≤D ．21(01)y x x =-≤≤7．已知平面向量a ，b 的夹角为120，且1⋅=-a b ，则||-a b 的最小值为 A ．． 1 8．已知数列{}n a 满足(,01)n n a n k n k *=⋅∈<<N 下面说法正确的是 ①当12k =时，数列{}n a 为递减数列； ②当112k <<时，数列{}n a 不一定有最大项； ③当102k <<时，数列{}n a 为递减数列；④当1k k-为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项.A. ①②B. ②④C. ③④D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9．某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况，抽查并统计了100名同学的某一周阅读时间，绘制了频率分布直方图（如图所示），那么这100名学生中阅读时间在[4,8)小时内的人数为_____．10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若2228log log 1a a +=，则37a a ⋅= ． 11．直线y kx =与圆22(2)4x y -+=相交于O ,A两点，若OA k 的值0.040.05 0.12是_____．12．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ；表面积是 ．13．实数,x y 满足3,20,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩若(2)y k x ≥+恒成立，则实数k 的最大值是 ．14．所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数． 如：6=123++；28=124714++++；496=1248163162124248++++++++．已经证明：若21n-是质数，则12(21)n n--是完全数，n *∈N .请写出一个四位完全数 ；又623=⨯，所以6的所有正约数之和可表示为(12)(13)+⋅+；22827=⨯，所以28的所有正约数之和可表示为2(122)(17)++⋅+；按此规律，496的所有正约数之和可表示为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）已知函数2()cos sin 1f x x x =--+． （Ⅰ）求函数)(x f 的最小值； （Ⅱ）若5()16f α=，求cos 2α的值．俯视图侧视图正视图16．（本题满分13分）甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试，在相同测试条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）如下表：（Ⅰ）请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅱ）若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析，设抽到的两个成绩中，90分以上的个数为X ，求随机变量X 的分布列和期望EX ．17．（本题满分14分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）设,O D 分别为,AC AP 的中点，点G 为△OAB 内一点，且满足13OG OA OB =+（），求证：DG ∥面PBC ；（Ⅲ）若==2AB AC ，=4PA ， 求二面角A PB C --的余弦值．18．（本题满分13分）已知函数()()ln f x x a x =-，a ∈R ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，求a 的取值范围．PDOACG19.已知椭圆C 两焦点坐标分别为1(F ,2F ，且经过点1)2P ． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知点(0,1)A -，直线l 与椭圆C 交于两点,M N ．若△AMN 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，试求直线l 的方程．20．（本题满分13分）已知,,a b c 是正数， 1lg a a =，2lg a b =，3lg a c =． （Ⅰ）若,,a b c 成等差数列，比较12a a -与23a a -的大小；（Ⅱ）若122331a a a a a a ->->-，则,,a b c 三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若a t =，2b t =，3c t =（t *∈N ），且1a ，2a ，3a 的整数部分分别是,m 21,m +221,m +求所有t 的值．北京市朝阳区2013-2014学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2014.1一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D B A A C二、填空题 题号 910 11121314答案542±182363238128234(12222)(131)++++⋅+三、解答题15．解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =--+ 2sin sin x x =- 211(sin )24x =--， 又[]sin 1,1x ∈-，所以当1sin 2x =时，函数)(x f 的最小值为14-.…… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2115(sin )2416α--=，所以219(sin )216α-=．于是5sin 4α=（舍）或1sin 4α=-．又2217cos 212sin 12()48αα=-=--=． ……………… 13分16．解：（Ⅰ）茎叶图如右图所示，由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，因此应选派乙参赛更好． ……………… 6分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2．1144115516(0)25C C P X C C ===， 14115528(1)25C P X C C ===， 115511(2)25P X C C ===， 8 7 5 6 9826 甲 乙5 57 2 58 5随机变量X 的分布列是：160122525255EX =⨯+⨯+⨯=． ……………… 13分17．证明：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥，且PA AB =A ，所以AC ⊥平面PAB ． 又因为PB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥PB ． ……………… 4分（Ⅱ）解法1:因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥，PA AC ⊥．又因为AB AC ⊥， 所以建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -． 设=2AC a ，=AB b ，=2PA c ， 则(0,0,0)A ，(0,,0)B b ，(2,0,0)C a ，(0,0,2),(0,0,)P c D c ，(,0,0)O a ． 又因为13OG OA OB =+（）， 所以(,,0)33a bG ． 于是(,,)33a bDG c =-，(2,,0)BC a b =-，(0,,2)PB b c =-．设平面PBC 的一个法向量000(,,)x y z =n ，则有0,0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．即000020,20.ax by by cz -=⎧⎨-=⎩不妨设01z =，则有002,c c y x b a ==，所以2(,,1)c ca b=n ． 因为22(,,1)(,,)1()03333c c a b c a c bDG c c a b a b ⋅=⋅-=⋅+⋅+⋅-=n ， 所以DG ⊥n ．又因为DG ⊄平面PBC ，所以DG ∥平面PBC ． ……………… 9分PD解法2：取AB 中点E ，连OE ，则1()2OE OA OB =+. 由已知13OG OA OB =+（）可得23OG OE =, 则点G 在OE 上.连结AG 并延长交CB 于F ，连PF .因为,O E 分别为,AC AB 的中点， 所以OE ∥BC ,即G 为AF 的中点. 又因为D 为线段PA 的中点， 所以DG ∥PF .又DG ⊄平面PBC ,PF ⊂平面PBC , 所以DG ∥平面PBC ．……………… 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面PBC 的一个法向量2(,,1)(2,2,1)c ca b==n ． 又因为AC ⊥面PAB ，所以面PAB 的一个法向量是(2,0,0)AC =． 又42cos ,323AC AC AC⋅===⨯⋅n n n ， 由图可知，二面角A PB C --为锐角，所以二面角A PB C --的余弦值为23． ……………… 14分 18． 解：（Ⅰ）定义域(0,)+∞．当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+． 令()0f x '=，得1ex =． 当1(0,)ex ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； 当1(,)ex ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以函数()f x 的极小值是11()e e f =-． ……………… 5分（Ⅱ）由已知得()ln x af x x x-'=+．因为函数()f x 在(0,)+∞是增函数，所以()0f x '≥，对(0,)x ∈+∞恒成立． 由()0f x '≥得ln 0x ax x-+≥，即ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立． 设()ln g x x x x =+，要使“ln x x x a +≥对(0,)x ∈+∞恒成立”，只要min ()a g x ≤．B因为()ln 2g x x '=+，令()0g x '=得21e x =． 当21(0,)ex ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数； 当21(,)e x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数. 所以()g x 在()0,+∞上的最小值是2211()e eg =-．故函数()f x 在(0,)+∞是增函数时，实数a 的取值范围是21(,]e-∞-…… 13分 19．解：（Ⅰ）设椭圆标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．依题意1224a PF PF =+==，所以2a =．又c =2221b a c =-=．于是椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……………… 5分 （Ⅱ）依题意，显然直线l 斜率存在.设直线l 的方程为y kx m =+，则由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(41)8440k x kmx m +++-=． 因为2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,得22410k m -+>． ……………… ①设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)Q x y ，则12221228414441km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩于是000224,4141km mx y kx m k k =-=+=++． 因为AM AN =，线段MN 中点为Q ，所以AQ MN ⊥． （1）当00x ≠，即0k ≠且0m ≠时，0011y k x +=-，整理得2341m k =+． ………………②因为AM AN ⊥，1122(,1),(,1)AM x y AN x y =+=+，所以2212121212(1)(1)(1)(1)()21AM AN x x y y k x x k m x x m m =+++=+++++++22222448(1)(1)()2104141m kmk k m m m k k -=+++-+++=++，整理得25230m m +-=，解得35m =或1m =-． 当1m =-时，由②不合题意舍去.由①②知，35m =时，5k =±． （2）当00x =时，（ⅰ）若0k =时，直线l 的方程为y m =，代入椭圆方程中得x =±设()M m -，)N m ,依题意，若△AMN 为等腰直角三角形，则AQ QN =.即1m =+，解得1m =-或35m =.1m =-不合题意舍去， 即此时直线l 的方程为35y =. （ⅱ）若0k ≠且0m =时，即直线l 过原点.依椭圆的对称性有(0,0)Q ,则依题意不能有AQ MN ⊥,即此时不满足△AMN 为等腰直角三角形.综上，直线l 的方程为35y =530y -+=530y +-=. ………………14分 20．解：（Ⅰ）由已知得1223()()a a a a ---=2lg lg lg a b acb c b-=．因为,,a b c 成等差数列，所以2a cb +=，则1223()()a a a a ---=24lg()aca c +， 因为222a c ac +≥，所以2()4a c ac +≥，即241()aca c ≤+，则1223()()0a a a a ---≤，即12a a -≤23a a -，当且仅当a b c ==时等号成立．……………… 4分（Ⅱ）解法1：令12m a a =-，23n a a =-，31p a a =-，依题意，m n p >>且0m n p ++=，所以0m p >>．故120a a ->，即lg lg a b >；且130a a ->，即lg lg a c >．所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大．解法2：依题意lg lg lg a b c b c a >>，即a b c b c a>>． 因为0,0,0a b c >>>，所以2ac b >，2a bc >，2ab c >．于是，3abc b >，3a abc >，3abc c >，所以33a b >，33a c >．因为3y x =在R 上为增函数，所以a b >且a c >．故,,a b c 三个数中，a 最大． ……………… 8分 （Ⅲ）依题意，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是,m 21,m +221m +，则l g 1m t m ≤<+，所以22lg 22m t m ≤<+．又2lg 2lg t t =，则2lg t 的整数部分是2m 或21m +．当212m m +=时，1m =；当2121m m +=+时，0,2m =．（1） 当0m =时，lg t ，2lg t ，3lg t 的整数部分分别是0,1,1，所以0lg 1t ≤<，21lg 2t ≤<，31lg 2t ≤<．所以12lg 23t ≤<，解得21321010t ≤<． 又因为()12103,4∈，()23104,5∈，所以此时4t =．（2）当1m =时，同理可得1lg 2t ≤<，22lg 3t ≤<，33lg 4t ≤<． 所以41lg 3t ≤<，解得431010t ≤<．又()431021,22∈，此时10,11,12,...20,21t =． （3）当2m =时，同理可得2lg 3t ≤<，25lg 6t ≤<，39lg 10t ≤<，同时满足条件的t 不存在．t ．……………… 13分综上所述4,10,11,12,...20,21。
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北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题（文史类） 2013.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{02}A x x =<<，集合2{log 0}B x x =>，则AB 等于A ．{}|2x x <B ．{}|x x >0C ．{}|02x x <<D ．{}|12x x <<2．已知i 是虚数单位，若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于A ．2B ．12C ．12-D ．2-7. 已知函数e ,0,()21,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩（a ∈R ），若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是A ．(),1-∞-B ．(),0-∞C ．()1,0-D ．[)1,0-8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，1P ，2P 分别为线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是 A ．124 B ．112C ．16 D ．12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为 .10.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +-=，则A = ．11.若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 .12.已知双曲线中心在原点，一个焦点为)0,5(1-F ，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是 ，离心率是 .13.在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ．14. 将连续整数1,2,,25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .A 1B 1CBD 1C 1ADE三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()sincos cos 1222x x xf x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数()f x 在[,]π3π42上的最小值.16. （本小题满分14分）在长方体1111ABCD-A BC D 中，12AA=AD=，E 是棱CD 上的一点． （Ⅰ）求证：1AD ⊥平面11A B D ； （Ⅱ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅲ）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由． 17. （本小题满分13分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”， 全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出,,,a b x y 的值；组别 分组 频数频率第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组[90，100]2 b合计▓▓频率分布表频率频率分布直方图（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.18. （本小题满分13分）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．（Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.19. （本小题满分14分）已知直线:1()l x my m =+∈R 与椭圆()22:109x y C t t +=>相交于,E F 两点，与x 轴相交于点B ，且当0m =时，83EF =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 的坐标为(3,0)-，直线AE ，AF 与直线3x =分别交于M ，N 两点.试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ?并请说明理由.20. （本小题满分13分）将正整数21,2,3,4,,n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值ab，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”. （Ⅰ）当2n =时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤），且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +--<⎧=⎨+-+-≥⎩， ，请分别写出3,4,5n =时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）； （Ⅲ）对于由正整数21,2,3,4,,n 排成的n 行n 列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合222{1,2,,}n n n n n -+-+，记其“特征值”为λ，求证：1.n n λ+<北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试数学测试题答案（文史类） 2013.1二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第一空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1cos ()sincos 1222x x xf x +=+- 111sin cos 222x x =+- …………………………………………2分1).242x π=+- ……………………………………………4分所以函数()f x 的最小正周期为2π. …………………………………………6分由322242k x k ππππ+≤+≤π+，k ∈Z ，则52244k x k πππ+≤≤π+. 