九年级数学：圆的切线的证明——拔高题

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中考初三数学冲刺拔高专题训练含答案

中考数学冲刺拔高

专题训练

专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1)

专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5)

专题提升(三) 数式规律型问题 (9)

专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (15)

专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (22)

专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (31)

专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (41)

专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (48)

专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (54)

专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (60)

专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (69)

专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (77)

专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (83)

专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (92)

专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (99)

专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (106)

专题提升(一) 数形结合与实数的运算

类型之一数轴与实数

【经典母题】

如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．

图Z1－1

【思想方法】(1)在实数范围内，每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应；

(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行

实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．

【中考变形】

1．[2017·北市区一模]如图Z1－2，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则这个点E表示的实数是 ( C )

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-- 切线的证明

一、综合题

1．如图，AB为半圆的直径，点C是弧AD的中点，过点C作BD延长线的垂线交于点E．

（1）求证：CE是半圆的切线；

（2）若OB=5，BC=8，求CE的长．

2．如图，在⊙ O中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，连接CD交⊙ O于点E，⊙BCD=⊙DBE.

（1）求证：BD是⊙ O的切线.

（2）过点E作EF⊙AB于F，交BC于G，已知DE= 2√10，EG=3，求BG的长.

3．如图，⊙E的圆心E（3，0），半径为5，⊙E与y轴相交于A，B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y= 34x+4，与x轴相交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断直线l与⊙E的位置关系，并说明理由；

（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时，求出点P的坐标及最小距离．

4．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．

（1）求证：BC 为⊙O 的切线；

（2）连接AE 并延长与BC 的延长线交于点G （如图②所示）．若AB= 4√5 ，CD=9，求线段BC 和EG 的长．

5．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形．以B 为圆心，BD 长为半径的

⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．

求证：

（1）AD 是⊙B 的切线；（2）AD=AQ ；（3）BC 2=CF•EG ．

中考压轴题圆拔高练习题

中考圆压轴专题

一、选择题（本大题共3小题，共9.0分）

1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为

半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(

结果保留π)()

A. 8−π

B. 16−2π

C. 8−2π

D. 8−1

2.如图，等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm.

动点D从点C出发，沿线段CB以2cm/s的速度向

点B运动，同时动点O从点B出发，沿线段BA以

1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t(s)，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O与BA交于另一点E，连接ED.当直线DE与⊙O相切时，t的取值是()

A. 16

9B. 3

C. 4

D. √3

3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=119°，过点C的圆的切线交BO于点

P，则∠P的度数为()

A. 32°

B. 31°

C. 29°

D. 61°

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

4.如图，扇形OAB中，∠AOB=90°.P为弧AB上的一

点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D.

若PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为______．

5.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直

径，且AB=4√2，AC=5，AD=4，则⊙O的直径

AE=________．

6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，AB⏜=

BF⏜，CE=1，AB=6，则弦AF的长度为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

7.如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，BC=BD，

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--三角形的外接圆与外心

1．某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；

（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．

2．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AC为直径，弦BD=BA，BE⊙DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：⊙1=⊙BAD；

（2）求证：BE是⊙O的切线．

3．如图，在⊙ABC中，⊙B=45°，⊙ACB=60°，AB=3 √2，点D为BA延长线上的一点，且

⊙D=⊙ACB，⊙O为⊙ACD的外接圆．

（1）求BC的长；

（2）求⊙O的半径．

4．如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）.

（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点⊙DEF，使⊙DEF ⊙⊙ABC，且相似比为2⊙1；

（2）求⊙ABC中AC边上的高；

（3）若⊙ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为

5．如图，点E是⊙ABC的内心，AE的延长线和⊙ABC的外接圆相交于点D，连接BE

（1）若⊙CBD＝35°，求⊙BAC及⊙BEC的度数

（2）求证：DE＝DB

6．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的⊙ABC就是格点三角形，建立如图所示的平面直角坐标系，点C的坐标为（0，﹣1）.

