置换群

1 2 n 1 2 n
8
这一结果表明，欲求置换 这一结果表明，欲求置换 σ 的共轭置换 τστ−1，只 需对置换 σ 中的上下两行数字同时施行置换 τ , 例如
1 2 3 4 5 6 σ= 3 1 2 5 4 6
1 2 3 4 5 6 τ= 6 5 1 4 2 3
(1 2 3) = (1 2)(2 3) = (1 3)(1 2)
1 2 2 3 2 3 1 2 1 3 2 = 3 1 2 = (1 2 3)
1 3
31 12
2 1 2 3 = 2 3 1 =(1 2 3) 1
却是唯一的. 却是唯一的. 因为任一置换可分解为形式一定的循 环乘积，而每一循环长度k 环乘积，而每一循环长度k的奇偶性一定，若循环 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 长度k为偶数，则该循环可分解为奇数个对换之积, 如 (1 2 3 4) =(1 2)(2 3)(3 4) =(1 4)(1 3)(1 2) . 反之，若长度k为 反之，若长度k 奇数，则该循环可分解为偶数个对换之积，如 (1 2 3) = (1 2)(2 3) = (1 3)(1 2) . 任一置换 P 和它的逆 P -1 具 有相同的奇偶性. 有相同的奇偶性. 如
n n
2
n
1
n
7
都对应于－1. 都对应于－1.
2.
Sn
的共轭类
n
现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类. 现在我们来讨论一下置换群的共轭元素和类. 设有两个置换 σ 与 τ ，它们都是 S 的群元素， 其中
1 2 ⋯⋯ n σ= σ σ ⋯⋯ σ n 1 2
则 σ 的共轭元素为：
n n 2 3
12
S 4有五个类
配分 [1 1 1 1]=[ 14 ], 有一个元素: 有一个元素: (1)(2)(3)(4)= p . 配分 [2 1 1]=[2 12 ], 有六个元素: (1 2)、(1 3)、 有六个元素: 2)、 3)、 (1 4)、(2 3)、(2 4)、(3 4). 4)、 3)、 4)、 配分 [2 2]=[ 22], 有三个元素: (1 2)(3 4)、 有三个元素: 4)、 (1 3)(2 4)、(1 4)(2 3). 4)、 配分 [3 1]，有八个元素: (1 2 3)、(1 3 2)、 1]，有八个元素: 3)、 2)、 (1 2 4)、(1 4 2)、(1 3 4)、(1 4 3)、(2 3 4)、(2 4 3). 4)、 2)、 4)、 3)、 4)、 配分[4]，有6个元素：(1 配分[4]，有6个元素：(1 2 3 4)、(1 2 4 3)、 4)、 3)、 (1 3 2 4)、(1 3 4 2)、(1 4 2 3)、(1 4 3 2). 4)、 2)、 3)、 由§1.3节的讨论知， S 与 D 群同构，所以 S 也 1.3节的讨论知， 有两个一维与一个二维不可约表示. 有两个一维与一个二维不可约表示.
而同一循环中的数字可作轮换而不改变该循环的结 果，如
(2 3 6) = (3 6 2) = (6 2 3)
单循环往往省去不写，如(2)式可写成 单循环往往省去不写，如(2)式可写成
3
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 = (1 4) (2 3 6)
任一循环可以分解为若干个含有相同数字对换之 积，如
n
p = (1 2 3) ( 4 6) (5)
其配分为： 6=3+2+1 或简记为[3 或简记为[3 2 1]. 由于相互共轭的元素具有相同的
11
循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 循环结构，所以互为共轭元素的配分是相同的. 也 就是说 S 的一个共轭类中的所有元素对应于n的同 的一个共轭类中的所有元素对应于n 一个配分，所以置换群 的共轭类数目等于n 一个配分，所以置换群 S 的共轭类数目等于n的不 同的配分数. 同的配分数. 例1: S 有两个类 配分 [1 1]=[ 12 ] , 有一个元素: (1)(2)= p e . 有一个元素: 配分 [2], 有一个元素: (1 2). 有一个元素: S 有三个类 配分 [1 1 1]=[13 ], 有一个元素: (1)(2)(3)= p e . 有一个元素: 配分 [2 1], 有三个元素: (1 2)、(1 3)、(2 3). 有三个元素: 2)、 3)、 配分 [3], 有两个元素: (1 2 3)、(1 3 2). 有两个元素: 3)、
对 σ 的上下两行数字同时施行置换 τ 得：
6 5 1 4 2 3 τστ = 1 6 5 2 4 3 = (615) (4 2) (3)
−1
若将置换分解为独立循环之积的形式，上述求 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 共轭元素的规则又可表述为：欲求置换 σ 的共轭 置换 τστ−1 , 先将 σ 与 τ 写成独立的循环之积的形
而一般情况下可以证明：
(p1 p2 ⋯⋯ pk ) = (p1 pk )(p1 pk−1 )(p1 pk−2 )⋯⋯(p1 p2 ) (3) = (p1 p2 ) (p2 p3 ) (p3 p4 )⋯⋯(pk−1 pk )
4
当两个对换含有相同数字时，这两个对换是不可对易 的，如
(1 2)(1 3) = (1 3 2) ≠ (1 3)(1 2) = (1 2
1 2 3 4 5 6 4 3 6 1 5 2 = (1 4) (2 3 6) (5) பைடு நூலகம் (2)
其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 其中(5)称为单循环，它代表5变为5. 即5不变. (1 4) 不变. 为二循环，它代表1变为4，而4又变为1. (2 3 6) 为 二循环，它代表1变为4，而4又变为1. 三循环，代表2变为3 三循环，代表2变为3，3变为6，6又变为2. 变为6 又变为2. 一般用记号
1 2 3 P= 2 3 1 = (1 2 3)
2 3 1 P−1 = 1 2 3 = (1 3 2)
显然两个偶( 显然两个偶(奇)置换之积为偶置换，一个奇置换与 一个偶置换之积为奇置换. 一个偶置换之积为奇置换. 记所有偶置换的全体为 A ，则 A 的数目正好
e 3 3 3
13
S 4 有不变子群