则函数()f x 单调减区间是5[2,2]44k k πππ+π+，k ∈Z . ………………9分 (Ⅱ)由x π3π≤≤42，得7244x πππ≤+≤. ………………………………………11分则当342x ππ+=，即54x π=时，()f x取得最小值12-. …………………13分 （16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在长方体1111ABCD-A BC D 中，因为11A B ⊥面11A D DA ，所以111A B AD ⊥． ………………………………………………………………2分 在矩形11A D DA 中，因为12AA=AD=，所以11AD A D ⊥．……………………4分 所以1AD ⊥面11A B D . ………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为E CD ∈，所以1B E ⊂面11A B CD ，由（Ⅰ）可知，1AD ⊥面11A B CD ， …………………………………………7分 所以11B E AD ⊥． …………………………………………………………………8分 （Ⅲ）当点P 是棱1AA 的中点时，有DP ∥平面1B AE ． ………………………9分 理由如下：在1AB 上取中点M ，连接PM,ME ． 因为P 是棱1AA 的中点，M 是1AB 的中点， 所以PM ∥11A B ，且1112PM A B =．……10分 又DE ∥11A B ，且1112DE A B =． 所以PM ∥DE ，且PM DE =， 所以四边形PMED 是平行四边形，所以DP ∥ME ．…………………………11分 又DP ⊄面1B AE ，ME ⊂面1B AE ，所以DP ∥平面1B AE ． …………………………………………………………13分 此时，1112AP A A ==． …………………………………………………………14分 （17）（本小题满分13分）A 1B 1CBD 1C 1ADEPM解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====．……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为,,,A B C D ，第5组共有2人，记为,X Y ． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有,,,,,,,A B A C A D B C B D C D A X A Y ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY共15种情况．…………………………………………………………………………6分设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ， …………7分 有,AX AY ，,,,,,,BX BY CX CY DX DY XY 共9种情况． ……………8分 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==． 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35. ……………10分 （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有,,,,,,AB AC AD BC BD CD XY 共7种情况． …………………………………………………………………………11分 所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715． ………………………………13分 （18）（本小题满分13分）解：222122()(1)ax x a f x a x x x -+'=+-=， ……………………………………………1分令2()2h x ax x a =-+．（Ⅰ）当2a =时，函数1()2()2ln f x x x x =--，(1)0f =，212()2(1)f x x x '=+-．曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为(1)2f '=． …………………………2分 从而曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为02(1)y x -=-，即220x y --=． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞． 设2()2h x ax x a =-+， （1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………6分（2）当0a >时，244a ∆=-，（ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得10x a <<或1x a>；……………8分由()0f x '<，即()0h x <，得11x a a <<．………………………9分 所以函数()f x的单调递增区间为和)+∞，单调递减区间为． ……………………………………11分（ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． ………………………………………………………………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0m =时，直线l 的方程为1x =，设点E 在x 轴上方，由221,91x y tx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得(1,(1,33E F -.所以833EF ==，解得2t =. ……………………………………………3分 所以椭圆C 的方程为22192x y +=. ………………………………………………4分 （Ⅱ）由221,921x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(29)4160m y my ++-=，显然m ∈R . …………5分 设1122(,),(,)E x y F x y ,则121222416,2929m y y y y m m --+==++. ……………6分 111x my =+,221x my =+.又直线AE 的方程为11(3)3y y x x =++，11(3),33y y x x x ⎧=+⎪+⎨⎪=⎩解得116(3,)3y M x +， 同理得226(3,)3y N x +. 所以121266(2,),(2,)33y y BM BN x x ==++, …………………………………………9分 又因为121266(2,)(2,)33y y BM BN x x ⋅=⋅++ 12121212363644(3)(3)(4)(4)y y y y x x my my =+=+++++ 1212212124(4)(4)364()16my my y y m y y m y y +++=+++2222216(436)164164(29)3216(29)m m m m m -+-⨯+⨯+=-++ 22264576641285769m m m ---++=0=.…………………13分 所以BM BN ⊥,所以以MN 为直径的圆过点B . ………………………………14分（20）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2,3或2,4或3,4. 得到数表的不同特征值是32或4.3……………………………………………3分（Ⅱ）当3n =时，数表为此时，数表的“特征值”为4.3……………………………………………………4分7 1 4 5 8 2 3 6 913 1 5 9 10 142 6当4n =时,数表为此时，数表的“特征值”为54. ………………………………………………………5分当5n =时，数表为此时，数表的“特征值”为65. …………………………………………………………6分 猜想“特征值”为1n n+. …………………………………………………………………7分 （Ⅲ）设,a b （a b >）为该行（或列）中最大的两个数，则221a nb n n λ≤≤-+，因为2332221(1)10,1(1)(1)n n n n n n n n n n n n n +-+-==-<-+-+-+所以2211n n n n n+<-+，从而1.n n λ+<…………………………………………13分7 11 15 3 4 8 12 1621 1 6 11 16 17 22 2 7 12 13 18 23 3 8 9 14 19 24 4 510 15 20 25。
(整理)高考数学考点11定积分的概念与微积分基本定理.
考点11 定积分的概念与微积分基本定理【高考再现】热点一定积分的基本计算1. (2012年高考江西卷理科11)计算定积分121(sin)x x dx-+=⎰___________【方法总结】1.计算简单定积分的步骤：(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)；(4)利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积分的值．2.求定积分的常用技巧：(1)求被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．热点二微积分基本定理的应用3.(2012年高考山东卷理科15)设a＞0.若曲线=y x与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。
【答案】9 4【解析】a a x dx x S a a====⎰232303232，解得49=a . 4.(2012年高考上海卷理科13)已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 .【方法总结】求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．【考点剖析】二．命题方向定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等。
一般以客观题形式出现.三．规律总结一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．一个公式由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．【基础练习】1.（教材习题改编） ⎠⎛01(e x ＋2x)d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 【答案】C【解析】 因为F (x )＝e x ＋x 2，且F ′(x )＝e x ＋2x ，则⎠⎛1(e x＋2x)d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e ＋1)－(e 0＋0)＝e ，故选C. 3. 【经典习题】 220(4)x x dx --=⎰_______________．【答案】C 【解析】：220(4)x dx -⎰等于圆224x y +=在第一象限的面积π，则222222201(4)(4)22x x dx x dx xdx x ππ⎡⎤--=--=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.4. 已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.【名校模拟】一．基础扎实1. (河北省唐山市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试文)曲线y=11x x -+在点（0，一1）处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为 A ．1 B ．－12C ．14D ．18【答案】 C【解析】''2(1)(1)(1)(1)'(1)x x x x y x -+--+=+2(1)(1)(1)x x x +--=+22(1)x =+，所以2k =，所以切线方程为21y x =-，所以1111224S ∆=⨯⨯=，故选C 2. (2012届郑州市第二次质量预测理) 如图曲线和直线所围成的图形（阴影部分)的面积为 A. B. C.D.3．(2012洛阳示范高中联考高三理).由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形的面积为 A.121 B.41 C. 31D.127【答案】A【解析】解：由微积分基本定理，可知由曲线32,x y x y ==围成的封闭图形的面积为12334100111(x x )dx x x |3412-=-=⎰ 4．(武汉2012高中毕业生五月模拟考试理)答案：A 解析：由题意得，2200(22)(2)|233tt x dx xx t t t -=-=-=⇒=⎰或1t =-（舍去），故选A 。
2012届高三数学下册3月月考检测试题3
2012年3月绵阳南山中学高2013级第四期入学暨3月月考数学（理科）试题命题人：李太泉 审题人：王怀修 考试时间：100分钟 试卷满分：100分一．选择题（每题4分，共48分） 1.不等式015≥-+x x 的解集为（ ) A.[]1,5- B.(][)+∞-∞-,15, C.()()+∞-∞-,15, D.(]()+∞-∞-,15,2曲线192522=+y x 与曲线192522=-+-ky k x )9(<k 的（ ） A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等3.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.44已知向量→→d c ,不共线，设向量.,2→→→→→→-=+=d k c b d c k a 若→a 与→b 共线，则实数k 的值为（ ）A.0B.1C.-1D.25.已知),,2(),0,12,1(t t b t t a =--=→→则→→-a b 的最小值为（ ）A 3.B 6.C 2.D 5.6.执行下图所示的程序框图输出s 的值为（ ）A.3B.-6C.10D.-157.下列条件中，使M 与A,B,C 一定共面的是（ ）A →→→→--=OC OB OA OM 3. B →→→→++=OC OB OA OM 213151.C.→→→→=++0.AB MB MA D →→→→→=+++0.OC OB OA OM 8.若一个口袋中有5个白球，3个黑球，从口袋中每次拿一个球，不放回，第二次拿到黑球的概率是（ )A.4143.B 83.C 81.D 9.已知R b a ∈,，下列四个条件中使b a >成立的必要不充分条件是（ ）A.1->b aB.1+>b aC.b a >D.b a 22>10.已知a>b>0,设椭圆12222=+by a x 、双曲线12222=-b y a x 和抛物线abxy 22=的离心率分别为321,,e e e ，则( )A.321e e e <∙B.321e e e >∙C.321e e e =∙D.与a 、b 取值有关11．设直线l 经过双曲线x 2-22y =1的右焦点F ,且与双曲线交于A 、B两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 12.在正四面体(各个面都是正三角形)ABCD 中,ΔABC 内的动点P 到平面BCD 的距离与到点A 的距离相等,则动点P 的轨迹是( ) A.一条线段 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分二．填空题（每题3分，共12分）13．已知经过椭圆1162522=+y x 的右焦点2F 作直线AB 交椭圆与A,B 两点，1F 为椭圆的左焦点，则B AF 1∆的周长为_________________14.已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则双曲线的离心率为____________15如下图所示，在一个边长为a 、b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b .向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是___________16．如图,在ΔABC 中,∠ACB=90º,BC=1,AC=2,D 是斜边AB 上的一个动点,以CD 为棱把ΔABC 折成直二面角A-CD-B 后,线段AB 的最小值是____.三．解答题（每小题10分，共40分）17.如图，平行六面体ABCD-1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱1AA 的长为2，且AD A AB A 11∠=∠=ο60A CBD A C B(1)若,,,1→→→→→→===c AA b AD a AB 用→→→c b a ,,表示向量→→11,BD AC .(2)求直线1BD 与AC 夹角的余弦值。
2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编数列1
2012全国各地模拟分类汇编理：数列（1）【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】等差数列}{n a 中，若39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项的和9S 等于A ．99B ．66C ．144D ．297 【答案】A【四川省南充高中2012届高三第一次月考理】等比数列{}n a 中，1414,2a a ==，n S 是数列{}n a 前n 项的和，则nn S ∞→lim 为（ ）A ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 2118 B ．8 C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 21116 D ． 16 【答案】B【四川省德阳市2012届高三第一次诊断理】在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a ⋅=+=，则155a a = （ ）A ．3B ．13C ．3或13D ．133--或 【答案】C【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】设n S 是等差数列的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =（ ）A ．5B ．6C ．7D ． 8 【答案】A【浙江省杭州第十四中学2012届高三12月月考】若数列{}n a 为等差数列，且35791120a a a a a ++++=，则 8912a a -=(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】B【黑龙江省绥棱一中2012届高三理科期末】已知等比数列{n a }的公比为正数，且23744a a a =，22a =， 则1a = （ ）B 1C 2 D2【答案】B【甘肃省天水一中2012学年度第一学期高三第四阶段考】数列{}n a 中，1a =1，1+n a =n a +)11lg(n+，则10a =（ ）A.1B. 2C. 3D.4 【答案】B【福建省南安一中2012届高三上期末】等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若301272=++a a a ，则13S 的值是( )A ．130B ．65C ．70D ．75 【答案】A【安徽省六校教育研究会2012届高三联考】数列{}n a 满足11=a ，12=a ，222(1sin )4cos 22n n n n a a ππ+=++，则109,a a 的大小关系为 （ ）（A ）109a a > （B ）109a a =（C ）109a a <（D ）大小关系不确定【答案】C【北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试】设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于（ ）A ． 2788n n +B ．2744n n +C ．2324n n+D ．2n n +【答案】A【北京市东城区2012学年度高三数第一学期期末】在等差数列{}n a 中，若475=+a a ，286-=+a a ，则数列{}n a 的公差等于 ； 其前n 项和n S 的最大值为．【答案】3-，57【广东省执信中学2012学年度第一学期期末】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,376a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【北京市西城区 2012学年度第一学期期末】已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++= ______．【答案】2；1(14)3n --【浙江省宁波四中2012届高三上学期第三次月考理】（本题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，31=a 且321+=+n n S a ，数列}{n b 为等差数列，且公差0>d ，15321=++b b b （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若3322113,3,3b a b ab a +++成等比数列，求数列}{n b 的前n 项和n T 【答案】解：（1）由321+=+n n S a ，得)2(321≥+=-n S a n n …………（2分） 相减得：)(211-+-=-n n n n S S a a ，即n n n a a a 21=-+，则31=+nn a a ……（5分）∵当1=n 时，93212=+=a a ，∴312=a a …………（6分）∴数列}{n a 是等比数列，∴nn n a 3331=⋅=-…………（7分）（2）∵2313212,15b b b b b b =+=++，∴52=b …………（8分）由题意)3)(3()3(3311222b a b a b a ++=+，而93,33,13321===a aa设d b b d b +==-=5,5,5321，∴)95)(15(64+++-=d d ，∴02082=-+d d ，得2=d 或10-=d （舍去）…………（13分）故nn n n n d n n nb T n 222)1(32)1(21+=⋅-+=-+=……………(14分)【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】本题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设31323log log log n n b a a a =+++ 求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】解：（1）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得22349a a =所以219q =。