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的切线的证明

1．如图，△ABD是△O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是△O外一点，且△DBC＝△A＝60°，连接OE并延长与△O相交于点F，与BC相交于点C．

（1）求证：BC是△O的切线；

（2）若△O的半径为6cm，求弦BD的长．

2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果∠BAC=60°，AE=4√3，求AC长．

3．如图，AC与△O相切，切点为C，点B在CO的延长线上，BD△AO，垂足为D，

△ABD=△BO D．

（1）求证：AB为△O的切线；

（2）若BC=4，AC=3，求BD的长．

4．如图，AB 是△O 的直径，点E 在△O 上，连接AE 和BE ，BC 平分△ABE 交△O 于点C ，过点C 作CD△BE ，交BE 的延长线于点D ，连接CE ．

（1）请判断直线CD 与△O 的位置关系，并说明理由；

（2）若sin△ECD ＝35

，CE ＝5，求△O 的半径． 5．如图，AB 为△O 的直径，C 、D 为△O 上不同于A 、B 的两点，△ABD ＝2△BAC ，连接CD ，过点C 作CE△DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．

（1）求证：CF 是△O 的切线；

（2）当BD ＝ 185 ，sinF ＝ 35

时，求OF 的长． 6．如图，线段AB 经过圆心O ，交△O 于点A 、C ，点D 为△O 上一点，连结AD 、OD 、BD ，△A ＝△B ＝30°．

2023年九年级中考数学专题练——圆专题拔高训练(含解析)

2023年浙江省温州市中考数学专题练——8圆

一．选择题（共15小题）

1．（2022•温州校级模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼，旋翼长为24cm，A，B为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心O到各旋翼支点的距离均为30cm，相邻两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与P之间的距离为（）

A．30﹣123B．30﹣125C．15﹣33D．155―24 2．（2022•鹿城区校级三模）如图，点A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，已知AB=50°，则∠C为（）

A．25°B．35°C．40°D．50°3．（2022•永嘉县三模）如图，PA，PB分别切⊙O于点为A，B，若∠P＝50°，AB的长为26π，则⊙O的半径为（）

A．9B．18C．36D．72 4．（2022•鹿城区校级三模）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D，P分别在BC，AC上．若∠BDC＝140°，则∠APC的度数为（）

A ．105°

B ．110°

C ．115°

D ．120°

5．（2022•鹿城区校级二模）如图，PA 切⊙O 于点A ，连结OP 交⊙O 点B ，∠P ＝10°，点C 在⊙O 上（点B ，C 在直径AO 同侧），连结OC ，AC ，AB ，当OC ∥AB 时，∠BAC

等于（）

A ．20°

B ．25°

C ．30°

D ．50°

6．（2022•龙港市模拟）如图，⊙O 的半径为6，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ．若∠P ＝50°，则AB 的长为（）

新人教版九年级上册数学精品专题-18.抛物线与圆的综合

4
44
4 16
16 16
225
，
16
∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即 EA⊥MA，∴EA 与⊙M 相切；
（3）解：存在；点 P 坐标为（5，4），或（5， 71 ），或（5，4+ 55 ）；理由如下：
由勾股定理得：BC= OC 2 OB2 = 42 82 =4 5 ，分三种情况：①当 PB=PC 时，点 P
22
2
2
22
2
化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得 x1=1（与 A 重合，
舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与 B 重合，舍去），∴点 P 坐标为（2，2）．∵
7 25
7
7
25 225
7
25
M（，），N（，0），∴PM2=（2- ）2+（2- ）2= ，PN2=（2- ）2+22= =
3=2，OB=5+3=8，
∴A（2，0），B（8，0）；
1
9
9
（2）证明：把点 A（2，0）代入抛物线 y= （x-5）2+k，得：k=- ，∴E（5，- ），
4
4
4
9
9 25
9 225

中学考试初三数学冲刺拔高专题训练(含问题详解)

中考数学冲刺拔高

专题训练

专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1)

专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5)

专题提升(三) 数式规律型问题 (9)

专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (16)

专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (23)

专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (33)

专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (44)

专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (51)

专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (57)

专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (63)

专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (72)

专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (81)

专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (87)

专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (96)

专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (103)

专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (110)

专题提升(一) 数形结合与实数的运算

类型之一数轴与实数

【经典母题】

如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．

图Z1－1

(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行

实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．

【中考变形】

(完整)九年级下册圆形拔高习题(较难及难题)(含解析)

