初二动点问题(面积)

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P 从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．
分析：
（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；
四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；
（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．
（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：
①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．
②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．
③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．
综上所述可得出符合条件的t的值．
解答:
解：（1）∵AQ=3-t
∴CN=4-（3-t）=1+t
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42
∴AC=5
在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．
（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形
∴PC=QD，即4-t=t
解得t=2．
（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：
MN+NC=AM+BN+AB
即：（1+t）+1+t= （3+4+5）
解得：t= （5分）
而MN= NC= （1+t）
∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2
当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠×4×3
∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．
（4）①当MP=MC时（如图1）
则有：NP=NC
即PC=2NC∴4-t=2（1+t）
解得：t=
②当CM=CP时（如图2）
则有：
（1+t）=4-t
解得：t=
③当PM=PC时（如图3）
则有：
在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2
而MN= NC= （1+t）
PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3
∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2
解得：t1= ，t2=-1（舍去）
∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形
点评：
此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，动点P 从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；
（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？
分析：
（1）若过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；
（2）本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将各数据代入，可将时间t求出；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t
求出；
③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出．
解答：
解：（1）过点P作PM⊥BC于M，则四边形PDCM为矩形．
∴PM=DC=12，
∵QB=16-t，
∴s= •QB•PM= （16-t）×12=96-6t（0≤t≤）．
（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况
：
①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得；
②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，∴BP≠PQ．
③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得，t2=16（不合题意，舍去）．
综上所述，当或时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿
路线O⇒B⇒A运动．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；
（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．
分析：
（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；
（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A 的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，
当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；
（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．
解答：
解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），
（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．
∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），
∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．
当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，
OQ=t，OP=2t，S=t2．
当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，
OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，
如图，做PD⊥OA于点D，
由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5．
∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t．
（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P在AB上
当S= 485时，- 35t2+245t= 485
∴t=4
∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8
AD= 82-(245)2= 325
∴OD=8- 325= 85
∴P（ 85， 245）
M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）
点评：
本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．
1.。