考点06指数函数、对数函数、幂函数、二次函数(教师版) 新课标
2013年新课标数学40个考点总动员 考点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数（教师版）热点一 指数函数、对数函数2.（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]12【答案】D【解析】{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒= 3.（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12xy e =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为 （ ）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+4.（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.5.（2012年高考（北京文））已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,22()()f a f b +=_________.【答案】2【解析】()lg ,()1f x x f ab == ,lg()1ab ∴=，2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==.6.（2012年高考（上海理））已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________ .7.（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f . (1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.【解析】（1）由22010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x -<<，由220lg(22)lg(1)lg11x x x x -<--+=<+，得221101xx -<<+……….3分因为10x +>，所以2112210(1),33x x x x +<-<+∴-<<， 由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<……………………………………….6分【方法总结】热点二 幂函数、二次函数7.（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(0,8)【解析】因为不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a <<.8.（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________.【答案】(4,0)-9.（2012年高考（山东理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（ ）A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>10.（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.11.（2012年高考（北京理））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若同时满足条件:①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.40m -<<,又由于条件2的限制,可分析得出(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负,因此就需要在这个范围内()g x 有取得正数的可能,即4-应该比12,x x 两个根中较小的大,当(1,0)m ∈-时,34m --<-,解得交集为空,舍去.当1m =-时,两个根同为24->-,也舍去,当(4,1)m ∈--时,242m m <-⇒<-,综上所述(4,2)m ∈--.【方法总结】【考点剖析】 一．明确要求二．命题方向1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 三．规律总结 1.指数规律总结两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.对数函数规律总结三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较． 3.幂函数的规律总结 五个代表函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法【基础练习】1.(教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b【答案】 C【解析】 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1.2.（经典习题）若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值3.(教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±124．(经典习题)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.5.(经典习题)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b【名校模拟】 一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ）（A ）b a c <<（B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）b c a << 【答案】D【解析】32log (1,)a =∈+∞，23log (0,1)b =∈，26664221log log log (1,)2c ====∈+∞ 而3622log log >，∴a>c>b ∴故选D2. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）设()()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<4.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考文）若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是A. a b +<B. 1122a b >C. ln a ＞ln bD. 0.30.3a b<【解析】A 根据指数幂函数、对数函数、指数函数性质可知选项B 、C 、D 中的表达式成立，不成立即为选项A 中的表达式。
2012全国各地模拟试题理科数学分类汇编导数3
2012全国各地模拟分类汇编理：导数（3）【浙江省宁波四中2012届高三上学期第三次月考理】已知函数)0()1(2131)(23>++-=a x x aa x x f ，则)(x f 在点))1(,1(f 处的切线的斜率最大时的切线方程是______________ 【答案】31=y 【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】函数()f x 在点0x x =处连续是()f x 在点0x x =处可导的A ．充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要的条件 【答案】B【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是【答案】C【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数 ，且满足()()'≤xf x f x ，对任意的正数b a 、，若b a <，则必有 A ．)()(a bf b af ≤ B ．)()(b bf a af ≥ C ．)()(b bf a af ≤ D ．)()(a bf b af ≥【答案】A【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】曲线2313-=x y 以点（1，-错误！不能通过编辑域代码创建对象。
）为切点的切线的倾斜角为 【答案】450【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．()1,0-B ．()()1,02,-⋃+∞C ．()2,+∞D ．()0,+∞ 【答案】C【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，0a b c ++=且(0)(1)0f f ⋅>，设1x ，2x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围为A ．1[3B ．14[,)39C ． 2)3D ．11[,)93【答案】C【山西省康杰中学2012届高三上学期9月月考理】已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ）A ．),1()2,(+∞⋃--∞B ．)2,1()2,(⋃--∞C ．),2()0,1()1,(+∞⋃-⋃--∞D ．),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞【答案】D【山东省临清三中2012届高三上学期学分认定理】已知a 为实数，函数))(23()(2a x x x f ++=，若函数f(x)的图象上有与x 轴平行的切线，则a 的取值范围是（A ）[)+∞--∞,2)223,(（B ）(]),223(2,+∞-∞- （C ）⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-223,（D ）),223(223,+∞⎥⎦⎤⎝⎛-∞- 【答案】D【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】曲线x y e =在点2(2,e )处的切线与坐标轴所围三角形的面积（ ）A.29e 4B.22aC.2e D.2e 2【答案】D【山东省冠县武训高中2012届高三二次质检理】积分2e112x ()dx x+⎰的值是【答案】2e【山东省临清三中2012届高三上学期学分认定理】⎰=-=-4π,22)cos (sin a dx x a x则实数 .【湖北省武昌区2012届高三年级元月调研】函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递减区间是 （ ）A ．[2,21]()k k k Z +∈B ．[21,2]()k k k Z -∈C ．[2,22]()k k k Z +∈D ．[22,2]()k k k Z -∈【答案】A【四川省绵阳南山中学2012届高三九月诊断理】(l2分)已知函数2()(21)(R x f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).(I) 当1a =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ) 若函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值范围． 【答案】解：（I ）当1=a 时，x e x x x f -⋅+-=)12()(2，x x x e x x e x x e x x f ---⋅---=⋅+--⋅-=')3)(1()12()22()(2………………2分当x 变化时，)(x f ，)(x f '的变化情况如下表：所以，当1=a 时，函数)(x f 的极小值为0)1(=f ，极大值为34)3(-=e f .……………5分 （II ）]322[)12()22()(22+---=⋅+--⋅-='---x ax ax e e x ax e ax x f x x x令3)1(2)(2++-=x a ax x g ①若0=a ，则32)(+-=x x g ，在)11(，-内，0)(>x g ，即0)(<'x f ，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………7分②若0>a ，则3)1(2)(2++-=x a ax x g ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为11>+=aa x ，当且仅当0)1(≥g ，即10≤<a 时，在)11(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………9分③若0<a ，则3)1(2)(2++-=x a ax x g ，其图象是开口向下的抛物线， 当且仅当⎩⎨⎧≥≥-0)1(0)1(g g ，即035<≤-a 时，在)11(，-内0)(>x g ，0)(<'x f ， 函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减.………………………11分 综上所述，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减时，a 的取值范围是135≤≤-a ．…12分 【四川省成都市双流中学2012届高三9月月考理】（本小题满分12分）设函数()2ln b f x ax x x =-+，若()f x 在11,2x x ==处取得极值 （1）求,a b 的值；（2）存在01[,2]4x ∈使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的最小值； 【答案】解析：（1）()2ln bf x ax x x=-+ ，定义域为),0(+∞ 21'()2b f x a x x ∴=++。
2012年高考试题理科数学(北京卷)——含答案及解析 免费
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、 选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=A. （﹣∞，﹣1）B. （﹣1，﹣23）C.（﹣23,3） D. (3,+∞) 【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。
在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A . 4πB . 22π- C. 6π D. 44π- 【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。
在高二数学（理）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。
3.设a ，b ∈R .“a =O ”是“复数a +b i 是纯虚数”的A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
4.执行如图所示的程序框图，输出S值为A. 2B. 4C. 8D. 16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。
在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。
考点04函数的定义域和值域、解析式和分段函数(教师版) 新课标
2013年新课标数学40个考点总动员 考点04 函数的定义域和值域、解析式和分段函数（教师版）热点一 函数的定义域和值域1.（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数定义域相同的函数为 （ ） A ．y=1sin xB ．y=1nxxC ．y=xe xD ．sin xx2.（2012年高考（山东文））函数1()ln(1)f x x =+ （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-【答案】B【解析】要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨⎧≥-≠+040)1ln(2x x ,即⎩⎨⎧≤≤-≠->220,1x x x ,解得21≤<-x ,且0≠x .答案应选B.3.（2012年高考（上海春））函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______. 【答案】5【解析】22log ,24,1log 2,1 2.t x x x t =≤≤∴≤≤∴≤≤ 令因对号函数4y t t=+在区间[1,2]上单调递减，故当1t =时函数取得最大值为5.4.（2012年高考（江苏））函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.5.（2012年高考（四川文））函数()f x =的定义域是____________.(用区间表示)【答案】(21-，∞)【解析】由12>0x -,得1(-)2x ∈∞，.6.（2012年高考（广东文））(函数)函数y =的定义域为__________.热点二 函数的解析式7.（2012年高考（安徽理））下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是 （ ）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =+1D ．()f x x =-【解析】C【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足:(2)2()f x f x =得:,,A B D 满足条件 ，故C 不满足.8.（2012年高考（上海理））已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g , 则=-)1(g _______ .热点三 分段函数9.（2012年高考（江西理））若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（ ）A.lg101B.2C.1D.0 【答案】B【解析】本题考查分段函数的求值.因为101>，所以()10lg101f ==.所以2((10))(1)112f f f ==+=.10.（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是（ ）A ．()D x 的值域为{}0,1B ．()D x 是偶函数C ．()D x 不是周期函数D ．()D x 不是单调函数11.（2012年高考（陕西文））设函数发0,()1(),0,2x x f x x ìï³ïï=íï<ïïïî,则((4))f f -=_____【考点剖析】一．明确要求1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 二．命题方向三．规律总结 一个方法求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．【基础练习】1.(教材习题改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f (a )＋ f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1【答案】C【解析】若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.2.(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．【答案】{x |x ≥4且x ≠5}【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.3.(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．4.(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________. 【答案】8【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.∴f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.5. (人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】A【解析】 ∵3x＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x＋1)＞log 21＝0.6．（经典习题）函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．【名校模拟】 一．扎实基础1. （2012海淀区高三年级第二学期期末练习文）函数21,12y x x =-+-?的值域是（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) 【答案】B【解析】212,(4,0],(3,1].xx y -?\-?\?2. (唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试文)函数2l o g (12y x =+的定义域为(A ) (-1, 2) (B ) (0, 2] (C ) (0, 2) (D ) (-1, 2]3.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)函数3()33x f x =-的值域为 （ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,0)(0,)-+∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)(0,)-∞-+∞4. (浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)设3,10,()[(5),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(6)f 的值为A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】()()()()(6)11813107f f f f f f f =====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．5. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)若函数⎩⎨⎧≥<<-=)2()20(ln 1)(2x x x x x f ，且2)(=x f ，则x 的值为e A . 2.B 1.-e C 1.-e D 或2【答案】C【解析】本题考查函数的定义和对分段函数的解析式的理解。