(完满)九年级下册圆形拔高习题(较难及难题)(含解析)

合肥德优教育

九年级下册圆形拔高习题〔中等及较难〕

一、选择题

1、如图， Rt△ABC 中， AB⊥BC， AB=6， BC=4， P 是△ ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，那么线段CP长的最小值为

( )

A. B.2 C. D.

2、如图，⊙O 是△ ABC的外接圆，∠ BOC=3∠AOB，假设∠ ACB=20°，那么∠ BAC的度数是()

°°°°

3、如图， AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，假设∠ OCA=50°， AB=4，那么的长为()

A .π

B .π

C .π

D .π

4、以以下图， AB是⊙O 的直径，点 C为⊙O 外一点， CA， CD是⊙O 的切线， A，D 为切点，连接 BD，AD．假设∠ ACD=30°，那么∠ DBA的大小是 ( )

°°°°

5、如图，圆 O是 Rt△ABC的外接圆，∠ ACB=90°，∠ A=25°，过点 C 作圆 O的切线，交 AB的延长线于点 D，那么∠D 的度数

是( )

°°°°

6、如图，在⊙O 中， AB是直径，点 D是⊙O 上一点，点 C 是弧 AD的中点，弦 CE⊥AB 于点 E，过点 D 的切线交 EC的延长线于点G，连接 AD，分别交 CE、 CB于点 P、 Q，连接 AC．给出以下结论：①∠ BAD=∠ABC；② AD=CB；③点 P 是△ ACQ的外

心；④G P=GD；⑤ CB∥GD．其中正确结论的序号是〔〕

A．①②④B．②③⑤C．③④D．②⑤

试卷第 1/37 页

7、一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，那么这个三角形的周长等于( )

2019-2020年九年级数学中考复习：切线的性质和判定拔高训练(含答案)

2019-2020中考数学

切线的性质和判定拔高训练

班级：______姓名：________得分：_______一．选择题

1．如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）

A．40°B．50°C．60°D．70°

2．如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（）

A．30°B．35°C．40°D．45°

3．如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB 为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）

A．2 B．C．D．

4．如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（）

A．10 B．8 C．4D．4

5．在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y=

上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）A．3 B．2 C．D．

二．填空题

6．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD 的延长线交BC于点C，则∠OCB=度．

7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与BA的延长线交于点D，点E在上（不与点B，C重合），连接BE，CE．若∠D=40°，则∠BEC=度．

8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，P为线段A′B'上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为．

中考初三数学冲刺拔高专题训练含答案

中考数学冲刺拔高

专题训练

专题提升(一) 数形结合与实数的运算 (1)

专题提升(二) 代数式的化简与求值 (5)

专题提升(三) 数式规律型问题 (9)

专题提升(四) 整式方程(组)的应用 (15)

专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 (22)

专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 (31)

专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 (41)

专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用 (48)

专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明 (54)

专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明 (60)

专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明 (69)

专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明 (77)

专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 (83)

专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度或宽度 (92)

专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算 (99)

专题提升(十六) 统计与概率的综合运用 (106)

专题提升(一)数形结合与实数的运算

类型之一数轴与实数

【经典母题】

如图Z1－1，通过画边长为1的正方形的边长，就能准确地把2和－2表示在数轴上．

图Z1－1

(2)数形结合是重要的数学思想，利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行

实数的大小比较，求数轴上的点表示的实数，是中考的热点考题．

【中考变形】

初三数学数学直线与圆的位置关系拔高练习(个人精心整理,含答案)

直线与圆的位置关系姓名：________

一．选择题

1.如图,AB 、AC 为⊙O 的切线,B 、C 是切点,延长OB 到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO 等于( ) A.70° B.64° C.62° D.51°

2.如图，已知PA 切⊙O 于A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1，OA 绕点O•逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为（） A

．

3.如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ，使AD ＝BE ，BD ＝AF ，连结DE 、DF 、EF ，则∠EDF ＝（） A.900

－∠P B.900

－

21∠P C.1800－∠P D.450

－2

1∠P

4、如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1=60°．下列结论错误的是（） A 、MN=

4 B 、若MN 与⊙O 相切，则C 、若∠MON=90°，则MN 与⊙O 相切 D 、l 1和l 2的距离为2

5、如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设OP=x ，则x 的取值范围是（） A 、20≤