H = {pe , (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)}
其商群为： 其中
S 4 H = {H, K 1, K 2 , K 3 , K 4 , K 5 } K1 = (1 2) H = {(1 2), (3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)} K2 = (1 3) H = {(1 3), (1 2 3 4), (2 4), (1 4 3 2)} K3 = (2 3) H = {(2 3), (1 3 4 2), (1 2 4 3), (1 4)} K4 = (1 2 3) H = {(1 2 3),(1 3 4),(2 4 3),(1 4 2)} K5 = (1 3 2) H = {(1 3 2),(2 3 4),(1 2 4),(1 4 3)}
对 σ 中的每个数字分别施行置换 τ 得：
( 615 )( 42 )( 3 ) = τστ −1
与前面所得结果相同. 与前面所得结果相同. 由上面的讨论可见， σ 与它的共轭元素 τστ−1有 相同的循环结构. 相同的循环结构. 反之，有相同的循环结构的元素
10
一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 一定是相互共轭的，而群中所有相互共轭的元素组 成一个共轭类，为了确定 S 群中共轭类的数目, 人 群中共轭类的数目, 们引入了配分的概念: 们引入了配分的概念: 约定按循环长度递减来排列独立循环之积的次 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n 序，而包括在n次循环中的循环总长度等于n，这 样n可分解为一些不增加的整数之和，称为n的一 可分解为一些不增加的整数之和，称为n 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n 个配分, 且每一个n次置换都对应于一个n的配分， 如置换
n n
6
等于个
n! 2
. 并且由于偶×偶=偶满足封闭, 单位元 并且由于偶× 偶满足封闭,
pe ∈ A n，另 偶−1 ∈ An ，故 A n (恒等置换—零个对换) 零个对换)
构成 S 的一个子群，且是一个不变子群. 因为对 的一个子群，且是一个不变子群. 于任意的 p A ∈ A n ， pS ∈Sn有
3)
由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 由此可见，一个置换可分解为若干个没有相同数字的 独立循环之积， 独立循环之积，而一个循环又可分解为若干个含有相 同数字的对换之积. 同数字的对换之积. 因此，一个置换可分解为若干个 含有相同数字的对换之积. 含有相同数字的对换之积. 由于一个循环分解为对换 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 乘积的形式不是唯一的，如(3)式示, 所以一个置换可 分解为对换之积的形式不是唯一的. 分解为对换之积的形式不是唯一的. 一个置换若能分解 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 为奇数个对换之积，则称为奇置换. 反之, 一个置换若 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 能分解为偶数个对换之积，则称为偶置换. 一个置换可 分解为对换乘积的形式虽然不是唯一的，但其奇偶性 5
1 2 ⋯⋯n p= p p ⋯⋯p 1 2 n (1)
1
其中 p i 是1－n中的某一数字. 中的某一数字. (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 (1)式所示的置换可以用一个更简洁的方式来 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 表示，这就是用若干个没有公共数字的独立循环之 积来表示，如
9
式，然后对 σ 的每个循环因子中的数字分别施行 τ 置换. 置换. 如在上例中，我们有
1 2 3 4 5 6 σ= 3 1 2 5 4 6 = (132 )( 45 )(6)
1 2 3 4 5 6 τ= 6 5 1 4 2 3 = (163 )( 25 )( 4 )
−1
1 2 ⋯⋯ n σ1 σ2 ⋯⋯ σn τ= τ τ ⋯⋯ τ = τ τ ⋯⋯ τ σ σ σ n 1 2
1 2 n
σ1 σ2 ⋯⋯ σn 1 2 ⋯⋯ n τ1 τ2 ⋯⋯τn τ1 τ2 ⋯⋯τn τστ = τ τ ⋯⋯ τ σ σ ⋯⋯ σ 1 2 ⋯⋯ n = τ τ ⋯⋯τ σ 1 2 σ n σ σ σ σ
(p1, p 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅, p k )
2
代表一个k循环，并称k 代表一个k循环，并称k为循环的长度，两个数字的 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 循环(即循环长度k=2)又称为对换. 显然，两没有 公共数字的独立循环之间是相互对易的，如
1 4 2 3 6 2 3 6 1 4 ⇐(1 4)(2 3 6) =(2 3 6) (1 4) ⇒ 4 1 3 6 2 3 6 2 4 1
第三章 置换群
置换群的理论体系虽然很庞大，但其结果却简 单明了，从应用的角度来考虑，本章将主要介绍置 换群的有关结论. 换群的有关结论.
§3.1 置换群 S n 的共轭类 1. 置换的循环与对换分解
在§1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 1.2节我们曾介绍过置换的概念, n个符号 的任意置换记为：
n
− p S p A p S1 ∈ A n
显然商群 S A 是二阶群, 它有两个一维表示 Z1 = {1} 是二阶群, 与Z = {1, − 1}, 而任何一商群的表示也一定是其大群 的表示，所以 S 群一定有两个不等价的一维表示, 群一定有两个不等价的一维表示, 其中一个是 Z = {1} ，即 S 中的所有置换都对应于单 位元1，此为恒等表示. 位元1，此为恒等表示. 另一个一维表示是 Z2 = {1, − 1} , 在该表示中所有偶置换都对应于1 在该表示中所有偶置换都对应于1，而所有奇置换