2012届高三上学期期中考试II 理科数学试题
高三年级期中II 考试试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合2{|||,},{|0,}A x x x x R B x x x x R ==∈=+≥∈，则A ∩B=（ ） A.[-1，0] B.[0，+∞） C.[1，+∞） D.（- ∞，-1）2．已知点A （-1,0）,B(1,3),向量a =（2k-1,2）,若,AB a ⊥则实数k 的值为（ ）A.-2B.-1C.1D.23．复数Z= ()2(1)1i i +-的共轭复数是（ ）A. -1-iB. 1i -+C.1122i + D. 1122i - 4．已知等差数列{n a }的前n 项和为 n S ，若4518a a =-，则8S =（ ） A.144 B.18 C.54 D.725．设复数Z 满足Z (2-3i) = 6+4i (i 为虚数单位)，则Z 的模为（ ） A.4 B.6 C.2 D.86．若A+B=3π则cosA ⋅cosB 的值是（ ）A.34 C. 32 D. 7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为060，则|b a 3-|=（ ）A. C. D. 8．设数列{n a }是等差数列，且2158,5a a =-=，n S 是数列{n a }的前n 项和，则（ ） A.910S S < B. 910S S = C. 1110S S < D. 1110S S =9．设2,[0,1],()2,[1,2],x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩函数图象与x 轴围成封闭区域的面积为（ ）A.34 B.45 C. 56 D. 6710．a ，b 是正实数，则2211(2)(2)a b ba+++的最小值是（ ）A.8B.4C.32D.1611．若点P 是∆ABC 的外心，且0,PA PB PC λ++=0120,C ∠=则实数λ=（ ）A.1B.2C.-1D.-212．已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是（ ）A.（-1,0）B.（0,1）C.(-1）D.（）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2012届北京市通州区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
北京市通州区2012届高三上学期期末摸底考试数学（理科）试卷2012年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上．1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |1,2B x x x =<->或，那么A B 等于 A ．{}1x x <-B ．{}1x x <C ．{}|1,2x x x <->或D ．{} |1,2x x x <>或 2．复数11ii-+等于 A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于 A ．()4,0 B ．()0,4 C ．()4,8-D ．()4,8-4．已知右图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于A ．30B ．20C ．15D ．105．已知,a b ∈R ，那么“1122log log a b >”是 “33ab<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如右图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B1.414=⋅⋅⋅1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1） A ．70.7m B ．78.7m C ．86.6mD ．90.6m7．过圆()()22125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是 A ．270x y --=B ．250x y +-=C ．210x y +-=D ．250x y --=8．当()3,4x ∈时，不等式()()2log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．[)2,+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上.9．在二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是___________.10．已知x ，y 满足不等式组 3,1,30,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤ 那么2z x y =+的最小值是___________.11．如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，4PA =，圆O的半径是那么__________.PB =12．已知数列{n a } 是公差为正数的等差数列，且121a a +=，2310a a ⋅=，那么数列{n a }的前5项的和5__________.S =13．下面四个命题：①已知函数(),0,0,x f x x =<≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；③已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-；④在极坐标系中，圆4cos ρθ=-的圆心的直角坐标是()2,0-. 其中正确的是___________________.14．直线l 与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于不同的两点M ，N ，过点M ，N 作x 轴，直线l 的斜率存在且不为0，那么直线l 的斜率是___________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数()()2sin 22cos 1f x x x =π-+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16．（本小题共13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABEF ，四边形ABEF是梯形，90EFA FAB ∠=∠=︒，EF FA ==112AD AB ==，点M 是DF 的中点. （Ⅰ）求证：//BF 平面AMC ； （Ⅱ）求二面角B AC E --的余弦值.17．（本小题共13分）有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，…，7）. （Ⅰ）甲选手的演出序号是1的概率；（Ⅱ）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（Ⅲ）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数X 的分布列与期望.18．（本小题共13分）已知函数x ax x f ln )(=，在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）求函数()f x 在[](),20m m m +>上的最小值.19．（本小题共14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a ++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和， 且2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，求实数m 取值范围.20．（本小题共14分）已知抛物线()2:0C x ay a =>，斜率为k 的直线l 经过抛物线的焦点F ，交抛物线于A ，B两点，且抛物线上一点)(1)M m m >到点F 的距离是3.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若k > 0，且3AF FB =，求k 的值.（Ⅲ）过A ，B 两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q ，求证：0AB FQ =. (考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)摸底考试参考答案2012、1 一、选择题1． D 2． B 3．C 4． D 5． A 6．A 7．B 8． B二、填空题9． 6 10．3 11．2 12．2513．②，④ 14．2± 三、解答题15． 解：（Ⅰ）因为()()2sin 22cos 1f x x x π=-+-，所以()sin 2cos 2f x x x =+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ………………………….. 3分所以2.2πωπ== ………………………….. 5分 又因为1sin 214x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x ≤所以函数()f x 的最小正周期是π ………………………….. 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为344x ππ≤≤， 所以372444x πππ≤+≤. ………………………….. 9分 所以当3244x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 有最大值是1；当3242x ππ+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是. ………………………….. 13分16． （Ⅰ）证明：连结BD ，交AC 于点G ，∴点G 是BD 的中点. ∵点M 是DF 的中点，∴MG 是BDF ∆的中位线. ∴//.BF MG ∵MG ⊂平面AMC ，BF ⊄平面AMC ，∴//BF 平面AMC . ………………………….. 5分（Ⅱ）解：以A 为原点，以AF ，AB ，AD 分别为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系. ………………………….. 4分∴()0,0,0A ，()0,2,1C ，()1,1,0E ，()1,0,0F ，∴()0,2,1AC = ，()1,1,0AE = ，()1,0,0AF =. 设平面ACE 的法向量(),,n x y z =，∴0n AC ⋅= ，0n AE ⋅=.∴ 20,0.y z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =，则1y =-，2z =.∴()1,1,2n =-.又AF是平面ACB 的法向量，∴cos ,n AFn AF n AF⋅=⋅== 如图所示，二面角B AC E --为锐角.∴二面角B AC E --………………………….. 13分 17．解：（Ⅰ）设A 表示“甲选手的演出序号是1”， 所以()1.7P A =所以甲选手的演出序号是1的概率为1.7………………………….. 3分 （Ⅱ）设B 表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，B 表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”. 所以()()2327611.7A PB P B A =-=-=所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为6.7………………………….. 6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， ………………………….. 7分所以()2712207P X A ===，()27105121P X A ===，()2784221P X A ===， ()276137P X A ===，()2742421P X A ===，()2721521P X A ===. ………………………….. 10分所以X 的分布列为X0 1 2 3 4 5P27 521 421 17 221 121………………………….. 12分 所以2541210123457212172121EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5.3=………………………….. 13分18．解：（Ⅰ）因为函数x ax x f ln )(=，所以定义域为()0,+∞，()'()ln 1f x a x =+. (2)分因为在点))(,(e f e 处的切线与直线40x y -=平行，所以'()4f e =，即()ln 14a e +=. (4)分 所以 2.a =所以()2ln .f x x x = ………………………….. 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）()'()2ln 1f x x =+，令'()0f x =，得1x e=. 当1(0,)x e∈时，'()0f x <，所以函数()f x 在1(0,)e上单调递减；当),1(+∞∈e x 时，0)('>x f ，所以函数),1()(+∞e x f 在上单调递增.所以①若()1,2m m e ∈+时，函数()f x 的最小值是12()f e e =-；②若12m m e≤<+时，函数()[,2]f x m m +在上单调递增，所以函数()f x 的最小值是()2ln .f m m m = ………………………….. 13分19．解：（Ⅰ）因为()123n n S n a a =+，11S a a ==，所以0.a = ………………………….. 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2nn na S =， 所以()111.2n n n a S +++=所以()1111.22n n n n n n a na a S S ++++=-=-所以()11.n n n a na +-= 所以当2n ≥时，1.1n n a na n +=- 所以11n n a n a n +=-112n n a n a n --=-，，⋅⋅⋅，3221a a =， 所以12.n a n a += 所以()21n a n =-，2n ≥. 因为10a a ==满足上式，所以()21n a n =-，n N *∈. ………………………….. 6分（Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭………………………….. 7分又12b =，所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ 1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭………………………….. 9分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭311n n +=+ 所以31.1n n T n +=+ ………………………….. 10分因为2222n n n a T m a ++⋅<⋅+对一切n N *∈都成立，即()()231214121n n m n n ++⋅<⋅+++对一切n N *∈都成立. 所以2331..122122n m n n n n>=++++. ………………………….. 12分因为12n n +≥，当且仅当1n n =，即1n =时等号成立. 所以124n n ++≥.所以11142n n ≤++所以3.8m > (14)分20．解：（Ⅰ）因为点()M m 在抛物线()2:0C x ay a =>上，所以8am =.因为点()M m 到抛物线的焦点F 的距离是3，所以点()M m 到抛物线的准线4ay =-的距离是3. 所以 3.4am += 所以8 3.4aa +=所以4a =，或8.a = ………………………….. 3分因为1m >，所以4a =. ………………………….. 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知24.x y =因为直线l 经过点()0,1T ，3AF FB =所以直线l 的斜率一定存在，设直线l 的斜率是k .所以直线l 的方程是1y kx =+，即10kx y -+=.所以联立方程组210,4,kx y x y -+=⎧⎨=⎩ 消去y ，得2440.x kx --= ………………………….. 5分所以1,22x k ==±因为3AF FB = ，且0k >所以()232.k k +=⋅ ………………………….. 7分2.k = 所以21.3k =所以k =所以k………………………….. 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，方程组210,4,kx y xy -+=⎧⎨=⎩ 得2440.x kx --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，所以()()()21212121,,.AB x x y y x x k x x =--=-- …………………………..9分由24x y =，所以21.4y x =所以1.2y x '= 所以切线QA 的方程是()11112y y x x x -=-， 切线QB 的方程是()2221.2y y x x x -=- ………………………….. 11分所以点Q 的坐标是()2,1k -，所以()2,2.FQ k =-所以0.AB FQ ⋅= ………………………….. 14分。
精品解析：北京市西城区2012届第一学期期末考试数学(理)试题解析(教师版)
高三数学（理科） 2012.1【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。
所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。
如选择题1，2,3，4，9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题6,7.11.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,12.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如填空题14和解答题20等；（ 6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
如20题。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+（B ）1i 22-（C ）1i 22-+（D ）1i 22--【答案】A 【解析】i i(1-i)1,1i (1i)(1-i)2i+==∴++选A. 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）（A ）2cos ρθ=（B ）2sin ρθ=（C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-【答案】B【解析】222220(1)1,x y y x y +-=⇒+-=该方程表示圆心为（0,1）半径为1的圆，如图，在圆上任取一点(,),M ρθ则2sin ,2sin .OM θρθ=∴=3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)-xyMO【答案】D【解析】(3,1)= ，a (0,2)=-b ，2(3,3)3(1,3)(1,3).k ∴+=-=--=∴-可以为a b c,c4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）（A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15- 【答案】C【解析】执行程序框图可得：1,1;2,3;3,6;4,10;5,i S i S i S i S i ==-====-=== 程序结束，输出10.S =5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4]（B ）[1,5]（C ）4[,4]5（D ）4[,5]5【答案】D【解析】作出不等式组所表示的平面区域，因原点到直线22=0x y +-的最短距离为220022,52+1⨯+-=此时可得22x y +的最小值为4;5点（1,2）到原点的距离最大为5,此时可得22x y +的最大值为5,故选D 。
2012届下学期高三数学理第一次月考 (含答案)