6、如图，在Rt △ABC 中，BC=3cm ，AC=4cm ，动点P 从点C 出发，沿C→B→A→C 运动，点P 在运动过程中速度始终为1cm/s ，以点C 为圆心，线段CP 长为半径作圆，设点P 的运动时间为t （s ），当⊙C 与△ABC 有3个交点时，此时t 的值不可能是（）

2023年九年级中考数学二轮复习拔高训练--圆的切线的证明

2023年中考数学二轮复习拔高训练--圆的切线的证明

一、综合题

1．如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．

（1）求证：∠PCA=∠B

（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长。

2．已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧），且A点坐标为(−4，4)．平行于x轴的直线l过(0，−1)点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2 个单位，再向下平移t 个单位（t＞0），二次函数的图象与x 轴交于M，N 两点，一次函数图象交y 轴于 F 点．当t 为何值时，过F，M，N 三点的圆的面积最小？最小面积是多少？

3．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E。

（1）证明：AE=CE；

（2）若AC=2BC，证明：DA是⊙O的切线；

（3）在(2)条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若⊙O的直径为√5，求EF的长。

4．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）试说明DF是⊙O的切线；

（2）若AC=3AE，求BE

CE的值．

5．如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上不与A，B重合的一动点，AC⌢＝CD⌢，连接AC，CD，AD，BC，延长BC交AD于F，交半圆O的切线AE于E.

2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明【含答案】

2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明1．如图，直线AD 经过⊙O 上的点A ，△ABC 为⊙O 的内接三角形，并且∠CAD ＝∠B.

（1）判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）若∠CAD ＝30°，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积.（结果保留π）

2．已知：如图，是上一点，半径的延长线与过点的直线交于点，

A ⊙O OC A

B O

C =BC ，

． AC =12OB

（1）求证：是的切线；

AB ⊙O （2）若，，求弦的长．

∠ACD =45°OC =2CD 3．如图，内接于圆O ，AB 为直径，与点D ，E 为圆外一点，，与BC 交于△ABC CD ⊥AB EO ⊥AB 点G ，与圆O 交于点F ，连接EC ，且．

EG =EC

（1）求证：EC 是圆O 的切线；

（2）当时，连接CF ，

∠ABC =22.5°①求证：；

AC =CF ②若，求线段FG 的长．

AD =1

4．如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，求△ABC的面积．

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE

（1）求证:直线DE是⊙O的切线

103

（2）若BE＝，AC＝6，OA＝2，求图中阴影部分的面积

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

2023年中考九年级数学高频考点拔高训练-圆的综合

1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，过O点作OC⊙AB且交⊙O于C点，延长AB到D，过点D 作⊙O的切线DE，切点为E，连接CE交AB于F点.

（1）求证：DE＝DF；

（2）若⊙O的半径为2，求CF·CE的值；

（3）若⊙O的半径为2，⊙D＝30°，则阴影部分的面积.

2．如图，⊙O为等腰⊙ABC的外接圆，直径AB＝12，P为弧BC⌢上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，

（1）若PD⊙BC，求证：AP平分⊙CAB；

（2）若PB＝BD，求PD的长度；

⌢上的位置如何变化，CP•CQ为定值．

（3）证明：无论点P在弧BC

3．

（1）知识储备

①如图1，已知点P 为等边⊙ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC= PA.

②定义：在⊙ABC 所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为⊙ABC的费马点，此时PA+PB+PC 的值为⊙ABC 的费马距离．

（2）知识迁移

①我们有如下探寻⊙ABC (其中⊙A，⊙B，⊙C 均小于120°)的费马点和费马距离的方法：

如图2，在⊙ABC 的外部以BC 为边长作等边⊙BCD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段的长度即为⊙ABC 的费马距离.

②在图3 中，用不同于图2 的方法作出⊙ABC 的费马点P(要求尺规作图).

（3）知识应用

①判断题：

⊙.任意三角形的费马点有且只有一个（）；

⊙.任意三角形的费马点一定在三角形的内部（）.

②已知正方形ABCD，P 是正方形内部一点，且PA+PB+PC 的最小值为√6+√2，求正方形ABCD 的边长．

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