学校班级 姓名 考场 考号装订线左视图主视图桃李中学2011—2012学年度下学期第一次月考高三数学(理)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．．1.已知全集是实数集R ，M ={x R ∈12x ≤+},N={1,2,3,4},则（C R M ）⋂N 等于 （ B ）A ．{4} B.{3, 4} C.{2, 3, 4} D.{1, 2, 3, 4} 2．已知2πθπ<<,3sin()25πθ+=-，则tan()πθ-的值为（ B ）A ．34B ．43C ．34- D ．43-3．已知△ABC ，D 为AB 边上一点，若12,,3A D DBCD C A C B λλ==+=则（ A ）Ａ．23Ｂ．13Ｃ．13-Ｄ． 23-4．设变量x ，y 满足约束条件101020x x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则4z x y =+的最大值为（ C ）A ．2B ．３C ．72D ．４5. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ D ） A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④6．设函数)0()(2≠+=a c axx f ,若1000()()01f x dx f x x =≤≤⎰,则0x 的值为( D )A ．21 B ．43 C ．23 D ．337．某几何体的主视图与左视图如图所示，则该几何体的俯视图可以是（ C ）A.①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④8．如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 （ C ） A ．10 B ．12 C ．13 D ．15②①③④9．若θ是钝角,则满足等式22log (2)sin 3cos x x θθ-+=-的实数x 的取值范围是（ D ）A ．(1,2)-B.(1,0)(1,2)- C [0,1] D ．[1,0)(1,2]-10.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >，且对任意的实数x ，y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+恒成立.若数列{n a }满足1(0)a f =，且1()n f a +=*1()(2)n n N f a ∈--，则2010a 的值为 （ D ）A.4016B.4017C.4018D.4019 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 55-12． 44(1)(1)x x -+的展开式2x 的系数是 －413. 已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位后与函数()sin 6g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像重合，则正数ω的最小值为 23214．已知正项等比数列}{n a 满足5672a a a +=，若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =，则nm 41+的最小值为2315.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈存在唯一的2x D ∈，使()()122f x f x C+=（C为常数）成立，则称函数()f x 在D 上的均值为C 。
北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习数学理试题
北京市朝阳区2012届高三年级第二次综合练习数学（理）试题（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集R U =，集合{}21x A x =>，{}2340B x x x =-->，则U A B ð=A ．{}04x x ≤< B ．{}04x x <≤C ．{}10x x -≤≤D ．{}14x x -≤≤2．复数z 满足等式(2i)i z -⋅=，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ． 第四象限3．已知双曲线2215x y m -=（0m >）的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的离心率为A ．6B ．2C ．32D ．344．在△ABC 中， 2AB = ，3AC = ，0AB AC ⋅< ，且△ABC 的面积为32，则BAC∠等于A ．60或120B ．120C ．150D ．30 或1505．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,4x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4ρθπ=+，则直线l 和曲线C 的公共点有A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个6．下列命题：:p 函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期是π；:q 已知向量(1)λ，=a ，2(1),λ=-b ，(11)-，=c ，则(+)//a b c 的充要条件是1λ=-；:r 若111adx =x⎰（1a >），则e =a ． 其中所有的真命题是A ．rB ．,p qC ．,q rD ．,p r7．直线y x =与函数22,,()42,x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[2,)+∞D ．(,1]-∞-8．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是A ．1B ．2CD第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．二项式25(+ax 展开式中的常数项为5，则实数a =_______．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果是_______．11．若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 ．12．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD B D =，E 为AD 的中点，连接CE并延长交圆O 于F．若CD =AB =_______，EF =_________．13．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x （x *∈N ）件．当20x ≤时，年销售总收入为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y （万元）与x （件）的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最大．（年利润=年销售总收入-年总投资）14．在给出的数表中，第i 行第j 列的数记为,i j a ，且满足11,,12,j j i a a i -==，1,1,1,(,)N i j i j i j a a a i j *+++=+∈，则此数表中的第5行第3列的数是 ；记第3行的 数3，5，8，13，22， ⋅⋅⋅ 为数列{}n b ，则数列{}n b 的通项公式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上． 15．（本小题满分13分） 已知函数()2cos cos f x x x x m =-+()R m ∈的图象过点π(,0)12M ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若co s +c o s =2c o s c B b C a B，求()f A 的取值范围．16．（本小题满分13分） 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4第1行 1 2 4 8 … 第2行 2 3 5 9 … 第3行 3 5 8 13 …的4个白球，从中任意取出3个球． （Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率； （Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率； （Ⅲ）记X 为取出的3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望．17．（本小题满分14分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，⊥EA 平面ABCD ，//EF AB ， =4,=2,=1AB AE EF ．（Ⅰ）若点M 在线段AC 上，且满足14CM CA =, 求证：//EM 平面FBC ； （Ⅱ）求证：⊥AF 平面EBC ； （Ⅲ）求二面角--A FB D 的余弦值．18．（本小题满分14分） 已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤．19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，已知点(A，B ，E 为动点，且直线EA 与直线EB 的斜率之积为12-． （Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M ，N ．若点P 在y 轴上，且<满足PM PN =，求点P 的纵坐标的取值范围．ECBDMAF20．（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a (,2)n n ∈≥*N 满足01==n a a ，且当n k ≤≤2()*N k ∈时， 1)(21=--k k a a ，令1()nn i i S A a ==∑．（Ⅰ）写出)(5A S 的所有可能的值；（Ⅱ）求)(n A S 的最大值；（Ⅲ）是否存在数列n A ，使得2(3)()4n n S A -=？若存在，求出数列n A ；若不存在，说明理由．数学答案（理工类）一、选择题：9. 1 10. 13 11.1212. 3 2**32100,020,,160,20,,N N x x x x y x x x ⎧-+-<≤∈=⎨->∈⎩16 14. 16，121n n a n -=++三、解答题：15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()12(cos 21)22f x x x m =-++π1sin(2)62x m =--+．……3分因为点π(,0)12M 在函数()f x 的图象上， 所以ππ1sin(2)01262m ⋅--+=， 解得12m =. ……5分(Ⅱ) 因为cos +cos =2cos c B b C a B ，所以sin cos sin cos C B B C +=2sin cos A B ，所以sin(+)2sin cos B C A B =，即sin 2sin cos A A B =. ……7分 又因为(0,A ∈π)，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =. ……8分 又因为(0,B ∈π)，所以π3B =，2π3A C +=. ……10分所以2π03A <<， ππ7π2666A -<-<，所以πsin(2)6A -∈1(,1]2-.…12分所以()f A 的取值范围是1(,1]2-. ……13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数”为事件A ，则39325()84P A C +==. 答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率为584.…4分 （Ⅱ）设“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则114739281()843C C P B C ===.答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为13. ……8分 （Ⅲ）X 的取值为2,3,4,5.12212222391(2)21C C C C P X C +===， 12212424394(3)21C C C C P X C +===， 12212626393(4)7C C C C P X C +===， 1218391(5)3C C P X C ===. ……11分所以X 的分布列为X 的数学期望234521217321EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……13分 17. （本小题满分14分）证明：（Ⅰ）过M 作MN BC ⊥于N ，连结FN ，则MN //AB ，又14CM AC =，所以14MN AB =. 又EF //AB 且14EF AB =， 所以EF //MN ，且EF MN =， 所以四边形EFNM 为平行四边形， 所以EM //FN .又FN ⊂平面FBC ，EM ⊄平面FBC ，所以//EM 平面FBC . ……4分 （Ⅱ）因为⊥EA 平面ABCD ，⊥AB AD ，故 以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-A xyz .由已知可得(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),A B C D (0,0,2),(1,0,2)E F .显然=(1,0,2),=(0,4,0),=(4,0,-2)AF BC EB .则=0,=0⋅⋅AF BC AF EB ， 所以,⊥⊥ AF BC AF EB .即,⊥⊥AF BC AF EB ，故⊥AF 平面EBC .（Ⅲ）因为EF//AB ，所以EF 与AB 确定平面EABF ，由已知得，=(0,4,0),=(3,0,-2) BC FB ，=(4,4,0)-BD . ……9分 因为⊥EA 平面ABCD ，所以⊥EA BC . 由已知可得⊥AB BC 且= EA AB A ，所以⊥BC 平面ABF ，故BC 是平面ABF 的一个法向量. 设平面DFB 的一个法向量是()n =x,y,z .由0,0,n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ BD FB 得440,320,-+=⎧⎨-=⎩x y x z即32=⎧⎪⎨=⎪⎩y x,z x, E DCMAFBN令2=x ，则(2,2,3)n =.所以cos <,n n n ⋅>==⋅BC BC BC 由题意知二面角A-FB-D 锐角， 故二面角A-FB-D. ……14分 18. （本小题满分14分）解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >.()()22210a a f x x x x'=-+>.根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=，解得1a =-或32a =. ……3分 （II ）()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x +--+'=-+==>.（1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<. 所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减. （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. ……9分 （III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=---.2()ln(2)3ln(2)22g a a a a a -'=-+-=--- ，令()0g a '=，得21e 2a =-.当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：2e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点. 所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222最大值g a g =-=--⨯---2222131e ln e e e 222=-+=.所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立. ……14分19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y 12=-，整理得221(2x y x +=≠.所以动点E 的轨迹C 的方程为221(2x y x +=≠. ………5分 （II ）当直线l 的斜率不存在时，满足条件的点P 的纵坐标为0. ………6分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212x y +=并整理得， 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 2880k ∆=+>.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421k x x k +=+， 21222221k x x k -=+.设MN 的中点为Q ，则22221Q k x k =+，2(1)21QQ k y k x k =-=-+， 所以2222(,)2121k kQ k k -++. ………9分由题意可知0k ≠，又直线MN 的垂直平分线的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++.令0x =解得211212P k y k k k==++. .………10分当0k >时，因为12k k +≥0P y <≤=； 当0k <时，因为12k k +≤-04P y >≥=- .………12分 综上所述，点P纵坐标的取值范围是[]44-. .………13分 20．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题设，满足条件的数列5A 的所有可能情况有： （1）01210,,,,.此时5()=4S A ；（2）01010,,,,.此时5()=2S A ； （3）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（4）01210,,,,.---此时5()=4S A -； （5）01010,,,,.-此时5()=0S A ；（6）01010,,,,.--此时5()=2S A -； 所以，)(5A S 的所有可能的值为：4，2，0，2-，4-． ……4分 （Ⅱ）由1)(21=--k k a a ，可设11k k k a a c ---=，则11k c -=或11k c -=-（n k ≤≤2，k ∈*N ），因为11n n n a a c ---=，所以 11221n n n n n n a a c a c c -----=+=++11221n n a c c c c --==+++++ ．因为01==n a a ，所以1210n c c c -+++= ，且n 为奇数，121,,,n c c c - 是由21-n 个1和21-n 个1-构成的数列所以112121()()()n n S A c c c c c c -=+++++++1221(1)(2)2n n n c n c c c --=-+-+++ ．则当121,,,n c c c - 的前21-n 项取1，后21-n 项取1-时)(n A S 最大， 此时)(n A S 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++ 2(1)4n -=． 证明如下：假设121,,,n c c c - 的前21-n 项中恰有t 项12,,t m m m c c c 取1-，则 121,,,n c c c - 的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，其中112n t -≤≤， 112i n m -≤≤，112i n n n -<≤-，1,2,,i t = ． 所以()n S A 1211212211(1)(2)222n n n n n n n c n c c c c c -+--+-=-+-++++++ 11(1)(2)(21)22n n n n +-=-+-++-+++ 122[()()()]t n m n m n m --+-++- 122[()()()]t n n n n n n +-+-++-221(1)(1)2()44ti i i n n n m =--=--<∑． 所以)(n A S 的最大值为2(1)4n -． ……9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，如果121,,,n c c c - 的前21-n 项中恰有t 项12,,,t m m m c c c 取1-，121,,,n c c c - 的后21-n 项中恰有t 项12,,,t n n n c c c 取1，则21(1)()2()4tn i i i n S A n m =-=--∑，若2(3)()4n n S A -=，则122()ti i i n n m =-=-∑，因为n 是奇数，所以2-n 是奇数，而12()tiii n m =-∑是偶数，因此不存在数列nA ，使得4)3()(2-=n A S n ． ……13分。
2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷(理科)(附答案解析)
2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数10i1−2i =( ) A.−4+2i B.4−2iC.2−4iD.2+4i2. 已知平面向量a →，b →满足a →⋅(a →+b →)=3，且|a →|=2，|b →|=1，则向量a →与b →的夹角为（ ） A.π6 B.π3C.2π3D.5π63. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n −1(n ∈N ∗)，则a 5＝（ ） A.−16 B.16 C.31 D.324. 已知平面α，直线a ，b ，l ，且a ⊂α，b ⊂α，则“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定．技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A.16 B.24 C.32 D.486. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，f(x +2)=f(x)．当0≤x ≤1时，f(x)=x 2，若直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( ) A.0 B.0或−12C.−14或−12D.0或−147. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ） A.2B.6.5C.8.8D.108. 已知点集A ={(x, y)|x 2+y 2−4x −8y +16≤0}，B ={(x, y)|y ≥|x −m|+4, m 是常数}，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为M ，N ．若点D(m, 4)在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是（ ） A.1 B.2 C.2√2 D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.已知双曲线的方程为x 23−y 2=1，则此双曲线的离心率为________，其焦点到渐近线的距离为________．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是________．在极坐标系中，曲线ρ=2√3sin θ和ρcos θ＝1相交于点A ，B ，则线段AB 的中点E 到极点的距离是________．已知函数f(x)={(12)x+34,x≥2log2x,0<x<2若函数g(x)＝f(x)−k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是________．已知△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4．一个圆心为M，半径为14的圆在△ABC内，沿着△ABC的边滚动一周回到原位．在滚动过程中，圆M至少与△ABC的一边相切，则点M到△ABC顶点的最短距离是________，点M的运动轨迹的周长是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.已知函数f(x)=cos(x−π4)．（1）若f(α)=7√210，求sin2α的值；（2）设g(x)=f(x)⋅f(x+π2)，求函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值和最小值．某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．(Ⅰ)下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a，b的值；(Ⅲ)在(Ⅱ)中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X，求X的分布列与数学期望．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD＝90∘，EB⊥平面ABCD，EF // AB，AB＝2，EB=√3,EF=1，BC=√13，且M是BD的中点．(Ⅰ)求证：EM // 平面ADF；(Ⅱ)求二面角D−AF−B的大小；(Ⅲ)在线段EB上是否存在一点P，使得CP与AF所成的角为30∘？若存在，求出BP的长度；若不存在，请说明理由．设函数f(x)=e axx2+1,a∈R．(Ⅰ)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)单调区间．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(−√2,0)，F2(√2,0)．点M(1, 0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点N的坐标为(3, 2)，点P的坐标为(m, n)(m≠3)．过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2，试求m，n满足的关系式．已知各项均为非负整数的数列A0:a0，a1，…，a n(n∈N∗)，满足a0=0，a1+...+a n=n．若存在最小的正整数k，使得a k=k(k≥1)，则可定义变换T，变换T将数列A0变为T(A0)：a0+1，a1+1，…，a k−1+1，0，a k+1，…，a n．设A i+1=T(A i)，i=0，1，2…．（1）若数列A0:0，1，1，3，0，0，试写出数列A5；若数列A4:4，0，0，0，0，试写出数列A0；（2）证明存在数列A0，经过有限次T变换，可将数列A0变为数列n,0,0,…,0⏟n个；（3）若数列A0经过有限次T变换，可变为数列n,0,0,…,0⏟n个．设S m=a m+a m+1+...+a n，m=1，2，…，n，求证a m=S m−[S mm+1](m+1)，其中[S mm+1]表示不超过S mm+1的最大整数．参考答案与试题解析2012年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i 的幂运算性质求出结果． 【解答】复数10i1−2i =10i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−20+10i5=−4+2i ，2.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的运算 【解析】根据向量数量积的性质，得到a →2=|a|→2=4，代入已知等式得a →⋅b →=−1．设a →与b →的夹角为α，结合向量数量积的定义和|a|→=2，|b|→=1，算出cos α=−12，最后根据两个向量夹角的范围，可得a →与b →夹角的大小． 【解答】解：∵ |a|→=2，∴ a →2=4 又∵ a →⋅(a →+b →)=3，∴ a →2+a →⋅b →=4+a →⋅b →=3，得a →⋅b →=−1， 设a →与b →的夹角为α，则a →⋅b →=|a|→|b|→cos α=−1，即2×1×cos α=−1，得cos α=−12 ∵ α∈[0, π]， ∴ α=2π3故选C 3. 【答案】B【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】先根据a 1＝S 1，a n ＝S n −S n−1(n ≥2)求出数列{a n }的通项公式，再将n ＝5代入可求出所求． 【解答】当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1−1，∴ a 1＝1．当n >1时，S n ＝2a n −1，∴ S n−1＝2a n−1−1， ∴ S n −S n−1＝2a n −2a n−1， ∴ a n ＝2a n −2a n−1， ∴ a n ＝2a n−1， ∴ a nan−1=2，∴ {a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴ a n ＝2n−1，n ∈N ∗． ∴ a 5＝25−1＝16． 4.【答案】 B【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 充分条件、必要条件、充要条件【解析】题目给出了平面内的两条直线a 、b ，根据平面外的直线l 与a 、b 垂直，断定直线l 和平面的位置关系，a ⊂α，b ⊂α，直线a 、b 的位置关系不唯一． 【解答】a ⊂α，b ⊂α，直线a 、b 的位置关系可能平行，也可能相交．若a 与b 相交，则由l ⊥a 且l ⊥b 能得到l ⊥α，否则不一定，所以，“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的不充分条件；反之，根据线面垂直的定义，若l ⊥α，则l 垂直于平面α内的所有直线，所以“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要条件． 所以，“l ⊥a 且l ⊥b ”是“l ⊥α”的必要不充分条件． 5. 【答案】 C【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分析可得若恰好3次就结束测试，必有前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，先分析第3次测出次品情况数目，再分析前2次测试，即一次正品、1次次品的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案． 【解答】根据题意，若恰好3次就结束测试，则前2次测试中测出1件次品，第3次测出第2件次品，第3次测试的是次品，而共有2件次品，则有C 21＝2种情况，前2次测试，即一次正品、1次次品，有C 81×A 22＝16种情况， 则恰好3次就结束测试共有2×16＝32种情况， 6.【答案】 D【考点】根的存在性及根的个数判断 函数奇偶性的性质【解析】先作出函数f(x)在[0, 2]上的图象，再分类讨论，通过数形结合与方程思想的应用即可解决问题． 【解答】解：∵ f(x)是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2， ∴ 当−1≤x ≤0时，0≤−x ≤1，f(−x)=(−x)2=x 2=f(x)， 又f(x +2)=f(x)，∴ f(x)是周期为2的函数.又直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：当a =0时，直线y =x +a 变为直线l 1，其方程为：y =x ，显然，l 1与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点；当a ≠0时，直线y =x +a 与函数y =f(x)的图象在[0, 2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y =x +a 与函数y =f(x)相切，切点的横坐标x 0∈[0, 1]． 由{y =x +a,y =x 2,得：x 2−x −a =0，由Δ=1+4a =0，得a =−14，此时，x 0=x =12∈[0, 1]． 综上所述，a =−14或0. 故选D ． 7. 【答案】 D【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】先确定商场该年对该商品征收的总管理费的函数解析式，再根据第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，建立不等式，即可求得x 的最大值． 【解答】解：依题意，第二年该商品年销售量为(11.8−x)万件，年销售收入为(70+70⋅x%1−x%)(11.8−x)万元，则商场该年对该商品征收的总管理费为(70+70⋅x%1−x%)(11.8−x)x%（万元）．故所求函数为：y =7100−x(118−10x)x(x >0)．令7100−x (118−10x)x ≥14，化简得x 2−12x +20≤0，即(x −2)(x −10)≤0，解得2≤x ≤10． ∴ x 的最大值是10故选D ． 8. 【答案】 B【考点】求线性目标函数的最值 【解析】先确定点D 在直线y =4上，集合A 表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B 表示的平面区域是图中直角的内部，由此可得结论． 【解答】解：由题意，点D 在直线y =4上，集合A 表示的平面区域是图中圆O′的内部，集合B 表示的平面区域是图中直角的内部当D 运动到O′时，△DMN 的面积的最大值，此时三角形是一个直角边为2的等腰直角三角形， 所以面积为2故选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.【答案】2√33,1 【考点】 双曲线的特性 【解析】由双曲线的方程为x 23−y 2=1，可得a =√3，b =1，c =2，由此求得离心率以及焦点到渐近线的距离． 【解答】解：由双曲线的方程为x 23−y 2=1，可得a =√3，b =1，c =2，则此双曲线的离心率为ca =√3=2√33．故渐近线方程为y =√3，即x ±√3y =0，焦点为(±2, 0)，故一个焦点(2, 0)到渐近线x−√3y=0的距离等于√1+3=1，故答案为2√33，1．【答案】32【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图，我们可以判断出几何体的形状，进而求出几何体的底面面积和高后，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥且棱锥的底面是一个以(2+1)＝3为底，以1为高的三角形棱锥的高为3故棱锥的体积V=13⋅12(2+1)⋅1⋅3=32【答案】3【考点】程序框图【解析】由图知运算规则是求和，共进行3次循环，由此可得结论．【解答】解：由图知运算规则是求和：S=11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=34．故答案为：34.【答案】2【考点】圆的极坐标方程极坐标刻画点的位置【解析】先将曲线ρ=2√3sinθ方程的两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再将ρcosθ＝1也化成极坐标方程，后利用直角坐标方程进行求解即可．【解答】将曲线ρ=2√3sinθ和p cosθ＝1都化为直角坐标方程为x2+y2−2√3y＝0和x＝1，将x＝1代入x2+y2−2√3y＝0，得：y2−2√3y+1＝0，设其两个实根分别为y1，y2，则线段AB的中点E的纵坐标y=y1+y22=2√32=√3，∴线段AB的中点E(1, √3)到极点的距离是2．【答案】(34, 1)【考点】分段函数的应用【解析】由题意可得函数f(x)的图象与直线y＝k有二个不同的交点，结合图象求出实数k的取值范围．【解答】由题意可得函数f(x)的图象与直线y＝k有二个不同的交点，如图所示：故实数k的取值范围是(34, 1)，故答案为：(34, 1)．【答案】√24,9【考点】轨迹方程【解析】由题意，当圆与AC，BC都相切时，M到C的距离最小；设点M的运动轨迹的周长为C，则点M的运动轨迹是一直角三角形，且与△ABC相似，由此可得结论．【解答】解：由题意，当圆与AC，BC都相切时，M到C的距离最小，因为圆的半径为14，∠C=90∘，所以MC=√24设点M的运动轨迹的周长为C，则点M的运动轨迹是一直角三角形，且与△ABC相似，如图，sin∠B=sin∠B1DE=14B1D=35∴B1D=512，∴B1C1=113−14−512=3∴C12=34，∴C=9故答案为：√24，9．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.【答案】解：（1）∵ f(α)=cos (α−π4)=7√210， ∴√22(cos α+sin α)=7√210，得 cos α+sin α=75．两边平方得，sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=4925， 即1+sin 2α=4925，可得sin 2α=2425．…（2）g(x)=f(x)⋅f(x +π2)=cos (x −π4)⋅cos (x +π4) =√22(cos x +sin x)⋅√22(cos x −sin x) =12(cos 2x −sin 2x)=12cos 2x ．… 当x ∈[−π6，π3]时，2x ∈[−π3，2π3]．所以，当x =0时，g(x)的最大值为12；当x =π3时，g(x)的最小值为−14． 即函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值为g(0)=12，最小值为g(π3)=−14．… 【考点】求二倍角的正弦两角和与差的余弦公式 三角函数的最值 【解析】（1）根据函数f(x)表达式，结合两角差的余弦公式化简整理，得cos α+sin α=75．再将两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角的正弦公式，可得sin 2α的值；（2）将f(x)表达式代入，利用两角和与差的余弦公式展开，并用二倍角的余弦公式化简整理，得g(x)=12cos 2x ．最后结合余弦函数的图象与性质，可得到函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值和最小值． 【解答】解：（1）∵ f(α)=cos (α−π4)=7√210， ∴√22(cos α+sin α)=7√210，得 cos α+sin α=75．两边平方得，sin 2α+2sin αcos α+cos 2α=4925， 即1+sin 2α=4925，可得sin 2α=2425．…（2）g(x)=f(x)⋅f(x +π2)=cos (x −π4)⋅cos (x +π4) =√22(cos x +sin x)⋅√22(cos x −sin x) =12(cos 2x −sin 2x)=12cos 2x ．…当x ∈[−π6，π3]时，2x ∈[−π3，2π3]．所以，当x =0时，g(x)的最大值为12；当x =π3时，g(x)的最小值为−14． 即函数g(x)在区间[−π6，π3]上的最大值为g(0)=12，最小值为g(π3)=−14．… 【答案】（本小题满分1（1）依题意，a ＝0.04×5×1000＝200，b ＝0.02×5×1000＝100． （2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40=350+300+1001000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名．(Ⅲ)依题意，X 的取值为0，1，2，P(X =0)=C 102C 402=352，P(X =1)=C 101C301C 402=513，P(X =2)=C 302C 402=2952，所以X 的分布列为EX =0×352+1×513+2×2952=32，所以X 的数学期望为32．【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差 【解析】（I ）根据频数＝频率×样本容量，频率=×组距，可求出a 与b 的值；(Ⅱ)设其中成绩为优秀的学生人数为x ，根据40人中优秀的比例等于1000人中优秀的比例，建立等式，解之即可；(Ⅲ)X 的取值为0，1，2，然后利用排列组合的知识求出相应的概率，最后利用数学期望公式解之即可． 【解答】（本小题满分1（1）依题意，a ＝0.04×5×1000＝200，b ＝0.02×5×1000＝100． （2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则x 40=350+300+1001000，解得：x ＝30，即其中成绩为优秀的学生人数为30名． (Ⅲ)依题意，X 的取值为0，1，2，P(X =0)=C 102C 402=352，P(X =1)=C 101C301C 402=513，P(X =2)=C 302C 402=2952，所以X 的分布列为EX =0×352+1×513+2×2952=32，所以X 的数学期望为32． 【答案】（1）证明：取AD 的中点N ，连接MN ，NF ．在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB,MN =12AB ，又因为EF ∥AB,EF =12AB ，所以MN // EF 且MN ＝EF ．所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM // FN ．又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ， 故EM // 平面ADF ．解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系B −xyz ．由已知可得 B(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，D(3, 0, 0)，C(3,−2,0),E(0,0,√3),F(0,1,√3),M(32,0,0)(1)EM →=(32,0,−√3),AD →=(3,−2,0)，AF →=(0,−1,√3)．设平面ADF 的一个法向量是n →=(x, y, z)．由{n →⋅AD →=0n →⋅AF →=0 得{3x −2y =0−y +√3z =0 令y ＝3，则n →=(2,3,√3)．又因为EM →⋅n →=(32,0,−√3)⋅(2,3,√3)=3+0−3=0，所以EM →⊥n →，又EM ⊄平面ADF ，所以EM // 平面ADF ． （2）由(Ⅰ)可知平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)． 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB ⊥BD ． 又因为AB ⊥BD ，所以BD ⊥平面EBAF ． 故BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量． 所以cos <BD →,n →>=BD →⋅n→|BD →|⋅|n →|=12，又二面角D −AF −B 为锐角，故二面角D −AF −B 的大小为60∘．(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘． 不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)． 所以cos <PC →,AF →>=|PC →⋅AF →||PC →|⋅|AF →|=√3t|2√t 2+13， 由题意得√3t 2√t 2+13=√32，化简得−4√3t =35，解得t =4√3<0．所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘． 【考点】异面直线及其所成的角 直线与平面平行 二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)证明EM // 平面ADF ，利用线面平行的判定，证明EM 平行于平面ADF 中一条直线即可；也可建立如空间直角坐标系，求出平面ADF 的一个法向量，证明EM →⊥n →；(Ⅱ)平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)，BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角D −AF −B 的大小；(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘，不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)，利用向量的夹角公式，求出t 的值，即可得到结论． 【解答】（1）证明：取AD 的中点N ，连接MN ，NF ．在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB,MN =12AB ，又因为EF ∥AB,EF =12AB ，所以MN // EF 且MN ＝EF ．所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM // FN ．又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ， 故EM // 平面ADF ．解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系B −xyz ． 由已知可得 B(0, 0, 0)，A(0, 2, 0)，D(3, 0, 0)，C(3,−2,0),E(0,0,√3),F(0,1,√3),M(32,0,0)(1)EM →=(32,0,−√3),AD →=(3,−2,0)，AF →=(0,−1,√3)．设平面ADF 的一个法向量是n →=(x, y, z)． 由{n →⋅AD →=0n →⋅AF →=0 得{3x −2y =0−y +√3z =0 令y ＝3，则n →=(2,3,√3)．又因为EM →⋅n →=(32,0,−√3)⋅(2,3,√3)=3+0−3=0，所以EM →⊥n →，又EM ⊄平面ADF ，所以EM // 平面ADF ． （2）由(Ⅰ)可知平面ADF 的一个法向量是n →=(2,3,√3)． 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB ⊥BD ． 又因为AB ⊥BD ，所以BD ⊥平面EBAF ． 故BD →=(3,0,0)是平面EBAF 的一个法向量． 所以cos <BD →,n →>=BD →⋅n→|BD →|⋅|n →|=12，又二面角D −AF −B 为锐角，故二面角D −AF −B 的大小为60∘．(Ⅲ)假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘． 不妨设P(0, 0, t)(0≤t ≤√3)，则PC →=(3,−2,−t),AF →=(0,−1,√3)． 所以cos <PC →,AF →>=|PC →⋅AF →||PC →|⋅|AF →|=√3t|2√t 2+13， 由题意得√3t 2√t 2+13=√32，化简得−4√3t =35，解得t =4√3<0．所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30∘．【答案】因为f(x)=e axx 2+1，所以f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2．（1）当a ＝1时，f(x)=e xx 2+1，f ′(x)=e x (x 2−2x+1)(x 2+1)2，所以f(0)＝1，f ′(0)＝1．所以曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为x −y +1＝0． （2）因为f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2=e ax (x 2+1)2(ax 2−2x +a)，（1）当a ＝0时，由f ′(x)>0得x <0；由f ′(x)<0得x >0．所以函数f(x)在区间(−∞, 0)单调递增，在区间(0, +∞)单调递减．（2）当a ≠0时，设g(x)＝ax 2−2x +a ，方程g(x)＝ax 2−2x +a ＝0的判别式△＝4−4a 2＝4(1−a)(1+a)，①当0<a <1时，此时△>0． 由f ′(x)>0得x <1−√1−a 2a，或x >1+√1−a 2a；由f ′(x)<0得1−√1−a 2a<x <1+√1−a 2a．所以函数f(x)单调递增区间是(−∞,1−√1−a 2a)和(1+√1−a 2a,+∞)，单调递减区间(1−√1−a 2a,1+√1−a 2a)．②当a ≥1时，此时△≤0．所以f ′(x)≥0，所以函数f(x)单调递增区间是(−∞, +∞)． ③当−1<a <0时，此时△>0．由f ′(x)>0得1+√1−a 2a<x <1−√1−a 2a；由f ′(x)<0得x <1+√1−a 2a，或x >1−√1−a 2a．所以当−1<a <0时，函数f(x)单调递减区间是(−∞,1+√1−a 2a)和(1−√1−a 2a,+∞)， 单调递增区间(1+√1−a 2a,1−√1−a 2a)．④当a ≤−1时，此时△≤0，f ′(x)≤0，所以函数f(x)单调递减区间是(−∞, +∞)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】（I ）先求导数f ′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x ＝0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．(II)对字母a 进行分类讨论，再令f ′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间． 【解答】因为f(x)=e axx 2+1，所以f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2．（1）当a ＝1时，f(x)=e xx 2+1，f ′(x)=e x (x 2−2x+1)(x 2+1)2，所以f(0)＝1，f ′(0)＝1．所以曲线y ＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为x −y +1＝0． （2）因为f ′(x)=e ax (ax 2−2x+a)(x 2+1)2=e ax(x 2+1)2(ax 2−2x +a)，（1）当a ＝0时，由f ′(x)>0得x <0；由f ′(x)<0得x >0．所以函数f(x)在区间(−∞, 0)单调递增，在区间(0, +∞)单调递减．（2）当a ≠0时，设g(x)＝ax 2−2x +a ，方程g(x)＝ax 2−2x +a ＝0的判别式△＝4−4a 2＝4(1−a)(1+a)，①当0<a <1时，此时△>0． 由f ′(x)>0得x <1−√1−a 2a，或x >1+√1−a 2a；由f ′(x)<0得1−√1−a 2a<x <1+√1−a 2a．所以函数f(x)单调递增区间是(−∞,1−√1−a 2a)和(1+√1−a 2a,+∞)，单调递减区间(1−√1−a 2a,1+√1−a 2a)．②当a ≥1时，此时△≤0．所以f ′(x)≥0， 所以函数f(x)单调递增区间是(−∞, +∞)． ③当−1<a <0时，此时△>0． 由f ′(x)>0得1+√1−a 2a<x <1−√1−a 2a；由f ′(x)<0得x <1+√1−a 2a，或x >1−√1−a 2a．所以当−1<a <0时，函数f(x)单调递减区间是(−∞,1+√1−a 2a)和(1−√1−a 2a,+∞)，单调递增区间(1+√1−a 2a,1−√1−a 2a)．④当a ≤−1时，此时△≤0，f ′(x)≤0，所以函数f(x)单调递减区间是(−∞, +∞)． 【答案】（1）依题意，c =√2，b ＝1，所以a =2+c 2=√3． 故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1． （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1,y =±√63． 不妨设A(1,√63)，B(1,−√63)， 因为k 1+k 3=2−√632+2+√632=2，又k 1+k 3＝2k 2，所以k 2＝1，所以m ，n 的关系式为n−2m−3=1，即m −n −1＝0． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x −1)．将y ＝k(x −1)代入x 23+y 2=1整理化简得，(3k 2+1)x 2−6k 2x +3k 2−3＝0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1． 又y 1＝k(x 1−1)，y 2＝k(x 2−1)． 所以k 1+k 3=2−y 13−x 1+2−y23−x 2=(2−y 1)(3−x 2)+(2−y 2)(3−x 1)(3−x 1)(3−x 2)=[2−k(x 1−1)](3−x 2)+[2−k(x 2−1)](3−x 1)x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2kx 1x 2−(4k+2)(x 1+x 2)+6k+12x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2k×3k 2−33k 2+1−(4k+2)×6k 23k 2+1+6k+123k 2−33k 2+1−3×6k 23k 2+1+9=2(12k 2+6)12k 2+6=2．所以2k 2＝2，所以k 2=n−2m−3=1，所以m ，n 的关系式为m −n −1＝0． 综上所述，m ，n 的关系式为m −n −1＝0．【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】(Ⅰ)依题意，c =√2，b ＝1，求出a 的值，即可得到椭圆C 的方程；(Ⅱ)①当直线l 的斜率不存在时，将直线x ＝1与椭圆方程联立，求得A ，B 的坐标，利用k 1+k 3＝2k 2，可得m ，n 满足的关系式；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程代入x 23+y 2=1整理化简，利用韦达定理及k 1+k 3＝2k 2，可得k 2的值从而可得m ，n 满足的关系式． 【解答】（1）依题意，c =√2，b ＝1，所以a =√b 2+c 2=√3．故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1． （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1,y =±√63． 不妨设A(1,√63)，B(1,−√63)， 因为k 1+k 3=2−√632+2+√632=2，又k 1+k 3＝2k 2，所以k 2＝1，所以m ，n 的关系式为n−2m−3=1，即m −n −1＝0． ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x −1)．将y ＝k(x −1)代入x 23+y 2=1整理化简得，(3k 2+1)x 2−6k 2x +3k 2−3＝0． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=6k 23k 2+1，x 1x 2=3k 2−33k 2+1．又y 1＝k(x 1−1)，y 2＝k(x 2−1)． 所以k 1+k 3=2−y 13−x 1+2−y 23−x 2=(2−y 1)(3−x 2)+(2−y 2)(3−x 1)(3−x 1)(3−x 2)=[2−k(x 1−1)](3−x 2)+[2−k(x 2−1)](3−x 1)x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2kx 1x 2−(4k+2)(x 1+x 2)+6k+12x 1x 2−3(x 1+x 2)+9=2k×3k 2−33k 2+1−(4k+2)×6k 23k 2+1+6k+123k 2−33k 2+1−3×6k 23k 2+1+9=2(12k 2+6)12k 2+6=2．所以2k 2＝2，所以k 2=n−2m−3=1，所以m ，n 的关系式为m −n −1＝0．综上所述，m ，n 的关系式为m −n −1＝0．【答案】（1）解：若A 0:0，1，1，3，0，0，则A 1:1，0，1，3，0，0；A 2:2，1，2，0，0，0； A 3:3，0，2，0，0，0；A 4:4，1，0，0，0，0； A 5:5，0，0，0，0，0．若A 4:4，0，0，0，0，则 A 3:3，1，0，0，0； A 2:2，0，2，0，0； A 1:1，1，2，0，0； A 0:0，0，1，3，0．．…．…（2）证明：若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可得T −1和T 是互逆变换． 对于数列n ，0，0，…，0连续实施变换T−1（一直不能再作T−1变换为止）得n ，0，0，…，0→T −1n −1，1，0，…，0→T −1 n −2，0，2，0，…，0→T −1 n −3，1，2，0，…，0→T −1 ...→T −1 a 0，a 1，…，a n ，则必有a 0=0（若a 0≠0，则还可作变换T −1）．反过来对a 0，a 1，…，a n 作有限次变换T ，即可还原为数列n ，0，0，…，0，因此存在数列A 0满足条件．… （3）证明：显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，这是由于若对某个i 0，a i 0>i 0，则由变换的定义可知，a i 0通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ， 所以S m =mt m （t m 为整数），于是S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ，所以a m 为S m 除以m +1后所得的余数，即a m =S m −[Sm m+1](m +1)．…【考点】综合法与分析法 【解析】（1）根据新定义，首项分别取1，2，3，4，5，从而可写出其余各项；（2）若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可验证数列A 0满足条件；（3）显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ，从而可得S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ，由此可得结论．【解答】（1）解：若A 0:0，1，1，3，0，0，则A 1:1，0，1，3，0，0；A 2:2，1，2，0，0，0； A 3:3，0，2，0，0，0；A 4:4，1，0，0，0，0； A 5:5，0，0，0，0，0．若A 4:4，0，0，0，0，则 A 3:3，1，0，0，0； A 2:2，0，2，0，0； A 1:1，1，2，0，0； A 0:0，0，1，3，0．．…．…（2）证明：若数列A 0:a 0，a 1，…，a n 满足a k =0及a i >0(0≤i ≤k −1)，则定义变换T −1，变换T −1将数列A 0变为数列T −1(A 0)：a 0−1，a 1−1，…，a k−1−1，k ，a k+1，…，a n ．可得T −1和T 是互逆变换．对于数列n ，0，0，…，0连续实施变换T−1（一直不能再作T−1变换为止）得n ，0，0，…，0→T −1n −1，1，0，…，0→T −1 n −2，0，2，0，…，0→T −1 n −3，1，2，0，…，0→T −1 ...→T −1 a 0，a 1，…，a n ，则必有a 0=0（若a 0≠0，则还可作变换T −1）．反过来对a 0，a 1，…，a n 作有限次变换T ，即可还原为数列n ，0，0，…，0，因此存在数列A 0满足条件．… （3）证明：显然a i ≤i(i =1, 2,…,n)，这是由于若对某个i 0，a i 0>i 0，则由变换的定义可知，a i 0通过变换，不能变为0．由变换T 的定义可知数列A 0每经过一次变换，S k 的值或者不变，或者减少k ，由于数列A 0经有限次变换T ，变为数列n ，0，…，0时，有S m =0，m =1，2，…，n ， 所以S m =mt m （t m 为整数），于是S m =a m +S m+1=a m +(m +1)t m+1，0≤a m ≤m ， 所以a m 为S m 除以m +1后所得的余数，即a m =S m −[S m m+1](m +1)．…。
北京市朝阳区2012届高三上学期理科数学期末考试试题及答案
北京市朝阳区2012届高三上学期理科数学期末考试试题（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知平面向量(3,1)=a ，(,3)x =b ，且a ⊥b ，则实数x 的值为 （ ） A ．9 B ．1 C ．1- D ． 9-2.设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为 ( ) A ．4- B ． 4 C ．6- D ．63. 设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S 等于 （ ）A ． 2788n n +B ．2744n n+ C ．2324n n + D ．2n n +4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．1 B ．1- C ． 2- D ．05.已知函数()s i n 3c o s f x x x =+，设()7a f π=，()6b f π=，()3c f π=，则,,a b c的大小关系是（ ）A. a b c <<B.c a b <<C.b a c <<D.b c a << 6.函数2()2xf x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3) D ． (0,2)7. 已知正方形ABCD 的边长为22，将ABC ∆沿对角线AC B折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC -的体积()y f x =的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知集合{(,)|,,A x y x n yn a b n ===+∈Z ,{(,)|,B x y x m ==2312,y m =+m ∈Z }.若存在实数,a b 使得A B ≠∅ 成立,称点(,)a b 为“￡”点，则“￡”点在平面区域22{(,)|108}C x y x y =+≤内的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间[60,70)上的汽车大约有 辆.10．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是.主视图33222 时速（km/h ）001002 003 004组距40 50 60 70 80 频率 O11. 在平面直角坐标系中,不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的平面区域的面积是9,则实数a的值为 .12. 设直线10x my --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是 .13. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y （万元）与机器运转时间x （年数，x *∈N ）的关系为21825y x x =-+-.则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值是 万元.14. 已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3a b ==,按上述规则操作三次,扩充所得的数是__________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m nq p ++-（,m n 为正整数），则,m n 的值分别为______________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本题满分13分）在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足32sin 0a b A -=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，7b =，求AB AC的值．16. （本题满分13分）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游 5A戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A 指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为(,)a b （假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．（Ⅰ）求某个家庭得分为(5,3)的概率？（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X ，求X的分布列及数学期望．17. （本题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，2,3AD a AB a ==，SA SD a ==．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求二面角C SA D --的大小.18. （本题满分13分）已知函数1()ln(1)1xf x ax x-=+++（0x ≥，a 为正实数）. （Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围.19. （本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由.20. （本题满分14分）数列{}n a ，{}n b （1,2,3,n = ）由下列条件确定：①110,0a b <>；②当2k ≥时，k a 与k b 满足：当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ,211--+=k k k b a b ；当011<+--k k b a 时，211--+=k k k b a a ，1-=k k b b . （Ⅰ）若11a =-，11b =，写出234,,a a a ，并求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）在数列}{n b 中，若s b b b >>> 21(3s ≥,且*s ∈N )，试用11,b a 表示k b },,2,1{s k ∈；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设数列}{n c (*)n ∈N 满足211=c ，0n c ≠， 2212m n n n m c c c ma -+=-+(其中m 为给定的不小于2的整数)，求证：当m n ≤时，恒有1<n c .参考答案 2012.1一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案CBADBCBA二、填空题： 题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）答案8033 1 33±5 8 255 8,13三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为32sin 0a b A -=，所以3sin 2sin sin 0A B A -=， ……………………………………………… 2分因为sin 0A ≠，所以23sin =B . …………………………………………………3分 又B 为锐角， 则3B π=. …………………………………………… 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，3B π=．因为7b =，根据余弦定理，得 2272cos3a c ac π=+-，………………………………………7分整理，得2()37a c ac +-=．由已知 5a c +=，则6ac =．又a c >，可得 3a =，2c =． ……………………………………… 9分于是2227497cos 21447b c a A bc +-+-===， ………………………… 11分 所以7cos cos 27114AB AC AB AC A cb A ===⨯⨯= ． …………… 13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）记事件A ：某个家庭得分情况为(5,3)．111()339P A =⨯=．所以某个家庭得分情况为(5,3)的概率为19．……………………………… 4分（Ⅱ）记事件B ：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括(5,3),(5,5),(3,5)共3类情况．所以1111111()3333333P B =⨯+⨯+⨯=．所以某个家庭获奖的概率为13． ………………………………………… 8分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是13，所以1~(5,)3X B ．00551232(0)()()33243P X C ==⋅=，11451280(1)()()33243P X C ==⋅=，22351280(2)()()33243P X C ==⋅=，33251240(3)()()33243P X C ==⋅=，44151210(4)()()33243P X C ==⋅=，5505121(5)()()33243P X C ==⋅=. ………………………………… 11分 所以X 分布列为：X0 1 2 3 4 5P32243 80243 80243 40243 10243 1243所以15533EX np ==⨯=． 所以X 的数学期望为53． ……………………………………………… 13分（17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）因为平面SAD ⊥平面ABCD ， CD AD ⊥，且面SAD 面ABCD AD =， 所以CD ⊥平面SAD . 又因为SA ⊂平面SAD所以CD SA ⊥． …………………………………………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，CD SA ⊥.在SAD ∆中，SA SD a ==，2AD a =，所以SA SD ⊥，所以SA ⊥平面SDC . 即SA SD ⊥，SA SC ⊥,所以CSD ∠为二面角C SA D --的平面角．在Rt CDS ∆中，3tan 3CDaCSD SD a ∠===， 所以二面角C SA D --的大小3π． …………………………………… 13分 法二：取BC 的中点E , AD 的中点P ．在SAD ∆中，SA SD a ==，P 为AD 的中点，所以，SP AD ⊥． 又因为平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD 平面ABCD AD =所以，SP ⊥平面ABCD ．显然，有PE AD ⊥． ……………………………… 1分 如图，以P 为坐标原点，P A 为x 轴，PE 为y 轴，PS为z 轴建立空间直角坐标系，则2(0,0,)2S a ，2(,0,0)2A a ， 2(,3,0)2B a a ，2(,3,0)2C a a -， 2(,0,0)2D a -． ………………………………………………………………3分 （Ⅰ）易知22(0,3,0),(,0,)22CD a SA a a =-=-因为0CD SA ⋅=，所以CD SA ⊥． …………………………………………………………… 6分（Ⅱ）设(,,)x y z =n 为平面CSA 的一个法向量，则有00SA CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ， 即22022230ax az ax a y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，所以(3,2,3)=n ． ……………………………… 7分显然，EP ⊥平面SAD ，所以PE为平面SAD 的一个法向量，所以(0,1,0)=m 为平面SAD 的一个法向量．……………………………………… 9分 所以 21cos ,222<>==n m ， 所以二面角C SA D --的大小为3π． ………………………………………… 13分 （18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1a =时，1()ln(1)1xf x x x-=+++，则212()1(1)f x x x -'=+++. ………………………………………………… 2分 所以(1)0f '=.又(1)ln 2f =，因此所求的切线方程为ln 2y =. ………… 4分（Ⅱ）22222()1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x -+-'=+=++++. ………………………… 5分 （1）当20a -≥，即2a ≥时，因为0x ≥，所以()0f x '>，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ………………………………………………………………… 6分 （2）当20a -<，即02a <<时，令()0f x '=，则220ax a +-=（0x ≥），所以2ax a-=. 因此，当2[0,)ax a-∈时，()0f x '<，当2(,)a x a -∈+∞时，()0f x '>. 所以函数()f x 的单调递增区间为2(,)aa-+∞，函数()f x 的单调递减区间为2[0,)aa-. ………………………………………………………………… 10分 （Ⅲ）当2a ≥时，函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，则()f x 的最小值为(0)1f =，满足题意. ………………………………………………………………… 11分 当02a <<时，由（Ⅱ）知函数()f x 的单调递增区间为2(,)aa-+∞，函数()f x 的单调递减区间为2[0,)a a -，则()f x 的最小值为2()af a-，而(0)1f =，不合题意.所以a 的取值范围是[)2,+∞. ………………………………………………… 13分（19）（本小题满分14分）解: （Ⅰ）由题得过两点(4,0)A ，(0,2)B 直线l 的方程为240x y +-=.………… 1分 因为12c a =，所以2a c =，3b c =. 设椭圆方程为2222143x y c c+=,由2222240,1,43x y x y c c+-=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，224121230y y c -+-=. 又因为直线l 与椭圆C 相切,所以221244(123)0c ∆=-⨯-=,解得21c =.所以椭圆方程为22143x y +=. ……………………………………………… 5分 （Ⅱ）易知直线m 的斜率存在,设直线m 的方程为(4)y k x =-，…………………… 6分由22(4),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(34)3264120k x k x k +-+-=. ………… 7分由题意知2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=-+->，解得1122k -<<. ……………………………………………………………… 8分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+. …… 9分 又直线:240l x y +-=与椭圆22:143x y C +=相切， 由22240,1,43x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得31,2x y ==，所以3(1,)2P . ……………………………10分则2454AP =. 所以3645813547AM AN ⋅=⨯=. 又22221122(4)(4)AM AN x y x y ⋅=-+⋅-+2222221122(4)(4)(4)(4)x k x x k x =-+-⋅-+-212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)(4()16)k x x x x =+-++22222641232(1)(416)3434k k k k k -=+-⨯+++ 2236(1).34k k=++所以223681(1)347k k +=+，解得24k =±.经检验成立. …………………… 13分 所以直线m 的方程为2(4)4y x =±-. …………………………………… 14分 （20）（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为011=+b a ，所以112-==a a ,02112=+=b a b . 因为0122<-=+b a ,所以212223-=+=b a a ,023==b b . 因为33102a b +=-<,所以334124a b a +==-,430b b ==. 所以1234111,1,,24a a a a =-=-=-=-. …………………………………… 2分 由此猜想，当2≥k 时,011<+--k kb a ，则22111---=+=k k k k a b a a ，10k k b b -==.… 3分 下面用数学归纳法证明：①当2k =时，已证成立.②假设当k l =（l *∈N ，且2l ≥）猜想成立，即110l l a b --+<，10l l b b -==，102l l a a -=<. 当1k l =+时，由102l l a a -=<， 10l l b b -==得0l l a b +<，则10l l b b +==，1022l l l l a b a a ++==<. 综上所述，猜想成立. 所以22221111(2)222n n n n a a n ---⎛⎫⎛⎫=⨯=-⋅=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故211,1 2.2n n n a n --=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩. ……………………………………………… 6分（Ⅱ）解：当s k ≤≤2时，假设110k k a b --+<，根据已知条件则有1-=k k b b ，与s b b b >>> 21矛盾，因此110k k a b --+<不成立， …………… 7分 所以有110k k a b --+≥，从而有1k k a a -=，所以1a a k =.当011≥+--k k b a 时，1-=k k a a ，211--+=k k k b a b , 所以111111()22k k k k k k k a b b a a b a -----+-=-=-; …………………… 8分 当s k ≤≤2时，总有111()2k k k k b a b a ---=-成立. 又110b a -≠，所以数列}{k k a b -(s k ,,2,1 =)是首项为11b a -，公比为12的等比数列, 11121)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-k k k a b a b ，1,2,,k s = ,又因为1a a k =，所以111121)(a a b b k k +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-. …………………………… 10分 （Ⅲ）证明：由题意得2212mn n n mc c c ma -+=-+ n n c c m +=21. 因为211n n n c c c m +=+，所以2110n n n c c c m+-=>. 所以数列{}n c 是单调递增数列. …………………………………… 11分 因此要证)(1m n c n ≤<,只须证1<m c .由2≥m ，则n n n c c m c +=+211<n n n c c c m ++11，即1111n n c c m +->-.…… 12分 因此1122111)11()11()11(1c c c c c c c c m m m m m +-++-+-=--- mm m m 121+=+-->. 所以11m m c m <<+. 故当m n ≤,恒有1<n c . …………………………………………………14分。
2024北京朝阳区高三一模数学试题及答案
2024北京朝阳高三一模数 学2024.4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则UA =（A ）{1} （B ）{1,2}（C ）{3,4} （D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π （B ）6π或65π （C ）3π（D ）3π或32π （4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =−在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x −+=222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B）（C ）4（D）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4aaaa =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N 分别是l与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为 （A ）y x =±（B）y = （C）y = （D）y = （8）在ABC △中，2,AB AC BC ===P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A（B（C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是 （A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交G1A（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i =，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x −+++≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16 （C ）21 （D ）23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
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北京市朝阳区2012届高三3月第一次综合练习数学试卷（理工类） 2012.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数10i 12i=- A. 42i -+ B. 42i - C. 24i - D. 24i +2. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为 A. 6π B. 3π C. 32π D. 65π 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n N *=-∈，则5a =A. 16-B. 16C. 31D. 324. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 486.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是A.0B. 0或12-C. 14-或12-D. 0或14- 7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的 管理费不少于14万元，则x 的取值范围是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 108.已知点集{}22(,)48160A x y x y x y =+--+≤，{}(,)4,B x y y x m m 是常数=≥-+，点集A 所表示的平面区域与点集B 所表示的平面区域的边界的交点为,M N .若点(,4)D m 在点集A 所表示的平面区域内（不在边界上），则△DMN 的面积的最大值是A. 1B. 2C.D. 4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图） （第11题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .12.在极坐标系中，曲线ρθ=和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则线段AB 的中点E到极点的距离是 .13.已知函数213(),2,()24log ,0 2.x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是 .14.已知△ABC 中， 90,3,4C AC BC ∠=︒==.一个圆心为M ，半径为14的圆在△ABC 内，沿着△ABC 的边滚动一周回到原位. 在滚动过程中，圆M 至少与△ABC 的一边相切，则点M 到△ABC 顶点的最短距离是 ，点M 的运动轨迹的周长是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.15. （本小题满分13分） 已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求sin 2α的值；正视图侧视图（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分） 某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（II ）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数； （Ⅲ）在（II ）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 分布列与数学期望.17. （本小题满分14分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒， EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB ，==1EB EF ，BC M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由.CA F EB M D18. （本小题满分13分） 设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间.19. （本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1(F ，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式.数学试卷（理工类一、选择题：三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=， 所以 sin )210αα+=， 所以7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 所以 24sin 225α=. ……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+ =(cos sin )sin )22x x x x +- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . ……………10分 当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分（Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300*********x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，所以X 的分布列为3520125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………13分 （17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ， 所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ， 故EM//平面ADF . …………… 4分解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D （Ⅰ）3=((3,-2,0)2EM ,AD= ， 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得32x -y =0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩ 令y=3，则n =. 又因为3(=3+0-3=02EM n ⋅=⋅ ， 所以EM n ⊥ ，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF 的一个法向量是n =.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥. 又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .故(3,0,0)BD = 是平面EBAF 的一个法向量.所以1cos <=2BD BD,BD n n n ⋅>=⋅ ，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分（Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.N CA F EB M D不妨设(0,0,t)P（0t ≤≤，则=(3,-2,-),=PC AF t .所以cos <PC AF PC,AF PC AF ⋅>==⋅=，化简得35-=，解得0t =<.所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分（18）（本小题满分13分） 解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+. （Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+, 所以(0)1,f = (0)1f '=. 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分 （Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分（2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>. 由()0f x '>得1x a <,或1x a>； 由()0f x '<得11x a a+<<. 所以函数()f x单调递增区间是(-∞和)+∞,单调递减区间. ……………9分②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分。